2., 5.
,

3.
, 6.
.

În integralele 1-3 ca u Accept . Apoi n-plierea formulei (19), ajungem la una din integralele tabelului

,
,
.

În integralele 4-6, la diferențiere, factorul transcendental este simplificat
,
sau
, care ar trebui luat ca u.

Calculați următoarele integrale.

Exemplul 7

Exemplul 8

Reducerea integralelor la sine

Dacă integrand
se pare ca:

,
,
și așa mai departe,

apoi după dubla integrare pe părți obținem o expresie care conține integrala inițială :

Unde
este o constantă.

Rezolvarea ecuației rezultate în raport cu , obținem o formulă de calcul a integralei inițiale:

Acest caz de aplicare a metodei de integrare pe părți se numește „ aducând integrala în sine».

Exemplul 9 Calculați integrala
.

În partea dreaptă este integrala originală . Mutându-l în partea stângă, obținem:

Exemplul 10 Calculați integrala
.

4.5. Integrarea celor mai simple fracții raționale proprii

Definiție.Cele mai simple fracții proprii eu , II Și III tipuri se numesc urmatoarele fractii:

eu. ;

II.
; (
este un întreg pozitiv);

III.
; (rădăcinile numitorului sunt complexe, adică:
.

Luați în considerare integralele fracțiilor simple.

eu.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Transformăm numărătorul fracției în așa fel încât să evidențiem termenul din numărător
egal cu derivata numitorului.

Luați în considerare prima dintre cele două integrale obținute și faceți o modificare în ea:

În a doua integrală, completăm numitorul la un pătrat complet:

În cele din urmă, integrala unei fracții de al treilea tip este egală cu:

=
+
. (22)

Astfel, integrala celor mai simple fracții de tip I se exprimă în termeni de logaritmi, tipul II - în termeni de funcții raționale, tipul III - în termeni de logaritmi și arctangente.

4.6 Integrarea funcţiilor fracţionale-raţionale

Una dintre clasele de funcții care au o integrală exprimată în termeni de funcții elementare este clasa algebricii funcții raționale, adică funcții rezultate dintr-un număr finit de operații algebrice asupra argumentului.

Fiecare funcție rațională
poate fi reprezentat ca raport a două polinoame
Și
:

. (23)

Vom presupune că polinoamele nu au rădăcini comune.

O fracție din forma (23) se numește corect, dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, adică m< n. In caz contrar - gresit.

Dacă fracția este incorectă, atunci, împărțind numărătorul la numitor (după regula împărțirii polinoamelor), reprezentăm fracția ca sumă a unui polinom și a unei fracții proprii:

, (24)

Unde
- polinom, este o fracție proprie și gradul polinomului
- fara grad superior ( n-1).

Exemplu.

Deoarece integrarea unui polinom se reduce la suma integralelor tabulare ale unei funcții de putere, principala dificultate în integrarea fracțiilor raționale este integrarea fracțiilor raționale proprii.

Algebra demonstrează că fiecare fracție proprie se descompune în suma celor de mai sus protozoare fracții, a căror formă este determinată de rădăcinile numitorului
.

Să luăm în considerare trei cazuri speciale. Aici și mai jos, vom presupune că coeficientul la cel mai înalt grad al numitorului
egal cu unu =1, adicăpolinom redus .

Cazul 1 Rădăcinile numitorului, adică rădăcinile
ecuații
=0 sunt reale și diferite. Apoi reprezentăm numitorul ca produs al factorilor liniari:

iar fracția adecvată se descompune în cele mai simple fracții ale tipului I:

, (26)

Unde
- niste numere constante, care se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați.

Pentru asta ai nevoie de:

1. Plumb partea dreapta expansiuni (26) la un numitor comun.

2. Echivalează coeficienții la aceleași puteri ale polinoamelor identice din numărătorul părților din stânga și din dreapta. Obținem un sistem de ecuații liniare de determinare
.

3. Rezolvați sistemul rezultat și găsiți coeficienții nesiguri
.

Atunci integrala funcției fracționale-raționale (26) va fi egală cu suma integralelor celor mai simple fracții de tip I, calculată prin formula (20).

Exemplu. Calculați integrala
.

