Както Рос Ашби отбеляза отдавна, никоя система (нито компютър, нито организъм) не може да произведе нещо. новако тази система не съдържа някакъв източник на произволност. В компютър това би бил генератор на произволни числа, благодарение на който "търсенето" на машината чрез проба и грешка в крайна сметка изчерпва всички възможности на изследваната област.

С други думи, всеки, който създава нещо ново, т.е. творческисистемите са, на езика на глава 2, разнопосочни; напротив, поредици от събития, които са предвидими, са, ipso facto*, конвергентни.

Между другото, това не означава, че всички дивергентни системи са стохастични. Този процес изисква не само достъп до произволност, но и вграден компаратор, наречен в еволюцията „естествен подбор“, а в мисленето „предпочитание“ или „подсилване“.

Напълно възможно е от гледна точка на вечността, тоест в космически и вечен контекст, всичкопоследователностите от събития стават стохастични. От тази гледна точка или дори от гледна точка на един спокойно симпатичен даоистки светец, може да е ясно, че няма нужда от окончателно предпочитание, което да ръководи цялата система. Но ние живеем в ограничена област на Вселената и всеки от нас съществува в ограничено време. За нас различията са реални и потенциален източник на объркване или иновации.

Понякога дори подозирам, че ние, макар и обвързани с илюзия, вършим тази работа по избор и предпочитание за даоиста, който гледа отвън. (Спомням си един поет, който отказа военна служба. Твърди се, че той заяви: „Аз съм цивилизацията, за която се бият тези момчета“. Може би в някакъв смисъл е бил прав?).

По един или друг начин, изглежда, ние съществуваме в ограничена биосфера, където основната посока се определя от два свързани стохастични процеса. Такава система не може да остане непроменена дълго време. Но скоростпромяната е ограничена от три фактора:

а. Бариерата на Вайсман, разделяща соматичната от генетичната промяна, обсъдена в раздел 1 на тази глава, гарантира, че соматичната корекция няма да стане безразсъдно необратима.

b. Във всяко поколение сексуалното размножаване гарантира, че ДНК планът на новата клетка няма да влезе в остър конфликт с този на старата, тоест с форма на естествен подбор, действащ на ниво ДНК, без значение какъв е този девиантен нов план може да означава за фенотипа..

в. Епигенезата действа като конвергентна и запазена система; развитието на ембриона, само по себе си, представлява контекст на подбор, който благоприятства консерватизма.

Фактът че естествен подборима консервативен процес, първи осъзна Алфред Ръсел Уолъс. Споменахме по-рано, по друг повод, свързания квази-кибернетичен модел от писмото му до Дарвин, обясняващо неговата идея:

„Този ​​принцип работи точно като този на центробежния регулатор на парна машина, който проверява и коригира всички отклонения почти преди да станат очевидни; по подобен начин в животинското царство никакво отклонение от равновесието не може да достигне забележима величина, тъй като би се усетило още на първата стъпка, правейки съществуването трудно и правейки последващото изчезване почти неизбежно.

9. сравнение и комбиниране на двете стохастични системи

В този раздел ще се опитам да прецизирам описанието на двете системи, да изследвам функциите на всяка от тях и накрая да изследвам природата по-голяма системауниверсална еволюция, която е комбинация от тези две подсистеми.

Всяка подсистема има два компонента (както следва от думата стохастичен) (виж Речника): случаен компонент и процес на подбор, действащ върху продуктите на произволния компонент.

В стохастичната система, на която дарвинистите дадоха най-много внимание, произволният компонент е генетичнипромяна, чрез мутация или чрез пренареждане на гени между членове на популация. Предполагам, че мутацията не отговаря на изискванията на околната среда или на вътрешни напреженияорганизъм. Но в същото време предполагам, че механизмът за подбор, действащ върху произволно променящ се организъм, включва както вътрешните напрежения на всяко същество, така и условията на околната среда, действащи върху това същество.

На първо място, трябва да се отбележи, че тъй като ембрионите са защитени от яйцеклетката или тялото на майката, външна среданяма силно селективно влияние върху генетичната иновация, преди епигенезата да е преминала през серия от етапи. В миналото, както и досега, външният естествен подбор благоприятстваше промените, които предпазваха ембриона и малките от външни опасности. Резултатът беше все по-голямо разделяне на двете стохастични системи.

Алтернативен метод за осигуряване на оцеляването на поне част от потомството е да се умножат по голям брой. Ако във всеки цикъл на размножаване индивидът произвежда милиониембриони, тогава подрастващото поколение може да понесе случайно убиване, особено оставяйки живи само няколко индивида от милион. Това означава вероятностно отношение към външните причини за смъртта, без опит за приспособяване към тяхната частна природа. С тази стратегия вътрешният подбор също придобива способността свободно да контролира промяната.

Така, благодарение на защитата на незрелите потомци или благодарение на астрономическото умножаване на техния брой, се оказа, че в наше време за много организми трябва да се появи нова форма преди всичкоподчинени на ограниченията на вътрешните условия. Ще бъде ли жизнеспособна новата форма в тази среда? Ще може ли развиващият се ембрион да понесе новата форма или промяната ще причини смъртоносни аномалии в развитието на ембриона? Отговорът ще зависи от соматичната гъвкавост на ембриона.

Освен това при половото размножаване комбинацията от хромозоми по време на оплождането неизбежно води до процес на сравнение. Всичко ново в една яйцеклетка или сперма трябва да отговаря на старото в нейния партньор и този тест благоприятства съответствието и неизменността. Прекалено рязкото нововъведение ще бъде елиминирано като несъвместимо.

Процесът на сливане в репродукцията е последван от всички сложности на развитието и тук комбинаторният аспект на ембриологията, подчертан от термина епигенеза*, изисква допълнително изпитване за съответствие. Както знаем, в статуквото ante всички изисквания за съвместимост са изпълнени, за да се получи полово зрял фенотип. Ако това не беше така, тогава статуквото никога нямаше да съществува.

Много е лесно да изпаднете в заблудата, че жизнеспособността на новото означава, че нещо не е наред със старото. Тази гледна точка, към която неизбежно са склонни организмите, които вече страдат от патологиите на твърде бързата, безразсъдна социална промяна, е, разбира се, в по-голямата си част погрешна. Е винагитрябва да сте сигурни, че новото не по-лошостар. Все още нямаме увереност, че едно общество с двигатели с вътрешно горене е жизнеспособно или че електронните комуникации като телевизията са съвместими с агресивната вътрешноспецифична конкуренция, породена от Индустриалната революция. При равни други условия (което е рядкост), старото, донякъде тествано, може да се счита за по-жизнеспособно от новото, нетествано изобщо.

