Análisis de las dimensiones de las magnitudes físicas. Análisis dimensional

Las cantidades físicas, cuyo valor numérico no depende de la escala de unidades elegida, se denominan adimensionales. Ejemplos de cantidades adimensionales son el ángulo (la relación entre la longitud del arco y el radio), el índice de refracción de la materia (la relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en la materia).

Las cantidades físicas que cambian su valor numérico cuando se cambia la escala de unidades se llaman dimensionales. Ejemplos de cantidades dimensionales son la longitud, la fuerza, etc. La expresión de una unidad de una cantidad física en términos de unidades básicas se llama su dimensión (o fórmula de dimensión). Por ejemplo, la dimensión de la fuerza en los sistemas CGS y SI se expresa mediante la fórmula

Las consideraciones de dimensión se pueden utilizar para comprobar la corrección de las respuestas obtenidas al resolver problemas físicos: las partes derecha e izquierda de las expresiones obtenidas, así como los términos individuales en cada una de las partes, deben tener la misma dimensión.

El método de las dimensiones también se puede utilizar para derivar fórmulas y ecuaciones, cuando sabemos de qué parámetros físicos puede depender el valor deseado. La esencia del método es más fácil de entender con ejemplos concretos.

Aplicaciones del método de las dimensiones. Considere un problema para el cual conocemos bien la respuesta: ¿con qué velocidad caerá un cuerpo al suelo, cayendo libremente sin una velocidad inicial desde una altura, si se puede despreciar la resistencia del aire? En lugar de un cálculo directo basado en las leyes del movimiento, argumentaremos de la siguiente manera.

Pensemos de qué puede depender la velocidad deseada. Es obvio que debe depender de la altura inicial y de la aceleración de caída libre. Se puede suponer, siguiendo a Aristóteles, que también depende de la masa. Dado que solo se pueden sumar valores de la misma dimensión, se puede proponer la siguiente fórmula para la velocidad deseada:

donde C es una constante adimensional (coeficiente numérico), y x, y y z son números desconocidos, que debe determinarse.

Las dimensiones de las partes derecha e izquierda de esta igualdad deben ser las mismas, y es esta condición la que se puede usar para determinar los exponentes x, y, z en (2). La dimensión de la velocidad es la dimensión de la altura, la dimensión de la aceleración de caída libre es , y finalmente, la dimensión de la masa es M. Como la constante C es adimensional, la fórmula (2) corresponde a la siguiente igualdad de dimensiones:

Esta igualdad debe mantenerse independientemente de cuáles sean los valores numéricos. Por lo tanto, es necesario igualar los exponentes en y M en las partes izquierda y derecha de la igualdad (3):

De este sistema de ecuaciones, obtenemos Por lo tanto, la fórmula (2) toma la forma

El verdadero valor de la velocidad, como se sabe, es igual a

Entonces, el enfoque utilizado permitió determinar correctamente la dependencia de y y no permitió encontrar el valor

constante adimensional C. Aunque no hemos podido obtener una respuesta exhaustiva, sin embargo, se ha obtenido información muy significativa. Por ejemplo, podemos afirmar con total certeza que si se cuadriplica la altura inicial, la velocidad en el momento de la caída se duplicará y que, contrariamente a la opinión de Aristóteles, esta velocidad no depende de la masa del cuerpo que cae.

Elección de opciones. Al usar el método de las dimensiones, primero se deben identificar los parámetros que determinan el fenómeno en consideración. Esto es fácil de hacer si se conocen las leyes físicas que lo describen. En varios casos, los parámetros que determinan el fenómeno pueden especificarse incluso cuando se desconocen las leyes físicas. Como regla, se necesita saber menos para usar el método de análisis dimensional que para escribir ecuaciones de movimiento.

Si el número de parámetros que determinan el fenómeno en estudio es mayor que el número de unidades básicas sobre las que se construye el sistema de unidades elegido, entonces, por supuesto, no se pueden determinar todos los exponentes en la fórmula propuesta para el valor buscado. En este caso, es útil en primer lugar determinar todas las combinaciones adimensionales independientes de los parámetros elegidos. Entonces la cantidad física deseada será determinada no por una fórmula del tipo (2), sino por el producto de alguna combinación (la más simple) de parámetros que tenga la dimensión deseada (es decir, la dimensión de la cantidad deseada) por alguna función de los parámetros adimensionales encontrados.

Es fácil ver que en el ejemplo anterior de un cuerpo que cae desde una altura, es imposible formar una combinación adimensional de las cantidades y la combinación adimensional. Por lo tanto, la fórmula (2) agota todos los casos posibles.

Parámetro adimensional. Consideremos ahora el siguiente problema: determinamos el alcance del vuelo horizontal de un proyectil disparado en dirección horizontal con una velocidad inicial desde un cañón ubicado en una montaña de altura

En ausencia de resistencia del aire, el número de parámetros de los que puede depender el rango deseado es igual a cuatro: y etc. Dado que el número de unidades básicas es igual a tres, es imposible una solución completa del problema por el método de las dimensiones. . Primero encontremos todos los parámetros adimensionales independientes y que pueden estar compuestos por y

Esta expresión corresponde a la siguiente igualdad de dimensiones:

De aquí obtenemos el sistema de ecuaciones

que da y para el parámetro adimensional deseado obtenemos

Se puede ver que el único parámetro adimensional independiente en el problema bajo consideración es .

donde es la función aún desconocida del parámetro adimensional El método de las dimensiones (en la versión presentada) no permite determinar esta función. Pero si sabemos de alguna parte, por ejemplo, por experiencia, que el alcance deseado es proporcional a la velocidad horizontal del proyectil, entonces la forma de la función se determina inmediatamente: la velocidad debe entrar en ella a la primera potencia, es decir

Ahora de (5) para el alcance del proyectil obtenemos

que coincide con la respuesta correcta

Hacemos hincapié en que con este método para determinar el tipo de función, es suficiente para nosotros conocer la naturaleza de la dependencia del rango de vuelo establecida experimentalmente no en todos los parámetros, sino solo en uno de ellos.

Unidades vectoriales de longitud. Pero es posible determinar el rango (7) solo a partir de consideraciones dimensionales, si aumentamos a cuatro el número de unidades básicas a través de las cuales se expresan los parámetros, etc. Hasta ahora, al escribir fórmulas de dimensión, no se hacía distinción entre unidades de longitud en las direcciones horizontal y vertical. Sin embargo, tal distinción puede introducirse basándose en el hecho de que la gravedad actúa solo verticalmente.

Denotemos la dimensión de la longitud en la dirección horizontal a través y en la dirección vertical - a través Entonces la dimensión del rango de vuelo en la dirección horizontal será la dimensión de la altura será la dimensión de la velocidad horizontal será y para la aceleración

caída libre obtenemos Ahora, mirando la fórmula (5), vemos que la única forma de obtener la dimensión correcta en el lado derecho es tomando proporcional Volvemos a la fórmula (7).

Por supuesto, al tener cuatro unidades básicas y M, uno puede construir directamente el valor de la dimensión requerida a partir de cuatro parámetros y

La igualdad de las dimensiones de la izquierda y partes correctas tiene la forma

El sistema de ecuaciones para x, y, z y da los valores y llegamos nuevamente a la fórmula (7).