Soluţie. Să factorizăm numitorul folosind teorema lui Vieta:

Apoi, integrandul se extinde în suma fracțiilor simple:

Să scriem un sistem de trei ecuații pentru a găsi
X pe partea stanga si dreapta:

Să indicăm o metodă mai simplă de găsire a coeficienților nedeterminați, numită metoda valorii parțiale.

Presupunând în egalitate (27)
primim
, Unde
. Presupunând
primim
. În fine, presupunând
primim
.

Cazul 2 rădăcina numitorului
sunt reale, dar printre ele există rădăcini multiple (egale). Apoi reprezentăm numitorul ca un produs al factorilor liniari incluși în produs în măsura în care multiplicitatea rădăcinii corespunzătoare este:

Unde
.

Fracțiunea corespunzătoare se va extinde suma fracțiilor de tipul I și II. Să, de exemplu, - rădăcina numitorului multiplicității k, și toate celelalte ( n- k) de rădăcini sunt diferite.

Apoi descompunerea va arăta astfel:

În mod similar, dacă există alte rădăcini multiple. Pentru rădăcini nemultiple, expansiunea (28) include cele mai simple fracții ale primului tip.

Exemplu. Calculați integrala
.

Soluţie. Să reprezentăm o fracție ca o sumă de fracții simple de primul și al doilea fel cu coeficienți nedeterminați:

Aducem partea dreaptă la un numitor comun și echivalăm polinoamele din numărătorii părților stângi și drepte:

În partea dreaptă, dăm altele similare cu aceleași grade X:

Să scriem sistemul de patru ecuații pentru a găsi
Și . Pentru a face acest lucru, echivalăm coeficienții la aceleași puteri X pe partea stanga si dreapta

Cazul 3 Printre rădăcinile numitorului
au rădăcini complexe unice. Adică, extinderea numitorului include factori de gradul doi
, care nu pot fi descompuse în factori liniari reali și nu se repetă.

Apoi, în expansiunea fracției, fiecărui astfel de factor va corespunde celei mai simple fracții de tip III. Factorii liniari corespund celor mai simple fracții ale tipurilor I și II.

Exemplu. Calculați integrala
.

Soluţie.
.

Integrarea unei funcții fracționale-raționale.
Metoda coeficienților nedeterminați

Continuăm să lucrăm la integrarea fracțiilor. Am luat în considerare deja integralele unor tipuri de fracții în lecție și, într-un fel, această lecție poate fi considerată o continuare. Pentru a înțelege cu succes materialul, sunt necesare abilități de integrare de bază, așa că dacă tocmai ați început să studiați integralele, adică sunteți un ceainic, atunci trebuie să începeți cu articolul Integrală nedefinită. Exemple de soluții.

Destul de ciudat, acum ne vom ocupa nu atât de găsirea integralelor, cât de... rezolvarea sistemelor ecuatii lineare. În această conexiune puternic Vă recomand să vizitați lecția Și anume, trebuie să cunoașteți bine metodele de substituție (metoda „școală” și metoda adunării (scăderii) termen cu termen a ecuațiilor sistemului).

Ce este o funcție rațională fracțională? Cu cuvinte simple, o funcție fracționară-rațională este o fracție în numărătorul și numitorul căreia sunt polinoame sau produse ale polinoamelor. În același timp, fracțiile sunt mai sofisticate decât cele discutate în articol. Integrarea unor fracții.

Integrarea funcției fracționale-rationale corecte

Imediat un exemplu și un algoritm tipic pentru rezolvarea integralei unei funcții raționale fracționale.

Exemplul 1

Pasul 1. Primul lucru pe care îl facem ÎNTOTDEAUNA când rezolvăm o integrală a unei funcții rațional-fracționale este să punem următoarea întrebare: este corectă fracția? Acest pas se face pe cale orală, iar acum voi explica cum:

Mai întâi uită-te la numărător și află grad superior polinom:

Cea mai mare putere a numărătorului este două.

Acum uită-te la numitor și află grad superior numitor. Modul evident este să deschizi parantezele și să aduci termeni similari, dar o poți face mai ușor, în fiecare paranteza găsi cel mai înalt grad

și înmulțiți mental: - astfel, gradul cel mai înalt al numitorului este egal cu trei. Este destul de evident că, dacă deschidem cu adevărat paranteze, atunci nu vom obține un grad mai mare de trei.

