Harmonic oscillator spring pendulum. Tamang-tama harmonic oscillator

F, proporsyonal sa displacement x :

Kung F- ang tanging puwersa na kumikilos sa system, pagkatapos ay tinawag ang system simple lang o konserbatibong harmonic oscillator. Ang mga libreng oscillation ng naturang sistema ay kumakatawan sa isang pana-panahong paggalaw sa paligid ng posisyon ng ekwilibriyo ( harmonic vibrations). Ang dalas at amplitude ay pare-pareho, at ang dalas ay hindi nakasalalay sa amplitude.

Ang mga mekanikal na halimbawa ng isang harmonic oscillator ay ang mathematical pendulum (na may maliliit na anggulo ng pagpapalihis), isang timbang sa isang spring, isang torsion pendulum, at mga acoustic system. Kabilang sa mga non-mechanical na analogues ng isang harmonic oscillator, maaari isa-isa ang isang electric harmonic oscillator (tingnan ang LC circuit).

Hayaan x- pag-aalis ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa posisyon ng ekwilibriyo nito, at F- kumikilos sa isang puntong nagpapanumbalik ng puwersa ng anumang uri ng anyo

saan k= const. Pagkatapos, gamit ang pangalawang batas ni Newton, maaaring isulat ng isa ang acceleration bilang

Ang amplitude ay nabawasan. Nangangahulugan ito na maaari itong magkaroon ng anumang halaga (kabilang ang zero - nangangahulugan ito na ang materyal na punto ay nasa pahinga sa posisyon ng ekwilibriyo). Ang sine ay maaari ding bawasan, dahil ang pagkakapantay-pantay ay dapat manatili anumang oras t. Kaya, ang kondisyon para sa dalas ng oscillation ay nananatili:

Ang simpleng harmonic motion ay ang batayan ng ilang paraan ng pagsusuri ng mas kumplikadong mga uri ng paggalaw. Ang isa sa mga pamamaraang ito ay batay sa pagbabagong Fourier, ang kakanyahan nito ay upang mabulok ang isang mas kumplikadong uri ng paggalaw sa isang serye ng mga simpleng harmonic na galaw.

Anumang sistema kung saan nangyayari ang simpleng harmonic motion ay may dalawang pangunahing katangian:

Ang isang tipikal na halimbawa ng isang sistema kung saan nangyayari ang simpleng harmonic motion ay ang idealized mass-spring system, kung saan ang isang masa ay nakakabit sa isang spring at inilalagay sa isang pahalang na ibabaw. Kung ang tagsibol ay hindi naka-compress at hindi nakaunat, kung gayon walang mga variable na puwersa ang kumikilos sa pagkarga at ito ay nasa isang estado ng mekanikal na balanse. Gayunpaman, kung ang pagkarga ay tinanggal mula sa posisyon ng balanse, ang spring ay nababago at ang isang puwersa ay kikilos mula sa gilid nito, na may posibilidad na ibalik ang pagkarga sa posisyon ng ekwilibriyo. Sa kaso ng sistema ng pag-load-spring, ang gayong puwersa ay ang nababanat na puwersa ng tagsibol, na sumusunod sa batas ni Hooke:

saan k ay may isang napaka tiyak na kahulugan - ito ang koepisyent ng spring stiffness.

Sa sandaling ang displaced load ay sumailalim sa pagkilos ng isang nagpapanumbalik na puwersa, pinabilis ito at may posibilidad na ibalik ito sa panimulang punto, iyon ay, sa posisyon ng ekwilibriyo. Habang papalapit ang pagkarga sa posisyon ng ekwilibriyo, bumababa ang puwersa ng pagpapanumbalik at nagiging zero. Gayunpaman, sa posisyon x = 0 ang pagkarga ay may isang tiyak na halaga ng paggalaw (momentum), na nakuha dahil sa pagkilos ng puwersa ng pagpapanumbalik. Samakatuwid, ang pag-load ay nilaktawan ang posisyon ng balanse, na nagsisimulang mag-deform muli sa tagsibol (ngunit sa kabaligtaran ng direksyon). Ang puwersa ng pagpapanumbalik ay may posibilidad na pabagalin ito hanggang ang bilis ay zero; at ang puwersa ay muling maghahangad na ibalik ang pagkarga sa posisyon nitong ekwilibriyo.

Kung walang pagkawala ng enerhiya, ang load ay mag-oscillate tulad ng inilarawan sa itaas; pana-panahon ang kilusang ito.

Simple harmonic motion na ipinapakita nang sabay-sabay sa real space at phase space. Real Space - totoong espasyo; Phase Space - puwang ng phase; bilis - bilis; posisyon - posisyon (posisyon).

Sa kaso ng isang load na patayong nasuspinde sa isang spring, kasama ang nababanat na puwersa, ang gravity ay kumikilos, iyon ay, ang kabuuang puwersa ay magiging

Ang mga sukat ng dalas (o panahon) ng mga oscillations ng isang load sa isang spring ay ginagamit sa mga aparato para sa pagtukoy ng body mass - ang tinatawag na mass meters, na ginagamit sa mga istasyon ng kalawakan kapag hindi gumana ang balanse dahil sa kawalan ng timbang.

Ang simpleng harmonic motion sa ilang mga kaso ay maaaring ituring bilang isang one-dimensional na projection ng unibersal na circular motion.

Kung ang isang bagay ay gumagalaw nang may pare-parehong angular na bilis ω kasama ang isang bilog na radius r, na ang sentro ay ang pinagmulan ng eroplano x − y, kung gayon ang gayong paggalaw sa bawat isa sa mga coordinate axes ay simpleng harmonic na may amplitude r at pabilog na dalas ω .

Sa pagtatantya ng maliliit na anggulo, ang paggalaw ng isang simpleng pendulum ay malapit sa simpleng harmonic. Ang panahon ng oscillation ng naturang pendulum na nakakabit sa isang baras ng haba ℓ , ay ibinibigay ng formula

saan g- acceleration ng gravity. Ipinapakita nito na ang panahon ng oscillation ay hindi nakasalalay sa amplitude at mass ng pendulum, ngunit depende sa g, samakatuwid, na may parehong haba ng pendulum, sa Buwan ito ay uugoy nang mas mabagal, dahil ang gravity ay mas mahina doon at ang halaga ng libreng pagbagsak ng acceleration ay mas mababa.

Ang tinukoy na approximation ay tama lamang sa maliliit na anggulo ng pagpapalihis, dahil ang expression para sa angular acceleration ay proporsyonal sa sine ng coordinate:

saan ako- sandali ng pagkawalang-galaw; sa kasong ito ako = mℓ 2. Ang mga maliliit na anggulo ay natanto sa ilalim ng mga kondisyon kapag ang amplitude ng oscillation ay mas mababa kaysa sa haba ng baras.

na ginagawang direktang proporsyonal ang angular acceleration sa anggulo θ, at natutugunan nito ang kahulugan ng simpleng harmonic motion.

