El método de Gauss, también llamado método de eliminación sucesiva de incógnitas, consiste en lo siguiente. Usando transformaciones elementales, el sistema de ecuaciones lineales se lleva a una forma tal que su matriz de coeficientes resulta ser trapezoidal (igual que triangular o escalonada) o cerca de trapezoidal (el curso directo del método de Gauss, entonces, solo un movimiento directo). Un ejemplo de tal sistema y su solución se muestra en la figura anterior.

En tal sistema, la última ecuación contiene solo una variable y su valor se puede encontrar de manera única. Entonces el valor de esta variable se sustituye en la ecuación anterior ( Inversa gaussiana , luego, solo un movimiento inverso), desde donde se encuentra la variable anterior, y así sucesivamente.

En un sistema trapezoidal (triangular), como vemos, la tercera ecuación ya no contiene variables y Y X, y la segunda ecuación - variable X .

Una vez que la matriz del sistema ha tomado forma trapezoidal, ya no es difícil resolver la cuestión de la compatibilidad del sistema, determinar el número de soluciones y encontrar las soluciones en sí.

Ventajas del método:

1. al resolver sistemas de ecuaciones lineales con más de tres ecuaciones e incógnitas, el método de Gauss no es tan engorroso como el método de Cramer, ya que se requieren menos cálculos al resolver el método de Gauss;
2. usando el método de Gauss, puedes resolver sistemas indefinidos de ecuaciones lineales, es decir, que tienen una solución común (y las analizaremos en esta lección), y usando el método de Cramer, solo puedes afirmar que el sistema es incierto;
3. puedes resolver sistemas de ecuaciones lineales en los que el número de incógnitas no es igual al número de ecuaciones (también las analizaremos en esta lección);
4. el método se basa en métodos elementales (escolares): el método de sustitución de incógnitas y el método de adición de ecuaciones, que mencionamos en el artículo correspondiente.

Para que todos estén imbuidos de la simplicidad con la que se resuelven los sistemas trapezoidales (triangulares, escalonados) de ecuaciones lineales, presentamos la solución de dicho sistema utilizando el trazo inverso. Una solución rápida a este sistema se mostró en la imagen al comienzo de la lección.

Ejemplo 1 Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el movimiento inverso:

Solución. En este sistema trapezoidal, la variable z se encuentra únicamente a partir de la tercera ecuación. Sustituimos su valor en la segunda ecuación y obtenemos el valor de la variable y:

Ahora conocemos los valores de dos variables - z Y y. Los sustituimos en la primera ecuación y obtenemos el valor de la variable X:

De los pasos anteriores, escribimos la solución del sistema de ecuaciones:

Para obtener dicho sistema trapezoidal de ecuaciones lineales, que resolvimos de manera muy simple, se requiere aplicar un movimiento directo asociado con transformaciones elementales del sistema de ecuaciones lineales. Tampoco es muy difícil.

Transformaciones elementales de un sistema de ecuaciones lineales

Repitiendo el método escolar de suma algebraica de las ecuaciones del sistema, descubrimos que a una de las ecuaciones del sistema se le puede sumar otra ecuación del sistema, y ​​cada una de las ecuaciones se puede multiplicar por algunos números. Como resultado, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales equivalente al dado. En él, una ecuación ya contenía solo una variable, sustituyendo el valor de la cual en otras ecuaciones, llegamos a una solución. Tal adición es uno de los tipos de transformación elemental del sistema. Cuando usamos el método de Gauss, podemos usar varios tipos de transformaciones.

La animación de arriba muestra cómo el sistema de ecuaciones se convierte gradualmente en uno trapezoidal. Es decir, el que vio en la primera animación y se aseguró de que sea fácil encontrar los valores de todas las incógnitas. Cómo realizar tal transformación y, por supuesto, ejemplos, se discutirán más adelante.

Al resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones e incógnitas en el sistema de ecuaciones y en la matriz expandida del sistema Poder:

1. líneas de intercambio (esto se mencionó al principio de este artículo);
2. si como resultado de otras transformaciones aparecieron líneas iguales o proporcionales, se pueden eliminar, excepto una;
3. elimine las filas "nulas", donde todos los coeficientes son iguales a cero;
4. multiplicar o dividir cualquier cadena por algún número;
5. a cualquier línea agregue otra línea, multiplicada por algún número.

Como resultado de las transformaciones obtenemos un sistema de ecuaciones lineales equivalente al dado.

Algoritmo y ejemplos de resolución por el método de Gauss de un sistema de ecuaciones lineales con matriz cuadrada del sistema

Considere primero la solución de sistemas de ecuaciones lineales en los que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. La matriz de dicho sistema es cuadrada, es decir, el número de filas es igual al número de columnas.

Ejemplo 2 Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss

Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales utilizando métodos escolares, multiplicamos término a término una de las ecuaciones por un número determinado, de modo que los coeficientes de la primera variable en las dos ecuaciones fueran números opuestos. Al sumar ecuaciones, se elimina esta variable. El método de Gauss funciona de manera similar.

Simplificar apariencia soluciones componer la matriz aumentada del sistema:

En esta matriz, los coeficientes de las incógnitas se ubican a la izquierda antes de la barra vertical y los miembros libres a la derecha después de la barra vertical.

Por la comodidad de dividir los coeficientes de las variables (para obtener una división por uno) intercambiar la primera y la segunda fila de la matriz del sistema. Obtenemos un sistema equivalente al dado, ya que en el sistema de ecuaciones lineales se pueden reordenar las ecuaciones:

Con la nueva primera ecuación eliminar la variable X de la segunda y todas las ecuaciones subsiguientes. Para hacer esto, agregue la primera fila multiplicada por (en nuestro caso por ) a la segunda fila de la matriz, y la primera fila multiplicada por (en nuestro caso por ) a la tercera fila.

Esto es posible porque

Si hubiera más de tres ecuaciones en nuestro sistema, entonces la primera línea debe agregarse a todas las ecuaciones posteriores, multiplicada por la relación de los coeficientes correspondientes, tomados con un signo menos.

Como resultado, obtenemos una matriz equivalente al sistema dado de un nuevo sistema de ecuaciones, en el que todas las ecuaciones, a partir de la segunda no contienen una variable X :

Para simplificar la segunda fila del sistema resultante, lo multiplicamos por y nuevamente obtenemos la matriz del sistema de ecuaciones equivalente a este sistema:

Ahora, manteniendo la primera ecuación del sistema resultante sin cambios, usando la segunda ecuación, eliminamos la variable y de todas las ecuaciones posteriores. Para hacer esto, agregue la segunda fila multiplicada por (en nuestro caso, por ) a la tercera fila de la matriz del sistema.

Si hubiera más de tres ecuaciones en nuestro sistema, entonces la segunda línea debe agregarse a todas las ecuaciones posteriores, multiplicada por la relación de los coeficientes correspondientes, tomados con un signo menos.

Como resultado, obtenemos nuevamente la matriz del sistema equivalente al sistema de ecuaciones lineales dado:

Hemos obtenido un sistema trapezoidal de ecuaciones lineales equivalente al dado:

Si el número de ecuaciones y variables es mayor que en nuestro ejemplo, entonces el proceso de eliminación secuencial de variables continúa hasta que la matriz del sistema se vuelve trapezoidal, como en nuestro ejemplo de demostración.

Encontraremos la solución "desde el final" - al revés. Para esto de la última ecuación determinamos z:
.
Sustituyendo este valor en la ecuación anterior, encontrar y:

De la primera ecuación encontrar X:

Respuesta: la solución de este sistema de ecuaciones - .