По този начин вътрешната селекция е първата серия от опити за всеки нов генетичен компонент или комбинация.

За разлика от това, втората стохастична система има своите преки корени във външната настройка (т.е. във взаимодействието между фенотипа и околната среда). Случайният компонент се доставя тук от система, състояща се от фенотип, взаимодействащ с околната среда.

Особено придобити черти, причинени от реакция на дадена промяна в околната среда, могат да бъдат предвидими. Ако доставката на храна е намалена, има вероятност тялото да отслабне, главно поради метаболизма на собствените си мазнини. Упражненията и неупражненията предизвикват изменения в развитието или недоразвитие на отделни органи и т.н. По подобен начин често могат да се предвидят индивидуални промени в околната среда: може да се предвиди, че по-студената промяна на климата ще намали местната биомаса и по този начин ще намали доставката на храна за много видове организми. Но заеднофенотипът и организмът произвеждат нещо непредвидимо. Нито организмът, нито околен святняма информация какво ще направи партньорът в следващата стъпка. Но тази подсистема вече има компонент на селекция, доколкото соматичните промени, причинени от навика и околната среда (включително самия навик) са адаптивни. (Широк клас от екологични и емпирични промени, които не са нито адаптивни, нито благоприятни за оцеляване, са известни като зависимости).

Околна среда и физиология заедно офертасоматични промени, които могат или не могат да бъдат жизнеспособни и тяхната жизнеспособност се определя от текущото състояние на организма, което определя генетика. Както обясних в раздел 4, границите, които соматичната промяна или ученето могат да достигнат, в крайна сметка се определят от генетиката.

В резултат на това комбинацията от фенотип и среда представлява случаен компонент на стохастичната система, която предлагапромяна; и генетичното състояние има, позволявайки някои промени и забранявайки други. Ламаркистите биха искали соматичните промени да контролират генетиката, но е точно обратното. Генетиката е тази, която ограничава соматичните промени, правейки някои възможни, а други невъзможни.

Нещо повече, геномът на индивидуалния организъм, където се намират възможностите за промяна, е това, което компютърните инженери биха нарекли банка данни– осигурява предлагане на налични алтернативни начини за настаняване. При даден индивид повечето от тези алтернативи остават неизползвани и следователно невидими.

По същия начин, в друга стохастична система, геномът популациисега се смята за изключително разнороден. Всички възможни генетични комбинации, дори редки, се създават чрез пренареждане на гени при половото размножаване. По този начин има огромно количество алтернативни генетични пътища, които естествената популация може да избере под натиск за селекция, както е показано от изследването на Waddington върху генетичната асимилация (обсъдено в раздел 3).

Ако тази картина е вярна, тогава и населението, и индивидът са готови за промяна. Може да се предположи, че няма нужда да се чакат правилните мутации и това е от известен исторически интерес. Както знаете, Дарвин се колебаеше във възгледите си относно ламаркизма, вярвайки, че геоложкото време не е достатъчно, за да може процесът на еволюция да работи без ламаркистката наследственост. Затова в по-късните издания на Произхода на видовете той приема позицията на Ламарк. Откритието на Теодосий Добжански, че единицата на еволюцията е популацията и че популацията е разнородно хранилище на генетични възможности, значително съкращава времето, необходимо на еволюционната теория. Населението е в състояние незабавно да реагира на натиска на околната среда. Отделният организъм има способността за адаптивна соматична промяна, но популацията, чрез селективно елиминиране на индивидите, прави промяната, която се предава на бъдещите поколения. Предмет на подбор е възможностсоматична промяна. Селекцията, извършвана от средата, действа върху популации.

Сега се обръщаме към изследването на отделните приноси към цялостния процес на еволюция на всяка от тези две стохастични системи. Ясно е, че във всеки случай посоката на промените, които в крайна сметка влизат в общата картина, се определя от селективния компонент.

Времевата структура на двата стохастични процеса е задължително различна. При произволна генетична промяна, ново състояние на ДНК съществува от момента на оплождането, но може да допринесе за външна корекция много по-късно. С други думи, първият тест за генетична промяна е тест консерватизъм. Следователно, точно тази вътрешна стохастична система гарантира формалното сходство на вътрешните отношения между частите (т.е. хомология), което е толкова забележимо във всички случаи. В допълнение, възможно е да се предвиди кой от многото видове хомология ще бъде най-предпочитан за вътрешна селекция; отговор преди всичко- цитологично: това е поразително сходство, което свързва целия свят на клетъчните организми. Където и да погледнем, откриваме сравними форми и процеси в клетките. Танцът на хромозомите, митохондриите и другите органели на цитоплазмата, еднаквата ултрамикроскопична структура на камшичетата, където и да се появят, както при растенията, така и при животните, всички тези дълбоки формални прилики са резултат от вътрешна селекция, настояваща за консерватизъм на това елементарно ниво.

Въпросът за по-нататъшната съдба на промените, оцелели след първите цитологични изследвания, ни води до подобно заключение. Промяната, която засегна по-раноетап от живота на ембриона, трябва да наруши по-дълга и съответно по-сложна верига от следващи събития. Трудно или невъзможно е да се посочат каквито и да било количествени оценки на разпределението на хомологиите в историята на организмите. Когато казват, че хомологията е най-силно изразена при най-много ранни стадиипроизводство на гамети, оплождане и т.н., това означава някакво количествено твърдение за степенихомология, придаваща значение на характеристики като брой на хромозомите, митотични модели, двустранна симетрия, крайници с пет пръста, централна нервна система с гръбначен мозък и т.н. Такива оценки, разбира се, са силно изкуствени в свят, в който (както беше отбелязано в глава 2) количеството никога не определя модела. Но интуицията все още остава. Единствениятформалните модели, споделяни от всички клетъчни организми – както растения, така и животни – са на клетъчно ниво.

От този ред на мисли следва едно интересно заключение: след всички спорове и съмнения, теорията за повторението заслужава подкрепа. Има априорна причина да се очаква, че ембрионите, по своите формални модели, ще приличат повече на ембрионалните форми на техните предци, отколкото възрастните на формите на техните възрастни предци. Това далеч не е това, за което са мечтали Хекел и Хърбърт Спенсър, които са си представяли, че ембриологията трябва да следва пътя на филогенезата. Съвременната формулировка е по-негативна: тръгването от началото на пътя е по-трудно (по-малко вероятно), отколкото отклонението от по-късните етапи. Ако ние, като еволюционни инженери, бяхме изправени пред задачата да изберем пътя на филогенезата от свободно плуващи, подобни на попови лъжички организми до заседнали, подобни на червеи, обитаващи кал Баланоглосус, тогава ще открием, че най-лесният начин за еволюция би бил да се избегнат твърде ранни или твърде внезапни смущения в ембрионалния стадий. Може би дори щяхме да открием това еволюционенпроцесът се опростява чрез подразделяне на епигенезата чрез разграничаване на отделните етапи. След това ще стигнем до организъм със свободно плуващи ембриони, подобни на попови лъжички, които в даден момент се метаморфозират в подобни на червеи, заседнали възрастни индивиди.

