Това, което се нарича система от уравнения. Системи уравнения

Материалът на тази статия е предназначен за първо запознаване със системи от уравнения. Тук въвеждаме определението за система от уравнения и нейните решения, а също така разглеждаме най-често срещаните видове системи от уравнения. Както обикновено, ще дадем обяснителни примери.

Навигация в страницата.

Какво е система от уравнения?

Постепенно ще се доближим до дефиницията на системата от уравнения. Първо, нека просто кажем, че е удобно да го дадем, като посочим две точки: първо, вида на записа и, второ, значението, вложено в този запис. Нека се спрем на тях последователно и след това обобщим разсъжденията в дефиницията на системи от уравнения.

Нека имаме някои от тях пред нас. Например, нека вземем две уравнения 2 x+y=−3 и x=5 . Пишем ги един под друг и ги обединяваме с къдрава скоба отляво:

Записи от този вид, които са няколко уравнения, подредени в колона и обединени отляво с къдрава скоба, са записи на системи от уравнения.

Какво означават подобни записи? Те определят множеството от всички такива решения на уравненията на системата, които са решение на всяко уравнение.

Не е зле да го опишем с други думи. Да предположим, че някои решения на първото уравнение са решения на всички останали уравнения на системата. И така записът на системата просто ги обозначава.

Сега сме готови да приемем адекватно дефиницията на система от уравнения.

Определение.

Системи уравнениязаписи на повиквания, които са уравнения, разположени едно под друго, обединени отляво с къдрава скоба, които обозначават множеството от всички решения на уравнения, които са едновременно решения на всяко уравнение на системата.

Подобна дефиниция е дадена и в учебника, но там тя е дадена не за общия случай, а за две рационални уравнения с две променливи.

Основни видове

Ясно е, че има безкрайно много различни уравнения. Естествено, има и безкрайно много системи от уравнения, съставени с тях. Следователно, за удобство при изучаване и работа със системи от уравнения, има смисъл да ги разделим на групи според подобни характеристики и след това да продължим да разглеждаме системи от уравнения от отделни типове.

Първото подразделение се предполага от броя на уравненията, включени в системата. Ако има две уравнения, тогава можем да кажем, че имаме система от две уравнения, ако има три, тогава система от три уравнения и т.н. Ясно е, че няма смисъл да говорим за система от едно уравнение, тъй като в този случай всъщност имаме работа със самото уравнение, а не със системата.

Следващото разделение се основава на броя на променливите, участващи в записването на уравненията на системата. Ако има една променлива, тогава имаме работа със система от уравнения с една променлива (казват и с едно неизвестно), ако има две, тогава със система от уравнения с две променливи (с две неизвестни) и т.н. Например, е система от уравнения с две променливи x и y.

Това се отнася до броя на всички различни променливи, включени в записа. Не е необходимо да бъдат включени наведнъж в записа на всяко уравнение, достатъчно е да ги има поне в едно уравнение. Например, е система от уравнения с три променливи x, y и z. В първото уравнение променливата x присъства изрично, докато y и z са неявни (можем да приемем, че тези променливи имат нула), а във второто уравнение присъстват x и z, а променливата y не е изрично представена. С други думи, първото уравнение може да се разглежда като , а вторият като x+0 y−3 z=0 .

Третата точка, по която системите от уравнения се различават, е формата на самите уравнения.

В училище изучаването на системи от уравнения започва с системи от две линейни уравненияс две променливи. Тоест такива системи представляват две линейни уравнения. Ето няколко примера: и . На тях се изучават основите на работа със системи уравнения.

При решаването на по-сложни задачи могат да се срещнат и системи от три линейни уравнения с три неизвестни.

По-нататък в 9-ти клас към системите от две уравнения с две променливи се добавят нелинейни уравнения, в по-голямата си част цели уравнения от втора степен, по-рядко от по-високи степени. Тези системи се наричат системи от нелинейни уравнения; ако е необходимо, се посочва броят на уравненията и неизвестните. Нека покажем примери за такива системи от нелинейни уравнения: и .

И тогава в системите също има, например,. Обикновено те се наричат просто системи от уравнения, без да се уточнява кои уравнения. Тук си струва да се отбележи, че най-често те просто казват „система от уравнения“ за система от уравнения и се добавят уточнения само ако е необходимо.

В гимназията, докато се изучава материалът, ирационалните, тригонометричните, логаритмичните и експоненциалните уравнения проникват в системите: , , .

Ако погледнете още по-далеч в програмата на първите курсове на университетите, тогава основният акцент е върху изучаването и решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE), тоест уравнения, в левите части на които са полиноми на първа степен, а в дясната - някакви числа. Но там, за разлика от училището, вече са взети не две линейни уравнения с две променливи, а произволен брой уравнения с произволен брой променливи, често не съвпадащи с броя на уравненията.

Какво е решението на система от уравнения?

Терминът „решение на система от уравнения“ директно се отнася до системи от уравнения. Училището дава определение за решаване на система от уравнения с две променливи :

Определение.