: en este caso, se dará la misma respuesta si el sistema tiene solución única. Si el sistema tiene un número infinito de soluciones, la respuesta también lo tendrá, y este es el tema de la quinta parte de esta lección.

Resuelva usted mismo un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss y luego observe la solución

Ante nosotros tenemos nuevamente un ejemplo de un sistema consistente y definido de ecuaciones lineales, en el cual el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. La diferencia con nuestro ejemplo de demostración del algoritmo es que ya hay cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas.

Ejemplo 4 Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss:

Ahora necesita usar la segunda ecuación para excluir la variable de las ecuaciones subsiguientes. gastemos trabajo de preparatoria. Para hacerlo más conveniente con la relación de coeficientes, debe obtener una unidad en la segunda columna de la segunda fila. Para hacer esto, reste la tercera fila de la segunda fila y multiplique la segunda fila resultante por -1.

Realicemos ahora la eliminación real de la variable de la tercera y cuarta ecuaciones. Para hacer esto, agregue el segundo, multiplicado por, a la tercera línea, y el segundo, multiplicado por, a la cuarta.

Ahora, usando la tercera ecuación, eliminamos la variable de la cuarta ecuación. Para hacer esto, a la cuarta línea, agregue la tercera, multiplicada por . Obtenemos una matriz expandida de forma trapezoidal.

Hemos obtenido un sistema de ecuaciones, que es equivalente al sistema dado:

Por lo tanto, los sistemas resultantes y dados son consistentes y definidos. Encontramos la solución final "desde el final". A partir de la cuarta ecuación, podemos expresar directamente el valor de la variable "x cuarto":

Sustituimos este valor en la tercera ecuación del sistema y obtenemos

,

,

Finalmente, la sustitución de valor

En la primera ecuación da

,

donde encontramos "x primero":

Respuesta: Este sistema de ecuaciones tiene una solución única. .

También puedes comprobar la solución del sistema en una calculadora que resuelve por el método de Cramer: en este caso, se dará la misma respuesta si el sistema tiene solución única.

Solución por el método de Gauss de problemas aplicados sobre el ejemplo de un problema para aleaciones

Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para modelar objetos reales del mundo físico. Resolvamos uno de estos problemas: para aleaciones. Tareas similares: tareas para mezclas, el costo o la gravedad específica de bienes individuales en un grupo de bienes, y similares.

Ejemplo 5 Tres piezas de aleación tienen una masa total de 150 kg. La primera aleación contiene 60% de cobre, la segunda - 30%, la tercera - 10%. Al mismo tiempo, en la segunda y tercera aleaciones juntas, el cobre es 28,4 kg menos que en la primera aleación, y en la tercera aleación, el cobre es 6,2 kg menos que en la segunda. Encuentra la masa de cada pieza de aleación.

Solución. Componemos un sistema de ecuaciones lineales:

Multiplicando la segunda y tercera ecuaciones por 10, obtenemos un sistema equivalente de ecuaciones lineales:

Componemos la matriz extendida del sistema:

Atención, mudanza directa. Al sumar (en nuestro caso, restar) una fila, multiplicada por un número (lo aplicamos dos veces), se producen las siguientes transformaciones con la matriz expandida del sistema:

La recta final ha terminado. Obtuvimos una matriz expandida de forma trapezoidal.

Usemos el reverso. Encontramos una solución desde el final. Vemos eso .

De la segunda ecuación encontramos

De la tercera ecuación -

También puedes comprobar la solución del sistema en una calculadora que resuelve por el método de Cramer: en este caso, se dará la misma respuesta si el sistema tiene solución única.

La simplicidad del método de Gauss se evidencia por el hecho de que el matemático alemán Carl Friedrich Gauss tardó solo 15 minutos en inventarlo. Además del método de su nombre, del trabajo de Gauss, el dicho “No debemos confundir lo que nos parece increíble y antinatural con lo absolutamente imposible” es una especie de breve instrucción para hacer descubrimientos.

En muchos problemas aplicados, puede que no haya una tercera restricción, es decir, una tercera ecuación, entonces es necesario resolver un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de Gauss, o por el contrario, hay menos incógnitas que ecuaciones. Ahora comenzamos a resolver tales sistemas de ecuaciones.

Usando el método de Gauss, puede determinar si un sistema es consistente o inconsistente norte ecuaciones lineales con norte variables

Método de Gauss y sistemas de ecuaciones lineales con un número infinito de soluciones

El siguiente ejemplo es conjunto, pero sistema indefinido ecuaciones lineales, es decir, que tienen un número infinito de soluciones.

Después de realizar transformaciones en la matriz expandida del sistema (permutar filas, multiplicar y dividir filas por un número determinado, sumar una fila a otra), las filas de la forma

Si en todas las ecuaciones que tienen la forma

Los miembros libres son iguales a cero, esto significa que el sistema es indefinido, es decir, tiene un número infinito de soluciones, y las ecuaciones de este tipo son “superfluas” y están excluidas del sistema.

Ejemplo 6

Solución. Compongamos la matriz extendida del sistema. Luego, utilizando la primera ecuación, eliminamos la variable de las ecuaciones posteriores. Para ello, a la segunda, tercera y cuarta filas, súmale la primera, multiplicada por , respectivamente:

Ahora agreguemos la segunda fila a la tercera y cuarta.

Como resultado, llegamos al sistema

Las dos últimas ecuaciones se han convertido en ecuaciones de la forma . Estas ecuaciones se cumplen para cualquier valor de las incógnitas y pueden descartarse.

Para satisfacer la segunda ecuación, podemos elegir valores arbitrarios para y , luego el valor para se determinará sin ambigüedades: . A partir de la primera ecuación, el valor de también se encuentra de forma única: .

Tanto el sistema dado como el último son compatibles pero indefinidos, y las fórmulas

para arbitrario y darnos todas las soluciones del sistema dado.

Método de Gauss y sistemas de ecuaciones lineales que no tienen soluciones

El siguiente ejemplo es un sistema inconsistente de ecuaciones lineales, es decir, no tiene soluciones. La respuesta a tales problemas se formula de la siguiente manera: el sistema no tiene soluciones.

Como ya se mencionó en relación con el primer ejemplo, después de realizar transformaciones en la matriz expandida del sistema, las líneas de la forma

correspondiente a una ecuación de la forma

Si entre ellos hay al menos una ecuación con un término libre distinto de cero (es decir, ), entonces este sistema de ecuaciones es inconsistente, es decir, no tiene soluciones, y esto completa su solución.

Ejemplo 7 Resuelve el sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss:

Solución. Componemos la matriz extendida del sistema. Usando la primera ecuación, excluimos la variable de las ecuaciones subsiguientes. Para hacer esto, agregue el primero multiplicado por a la segunda fila, el primero multiplicado por la tercera fila y el primero multiplicado por la cuarta fila.

Ahora necesita usar la segunda ecuación para excluir la variable de las ecuaciones subsiguientes. Para obtener proporciones enteras de los coeficientes, intercambiamos la segunda y la tercera fila de la matriz extendida del sistema.

Para excluir de la tercera y cuarta ecuaciones, agregue la segunda, multiplicada por, a la tercera fila, y la segunda, multiplicada por, a la cuarta.

Ahora, usando la tercera ecuación, eliminamos la variable de la cuarta ecuación. Para hacer esto, a la cuarta línea, agregue la tercera, multiplicada por .

El sistema dado es por lo tanto equivalente a lo siguiente:

El sistema resultante es inconsistente, ya que su última ecuación no puede ser satisfecha por ningún valor de las incógnitas. Por lo tanto, este sistema no tiene soluciones.

