Дефиниция на случайна величина.Много случайни събития могат да бъдат количествено определени чрез случайни променливи.

Случайно е количество, което приема стойности в зависимост от комбинация от случайни обстоятелства.

Случайни променливи са: броят на пациентите в лекарския кабинет, броят на студентите в аудиторията, броят на ражданията в града, очакваната продължителност на живота индивидуално лице, скоростта на молекулата, температурата на въздуха, грешка при измерване на някаква стойност и т.н. Ако номерирате топките в урна приблизително по същия начин, както се правят при теглене на лото, тогава произволно изваждане на топка от urn ще покаже число, което е случайна променлива.

Има дискретни и непрекъснати случайни променливи.

Случайна променлива се нарича дискретна, ако приема изброим набор от стойности:броя на буквите на произволна страница от книга, енергията на електрона в атома, броя на космите на главата на човек, броя на зърната в класовете, броя на молекулите в даден обем газ и др.

Непрекъснато произволна стойностприема произволна стойност в рамките на някакъв интервал:телесна температура, зърнена маса вжитни класове, координатите на мястото, където куршумът е ударил целта (приемаме куршума като материална точка) и др.

Разпределение на дискретна случайна величина.Дискретна случайна променлива се счита за дадена, ако са посочени нейните възможни стойности и съответните им вероятности. Означава дискретна случайна променлива х,неговото значение x 1 x 2,…., и вероятностите P(x 1)= p 1, P (x 2)= стр. 2и т.н. Население Xи P се нарича разпределение на дискретна случайна променлива(Маса 1).

маса 1

Случайната променлива е номерът на спорта в играта "Спортло-10". Общият брой на видовете е 49. Посочете разпределението на тази случайна величина (Таблица 3).

Таблица 3

Значение 1 = 0 съответства на такъв случай, в който три пъти подред събитието НОне се случи. Вероятността за това сложно събитие, съгласно теоремата за умножение на вероятностите (2.6), е равна на
Значение аз= 1 се отнася до случая, в който събитие А е настъпило в един от трите опита. По формула (2.6) получаваме

Тъй като при l = 1също се случват две други сложни събития: (A и A и A) и (A и A и A), тогава е необходимо, използвайки теоремата за добавяне на вероятност (2.4), да се получи общата вероятност за l = 1,добавяйки предишния израз три пъти:

Значение аз= 2 съответства на случая, в който събитие А е настъпило в две от трите опита. Чрез разсъждения, подобни на горните, получаваме общата вероятност за този случай:

При 1 = 3 събитие А се появява и в трите опита. Използвайки теоремата за умножение на вероятностите, намираме

AT общ случайБиномиалното разпределение определя вероятността събитие А да се случи. лпъти при Птестове:

Въз основа на дългосрочни наблюдения обаждането на лекар в дадена къща се оценява с вероятност от 0,5. Намерете вероятността в рамките на шест дни да има четири обаждания на лекар; P(A)= 0,5, n = 6,1 = 4. T Използваме формула (2.10):

Числени характеристики на дискретна случайна величина.В много случаи наред с разпределението на случайна променлива или вместо него, информация за тези величини може да се предостави чрез числени параметри, т.нар. числени характеристики на случайна променлива. Нека разгледаме най-често срещаните от тях.

Математическото очакване (средната стойност) на случайна променлива е сумата от произведенията на всички нейни възможни стойности.
върху вероятностите на тези стойности:

Нека с голям брой тестове Пдискретна случайна променлива хприема стойности x v x 2,..., x nсъответно m 1, m g,..., t pведнъж. Средната стойност е

Ако Пе голям, тогава относителните честоти t 1 /p, t 2 /p,... ще клони към вероятностите, а средната стойност - към математическото очакване. Ето защо математическото очакване често се идентифицира със средната стойност.

Намерете математическото очакване за дискретна случайна променлива, което се дава от числото на ръба при хвърляне на зар (вижте таблица 2).

Използваме формула (2.11):

Намерете математическото очакване за дискретна случайна променлива, която се определя от тиража на "Спортлото" (виж таблица 3). Съгласно формула (2.11) намираме

Възможните стойности на дискретна случайна променлива са разпръснати около нейното математическо очакване, някои от тях надвишават M(X),част е по-малко M(X).Как да оценим степента на дисперсия на случайна променлива спрямо нейната средна стойност? Може да изглежда, че за да се реши такъв проблем, трябва да се изчислят отклоненията на всички случайни променливи от математическото очакване X - M(X),и след това намерете математическото очакване (средното) на тези отклонения: M[X - M(X)].Без доказателство отбелязваме, че тази стойност е равна на нула, тъй като отклоненията на случайните променливи от математическото очакване имат както положителни, така и отрицателни стойности. Поради това е препоръчително да се вземат предвид или абсолютните стойности на отклоненията M[X - M(X)] или техните квадратчета M[X - M(X)] 2.Вторият вариант се оказва за предпочитане, така че се стига до понятието дисперсия на случайна величина.

Дисперсията на случайна променлива е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване:

Това означава, че дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива хи квадрата на неговото математическо очакване.

Намерете дисперсията на случайна променлива, която се дава от числото на ръба при хвърляне на зар (вижте таблица 2).

Математическото очакване на това разпределение е 3,5. Да запишем квадратите на отклонението на случайните величини от математическото очакване: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Съгласно формула (2.12), като вземем предвид (2.11), намираме дисперсията:

Както следва от (2.12), дисперсията има размерността на квадрата на размерността на случайната променлива. За да се оцени разстоянието на случайна променлива в единици със същото измерение, се въвежда концепцията стандартно отклонение,под което се има предвид Корен квадратенот дисперсия:

Разпределение и характеристики на непрекъсната случайна величина. Непрекъсната случайна променлива не може да бъде определена от същия закон на разпределение като дискретната. В този случай процедирайте по следния начин.