Решаване на система от уравнения с две променливиизвиква се двойка стойности на тези променливи, което превръща всяко уравнение на системата в правилно, с други думи, което е решението на всяко уравнение на системата.

Например, двойка променливи стойности x=5, y=2 (може да се запише като (5, 2)) е решение на система от уравнения по дефиниция, тъй като уравненията на системата, когато x= 5 , y=2 се заместват в тях, се превръщат в истински числови равенства 5+2=7 и 5−2=3 съответно. Но двойката стойности x=3, y=0 не е решение на тази система, тъй като когато тези стойности се заменят в уравненията, първата от тях ще се превърне в неправилно равенство 3+0=7.

Подобни определения могат да бъдат формулирани както за системи с една променлива, така и за системи с три, четири и т.н. променливи.

Определение.

Решаване на система от уравнения с една променливаще има променлива стойност, която е коренът на всички уравнения на системата, тоест, която превръща всички уравнения в истински числени равенства.

Да вземем пример. Да разгледаме система от уравнения с една променлива t от формата . Числото −2 е неговото решение, тъй като и двете (−2) 2 =4 и 5·(−2+2)=0 са истински числени равенства. И t=1 не е решение на системата, тъй като заместването на тази стойност ще даде две неправилни равенства 1 2 =4 и 5·(1+2)=0 .

Определение.

Решението на система с три, четири и т.н. променливинаречена тройка, четворка и т.н. стойности на променливите, съответно, което преобразува всички уравнения на системата в истински равенства.

И така, по дефиниция тройката от стойности на променливите x=1, y=2, z=0 е решението на системата , тъй като 2 1=2 , 5 2=10 и 1+2+0=3 са правилни числени равенства. И (1, 0, 5) не е решение на тази система, тъй като когато тези стойности на променливи се заменят в уравненията на системата, второто от тях се превръща в неправилно равенство 5 0=10 , а третото едно също е 1+0+5=3.

Имайте предвид, че системите от уравнения може да нямат решения, може да имат краен брой решения, например едно, две, ..., или може да имат безкрайно много решения. Ще видите това, като се задълбочите в темата.

Като вземем предвид дефинициите на система от уравнения и техните решения, можем да заключим, че решението на система от уравнения е пресечната точка на множествата от решения на всички нейни уравнения.

В заключение, ето няколко свързани определения:

Определение.

несъвместимиако няма решения, в противен случай системата се извиква става.

Определение.

Системата от уравнения се нарича несигуренако има безкрайно много решения и определени, ако има краен брой решения или няма нито едно.

Тези термини се въвеждат например в учебник, но рядко се използват в училище, по-често могат да бъдат чути във висшите учебни заведения.

Библиография.

Алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., Sr. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордкович А. Г.Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас. На 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции ( ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
А. Г. Курош. Курс по висша алгебра.
Илин В. А., Позняк Е. Г. Аналитична геометрия:Учебник: За ВУЗ. – 5-то изд. – М.: Наука. Физматлит, 1999. - 224 с. – (Курс по висша математика и математическа физика). – ISBN 5-02-015234 – X (Брой 3)

В този урок ще разгледаме методи за решаване на система от линейни уравнения. В хода на висшата математика се изисква да се решават системи от линейни уравнения както под формата на отделни задачи, например „Решете системата с помощта на формулите на Крамер“, така и в хода на решаването на други задачи. Човек трябва да се занимава със системи от линейни уравнения в почти всички клонове на висшата математика.

Първо, малко теория. Какво означава в този случай математическата дума "линеен"? Това означава, че в уравненията на системата всичкопроменливите са включени в първа степен: без изискани неща като и т.н., от които са във възторг само участниците в математически олимпиади.

Във висшата математика за обозначаване на променливи се използват не само букви, познати от детството.
Доста популярен вариант са променливите с индекси: .
Или началните букви на латинската азбука, малки и големи:
Не е толкова рядко да се намерят гръцки букви: - добре познатите на мнозина "алфа, бета, гама". А също и набор с индекси, да речем, с буквата "mu":

Използването на един или друг набор от букви зависи от клона на висшата математика, в който се сблъскваме със система от линейни уравнения. Така например в системи от линейни уравнения, които се срещат при решаването на интеграли, диференциални уравнениятрадиционно използвана нотация

Но без значение как са обозначени променливите, принципите, методите и методите за решаване на система от линейни уравнения не се променят от това. По този начин, ако попаднете на нещо ужасно, не бързайте да затваряте книгата със страх, в края на краищата, вместо това можете да нарисувате слънцето, вместо това - птица и вместо това - лице (на учител). И колкото и да е странно, система от линейни уравнения с тези означения също може да бъде решена.

Нещо имам такова предчувствие, че статията ще се окаже доста дълга, та малко съдържание. И така, последователният "дебрифинг" ще бъде както следва:

– Решаване на система от линейни уравнения по метода на заместването („училищен метод“);
– Решаване на системата чрез метода на почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата;
– Решение на системата по формулите на Крамер;
– Решение на системата чрез обратната матрица;
– Решение на системата по метода на Гаус.