Seguimos considerando sistemas de ecuaciones lineales. Esta lección es la tercera sobre el tema. Si tiene una idea vaga de lo que es un sistema de ecuaciones lineales en general, se siente como una tetera, entonces le recomiendo comenzar con los conceptos básicos en la página siguiente, es útil para estudiar la lección.

¡El método de Gauss es fácil!¿Por qué? El famoso matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, durante su vida, recibió el reconocimiento como el mayor matemático de todos los tiempos, un genio, e incluso el apodo de "Rey de las Matemáticas". ¡Y todo lo ingenioso, como sabes, es simple! Por cierto, no solo los tontos, sino también los genios caen en el dinero: el retrato de Gauss se exhibió en un billete de 10 marcos alemanes (antes de la introducción del euro), y Gauss todavía sonríe misteriosamente a los alemanes con sellos postales ordinarios.

El método de Gauss es simple en el sentido de que BASTANTE EL CONOCIMIENTO DE UN ESTUDIANTE DE QUINTO GRADO para dominarlo. ¡Debe poder sumar y multiplicar! No es casualidad que el método de eliminación sucesiva de incógnitas a menudo sea considerado por los profesores en las asignaturas optativas de matemáticas de la escuela. Es una paradoja, pero el método de Gauss causa las mayores dificultades a los estudiantes. Nada sorprendente: se trata de la metodología, e intentaré contar de forma accesible sobre el algoritmo del método.

Primero, sistematizamos un poco el conocimiento sobre los sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales puede:

1) Tener una solución única. 2) Tener infinitas soluciones. 3) No tener soluciones (ser incompatible).

El método de Gauss es la herramienta más poderosa y versátil para encontrar una solución. cualquier sistemas de ecuaciones lineales. como recordamos Regla de Cramer y método matricial son inadecuados en los casos en que el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente. Un método de eliminación sucesiva de incógnitas. De todos modos¡llévanos a la respuesta! En esta lección, consideraremos nuevamente el método de Gauss para el caso No. 1 (la única solución al sistema), se reserva un artículo para las situaciones de los puntos No. 2-3. Observo que el algoritmo del método en sí funciona de la misma manera en los tres casos.

Volvamos al sistema más simple de la lección. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales? y resolverlo usando el método de Gauss.

El primer paso es escribir sistema de matriz extendida: . Por qué principio se registran los coeficientes, creo que todos pueden ver. La línea vertical dentro de la matriz no tiene ningún significado matemático, es solo un tachado para facilitar el diseño.

Referencia : recomiendo recordar términos álgebra lineal. Matriz del sistema es una matriz compuesta solo de coeficientes para incógnitas, en este ejemplo, la matriz del sistema: . Matriz del sistema extendido es la misma matriz del sistema más una columna de miembros libres, en este caso: . Cualquiera de las matrices se puede llamar simplemente matriz por brevedad.

Después de escribir la matriz extendida del sistema, es necesario realizar algunas acciones con ella, que también se denominan transformaciones elementales.

Existen las siguientes transformaciones elementales:

1) Instrumentos de cuerda matrices Poder reorganizar lugares. Por ejemplo, en la matriz que se está considerando, puede reorganizar con seguridad la primera y la segunda fila:

2) Si hay (o aparecieron) filas proporcionales (como un caso especial - idénticas) en la matriz, entonces sigue borrar de la matriz, todas estas filas excepto una. Considere, por ejemplo, la matriz . En esta matriz, las tres últimas filas son proporcionales, por lo que basta con dejar solo una de ellas: .

3) Si apareció una fila cero en la matriz durante las transformaciones, también sigue borrar. No dibujaré, por supuesto, la línea cero es la línea en la que solo ceros.

4) La fila de la matriz puede ser multiplicar (dividir) para cualquier número distinto de cero. Considere, por ejemplo, la matriz . Aquí es recomendable dividir la primera línea por -3 y multiplicar la segunda línea por 2: . Esta acción es muy útil, ya que simplifica las transformaciones posteriores de la matriz.

5) Esta transformación causa la mayoría de las dificultades, pero de hecho tampoco hay nada complicado. A la fila de la matriz, puede agregar otra cadena multiplicada por un número, diferente de cero. Considere nuestra matriz a partir de un ejemplo práctico: . Primero, describiré la transformación con gran detalle. Multiplica la primera fila por -2: , Y a la segunda linea le sumamos la primera linea multiplicada por -2: . Ahora la primera línea se puede dividir "atrás" por -2: . Como puede ver, la línea que se AÑADE LI – no ha cambiado. Siempre se cambia la línea, A LO QUE SE AÑADE Utah.

En la práctica, por supuesto, no pintan con tanto detalle, sino que escriben más corto: Una vez más: a la segunda línea agregó la primera fila multiplicada por -2. La línea generalmente se multiplica oralmente o en un borrador, mientras que el curso mental de los cálculos es algo como esto:

“Reescribo la matriz y reescribo la primera fila: »

Primera columna primero. A continuación necesito obtener cero. Por lo tanto, multiplico la unidad anterior por -2:, y sumo la primera a la segunda línea: 2 + (-2) = 0. Escribo el resultado en la segunda línea: »

“Ahora la segunda columna. Por encima de -1 veces -2: . Agrego el primero a la segunda línea: 1 + 2 = 3. Escribo el resultado en la segunda línea: »

“Y la tercera columna. Por encima de -5 veces -2: . Agrego la primera línea a la segunda línea: -7 + 10 = 3. Escribo el resultado en la segunda línea: »

Piense detenidamente en este ejemplo y comprenda el algoritmo de cálculo secuencial, si comprende esto, entonces el método de Gauss está prácticamente "en su bolsillo". Pero, por supuesto, todavía estamos trabajando en esta transformación.

Las transformaciones elementales no modifican la solución del sistema de ecuaciones

! ATENCIÓN: manipulaciones consideradas no se puede usar, si se le ofrece una tarea donde las matrices se dan "por sí mismas". Por ejemplo, con "clásico" matrices¡En ningún caso debe reorganizar algo dentro de las matrices! Volvamos a nuestro sistema. Está prácticamente rota en pedazos.

Escribamos la matriz aumentada del sistema y, mediante transformaciones elementales, reducámosla a vista escalonada:

(1) La primera fila se sumó a la segunda fila, multiplicada por -2. Y de nuevo: ¿por qué multiplicamos la primera fila por -2? Para obtener cero en la parte inferior, lo que significa deshacerse de una variable en la segunda línea.

(2) Divide la segunda fila por 3.

El propósito de las transformaciones elementales. – convertir la matriz a forma escalonada: . En el diseño de la tarea, dibujan directamente la "escalera" con un lápiz simple y también encierran en un círculo los números que se encuentran en los "pasos". El término "visión escalonada" en sí mismo no es del todo teórico; en la literatura científica y educativa, a menudo se le llama vista trapezoidal o vista triangular.

Como resultado de transformaciones elementales, hemos obtenido equivalente sistema original de ecuaciones:

Ahora el sistema necesita ser "destorcido" en la dirección opuesta - de abajo hacia arriba, este proceso se llama método de Gauss inverso.

En la ecuación inferior, ya tenemos el resultado final: .

Considere la primera ecuación del sistema y sustituya el valor ya conocido de "y" en ella:

Consideremos la situación más común, cuando se requiere el método de Gauss para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Ejemplo 1

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss:

Escribamos la matriz aumentada del sistema:

Ahora dibujaré inmediatamente el resultado al que llegaremos en el curso de la solución: Y repito, nuestro objetivo es llevar la matriz a una forma escalonada usando transformaciones elementales. ¿Por dónde empezar a tomar medidas?

