Considere las oscilaciones de un peso m sobre un resorte con coeficiente de rigidez k, que se encuentra sobre una mesa horizontal plana, suponiendo que no hay fricción del peso sobre la superficie de la mesa. Si el peso se retira de la posición de equilibrio, oscilará alrededor de esta posición. Describiremos estas oscilaciones mediante una función dependiente del tiempo, suponiendo que determina la desviación del peso de su posición de equilibrio en el tiempo t.

En dirección horizontal, solo actúa una fuerza sobre el peso: la fuerza elástica del resorte, determinada por la conocida ley de Hooke.

La deformación del resorte es función del tiempo, por lo que también es una variable.

De la segunda ley de Newton tenemos

porque la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento: .

La ecuación (9) se puede reescribir en la forma

Dónde. Esta ecuación se llama ecuación oscilador armónico.

Comentario. En la literatura matemática, al escribir una ecuación diferencial, generalmente no se indica el argumento (t) cerca de todas las funciones que dependen de él. Esta dependencia se asume de forma predeterminada. Cuando se utiliza el paquete matemático Maple en (10), es necesario indicar la dependencia explícita de la función.

A diferencia del ejemplo anterior de movimiento corporal bajo la acción de una fuerza constante, en nuestro caso la fuerza cambia con el tiempo y la ecuación (10) ya no se puede resolver mediante el procedimiento de integración habitual. Intentemos adivinar la solución de esta ecuación, sabiendo que describe algún proceso oscilatorio. Como una de las posibles soluciones a la ecuación (10), podemos elegir la siguiente función:

Función diferenciadora (11), tenemos

Sustituyendo la expresión (12) en la ecuación (10), nos aseguramos de que se cumpla idénticamente para cualquier valor de t.

Sin embargo, la función (11) no es la única solución a la ecuación del oscilador armónico. Por ejemplo, se puede elegir una función como otra solución, lo que también es fácil de comprobar de forma similar. Además, se puede comprobar que cualquier combinación lineal de estas dos soluciones nombradas aleatoriamente

con coeficientes constantes A y B también es una solución a la ecuación del oscilador armónico.

Se puede demostrar que la solución de dos constantes (13) es la solución general de la ecuación del oscilador armónico (10). Esto significa que la fórmula (13) agota todas las soluciones posibles a esta ecuación. En otras palabras, la ecuación del oscilador armónico no tiene otras soluciones particulares, excepto las obtenidas a partir de la fórmula (13) fijando constantes arbitrarias A y B.

Tenga en cuenta que en física la mayoría de las veces es necesario buscar sólo algunas soluciones particulares de EDO individuales o de sus sistemas. Consideremos esta pregunta con más detalle.

Es posible excitar oscilaciones en el sistema de peso de un resorte que estamos considerando. diferentes caminos. Establezcamos las siguientes condiciones iniciales

Esto significa que en el momento inicial, el peso fue retirado de la posición de equilibrio en un valor a y liberado libremente (es decir, comienza su movimiento con velocidad inicial cero). Se pueden imaginar muchas otras formas de excitación, por ejemplo, a un peso en la posición de equilibrio se le da cierta velocidad inicial mediante un "clic", etc. [ caso general, ].

Consideramos las condiciones iniciales (14) como algunas condiciones adicionales para separar de la solución general (13) alguna solución particular correspondiente a nuestro método de excitación de las oscilaciones de peso.

Suponiendo t=0 en la expresión (13), tenemos, de donde se sigue que B=a. Por tanto, hemos encontrado una de las constantes previamente arbitrarias en la solución (13). Además, diferenciando en la fórmula (13), tenemos

Suponiendo t=0 en esta expresión y teniendo en cuenta la segunda condición inicial de (14), obtenemos, de ahí se sigue que A=0 y, por tanto, la solución particular inicial tiene la forma

Describe el modo oscilatorio del sistema mecánico considerado, que está determinado por las condiciones de la excitación inicial (14).

Se sabe por el curso de física de la escuela que en la fórmula (16) a es la amplitud de las oscilaciones (establece la desviación máxima del peso de su posición de equilibrio), es la frecuencia cíclica y es la fase de las oscilaciones (la fase inicial resulta ser igual a cero).