Всеки е запознат със системи от линейни уравнения от училищния курс по математика. Всъщност започваме с повторение.

Решаване на система от линейни уравнения по метода на заместването

Този методможе да се нарече още "училищен метод" или метод за елиминиране на неизвестни. Образно казано може да се нарече и „полузавършен метод на Гаус“.

Пример 1

Тук имаме система от две уравнения с две неизвестни. Обърнете внимание, че свободните членове (номера 5 и 7) са разположени от лявата страна на уравнението. Най-общо казано, няма значение къде са, отляво или отдясно, просто в задачите от висшата математика те често са разположени така. И такъв запис не трябва да бъде объркващ, ако е необходимо, системата винаги може да бъде написана "както обикновено":. Не забравяйте, че когато прехвърляте термин от част на част, трябва да промените знака му.

Какво означава да се реши система от линейни уравнения? Решаването на система от уравнения означава намиране на множеството от нейните решения. Решението на системата е набор от стойности на всички променливи, включени в нея, което превръща ВСЯКО уравнение на системата в истинско равенство. Освен това системата може да бъде несъвместими (нямам решения).Не се срамувайте, това е общо определение =) Ще имаме само една стойност на "x" и една стойност на "y", които удовлетворяват всяко уравнение с-ние.

Има графичен метод за решаване на системата, който можете да намерите в урока. Най-простите задачи с права линия. Там говорих за геометричен смисълсистеми от две линейни уравнения с две неизвестни. Но сега в двора е ерата на алгебрата и числата-числа, действия-действия.

Ние решаваме: от първото уравнение изразяваме:
Заместваме получения израз във второто уравнение:

Отваряме скобите, даваме подобни условия и намираме стойността:

След това си спомняме от какво танцуваха:
Вече знаем стойността, остава да намерим:

Отговор:

След като ВСЯКАКВА система от уравнения е решена по КАКЪВТО и да е начин, горещо препоръчвам проверка (устно, на чернова или калкулатор). За щастие това става бързо и лесно.

1) Заместете намерения отговор в първото уравнение:

- получава се правилното равенство.

2) Заместваме намерения отговор във второто уравнение:

- получава се правилното равенство.

Или по-просто казано „всичко се нареди“

Разглежданият метод на решение не е единственият, от първото уравнение беше възможно да се изрази , но не и .
Можете и обратното - да изразите нещо от второто уравнение и да го замените в първото уравнение. Между другото, имайте предвид, че най-неблагоприятният от четирите начина е да се изрази от второто уравнение:

Получават се дроби, но защо е така? Има по-рационално решение.

В някои случаи обаче дробите все още са незаменими. В тази връзка обръщам внимание КАК съм написал израза. Не така: и в никакъв случай не така: .

Ако във висшата математика имате работа с дробни числа, опитайте се да извършите всички изчисления в обикновени неправилни дроби.

Точно не или!

Запетаята може да се използва само от време на време, особено ако - това е окончателният отговор на някакъв проблем и не е необходимо да се извършват допълнителни действия с това число.

Много читатели вероятно са си помислили „защо толкова подробно обяснение, като за корекционен клас, и всичко е ясно“. Нищо подобно, изглежда толкова прост училищен пример, но колко МНОГО важни заключения! Ето още един:

Всяка задача трябва да се стреми да бъде изпълнена по най-рационалния начин.. Макар и само защото спестява време и нерви, а също така намалява вероятността от грешка.

Ако в задача по висша математика попаднете на система от две линейни уравнения с две неизвестни, тогава винаги можете да използвате метода на заместване (освен ако не е посочено, че системата трябва да се реши по друг метод)“.
Освен това в някои случаи методът на заместване е препоръчително да се използва с по-голям брой променливи.

Пример 2

Решете система от линейни уравнения с три неизвестни

Подобна система от уравнения често възниква, когато се използва така нареченият метод на неопределените коефициенти, когато намираме интеграла на рационална дробна функция. Въпросната система е взета от мен от там.

При намиране на интеграла – целта бързнамерете стойностите на коефициентите и не бъдете сложни с формулите на Крамер, методът обратна матрицаи т.н. Следователно в този случай методът на заместване е подходящ.

Когато е дадена някаква система от уравнения, първо е желателно да разберете, но възможно ли е да я опростите ВЕДНАГА? Анализирайки уравненията на системата, забелязваме, че второто уравнение на системата може да бъде разделено на 2, което правим:

Справка:математически символ означава "от това следва това", той често се използва в хода на решаването на проблеми.

Сега анализираме уравненията, трябва да изразим някаква променлива чрез останалите. Кое уравнение да избера? Вероятно вече се досещате, че най-лесният начин за целта е да вземете първото уравнение на системата:

Тук няма значение коя променлива да се изрази, може също така да се изрази или .