Primero, mira el número de arriba a la izquierda: Casi siempre debería estar aquí. unidad. En términos generales, -1 (ya veces otros números) también se adaptarán, pero de alguna manera tradicionalmente ha sucedido que una unidad generalmente se coloca allí. ¿Cómo organizar una unidad? Miramos la primera columna: ¡tenemos una unidad terminada! Transformación uno: intercambie la primera y la tercera línea:

Ahora la primera línea permanecerá sin cambios hasta el final de la solución.. Ahora bien.

La unidad en la parte superior izquierda está organizada. Ahora necesita obtener ceros en estos lugares:

Los ceros se obtienen solo con la ayuda de una transformación "difícil". Primero, nos ocupamos de la segunda línea (2, -1, 3, 13). ¿Qué se necesita hacer para obtener cero en la primera posición? Necesitar a la segunda línea suma la primera línea multiplicada por -2. Mentalmente o en un borrador, multiplicamos la primera línea por -2: (-2, -4, 2, -18). Y constantemente llevamos a cabo (nuevamente mentalmente o en un borrador) sumas, a la segunda línea le sumamos la primera línea, ya multiplicada por -2:

El resultado se escribe en la segunda línea:

Del mismo modo, tratamos con la tercera línea (3, 2, -5, -1). Para obtener cero en la primera posición, necesita a la tercera línea suma la primera línea multiplicada por -3. Mentalmente o en un borrador, multiplicamos la primera línea por -3: (-3, -6, 3, -27). Y a la tercera linea le sumamos la primera linea multiplicada por -3:

El resultado se escribe en la tercera línea:

En la práctica, estas acciones generalmente se realizan verbalmente y se escriben en un solo paso:

No es necesario contar todo a la vez y al mismo tiempo. El orden de los cálculos y la "inserción" de los resultados. coherente y generalmente así: primero reescribimos la primera línea y nos inflamos en silencio, CONSTANTEMENTE y ATENTAMENTE:
Y ya he considerado el curso mental de los cálculos mismos arriba.

En este ejemplo, esto es fácil de hacer, dividimos la segunda línea por -5 (ya que todos los números son divisibles por 5 sin resto). Al mismo tiempo, dividimos la tercera línea por -2, porque cuanto menor es el número, más simple es la solución:

En la etapa final de las transformaciones elementales, se debe obtener aquí un cero más:

Para esto a la tercera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por -2:
Intente analizar esta acción usted mismo: mentalmente multiplique la segunda línea por -2 y realice la suma.

La última acción realizada es el peinado del resultado, divide la tercera línea por 3.

Como resultado de transformaciones elementales, se obtuvo un sistema inicial equivalente de ecuaciones lineales: Fresco.

Ahora entra en juego el curso inverso del método gaussiano. Las ecuaciones se "desenrollan" de abajo hacia arriba.

En la tercera ecuación, ya tenemos el resultado final:

Veamos la segunda ecuación: . El significado de la "z" ya se conoce, así:

Y finalmente, la primera ecuación: . Se conocen "Y" y "Z", el asunto es pequeño:

Respuesta:

Como se ha señalado repetidamente, para cualquier sistema de ecuaciones, es posible y necesario comprobar la solución encontrada, afortunadamente, esto no es difícil y rápido.

Ejemplo 2

Este es un ejemplo de auto-resolución, una muestra de finalización y una respuesta al final de la lección.

Cabe señalar que su Curso de acción puede no coincidir con mi curso de acción, y esta es una característica del método de Gauss. ¡Pero las respuestas deben ser las mismas!

Ejemplo 3

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss

Nos fijamos en el "paso" superior izquierdo. Allí deberíamos tener una unidad. El problema es que no hay nadie en la primera columna, por lo que no se puede resolver nada reorganizando las filas. En tales casos, la unidad debe organizarse utilizando una transformación elemental. Por lo general, esto se puede hacer de varias maneras. Hice esto: (1) A la primera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por -1. Es decir, mentalmente multiplicamos la segunda línea por -1 y realizamos la suma de la primera y la segunda línea, mientras que la segunda línea no cambió.

Ahora en la parte superior izquierda "menos uno", que nos conviene perfectamente. Quien quiera obtener +1 puede realizar un gesto adicional: multiplicar la primera línea por -1 (cambiar su signo).

(2) A la segunda fila se sumó la primera fila multiplicada por 5. A la tercera fila se sumó la primera fila multiplicada por 3.

(3) La primera línea se multiplicó por -1, en principio, esto es por belleza. También se cambió el signo de la tercera línea y se movió al segundo lugar, así, en el segundo “paso, teníamos la unidad deseada.

(4) La segunda línea multiplicada por 2 se agregó a la tercera línea.

(5) La tercera fila se dividió por 3.

Una mala señal que indica un error de cálculo (con menos frecuencia un error tipográfico) es un resultado final "malo". Es decir, si tenemos algo como a continuación y, en consecuencia, , entonces con un alto grado de probabilidad se puede argumentar que se cometió un error en el curso de las transformaciones elementales.

Cargamos el movimiento inverso, en el diseño de ejemplos, el sistema en sí mismo a menudo no se reescribe, y las ecuaciones se "toman directamente de la matriz dada". El movimiento inverso, les recuerdo, funciona de abajo hacia arriba. Sí, aquí hay un regalo:

Respuesta: .

Ejemplo 4

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss

Este es un ejemplo de una solución independiente, es algo más complicado. Está bien si alguien se confunde. Solución completa y muestra de diseño al final de la lección. Su solución puede diferir de la mía.

En la última parte, consideramos algunas características del algoritmo de Gauss. La primera característica es que a veces faltan algunas variables en las ecuaciones del sistema, por ejemplo: ¿Cómo escribir correctamente la matriz aumentada del sistema? Ya hablé de este momento en la lección. Regla de Cramer. método matricial. En la matriz expandida del sistema, ponemos ceros en lugar de las variables que faltan: Por cierto, este es un ejemplo bastante fácil, ya que hay un cero en la primera columna y hay menos transformaciones elementales para realizar.

La segunda característica es esta. En todos los ejemplos considerados, colocamos -1 o +1 en los "pasos". ¿Puede haber otros números? En algunos casos pueden. Considere el sistema: .

Aquí en el "paso" superior izquierdo tenemos un deuce. Pero notamos el hecho de que todos los números en la primera columna son divisibles por 2 sin resto, y otros dos y seis. ¡Y el dos en la parte superior izquierda nos conviene! En el primer paso, debe realizar las siguientes transformaciones: agregue la primera línea multiplicada por -1 a la segunda línea; a la tercera línea suma la primera línea multiplicada por -3. Así, obtendremos los ceros deseados en la primera columna.

U otro ejemplo hipotético: . Aquí, el triple en el segundo "peldaño" también nos conviene, ya que 12 (el lugar donde necesitamos obtener cero) es divisible por 3 sin resto. Es necesario realizar la siguiente transformación: a la tercera línea, agregue la segunda línea, multiplicada por -4, como resultado se obtendrá el cero que necesitamos.

El método de Gauss es universal, pero tiene una peculiaridad. Puede aprender con confianza cómo resolver sistemas por otros métodos (método de Cramer, método de matriz) literalmente desde la primera vez: hay un algoritmo muy rígido. Pero para tener confianza en el método de Gauss, debe "llenar su mano" y resolver al menos 5-10 sistemas de diez. Por lo tanto, al principio puede haber confusión, errores en los cálculos, y no hay nada inusual o trágico en esto.

