Solución de ecuaciones diferenciales. gracias a nuestro Servicio en línea puedes resolver ecuaciones diferenciales de cualquier tipo y complejidad: no homogéneas, homogéneas, no lineales, lineales, de primer, segundo orden, con variables separables o no separables, etc. Obtiene la solución de ecuaciones diferenciales en forma analítica con Descripción detallada. A muchos les interesa: ¿por qué es necesario resolver ecuaciones diferenciales en línea? Este tipo de ecuaciones es muy común en matemáticas y física, donde será imposible resolver muchos problemas sin calcular una ecuación diferencial. Además, las ecuaciones diferenciales son comunes en economía, medicina, biología, química y otras ciencias. Resolver una ecuación de este tipo en línea facilita enormemente sus tareas, le permite asimilar mejor el material y ponerse a prueba. Beneficios de resolver ecuaciones diferenciales en línea. Un sitio moderno de servicios matemáticos le permite resolver ecuaciones diferenciales en línea de cualquier complejidad. Como sabes, hay una gran cantidad de tipos de ecuaciones diferenciales, y cada una de ellas tiene sus propias soluciones. En nuestro servicio puede encontrar la solución de ecuaciones diferenciales de cualquier orden y tipo en línea. Para obtener una solución, le sugerimos que complete los datos iniciales y haga clic en el botón "Solución". Se excluyen los errores en el funcionamiento del servicio, por lo que puede estar 100% seguro de que recibió la respuesta correcta. Resuelve ecuaciones diferenciales con nuestro servicio. Resolver ecuaciones diferenciales en línea. Por defecto, en tal ecuación, la función y es una función de la variable x. Pero también puede establecer su propia designación de variable. Por ejemplo, si especifica y(t) en una ecuación diferencial, nuestro servicio determinará automáticamente que y es una función de la variable t. El orden de toda la ecuación diferencial dependerá del orden máximo de la derivada de la función presente en la ecuación. Resolver tal ecuación significa encontrar la función requerida. Nuestro servicio te ayudará a resolver ecuaciones diferenciales en línea. No se necesita mucho esfuerzo de su parte para resolver la ecuación. Solo necesita ingresar las partes izquierda y derecha de su ecuación en los campos obligatorios y hacer clic en el botón "Solución". Al ingresar la derivada de una función, es necesario indicarla con un apóstrofo. En cuestión de segundos tendrás solución detallada ecuación diferencial. Nuestro servicio es absolutamente gratuito. Ecuaciones diferenciales con variables compartidas. Si en una ecuación diferencial en el lado izquierdo hay una expresión que depende de y, y en el lado derecho hay una expresión que depende de x, entonces tal ecuación diferencial se llama con variables separables. En el lado izquierdo puede haber una derivada de y, la solución de ecuaciones diferenciales de este tipo será en forma de función de y, expresada a través de la integral del lado derecho de la ecuación. Si hay un diferencial de una función de y en el lado izquierdo, entonces ambas partes de la ecuación están integradas. Cuando las variables en una ecuación diferencial no están separadas, deberán dividirse para obtener una ecuación diferencial separada. Ecuación diferencial lineal. Una ecuación diferencial se llama lineal si la función y todas sus derivadas son de primer grado. Forma general de la ecuación: y'+a1(x)y=f(x). f(x) y a1(x) son funciones continuas de x. La solución de ecuaciones diferenciales de este tipo se reduce a la integración de dos ecuaciones diferenciales con variables separadas. El orden de la ecuación diferencial. La ecuación diferencial puede ser de primer, segundo, n-ésimo orden. El orden de una ecuación diferencial determina el orden de la derivada más alta contenida en ella. En nuestro servicio podrás resolver online ecuaciones diferenciales de primera, segunda, tercera, etc. ordenar. La solución a la ecuación será cualquier función y=f(x), al sustituirla en la ecuación, obtendrás una identidad. El proceso de encontrar una solución a una ecuación diferencial se llama integración. Problema de Cauchy. Si, además de la propia ecuación diferencial, se especifica la condición inicial y(x0)=y0, entonces esto se denomina problema de Cauchy. Los indicadores y0 y x0 se suman a la solución de la ecuación y se determina el valor de una constante arbitraria C, y luego una solución particular de la ecuación para este valor de C. Esta es la solución del problema de Cauchy. El problema de Cauchy también se denomina problema con condiciones de contorno, que es muy común en física y mecánica. También tienes la oportunidad de plantear el problema de Cauchy, es decir, de entre todas las posibles soluciones de la ecuación, elige una en particular que cumpla con las condiciones iniciales dadas.

La solución de diversos problemas geométricos, físicos y de ingeniería muchas veces conduce a ecuaciones que relacionan variables independientes que caracterizan un problema particular con alguna función de estas variables y derivadas de esta función de varios órdenes.

Como ejemplo, podemos considerar el caso más simple de movimiento uniformemente acelerado de un punto material.

Se sabe que el desplazamiento de un punto material durante un movimiento uniformemente acelerado es función del tiempo y se expresa mediante la fórmula:

A su vez, la aceleración a es la derivada del tiempo t de la velocidad V, que también es una derivada con respecto al tiempo t de moverse S. Aquellos.

Entonces obtenemos:
- la ecuación relaciona la función f(t) con la variable independiente t y la derivada de segundo orden de la función f(t).

Definición. ecuación diferencial llamada ecuación que relaciona variables independientes, sus funciones y derivadas (o diferenciales) de esta función.

Definición. Si una ecuación diferencial tiene una variable independiente, entonces se llama ecuación diferencial ordinaria , si hay dos o más variables independientes, entonces tal ecuación diferencial se llama ecuación diferencial parcial.

Definición. El orden más alto de derivadas en una ecuación se llama el orden de la ecuacion diferencial .

Ejemplo.

- Ecuación diferencial ordinaria de primer orden. En general, se escribe
.

- Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. En general, se escribe

- ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden.

Definición. Solución general ecuación diferencial es una función diferenciable y = (x, C), que, cuando se sustituye en la ecuación original en lugar de una función desconocida, convierte la ecuación en una identidad

Propiedades de la solución general.

1) porque Dado que la constante C es un valor arbitrario, entonces, en general, la ecuación diferencial tiene un número infinito de soluciones.

2) Bajo cualquier condición inicial x \u003d x 0, y (x 0) \u003d y 0, existe tal valor C \u003d C 0 para el cual la solución de la ecuación diferencial es la función y \u003d  (x, C0).

Definición. Una solución de la forma y \u003d  (x, C 0) se llama decisión privada ecuación diferencial.

Definición. Problema de Cauchy (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - matemático francés) se llama encontrar cualquier solución particular a una ecuación diferencial de la forma y \u003d  (x, C 0) que satisface las condiciones iniciales y (x 0) \u003d y 0 .

El teorema de Cauchy. (teorema sobre la existencia y unicidad de la solución de la ecuación diferencial de 1er orden)

Si la funciónF(X, y) es continua en algún dominioDen planoXOYy tiene una derivada parcial continua en esta región
, entonces cualquiera que sea el punto (x 0 , y 0 ) en el área deD, Sólo hay una solución
ecuaciones
, definido en algún intervalo que contiene el punto x 0 , aceptando en x = x 0 sentido (X 0 ) = y 0 , es decir. hay una solución única para la ecuación diferencial.