След това заместваме израза за във второто и третото уравнения на системата:

Отворете скобите и добавете подобни термини:

Разделяме третото уравнение на 2:

От второто уравнение изразяваме и заместваме в третото уравнение:

Почти всичко е готово, от третото уравнение намираме:
От второто уравнение:
От първото уравнение:

Проверка: Заместете намерените стойности на променливите в лявата страна на всяко уравнение на системата:

1)
2)
3)

Получават се съответните десни части на уравненията, така че решението е намерено правилно.

Пример 3

Решете система от линейни уравнения с 4 неизвестни

Това е пример за самостоятелно решаване (отговор в края на урока).

Решение на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата

В процеса на решаване на системи от линейни уравнения трябва да се опитаме да използваме не „училищния метод“, а метода на добавяне (изваждане) на член по член на уравненията на системата. Защо? Това спестява време и опростява изчисленията, но сега ще стане по-ясно.

Пример 4

Решете системата от линейни уравнения:

Взех същата система като първия пример.
Анализирайки системата от уравнения, забелязваме, че коефициентите на променливата са еднакви по абсолютна стойност и противоположни по знак (–1 и 1). В тази ситуация уравненията могат да се добавят член по член:

Действията, оградени в червено, се извършват УМСТВЕНО.
Както можете да видите, в резултат на почленно събиране загубихме променливата. Това всъщност е същността на метода е да се отървете от една от променливите.

Решете систематас две неизвестни - това означава намиране на всички двойки стойности на променливи, които отговарят на всяко от дадените уравнения. Всяка такава двойка се нарича системно решение.

Пример:
Двойката стойности $x=3$;$y=-1$ е решение на първата система, защото чрез заместване на тези тройки и минус единици в системата вместо $x$ и \ (y\), двете уравнения стават валидни равенства $\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) $

Но $x=1$; $y=-2$ - не е решение на първата система, защото след заместване второто уравнение "не се сближава" $\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)$

Имайте предвид, че такива двойки често се пишат по-кратко: вместо "$x=3$; $y=-1$" те пишат така: $(3;-1)$.

Как се решава система от линейни уравнения?

Има три основни начина за решаване на системи от линейни уравнения:

Метод на заместване.

$\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)$$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

Заместете получения израз вместо тази променлива в друго уравнение на системата.

$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

$\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)$

Във второто уравнение всеки член е четен, така че опростяваме уравнението, като го разделим на $2$.

$\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)$

Тази система може да бъде решена по всеки от начините, но ми се струва, че методът на заместване е най-удобен тук. Нека изразим y от второто уравнение.

$\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)$

Заместете $6x-13$ с $y$ в първото уравнение.

$\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)$

Първото уравнение е станало нормално. Ние го решаваме.

Нека първо отворим скобите.

$\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)$

Нека преместим $117$ надясно и да дадем подобни термини.

$\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)$

Разделете двете страни на първото уравнение на $67$.

$\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)$

Ура, намерихме $x$! Заместете стойността му във второто уравнение и намерете $y$.

$\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)$$\Leftrightarrow$$\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )$

Нека запишем отговора.

С това видео започвам поредица от уроци за системи от уравнения. Днес ще говорим за решаване на системи от линейни уравнения метод на добавяне- е един от най прости начинино и един от най-ефективните.

Методът на добавяне се състои от три прости стъпки:

Погледнете системата и изберете променлива, която има еднакви (или противоположни) коефициенти във всяко уравнение;
Извършване на алгебрично изваждане (за противоположни числа - събиране) на уравнения едно от друго и след това привеждане на подобни членове;
Решете новото уравнение, получено след втората стъпка.

Ако всичко е направено правилно, тогава на изхода ще получим едно уравнение с една променлива- Няма да е трудно да се реши. След това остава само да замените намерения корен в оригиналната система и да получите окончателния отговор.

На практика обаче не е толкова просто. Има няколко причини за това:

Решаването на уравнения чрез събиране предполага, че всички редове трябва да съдържат променливи с еднакви/противоположни коефициенти. Ами ако това изискване не е изпълнено?
Не винаги, след добавяне / изваждане на уравнения по този начин, ще получим красива конструкция, която лесно се решава. Възможно ли е по някакъв начин да се опростят изчисленията и да се ускорят изчисленията?

За да получите отговор на тези въпроси и в същото време да се справите с няколко допълнителни тънкости, по които много ученици „падат“, вижте моя видео урок:

С този урок започваме поредица от лекции за системи от уравнения. И ще започнем с най-простите от тях, а именно тези, които съдържат две уравнения и две променливи. Всеки от тях ще бъде линеен.

Системи е материал за 7. клас, но този урок ще бъде полезен и за гимназисти, които искат да опреснят знанията си по тази тема.

Като цяло има два метода за решаване на такива системи:

Метод на добавяне;
Метод за изразяване на една променлива чрез друга.