Las diferentes unidades de longitud utilizadas aquí en direcciones mutuamente perpendiculares a veces se denominan unidades vectoriales de longitud. Su aplicación amplía significativamente las posibilidades del método de análisis dimensional.

Cuando se utiliza el método de análisis dimensional, es útil desarrollar habilidades hasta el punto de no hacer un sistema de ecuaciones para los exponentes en la fórmula deseada, sino seleccionarlos directamente. Ilustremos esto en el siguiente problema.

Una tarea

Rango maximo. ¿A qué ángulo con la horizontal se debe lanzar una piedra para maximizar el rango de vuelo horizontal?

Solución. Supongamos que hemos "olvidado" todas las fórmulas cinemáticas e intentemos obtener una respuesta a partir de consideraciones dimensionales. A primera vista, puede parecer que el método de las dimensiones no es aplicable aquí en absoluto, ya que en la respuesta debe entrar alguna función trigonométrica del ángulo de lanzamiento. Por lo tanto, en lugar del ángulo a en sí mismo, intentaremos buscar una expresión para el rango Está claro que no podemos prescindir de las unidades vectoriales de longitud.

Se debe enfatizar que el objetivo final en el caso bajo consideración sigue siendo el mismo: encontrar números de similitud para los cuales se debe realizar el modelado, pero se resuelve con una cantidad significativamente menor de información sobre la naturaleza del proceso.

Para aclarar lo que sigue, repasaremos brevemente algunos de los conceptos fundamentales. Se puede encontrar una presentación detallada en el libro de A.N. Lebedev "Modelado en la investigación científica y técnica". - M.: Radio y comunicaciones. 1989. -224 págs.

Todo objeto material tiene una serie de propiedades que permiten su expresión cuantitativa. Además, cada una de las propiedades se caracteriza por el tamaño de una cierta cantidad física. Las unidades de algunas cantidades físicas pueden elegirse arbitrariamente y, con su ayuda, representar las unidades de todas las demás. Las unidades físicas elegidas arbitrariamente se denominan principal. En el sistema internacional (aplicado a la mecánica), es el kilogramo, el metro y el segundo. El resto de las cantidades expresadas en función de estas tres se denominan derivados.

La unidad base se puede indicar con el símbolo de la cantidad correspondiente o con un símbolo especial. Por ejemplo, las unidades de longitud son L, unidades de masa - METRO, unidad de tiempo - T. O bien, la unidad de longitud es el metro (m), la unidad de masa es el kilogramo (kg), la unidad de tiempo es el segundo (s).

La dimensión se entiende como una expresión simbólica (a veces llamada fórmula) en forma de monomio de potencia, que conecta el valor derivado con los principales. La forma general de esta regularidad tiene la forma

dónde X, y, z- Indicadores de dimensión.

Por ejemplo, la dimensión de la velocidad.

Para una cantidad adimensional, todos los indicadores , y por lo tanto .

Las siguientes dos afirmaciones son bastante claras y no necesitan pruebas especiales.

La razón de los tamaños de dos objetos es un valor constante, independientemente de las unidades en que se expresen. Entonces, por ejemplo, si la relación entre el área ocupada por las ventanas y el área de las paredes es 0,2, este resultado no cambiará si las áreas mismas se expresan en mm2, m2 o km2.

La segunda posición se puede formular de la siguiente manera. Cualquier relación física correcta debe ser dimensionalmente uniforme. Esto significa que todos los términos incluidos tanto en la parte derecha como en la izquierda deben tener la misma dimensión. Esta simple regla se implementa claramente en la vida cotidiana. Todo el mundo se da cuenta de que los metros solo se pueden sumar a metros y no a kilogramos o segundos. Debe entenderse claramente que la regla sigue siendo válida cuando se consideran incluso las ecuaciones más complejas.

El método de análisis dimensional se basa en el llamado teorema (léase: pi-teorema). -teorema que establece una conexión entre una función expresada en términos de parámetros dimensionales y una función en forma adimensional. El teorema se puede formular más completamente de la siguiente manera:

Cualquier relación funcional entre cantidades dimensionales se puede representar como una relación entre norte complejos adimensionales (números) compuestos por estas cantidades. El número de estos complejos , dónde norte- número de unidades básicas. Como se señaló anteriormente, en hidromecánica (kg, m, s).

Sea, por ejemplo, el valor PERO es una función de cinco cantidades dimensionales (), es decir

(13.12)

Del teorema se sigue que esta dependencia se puede transformar en una dependencia que contiene dos números ( )

(13.13)

donde y son complejos adimensionales compuestos de cantidades dimensionales.

Este teorema a veces se atribuye a Buckingham y se llama teorema de Buckingham. De hecho, muchos científicos destacados contribuyeron a su desarrollo, incluidos Fourier, Ryabushinsky y Rayleigh.

La demostración del teorema está más allá del alcance del curso. Si es necesario, se puede encontrar en el libro de L.I. Sedov "Métodos de similitud y dimensiones en mecánica" - M .: Nauka, 1972. - 440 p. También se proporciona una justificación detallada del método en el libro de V.A. Venikov y G.V. Venikov "Teoría de la similitud y el modelado" - M.: Escuela superior, 1984. -439 p. Una característica de este libro es que, además de los temas relacionados con la similitud, incluye información sobre la metodología para configurar un experimento y procesar sus resultados.

El uso del análisis dimensional para resolver problemas prácticos específicos está asociado con la necesidad de compilar una dependencia funcional de la forma (13.12), que en la siguiente etapa se procesa mediante técnicas especiales que finalmente conducen a la obtención de números (números de similitud).

La principal etapa creativa es la primera etapa, ya que los resultados obtenidos dependen de cuán correcta y completa sea la comprensión del investigador sobre la naturaleza física del proceso. En otras palabras, cómo la dependencia funcional (13.12) tiene en cuenta correcta y completamente todos los parámetros que afectan el proceso en estudio. Cualquier error aquí conduce inevitablemente a conclusiones erróneas. El llamado "error de Rayleigh" es conocido en la historia de la ciencia. Su esencia es que al estudiar el problema de la transferencia de calor en el flujo turbulento, Rayleigh no tuvo en cuenta la influencia de la viscosidad del flujo, es decir no lo incluyó en la dependencia (13.12). Como resultado, las proporciones finales obtenidas por él no incluían el número de similitud de Reynolds, que juega un papel extremadamente importante en la transferencia de calor.

Para comprender la esencia del método, considere un ejemplo, que ilustra tanto el enfoque general del problema como el método para obtener números de similitud.

Es necesario establecer el tipo de dependencia que permita determinar la pérdida de presión o pérdida de carga en flujo turbulento en tuberías redondas.

Recuerde que este problema ya se ha considerado en la Sección 12.6. Por tanto, es de indudable interés establecer cómo se puede resolver mediante el análisis dimensional y si esta solución aporta alguna información nueva.

Es claro que la caída de presión a lo largo de la tubería, debido a la energía gastada para vencer las fuerzas de fricción viscosa, es inversamente proporcional a su longitud, por lo tanto, para reducir el número de variables, es recomendable considerar no , pero , es decir. pérdida de presión por unidad de longitud de la tubería. Recuerde que la relación , donde es la pérdida de presión, se llama pendiente hidráulica.

