Ayon sa aklat-aralin ni Sovetov at Yakovlev: "ang isang modelo (lat. modulus - sukat) ay isang object-substitute ng orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay gamit ang modelong bagay ay tinatawag na pagmomodelo." (p. 6) “Sa ilalim ng mathematical modelling mauunawaan natin ang proseso ng pagtatatag ng mga sulat sa isang naibigay na tunay na object ng ilang mathematical object, na tinatawag na mathematical model, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa pagkuha ng mga katangian ng tunay na object na isinasaalang-alang. . Ang uri ng modelo ng matematika ay nakasalalay sa parehong likas na katangian ng tunay na bagay at ang mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng paglutas ng problemang ito.

Panghuli, ang pinaka-maigsi na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya."

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng mga kasangkapang pangmatematika na ginamit. Madalas na binuo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, ang isa sa mga sikat na hanay ng mga dichotomies ay:

at iba pa. Ang bawat itinayong modelo ay linear o non-linear, deterministic o stochastic, ... Natural, ang mga halo-halong uri ay posible rin: puro sa isang paggalang (sa mga tuntunin ng mga parameter), ipinamahagi na mga modelo sa isa pa, atbp.

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay naiiba sa paraan ng kanilang kinakatawan sa bagay:

• Mga istruktura o functional na modelo

Ang mga istrukturang modelo ay kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling aparato at mekanismo ng paggana. Ang mga functional na modelo ay hindi gumagamit ng gayong mga representasyon at sumasalamin lamang sa panlabas na nakikitang pag-uugali (paggana) ng bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, tinatawag din silang mga modelong "black box." Posible rin ang mga pinagsamang uri ng mga modelo, na kung minsan ay tinatawag na mga modelong "grey box."

Nilalaman at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomolde ng matematika ay nagpapahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong konstruksyon ay itinayo, modelo ng nilalaman. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang perpektong bagay na ito modelong konseptwal , speculative na modelo o premodel. Sa kasong ito, ang pangwakas na konstruksyon ng matematika ay tinatawag pormal na modelo o isang mathematical model lang na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng content model na ito (pre-model). Ang pagtatayo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring isagawa gamit ang isang hanay ng mga handa na mga ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga perpektong bukal, solid na katawan, mga ideal na pendulum, elastic media, atbp. ay nagbibigay ng mga yari na elementong istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya (ang cutting edge ng physics, biology, economics, sociology, psychology, at karamihan sa iba pang mga lugar), ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay higit na kumplikado.

Makabuluhang pag-uuri ng mga modelo

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong inilagay ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may kakayahang pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng isang matagumpay na hypothesis, kalkulahin kung saan ito humahantong, at makita na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lamang ito na nabigo kang pabulaanan ito.

Kung ang isang modelo ng unang uri ay binuo, nangangahulugan ito na ito ay pansamantalang kinikilala bilang totoo at ang isa ay maaaring tumutok sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging isang punto sa pananaliksik, ngunit isang pansamantalang paghinto lamang: ang katayuan ng modelo ng unang uri ay maaari lamang maging pansamantala.

Uri 2: Phenomenological na modelo (kumilos na parang…)

Ang phenomenological model ay naglalaman ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng phenomenon. Gayunpaman, ang mekanismong ito ay hindi sapat na nakakumbinsi, hindi sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi sumasang-ayon nang maayos sa magagamit na mga teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. Samakatuwid, ang mga phenomenological na modelo ay may katayuan ng mga pansamantalang solusyon. Ito ay pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ito ay kinakailangan upang ipagpatuloy ang paghahanap para sa "true mechanisms". Ang Peierls ay tumutukoy, halimbawa, ang caloric na modelo at ang quark na modelo ng elementarya na mga particle sa pangalawang uri.

Ang papel ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagpapatunay ng mga phenomenological na modelo at sila ay na-promote sa katayuan ng isang hypothesis. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo-hypotheses ng unang uri, at maaari silang ilipat sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting lumilipat sa kategorya ng mga hypotheses; Ang atomismo sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa takbo ng kasaysayan ay pumasa ito sa unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay napunta mula sa uri 1 hanggang sa uri 2, at ngayon ay wala na sila sa agham.

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit iba ang pagpapasimple. Tinutukoy ni Peierls ang tatlong uri ng pagpapasimple sa pagmomodelo.

Uri 3: Pagtataya (ang isang bagay ay itinuturing na napakalaki o napakaliit)

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa sistemang pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na maaari silang malutas kahit na sa tulong ng isang computer. Ang isang karaniwang pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga approximation (mga modelo ng uri 3). Sa kanila mga linear na modelo ng pagtugon. Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang karaniwang halimbawa ay ang batas ng Ohm.

At narito ang uri 8, na malawakang ginagamit sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng posibilidad (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Ito rin ay mga eksperimento sa pag-iisip na may mga haka-haka na nilalang, na nagpapakita nito dapat na phenomenon pare-pareho sa mga pangunahing prinsipyo at panloob na pare-pareho. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng uri 7, na nagpapakita ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa pinakatanyag sa mga eksperimentong ito ay ang geometry ni Lobachevsky (tinawag ito ni Lobachevsky na "imaginary geometry"). Ang isa pang halimbawa ay ang mass production ng mga pormal na kinetic na modelo ng kemikal at biological oscillations, autowaves, atbp. Ang Einstein-Podolsky-Rosen na kabalintunaan ay naisip bilang isang type 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho ng quantum mechanics. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa kalaunan ay naging isang type 8 na modelo - isang pagpapakita ng posibilidad ng quantum teleportation ng impormasyon.

Halimbawa

Isipin mo mekanikal na sistema, na binubuo ng isang spring na naayos sa isang dulo, at isang load ng mass m nakakabit sa libreng dulo ng tagsibol. Ipagpalagay namin na ang pag-load ay maaaring ilipat lamang sa direksyon ng spring axis (halimbawa, ang paggalaw ay nangyayari sa kahabaan ng baras). Bumuo tayo ng mathematical model ng system na ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya x mula sa gitna ng load hanggang sa ekwilibriyong posisyon nito. Ilarawan natin ang interaksyon ng isang spring at isang load gamit Batas ni Hooke (F = − kx ) pagkatapos nito ay ginagamit namin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang differential equation:

kung saan ang ibig sabihin ay ang pangalawang derivative ng x sa oras: .

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang pattern na ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagbuo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay (tungkol sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, kawalan ng alitan, ang liit ng mga paglihis, atbp.), Na sa katotohanan ay maaaring hindi matupad.

Kaugnay ng katotohanan, ito ay kadalasang isang uri ng 4 na modelo. pagpapasimple(“inaalis namin ang ilang detalye para sa kalinawan”), dahil ang ilang mahahalagang unibersal na feature (halimbawa, dissipation) ay inalis. Sa ilang pagtatantya (sabihin, hangga't ang paglihis ng load mula sa ekwilibriyo ay maliit, na may kaunting alitan, sa loob ng hindi masyadong mahabang panahon at napapailalim sa ilang iba pang mga kundisyon), ang gayong modelo ay naglalarawan ng isang tunay na sistemang mekanikal, dahil ang Ang mga itinapon na salik ay may maliit na epekto sa pag-uugali nito. Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo, na may mas malawak (bagaman muli ay limitado) na saklaw.

Gayunpaman, kapag ang modelo ay pino, ang pagiging kumplikado ng pag-aaral sa matematika nito ay maaaring tumaas nang malaki at gawing halos walang silbi ang modelo. Madalas pa simpleng modelo nagbibigay-daan sa iyo upang mas mahusay at mas malalim na galugarin ang tunay na sistema kaysa sa isang mas kumplikado (at, pormal na, "mas tama") isa.

Kung ilalapat natin ang modelo harmonic oscillator sa mga bagay na malayo sa physics, maaaring iba ang substantive status nito. Halimbawa, kapag inilalapat ang modelong ito sa mga biyolohikal na populasyon, malamang na maiugnay ito sa uri 6 pagkakatulad("Isaalang-alang lamang natin ang ilang mga tampok").

Matigas at malambot na mga modelo

Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng tinatawag na "hard" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na idealization ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng pagiging angkop nito, kailangang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga salik na napabayaan natin. Sa madaling salita, ito ay kinakailangan upang siyasatin ang "malambot" na modelo, na kung saan ay nakuha sa pamamagitan ng isang maliit na perturbation ng "mahirap" isa. Maaari itong ibigay, halimbawa, sa pamamagitan ng sumusunod na equation:

Dito - ilang pag-andar, na maaaring isaalang-alang ang puwersa ng alitan o ang pagtitiwala ng koepisyent ng higpit ng tagsibol sa antas ng pag-uunat nito - ilang maliit na parameter. Ang tahasang anyo ng isang function f hindi kami interesado sa ngayon. Kung patunayan natin na ang pag-uugali ng isang malambot na modelo ay hindi pangunahing naiiba sa pag-uugali ng isang matigas na modelo (anuman ang tahasang anyo ng mga nakababagabag na salik, kung sila ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahirap na modelo. Kung hindi, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa equation ng isang harmonic oscillator ay mga function ng form , iyon ay, mga oscillations na may pare-pareho ang amplitude. Sinusundan ba ito mula dito na ang isang tunay na osileytor ay mag-oscilllate nang walang katiyakan na may palaging amplitude? Hindi, dahil kung isasaalang-alang ang isang system na may arbitraryong maliit na friction (palaging naroroon sa isang tunay na sistema), nakakakuha tayo ng mga damped oscillations. Ang pag-uugali ng sistema ay nagbago nang husay.

Kung ang isang sistema ay nagpapanatili ng kanyang husay na pag-uugali sa ilalim ng isang maliit na kaguluhan, ito ay sinasabing structurally stable. Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang hindi matatag na sistema (hindi magaspang) na istruktura. Gayunpaman, maaaring gamitin ang modelong ito upang pag-aralan ang mga proseso sa limitadong agwat ng oras.

Universality ng mga modelo

Ang pinakamahalagang modelo ng matematika ay karaniwang may mahalagang katangian pagiging pangkalahatan: sa panimula iba't ibang tunay na phenomena ay maaaring inilarawan sa pamamagitan ng parehong matematikal na modelo. Halimbawa, inilalarawan ng isang harmonic oscillator hindi lamang ang pag-uugali ng isang load sa isang spring, kundi pati na rin ang iba pang mga proseso ng oscillatory, kadalasan ng isang ganap na naiibang kalikasan: maliliit na oscillations ng isang pendulum, mga pagbabago sa antas ng likido sa U-shaped vessel o pagbabago sa kasalukuyang lakas sa oscillatory circuit. Kaya, ang pag-aaral ng isang modelo ng matematika, pinag-aaralan namin nang sabay-sabay ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang bahagi ng kaalamang siyentipiko na humantong kay Ludwig von Bertalanffy na lumikha ng "General Systems Theory".

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomodelo ng matematika. Una, kinakailangan na makabuo ng pangunahing pamamaraan ng bagay na inimodelo, upang kopyahin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalisasyon ng agham na ito. Kaya, ang isang kotse ng tren ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikadong mga katawan mula sa iba't ibang materyales, ang bawat materyal ay tinukoy bilang ang karaniwang mekanikal na idealization nito (density, elastic moduli, standard na mga katangian ng lakas), pagkatapos kung saan ang mga equation ay pinagsama-sama, kasama ang ilang mga detalye ay itinapon bilang hindi gaanong mahalaga, ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, para sa pagbuo ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing elemento ng bumubuo nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang problema: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay pag-aralan ang modelo upang kunin ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang kayang tiisin ng tulay? Paano ito magiging reaksyon sa isang dinamikong pagkarga (halimbawa, sa martsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa pagpasa ng isang tren sa iba't ibang bilis), kung paano malalampasan ng eroplano ang sound barrier, kung ito ay babagsak sa flutter - ito ay karaniwang mga halimbawa ng isang direktang gawain. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung hindi tatanungin ang mga tamang tanong, maaaring gumuho ang tulay kahit na ito ay ginawa. magandang modelo para sa kanyang pag-uugali. Kaya, noong 1879 sa England, isang metal na tulay sa kabila ng River Tey ang gumuho, ang mga taga-disenyo kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito para sa isang 20-tiklop na margin ng kaligtasan para sa kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa mga hangin na patuloy na umiihip sa mga iyon. mga lugar. At pagkatapos ng isang taon at kalahati ay bumagsak ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa), ang direktang problema ay napakasimple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Baliktad na problema: maraming posibleng mga modelo ay kilala, ito ay kinakailangan upang pumili ng isang tiyak na modelo batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala at ang ilang hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. karagdagang impormasyon maaaring binubuo ng karagdagang data ng empirikal, o sa mga kinakailangan para sa bagay ( gawain sa disenyo). Maaaring dumating ang karagdagang data anuman ang proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema ( pasibong pagmamasid) o maging resulta ng isang eksperimento na espesyal na binalak sa kurso ng paglutas ( aktibong pagsubaybay).