Механизмът на променливостта не само позволява и не просто създава. Има непрекъснат детерминизъм, където са възможни промени Класпромени, подходящи за този механизъм. Системата от случайни генетични промени, филтрирани от селективния процес на вътрешна жизнеспособност, придава на филогенезата характера на повсеместна хомология.

Ако сега разгледаме втората стохастична система, ще стигнем до съвсем различна картина. Въпреки че никакво учене или соматична промяна не може да повлияе директно на ДНК, очевидният начин е, че соматичните промени (т.е. пословично придобитите черти) обикновено са адаптивни. По отношение на индивидуалното оцеляване и/или размножаване и/или просто удобство и намаляване на стреса, адаптирането към промяната на околната среда е от полза. Тази корекция се извършва на много нива, но на всяко ниво има реално или предполагаемо предимство. Добра идея- учестено дишане при достигане на голяма надморска височина; Също така е добра идея да се научите как да се справяте, без да се задъхвате, ако трябва да останете дълго време в планината. Добра идея е да имате физиологична система, която може да се адаптира към физиологичния стрес, въпреки че такава адаптация води до аклиматизация, а аклиматизацията може да се превърне в пристрастяване.

С други думи, соматичната корекция винаги създава контекст за генетична промяна, но дали след това се случва такава генетична промяна е съвсем друг въпрос. Засега ще оставя този въпрос настрана и ще разгледам какъв е обхватът на генетичните промени може бипредложено от соматична промяна. Разбира се, този спектър или този набор от възможности поставя външна граница на това, което даден стохастичен компонент на еволюцията може да постигне.

един обща чертасоматичната променливост е очевидна веднага: всичкотакива промени са количественили - както биха казали компютърните инженери - аналогов. В животинското тяло централната нервна система и ДНК са до голяма степен (може би напълно) дискретни, но останалата част от физиологията е аналогова.

По този начин, сравнявайки случайните генетични промени на първата стохастична система с реактивните соматични промени на втората, ние отново срещаме обобщението, подчертано в Глава 2: Количеството не определя модела. Генетичните промени могат да бъдат силно абстрактни, да действат на много стъпки от крайната си фенотипна експресия и несъмнено в крайната си експресия те могат да бъдат както количествени, така и качествени. Но соматичните промени са много по-незабавни и според мен чисто количествени. Доколкото знам, описателните изречения, които въвеждат модели (т.е. хомологии) в описанието на даден вид, никога не се нарушават от соматичните промени, които навикът и средата могат да произведат.

С други думи, контрастът, демонстриран от Д'Арси Томпсън (виж Фиг. 9), изглежда има своите корени в (т.е. следва от) контраста между двете големи стохастични системи.

И накрая, трябва да сравня мисловните процеси с двойната стохастична система на биологичната еволюция. Такава дуална система присъща ли е и на мисленето? (Ако това не е така, тогава цялата структура на тази книга става съмнителна.)

Преди всичко е важно да се отбележи, че „платонизмът“, както го нарекох в глава 1, стана възможен в наши дни благодарение на аргументи, които са почти противоположни на тези, които би предпочела дуалистичната теология. Паралелизмът между биологичната еволюция и разума (ума) се създава не чрез постулиране на Инженер или Учител, криещ се в механизма на еволюционния процес, а напротив, чрез постулиране на стохастично мислене. Критиците на Дарвин от деветнадесети век (особено Самюъл Бътлър) искаха да въведат в биосферата това, което наричаха „ум“ (т.е. свръхестествена ентелехия*). В днешно време бих подчертал това творческимисълта винаги съдържа случаен компонент. Процесът на изследване е безкраен процес проба и грешкапсихически (умствен) прогрес - може да постигне новсамо чрез навлизане по произволно възникващи пътеки; някои от тях, когато бъдат тествани, по някакъв начин са избрани за нещо като оцеляване.

Ако допуснем фундаментално стохастичния характер на творческото мислене, тогава възниква положителна аналогия с няколко аспекта на човешкия умствен процес. Ние търсим двоично разделяне на мисловния процес, стохастичен в двете половини и такъв, че случайният компонент на едната половина трябва да бъде дискретен, а случайният компонент на другата половина трябва да бъде аналогов.

Най-лесният начин да се подходи към този проблем изглежда е да се разгледат първо процесите на подбор, които определят и ограничават неговите резултати. Тук се срещаме с два основни начина за тестване на мисли или идеи.

Първият от тях е тест за логическа кохерентност: има ли смисъл новата идея в светлината на вече известното или на това, в което вярваме? Въпреки че има много видове значения и въпреки че „логиката“, както видяхме, е само лош модел за това как стоят нещата в света, все пак първото изискване на мислителя към понятията, които възникват в ума му, остава нещо като съгласуваност или съгласуваност - строга или въображаема. Напротив, генерирането на нови концепции зависи почти изцяло (макар и може би не изцяло) от пренареждането и рекомбинацията на съществуващите идеи.

Наистина, има забележително близък паралел между стохастичния процес, който протича вътре в мозъка, и друг стохастичен процес, генезисът на случайни генетични промени, върху резултатите от които работи процесът на вътрешен подбор, осигурявайки известно съответствие между старото и нов. И с по-внимателно проучване на тази тема, формалното сходство изглежда се увеличава.

При обсъждането на контраста между епигенезата и творческата еволюция посочих, че в епигенезата всички новинформацията трябва да бъде оставена настрана и че този процес е по-скоро като извеждане на теореми в рамките на някаква първоначална тавтология. Както отбелязах в тази глава, целият процес на епигенеза може да се разглежда като филтър, който изрично и безусловно изисква от растящия индивид да се съобразява с определени стандарти.

Сега забелязваме, че има подобен филтър във вътрешночерепния мисловен процес, който, подобно на епигенезата в индивидуалния организъм, изисква подчинение и налага това изискване чрез процес, който повече или по-малко напомня на логиката (т.е. подобно на изграждането на тавтология на създавайте теореми). В процеса на мислене тежестподобен вътрешна свързаноств еволюцията.

