Fórmulas de multiplicación abreviadas.
Estudiar las fórmulas de multiplicación abreviada: el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia de dos expresiones; diferencia de cuadrados de dos expresiones; el cubo de la suma y el cubo de la diferencia de dos expresiones; sumas y diferencias de cubos de dos expresiones.
Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviada en la resolución de ejemplos.
Para simplificar expresiones, factorizar polinomios y reducir polinomios a una forma estándar, se utilizan fórmulas de multiplicación abreviadas. Fórmulas de multiplicación abreviadas que debes saber de memoria.
Sean a, b R. Entonces:
1. El cuadrado de la suma de dos expresiones es el cuadrado de la primera expresión más el doble del producto de la primera expresión y el segundo más el cuadrado de la segunda expresión.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. El cuadrado de la diferencia de dos expresiones es el cuadrado de la primera expresión menos el doble del producto de la primera expresión y el segundo más el cuadrado de la segunda expresión.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. diferencia de cuadrados dos expresiones es igual al producto de la diferencia de estas expresiones y su suma.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. cubo de suma de dos expresiones es igual al cubo de la primera expresión más tres veces el cuadrado de la primera expresión por la segunda más tres veces el producto de la primera expresión por el cuadrado de la segunda más el cubo de la segunda expresión.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. cubo de diferencia de dos expresiones es igual al cubo de la primera expresión menos tres veces el producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda más tres veces el producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda expresión.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. suma de cubos dos expresiones es igual al producto de la suma de la primera y segunda expresiones por el cuadrado incompleto de la diferencia de estas expresiones.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. diferencia de cubos de dos expresiones es igual al producto de la diferencia de la primera y la segunda expresión por el cuadrado incompleto de la suma de estas expresiones.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviada en la resolución de ejemplos.
Ejemplo 1
Calcular
a) Usando la fórmula del cuadrado de la suma de dos expresiones, tenemos
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Usando la fórmula de la diferencia al cuadrado de dos expresiones, obtenemos
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Ejemplo 2
Calcular
Usando la fórmula para la diferencia de los cuadrados de dos expresiones, obtenemos
Ejemplo 3
Simplificar expresión
(x - y) 2 + (x + y) 2
Usamos las fórmulas para el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia de dos expresiones
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Fórmulas de multiplicación abreviadas en una tabla:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Las fórmulas de multiplicación abreviadas (FSU) se utilizan para exponenciar y multiplicar números y expresiones. A menudo, estas fórmulas le permiten realizar cálculos de forma más compacta y rápida.
En este artículo, enumeraremos las fórmulas principales para la multiplicación abreviada, las agruparemos en una tabla, consideraremos ejemplos del uso de estas fórmulas y también nos detendremos en los principios para probar fórmulas de multiplicación abreviada.
Por primera vez, el tema de FSU se considera dentro del curso "Álgebra" para el 7mo grado. A continuación se presentan 7 fórmulas básicas.
Fórmulas de multiplicación abreviadas
- fórmula de suma cuadrada: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- fórmula del cuadrado de la diferencia: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- fórmula de suma cúbica: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- fórmula del cubo de diferencia: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- fórmula de diferencia de cuadrados: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- fórmula para la suma de cubos: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- fórmula de diferencia de cubo: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Las letras a, b, c en estas expresiones pueden ser cualquier número, variable o expresión. Para facilitar su uso, es mejor aprenderse de memoria las siete fórmulas básicas. Las resumimos en una tabla y las damos a continuación rodeándolas con un recuadro.
Las primeras cuatro fórmulas te permiten calcular, respectivamente, el cuadrado o el cubo de la suma o diferencia de dos expresiones.
La quinta fórmula calcula la diferencia de cuadrados de expresiones multiplicando su suma y diferencia.
Las fórmulas sexta y séptima son, respectivamente, la multiplicación de la suma y diferencia de expresiones por el cuadrado incompleto de la diferencia y el cuadrado incompleto de la suma.
La fórmula de multiplicación abreviada a veces también se denomina identidades de multiplicación abreviada. Esto no es sorprendente, ya que toda igualdad es una identidad.
Al resolver ejemplos prácticos, a menudo se utilizan fórmulas de multiplicación abreviadas con las partes izquierda y derecha reorganizadas. Esto es especialmente conveniente cuando se factoriza un polinomio.