Clima lluvioso de otoño fuera de la ventana ... Por lo tanto, para todos, un ejemplo más complejo para una solución independiente:

Ejemplo 5

Resolver un sistema de 4 ecuaciones lineales con cuatro incógnitas utilizando el método de Gauss.

Tal tarea en la práctica no es tan rara. Creo que incluso una tetera que haya estudiado esta página en detalle comprende el algoritmo para resolver dicho sistema de manera intuitiva. Básicamente lo mismo, solo más acción.

Los casos en los que el sistema no tiene soluciones (inconsistentes) o tiene infinitas soluciones se consideran en la lección. Sistemas incompatibles y sistemas con solución común. El algoritmo considerado del método de Gauss también se puede arreglar allí.

¡Te deseo éxito!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2: Solución : Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, llevémosla a una forma escalonada.
Transformaciones elementales realizadas: (1) La primera fila se sumó a la segunda fila, multiplicada por -2. La primera línea se sumó a la tercera línea, se multiplicó por -1. ¡Atención! Aquí puede ser tentador restar la primera línea de la tercera, no recomiendo encarecidamente restar: el riesgo de error aumenta considerablemente. ¡Simplemente doblamos! (2) Se cambió el signo de la segunda línea (multiplicado por -1). La segunda y la tercera línea se han intercambiado. nota que en los "pasos" estamos satisfechos no solo con uno, sino también con -1, lo que es aún más conveniente. (3) A la tercera línea, agregue la segunda línea, multiplicada por 5. (4) Se cambió el signo de la segunda línea (multiplicado por -1). La tercera línea estaba dividida por 14.

movimiento inverso:

Respuesta : .

Ejemplo 4: Solución : Escribimos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevamos a una forma escalonada:

Conversiones realizadas: (1) La segunda línea se agregó a la primera línea. Así, la unidad deseada se organiza en el “paso” superior izquierdo. (2) A la segunda fila se suma la primera fila multiplicada por 7. A la tercera fila se suma la primera fila multiplicada por 6.

Con el segundo "paso" todo es peor , los "candidatos" para ello son los números 17 y 23, y necesitamos uno o -1. Las transformaciones (3) y (4) estarán encaminadas a obtener la unidad deseada (3) La segunda línea se sumó a la tercera línea, se multiplicó por -1. (4) La tercera línea, multiplicada por -3, se agregó a la segunda línea. Se recibe lo necesario sobre el segundo paso . (5) A la tercera línea se suma la segunda, multiplicada por 6. (6) La segunda fila se multiplicó por -1, la tercera fila se dividió por -83.

movimiento inverso:

Respuesta :

Ejemplo 5: Solución : Escribamos la matriz del sistema y, usando transformaciones elementales, llevémosla a una forma escalonada:

Conversiones realizadas: (1) La primera y la segunda línea se han intercambiado. (2) La primera fila se sumó a la segunda fila, multiplicada por -2. La primera línea se sumó a la tercera línea, se multiplicó por -2. La primera línea se sumó a la cuarta línea, se multiplicó por -3. (3) A la tercera línea se añadió la segunda línea multiplicada por 4. A la cuarta línea se añadió la segunda línea multiplicada por -1. (4) Se ha cambiado el signo de la segunda línea. La cuarta línea se dividió por 3 y se colocó en lugar de la tercera línea. (5) La tercera línea se sumó a la cuarta línea, se multiplicó por -5.

movimiento inverso:

Respuesta :

Desde principios de los siglos XVI al XVIII, los matemáticos comenzaron a estudiar intensamente las funciones, gracias a las cuales muchas cosas han cambiado en nuestras vidas. La tecnología informática sin este conocimiento simplemente no existiría. Para resolver problemas complejos, ecuaciones lineales y funciones, se han creado diversos conceptos, teoremas y técnicas de solución. Uno de esos métodos y técnicas universales y racionales para resolver ecuaciones lineales y sus sistemas fue el método de Gauss. Matrices, su rango, determinante: todo se puede calcular sin usar operaciones complejas.

Qué es SLAU

En matemáticas, existe el concepto de SLAE - un sistema de lineal ecuaciones algebraicas. ¿Qué representa ella? Este es un conjunto de m ecuaciones con las n incógnitas requeridas, generalmente indicadas como x, y, z o x 1 , x 2 ... x n u otros símbolos. Resolver por el método de Gauss este sistema- significa encontrar todas las incógnitas requeridas. Si el sistema tiene el mismo numero incógnitas y ecuaciones, entonces se llama un sistema de n-ésimo orden.

Los métodos más populares para resolver SLAE

EN Instituciones educacionales En la educación secundaria se estudian diversas técnicas para la solución de este tipo de sistemas. En la mayoría de los casos, estas son ecuaciones simples que consisten en dos incógnitas, por lo que cualquier método existente no tardará mucho en encontrar respuestas a ellos. Puede ser como un método de sustitución, cuando otra ecuación se deriva de una ecuación y se sustituye en la original. O sustracción y suma término por término. Pero el método de Gauss se considera el más fácil y el más universal. Permite resolver ecuaciones con cualquier número de incógnitas. ¿Por qué esta técnica se considera racional? Todo es simple. El método de matriz es bueno porque no requiere reescribir varias veces los caracteres innecesarios en forma de incógnitas, basta con hacer operaciones aritméticas en los coeficientes, y obtendrá un resultado confiable.

¿Dónde se utilizan los SLAE en la práctica?

La solución de SLAE son los puntos de intersección de rectas en las gráficas de funciones. En nuestra era de computadoras de alta tecnología, las personas que están estrechamente involucradas en el desarrollo de juegos y otros programas necesitan saber cómo resolver dichos sistemas, qué representan y cómo verificar la exactitud del resultado resultante. La mayoría de las veces, los programadores desarrollan calculadoras especiales de álgebra lineal, que incluyen un sistema de ecuaciones lineales. El método de Gauss le permite calcular todas las soluciones existentes. También se utilizan otras fórmulas y técnicas simplificadas.

Criterio de compatibilidad SLAE

Tal sistema solo puede resolverse si es compatible. Para mayor claridad, presentamos la SLAE en la forma Ax=b. Tiene solución si rang(A) es igual a rang(A,b). En este caso, (A,b) es una matriz de forma extendida que puede obtenerse de la matriz A reescribiéndola con términos libres. Resulta que resolver ecuaciones lineales usando el método de Gauss es bastante fácil.

Quizás alguna notación no esté del todo clara, por lo que es necesario considerar todo con un ejemplo. Digamos que hay un sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Consta de solo dos ecuaciones en las que hay 2 incógnitas. El sistema tendrá solución solo si el rango de su matriz es igual al rango de la matriz aumentada. ¿Qué es un rango? Este es el número de líneas independientes del sistema. En nuestro caso, el rango de la matriz es 2. La matriz A consistirá en los coeficientes ubicados cerca de las incógnitas, y los coeficientes detrás del signo "=" también encajarán en la matriz expandida.

Por qué SLAE se puede representar en forma de matriz

Con base en el criterio de compatibilidad según el probado teorema de Kronecker-Capelli, el sistema de ecuaciones algebraicas lineales se puede representar en forma matricial. Con el método de cascada gaussiana, puede resolver la matriz y obtener la única respuesta confiable para todo el sistema. Si el rango de una matriz ordinaria es igual al rango de su matriz extendida, pero menor que el número de incógnitas, entonces el sistema tiene un número infinito de respuestas.