Нека dP е вероятността непрекъсната случайна променлива хприема стойности между хи х+ dx.Очевидно е, че Irm е повече интервал dx,толкова по-вероятно е dP: dP ~ dx.В допълнение, вероятността трябва да зависи и от самата случайна стойност, близо до която се намира интервалът, следователно

където f(x)- плътност на вероятността,или функция на разпределение на вероятностите.Той показва как се променя вероятността, свързана с интервала. dxслучайна променлива, в зависимост от стойността на самата тази променлива:

Интегрирайки израз (2.15) в съответните граници, намираме вероятността случайната променлива да приеме някаква стойност в интервала (ab):

Условието за нормализиране на непрекъсната случайна променлива има формата

Както може да се види от (2.19), тази функция е равна на вероятността случайната променлива да приема стойности по-малки от Х:

За непрекъсната случайна променлива математическото очакване и дисперсията се записват съответно като

Определение. Случайна променлива е такава променлива, която в резултат на експеримент приема всяка една стойност от набора от възможните си стойности и е невъзможно да се предвиди коя преди експеримента.

Случайни променливи са например броят точки, които се падат при хвърляне на зар, броят на посетителите на аптеката през деня, броят на ябълките на едно дърво и др.

Случайни променливи са също температурата на пациента в произволно избрано време от деня, масата на произволно избрана таблетка от някакво лекарство, ръстът на произволно избран ученик и др.

О

Въпреки това, от математическа гледна точка, има фундаментална разлика между такива случайни променливи като например броя на посетителите на аптеката през деня (нека означим тази случайна променлива X 1) и растежа на случайно избран ученик от определена група ученици (стойност X 2), има фундаментална разлика, а именно: за стойността X 1 можете да изброите всички нейни възможни стойности (1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .), докато за стойността X 2 това не може да бъде направено, тъй като тази стойност, в резултат на измерването, може да приеме произволна стойност от сегмента , където

и - съответно минимален и максимален ръст на учениците от групата.

Случайните променливи обикновено се означават с главни букви от латинската азбука - X, Y, Z и т.н., а възможните им стойности - със съответните малки букви с цифрови индекси. Например, стойностите на случайна променлива x се обозначават по следния начин: x 1, x 2, x 3 и т.н.

Концепцията за дискретни и непрекъснати случайни променливи

Определение. Случайна променлива се нарича дискретна, ако наборът от всички нейни възможни стойности е краен или безкраен, но непременно изброим набор от стойности, т.е. такъв набор, всички елементи от който могат да бъдат (поне теоретично) номерирани и записани в подходящата последователност.

Определение. Случайна променлива се нарича непрекъсната, ако наборът от нейните възможни стойности е някакъв краен или безкраен интервал от числовата ос.

Въз основа на тези дефиниции, такива случайни променливи, изброени по-горе, като броя на точките, които падат при хвърляне на зарове, броя на посетителите на аптеката през деня, броя на ябълките на. дърво, са дискретни случайни променливи и като температурата на пациента в определен час от деня, масата на произволно избрана таблетка от някакво лекарство, височината на произволно избран ученик, са непрекъснати променливи.

Дискретни случайни променливи

Нека да разгледаме по-отблизо дискретни случайни променливи, и като правило ще ограничим разглеждането си до такива случайни променливи, за които броят на възможните стойности е краен.

Най-пълната информация за дискретна случайна променлива се дава от закона за разпределение на тази променлива.

Определение. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е съответствието между всички възможни стойности на тази случайна променлива и съответните им вероятности.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива често се определя под формата на двуредова таблица, чийто първи ред изброява всички възможни стойности на тази променлива (като правило във възходящ ред), а вторият ред изброява вероятностите, съответстващи на тези стойности в таблица 1:

Пример 2Има десет ученически групи съответно с 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 ученика. Напишете закон за разпределение за случайна променлива X, дефинирана като броя на учениците в произволно избрана група.

Решение. Възможните стойности на разглежданата случайна променлива X са следните (във възходящ ред):

8, 9, 10, 11 и 12.

Тъй като случайната променлива X приема стойност 8, ако произволно избраната група е група от 8 ученици (нека го наречем събитие A), вероятността случайната променлива X да приеме стойност
, е равна на вероятността от това случайно събитие:
.

Вероятността за случайно събитие А в съответствие с класическата дефиниция на вероятността е
защото от 10 групи две са с по 8 ученика.

По този начин за вероятността на стойност получаваме:

.

По същия начин можете да намерите вероятностите на останалите стойности на случайната променлива X:

което ни позволява да съставим желания закон за разпределение (Таблица 2):

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива може също да бъде определен с помощта на формула, която позволява за всяка възможна стойност на тази променлива да се определи съответната вероятност.

Дискретни и непрекъснати случайни променливи

По правило при производството на продукти процесът на тяхното производство се влияе от много различни фактори, в резултат на което има разсейване в стойностите на показателите за качество на продукта. По този начин показателите за качество на произвежданите продукти или услуги трябва да се разглеждат като случайни променливи.

Случайна величина нарича се такава стойност, която в резултат на тестове в рамките на определен интервал може да приема различни числени стойности (съгласно STB GOST R 50779.10, случайна променлива е променлива, която може да приеме всяка стойност от даден набор от стойности и с която е свързано разпределение на вероятностите).