La ecuación del oscilador armónico (10) es un ejemplo de una EDO lineal. Esto significa que la función desconocida y todas sus derivadas están incluidas en cada término de la ecuación en primer grado. Las ecuaciones diferenciales lineales tienen una propiedad distintiva extremadamente importante: satisfacen el principio de superposición. Esto significa que cualquier combinación lineal de dos soluciones cualesquiera de una EDO lineal también es su solución.

En el ejemplo de la ecuación del oscilador armónico que estamos considerando, una combinación lineal arbitraria de dos soluciones particulares no es solo una solución nueva, sino una solución general de esta ecuación (agota todas sus soluciones posibles).

En general, este no es el caso. Por ejemplo, si estuviéramos tratando con una ecuación diferencial lineal de tercer orden (es decir, si la ecuación incluyera una derivada de tercer orden), entonces una combinación lineal de dos de sus soluciones particulares también sería una solución para esta ecuación, pero no representarlo decisión común.

En el curso de ecuaciones diferenciales, se demuestra un teorema de que la solución general de una EDO de enésimo orden (lineal o no lineal) depende de N constantes arbitrarias. En el caso de una ecuación no lineal, estas constantes arbitrarias pueden entrar en la solución general (a diferencia de (13)), de forma no lineal.

El principio de superposición juega un papel extremadamente importante en la teoría de las EDO, ya que puede usarse para construir una solución general de una ecuación diferencial en forma de superposición de sus soluciones particulares. Por ejemplo, para el caso de las EDO lineales con coeficientes constantes y sus sistemas (la ecuación del oscilador armónico pertenece precisamente a este tipo de ecuaciones), se ha desarrollado un método de solución general en la teoría de ecuaciones diferenciales. Su esencia es la siguiente. Estamos buscando una solución particular en la forma. Como resultado de su sustitución en la ecuación original, todos los factores dependientes del tiempo se cancelan y llegamos a alguna ecuación característica, que para la EDO de enésimo orden es ecuación algebraica Enésimo grado. Al resolverlo, encontramos, por lo tanto, todas las posibles soluciones particulares, cuya combinación lineal arbitraria da la solución general de la EDO original. No nos detendremos más en este tema y remitimos al lector a los libros de texto relevantes sobre teoría de ecuaciones diferenciales, donde puede encontrar más detalles, en particular, el caso en el que una ecuación característica contiene múltiples raíces.

Si se considera una EDO lineal con coeficientes variables (sus coeficientes dependen del tiempo), entonces el principio de superposición también es válido, pero ya no es posible construir una solución general a esta ecuación de forma explícita mediante ningún método estándar. Volveremos a este tema más adelante, discutiendo el fenómeno de la resonancia paramétrica y la ecuación de Mathieu relacionada con su estudio.

Quizás el sistema mecánico más simple cuyo movimiento se describe mediante una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes sea una masa sobre un resorte. Después de colgar un peso del resorte, se estirará un poco para equilibrar la fuerza de gravedad. Sigamos ahora las desviaciones verticales de la masa desde la posición de equilibrio (figura 21.1). Denotamos las desviaciones hacia arriba de la posición de equilibrio por y asumimos que estamos ante un resorte perfectamente elástico. En este caso, las fuerzas que se oponen al estiramiento son directamente proporcionales al estiramiento. Esto significa que la fuerza es igual (el signo menos nos recuerda que la fuerza se opone a los desplazamientos). Por tanto, la aceleración multiplicada por la masa debería ser igual a

Para simplificar, supongamos que sucedió (o cambiamos el sistema de unidades según sea necesario) que. Tenemos que resolver la ecuación.

Higo. 21.1. Un peso suspendido sobre un resorte. Un ejemplo sencillo de oscilador armónico.

Después de eso, volvemos a la ecuación (21.2), en la que y están contenidos explícitamente.

Ya nos encontramos con la ecuación (21.3) cuando comenzamos a estudiar mecánica. Lo resolvimos numéricamente para encontrar el movimiento. Por integración numérica, hemos encontrado una curva que muestra que si la partícula inicialmente está desequilibrada, pero en reposo, luego regresa a la posición de equilibrio. No seguimos la partícula después de que alcanzó la posición de equilibrio, pero está claro que no se detendrá allí, sino que oscilará (oscilará). Con integración numérica encontramos el tiempo para volver al punto de equilibrio: . La duración de un ciclo completo es cuatro veces mayor: "seg". Todo esto lo encontramos por integración numérica, porque no sabíamos resolverlo mejor. Pero los matemáticos nos han dado una determinada función que, si se diferencia dos veces, entra en sí misma, multiplicada por . (Por supuesto, puedes hacer el cálculo directo de dichas funciones, pero esto es mucho más difícil que simplemente encontrar la respuesta).