Kapag isinasaalang-alang ang isang damped oscillator, ang modelo ng isang konserbatibong oscillator ay kinuha bilang batayan, kung saan ang viscous friction force ay idinagdag. Ang puwersa ng malapot na friction ay nakadirekta laban sa bilis ng pagkarga na may kaugnayan sa daluyan at direktang proporsyonal sa bilis na ito. Pagkatapos ang kabuuang puwersa na kumikilos sa pag-load ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Gamit ang pangalawang batas ni Newton, nakukuha natin differential equation inilalarawan ang damped oscillator:

Samakatuwid, sa mga tagapagpahiwatig ng pointer (halimbawa, sa mga ammeter), kadalasang sinusubukan nilang ipakilala ang tiyak na kritikal na pagpapalambing upang ang arrow ay huminahon nang mabilis hangga't maaari upang mabasa ang mga pagbabasa nito.

Ang isang oscillator na may kritikal na pamamasa ay may kalidad na kadahilanan na 0.5. Alinsunod dito, ang kadahilanan ng kalidad ay nagpapahiwatig ng likas na katangian ng pag-uugali ng oscillator. Kung ang kadahilanan ng kalidad ay mas malaki kaysa sa 0.5, kung gayon ang libreng paggalaw ng oscillator ay isang oscillation; ayon sa teorya, sa paglipas ng panahon, tatawid ito sa posisyon ng ekwilibriyo ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang isang kadahilanan ng kalidad na mas mababa sa o katumbas ng 0.5 ay tumutugma sa di-oscillatory na paggalaw ng oscillator; sa malayang paggalaw, tatawid ito sa posisyon ng ekwilibriyo nang hindi hihigit sa isang beses.

Sa kaso ng oscillatory motion, ang attenuation ay nailalarawan din ng mga parameter tulad ng:

Ang oras na ito ay isinasaalang-alang bilang ang oras na kinakailangan para sa pamamasa (pagtigil) ng mga oscillation (bagama't, pormal, ang mga libreng oscillations ay nagpapatuloy nang walang katiyakan).

Ang mga oscillations ng isang oscillator ay tinatawag na sapilitang kapag ang ilang karagdagang panlabas na impluwensya ay ginawa dito. Ang impluwensyang ito ay maaaring gawin sa iba't ibang paraan at ayon sa iba't ibang batas. Halimbawa, ang force excitation ay ang epekto sa pagkarga ng isang puwersa na nakasalalay lamang sa oras ayon sa isang partikular na batas. Ang kinematic excitation ay ang pagkilos sa oscillator sa pamamagitan ng paggalaw ng spring fixing point ayon sa isang ibinigay na batas. Posible rin ang epekto ng friction, kapag, halimbawa, ang medium kung saan ang load ay nakakaranas ng friction ay gumagalaw ayon sa isang ibinigay na batas.

Isaalang-alang ang mga oscillations ng isang timbang m sa isang spring na may stiffness coefficient k, na namamalagi sa isang patag na pahalang na mesa, sa pag-aakalang walang friction ng bigat sa ibabaw ng mesa. Kung ang timbang ay tinanggal mula sa posisyon ng balanse, ito ay mag-oscillate tungkol sa posisyon na ito. Ilalarawan namin ang mga oscillations na ito sa pamamagitan ng isang function na nakasalalay sa oras, sa pag-aakalang tinutukoy nito ang paglihis ng timbang mula sa posisyon ng equilibrium nito sa oras t.

Sa pahalang na direksyon, isang puwersa lamang ang kumikilos sa bigat - ang nababanat na puwersa ng tagsibol, na tinutukoy ng kilalang batas ni Hooke

Ang pagpapapangit ng tagsibol ay isang function ng oras, kung kaya't ito ay isang variable din.

Mula sa ikalawang batas ni Newton mayroon tayo

dahil ang acceleration ay ang pangalawang derivative ng displacement: .

Ang equation (9) ay maaaring muling isulat sa anyo

saan. Ang equation na ito ay tinatawag na harmonic oscillator equation.

Magkomento. Sa mathematical literature, kapag nagsusulat ng differential equation, karaniwang hindi ipinapahiwatig ng isa ang argumento (t) malapit sa lahat ng function na nakasalalay dito. Ang dependency na ito ay ipinapalagay bilang default. Kapag ginagamit ang mathematical package na Maple sa (10), kinakailangang ipahiwatig ang tahasang pagdepende ng function.

Hindi tulad ng nakaraang halimbawa ng paggalaw ng katawan sa ilalim ng pagkilos ng isang pare-parehong puwersa, sa aming kaso ang puwersa ay nagbabago sa paglipas ng panahon, at ang equation (10) ay hindi na malulutas gamit ang karaniwang pamamaraan ng pagsasama. Subukan nating hulaan ang solusyon ng equation na ito, alam na inilalarawan nito ang ilang proseso ng oscillatory. Bilang isa sa mga posibleng solusyon sa equation (10), maaari nating piliin ang sumusunod na function:

Differentiating function (11), mayroon kami

Ang pagpapalit ng expression (12) sa equation (10), tinitiyak namin na ito ay nasiyahan nang magkapareho para sa anumang halaga ng t.

Gayunpaman, ang function (11) ay hindi lamang ang solusyon sa harmonic oscillator equation. Halimbawa, ang isa ay maaaring pumili ng isang function bilang isa pang solusyon, na madali ring suriin sa katulad na paraan. Bukod dito, masusuri ng isa na ang anumang linear na kumbinasyon ng dalawang random na pinangalanang solusyon na ito

na may pare-parehong coefficients A at B ay isa ring solusyon sa harmonic oscillator equation.

Mapapatunayan na ang dalawang pare-parehong solusyon (13) ay ang pangkalahatang solusyon ng harmonic oscillator equation (10). Nangangahulugan ito na inuubos ng formula (13) ang lahat ng posibleng solusyon sa equation na ito. Sa madaling salita, ang harmonic oscillator equation ay walang ibang partikular na solusyon, maliban sa mga nakuha mula sa formula (13) sa pamamagitan ng pag-aayos ng mga arbitrary na constants A at B.

Tandaan na sa pisika ito ay kadalasang kinakailangan upang maghanap ng ilang partikular na solusyon lamang ng mga indibidwal na ODE o kanilang mga sistema. Isaalang-alang natin ang tanong na ito nang mas detalyado.