Definición. integral ecuación diferencial es cualquier ecuación que no contiene derivadas, de la cual esta ecuación diferencial es una consecuencia.

Ejemplo. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
.

decisión común La ecuación diferencial se busca integrando las partes izquierda y derecha de la ecuación, que se transforma preliminarmente de la siguiente manera:

Ahora integremos:

es la solución general de la ecuación diferencial original.

Supongamos que se dan algunas condiciones iniciales: x 0 = 1; y 0 = 2, entonces tenemos

Al sustituir el valor obtenido de la constante en la solución general, obtenemos una solución particular para las condiciones iniciales dadas (la solución del problema de Cauchy).

Definición. curva integral se llama la gráfica y = (x) de la solución de una ecuación diferencial en el plano XOY.

Definición. solución especial de una ecuación diferencial es tal solución, en todos los puntos de los cuales la condición de unicidad de Cauchy se llama (cf. El teorema de Cauchy.) no se cumple, es decir en una vecindad de algún punto (x, y) hay al menos dos curvas integrales.

Las soluciones singulares no dependen de la constante C.

No se pueden obtener soluciones especiales de la solución general para ningún valor de la constante C. Si construimos una familia de curvas integrales de una ecuación diferencial, entonces la solución especial estará representada por una línea que toca al menos una curva integral en cada uno de sus puntos.

Tenga en cuenta que no todas las ecuaciones diferenciales tienen soluciones singulares.

Ejemplo. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial:
Encuentre una solución especial si existe.

Esta ecuación diferencial también tiene una solución especial. a= 0. Esta solución no se puede obtener de la general, sin embargo, al sustituir en la ecuación original, obtenemos una identidad. opinión de que la solución y = 0 puede obtenerse de la solución general de DE 1 = 0 mal, porque C 1 = mi C  0.

Institución educativa "Estado de Bielorrusia

academia agrícola"

Departamento de Matemáticas Superiores

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Resumen de clase para estudiantes de contabilidad.

forma de educación por correspondencia (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuaciones diferenciales de primer orden

El concepto de ecuación diferencial. Soluciones generales y particulares

Al estudiar varios fenómenos, muchas veces no es posible encontrar una ley que conecte directamente la variable independiente y la función deseada, pero sí es posible establecer una conexión entre la función deseada y sus derivadas.

La relación que conecta la variable independiente, la función deseada y sus derivadas se llama ecuación diferencial :

Aquí X es una variable independiente, y es la función deseada,
son las derivadas de la función buscada. En este caso, la relación (1) requiere la presencia de al menos una derivada.

El orden de la ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta en la ecuación.

Considere la ecuación diferencial

. (2)

Como esta ecuación incluye una derivada de solo primer orden, entonces se llama es una ecuación diferencial de primer orden.

Si la ecuación (2) puede resolverse con respecto a la derivada y escribirse como

, (3)

entonces tal ecuación se llama ecuación diferencial de primer orden en forma normal.

En muchos casos es conveniente considerar una ecuación de la forma

Lo que es llamado una ecuación diferencial de primer orden escrita en forma diferencial.

Porque
, entonces la ecuación (3) se puede escribir como
o
, donde se puede contar
y
. Esto significa que la ecuación (3) se ha convertido en la ecuación (4).

Escribimos la ecuación (4) en la forma
. Después
,
,
, donde se puede contar
, es decir. se obtiene una ecuación de la forma (3). Por tanto, las ecuaciones (3) y (4) son equivalentes.

Resolviendo la ecuación diferencial (2) o (3) cualquier función se llama
, que al sustituirla en la ecuación (2) o (3), la convierte en una identidad:

o
.

El proceso de encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial se llama integración , y la gráfica de solución
ecuación diferencial se llama curva integral esta ecuacion

Si la solución de la ecuación diferencial se obtiene en forma implícita
, entonces se llama integral ecuación diferencial dada.

Solución general ecuación diferencial de primer orden es una familia de funciones de la forma
, dependiendo de una constante arbitraria DE, cada uno de los cuales es una solución de la ecuación diferencial dada para cualquier valor admisible de una constante arbitraria DE. Por lo tanto, la ecuación diferencial tiene un número infinito de soluciones.

decisión privada Se denomina ecuación diferencial a la solución obtenida a partir de la fórmula de solución general para un valor específico de una constante arbitraria. DE, incluido
.

El problema de Cauchy y su interpretación geométrica

La ecuación (2) tiene un número infinito de soluciones. Para seleccionar una solución de este conjunto, que se llama solución particular, se deben especificar algunas condiciones adicionales.

El problema de encontrar una solución particular a la ecuación (2) bajo condiciones dadas se llama Problema de Cauchy . Este problema es uno de los más importantes en la teoría de ecuaciones diferenciales.

El problema de Cauchy se formula de la siguiente manera: entre todas las soluciones de la ecuación (2) encuentre tal solución
, en el que la función
toma un valor numérico dado si la variable independiente X toma un valor numérico dado , es decir.

,
, (5)

dónde D es el dominio de la función
.

Sentido llamó el valor inicial de la función , a – valor inicial de la variable independiente . La condición (5) se llama condición inicial o Condición de Cauchy .

Desde un punto de vista geométrico, el problema de Cauchy para la ecuación diferencial (2) se puede formular de la siguiente manera: del conjunto de curvas integrales de la ecuación (2) seleccione la que pasa por un punto dado
.

Ecuaciones diferenciales con variables separables

Uno de los tipos más simples de ecuaciones diferenciales es una ecuación diferencial de primer orden que no contiene la función deseada:

. (6)

Dado que
, escribimos la ecuación en la forma
o
. Integrando ambos lados de la última ecuación, obtenemos:
o

. (7)

Así, (7) es una solución general a la ecuación (6).

Ejemplo 1 . Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
.

Solución . Escribimos la ecuación en la forma
o
. Integramos ambas partes de la ecuación resultante:
,
. Finalmente escribamos
.

Ejemplo 2 . Encuentre una solución a la ecuación
en condicion
.

Solución . Encontremos la solución general de la ecuación:
,
,
,
. Por condición
,
. Sustituir en la solución general:
o
. Sustituimos el valor encontrado de una constante arbitraria en la fórmula de la solución general:
. Esta es la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición dada.

La ecuacion

(8)

llamó una ecuación diferencial de primer orden que no contiene una variable independiente . Lo escribimos en la forma
o
. Integramos ambas partes de la última ecuación:
o
- solución general de la ecuación (8).

Ejemplo . Encuentre una solución general a la ecuación
.

Solución . Escribimos esta ecuación en la forma:
o
. Después
,
,
,
. De este modo,
es la solución general de esta ecuación.

Ecuación tipo

(9)

integrada mediante separación de variables. Para ello, escribimos la ecuación en la forma
, y luego, usando las operaciones de multiplicación y división, lo llevamos a tal forma que una parte incluye solo la función de X y diferencial dx, y en la segunda parte - una función de a y diferencial dy. Para hacer esto, ambos lados de la ecuación deben ser multiplicados por dx y dividir por
. Como resultado, obtenemos la ecuación

, (10)

en el que las variables X y a apartado. Integramos ambas partes de la ecuación (10):
. La relación resultante es la integral general de la ecuación (9).

Ejemplo 3 . Integrar ecuación
.

Solución . Transforma la ecuación y separa las variables:
,
. integremos:
,
o es la integral general de esta ecuación.
.