В обобщение, интракраниалното стохастично мислене или система за учене много прилича на този компонент на еволюцията, в който произволните генетични промени се избират чрез епигенеза. И накрая, културният историк има на свое разположение свят, в който формалната прилика продължава през много поколения културна история, така че той може да търси там подходящи модели по същия начин, по който зоологът търси хомология.

Обръщайки се сега към друг процес на учене или творческо мислене, включващ не само мозъка на индивида, но и света около организма, ние намираме аналог на този процес в еволюцията, където опитът създава тази връзка между организма и околната среда, които наричаме адаптациячрез налагане на тялото промени в навиците и сома.

Всяко действие на живия организъм включва известно количество опити и грешки и за да бъде един опит нов, той трябва да е донякъде случаен. Дори ако новото действие е само елемент от някои добре проучени класдействие, но тъй като е ново, то трябва да се превърне до известна степен в потвърждение или изследване на твърдението „така се прави“.

Но в ученето, както и в соматичната промяна, има ограничения и улеснения, които отнемат това, което може да се научи. Някои от тях са външни за тялото, други са вътрешни. В първия случай това, което може да се научи в момента, е ограничено или улеснено от наученото преди това. Всъщност все още се учи как да се учи - с ограничена граница, определена от генетичния състав - който може да бъде незабавно променен в отговор на изискванията на околната среда. И на всяка стъпка, в крайна сметка, действа генетичен контрол (както беше посочено в дискусията за соматичната вариабилност в Раздел 4).

Накрая е необходимо да се сравнят и двата стохастични процеса, които разделих за целите на анализа. Каква формална връзка съществува между тях?

Както разбирам, същността на въпроса е в контраста между дискретно и аналогово, или на друг език между имеи именуван процес.

Но назоваването е процес сам по себе си и такъв, който се извършва не само в нашия анализ, но също така, по дълбок и значим начин, в самите системи, които се опитваме да анализираме. Каквото и да е кодирането и механичната връзка между ДНК и фенотипа, ДНК все още по някакъв начин е командващ орган, който предписва — и в този смисъл назовава — връзките, които трябва да се проявят във фенотипа.

Но ако признаем, че назоваването е феномен, който се появява и организира феномените, които изучаваме, тогава признаваме ipso facto, че очакваме да открием в този феномен йерархия от логически типове.

До този момент можем да се справим с Ръсел и Принципи.¦ Но сега вече не сме в света на Ръсел на абстрактната логика и математика и не можем да приемем празна йерархия от имена или класове. Лесно се говори за математика имена на имена на именаили около класове класове класове. Но за един учен този празен свят не е достатъчен.+ Опитваме се да разберем преплитането или взаимодействието на дискретни етапи (т.е. имена) с аналогови етапи. Самият процес на именуване е именуване, и този факт ни принуждава да заменим редуванепроста стълба от логически типове, предлагана от Принципи.

С други думи, за да обединя отново двете стохастични системи, на които съм разделил както еволюцията, така и умствения процес за целите на анализа, ще трябва да разгледам и двете в редуващ се ред. Какво има в Принциписе появява като стълба от стъпала от един вид (имена на имена на имена и т.н.), става редуване на стъпала от два вида. Да идва от имеда се име иметрябва да минем през процесименуване на име. Винаги трябва да има процес на генериране, който създава класове, преди да могат да бъдат наименувани.

Тази много обширна и сложна тема ще бъде разгледана в глава 7.

Времеви редове. Времевият ред е набор от наблюдения, генерирани последователно във времето. Ако времето е непрекъснато, се казва, че времевият ред е непрекъснат. Ако времето се променя дискретно, времевият ред е дискретен. Наблюденията на дискретни времеви редове, направени във времеви точки, могат да бъдат означени с . Тази книга се занимава само с дискретни времеви редове, в които се правят наблюдения на фиксиран интервал. Когато има последователни стойности на такава серия, достъпна за анализ, ние пишем , обозначаващи наблюдения, направени в еднакво отдалечени точки във времето. В много случаи стойностите на и не са важни, но ако трябва точно да определите времената на наблюдения, трябва да посочите тези две стойности. Ако го приемем за начало и за единица време, можем да го разглеждаме като наблюдение във времето.

Дискретните времеви редове могат да се появят по два начина.

1) Избор от непрекъснати времеви редове, например в ситуацията, показана на фиг. 1.2, където стойностите на непрекъснатия вход и изход на газовата пещ се отчитат на интервали от 9 s.

2) Натрупване на променлива за определен период от време; примери са валежите, които обикновено се натрупват за периоди като ден или месец, или производството на партиди продукт, което се натрупва за цикъл. Например на фиг. Фигура 2.1 показва времева серия от добиви от 70 последователни партиди продукт от химически процес.

Ориз. 2.1 Добив от 70 последователни партиди продукт от химически процес .

Детерминистични и произволни времеви редове. Ако бъдещите стойности на времевия ред са точно определени от някаква математическа функция, като напр

,

времевият ред се нарича детерминистичен. Ако бъдещите стойности могат да бъдат описани само с помощта на вероятностно разпределение, се казва, че времевият ред е недетерминистичен или просто случаен. Данни за партиди от продукт на фиг. 2.1 е пример за случаен времеви ред. Въпреки че има отчетлива тенденция нагоре и надолу в този ред, невъзможно е точно да се предвиди продукцията от следващата партида. В тази книга ще изследваме точно такива произволни времеви серии.

Стохастични процеси. Статично явление, което се развива във времето според законите на теорията на вероятностите, се нарича стохастичен процес. Често ще го наричаме просто процес, пропускайки думата "стохастичен". Времевите редове, които трябва да бъдат анализирани, могат да се разглеждат като едно конкретно изпълнение на изследваната система, генерирано от скрит вероятностен механизъм. С други думи, когато анализираме времеви ред, ние го разглеждаме като реализация на стохастичен процес.

Ориз. 2.2 Наблюдавани времеви редове (удебелена линия) и други времеви редове, които са реализации на същите стохастични редове.

Ориз. 2. 3. Изолинии на плътността на двумерното вероятностно разпределение, описващо стохастичен процесна моменти и , има и пределно разпределение на време .

Например, когато анализираме изходните данни на партида продукт във Фигура 2.1, можем да си представим други набори от наблюдения (други реализации на стохастичния процес, който генерира тези наблюдения), които могат да бъдат генерирани от същата химическа система, в същия цикли. Така например на фиг. Фигура 2.2 показва добивите на продуктови партиди от до (удебелена линия) заедно с други времеви редове, които могат да бъдат получени от съвкупност от времеви редове, определени от същия стохастичен процес. От това следва, че можем да разглеждаме едно наблюдение в даден момент, да речем, като реализация на случайна променлива с плътност на вероятността. с плътност на вероятността .

