vector(o lineal) espacio- una estructura matemática, que es un conjunto de elementos, llamados vectores, para los cuales se definen las operaciones de suma entre sí y multiplicación por un número - un escalar. Estas operaciones están sujetas a ocho axiomas. Los escalares pueden ser elementos de un campo numérico real, complejo o de cualquier otro tipo. Un caso especial de tal espacio es el habitual espacio euclidiano tridimensional, cuyos vectores se utilizan, por ejemplo, para representar fuerzas físicas. Cabe señalar que un vector, como elemento de un espacio vectorial, no tiene que especificarse como un segmento dirigido. La generalización del concepto de "vector" a un elemento de un espacio vectorial de cualquier naturaleza no sólo no provoca confusión de términos, sino que permite comprender o incluso anticipar una serie de resultados válidos para espacios de naturaleza arbitraria. .

Los espacios vectoriales son objeto de estudio en álgebra lineal. Una de las principales características de un espacio vectorial es su dimensión. La dimensión es el número máximo de elementos linealmente independientes del espacio, es decir, recurriendo a un tosco interpretación geométrica, el número de direcciones inexpresables entre sí por medio de las operaciones de suma y multiplicación por un escalar. El espacio vectorial se puede dotar de estructuras adicionales, como la norma o el producto escalar. Tales espacios aparecen naturalmente en el cálculo, predominantemente en forma de infinitas dimensiones. (Inglés), donde los vectores son las funciones . Muchos problemas de análisis requieren averiguar si una secuencia de vectores converge a vector dado. La consideración de tales preguntas es posible en espacios vectoriales con estructura adicional, en la mayoría de los casos una topología adecuada, que permite definir los conceptos de proximidad y continuidad. Dichos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y Hilbert, permiten un estudio más profundo.

Los primeros trabajos que anticiparon la introducción del concepto de espacio vectorial datan del siglo XVII. Fue entonces cuando la geometría analítica, la doctrina de las matrices, los sistemas de ecuaciones lineales y los vectores euclidianos recibieron su desarrollo.

Definición [ | ]

Lineal, o espacio vectorial V (F) (\displaystyle V\izquierda(F\derecha)) sobre el campo F (\ estilo de visualización F) es un cuádruple ordenado (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), dónde

• V (\ estilo de visualización V)- un conjunto no vacío de elementos de naturaleza arbitraria, que se denominan vectores;
• F (\ estilo de visualización F)- un campo cuyos elementos se llaman escalares;
• Operación definida adiciones vectores V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), emparejando cada par de elementos x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) conjuntos V (\ estilo de visualización V) V (\ estilo de visualización V) llamándolos suma y denotado x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operación definida multiplicación de vectores por escalares F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), que coincide con cada elemento λ (\ estilo de visualización \ lambda) campos F (\ estilo de visualización F) y cada elemento x (\ estilo de visualización \ mathbf (x)) conjuntos V (\ estilo de visualización V) el unico elemento del conjunto V (\ estilo de visualización V), denotado λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) o λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Los espacios vectoriales definidos en el mismo conjunto de elementos pero sobre diferentes campos serán diferentes espacios vectoriales (por ejemplo, el conjunto de pares de números reales R 2 (\ estilo de visualización \ mathbb (R) ^ (2)) puede ser un espacio vectorial bidimensional sobre el campo de los números reales o unidimensional - sobre el campo de los números complejos).

Las propiedades más simples[ | ]

1. El espacio vectorial es un grupo abeliano por adición.
2. elemento neutro 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) para cualquiera .
4. Para cualquiera x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) elemento opuesto − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) es el único que se sigue de las propiedades del grupo.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) para cualquiera x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) para cualquiera y x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) para cualquiera α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Definiciones y propiedades relacionadas[ | ]

subespacio[ | ]

Definición algebraica: subespacio lineal o subespacio vectorial es un subconjunto no vacío K (\ estilo de visualización K) espacio lineal V (\ estilo de visualización V) tal que K (\ estilo de visualización K) es en sí mismo un espacio lineal con respecto a los definidos en V (\ estilo de visualización V) las operaciones de suma y multiplicación por un escalar. El conjunto de todos los subespacios generalmente se denota como L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Para que un subconjunto sea un subespacio, es necesario y suficiente que

Las dos últimas declaraciones son equivalentes a las siguientes:

Para cualquier vector x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vector α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) también pertenecía K (\ estilo de visualización K) para cualquier α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

En particular, un espacio vectorial que consta de un solo vector cero es un subespacio de cualquier espacio; cualquier espacio es un subespacio de sí mismo. Los subespacios que no coinciden con estos dos se llaman propio o no trivial.

