De las más de 500 mil tablillas de arcilla encontradas por los arqueólogos durante las excavaciones en la antigua Mesopotamia, unas 400 contienen información matemática. La mayoría de ellos han sido descifrados y permiten hacerse una idea bastante clara de los asombrosos logros algebraicos y geométricos de los científicos babilónicos.

Las opiniones difieren sobre el momento y el lugar del nacimiento de las matemáticas. Numerosos investigadores de este tema atribuyen su creación a varios pueblos y la fechan en diferentes épocas. Los antiguos griegos aún no tenían un punto de vista unificado sobre este asunto, entre los cuales estaba especialmente extendida la versión de que los egipcios inventaron la geometría y los comerciantes fenicios que necesitaban tal conocimiento para los cálculos comerciales y la aritmética. Heródoto en "Historia" y Estrabón en "Geografía" dieron prioridad a los fenicios. Platón y Diógenes Laercio consideraban que Egipto era el lugar de nacimiento tanto de la aritmética como de la geometría. Esta es también la opinión de Aristóteles, quien creía que las matemáticas nacían debido a la presencia del ocio entre los sacerdotes locales.

Esta observación sigue al pasaje de que en toda civilización nacen primero los oficios prácticos, luego las artes para el placer, y sólo después las ciencias destinadas al conocimiento. Eudemo, alumno de Aristóteles, como la mayoría de sus predecesores, también consideró a Egipto como la cuna de la geometría, y el motivo de su aparición fueron las necesidades prácticas de la agrimensura. Según Eudemus, en su perfeccionamiento, la geometría pasa por tres etapas: el surgimiento de habilidades prácticas en la agrimensura, el surgimiento de una disciplina aplicada orientada a la práctica y su transformación en ciencia teórica. Según todas las apariencias, Eudemo atribuyó las dos primeras etapas a Egipto y la tercera a las matemáticas griegas. Es cierto que, sin embargo, admitió que la teoría del cálculo de áreas surgió de la solución de ecuaciones cuadráticas, que eran de origen babilónico.

Se supone que se usaron pequeñas placas de arcilla encontradas en Irán para registrar las mediciones de granos desde el año 8000 a. Instituto Noruego de Paleografía e Historia,
Oslo.

El historiador Joseph Flavius ​​​​("Ancient Judea", libro 1, cap. 8) tiene su propia opinión. Aunque llama a los egipcios los primeros, está seguro de que el antepasado de los judíos, Abraham, que huyó a Egipto durante la hambruna que asoló la tierra de Canaán, les enseñó aritmética y astronomía. Bueno, la influencia egipcia en Grecia fue lo suficientemente fuerte como para imponer a los griegos una opinión similar, que con su mano ligera todavía está en circulación en la literatura histórica. Tablillas de arcilla bien conservadas cubiertas con textos cuneiformes encontradas en Mesopotamia y fechadas en el 2000 a. y antes del 300 d. C., dan testimonio tanto de un estado de cosas algo diferente como de cómo eran las matemáticas en la antigua Babilonia. Era una combinación bastante compleja de aritmética, álgebra, geometría e incluso los rudimentos de la trigonometría.

Las matemáticas se enseñaban en las escuelas de escribas, y cada graduado tenía una cantidad de conocimiento bastante seria para ese momento. Aparentemente, esto es exactamente de lo que habla Asurbanipal, el rey de Asiria en el siglo VII. BC, en una de sus inscripciones, dice que aprendió a encontrar "recíprocos complejos y multiplicar". A recurrir a los cálculos, la vida obligó a los babilonios a cada paso. La aritmética y el álgebra simple eran necesarios para el mantenimiento de la casa, al cambiar dinero y liquidar bienes, calcular el interés simple y compuesto, los impuestos y la parte de la cosecha que se entregaba al estado, al templo o al terrateniente. Los cálculos matemáticos, y bastante complejos, requerían proyectos arquitectónicos de gran envergadura, trabajos de ingeniería durante la construcción del sistema de riego, balística, astronomía y astrología.

Una tarea importante de las matemáticas era determinar el momento del trabajo agrícola, las festividades religiosas y otras necesidades del calendario. Cuán altos fueron los logros en las antiguas ciudades-estado entre el Tigris y el Éufrates en lo que los griegos más tarde llamarían mathema ("conocimiento") con tanta precisión sorprendente, juzguemos el desciframiento de los cuneiformes de arcilla mesopotámicos. Por cierto, entre los griegos, el término mathema al principio denotaba una lista de cuatro ciencias: aritmética, geometría, astronomía y armónica, comenzó a denotar las matemáticas propiamente dichas mucho más tarde. En Mesopotamia, los arqueólogos ya han encontrado y continúan encontrando tablillas cuneiformes con registros de carácter matemático, en parte en acadio, en parte en sumerio, así como tablas de referencia matemática. Este último facilitó en gran medida los cálculos que había que hacer a diario, por lo que una serie de textos descifrados a menudo contienen cálculos de interés.

Se han conservado los nombres de las operaciones aritméticas del período sumerio anterior de la historia de Mesopotamia. Entonces, la operación de suma se llamó "acumulación" o "suma", al restar, se usó el verbo "sacar", y el término para multiplicar significaba "comer". Es interesante que en Babilonia usaron una tabla de multiplicar más extensa - del 1 al 180.000 que la que teníamos que aprender en la escuela, es decir calculado para números del 1 al 100. En la antigua Mesopotamia, se crearon reglas uniformes para las operaciones aritméticas no solo con números enteros, sino también con fracciones, en el arte de operar en el que los babilonios eran significativamente superiores a los egipcios. En Egipto, por ejemplo, las operaciones con fracciones siguieron siendo primitivas durante mucho tiempo, ya que solo se conocían fracciones alícuotas (es decir, fracciones con numerador igual a 1). Desde la época de los sumerios en Mesopotamia, la principal unidad de conteo en todos los asuntos económicos era el número 60, aunque también se conocía el sistema numérico decimal, que estaba en uso entre los acadios.

La más famosa de las tablillas matemáticas del período babilónico antiguo, almacenada en la biblioteca de la Universidad de Columbia (EE.UU.). Contiene una lista de triángulos rectángulos con lados racionales, es decir, triples de números pitagóricos x2 + y2 = z2, e indica que el teorema de Pitágoras era conocido por los babilonios al menos mil años antes del nacimiento de su autor. 1900 - 1600 ANTES DE CRISTO.

En las tareas que conducían a una ecuación cúbica, había una tercera cantidad desconocida: "profundidad", y el producto de tres incógnitas se llamaba "volumen". Más tarde, con el desarrollo del pensamiento algebraico, las incógnitas comenzaron a entenderse de forma más abstracta. A veces, como ilustración de las relaciones algebraicas en Babilonia, se usaban dibujos geométricos. Más tarde Antigua Grecia se convirtieron en el elemento principal del álgebra, mientras que para los babilonios, que pensaban principalmente algebraicamente, los dibujos eran solo un medio de visualización, y los términos "línea" y "área" significaban con mayor frecuencia números adimensionales. Por eso había soluciones a problemas en los que se sumaba el "área" al "lado" o se restaba al "volumen", etc. De particular importancia en la antigüedad fue la medición precisa de campos, jardines, edificios: las inundaciones anuales de los ríos trajeron una gran cantidad de limo que cubrió los campos y destruyó los límites entre ellos, y después de la disminución del agua, los agrimensores, por orden de sus dueños, muchas veces tuvieron que volver a medir las parcelas. En los archivos cuneiformes, se han conservado muchos de estos mapas topográficos, compilados hace más de 4 mil años.

Inicialmente, las unidades de medida no eran muy precisas, porque la longitud se medía con los dedos, las palmas, los codos, que Gente diferente varios. La situación era mejor con grandes cantidades, para cuya medición usaban una caña y una cuerda de ciertos tamaños. Pero aquí también, los resultados de la medición a menudo diferían entre sí, dependiendo de quién midió y dónde. Por lo tanto, se adoptaron diferentes medidas de longitud en diferentes ciudades de Babilonia. Por ejemplo, en la ciudad de Lagash, el "codo" era de 400 mm, y en Nippur y Babilonia, 518 mm. Muchos materiales cuneiformes sobrevivientes fueron guías de estudio para los escolares babilónicos, que proporcionó soluciones a varios problemas simples que a menudo se encontraban en la vida práctica. Sin embargo, no está claro si el estudiante los resolvió en su mente o hizo cálculos preliminares con una ramita en el suelo; solo las condiciones de los problemas matemáticos y su solución están escritas en las tabletas.

Problemas geométricos con dibujos de trapecios y triángulos y la solución del teorema de Pitágoras. Dimensiones de la placa: 21,0x8,2. Siglo 19 ANTES DE CRISTO. Museo Británico

La parte principal del curso de matemáticas en la escuela estaba ocupada por la solución de problemas aritméticos, algebraicos y geométricos, en cuya formulación se acostumbraba operar con objetos, áreas y volúmenes específicos. En una de las tablillas cuneiformes se conservaba el siguiente problema: “¿En cuántos días se puede hacer una pieza de tela de cierta longitud si sabemos que se hacen tantos codos (una medida de longitud) de esta tela diariamente?” El otro muestra tareas relacionadas con trabajos de construcción. Por ejemplo, “¿Cuánta tierra se necesitará para un terraplén, cuyas dimensiones se conocen, y cuánta tierra debe mover cada trabajador, si se conoce su número total?” o "¿Cuánta arcilla debe preparar cada trabajador para construir una pared de cierto tamaño?"