A partir del concepto de la naturaleza física del proceso, se puede suponer que las pérdidas resultantes deberían depender de: el caudal medio del medio de trabajo (v); del tamaño de la tubería, determinado por su diámetro ( d); de propiedades físicas medio transportado, caracterizado por su densidad () y viscosidad (); y, finalmente, es razonable suponer que las pérdidas deben estar relacionadas de alguna manera con el estado de la superficie interna de la tubería, es decir con aspereza ( k) de sus paredes. Así, la dependencia (13.12) en el caso bajo consideración tiene la forma

(13.14)

Este es el final del primero y, debe enfatizarse, el paso más importante en el análisis de dimensiones.

De acuerdo con el teorema -, el número de parámetros influyentes incluidos en la dependencia es . En consecuencia, el número de complejos adimensionales, es decir, después del procesamiento apropiado (13.14) debe tomar la forma

(13.15)

Hay varias formas de encontrar números. Usaremos el método propuesto por Rayleigh.

Su principal ventaja es que es una especie de algoritmo que conduce a la solución del problema.

De los parámetros incluidos en (13.15) es necesario elegir tres cualquiera, pero para que incluyan las unidades básicas, es decir metro, kilogramo y segundo. Que sean v, d, . Es fácil verificar que cumplen con el requisito establecido.

Los números se forman en forma de monomios de potencia a partir de los parámetros seleccionados multiplicados por uno de los restantes en (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Ahora el problema se reduce a encontrar todos los exponentes. Al mismo tiempo, deben seleccionarse para que los números no tengan dimensiones.

Para resolver este problema, primero determinamos las dimensiones de todos los parámetros:

; ;

Viscosidad , es decir. .

Parámetro , y .

Y finalmente, .

Así, las dimensiones de los números serán

Del mismo modo, los otros dos

Al comienzo de la Sección 13.3, ya se señaló que para cualquier cantidad adimensional, los exponentes dimensionales . Por lo tanto, por ejemplo, para un número podemos escribir

Igualando los exponentes, obtenemos tres ecuaciones con tres incógnitas

¿Dónde encontramos; ; .

Sustituyendo estos valores en (13.6), obtenemos

(13.19)

Procediendo de manera similar, es fácil demostrar que

y .

Así, la dependencia (13.15) toma la forma

(13.20)

Dado que hay un número de similitud no definitorio (número de Euler), entonces (13.20) se puede escribir como una dependencia funcional

(13.21)

Debe tenerse en cuenta que el análisis de las dimensiones no da y, en principio, no puede dar valores numéricos en las proporciones obtenidas con su ayuda. Por lo tanto, debe terminar con un análisis de los resultados y, si es necesario, su corrección en base a conceptos físicos generales. Consideremos la expresión (13.21) desde estas posiciones. Su lado derecho incluye el cuadrado de la velocidad, pero esta entrada no expresa otra cosa que el hecho de que la velocidad está al cuadrado. Sin embargo, si dividimos este valor por dos, es decir, , entonces, como se sabe de la hidromecánica, adquiere un significado físico importante: el específico energía cinética, a - presión dinámica debida a la velocidad media. Teniendo esto en cuenta, conviene escribir (13.21) en la forma

(13.22)

Si ahora, como en (12.26), denotamos por la letra , entonces llegamos a la fórmula de Darcy

(13.23)

(13.24)

donde es el coeficiente de fricción hidráulica, que, como se deduce de (13.22), es una función del número de Reynolds y la rugosidad relativa ( k/d). La forma de esta dependencia sólo se puede encontrar experimentalmente.

LITERATURA

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1. APARATOS MATEMÁTICOS UTILIZADOS EN MECÁNICA DE FLUIDOS ........................................... .................................................................. ................... ..... 3

1.1. Vectores y operaciones sobre ellos .............................................. .................. ...... cuatro

1.2. Operaciones de primer orden (características diferenciales del campo). .................................................. . .................................................. .. ... 5

1.3. Operaciones de segundo orden .................................................. .................. ......... 6

1.4. Relaciones Integrales de la Teoría de Campos ............................................... .. 7

1.4.1. Flujo de campo vectorial .................................................. ............... ... 7

1.4.2. Circulación del vector de campo .............................................. .. 7

1.4.3. Fórmula de Stokes ................................................. .. ............. 7

1.4.4. Fórmula de Gauss-Ostrogradsky ............................. 7

2. PROPIEDADES Y PARÁMETROS FÍSICOS BÁSICOS DEL LÍQUIDO. FUERZAS Y TENSIONES ............................................... ................ ................................ ocho

2.1. Densidad................................................. ................................... ocho

2.2. Viscosidad................................................. ...................................... 9

2.3. Clasificación de las fuerzas .................................................. ... .................... 12

2.3.1. Fuerzas de masa ................................................ .................................... 12

2.3.2. Fuerzas superficiales .................................................. ..................... .... 12

2.3.3. Medidor de estrés ................................................ .............. ...... 13

2.3.4. Ecuación de Movimiento en Esfuerzos ................................ 16

3. HIDROSTÁTICA.................................................... .................................. Dieciocho

3.1. Ecuación de equilibrio de fluidos ............................................... 18

3.2. Ecuación básica de la hidrostática en forma diferencial. .................................................. . .................................................. .. ... 19

3.3. Superficies equipotenciales y superficies de igual presión. .................................................. . .................................................. .. ... veinte

3.4. Equilibrio de un fluido homogéneo incompresible en el campo de gravedad. ley de pascual Ley hidrostática de la distribución de la presión... 20

3.5. Determinación de la fuerza de presión del líquido sobre la superficie de los cuerpos .... 22

3.5.1. Superficie plana................................................ .... 24

4. CINEMÁTICA.................................................... ...................................... 26

4.1. Movimiento estacionario e inestable de un fluido ...... 26

4.2. Ecuación de continuidad (continuidad) ........................................... .. 27

4.3. Líneas de corriente y trayectorias ............................................... .......................... 29

4.4. Tubo de chorro (superficie de chorro) ............................................. ...... ... 29

4.5. Modelo de flujo de chorro .................................................. .......................... 29

4.6. Ecuación de continuidad para un goteo ........................................... .. 30

4.7. Aceleración de una partícula líquida ............................................... ..................... ...... 31

4.8. Análisis del movimiento de una partícula líquida ........................................... .... 32

4.8.1. Deformaciones angulares .............................................. .................... ... 32

4.8.2. Deformaciones lineales .................................................. .................... .36

5. MOVIMIENTO VORTEX DE UN LÍQUIDO ........................................... .................... .38

5.1. Cinemática del movimiento de vórtice ............................................... .38

5.2. Intensidad de vórtice ................................................ ............................... 39

5.3. Velocidad de circulación ................................................. .................................... 41

5.4. Teorema de Stokes.................................................. .... ............................. 42

6. MOVIMIENTO POTENCIAL DE LÍQUIDOS ........................................... .44

6.1. Potencial de velocidad .............................................. .................................. 44

6.2. Ecuación de Laplace .................................................. .. ................... 46

6.3. Velocidad de circulación en un campo de potencial ................................ 47

6.4. Función de corriente de flujo plano ............................................. .................. .47

6.5. Significado hidromecánico de la función actual ................................ 49

6.6. Relación entre el potencial de velocidad y la función de corriente ............................. 49

6.7. Métodos para calcular los flujos potenciales ............................................... .50

6.8. Superposición de flujos potenciales ............................................... ...... 54

6.9. Flujo no circulante que pasa por un cilindro circular ................ 58

6.10. Aplicación de la teoría de funciones de variable compleja al estudio de flujos planos de un fluido ideal ..... 60

6.11. Mapeos conformes .................................................. ..................... ..... 62

7. HIDRODINÁMICA DE UN LÍQUIDO IDEAL ....................................... 65

7.1. Ecuaciones de movimiento para un fluido ideal................................... 65

7.2. Transformación Gromeka-Lamb.................................................... 66

7.3. Ecuación de movimiento en forma de Gromeka-Lamb ................................ 67

7.4. Integración de la ecuación de movimiento para un flujo constante .................................. .......................... ................................. ......................... ........... 68