Дискретни случайни променливи се наричат ​​тези, които в резултат на тестове могат да приемат само отделни, изолирани стойности и не могат да приемат междинни стойности между тях. Например, броят на лошите части в една партида може да бъде само цяло положително число 1, 2, 3 и т.н., но не може да бъде 1,3; 1.7 и т.н.

Непрекъсната случайна променлива се нарича такава стойност, която в резултат на тестове може да вземе всякакви числени стойности от непрекъсната серия от техните възможни стойности в рамките на определен интервал.

Например действителните размери на машинно обработените части са случайни променливи от непрекъснат тип, тъй като те могат да приемат произволна числена стойност в определени граници.

Възможностите на случайните променливи да приемат определени числени стойности по време на тестове се оценяват с помощта на вероятности.

Наборът от стойности на случайни променливи, подредени във възходящ ред с указание за техните вероятности за всяка от стойностите, се нарича разпределение на случайни променливи (по STB ГОСТ Р 50779.10 разпределението е функция, която определя вероятността една случайна променлива да приеме дадена стойност или да принадлежи към даден набор от стойности).

Разпределението на случайна величина може да се представи в табличен, графичен вид и с помощта на статистически оценки.

При представяне на разпределението на случайна променлива в таблична форма, всеки номер на изследваната продуктова единица (номер на измерване) съответства на стойността на показателя за качество за тази продуктова единица (резултат от измерване).

При представяне на разпределението на случайна променлива в графична форма се начертава графика на разпределението в координати, стойността на случайната променлива - вероятността (честота, честота) на стойността на случайната променлива.

Фигурата по-долу показва графиките на разпределението на дискретни и непрекъснати случайни променливи.

Фигура - Графика на разпределението на дискретна случайна променлива

Фигура - Графика на разпределението на непрекъсната случайна променлива

Има теоретични и емпирични разпределения на случайни променливи. В теоретичните разпределения оценката на възможните стойности на случайна променлива се извършва с помощта на вероятности, а в емпиричните разпределения, като се използват честоти или честоти, получени в резултат на тестове.

Следователно, емпирично разпределение на случайна променлива е набор от неговите експериментални стойности, подредени във възходящ ред, посочващи честотите или честотите за всяка от стойностите (по STB ГОСТ Р 50779.10 честотно разпределение е емпиричната връзка между стойностите на характеристика и нейните честоти или нейните относителни честоти).

Таблица. Пример за таблично представяне на теоретичното разпределение на дискретна случайна променлива

Графично емпиричното разпределение на дискретна случайна променлива може да бъде представено като стълбовидна диаграма , образуван от набор от колони с еднаква ширина, чиито височини са пропорционални на честотите на дискретни стойности на случайна променлива.

Фигура - Стълбова диаграма на дискретна случайна променлива.

Ако случайната променлива е непрекъсната, тогава възникват някои трудности при представянето на нейното разпределение под формата на таблица или графика. Следователно, на практика, когато се изучават случайни променливи от непрекъснат тип, получените стойности се разделят на равни интервали, така че стойността на интервала да е малко по-голяма от грешката на измерване на изследваното количество. Тогава честотите се изчисляват не по действителните стойности на случайната променлива, а по интервали. Следователно таблицата на емпиричното разпределение на случайна променлива от непрекъснат тип ще има следния вид.

Таблица. Емпирично разпределение на случайна величина от непрекъснат тип.

Стойностен интервал х	Средноаритметично	Честота f аз	Честота м аз
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		f аз = 100	м аз = 1

Емпиричното разпределение на случайна непрекъсната променлива може да бъде представено графично като хистограма на разпределение, честотен полигон или кумулативен честотен многоъгълник.

Хистограма на разпределение е набор от докосващи се правоъгълници, чиито основи са равни на интервалите на разделяне на непрекъсната случайна променлива, а площите са пропорционални на честотите, с които стойностите на случайната променлива попадат в тези интервали (според СТБ ГОСТ Р 50779.10 стълбовидна диаграма (разпределение) е графично представяне на честотното разпределение за количествена характеристика, образувано от съседни правоъгълници, чиито основи са интервалите на класовете, а площите са пропорционални на честотите на тези класове).

Фигура - Хистограма на разпределението на случайна непрекъсната променлива.

Честотен полигон е прекъсната линия, получена чрез свързване на точки, чиито абциси са равни на средните точки на разделителните интервали, а ординатите са равни на съответните честоти.

Фигура - Многоъгълник от честоти на случайна непрекъсната променлива.

Полигон кумулативен честоти е прекъсната линия, получена чрез свързване на точки, чиито абциси са равни на горните граници на разделителните интервали и чиито ординати са равни или на кумулативни честоти, или на кумулативни честоти (кумулативни относителни честоти).

Фигура - Многоъгълник от кумулативни честоти с произволна непрекъсната стойност.

При теоретичните описания на случайни величини от непрекъснат тип се използва функцията на разпределение. Теоретичното разпределение на случайна непрекъсната променлива може да бъде представено графично като интеграл, обратен интеграл, диференциалразпределителни функции и функции интензивност.

Нека X е случайна променлива и x е някакво реално число (с х< х ). Събитие X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X) се извиква разпределителна функция вероятности случайна променлива или интегрална функция на разпределение.

За дискретна случайна променлива интегралната функция на разпределение F(X) се определя лесно от таблица или графика.