El estudiante también tenía que poder calcular coeficientes, calcular totales, resolver problemas sobre la medición de ángulos, calcular áreas y volúmenes de figuras rectilíneas: este era un conjunto común para la geometría elemental. Interesantes nombres conservados de la época sumeria formas geométricas. El triángulo se llamaba "cuña", el trapezoide se llamaba "frente del toro", el círculo se llamaba "aro", el recipiente se denotaba con el término "agua", el volumen era "tierra, arena", el área se llamaba el "campo". Uno de los textos cuneiformes contiene 16 problemas con soluciones que se relacionan con presas, murallas, pozos, relojes de agua y movimientos de tierra. Un problema lo proporciona un dibujo relativo a un eje circular, otro considera un tronco de cono, determinando su volumen multiplicando la altura por la mitad de la suma de las áreas de las bases superior e inferior.

Los matemáticos babilónicos también resolvieron problemas planimétricos utilizando las propiedades de los triángulos rectángulos, posteriormente formuladas por Pitágoras en forma de teorema sobre la igualdad en un triángulo rectángulo del cuadrado de la hipotenusa a la suma de los cuadrados de los catetos. En otras palabras, los babilonios conocían el famoso teorema de Pitágoras al menos mil años antes que Pitágoras. Además de los problemas planimétricos, también resolvieron problemas estereométricos relacionados con la determinación del volumen de varios tipos de espacios, cuerpos y planos de dibujo muy practicados para campos, áreas, edificios individuales, pero generalmente no a escala. El logro más significativo de las matemáticas fue el descubrimiento del hecho de que la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado no se puede expresar como un número entero o una fracción simple. Así, el concepto de irracionalidad se introdujo en las matemáticas.

Se cree que el descubrimiento de uno de los números irracionales más importantes, el número π, que expresa la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro e igual a una fracción infinita ≈ 3,14 ..., pertenece a Pitágoras. Según otra versión, para el número π, Arquímedes propuso por primera vez el valor 3,14 300 años después, en el siglo III a. ANTES DE CRISTO. Según otro, Omar Khayyam fue el primero en calcularlo, esto es generalmente del siglo XI al XII. ANUNCIO Solo se sabe con certeza que la letra griega π fue designada por primera vez por el matemático inglés William Jones en 1706, y solo después de que el matemático suizo Leonhard Euler tomó prestada esta designación en 1737, se volvió generalmente aceptada. El número π es el acertijo matemático más antiguo, este descubrimiento también debe buscarse en la antigua Mesopotamia.

Los matemáticos babilónicos conocían bien los números irracionales más importantes, y la solución al problema de calcular el área de un círculo también se puede encontrar en la decodificación de tablillas de arcilla cuneiformes de contenido matemático. De acuerdo con estos datos, π se tomó igual a 3, lo que, sin embargo, fue suficiente para fines prácticos de agrimensura. Los investigadores creen que el sistema sexagesimal fue elegido en la antigua Babilonia por razones metrológicas: el número 60 tiene muchos divisores. La notación hexadecimal de números enteros no se generalizó fuera de Mesopotamia, sino en Europa hasta el siglo XVII. tanto las fracciones sexagesimales como la habitual división del círculo en 360 grados fueron ampliamente utilizadas. La hora y los minutos, divididos en 60 partes, también son originarios de Babilonia.

Es destacable la ingeniosa idea de los babilonios de utilizar el mínimo número de caracteres digitales para escribir números. ¡Los romanos, por ejemplo, ni siquiera pensaron que el mismo número puede denotar diferentes cantidades! Para ello, utilizaron las letras de su alfabeto. Como resultado, un número de cuatro dígitos, por ejemplo, 2737 contenía hasta once letras: MMDCCXXXVII. Y aunque en nuestro tiempo hay matemáticos extremos que pueden dividir LXXVIII por CLXVI en una columna o multiplicar CLIX por LXXIV, uno solo puede sentir lástima por aquellos residentes de la Ciudad Eterna que tuvieron que realizar complejos cálculos astronómicos y de calendario con la ayuda de tales acto de equilibrio matemático o proyectos arquitectónicos a gran escala calculados y varios objetos de ingeniería.

El sistema numérico griego también se basaba en el uso de las letras del alfabeto. Inicialmente, se adoptó el sistema ático en Grecia, que usaba una línea vertical para designar una unidad, y para los números 5, 10, 100, 1000, 10,000 (esencialmente era un sistema decimal), las letras iniciales de sus nombres griegos. Más tarde, alrededor del siglo III a. A.C., se generalizó el sistema numérico jónico, en el que se usaban 24 letras del alfabeto griego y tres letras arcaicas para denotar números. Y para distinguir los números de las palabras, los griegos colocaban una línea horizontal sobre la letra correspondiente. En este sentido, la ciencia matemática babilónica se situó por encima de la griega o romana posterior, ya que es ella quien posee uno de los logros más destacados en el desarrollo de los sistemas de notación numérica: el principio de posicionalidad, según el cual el mismo signo numérico (símbolo ) posee varios significados dependiendo de donde se encuentre. Por cierto, el sistema numérico egipcio era inferior al sistema numérico babilónico y egipcio moderno.

Los egipcios usaban un sistema decimal no posicional, en el que los números del 1 al 9 se denotaban por el número correspondiente de líneas verticales, y se introdujeron símbolos jeroglíficos individuales para potencias sucesivas de 10. Para números pequeños, el sistema numérico babilónico en términos generales se parecía al egipcio. Una línea vertical en forma de cuña (en las primeras tablillas sumerias, un pequeño semicírculo) significaba una unidad; repetido el número requerido de veces, este signo servía para escribir números menores de diez; para designar el número 10, los babilonios, como los egipcios, introdujeron un nuevo símbolo: un signo ancho en forma de cuña con un punto dirigido hacia la izquierda, que se asemeja a un paréntesis angular (en los primeros textos sumerios, un pequeño círculo). Repetido un número apropiado de veces, este signo sirvió para representar los números 20, 30, 40 y 50. La mayoría de los historiadores modernos creen que los antiguos el conocimiento científico eran puramente empíricos.

Con respecto a la física, la química, la filosofía natural, que se basaron en observaciones, parece ser cierto. Pero la noción de experiencia sensorial como fuente de conocimiento enfrenta una pregunta insoluble cuando se trata de una ciencia tan abstracta como las matemáticas que operan con símbolos. Especialmente significativos fueron los logros de la astronomía matemática babilónica. Pero si el salto repentino elevó a los matemáticos mesopotámicos del nivel de la práctica utilitaria a un vasto conocimiento, permitiéndoles aplicar métodos matemáticos para predecir las posiciones del Sol, la Luna y los planetas, los eclipses y otros fenómenos celestes, o si el desarrollo avanzó gradualmente. , lamentablemente no lo sabemos. La historia del conocimiento matemático en general parece extraña.

Sabemos cómo nuestros antepasados ​​aprendieron a contar con los dedos de las manos y los pies, haciendo primitivos registros numéricos en forma de muescas en un palo, nudos en una cuerda o guijarros dispuestos en una fila. Y luego, sin ningún vínculo de transición, de repente información sobre los logros matemáticos de los babilonios, egipcios, chinos, hindúes y otros científicos antiguos, tan sólida que sus métodos matemáticos resistieron la prueba del tiempo hasta mediados del II milenio recientemente finalizado, es decir. durante más de tres mil años...

¿Qué se esconde entre estos enlaces? ¿Por qué los antiguos sabios, además del significado práctico, reverenciaban las matemáticas como un conocimiento sagrado y daban nombres de dioses a los números y figuras geométricas? ¿Está justo detrás de esto una actitud reverente hacia el Conocimiento como tal? Quizás llegue el momento en que los arqueólogos encuentren respuestas a estas preguntas. Mientras tanto, no olvidemos lo que dijo el oxfordiano Thomas Bradwardine hace 700 años: "Quien tenga la desvergüenza de negar las matemáticas debería haber sabido desde el principio que nunca cruzaría las puertas de la sabiduría".

Con la aritmética, la ciencia de los números, comienza nuestro conocimiento de las matemáticas. Uno de los primeros libros de texto de aritmética rusos, escrito por L. F. Magnitsky en 1703, comenzaba con las palabras: “La aritmética o el numerador, es un arte que es honesto, poco envidiable y convenientemente comprensible para todos, el más útil y el más elogiado, desde el más antiguo y los más nuevos, que vivieron en diferentes épocas de los mejores aritméticos, inventaron y expusieron. Con la aritmética, entramos, como dijo M.V. Lomonosov, en las “puertas del aprendizaje” y comenzamos nuestro largo y difícil, pero fascinante viaje de conocer el mundo.

La palabra "aritmética" proviene del griego arithmos, que significa "número". Esta ciencia estudia operaciones con números, varias reglas para manejarlos, te enseña cómo resolver problemas que se reducen a suma, resta, multiplicación y división de números. La aritmética a menudo se imagina como un primer paso en las matemáticas, a partir del cual es posible estudiar sus secciones más complejas: álgebra, análisis matemático, etc. Incluso los números enteros, el objeto básico de la aritmética, se refieren cuando se consideran propiedades generales y patrones, a aritmética superior o teoría de números. Tal visión de la aritmética, por supuesto, tiene motivos: realmente sigue siendo el "alfabeto de contar", pero el alfabeto es "más útil" y "cómodo".

La aritmética y la geometría son viejas compañeras del hombre. Estas ciencias aparecieron cuando se hizo necesario contar objetos, medir tierra, dividir el botín, llevar la cuenta del tiempo.

La aritmética se originó en los países del Antiguo Oriente: Babilonia, China, India, Egipto. Por ejemplo, el papiro egipcio Rinda (llamado así por su propietario G. Rinda) data del siglo XX. ANTES DE CRISTO. Entre otra información, contiene expansiones de una fracción en la suma de fracciones con un numerador igual a uno, por ejemplo:

Los tesoros del conocimiento matemático acumulados en los países del Antiguo Oriente fueron desarrollados y continuados por los científicos de la Antigua Grecia. Muchos nombres de científicos involucrados en la aritmética en mundo antiguo, la historia nos ha preservado: Anaxágoras y Zenón, Euclides (ver Euclides y sus "Comienzos"), Arquímedes, Eratóstenes y Diofanto. El nombre de Pitágoras (siglo VI aC) brilla aquí como una estrella luminosa. Los pitagóricos (discípulos y seguidores de Pitágoras) adoraban los números, creyendo que contenían toda la armonía del mundo. A los números individuales y pares de números se les asignaron propiedades especiales. Los números 7 y 36 eran muy apreciados, a la vez que se prestaba atención a los llamados números perfectos, números amigos, etc.