Propiedades del subespacio[ | ]

Combinaciones Lineales[ | ]

Suma final de la vista

La combinación lineal se llama:

Base. Dimensión[ | ]

Vectores x 1 , x 2 , ... , x norte (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) llamó linealmente dependiente, si existe una combinación lineal no trivial de ellos igual a cero:

De lo contrario, estos vectores se llaman independiente linealmente.

Esta definición permite la siguiente generalización: un conjunto infinito de vectores de V (\ estilo de visualización V) llamó linealmente dependiente, si algun final su subconjunto, y independiente linealmente, Si alguna final subconjunto es linealmente independiente.

Propiedades básicas:

Concha lineal[ | ]

Concha lineal subconjuntos X (\ estilo de visualización X) espacio lineal V (\ estilo de visualización V)- intersección de todos los subespacios V (\ estilo de visualización V) que contiene X (\ estilo de visualización X).

La capa lineal es un subespacio V (\ estilo de visualización V).

La capa lineal también se llama subespacio generado X (\ estilo de visualización X). También se dice que el tramo lineal V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- espacio, estirado un montón de X (\ estilo de visualización X).

Concha lineal V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)) consiste en todas las combinaciones lineales posibles de varios subsistemas finitos de elementos de X (\ estilo de visualización X). En particular, si X (\ estilo de visualización X) es un conjunto finito, entonces V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)) consiste en todas las combinaciones lineales de elementos X (\ estilo de visualización X). Por lo tanto, el vector nulo siempre pertenece al tramo lineal.

si un X (\ estilo de visualización X) es un conjunto linealmente independiente, entonces es una base V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X)), 1980. - 454 págs.

Un subconjunto L no vacío de un espacio lineal V se llama subespacio lineal espacio V si

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\en L~~\forall \mathbf(u,v)\en L(el subespacio es cerrado con respecto a la operación de adición);

2) \lambda \mathbf(v)\en L~~ \forall \mathbf(v)\en L y cualquier número \lambda (el subespacio es cerrado con respecto a la operación de multiplicar un vector por un número).

Para indicar un subespacio lineal, usaremos la notación L\triangleleft V y omitiremos la palabra "lineal" por brevedad.

Observaciones 8.7

1. Las condiciones 1, 2 en la definición pueden ser reemplazadas por una condición: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L y cualquier número \lambda y \mu . Por supuesto, aquí y en la definición estamos hablando de números arbitrarios del campo numérico sobre el que se define el espacio V.

2. En cualquier espacio lineal V hay dos subespacios lineales:

a) el propio espacio V, es decir V\triángulo a la izquierda V ;

b) subespacio cero \(\mathbf(o)\) , que consta de un vector cero del espacio V , es decir . Estos subespacios se llaman impropios y todos los demás se llaman propios.

3. Cualquier subespacio L de un espacio lineal V es su subconjunto: L\triángulo izquierdo V~\Flecha derecha~L\subconjunto V, pero no todo subconjunto de M\subset V es un subespacio lineal, ya que puede resultar no cerrado con respecto a las operaciones lineales.

4. El subespacio L del espacio lineal V es en sí mismo un espacio lineal con las mismas operaciones de sumar vectores y multiplicar un vector por un número como en el espacio V, ya que se cumplen los axiomas 1-8. Por tanto, podemos hablar de la dimensión de un subespacio, su base, etc.

5. La dimensión de cualquier subespacio L del espacio lineal V no excede la dimensión del espacio V\colon\,\dim(L)\leqslant\dim(V). Si la dimensión del subespacio L\triangleleft V es igual a la dimensión del espacio de dimensión finita V (\dim(L)=\dim(V)) , entonces el subespacio coincide con el propio espacio: L=V .