Така за горния пример за разпределение на дискретна случайна променлива (на X< 4):

F(X) = P( х ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Графиката на интегралната функция на разпределение на дискретна случайна променлива ще изглежда като стъпкова крива. Ординатите на кривата за всяка стойност на X ще представляват сумата от вероятностите на предишните стойности.

Фигура - Интегрална функция на разпределение на дискретна случайна променлива

Вероятността случайна променлива по време на тестване да бъде в границите на две дадени стойности x 1 и x 2 (x 2 > x 1) е равна на нарастването на интегралната функция в тази област, т.е.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Ако се обърнем към горния пример за разпределение на дискретна случайна променлива, тогава за x1 = 2 и x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

За непрекъсната случайна променлива графиката на функцията на интегралното разпределение ще изглежда като монотонно нарастваща крива. На практика теоретичните честоти на разпределение се определят с помощта на кумулативната функция на разпределение.

Фигура - Кумулативна функция на разпределение

непрекъсната случайна променлива

Обратната кумулативна функция на разпределение е равна на разликата между единица и кумулативната функция на разпределение.

Плътност на разпределение (диференциална функция на разпределение) случайна променлива се нарича първа производна на интегралната функция на разпределение:

За аналитично описание на непрекъсната случайна променлива в теорията на надеждността използваме функция на интензитета , равно на съотношението на диференциалната функция на разпределение към функцията на обратното интегрално разпределение:

Фигура - Функция на интензитета на непрекъсната случайна променлива.

Тема 3.

Случайни променливи и функции на разпределение

Концепцията за случайна променлива.

Концепцията за случайна променлива

Функция на разпределение на случайна променлива, нейните свойства

Случайни величини с дискретно разпределение

Концепцията за случайна величина с дискретно разпределение

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива.

Примери за дискретни разпределения

Случайни величини с абсолютно непрекъснато разпределение

Концепцията за случайна величина с абсолютно непрекъснато разпределение

Закон за разпределение на абсолютно непрекъсната случайна променлива. Плътност, нейните свойства

Примери за абсолютно непрекъснати разпределения

Концепцията за случаен вектор.

Концепцията за случаен вектор

Независими случайни променливи

Съвместно разпределение на случайни променливи

Концепцията за случайна променлива.

От появата на теорията на вероятностите, нейната основна задача е да изучава не вероятностните свойства на експерименти със случайни резултати, а числените количества, свързани с тези експерименти, които е естествено да се наричат случайни променливи. Например, може да се интересуваме не от двойки числа върху горните страни на зара, а от тяхната сума; броя на успехите или неуспехите преди първия успех в схемата на Бернули.

Често в литературата можете да намерите вариации по темата на следното определение: Случайна величинанаречена променлива, която в зависимост от резултата от теста приема стойности, които зависят от случая.

По този начин случайната променлива е числова стойност, чиято стойност зависи от това какъв вид (елементарен) резултат е възникнал в резултат на експеримент със случаен резултат. Наборът от всички стойности, които една случайна променлива може да приеме, се нарича набор от възможни стойности на тази случайна променлива.

Ще дадем по-строга дефиниция, тъй като концепцията за случайна променлива е една от онези ключови концепции, които свързват теорията на вероятностите с математическия анализ и формират концептуалната основа на математическата статистика.

Определение. Случайна величинае функция X = X(ω), дефинирана в пространството от елементарни събития Ω, за които събитието (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Състояние (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из НО. Освен това чрез събития (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Коментирайте. По този начин случайна променлива е функция, чиято област на дефиниция е пространството на елементарни събития Ω, а наборът от стойности е числов набор, вероятно целият набор от реални числа Р.

σ-алгебрата на събитията A е областта на дефиниране на вероятността, ако я разглеждаме като функция.

Коментирайте . „Терминът „случайна променлива“ е донякъде неточен, по-подходящ би бил терминът „функция на шанса“, независимата променлива е точка в пространството на елементарни събития, т.е. резултатът от експеримент или случай. (W. Feller „Въведение в теорията на вероятностите“, гл. IX)

Случайните променливи се обозначават с буквите от гръцката азбука:  (xi),  (това),  или главни букви от латинската азбука X, Y, ... Ще запишем стойностите на случайна променлива като крайна или безкрайна последователност х 1 ,х 2 ,, х н,; y 1 ,y 2 ,,y н ,

Коментирайте . По-рано въведохме концепцията за вероятност по отношение на някои събития. Сега ще продължим да говорим за функциите. Най-очевидното събитие, което може да се свърже с концепцията за функция, е приемането от нея на някаква стойност (специфична или принадлежаща към интервала)

За да се изследват вероятностните свойства на случайна променлива, е необходимо да се знае правилото, което ви позволява да намерите вероятността случайна променлива да приеме стойност от подмножество от своите стойности. Всяко такова правило се нарича законът за разпределение на вероятностите или разпределението (на вероятностите) на случайна променлива.(думата "вероятност" обикновено се пропуска)

Общият закон на разпределение, присъщ на всички случайни променливи е разпределителна функция.

Определение.Целият набор от вероятности P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает закон за разпределение на случайната променлива Xобщо взето. Често, за краткост, законът за разпределение на случайна променлива се нарича просто разпределение на случайна променлива.

Определение.Функция F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется функцията на разпределение на случайната променлива X.

Стойността на функцията на разпределение в точка x е равна на вероятността на събитието (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Обикновено се казва, че стойността на функцията на разпределение в точката x е равна на вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x.

Геометрично това означава следното: F(x) е вероятността случайната променлива X да приеме стойността, представена от точката на числовата ос, разположена вляво от точката x.