Fórmulas de multiplicación abreviadas adicionales
No nos limitaremos al curso de álgebra de séptimo grado y agregaremos algunas fórmulas más a nuestra tabla FSU.
Primero, considere la fórmula binomial de Newton.
una + segundo norte = C norte 0 una norte + C norte 1 una norte - 1 segundo + C norte 2 una norte - 2 segundo 2 + . . + C norte norte - 1 un segundo norte - 1 + C norte norte segundo norte
Aquí C n k son los coeficientes binomiales que están en la línea número n en el triángulo de pascal. Los coeficientes binomiales se calculan mediante la fórmula:
C nk = norte ! k! · (n - k) ! = norte (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Como puede ver, la FSU para el cuadrado y el cubo de la diferencia y la suma es un caso especial de la fórmula binomial de Newton para n=2 y n=3, respectivamente.
Pero, ¿y si hay más de dos términos en la suma a elevar a una potencia? Te será útil la fórmula del cuadrado de la suma de tres, cuatro o más términos.
un 1 + un 2 + . . + un norte 2 = un 1 2 + un 2 2 + . . + un norte 2 + 2 un 1 un 2 + 2 un 1 un 3 + . . + 2 un 1 un norte + 2 un 2 un 3 + 2 un 2 un 4 + . . + 2 un 2 un norte + 2 un norte - 1 un norte
Otra fórmula que puede resultar útil es la fórmula de la diferencia de las n-ésimas potencias de dos términos.
un norte - segundo norte = un - segundo un norte - 1 + un norte - 2 segundo + un norte - 3 segundo 2 + . . + un 2 segundo norte - 2 + segundo norte - 1
Esta fórmula generalmente se divide en dos fórmulas, respectivamente para grados pares e impares.
Para exponentes pares 2m:
un 2 metro - segundo 2 metro = un 2 - segundo 2 un 2 metro - 2 + un 2 metro - 4 segundo 2 + un 2 metro - 6 segundo 4 + . . + segundo 2 m - 2
Para exponentes impares 2m+1:
un 2 metro + 1 - segundo 2 metro + 1 = un 2 - segundo 2 un 2 metro + un 2 metro - 1 segundo + un 2 metro - 2 segundo 2 + . . + segundo 2 metros
Las fórmulas para la diferencia de cuadrados y la diferencia de cubos, lo adivinaste, son casos especiales de esta fórmula para n = 2 y n = 3, respectivamente. Para la diferencia de cubos, b también se reemplaza por - b .
¿Cómo leer fórmulas de multiplicación abreviadas?
Daremos las formulaciones correspondientes para cada fórmula, pero primero nos ocuparemos del principio de lectura de fórmulas. La forma más fácil de hacerlo es con un ejemplo. Tomemos la primera fórmula para el cuadrado de la suma de dos números.
una + segundo 2 = una 2 + 2 una segundo + segundo 2 .
Dicen: el cuadrado de la suma de dos expresiones a y b es igual a la suma del cuadrado de la primera expresión, el doble del producto de las expresiones y el cuadrado de la segunda expresión.
Todas las demás fórmulas se leen de manera similar. Para la diferencia al cuadrado a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 escribimos:
el cuadrado de la diferencia de dos expresiones a y b es igual a la suma de los cuadrados de estas expresiones menos el doble del producto de la primera y la segunda expresión.
Leamos la fórmula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. El cubo de la suma de dos expresiones a y b es igual a la suma de los cubos de estas expresiones, tres veces el producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda, y tres veces el producto del cuadrado de la segunda expresión y la primera expresión.
Procedemos a leer la fórmula para la diferencia de cubos a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. El cubo de la diferencia de dos expresiones a y b es igual al cubo de la primera expresión menos tres veces el cuadrado de la primera expresión y la segunda, más tres veces el cuadrado de la segunda expresión y la primera expresión, menos el cubo de la segunda expresión.
La quinta fórmula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (diferencia de cuadrados) se lee así: la diferencia de los cuadrados de dos expresiones es igual al producto de la diferencia y la suma de las dos expresiones.
Expresiones como a 2 + a b + b 2 y a 2 - a b + b 2 por conveniencia se llaman, respectivamente, el cuadrado incompleto de la suma y el cuadrado incompleto de la diferencia.