Posibleng pukawin ang mga oscillations sa sistema ng timbang sa isang spring na aming isinasaalang-alang iba't ibang paraan. Itakda natin ang mga sumusunod na paunang kondisyon

Nangangahulugan ito na sa unang sandali ng oras, ang timbang ay tinanggal mula sa posisyon ng balanse sa pamamagitan ng isang halaga a at malayang inilabas (ibig sabihin, sinisimulan nito ang paggalaw nito na may zero na paunang bilis). Maaaring isipin ng isang tao ang maraming iba pang mga paraan ng paggulo, halimbawa, ang isang timbang sa posisyon ng balanse ay binibigyan ng ilang paunang bilis sa pamamagitan ng isang "click", atbp. [ pangkalahatang kaso, ].

Isinasaalang-alang namin ang mga paunang kondisyon (14) bilang ilang karagdagang mga kondisyon para sa paghihiwalay mula sa pangkalahatang solusyon (13) ilang partikular na solusyon na naaayon sa aming paraan ng paggulo ng mga oscillations ng timbang.

Sa pag-aakalang t=0 sa expression (13), mayroon tayo, kung saan sumusunod na B=a. Kaya, natagpuan namin ang isa sa mga dating arbitrary na constant sa solusyon (13). Dagdag pa, ang pagkakaiba sa formula (13), mayroon tayo

Sa pag-aakalang t=0 sa expression na ito at isinasaalang-alang ang pangalawang paunang kondisyon mula sa (14), nakukuha natin, kaya sumusunod na ang A=0 at, sa gayon, ang paunang partikular na solusyon ay may anyo

Inilalarawan nito ang oscillatory mode ng itinuturing na mekanikal na sistema, na tinutukoy ng mga kondisyon ng paunang paggulo (14).

Ito ay kilala mula sa kurso sa pisika ng paaralan na sa formula (16) a ay ang amplitude ng mga oscillations (ito ay nagtatakda ng pinakamataas na paglihis ng timbang mula sa posisyon ng equilibrium nito), ay ang cyclic frequency, at ang yugto ng mga oscillations (ang ang paunang yugto ay lumalabas na katumbas ng zero).

Ang harmonic oscillator equation (10) ay isang halimbawa ng linear ODE. Nangangahulugan ito na ang hindi kilalang function at lahat ng derivatives nito ay kasama sa bawat termino ng equation sa unang antas. Ang mga linear differential equation ay may napakahalagang natatanging katangian: natutugunan nila ang prinsipyo ng superposisyon. Nangangahulugan ito na ang anumang linear na kumbinasyon ng anumang dalawang solusyon ng isang linear ODE ay ang solusyon din nito.

Sa halimbawa ng harmonic oscillator equation na aming isinasaalang-alang, ang isang arbitraryong linear na kumbinasyon ng dalawang partikular na solusyon ay hindi lamang ilang bagong solusyon, ngunit isang pangkalahatang solusyon sa equation na ito (nauubos nito ang lahat ng posibleng solusyon).

Sa pangkalahatan, hindi ito ang kaso. Halimbawa, kung tayo ay nakikitungo sa isang third-order linear differential equation (ibig sabihin, kung ang equation ay may kasamang ikatlong derivative), kung gayon ang isang linear na kumbinasyon ng alinman sa dalawa sa mga partikular na solusyon nito ay magiging solusyon din sa equation na ito, ngunit hindi. kumatawan sa kanya karaniwang desisyon.

Sa kurso ng mga differential equation, napatunayan ang isang theorem na ang pangkalahatang solusyon ng isang ODE ng Nth order (linear o non-linear) ay nakasalalay sa N arbitrary constants. Sa kaso ng isang nonlinear equation, ang mga arbitrary na constant na ito ay maaaring pumasok sa pangkalahatang solusyon (sa kaibahan sa (13)), sa isang hindi linear na paraan.

Ang prinsipyo ng superposition ay gumaganap ng isang napakahalagang papel sa teorya ng mga ODE, dahil maaari itong magamit upang bumuo ng isang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation sa anyo ng isang superposisyon ng mga partikular na solusyon nito. Halimbawa, para sa kaso ng mga linear na ODE na may pare-parehong mga coefficient at kanilang mga sistema (ang harmonic oscillator equation ay tiyak na nabibilang sa ganitong uri ng mga equation), isang pangkalahatang paraan ng solusyon ang binuo sa teorya ng differential equation. Ang kakanyahan nito ay ang mga sumusunod. Naghahanap kami ng isang partikular na solusyon sa form Bilang resulta ng pagpapalit nito sa orihinal na equation, lahat ng mga salik na umaasa sa oras ay nakansela at nakarating tayo sa ilang katangiang equation, na para sa Nth order na ODE ay algebraic equation Nth degree. Ang paglutas nito, nakita namin, sa gayon, ang lahat ng posibleng partikular na solusyon, isang arbitraryong linear na kumbinasyon na nagbibigay ng pangkalahatang solusyon ng orihinal na ODE. Hindi na namin tatalakayin pa ang isyung ito, na nagre-refer sa mambabasa sa may-katuturang mga aklat-aralin sa teorya ng mga differential equation, kung saan mahahanap ng isa ang karagdagang mga detalye, lalo na, ang kaso kapag ang katangian na equation ay naglalaman ng maraming mga ugat.

Kung ang isang linear na ODE na may mga variable na koepisyent ay isinasaalang-alang (ang mga coefficient nito ay nakasalalay sa oras), kung gayon ang prinsipyo ng superposisyon ay wasto din, ngunit hindi na posible na bumuo ng isang pangkalahatang solusyon sa equation na ito sa isang tahasang anyo sa pamamagitan ng anumang karaniwang pamamaraan. Babalik tayo sa isyung ito mamaya, tinatalakay ang phenomenon ng parametric resonance at ang Mathieu equation na nauugnay sa pag-aaral nito.

VASCULATION. MGA AWAY. OPTIK

VASCULATION

Lektura 1

HARMONIC OSCILLATIONS

Tamang-tama harmonic oscillator. Tamang oscillator equation at solusyon nito. Amplitude, dalas at yugto ng mga oscillation

Ang oscillation ay isa sa mga pinakakaraniwang proseso sa kalikasan at teknolohiya. Ang pagbabagu-bago ay mga prosesong umuulit sa paglipas ng panahon. Ang mga matataas na gusali at mga wire na may mataas na boltahe ay umiikot sa ilalim ng impluwensya ng hangin, ang pendulum ng isang orasan ng sugat at isang kotse sa mga bukal sa panahon ng paggalaw, ang antas ng ilog sa panahon ng taon at ang temperatura ng katawan ng tao sa panahon ng sakit. Ang tunog ay pagbabagu-bago sa presyon ng hangin, ang mga radio wave ay pana-panahong pagbabago sa lakas ng elektrikal at magnetic field, liwanag din electromagnetic oscillations. Mga lindol - mga panginginig ng lupa, pag-agos at pag-agos - mga pagbabago sa antas ng mga dagat at karagatan na dulot ng pagkahumaling ng buwan, atbp.