Sea la ecuación dada en la forma

Tal ecuación se llama ecuación diferencial de primer orden con variables separables en forma simétrica.

Para separar las variables, ambos lados de la ecuación deben dividirse por
:

. (12)

La ecuación resultante se llama ecuación diferencial separada . Integramos la ecuación (12):

.(13)

La relación (13) es una integral general de la ecuación diferencial (11).

Ejemplo 4 . Integrar la ecuación diferencial.

Solución . Escribimos la ecuación en la forma

y dividir ambas partes en
,
. La ecuación resultante:
es una ecuación de variables separadas. Vamos a integrarlo:

,
,

,
. La última igualdad es la integral general de la ecuación diferencial dada.

Ejemplo 5 . Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial
, satisfaciendo la condición
.

Solución . Dado que
, escribimos la ecuación en la forma
o
. Separemos las variables:
. Integramos esta ecuación:
,
,
. La relación resultante es la integral general de esta ecuación. Por condición
. Sustituye en la integral general y encuentra DE:
,DE=1. Entonces la expresión
es una solución particular de la ecuación diferencial dada, escrita como una integral particular.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

La ecuacion

(14)

llamó ecuación diferencial lineal de primer orden . función desconocida
y su derivada entran en esta ecuación linealmente, y las funciones
y
continuo.

si un
, entonces la ecuación

(15)

llamó homogéneo lineal . si un
, entonces la ecuación (14) se llama lineal no homogéneo .

Para encontrar una solución a la ecuación (14), generalmente se usa método de sustitución (Bernoulli) , cuya esencia es la siguiente.

La solución de la ecuación (14) se buscará en forma de producto de dos funciones

, (16)

dónde
y
- algunas funciones continuas. Sustituto
y derivado
en la ecuación (14):

Función v se elegirá de tal manera que la condición
. Después
. Así, para encontrar una solución a la ecuación (14), es necesario resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

La primera ecuación del sistema es una ecuación lineal homogénea y se puede resolver por el método de separación de variables:
,
,
,
,
. como característica
se puede tomar una de las soluciones particulares de la ecuación homogénea, es decir a DE=1:
. Sustituir en la segunda ecuación del sistema:
o
.Después
. Por lo tanto, la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma
.

Ejemplo 6 . resuelve la ecuación
.

Solución . Buscaremos la solución de la ecuación en la forma
. Después
. Sustituir en la ecuación:

o
. Función v elegir de tal manera que la igualdad
. Después
. Resolvemos la primera de estas ecuaciones por el método de separación de variables:
,
,
,
,. Función v Sustituir en la segunda ecuación:
,
,
,
. La solución general de esta ecuación es
.

Preguntas para el autocontrol del conocimiento.

¿Qué es una ecuación diferencial?

¿Cuál es el orden de una ecuación diferencial?

¿Qué ecuación diferencial se llama ecuación diferencial de primer orden?

¿Cómo se escribe una ecuación diferencial de primer orden en forma diferencial?

¿Cuál es la solución de una ecuación diferencial?

¿Qué es una curva integral?

¿Cuál es la solución general de una ecuación diferencial de primer orden?

¿Qué es una solución particular de una ecuación diferencial?

¿Cómo se formula el problema de Cauchy para una ecuación diferencial de primer orden?

¿Cuál es la interpretación geométrica del problema de Cauchy?

¿Cómo se escribe una ecuación diferencial con variables separables en forma simétrica?

¿Qué ecuación se llama ecuación diferencial lineal de primer orden?

¿Qué método se puede usar para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden y cuál es la esencia de este método?

Tareas para el trabajo independiente.

Resolver ecuaciones diferenciales con variables separables:

a)
; b)
;

en)
; GRAMO)
.

2. Resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

a)
; b)
; en)
;

GRAMO)
; mi)
.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye una función y una o más de sus derivadas. En la mayoría de los problemas prácticos, las funciones son Cantidades fisicas, las derivadas corresponden a las tasas de cambio de estas cantidades, y la ecuación determina la relación entre ellas.

Este artículo analiza métodos para resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyas soluciones se pueden escribir en la forma funciones elementales, es decir, funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, así como sus funciones inversas. Muchas de estas ecuaciones ocurren en la vida real, aunque la mayoría de las otras ecuaciones diferenciales no pueden resolverse con estos métodos, y para ellas la respuesta se escribe como funciones especiales o series de potencias, o se encuentra mediante métodos numéricos.

Para comprender este artículo, debe saber cálculo diferencial e integral, así como tener cierta comprensión de las derivadas parciales. También se recomienda conocer los conceptos básicos de álgebra lineal aplicada a las ecuaciones diferenciales, especialmente las ecuaciones diferenciales de segundo orden, aunque el conocimiento del cálculo diferencial e integral es suficiente para resolverlas.

Información preliminar

• Las ecuaciones diferenciales tienen una clasificación extensa. Este artículo habla de ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, sobre ecuaciones que incluyen una función de una variable y sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales ordinarias son mucho más fáciles de entender y resolver que ecuaciones diferenciales parciales, que incluyen funciones de varias variables. Este artículo no considera ecuaciones diferenciales parciales, ya que los métodos para resolver estas ecuaciones generalmente están determinados por su forma específica.
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
    • re y re x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • re 2 x re t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales.
    • ∂ 2 F ∂ X 2 + ∂ 2 F ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\parcial ^(2)f)(\parcial x^(2)))+(\frac (\parcial ^(2) )f)(\parcial y^(2)))=0)
    • ∂ tu ∂ t - α ∂ 2 tu ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\parcial u)(\parcial t))-\alpha (\frac (\parcial ^(2)u)(\parcial x ^(2)))=0)
• Ordenar La ecuación diferencial está determinada por el orden de la derivada más alta incluida en esta ecuación. La primera de las ecuaciones diferenciales ordinarias anteriores es de primer orden, mientras que la segunda es de segundo orden. La licenciatura de una ecuación diferencial se llama la máxima potencia a la que se eleva uno de los términos de esta ecuación.
  • Por ejemplo, la siguiente ecuación es de tercer orden y segunda potencia.
    • (re 3 y re x 3) 2 + re y re x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ derecha)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• La ecuación diferencial es ecuación diferencial lineal si la función y todas sus derivadas están en primera potencia. De lo contrario, la ecuación es ecuación diferencial no lineal. Las ecuaciones diferenciales lineales son notables porque se pueden hacer combinaciones lineales a partir de sus soluciones, que también serán soluciones de esta ecuación.
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales.
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales. La primera ecuación no es lineal debido al término seno.
    • re 2 θ re t 2 + gramo l pecado ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta)((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • re 2 x re t 2 + (re x re t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• decisión común La ecuación diferencial ordinaria no es única, incluye constantes arbitrarias de integración. En la mayoría de los casos, el número de constantes arbitrarias es igual al orden de la ecuación. En la práctica, los valores de estas constantes están determinados por dado condiciones iniciales, es decir, por los valores de la función y sus derivadas en x = 0. (\ estilo de visualización x = 0.) El número de condiciones iniciales que se necesitan para encontrar decisión privada ecuación diferencial, en la mayoría de los casos también es igual al orden de esta ecuación.
  • Por ejemplo, este artículo tratará de resolver la siguiente ecuación. Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Su solución general contiene dos constantes arbitrarias. Para encontrar estas constantes, es necesario conocer las condiciones iniciales en x (0) (\ estilo de visualización x (0)) y x′ (0) . (\ estilo de visualización x" (0).) Por lo general, las condiciones iniciales se dan en el punto x = 0 , (\ estilo de visualización x = 0,), aunque esto no es obligatorio. Este artículo también considerará cómo encontrar soluciones particulares para condiciones iniciales dadas.
    • re 2 x re t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = do 1 porque ⁡ k x + do 2 pecado ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Pasos

Parte 1

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1. Ecuaciones lineales de primer orden. Esta sección analiza métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en casos generales y especiales cuando algunos términos son iguales a cero. pretendamos que y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) y q (x) (\displaystyle q(x)) son funciones X . (\ estilo de visualización x.)

   re y re x + pags (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   PAG (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Según uno de los principales teoremas del análisis matemático, la integral de la derivada de una función también es una función. Por lo tanto, es suficiente simplemente integrar la ecuación para encontrar su solución. En este caso, se debe tener en cuenta que al calcular la integral indefinida aparece una constante arbitraria.