7.5. Derivación simplificada de la ecuación de Bernoulli ............................. 69

7.6. Significado energético de la ecuación de Bernoulli .......................... 70

7.7. Ecuación de Bernoulli en forma de cabezas........................................... .... 71

8. HIDRODINÁMICA DE UN LÍQUIDO VISCOSO ........................................... ... 72

8.1. Modelo de un fluido viscoso .............................................. .................. ........... 72

8.1.1. Hipótesis de linealidad .............................................. .................... ... 72

8.1.2. Hipótesis de homogeneidad .............................................. .................... 74

8.1.3. Hipótesis de la isotropía ............................................... ............... .74

8.2 Ecuación de movimiento de un fluido viscoso. (Ecuación de Navier-Stokes) ............................................... ... ............................................................. .. ........... 74

9. FLUJOS UNIDIMENSIONALES DE LÍQUIDO INCOMPRESIBLE (fundamentos de hidráulica) .................................. .................................................................. .................................... 77

9.1. Caudal y velocidad media .................................................. .......... 77

9.2. Flujos débilmente deformados y sus propiedades ...................... 78

9.3. Ecuación de Bernoulli para el flujo de un fluido viscoso .......................... 79

9.4. El significado físico del coeficiente de Coriolis ....................................... 82

10. CLASIFICACIÓN DE FLUJOS DE LÍQUIDOS. ESTABILIDAD DE MOVIMIENTO ............................................... ................ .................................. .......... 84

11. REGULARIDADES DEL FLUJO LAMINAR EN TUBERÍAS REDONDAS ........................................... ....................... ........................... .......................... 86

12. PRINCIPALES REGULARIDADES DEL MOVIMIENTO TURBULENTO. .................................................. . .................................................. .. ............ 90

12.1. Información general................................................ ... ....................... 90

12.2. Ecuaciones de Reynolds .............................................. ... ............. 92

12.3. Teorías semiempíricas de la turbulencia ............................................... ... 93

12.4. Flujo turbulento en tuberías ............................................... 95

12.5. Leyes de potencia de la distribución de la velocidad ........... 100

12.6. Pérdida de presión (presión) durante el flujo turbulento en tuberías. .................................................. . .................................................. .. ... 100

13. FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA SIMILITUD Y MODELIZACIÓN .......... 102

13.1. Análisis de Inspección de Ecuaciones Diferenciales ..... 106

13.2. El concepto de autosemejanza ............................................... .................... .110

13.3. Análisis dimensional ................................................ .......................... 111

Literatura ……………………………………………………………………..118

CON RAZONES CREÍBLES "DE FIN A PRINCIPIO" EN LA EVALUACIÓN DE FACTORES DE PROCESO TECNOLÓGICO

Información general sobre el método de análisis dimensional

al estudiar fenómenos mecánicos se introducen una serie de conceptos, por ejemplo, energía, velocidad, voltaje, etc., que caracterizan el fenómeno en consideración y pueden darse y determinarse mediante un número. Todas las preguntas sobre el movimiento y el equilibrio se formulan como problemas para determinar ciertas funciones y valores numéricos para cantidades que caracterizan el fenómeno, y al resolver tales problemas en estudios puramente teóricos, las leyes de la naturaleza y varias relaciones geométricas (espaciales) se presentan en el forma de ecuaciones funcionales, generalmente diferenciales.

Muy a menudo, no tenemos la oportunidad de formular el problema en forma matemática, ya que el fenómeno mecánico estudiado es tan complejo que aún no existe un esquema aceptable para él y aún no existen ecuaciones de movimiento. Nos encontramos con tal situación al resolver problemas en el campo de la mecánica aeronáutica, hidromecánica, en problemas de estudio de resistencia y deformaciones, etc. En estos casos, el papel principal lo juegan los métodos de investigación experimental, que permiten establecer los datos experimentales más simples, que luego forman la base de teorías coherentes con un estricto aparato matemático. Sin embargo, los experimentos en sí solo pueden llevarse a cabo sobre la base de un análisis teórico preliminar. La contradicción se resuelve durante el proceso iterativo de investigación, proponiendo suposiciones e hipótesis y probándolas experimentalmente. Al mismo tiempo, se basan en la presencia de similitud de los fenómenos naturales, como ley general. La teoría de la semejanza y las dimensiones es en cierta medida la "gramática" del experimento.

Dimensión de cantidades

Unidades de medida de varias cantidades físicas, combinadas sobre la base de su consistencia, forman un sistema de unidades. Actualmente se utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el SI, independientemente entre sí, se eligen las unidades de medida de las llamadas cantidades primarias: masa (kilogramo, kg), longitud (metro, m), tiempo (segundo, segundo, s), intensidad de corriente (amperio , a), la temperatura (grado Kelvin, K) y la intensidad de la luz (vela, sv). Se denominan unidades básicas. Las unidades de medida de las cantidades restantes, secundarias, se expresan en términos de las principales. La fórmula que indica la dependencia de la unidad de medida de una cantidad secundaria con respecto a las unidades de medida principales se denomina dimensión de esta cantidad.

La dimensión de una cantidad secundaria se encuentra utilizando la ecuación de definición, que sirve como definición de esta cantidad en forma matemática. Por ejemplo, la ecuación que define la velocidad es

Indicaremos la dimensión de una cantidad usando el símbolo de esta cantidad tomado entre corchetes, luego

, o
,

donde [L], [T] son las dimensiones de longitud y tiempo, respectivamente.

La ecuación definitoria de la fuerza puede considerarse la segunda ley de Newton.

Entonces la dimensión de la fuerza tendrá la siguiente forma

[F]=[M][L][T] .

La ecuación definitoria y la fórmula para la dimensión del trabajo, respectivamente, tendrán la forma

A=F y [A]=[M][L] [T] .

En el caso general, tendremos la relación

[P] =[M] [L] [T] (1).

Prestemos atención al registro de la relación de dimensiones, todavía nos será útil.

Teoremas de similitud

La formación de la teoría de la similitud en el aspecto histórico se caracteriza por sus tres teoremas principales.

Primer teorema de similitud formula las condiciones y propiedades necesarias de tales sistemas, afirmando que los fenómenos similares tienen los mismos criterios de similitud en forma de expresiones adimensionales, que son una medida de la relación de la intensidad de dos efectos físicos que son esenciales para el proceso en estudio.

Segundo teorema de similitud(teorema P) demuestra la posibilidad de reducir la ecuación a una forma de criterio sin determinar la suficiencia de las condiciones para la existencia de similitud.

Tercer teorema de similitud apunta a los límites de la distribución regular de una sola experiencia, porque fenómenos similares serán aquellos que tengan similares condiciones de unicidad y los mismos criterios definitorios.