Esta función es: . Diferenciémoslo: , a . En el momento inicial, y la velocidad inicial es igual a cero; Estas son exactamente las suposiciones que hicimos en la integración numérica. Ahora, sabiendo que , encontramos el valor exacto del tiempo en el que . Respuesta: , o 1.57108. Cometimos un error antes en el último signo, porque la integración numérica era aproximada, ¡pero el error es muy pequeño!

Para continuar, volvamos al sistema de unidades, donde el tiempo se mide en segundos reales. ¿Cuál será la solución en este caso? ¿Quizás tengamos en cuenta las constantes y multipliquemos por el factor correspondiente? Intentemos. deja entonces Y . Para nuestro disgusto, no logramos resolver la ecuación (21.2), pero volvimos nuevamente a (21.3). Pero hemos descubierto la propiedad más importante de las ecuaciones diferenciales lineales: si multiplicamos la solución de la ecuación por una constante, obtenemos nuevamente la solución. Está matemáticamente claro por qué. Si hay una solución para la ecuación, entonces después de multiplicar ambas partes de la ecuación por las derivadas, también se multiplicarán por y, por lo tanto, satisfarán la ecuación tan bien como . Escuchemos lo que el físico tiene que decir al respecto. Si el peso estira el resorte el doble que antes, entonces la fuerza se duplicará, la aceleración se duplicará, la velocidad adquirida será el doble de la velocidad anterior y, al mismo tiempo, el peso cubrirá el doble de distancia. Pero esto es el doble de la distancia, exactamente la misma distancia que el peso necesita para llegar a la posición de equilibrio. Por tanto, se necesita la misma cantidad de tiempo para alcanzar el equilibrio y no depende del sesgo inicial. En otras palabras, si el movimiento se describe ecuación lineal, entonces, independientemente de la "fuerza", se desarrollará con el tiempo de la misma manera.

El error nos hizo bien: aprendimos que multiplicando la solución por una constante obtenemos la solución de la ecuación anterior. Después de algunas pruebas y errores, puedes llegar a la conclusión de que, en lugar de manipular, necesitas cambiar la escala de tiempo. En otras palabras, la ecuación (21.2) debe tener una solución de la forma

(Aquí no es la velocidad angular de un cuerpo en rotación, pero no tendremos suficientes alfabetos si cada valor se denota con una letra especial). Hemos proporcionado el índice 0 aquí, porque todavía tenemos muchos más omegas que cumplir: Recuerde lo que corresponde al movimiento natural del oscilador. Un intento de utilizar (21.4) como solución tiene más éxito porque Y . Finalmente resolvimos la ecuación que queríamos resolver. Esta ecuación coincide con (21.2) si .

Ahora necesitamos entender el significado físico. Sabemos que el coseno "se repite" después de que el ángulo cambia a . Por tanto será movimiento periódico; un ciclo completo de este movimiento corresponde a un cambio en el "ángulo" de . A esta cantidad a menudo se le llama fase del movimiento. Para cambiar a , debe cambiar a (período de pleno funcionamiento); por supuesto, se encuentra a partir de la ecuación. Esto significa que necesita calcular para un ciclo, y todo se repetirá si aumenta en ; en este caso aumentaremos la fase en . De este modo,

. (21.5)

Esto significa que cuanto mayor sea el peso, más lento oscilará el resorte hacia adelante y hacia atrás. La inercia en este caso será mayor y, si la fuerza no cambia, se necesitará más tiempo para acelerar y desacelerar la carga. Si toma un resorte más rígido, entonces el movimiento debería ser más rápido; y de hecho, el período disminuye al aumentar la constante primaveral.

Observemos ahora que el período de oscilación de la masa sobre el resorte no depende de cómo comienzan las oscilaciones. Para la primavera, parece indiferente cuánto la estiremos. La ecuación de movimiento (21.2) determina el período de oscilación, pero no dice nada sobre la amplitud de la oscilación. Por supuesto, la amplitud de la oscilación se puede determinar, y ahora nos ocuparemos de ello, pero para ello es necesario establecer las condiciones iniciales.