   • y (x) = ∫ q (x) re x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Usamos el método separación de variables. En este caso, varias variables se transfieren a lados diferentes ecuaciones Por ejemplo, puede transferir todos los miembros de y (\ estilo de visualización y) en uno, y todos los miembros con x (\ estilo de visualización x) al otro lado de la ecuación. Los miembros también se pueden mover re x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) y d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), que se incluyen en expresiones derivadas, sin embargo, debe recordarse que esto es solo una convención, lo cual es conveniente cuando se deriva una función compleja. Una discusión de estos términos, que se denominan diferenciales, está fuera del alcance de este artículo.

   • Primero, debe mover las variables en lados opuestos del signo igual.
     • 1 y re y = − pags (x) re x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integramos ambos lados de la ecuación. Después de la integración, aparecen constantes arbitrarias en ambos lados, que se pueden transferir a lado derecho ecuaciones
     • en ⁡ y = ∫ − pags (x) re x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = mi − ∫ pags (x) re x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Ejemplo 1.1. Sobre el último paso usamos la regla mi una + segundo = mi una mi segundo (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) y reemplazado e C (\displaystyle e^(C)) sobre el C (\ estilo de visualización C), porque también es una constante arbitraria de integración.
     • re y re X − 2 y pecado ⁡ X = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y re y = pecado ⁡ X re X 1 2 ln ⁡ y = - porque ⁡ X + C ln ⁡ y = - 2 porque ⁡ X + C y (x) = C mi )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(alineado)))

   PAGS (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Para encontrar la solución general, presentamos factor integrante como una función de x (\ estilo de visualización x) para reducir el lado izquierdo a una derivada común y así resolver la ecuación.

   • Multiplica ambos lados por μ (x) (\ estilo de visualización \ mu (x))
     • μ re y re X + μ pags y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Para reducir el lado izquierdo a una derivada común, se deben realizar las siguientes transformaciones:
     • re re X (μ y) = re μ re X y + μ re y re X = μ re y re X + μ pags y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d)))((\mathrm (d))x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu pi)
   • La última igualdad significa que re μ re X = μ pags (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu)((\mathrm (d) )x))=\mu pags). Este es un factor integrante que es suficiente para resolver cualquier ecuación lineal de primer orden. Ahora podemos derivar una fórmula para resolver esta ecuación con respecto a µ , (\ estilo de visualización \ mu ,) aunque para entrenamiento es útil hacer todos los cálculos intermedios.
     • μ (x) = mi ∫ pags (x) re x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Ejemplo 1.2. En este ejemplo, consideramos cómo encontrar una solución particular a una ecuación diferencial con condiciones iniciales.
     • t re y re t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\cuádruple y(2)=3)
     • re y re t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = mi ∫ pags (t) re t = mi 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • re re t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(alineado)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(alineado)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Resolución de ecuaciones lineales de primer orden (registrado por Intuit - Universidad Nacional Abierta).

2. Ecuaciones de primer orden no lineales. En esta sección se consideran métodos para resolver algunas ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Aunque no existe un método general para resolver tales ecuaciones, algunas de ellas pueden resolverse utilizando los métodos que se indican a continuación.

   re y re x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   re y re X = h (x) gramo (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Si la función f (x, y) = h (x) gramo (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) se puede dividir en funciones de una variable, tal ecuación se llama ecuación diferencial separable. En este caso, puede utilizar el método anterior:

   • ∫ re y h (y) = ∫ gramo (x) re x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
   • Ejemplo 1.3.
     • re y re x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y re y = ∫ X 3 1 + X 4 re X 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ begin(alineado)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ fracción (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(alineado)))

   re y re X = gramo (X , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) pretendamos que g (x, y) (\displaystyle g(x, y)) y h (x, y) (\displaystyle h(x, y)) son funciones x (\ estilo de visualización x) y y . (\ estilo de visualización y.) Después ecuación diferencial homogénea es una ecuación en la que g (\ estilo de visualización g) y h (\ estilo de visualización h) son funciones homogéneas el mismo grado. Es decir, las funciones deben satisfacer la condición gramo (α x , α y) = α k gramo (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) dónde k (\ estilo de visualización k) se llama el grado de homogeneidad. Cualquier ecuación diferencial homogénea puede ser dada por una apropiada cambio de variables (v = y / x (\displaystyle v=y/x) o v = x / y (\displaystyle v=x/y)) para convertir a una ecuación con variables separables.

   • Ejemplo 1.4. La descripción anterior de la homogeneidad puede parecer oscura. Veamos este concepto con un ejemplo.
     • re y re X = y 3 − X 3 y 2 X (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Para empezar, cabe señalar que esta ecuación no es lineal con respecto a y . (\ estilo de visualización y.) También vemos que en este caso es imposible separar las variables. Sin embargo, esta ecuación diferencial es homogénea, ya que tanto el numerador como el denominador son homogéneos con una potencia de 3. Por lo tanto, podemos hacer un cambio de variables v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • re y re x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , re y re x = re v re x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • re v re X X = - 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Como resultado, tenemos una ecuación para v (\ estilo de visualización v) con variables compartidas.
     • v (x) = − 3 Iniciar sesión ⁡ X + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   re y re X = pags (x) y + q (x) y norte . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) eso Ecuación diferencial de Bernoulli- un tipo especial de ecuación no lineal de primer grado, cuya solución se puede escribir usando funciones elementales.