En la Edad Media, el desarrollo de la aritmética también se asocia con Oriente: India, los países del mundo árabe y Asia Central. De los indios nos llegaron los números que usamos, el cero y el sistema numérico posicional; de al-Kashi (siglo XV), que trabajó en el observatorio de Samarcanda Ulugbek, - fracciones decimales.

Gracias al desarrollo del comercio y la influencia de la cultura oriental desde el siglo XIII. creciente interés por la aritmética en Europa. Hay que recordar el nombre del científico italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), cuya obra "El libro del ábaco" presentó a los europeos los principales logros de las matemáticas de Oriente y fue el comienzo de muchos estudios de aritmética y álgebra.

Junto con la invención de la imprenta (mediados del siglo XV), aparecieron los primeros libros matemáticos impresos. El primer libro impreso sobre aritmética se publicó en Italia en 1478. La Aritmética completa del matemático alemán M. Stiefel (principios del siglo XVI) ya contiene números negativos e incluso la idea de sacar un logaritmo.

Alrededor del siglo XVI el desarrollo de preguntas puramente aritméticas fluyó hacia la corriente principal del álgebra; como un hito significativo, se puede notar la aparición de los trabajos del científico francés F. Vieta, en los que los números se indican con letras. Desde entonces, las reglas aritméticas básicas se han comprendido plenamente desde el punto de vista del álgebra.

El objeto básico de la aritmética es el número. Números naturales, es decir los números 1, 2, 3, 4, ... etc., surgieron del conteo de elementos específicos. Pasaron muchos milenios antes de que el hombre supiera que dos faisanes, dos manos, dos personas, etc. se puede llamar la misma palabra "dos". Una tarea importante de la aritmética es aprender a superar el significado específico de los nombres de los objetos contados, a abstraerse de su forma, tamaño, color, etc. Fibonacci ya tiene una tarea: “Siete ancianas van a Roma. Cada uno tiene 7 mulas, cada mula lleva 7 sacos, cada saco tiene 7 panes, cada pan tiene 7 cuchillos, cada cuchillo tiene 7 vainas. ¿Cuanto? Para resolver el problema, tendrás que juntar viejas, mulas, bolsas y pan.

El desarrollo del concepto de número: la aparición de números cero y negativos, fracciones ordinarias y decimales, formas de escribir números (números, símbolos, sistemas numéricos), todo esto tiene una historia rica e interesante.

“La ciencia de los números significa dos ciencias: práctica y teórica. Los números de estudios prácticos en la medida en que estamos hablando de números contables. Esta ciencia se utiliza en el mercado y los asuntos civiles. La ciencia teórica de los números estudia los números en sentido absoluto, abstraídos por la mente de los cuerpos y todo lo que en ellos se puede contar. al-Farabi

En aritmética, los números se suman, restan, multiplican y dividen. El arte de realizar estas operaciones con rapidez y precisión en cualquier número se ha considerado durante mucho tiempo como la tarea más importante de la aritmética. Ahora, en nuestras mentes o en una hoja de papel, solo hacemos los cálculos más simples, confiando cada vez más el trabajo computacional más complejo a las microcalculadoras, que están reemplazando gradualmente a dispositivos como el ábaco, la máquina de sumar (ver Computación), la regla de cálculo. Sin embargo, el funcionamiento de todas las computadoras, simples y complejas, se basa en la operación más simple: la suma de números naturales. Resulta que los cálculos más complejos se pueden reducir a sumas, solo que esta operación debe hacerse muchos millones de veces. Pero aquí estamos invadiendo otra área de las matemáticas que se origina en la aritmética: las matemáticas computacionales.

Las operaciones aritméticas con números tienen una variedad de propiedades. Estas propiedades se pueden describir con palabras, por ejemplo: "La suma no cambia por un cambio en los lugares de los términos", se puede escribir con letras: se puede expresar en términos especiales.

Por ejemplo, esta propiedad de la suma se llama ley conmutativa o conmutativa. Aplicamos las leyes de la aritmética a menudo por costumbre, sin darnos cuenta. A menudo, los estudiantes en la escuela preguntan: "¿Por qué aprender todas estas leyes de desplazamiento y combinación, porque es tan claro cómo sumar y multiplicar números?" En el siglo 19 las matemáticas dieron un paso importante: comenzaron a sumar y multiplicar sistemáticamente no solo números, sino también vectores, funciones, desplazamientos, tablas de números, matrices y mucho más, e incluso solo letras, símbolos, sin preocuparse realmente por su significado específico. Y aquí resultó que lo más importante es a qué leyes obedecen estas operaciones. El estudio de operaciones dadas sobre objetos arbitrarios (no necesariamente sobre números) ya es dominio del álgebra, aunque esta tarea se basa en la aritmética y sus leyes.

La aritmética contiene muchas reglas para resolver problemas. En libros antiguos se pueden encontrar problemas para la "regla triple", para la "división proporcional", para el "método de los pesos", para la "regla falsa", etc. La mayoría de estas reglas ahora están obsoletas, aunque las tareas que se resolvieron con su ayuda de ninguna manera pueden considerarse obsoletas. El famoso problema de una piscina que se llena con varios tubos tiene al menos dos mil años, y todavía no es fácil para los escolares. Pero si antes, para resolver este problema, era necesario conocer una regla especial, hoy en día incluso a los estudiantes más jóvenes se les enseña a resolver dicho problema ingresando la designación de la letra del valor deseado. Así, los problemas aritméticos llevaron a la necesidad de resolver ecuaciones, y esta es nuevamente la tarea del álgebra.

Entre los conceptos importantes introducidos por la aritmética, cabe señalar las proporciones y los porcentajes. La mayoría de los conceptos y métodos de la aritmética se basan en comparar varias relaciones entre números. En la historia de las matemáticas, el proceso de fusión de la aritmética y la geometría se llevó a cabo durante muchos siglos.

Uno puede rastrear claramente la "geometrización" de la aritmética: las reglas y patrones complejos expresados ​​por fórmulas se vuelven más claros si uno puede representarlos geométricamente. El proceso inverso desempeña un papel importante en las matemáticas mismas y sus aplicaciones: la traducción de información visual y geométrica al lenguaje de los números (consulte Cálculos gráficos). Esta traducción se basa en la idea del filósofo y matemático francés R. Descartes sobre la definición de puntos en el plano por coordenadas. Por supuesto, esta idea ya se había utilizado antes que él, por ejemplo, en asuntos marítimos, cuando era necesario determinar la ubicación del barco, así como en astronomía y geodesia. Pero es precisamente de Descartes y sus alumnos de donde proviene el uso consistente del lenguaje de las coordenadas en las matemáticas. Y en nuestro tiempo, a la hora de gestionar procesos complejos (por ejemplo, el vuelo de una nave espacial), prefieren tener toda la información en forma de números, que son procesados ​​por una computadora. Si es necesario, la máquina ayuda a una persona a traducir la información numérica acumulada al lenguaje del dibujo.

Verá que, hablando de aritmética, siempre vamos más allá de sus límites: hacia el álgebra, la geometría y otras ramas de las matemáticas.

¿Cómo delinear los límites de la aritmética misma?

¿En qué sentido se usa esta palabra?

La palabra "aritmética" puede entenderse como:

una materia académica que trata principalmente con números racionales (números enteros y fracciones), operaciones con ellos y problemas resueltos con la ayuda de estas operaciones;

parte del edificio histórico de las matemáticas, que ha acumulado diversa información sobre cálculos;

"aritmética teórica": una parte de las matemáticas modernas que se ocupa de la construcción de varios sistemas numéricos (números naturales, enteros, racionales, reales, complejos y sus generalizaciones);

"aritmética formal" - una parte de la lógica matemática (ver. Lógica matemática), que se ocupa del análisis de la teoría axiomática de la aritmética;

"aritmética superior", o teoría de números, una parte de las matemáticas que se desarrolla de forma independiente.

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Prefacio editorial: De las más de 500 mil tablillas de arcilla encontradas por los arqueólogos durante las excavaciones en la antigua Mesopotamia, unas 400 contienen información matemática. La mayoría de ellos han sido descifrados y permiten hacerse una idea bastante clara de los asombrosos logros algebraicos y geométricos de los científicos babilónicos.

Las opiniones difieren sobre el momento y el lugar del nacimiento de las matemáticas. Numerosos investigadores de este tema atribuyen su creación a varios pueblos y la fechan en diferentes épocas. Los antiguos griegos aún no tenían un punto de vista único sobre este asunto, entre los cuales estaba especialmente extendida la versión de que los egipcios inventaron la geometría y los comerciantes fenicios que necesitaban ese conocimiento para los cálculos comerciales y la aritmética.

Heródoto en "Historia" y Estrabón en "Geografía" dieron prioridad a los fenicios. Platón y Diógenes Laercio consideraban que Egipto era el lugar de nacimiento tanto de la aritmética como de la geometría. Esta es también la opinión de Aristóteles, quien creía que las matemáticas nacían debido a la presencia del ocio entre los sacerdotes locales. Esta observación sigue al pasaje de que en toda civilización nacen primero los oficios prácticos, luego las artes para el placer, y sólo después las ciencias destinadas al conocimiento.