Concluzie: Cea mai mare putere a numărătorului STRICT mai mică decât cea mai mare putere a numitorului, atunci fracția este corectă.

Dacă în acest exemplu numărătorul conținea un polinom 3, 4, 5 etc. grad, atunci fracția ar fi gresit.

Acum vom lua în considerare numai funcțiile fracționale-rationale proprii. Cazul în care gradul numărătorului este mai mare sau egal cu gradul numitorului, îl vom analiza la sfârșitul lecției.

Pasul 2 Să factorizăm numitorul. Să ne uităm la numitorul nostru:

În general, aici este deja un produs al factorilor, dar, cu toate acestea, ne întrebăm: este posibil să extindem altceva? Obiectul torturii, desigur, va fi trinomul pătrat. Rezolvăm ecuația pătratică:

Discriminantul este mai mare decât zero, ceea ce înseamnă că trinomul este într-adevăr factorizat:

Regula generala: TOT ce la numitor POATE fi factorizat - factorizați

Să începem să luăm o decizie:

Pasul 3 Folosind metoda coeficienților nedeterminați, extindem integrandul într-o sumă de fracții simple (elementare). Acum va fi mai clar.

Să ne uităm la funcția noastră integrand:

Și, știi, un gând intuitiv se strecoară cumva prin faptul că ar fi frumos să transformăm fracția noastră mare în câteva mici. De exemplu, așa:

Se pune întrebarea, este chiar posibil să faci asta? Să răsuflăm ușurați, teorema corespunzătoare de analiză matematică afirmă - ESTE POSIBIL. O astfel de descompunere există și este unică.

Există o singură captură, coeficienții noi Pa nu știm, de unde și denumirea – metoda coeficienților nedeterminați.

Ai ghicit, gesturile ulterioare deci, nu chicoti! va avea drept scop doar ÎNVĂȚAREA lor - pentru a afla cu ce sunt egali.

Atenție, explic o dată în detaliu!

Deci, să începem să dansăm de la:

În partea stângă aducem expresia la un numitor comun:

Acum scăpăm în siguranță de numitori (pentru că sunt la fel):

În partea stângă, deschidem parantezele, în timp ce nu atingem încă coeficienții necunoscuți:

În același timp, repetăm regula școlară a înmulțirii polinoamelor. Când eram profesor, am învățat să spun această regulă cu fața dreaptă: Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom..

Din punctul de vedere al unei explicații clare, este mai bine să puneți coeficienții între paranteze (deși personal nu fac asta niciodată pentru a economisi timp):

Compunem un sistem de ecuații liniare.
În primul rând, căutăm diplome superioare:

Și scriem coeficienții corespunzători în prima ecuație a sistemului:

Ei bine, amintiți-vă următoarea nuanță. Ce s-ar întâmpla dacă partea dreaptă nu ar exista deloc? Spune, s-ar arăta fără niciun pătrat? În acest caz, în ecuația sistemului, ar fi necesar să se pună zero în dreapta: . De ce zero? Și pentru că în partea dreaptă puteți atribui oricând același pătrat cu zero: Dacă nu există variabile sau (și) un termen liber în partea dreaptă, atunci punem zerouri în partea dreaptă a ecuațiilor corespunzătoare ale sistemului.

Scriem coeficienții corespunzători în a doua ecuație a sistemului:

Și, în sfârșit, apă minerală, selectăm membri gratuiti.

Eh,... glumeam. Glume deoparte - matematica este o știință serioasă. În grupul nostru de institut, nimeni nu a râs când asistentul a spus că va împrăștia membrii de-a lungul unei linii numerice și va alege pe cel mai mare dintre ei. Să fim serioși. Deși... cine trăiește pentru a vedea sfârșitul acestei lecții va zâmbi totuși liniștit.

Sistem gata:

Rezolvam sistemul:

(1) Din prima ecuație, o exprimăm și o substituim în ecuațiile a 2-a și a 3-a ale sistemului. De fapt, s-a putut exprima (sau o altă literă) dintr-o altă ecuație, dar în acest caz este avantajos să o exprimăm din prima ecuație, deoarece există cele mai mici cote.