Así, la esencia metodológica de la teoría de las dimensiones radica en que cualquier sistema de ecuaciones que contenga un registro matemático de las leyes que gobiernan el fenómeno puede formularse como una relación entre cantidades adimensionales. Los criterios determinantes están compuestos por cantidades independientes entre sí que se incluyen en las condiciones de unicidad: relaciones geométricas, parámetros físicos, condiciones de contorno (iniciales y de contorno). El sistema de definición de parámetros debe tener las propiedades de completitud. Algunos de los parámetros definitorios pueden ser constantes dimensionales físicas, las llamaremos variables fundamentales, en contraste con otras, variables controladas. Un ejemplo es la aceleración de la gravedad. Es una variable fundamental. En condiciones terrestres constante y es una variable en las condiciones del espacio.

Para la correcta aplicación del análisis dimensional, el investigador debe conocer la naturaleza y número de variables fundamentales y controladas en su experimento.

En este caso, hay una conclusión práctica de la teoría del análisis dimensional y radica en que si el experimentador realmente conoce todas las variables del proceso en estudio, y aún no existe un registro matemático de la ley en forma de una ecuación, entonces tiene derecho a transformarlas aplicando la primera parte teoremas de Buckingham: "Si alguna ecuación no es ambigua con respecto a las dimensiones, entonces se puede convertir en una relación que contiene un conjunto de combinaciones adimensionales de cantidades".

Homogénea con respecto a las dimensiones es una ecuación cuya forma no depende de la elección de las unidades básicas.

PD. Los patrones empíricos suelen ser aproximados. Estas son descripciones en forma de ecuaciones no homogéneas. En su diseño, tienen coeficientes dimensionales que "funcionan" solo en un determinado sistema de unidades de medida. Posteriormente, con la acumulación de datos, llegamos a una descripción en forma de ecuaciones homogéneas, es decir, independientes del sistema de unidades de medida.

combinaciones adimensionales, en cuestión, son productos o razones de cantidades, redactadas de tal manera que en cada combinación se reducen las dimensiones. En este caso, los productos de varias cantidades dimensionales de diferente naturaleza física forman complejos, la relación de dos cantidades dimensionales de la misma naturaleza física - simples

En lugar de variar cada una de las variables a su vez,y cambiar algunos de ellos puede causardificultades, el investigador sólo puede variarcombinaciones. Esta circunstancia simplifica mucho el experimento y permite presentar en forma gráfica y analizar los datos obtenidos mucho más rápido y con mayor precisión.

Usando el método de análisis dimensional, organizando el razonamiento plausible "desde el final hasta el principio".

Habiéndose familiarizado con el información general, se debe prestar especial atención a los siguientes puntos.

El uso más eficiente del análisis dimensional es en presencia de una combinación adimensional. En este caso, es suficiente determinar experimentalmente solo el coeficiente de coincidencia (es suficiente configurar un experimento para compilar y resolver una ecuación). La tarea se vuelve más complicada con un aumento en el número de combinaciones adimensionales. El cumplimiento del requisito de una descripción completa de un sistema físico es, por regla general, posible (o tal vez así se considere) con un aumento en el número de variables tenidas en cuenta. Pero al mismo tiempo, aumenta la probabilidad de complicación de la forma de la función y, lo que es más importante, aumenta considerablemente la cantidad de trabajo experimental. La introducción de unidades básicas adicionales de alguna manera alivia el problema, pero no siempre y no completamente. El hecho de que la teoría del análisis dimensional se desarrolle con el tiempo es muy alentador y orienta a la búsqueda de nuevas posibilidades.

Bien, ¿y si al buscar y formar un conjunto de factores a tener en cuenta, es decir, al recrear de hecho la estructura del sistema físico en estudio, utilizamos la organización del razonamiento plausible "de principio a fin" según ¿Papus?

Para comprender la propuesta anterior y consolidar los fundamentos del método de análisis dimensional, proponemos analizar un ejemplo del establecimiento de la relación de factores que determinan la eficiencia de la ruptura explosiva durante la extracción subterránea de yacimientos minerales.

Teniendo en cuenta los principios del enfoque de sistemas, podemos juzgar correctamente que dos objetos sistémicos que interactúan forman un nuevo sistema dinámico. En las actividades de producción, estos objetos son objeto de transformación y sujeto instrumento de transformación.

Al romper el mineral sobre la base de la destrucción explosiva, podemos considerar el macizo del mineral y el sistema de cargas explosivas (pozos) como tales.

Al utilizar los principios del análisis dimensional con la organización del razonamiento plausible “de principio a fin”, obtenemos la siguiente línea de razonamiento y un sistema de interrelaciones entre los parámetros del complejo explosivo y las características del arreglo.

d metro = f 1 (W, yo 0 ,t diputado , s)	d metro = k 1 W(st diputado ¤ yo 0 W) norte (1)
yo 0 = f 2 (YO C ,V bóer ,K y )	yo 0 = k 2 yo C V bóer k y (2)
yo C = f 3 (t diputado ,P ,R)	yo Con = k 3 t aire 2/3 q 2/3 A 1/3 (3)
t aire = f 4 (r Zab ,PAGS máx. yo bien )	t aire = k 4 r Zab 1/2 PAGS máx. –1/2 yo bien (4)
PAGS máx. = F 5 (r Zar D)	PAGS máx. = k 5 r Zar D 2 (5)

Las designaciones y fórmulas para las dimensiones de las variables utilizadas se dan en la Tabla.

VARIABLES	Designacion	dimensiones
Diámetro máximo de trituración	d metro	[ L]
Línea de menor resistencia		[ L]
Resistencia a la compresión de las rocas
Período (intervalo) de desaceleración de la voladura	t diputado	[ T]
Impulso de explosión por 1 m 3 de la matriz	yo 0
Consumo específico de perforación, m/m 3	V bóer	[ L -2 ]
La tasa de utilización de los pozos bajo carga	A es
Impulso de explosión por 1 m de pozo	yo C
Energía de explosión por 1 m de carga
Dureza acústica del medio (A=gC)
El tiempo de impacto de la explosión en el pozo.	t aire	[ T]
Densidad derivada	r Zab	[ L -3 METRO]
longitud del pozo	yo bien	[ L]
Presión inicial máxima del pozo		[ L -1 MT -2 ]
Densidad de carga en el pozo	r Zar	[ L -3 METRO]
Velocidad de detonación explosiva		[ LT -1 ]

Pasando de la fórmula (5) a la fórmula (1), desvelando las relaciones establecidas, y teniendo en cuenta además la relación previamente establecida entre el diámetro de la pieza media y el diámetro de la pieza máxima en cuanto a colapso

d Casarse = k 6 d metro 2/3 , (6)

obtenemos la ecuación general para la relación de factores que determinan la calidad de trituración:

d Casarse = kilovatios 2/3 [ s t diputado / r Zab 1/3 D -2/3 yo bien 2/3 METRO Zar 2|3 tu siglos 2/3 PERO 1/3 V bóer A es W] norte (7)

Transformemos la última expresión para crear complejos adimensionales, teniendo en cuenta:

q= METRO Zar tu siglos ; q siglos =M Zar V bóer A es ; METRO Zab =0.25 pags r Zab d bien 2 ;

dónde METRO Zar es la masa de la carga explosiva en 1 m de longitud del pozo, kg/m;

METRO Zab – masa de despalillado en 1 m de despalillado, kg/m;

tu siglos – poder calorífico de los explosivos, kcal/kg.