Ang isa sa mga unang halimbawa ng isang birtuoso na solusyon ng isang kabaligtaran na problema na may ganap na posibleng paggamit ng magagamit na data ay ang paraan na ginawa ni I. Newton para sa muling pagtatayo ng mga puwersa ng friction mula sa naobserbahang damped oscillations.

Karagdagang mga halimbawa

saan x s- laki ng populasyon ng "equilibrium", kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng rate ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may posibilidad sa halaga ng equilibrium x s, at ang pag-uugaling ito ay matatag sa istruktura.

Ang sistemang ito ay may equilibrium state kung saan pare-pareho ang bilang ng mga kuneho at fox. Ang paglihis mula sa estadong ito ay humahantong sa mga pagbabago sa bilang ng mga kuneho at mga fox, katulad ng mga pagbabago sa harmonic oscillator. Tulad ng kaso ng harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istruktura: ang isang maliit na pagbabago sa modelo (halimbawa, isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan na kailangan ng mga kuneho) ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa husay sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng ekwilibriyo ay maaaring maging matatag, at ang pagbabagu-bago ng populasyon ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo ay hahantong sa mga sakuna na kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Sa tanong kung alin sa mga sitwasyong ito ang natanto, ang modelo ng Volterra-Lotka ay hindi nagbibigay ng sagot: kinakailangan ang karagdagang pananaliksik dito.

Mga Tala

1. "Isang mathematical na representasyon ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Sa mga pilosopikal na tanong ng cybernetic modeling. M., Kaalaman, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Pagmomodelo sa matematika. Mga ideya. Paraan. Mga halimbawa. . - 2nd ed., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: mga modelo ng matematika
7. Cliffs Notes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. "Ang isang teorya ay itinuturing na linear o non-linear, depende sa kung ano - linear o non-linear - mathematical apparatus, ano - linear o non-linear - mathematical models na ginagamit nito. ... nang hindi tinatanggihan ang huli. Ang isang modernong physicist, kung sakaling muling tukuyin niya ang isang mahalagang entity bilang non-linearity, ay malamang na kumilos nang iba, at, mas pinipili ang non-linearity bilang mas mahalaga at karaniwan sa dalawang magkasalungat, ay tutukuyin ang linearity bilang "non-non- linearity”. Danilov Yu. A., Mga lektura sa nonlinear dynamics. Panimula sa elementarya. Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap na serye. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. « Mga dinamikong sistema, na namodelo ng isang may hangganang bilang ng ordinaryong differential equation, ay tinatawag na puro o mga sistema ng punto. Ang mga ito ay inilarawan gamit ang isang may hangganan-dimensional na bahagi ng espasyo at nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng mga antas ng kalayaan. Ang parehong sistema sa iba't ibang kondisyon maaaring ituring na puro o ipinamahagi. Ang mga modelo ng matematika ng mga distributed system ay mga partial differential equation, integral equation, o ordinaryong delay equation. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang distributed system ay walang hanggan, at isang walang katapusang bilang ng data ang kinakailangan upang matukoy ang estado nito. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
11. “Depende sa likas na katangian ng mga pinag-aralan na proseso sa system S, lahat ng uri ng pagmomodelo ay maaaring hatiin sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, continuous at discrete-continuous. Ang deterministic modeling ay nagpapakita ng mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ang kawalan ng anumang random na impluwensya ay ipinapalagay; Ang stochastic modeling ay nagpapakita ng mga probabilistikong proseso at kaganapan. … Ginagamit ang static na pagmomodelo upang ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto ng oras, habang ang dynamic na pagmomodelo ay nagpapakita ng pag-uugali ng isang bagay sa paglipas ng panahon. Ang discrete modeling ay nagsisilbing ilarawan ang mga prosesong ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, ang tuluy-tuloy na pagmomodelo ay nagbibigay-daan sa iyo na ipakita ang mga tuluy-tuloy na proseso sa mga system, at ang discrete-continuous modeling ay ginagamit para sa mga kaso kung saan gusto mong i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuloy-tuloy na mga proseso. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. Karaniwan, ang modelong matematikal ay sumasalamin sa istruktura (aparato) ng bagay na ginagaya, ang mga katangian at pagkakaugnay ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga layunin ng pag-aaral; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktura. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumagana ang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa mga panlabas na impluwensya - kung gayon ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag na paraan, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
13. "Malinaw, ngunit ang pinakamahalagang paunang yugto ng pagbuo o pagpili ng isang modelo ng matematika ay upang makuha ang pinakamalinaw na posibleng ideya ng bagay na ginagaya at upang pinuhin ang modelo ng nilalaman nito batay sa mga impormal na talakayan. Ang oras at pagsisikap ay hindi dapat ilaan sa yugtong ito; ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit na nakasalalay dito. Higit sa isang beses nangyari na ang malaking trabaho na ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o kahit na nasayang dahil sa hindi sapat na atensyon sa bahaging ito ng bagay. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Paglalarawan ng konseptwal na modelo ng system. Sa sub-stage na ito ng pagbuo ng system model: a) ang konseptwal na modelo M ay inilarawan sa abstract na mga termino at konsepto; b) ang isang paglalarawan ng modelo ay ibinigay gamit ang mga tipikal na mathematical scheme; c) ang mga hypotheses at pagpapalagay ay sa wakas ay tinatanggap; d) ang pagpili ng isang pamamaraan para sa pagtatantya ng mga tunay na proseso kapag ang pagbuo ng isang modelo ay napatunayan. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.

Ang modelo ng matematika ng isang teknikal na bagay ay isang hanay ng mga bagay sa matematika at mga relasyon sa pagitan ng mga ito na sapat na sumasalamin sa mga katangian ng bagay na pinag-aaralan na interesado sa mananaliksik (engineer).

Ang modelo ay maaaring ilarawan sa iba't ibang paraan.

Mga form ng representasyon ng modelo:

invariant - pagtatala ng mga ugnayan ng modelo gamit ang isang tradisyonal na wikang matematika, anuman ang paraan para sa paglutas ng mga equation ng modelo;

analytical - pagtatala ng modelo sa anyo ng resulta ng isang analytical na solusyon ng mga paunang equation ng modelo;

algorithmic - pagtatala ng mga relasyon ng modelo at ang napiling numerical na paraan ng solusyon sa anyo ng isang algorithm.

eskematiko (graphic) - representasyon ng modelo sa ilang graphic na wika (halimbawa, ang wika ng mga graph, katumbas na mga circuit, diagram, atbp.);

pisikal

analog

Ang pinaka-unibersal ay ang matematikal na paglalarawan ng mga proseso - mathematical modeling.

Kasama rin sa konsepto ng mathematical modeling ang proseso ng paglutas ng problema sa isang computer.

Pangkalahatang modelo ng matematika

Inilalarawan ng modelong matematikal ang kaugnayan sa pagitan ng paunang data at ng mga gustong halaga.

Ang mga elemento ng generalized mathematical model ay (Larawan 1): isang set ng input data (mga variable) X,Y;

X - hanay ng mga variable na variable; Y - mga independiyenteng variable (pare-pareho);

mathematical operator L na tumutukoy sa mga operasyon sa mga data na ito; na nauunawaan bilang isang kumpletong sistema ng mga operasyong matematikal na naglalarawan ng mga numerical o lohikal na relasyon sa pagitan ng mga set ng input at output data (mga variable);

set ng output data (mga variable) G(X,Y); ay isang hanay ng mga criterion function, kabilang ang (kung kinakailangan) ang layunin na function.

Ang mathematical model ay isang mathematical analogue ng dinisenyong object. Ang antas ng kasapatan ng bagay nito ay tinutukoy ng pagbabalangkas at kawastuhan ng mga solusyon sa problema sa disenyo.

Ang hanay ng mga variable na parameter (variables) X ay bumubuo sa espasyo ng mga variable na parameter Rx (search space), na isang sukatan na may dimensyon n katumbas ng bilang ng mga variable na parameter.

Ang hanay ng mga independiyenteng variable Y ay bumubuo sa metric space ng input data Ry. Sa kaso kapag ang bawat bahagi ng espasyo Ry ay binibigyan ng isang hanay ng mga posibleng halaga, ang hanay ng mga independiyenteng variable ay nakamapa sa ilang limitadong subspace ng espasyong Ry.

Tinutukoy ng hanay ng mga independiyenteng variable Y ang kapaligiran para sa pagpapatakbo ng bagay, i.e. panlabas na kondisyon kung saan gagana ang dinisenyong bagay

Maaari itong maging:

• - teknikal na mga detalye isang bagay na hindi napapailalim sa pagbabago sa panahon ng proseso ng disenyo;
• - mga pisikal na kaguluhan sa kapaligiran kung saan nakikipag-ugnayan ang object ng disenyo;
• - mga taktikal na parameter na dapat makamit ng object ng disenyo.

Ang output data ng itinuturing na pangkalahatang modelo ay bumubuo ng isang sukatan na espasyo ng mga pamantayang tagapagpahiwatig na RG.

Ang pamamaraan ng paggamit ng isang mathematical model sa isang computer-aided design system ay ipinapakita sa Fig.2.

Mga kinakailangan para sa modelo ng matematika

Ang mga pangunahing kinakailangan para sa mga modelo ng matematika ay ang mga kinakailangan ng kasapatan, pagiging pangkalahatan at ekonomiya.

Kasapatan. Ang modelo ay itinuturing na sapat kung ito ay nagpapakita ng mga ibinigay na katangian na may katanggap-tanggap na katumpakan. Ang katumpakan ay tinukoy bilang ang antas ng kasunduan sa pagitan ng mga halaga ng mga parameter ng output ng modelo at ng bagay.

Ang katumpakan ng modelo ay naiiba sa iba't ibang kondisyon paggana ng bagay. Ang mga kondisyong ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga panlabas na parameter. Sa espasyo ng mga panlabas na parameter, piliin ang rehiyon ng kasapatan ng modelo, kung saan ang error ay mas mababa kaysa sa tinukoy na maximum na pinapayagang error. Ang pagtukoy sa domain ng kasapatan ng modelo ay isang kumplikadong pamamaraan na nangangailangan ng malalaking gastos sa pag-compute, na mabilis na lumalaki na may pagtaas sa sukat ng espasyo ng mga panlabas na parameter. Ang gawaing ito ay maaaring makabuluhang lumampas sa gawain ng parametric optimization ng modelo mismo sa dami, samakatuwid, maaaring hindi ito malutas para sa mga bagong idinisenyong bagay.

Universality - ay pangunahing tinutukoy ng bilang at komposisyon ng mga panlabas at output na mga parameter na isinasaalang-alang sa modelo.

Ang ekonomiya ng modelo ay nailalarawan sa pamamagitan ng gastos ng mga mapagkukunan ng computing para sa pagpapatupad nito - ang gastos ng oras at memorya ng computer.

Ang magkasalungat na mga kinakailangan para sa isang modelo na magkaroon ng isang malawak na hanay ng kasapatan, isang mataas na antas ng pagiging pangkalahatan at mataas na kahusayan ay tumutukoy sa paggamit ng isang bilang ng mga modelo para sa mga bagay na may parehong uri.

Mga Paraan ng Pagkuha ng Modelo

Kumuha ng mga modelo pangkalahatang kaso- hindi pormal na pamamaraan. Ang mga pangunahing desisyon tungkol sa pagpili ng uri ng mga relasyon sa matematika, ang likas na katangian ng mga variable at mga parameter na ginamit, ay ginawa ng taga-disenyo. Kasabay nito, ang mga operasyon tulad ng pagkalkula ng mga numerical na halaga ng mga parameter ng modelo, ang pagpapasiya ng mga lugar na sapat, at iba pa ay algorithmized at nalutas sa isang computer. Samakatuwid, ang pagmomodelo ng mga elemento ng dinisenyo na sistema ay karaniwang ginagawa ng mga espesyalista sa mga partikular na teknikal na larangan gamit ang mga tradisyonal na eksperimentong pag-aaral.

Ang mga pamamaraan para sa pagkuha ng mga functional na modelo ng mga elemento ay nahahati sa teoretikal at eksperimental.

Ang mga teoretikal na pamamaraan ay batay sa pag-aaral ng mga pisikal na regularidad ng mga prosesong nagaganap sa bagay, pagtukoy sa paglalarawan ng matematika na naaayon sa mga regular na ito, pagpapatunay at pagtanggap ng mga nagpapasimpleng pagpapalagay, pagsasagawa ng mga kinakailangang kalkulasyon at pagdadala ng resulta sa tinatanggap na anyo ng representasyon ng modelo.