Коментирайте . Функцията на разпределение също се нарича интегрална функция или интегрален закон за разпределение на случайна променлива X

Функцията на разпределение има следното Имоти:

0≤ F(x)≤1 (тъй като по дефиниция функцията на разпределение е вероятност)

F(x 1) ≤ F(x 2) за x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 като x → - ∞, lim F(x) = 1 като x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) е ляво непрекъсната функция, т.е. F(x) = F(x - 0), където F(x - 0) = lim F(y) като y → x - 0 (лява граница)

Коментирайте . За да се подчертае към коя случайна променлива принадлежи функцията на разпределение F(x), на тази функция понякога се присвоява долен индекс, обозначаващ конкретна случайна променлива. Например F X (x) = P (X< х}

Коментирайте. В някои публикации функцията на разпределение се определя като F(x) = P(X ≤ x). Такава дефиниция не променя нищо в същността на концепцията за функцията на разпределение, променя се само последното, пето свойство. Функцията в този случай се оказва непрекъсната отдясно.

Отклонение: "Какво е функция?"

Нека са ни дадени две множества X и Y, а Y е числово множество. И нека е дадено правилото f, според което всеки елемент (точка) от множеството X е свързан с (един и само един) елемент (номер) от множеството Y. Правилото f заедно с множествата X и Y определят функция f. Нотацията y=f(x) означава, че правилото f е приложено към някаква точка x от множеството X и в резултат получаваме точка y от множеството Y. X се нарича аргумент (независима променлива), а y е стойността (зависима променлива) на функцията f в точката X. Наборът X се нарича домейн на дефиниция (област на настройка) на функцията, те казват, че функцията е дадена на този набор, наборът Y се нарича набор от стойности на функцията. Наборът X не е непременно набор от числа. По този начин случайната променлива е функция, дефинирана върху нечислово пространство от елементарни събития.

СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ

Случайна стойност е величина, която в резултат на теста ще приеме една и само една възможна стойност, като коя не е предварително известна.

Дискретна е случайна променлива, която приема отделни изолирани възможни стойности с определени вероятности.

Непрекъснатата променлива е случайна променлива, която може да приема всички стойности от някакъв краен или безкраен интервал.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е съответствието между възможните стойности на случайна променлива и техните вероятности. Този закон е даден под формата на таблица, формула или графика.

За дискретни случайни променливи един от най-често срещаните е така нареченият биномиален закон за разпределение, към който води схемата на Бернули за повторение на тестовете. Формула (8) е аналитичният израз на този закон.

Пример 11.

Съобщението се предава по комуникационния канал с помощта на код, състоящ се от два знака. Вероятността за появата на първия е 2/3. Минаха три знака. Намерете закона за разпределение на случаите на първия знак.

Решение.

По условие н=4, Р=2/3, р=1/3. Възможни стойности на броя на срещанията на първия знак: 0, 1, 2 и 3. Намерете техните вероятности, като използвате формула (8):

Този закон може да се представи под формата на таблица

х
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Функцията на разпределение е функция, която определя вероятността една случайна променлива хв резултат на теста ще вземе стойност по-малка от Х,това е

Геометрично това означава, че случайна променлива с вероятност Рще приеме стойността, която е представена на цифровата ос от точката вляво Х.

За непрекъсната случайна променлива функцията на разпределение е непрекъсната частично диференцируема функция. Основните свойства се извличат от определението:

1. Стойностите на функцията на разпределение принадлежат на сегмента, т.е.

2. Е(х) е ненамаляваща функция, т.е. ако

3. Вероятността една случайна променлива да приеме стойност, съдържаща се в интервала [ а,б[, е равно на увеличението на функцията на разпределение на този интервал

За непрекъсната случайна променлива вероятността да се приеме една единствена стойност е нула. Следователно, за непрекъснати случайни променливи

Пример 12.

Случайна стойност хдаден от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на теста хще приеме стойността, принадлежаща на сегмента [-1; 0.5].

Решение.

От условието следва, че хе непрекъсната случайна променлива, която може да приема стойност от 0 до 1.

Плътност на вероятността непрекъснатослучайна величина хнаричаме първата производна на функцията на разпределението

разпределителна функция F(x)е една от антипроизводните за плътността на разпределение. Въз основа на определението за плътност или диференциален законразпределение и връзката му с функцията на разпределение, е лесно да се покажат следните свойства:

1. Плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива е неотрицателна функция

2. Вероятност за попадение на случайна променлива хв интервала е равно на

(16)

3. От свойство 2 получаваме израз за функцията на разпределение

(17)

4. Условие за нормализиране

(18)

Пример 13дискретна стойност хдадени по табл

х
Р	0,1	0,3	0,4	0,2

Намерете функцията на разпределение и изградете нейната графика.

Решение.

1. Ако , тогава , тъй като хне може да бъде по-малко от 2.

В този случай в интервала (-¥, Х)има само една стойност на случайната променлива х (х=2). Ето защо

За всяка стойност на аргумент хфункции F(x),удовлетворяващ това неравенство, в интервала (-¥, х) удря две стойности на случайна променлива ( х=2 и х=3). Тъй като събитията, които хще приеме, че дадените стойности са непоследователни (или х=2 или х=3), тогава

4. По същия начин, ако

Следователно функцията на разпределение ще изглежда така

Изграждаме графика на функцията на разпределение

Ориз. 1 - Графика на функцията на разпределение

дискретна случайна променлива

Пример 14. Плътност на разпределението на грешките при измерване

Случайна променлива е променлива, чиято стойност се получава в резултат на преизчисляване или измерване и не може да бъде еднозначно определена от условията на нейното възникване.