   • Multiplica ambos lados de la ecuación por (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - norte re y re X = pags (x) (1 - n) y 1 - norte + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Usamos la regla de diferenciación de una función compleja en el lado izquierdo y transformamos la ecuación en una ecuación lineal con respecto a y 1 - norte , (\displaystyle y^(1-n),) que puede ser resuelto por los métodos anteriores.
     • re y 1 - norte re X = pags (x) (1 - n) y 1 - norte + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   METRO (x, y) + norte (x, y) re y re x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) eso ecuación en diferenciales totales . Es necesario encontrar los llamados función potencial φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), que satisface la condición re φ re x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi)((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Para cumplir con esta condición, es necesario tener derivada total. La derivada total tiene en cuenta la dependencia de otras variables. Para calcular la derivada total φ (\ estilo de visualización \ varphi) en x, (\ estilo de visualización x,) asumimos que y (\ estilo de visualización y) también puede depender de X . (\ estilo de visualización x.)
     • re φ re X = ∂ φ ∂ X + ∂ φ ∂ y re y re X (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\parcial \varphi )(\parcial x))+(\frac (\parcial \varphi )(\parcial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • La comparación de términos nos da METRO (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\parcial \varphi)(\parcial x))) y norte (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\parcial \varphi)(\parcial y)).) Este es un resultado típico para ecuaciones con varias variables, donde las derivadas mixtas de funciones suaves son iguales entre sí. A veces este caso se llama teorema de Clairaut. En este caso, la ecuación diferencial es una ecuación en diferenciales totales si se cumple la siguiente condición:
     • ∂ METRO ∂ y = ∂ norte ∂ x (\displaystyle (\frac (\parcial M)(\parcial y))=(\frac (\parcial N)(\parcial x)))
   • El método para resolver ecuaciones en diferenciales totales es similar a encontrar funciones potenciales en presencia de varias derivadas, que discutiremos brevemente. Primero integramos M (\ estilo de visualización M) en X . (\ estilo de visualización x.) Porque el M (\ estilo de visualización M) es una función y x (\ estilo de visualización x), y y , (\displaystyle y,) al integrar obtenemos una función incompleta φ , (\displaystyle\varphi ,) etiquetado como φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). El resultado también incluye el dependiente de y (\ estilo de visualización y) constante de integración.
     • φ (x, y) = ∫ METRO (x, y) re x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Después de eso, para obtener c (y) (\displaystyle c(y)) puede tomar la derivada parcial de la función resultante con respecto a y , (\displaystyle y,) igualar el resultado norte (x, y) (\displaystyle N(x, y)) e integrar. También se puede integrar primero N (\ estilo de visualización N), y luego tomar la derivada parcial con respecto a x (\ estilo de visualización x), que le permitirá encontrar función arbitraria d(x). (\displaystyle d(x).) Ambos métodos son adecuados y, por lo general, se elige la función más simple para la integración.
     • norte (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + re c re y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\parcial \varphi )(\parcial y))=(\frac (\ parcial (\tilde (\varphi )))(\parcial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Ejemplo 1.5. Puedes sacar derivadas parciales y verificar que la siguiente ecuación es una ecuación diferencial total.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y re y re x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) re x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = norte (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(alineado)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\parcial \varphi )(\y parcial))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(alineado)))
     • re C re y = 0 , C (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Si la ecuación diferencial no es una ecuación diferencial total, en algunos casos puedes encontrar un factor de integración que te permitirá convertirla en una ecuación diferencial total. Sin embargo, tales ecuaciones rara vez se usan en la práctica, y aunque el factor de integración existe, encuentra que sucede no es fácil, por lo que estas ecuaciones no se consideran en este artículo.

Parte 2

1. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. Estas ecuaciones son ampliamente utilizadas en la práctica, por lo que su solución es de suma importancia. En este caso, no estamos hablando de funciones homogéneas, sino del hecho de que en el lado derecho de la ecuación hay 0. En la siguiente sección, mostraremos cómo el correspondiente heterogéneo ecuaciones diferenciales. Abajo a (\ estilo de visualización a) y b (\ estilo de visualización b) son constantes.

   re 2 y re x 2 + un re y re x + segundo y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+por=0)
   

   Ecuación característica. Esta ecuación diferencial es notable porque se puede resolver muy fácilmente si se presta atención a las propiedades que deben tener sus soluciones. Se puede ver de la ecuación que y (\ estilo de visualización y) y sus derivados son proporcionales entre sí. De los ejemplos anteriores, que se consideraron en la sección de ecuaciones de primer orden, sabemos que solo la función exponencial tiene esta propiedad. Por lo tanto, es posible plantear Enfoque(una suposición fundamentada) sobre cuál será la solución a la ecuación dada.

   • La solución tomará la forma de una función exponencial. e r x , (\displaystyle e^(rx),) dónde r (\ estilo de visualización r) es una constante cuyo valor hay que encontrar. Sustituye esta función en la ecuación y obtén la siguiente expresión
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Esta ecuación indica que el producto de una función exponencial y un polinomio debe ser cero. Se sabe que el exponente no puede ser igual a cero para ningún valor del grado. Por lo tanto, concluimos que el polinomio es igual a cero. Por lo tanto, hemos reducido el problema de resolver una ecuación diferencial a un problema mucho más simple de resolver una ecuación algebraica, que se llama ecuación característica para una ecuación diferencial dada.
     • r 2 + un r + segundo = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − un ± un 2 − 4 segundo 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Tenemos dos raíces. Como esta ecuación diferencial es lineal, su solución general es una combinación lineal de soluciones parciales. Como esta es una ecuación de segundo orden, sabemos que es De Verdad solución general, y no hay otras. Una justificación más rigurosa para esto radica en los teoremas sobre la existencia y unicidad de la solución, que se pueden encontrar en los libros de texto.
   • Una forma útil de verificar si dos soluciones son linealmente independientes es calcular Wronskiano. Wronskiano W (\ estilo de visualización W)- este es el determinante de la matriz, en cuyas columnas hay funciones y sus derivadas sucesivas. El teorema del álgebra lineal establece que las funciones en Wronskian son linealmente dependientes si Wronskian es igual a cero. En esta sección, podemos probar si dos soluciones son linealmente independientes asegurándonos de que el wronskiano sea distinto de cero. El Wronskian es importante para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes por el método de variación de parámetros.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatriz)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatriz)))
   • En términos de álgebra lineal, el conjunto de todas las soluciones de una ecuación diferencial dada se forma espacio vectorial, cuya dimensión es igual al orden de la ecuación diferencial. En este espacio, se puede elegir una base de independiente linealmente decisiones unos de otros. Esto es posible debido al hecho de que la función y (x) (\displaystyle y(x)) válido operador lineal. Derivado es operador lineal, ya que transforma el espacio de funciones derivables en el espacio de todas las funciones. Las ecuaciones se denominan homogéneas en los casos en que para algún operador lineal L (\ estilo de visualización L) se requiere encontrar una solución a la ecuación L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Pasemos ahora a algunos ejemplos específicos. El caso de raíces múltiples de la ecuación característica se considerará un poco más adelante, en la sección de reducción de orden.

   si las raíces r ± (\displaystyle r_(\pm )) son números reales diferentes, la ecuación diferencial tiene la siguiente solución

   • y (x) = do 1 mi r + x + do 2 mi r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dos raíces complejas. Del teorema fundamental del álgebra se deduce que las soluciones a la solución de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales tienen raíces que son reales o forman pares conjugados. Por lo tanto, si el número complejo r = α + yo β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) es la raíz de la ecuación característica, entonces r ∗ = α − yo β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) es también la raíz de esta ecuación. Por lo tanto, la solución se puede escribir en la forma do 1 mi (α + yo β) x + do 2 mi (α − yo β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alfa -i\beta)x),) sin embargo, este es un número complejo y no es deseable para resolver problemas prácticos.