Eudemo, alumno de Aristóteles, como la mayoría de sus predecesores, también consideró a Egipto como la cuna de la geometría, y el motivo de su aparición fueron las necesidades prácticas de la agrimensura. Según Evdem, la geometría pasa por tres etapas en su perfeccionamiento: el surgimiento de habilidades prácticas en la agrimensura, el surgimiento de una disciplina aplicada orientada a la práctica y su transformación en una ciencia teórica. Aparentemente, las dos primeras etapas de Eudemo se atribuyen a Egipto y la tercera a las matemáticas griegas. Es cierto que, sin embargo, admitió que la teoría del cálculo de áreas surgió de la solución de ecuaciones cuadráticas, que eran de origen babilónico.

El historiador Joseph Flavius ​​​​("Ancient Judea", libro 1, cap. 8) tiene su propia opinión. Aunque llama a los egipcios los primeros, está seguro de que el antepasado de los judíos, Abraham, que huyó a Egipto durante la hambruna que asoló la tierra de Canaán, les enseñó aritmética y astronomía. Bueno, la influencia egipcia en Grecia fue lo suficientemente fuerte como para imponer a los griegos una opinión similar, que, con su mano ligera, todavía circula en la literatura histórica. Tablillas de arcilla bien conservadas cubiertas con textos cuneiformes encontradas en Mesopotamia y fechadas en el 2000 a. y antes del 300 d. C., dan testimonio tanto de un estado de cosas algo diferente como de cómo eran las matemáticas en la antigua Babilonia. Era una combinación bastante compleja de aritmética, álgebra, geometría e incluso los rudimentos de la trigonometría.

Las matemáticas se enseñaban en las escuelas de escribas, y cada graduado tenía una cantidad de conocimiento bastante seria para ese momento. Aparentemente, esto es exactamente de lo que habla Asurbanipal, el rey de Asiria en el siglo VII. BC, en una de sus inscripciones, diciendo que había aprendido a encontrar

"complejar recíprocos y multiplicar".

A recurrir a los cálculos, la vida obligó a los babilonios a cada paso. La aritmética y el álgebra simple eran necesarios para el mantenimiento de la casa, al cambiar dinero y liquidar bienes, calcular el interés simple y compuesto, los impuestos y la parte de la cosecha que se entregaba al estado, al templo o al terrateniente. Los cálculos matemáticos, y bastante complejos, requerían proyectos arquitectónicos de gran envergadura, trabajos de ingeniería durante la construcción del sistema de riego, balística, astronomía y astrología. Una tarea importante de las matemáticas era determinar el momento del trabajo agrícola, las festividades religiosas y otras necesidades del calendario. A qué altura en las antiguas ciudades-estado entre el Tigris y el Éufrates hubo logros en lo que los griegos más tarde llamarían con tanta precisión μαθημα ("conocimiento"), podemos juzgar el desciframiento de los cuneiformes de arcilla mesopotámicos. Por cierto, entre los griegos, el término μαθημα al principio denotaba una lista de cuatro ciencias: aritmética, geometría, astronomía y armónica, comenzó a denotar las matemáticas propiamente dichas mucho más tarde.

En Mesopotamia, los arqueólogos ya han encontrado y continúan encontrando tablillas cuneiformes con registros de carácter matemático, en parte en acadio, en parte en sumerio, así como tablas de referencia matemática. Este último facilitó en gran medida los cálculos que había que hacer a diario, por lo que una serie de textos descifrados a menudo contienen cálculos de interés. Se han conservado los nombres de las operaciones aritméticas del período sumerio anterior de la historia de Mesopotamia. Entonces, la operación de suma se llamó "acumulación" o "suma", al restar, se usó el verbo "sacar", y el término para multiplicar significaba "comer".

Es interesante que en Babilonia usaron una tabla de multiplicar más extensa - del 1 al 180.000 que la que teníamos que aprender en la escuela, es decir calculada con números del 1 al 100.

En la antigua Mesopotamia se crearon reglas uniformes para las operaciones aritméticas no solo con números enteros, sino también con fracciones, en el arte de operar en el que los babilonios eran significativamente superiores a los egipcios. En Egipto, por ejemplo, las operaciones con fracciones siguieron siendo primitivas durante mucho tiempo, ya que solo se conocían fracciones alícuotas (es decir, fracciones con numerador igual a 1). Desde la época de los sumerios en Mesopotamia, la principal unidad de conteo en todos los asuntos económicos era el número 60, aunque también se conocía el sistema numérico decimal, que estaba en uso entre los acadios. Los matemáticos babilónicos utilizaron ampliamente el sistema de conteo sexagesimal posicional (!). Sobre esta base, se compilaron varias tablas de cálculo. Además de las tablas de multiplicar y las tablas de recíprocos, con las que se realizaba la división, existían tablas de raíces cuadradas y números cúbicos.

Los textos cuneiformes dedicados a resolver problemas algebraicos y geométricos indican que los matemáticos babilónicos pudieron resolver algunos problemas especiales, incluidas hasta diez ecuaciones con diez incógnitas, así como ciertas variedades de ecuaciones cúbicas y ecuaciones de cuarto grado. Al principio, las ecuaciones cuadráticas servían principalmente para fines puramente prácticos: la medición de áreas y volúmenes, que se reflejaba en la terminología. Por ejemplo, al resolver ecuaciones con dos incógnitas, una se llamaba "longitud" y la otra, "ancho". El producto de las incógnitas se denominó "área". ¡Justo como ahora! En las tareas que conducían a una ecuación cúbica, había una tercera cantidad desconocida: "profundidad", y el producto de tres incógnitas se llamaba "volumen". Más tarde, con el desarrollo del pensamiento algebraico, las incógnitas comenzaron a entenderse de forma más abstracta.

A veces, como ilustración de las relaciones algebraicas en Babilonia, se usaban dibujos geométricos. Más tarde, en la antigua Grecia, se convirtieron en el elemento principal del álgebra, mientras que para los babilonios, que pensaban principalmente de forma algebraica, los dibujos eran solo un medio de visualización, y los términos "línea" y "área" generalmente significaban números adimensionales. Por eso había soluciones a problemas donde se sumaba el “área” al “lado” o se restaba al “volumen”, etc.

De particular importancia en la antigüedad fue la medición precisa de campos, jardines, edificios: las inundaciones anuales de los ríos trajeron una gran cantidad de limo que cubrió los campos y destruyó los límites entre ellos, y después de la disminución del agua, los agrimensores, por orden de sus dueños, muchas veces tuvieron que volver a medir las parcelas. En los archivos cuneiformes, se han conservado muchos de estos mapas topográficos, compilados hace más de 4 mil años.

Inicialmente, las unidades de medida no eran muy precisas, porque la longitud se medía con los dedos, las palmas, los codos, que son diferentes para diferentes personas. La situación era mejor con grandes cantidades, para cuya medición usaban una caña y una cuerda de ciertos tamaños. Pero aquí también, los resultados de la medición a menudo diferían entre sí, dependiendo de quién midió y dónde. Por lo tanto, se adoptaron diferentes medidas de longitud en diferentes ciudades de Babilonia. Por ejemplo, en la ciudad de Lagash, el "codo" era de 400 mm, y en Nippur y Babilonia, 518 mm.

Muchos materiales cuneiformes sobrevivientes eran libros de texto para escolares babilónicos, que brindaban soluciones a varios problemas simples que a menudo se encontraban en la vida práctica. Sin embargo, no está claro si el estudiante los resolvió en su mente o hizo cálculos preliminares con una ramita en el suelo; solo las condiciones de los problemas matemáticos y su solución están escritas en las tabletas.

La parte principal del curso de matemáticas en la escuela estaba ocupada por la solución de problemas aritméticos, algebraicos y geométricos, en cuya formulación se acostumbraba operar con objetos, áreas y volúmenes específicos. En una de las tablillas cuneiformes se conservaba el siguiente problema: “¿En cuántos días se puede hacer una pieza de tela de cierta longitud si sabemos que se hacen tantos codos (una medida de longitud) de esta tela diariamente?” El otro muestra tareas relacionadas con trabajos de construcción. Por ejemplo, “¿Cuánta tierra se necesitará para un terraplén, cuyas dimensiones se conocen, y cuánta tierra debe mover cada trabajador, si se conoce su número total?” o "¿Cuánta arcilla debe preparar cada trabajador para construir una pared de cierto tamaño?"

El estudiante también tenía que poder calcular coeficientes, calcular totales, resolver problemas sobre la medición de ángulos, calcular áreas y volúmenes de figuras rectilíneas: este era un conjunto común para la geometría elemental.

Los nombres de figuras geométricas conservadas desde la época sumeria son interesantes. El triángulo se llamaba "cuña", el trapecio - "la frente del toro", el círculo - "aro", la capacidad se designaba con el término "agua", el volumen - "tierra, arena", el área se llamaba "campo".

Uno de los textos cuneiformes contiene 16 problemas con soluciones que se relacionan con presas, murallas, pozos, relojes de agua y movimientos de tierra. Un problema lo proporciona un dibujo relativo a un eje circular, otro considera un tronco de cono, determinando su volumen multiplicando la altura por la mitad de la suma de las áreas de las bases superior e inferior. Los matemáticos babilónicos también resolvieron problemas planimétricos utilizando las propiedades de los triángulos rectángulos, posteriormente formuladas por Pitágoras en forma de teorema sobre la igualdad en un triángulo rectángulo del cuadrado de la hipotenusa a la suma de los cuadrados de los catetos. En otras palabras, los babilonios conocían el famoso teorema de Pitágoras al menos mil años antes que Pitágoras.

Además de los problemas planimétricos, también resolvieron problemas estereométricos relacionados con la determinación del volumen de varios tipos de espacios, cuerpos y planos de dibujo muy practicados para campos, áreas, edificios individuales, pero generalmente no a escala.

El logro más significativo de las matemáticas fue el descubrimiento del hecho de que la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado no se puede expresar como un número entero o una fracción simple. Así, el concepto de irracionalidad se introdujo en las matemáticas.