Ang mga pang-eksperimentong pamamaraan ay batay sa paggamit panlabas na pagpapakita mga katangian ng bagay, na naitala sa panahon ng pagpapatakbo ng parehong uri ng mga bagay o sa panahon ng mga naka-target na eksperimento.

Sa kabila ng heuristic na katangian ng maraming operasyon, ang pagmomodelo ay may ilang mga probisyon at pamamaraan na karaniwan sa pagkuha ng mga modelo ng iba't ibang bagay. Ang mga ito ay medyo pangkalahatan sa kalikasan.

macro modeling technique,

mga pamamaraan ng matematika para sa pagpaplano ng mga eksperimento,

mga algorithm para sa mga pormal na operasyon para sa pagkalkula ng mga numerical na halaga ng mga parameter at pagtukoy ng mga lugar ng kasapatan.

Paggamit ng mga Modelong Matematika

Ang kapangyarihan ng pag-compute ng mga modernong computer, na sinamahan ng pagkakaloob ng lahat ng mapagkukunan ng system sa gumagamit, ang posibilidad ng isang interactive na mode kapag nilulutas ang isang problema at pag-aaral ng mga resulta, ginagawang posible na mabawasan ang oras para sa paglutas ng isang problema.

Kapag nag-iipon ng isang modelo ng matematika, ang mananaliksik ay kinakailangan na:

pag-aralan ang mga katangian ng bagay na pinag-aaralan;

ang kakayahang paghiwalayin ang mga pangunahing katangian ng bagay mula sa mga pangalawang;

suriin ang mga pagpapalagay na ginawa.

Inilalarawan ng modelo ang kaugnayan sa pagitan ng data ng pag-input at ng mga nais na halaga. Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na dapat gawin upang lumipat mula sa paunang data patungo sa nais na mga halaga ay tinatawag na isang algorithm.

Ang algorithm para sa paglutas ng problema sa isang computer ay nauugnay sa pagpili ng isang numerical na paraan. Depende sa anyo ng representasyon ng modelo ng matematika (algebraic o differential form), iba't ibang mga numerical na pamamaraan ang ginagamit.

Ang kakanyahan ng pang-ekonomiya at matematikal na pagmomolde ay nakasalalay sa paglalarawan ng mga sistema at prosesong sosyo-ekonomiko sa anyo ng mga modelong pang-ekonomiya at matematika.

Isaalang-alang natin ang mga tanong ng pag-uuri ng mga pamamaraang pang-ekonomiya at matematika. Ang mga pamamaraang ito, tulad ng nabanggit sa itaas, ay isang kumplikadong pang-ekonomiya at matematikal na mga disiplina na isang haluang metal ng ekonomiya, matematika at cybernetics.

Samakatuwid, ang pag-uuri ng mga pamamaraang pang-ekonomiya at matematika ay nabawasan sa pag-uuri ng mga pang-agham na disiplina na kasama sa kanilang komposisyon. Bagaman ang pangkalahatang tinatanggap na pag-uuri ng mga disiplinang ito ay hindi pa nabubuo, na may isang tiyak na antas ng pagtatantya, ang mga sumusunod na seksyon ay maaaring makilala sa komposisyon ng mga pamamaraang pang-ekonomiya at matematika:

• * economic cybernetics: pagsusuri ng sistema ng ekonomiya, teorya ng impormasyong pang-ekonomiya at teorya ng mga sistema ng kontrol;
• * mga istatistika ng matematika: mga pang-ekonomiyang aplikasyon ng disiplinang ito - paraan ng pag-sample, pagsusuri ng pagkakaiba, pagsusuri ng ugnayan, pagsusuri ng regression, pagsusuri sa istatistika ng multivariate, factor analysis, teorya ng index, atbp.;
• * Mathematics economics at econometrics na nag-aaral ng parehong mga isyu mula sa isang quantitative point of view: ang teorya ng economic growth, theory of production functions, intersectoral balances, national accounts, analysis of demand and consumption, regional and spatial analysis, global modeling, etc .;
• * mga pamamaraan para sa paggawa ng pinakamainam na mga desisyon, kabilang ang pag-aaral ng mga operasyon sa ekonomiya. Ito ang pinakamalawak na seksyon, na kinabibilangan ng mga sumusunod na disiplina at pamamaraan: pinakamainam (matematika) na programming, kabilang ang mga branch at bound na pamamaraan, pagpaplano ng network at mga pamamaraan ng kontrol, mga paraan ng pagpaplano at kontrol na naka-target sa programa, teorya at pamamaraan ng pamamahala ng imbentaryo, teorya ng queuing , teorya ng laro, teorya at pamamaraan ng desisyon, teorya ng pag-iiskedyul. Kabilang sa pinakamainam (matematikong) programming, sa turn, linear programming, non-linear programming, dynamic programming, discrete (integer) programming, fractional linear programming, parametric programming, separable programming, stochastic programming, geometric programming;
• * Mga pamamaraan at disiplina na partikular sa parehong sentral na binalak na ekonomiya at isang merkado (mapagkumpitensya) na ekonomiya. Kasama sa una ang teorya ng pinakamainam na paggana ng ekonomiya, pinakamainam na pagpaplano, ang teorya ng pinakamainam na pagpepresyo, mga modelo ng logistik, atbp. Kasama sa huli ang mga pamamaraan na nagpapahintulot sa pagbuo ng mga modelo ng libreng kompetisyon, mga modelo ng kapitalistang cycle, mga modelo ng monopolyo, mga modelo ng indikatibong pagpaplano, mga modelo ng teorya ng kumpanya atbp.

Marami sa mga pamamaraan na binuo para sa isang sentral na binalak na ekonomiya ay maaari ding maging kapaki-pakinabang sa pang-ekonomiya at matematikal na pagmomodelo sa isang ekonomiya ng merkado;

* mga pamamaraan ng eksperimentong pag-aaral ng mga pang-ekonomiyang phenomena. Kabilang dito, bilang panuntunan, ang mga pamamaraan ng matematika ng pagsusuri at pagpaplano ng mga eksperimento sa ekonomiya, mga pamamaraan ng simulation ng makina (simulation modeling), mga laro sa negosyo. Kasama rin dito ang mga pamamaraan ng mga pagtatasa ng eksperto na binuo upang suriin ang mga phenomena na hindi direktang masusukat.

Bumaling tayo ngayon sa mga tanong ng pag-uuri ng mga modelong pang-ekonomiya at matematika, sa madaling salita, mga modelong matematikal ng mga sistema at prosesong sosyo-ekonomiko.

Ang isang pinag-isang sistema ng pag-uuri para sa mga naturang modelo ay kasalukuyang hindi umiiral, gayunpaman, higit sa sampung pangunahing tampok ng kanilang pag-uuri, o mga pamagat ng pag-uuri, ay karaniwang nakikilala. Tingnan natin ang ilan sa mga seksyong ito.

Ayon sa pangkalahatang layunin, ang mga modelong pang-ekonomiya at matematika ay nahahati sa teoretikal at analytical, na ginagamit sa pag-aaral. karaniwang katangian at mga batas ng mga prosesong pang-ekonomiya, at inilapat, na ginagamit sa paglutas ng mga partikular na problema sa ekonomiya ng pagsusuri, pagtataya at pamamahala. iba't ibang uri Ang mga inilapat na modelong pang-ekonomiya at matematika ay isinasaalang-alang lamang sa tutorial na ito.

Ayon sa antas ng pagsasama-sama ng mga bagay sa pagmomodelo, ang mga modelo ay nahahati sa macroeconomic at microeconomic. Bagaman walang malinaw na pagkakaiba sa pagitan nila, ang una sa kanila ay kinabibilangan ng mga modelo na sumasalamin sa paggana ng ekonomiya sa kabuuan, habang ang mga modelong microeconomic ay nauugnay, bilang panuntunan, sa mga bahagi ng ekonomiya bilang mga negosyo at kumpanya.

Ayon sa isang tiyak na layunin, ibig sabihin, ayon sa layunin ng paglikha at aplikasyon, ang mga modelo ng balanse ay nakikilala, na nagpapahayag ng pangangailangan na ang pagkakaroon ng mga mapagkukunan ay tumutugma sa kanilang paggamit; mga modelo ng kalakaran, kung saan ang pag-unlad ng modelong sistemang pang-ekonomiya ay makikita sa pamamagitan ng kalakaran (pangmatagalang kalakaran) ng mga pangunahing tagapagpahiwatig nito; mga modelo ng pag-optimize na idinisenyo para sa pagpili ang pinakamahusay na pagpipilian mula sa isang tiyak na bilang ng mga opsyon para sa produksyon, pamamahagi o pagkonsumo; mga modelo ng simulation na nilayon para gamitin sa proseso ng machine simulation ng mga system o prosesong pinag-aaralan, atbp.

Ayon sa uri ng impormasyong ginamit sa modelo, ang mga modelong pang-ekonomiya-matematika ay nahahati sa analytical, binuo sa isang priori na impormasyon, at makikilala, na binuo sa isang posteriori na impormasyon.

Sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa kadahilanan ng oras, ang mga modelo ay nahahati sa static, kung saan ang lahat ng mga dependency ay nauugnay sa isang punto sa oras, at dynamic, na naglalarawan ng mga sistemang pang-ekonomiya sa pag-unlad.

Sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa kadahilanan ng kawalan ng katiyakan, ang mga modelo ay nahahati sa mga deterministiko, kung ang mga resulta ng output sa mga ito ay katangi-tanging tinutukoy ng mga pagkilos ng kontrol, at stochastic (probabilistic), kung kapag ang isang tiyak na hanay ng mga halaga ay tinukoy sa input ng modelo , ang output nito ay maaaring makagawa ng iba't ibang resulta depende sa pagkilos ng isang random na kadahilanan.

Ang mga modelong pang-ekonomiya at matematika ay maaari ding mauri ayon sa mga katangian ng mga bagay na pangmatematika na kasama sa modelo, sa madaling salita, ayon sa uri ng kasangkapang pangmatematika na ginamit sa modelo. Sa batayan na ito, ang mga modelo ng matrix, mga modelo ng linear at non-linear na programming, mga modelo ng correlation-regression,

Pangunahing konsepto ng matematikal na pagmomodelo ng modelo ng teorya ng queuing, pagpaplano ng network at modelo ng kontrol, modelo ng teorya ng laro, atbp.

Sa wakas, ayon sa uri ng diskarte sa pinag-aralan na socio-economic system, ang mga deskriptibo at normatibong modelo ay nakikilala. Sa pamamagitan ng isang mapaglarawang (descriptive) na diskarte, ang mga modelo ay nakuha na idinisenyo upang ilarawan at ipaliwanag ang aktwal na naobserbahang mga phenomena o upang hulaan ang mga phenomena na ito; Bilang halimbawa ng mga mapaglarawang modelo, maaari nating banggitin ang dating pinangalanang balanse at mga modelo ng trend. Sa isang normatibong diskarte, hindi sila interesado sa kung paano ang ekonomiya ay nakaayos at umuunlad. sistemang pang-ekonomiya, ngunit kung paano ito dapat ayusin at kung paano ito dapat kumilos sa kahulugan ng ilang pamantayan. Sa partikular, ang lahat ng mga modelo ng pag-optimize ay nasa normatibong uri; ang mga normatibong modelo ng pamantayan ng pamumuhay ay maaaring magsilbing isa pang halimbawa.

Isaalang-alang natin bilang isang halimbawa ang modelong pang-ekonomiya-matematika ng balanse ng input-output (EMM IOB). Isinasaalang-alang ang mga heading ng klasipikasyon sa itaas, ito ay isang inilapat, macroeconomic, analytical, descriptive, deterministic, balanse, matrix na modelo; habang sila ay umiiral bilang mga static na pamamaraan pati na rin ang dinamiko

Ang linear programming ay isang partikular na sangay ng pinakamainam na programming. Sa turn, ang pinakamainam (matematika) na programming ay isang sangay ng inilapat na matematika na nag-aaral ng mga problema ng conditional optimization. Sa ekonomiya, ang mga naturang problema ay lumitaw sa praktikal na pagpapatupad ng prinsipyo ng pagiging mahusay sa pagpaplano at pamamahala.

Ang isang kinakailangang kondisyon para sa paggamit ng pinakamainam na diskarte sa pagpaplano at pamamahala (ang prinsipyo ng pinakamainam) ay ang kakayahang umangkop, pagiging alternatibo ng produksyon at mga sitwasyong pang-ekonomiya kung saan kailangang gumawa ng mga desisyon sa pagpaplano at pamamahala. Ito ang mga sitwasyong ito, bilang panuntunan, na bumubuo sa pang-araw-araw na kasanayan ng isang pang-ekonomiyang entity (pagpili ng isang programa sa produksyon, pag-attach sa mga supplier, pagruruta, pagputol ng mga materyales, paghahanda ng mga mixture, atbp.).