Esto se sigue del Teorema 8.2 (sobre la terminación de un sistema de vectores a una base). En efecto, tomando la base del subespacio L , la complementaremos con la base del espacio V . Si es posible, entonces \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Para cualquier subconjunto M de un espacio lineal V, el tramo lineal es un subespacio de V y M\subconjunto\nombre del operador(Lin)(M)\triangleleft V.

De hecho, si M=\varnada (el conjunto vacío), entonces por definición \nombre del operador(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), es decir. es el subespacio nulo y \varnada\subconjunto\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. Deja que M\ne\varnada . Tenemos que demostrar que el conjunto \nombre del operador(Lin)(M) se cierra bajo las operaciones de sumar sus elementos y multiplicar sus elementos por un número. Recuerde que los elementos del tramo lineal \nombre del operador(Lin)(M) sirven como combinaciones lineales de vectores de M . Dado que una combinación lineal de combinaciones lineales de vectores es su combinación lineal, entonces, teniendo en cuenta el punto 1, concluimos que \nombre del operador(Lin)(M) es un subespacio de V , es decir \nombre del operador(Lin)(M)\triangleleft V. Inclusión M\subconjunto\nombre del operador(Lin)(M)- obvio, ya que cualquier vector \mathbf(v)\in M se puede representar como una combinación lineal 1\cdot\mathbf(v), es decir como elemento de un conjunto \nombre del operador(Lin)(M).

7. Concha lineal \nombre del operador(Lin)(L) el subespacio L\triangleleft V coincide con el subespacio L , es decir .

De hecho, dado que el subespacio lineal L contiene todas las combinaciones lineales posibles de sus vectores, entonces \nombre del operador(Lin)(L)\subconjunto L. Inclusión opuesta (L\subconjunto\nombre del operador(Lin)(L)) se sigue del punto 6. Por lo tanto, \nombre del operador(Lin)(L)=L.

Ejemplos de subespacios lineales

Indicamos algunos subespacios de espacios lineales, cuyos ejemplos se consideraron anteriormente. Es imposible enumerar todos los subespacios de un espacio lineal, excepto en casos triviales.

1. El espacio \(\mathbf(o)\) , que consta de un vector cero del espacio V , es un subespacio, es decir \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. Sean, como antes, V_1,\,V_2,\,V_3 conjuntos de vectores (segmentos dirigidos) en una línea recta, en un plano, en el espacio, respectivamente. Si la recta pertenece al plano, entonces V_1\triángulo a la izquierda V_2\triángulo a la izquierda V_3. Por el contrario, el conjunto de vectores unitarios no es un subespacio lineal, ya que al multiplicar un vector por un número que no es igual a uno, obtenemos un vector que no pertenece al conjunto.

3. En el espacio aritmético n-dimensional \mathbb(R)^n, considere el conjunto L de columnas "semi-cero" de la forma x=\begin(pmatriz) x_1&\cdots&x_m&0&\cdots&0\end(pmatriz)^T con últimos (n-m) elementos iguales a cero. La suma de las columnas "semi-cero" es una columna del mismo tipo, es decir la operación de adición se cierra en L . Multiplicar una columna "semi-cero" por un número da una columna "semi-cero", es decir la operación de multiplicación por un número se cierra en L . Es por eso L\triángulo izquierdo \mathbb(R)^n, y \dim(L)=m . Por el contrario, el subconjunto de columnas distintas de cero \mathbb(R)^n no es un subespacio lineal, ya que al multiplicarlo por cero se obtiene una columna cero, que no pertenece al conjunto considerado. En la siguiente subsección se dan ejemplos de otros subespacios \mathbb(R)^n.

4. El espacio \(Ax=o\) de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones con n incógnitas es un subespacio del espacio aritmético n-dimensional \mathbb(R)^n . La dimensión de este subespacio está determinada por la matriz del sistema: \dim\(Ax=o\)=n-\nombre del operador(rg)A.

El conjunto \(Ax=b\) de soluciones de un sistema no homogéneo (para b\ne o ) no es un subespacio de \mathbb(R)^n , ya que la suma de dos soluciones es no homogénea; sistema no será la solución del mismo sistema.