La cuestión es que todavía no hemos encontrado la solución más general de la ecuación (21.2). Hay varios tipos de soluciones. La solución corresponde al caso en que en el momento inicial el resorte se estira y su velocidad es igual a cero. Se puede hacer que el resorte se mueva de otra manera, por ejemplo, aprovechar el momento en que el resorte equilibrado está en reposo y golpear bruscamente el peso; esto significará que en este momento se informa cierta velocidad al resorte. Tal movimiento corresponderá a otra solución (21.2): el coseno debe ser reemplazado por un seno. Arrojemos una piedra más al coseno: si - solución, entonces, entrando en la habitación donde se balancea el resorte, en el momento (llamémoslo ""), cuando el peso pasa por la posición de equilibrio, nos veremos obligados a reemplazar este solución con otra. Por tanto, no puede haber una solución general; la solución general debe permitir, por así decirlo, el desplazamiento del origen del tiempo. Tal propiedad tiene, por ejemplo, la solución , donde hay alguna constante. Además, se puede descomponer la llamada frecuencia angular; es el número de radianes que cambia la fase en 1 segundo. Está determinado por una ecuación diferencial. Otras cantidades no están determinadas por la ecuación, sino que dependen de condiciones iniciales. La constante sirve como medida de la desviación máxima de la carga y se denomina amplitud de oscilación. A la constante a veces se le llama fase de oscilación, pero puede haber malentendidos aquí, porque otros llaman a la fase y dicen que la fase depende del tiempo. Podemos decir que este es un cambio de fase en comparación con algunos, tomado como cero. No discutamos sobre palabras. Diferentes corresponden a movimientos con diferentes fases. Esto es cierto, pero llamarlo fase o no es otra cuestión.

Descubrimientos en el campo cuántico y otras áreas. Al mismo tiempo, se inventan nuevos dispositivos y dispositivos a través de los cuales es posible realizar diversos estudios y explicar los fenómenos del micromundo. Uno de estos mecanismos es el oscilador armónico, cuyo principio era conocido incluso por representantes de civilizaciones antiguas.

El dispositivo y sus tipos.

Un oscilador armónico es un sistema mecánico en movimiento, que se describe mediante un diferencial con coeficientes de valor constante. Mayoría ejemplos simples tales dispositivos: una carga sobre un resorte, un péndulo, sistemas acústicos, el movimiento de partículas moleculares, etc.

Convencionalmente, se pueden distinguir los siguientes tipos de este dispositivo:

Aplicación del dispositivo

Este dispositivo se utiliza en varios campos, principalmente para estudiar la naturaleza de los sistemas oscilatorios. El oscilador armónico cuántico se utiliza para estudiar el comportamiento de elementos fotónicos. Los resultados de los experimentos se pueden utilizar en varios campos. Así, los físicos del Instituto Americano descubrieron que los átomos de berilio, ubicados a distancias bastante grandes entre sí, pueden interactuar a nivel cuántico. Al mismo tiempo, el comportamiento de estas partículas es similar al de los cuerpos (bolas de metal) en el macrocosmos, moviéndose en un orden de avance-retorno, similar a un oscilador armónico. Los iones de berilio, a pesar de ser físicamente largas distancias, intercambió las unidades más pequeñas de energía (cuantos). Este descubrimiento permite avanzar significativamente en las tecnologías de la información y también proporciona una nueva solución en la producción de equipos informáticos y electrónicos.

El oscilador armónico se utiliza en la evaluación de obras musicales. Este método se llama examen espectroscópico. Al mismo tiempo, se encontró que el sistema más estable es una composición de cuatro músicos (un cuarteto). Y las obras modernas son en su mayoría anarmónicas.

OSCILACIONES ARMÓNICAS

Conferencia 1

VASCULACIÓN

VASCULACIÓN. ONDAS. ÓPTICA

La oscilación es uno de los procesos más comunes en la naturaleza y la tecnología. Las fluctuaciones son procesos que se repiten en el tiempo. Los edificios de gran altura y los cables de alta tensión oscilan bajo la influencia del viento, el péndulo de un reloj de cuerda y de un automóvil sobre resortes durante el movimiento, el nivel del río durante el año y la temperatura del cuerpo humano durante la enfermedad. El sonido son fluctuaciones en la presión del aire, las ondas de radio son cambios periódicos en la fuerza de las fuerzas eléctricas y campo magnético, la luz también es oscilaciones electromagnéticas. Terremotos (vibraciones del suelo, flujos y reflujos), cambios en los niveles de los mares y océanos provocados por la atracción de la luna, etc.