Ang mga oscillations ay mekanikal, electromagnetic, chemical, thermodynamic, atbp. Sa kabila ng ganitong pagkakaiba-iba, ang lahat ng mga oscillations ay inilalarawan ng parehong mga differential equation.

Ang mga unang siyentipiko na nag-aral ng vibrations ay sina Galileo Galilei at Christian Huygens. Itinatag ni Galileo ang kalayaan ng panahon ng mga oscillation mula sa amplitude. Inimbento ni Huygens ang pendulum clock.

Anumang sistema na, kapag bahagyang wala sa balanse, patuloy na umuusad ay tinatawag na isang harmonic oscillator. Sa klasikal na pisika, ang mga naturang sistema ay isang mathematical pendulum sa loob ng maliliit na anggulo ng pagpapalihis, isang load sa loob ng maliliit na oscillation amplitudes, isang electrical circuit na binubuo ng linear capacitance at inductance elements.

Ang isang harmonic oscillator ay maaaring ituring na linear kung ang displacement mula sa posisyon ng equilibrium ay direktang proporsyonal sa puwersang nakakagambala. Ang dalas ng oscillation ng isang harmonic oscillator ay hindi nakasalalay sa amplitude. Para sa oscillator, ang prinsipyo ng superposisyon ay natutupad - kung maraming nakakagambalang pwersa ang kumilos, kung gayon ang epekto ng kanilang kabuuang pagkilos ay maaaring makuha bilang resulta ng pagdaragdag ng mga epekto mula sa aktibong pwersa magkahiwalay.

Ang mga Harmonic oscillations ay inilalarawan ng equation (Larawan 1.1.1)

(1.1.1)

saan X- pag-aalis ng oscillating value mula sa posisyon ng equilibrium, A– amplitude ng mga oscillations na katumbas ng halaga ng maximum displacement, - phase ng oscillations, na tumutukoy sa displacement sa oras , - initial phase, na tumutukoy sa magnitude ng displacement sa unang sandali ng oras, - cyclic frequency ng oscillations.

Ang oras ng isang kumpletong oscillation ay tinatawag na period, kung saan ang bilang ng mga oscillation na nakumpleto sa panahon.

Tinutukoy ng dalas ng oscillation ang bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras, nauugnay ito sa cyclic frequency ng ratio, pagkatapos ay ang panahon.

Ang bilis ng isang oscillating material point

acceleration

Kaya, ang bilis at acceleration ng harmonic oscillator ay nagbabago din ayon sa harmonic law na may amplitudes at ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, ang bilis ay nauuna sa phase displacement by , at acceleration - by (Fig. 1.1.2).

Mula sa isang paghahambing ng mga equation ng paggalaw ng isang harmonic oscillator (1.1.1) at (1.1.2) sinusundan nito na , o

Ang second-order differential equation na ito ay tinatawag na harmonic oscillator equation. Ang kanyang solusyon ay naglalaman ng dalawang constants A at , na tinutukoy ng gawain paunang kondisyon

Kung ang isang pana-panahong umuulit na proseso ay inilalarawan ng mga equation na hindi tumutugma sa (1.1.1), ito ay tinatawag na anharmonic. Ang isang sistema na nagsasagawa ng anharmonic oscillations ay tinatawag na anharmonic oscillator.

1.1.2 . Libreng oscillations ng mga system na may isang antas ng kalayaan. kumplikadong anyo representasyon ng harmonic vibrations

Sa kalikasan, napakakaraniwan ng maliliit na oscillations na ginagawa ng isang system malapit sa posisyon ng equilibrium nito. Kung ang isang sistema na kinuha mula sa balanse ay naiwan sa sarili, iyon ay, ang mga panlabas na puwersa ay hindi kumikilos dito, kung gayon ang gayong sistema ay gagawa ng mga libreng undamped oscillations. Isaalang-alang ang isang sistema na may isang antas ng kalayaan.

Ang isang matatag na ekwilibriyo ay tumutugma sa isang posisyon ng sistema kung saan ang potensyal na enerhiya nito ay may pinakamababa ( q ay ang pangkalahatang coordinate ng system). Ang paglihis ng sistema mula sa posisyon ng ekwilibriyo ay humahantong sa paglitaw ng isang puwersa na may posibilidad na ibalik ang sistema. Tinutukoy namin ang halaga ng pangkalahatang coordinate na naaayon sa posisyon ng balanse, pagkatapos ay ang paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo

Bibilangin natin ang potensyal na enerhiya mula sa pinakamababang halaga. Kunin natin ang resultang function, palawakin ito sa isang serye ng Maclaurin at iwanan ang unang termino ng pagpapalawak, mayroon tayong: o

saan . Pagkatapos, isinasaalang-alang ang ipinakilala na notasyon:

, (1.1.4)

Isinasaalang-alang ang expression (1.1.4) para sa puwersang kumikilos sa system, nakukuha namin ang:

Ayon sa pangalawang batas ni Newton, ang equation ng paggalaw ng sistema ay may anyo:

Ang expression (1.1.5) ay tumutugma sa equation (1.1.3) ng libreng harmonic oscillations, sa kondisyon na

at may dalawang independiyenteng solusyon: at , kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Mula sa formula (1.1.6) sumusunod na ang dalas ay tinutukoy lamang ng mga intrinsic na katangian ng mekanikal na sistema at hindi nakasalalay sa amplitude at sa mga paunang kondisyon ng paggalaw.

Ang pag-asa ng coordinate ng oscillating system sa oras ay maaaring matukoy bilang ang tunay na bahagi ng kumplikadong expression , Saan A=Xe-iα ay isang kumplikadong amplitude, ang modulus nito ay tumutugma sa karaniwang amplitude, at ang argumento nito ay tumutugma sa paunang yugto.

1.1.3 . Mga halimbawa ng oscillatory motions ng iba't ibang pisikal na kalikasan

Pagbabago ng pagkarga sa tagsibol

Isaalang-alang ang mga vibrations ng isang load sa isang spring, sa kondisyon na ang spring ay hindi deformed lampas sa mga limitasyon ng elasticity. Ipapakita namin na ang gayong pagkarga ay magsasagawa ng mga harmonic oscillations na may kaugnayan sa posisyon ng equilibrium (Larawan 1.1.3). Sa katunayan, ayon sa batas ni Hooke, ang isang compressed o stretched spring ay lumilikha ng isang harmonic force:

saan - koepisyent ng paninigas ng tagsibol, ay ang coordinate ng posisyon ng ekwilibriyo, X ay ang coordinate ng load (materyal point) sa sandali ng oras , ay ang displacement mula sa equilibrium na posisyon.