Con esto en mente, las fórmulas para la suma y diferencia de cubos se leen de la siguiente manera:
La suma de los cubos de dos expresiones es igual al producto de la suma de estas expresiones y el cuadrado incompleto de su diferencia.
La diferencia de los cubos de dos expresiones es igual al producto de la diferencia de estas expresiones por el cuadrado incompleto de su suma.
Prueba de FSU
Demostrar FSU es bastante simple. En base a las propiedades de la multiplicación, realizaremos la multiplicación de las partes de las fórmulas entre paréntesis.
Por ejemplo, considere la fórmula para el cuadrado de la diferencia.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Para elevar una expresión a la segunda potencia, la expresión debe multiplicarse por sí misma.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Expandamos los paréntesis:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
La fórmula ha sido probada. Los otros FSO se prueban de manera similar.
Ejemplos de aplicación de FSO
El propósito de usar fórmulas de multiplicación reducidas es multiplicar y exponenciar expresiones de manera rápida y concisa. Sin embargo, este no es todo el alcance del FSO. Son ampliamente utilizados en la reducción de expresiones, la reducción de fracciones, la factorización de polinomios. Demos ejemplos.
Ejemplo 1. FSO
Simplifiquemos la expresión 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Aplique la fórmula de la suma de cuadrados y obtenga:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Ejemplo 2. FSO
Reducir la fracción 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Notamos que la expresión en el numerador es la diferencia de cubos, y en el denominador, la diferencia de cuadrados.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Reducimos y obtenemos:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Las FSU también ayudan a calcular los valores de las expresiones. Lo principal es poder notar dónde aplicar la fórmula. Mostremos esto con un ejemplo.
Elevemos al cuadrado el número 79. En lugar de cálculos engorrosos, escribimos:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Parecería que un cálculo complejo se realizó rápidamente con solo el uso de fórmulas de multiplicación abreviadas y una tabla de multiplicar.
Otro punto importante- selección del cuadrado del binomio. La expresión 4 x 2 + 4 x - 3 se puede convertir en 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tales transformaciones son ampliamente utilizadas en la integración.
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diferencia de cuadrados
Derivamos la fórmula para la diferencia de cuadrados $a^2-b^2$.
Para hacer esto, recuerda la siguiente regla:
Si se suma cualquier monomio a la expresión y se resta el mismo monomio, entonces obtenemos la identidad correcta.
Sumemos a nuestra expresión y restemos de ella el monomio $ab$:
En total, obtenemos:
Es decir, la diferencia de los cuadrados de dos monomios es igual al producto de su diferencia por su suma.
Ejemplo 1
Expresar como producto de $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]
suma de cubos
Derivamos la fórmula para la suma de cubos $a^3+b^3$.
Saquemos los factores comunes fuera de paréntesis:
Quitemos $\left(a+b\right)$ entre paréntesis:
En total, obtenemos:
Es decir, la suma de los cubos de dos monomios es igual al producto de su suma por el cuadrado incompleto de su diferencia.
Ejemplo 2
Expresar como producto $(8x)^3+y^3$
Esta expresión se puede reescribir de la siguiente forma:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados, obtenemos:
\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]
diferencia de cubos
Derivamos la fórmula para la diferencia de cubos $a^3-b^3$.
Para hacer esto, usaremos la misma regla que la anterior.
Sumemos a nuestra expresión y restemos de ella los monomios $a^2b\ y\ (ab)^2$:
Saquemos los factores comunes fuera de paréntesis:
Quitemos $\left(a-b\right)$ entre paréntesis:
En total, obtenemos:
Es decir, la diferencia de los cubos de dos monomios es igual al producto de su diferencia por el cuadrado incompleto de su suma.
Ejemplo 3
Expresar como producto de $(8x)^3-y^3$
Esta expresión se puede reescribir de la siguiente forma:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados, obtenemos:
\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]
Un ejemplo de tareas para usar las fórmulas para la diferencia de cuadrados y la suma y diferencia de cubos.
Ejemplo 4
Multiplicar.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Solución:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Aplicando la fórmula de la diferencia de cuadrados, obtenemos:
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]
Escribamos esta expresión en la forma:
Apliquemos la fórmula de cubos de cubos:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Escribamos esta expresión en la forma:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
Apliquemos la fórmula de cubos de cubos:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\derecha)\]