Да разгледаме променлива, която се подчинява на стохастичен процес на Марков. Да приемем, че текущата му стойност е 10, а промяната през годината се описва от функцията 0(0, 1), където a) е нормално вероятностно разпределение с математическо очакване // и стандартно отклонение o. Какво разпределение на вероятностите описва промяната в тази променлива за две години?
Промяната в променливата след две години се описва чрез сумата от две нормални разпределения с нулеви математически очаквания и стандартни отклонения на единица. Тъй като променливата е марковска, тези разпределения са независими едно от друго. Събирайки две независими нормални разпределения, получаваме нормално разпределение, чието математическо очакване е равно на сумата от математическите очаквания на всеки от членовете, а дисперсията е сумата от техните дисперсии. По този начин математическото очакване на промените в разглежданата променлива за две години е нула, а дисперсията е 2,0. Следователно промяната в стойността на променливата след две години е случайна променлива с вероятностно разпределение φ(0, %/2).
След това разгледайте промяната в променливата за шест месеца. Дисперсията на промените в тази променлива през една година е равна на сумата от дисперсиите на тези промени през първото и второто шестмесечие. Предполагаме, че тези отклонения са еднакви. Тогава дисперсията на промените в променливата за шест месеца е 0,5, а стандартното отклонение е 1/0,5. Следователно вероятностното разпределение на промяната в променливата в продължение на шест месеца е φ(0, \DW)
Подобни разсъждения ни позволяват да докажем, че промяната в променливата за три месеца има разпределение 0(0, ^/0,25). Най-общо казано, промяната на променлива за период от време с дължина T се описва от разпределението на вероятностите φ(0, \[T)).
Квадратните корени в тези изрази може да изглеждат странни. Те произтичат от факта, че при анализа на процес на Марков, дисперсиите на промените в променливата в последователни точки във времето се сумират, но стандартните отклонения не. В нашия пример дисперсията на промените в променлива за една година е 1,0, така че дисперсията на промените в тази променлива за две години е 2,0, а след три години е 3,0. В същото време стандартното отклонение
промените в променливите след две и три години са съответно \/2 и \/3. Строго погледнато, не трябва да казваме, че стандартното отклонение на промените в една променлива за една година е 1,0 на година. Трябва да се каже, че тя е равна на "корен квадратен от единица на година". Това обяснява защо размерът на несигурността често се смята за пропорционален на корен квадратен от времето.
Винер процеси
Процесът, на който е подложена променливата, обсъдена по-горе, се нарича процес на Винер. Това е частен случай на стохастичния процес на Марков, когато очакването на промените в променливата е нула, а дисперсията им е 1,0. Този процес се използва широко във физиката за описание на движението на частица, участваща в голям брой сблъсъци с молекули (това явление се нарича брауново движение(Брауново движение)).
Формално казано, променлива z се подчинява на процес на Винер, ако има следните свойства.
СВОЙСТВО 1. Промяната на Az за малък интервал от време At удовлетворява равенството
Az = ey/At, (12.1)
където e е случайна променлива, подчиняваща се на стандартизираното нормално разпределение φ(0,1).
Свойство 2. Стойностите Az на два малки интервала от време At са независими.
От първото свойство следва, че величината Az има нормално разпределение, при което математическото очакване е равно на нула, стандартното отклонение е равно на VAt, а дисперсията е равно на At. Второто свойство означава, че количеството 2 се подчинява на процес на Марков.
Помислете за увеличение на променливата z за относително дълъг период от време T. Тази промяна може да се означи като z(T) - z(0). Тя може да бъде представена като сума от увеличението на променливата r за N относително малки интервали от време с дължина At. Тук
Следователно,
z(t)z(o) = J2?^t' (12.2)
r=1
където?r,r = 1,2,...,LG са случайни променливи с вероятностно разпределение φ(0,1). От второто свойство на процеса на Винер следва, че количествата?
?; са независими един от друг. От израз (12.2) следва, че случайната величина z(T) - z(0) има нормално разпределение, чието математическо очакване е нула, дисперсията е NAt = T, а стандартното отклонение е y/T. Тези заключения са в съответствие с резултатите, посочени по-горе. Пример 12.1
Да предположим, че стойността на r на случайна променлива, подчиняваща се на процеса на Винер в началния момент от времето, е 25 и времето се измерва в години. В края на първата година стойността на променливата е нормално разпределена с очаквана стойност 25 и стандартно отклонение 1,0. В края на петата година стойността на променливата има нормално разпределение със средно 25 и стандартно отклонение n/5, т.е. 2,236. Несигурността на стойността на променливата в някакъв момент в бъдещето, измерена чрез нейното стандартно отклонение, нараства с Корен квадратенот дължината на предвидения интервал. ?
В математическия анализ широко се използва преминаването към границата, когато стойността на малки промени клони към нула. Например, когато At -> 0, количеството Ax = aAt се превръща в количеството dx = adt. При анализа на стохастичните процеси се използва подобна нотация. Например, като At -> 0, процесът Az, описан по-горе, клони към процеса на Винер dz.
На фиг. Фигура 12.1 показва как траекторията на променливата z се променя при At -> 0. Обърнете внимание, че тази графика е назъбена. Това е така, защото промяната в променливата z във времето At е пропорционална на стойността на v^Af и когато стойността на At стане малка, числото \/At е много по-голямо от At. Поради това процесът на Винер има две интригуващи свойства.
1. Очакваната дължина на траекторията, която променливата z изминава през всеки период от време, е безкрайна.
2. Очакваният брой съвпадения на променливата z с всяка конкретна стойност за всеки период от време е безкраен.
Обобщен процес на Винер
Скоростта на отклонение или коефициентът на отклонение на стохастичен процес е средната промяна на променлива за единица време, а скоростта на отклонение или коефициентът на дифузия е количеството на колебанията за единица време. Скоростта на отклонение на основния процес на Винер dz, обсъден по-горе, е нула, а дисперсията е 1,0. Нулев дрейф означава, че очакваната стойност на променливата z във всеки даден момент е равна на текущата й стойност. Единичната дисперсия на процеса означава, че дисперсията на изменението на променливата z във времевия интервал T е равна на неговата дължина.
Ориз. 12.1. Промяна в цената на акциите в примера
Обобщеният процес на Винер за x може да бъде дефиниран по отношение на dz, както следва.
dx - adt + bdz, (12.3)
където a и b са константи.
За да разберете значението на уравнение (12.3), е полезно да разгледате двата члена от дясната страна поотделно. Терминът a dt означава, че очакваната скорост на дрейфа на променливата x е 0 единици за единица време. Без втория член уравнението (12.3) се превръща в уравнението
dx=adt,
откъдето следва, че
dx
Интегрирайки това уравнение във времето, получаваме
x = xo + a?,
където xo е стойността на променливата x в нулев момент. По този начин, за период от време T, променливата x се увеличава със стойността на ee. Терминът b dz може да се разглежда като шум или променливост в траекторията, по която се движи променливата x. Големината на този шум е b пъти по-голяма от стойността на процеса на Винер. Стандартното отклонение на процеса на Винер е 1,0. От това следва, че стандартното отклонение на b dz е равно на b. На кратки интервали от време AL промяната на променливата x се определя от уравнения (12.1) и (12.3).
Ax \u003d aAb ​​​​+ bEY / Ab,
където e, както преди, е случайна променлива със стандартизирано нормално разпределение. И така, величината Ax има нормално разпределение, чието математическо очакване е равно на aAb, стандартното отклонение е 6n/D7, а дисперсията е b2D/. Подобно разсъждение може да покаже, че промяната в променливата x по време на произволен интервал от време T има нормално разпределение с математическо очакване c.T, стандартно отклонение bu/T и дисперсия b2T. Така очакваната скорост на дрейфа на обобщения процес на Винер (12.3) (т.е. средната промяна на дрейфа за единица време) е равна на a, а дисперсията (т.е. дисперсията на променливата за единица време) е b2. Този процес е показан на фиг. 12.2. Нека илюстрираме изтеглянето със следния пример.
Пример 12.2
Помислете за ситуация, при която делът на активите на компанията, инвестирани в краткосрочни парични позиции (парична позиция), измерен в хиляди долари, е предмет на обобщен процес на Винер със скорост на отклонение от $20 000 на година и вариация от $900 000 на година. година. В първия момент делът на активите е $50 000. След една година този дял от активите ще има нормално разпределение с математическо очакване $70 000 и стандартно отклонение от l/900, т.е. $30. Шест месеца по-късно той ще бъде нормално разпределен с очакване от $60 000 и стандартно отклонение от $30\DC >= $21,21.Несигурността, свързана с дела на активите, инвестирани в краткосрочни парични еквиваленти, измерени с помощта на стандартното отклонение, се увеличава с корен квадратен от дължината на предвидения интервал. Имайте предвид, че този дял от активите може да стане отрицателен (когато компанията вземе заеми). ?
Ито процес
Стохастичният процес на Ито е обобщен процес на Винер, в който параметрите a и b са функции, зависещи от променливата x и времето t. Процесът Ито може да се изрази със следната формула.
dx = a(x, t)dt + b(x, t)d,z,?
Както очакваната скорост на отклонение, така и дисперсията на този процес се променят с времето. За кратък период от време от t до At, променливата се променя от
x към x + ах къде
Ax = a(x, t) At + b(x, t)e\fAt.
Тази връзка съдържа малко напрежение. Това е свързано с факта, че разглеждаме дрейфа и дисперсията на променливата x константи, които на времевия интервал от t до At са равни съответно на a(x, t) и b(x, t)2.