Днес ще се занимаваме с първия метод - ще използваме метода на изваждане и събиране. Но за това трябва да разберете следния факт: след като имате две или повече уравнения, можете да вземете произволни две от тях и да ги съберете заедно. Те се добавят термин по термин, т.е. Към „Х“ се добавят „Х“ и се дават подобни;

Резултатите от подобни машинации ще бъдат ново уравнение, което, ако има корени, те със сигурност ще бъдат сред корените на първоначалното уравнение. Така че нашата задача е да извършим изваждането или събирането по такъв начин, че $x$ или $y$ да изчезнат.

Как да постигнете това и какъв инструмент да използвате за това - ще говорим за това сега.

Решаване на лесни задачи чрез метода на добавяне

И така, ние се учим да прилагаме метода на добавяне, използвайки примера на два прости израза.

Задача №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Обърнете внимание, че $y$ има коефициент $-4$ в първото уравнение и $+4$ във второто. Те са взаимно противоположни, така че е логично да се предположи, че ако ги съберем, тогава в полученото количество „игрите“ ще се унищожат взаимно. Добавяме и получаваме:

Решаваме най-простата конструкция:

Страхотно, намерихме X. Какво да правя с него сега? Можем да го заместим във всяко от уравненията. Нека го поставим в първия:

\[-4y=12\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

Отговор: $\left(2;-3\right)$.

Задача №2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Тук ситуацията е напълно подобна, само че с Xs. Нека ги съберем заедно:

Получихме най-простото линейно уравнение, нека го решим:

Сега нека намерим $x$:

Отговор: $\left(-3;3\right)$.

Важни моменти

И така, току-що решихме две прости системи от линейни уравнения, използвайки метода на събиране. Още веднъж ключови моменти:

Ако има противоположни коефициенти за една от променливите, тогава е необходимо да се съберат всички променливи в уравнението. В този случай един от тях ще бъде унищожен.
Заместваме намерената променлива във всяко от уравненията на системата, за да намерим второто.
Крайният запис на отговора може да бъде представен по различни начини. Например така - $x=...,y=...$, или под формата на координати на точки - $\left(...;... \right)$. Вторият вариант е за предпочитане. Основното нещо, което трябва да запомните е, че първата координата е $x$, а втората е $y$.
Правилото за записване на отговора под формата на координати на точки не винаги е приложимо. Например, не може да се използва, когато ролята на променливите не е $x$ и $y$, а например $a$ и $b$.

В следващите задачи ще разгледаме техниката на изваждане, когато коефициентите не са противоположни.

Решаване на лесни задачи чрез метода на изваждане

Задача №1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Имайте предвид, че тук няма противоположни коефициенти, но има еднакви. Следователно изваждаме второто уравнение от първото уравнение:

Сега заместваме стойността на $x$ във всяко от уравненията на системата. Хайде първо:

Отговор: $\left(2;5\right)$.

Задача №2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Отново виждаме същия коефициент $5$ за $x$ в първото и второто уравнения. Следователно е логично да се предположи, че трябва да извадите второто от първото уравнение:

Изчислихме една променлива. Сега нека намерим втората, например, като заместим стойността на $y$ във втората конструкция:

Отговор: $\left(-3;-2 \right)$.

Нюанси на решението

И така, какво виждаме? По същество схемата не се различава от решението на предишните системи. Единствената разлика е, че не събираме уравнения, а ги изваждаме. Правим алгебрично изваждане.

С други думи, веднага щом видите система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, първото нещо, което трябва да погледнете, са коефициентите. Ако някъде са еднакви, уравненията се изваждат, а ако са противоположни, се прилага методът на събиране. Това винаги се прави така, че една от тях да изчезне и в крайното уравнение, което остава след изваждане, ще остане само една променлива.

Разбира се, това не е всичко. Сега ще разгледаме системи, в които уравненията обикновено са противоречиви. Тези. в тях няма такива променливи, които биха били еднакви или противоположни. В този случай за решаване на такива системи се използва допълнителна техника, а именно умножаването на всяко от уравненията със специален коефициент. Как да го намерим и как да решим такива системи като цяло, сега ще говорим за това.

Решаване на задачи чрез умножение с коефициент

Пример #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Виждаме, че нито за $x$, нито за $y$ коефициентите не само са взаимно противоположни, но като цяло не корелират по никакъв начин с друго уравнение. Тези коефициенти няма да изчезнат по никакъв начин, дори ако добавяме или изваждаме уравненията едно от друго. Следователно е необходимо да се приложи умножение. Нека се опитаме да се отървем от променливата $y$. За да направим това, умножаваме първото уравнение по коефициента на $y$ от второто уравнение и второто уравнение по коефициента на $y$ от първото уравнение, без да променяме знака. Умножаваме и получаваме нова система:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Нека да го разгледаме: за $y$, противоположни коефициенти. В такава ситуация е необходимо да се приложи методът на добавяне. Нека добавим:

Сега трябва да намерим $y$. За да направите това, заменете $x$ в първия израз:

\[-9y=18\наляво| :\left(-9 \right) \right.\]

Отговор: $\left(4;-2\right)$.