En el numerador y denominador usamos [METRO Zar 1/3 tu siglos 1/3 (0.25 pagsd bien 2 ) 1/3 ] . finalmente conseguiremos

Todos los complejos y simples tienen un significado físico. De acuerdo con datos experimentales y datos de práctica, el exponente de potencia norte=1/3, y coeficiente k se determina en función de la escala de simplificación de la expresión (8).

Aunque el éxito del análisis dimensional depende de una correcta comprensión del significado físico de un problema en particular, luego de la elección de las variables y dimensiones básicas, este método puede aplicarse de manera completamente automática. Por lo tanto, este método puede formularse fácilmente en forma de prescripción, teniendo en cuenta, sin embargo, que tal "receta" requiere que el investigador seleccione correctamente los componentes constituyentes. Lo único que podemos hacer aquí es dar algunos consejos generales.

Nivel 1. Seleccionar variables independientes que afectan al sistema. Los coeficientes dimensionales y las constantes físicas también deben considerarse si juegan un papel importante. este es el mas responsablecualquier etapa de toda la obra.

Etapa 2. Elige un sistema de dimensiones básicas a través del cual puedas expresar las unidades de todas las variables seleccionadas. Los siguientes sistemas se utilizan comúnmente: en mecánica y dinámica de fluidos METROLq(algunas veces Floridaq), en termodinámica METROLqT o MLqJU; en ingeniería eléctrica y física nuclear METROLqA o METROLq m., en este caso, la temperatura puede considerarse como una cantidad básica o expresarse en términos de energía cinética molecular.

Etapa 3. Anota las dimensiones de las variables independientes seleccionadas y haz combinaciones adimensionales. La solución será correcta si: 1) cada combinación es adimensional; 2) el número de combinaciones no es menor que el predicho por el teorema p; 3) cada variable ocurre en combinaciones al menos una vez.

Etapa 4. Examine las combinaciones resultantes en términos de su aceptabilidad, significado físico y (si se va a utilizar el método de mínimos cuadrados) concentración de incertidumbre en una combinación si es posible. Si las combinaciones no cumplen con estos criterios, entonces uno puede: 1) obtener otra solución a las ecuaciones de los exponentes para encontrar el mejor conjunto de combinaciones; 2) elegir otro sistema de dimensiones básicas y hacer todo el trabajo desde el principio; 3) verificar la corrección de la elección de las variables independientes.

Escenario 5. Cuando se obtiene un conjunto satisfactorio de combinaciones adimensionales, el investigador puede planificar cambiar las combinaciones variando los valores de las variables seleccionadas en su equipo. Se debe prestar especial atención al diseño de los experimentos.

Cuando se utiliza el método de análisis dimensional con la organización del razonamiento plausible "desde el final hasta el principio", es necesario introducir correcciones serias, y especialmente en la primera etapa.

Breves conclusiones

Hoy es posible formar las disposiciones conceptuales del trabajo de investigación de acuerdo con el algoritmo normativo ya establecido. El seguimiento paso a paso le permite agilizar la búsqueda de un tema y determinar sus etapas de implementación con acceso a disposiciones y recomendaciones científicas. El conocimiento del contenido de los procedimientos individuales contribuye a su evaluación experta y selección de los más apropiados y efectivos.

Progreso de la investigación científica. se puede presentar en forma de esquema lógico, determinado en el proceso de realización de la investigación, destacando tres etapas que son características de toda actividad:

Etapa preparatoria: También puede denominarse etapa de preparación metodológica de la investigación y de formación del soporte metodológico de la investigación. El alcance del trabajo es el siguiente. Definición del problema, desarrollo de una descripción conceptual del tema de investigación y definición (formulación) del tema de investigación. Elaboración de un programa de investigación con la formulación de tareas y el desarrollo de un plan para su solución. Elección razonable de los métodos de investigación. Desarrollo de una metodología para el trabajo experimental.

Escenario principal: - ejecutivo (tecnológico), ejecución del programa y plan de investigación.

etapa final: - procesamiento de los resultados de la investigación, formulación de las principales disposiciones, recomendaciones, experiencia.

Las disposiciones científicas son una nueva verdad científica: esto es lo que necesita y puede defenderse. La formulación de disposiciones científicas puede ser matemática o lógica. Las disposiciones científicas ayudan a la causa, a la solución del problema. Las disposiciones científicas deben ser específicas, es decir, reflejan (contienen) el tema por el cual fueron resueltas. Para realizar una vinculación general del contenido de la I+D con la estrategia para su implementación, se recomienda trabajar la estructura del informe de I+D antes y (o) después del desarrollo de estas disposiciones. En el primer caso, el trabajo sobre la estructura del informe incluso tiene potencial heurístico, contribuye a comprender las ideas de I+D, en el segundo caso, actúa como una especie de prueba de estrategia y retroalimentación de la gestión de I+D.

Recordemos que hay una lógica de buscar, trabajar y lo presentación friki. La primera es dialéctica - dinámica, con ciclos, retornos, difícil de formalizar, la segunda es la lógica de un estado estático, formal, es decir. que tiene una forma estrictamente definida.

Como conclusión es deseable no dejar de trabajar en la estructura del informe durante todo el tiempo de la investigación y así episódicamente “verificar los relojes de DOS LÓGICAS”.

La sistematización de los problemas modernos de la minería a nivel administrativo contribuye al aumento de la eficiencia del trabajo sobre el concepto.

En el soporte metodológico del trabajo de investigación, a menudo nos encontramos con situaciones en las que las disposiciones teóricas sobre un problema específico aún no han sido completamente desarrolladas. Es apropiado utilizar el "arrendamiento" metodológico. Como ejemplo de tal enfoque y su posible uso, es de interés el método de análisis dimensional con la organización del razonamiento plausible "de principio a fin".

Términos y conceptos básicos

Objeto y sujeto de la actividad.	Relevancia	tecnología minera
Concepto		Instalación de tecnología minera
Propósito y establecimiento de metas		Herramientas de tecnología minera
problema problema situación	Estructura	Efecto físico y técnico
Etapas y etapas de la investigación.		posición científica
Teoremas de similitud	Dimensión	Unidades básicas

La experiencia es la exploradora de la naturaleza. Él nunca engaña... Debemos hacer experimentos, cambiando las circunstancias, hasta extraer de ellas reglas generales, porque la experiencia entrega las reglas verdaderas.

leonardo da vinci

En física... no hay lugar para pensamientos confusos...
Entendiendo realmente la naturaleza
Este o aquel fenómeno debería recibir la atención principal.
Leyes a partir de consideraciones de dimensión. E. Fermi

La descripción de este o aquel problema, la discusión de cuestiones teóricas y experimentales comienza con una descripción cualitativa y una evaluación del efecto que da este trabajo.

Al describir un problema, es necesario, en primer lugar, evaluar el orden de magnitud del efecto esperado, los casos límite simples y la naturaleza de la relación funcional de las cantidades que describen este fenómeno. Estas preguntas se denominan descripción cualitativa de la situación física.

uno de los mas metodos efectivos tal análisis es el método de las dimensiones.

Aquí hay algunas ventajas y aplicaciones del método dimensional:

evaluación rápida de la escala de los fenómenos en estudio;
obtención de dependencias cualitativas y funcionales;
restauración de fórmulas olvidadas en los exámenes;
realización de algunas tareas del examen;
verificación de la corrección de la solución de problemas.