Se cree que el descubrimiento de uno de los números irracionales más importantes: el número π, que expresa la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro e igual a una fracción infinita = 3,14 ..., pertenece a Pitágoras. Según otra versión, para el número π, Arquímedes propuso por primera vez el valor 3,14 300 años después, en el siglo III a. ANTES DE CRISTO. Según otro, Omar Khayyam fue el primero en calcularlo, generalmente es de 11 a 12 siglos. AD Solo se sabe con certeza que la letra griega π denotó por primera vez esta proporción en 1706 por el matemático inglés William Jones, y solo después de que el matemático suizo Leonard Euler tomó prestada esta designación en 1737, se volvió generalmente aceptada.

El número π es el acertijo matemático más antiguo, este descubrimiento también debe buscarse en la antigua Mesopotamia. Los matemáticos babilónicos conocían bien los números irracionales más importantes, y la solución al problema de calcular el área de un círculo también se puede encontrar en la decodificación de tablillas de arcilla cuneiformes de contenido matemático. De acuerdo con estos datos, π se tomó igual a 3, lo que, sin embargo, fue suficiente para fines prácticos de agrimensura. Los investigadores creen que el sistema sexagesimal fue elegido en la antigua Babilonia por razones metrológicas: el número 60 tiene muchos divisores. La notación hexadecimal de números enteros no se generalizó fuera de Mesopotamia, sino en Europa hasta el siglo XVII. tanto las fracciones sexagesimales como la habitual división del círculo en 360 grados fueron ampliamente utilizadas. La hora y los minutos, divididos en 60 partes, también son originarios de Babilonia. Es destacable la ingeniosa idea de los babilonios de utilizar el mínimo número de caracteres digitales para escribir números. ¡Los romanos, por ejemplo, ni siquiera pensaron que el mismo número puede denotar diferentes cantidades! Para ello, utilizaron las letras de su alfabeto. Como resultado, un número de cuatro dígitos, por ejemplo, 2737 contenía hasta once letras: MMDCCXXXVII. Y aunque en nuestro tiempo hay matemáticos extremos que pueden dividir LXXVIII por CLXVI en una columna o multiplicar CLIX por LXXIV, uno solo puede sentir lástima por aquellos residentes de la Ciudad Eterna que tuvieron que realizar complejos cálculos astronómicos y de calendario con la ayuda de tales acto de equilibrio matemático o proyectos arquitectónicos a gran escala calculados y varios objetos de ingeniería.

El sistema numérico griego también se basaba en el uso de las letras del alfabeto. Al principio, se adoptó el sistema ático en Grecia, que usaba una línea vertical para designar una unidad, y para los números 5, 10, 100, 1000, 10000 (esencialmente era un sistema decimal) - las letras iniciales de sus nombres griegos . Más tarde, alrededor del siglo III a. A.C., se generalizó el sistema numérico jónico, en el que se usaban 24 letras del alfabeto griego y tres letras arcaicas para denotar números. Y para distinguir los números de las palabras, los griegos colocaban una línea horizontal sobre la letra correspondiente.

En este sentido, la ciencia matemática babilónica superó a la griega o romana posterior, ya que es ella quien posee uno de los logros más destacados en el desarrollo de los sistemas de notación numérica: el principio de posicionalidad, según el cual el mismo signo numérico (símbolo) Tiene diferentes significados según sea el lugar donde se encuentre.

Por cierto, el sistema numérico egipcio era inferior al sistema numérico babilónico y egipcio moderno. Los egipcios usaban un sistema decimal no posicional, en el que los números del 1 al 9 se denotaban por el número correspondiente de líneas verticales, y se introdujeron símbolos jeroglíficos individuales para potencias sucesivas de 10. Para números pequeños, el sistema numérico babilónico en términos generales se parecía al egipcio. Una línea vertical en forma de cuña (en las primeras tablillas sumerias, un pequeño semicírculo) significaba una unidad; repetido el número requerido de veces, este signo servía para escribir números menores de diez; para designar el número 10, los babilonios, como los egipcios, introdujeron un nuevo símbolo: un signo ancho en forma de cuña con un punto dirigido hacia la izquierda, que se asemeja a un paréntesis angular (en los primeros textos sumerios, un pequeño círculo). Repetido un número apropiado de veces, este signo sirvió para representar los números 20, 30, 40 y 50.

La mayoría de los historiadores modernos creen que el conocimiento científico antiguo era de naturaleza puramente empírica. Con respecto a la física, la química, la filosofía natural, que se basaron en observaciones, parece ser cierto. Pero la noción de experiencia sensorial como fuente de conocimiento enfrenta una pregunta insoluble cuando se trata de una ciencia tan abstracta como las matemáticas que operan con símbolos.

Especialmente significativos fueron los logros de la astronomía matemática babilónica. Pero si el salto repentino elevó a los matemáticos mesopotámicos del nivel de la práctica utilitaria a un vasto conocimiento, permitiéndoles aplicar métodos matemáticos para predecir las posiciones del Sol, la Luna y los planetas, los eclipses y otros fenómenos celestes, o si el desarrollo avanzó gradualmente. , lamentablemente no lo sabemos.

La historia del conocimiento matemático en general parece extraña. Sabemos cómo nuestros antepasados ​​aprendieron a contar con los dedos de las manos y los pies, haciendo primitivos registros numéricos en forma de muescas en un palo, nudos en una cuerda o guijarros dispuestos en una fila. Y luego, sin ningún vínculo de transición, de repente información sobre los logros matemáticos de los babilonios, egipcios, chinos, hindúes y otros científicos antiguos, tan sólida que sus métodos matemáticos resistieron la prueba del tiempo hasta mediados del II milenio recientemente finalizado, es decir. durante más de tres mil años...

¿Qué se esconde entre estos enlaces? ¿Por qué los antiguos sabios, además del significado práctico, reverenciaban las matemáticas como un conocimiento sagrado y daban nombres de dioses a los números y figuras geométricas? ¿Está justo detrás de esto una actitud reverente hacia el Conocimiento como tal?

Quizás llegue el momento en que los arqueólogos encuentren respuestas a estas preguntas. Mientras tanto, no olvidemos lo que dijo el oxfordiano Thomas Bradwardine hace 700 años:

"Quien tenga la desvergüenza de negar las matemáticas debería haber sabido desde el principio que nunca entraría por las puertas de la sabiduría".

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Introducción

1. El comienzo de las matemáticas en la sociedad primitiva

2. El origen de las matemáticas en el Oriente antiguo

2.1 Egipto

2.2 Babilonia

Conclusión

Bibliografía

Introducción

Matemáticas (griego - conocimiento, ciencia) - la ciencia de las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real.

Una comprensión clara de la posición independiente de las matemáticas como una ciencia especial, que tiene su propio tema y método, se hizo posible solo después de la acumulación de una cantidad suficientemente grande de material fáctico y surgió por primera vez en Dr. Grecia en los siglos VI-V. ANTES DE CRISTO. El desarrollo de las matemáticas hasta este momento se atribuye naturalmente al período del nacimiento de los matemáticos y a los siglos VI-V. ANTES DE CRISTO. Fecha el comienzo del período de las matemáticas elementales, que se prolongó hasta el siglo XVI. Durante estos dos primeros períodos, la investigación matemática se ocupó principalmente de un stock muy limitado de conceptos básicos que surgieron incluso en etapas muy tempranas del desarrollo histórico en relación con las demandas más simples de la vida económica, reducidas a contar objetos, medir la cantidad de productos, áreas de terreno, determinación del tamaño de partes individuales de estructuras arquitectónicas, medición del tiempo, cálculos comerciales, navegación, etc. Los primeros problemas de mecánica y física, con la excepción de los estudios individuales de Arquímedes (siglo III a. C.), que ya requerían los inicios del cálculo infinitesimal, aún podían satisfacerse con el mismo acervo de conceptos matemáticos básicos. La única ciencia que, mucho antes del desarrollo generalizado del estudio matemático de los fenómenos naturales en los siglos XVII-XVIII. presentó sistemáticamente sus especiales y altísimas exigencias a las matemáticas, estaba la astronomía, que determinó por completo, por ejemplo, desarrollo temprano trigonometría.

En el siglo 17 las nuevas demandas de las ciencias naturales y la tecnología obligan a los matemáticos a centrar su atención en la creación de métodos que permitan estudiar matemáticamente el movimiento, los procesos de cambio de cantidades y la transformación de figuras geométricas (durante el diseño, etc.). Con el uso de variables en la geometría analítica de R. Descartes y la creación del cálculo diferencial e integral, comienza el período de las matemáticas de variables.

Una mayor expansión de la gama de relaciones cuantitativas y formas espaciales estudiadas por las matemáticas condujo a principios del siglo XIX. la necesidad de tratar conscientemente el proceso de ampliación del objeto de la investigación matemática, proponiéndonos la tarea del estudio sistemático con suficiente punto común vista de posibles tipos de relaciones cuantitativas y formas espaciales. Creación de N.I. Lobachevsky de su "geometría imaginaria", que luego recibió aplicaciones bastante reales, fue el primer paso significativo en esta dirección. El desarrollo de este tipo de investigación introdujo características tan importantes en la estructura de las matemáticas que las matemáticas en los siglos XIX y XX. naturalmente atribuido a un período especial de las matemáticas modernas.

1. El comienzo de las matemáticas en la sociedad primitiva

Nuestras ideas iniciales sobre el número y la forma pertenecen a una era muy lejana de la antigua Edad de Piedra: el Paleolítico. Durante cientos de miles de años de este período, las personas vivían en cuevas, en condiciones no muy diferentes a las de la vida animal, y su energía se gastaba principalmente en obtener alimentos de la manera más simple: recolectarlos, siempre que fuera posible. Las personas fabricaban herramientas para cazar y pescar, desarrollaron un lenguaje para comunicarse entre sí y, en la era del Paleolítico tardío, decoraban su existencia creando obras de arte, figurillas y dibujos. Quizás los dibujos en las cuevas de Francia y España (hace unos 15 mil años) tenían un significado ritual, pero sin duda se encuentra en ellos un maravilloso sentido de la forma.