Ang kakanyahan ng prinsipyo ng pagiging mahusay ay nakasalalay sa pagnanais na pumili ng gayong pagpaplano at desisyon sa pamamahala ang pinakamahusay na paraan ay isasaalang-alang ang mga panloob na kakayahan at panlabas na mga kondisyon ng aktibidad ng produksyon ng isang pang-ekonomiyang entidad.

Ang mga salitang "sa pinakamahusay na paraan" dito ay nangangahulugan ng pagpili ng ilang criterion ng optimality, i.e. ilang pang-ekonomiyang tagapagpahiwatig na nagbibigay-daan sa iyo upang ihambing ang pagiging epektibo ng ilang mga desisyon sa pagpaplano at pamamahala. Tradisyunal na pamantayan sa pinakamainam: "maximum na kita", "minimum na gastos", "maximum profitability", atbp. Ang mga salitang "ay isasaalang-alang ang mga panloob na kakayahan at panlabas na mga kondisyon ng aktibidad ng produksyon" ay nangangahulugan na ang isang bilang ng mga kondisyon ay ipinapataw sa pagpili ng isang desisyon sa pagpaplano at pamamahala (pag-uugali), t .e. ang pagpili ng X ay isinasagawa mula sa isang tiyak na rehiyon ng posibleng (tinatanggap) na mga solusyon D; ang lugar na ito ay tinatawag ding lugar ng pagtukoy ng problema. isang pangkalahatang problema ng pinakamainam (matematika) na programming, kung hindi, isang modelo ng matematika ng isang pinakamainam na problema sa programming, ang pagtatayo (pag-unlad) na kung saan ay batay sa mga prinsipyo ng pagiging mahusay at pagkakapare-pareho.

Ang isang vector X (isang hanay ng mga variable na kontrol Xj, j = 1, n) ay tinatawag na isang magagawa na solusyon, o isang pinakamainam na plano ng problema sa programming, kung natutugunan nito ang sistema ng mga hadlang. At ang plan X (tinatanggap na solusyon) na naghahatid ng maximum o minimum ng layunin na function f(xi, *2, ..., xn) ay tinatawag na pinakamainam na plano (optimal na pag-uugali, o simpleng solusyon) ng pinakamainam na problema sa programming.

Kaya, ang pagpili ng pinakamainam na pag-uugali ng pangangasiwa sa isang tiyak na sitwasyon ng produksyon ay nauugnay sa pagsasagawa ng pang-ekonomiya at matematikal na pagmomolde mula sa pananaw ng pagkakapare-pareho at pinakamainam at paglutas ng problema ng pinakamainam na programming. Ang pinakamainam na problema sa programming sa pinaka-pangkalahatang anyo ay inuri ayon sa mga sumusunod na pamantayan.

• 1. Sa likas na katangian ng ugnayan sa pagitan ng mga variable -
• a) linear
• b) hindi linear.

Kung sakaling a) ang lahat ng functional na koneksyon sa sistema ng mga paghihigpit at ang layunin ng function ay mga linear function; ang pagkakaroon ng isang nonlinearity sa hindi bababa sa isa sa mga nabanggit na elemento ay humahantong sa kaso b).

• 2. Sa likas na katangian ng pagbabago sa mga variable --
• a) tuloy-tuloy
• b) discrete.

Kung sakaling a) ang mga halaga ng bawat isa sa mga variable ng kontrol ay maaaring ganap na punan ang isang tiyak na lugar ng mga tunay na numero; sa kaso b) lahat o hindi bababa sa isang variable ay maaaring tumagal lamang ng mga halaga ng integer.

• 3. Sa pagsasaalang-alang sa kadahilanan ng oras -
• a) static
• b) dinamiko.

Sa mga gawain a), ang pagmomodelo at paggawa ng desisyon ay isinasagawa sa ilalim ng pagpapalagay na ang mga elemento ng modelo ay independiyente sa oras sa panahon ng panahon kung saan ang isang pagpaplano at pagpapasya sa pamamahala ay ginawa. Sa kaso b), ang naturang pagpapalagay ay hindi maaaring tanggapin nang may sapat na dahilan at ang kadahilanan ng oras ay dapat isaalang-alang.

• 4. Ayon sa pagkakaroon ng impormasyon tungkol sa mga variable --
• a) mga gawain sa ilalim ng mga kondisyon ng kumpletong katiyakan (deterministic),
• b) mga gawain sa mga kondisyon ng hindi kumpletong impormasyon,
• c) mga gawain sa ilalim ng mga kondisyon ng kawalan ng katiyakan.

Sa mga gawain b), ang mga indibidwal na elemento ay mga probabilistikong dami, gayunpaman, ang kanilang mga batas sa pamamahagi ay kilala o ang mga karagdagang istatistikal na pag-aaral ay maaaring maitatag. Sa kaso c), ang isa ay maaaring gumawa ng isang pagpapalagay tungkol sa mga posibleng resulta ng mga random na elemento, ngunit hindi posible na gumuhit ng isang konklusyon tungkol sa mga probabilidad ng mga kinalabasan.

• 5. Ayon sa bilang ng mga pamantayan para sa pagsusuri ng mga alternatibo -
• a) simple, isang pamantayang gawain,
• b) kumplikado, maraming pamantayang gawain.

Sa mga gawain a) matipid na katanggap-tanggap na gumamit ng isang pamantayan ng pinakamainam o posible sa pamamagitan ng mga espesyal na pamamaraan (halimbawa, "priority weighting")

PANIMULA

Imposibleng isipin ang modernong agham na wala malawak na aplikasyon pagmomolde ng matematika. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang palitan ang orihinal na bagay ng "imahe" nito - isang modelo ng matematika - at karagdagang pag-aaral ng modelo gamit ang mga computational logic algorithm na ipinatupad sa mga computer. Ang "ikatlong paraan" ng katalusan, disenyo, disenyo ay pinagsasama ang maraming pakinabang ng parehong teorya at eksperimento. Ang pagtatrabaho hindi sa mismong bagay (kababalaghan, proseso), ngunit sa modelo nito ay ginagawang posible na walang sakit, medyo mabilis at walang makabuluhang gastos upang pag-aralan ang mga katangian at pag-uugali nito sa anumang naiisip na mga sitwasyon (mga pakinabang ng teorya). Kasabay nito, ang mga eksperimento sa computational (computer, simulation, simulation) na may mga modelo ng object ay ginagawang posible, umaasa sa kapangyarihan ng mga modernong pamamaraan ng computational at mga teknikal na tool ng informatics, upang pag-aralan ang mga bagay sa sapat na detalye at malalim, sa sapat na pagkakumpleto, hindi naa-access. sa puro teoretikal na pagdulog (experimental advantages). Hindi nakakagulat na ang pamamaraan ng pagmomolde ng matematika ay mabilis na umuunlad, na sumasaklaw sa lahat ng mga bagong lugar - mula sa pag-unlad mga teknikal na sistema at ang kanilang pamamahala sa pagsusuri ng mga pinakakomplikadong prosesong pang-ekonomiya at panlipunan.

Ang mga elemento ng pagmomodelo ng matematika ay ginamit mula pa sa simula ng paglitaw ng mga eksaktong agham, at hindi nagkataon na ang ilang mga pamamaraan ng pagkalkula ay may mga pangalan ng naturang mga luminary ng agham tulad ng Newton at Euler, at ang salitang "algorithm" ay nagmula sa pangalan ng medieval Arab scientist na si Al-Khwarizmi. Ang pangalawang "kapanganakan" ng pamamaraang ito ay naganap noong huling bahagi ng 1940s at unang bahagi ng 1950s at dahil sa hindi bababa sa dalawang dahilan. Ang una sa mga ito ay ang paglitaw ng mga kompyuter (mga kompyuter), bagama't katamtaman sa mga pamantayan ngayon, ngunit gayunpaman ay nailigtas ang mga siyentipiko mula sa isang malaking halaga ng nakagawiang gawain sa pagkalkula. Ang pangalawa ay isang walang uliran na kaayusan sa lipunan - ang pagpapatupad ng mga pambansang programa ng USSR at USA upang lumikha ng isang nuclear missile shield, na hindi maipapatupad ng mga tradisyonal na pamamaraan. Ang pagmomodelo ng matematika ay nakayanan ang gawaing ito: ang mga pagsabog ng nuklear at paglipad ng mga rocket at satellite ay dati nang "isinasagawa" sa kalaliman ng mga computer sa tulong ng mga modelo ng matematika at pagkatapos lamang ay isinagawa. Ang tagumpay na ito ay higit na tinutukoy ang mga karagdagang tagumpay ng pamamaraan, nang walang aplikasyon kung saan walang malakihang teknolohikal, pangkapaligiran o pang-ekonomiyang proyekto ang seryosong isinasaalang-alang sa mga binuo na bansa (ito ay totoo rin na may kaugnayan sa ilang mga socio-political na proyekto).

Ngayon ang pagmomolde ng matematika ay pumapasok sa ikatlong pangunahing mahalagang yugto ng pag-unlad nito, "pagsasama" sa mga istruktura ng tinatawag na lipunan ng impormasyon. Ang kahanga-hangang pag-unlad sa paraan ng pagproseso, pagpapadala at pag-iimbak ng impormasyon ay tumutugma sa mga pandaigdigang uso tungo sa komplikasyon at pagpasok sa isa't isa iba't ibang lugar aktibidad ng tao. Kung walang pagmamay-ari ng "mga mapagkukunan" ng impormasyon, imposibleng isipin ang tungkol sa paglutas ng mas malaki at mas magkakaibang mga problema na kinakaharap ng komunidad ng mundo. Gayunpaman, ang impormasyong tulad nito ay kadalasang kakaunti ang nagagawa para sa pagsusuri at pagtataya, para sa paggawa ng mga desisyon at pagsubaybay sa kanilang pagpapatupad. Kailangan namin ng mga maaasahang paraan ng pagproseso ng impormasyon na "mga hilaw na materyales" sa isang tapos na "produkto", ibig sabihin, sa tumpak na kaalaman. Ang kasaysayan ng pamamaraan ng pagmomolde ng matematika ay nakakumbinsi: maaari at dapat itong maging pangunahing intelektwal teknolohiya ng impormasyon, ang buong proseso ng impormasyon ng lipunan.

Teknikal, ekolohikal, pang-ekonomiya at iba pang sistemang pinag-aralan modernong agham, ay hindi na pumapayag sa pagsisiyasat (sa kinakailangang pagkakumpleto at katumpakan) sa pamamagitan ng mga kumbensyonal na teoretikal na pamamaraan. Ang isang direktang buong sukat na eksperimento sa mga ito ay mahaba, mahal, kadalasang mapanganib o imposible, dahil marami sa mga sistemang ito ay umiiral sa isang "iisang kopya". Ang presyo ng mga pagkakamali at maling kalkulasyon sa paghawak sa mga ito ay hindi katanggap-tanggap na mataas. Samakatuwid, ang pagmomodelo ng matematika (mas malawak - impormasyon) ay isang hindi maiiwasang bahagi ng pag-unlad ng siyensya at teknolohikal.

Isinasaalang-alang ang isyu nang mas malawak, naaalala namin na ang pagmomolde ay naroroon sa halos lahat ng uri ng malikhaing aktibidad ng mga tao ng iba't ibang "espesyalidad" - mga mananaliksik at negosyante, mga pulitiko at mga pinuno ng militar. Ang pagpapakilala ng eksaktong kaalaman sa mga sphere na ito ay nakakatulong na limitahan ang intuitive na speculative na "modeling", nagpapalawak sa larangan ng aplikasyon ng mga makatwirang pamamaraan. Siyempre, ang pagmomolde ng matematika ay mabunga lamang kapag natutugunan ang mga kilalang propesyonal na kinakailangan: isang malinaw na pagbabalangkas ng mga pangunahing konsepto at pagpapalagay, isang posterior analysis ng kasapatan ng mga modelong ginamit, garantisadong katumpakan ng mga computational algorithm, atbp. Kung pag-uusapan natin pagmomodelo ng mga sistema na may partisipasyon ng "human factor", pagkatapos i.e. mga bagay na mahirap gawing pormal, kung gayon sa mga kinakailangang ito ay kinakailangan upang magdagdag ng isang tumpak na pagkakaiba sa pagitan ng matematika at pang-araw-araw na mga termino (tunog pareho, ngunit may ibang kahulugan), maingat na aplikasyon ng isang handa na kasangkapang pang-matematika sa pag-aaral ng mga phenomena at proseso (ang landas "mula sa problema hanggang sa pamamaraan" ay mas kanais-nais, at hindi kabaligtaran) at marami pang iba.