El análisis dimensional se ha utilizado en física desde la época de Newton. Fue Newton quien formuló, muy relacionado con el método de las dimensiones, el principio de semejanza (analogía).

Los estudiantes se encuentran por primera vez con el método dimensional cuando estudian la radiación térmica en el curso de física de grado 11:

La característica espectral de la radiación térmica de un cuerpo es densidad espectral de la luminosidad de la energía rv- energía de radiación electromagnética emitida por unidad de tiempo por unidad de área de la superficie corporal en un intervalo de frecuencia unitario.

La unidad de densidad espectral de la luminosidad de la energía es el joule por metro cuadrado(1J/m2). La energía de la radiación térmica de un cuerpo negro depende de la temperatura y la longitud de onda. La única combinación de estas cantidades con la dimensión de J/m 2 es kT/ 2 ( = c/v). El cálculo exacto realizado por Rayleigh y Jeans en 1900, en el marco de la teoría ondulatoria clásica, dio el siguiente resultado:

donde k es la constante de Boltzmann.

Como ha demostrado la experiencia, esta expresión es consistente con datos experimentales solo en la región de frecuencias suficientemente bajas. Para frecuencias altas, especialmente en la región ultravioleta del espectro, la fórmula de Rayleigh-Jeans es incorrecta: difiere mucho del experimento. Los métodos de la física clásica resultaron insuficientes para explicar las características de la radiación del cuerpo negro. Por lo tanto, la discrepancia entre los resultados de la teoría ondulatoria clásica y el experimento a fines del siglo XIX llamada la "catástrofe ultravioleta".

Mostremos la aplicación del método de la dimensión en un ejemplo simple y bien entendido.

Foto 1

Radiación térmica de un cuerpo negro: catástrofe ultravioleta - discrepancia entre la teoría clásica de la radiación térmica y la experiencia.

Imagine que un cuerpo de masa m se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza constante F. Si la velocidad inicial del cuerpo es cero, y la velocidad al final del tramo recorrido del camino de longitud s es igual a v, entonces podemos escribir el teorema de la energía cinética: Entre los valores F, m, v y s existe una conexión funcional.

Supongamos que se olvida el teorema de la energía cinética, pero entendemos que la dependencia funcional entre v, F, mys existe y tiene una ley de potencia.

Aquí x, y, z son algunos números. Vamos a definirlos. El signo ~ significa que el lado izquierdo de la fórmula es proporcional al lado derecho, es decir, donde k es un coeficiente numérico, no tiene unidades de medida y no se determina usando el método dimensional.

Las partes izquierda y derecha de la relación (1) tienen las mismas dimensiones. Las dimensiones de v, F, m y s son: [v] = m/c = ms -1 , [F] = H = kgms -2 , [m] = kg, [s] = m. (Símbolo [A ] denota la dimensión de A.) Escribamos la igualdad de dimensiones en las partes izquierda y derecha de la relación (1):

metro c -1 = kg x metro x c -2x kg y metro Z = kg x+y metro x+z c -2x .

No hay kilogramos en absoluto en el lado izquierdo de la ecuación, por lo que tampoco debería haber ninguno en el lado derecho.

Esto significa que

A la derecha, los metros están incluidos en las potencias de x + z, y a la izquierda, en las potencias de 1, por lo que

De manera similar, de una comparación de los exponentes en segundos, se sigue

De las ecuaciones obtenidas encontramos los números x, y, z:

x=1/2, y=-1/2, z=1/2.

La fórmula final parece

Al elevar al cuadrado los lados izquierdo y derecho de esta relación, obtenemos que

La última fórmula es una notación matemática del teorema de la energía cinética, aunque sin coeficiente numérico.

El principio de semejanza, formulado por Newton, es que la razón v 2 /s es directamente proporcional a la razón F/m. Por ejemplo, dos cuerpos con masas diferentes m 1 y m 2 ; sobre ellos actuaremos con diferentes fuerzas F 1 y F 2 , pero de tal forma que las relaciones F 1 / m 1 y F 2 / m 2 serán las mismas. Bajo la influencia de estas fuerzas, los cuerpos comenzarán a moverse. Si las velocidades iniciales son iguales a cero, entonces las velocidades adquiridas por los cuerpos en un segmento del camino de longitud s serán iguales. Esta es la ley de similitud, a la que llegamos con la ayuda de la idea de la igualdad de las dimensiones de las partes derecha e izquierda de la fórmula, que describe la relación de ley de potencia del valor de la velocidad final con los valores de fuerza, masa y longitud de trayectoria.

El método de las dimensiones se introdujo al construir los cimientos de la mecánica clásica, pero su aplicación efectiva para resolver problemas físicos comenzó a fines del pasado, a principios de nuestro siglo. Un gran mérito en la promoción de este método y la resolución de problemas interesantes e importantes con su ayuda pertenece al destacado físico Lord Rayleigh. Rayleigh escribió en 1915: A menudo me sorprende la poca atención que se presta al gran principio de la similitud, incluso por parte de científicos muy eminentes. A menudo sucede que los resultados de una minuciosa investigación se presentan como "leyes" recién descubiertas que, sin embargo, podrían obtenerse a priori en pocos minutos.

Hoy en día, ya no se puede reprochar a los físicos una actitud desdeñosa o una atención insuficiente al principio de similitud y al método de las dimensiones. Considere uno de los problemas clásicos de Rayleigh.

Problema de Rayleigh sobre vibraciones de una pelota en una cuerda.

Deje que una cuerda se estire entre los puntos A y B. La fuerza de tensión de la cuerda F. En el medio de esta cuerda en el punto C hay una bola pesada. La longitud del segmento AC (y, en consecuencia, CB) es igual a 1. La masa M de la pelota es mucho mayor que la masa de la cuerda misma. La cuerda se tira y se suelta. Está bastante claro que la pelota oscilará. Si la amplitud de estas x oscilaciones es mucho menor que la longitud de la cuerda, entonces el proceso será armónico.

Determinemos la frecuencia de vibraciones de la pelota en la cuerda. Sean conectadas las cantidades , F, M y 1 por una ley de potencia:

Los exponentes x, y, z son los números que necesitamos determinar.

Escribamos las dimensiones de las cantidades que nos interesan en el sistema SI:

C -1, [F] = kgm s -2, [M] = kg, = m.

Si la fórmula (2) expresa una regularidad física real, entonces las dimensiones de las partes derecha e izquierda de esta fórmula deben coincidir, es decir, la igualdad

c -1 = kg x metro x c -2x kg y metro z = kg x + y metro x + z c -2x

El lado izquierdo de esta ecuación no incluye metros ni kilogramos, y los segundos están incluidos en las potencias - 1. Esto significa que para x, y y z se cumplen las ecuaciones:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Resolviendo este sistema, encontramos:

x=1/2, y= -1/2, z= -1/2

Como consecuencia,

~F 1/2 M -1/2 1 -1/2

La fórmula exacta para la frecuencia difiere de la encontrada solo por un factor de ( 2 = 2F/(M1)).

Por lo tanto, no solo se obtuvo una estimación cualitativa, sino también cuantitativa de la dependencia de los valores de F, M y 1. En orden de magnitud, la combinación de potencia encontrada da el valor correcto de la frecuencia. La evaluación es siempre de interés en orden de magnitud. En problemas simples, los coeficientes que no están determinados por el método de las dimensiones a menudo se pueden considerar números del orden de la unidad. Esta no es una regla estricta.