(2) Prezentăm termeni similari în a 2-a și a 3-a ecuație.

(3) Adunăm ecuațiile a 2-a și a 3-a termen cu termen, obținând egalitatea , din care rezultă că

(4) Substituim în a doua (sau a treia) ecuație, din care aflăm că

(5) Înlocuim și în prima ecuație, obținând .

Dacă aveți dificultăți cu metodele de rezolvare a sistemului, rezolvați-le în clasă. Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare?

După rezolvarea sistemului, este întotdeauna util să faceți o verificare - înlocuiți valorile găsite în fiecare ecuația sistemului, ca rezultat, totul ar trebui să „converge”.

Aproape sosit. Se găsesc coeficienții, în timp ce:

O lucrare curată ar trebui să arate cam așa:

După cum puteți vedea, principala dificultate a sarcinii a fost să compuneți (corect!) și să rezolvați (corect!) un sistem de ecuații liniare. Și în etapa finală, totul nu este atât de dificil: folosim proprietățile liniarității integralei nedefinite și integrăm. Vă atrag atenția asupra faptului că sub fiecare dintre cele trei integrale avem o funcție complexă „liberă”, am vorbit despre caracteristicile integrării acesteia în lecție Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.

Verificați: diferențiați răspunsul:

S-a obținut integrandul original, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.
În timpul verificării, a fost necesară aducerea expresiei la un numitor comun, iar acest lucru nu este întâmplător. Metoda coeficienților nedeterminați și aducerea expresiei la un numitor comun sunt acțiuni reciproc inverse.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită.

Să revenim la fracția din primul exemplu: . Este ușor de observat că la numitor toți factorii sunt DIFERȚI. Se pune întrebarea, ce să faceți dacă, de exemplu, este dată o astfel de fracție: ? Aici avem grade la numitor sau, în termeni matematici, factori multipli. În plus, există un trinom pătrat necompunebil (este ușor de verificat că discriminantul ecuației este negativ, deci nu există nicio modalitate de factorizare a trinomului). Ce să fac? Expansiunea într-o sumă de fracții elementare va arăta ca cu coeficienți necunoscuți în partea de sus sau în alt mod?

Exemplul 3

Trimiteți o funcție

Pasul 1. Verificăm dacă avem o fracție corectă
Puterea cea mai mare a numărătorului: 2
Cel mai mare numitor: 8
, deci fracția este corectă.

Pasul 2 Se poate lua în calcul ceva în numitor? Evident că nu, totul este deja aranjat. Trinomul pătrat nu se extinde într-un produs din motivele de mai sus. Bun. Mai puțină muncă.

Pasul 3 Să reprezentăm o funcție fracționară-rațională ca sumă de fracții elementare.
În acest caz, descompunerea are următoarea formă:

Să ne uităm la numitorul nostru:
Când descompunem o funcție fracționară-rațională într-o sumă de fracții elementare, se pot distinge trei puncte fundamentale:

1) Dacă numitorul conține un factor „singuratic” la primul grad (în cazul nostru), atunci punem un coeficient nedefinit în vârf (în cazul nostru). Exemplele nr. 1,2 constau numai din astfel de factori „singuratici”.

2) Dacă numitorul conține multiplu multiplicator, atunci trebuie să descompuneți după cum urmează:
- adică sortați succesiv toate gradele lui „x” de la primul până la al n-lea grad. În exemplul nostru, există doi factori multipli: și , aruncați o altă privire la descompunerea pe care am dat-o și asigurați-vă că sunt descompuse exact conform acestei reguli.

3) Dacă numitorul conține un polinom necompunebil de gradul doi (în cazul nostru ), atunci când extindeți în numărător, trebuie să scrieți o funcție liniară cu coeficienți nedeterminați (în cazul nostru, cu coeficienți nedeterminați și ).

De fapt, există și un al 4-lea caz, dar voi păstra tăcerea, deoarece în practică este extrem de rar.

Exemplul 4

Trimiteți o funcție ca sumă de fracții elementare cu coeficienți necunoscuți.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Urmați cu strictețe algoritmul!