Hasta que hubo una transición de la simple recolección de alimentos a su producción activa, de la caza y la pesca a la agricultura, la gente avanzó poco en la comprensión de los valores numéricos y las relaciones espaciales. Solo con el inicio de este cambio fundamental, una revolución, cuando la actitud pasiva del hombre hacia la naturaleza fue reemplazada por una actitud activa, entramos en una nueva edad de piedra, el Neolítico.

Este gran acontecimiento en la historia de la humanidad tuvo lugar hace unos diez mil años, cuando la capa de hielo de Europa y Asia comenzó a derretirse y dio paso a bosques y desiertos. Los vagabundeos nómadas en busca de alimento cesaron gradualmente. Los agricultores primitivos expulsaron cada vez más a los pescadores y cazadores. Esos granjeros, permaneciendo en un lugar mientras el suelo permanecía fértil, construyeron viviendas diseñadas para más largo plazo. Las aldeas comenzaron a surgir para protegerlos del mal tiempo y de los enemigos depredadores. Se han excavado muchos de estos asentamientos neolíticos. Sus restos muestran cómo se desarrollaron oficios tan sencillos como la alfarería, el tejido y la carpintería. Había hórreos para que la población pudiera, mediante la producción de excedentes, almacenar alimentos para el invierno y en caso de malas cosechas. El pan se horneaba, la cerveza se elaboraba y el cobre y el bronce se fundían y procesaban en el Neolítico tardío. Se hicieron descubrimientos, se inventaron la rueda del alfarero y la rueda del carro, se mejoraron los barcos y las viviendas. Todas estas innovaciones notables surgieron solo dentro de una zona u otra y no siempre se extendieron fuera de ella. Por ejemplo, los indios americanos se enteraron de la existencia de la rueda de carreta solo después de la llegada de los blancos. Sin embargo, el ritmo del progreso tecnológico se ha acelerado enormemente en comparación con la antigua Edad de Piedra.

Los pueblos realizaron un importante comercio entre ellos, que se desarrolló tanto que es posible rastrear la existencia de relaciones comerciales entre áreas a cientos de kilómetros de distancia entre sí. Este Actividad comercial estimularon fuertemente el descubrimiento de la técnica de fundición de cobre y bronce y la fabricación de herramientas y armas primero de cobre y luego de bronce. Esto, a su vez, contribuyó a la formación adicional de idiomas. Las palabras de estos idiomas expresaban cosas muy concretas y muy pocos conceptos abstractos, pero los idiomas ya tenían cierto vocabulario para términos numéricos simples y para algunas imágenes espaciales. Muchas tribus de Australia, América y África se encontraban en este nivel cuando conocieron a los blancos, y algunas tribus aún viven en esas condiciones, por lo que es posible estudiar sus costumbres y formas de expresar sus pensamientos.

Términos numéricos que expresan algunos de los "conceptos más abstractos que la mente humana puede crear", como dijo Adam Smith D.Ya. Stroyk. breve ensayo historia de las matemáticas.- M, 1984.- P.23. , poco a poco entró en uso. Por primera vez aparecen como términos cualitativos en lugar de cuantitativos, expresando la diferencia entre sólo uno (o más bien "algunos" - "algunos" en lugar de "una persona") y dos y muchos. El antiguo origen cualitativo de los conceptos numéricos todavía se revela en esos términos binarios especiales que existen en algunos idiomas, como, por ejemplo, el griego y el celta. Con la expansión del concepto de número, los números grandes se formaron primero por adición: 3 sumando 2 y 1, 4 sumando 2 y 2, 5 sumando 2 y 3.

Aquí hay ejemplos de cómo contar algunas tribus australianas:

Tribu del río Murray: 1 = enea, 2 = petcheval, 3 = petcheval-enea, 4 = petcheval-petcheval.

Kamilaroi: 1 = pequeño, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-bulan, 5 = bulan-guliba, 6 = guliba-guliba.

El desarrollo de la artesanía y el comercio contribuyó a la cristalización del concepto de número. Los números se agrupaban y combinaban en unidades más grandes, generalmente usando los dedos de una mano o ambas manos, una técnica común en el comercio. Esto llevó a contar primero en base cinco, luego en base diez, que se completaba con sumas y, a veces, restas, de modo que doce se percibía como 10 + 2 y nueve como 10 - I2). A veces se tomaba 20 como base: el número de dedos de manos y pies. De los 307 pueblos primitivos americanos estudiados por Eales, 146 eran decimales, 106 eran cinco y cinco decimales, y el resto eran veinte y cinco-veinte. En su forma más característica, el sistema de base veinte existía entre los mayas de México y entre los celtas de Europa. Los registros numéricos se hacían con fardos, muescas en palos, nudos en cuerdas, guijarros o conchas apiladas en montones de cinco, técnicas muy similares a las que utilizaba en la antigüedad el dueño de la posada, que utilizaba etiquetas. Para pasar de tales trucos a caracteres especiales para 5, 10, 20, etc. sólo había que dar un paso, y son precisamente esos símbolos los que encontramos en uso al comienzo de la historia registrada, en los llamados albores de la civilización.

El ejemplo más antiguo del uso de etiquetas se remonta a la era paleolítica. Se trata de un radio de un lobo joven, descubierto en 1937 en Vestonice (Moravia), de unos 17 centímetros de largo con 55 muescas profundas. Las primeras veinticinco muescas se colocan en grupos de cinco, seguidas de una muesca de doble longitud que finaliza esta fila, y luego una nueva fila de muescas comienza con una nueva muesca de doble longitud). Entonces, es obvio que la vieja afirmación, que encontramos en Jacob Grimm y que se repetía a menudo, de que contar surgió como contar con los dedos, es incorrecta. Contar con los dedos, es decir, contar con talones y decenas, surgió solo en una etapa determinada. desarrollo comunitario. Pero dado que llegó a esto, se hizo posible expresar números en el sistema numérico, lo que hizo posible formar números grandes. Así surgió un tipo primitivo de aritmética. Catorce se expresaba como 10 + 4, a veces como 15--1. La multiplicación se originó cuando 20 no se expresó como 10 + 10, sino como 2 x 10. Durante miles de años se realizaron operaciones binarias similares, que representan un cruce entre la suma y la multiplicación, en particular en Egipto y en la cultura prearia de Mohenjo- Daro en el Indo. La división comenzó con el hecho de que 10 comenzó a expresarse como "la mitad del cuerpo", aunque el uso consciente de fracciones siguió siendo extremadamente raro. Por ejemplo, entre las tribus norteamericanas sólo se conocen unos pocos casos del uso de fracciones, y casi siempre es sólo una fracción, aunque a veces

Es curioso que se dejaran llevar por un número muy grande, lo que, quizás, fue impulsado por el deseo universal de exagerar el número de rebaños o enemigos muertos; vestigios de este sesgo son visibles en la Biblia y otros libros religiosos.

También existía la necesidad de medir la longitud y la capacidad de los objetos. Las unidades de medida eran toscas y, a menudo, se basaban en el tamaño del cuerpo humano. Nos recuerdan esto mediante unidades tales como un dedo, un pie (es decir, un pie), un codo. Cuando comenzaron a construir casas como las de los granjeros de la India o los habitantes de los edificios apilados de Europa Central, comenzaron a elaborarse reglas sobre cómo construir en línea recta y en ángulo recto. palabra inglesa"straight" (recto) se relaciona con el verbo "stretch" (estirar), que indica el uso de una cuerda). La palabra inglesa "line" (línea) está relacionada con la palabra "lino" (tela), que indica la conexión entre el oficio de tejer y el nacimiento de la geometría. Este fue uno de los caminos por los que procedió el desarrollo de los intereses matemáticos.

El hombre neolítico también tenía un agudo sentido de la forma geométrica. La cocción y coloración de vasijas de barro, la fabricación de esteras de caña, cestos y tejidos, y más tarde la metalurgia desarrollaron una idea de relaciones planas y espaciales.

Las figuras de baile también tenían que hacer su parte. Los ornamentos neolíticos eran agradables a la vista, revelando la igualdad, simetría y similitud de las figuras. Las proporciones numéricas también pueden aparecer en estas figuras, como en algunos ornamentos prehistóricos que representan números triangulares; en otros ornamentos encontramos números "sagrados". Dichos adornos se mantuvieron en uso en tiempos históricos. Vemos buenos ejemplos en vasos dipylon del período minoico y griego temprano, más tarde en mosaicos bizantinos y árabes, en alfombras persas y chinas. Inicialmente, los primeros ornamentos pueden haber tenido un significado religioso o mágico, pero su propósito estético gradualmente se volvió predominante.

En la religión de la Edad de Piedra podemos captar los primeros intentos de enfrentarse a las fuerzas de la naturaleza. Los ritos religiosos estaban profundamente impregnados de magia, el elemento mágico formaba parte de las representaciones numéricas y geométricas entonces existentes, manifestándose también en la escultura, la música y el dibujo.

Había números mágicos como el 3, 4, 7 y figuras mágicas, como la estrella de cinco puntas y la esvástica; algunos autores incluso creen que este lado de las matemáticas fue un factor decisivo en el desarrollo1), pero aunque las raíces sociales de las matemáticas en los tiempos modernos pueden haberse vuelto menos notorias, son bastante obvias en el período temprano de la historia humana. La "numerología" moderna es un remanente de los ritos mágicos que datan del Neolítico, y quizás incluso del Paleolítico.