5. En el espacio M_(n\times n) de matrices cuadradas de orden l, considera dos subconjuntos: el conjunto de matrices simétricas y el conjunto M_(n\times n)^(\text(kos)) matrices sesgadas simétricas. La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica, es decir la operación de adición se cierra en M_(n\veces n)^(\texto(sim)). La multiplicación de una matriz simétrica por un número tampoco rompe la simetría, es decir la operación de multiplicar una matriz por un número se cierra en M_(n\veces n)^(\texto(sim)). Por tanto, el conjunto de matrices simétricas es un subespacio del espacio de matrices cuadradas, es decir M_(n\times n)^(\text(sim))\triangleleft M_(n\times n). Es fácil encontrar la dimensión de este subespacio. La base estándar está formada por: l matrices con un único elemento distinto de cero (igual a uno) en la diagonal principal: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, así como matrices con dos elementos distintos de cero (igual a uno) simétricos con respecto a la diagonal principal: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\ldots, n. El total en la base será (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matrices. Como consecuencia, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Del mismo modo, obtenemos que M_(n\times n)^(\text(kos))\triangleleft M_(n\times n) y \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

El conjunto de matrices cuadradas degeneradas de orden n no es un subespacio de M_(n\times n) , ya que la suma de dos matrices degeneradas puede resultar una matriz no degenerada, por ejemplo, en el espacio M_(2 \veces2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. En el espacio de polinomios P(\mathbb(R)) con coeficientes reales, se puede especificar una cadena natural de subespacios

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

El conjunto de polinomios pares (p(-x)=p(x)) es un subespacio lineal de P(\mathbb(R)) , ya que la suma de polinomios pares y el producto de un polinomio par por un número será par polinomios. El conjunto de polinomios impares (p(-x)=-p(x)) también es un espacio lineal. El conjunto de polinomios con raíces reales no es un subespacio lineal, ya que la suma de estos dos polinomios puede dar como resultado un polinomio que no tiene raíces reales, por ejemplo, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. En el espacio C(\mathbb(R)) se puede especificar una cadena natural de subespacios:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

Los polinomios en P(\mathbb(R)) se pueden ver como funciones definidas en \mathbb(R) . Como el polinomio es una función continua junto con sus derivadas de cualquier orden, podemos escribir: P(\mathbb(R))\triángulo izquierdo C(\mathbb(R)) y P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). El espacio de los binomios trigonométricos T_(\omega) (\mathbb(R)) es un subespacio ×

Definición 6.1. subespacio Ln-espacio dimensional R se denomina al conjunto de vectores que forman un espacio lineal con respecto a las acciones que se definen en R.

En otras palabras, L se llama subespacio del espacio R si de x, y∈L sigue que x+y∈L y si X∈L, después λ X∈L, dónde λ - cualquier número real.

El ejemplo más simple de un subespacio es el subespacio nulo, es decir subconjunto de espacio R, que consta de un único elemento cero. Todo el espacio también puede ser un subespacio. R. Estos subespacios se llaman trivial o no propio.

subespacio norte-el espacio dimensional es de dimensión finita y su dimensión no excede n: dim L≤ dim R.

Suma e intersección de subespacios

Dejar L y METRO- dos subespacios del espacio R.

Monto L+METRO se llama el conjunto de vectores x+y, dónde X∈L y y∈METRO. Obviamente, cualquier combinación lineal de vectores de L+M pertenece L+M, Como consecuencia L+M es un subespacio del espacio R(puede coincidir con el espacio R).

cruce L∩METRO subespacios L y METRO es el conjunto de vectores que pertenecen simultáneamente a subespacios L y METRO(solo puede consistir en un vector nulo).

Teorema 6.1. Suma de dimensiones de subespacios arbitrarios L y METRO espacio lineal de dimensión finita R es igual a la dimensión de la suma de estos subespacios y la dimensión de la intersección de estos subespacios:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Prueba. Denotar F=L+M y G=L∩M. Dejar g g-subespacio dimensional. Elegimos una base en ella. Porque GRAMO⊂L y GRAMO⊂METRO, de ahí la base GRAMO se puede agregar a la base L y a la base METRO. Sea la base del subespacio L y dejar que la base del subespacio METRO. Demostremos que los vectores

pertenece al subespacio G=L∩M. Por otro lado, el vector v se puede representar mediante una combinación lineal de los vectores base del subespacio GRAMO:

De las ecuaciones (6.4) y (6.5) tenemos:

Debido a la independencia lineal de la base del subespacio L tenemos:

son linealmente independientes. Pero cualquier vector z de F(por definición de la suma de subespacios) puede ser representado por la suma x+y, dónde X∈L, y∈M. A su momento X está representado por una combinación lineal de vectores a y- una combinación lineal de vectores. Por tanto, los vectores (6.10) generan un subespacio F. Hemos encontrado que los vectores (6.10) forman una base F=L+M.