Стохастичност (на старогръцки στόχος – цел, предположение) означава случайност. Стохастичен процес е процес, чието поведение не е детерминистично и последващото състояние на такава система се описва както от количества, които могат да бъдат предвидени, така и от случайни. Въпреки това, според M. Kac и E. Nelson, всяко развитие на процес във времето (независимо дали е детерминистично или вероятностно), когато се анализира по отношение на вероятностите, ще бъде стохастичен процес (с други думи, всички процеси, които се развиват във времето, от от гледна точка на теорията на вероятностите са стохастични).

Пример за реален стохастичен процес в нашия свят е моделирането на газовото налягане с помощта на процеса на Винер. Въпреки факта, че всяка газова молекула се движи по свой собствен строго определен път (в този модел, а не в реален газ), движението на набор от такива молекули е практически невъзможно да се изчисли и предскаже. Достатъчно голям набор от молекули ще има стохастични свойства, като запълване на съда, изравняване на налягането, движение към по-малък концентрационен градиент и т.н. Така се проявява появата на системата.

Методът Монте Карло придоби популярност благодарение на физиците Станислав Улам, Енрико Ферми, Джон фон Нойман и Николас Метрополис. Името идва от казиното в Монте Карло, Монако, където чичо Улама взе пари назаем, за да играе. Използването на природата на случайността и повторението за изучаване на процеси е аналогично на дейностите, които се извършват в казино.

Методи за провеждане на изчисления и експерименти, базирани на случайни процеси като форма на стохастично моделиране, се използват в зората на развитието на теорията на вероятностите (например проблемът на Бюфон и работата на Уилям Госет за оценката на малки проби), но най-разработени през предкомпютърната ера. отличителен белегМетодите за симулация на Монте Карло са, че първо се търси вероятностен аналог (вижте алгоритъма за симулация на отгряване). Преди това симулационните методи вървяха в обратната посока: симулацията се използваше за тестване на резултата от предварително определен проблем. И въпреки че такива подходи съществуваха преди, те не бяха често срещани и популярни, докато не се появи методът Монте Карло.

Може би най-известното от ранните приложения на тези методи се дължи на Енрико Ферми, който през 1930 г. използва стохастични методи за изчисляване на свойствата на новооткрития неутрон. Методите на Монте Карло бяха широко използвани по време на работата по проекта Манхатън, въпреки факта, че възможностите на компютрите бяха силно ограничени. Поради тази причина едва с появата на компютрите методите на Монте Карло започват да се разпространяват широко. През 50-те години на миналия век Националната лаборатория в Лос Аламос ги използва, за да създаде водородна бомба. Методите се използват широко в области като физика, физична химия и изследване на операциите.

Използването на методите Монте Карло изисква голям брой случайни променливи, което впоследствие доведе до разработването на генератори на псевдо-случайни числа, които бяха много по-бързи от методите за таблично генериране, използвани преди това за статистически извадки.

Изследването на статистическите закономерности е най-важната познавателна задача на статистиката, която тя решава с помощта на специални методи, които се променят в зависимост от естеството на първоначалната информация и целите на познанието. Познаването на природата и силата на връзките позволява да се управляват социално-икономическите процеси и да се прогнозира тяхното развитие.