Las oscilaciones son mecánicas, electromagnéticas, químicas, termodinámicas, etc. A pesar de tal variedad, todas las oscilaciones se describen mediante las mismas ecuaciones diferenciales.

Los primeros científicos que estudiaron las vibraciones fueron Galileo Galilei y Christian Huygens. Galileo estableció la independencia del período de oscilaciones de la amplitud. Huygens inventó el reloj de péndulo.

Cualquier sistema que, cuando está ligeramente desequilibrado, oscila de manera constante se llama oscilador armónico. En la física clásica, tales sistemas son un péndulo matemático con pequeños ángulos de desviación, una carga con pequeñas amplitudes de oscilación, un circuito eléctrico que consta de elementos lineales de capacitancia e inductancia.

Un oscilador armónico puede considerarse lineal si el desplazamiento desde la posición de equilibrio es directamente proporcional a la fuerza perturbadora. La frecuencia de oscilación de un oscilador armónico no depende de la amplitud. Para el oscilador, se cumple el principio de superposición: si actúan varias fuerzas perturbadoras, entonces el efecto de su acción total se puede obtener sumando los efectos de fuerzas activas por separado.

Las oscilaciones armónicas se describen mediante la ecuación (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Dónde X- desplazamiento del valor oscilante desde la posición de equilibrio, A– amplitud de oscilaciones igual al valor del desplazamiento máximo, - fase de oscilaciones, que determina el desplazamiento en el tiempo, - fase inicial, que determina la magnitud del desplazamiento en el momento inicial, - frecuencia cíclica de las oscilaciones.

El tiempo de una oscilación completa se llama período, donde es el número de oscilaciones completadas durante el tiempo.

La frecuencia de oscilación determina el número de oscilaciones por unidad de tiempo, está relacionada con la frecuencia cíclica mediante la relación y luego con el período.

La velocidad de un punto material oscilante.

aceleración

Por tanto, la velocidad y la aceleración del oscilador armónico también cambian según la ley armónica con amplitudes y respectivamente. En este caso, la velocidad está por delante del desplazamiento de fase en y la aceleración, en (Fig. 1.1.2).

De una comparación de las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico (1.1.1) y (1.1.2) se deduce que, o

Este ecuación diferencial El segundo orden se llama ecuación del oscilador armónico. Su solución contiene dos constantes. A y , que se determinan estableciendo las condiciones iniciales

.

Si un proceso que se repite periódicamente se describe mediante ecuaciones que no coinciden con (1.1.1), se llama anarmónico. Un sistema que realiza oscilaciones anarmónicas se llama oscilador anarmónico.

1.1.2 . Oscilaciones libres de sistemas con un grado de libertad. forma compleja representaciones de vibraciones armónicas

En la naturaleza son muy comunes las pequeñas oscilaciones que realiza un sistema cerca de su posición de equilibrio. Si un sistema desequilibrado se deja solo, es decir, no actúan fuerzas externas sobre él, entonces dicho sistema realizará oscilaciones libres y no amortiguadas. Considere un sistema con un grado de libertad.

Un equilibrio estable corresponde a una posición del sistema en la que su energía potencial tiene un mínimo ( q es la coordenada generalizada del sistema). La desviación del sistema de la posición de equilibrio conduce al surgimiento de una fuerza que tiende a hacer que el sistema regrese. Denotamos el valor de la coordenada generalizada correspondiente a la posición de equilibrio, luego la desviación de la posición de equilibrio

Contaremos la energía potencial a partir del valor mínimo. Tomemos la función resultante, la expandamos en una serie de Maclaurin y dejemos el primer término del desarrollo, tenemos: o

VASCULACIÓN. ONDAS. ÓPTICA

VASCULACIÓN

Conferencia 1

OSCILACIONES ARMÓNICAS

Oscilador armónico ideal. Ecuación del oscilador ideal y su solución. Amplitud, frecuencia y fase de oscilaciones.