   • En su lugar, puede utilizar fórmula de Euler mi yo x = porque ⁡ x + yo sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), que te permite escribir la solución en forma de funciones trigonométricas:
     • mi α X (C 1 porque ⁡ β X + yo C 1 pecado ⁡ β X + C 2 porque ⁡ β X - yo C 2 pecado ⁡ β X) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Ahora puedes en lugar de constante do 1 + do 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) anote c 1 (\displaystyle c_(1)), y la expresión yo (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) reemplazado por c 2 . (\ estilo de visualización c_ (2).) Después de eso obtenemos la siguiente solución:
     • y (x) = mi α x (c 1 porque ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sen\beta x))
   • Hay otra forma de escribir la solución en términos de amplitud y fase, que es más adecuada para problemas físicos.
   • Ejemplo 2.1. Encontremos la solución de la ecuación diferencial dada a continuación con las condiciones iniciales dadas. Para ello, es necesario tomar la solución obtenida, así como su derivado, y sustituirlas en las condiciones iniciales, lo que nos permitirá determinar constantes arbitrarias.
     • re 2 X re t 2 + 3 re X re t + 10 X = 0 , X (0) = 1 , X ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 yo (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = mi − 3 t / 2 (c 1 porque ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 mi − 3 t / 2 (c 1 porque ⁡ 31 2 t + c 2 pecado ⁡ 31 2 t) + mi − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 pecado ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 porque ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(alineado)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 do 1 + 31 2 do 2 , do 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = mi − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Resolución de ecuaciones diferenciales de orden n con coeficientes constantes (registrado por Intuit - Universidad Nacional Abierta).

2. Orden de degradación. La reducción de orden es un método para resolver ecuaciones diferenciales cuando se conoce una solución linealmente independiente. Este método consiste en bajar el orden de la ecuación en uno, lo que permite resolver la ecuación mediante los métodos descritos en el apartado anterior. Que se sepa la solución. La idea principal de bajar el orden es encontrar una solución en el siguiente formulario, donde es necesario definir la función v (x) (\displaystyle v(x)), sustituyéndolo en la ecuación diferencial y encontrando v(x). (\displaystyle v(x).) Consideremos cómo se puede usar la reducción de orden para resolver una ecuación diferencial con coeficientes constantes y raíces múltiples.

   
   

   Múltiples raíces ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. Recuerda que una ecuación de segundo orden debe tener dos soluciones linealmente independientes. Si la ecuación característica tiene raíces múltiples, el conjunto de soluciones no forma un espacio ya que estas soluciones son linealmente dependientes. En este caso, se debe usar la reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente.

   • Deje que la ecuación característica tenga raíces múltiples r (\ estilo de visualización r). Suponemos que la segunda solución se puede escribir como y (x) = mi r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), y sustituirlo en la ecuación diferencial. En este caso, la mayoría de los términos, a excepción del término con la segunda derivada de la función v , (\ estilo de visualización v,) será reducido.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Ejemplo 2.2. Dada la siguiente ecuación, que tiene raíces múltiples r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Al sustituir, la mayoría de los términos se cancelan.
     • re 2 y re x 2 + 8 re y re x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) mi − 4 x y ′ = v ′ (x) mi − 4 x − 4 v (x) mi − 4 x y ″ = v ″ (x) mi − 4 x − 8 v ′ (x) mi − 4 x + 16 v (x) mi − 4 x (\displaystyle (\begin(alineado)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(alineado)))
     • v ″ mi − 4 x − 8 v ′ mi − 4 x + 16 v mi − 4 x + 8 v ′ mi − 4 x − 32 v mi − 4 x + 16 v mi − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(alineado )v""e^(-4x)&-(\cancelar (8v"e^(-4x)))+(\cancelar (16ve^(-4x)))\\&+(\cancelar (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(alineado)))
   • Como nuestro ansatz para una ecuación diferencial con coeficientes constantes, en este caso solo la segunda derivada puede ser igual a cero. Integramos dos veces y obtenemos la expresión deseada para v (\ estilo de visualización v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Entonces la solución general de una ecuación diferencial con coeficientes constantes, si la ecuación característica tiene raíces múltiples, se puede escribir de la siguiente forma. Por conveniencia, puedes recordar que para obtener independencia lineal, es suficiente simplemente multiplicar el segundo término por x (\ estilo de visualización x). Este conjunto de soluciones es linealmente independiente y, por lo tanto, hemos encontrado todas las soluciones para esta ecuación.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) mi r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   re 2 y re x 2 + pags (x) re y re x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) La reducción del pedido es aplicable si se conoce la solución. y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), que se puede encontrar o dar en el enunciado del problema.

   • Estamos buscando una solución en la forma y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) y conéctelo a esta ecuación:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + pags (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + pags (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Porque el y 1 (\displaystyle y_(1)) es una solución a la ecuación diferencial, todos los términos con v (\ estilo de visualización v) se están encogiendo. Como resultado, queda ecuación lineal de primer orden. Para verlo más claro, cambiemos las variables w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + pags (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) re x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ fracción (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) re x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Si se pueden calcular las integrales, obtenemos la solución general como una combinación de funciones elementales. De lo contrario, la solución se puede dejar en forma integral.

3. Ecuación de Cauchy-Euler. La ecuación de Cauchy-Euler es un ejemplo de una ecuación diferencial de segundo orden con Variables coeficientes, que tiene soluciones exactas. Esta ecuación se utiliza en la práctica, por ejemplo, para resolver la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas.

   X 2 re 2 y re X 2 + a X re y re X + segundo y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+por=0)
   

   Ecuación característica. Como puedes ver, en esta ecuación diferencial, cada término contiene un factor de potencia, cuyo grado es igual al orden de la derivada correspondiente.

   • Por lo tanto, uno puede tratar de buscar una solución en la forma y (x) = x norte, (\displaystyle y(x)=x^(n),) donde definir n (\ estilo de visualización n), tal como buscábamos una solución en forma de función exponencial para una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Después de la diferenciación y la sustitución, obtenemos
     • x norte (n 2 + (a - 1) norte + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Para usar la ecuación característica, debemos suponer que x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punto x = 0 (\ estilo de visualización x = 0) llamó punto singular regular ecuación diferencial. Tales puntos son importantes cuando se resuelven ecuaciones diferenciales utilizando series de potencias. Esta ecuación tiene dos raíces, que pueden ser distintas y reales, múltiples o complejas conjugadas.
     • norte ± = 1 − un ± (un − 1) 2 − 4 segundo 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Dos raíces reales diferentes. si las raíces norte ± (\displaystyle n_(\pm )) son reales y diferentes, entonces la solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente forma:

   • y (x) = do 1 x norte + + do 2 x norte − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Dos raíces complejas. Si la ecuación característica tiene raíces norte ± = α ± β yo (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), la solución es una función compleja.

   • Para transformar la solución en una función real, hacemos un cambio de variables x = mi t , (\displaystyle x=e^(t),) eso es t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) y utiliza la fórmula de Euler. Anteriormente se realizaron acciones similares al definir constantes arbitrarias.
     • y (t) = mi α t (do 1 mi β yo t + do 2 mi - β yo t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Entonces la solución general se puede escribir como
     • y (x) = x α (c 1 porque ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Múltiples raíces. Para obtener una segunda solución linealmente independiente, es necesario volver a reducir el orden.