Тоест една случайна променлива представлява числови случайни събития.

Случайните променливи се разделят на два класа:

Дискретни случайни променливи - стойностите на тези величини са естествени числа, на които като отделни събития се приписват честоти и вероятности.

Непрекъснати случайни променливи – могат да приемат произволна стойност от определен интервал (интервал). Като се има предвид, че има безкраен брой числени стойности в интервала от X1 до X2, вероятността случайната променлива XiЄ(X1,X2) да приеме определена стойност е безкрайно малка. Като се има предвид, че е невъзможно да се изброят всички стойности на непрекъсната случайна променлива, на практика се използва средната стойност на интервала (X1,X2).

За дискретни случайни променливи функцията y \u003d P (x) се нарича функция на разпределение на случайната променлива и има графика - нарича се разпределителен полигон.

Разграничават се следните групи числови характеристики: характеристики на позицията (математическо очакване, мода, медиана, квантил и др.), Дисперсия (дисперсия, стандартно отклонение и др.), Характеристики на формата на плътността на разпределението (изкривяване, ексцес и др.) .

Математическото очакване (средна стойност по разпределение) е реално число, определено в зависимост от вида на SV X по формулата:

Математическото очакване е налице, ако редицата (съответно интегралът) от дясната страна на формулата се сближава абсолютно. Ако mX = 0, тогава CV X се нарича центриран (обозначен с ).

Свойства на математическото очакване:

където С е константа;

M = C×M[X];

M = M[X]+M[Y],

за всеки CB X и Y;

M = M[X]×M[Y] + KXY,

където KXY = M е ковариацията на CV на X и Y.

Началният момент от k-тия ред (k = 0, 1, 2, ...) на разпределението на SV X е реално число, определено по формулата:

nk=M=

Централният момент на k-тия ред на разпределението на SV X е числото, определено по формулата:

mk = M[(X-mX)k]=

От дефинициите на моментите, по-специално, следва, че: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.

Режимът SWNT е реалното число Mo(X) = x*, определено като максималната точка на PR f(x). Един режим може да има една стойност (унимодално разпределение) или множество стойности (мултимодално разпределение).

Медианата на SWNT е реално число Me(X) = x0, което отговаря на условието: P(X< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.

Квантил на p-ниво е реално число tp, което удовлетворява уравнението: F(tp) = p. По-специално, от дефиницията на медианата следва, че x0 = t0,5.

Дисперсията на SV X е неотрицателно число D[X] = DX, определено от формулата:

DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 =

Дисперсията е налице, ако редът (съответно интегралът) от дясната страна на равенството се събира. Дисперсионни свойства:

D[C] = 0, където C е константа;

D = C2×D[X];

дисперсията очевидно не се променя с отклонението на CB X;

D = D[X] + D[Y] + 2×KXY,

където KXY = M - ковариация на CB X и Y;

Неотрицателно число sХ = се нарича стандартно отклонение на RV X. То има размерността на RV X и определя някакъв стандартен средноквадратичен интервал на дисперсия, симетричен спрямо математическото очакване. (Стойността на sX понякога се нарича стандартно отклонение.) CV X се нарича стандартизиран, ако mX = 0 и sX = 1. Ако стойността X = const (т.е. X не е случаен), тогава D[X] = 0.

Показател за асиметрията на PR е коефициентът на асиметрия („асиметрия“) на разпределението: A = m3/s3X. Индикаторът на ексцеса на PR е коефициентът на ексцес („заостреност“) на разпределението: E = (m4/s4X)-3. По-специално, за нормално разпределение E = 0.

Подреден набор от n случайни променливи (CV) X1, X2, ..., Xn, разглеждани заедно в този експеримент, се нарича n-мерен CV или случаен вектор и се обозначава = (X1, X2, ..., Xn).

Функцията на разпределение (DF) на n-мерен случаен вектор е функция от n реални променливи x1, x2, ..., xn, дефинирана като вероятността за съвместно изпълнение на n неравенства: F(x1, x2, ... xn) = P( X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующими свойствами:

1 0 £ F(x, y) £ 1;

2 F(x, y) - ненамаляваща функция на нейните аргументи;

4.

Свойство 4 обикновено се нарича условие за съгласуваност. Това означава, че DF на отделните компоненти на случаен вектор могат да бъдат намерени чрез преминаване към границата от съвместната функция на разпределение на тези компоненти. Вероятността произволна точка от равнината (X, Y) да попадне в правоъгълник със страни, успоредни на координатните оси, може да се изчисли с помощта на DF по формулата:

P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).

Двумерен случаен вектор (X, Y) се нарича случаен вектор от дискретен тип (RDV), ако множеството от неговите възможни стойности G (x, y) е най-много изброимо. Неговият закон на разпределение може да бъде определен чрез двумерна таблица от списъка с възможни стойности на двойки компоненти ((хi, yi) | (хi, yi) О G(x, y)) и съответстващи на всяка такава двойка на вероятностите pij = P(X = xi, Y = yj), отговарящи на условието

Двумерен случаен вектор (X, Y) се нарича случаен вектор от непрекъснат тип (CBNT), ако има такава неотрицателна функция f(x, y), наречена плътност на разпределение на вероятността (DP) на случаен вектор, която :

f(x, y) = , тогава F(x, y) = .

PR на вероятностите има следните свойства:

f(x, y) ³ 0, (x, y) н R2;

е условието за нормализиране.