Ilagay natin ang pinagmulan ng coordinate sa posisyon ng ekwilibriyo ng sistema. Sa kasong ito.

Kung ang tagsibol ay nakaunat ng X, pagkatapos ay ilabas sa oras t=0, pagkatapos ay ang equation ng paggalaw ng load ayon sa pangalawang batas ni Newton ay kukuha ng anyo -kx=ma, o , At

(1.1.6)

Ang equation na ito ay tumutugma sa anyo sa equation ng paggalaw (1.1.3) ng isang sistema na nagsasagawa ng mga harmonic oscillations, hahanapin natin ang solusyon nito sa anyo:

. (1.1.7)

Pinapalitan namin ang (1.17) sa (1.1.6), mayroon kaming: ibig sabihin, ang expression (1.1.7) ay isang solusyon sa equation (1.1.6) kung iyan

Kung sa paunang sandali ng oras ang posisyon ng pagkarga ay di-makatwiran, kung gayon ang equation ng paggalaw ay kukuha ng anyo:

Isaalang-alang natin kung paano nagbabago ang enerhiya ng pag-load, na gumagawa ng mga harmonic oscillations sa kawalan ng mga panlabas na puwersa (Larawan 1.14). Kung sa panahon t=0 ipadala ang offset sa cargo x=A, kung gayon ang kabuuang enerhiya nito ay magiging katumbas ng potensyal na enerhiya ng deformed spring, kinetic energy katumbas ng zero (punto 1).

Sapilitang kumilos sa pagkarga F= -kx, na naghahangad na ibalik ito sa posisyon ng equilibrium, kaya ang pagkarga ay gumagalaw nang may pagbilis at pinatataas ang bilis nito, at, dahil dito, ang kinetic energy nito. Binabawasan ng puwersang ito ang displacement ng load X, bumababa ang potensyal na enerhiya ng load, nagiging kinetic. Ang sistema ng "load - spring" ay sarado, kaya ang kabuuang enerhiya nito ay natipid, iyon ay:

. (1.1.8)

Sa sandali ng oras, ang load ay nasa posisyon ng balanse (punto 2), ang potensyal na enerhiya nito ay zero, at ang kinetic energy nito ay maximum. Nahanap namin ang maximum na bilis ng pagkarga mula sa batas ng konserbasyon ng enerhiya (1.1.8):

Dahil sa stock ng kinetic energy, gumagana ang load laban sa elastic force – at dumadaan sa posisyon ng ekwilibriyo. Ang kinetic energy ay unti-unting nagiging potensyal. Kapag ang load ay may pinakamataas na negatibong displacement - A, kinetic energy wk=0, huminto ang load at magsisimulang lumipat sa equilibrium na posisyon sa ilalim ng pagkilos ng isang elastic force F= -kx. Ang karagdagang paggalaw ay katulad.

Mga palawit

Ang pendulum ay isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming punto o axis sa ilalim ng pagkilos ng gravity. Mayroong pisikal at mathematical na mga pendulum.

Ang mathematical pendulum ay isang idealized system na binubuo ng isang walang timbang na inextensible thread kung saan ang isang mass concentrated sa isang material point ay sinuspinde.

Ang isang mathematical pendulum, halimbawa, ay isang bola sa isang mahabang manipis na sinulid.

Ang paglihis ng pendulum mula sa posisyon ng balanse ay nailalarawan sa pamamagitan ng anggulo φ , na bumubuo ng isang thread na may vertical (Larawan 1.15). Kapag ang pendulum ay lumihis mula sa posisyon ng balanse, isang sandali ng mga panlabas na puwersa (gravity) ang lumitaw: , Saan m- timbang, - haba ng pendulum

Ang sandaling ito ay may posibilidad na ibalik ang pendulum sa posisyon ng ekwilibriyo (katulad ng quasi-elastic force) at nakadirekta sa tapat ng displacement φ , kaya may minus sign sa formula.

Equation ng dynamics umiinog na paggalaw para sa isang pendulum ay may anyo: Iε=,

Isasaalang-alang namin ang kaso ng maliliit na pagbabagu-bago, samakatuwid kasalanan φ ≈φ, magpakilala ,

meron kami: , o , at sa wakas

Ito ang equation ng harmonic oscillations, ang solusyon nito:

Ang dalas ng oscillation ng isang mathematical pendulum ay tinutukoy lamang ng haba nito at ang acceleration ng gravity, at hindi nakadepende sa masa ng pendulum. Ang panahon ay:

Kung ang oscillating body ay hindi maaaring kinakatawan bilang isang materyal na punto, kung gayon ang pendulum ay tinatawag na pisikal (Larawan 1.1.6). Isinulat namin ang equation ng paggalaw nito sa anyo:

Sa kaso ng maliliit na pagbabagu-bago , o =0 , saan . Ito ang equation ng paggalaw ng isang katawan na nagsasagawa ng mga harmonic oscillations. Ang dalas ng oscillation ng isang pisikal na pendulum ay nakasalalay sa masa, haba at sandali ng pagkawalang-galaw nito tungkol sa axis na dumadaan sa suspension point.

Tukuyin natin ang . Halaga ay tinatawag na pinababang haba ng pisikal na pendulum. Ito ang haba ng isang mathematical pendulum na ang panahon ng oscillation ay tumutugma sa panahon ng isang pisikal na pendulum. Ang isang punto sa isang tuwid na linya na nagkokonekta sa punto ng suspensyon sa gitna ng masa, na nakahiga sa layo ng pinababang haba mula sa axis ng pag-ikot, ay tinatawag na sentro ng swing ng isang pisikal na pendulum ( TUNGKOL SA'). Kung ang pendulum ay nasuspinde sa gitna ng swing, ang pinababang haba at panahon ng oscillation ay magiging kapareho ng sa punto TUNGKOL SA. Kaya, ang suspension point at ang swing center ay may mga katangian ng reciprocity: kapag ang suspension point ay inilipat sa swing center, ang lumang suspension point ay nagiging bagong swing center.

Ang isang mathematical pendulum na umiindayog na may parehong panahon ng pisikal na isa na isinasaalang-alang ay tinatawag na isochronous sa ibinigay na pisikal na pendulum.