Сред многото форми на връзки най-важна е причинно-следствената, която определя всички останали форми. Същността на причинно-следствената връзка е пораждането на едно явление от друго. В същото време самата причина все още не определя ефекта, тя също зависи от условията, в които протича действието на причината. За настъпването на следствието са необходими всички фактори, които го обуславят - причина и условия. Необходимата обусловеност на явленията от множество фактори се нарича детерминизъм.

Обектите на изследване при статистическото измерване на връзките са, като правило, детерминираността на ефекта от фактори (причина и условия). Знаците според значението им за изследване на връзката се разделят на два класа. Знаците, които причиняват промени в други свързани знаци, се наричат ​​факторни или просто фактори. Признаци, които се променят под въздействието на факторни признаци, се наричат ​​ефективни.

Връзките между явленията и техните характеристики се класифицират според степента на плътност на връзката, посоката и аналитичния израз.

Между различните явления и техните характеристики е необходимо преди всичко да се разграничат два вида връзки: функционални (твърдо определени) и статистически (стохастично определени).

Връзката на атрибута "y" с атрибута "x" се нарича функционална, ако всяка възможна стойност на независимия атрибут "x" съответства на една или повече строго определени стойности на зависимия атрибут "y". Дефиницията на функционална връзка може лесно да се обобщи за случая на много атрибути x 1 ,x 2 ,...,x n .

Характерна особеност на функционалните връзки е, че във всеки отделен случай е известен пълният списък от фактори, които определят стойността на зависимия (резултатен) признак, както и точният механизъм на тяхното влияние, изразен с определено уравнение.

Функционалната връзка може да бъде представена чрез уравнението: y i =f(x i), където y i е ефективната характеристика (i = 1, ..., n); f(x i) е известна функция на връзката между ефективните и факторните характеристики; x i - факторен знак.

Най-често функционални връзки се наблюдават в явленията, описани от математиката, физиката и други точни науки. Функционални връзки се осъществяват и в социално-икономическите процеси, но доста рядко (те отразяват взаимовръзката само на отделни страни от сложни явления). Публичен живот). В икономиката пример за функционална връзка е връзката между заплатите y и броя на произведените части x за прости заплати на парче.

В реалния социален живот, поради непълнотата на информацията на твърдо детерминирана система, може да възникне несигурност, поради което тази система по своята същност трябва да се разглежда като вероятностна, докато връзката между характеристиките става стохастична.

Стохастичната връзка е връзка между количествата, при които една от тях, случайна променлива y, реагира на промяна в друга стойност x или други стойности x 1, x 2,..., x n, (случайни или неслучайни ) чрез промяна на закона за разпределение. Това се дължи на факта, че зависимата променлива (резултатен знак), в допълнение към считаните за независими, е подложена на влиянието на редица неотчетени или неконтролирани (случайни) фактори, както и някои неизбежни грешки в измерването на променливите. Тъй като стойностите на зависимата променлива са обект на случайна вариация, те не могат да бъдат предвидени с достатъчна точност, а само посочени с определена вероятност.

Характерна особеност на стохастичните връзки е, че те се проявяват в цялата популация, а не във всяка от нейните единици (и нито пълният списък от фактори, които определят стойността на ефективния признак, нито точният механизъм на тяхното функциониране и взаимодействие с ефективната функция е известна).

Моделът на стохастичната връзка може да бъде представен в общ вид чрез уравнението: ŷ i = f(x i) + ε i,където ŷi- изчислена стойност на ефективния признак; f(x аз) - част от ефективния признак, образувана под въздействието на разглежданите известни факторни признаци (един или много), които се намират в стохастична връзка с признака; ε i- част от ефективната характеристика, възникнала в резултат на действието на неконтролирани или неотчетени фактори, както и измерване на характеристики, което неизбежно е придружено от някои случайни грешки.

Проявата на стохастичните връзки е подчинена на действието на закона за големите числа: само в достатъчно голям брой единици индивидуалните характеристики ще бъдат изгладени, шансовете ще се компенсират взаимно и зависимостта, ако има значителна сила, ще се прояви доста ясно.

В социално-икономическия живот човек трябва да се сблъска с много явления от вероятностен характер. Например, нивото на производителността на труда на работниците е стохастично свързано с цял набор от фактори: квалификация, трудов опит, ниво на механизация и автоматизация на производството, интензивност на труда, престой, здравословно състояние на работника, неговото настроение, атмосфера налягане и други. Пълен списъкфакторите са почти невъзможни за определяне.

Специален случай на стохастична връзка е корелация, при която средната стойност (очакването) на случайната стойност на ефективния признак y естествено се променя в зависимост от промяната на друга стойност x или други случайни променливи x 1 ,x 2 ,.. .,x n . Корелацията не се проявява във всеки отделен случай, а в цялата популация като цяло. Само при достатъчно голям брой случаи всяка стойност на случайната характеристика x ще съответства на разпределението на средните стойности на случайната характеристика y. Наличието на корелации е присъщо на много социални явления.

В зависимост от посоката на действие функционалните и стохастичните връзки могат да бъдат преки и обратни. При директна връзка посоката на промяна на резултантния признак съвпада с посоката на промяна на атрибута-фактор, т.е. с увеличаване на факторния атрибут, ефективният признак също се увеличава и обратно, с намаляване на факторния признак, ефективният признак също намалява. Иначе има обратни връзки между разглежданите количества. Например, колкото по-висока е квалификацията на работника (ранг), толкова по-високо е нивото на производителност на труда - пряка зависимост. И колкото по-висока е производителността на труда, толкова по-ниска е себестойността на единица продукция – обратна връзка.

Според аналитичния израз (формата) връзките могат да бъдат праволинейни и нелинейни (криволинейни). При праволинейна връзка с увеличаване на стойността на факторния атрибут има непрекъснато увеличение (или намаляване) на стойностите на резултантния атрибут. Математически такава връзка се представя с уравнението на права линия, а графично - с права линия. Следователно е повече кратко заглавие- линейна връзка.

При криволинейни връзки с увеличаване на стойността на факторен атрибут, увеличаването (или намаляването) на ефективния атрибут става неравномерно или посоката на неговата промяна е обърната. Геометрично такива връзки се представят чрез криви линии (хипербола, парабола и др.).

Според броя на факторите, действащи върху резултатния атрибут, връзките се различават между еднофакторни (един фактор) и многофакторни (два или повече фактора). Еднофакторните (прости) връзки обикновено се наричат ​​сдвоени (тъй като се разглежда двойка характеристики). Например връзката между печалбата и производителността на труда. В случай на многофакторна (множествена) връзка се разбира, че всички фактори действат комплексно, т.е. в същото време и във взаимовръзка, например, връзката между производителността на труда и нивото на организация на труда, автоматизацията на производството, квалификацията на работниците, трудовия опит, времето на престой и други факторни характеристики.