PR на вероятностите на отделните компоненти на произволен вектор се изразяват като интеграли от общата плътност:

f(x) = f(y) = .

Вероятността произволна точка да попадне в произволна квадратура S на равнината се определя по формулата

P((X, Y) О S)= .

Условната плътност на разпределение на вероятността на случайния компонент X, при условие че компонентът Y е приел определена стойност y, е функцията f(x/y) на реалната променлива x О R: f(x/y) = f(x , y)/f(y) . По подобен начин се определя условната плътност на вероятността на случайния компонент Y, при условие че компонентът X е приел определена стойност x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). RV X1, X2, ..., Xn се наричат ​​независими (в съвкупност), ако за събития (Xi н Bi), i = 1, 2, ..., n, където B1, B2, ... Bn са подмножества на числовата права линия е в сила следното равенство: P(X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn) = P(X1 Î B1)× P(X2 Î B2)× ... ×P(Xn Î Bn).

Теорема: XV X1, X2, .... Xn са независими тогава и само ако във всяка точка x = (x1, x2, ..., xn) е в сила следното равенство: F(x1, x2, ..., xn ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (или f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f (xn)).

За двумерен случаен вектор (X, Y) се въвеждат следните числени характеристики.

Началният момент от ред r + s на произволен вектор (X, Y) е реално число nr,s, дефинирано по формулата:

nr,s = M =

Началният момент nr,s съществува, ако интегралът (съответно редицата) от дясната страна на равенството се събира абсолютно. По-специално, nr,0 = M са съответните начални моменти на компонента X. Векторът с неслучайни координати (mX, mY) = (n1,0, n0,1) се нарича очакване на случайния вектор (X , Y) или дисперсионния център.

Централният момент от реда r + s на произволен вектор (X, Y) е реалното число mr,s, определено от формулата

mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =

Централният момент mr,s съществува, ако интегралът (съответно редицата) от дясната страна на равенството се събира абсолютно. Вектор с неслучайни координати (DX, DY) = (m2,0, m0,2) се нарича дисперсия на случаен вектор.

Централният момент m1,1 се нарича момент на корелация (ковариация): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY.

Коефициентът на корелация на два произволни X и Y компонента на случаен вектор е нормализираната ковариация

rXY = KXY/(sXsY).

Свойства на ковариацията (и коефициент на корелация).

Концепцията за случайна променлива. Дискретни и непрекъснати случайни променливи. Функция на вероятностното разпределение и нейните свойства. Плътност на разпределението на вероятностите и нейните свойства. Числени характеристики на случайни величини: математическо очакване, дисперсия и техните свойства, стандартно отклонение, мода и медиана; начални и централни моменти, асиметрия и ексцес. Числени характеристики на средноаритметичната стойност на n независими случайни величини.

Концепцията за случайна променлива

Случаеннарича се величина, която в резултат на тестове приема една или друга (но само една) възможна стойност, предварително неизвестна, променяща се от тест на тест и в зависимост от случайни обстоятелства. За разлика от случайното събитие, което е качествена характеристика на резултат от случаен тест, случайната променлива характеризира резултата от теста количествено. Примери за случайна променлива са размерът на детайла, грешката в резултата от измерването на всеки параметър на продукт или среда. Сред случайните величини, които се срещат в практиката, могат да се разграничат два основни вида: дискретни и непрекъснати.

Отделене случайна променлива, която приема краен или безкраен изброим набор от стойности. Например: честотата на попаденията с три изстрела; броят на дефектните продукти в партида от n броя; броя на повикванията, постъпили на телефонната централа през деня; броят на отказите на елементите на устройството за определен период от време при тестването му за надеждност; броят на изстрелите преди първото попадение в целта и др.

непрекъснатосе нарича случайна променлива, която може да приема произволна стойност от някакъв краен или безкраен интервал. Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен. Например: грешка при измерване на обхвата на радара; време на работа на чипа; производствена грешка на части; концентрация на сол в морската вода и др.

Случайните променливи обикновено се означават с буквите X, Y и т.н., а възможните им стойности са x, y и т.н. За да се посочи случайна променлива, не е достатъчно да се изброят всички нейни възможни стойности. Необходимо е също така да се знае колко често едни или други негови стойности могат да се появят в резултат на тестове при едни и същи условия, т.е. необходимо е да се зададат вероятностите за тяхното възникване. Наборът от всички възможни стойности на случайна променлива и съответните им вероятности представлява разпределението на случайна променлива.

Закони за разпределение на случайна величина

разпределителен законСлучайна променлива е съответствие между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности. Казва се, че една случайна променлива се подчинява на даден закон за разпределение. Извикват се две случайни променливи независима, ако законът за разпределение на един от тях не зависи от това какви възможни стойности е приела другата стойност. В противен случай се извикват случайни променливи зависим. Извикват се няколко случайни променливи взаимно независими, ако законите за разпределение на който и да е брой от тях не зависят от това какви възможни стойности са приели другите количества.

Законът за разпределение на случайна променлива може да бъде даден под формата на таблица, функция на разпределение или плътност на разпределение. Таблица, съдържаща възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности, е най-простата форма за определяне на закона за разпределение на случайна променлива.

\begin(масив)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1) )&p_n\\\hline\end(масив)

Табличната спецификация на закона за разпределение може да се използва само за дискретна случайна променлива с краен брой възможни стойности. Табличната форма за определяне на закона на случайна променлива също се нарича серия на разпределение.