Transformaciones de matrices

Antes de pasar a la resolución de matrices, es necesario saber qué acciones se pueden realizar sobre sus elementos. Hay varias transformaciones elementales:

• Reescribiendo el sistema en forma matricial y realizando su solución, es posible multiplicar todos los elementos de la serie por el mismo coeficiente.
• Para convertir una matriz a forma canónica, se pueden intercambiar dos filas paralelas. La forma canónica implica que todos los elementos de la matriz que se encuentran a lo largo de la diagonal principal se convierten en unos y los restantes se convierten en ceros.
• Los elementos correspondientes de las filas paralelas de la matriz se pueden sumar entre sí.

Método de Jordan-Gauss

La esencia de resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas por el método de Gauss es eliminar gradualmente las incógnitas. Digamos que tenemos un sistema de dos ecuaciones en el que hay dos incógnitas. Para encontrarlos, debe verificar la compatibilidad del sistema. La ecuación de Gauss se resuelve de forma muy sencilla. Es necesario escribir los coeficientes ubicados cerca de cada incógnita en forma de matriz. Para resolver el sistema, debe escribir la matriz aumentada. Si una de las ecuaciones contiene un número menor de incógnitas, entonces se debe poner "0" en lugar del elemento faltante. Todos los métodos de transformación conocidos se aplican a la matriz: multiplicación, división por un número, suma de los elementos correspondientes de las filas entre sí y otros. Resulta que en cada fila es necesario dejar una variable con el valor "1", el resto debe reducirse a cero. Para una comprensión más precisa, es necesario considerar el método de Gauss con ejemplos.

Un ejemplo simple de resolución de un sistema 2x2

Para empezar, tomemos un sistema simple de ecuaciones algebraicas, en el que habrá 2 incógnitas.

Reescribámoslo en una matriz aumentada.

Para resolver este sistema de ecuaciones lineales, solo se requieren dos operaciones. Necesitamos llevar la matriz a la forma canónica para que haya unidades a lo largo de la diagonal principal. Entonces, traduciendo de la forma matricial al sistema, obtenemos las ecuaciones: 1x+0y=b1 y 0x+1y=b2, donde b1 y b2 son las respuestas obtenidas en el proceso de resolución.

1. El primer paso para resolver la matriz aumentada será el siguiente: la primera fila debe multiplicarse por -7 y los elementos correspondientes deben agregarse a la segunda fila, respectivamente, para eliminar una incógnita en la segunda ecuación.
2. Dado que la solución de ecuaciones por el método de Gauss implica llevar la matriz a la forma canónica, entonces es necesario hacer las mismas operaciones con la primera ecuación y eliminar la segunda variable. Para hacer esto, restamos la segunda línea de la primera y obtenemos la respuesta necesaria: la solución de SLAE. O, como se muestra en la figura, multiplicamos la segunda fila por un factor de -1 y sumamos los elementos de la segunda fila a la primera fila. Es lo mismo.

Como puedes ver, nuestro sistema se resuelve por el método de Jordan-Gauss. Lo reescribimos en la forma requerida: x=-5, y=7.

Un ejemplo de resolución de SLAE 3x3

Supongamos que tenemos un sistema más complejo de ecuaciones lineales. El método de Gauss hace posible calcular la respuesta incluso para el sistema aparentemente más confuso. Por tanto, para profundizar en la metodología de cálculo, podemos pasar a un ejemplo más complejo con tres incógnitas.

Como en el ejemplo anterior, reescribimos el sistema en forma de matriz expandida y comenzamos a llevarlo a la forma canónica.

Para resolver este sistema, deberá realizar muchas más acciones que en el ejemplo anterior.

1. Primero debe hacer en la primera columna un solo elemento y el resto ceros. Para hacer esto, multiplique la primera ecuación por -1 y súmele la segunda ecuación. Es importante recordar que reescribimos la primera línea en su forma original y la segunda, ya en una forma modificada.
2. A continuación, eliminamos la misma primera incógnita de la tercera ecuación. Para ello, multiplicamos los elementos de la primera fila por -2 y los sumamos a la tercera fila. Ahora la primera y la segunda línea se reescriben en su forma original, y la tercera, ya con cambios. Como puede ver en el resultado, obtuvimos el primero al comienzo de la diagonal principal de la matriz y el resto son ceros. Unas pocas acciones más, y el sistema de ecuaciones por el método de Gauss se resolverá de manera confiable.
3. Ahora necesita realizar operaciones en otros elementos de las filas. Los pasos tercero y cuarto se pueden combinar en uno. Necesitamos dividir la segunda y tercera línea por -1 para deshacernos de las negativas en la diagonal. Ya hemos traído la tercera línea al formulario requerido.
4. A continuación, canonicalizamos la segunda línea. Para ello, multiplicamos los elementos de la tercera fila por -3 y los sumamos a la segunda fila de la matriz. Se puede ver por el resultado que la segunda línea también se reduce a la forma que necesitamos. Queda por hacer algunas operaciones más y eliminar los coeficientes de las incógnitas de la primera fila.
5. Para hacer 0 desde el segundo elemento de la fila, debe multiplicar la tercera fila por -3 y agregarla a la primera fila.
6. El siguiente paso decisivo es agregar a la primera línea elementos necesarios segunda fila. Entonces obtenemos la forma canónica de la matriz y, en consecuencia, la respuesta.

Como puedes ver, la solución de ecuaciones por el método de Gauss es bastante sencilla.

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones 4x4

Algunos sistemas de ecuaciones más complejos pueden resolverse mediante el método de Gauss usando programas de computadora. Es necesario introducir coeficientes para incógnitas en celdas vacías existentes, y el programa calculará el resultado requerido paso a paso, describiendo cada acción en detalle.

Descrito abajo instrucción paso a paso soluciones a este ejemplo.

En el primer paso, se ingresan coeficientes libres y números para incógnitas en celdas vacías. Así, obtenemos la misma matriz aumentada que escribimos a mano.

Y se realizan todas las operaciones aritméticas necesarias para llevar la matriz extendida a la forma canónica. Debe entenderse que la respuesta a un sistema de ecuaciones no siempre son números enteros. A veces la solución puede ser a partir de números fraccionarios.

Comprobación de la corrección de la solución.

El método de Jordan-Gauss permite comprobar la exactitud del resultado. Para saber si los coeficientes se calcularon correctamente, solo necesita sustituir el resultado en el sistema de ecuaciones original. El lado izquierdo de la ecuación debe coincidir con el lado derecho, que está detrás del signo igual. Si las respuestas no coinciden, debe volver a calcular el sistema o intentar aplicar otro método para resolver SLAE que conozca, como la sustitución o la resta y suma término por término. Después de todo, las matemáticas son una ciencia que tiene una gran cantidad de métodos diferentes para resolver. Pero recuerda: el resultado siempre debe ser el mismo, sin importar el método de solución que hayas utilizado.

Método de Gauss: los errores más comunes en la resolución de SLAE

Durante la decisión sistemas lineales ecuaciones, los errores como la transferencia incorrecta de coeficientes a la forma matricial ocurren con mayor frecuencia. Hay sistemas en los que faltan algunas incógnitas en alguna de las ecuaciones, luego, trasladando los datos a la matriz expandida, se pueden perder. Como resultado, al resolver este sistema, el resultado puede no corresponder al real.

Otro de los principales errores puede ser la incorrecta redacción del resultado final. Debe entenderse claramente que el primer coeficiente corresponderá al primer desconocido del sistema, el segundo al segundo, y así sucesivamente.