Estudiando las bases de los subespacios L y METRO y base subespacial F=L+M(6.10), tenemos: dimensión L=g+l, dimensión M=g+m, dimensión (L+M)=g+l+m. Como consecuencia:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Suma directa de subespacios

Definición 6.2. Espacio F es una suma directa de subespacios L y METRO, si cada vector X espacio F solo se puede representar como una suma x=y+z, dónde y∈ Tierra z∈METRO.

La suma directa se denota L⊕METRO. Dicen que si F=A⊕METRO, después F se descompone en una suma directa de sus subespacios L y METRO.

Teorema 6.2. A norte-espacio dimensional R era una suma directa de subespacios L y METRO, es suficiente que la intersección L y METRO contiene solo el elemento cero y que la dimensión de R es igual a la suma de las dimensiones de los subespacios L y METRO.

Prueba. Elijamos alguna base en el subespacio L y alguna base en el subespacio M. Probemos que

Como el lado izquierdo de (6.13) es un vector del subespacio L, y el lado derecho es el vector subespacial METRO y L∩METRO=0 , después

En cualquier espacio lineal es posible seleccionar tal subconjunto vectores, que bajo operaciones de es en sí mismo un espacio lineal. Esto se puede hacer de varias maneras, y la estructura de dichos subconjuntos contiene información importante sobre el propio espacio lineal.

Definición 2.1. Subconjunto de espacio lineal llamó subespacio lineal, si se cumplen las dos condiciones siguientes:

La definición 2.1 en realidad dice que un subespacio lineal es cualquier subconjunto espacio lineal dado, cerrado bajo operaciones lineales, aquellos. aplicar operaciones lineales a vectores pertenecientes a este subconjunto no elimina el resultado del subconjunto. Demostremos que el subespacio lineal H como objeto independiente es un espacio lineal con respecto a las operaciones dadas en el espacio lineal ambiental. De hecho, estas operaciones están definidas para cualquier elemento del conjunto y, por lo tanto, para los elementos del subconjunto H. La definición 2.1 en realidad requiere que para los elementos de H el resultado de las operaciones también pertenecía a H. Por lo tanto, las operaciones especificadas en pueden considerarse como operaciones en un conjunto más estrecho H. Para estas operaciones en el set H Los axiomas del espacio lineal a)-b) y e)-h) se cumplen debido a que son válidos en . Además, también se cumplen los dos axiomas restantes, ya que, según la Definición 2.1, si entonces:

1) y 0- vector nulo en H;

2) .

En cualquier espacio lineal siempre hay dos subespacios lineales: el propio espacio lineal y subespacio nulo {0}, elemento único 0. Estos subespacios lineales se llaman no propio, mientras que todos los demás subespacios lineales se llaman propio. Demos ejemplos de subespacios lineales propios.

Ejemplo 2.1. En el espacio lineal de vectores libres del espacio tridimensional, un subespacio lineal está formado por:

a) todos los vectores paralelos al plano dado;

b) todos los vectores paralelos a la recta dada.

Esto se desprende de las siguientes consideraciones. De la definición de la suma de vectores libres se deduce que dos vectores y su suma son coplanares (Fig. 2.1, a). Por tanto, si y son paralelas a un plano dado, entonces su suma será paralela al mismo plano. Así, se establece que para el caso a) se cumple la condición 1) de la Definición 2.1. Si el vector se multiplica por un número, se obtiene un vector colineal al original (Fig. 2.1.6). Esto prueba el cumplimiento de la condición 2) de la Definición 2.1. El caso b) se justifica de manera similar.

El espacio lineal da una representación visual de lo que es un subespacio lineal. De hecho, fijamos algún punto en el espacio. Entonces diferentes planos y diferentes rectas que pasan por este punto corresponderán a diferentes subespacios lineales de (Fig. 2.2).