Ang paglutas ng mga problema ng lipunan ng impormasyon, magiging walang muwang na umasa lamang sa kapangyarihan ng mga computer at iba pang mga tool sa impormasyon. Ang patuloy na pagpapabuti ng triad ng mathematical modeling at ang pagpapatupad nito sa mga modernong sistema ng pagmomodelo ng impormasyon ay isang methodological imperative. Tanging ang pagpapatupad nito ang ginagawang posible upang makuha ang high-tech, mapagkumpitensya at magkakaibang materyal at intelektwal na mga produkto na lubhang kailangan natin.

Ang paksang napili ko ay may kaugnayan sa modernong matematika at mga aplikasyon nito. Sa modernong pang-agham na diskarte sa pag-aaral ng natural, teknikal at sosyo-ekonomikong mga bagay, ang kahalagahan ng matematikal na pagmomodelo ng mga prosesong nagaganap sa mga ito ay tumataas. Ang natural na pag-aaral ng pag-uugali ng mga bagay at sistema sa gayong mga mode at kundisyon ay imposible o mahirap, na pinipilit ang paggamit ng mga pamamaraan sa pagmomolde ng matematika.

Ang layunin ng gawaing kursong ito ay matutunan kung paano gamitin ang mga pamamaraan ng pagmomodelo ng matematika upang pag-aralan ang iba't ibang natural na prosesong panlipunan.

Mga gawaing itinakda upang makamit ang layunin:

n Upang pag-aralan ang mga teoretikal na tanong ng mathematical modeling, pag-uuri ng mga modelo.

MGA BATAYANG KONSEPTO NG PAGMOMODEL NG MATHEMATICAL

Pagmomodelo- isang paraan ng siyentipikong pananaliksik ng mga phenomena, proseso, bagay, device o system (sa pangkalahatan - mga bagay sa pananaliksik), batay sa pagbuo at pag-aaral ng mga modelo upang makakuha ng bagong kaalaman, pagbutihin ang mga katangian ng mga bagay sa pananaliksik o pamahalaan ang mga ito.

Modelo- isang materyal na bagay o imahe (kaisipan o kondisyon: hypothesis, ideya, abstraction, larawan, paglalarawan, diagram, formula, pagguhit, plano, mapa, flowchart ng algorithm, mga tala, atbp.), na nagpapakita lamang ng pinakamahalagang katangian ng bagay pananaliksik.

Ang anumang modelo ay palaging mas simple kaysa sa isang tunay na bagay at nagpapakita lamang ng isang bahagi ng pinakamahalagang tampok, pangunahing elemento at koneksyon nito. Para sa kadahilanang ito, para sa isang bagay ng pag-aaral, mayroong maraming iba't ibang mga modelo. Ang uri ng modelo ay depende sa napiling layunin ng pagmomodelo.

Ang terminong "modelo" ay batay sa salitang Latin na modulus - sukat, sample. Ang modelo ay isang kahalili para sa tunay na bagay ng pag-aaral. Ang modelo ay palaging mas simple kaysa sa bagay na pinag-aaralan. Kapag nag-aaral ng mga kumplikadong phenomena, proseso, bagay, hindi posible na isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng mga elemento at relasyon na tumutukoy sa kanilang mga katangian.

Ngunit ang lahat ng mga elemento at koneksyon sa nilikha na modelo ay hindi dapat isaalang-alang. Kinakailangan lamang na iisa ang pinaka-katangian, nangingibabaw na mga bahagi, na labis na tumutukoy sa mga pangunahing katangian ng bagay ng pag-aaral. Bilang resulta, ang object ng pag-aaral ay pinalitan ng ilang pinasimple na pagkakatulad, ngunit may katangian, pangunahing katangian na katulad ng sa object ng pag-aaral. Ang isang bagong bagay (o abstraction) na lumitaw bilang isang resulta ng pagpapalit ay karaniwang tinatawag na isang modelo ng bagay ng pag-aaral.

Upang mag-compile ng mga modelo ng matematika, maaari kang gumamit ng anumang paraan ng matematika - differential at integral calculus, pagsusuri ng regression, probability theory, mathematical statistics, atbp. Ang isang mathematical model ay isang set ng mga formula, equation, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal na kondisyon, atbp. Tinutukoy ng mga ugnayang matematikal na ginamit sa pagmomolde ng matematika ang proseso ng pagbabago ng estado ng bagay ng pag-aaral depende sa mga parameter nito, mga signal ng input, paunang kondisyon at oras. Sa esensya, ang lahat ng matematika ay idinisenyo upang bumuo ng mga modelo ng matematika.

O pinakamahalaga matematika para sa lahat ng iba pang agham (kabilang ang pagmomodelo) ay nagsasabi ng sumusunod na katotohanan. Ang mahusay na Ingles na pisiko na si I. Newton (1643-1727) sa kalagitnaan ng ika-17 siglo ay nakilala ang mga gawa nina Rene Descartes at Pierre Gassendi. Ang mga gawaing ito ay nagsasaad na ang buong istraktura ng mundo ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng mga pormula sa matematika. Sa ilalim ng impluwensya ng mga gawaing ito, si I. Newton ay nagsimulang masinsinang mag-aral ng matematika. Ang kanyang kontribusyon sa pisika at matematika ay malawak na kilala.

Ang pagmomodelo ng matematika ay isang paraan ng pag-aaral ng isang bagay ng pag-aaral batay sa paglikha ng modelong matematika nito at paggamit nito upang makakuha ng bagong kaalaman, pagbutihin ang bagay ng pag-aaral o pamahalaan ang bagay.

Para sa pagmomodelo ng matematika, isang katangian na ang mga proseso ng paggana ng bagay ay nakasulat sa anyo ng mga relasyon sa matematika (algebraic, integral), na nakasulat sa anyo ng mga lohikal na kondisyon.

Ang mga differential equation ay isa sa mga pangunahing paraan ng pag-compile ng mga modelo ng matematika na pinaka-malawak na ginagamit sa paglutas ng mga problema sa matematika. Kapag nag-aaral ng mga pisikal na proseso, ang paglutas ng iba't ibang mga inilapat na problema, bilang isang patakaran, hindi posible na direktang mahanap ang mga batas na kumokonekta sa mga dami na nagpapakilala sa mga phenomena sa ilalim ng pag-aaral. Kadalasan ay mas madaling magtatag ng mga ugnayan sa pagitan ng parehong dami at ng kanilang mga derivatives o differentials. Ang mga ugnayan ng ganitong uri ay tinatawag na differential equation. Ang mga posibilidad at panuntunan para sa pag-compile ng mga differential equation ay tinutukoy ng kaalaman sa mga batas ng larangan ng agham kung saan nauugnay ang kalikasan ng problemang pinag-aaralan. Kaya, halimbawa, ang mga batas ni Newton ay maaaring gamitin sa mekanika, sa teorya ng mga bilis. mga reaksiyong kemikal- ang batas ng mass action, atbp. Gayunpaman, sa pagsasagawa ay madalas na may mga kaso kung kailan hindi alam ang mga batas na maaaring gawing posible ang pagbuo ng isang differential equation. Pagkatapos ay gumamit ng iba't ibang nagpapasimpleng pagpapalagay tungkol sa kurso ng proseso na may maliliit na pagbabago sa mga parameter-variable. Sa kasong ito, ang pagpasa sa limitasyon ay humahantong sa mga differential equation. Ang tanong ng pagsusulatan ng modelo ng matematika at ang tunay na kababalaghan ay nalutas sa batayan ng pagsusuri ng mga resulta, mga eksperimento at kanilang paghahambing sa pag-uugali ng solusyon ng nakuha na equation ng kaugalian

Mga modelo ng matematika

Matematikal na modelo - tinatayang opipaglalarawan ng bagay ng pagmomolde, ipinahayag gamitschyu mathematical symbolism.

Lumitaw ang mga modelo ng matematika kasama ng matematika maraming siglo na ang nakalilipas. Ang isang malaking impetus sa pag-unlad ng matematikal na pagmomolde ay ibinigay ng hitsura ng mga computer. Ang paggamit ng mga computer ay naging posible upang pag-aralan at isabuhay ang maraming mga modelong matematikal na dati ay hindi pa pumayag sa analytical na pananaliksik. Computer-implemented mathematicalmodelo ng langit tinawag modelo ng matematika sa computer, a pagsasagawa ng mga naka-target na kalkulasyon gamit ang isang modelo ng computer tinawag eksperimento sa computational.

Mga yugto ng computer mathematical mopagtanggal ipinapakita sa figure. Ang unayugto - kahulugan ng mga layunin sa pagmomolde. Maaaring magkaiba ang mga layuning ito:

1. kailangan ang isang modelo upang maunawaan kung paano gumagana ang isang partikular na bagay, ano ang istraktura nito, mga pangunahing katangian, mga batas ng pag-unlad at pakikipag-ugnayan
   sa labas ng mundo (pag-unawa);
2. kailangan ang isang modelo upang matutunan kung paano kontrolin ang isang bagay (o proseso) at matukoy pinakamahusay na paraan pamamahala na may ibinigay na mga layunin at pamantayan (pamamahala);
3. ang modelo ay kinakailangan upang mahulaan ang direkta at hindi direktang kahihinatnan ng pagpapatupad ng mga tinukoy na pamamaraan at anyo ng epekto sa bagay (pagtataya).

Ipaliwanag natin nang may mga halimbawa. Hayaang ang object ng pag-aaral ay ang pakikipag-ugnayan ng isang likido o gas na daloy sa isang katawan na isang balakid sa daloy na ito. Ipinapakita ng karanasan na ang puwersa ng paglaban na dumaloy mula sa gilid ng katawan ay tumataas sa pagtaas ng bilis ng daloy, ngunit sa ilang sapat na mataas na bilis, ang puwersang ito ay biglang bumababa upang tumaas muli nang may karagdagang pagtaas sa bilis. Ano ang sanhi ng pagbaba ng puwersa ng paglaban? Ang pagmomodelo ng matematika ay nagpapahintulot sa amin na makakuha ng isang malinaw na sagot: sa sandali ng isang biglaang pagbaba ng paglaban, ang mga vortex na nabuo sa daloy ng likido o gas sa likod ng naka-streamline na katawan ay nagsisimulang humiwalay mula dito at dinadala ng daloy.

Isang halimbawa mula sa isang ganap na naiibang lugar: mapayapang nabubuhay kasama ang matatag na bilang ng mga populasyon ng dalawang species ng mga indibidwal na may isang karaniwang base ng pagkain, "biglang" nagsimulang kapansin-pansing baguhin ang kanilang mga numero. At dito pinapayagan ng matematikal na pagmomolde (na may tiyak na antas ng katiyakan) na itatag ang dahilan (o hindi bababa sa pabulaanan ang isang tiyak na hypothesis).

Ang pagbuo ng konsepto ng pamamahala ng bagay ay isa pang posibleng layunin ng pagmomolde. Aling mode ng paglipad ng sasakyang panghimpapawid ang dapat piliin upang maging ligtas ang paglipad at higit na kapaki-pakinabang sa ekonomiya? Paano mag-iskedyul ng daan-daang uri ng trabaho sa pagtatayo ng isang malaking pasilidad upang matapos ito sa lalong madaling panahon? Maraming gayong mga problema ang sistematikong lumitaw sa harap ng mga ekonomista, taga-disenyo, at mga siyentipiko.

Sa wakas, ang paghula sa mga kahihinatnan ng ilang mga epekto sa isang bagay ay maaaring maging isang medyo simpleng bagay sa mga simpleng pisikal na sistema, at lubhang kumplikado - sa gilid ng pagiging posible - sa biyolohikal, pang-ekonomiya, panlipunang mga sistema. Kung medyo madaling sagutin ang tanong tungkol sa pagbabago sa mode ng pagpapalaganap ng init sa isang manipis na baras na may mga pagbabago sa bumubuo ng haluang metal nito, kung gayon ito ay hindi maihahambing na mas mahirap na subaybayan (hulaan) ang kapaligiran at klimatiko na mga kahihinatnan ng pagtatayo ng isang malaking hydroelectric power station o ang panlipunang kahihinatnan ng mga pagbabago sa batas sa buwis. Marahil, dito rin, ang mga pamamaraan sa pagmomolde ng matematika ay magbibigay ng mas makabuluhang tulong sa hinaharap.

Ikalawang yugto: kahulugan ng mga parameter ng input at output ng modelo; paghahati ng mga parameter ng input ayon sa antas ng kahalagahan ng epekto ng kanilang mga pagbabago sa output. Ang prosesong ito ay tinatawag na ranggo, o dibisyon ayon sa ranggo (tingnan sa ibaba). "Formalisation at pagmomodelo").