   • Se necesita un poco de cálculo, pero el principio es el mismo: sustituimos y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) en una ecuación cuya primera solución es y 1 (\displaystyle y_(1)). Después de las reducciones, se obtiene la siguiente ecuación:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Esta es una ecuación lineal de primer orden con respecto a v'(x) . (\displaystyle v"(x).) Su solución es v (x) = do 1 + do 2 en ⁡ X . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Por lo tanto, la solución se puede escribir de la siguiente forma. Es bastante fácil de recordar: para obtener la segunda solución linealmente independiente, solo necesita un término adicional con ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x norte (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes. Las ecuaciones no homogéneas tienen la forma L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) dónde f (x) (\displaystyle f(x))- así llamado miembro gratuito. Según la teoría de las ecuaciones diferenciales, la solución general de esta ecuación es una superposición decisión privada y pags (x) (\displaystyle y_(p)(x)) y solución adicional y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Sin embargo, en este caso, una solución particular no significa una solución dada por las condiciones iniciales, sino una solución que se debe a la presencia de heterogeneidad (miembro libre). Una decisión adicional es la decisión del correspondiente ecuación homogénea, en donde f(x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) La solución general es una superposición de estas dos soluciones, porque L [ y pags + y c ] = L [ y pags ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), y desde L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) tal superposición es de hecho una solución general.

   re 2 y re x 2 + un re y re X + segundo y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Método de los coeficientes indefinidos. El método de coeficientes indefinidos se utiliza en los casos en que el término libre es una combinación de funciones exponenciales, trigonométricas, hiperbólicas o de potencia. Solo se garantiza que estas funciones tengan un número finito de derivadas linealmente independientes. En esta sección, encontraremos una solución particular a la ecuación.

   • Compara los términos en f (x) (\displaystyle f(x)) con términos en ignorar factores constantes. Tres casos son posibles.
     • No hay miembros idénticos. En este caso, una solución particular y pags (\displaystyle y_(pags)) será una combinación lineal de términos de y pags (\displaystyle y_(pags))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) contiene miembro x norte (\ estilo de visualización x ^ (n)) y un miembro de y c , (\displaystyle y_(c),) dónde n (\ estilo de visualización n) es cero o un entero positivo, y este término corresponde a una sola raíz de la ecuación característica. En este caso y pags (\displaystyle y_(pags)) consistirá en una combinación de la función x norte + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) sus derivadas linealmente independientes, así como otros términos f (x) (\displaystyle f(x)) y sus derivadas linealmente independientes.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) contiene miembro h (x) , (\displaystyle h(x),) que es un trabajo x norte (\ estilo de visualización x ^ (n)) y un miembro de y c , (\displaystyle y_(c),) dónde n (\ estilo de visualización n) es igual a 0 o a un entero positivo, y este término corresponde a múltiple raíz de la ecuación característica. En este caso y pags (\displaystyle y_(pags)) es una combinación lineal de la función x norte + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(dónde s (\ estilo de visualización s)- multiplicidad de la raíz) y sus derivadas linealmente independientes, así como otros miembros de la función f (x) (\displaystyle f(x)) y sus derivadas linealmente independientes.
   • vamos a escribir y pags (\displaystyle y_(pags)) como una combinación lineal de los términos anteriores. Gracias a estos coeficientes en una combinación lineal este método llamado el método de los coeficientes indeterminados. A la aparición de los contenidos en y c (\displaystyle y_(c)) sus miembros pueden ser descartados debido a la presencia de constantes arbitrarias en y c. (\displaystyle y_(c).) Después de eso reemplazamos y pags (\displaystyle y_(pags)) en una ecuación e igualar términos semejantes.
   • Determinamos los coeficientes. Sobre el este escenario resulta que el sistema ecuaciones algebraicas, que generalmente se puede resolver sin ningún problema. La solución de este sistema permite obtener y pags (\displaystyle y_(pags)) y con ello resolver la ecuación.
   • Ejemplo 2.3. Considere una ecuación diferencial no homogénea cuyo término libre contiene un número finito de derivadas linealmente independientes. Una solución particular de tal ecuación se puede encontrar por el método de coeficientes indefinidos.
     • re 2 y re t 2 + 6 y = 2 mi 3 t − porque ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 porque ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y pags (t) = UN mi 3 t + segundo porque ⁡ 5 t + C pecado ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 UN mi 3 t - 25 segundo porque ⁡ 5 t - 25 C pecado ⁡ 5 t + 6 UN mi 3 t + 6 segundo porque ⁡ 5 t + 6 C pecado ⁡ 5 t = 2 mi 3 t - porque ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(alineado)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(alineado)))
     • ( 9 UN + 6 UN = 2 , UN = 2 15 − 25 segundo + 6 segundo = − 1 , segundo = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ fin(casos)))
     • y (t) = do 1 porque ⁡ 6 t + do 2 pecado ⁡ 6 t + 2 15 mi 3 t + 1 19 porque ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   método de Lagrange. El método de Lagrange, o método de variación de constantes arbitrarias, es un método más general para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas, especialmente en los casos en que el término libre no contiene un número finito de derivadas linealmente independientes. Por ejemplo, con miembros gratuitos bronceado ⁡ x (\displaystyle \bronceado x) o x - norte (\displaystyle x^(-n)) para encontrar una solución particular, es necesario utilizar el método de Lagrange. El método de Lagrange puede incluso utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, aunque en este caso, a excepción de la ecuación de Cauchy-Euler, se utiliza con menos frecuencia, ya que la solución adicional no suele expresarse en términos de funciones elementales.

   • Supongamos que la solución tiene la siguiente forma. Su derivada se da en la segunda línea.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Dado que la solución propuesta contiene dos cantidades desconocidas, es necesario imponer adicional condición. Elegimos esta condición adicional de la siguiente forma:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Ahora podemos obtener la segunda ecuación. Después de sustituir y redistribuir miembros, puede agrupar miembros con v 1 (\ estilo de visualización v_ (1)) y miembros de v 2 (\ estilo de visualización v_ (2)). Estos términos se cancelan porque y 1 (\displaystyle y_(1)) y y 2 (\displaystyle y_(2)) son soluciones de la ecuación homogénea correspondiente. Como resultado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(alineado)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(alineado)))
   • Este sistema se puede transformar en una ecuación matricial de la forma A x = segundo , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) cuya solución es X = UN - 1 segundo . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) para matriz 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) matriz inversa se encuentra dividiendo por el determinante, permutando los elementos diagonales y cambiando el signo de los elementos fuera de la diagonal. De hecho, el determinante de esta matriz es un wronskiano.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatriz))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatriz)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatriz))(\begin(pmatriz)0\\f(x)\end(pmatriz)))
   • Expresiones para v 1 (\ estilo de visualización v_ (1)) y v 2 (\ estilo de visualización v_ (2)) están enlistados debajo. Al igual que en el método de reducción de orden, en este caso aparece una constante arbitraria durante la integración, que incluye una solución adicional en la solución general de la ecuación diferencial.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) re x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) re x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Conferencia de la Universidad Nacional Abierta Intuit titulada "Ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes".

Uso práctico

Las ecuaciones diferenciales establecen una relación entre una función y una o más de sus derivadas. Dado que tales relaciones son tan comunes, las ecuaciones diferenciales han encontrado una amplia aplicación en una amplia variedad de áreas, y dado que vivimos en cuatro dimensiones, estas ecuaciones son a menudo ecuaciones diferenciales en privado derivados. En esta sección se analizan algunas de las ecuaciones más importantes de este tipo.