Пример #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Отново, коефициентите за нито една от променливите не са последователни. Нека умножим по коефициентите при $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Нашата нова система е еквивалентна на предишната, но коефициентите на $y$ са взаимно противоположни и затова е лесно да се приложи методът на добавяне тук:

Сега намерете $y$, като заместите $x$ в първото уравнение:

Отговор: $\left(-2;1\right)$.

Нюанси на решението

Основното правило тук е следното: винаги умножавайте само с положителни числа - това ще ви спести от глупави и обидни грешки, свързани със смяната на знаци. Като цяло схемата на решение е доста проста:

Ние разглеждаме системата и анализираме всяко уравнение.
Ако видим, че нито за $y$, нито за $x$ коефициентите са последователни, т.е. те не са нито равни, нито противоположни, тогава правим следното: избираме променливата, от която да се отървем, и след това разглеждаме коефициентите в тези уравнения. Ако умножим първото уравнение по коефициента от второто и умножим второто съответстващо по коефициента от първото, тогава в крайна сметка ще получим система, която е напълно еквивалентна на предишната и коефициентите при $y $ ще бъде последователен. Всички наши действия или трансформации са насочени само към получаване на една променлива в едно уравнение.
Намираме една променлива.
Заместваме намерената променлива в едно от двете уравнения на системата и намираме второто.
Записваме отговора под формата на координати на точки, ако имаме променливи $x$ и $y$.

Но дори такъв прост алгоритъм има своите тънкости, например коефициентите на $x$ или $y$ могат да бъдат дроби и други "грозни" числа. Сега ще разгледаме тези случаи поотделно, защото в тях можете да действате малко по-различно от стандартния алгоритъм.

Решаване на задачи с дробни числа

Пример #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Първо, имайте предвид, че второто уравнение съдържа дроби. Но имайте предвид, че можете да разделите $4$ на $0,8$. Получаваме $5$. Нека умножим второто уравнение по $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Изваждаме уравненията едно от друго:

$n$ намерихме, сега изчисляваме $m$:

Отговор: $n=-4;m=5$

Пример #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ точно.\]

Тук, както и в предишната система, има дробни коефициенти, но за нито една от променливите коефициентите не се вписват един в друг с цяло число пъти. Затова използваме стандартния алгоритъм. Отърви се от $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Нека използваме метода на изваждане:

Нека намерим $p$, като заместим $k$ във втората конструкция:

Отговор: $p=-4;k=-2$.

Нюанси на решението

Това е цялата оптимизация. В първото уравнение не умножихме по нищо, а второто уравнение беше умножено по $5$. В резултат на това получихме последователно и дори същото уравнение за първата променлива. Във втората система действахме по стандартния алгоритъм.

Но как да намерите числата, по които трябва да умножите уравненията? В крайна сметка, ако умножим по дробни числа, получаваме нови дроби. Следователно дробите трябва да се умножат по число, което би дало ново цяло число, а след това променливите трябва да се умножат по коефициенти, следвайки стандартния алгоритъм.

В заключение бих искал да обърна внимание на формата на записа за отговор. Както вече казах, тъй като тук нямаме $x$ и $y$, а други стойности, използваме нестандартна нотация на формата:

Решаване на сложни системи от уравнения

Като последен щрих към днешния видео урок, нека разгледаме няколко наистина сложни системи. Тяхната сложност ще се състои в това, че те ще съдържат променливи както отляво, така и отдясно. Следователно, за да ги решим, ще трябва да приложим предварителна обработка.

Система #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Всяко уравнение носи определена сложност. Следователно, с всеки израз, нека направим както с нормална линейна конструкция.

Като цяло получаваме крайната система, която е еквивалентна на оригиналната:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Нека да разгледаме коефициентите на $y$: $3$ се вписва в $6$ два пъти, така че умножаваме първото уравнение по $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Коефициентите на $y$ вече са равни, така че изваждаме второто от първото уравнение: $$

Сега нека намерим $y$:

Отговор: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Система #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Нека трансформираме първия израз:

Нека се заемем с второто:

\[-3\вляво(b-2a \вдясно)-12=2\вляво(a-5 \вдясно)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Като цяло нашата първоначална система ще приеме следната форма:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Разглеждайки коефициентите на $a$, виждаме, че първото уравнение трябва да се умножи по $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Изваждаме втората от първата конструкция:

Сега намерете $a$:

Отговор: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Това е всичко. Надявам се този видео урок да ви помогне да разберете тази трудна тема, а именно решаването на системи от прости линейни уравнения. По-нататък ще има много повече уроци по тази тема: ще анализираме по-сложни примери, където ще има повече променливи, а самите уравнения вече ще бъдат нелинейни. Ще се видим скоро!

Решение на линейни системи алгебрични уравнения(SLAE) несъмнено е най-важната тема в курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за създаването на тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
изучаване на теорията на избрания метод,
решите вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробно решенията на типични примери и задачи.

Кратко описание на материала на статията.