No es tan obvio que no haya otros subespacios propios en . Si en un subespacio lineal H no hay vectores distintos de cero, entonces H- subespacio lineal cero, que es impropio. si en H es un vector distinto de cero, y dos vectores cualquiera de H son colineales, entonces todos los vectores de este subespacio lineal son paralelos a alguna línea recta que pasa por un punto fijo. Como consecuencia, H coincide con uno de los subespacios lineales descritos en el caso b). si en H hay dos vectores no colineales y tres vectores cualesquiera son coplanares, entonces todos los vectores de dicho subespacio lineal son paralelos a algún plano que pasa por un punto fijo. Este es el caso a). Sea un subespacio lineal H hay tres vectores no coplanares. Entonces se forman base en . Cualquier vector libre se puede representar como combinación lineal estos vectores. Por lo tanto, todos los vectores libres caen en el subespacio lineal H, y por lo tanto es lo mismo que . En este caso, obtenemos un subespacio lineal impropio. Entonces, todos los subespacios propios se pueden representar como planos o líneas rectas que pasan por un punto fijo.

Ejemplo 2.2. Cualquier solución de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) de PAGS las variables se pueden ver como un vector en espacios aritméticos lineales . El conjunto de todos estos vectores es un subespacio lineal en . De hecho, las soluciones de un SLAE homogéneo se pueden sumar componente por componente y multiplicar por números reales, es decir de acuerdo con las reglas para sumar vectores de . El resultado de la operación será nuevamente la solución de una SLAE homogénea. Por lo tanto, se cumplen ambas condiciones para la definición de un subespacio lineal.

La ecuación tiene un conjunto de soluciones, que es un subespacio lineal. Pero la misma ecuación puede considerarse como una ecuación de un plano en algún sistema de coordenadas rectangulares. El plano pasa por el origen y los radios vectores de todos los puntos del plano forman un subespacio bidimensional en el espacio lineal.

El conjunto de soluciones de una SLAE homogénea

también forma un subespacio lineal en . Al mismo tiempo, este sistema puede ser considerado como ecuaciones generales de una linea recta en el espacio, dado en algún sistema de coordenadas rectangulares .. Esta línea pasa por el origen, y el conjunto de radios vectores de todos sus puntos forma un subespacio unidimensional en .

Ejemplo 2.3. En el espacio lineal de matrices cuadradas de orden PAGS un subespacio lineal está formado por:

a) todas las matrices simétricas;

b) todas las matrices simétricas oblicuas;

c) todas las matrices triangulares superiores (inferiores).

Al sumar tales matrices o multiplicar por un número, obtenemos una matriz del mismo tipo. Por el contrario, un subconjunto de matrices degeneradas no es un subespacio lineal, ya que la suma de dos matrices degeneradas puede ser una matriz no degenerada:

Ejemplo 2.4. En el espacio lineal de funciones que son continuas en el segmento , se pueden distinguir los siguientes subespacios lineales:

a) el conjunto de funciones que son continuas en un intervalo y continuamente derivables en el intervalo (0,1) (este enunciado se basa en las propiedades de las funciones diferenciables: la suma de las funciones diferenciables es una función diferenciable, el producto de una diferenciable función por un número es una función diferenciable);

b) el conjunto de todos los polinomios;

c) conjunto todos los polinomios de grado como máximo norte.

Un subconjunto L no vacío de un espacio lineal V se llama subespacio lineal espacio V si

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\en L~~\forall \mathbf(u,v)\en L(el subespacio es cerrado con respecto a la operación de adición);

2) \lambda \mathbf(v)\en L~~ \forall \mathbf(v)\en L y cualquier número \lambda (el subespacio es cerrado con respecto a la operación de multiplicar un vector por un número).

Para indicar un subespacio lineal, usaremos la notación L\triangleleft V y omitiremos la palabra "lineal" por brevedad.

Observaciones 8.7

1. Las condiciones 1, 2 en la definición pueden ser reemplazadas por una condición: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L y cualquier número \lambda y \mu . Por supuesto, aquí y en la definición estamos hablando de números arbitrarios del campo numérico sobre el que se define el espacio V.

2. En cualquier espacio lineal V hay dos subespacios lineales:

a) el propio espacio V, es decir V\triángulo a la izquierda V ;

b) subespacio cero \(\mathbf(o)\) , que consta de un vector cero del espacio V , es decir . Estos subespacios se llaman impropios y todos los demás se llaman propios.