Ikatlong yugto: pagbuo ng isang mathematical model. Sa yugtong ito, mayroong isang transisyon mula sa abstract na pagbabalangkas ng modelo patungo sa isang pagbabalangkas na may isang tiyak na representasyong matematikal. Ang isang mathematical model ay mga equation, mga sistema ng mga equation, mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, mga differential equation o mga sistema ng mga naturang equation, atbp.

Ikaapat na yugto: pagpili ng pamamaraan para sa pag-aaral ng modelo ng matematika. Kadalasan, ang mga numerical na pamamaraan ay ginagamit dito, na nagpapahiram ng kanilang mga sarili sa programming. Bilang isang patakaran, maraming mga pamamaraan ang angkop para sa paglutas ng parehong problema, naiiba sa katumpakan, katatagan, atbp. Ang tagumpay ng buong proseso ng pagmomodelo ay madalas na nakasalalay sa tamang pagpili ng paraan.

Ikalimang yugto: ang pagbuo ng isang algorithm, ang compilation at debugging ng isang computer program ay isang proseso na mahirap gawing pormal. Sa mga programming language, maraming mga propesyonal para sa pagmomolde ng matematika ang mas gusto ang FORTRAN: kapwa dahil sa tradisyon, at dahil sa hindi maunahang kahusayan ng mga compiler (para sa computational work) at ang pagkakaroon ng malaki, maingat na pag-debug at na-optimize na mga aklatan ng mga karaniwang programa ng mga pamamaraan ng matematika na nakasulat sa ito. Ang mga wika tulad ng PASCAL, BASIC, C ay ginagamit din, depende sa likas na katangian ng gawain at mga hilig ng programmer.

Ika-anim na yugto: pagsubok ng programa. Sinusuri ang pagpapatakbo ng programa problema sa pagsubok na may alam na sagot. Ito ay simula pa lamang ng isang pagsubok na pamamaraan na mahirap ilarawan sa isang pormal na kumpletong paraan. Karaniwan, nagtatapos ang pagsubok kapag ang gumagamit, ayon sa kanyang mga propesyonal na katangian, ay isinasaalang-alang na tama ang programa.

Ikapitong yugto: aktwal na eksperimento sa computational, kung saan nagiging malinaw kung ang modelo ay tumutugma sa isang tunay na bagay (proseso). Ang modelo ay sapat na sapat sa tunay na proseso kung ang ilang mga katangian ng proseso na nakuha sa isang computer ay nag-tutugma sa mga eksperimentong nakuha na mga katangian na may isang tiyak na antas ng katumpakan. Kung ang modelo ay hindi tumutugma sa tunay na proseso, bumalik kami sa isa sa mga nakaraang yugto.

Pag-uuri ng mga modelo ng matematika

Ang pag-uuri ng mga modelo ng matematika ay maaaring batay sa iba't ibang prinsipyo. Posibleng pag-uri-uriin ang mga modelo ayon sa mga sangay ng agham (mga modelo ng matematika sa pisika, biology, sosyolohiya, atbp.). Maaari itong uriin ayon sa inilapat na mathematical apparatus (mga modelo batay sa paggamit ng mga ordinaryong differential equation, partial differential equation, stochastic method, discrete algebraic transformations, atbp.). Sa wakas, batay sa karaniwang gawain pagmomodelo sa iba't ibang agham, anuman ang mathematical apparatus, ang sumusunod na klasipikasyon ay pinaka natural:

• deskriptibo (naglalarawan) mga modelo;
• mga modelo ng pag-optimize;
• mga modelo ng multicriteria;
• mga modelo ng laro.

Ipaliwanag natin ito sa mga halimbawa.

Descriptive (descriptive) na mga modelo. Halimbawa, ang pagmomodelo ng galaw ng isang kometa na sumalakay solar system, ay ginawa upang mahulaan ang trajectory ng paglipad nito, ang distansya kung saan ito dadaan mula sa Earth, atbp. Sa kasong ito, ang mga layunin ng pagmomolde ay naglalarawan, dahil walang paraan upang maimpluwensyahan ang paggalaw ng kometa, upang baguhin ang isang bagay sa loob nito.

Mga Modelo sa Pag-optimize ay ginagamit upang ilarawan ang mga prosesong maaaring maimpluwensyahan sa pagtatangkang makamit ang isang naibigay na layunin. Sa kasong ito, kasama sa modelo ang isa o higit pang mga parameter na maaaring maimpluwensyahan. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagbabago ng thermal rehimen sa isang kamalig, ang isa ay maaaring magtakda ng isang layunin na pumili ng gayong rehimen upang makamit ang pinakamataas na pangangalaga ng butil, i.e. i-optimize ang proseso ng imbakan.

Mga modelo ng multicriteria. Kadalasan ito ay kinakailangan upang i-optimize ang proseso sa ilang mga parameter sa parehong oras, at ang mga layunin ay maaaring maging lubhang magkasalungat. Halimbawa, ang pag-alam sa mga presyo ng pagkain at ang pangangailangan ng isang tao para sa pagkain, kinakailangan upang ayusin ang mga pagkain para sa malalaking grupo ng mga tao (sa hukbo, kampo ng tag-init ng mga bata, atbp.) Sa physiologically tama at, sa parehong oras, nang mura hangga't maaari. Malinaw na ang mga layuning ito ay hindi nagtutugma; kapag nagmomodelo, maraming pamantayan ang gagamitin, kung saan dapat maghanap ng balanse.

Mga modelo ng laro maaaring may kaugnayan hindi lamang sa mga laro sa Kompyuter kundi pati na rin sa mga seryosong bagay. Halimbawa, bago ang isang labanan, sa pagkakaroon ng hindi kumpletong impormasyon tungkol sa kalabang hukbo, ang isang kumander ay dapat bumuo ng isang plano: sa anong pagkakasunud-sunod upang dalhin ang ilang mga yunit sa labanan, atbp., na isinasaalang-alang ang posibleng reaksyon ng kaaway. Mayroong isang espesyal na seksyon ng modernong matematika - teorya ng laro - na nag-aaral ng mga pamamaraan ng paggawa ng desisyon sa ilalim ng mga kondisyon ng hindi kumpletong impormasyon.

Sa kursong paaralan ng computer science, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng paunang ideya ng ​computer mathematical modelling sa loob ng balangkas ng pangunahing kurso. Sa mataas na paaralan, ang pagmomodelo ng matematika ay maaaring malalim na pag-aralan sa isang pangkalahatang kurso sa edukasyon para sa mga klase sa pisika at matematika, gayundin sa loob ng isang espesyal na elective course.

Ang mga pangunahing paraan ng pagtuturo ng computer mathematical modeling sa mataas na paaralan ay mga lektura, laboratoryo at mga klase ng kredito. Karaniwan, ang gawain sa paglikha at paghahanda para sa pag-aaral ng bawat bagong modelo ay tumatagal ng 3-4 na mga aralin. Sa kurso ng pagtatanghal ng materyal, ang mga gawain ay itinakda, na sa hinaharap ay dapat malutas ng mga mag-aaral sa kanilang sarili, sa pangkalahatang mga termino, ang mga paraan upang malutas ang mga ito ay nakabalangkas. Ang mga tanong ay nabuo, ang mga sagot na dapat makuha kapag nagsasagawa ng mga gawain. Ang karagdagang literatura ay ipinahiwatig, na nagbibigay-daan sa pagkuha ng pantulong na impormasyon para sa mas matagumpay na pagkumpleto ng mga gawain.

Ang anyo ng pag-aayos ng mga klase sa pag-aaral ng bagong materyal ay karaniwang isang panayam. Matapos ang pagkumpleto ng talakayan ng susunod na modelo mga mag-aaral mayroon sa kanilang pagtatapon ng kinakailangang teoretikal na impormasyon at isang hanay ng mga gawain para sa karagdagang trabaho. Bilang paghahanda para sa takdang-aralin, pinipili ng mga mag-aaral ang naaangkop na paraan ng solusyon, gamit ang ilang kilalang pribadong solusyon, sinubukan nila ang binuong programa. Sa kaso ng mga posibleng kahirapan sa pagkumpleto ng mga gawain, ang konsultasyon ay ibinibigay, ang isang panukala ay ginawa upang ayusin ang mga seksyong ito nang mas detalyado sa panitikan.

Ang pinaka-nauugnay sa praktikal na bahagi ng pagtuturo ng computer modeling ay ang paraan ng mga proyekto. Ang gawain ay binuo para sa mag-aaral sa anyo ng isang proyektong pang-edukasyon at nakumpleto sa ilang mga aralin, kasama ang pangunahing porma ng organisasyon habang gumagawa ng computer lab work. Ang pag-aaral na magmodelo gamit ang pamamaraan ng proyekto sa pag-aaral ay maaaring ipatupad sa iba't ibang antas. Ang una ay isang pahayag ng problema ng proseso ng pagpapatupad ng proyekto, na pinamumunuan ng guro. Ang pangalawa ay ang pagpapatupad ng proyekto ng mga mag-aaral sa ilalim ng gabay ng isang guro. Ang ikatlo ay ang independiyenteng pagpapatupad ng mga mag-aaral ng isang proyekto sa pananaliksik na pang-edukasyon.

Ang mga resulta ng trabaho ay dapat iharap sa numerical form, sa anyo ng mga graph, diagram. Kung maaari, ang proseso ay ipinakita sa screen ng computer sa dinamika. Sa pagkumpleto ng mga kalkulasyon at pagtanggap ng mga resulta, ang mga ito ay nasuri, kumpara sa mga kilalang katotohanan mula sa teorya, ang pagiging maaasahan ay nakumpirma at ang isang makabuluhang interpretasyon ay isinasagawa, na kasunod na makikita sa isang nakasulat na ulat.

Kung ang mga resulta ay nagbibigay-kasiyahan sa mag-aaral at guro, pagkatapos ay ang trabaho binibilang natapos, at ang huling yugto nito ay ang paghahanda ng isang ulat. Kasama sa ulat ang maikling teoretikal na impormasyon sa paksang pinag-aaralan, isang mathematical formulation ng problema, isang solusyon sa algorithm at ang pagbibigay-katwiran nito, isang computer program, ang mga resulta ng programa, pagsusuri ng mga resulta at konklusyon, isang listahan ng mga sanggunian.

Kapag nailabas na ang lahat ng mga ulat, sa sesyon ng pagsusulit, ang mga mag-aaral ay gumagawa ng mga maikling ulat sa gawaing ginawa, ipagtanggol ang kanilang proyekto. Ito ay isang epektibong paraan ng pag-uulat ng pangkat ng proyekto sa klase, kabilang ang pagtatakda ng problema, pagbuo ng isang pormal na modelo, pagpili ng mga pamamaraan para sa pagtatrabaho sa modelo, pagpapatupad ng modelo sa isang computer, pagtatrabaho sa natapos na modelo, pagbibigay-kahulugan sa mga resulta, pagtataya. Bilang resulta, ang mga mag-aaral ay maaaring makakuha ng dalawang grado: ang una ay para sa elaborasyon ng proyekto at ang tagumpay ng pagtatanggol nito, ang pangalawa ay para sa programa, ang pinakamainam ng algorithm, interface, atbp. Ang mga mag-aaral ay tumatanggap din ng mga marka sa kurso ng mga survey sa teorya.

Ang isang mahalagang tanong ay kung anong mga tool ang gagamitin sa kursong informatics ng paaralan para sa mathematical modeling? Ang pagpapatupad ng computer ng mga modelo ay maaaring isagawa:

• gamit ang isang spreadsheet (karaniwan ay MS Excel);
• sa pamamagitan ng paglikha ng mga programa sa tradisyonal na mga wika ng programming (Pascal, BASIC, atbp.), pati na rin sa kanilang mga modernong bersyon (Delphi, Visual
  Basic para sa Application, atbp.);
• gamit ang mga espesyal na pakete ng software para sa paglutas ng mga problema sa matematika (MathCAD, atbp.).

Sa antas ng elementarya, lumilitaw na ang unang remedyo ang mas gusto. Gayunpaman, sa mataas na paaralan, kapag ang programming, kasama ang pagmomodelo, ay isang pangunahing paksa ng computer science, ito ay kanais-nais na isama ito bilang isang tool sa pagmomodelo. Sa proseso ng programming, ang mga detalye ng mga pamamaraan sa matematika ay magagamit sa mga mag-aaral; bukod pa rito, napipilitan lang silang makabisado ang mga ito, at ito ay nag-aambag din sa edukasyong matematika. Tulad ng para sa paggamit ng mga espesyal na pakete ng software, ito ay angkop sa isang profile na kurso sa computer science bilang pandagdag sa iba pang mga tool.

Mag-ehersisyo :

• Balangkasin ang mga pangunahing konsepto.