Incluso entre las tribus más atrasadas encontramos alguna medida del tiempo y, en consecuencia, alguna información sobre el movimiento del sol, la luna y las estrellas. La información de este tipo adquirió por primera vez un carácter más científico cuando comenzaron a desarrollarse la agricultura y el comercio. Usar calendario lunar se refiere a una era muy antigua en la historia de la humanidad, ya que el cambio en el curso del crecimiento de las plantas estaba asociado con las fases de la luna. Los pueblos primitivos prestaban atención tanto al solsticio como a la salida de las Pléyades al atardecer. Los pueblos civilizados más antiguos atribuyeron la información astronómica al período prehistórico más remoto de su existencia. Otros pueblos primitivos utilizaron las constelaciones como puntos de referencia al navegar. Esta astronomía dio alguna información sobre las propiedades de la esfera, los círculos y los ángulos.

Esta breve información de la era de las matemáticas sociedad primitiva muestran que la ciencia en su desarrollo no pasa necesariamente por todas las etapas que ahora forman su enseñanza. Solo recientemente los científicos han prestado la debida atención a algunas de las formas geométricas más antiguas conocidas por la humanidad, como los nudos o los adornos. Por otro lado, algunas de las ramas más elementales de nuestras matemáticas, como la gráfica o la estática elemental, son de origen comparativamente reciente. A. Speiser comentó con cierta causticidad: “El origen tardío de las matemáticas elementales se evidencia al menos por el hecho de que tienden claramente a ser aburridas -una propiedad que aparentemente les es inherente- mientras que un matemático creativo siempre preferirá tratar con problemas interesantes y hermosos" Kolmogorov A.N. Matemáticas // Gran Enciclopedia Rusa / Ed. LICENCIADO EN LETRAS. Vvedensky.- M, 1998.- S.447. .

2. El origen de las matemáticas en el antiguo Oriente

2.1 Egipto

El conteo de objetos en las primeras etapas del desarrollo de la cultura condujo a la creación de los conceptos más simples de la aritmética de los números naturales. Solo sobre la base del sistema desarrollado de numeración oral surgen sistemas numéricos escritos y se desarrollan gradualmente métodos para realizar cuatro operaciones aritméticas con números naturales (de los cuales solo la división presentó grandes dificultades durante mucho tiempo). Las necesidades de medición (la cantidad de grano, la longitud del camino, etc.) conducen a la aparición de nombres y símbolos para los números fraccionarios más simples y al desarrollo de métodos para realizar operaciones aritméticas con fracciones. De esta manera, se acumuló material que gradualmente se convirtió en la ciencia matemática más antigua: la aritmética. La medición de áreas y volúmenes, las necesidades de la tecnología de la construcción y, un poco más tarde, la astronomía, provocan el desarrollo de los rudimentos de la geometría. Estos procesos ocurrieron entre muchos pueblos en gran medida de forma independiente y en paralelo. De especial importancia para mayor desarrollo ciencia tenía la acumulación de conocimientos aritméticos y geométricos en el Dr. Egipto y Babilonia. En Babilonia, sobre la base de la técnica desarrollada de los cálculos aritméticos, aparecieron también los rudimentos del álgebra y, en relación con las exigencias de la astronomía, los rudimentos de la trigonometría.

Los textos matemáticos más antiguos que se conservan del Dr. Egipto, relacionado con el comienzo del segundo milenio antes de Cristo. e., consisten principalmente en ejemplos para resolver problemas individuales y, en el mejor de los casos, recetas para resolverlos, que a veces solo pueden entenderse analizando los ejemplos numéricos que se dan en los textos; estas decisiones a menudo van seguidas de una verificación de la respuesta. Deberíamos hablar de recetas para resolver cierto tipo de problemas, porque la teoría matemática en el sentido de un sistema de teoremas generales interconectados y, en general, probados de una forma u otra, aparentemente no existía en absoluto. Esto se evidencia, por ejemplo, por el hecho de que se utilizaron las soluciones exactas sin diferencia alguna de las aproximadas. Sin embargo, el acervo mismo de hechos matemáticos establecidos era, de acuerdo con la alta tecnología de la construcción, la complejidad de las relaciones territoriales, la necesidad de un calendario preciso, etc., bastante grande. Según papiros 1er piso. 2do milenio antes de Cristo El estado de las matemáticas egipcias en ese momento se puede caracterizar en los siguientes términos. Habiendo superado las dificultades de las operaciones con números enteros basados ​​en un sistema numérico decimal no posicional, claro del ejemplo.

Los egipcios crearon un aparato peculiar y bastante complejo para manejar fracciones, que requería tablas auxiliares especiales. El papel principal en esto lo jugaron las operaciones de duplicación y división de números enteros, así como la representación de fracciones como sumas de fracciones de uno y, además, fracciones 2/3. El desdoblamiento y la bifurcación, como un tipo especial de acción, a través de una serie de eslabones intermedios llegaron a Europa en la Edad Media. Los problemas se resolvieron sistemáticamente para encontrar números desconocidos, que ahora se escribiría como una ecuación con una incógnita. La geometría se redujo a las reglas para calcular áreas y volúmenes. Se calcularon correctamente las áreas de un triángulo y un trapezoide, los volúmenes de un paralelepípedo y una pirámide de base cuadrada. El mayor logro conocido de los egipcios en esta dirección fue el descubrimiento de un método para calcular el volumen de una pirámide truncada con una base cuadrada, correspondiente a la fórmula

Las reglas para calcular el área de un círculo y los volúmenes de un cilindro y un cono corresponden a veces a un valor más o menos aproximado del número p = 3, a veces a uno mucho más exacto.

La presencia de una regla para calcular el volumen de una pirámide truncada, instrucciones sobre cómo calcular, por ejemplo, el área de un trapezoide isósceles convirtiéndolo en un rectángulo de igual tamaño y una serie de otras circunstancias indican que el la formación del pensamiento matemático deductivo ya estaba prevista en las matemáticas egipcias. Los papiros antiguos en sí mismos tenían un propósito educativo y no reflejaban completamente la cantidad de conocimientos y métodos de los matemáticos egipcios. fracción matemática

2.2 Babilonia

Hay incomparablemente más textos matemáticos que permiten juzgar las matemáticas en Babilonia que los egipcios. Los textos matemáticos cuneiformes babilónicos cubren el período desde el comienzo del segundo milenio antes de Cristo. mi. (la era de la dinastía Hammurabi y los casitas) antes del surgimiento y desarrollo de las matemáticas griegas. Sin embargo, incluso el primero de estos textos pertenece al apogeo de las matemáticas babilónicas, los textos posteriores, a pesar de la presencia de algunos puntos nuevos, dan testimonio, en general, más bien de su estancamiento. Los babilonios de la dinastía Hammurabi recibieron del período sumerio un sistema de numeración mixto decimal-hexadecimal desarrollado, que ya contenía un principio posicional con signos para 1 y 60, así como 10 (los mismos signos denotan el mismo número de unidades de diferente sexagesimal). dígitos). Por ejemplo:

Las fracciones sexagesimales también se designaron de manera similar. Esto hizo posible realizar acciones con números enteros y con fracciones sexagesimales según reglas uniformes. En un momento posterior, también aparece un signo especial para indicar la ausencia de dígitos intermedios en un número dado. La división usando tablas de recíprocos se redujo a la multiplicación (esta técnica se encuentra a veces en textos egipcios). En textos posteriores, el cálculo de recíprocos distintos de 2 a , 3 b , 5 g , es decir no expresada por una fracción sexagesimal final, a veces llevada al octavo signo sexagesimal; es posible que en este caso se descubriera la periodicidad de tales fracciones; por ejemplo, en el caso de 1 / 7 . Además de las tablas de recíprocos, hay tablas de productos, cuadrados, cubos, etc. Una gran cantidad de registros económicos prueban el uso generalizado de todos estos medios en actividades económicas complejas de palacios y templos. También se ha desarrollado ampliamente el cálculo de los intereses de las deudas. También hay una serie de textos de la dinastía Hammurabi dedicados a la resolución de problemas que, desde un punto de vista moderno, se reducen a ecuaciones de primer, segundo e incluso tercer grado. Los problemas de ecuaciones cuadráticas surgieron, probablemente, de la inversión de problemas geométricos puramente prácticos, que en muchos casos indican un desarrollo significativo del pensamiento matemático abstracto. Tal, por ejemplo, es el problema de determinar el lado de un rectángulo por su área y perímetro. Sin embargo, este problema no se redujo a una ecuación cuadrática de tres términos, sino que aparentemente se resolvió usando una transformación que escribiríamos (x+y)2=(x-y)2+4xy, lo que conduce casi de inmediato a un sistema de dos lineales ecuaciones con dos incógnitas. Otro problema asociado al llamado teorema de Pitágoras, conocido en Babilonia desde la antigüedad, para determinar los catetos según la hipotenusa y el área, estaba representado por una ecuación de tres términos con una sola raíz positiva. Las tareas se seleccionan de modo que las raíces sean siempre números enteros positivos y en su mayor parte iguales. Esto muestra que las tablillas de arcilla sobrevivientes son ejercicios educativos; la enseñanza era aparentemente oral. Pero los babilonios también conocían los métodos de cálculo aproximado raíz cuadrada, por ejemplo, la longitud de la diagonal de un cuadrado de un lado dado. Así, el componente algebraico de las matemáticas babilónicas fue significativo y alcanzó un alto nivel. Junto con esto, los babilonios sabían cómo sumar progresiones aritméticas, al menos las progresiones geométricas finitas más simples, e incluso conocían la regla para sumar números cuadrados sucesivos, comenzando desde 1. Se supone que tales intereses científicos más abstractos, no se limitan a la receta directamente necesaria en la práctica, pero que conduce a métodos algebraicos resolución de problemas, surgió en las “escuelas de escribanos”, donde los estudiantes se preparaban para las actividades contables y económicas. Textos de este tipo luego desaparecen. Pero luego, la técnica de computación con números de varios dígitos se desarrolla aún más en relación con el desarrollo en el primer milenio antes de Cristo. mi. métodos más precisos en astronomía. Sobre la base de la astronomía surgen las primeras tablas extensas de dependencias encontradas empíricamente, en las que se puede ver el prototipo de la idea de función. La tradición matemática cuneiforme babilónica continúa en Asiria, el estado persa, e incluso en la era helenística hasta el siglo I a. ANTES DE CRISTO. De los logros de las matemáticas babilónicas en el campo de la geometría, que fueron más allá del conocimiento de los egipcios, debe señalarse el desarrollo de la medición de ángulos y algunos rudimentos de trigonometría, obviamente asociados con el desarrollo de la astronomía; más tarde aparecen algunos polígonos regulares en textos cuneiformes inscritos en un círculo.