3. Cualquier subespacio L de un espacio lineal V es su subconjunto: L\triángulo izquierdo V~\Flecha derecha~L\subconjunto V, pero no todo subconjunto de M\subset V es un subespacio lineal, ya que puede resultar no cerrado con respecto a las operaciones lineales.

4. El subespacio L del espacio lineal V es en sí mismo un espacio lineal con las mismas operaciones de sumar vectores y multiplicar un vector por un número como en el espacio V, ya que se cumplen los axiomas 1-8. Por tanto, podemos hablar de la dimensión de un subespacio, su base, etc.

5. La dimensión de cualquier subespacio L del espacio lineal V no excede la dimensión del espacio V\colon\,\dim(L)\leqslant\dim(V). Si la dimensión del subespacio L\triangleleft V es igual a la dimensión del espacio de dimensión finita V (\dim(L)=\dim(V)), entonces el subespacio coincide con el propio espacio: L=V .

Esto se sigue del Teorema 8.2 (sobre la terminación de un sistema de vectores a una base). En efecto, tomando la base del subespacio L , la complementaremos con la base del espacio V . Si es posible, entonces \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Para cualquier subconjunto M de un espacio lineal V, el tramo lineal es un subespacio de V y M\subconjunto\nombre del operador(Lin)(M)\triangleleft V.

De hecho, si M=\varnada (el conjunto vacío), entonces por definición \nombre del operador(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), es decir. es el subespacio nulo y \varnada\subconjunto\(\mathbf(o)\)\triangleleft V. Deja que M\ne\varnada . Tenemos que demostrar que el conjunto \nombre del operador(Lin)(M) se cierra bajo las operaciones de sumar sus elementos y multiplicar sus elementos por un número. Recuerde que los elementos del tramo lineal \nombre del operador(Lin)(M) sirven como combinaciones lineales de vectores de M . Dado que una combinación lineal de combinaciones lineales de vectores es su combinación lineal, entonces, teniendo en cuenta el punto 1, concluimos que \nombre del operador(Lin)(M) es un subespacio de V , es decir \nombre del operador(Lin)(M)\triangleleft V. Inclusión M\subconjunto\nombre del operador(Lin)(M)- obvio, ya que cualquier vector \mathbf(v)\in M se puede representar como una combinación lineal 1\cdot\mathbf(v), es decir como elemento de un conjunto \nombre del operador(Lin)(M).

7. Concha lineal \nombre del operador(Lin)(L) el subespacio L\triangleleft V coincide con el subespacio L , es decir .

De hecho, dado que el subespacio lineal L contiene todas las combinaciones lineales posibles de sus vectores, entonces \nombre del operador(Lin)(L)\subconjunto L. Inclusión opuesta (L\subconjunto\nombre del operador(Lin)(L)) se sigue del punto 6. Por lo tanto, \nombre del operador(Lin)(L)=L.

Ejemplos de subespacios lineales

Indicamos algunos subespacios de espacios lineales, cuyos ejemplos se consideraron anteriormente. Es imposible enumerar todos los subespacios de un espacio lineal, excepto en casos triviales.

1. El espacio \(\mathbf(o)\) , que consta de un vector cero del espacio V , es un subespacio, es decir \(\mathbf(o)\)\triangleleft V.

2. Sean, como antes, V_1,\,V_2,\,V_3 conjuntos de vectores (segmentos dirigidos) en una línea recta, en un plano, en el espacio, respectivamente. Si la recta pertenece al plano, entonces V_1\triángulo a la izquierda V_2\triángulo a la izquierda V_3. Por el contrario, el conjunto de vectores unitarios no es un subespacio lineal, ya que al multiplicar un vector por un número que no es igual a uno, obtenemos un vector que no pertenece al conjunto.