La oscilación es uno de los procesos más comunes en la naturaleza y la tecnología. Las fluctuaciones son procesos que se repiten en el tiempo. Los edificios de gran altura y los cables de alta tensión oscilan bajo la influencia del viento, el péndulo de un reloj de cuerda y de un automóvil sobre resortes durante el movimiento, el nivel del río durante el año y la temperatura del cuerpo humano durante la enfermedad. El sonido son fluctuaciones en la presión del aire, las ondas de radio son cambios periódicos en la intensidad de los campos eléctricos y magnéticos, la luz también son vibraciones electromagnéticas. Terremotos (vibraciones del suelo, flujos y reflujos), cambios en los niveles de los mares y océanos provocados por la atracción de la luna, etc.

Las oscilaciones son mecánicas, electromagnéticas, químicas, termodinámicas, etc. A pesar de tal variedad, todas las oscilaciones se describen mediante las mismas ecuaciones diferenciales.

Los primeros científicos que estudiaron las vibraciones fueron Galileo Galilei y Christian Huygens. Galileo estableció la independencia del período de oscilaciones de la amplitud. Huygens inventó el reloj de péndulo.

Cualquier sistema que, cuando está ligeramente desequilibrado, oscila de manera constante se llama oscilador armónico. En la física clásica, tales sistemas son un péndulo matemático con pequeños ángulos de desviación, una carga con pequeñas amplitudes de oscilación, un circuito eléctrico que consta de elementos lineales de capacitancia e inductancia.

Un oscilador armónico puede considerarse lineal si el desplazamiento desde la posición de equilibrio es directamente proporcional a la fuerza perturbadora. La frecuencia de oscilación de un oscilador armónico no depende de la amplitud. Para el oscilador, se cumple el principio de superposición: si actúan varias fuerzas perturbadoras, entonces el efecto de su acción total se puede obtener sumando los efectos de las fuerzas actuantes por separado.

Las oscilaciones armónicas se describen mediante la ecuación (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Dónde X- desplazamiento del valor oscilante desde la posición de equilibrio, A– amplitud de oscilaciones igual al valor del desplazamiento máximo, - fase de oscilaciones, que determina el desplazamiento en el tiempo, - fase inicial, que determina la magnitud del desplazamiento en el momento inicial, - frecuencia cíclica de las oscilaciones.

El tiempo de una oscilación completa se llama período, donde es el número de oscilaciones completadas durante el tiempo.

La frecuencia de oscilación determina el número de oscilaciones por unidad de tiempo, está relacionada con la frecuencia cíclica mediante la relación y luego con el período.

La velocidad de un punto material oscilante.

aceleración

Por tanto, la velocidad y la aceleración del oscilador armónico también cambian según la ley armónica con amplitudes y respectivamente. En este caso, la velocidad está por delante del desplazamiento de fase en y la aceleración, en (Fig. 1.1.2).

De una comparación de las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico (1.1.1) y (1.1.2) se deduce que, o

Esta ecuación diferencial de segundo orden se llama ecuación del oscilador armónico. Su solución contiene dos constantes. A y , que se determinan estableciendo las condiciones iniciales

.

Si un proceso que se repite periódicamente se describe mediante ecuaciones que no coinciden con (1.1.1), se llama anarmónico. Un sistema que realiza oscilaciones anarmónicas se llama oscilador anarmónico.

1.1.2 . Oscilaciones libres de sistemas con un grado de libertad. Forma compleja de representación de oscilaciones armónicas.

En la naturaleza son muy comunes las pequeñas oscilaciones que realiza un sistema cerca de su posición de equilibrio. Si un sistema desequilibrado se deja solo, es decir, no actúan fuerzas externas sobre él, entonces dicho sistema realizará oscilaciones libres y no amortiguadas. Considere un sistema con un grado de libertad.

Un equilibrio estable corresponde a una posición del sistema en la que su energía potencial tiene un mínimo ( q es la coordenada generalizada del sistema). La desviación del sistema de la posición de equilibrio conduce al surgimiento de una fuerza que tiende a hacer que el sistema regrese. Denotamos el valor de la coordenada generalizada correspondiente a la posición de equilibrio, luego la desviación de la posición de equilibrio

Contaremos la energía potencial a partir del valor mínimo. Tomemos la función resultante, la expandamos en una serie de Maclaurin y dejemos el primer término del desarrollo, tenemos: o

,

Dónde . Luego, teniendo en cuenta la notación introducida:

, (1.1.4)

Teniendo en cuenta la expresión (1.1.4) para la fuerza que actúa sobre el sistema, obtenemos:

Según la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento del sistema tiene la forma:

La expresión (1.1.5) coincide con la ecuación (1.1.3) de oscilaciones armónicas libres, siempre que

y tiene dos soluciones independientes: y , por lo que la solución general es:

,

De la fórmula (1.1.6) se deduce que la frecuencia está determinada únicamente por las propiedades intrínsecas del sistema mecánico y no depende de la amplitud ni de las condiciones iniciales de movimiento.