Dacă v-ați dat seama de principiile după care trebuie să descompuneți o funcție fracțională-rațională într-o sumă, atunci puteți sparge aproape orice integrală a tipului luat în considerare.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Pasul 1. Evident, fracția este corectă:

Pasul 2 Se poate lua în calcul ceva în numitor? Poate sa. Iată suma cuburilor . Factorizarea numitorului folosind formula de înmulțire prescurtată

Pasul 3 Folosind metoda coeficienților nedeterminați, extindem integrantul într-o sumă de fracții elementare:

Rețineți că polinomul este indecompunebil (verificați dacă discriminantul este negativ), așa că în partea de sus punem o funcție liniară cu coeficienți necunoscuți, și nu doar o singură literă.

Aducem fracția la un numitor comun:

Să creăm și să rezolvăm sistemul:

(1) Din prima ecuație, exprimăm și substituim în a doua ecuație a sistemului (acesta este cel mai rațional mod).

(2) Prezentăm termeni similari în a doua ecuație.

(3) Adăugăm a doua și a treia ecuație a sistemului termen cu termen.

Toate calculele ulterioare, în principiu, sunt orale, deoarece sistemul este simplu.

(1) Notam suma fractiilor in conformitate cu coeficientii gasiti.

(2) Folosim proprietățile de liniaritate ale integralei nedefinite. Ce s-a întâmplat în a doua integrală? Puteți găsi această metodă în ultimul paragraf al lecției. Integrarea unor fracții.

(3) Încă o dată folosim proprietățile liniarității. În a treia integrală, începem să selectăm un pătrat complet (penultimul paragraf al lecției Integrarea unor fracții).

(4) Luăm a doua integrală, în a treia selectăm pătratul complet.

(5) Luăm integrala a treia. Gata.

Lucrările de control privind integrarea funcțiilor, inclusiv a fracțiilor raționale, se acordă studenților cursurilor I și II. Exemplele de integrale vor fi în principal de interes pentru matematicieni, economiști și statisticieni. Aceste exemple au fost date pe munca de control la LNU Eu. Frank. Condițiile din următoarele exemple sunt „Găsiți integrala” sau „Calculați integrala”, prin urmare, pentru a economisi spațiu și timpul dvs., acestea nu au fost scrise.

Exemplul 15. Am ajuns la integrarea funcțiilor raționale fracționale. Ele ocupă un loc aparte printre integrale, deoarece necesită mult timp pentru a calcula și a ajuta profesorii să-ți testeze cunoștințele nu numai în integrare. Pentru a simplifica funcția sub integrală, adunăm și scădem o expresie la numărător care ne permite să împărțim funcția sub integrală în două simple

Ca rezultat, găsim o integrală destul de repede, în a doua trebuie să extindem fracția în suma fracțiilor elementare

Când sunt reduse la un numitor comun, obținem astfel de numere

Apoi, deschideți parantezele și grupați

Echivalăm valoarea la aceleași grade de „x” la dreapta și la stânga. Ca rezultat, ajungem la un sistem de trei ecuații liniare (SLAE) cu trei necunoscute.

Modul de rezolvare a sistemelor de ecuații este descris în alte articole de pe site. În versiunea finală, veți primi următoarele soluții SLAE
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Înlocuim constantele în expansiunea fracțiilor în cele mai simple și efectuăm integrarea

Acest exemplu este rezolvat.

Exemplul 16. Din nou, trebuie să găsiți integrala funcției raționale fracționale. Pentru început, descompunem ecuația cubică care este conținută în numitorul fracției în factori simpli

În continuare, efectuăm descompunerea fracției în cea mai simplă

Reducem partea dreaptă la un numitor comun și deschidem parantezele din numărător.

Echivalăm coeficienții la aceleași puteri ale variabilei. Ajungem din nou la SLAE cu trei necunoscute

Substitui valorile A,B,Cîn expansiune și calculați integrala

Primii doi termeni dau logaritmul, ultimul este de asemenea ușor de găsit.

Exemplul 17. În numitorul unei funcții raționale fracționale, avem diferența de cuburi. După formulele de înmulțire prescurtată, o descompunem în doi factori primi

Apoi, pictăm funcția fracțională rezultată pentru suma fracțiilor simple și le reducem la un numitor comun

La numărător obținem următoarea expresie.