LECTURE 4

Kahulugan at layunin ng pagmomodelo ng matematika

Sa ilalim modelo(mula sa Latin na modulus - sukat, sample, pamantayan) mauunawaan natin ang gayong materyal o mental na kinakatawan na bagay na, sa proseso ng pag-unawa (pag-aaral), pinapalitan ang orihinal na bagay, pinapanatili ang ilan sa mga tipikal na tampok nito na mahalaga para sa pag-aaral na ito . Ang proseso ng pagbuo at paggamit ng isang modelo ay tinatawag na pagmomodelo.

kakanyahan pagmomolde ng matematika (MM) ay binubuo sa pagpapalit ng bagay (proseso) sa ilalim ng pag-aaral ng isang sapat na modelo ng matematika at ang kasunod na pag-aaral ng mga katangian ng modelong ito gamit ang alinman sa analytical na pamamaraan o computational na mga eksperimento.

Minsan ito ay mas kapaki-pakinabang, sa halip na magbigay ng mahigpit na mga kahulugan, upang ilarawan ito o ang konsepto na iyon na may isang tiyak na halimbawa. Samakatuwid, inilalarawan namin ang mga kahulugan sa itaas ng MM gamit ang halimbawa ng problema ng pagkalkula ng tiyak na salpok. Noong unang bahagi ng 1960s, ang mga siyentipiko ay nahaharap sa gawain ng pagbuo ng rocket fuel na may pinakamataas na tiyak na salpok. Ang prinsipyo ng paggalaw ng rocket ay ang mga sumusunod: ang likidong gasolina at oxidizer mula sa mga tanke ng rocket ay pinapakain sa makina, kung saan sila ay sinusunog, at ang mga produkto ng pagkasunog ay inilabas sa kapaligiran. Mula sa batas ng konserbasyon ng momentum, sumusunod na sa kasong ito ang rocket ay lilipat nang may bilis.

Ang tiyak na salpok ng isang gasolina ay ang nagresultang salpok na hinati sa masa ng gasolina. Ang mga eksperimento ay napakamahal at humantong sa sistematikong pinsala sa kagamitan. Ito ay naging mas madali at mas mura upang makalkula ang mga thermodynamic na pag-andar ng mga ideal na gas, upang makalkula sa kanilang tulong ang komposisyon ng mga ibinubuga na gas at ang temperatura ng plasma, at pagkatapos ay ang tiyak na salpok. Iyon ay, upang isagawa ang MM ng proseso ng pagkasunog ng gasolina.

Ang konsepto ng mathematical modeling (MM) ngayon ay isa sa pinakakaraniwan sa siyentipikong panitikan. Ang karamihan sa mga modernong tesis at disertasyon ay nauugnay sa pagbuo at paggamit ng mga naaangkop na modelo ng matematika. Ang Computer MM ngayon ay isang mahalagang bahagi ng maraming larangan ng aktibidad ng tao (agham, teknolohiya, ekonomiya, sosyolohiya, atbp.). Isa ito sa mga dahilan ng kakulangan ngayon ng mga espesyalista sa larangan ng teknolohiya ng impormasyon.

Ang mabilis na paglago ng mathematical modeling ay dahil sa mabilis na pagpapabuti ng teknolohiya ng computer. Kung kahit na 20 taon na ang nakakaraan ay isang maliit na bilang lamang ng mga programmer ang nakikibahagi sa mga kalkulasyon ng numero, ngayon ang dami ng memorya at bilis ng mga modernong computer, na ginagawang posible upang malutas ang mga problema ng pagmomolde ng matematika, ay magagamit sa lahat ng mga espesyalista, kabilang ang mga mag-aaral sa unibersidad.

Sa anumang disiplina, ang isang husay na paglalarawan ng mga phenomena ay unang ibinigay. At pagkatapos - quantitative, na binuo sa anyo ng mga batas na nagtatatag ng mga ugnayan sa pagitan ng iba't ibang dami (lakas ng field, intensity ng scattering, singil ng elektron, ...) sa anyo ng mga equation ng matematika. Samakatuwid, maaari nating sabihin na sa bawat disiplina ay mayroong kasing dami ng agham na may mga mathematician dito, at ang katotohanang ito ay nagpapahintulot sa amin na matagumpay na malutas ang maraming mga problema gamit ang mga pamamaraan ng pagmomolde ng matematika.

Ang kursong ito ay idinisenyo para sa mga mag-aaral na may major sa applied mathematics na kumukumpleto ng kanilang mga thesis sa ilalim ng pangangasiwa ng mga nangungunang siyentipiko na nagtatrabaho sa iba't ibang larangan. Samakatuwid, ang kursong ito ay kinakailangan hindi lamang bilang materyal na pang-edukasyon kundi bilang paghahanda din para sa thesis. Para sa pag-aaral kursong ito kakailanganin natin ang mga sumusunod na seksyon ng matematika:

1. Mga equation ng mathematical physics (Kantian mechanics, gas at hydrodynamics)

2. Linear algebra (ang teorya ng elasticity)

3. Scalar at vector field (field theory)

4. Probability theory (quantum mechanics, statistical physics, physical kinetics)

5. Mga espesyal na tampok.

6. Tensor analysis (teorya ng elasticity)

7. Pagsusuri sa matematika

MM sa natural science, engineering, at economics

Isaalang-alang muna natin ang iba't ibang sangay ng natural na agham, teknolohiya, ekonomiya, kung saan ginagamit ang mga modelo ng matematika.

likas na agham

Ang pisika, na nagtatatag ng mga pangunahing batas ng natural na agham, ay matagal nang nahahati sa teoretikal at eksperimental. Ang teoretikal na pisika ay tumatalakay sa derivation ng mga equation na naglalarawan ng pisikal na phenomena. Kaya, ang teoretikal na pisika ay maaari ding ituring na isa sa mga lugar ng pagmomolde ng matematika. (Tandaan na ang pamagat ng unang aklat sa physics - "The Mathematical Principles of Natural Philosophy" ni I. Newton ay maaaring isalin sa modernong wika bilang "Mga modelo ng matematika ng mga natural na agham.") Batay sa mga nakuhang batas, ang mga kalkulasyon ng engineering ay isinasagawa, na isinasagawa sa iba't ibang mga institusyon, kumpanya, mga tanggapan ng disenyo. Ang mga organisasyong ito ay bumuo ng mga teknolohiya para sa pagmamanupaktura ng mga makabagong produkto na masinsinang pang-agham. Kaya, ang konsepto ng mga teknolohiyang masinsinang agham ay kinabibilangan ng mga kalkulasyon gamit ang naaangkop na mga modelo ng matematika.

Isa sa pinakamalawak na sangay ng pisika - klasikal na mekanika(kung minsan ang seksyong ito ay tinatawag na teoretikal o analytical mechanics). Ang seksyong ito ng teoretikal na pisika ay pinag-aaralan ang paggalaw at pakikipag-ugnayan ng mga katawan. Ang mga kalkulasyon gamit ang mga formula ng theoretical mechanics ay kinakailangan kapag pinag-aaralan ang pag-ikot ng mga katawan (pagkalkula ng mga sandali ng pagkawalang-galaw, gyrostats - mga aparato na nagpapanatili sa mga axes ng pag-ikot na nakatigil), pag-aaral ng paggalaw ng isang katawan sa isang vacuum, atbp. Isa sa mga seksyon ng theoretical mechanics ay tinatawag na theory of stability at pinagbabatayan ang maraming mathematical models na naglalarawan sa paggalaw ng sasakyang panghimpapawid, barko, rocket. Mga seksyon ng praktikal na mekanika - mga kursong "Teorya ng mga makina at mekanismo", "Mga bahagi ng makina", ay pinag-aaralan ng mga mag-aaral ng halos lahat ng teknikal na unibersidad (kabilang ang MGIU).

Teorya ng pagkalastiko- bahagi ng isang seksyon continuum mechanics, na ipinapalagay na ang materyal ng nababanat na katawan ay homogenous at patuloy na ipinamamahagi sa buong volume ng katawan, upang ang pinakamaliit na elemento na pinutol sa katawan ay may parehong pisikal na katangian, na siyang buong katawan. Ang aplikasyon ng teorya ng pagkalastiko - ang kursong "lakas ng mga materyales", ay pinag-aralan ng mga mag-aaral ng lahat ng teknikal na unibersidad (kabilang ang MGIU). Ang seksyong ito ay kinakailangan para sa lahat ng mga kalkulasyon ng lakas. Narito ang pagkalkula ng lakas ng mga hull ng mga barko, sasakyang panghimpapawid, mga missile, pagkalkula ng lakas ng bakal at reinforced concrete structures ng mga gusali, at marami pang iba.

Gas at hydrodynamics, pati na rin ang teorya ng pagkalastiko - bahagi ng seksyon continuum mechanics, isinasaalang-alang ang mga batas ng paggalaw ng likido at gas. Ang mga equation ng gas at hydrodynamics ay kinakailangan kapag sinusuri ang paggalaw ng mga katawan sa isang likido at gas na daluyan (mga satellite, submarino, rocket, shell, kotse), kapag kinakalkula ang pag-agos ng gas mula sa mga nozzle ng rocket at aircraft engine. Praktikal na Paglalapat ng Fluid Dynamics – Hydraulics (Brake, Rudder,…)

Ang mga nakaraang seksyon ng mekanika ay isinasaalang-alang ang paggalaw ng mga katawan sa macrocosm, at ang mga pisikal na batas ng macrocosm ay hindi naaangkop sa microcosm, kung saan ang mga particle ng bagay ay gumagalaw - mga proton, neutron, electron. Dito, gumagana ang ganap na magkakaibang mga prinsipyo, at upang ilarawan ang microworld, ito ay kinakailangan upang quantum mechanics. Ang pangunahing equation na naglalarawan sa pag-uugali ng microparticle ay ang Schrödinger equation: . Narito, ang Hamiltonian operator (Hamiltonian). Para sa isang one-dimensional na particle motion equation https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potential energy. Ang solusyon ng equation na ito ay isang set ng mga eigenvalues ​​ng enerhiya at eigenfunctions..gif" width="55" height="24 src=">– probability density. Ang mga kalkulasyon ng quantum mechanical ay kinakailangan para sa pagbuo ng mga bagong materyales (microcircuits), ang paglikha ng mga laser, ang pagbuo ng mga pamamaraan ng spectral analysis, atbp.

Ang isang malaking bilang ng mga gawain ay nalutas kinetics inilalarawan ang paggalaw at interaksyon ng mga particle. Dito at pagsasabog, paglipat ng init, ang teorya ng plasma - ang ikaapat na estado ng bagay.

istatistikal na pisika isinasaalang-alang ang mga ensemble ng mga particle, ginagawang posible na sabihin ang tungkol sa mga parameter ng ensemble, batay sa mga katangian ng mga indibidwal na particle. Kung ang ensemble ay binubuo ng mga molekula ng gas, kung gayon ang mga katangian ng ensemble na nakuha ng mga pamamaraan ng istatistikal na pisika ay ang mga equation ng estado ng gas na kilala mula sa mataas na paaralan: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-molecular weight ng gas. Ang K ay ang Rydberg constant. paraang istatistikal ang mga katangian ng mga solusyon, kristal, at mga electron sa mga metal ay kinakalkula din. MM statistical physics - teoretikal na background thermodynamics, na sumasailalim sa pagkalkula ng mga makina, heating network at istasyon.

Teorya sa larangan inilalarawan ng mga pamamaraan ng MM ang isa sa mga pangunahing anyo ng bagay - ang patlang. Sa kasong ito, ang mga electromagnetic field ay pangunahing interes. Ang mga equation ng electromagnetic field (electrodynamics) ay hinango ni Maxwell: , , , . Dito at https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - density ng singil, - kasalukuyang density. Ang mga equation ng electrodynamics ay sumasailalim sa mga kalkulasyon ng pagpapalaganap ng mga electromagnetic wave na kinakailangan upang ilarawan ang pagpapalaganap ng mga radio wave (radio, telebisyon, cellular na komunikasyon), ipaliwanag ang pagpapatakbo ng mga istasyon ng radar.