La dependencia de las coordenadas del sistema oscilante con el tiempo se puede determinar como la parte real de una expresión compleja. , Dónde A=Xe-iα es una amplitud compleja, su módulo coincide con la amplitud habitual y su argumento coincide con la fase inicial.

1.1.3 . Ejemplos de movimientos oscilatorios de diversa naturaleza física.

Fluctuaciones de la carga sobre el resorte.

Considere las vibraciones de una carga sobre un resorte, siempre que el resorte no se deforme más allá de los límites de elasticidad. Demostraremos que dicha carga realizará oscilaciones armónicas con respecto a la posición de equilibrio (Fig. 1.1.3). De hecho, según la ley de Hooke, un resorte comprimido o estirado crea una fuerza armónica:

Dónde - coeficiente de rigidez del resorte, es la coordenada de la posición de equilibrio, X es la coordenada de la carga (punto material) en el momento del tiempo, es el desplazamiento desde la posición de equilibrio.

Coloquemos el origen de la coordenada en la posición de equilibrio del sistema. En este caso .

Si el resorte se estira por X, luego suelte en el momento t=0, entonces la ecuación de movimiento de la carga según la segunda ley de Newton tomará la forma -kx=ma, o , Y

(1.1.6)

Esta ecuación coincide en forma con la ecuación de movimiento (1.1.3) de un sistema que realiza oscilaciones armónicas, buscaremos su solución en la forma:

. (1.1.7)

Sustituimos (1.17) en (1.1.6), tenemos: es decir, la expresión (1.1.7) es una solución a la ecuación (1.1.6) siempre que

Si en el momento inicial la posición de la carga era arbitraria, entonces la ecuación de movimiento tomará la forma:

.

Consideremos cómo cambia la energía de la carga, produciendo oscilaciones armónicas en ausencia de fuerzas externas (figura 1.14). si en ese momento t=0 enviar compensación a carga x=A, entonces su energía total será igual a la energía potencial del resorte deformado, la energía cinética será igual a cero (punto 1).

Fuerza que actúa sobre la carga. F= -kx, buscando devolverla a la posición de equilibrio, por lo que la carga se mueve con aceleración y aumenta su velocidad y, en consecuencia, su energía cinética. Esta fuerza reduce el desplazamiento de la carga. X, la energía potencial de la carga disminuye, volviéndose cinética. El sistema “carga – resorte” es cerrado, por lo que se conserva su energía total, es decir:

. (1.1.8)

En ese momento, la carga se encuentra en la posición de equilibrio (punto 2), su energía potencial es cero y su energía cinética es máxima. Encontramos la velocidad máxima de la carga a partir de la ley de conservación de la energía (1.1.8):

Debido al stock de energía cinética, la carga trabaja contra la fuerza elástica. – y pasa por la posición de equilibrio. La energía cinética se convierte gradualmente en potencial. Cuando la carga tiene un desplazamiento negativo máximo - A, energía cinética semana=0, la carga se detiene y comienza a moverse a la posición de equilibrio bajo la acción de una fuerza elástica F= -kx. El movimiento adicional es similar.

Péndulos

Bajo el péndulo entender sólido que, bajo la acción de la gravedad, oscila alrededor de un punto o eje fijo. Hay péndulos físicos y matemáticos.

Un péndulo matemático es un sistema idealizado que consiste en un hilo ingrávido e inextensible del que se suspende una masa concentrada en un punto material.

Un péndulo matemático, por ejemplo, es una bola suspendida de un hilo largo y delgado.

La desviación del péndulo de la posición de equilibrio se caracteriza por el ángulo φ , que forma un hilo con una vertical (Fig. 1.15). Cuando el péndulo se desvía de la posición de equilibrio, surge un momento de fuerzas externas (gravedad): , Dónde metro- peso, - longitud del péndulo

Este momento tiende a devolver el péndulo a la posición de equilibrio (similar a la fuerza cuasi elástica) y está dirigido en dirección opuesta al desplazamiento. φ , por lo que hay un signo menos en la fórmula.