El método de Gauss describe en detalle la solución de ecuaciones lineales. Gracias a él, es fácil realizar las operaciones necesarias y encontrar el resultado correcto. Además, esta es una herramienta universal para encontrar una respuesta confiable a ecuaciones de cualquier complejidad. Tal vez por eso se usa con tanta frecuencia para resolver SLAE.

Hoy tratamos el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Puedes leer sobre cuáles son estos sistemas en el artículo anterior dedicado a resolver la misma SLAE por el método de Cramer. El método de Gauss no requiere ningún conocimiento específico, solo se necesita cuidado y consistencia. A pesar de que desde el punto de vista de las matemáticas, la preparación escolar es suficiente para su aplicación, el dominio de este método suele causar dificultades a los estudiantes. ¡En este artículo intentaremos reducirlos a nada!

método de Gauss

METRO método de Gauss es el método más universal para resolver SLAE (con la excepción de, bueno, muy grandes sistemas). A diferencia del discutido anteriormente, es adecuado no solo para sistemas que tienen una solución única, sino también para sistemas que tienen un número infinito de soluciones. Hay tres opciones aquí.

1. El sistema tiene solución única (el determinante de la matriz principal del sistema no es igual a cero);
2. El sistema tiene un número infinito de soluciones;
3. No hay soluciones, el sistema es inconsistente.

Entonces, tenemos un sistema (que tenga una solución), y vamos a resolverlo usando el método de Gauss. ¿Cómo funciona?

El método gaussiano consta de dos etapas: directa e inversa.

Método directo de Gauss

Primero, escribimos la matriz aumentada del sistema. Para hacer esto, agregamos una columna de miembros libres a la matriz principal.

Toda la esencia del método gaussiano es llevar la matriz dada a una forma escalonada (o, como dicen, triangular) por medio de transformaciones elementales. De esta forma, solo debe haber ceros debajo (o arriba) de la diagonal principal de la matriz.

Qué se puede hacer:

1. Puede reorganizar las filas de la matriz;
2. Si hay filas idénticas (o proporcionales) en la matriz, puede eliminarlas todas menos una;
3. Puede multiplicar o dividir una cadena por cualquier número (excepto cero);
4. Se eliminan las líneas cero;
5. Puede agregar una cadena multiplicada por un número distinto de cero a una cadena.

Método de Gauss inverso

Después de transformar el sistema de esta manera, una incógnita xn se vuelve conocida, y es posible encontrar todas las incógnitas restantes en orden inverso, sustituyendo las x ya conocidas en las ecuaciones del sistema, hasta la primera.

Cuando Internet está siempre a mano, puede resolver el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss en línea . Todo lo que tiene que hacer es ingresar las probabilidades en la calculadora en línea. Pero debe admitir que es mucho más agradable darse cuenta de que el ejemplo no fue resuelto por un programa de computadora, sino por su propio cerebro.

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones usando el método de Gauss

Y ahora, un ejemplo, para que todo se vuelva claro y comprensible. Sea dado un sistema de ecuaciones lineales, y es necesario resolverlo por el método de Gauss:

Primero, escribamos la matriz aumentada:

Ahora echemos un vistazo a las transformaciones. Recuerda que necesitamos lograr una forma triangular de la matriz. Multiplica la primera fila por (3). Multiplique la segunda fila por (-1). Agreguemos la segunda fila a la primera y obtengamos:

Luego multiplique la tercera fila por (-1). Agreguemos la 3ra línea a la 2da:

Multiplica la primera fila por (6). Multiplica la segunda fila por (13). Agreguemos la segunda línea a la primera:

Voila: el sistema se lleva a la forma adecuada. Queda por encontrar las incógnitas:

El sistema de este ejemplo tiene una solución única. Consideraremos la solución de sistemas con un conjunto infinito de soluciones en un artículo separado. Tal vez al principio no sepa por dónde empezar con las transformaciones de matrices, pero después de la práctica adecuada lo tendrá en sus manos y hará clic en el SLAE gaussiano como si fuera una nuez. Y si de repente te encuentras con un SLAU, que resulta ser un hueso duro de roer, ¡ponte en contacto con nuestros autores! puede dejar una solicitud en la Correspondencia. ¡Juntos resolveremos cualquier problema!

Consideremos métodos exactos para resolver el sistema; aquí está la matriz de dimensiones

Un método para resolver un problema se clasifica como exacto si, bajo el supuesto de que no hay redondeos, da una solución exacta al problema después de un número finito de operaciones aritméticas y lógicas. Si el número de elementos distintos de cero de la matriz del sistema es del orden de , entonces para la mayoría de los métodos exactos utilizados actualmente para resolver tales sistemas, el número requerido de operaciones es del orden de . Por lo tanto, para la aplicabilidad de métodos exactos, es necesario que tal orden del número de operaciones sea aceptable para una computadora dada; otras restricciones son impuestas por el volumen y la estructura de la memoria de la computadora.

La cláusula sobre "métodos actualmente en uso" tiene el siguiente significado. Existen métodos para resolver este tipo de sistemas con un menor número de operaciones, pero no se utilizan activamente debido a la fuerte sensibilidad del resultado al error de cálculo.

El más famoso de los métodos exactos para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de eliminación de Gauss. Consideremos una de sus posibles implementaciones. Suponiendo que , la primera ecuación del sistema

dividimos por el coeficiente , como resultado obtenemos la ecuación

Luego, de cada una de las ecuaciones restantes, se resta la primera ecuación, multiplicada por el coeficiente apropiado. Como resultado, estas ecuaciones se transforman a la forma

La primera incógnita resultó estar excluida de todas las ecuaciones excepto la primera. Además, bajo el supuesto de que , dividimos la segunda ecuación por el coeficiente y excluimos la incógnita de todas las ecuaciones, a partir de la segunda, y así sucesivamente Como resultado de la eliminación sucesiva de incógnitas, el sistema de ecuaciones se transforma en un sistema de ecuaciones con matriz triangular

El conjunto de cálculos realizados, durante los cuales el problema original se transformó a la forma (2), se denomina curso directo del método de Gauss.

De la ecuación del sistema (2) determinamos , de , etc. hasta . La totalidad de tales cálculos se llama el curso inverso del método de Gauss.

Es fácil comprobar que la implementación del método de avance de Gauss requiere operaciones aritméticas, y la ejecución inversa requiere operaciones aritméticas.

La excepción ocurre como resultado de las siguientes operaciones: 1) dividir la ecuación por , 2) restar la ecuación obtenida después de dicha división, multiplicada por , de ecuaciones con números k . La primera operación es equivalente a multiplicar el sistema de ecuaciones de la izquierda por la matriz diagonal

la segunda operación es equivalente a la multiplicación de la izquierda por la matriz

Así, el sistema (2) obtenido como resultado de estas transformaciones se puede escribir como

El producto de matrices triangulares izquierda (derecha) es una matriz triangular izquierda (derecha), por lo que C es una matriz triangular izquierda. De la fórmula para los elementos de la matriz inversa.

se sigue que la matriz inversa a una triangular izquierda (derecha) es una triangular izquierda (derecha). Por lo tanto, la matriz queda triangular.

Introduzcamos la notación . Según la construcción, todo y la matriz D son triangulares rectángulos. De aquí obtenemos la representación de la matriz A como producto de las matrices triangulares izquierda y derecha:

La igualdad, junto con la condición , forma un sistema de ecuaciones con respecto a los elementos de las matrices triangulares B y : . Como para y para , este sistema se puede escribir como

(3)

o, lo que es lo mismo,

Usando la condición de que todos obtengamos un sistema de relaciones de recurrencia para determinar los elementos y:

Los cálculos se realizan secuencialmente para conjuntos. Aquí y a continuación, en el caso de que el límite superior de la suma sea menor que el inferior, se supone que la suma total es igual a cero.