Ang kimika ay maaaring kinakatawan sa dalawang aspeto, na nagbibigay-diin sa mapaglarawang kimika - ang pagtuklas ng mga salik ng kemikal at ang kanilang paglalarawan - at teoretikal na kimika - ang pagbuo ng mga teorya na nagpapahintulot sa pag-generalize ng mga naitatag na salik at paglalahad ng mga ito sa anyo ng isang tiyak na sistema (L. Pauling) . Ang teoretikal na kimika ay tinatawag ding pisikal na kimika at, sa esensya, isang sangay ng pisika na nag-aaral ng mga sangkap at ang kanilang mga pakikipag-ugnayan. Samakatuwid, ang lahat ng sinabi tungkol sa pisika ay ganap na nalalapat sa kimika. Ang mga seksyon ng pisikal na kimika ay magiging thermochemistry, na pinag-aaralan ang mga thermal effect ng mga reaksyon, mga kemikal na kinetika (mga rate ng reaksyon), quantum chemistry (ang istraktura ng mga molekula). Kasabay nito, ang mga problema ng kimika ay lubhang kumplikado. Kaya, halimbawa, upang malutas ang mga problema ng quantum chemistry - ang agham ng istraktura ng mga atomo at molekula, ginagamit ang mga programa na maihahambing sa dami sa mga programa sa pagtatanggol sa hangin ng bansa. Halimbawa, upang ilarawan ang molekula ng UCl4, na binubuo ng 5 atomic nuclei at +17 * 4) na mga electron, kailangan mong isulat ang equation ng paggalaw - mga equation sa mga partial derivatives.

Biology

Ang matematika ay talagang dumating sa biology lamang sa ikalawang kalahati ng ika-20 siglo. Ang mga unang pagtatangka na mathematically ilarawan ang mga biological na proseso ay nauugnay sa mga modelo ng dynamics ng populasyon. Ang populasyon ay isang komunidad ng mga indibidwal ng parehong species na sumasakop sa isang tiyak na lugar ng espasyo sa Earth. Ang lugar na ito ng mathematical biology, na pinag-aaralan ang pagbabago sa laki ng populasyon sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon (ang pagkakaroon ng mga nakikipagkumpitensyang species, mga mandaragit, mga sakit, atbp.), Patuloy na nagsisilbing isang mathematical testing ground kung saan ang mga mathematical model ay "ginanap" sa iba't ibang larangan ng biology. Kabilang ang mga modelo ng ebolusyon, microbiology, immunology at iba pang mga lugar na nauugnay sa mga populasyon ng cell.
Ang pinakaunang kilalang modelo na nabuo sa isang biyolohikal na setting ay ang sikat na seryeng Fibonacci (bawat kasunod na numero ay ang kabuuan ng naunang dalawa), na binanggit sa kanyang gawa ni Leonardo ng Pisa noong ika-13 siglo. Ito ay isang serye ng mga numero na naglalarawan sa bilang ng mga pares ng mga kuneho na ipinanganak bawat buwan, kung ang mga kuneho ay magsisimulang dumami mula sa ikalawang buwan at gumawa ng isang pares ng mga kuneho bawat buwan. Ang row ay kumakatawan sa isang sequence ng mga numero: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Ang isa pang halimbawa ay ang pag-aaral ng mga proseso ng transportasyon ng ionic transmembrane sa isang artipisyal na bilayer membrane. Dito, upang pag-aralan ang mga batas ng pagbuo ng isang butas na kung saan ang isang ion ay dumaan sa lamad patungo sa cell, kinakailangan na lumikha ng isang modelong sistema na maaaring pag-aralan nang eksperimento, at kung saan ang isang mahusay na binuo na pisikal na paglalarawan ay maaaring gawin. ginamit.

Ang isang klasikong halimbawa ng MM ay ang populasyon ng Drosophila. Ang isang mas maginhawang modelo ay ang mga virus, na maaaring palaganapin sa isang test tube. Ang mga pamamaraan ng pagmomodelo sa biology ay ang mga pamamaraan ng teorya ng mga dinamikong sistema, at ang ibig sabihin ay mga pagkakaiba at pagkakaiba ng mga equation, mga pamamaraan ng qualitative theory ng mga differential equation, simulation modeling.
Mga layunin ng pagmomodelo sa biology:
3. Pagpapaliwanag ng mga mekanismo ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga elemento ng system
4. Pagkilala at pagpapatunay ng mga parameter ng modelo gamit ang pang-eksperimentong data.
5. Pagtatasa ng katatagan ng system (modelo).

6. Paghuhula ng pag-uugali ng system sa ilalim ng iba't ibang panlabas na impluwensya, iba't-ibang paraan pamamahala at iba pa.
7. Pinakamainam na kontrol ng system alinsunod sa napiling pamantayan ng pinakamainam.

Pamamaraan

Ang isang malaking bilang ng mga espesyalista ay nakikibahagi sa pagpapabuti ng teknolohiya, na sa kanilang trabaho ay umaasa sa mga resulta siyentipikong pananaliksik. Samakatuwid, ang MM sa teknolohiya ay kapareho ng MM sa natural na agham, na tinalakay sa itaas.

Mga proseso ng ekonomiya at panlipunan

Karaniwang tinatanggap na ang pagmomodelo ng matematika bilang isang paraan ng pagsusuri ng mga prosesong macroeconomic ay unang ginamit ng manggagamot ni Haring Louis XV, si Dr. François Quesnay, na noong 1758 ay naglathala ng akdang "Economic Table". Sa gawaing ito, ang unang pagtatangka ay ginawa upang ilarawan ang dami ng pambansang ekonomiya. At noong 1838 sa aklat O. Courtot"Pagsisiyasat sa mga prinsipyo ng matematika ng teorya ng yaman" ang mga quantitative na pamamaraan ay unang ginamit upang pag-aralan ang kompetisyon sa merkado ng kalakal sa ilalim ng iba't ibang mga sitwasyon sa merkado.

Ang teorya ng populasyon ni Malthus ay kilala rin, kung saan iminungkahi niya ang ideya na ang paglaki ng populasyon ay malayo sa palaging kanais-nais, at ang paglago na ito ay mas mabilis kaysa sa lumalagong mga posibilidad ng pagbibigay ng pagkain sa populasyon. Ang modelo ng matematika ng naturang proseso ay medyo simple: Hayaan - paglaki ng populasyon sa paglipas ng panahon https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> ang numero ay katumbas ng .at ang mga coefficient na isinasaalang-alang ang mga rate ng kapanganakan at kamatayan (mga tao/taon).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumental at mathematical na pamamaraan" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">mathematical na pamamaraan ng pagsusuri (halimbawa, sa mga nakalipas na dekada, lumitaw ang mga matematikal na teorya ng pag-unlad ng kultura sa humanidades, mga modelong matematikal ng mobilisasyon, paikot na pag-unlad ng mga prosesong sosyo-kultural, isang modelo ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga tao at gobyerno, isang armas modelo ng lahi, atbp.) ay itinayo at pinag-aralan.

Sa pinaka-pangkalahatang mga termino, ang proseso ng MM ng mga prosesong sosyo-ekonomiko ay maaaring may kondisyon na nahahati sa apat na yugto:

pagbabalangkas ng isang sistema ng mga hypotheses at pagbuo ng isang konseptwal na modelo; pagbuo ng isang modelo ng matematika; pagsusuri ng mga resulta ng mga kalkulasyon ng modelo, na kinabibilangan ng kanilang paghahambing sa pagsasanay; pagbabalangkas ng mga bagong hypotheses at pagpipino ng modelo sa kaso ng pagkakaiba sa pagitan ng mga resulta ng mga kalkulasyon at praktikal na data.

Tandaan na, bilang panuntunan, ang proseso ng pagmomodelo ng matematika ay paikot, dahil kahit na nag-aaral ng medyo simpleng mga proseso, bihirang posible na bumuo ng isang sapat na modelo ng matematika mula sa unang hakbang at piliin ang eksaktong mga parameter nito.

Sa kasalukuyan, ang ekonomiya ay itinuturing na isang kumplikadong sistema ng pagbuo, para sa dami ng paglalarawan kung saan ginagamit ang mga dinamikong modelo ng matematika na may iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Ang isa sa mga lugar ng pananaliksik ng macroeconomic dynamics ay nauugnay sa pagtatayo at pagsusuri ng medyo simpleng nonlinear simulation na mga modelo na sumasalamin sa pakikipag-ugnayan ng iba't ibang mga subsystem - ang labor market, ang merkado ng mga kalakal, ang sistema ng pananalapi, ang natural na kapaligiran, atbp.

Ang teorya ng mga sakuna ay matagumpay na umuunlad. Isinasaalang-alang ng teoryang ito ang tanong ng mga kondisyon kung saan ang pagbabago sa mga parameter ng isang nonlinear system ay nagiging sanhi ng isang punto sa phase space na nagpapakilala sa estado ng system na lumipat mula sa rehiyon ng atraksyon patungo sa paunang posisyon ng ekwilibriyo patungo sa rehiyon ng atraksyon. sa isa pang posisyon ng ekwilibriyo. Ang huli ay napakahalaga hindi lamang para sa pagsusuri ng mga teknikal na sistema, kundi pati na rin para sa pag-unawa sa pagpapanatili ng mga prosesong sosyo-ekonomiko. Kaugnay nito, ang mga natuklasan tungkol sa kahalagahan ng pag-aaral ng mga nonlinear na modelo para sa pamamahala. Sa aklat na "The Theory of Catastrophes", na inilathala noong 1990, isinulat niya, sa partikular: "... ang kasalukuyang restructuring ay higit sa lahat dahil sa ang katunayan na ang hindi bababa sa ilang mga mekanismo ng feedback (takot sa personal na pagkasira) ay nagsimulang gumana. "

(mga parameter ng modelo)

Kapag nagtatayo ng mga modelo ng mga tunay na bagay at phenomena, ang isang tao ay madalas na nakatagpo ng kakulangan ng impormasyon. Para sa bagay na pinag-aaralan, ang pamamahagi ng mga katangian, ang mga parameter ng epekto at ang paunang estado ay kilala na may iba't ibang antas ng kawalan ng katiyakan. Kapag gumagawa ng modelo, posible ang mga sumusunod na opsyon para sa paglalarawan ng mga hindi tiyak na parameter:

Pag-uuri ng mga modelo ng matematika

(paraan ng pagpapatupad)

Ang mga pamamaraan ng pagpapatupad ng MM ay maaaring uriin ayon sa talahanayan sa ibaba.

Mga Paraan ng Pagpapatupad ng MM Kadalasan, ang analytical na solusyon para sa modelo ay ipinakita sa anyo ng mga pag-andar. Upang makuha ang mga halaga ng mga pag-andar na ito para sa mga tiyak na halaga ng mga parameter ng input, ang kanilang pagpapalawak sa serye (halimbawa, Taylor) ay ginagamit, at ang halaga ng pag-andar para sa bawat halaga ng argumento ay tinutukoy ng humigit-kumulang. Ang mga modelo na gumagamit ng pamamaraang ito ay tinatawag tinatayang. Sa numerical approach ang hanay ng mga mathematical na relasyon ng modelo ay pinalitan ng isang may hangganan-dimensional na analogue. Ito ay kadalasang nakakamit sa pamamagitan ng pag-discretize sa mga unang relasyon, ibig sabihin, sa pamamagitan ng pagpasa mula sa mga function ng isang tuluy-tuloy na argumento sa mga function ng isang discrete argument (grid method). Ang solusyon na natagpuan pagkatapos ng mga kalkulasyon sa isang computer ay kinuha bilang isang tinatayang solusyon ng orihinal na problema. Karamihan sa mga umiiral na sistema ay napaka-kumplikado, at imposibleng lumikha ng isang tunay na modelo para sa kanila, na inilarawan nang analytical. Ang ganitong mga sistema ay dapat pag-aralan gamit pagmomolde ng simulation. Ang isa sa mga pangunahing pamamaraan ng pagmomolde ng simulation ay nauugnay sa paggamit ng isang random na generator ng numero. Dahil ang isang malaking bilang ng mga problema ay nalutas sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng MM, ang mga pamamaraan para sa pagpapatupad ng MM ay pinag-aralan sa higit sa isa kursong pagsasanay. Narito ang mga partial differential equation, numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito, computational mathematics, computer simulation, atbp. PAULING, Linus Carl (Pauling, Linus Carl) (), American chemist at physicist, iginawad noong 1954 Nobel Prize sa kimika para sa pag-aaral ng kalikasan kemikal na dumidikit at pagtukoy sa istraktura ng mga protina. Ipinanganak noong Pebrero 28, 1901 sa Portland, Oregon. Gumawa siya ng isang quantum mechanical method para sa pag-aaral ng istraktura ng mga molecule (kasama ang American physicist na si J. Slayer) - ang paraan ng valence bonds, pati na rin ang teorya ng resonance, na ginagawang posible na ipaliwanag ang istraktura ng carbon-containing compounds , pangunahin ang mga compound ng aromatic series. Sa panahon ng kulto ng personalidad ng USSR, ang mga siyentipiko na kasangkot sa quantum chemistry ay inusig at inakusahan ng "polingism". MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), Ingles na ekonomista. Ipinanganak sa Rookery malapit sa Dorking sa Surrey noong Pebrero 15 o 17, 1766. Noong 1798 inilathala niya nang hindi nagpapakilala Isang eksperimento sa batas ng populasyon. Noong 1819 si Malthus ay nahalal na Fellow ng Royal Society.