Cuando estudio ondas, considero la predicción cualitativa de la velocidad del sonido mediante el método de análisis dimensional. Buscamos la velocidad del sonido como la velocidad de propagación de una onda de compresión y rarefacción en un gas. Los estudiantes no tienen dudas sobre la dependencia de la velocidad del sonido en un gas con la densidad del gas y su presión p.

Buscamos la respuesta en la forma:

donde С es un factor adimensional, cuyo valor numérico no se puede encontrar a partir del análisis de dimensiones. Pasando en (1) a la igualdad de dimensiones.

m / s \u003d (kg / m 3) x Pa y,

m / s \u003d (kg / m 3) x (kg m / (s 2 m 2)) y,

m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg y m y c -2y m -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2y.

La igualdad de dimensiones en los lados izquierdo y derecho de la igualdad da:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2 , y = 1/2 .

Así que la velocidad del sonido en un gas

La fórmula (2) en C=1 fue obtenida por primera vez por I. Newton. Pero las derivaciones cuantitativas de esta fórmula fueron muy difíciles.

Una determinación experimental de la velocidad del sonido en el aire se llevó a cabo en un trabajo colectivo de miembros de la Academia de Ciencias de París en 1738, que midió el tiempo que tardó el sonido de un disparo de cañón en recorrer una distancia de 30 km.

Al repetir este material en el grado 11, se llama la atención de los estudiantes sobre el hecho de que el resultado (2) se puede obtener para el modelo del proceso isotérmico de propagación del sonido utilizando la ecuación de Mendeleev-Clapeyron y el concepto de densidad:

es la velocidad de propagación del sonido.

Habiendo presentado a los estudiantes el método de las dimensiones, les doy este método para derivar la ecuación MKT básica para un gas ideal.

Los estudiantes entienden que la presión de un gas ideal depende de la masa de las moléculas individuales de un gas ideal, el número de moléculas por unidad de volumen - n (la concentración de moléculas de gas) y la velocidad de movimiento de las moléculas -.

Conociendo las dimensiones de las cantidades incluidas en esta ecuación, tenemos:

Comparando las dimensiones de las partes izquierda y derecha de esta igualdad, tenemos:

Por lo tanto, la ecuación básica del MKT tiene la siguiente forma:

- esto implica

Se puede ver en el triángulo sombreado que

Respuesta: B).

Hemos utilizado el método de la dimensión.

El método de dimensiones, además de llevar a cabo la verificación tradicional de la corrección de la resolución de problemas, realizando algunas tareas del Examen de Estado Unificado, ayuda a encontrar relaciones funcionales entre varias cantidades físicas, pero solo para aquellas situaciones donde estas dependencias son poder- ley. Hay muchas dependencias de este tipo en la naturaleza, y el método de las dimensiones es una buena ayuda para resolver tales problemas.

En los casos en que no se describan los procesos objeto de estudio ecuaciones diferenciales, una de las formas de analizarlos es un experimento, cuyos resultados se presentan mejor en forma generalizada (en forma de complejos adimensionales). El método para compilar tales complejos es método de análisis dimensional.

La dimensión de cualquier cantidad física está determinada por la relación entre ella y aquellas cantidades físicas que se toman como principales (primarias). Cada sistema de unidades tiene sus propias unidades básicas. Por ejemplo, en el Sistema Internacional de Unidades SI, las unidades de longitud, masa y tiempo se toman respectivamente como metro (m), kilogramo (kg), segundo (s). Las unidades de medida de otras magnitudes físicas, las denominadas magnitudes derivadas (secundarias), se adoptan sobre la base de leyes que establecen una relación entre dichas unidades. Esta relación se puede representar en forma de la llamada fórmula de dimensión.

La teoría de las dimensiones se basa en dos supuestos.

1. La relación de dos valores numéricos de cualquier cantidad no depende de la elección de escalas para las unidades de medida principales (por ejemplo, la relación de dos dimensiones lineales no depende de las unidades en las que se medirán) .
2. Cualquier relación entre cantidades dimensionales puede formularse como una relación entre cantidades adimensionales. Esta declaración representa el llamado teorema p en la teoría de las dimensiones.

De la primera posición se sigue que las fórmulas para la dimensión de las cantidades físicas deben tener la forma de dependencias de potencia

donde están las dimensiones de las unidades básicas.

La expresión matemática del teorema P se puede obtener en base a las siguientes consideraciones. Deje algún valor dimensional a 1 es una función de varias cantidades dimensionales independientes, es decir

De ahí se sigue que

Supongamos que el número de unidades dimensionales básicas a través de las cuales todo puede expresarse PAGS variables, es igual a t. El teorema P establece que si todos PAGS variables expresadas en términos de unidades básicas, entonces se pueden agrupar en términos P adimensionales, es decir,

En este caso, cada P-término contendrá una variable.

En problemas de hidromecánica, el número de variables incluidas en los P-términos debe ser cuatro. Tres de ellos serán decisivos (por lo general, la longitud característica, la velocidad del flujo del fluido y su densidad), se incluyen en cada uno de los términos P. Una de estas variables (la cuarta) es diferente al pasar de un P-término a otro. Indicadores de grado de criterios definitorios (denotemoslos por x, y , z ) son desconocidos Por conveniencia, tomamos el exponente de la cuarta variable igual a -1.

Las relaciones para los términos P se verán como

Las variables incluidas en los P-términos se pueden expresar en términos de las dimensiones básicas. Como estos términos son adimensionales, los exponentes de cada una de las dimensiones básicas deben ser iguales a cero. Como resultado, para cada uno de los P-términos, es posible componer tres ecuaciones independientes (una para cada dimensión) que relacionan los exponentes de las variables incluidas en ellas. La solución del sistema de ecuaciones resultante permite encontrar los valores numéricos de exponentes desconocidos. X , a , z. Como resultado, cada uno de los P-términos se determina en forma de una fórmula compuesta por cantidades específicas (parámetros ambientales) en el grado apropiado.

Como ejemplo específico, encontraremos una solución al problema de determinar la pérdida de carga por fricción en un flujo de fluido turbulento.

A partir de consideraciones generales, podemos concluir que la pérdida de presión en la tubería depende de los siguientes factores principales: diámetro d , longitud yo , rugosidad de la pared k, densidad ρ y viscosidad µ del medio, velocidad de flujo promedio v , esfuerzo cortante inicial, es decir

(5.8)

La ecuación (5.8) contiene n=7 miembros y el número de unidades dimensionales básicas. De acuerdo con el teorema P, obtenemos una ecuación que consta de P-términos adimensionales:

(5.9)

Cada término P contiene 4 variables. Tomando como principales variables el diámetro d , velocidad v , densidad, y combinándolas con el resto de las variables de la ecuación (5.8), obtenemos

Al componer la ecuación de dimensión para el primer término П, tendremos

Sumando los exponentes con las mismas bases, encontramos

Para la dimensión PAGS 1 era igual a 1 ( PAGS 1 es una cantidad adimensional), es necesario exigir que todos los exponentes sean iguales a cero, es decir

(5.10)

Sistema ecuaciones algebraicas(5.10) contiene tres cantidades desconocidas X 1, y 1,z 1. De la solución de este sistema de ecuaciones, encontramos X 1 = 1; a 1=1; z 1= 1.