1.1.4. Pagdaragdag ng mga vibrations (beats, Lissajous figure). Vector paglalarawan ng vibration karagdagan

Ang pagdaragdag ng pantay na direksyon na mga oscillations ay maaaring isagawa gamit ang paraan ng mga diagram ng vector. Ang anumang harmonic oscillation ay maaaring ilarawan bilang isang vector tulad ng sumusunod. Pumili tayo ng isang axis X na may pinanggalingan sa punto TUNGKOL SA(fig.1.1.7)

Mula sa isang punto TUNGKOL SA bumuo ng isang vector na bumubuo sa anggulo may ehe X. Hayaang umikot ang vector na ito nang may angular na bilis . Projection ng isang vector papunta sa isang axis X ay katumbas ng:

ibig sabihin, nagsasagawa ito ng mga harmonic oscillations na may amplitude A.

Isaalang-alang ang dalawang harmonic oscillations ng parehong direksyon at ang parehong cyclic maliit, na ibinigay ng mga vectors at . Nag-offset sa kahabaan ng axis X ay pantay:

ang nagresultang vector ay may projection at kumakatawan sa nagresultang oscillation (Fig.1.1.8), ayon sa cosine theorem Kaya, ang pagdaragdag ng mga harmonic oscillations ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga vectors.

Isagawa natin ang pagdaragdag ng magkabilang patayo na mga oscillations. Hayaang ang materyal na punto ay gumawa ng dalawang magkaparehong patayong oscillations na may dalas:

Ang materyal na punto mismo ay lilipat sa ilang curvilinear trajectory.

Mula sa equation ng paggalaw ay sumusunod: ,

. (1.1.9)

Mula sa equation (1.1.9) maaari mong makuha ang ellipse equation (Fig.1.1.9):

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso ng equation na ito:

1. Pagkakaiba ng bahagi ng oscillation α= 0. Kasabay nito mga. o Ito ang equation ng isang tuwid na linya, at ang nagresultang oscillation ay nangyayari sa tuwid na linyang ito na may amplitude (Larawan 1.1.10).

ang acceleration nito ay katumbas ng pangalawang derivative ng displacement na may paggalang sa oras pagkatapos ay ang puwersa na kumikilos sa oscillating point, ayon sa ikalawang batas ni Newton, ay katumbas ng

Ibig sabihin, proporsyonal ang puwersa sa displacement X at nakadirekta laban sa displacement sa equilibrium na posisyon. Ang puwersang ito ay tinatawag na puwersang nagpapanumbalik. Sa kaso ng isang load sa isang spring, ang pagpapanumbalik na puwersa ay ang nababanat na puwersa, sa kaso ng isang mathematical pendulum, ito ay ang bahagi ng gravity.

Ang likas na puwersa ng pagpapanumbalik ay sumusunod sa batas ni Hooke F= -kx, saan

ay ang koepisyent ng puwersang nagpapanumbalik. Kung gayon ang potensyal na enerhiya ng oscillating point ay:

(ang integration constant ay pinili katumbas ng zero, upang kapag X).

Anharmonic Oscillator

HARMONIC OSCILLATIONS

Lektura 1

VASCULATION

VASCULATION. MGA AWAY. OPTIK

Ang oscillation ay isa sa mga pinakakaraniwang proseso sa kalikasan at teknolohiya. Ang pagbabagu-bago ay mga prosesong umuulit sa paglipas ng panahon. Ang mga matataas na gusali at mga wire na may mataas na boltahe ay umiikot sa ilalim ng impluwensya ng hangin, ang pendulum ng isang orasan ng sugat at isang kotse sa mga bukal sa panahon ng paggalaw, ang antas ng ilog sa panahon ng taon at ang temperatura ng katawan ng tao sa panahon ng sakit. Ang tunog ay pagbabagu-bago sa presyon ng hangin, ang mga radio wave ay pana-panahong pagbabago sa lakas ng electric at magnetic field, ang ilaw ay electromagnetic vibrations din. Mga lindol - mga panginginig ng lupa, pag-agos at pag-agos - mga pagbabago sa antas ng mga dagat at karagatan na dulot ng pagkahumaling ng buwan, atbp.

Ang isang harmonic oscillator ay maaaring ituring na linear kung ang displacement mula sa posisyon ng equilibrium ay direktang proporsyonal sa puwersang nakakagambala. Ang dalas ng oscillation ng isang harmonic oscillator ay hindi nakasalalay sa amplitude. Para sa oscillator, ang prinsipyo ng superposisyon ay natutupad - kung ang ilang mga nakakagambalang pwersa ay kumilos, kung gayon ang epekto ng kanilang kabuuang pagkilos ay maaaring makuha bilang isang resulta ng pagdaragdag ng mga epekto ng mga kumikilos na pwersa nang hiwalay.

Ang mga Harmonic oscillations ay inilalarawan ng equation (Larawan 1.1.1)

(1.1.1)

Ang oras ng isang kumpletong oscillation ay tinatawag na period, kung saan ang bilang ng mga oscillation na nakumpleto sa panahon.

Tinutukoy ng dalas ng oscillation ang bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras, nauugnay ito sa cyclic frequency ng ratio, pagkatapos ay ang panahon.

Ang bilis ng isang oscillating material point

acceleration

Mula sa isang paghahambing ng mga equation ng paggalaw ng isang harmonic oscillator (1.1.1) at (1.1.2) sinusundan nito na , o

Ang second-order differential equation na ito ay tinatawag na harmonic oscillator equation. Ang kanyang solusyon ay naglalaman ng dalawang constants A at , na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtatakda ng mga paunang kundisyon

1.1.2 . Libreng oscillations ng mga system na may isang antas ng kalayaan. Kumplikadong anyo ng representasyon ng mga harmonic oscillations

Harmonic oscillator(sa klasikal na mekanika) - isang sistema na, kapag inilipat mula sa isang posisyong ekwilibriyo, nakakaranas ng pagkilos ng isang puwersang nagpapanumbalik F, proporsyonal sa displacement x(ayon sa batas ni Hooke):

F = − k x (\displaystyle F=-kx)

saan k- koepisyent katigasan ng system.

Kung F- ang tanging puwersa na kumikilos sa system, pagkatapos ay tinawag ang system simple lang o konserbatibong harmonic oscillator. Ang mga libreng oscillations ng naturang sistema ay kumakatawan sa isang pana-panahong paggalaw sa paligid ng posisyon ng equilibrium (harmonic oscillations). Ang dalas at amplitude ay pare-pareho, at ang dalas ay hindi nakasalalay sa amplitude.

Ang mga mekanikal na halimbawa ng isang harmonic oscillator ay isang mathematical pendulum (na may maliit na mga anggulo ng pagpapalihis), isang torsion pendulum, at mga acoustic system. Sa iba pang mga analogue ng harmonic oscillator, ito ay nagkakahalaga ng pag-highlight ng electric harmonic oscillator (tingnan ang LC circuit).