Din el formăm un sistem de ecuații liniare pentru calcularea a 3 necunoscute

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Inlocuim A, B, C in formula si realizam integrarea. Ca urmare, ajungem la următorul răspuns

Aici, numărătorul celei de-a doua integrale a fost transformat într-un logaritm, în timp ce restul de sub integrală dă arc tangente.
Există o mulțime de exemple similare despre integrarea fracțiilor raționale pe Internet. Exemple similare pot fi găsite în materialele de mai jos.

Aici oferim soluții detaliate la trei exemple de integrare a următoarelor fracții raționale:
, , .

Exemplul 1

Calculați integrala:
.

Soluţie

Aici, sub semnul integral există o funcție rațională, deoarece integrandul este o fracție de polinoame. Gradul polinomului numitorului ( 3 ) este mai mică decât gradul polinomului numărătorului ( 4 ). Prin urmare, mai întâi trebuie să selectați întreaga parte a fracției.

1. Să luăm partea întreagă a fracției. Împărțiți x 4 pe x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

De aici
.

2. Să factorizăm numitorul. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația cubică:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Înlocuiește x = 1 :
.

1 . Împărțire cu x - 1 :

De aici
.
Rezolvăm o ecuație pătratică.
.
Rădăcinile ecuației: , .
Apoi
.

3. Să descompunăm fracția în unele simple.

.

Așa că am găsit:
.
Să ne integrăm.

Răspuns

Exemplul 2

Calculați integrala:
.

Soluţie

Aici în numărătorul fracției este un polinom de grad zero ( 1 = x0). Numitorul este un polinom de gradul trei. Deoarece 0 < 3 , atunci fracția este corectă. Să-l împărțim în fracții simple.

1. Să factorizăm numitorul. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația de gradul al treilea:
.
Să presupunem că are cel puțin o rădăcină întreagă. Atunci este divizorul numărului 3 (un membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 3, -1, -3 .
Înlocuiește x = 1 :
.

Deci am găsit o rădăcină x = 1 . Împărțiți x 3 + 2 x - 3 pe x- 1 :

Asa de,
.

Rezolvăm ecuația pătratică:
X 2 + x + 3 = 0.
Găsiți discriminantul: D = 1 2 - 4 3 = -11. Pentru că D< 0 , atunci ecuația nu are rădăcini reale. Astfel, am obținut descompunerea numitorului în factori:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Înlocuiește x = 1 . Atunci x- 1 = 0 ,
.

Înlocuiește în (2.1) x= 0 :
1 = 3 A - C;
.

Echivalează în (2.1) coeficienții la x 2 :
;
0=A+B;
.

3. Să ne integrăm.
(2.2) .
Pentru a calcula a doua integrală, selectăm derivata numitorului din numărător și reducem numitorul la suma pătratelor.

;
;
.

Calculați I 2 .

.
Deoarece ecuația x 2 + x + 3 = 0 nu are rădăcini reale, atunci x 2 + x + 3 > 0. Prin urmare, semnul modulului poate fi omis.

Livram la (2.2) :
.

Răspuns

Exemplul 3

Calculați integrala:
.

Soluţie

Aici, sub semnul integralei se află o fracție de polinoame. Prin urmare, integrandul este o funcție rațională. Gradul polinomului în numărător este 3 . Gradul polinomului numitorului unei fracții este 4 . Deoarece 3 < 4 , atunci fracția este corectă. Prin urmare, poate fi descompus în fracții simple. Dar pentru aceasta trebuie să descompuneți numitorul în factori.

1. Să factorizăm numitorul. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația gradului al patrulea:
.
Să presupunem că are cel puțin o rădăcină întreagă. Atunci este divizorul numărului 2 (un membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 2, -1, -2 .
Înlocuiește x = -1 :
.

Deci am găsit o rădăcină x = -1 . Împărțire cu x - (-1) = x + 1:

Asa de,
.

Acum trebuie să rezolvăm ecuația de gradul trei:
.
Dacă presupunem că această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al numărului 2 (un membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 2, -1, -2 .
Înlocuiește x = -1 :
.

Deci, am găsit o altă rădăcină x = -1 . Ar fi posibil, ca și în cazul precedent, să împărțim polinomul la , dar vom grupa termenii:
.

Deoarece ecuația x 2 + 2 = 0 nu are rădăcini reale, atunci obținem factorizarea numitorului:
.