• Crecimiento y decaimiento exponencial. desintegración radioactiva. Interés compuesto. Velocidad reacciones químicas. La concentración de drogas en la sangre. Crecimiento ilimitado de la población. Ley de Newton-Richmann. A mundo real hay muchos sistemas en los que la tasa de crecimiento o disminución en cualquier momento es proporcional a la cantidad en ese momento, o puede aproximarse bien mediante un modelo. Esto se debe a que la solución de esta ecuación diferencial, la función exponencial, es una de las funciones más importantes en matemáticas y otras ciencias. De manera más general, bajo un crecimiento demográfico controlado, el sistema puede incluir términos adicionales que limitan el crecimiento. En la siguiente ecuación, la constante k (\ estilo de visualización k) puede ser mayor o menor que cero.
  • re y re x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Vibraciones armónicas. Tanto en la mecánica clásica como en la cuántica, el oscilador armónico es uno de los sistemas físicos más importantes debido a su simplicidad y uso extendido para aproximar sistemas más complejos como un péndulo simple. En mecánica clásica vibraciones armónicas se describen mediante una ecuación que relaciona la posición de un punto material con su aceleración a través de la ley de Hooke. En este caso, también se pueden tener en cuenta las fuerzas de amortiguación y de accionamiento. En la siguiente expresión x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- derivada temporal de x, (\ estilo de visualización x,) β (\ estilo de visualización \ beta) es un parámetro que describe la fuerza de amortiguamiento, ω 0 (\displaystyle \omega_(0))- frecuencia angular del sistema, F (t) (\displaystyle F(t)) es una fuerza impulsora dependiente del tiempo. Oscilador armónico también está presente en circuitos oscilatorios electromagnéticos, donde puede implementarse con mayor precisión que en sistemas mecánicos.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Ecuación de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel se utiliza en muchas áreas de la física, incluida la solución de la ecuación de onda, la ecuación de Laplace y la ecuación de Schrödinger, especialmente en presencia de simetría cilíndrica o esférica. Esta ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables no es una ecuación de Cauchy-Euler, por lo que sus soluciones no pueden escribirse como funciones elementales. Las soluciones de la ecuación de Bessel son las funciones de Bessel, que están muy estudiadas debido a que se utilizan en muchas áreas. En la siguiente expresión α (\ estilo de visualización \ alfa) es una constante que coincide ordenar Funciones de Bessel.
  • x 2 re 2 y re x 2 + x re y re x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Las ecuaciones de Maxwell. Junto con la fuerza de Lorentz, las ecuaciones de Maxwell forman la base de la electrodinámica clásica. Estas son cuatro ecuaciones diferenciales parciales para la electricidad mi (r, t) (\displaystyle (\mathbf (E))((\mathbf (r)),t)) y magnético segundo (r, t) (\displaystyle (\mathbf (B))((\mathbf (r)),t)) campos. En las siguientes expresiones ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- cargar densidad, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) es la densidad de corriente, y ϵ 0 (\displaystyle\epsilon_(0)) y μ 0 (\ estilo de visualización \ mu _ (0)) son las constantes eléctrica y magnética, respectivamente.
  • ∇ ⋅ mi = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ segundo = 0 ∇ × mi = − ∂ segundo ∂ t ∇ × segundo = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ mi ∂ t (\displaystyle (\begin(alineado)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\parcial (\mathbf (B) ))(\parcial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\parcial (\mathbf (E) ))(\parcial t))\end(alineado)))
• ecuación de Schrödinger. En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger es la ecuación básica de movimiento que describe el movimiento de las partículas según un cambio en la función de onda. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) con tiempo. La ecuación de movimiento está descrita por el comportamiento hamiltoniano H ^ (\displaystyle (\sombrero(H))) - operador, que describe la energía del sistema. Uno de los ejemplos más conocidos de la ecuación de Schrödinger en física es la ecuación para una partícula no relativista, que está sujeta al potencial V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Muchos sistemas se describen mediante la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, con la ecuación en el lado izquierdo mi Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) dónde mi (\displaystyle mi) es la energía de la partícula. En las siguientes expresiones ℏ (\ estilo de visualización \ hbar) es la constante de Planck reducida.
  • yo ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\parcial \Psi )(\parcial t))=(\hat (H))\Psi )
  • yo ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 metro ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\parcial \Psi )(\parcial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• ecuación de onda Es imposible imaginar la física y la tecnología sin ondas, están presentes en todo tipo de sistemas. En general, las ondas se describen mediante la siguiente ecuación, en la que tu = tu (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) es la función deseada, y c (\ estilo de visualización c)- constante determinada experimentalmente. d'Alembert fue el primero en descubrir que para el caso unidimensional la solución a la ecuación de onda es ningún función con argumento x − c t (\displaystyle x-ct), que describe una onda arbitraria que se propaga hacia la derecha. La solución general para el caso unidimensional es una combinación lineal de esta función con una segunda función con un argumento x + c t (\displaystyle x+ct), que describe una onda que se propaga hacia la izquierda. Esta solución se presenta en la segunda línea.
  • ∂ 2 tu ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 tu (\displaystyle (\frac (\parcial ^(2)u)(\parcial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • tu (x, t) = f (x − c t) + gramo (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los fluidos. Dado que los fluidos están presentes en casi todos los campos de la ciencia y la tecnología, estas ecuaciones son extremadamente importantes para la predicción del tiempo, el diseño de aeronaves, las corrientes oceánicas y muchas otras aplicaciones. Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales parciales no lineales, y en la mayoría de los casos es muy difícil resolverlas, ya que la no linealidad conduce a la turbulencia, y para obtener una solución estable por métodos numéricos, es necesario partición en celdas muy pequeñas, lo que requiere un poder de cómputo significativo. Para fines prácticos en hidrodinámica, se utilizan métodos como el promedio de tiempo para modelar flujos turbulentos. Incluso cuestiones más básicas, como la existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales parciales no lineales, son problemas complejos, y probar la existencia y unicidad de soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes en tres dimensiones se encuentra entre los problemas matemáticos del milenio. . A continuación se muestran la ecuación de flujo de fluido incompresible y la ecuación de continuidad.
  • ∂ tu ∂ t + (u ⋅ ∇) tu − ν ∇ 2 tu = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ tu) = 0 (\displaystyle (\frac (\parcial (\mathbf (u) ) )(\t parcial))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\parcial \rho )(\parcial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Muchas ecuaciones diferenciales simplemente no se pueden resolver con los métodos anteriores, especialmente los mencionados en la última sección. Esto se aplica cuando la ecuación contiene coeficientes variables y no es una ecuación de Cauchy-Euler, o cuando la ecuación no es lineal, excepto en algunos casos muy raros. Sin embargo, los métodos anteriores le permiten resolver muchas ecuaciones diferenciales importantes que a menudo se encuentran en varios campos de la ciencia.
• A diferencia de la diferenciación, que te permite encontrar la derivada de cualquier función, la integral de muchas expresiones no se puede expresar en funciones elementales. Por lo tanto, no pierda tiempo tratando de calcular la integral donde es imposible. Mira la tabla de integrales. Si la solución de una ecuación diferencial no se puede expresar en términos de funciones elementales, a veces se puede representar en forma integral, y en este caso no importa si esta integral se puede calcular analíticamente.

Advertencias

• Apariencia ecuación diferencial puede ser engañosa. Por ejemplo, a continuación se muestran dos ecuaciones diferenciales de primer orden. La primera ecuación se resuelve fácilmente usando los métodos descritos en este artículo. A primera vista, un cambio menor. y (\ estilo de visualización y) sobre el y 2 (\displaystyle y^(2)) en la segunda ecuación la hace no lineal y se vuelve muy difícil de resolver.
  • re y re x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • re y re x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))