С помощта на множествената корелация е възможно да се обхване целия комплекс от факторни характеристики и обективно да се отразят съществуващите множествени връзки.

Думата стохастичен се използва от математици и физици, за да опишат процеси, в които има елемент на случайност. Произлиза директно от гръцката дума "atoaaizeoa". В етиката на Аристотел думата се използва в смисъла на „умението да отгатваш“. Математиците са използвали думата очевидно на основание, че има елемент на случайност в това да се налага да гадаете. В новия международен речник на Webster думата stochastic се определя като предполагаема. Така забелязваме, че техническото значение на тази дума не е точно в съответствие с нейната лексикална (речникова) дефиниция. В същия смисъл като "стохастичен процес" някои автори използват израза "случаен процес". В бъдеще ще говорим за процеси и сигнали, които не са чисто случайни, но съдържат случайност в една или друга степен. Поради тази причина ние предпочитаме думата "стохастичен".

Ориз. 3.1-1. Сравнение на типични стохастични и предвидими сигнали.

На фиг. 3.1-1 сравнява прости вълнови форми на стохастични и редовни сигнали. Ако повторим експеримента за измерване на стохастичен сигнал, тогава ще получим трептения с нова форма, различна от предишната, но все още показваща известно сходство в характерните черти. Записване на океански вълни

е друг пример за стохастичен сигнал. Защо е необходимо да говорим за тези доста необичайни стохастични сигнали? Отговорът на този въпрос се основава на факта, че входните сигнали на системите за автоматизация често не са напълно предвидими като синусоида или обикновен преходен процес. Всъщност стохастичните сигнали се откриват в изследванията автоматични системипо-често от предвидимите сигнали. Въпреки това, фактът, че предсказуемите сигнали имат голямо значениедосега не е сериозен пропуск. Доста често човек може да достигне до приемлива техника чрез избиране на сигнали от клас предсказуеми сигнали по такъв начин, че да показва характеристикиистински сигнал, който е стохастичен по природа. Пример от този вид е използването на няколко подходящо избрани синусоиди за представяне на стохастични промени в моментите, които причиняват крен в проблем със стабилността на кораба. От друга страна, срещаме проблеми, при които е много трудно да се представи истински стохастичен сигнал с помощта на предвидима функция. Като първи пример разгледайте диаграма на система за автоматично проследяване на целите и управление на огъня. Тук насочващото радарно устройство не измерва точно грешката на насочване, а само приблизително. Разликата между истинската грешка на насочване и това, което радарът измерва, често се нарича радарен шум. Обикновено е много трудно да се приближи радарният шум с няколко синусоиди или други прости функции. Друг пример е тъкането на текстилни влакна. В процеса на тъкане се изтегля нишка от произволно заплетени снопове влакна (наречени прежда). Дебелината на нишката в известен смисъл може да се разглежда като входен сигнал при регулиране на процеса на тъкане. Вариациите в този процес се дължат на вариациите в броя и дебелината на отделните влакна в различните преплетени секции на преждата. Очевидно този тип отклонение е стохастичен по природа и е трудно да се апроксимира с някакви регулярни функции.

Предишните съображения показват, че стохастичните сигнали играят важна роля в изследването на системите за управление. Досега говорихме за стохастични сигнали като сигнали, причинени от процеси, съдържащи някакъв елемент на случайност. За да продължим по-нататък, трябва да изясним понятията за такива сигнали. Съвременната физика и особено квантовата механика учи, че всички физически процеси, когато бъдат разгледани в детайли,

са прекъснати и недетерминирани. Законите на класическата механика се заменят със статистически закони, основани на вероятността от събития. Например, ние обикновено считаме напрежението на трептенията, които се появяват на екрана на вакуумна тръба на осцилоскоп, за гладка функция. Въпреки това, ние знаем, че ако тези трептения се изследват под микроскоп, те няма да изглеждат толкова гладки поради изстрелвания шум в тръбата, който придружава възбуждането на трептенията. След известно размишление не е трудно да се стигне до заключението, че всички сигнали в природата са стохастични. Въпреки че първоначално предположихме, че в сравнение със синусоида или единична скачаща функция, стохастичният сигнал е относително абстрактно понятие, в действителност е вярно обратното: синусоида, единична скачаща функция и като цяло регулярните сигнали представляват абстракция. Въпреки това, подобно на евклидовата геометрия, това е полезна абстракция.

Стохастичен сигнал не може да бъде представен графично по предварително определен начин, тъй като се дължи на процес, съдържащ елемент на случайност. Не можем да кажем каква е величината на стохастичния сигнал в бъдещ момент. За стохастичен сигнал в бъдещ момент от време може да се каже само каква е вероятността стойността му да попадне в определен интервал. Така виждаме, че концепциите за функция за стохастичен сигнал и за нормален сигнал са напълно различни. За редовна променлива идеята за функция предполага определена зависимост на променливата от нейния аргумент. С всяка стойност на аргумент ние свързваме една или повече стойности на променлива. В случай на стохастична функция не можем да свържем еднозначно стойността на променлива с някаква конкретна стойност на аргумента. Всичко, което можем да направим, е да свържем някои вероятностни разпределения с конкретните стойности на аргумента. В известен смисъл всички регулярни сигнали са граничният случай на стохастичните сигнали, когато вероятностните разпределения имат високи пикове, така че несигурността на позицията на променливата за определена стойност на аргумента е нула. На пръв поглед една стохастична променлива може да изглежда толкова несигурна, че аналитичното й третиране е невъзможно. Въпреки това ще видим, че анализът на стохастични сигнали може да се извърши с помощта на функции на плътност на вероятността и други статистически характеристики като средни стойности, средноквадратична стойност и корелационни функции. С оглед на статистическата природа на стохастичните сигнали, често е удобно да се разглеждат като елементи от набор от сигнали, всеки от които се дължи на един и същ процес. Този набор от сигнали се нарича ансамбъл. Концепцията за ансамбъл за стохастични сигнали съответства на концепцията за популация в статистиката. Характеристики на стохастичен сигнал

обикновено се отнасят за ансамбъла, а не до частичен сигнал от ансамбъла. По този начин, когато говорим за определени свойства на стохастичен сигнал, обикновено имаме предвид, че ансамбълът има тези свойства. Като цяло е невъзможно да се счита, че единичен стохастичен сигнал има произволни свойства (с възможно изключение на несъществени свойства). В следващия раздел ще обсъдим важно изключение от това общо правило.