2. Să descompunăm fracția în unele simple. Căutăm o descompunere sub forma:
.
Scăpăm de numitorul fracției, înmulțim cu (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Înlocuiește x = -1 . Apoi x + 1 = 0 ,
.

Diferențiați (3.1) :

;

.
Înlocuiește x = -1 și luați în considerare că x + 1 = 0 :
;
; .

Înlocuiește în (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Echivalează în (3.1) coeficienții la x 3 :
;
1=B+C;
.

Deci, am găsit descompunerea în fracții simple:
.

3. Să ne integrăm.

.

O funcție rațională este o fracție de forma , al cărei numărător și numitor sunt polinoame sau produse ale polinoamelor.

Exemplul 1 Pasul 2

Înmulțim coeficienții nedeterminați cu polinoame care nu sunt în această fracție individuală, dar care sunt în alte fracții obținute:

Deschidem parantezele și echivalăm numărătorul integrandului original primit cu expresia obținută:

În ambele părți ale egalității, căutăm termeni cu aceleași puteri ale lui x și alcătuim un sistem de ecuații din ei:

Anulăm toate x-urile și obținem un sistem echivalent de ecuații:

Astfel, expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

Exemplul 2 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărătoare:

Acum începem să căutăm coeficienți nesiguri. Pentru a face acest lucru, echivalăm numărătorul fracției inițiale din expresia funcției cu numărătorul expresiei obținute după reducerea sumei fracțiilor la un numitor comun:

Acum trebuie să creați și să rezolvați un sistem de ecuații. Pentru a face acest lucru, echivalăm coeficienții variabilei cu gradul corespunzător în numărătorul expresiei inițiale a funcției și coeficienți similari în expresia obținută la pasul anterior:

Rezolvam sistemul rezultat:

Deci, de aici

Exemplul 3 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărătoare:

Începem să căutăm coeficienți nesiguri. Pentru a face acest lucru, echivalăm numărătorul fracției inițiale din expresia funcției cu numărătorul expresiei obținute după reducerea sumei fracțiilor la un numitor comun:

Ca și în exemplele anterioare, compunem un sistem de ecuații:

Reducem x și obținem un sistem echivalent de ecuații:

Rezolvând sistemul, obținem următoarele valori ale coeficienților nesiguri:

Obținem expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

Exemplul 4 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărătoare:

Cum să echivalăm numărătorul fracției inițiale cu expresia din numărătorul obținută după descompunerea fracției în suma fracțiilor simple și reducerea acestei sume la un numitor comun, știm deja din exemplele anterioare. Prin urmare, doar pentru control, prezentăm sistemul de ecuații rezultat:

Rezolvând sistemul, obținem următoarele valori ale coeficienților nesiguri:

Obținem expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

Exemplul 5 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărătoare:

Aducem independent această sumă la un numitor comun, echivalăm numărătorul acestei expresii cu numărătorul fracției inițiale. Rezultatul ar trebui să fie următorul sistem de ecuații:

Rezolvând sistemul, obținem următoarele valori ale coeficienților nesiguri:

Obținem expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

Exemplul 6 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărătoare:

Efectuăm aceleași acțiuni cu această sumă ca în exemplele anterioare. Rezultatul ar trebui să fie următorul sistem de ecuații:

Rezolvând sistemul, obținem următoarele valori ale coeficienților nesiguri:

Obținem expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

Exemplul 7 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărătoare:

După acțiuni cunoscute cu suma rezultată, ar trebui să se obțină următorul sistem de ecuații:

Rezolvând sistemul, obținem următoarele valori ale coeficienților nesiguri:

Obținem expansiunea finală a integrandului în suma fracțiilor simple:

Exemplul 8 Pasul 2 La pasul 1, am obținut următoarea extindere a fracției inițiale în suma fracțiilor simple cu coeficienți nedeterminați în numărătoare:

Să facem câteva modificări la acțiunile deja aduse automatității pentru a obține un sistem de ecuații. Există un truc artificial, care în unele cazuri ajută la evitarea calculelor inutile. Aducând suma fracțiilor la un numitor comun, obținem și echivalând numărătorul acestei expresii cu numărătorul fracției inițiale, obținem.