Първо даваме всички необходими дефиниции, концепции и въвеждаме някои обозначения.

След това разглеждаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, нека се съсредоточим върху метода на Крамер, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (методът на последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това се обръщаме към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е изродена. Ние формулираме теоремата на Kronecker-Capelli, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (в случай на тяхната съвместимост), използвайки концепцията за базисния минор на матрицата. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Не забравяйте да се спрете на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как да пишем общо решение SLAE с помощта на вектори на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране нека разгледаме няколко примера.

В заключение разглеждаме системи от уравнения, които се свеждат до линейни, както и различни задачи, при чието решаване възникват SLAE.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да е равно на n) от вида

Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни членове (също реални или комплексни числа).

Тази форма на SLAE се нарича координирам.

AT матрична форматази система от уравнения има формата,
където - основната матрица на системата, - колоната на матрицата на неизвестните променливи, - колоната на матрицата на свободните членове.

Ако към матрицата А добавим като (n + 1)-та колона матрицата-стълб от свободни членове, то получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни членове е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Чрез решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадените стойности на неизвестните променливи също се превръща в идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича става.

Ако системата от уравнения няма решения, тогава тя се нарича несъвместими.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени; ако има повече от едно решение, тогава - несигурен.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенен, в противен случай - разнородни.

Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на системните уравнения е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната му матрица не е равна на нула, тогава ще наречем такива SLAE елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение и в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такива SLAE в гимназия. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на добавяне, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме подробно на тези методи, тъй като по същество те са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги подредим.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Нека трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и са детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно към колоната безплатни членове:

С такава нотация неизвестните променливи се изчисляват по формулите на метода на Cramer като . Така се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Пример.

Метод на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Изчислете неговия детерминант (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамер.

Съставете и изчислете необходимите детерминанти (детерминантата се получава чрез заместване на първата колона в матрица А с колона от свободни членове, детерминантата - чрез заместване на втората колона с колона от свободни членове, - чрез заместване на третата колона на матрица А с колона от свободни членове ):

Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули :

Отговор:

Основният недостатък на метода на Крамър (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляване на детерминантите, когато броят на системните уравнения е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричен метод (с помощта на обратната матрица).

Нека системата от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n на n и нейният детерминант е различен от нула.

Тъй като , тогава матрицата A е обратима, т.е. има обратна матрица . Ако умножим двете части на равенството по отляво, тогава получаваме формула за намиране на матрицата на колоната на неизвестни променливи. Така че получихме решението на системата от линейни алгебрични уравнения по матричния метод.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в матрична форма:

защото

тогава SLAE може да се реши по матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като .

Нека изградим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични допълнения на елементите на матрица A (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли - матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица в колоната на матрицата на безплатните членове (ако е необходимо, вижте статията):

Отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения чрез матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък, по-висок от третия.

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо x 1 се изключва от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това x 2 се изключи от всички уравнения, като се започне от третото и така нататък, докато само неизвестната променлива x n остава в последното уравнение. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на напредването на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, x n-1 се изчислява от предпоследното уравнение, използвайки тази стойност, и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Изключваме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, добавете първото умножено по към n-то уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и заместим получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто, умножено по, към третото уравнение на системата, добавете второто, умножено по, към четвъртото уравнение и така нататък, добавете второто, умножено по, към n-тото уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното x 3, като действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете части на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени съответно по и по:

Сега елиминираме x 2 от третото уравнение, като добавим към лявото му и десни частилявата и дясната страна на второто уравнение, умножено по:

С това предният ход на метода на Гаус е завършен, започваме обратния ход.

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме останалата неизвестна променлива и това завършва обратния ход на метода на Гаус.

Отговор:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

AT общ случайброят на системните уравнения p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и изродена.

Теорема на Кронекер-Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога е несъвместим, дава Теорема на Кронекер–Капели:
за система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), за да бъде последователна, е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да е равен на ранга на разширената матрица, т.е. Rank( A)=Ранг(T) .

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения има решения.

Решение.

. Нека използваме метода на граничещи непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека да разгледаме непълнолетните от трети ред около него:

Тъй като всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е две.

От своя страна, рангът на увеличената матрица е равно на три, тъй като минорът от трети ред

различен от нула.

По този начин, Следователно Rang(A) , съгласно теоремата на Кронекер-Капели, можем да заключим, че оригиналната система от линейни уравнения е непоследователна.

Отговор:

Няма система за решение.

И така, ние се научихме да установяваме непоследователността на системата, използвайки теоремата на Кронекер-Капели.

Но как да намерим решението на SLAE, ако неговата съвместимост е установена?

За да направим това, имаме нужда от концепцията за базисния минор на матрица и теоремата за ранга на матрица.

Извиква се минор от най-висок порядък на матрицата A, различен от нула основен.

От дефиницията на базисния минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко базисни минора; винаги има един основен минор.

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранга на матрицата.