Si comparamos las ciencias matemáticas de Egipto y Babilonia en términos de la forma de pensar, entonces no será difícil establecer su similitud en términos de características como el autoritarismo, la falta de sentido crítico, el seguimiento de la tradición y la evolución extremadamente lenta del conocimiento. Estas mismas características se encuentran en la filosofía, la mitología, la religión de Oriente. Como escribió E. Kolman sobre esto, "en este lugar, donde la voluntad del déspota se consideraba ley, no había lugar para pensar, buscar las causas y justificaciones de los fenómenos, y mucho menos para la libre discusión" Kolmogorov A.N. Matemáticas // Gran Enciclopedia Rusa / Ed. LICENCIADO EN LETRAS. Vvedensky.- M, 1998.- S.447. .

Conclusión

Como ya se mencionó, las matemáticas son la ciencia de las formas espaciales (aspecto geométrico) y las proporciones cuantitativas (aspecto numérico) de los objetos en estudio. Al mismo tiempo, se abstrae de la certeza cualitativa de los objetos, por lo que los resultados matemáticos son universales, aplicables a cualquier objeto ya cualquier problema científico. El número "20" puede significar el número de aminoácidos básicos (bioquímica); edad del Universo, miles de millones de años (cosmología); duración de la época geológica, millones de años (geología); edad humana, años (antropología); el número de empleados de la empresa (gerencia); el número de neuronas en el cerebro humano; billones (fisiología); porcentaje de rentabilidad de la producción (economía), etc. Precisamente por la universalidad de su aplicación, y también en relación con el estudio de los aspectos cuantitativos más importantes de cualquier proceso, el papel de las matemáticas en el progreso de todas las ciencias es extremadamente alto. Esto ha sido obvio durante mucho tiempo para los científicos eminentes.

Es por eso que el nivel de desarrollo de cualquier ciencia conocida puede establecerse principalmente por el grado de uso de las matemáticas en ella. Al mismo tiempo, estamos hablando no solo del uso de números (entonces la historia podría considerarse la ciencia más desarrollada), sino del nivel de matematización de logros científicos específicos.

Los metodólogos nacionales (Akchurin A.I.) distinguen tres niveles de matematización del conocimiento:

1. El primer nivel (el más bajo) es el uso de las matemáticas en el procesamiento de los resultados de los experimentos cuantitativos.

2. El segundo nivel (medio) es el desarrollo de modelos teóricos y matemáticos.

3. El tercer nivel (más alto) es la creación de una teoría matemática de los objetos bajo estudio.

Diferentes ciencias, tanto naturales como humanitarias, e incluso secciones de ciencias individuales tienen un nivel diferente de matematización:

1. El nivel más bajo es típico de ciencias como la jurisprudencia, la lingüística (excluyendo la lingüística matemática), la historiografía, la pedagogía, la psicología, la sociología y algunas otras.

2. El nivel medio es típico de ciencias como la biofísica, la genética, la ecología, las ciencias militares, la economía, la gestión, la geología, la química, etc.

3. El nivel más alto es típico de ciencias como la astronomía, la geodesia, la física (especialmente la mecánica, la acústica, la hidrodinámica, la electrodinámica, la óptica), etc.

Ciencias que actualmente tienen nivel más alto matematización se llaman exactas. Por supuesto, las matemáticas en sí mismas también son una ciencia exacta.

De este modo, modelado matemático -- metodo efectivo conocimiento, pero no es aplicable en todas las ciencias y sus secciones, sino sólo en aquellas donde el uso de las matemáticas ha avanzado lo suficiente.

Bibliografía

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3. El concepto de ciencia natural moderna /Ed. SI. Samygina.- Rostov-on-Don: Phoenix, 1997.- P.8-12.

4. Lipovko P.O. El concepto de ciencia natural moderna.- Rostov n/D: Phoenix, 2004.- P.41-45.

5. Polikarpov VS. Historia de la ciencia y la tecnología.- Rostov-on-Don: Phoenix, 1999.- P.56-59.

6. Stroyk D.Ya. Breve Ensayo sobre la Historia de las Matemáticas.- M: Consejo Editorial Principal de Física y Matemáticas, 1984.- P.21-53.

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matemáticas griegas. Edad Media y Renacimiento. Comienzos de las matemáticas modernas. Matemáticas modernas. Las matemáticas no se basan en la lógica, sino en la intuición sólida. Los problemas de los fundamentos de las matemáticas son filosóficos.

Las matemáticas comienzan con la aritmética. Con la aritmética, entramos, como dijo M. V. Lomonosov, en las "puertas del aprendizaje".

La palabra "aritmética" proviene del griego arithmos, que significa "número". Esta ciencia estudia operaciones con números, varias reglas para manejarlos, te enseña cómo resolver problemas que se reducen a suma, resta, multiplicación y división de números. La aritmética a menudo se imagina como un primer paso en las matemáticas, a partir del cual es posible estudiar sus secciones más complejas: álgebra, análisis matemático, etc.La aritmética se originó en los países del Antiguo Oriente: Babilonia, China, India, Egipto. Por ejemplo, el papiro egipcio Rinda (llamado así por su propietario G. Rinda) data del siglo XX. antes de Cristo mi.

Los tesoros del conocimiento matemático acumulados en los países del Antiguo Oriente fueron desarrollados y continuados por los científicos de la Antigua Grecia. La historia nos ha conservado muchos nombres de científicos involucrados en la aritmética en el mundo antiguo: Anaxágoras y Zenón, Euclides, Arquímedes, Eratóstenes y Diofanto. El nombre de Pitágoras (siglo VI aC) brilla aquí como una estrella luminosa. Los pitagóricos adoraban los números, creyendo que contenían toda la armonía del mundo. A los números individuales y pares de números se les asignaron propiedades especiales. Los números 7 y 36 eran muy apreciados, a la vez que se prestaba atención a los llamados números perfectos, números amigos, etc.

En la Edad Media, el desarrollo de la aritmética también se asocia con Oriente: India, los países del mundo árabe y Asia Central. De los indios nos llegaron los números que usamos, el cero y el sistema numérico posicional; de al-Kashi (siglo XV), Ulugbek - fracciones decimales.

Gracias al desarrollo del comercio y la influencia de la cultura oriental desde el siglo XIII. creciente interés por la aritmética en Europa. Hay que recordar el nombre del científico italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), cuya obra "El libro del ábaco" presentó a los europeos los principales logros de las matemáticas de Oriente y fue el comienzo de muchos estudios de aritmética y álgebra.

Junto con la invención de la imprenta (mediados del siglo XV), aparecieron los primeros libros matemáticos impresos. El primer libro impreso sobre aritmética se publicó en Italia en 1478. La Aritmética completa del matemático alemán M. Stiefel (principios del siglo XVI) ya contiene números negativos e incluso la idea de sacar un logaritmo.

Alrededor del siglo XVI el desarrollo de preguntas puramente aritméticas fluyó hacia la corriente principal del álgebra, como un hito significativo, se puede notar la aparición de los trabajos del científico francés F. Vieta, en los que los números se indican con letras. Desde entonces, las reglas aritméticas básicas se han comprendido plenamente desde el punto de vista del álgebra.

El objeto básico de la aritmética es el número. Números naturales, es decir los números 1, 2, 3, 4, ... etc., surgieron del conteo de elementos específicos. Pasaron muchos milenios antes de que el hombre supiera que dos faisanes, dos manos, dos personas, etc. se puede llamar la misma palabra "dos". Una tarea importante de la aritmética es aprender a superar el significado específico de los nombres de los objetos contados, a distraerse de su forma, tamaño, color, etc. En aritmética, los números se suman, restan, multiplican y dividen. El arte de realizar estas operaciones con rapidez y precisión en cualquier número se ha considerado durante mucho tiempo como la tarea más importante de la aritmética.Las operaciones aritméticas con números tienen una variedad de propiedades. Estas propiedades se pueden describir con palabras, por ejemplo: "La suma no cambia por un cambio en los lugares de los términos", se puede escribir en letras: a + b \u003d b + a, se puede expresar en términos especiales.

Entre los conceptos importantes introducidos por la aritmética, cabe señalar las proporciones y los porcentajes. La mayoría de los conceptos y métodos de la aritmética se basan en comparar varias relaciones entre números. En la historia de las matemáticas, el proceso de fusión de la aritmética y la geometría se llevó a cabo durante muchos siglos.

La palabra "aritmética" puede entenderse como:

una materia académica que trata principalmente con números racionales (números enteros y fracciones), operaciones con ellos y problemas resueltos con la ayuda de estas operaciones;


parte del edificio histórico de las matemáticas, que ha acumulado diversa información sobre cálculos;


"aritmética teórica": una parte de las matemáticas modernas que se ocupa de la construcción de varios sistemas numéricos (números naturales, enteros, racionales, reales, complejos y sus generalizaciones);


"aritmética formal" - una parte de la lógica matemática que se ocupa del análisis de la teoría axiomática de la aritmética;


"aritmética superior", o teoría de números, una parte de las matemáticas que se desarrolla de forma independiente y

/Diccionario enciclopédico de un joven matemático, 1989/