La ecuación para la dinámica del movimiento de rotación de un péndulo tiene la forma: yoε=,

.

Consideraremos el caso de pequeñas fluctuaciones, por lo tanto pecado φ ≈φ, denotar ,

tenemos: , o , y finalmente

Esta es la ecuación de oscilaciones armónicas, su solución:

.

La frecuencia de oscilación de un péndulo matemático está determinada únicamente por su longitud y la aceleración de la gravedad, y no depende de la masa del péndulo. El período es:

Si el cuerpo oscilante no puede representarse como un punto material, entonces el péndulo se llama físico (figura 1.1.6). Escribimos la ecuación de su movimiento en la forma:

.

En el caso de pequeñas fluctuaciones , o =0 , donde . Esta es la ecuación de movimiento de un cuerpo que realiza oscilaciones armónicas. La frecuencia de oscilación de un péndulo físico depende de su masa, longitud y momento de inercia alrededor del eje que pasa por el punto de suspensión.

Denotemos. Valor se llama longitud reducida del péndulo físico. Ésta es la longitud de un péndulo matemático cuyo período de oscilación coincide con el período de un péndulo físico determinado. Un punto en una línea recta que conecta el punto de suspensión con el centro de masa, que se encuentra a una distancia de la longitud reducida del eje de rotación, se llama centro de oscilación de un péndulo físico ( ACERCA DE'). Si el péndulo está suspendido en el centro de la oscilación, entonces la longitud reducida y el período de oscilación serán los mismos que en el punto ACERCA DE. Por tanto, el punto de suspensión y el centro de giro tienen propiedades de reciprocidad: cuando el punto de suspensión se transfiere al centro de giro, el antiguo punto de suspensión se convierte en el nuevo centro de giro.

Un péndulo matemático que oscila con el mismo período que el físico considerado se llama isócrono al péndulo físico dado.

1.1.4. Adición de vibraciones (tiempos, figuras de Lissajous). Descripción vectorial de la adición de vibraciones.

La suma de oscilaciones igualmente dirigidas se puede realizar mediante el método de diagramas vectoriales. Cualquier oscilación armónica se puede representar como un vector de la siguiente manera. Elijamos un eje X con origen en el punto ACERCA DE(figura 1.1.7)

desde un punto ACERCA DE construir un vector que forme el ángulo con eje X. Dejemos que este vector gire con velocidad angular. Proyección de un vector sobre un eje X es igual a:

es decir, realiza oscilaciones armónicas con una amplitud A.

Consideremos dos oscilaciones armónicas de la misma dirección y del mismo tamaño cíclico, dadas por los vectores y. Desplazamientos a lo largo del eje X son iguales:

el vector resultante tiene una proyección y representa la oscilación resultante (Fig.1.1.8), según el teorema del coseno. Así, la suma de oscilaciones armónicas se realiza sumando los vectores.

Realicemos la suma de oscilaciones mutuamente perpendiculares. Deje que el punto material haga dos oscilaciones mutuamente perpendiculares con una frecuencia:

.

El propio punto material se moverá entonces a lo largo de una trayectoria curvilínea.

De la ecuación de movimiento se sigue: ,

. (1.1.9)

De la ecuación (1.1.9) se puede obtener la ecuación de la elipse (Fig.1.1.9):

Considere casos especiales de esta ecuación:

1. Diferencia de fase de oscilación α= 0. Al mismo tiempo aquellos. o Esta es la ecuación de una línea recta, y la oscilación resultante ocurre a lo largo de esta línea recta con amplitud (Figura 1.1.10).

su aceleración es igual a la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo entonces la fuerza que actúa sobre el punto oscilante, según la segunda ley de Newton, es igual a

Es decir, la fuerza es proporcional al desplazamiento. X y está dirigido contra el desplazamiento a la posición de equilibrio. Esta fuerza se llama fuerza restauradora. En el caso de una carga sobre un resorte, la fuerza de recuperación es la fuerza elástica; en el caso de un péndulo matemático, es la componente de la gravedad.

La fuerza restauradora por naturaleza obedece a la ley de Hooke. F= -kx, Dónde

es el coeficiente de la fuerza restauradora. Entonces la energía potencial del punto oscilante es:

(la constante de integración se elige igual a cero, de modo que cuando X).

Oscilador anarmónico