3. En el espacio aritmético n-dimensional \mathbb(R)^n, considere el conjunto L de columnas "semi-cero" de la forma x=\begin(pmatriz) x_1&\cdots&x_m&0&\cdots&0\end(pmatriz)^T con últimos (n-m) elementos iguales a cero. La suma de las columnas "semi-cero" es una columna del mismo tipo, es decir la operación de adición se cierra en L . Multiplicar una columna "semi-cero" por un número da una columna "semi-cero", es decir la operación de multiplicación por un número se cierra en L . Es por eso L\triángulo izquierdo \mathbb(R)^n, y \dim(L)=m . Por el contrario, el subconjunto de columnas distintas de cero \mathbb(R)^n no es un subespacio lineal, ya que al multiplicarlo por cero se obtiene una columna cero, que no pertenece al conjunto considerado. En la siguiente subsección se dan ejemplos de otros subespacios \mathbb(R)^n.

4. El espacio \(Ax=o\) de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones con n incógnitas es un subespacio del espacio aritmético n-dimensional \mathbb(R)^n . La dimensión de este subespacio está determinada por la matriz del sistema: \dim\(Ax=o\)=n-\nombre del operador(rg)A.

El conjunto \(Ax=b\) de soluciones de un sistema no homogéneo (para b\ne o ) no es un subespacio de \mathbb(R)^n , ya que la suma de dos soluciones es no homogénea; sistema no será la solución del mismo sistema.

5. En el espacio M_(n\times n) de matrices cuadradas de orden l, considera dos subconjuntos: el conjunto de matrices simétricas y el conjunto M_(n\times n)^(\text(kos)) matrices sesgadas simétricas. La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica, es decir la operación de adición se cierra en M_(n\veces n)^(\texto(sim)). La multiplicación de una matriz simétrica por un número tampoco rompe la simetría, es decir la operación de multiplicar una matriz por un número se cierra en M_(n\veces n)^(\texto(sim)). Por tanto, el conjunto de matrices simétricas es un subespacio del espacio de matrices cuadradas, es decir M_(n\times n)^(\text(sim))\triangleleft M_(n\times n). Es fácil encontrar la dimensión de este subespacio. La base estándar está formada por: l matrices con un único elemento distinto de cero (igual a uno) en la diagonal principal: a_(ii)=1~ i=1,\ldots,n, así como matrices con dos elementos distintos de cero (igual a uno) simétricos con respecto a la diagonal principal: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1 ,\ldots, n. El total en la base será (n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matrices. Como consecuencia, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Del mismo modo, obtenemos que M_(n\times n)^(\text(kos))\triangleleft M_(n\times n) y \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

El conjunto de matrices cuadradas degeneradas de orden n no es un subespacio de M_(n\times n) , ya que la suma de dos matrices degeneradas puede resultar una matriz no degenerada, por ejemplo, en el espacio M_(2 \veces2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. En el espacio de polinomios P(\mathbb(R)) con coeficientes reales, se puede especificar una cadena natural de subespacios

P_0(\mathbb(R))\triangleleft P_1(\mathbb(R))\triangleleft P_2(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb(R))\triangleleft \ldots \triangleleft P( \mathbb(R)).

El conjunto de polinomios pares (p(-x)=p(x)) es un subespacio lineal de P(\mathbb(R)) , ya que la suma de polinomios pares y el producto de un polinomio par por un número será par polinomios. El conjunto de polinomios impares (p(-x)=-p(x)) también es un espacio lineal. El conjunto de polinomios con raíces reales no es un subespacio lineal, ya que la suma de estos dos polinomios puede dar como resultado un polinomio que no tiene raíces reales, por ejemplo, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. En el espacio C(\mathbb(R)) se puede especificar una cadena natural de subespacios:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ldots

Los polinomios en P(\mathbb(R)) se pueden ver como funciones definidas en \mathbb(R) . Como el polinomio es una función continua junto con sus derivadas de cualquier orden, podemos escribir: P(\mathbb(R))\triángulo izquierdo C(\mathbb(R)) y P_n(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). El espacio de los binomios trigonométricos T_(\omega) (\mathbb(R)) es un subespacio de C^m(\mathbb(R)) , ya que las derivadas de cualquier orden de la función f(t)=a\sen\omega t+b\cos\omega t continua, es decir T_(\omega)(\mathbb(R))\triangleleft C^m(\mathbb(R)) \forall m\in \mathbb(N). El conjunto de funciones periódicas continuas no es un subespacio de C(\mathbb(R)) , ya que la suma de dos funciones periódicas puede resultar una función no periódica, por ejemplo, \sin(t)+\sin(\pi t).