Encyclopedic YouTube

1 / 5

Mga particle ng elementarya | quantum field theory | pag-aaral bilang 6 | quantum oscillator

Sapilitang mga oscillations ng isang linear oscillator | Pangkalahatang pisika. Mechanics | Evgeniy Butikov

Mga particle ng elementarya | quantum field theory | pag-aaral bilang 5 | klasikong osileytor

Mga Oscillator: ano ang mga ito at kung paano gamitin ang mga ito? Edukasyon para sa mga mangangalakal mula sa I-TT.RU

Sytrus 01 ng 16 Paggawa gamit ang hugis ng oscillator

Mga subtitle

Libreng vibrations

Konserbatibong harmonic oscillator

Bilang isang modelo ng isang konserbatibong harmonic oscillator, kinukuha namin ang mass load m, naayos sa isang spring na may tigas k .

Hayaan x- pag-aalis ng load na may kaugnayan sa posisyon ng balanse. Pagkatapos, ayon sa batas ni Hooke, ang puwersang nagpapanumbalik ay kikilos dito:

F = − k x . (\displaystyle F=-kx.)

Pinapalitan namin ang differential equation.

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle (\ddot (x))(t)=-A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi) ,) − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0. (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\ omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0.)

Ang amplitude ay nabawasan. Nangangahulugan ito na maaari itong magkaroon ng anumang halaga (kabilang ang zero - nangangahulugan ito na ang load ay nasa pahinga sa posisyon ng equilibrium). Ang sine ay maaari ding bawasan, dahil ang pagkakapantay-pantay ay dapat manatili anumang oras t. Kaya, ang kondisyon para sa dalas ng oscillation ay nananatili:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).) U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ (ω 0 t + φ) , (\displaystyle U=(\frac (1)(2))kx^(2)=(\frac (1) (2))kA^(2)\sin ^(2)(\omega _(0)t+\varphi),)

kung gayon ang kabuuang enerhiya ay pare-pareho

E = 1 2 k A 2 . (\displaystyle E=(\frac (1)(2))kA^(2).)

Simpleng harmonic na paggalaw ay isang simpleng paggalaw harmonic oscillator, isang panaka-nakang paggalaw na hindi pinilit o damped. Ang isang katawan sa simpleng harmonic motion ay sumasailalim sa isang variable na puwersa na direktang proporsyonal sa ganap na halaga sa displacement x mula sa posisyon ng ekwilibriyo at nakadirekta sa tapat na direksyon.

Ang paggalaw na ito ay pana-panahon: ang katawan ay umiikot sa paligid ng posisyon ng balanse ayon sa sinusoidal na batas. Ang bawat kasunod na oscillation ay pareho sa nauna, at ang period, frequency at amplitude ng oscillations ay nananatiling pare-pareho. Kung ipagpalagay natin na ang posisyon ng equilibrium ay nasa isang punto na may coordinate na katumbas ng zero, kung gayon ang displacement x katawan mula sa posisyon ng balanse sa anumang oras ay ibinibigay ng formula:

x (t) = A cos ⁡ (2 π f t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\varphi \right),)

saan A- amplitude ng oscillation, f- dalas, φ - paunang yugto.

Ang dalas ng paggalaw ay tinutukoy ng mga katangian ng system (halimbawa, ang masa ng gumagalaw na katawan), habang ang amplitude at paunang yugto ay tinutukoy ng mga paunang kondisyon - ang paggalaw at bilis ng katawan sa sandaling ang mga oscillations magsimula. Ang kinetic at potensyal na enerhiya ng system ay nakasalalay din sa mga katangian at kundisyon na ito.

Ang simpleng harmonic motion ay maaring tingnan bilang isang mathematical model iba't ibang uri paggalaw, tulad ng oscillation ng spring. Ang iba pang mga kaso na halos maituturing na simpleng harmonic motion ay ang paggalaw ng isang pendulum at ang mga vibrations ng mga molekula.

Ang isang tipikal na halimbawa ng isang sistema kung saan nangyayari ang simpleng harmonic motion ay isang idealized na mass-spring system kung saan ang isang masa ay nakakabit sa isang spring. Kung ang tagsibol ay hindi naka-compress at hindi nakaunat, kung gayon walang mga variable na puwersa ang kumikilos sa pagkarga, at ang pagkarga ay nasa isang estado ng mekanikal na balanse. Gayunpaman, kung ang pagkarga ay tinanggal mula sa posisyon ng balanse, ang tagsibol ay nababago, at mula sa gilid nito ay isang puwersa ang kikilos sa pagkarga, na may posibilidad na ibalik ang pagkarga sa posisyon ng ekwilibriyo. Sa kaso ng sistema ng pag-load-spring, ang gayong puwersa ay ang nababanat na puwersa ng tagsibol, na sumusunod sa batas ni Hooke:

F = − k x , (\displaystyle F=-kx,) F- pagpapanumbalik ng puwersa x- paggalaw ng pagkarga (pagpapangit ng tagsibol), k- koepisyent ng higpit ng tagsibol.

Anumang sistema kung saan nangyayari ang simpleng harmonic motion ay may dalawang pangunahing katangian:

Kapag ang isang sistema ay wala sa ekwilibriyo, dapat mayroong puwersang nagpapanumbalik na may posibilidad na ibalik ang sistema sa ekwilibriyo.
Ang puwersa ng pagpapanumbalik ay dapat na eksakto o humigit-kumulang na proporsyonal sa displacement.

Natutugunan ng weight-spring system ang parehong mga kundisyong ito.

Sa sandaling ang displaced load ay sumailalim sa pagkilos ng isang nagpapanumbalik na puwersa, pinabilis ito, at may posibilidad na bumalik sa panimulang punto, iyon ay, sa posisyon ng ekwilibriyo. Habang papalapit ang pagkarga sa posisyon ng ekwilibriyo, bumababa ang puwersa ng pagpapanumbalik at nagiging zero. Gayunpaman, sa posisyon x = 0 ang pagkarga ay may isang tiyak na halaga ng paggalaw (momentum), na nakuha dahil sa pagkilos ng puwersa ng pagpapanumbalik. Samakatuwid, ang pag-load ay nilaktawan ang posisyon ng balanse, na nagsisimulang mag-deform muli sa tagsibol (ngunit sa kabaligtaran ng direksyon). Ang puwersa ng pagpapanumbalik ay may posibilidad na pabagalin ito hanggang ang bilis ay zero; at ang puwersa ay muling maghahangad na ibalik ang pagkarga sa posisyon nitong ekwilibriyo.