Así, en lugar de transformaciones sucesivas del sistema (1) a la forma (2), se pueden calcular directamente las matrices B y usando las fórmulas (4). Estos cálculos solo se pueden realizar si todos los elementos son distintos de cero. Sean matrices de principales menores del orden de las matrices A, B, D. Según (3) . Porque entonces . Por eso,

Entonces, para realizar los cálculos de acuerdo con las fórmulas (4), es necesario y suficiente cumplir las condiciones

En algunos casos, se sabe de antemano que se cumple la condición (5). Por ejemplo, muchos problemas de física matemática se reducen a resolver sistemas con una matriz definida positiva A. Sin embargo, en caso general esto no se puede decir de antemano. Tal caso también es posible: todo, pero entre las cantidades hay muy pequeñas, y al dividirlas se obtendrán números grandes con errores absolutos grandes. Como resultado, la solución estará fuertemente distorsionada.

Denotemos. Como y , entonces las igualdades se mantienen. Así, después de descomponer la matriz del sistema original en el producto de matrices triangulares izquierda y derecha, la solución del sistema original se reduce a la solución secuencial de dos sistemas con matrices triangulares; esto requeriría operaciones aritméticas.

A menudo es conveniente combinar la secuencia de operaciones para descomponer la matriz A en el producto de matrices triangulares y para determinar el vector d. ecuaciones

Los sistemas se pueden escribir como

Por lo tanto, los valores se pueden calcular simultáneamente con el resto de valores utilizando las fórmulas (4).

Cuando se resuelven problemas prácticos, a menudo se vuelve necesario resolver sistemas de ecuaciones con una matriz que contiene una gran cantidad de elementos cero.

Típicamente, estas matrices tienen la llamada estructura de bandas. Más precisamente, la matriz A se llama -diagonal o tiene una estructura de banda, si en . El número se llama el ancho de la cinta. Resulta que al resolver un sistema de ecuaciones con una matriz de cinta por el método de Gauss, la cantidad de operaciones aritméticas y la cantidad requerida de memoria de la computadora pueden reducirse significativamente.

Tarea 1. Investigar las características del método de Gauss y el método para resolver el sistema mediante la descomposición de la matriz de banda A en el producto de las matrices triangulares izquierda y derecha. Muestre que se requieren operaciones aritméticas para encontrar la solución (para ). Encuentre el miembro principal del número de operaciones bajo la condición .

Tarea 2. Estime la cantidad de memoria de computadora cargada en el método de Gauss para matrices de banda.

Al calcular sin la ayuda de una computadora, existe una alta probabilidad errores aleatorios. Para eliminar tales errores, a veces se introduce un sistema de control que consta de elementos de control de las ecuaciones del sistema.

Al transformar ecuaciones, se realizan las mismas operaciones sobre los elementos de control que sobre los miembros libres de las ecuaciones. Como resultado, el elemento de control de cada nueva ecuación debe ser igual a la suma de los coeficientes de esta ecuación. Una gran discrepancia entre ellos indica errores en los cálculos o la inestabilidad del algoritmo de cálculo en relación con el error de cálculo.

Por ejemplo, en el caso de llevar el sistema de ecuaciones a la forma usando las fórmulas (4), el elemento de control de cada una de las ecuaciones del sistema se calcula usando las mismas fórmulas (4). Después de calcular todos los elementos en un control fijo se lleva a cabo comprobando la igualdad

El curso inverso del método de Gauss también se acompaña del cálculo de los elementos de control de las filas del sistema.

Para evitar la influencia catastrófica del error de cálculo, se utiliza el método de Gauss con la elección del elemento principal.

Su diferencia con el esquema del método gaussiano descrito anteriormente es la siguiente. Sea, en el curso de la eliminación de las incógnitas, el sistema de ecuaciones

Encontremos tal que y re-denotemos y ; luego eliminaremos la incógnita de todas las ecuaciones, comenzando con . Tal redesignación conduce a un cambio en el orden de eliminación de las incógnitas y, en muchos casos, reduce significativamente la sensibilidad de la solución a los errores de redondeo en los cálculos.

A menudo se requiere resolver varios sistemas de ecuaciones , con la misma matriz A. Es conveniente proceder de la siguiente manera: introduciendo la notación

Realicemos cálculos usando las fórmulas (4), y calculemos los elementos en . Como resultado se obtendrán p sistemas de ecuaciones de matriz triangular, correspondientes al problema original

Resolvemos estos sistemas cada uno por separado. Resulta que el número total de operaciones aritméticas para resolver p sistemas de ecuaciones de esta manera es .

La técnica descrita anteriormente se utiliza en ocasiones para obtener un juicio sobre el error de la solución, que es consecuencia de errores de redondeo en los cálculos, sin costes adicionales significativos. Vienen dados por el vector z con componentes que tienen, si es posible, el mismo orden y signo que los componentes de la solución deseada; a menudo debido a la falta de información suficiente que toman. Se calcula el vector y, junto con el sistema original de ecuaciones, se resuelve el sistema.

Sean yz soluciones realmente obtenidas de estos sistemas. El juicio sobre el error de la solución deseada se puede obtener con base en la hipótesis: los errores relativos al resolver por el método de eliminación de sistemas con la misma matriz y diferentes lados derechos, que son, respectivamente, los valores y , difieren no por un gran número de veces.

Otra técnica para obtener un juicio sobre el valor real del error que surge debido al redondeo en los cálculos es cambiar la escala, lo que cambia la imagen de la acumulación del error computacional.

Junto con el sistema original, el sistema se resuelve por el mismo método

Para y , que no son potencias enteras de dos, la comparación de los vectores da una idea de la magnitud del error de cálculo. Por ejemplo, puede tomar.

El estudio de muchos problemas lleva a la necesidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales con una matriz definida positiva simétrica. Estos sistemas surgen, por ejemplo, al resolver ecuaciones diferenciales método de elementos finitos o métodos de diferencias finitas. En estos casos, la matriz del sistema también tiene una estructura de bandas.

El método raíz cuadrada(Método de Cholesky). La matriz A se representa como

donde S es una matriz triangular recta, es su conjugada, es decir

siendo todo una matriz diagonal con elementos iguales o -1. La igualdad matricial (6) forma un sistema de ecuaciones

Se descartan ecuaciones similares para , ya que las ecuaciones correspondientes a los pares y son equivalentes. De aquí obtenemos fórmulas recurrentes para determinar los elementos y:

La matriz S es triangular rectángulo, por lo que, tras obtener la representación (6), la solución del sistema original también se reduce a la solución Secuencial de dos sistemas con matrices triangulares. Tenga en cuenta que en el caso de todos y .

Tarea 3. Estimar el número de operaciones aritméticas y la carga de la memoria de la computadora (suponiendo que la cantidad de memoria requerida para almacenar la matriz A disminuye) al resolver un sistema con una matriz A definida positiva real por el método de la raíz cuadrada.

Muchos paquetes de software para resolver problemas de valores en la frontera de la física matemática mediante el método de elementos finitos están organizados de acuerdo con el siguiente esquema. Después de que la matriz del sistema A se forma reorganizando filas y columnas (tanto las filas como las columnas se reorganizan simultáneamente), el sistema se convierte al formulario con el ancho de cinta más pequeño. A continuación, se aplica el método de la raíz cuadrada. Al mismo tiempo, para reducir la cantidad de cálculos al resolver un sistema con otros lados derechos, se memoriza la matriz S.