Ако рангът на матрица от ред p по n е r, тогава всички елементи на редовете (и колоните) на матрицата, които не образуват избрания основен минор, се изразяват линейно чрез съответните елементи на редовете (и колоните) ), които формират основния минор.

Какво ни дава теоремата за ранга на матрицата?

Ако чрез теоремата на Кронекер-Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме всеки основен минор от главната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не образуват избрания основен минор. Полученият по този начин SLAE ще бъде еквивалентен на оригиналния, тъй като отхвърлените уравнения все още са излишни (според теоремата за матричния ранг те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това, след отхвърляне на излишните уравнения на системата, са възможни два случая.

Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава тя ще бъде определена и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Пример.

Решение.

Ранг на основната матрица на системата е равно на две, тъй като минорът от втори ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от третия ред е равен на нула

и минорът от втория ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Kronecker-Capelli може да се твърди съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.

Като основен минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнения:

Третото уравнение на системата не участва във формирането на основния минор, така че го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата:

Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим по метода на Крамър:

Отговор:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ако броят на уравненията r в резултантния SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава оставяме членовете, които формират основния минор в левите части на уравненията, и прехвърляме останалите членове в десните части на уравненията на системата с обратен знак.

Неизвестните променливи (има r от тях), останали в лявата страна на уравненията, се наричат основен.

Извикват се неизвестни променливи (има n - r от тях), които са се оказали от дясната страна Безплатно.

Сега приемаме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободните неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Да вземем пример.

Пример.

Решаване на система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Намерете ранга на основната матрица на системата по метода на граничещите непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред около този минор:

Така че намерихме ненулев минор от втори порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничен минор от трети ред:

По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е равен на три, т.е. системата е последователна.

Намереният ненулев минор от трети ред ще бъде взет като основен.

За по-голяма яснота показваме елементите, които формират основния минор:

Членовете, участващи в основния минор, оставяме от лявата страна на уравненията на системата, а останалите с противоположни знаци прехвърляме в десните страни:

Даваме безплатни неизвестни променливи x 2 и x 5 произволни стойности, тоест вземаме , където са произволни числа. В този случай SLAE приема формата

Решаваме получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер:

Следователно,.

В отговора не забравяйте да посочите безплатни неизвестни променливи.

Отговор:

Къде са произволните числа.

Обобщете.

За да решим система от линейни алгебрични уравнения от общ вид, първо намираме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер-Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е непоследователна.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме основния минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания основен минор.

Ако редът на базисния минор е равен на броя на неизвестните променливи, тогава SLAE има уникално решение, което може да бъде намерено по всеки познат ни метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава оставяме членовете с основните неизвестни променливи от лявата страна на уравненията на системата, прехвърляме останалите членове в десните страни и присвояваме произволни стойности към свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

С помощта на метода на Гаус могат да се решават системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид без тяхното предварително изследване за съвместимост. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъответствието на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От гледна точка на изчислителната работа методът на Гаус е за предпочитане.

Внимавай Подробно описаниеи анализирани примери в статията Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Записване на общото решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на векторите на основната система от решения.

В този раздел ще се съсредоточим върху съвместни хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения, които имат безкраен брой решения.

Нека първо да разгледаме хомогенните системи.

Фундаментална система за вземане на решенияХомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е набор от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е редът на базисния минор на основната матрица на системата.

Ако обозначим линейно независими решения на хомогенен SLAE като X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са колони на матрици с размерност n чрез 1 ) , тогава общото решение на тази хомогенна система се представя като линейна комбинация от вектори на фундаменталната система от решения с произволни постоянни коефициенти С 1 , С 2 , …, С (n-r), т.е.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (орослау)?

Значението е просто: формулата уточнява всички възможни решения на оригиналния SLAE, с други думи, вземайки произволен набор от стойности на произволни константи C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , съгласно формулата, която ние ще получи едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да зададем всички решения на тази хомогенна SLAE като .

Нека покажем процеса на конструиране на фундаментална система от решения за хомогенна SLAE.

Избираме основния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме към дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0,…,0 и да изчислим основните неизвестни чрез решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например по метода на Крамер. Така ще се получи X (1) – първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойностите 0,1,0,0,…,0 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (2) . И така нататък. Ако дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 0,0,…,0,1 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (n-r) . Така ще бъде построена фундаменталната система от решения на хомогенната СЛАУ и нейното общо решение може да се запише във вида .

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение се представя като

Нека да разгледаме примерите.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенните системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на главната матрица по метода на периферните второстепенни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Намерете граничния ненулев минор от втори ред:

Намира се минор от втори порядък, различен от нула. Нека да преминем през минори от трети ред, граничещи с него, в търсене на различен от нула:

Всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е две. Нека вземем основния минор. За по-голяма яснота отбелязваме елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналния SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни от дясната страна на уравненията, и прехвърляме членовете със свободни неизвестни в дясната страна:

Нека изградим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Фундаменталната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи, а редът на основния минор е два. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.