Hangga't walang pagkawala ng enerhiya sa system, ang load ay mag-oscillate tulad ng inilarawan sa itaas; ang ganitong paggalaw ay tinatawag na periodic.

Ang karagdagang pagsusuri ay magpapakita na sa kaso ng isang mass-spring system, ang paggalaw ay simpleng harmonic.

Dynamics ng simpleng harmonic motion

Para sa isang oscillation sa isang-dimensional na espasyo, na isinasaalang-alang ang Pangalawang Batas ni Newton( F= m d² x/d t² ) at ang batas ni Hooke ( F = −kx, gaya ng inilarawan sa itaas), mayroon kaming second-order linear differential equation:

m d 2 x d t 2 = − k x , (\displaystyle m(\frac (\mathrm (d) ^(2)x)(\mathrm (d) t^(2)))=-kx,) m- bigat ng katawan, x- ang pag-aalis nito na may kaugnayan sa posisyon ng balanse, k- pare-pareho (spring stiffness factor).

Ang solusyon sa differential equation na ito ay sinusoidal; isang solusyon ay ito:

x (t) = A cos ⁡ (ω t + φ) , (\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),)

saan A, ω at φ - mga pare-pareho, at ang posisyon ng ekwilibriyo ay kinukuha bilang paunang isa. Ang bawat isa sa mga constant na ito ay mahalaga pisikal na ari-arian galaw: A ay ang amplitude, ω = 2π f ay ang circular frequency, at ang φ ay ang paunang yugto.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ (ω t + φ) . (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi).)

Universal circular motion

Ang simpleng harmonic motion sa ilang mga kaso ay maaaring ituring bilang isang one-dimensional na projection ng unibersal na circular motion.

Kung ang isang bagay ay gumagalaw nang may pare-parehong angular na bilis ω kasama ang isang bilog na radius r, na ang sentro ay ang pinagmulan ng mga coordinate ng eroplano x − y, kung gayon ang gayong paggalaw sa bawat isa sa mga coordinate axes ay simpleng harmonic na may amplitude r at pabilog na dalas ω .

Timbang bilang isang simpleng pendulum

T = 2πℓg. (\displaystyle T=2\pi (\sqrt (\frac (\ell )(g))).)

Ipinapakita nito na ang panahon ng oscillation ay hindi nakadepende sa amplitude at mass ng pendulum, ngunit depende sa free fall acceleration. g, samakatuwid, na may parehong haba ng pendulum, sa Buwan ito ay uugoy nang mas mabagal, dahil ang gravity ay mas mahina doon at ang halaga ng libreng pagbagsak ng acceleration ay mas mababa.

Ang ipinahiwatig na pagtatantya ay tama lamang sa maliliit na anggulo ng pagpapalihis, dahil ang expression para sa angular acceleration ay proporsyonal sa sine ng coordinate:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

saan ako- sandali ng pagkawalang-galaw; sa kasong ito ako = mℓ 2 .

ℓ m g θ = I α (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ),

na ginagawang direktang proporsyonal ang angular acceleration sa anggulo θ, at natutugunan nito ang kahulugan ng simpleng harmonic motion.

Damped Harmonic Oscillator

Ang pagkuha ng parehong modelo bilang batayan, idinagdag namin ang puwersa ng malapot na alitan dito. Ang puwersa ng malapot na friction ay nakadirekta laban sa bilis ng pagkarga na may kaugnayan sa daluyan at direktang proporsyonal sa bilis na ito. Pagkatapos ang kabuuang puwersa na kumikilos sa pag-load ay nakasulat tulad ng sumusunod:

F = − k x − α v (\displaystyle F=-kx-\alpha v)

Sa pagsasagawa ng mga katulad na aksyon, nakakakuha tayo ng differential equation na naglalarawan sa isang damped oscillator:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+2\gamma (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x=0)

Narito ang notasyon: 2 γ = α m (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha )(m))). Coefficient γ (\displaystyle \gamma ) ay tinatawag na damping constant. Mayroon din itong sukat ng dalas.

Ang solusyon ay nahuhulog sa tatlong kaso.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi)),

saan ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- dalas ng mga libreng oscillation.

x (t) = (A + B t) e − γ t (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t)) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2)t )),

saan β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2) ))).

Ang kritikal na pamamasa ay kapansin-pansin sa katotohanan na sa panahon ng kritikal na pamamasa na ang oscillator ay may pinakamabilis na pagpunta sa posisyon ng ekwilibriyo. Kung ang friction ay mas mababa kaysa sa kritikal, mas mabilis itong maaabot ang posisyon ng ekwilibriyo, gayunpaman, ito ay "lulusot" dito sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw, at mag-oscillate. Kung ang friction ay mas malaki kaysa sa kritikal, ang oscillator ay exponentially tendency sa equilibrium position, ngunit ang mas mabagal, mas malaki ang friction.

Ang pamamasa ng isang oscillator ay madalas ding nailalarawan ng isang walang sukat na parameter na tinatawag na quality factor. Ang kadahilanan ng kalidad ay karaniwang tinutukoy ng liham Q (\displaystyle Q). Sa pamamagitan ng kahulugan, ang kadahilanan ng kalidad ay:

Q = ω 0 2 γ (\displaystyle Q=(\frac (\omega _(0))(2\gamma )))

Kung mas malaki ang quality factor, mas mabagal ang oscillations ng oscillator decay.

Ang kadahilanan ng kalidad ay kung minsan ay tinatawag na nakuha ng oscillator, dahil sa ilang mga pamamaraan ng paggulo, kapag ang dalas ng paggulo ay tumutugma sa resonant frequency ng mga oscillations, ang kanilang amplitude ay nakatakda sa humigit-kumulang Q (\displaystyle Q) beses na mas malaki kaysa kapag nasasabik na may parehong intensity sa mababang frequency.

Gayundin, ang kadahilanan ng kalidad ay humigit-kumulang katumbas ng bilang ng mga oscillatory cycle, kung saan bumababa ang amplitude ng oscillation sa e (\displaystyle e) beses na pinarami ng π (\displaystyle \pi ).

Sa kaso ng oscillatory motion, ang attenuation ay nailalarawan din ng mga parameter tulad ng:

Habang buhay pagbabagu-bago (aka oras ng pagkabulok, ito ay oras ng pagpapahinga) τ ay ang oras kung kailan bababa ang oscillation amplitude e minsan.

τ = 1 / γ . (\displaystyle \tau =1/\gamma .) Ang oras na ito ay isinasaalang-alang bilang ang oras na kinakailangan para sa pamamasa (pagtigil) ng mga oscillations (bagaman ang pormal na libreng mga oscillations ay nagpapatuloy nang walang katiyakan).

sibay-rb.ru