За яснота разпределителните серии са представени графично. В графично представяне в правоъгълна координатна система всички възможни стойности на случайна променлива се нанасят по абсцисната ос, а съответните вероятности се нанасят по ординатната ос. Наричат ​​се точки (x_i,p_i), свързани с прави сегменти разпределителен полигон(фиг. 5). Трябва да се помни, че свързването на точки (x_i,p_i) се извършва само с цел яснота, тъй като в интервалите между x_1 и x_2, x_2 и x_3 и т.н. няма стойности, които случайната променлива X може вземете, така че вероятностите за появата му в тези интервали са нулеви.

Полигонът на разпределение, подобно на серията на разпределение, е една от формите за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива. Те могат да имат различни форми, но всички споделят едно и също обща собственост: сумата от ординатите на върховете на разпределителния полигон, която е сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайна променлива, винаги е равна на единица. Това свойство следва от факта, че всички възможни стойности на случайната променлива X образуват пълна група от несъвместими събития, чиято сума от вероятностите е равна на единица.

Функция на вероятностното разпределение и нейните свойства

Функцията на разпределение е най-общата форма за задаване на закона за разпределение. Използва се за указване както на дискретни, така и на непрекъснати случайни променливи. Обикновено се обозначава с F(x). разпределителна функцияопределя вероятността случайна променлива X да приема стойности, по-малки от фиксирано реално число x, т.е. F(x)=P\(X интегрална функция на разпределение.

Геометричната интерпретация на функцията на разпределение е много проста. Ако случайна променлива се разглежда като произволна точка X на оста Ox (фиг. 6), която в резултат на теста може да заеме една или друга позиция върху оста, тогава функцията на разпределение F(x) е вероятност произволната точка X, в резултат на теста, да попадне в левите точки x .

За дискретна случайна променлива X, която може да приема стойности, функцията на разпределение има формата

F(x)=\сума\лимити_(x_i
където неравенството x_i

Непрекъсната случайна променлива има непрекъсната функция на разпределение, графиката на тази функция има формата на гладка крива (фиг. 8).

Разгледайте общите свойства на функциите на разпределение.

Свойство 1. Функцията на разпределение е неотрицателна, функция, затворена между нула и едно:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Валидността на това свойство следва от факта, че функцията на разпределение F(x) се дефинира като вероятността от случайно събитие, което X

Свойство 2. Вероятността случайна променлива да попадне в интервала [\alpha;\beta) е равна на разликата между стойностите на функцията на разпределение в краищата на този интервал, т.е.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

От това следва, че вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е нула.

Свойство 3. Функцията на разпределение на случайна променлива е ненамаляваща функция, т.е. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Свойство 4. При минус безкрайност функцията на разпределение е равна на нула, а при плюс безкрайност е равна на единица, т.е. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0и \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Пример 1. Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива е дадена с израза

F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\край (случаи).

Намерете коефициента a и начертайте F(x) . Определете вероятността случайната променлива X в резултат на експеримента да приеме стойност на интервала.

Решение. Тъй като функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива X е непрекъсната, тогава за x=3 получаваме a(3-1)^2=1 . Следователно a=\frac(1)(4) . Графиката на функцията F(x) е показана на фиг. 9.

Въз основа на второто свойство на функцията на разпределение имаме

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Разпределение на плътността на вероятността и неговите свойства

Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива е нейната вероятностна характеристика. Но той има недостатък, който се състои в това, че е трудно да се прецени естеството на разпределението на случайна величина в малък квартал на една или друга точка от числовата ос. По-визуално представяне на естеството на разпределението на непрекъсната случайна променлива се дава от функция, наречена плътност на разпределение на вероятността или диференциална функция на разпределение на случайна променлива.

Плътност на разпространение f(x) е равно на производната на функцията на разпределение F(x) , т.е.

F(x)=F"(x).

Значението на плътността на разпределение f(x) е, че тя показва колко често случайната променлива X се появява в някаква околност на точката x, когато експериментите се повтарят. Нарича се кривата, изобразяваща плътността на разпределение f(x) на случайна променлива крива на разпределение.

Обмисли свойства на плътността на разпределение.

Свойство 1. Плътността на разпределение е неотрицателна, т.е.

F(x)\geqslant0.

Свойство 2. Функцията на разпределение на случайна променлива е равна на интеграла от плътността в интервала от -\infty до x, т.е.

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Свойство 3. Вероятността непрекъсната случайна променлива X да удари сегмента (\alpha;\beta) е равна на интеграла от плътността на разпределение, взета върху този сегмент, т.е.

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Свойство 4. Интегралът в безкрайни граници на плътността на разпределението е равен на единица:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Пример 2. Случайната променлива X се подчинява на закона за разпределение с плътност

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\край (случаи)

Определете коефициента a; построяване на графика на плътността на разпределението; намиране на вероятността за попадение на случайна променлива в областта от 0 до \frac(\pi)(2) определяне на функцията на разпределение и изграждане на нейната графика.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Като вземем предвид свойство 4 на плътността на разпределението, намираме a=\frac(1)(2) . Следователно плътността на разпределение може да се изрази, както следва:

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\край (случаи).

Графиката на плътността на разпределение на фиг. 10. По свойство 3 имаме

P\!\наляво\(0

За да определим функцията на разпределение, използваме свойство 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

По този начин имаме

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\край (случаи).

Графиката на функцията на разпределението е показана на фиг. единадесет

Числени характеристики на случайни величини

Законът за разпределение напълно характеризира случайна променлива от вероятностна гледна точка. Но при решаването на редица практически проблеми не е необходимо да се знаят всички възможни стойности на случайна променлива и съответните вероятности, но е по-удобно да се използват някои количествени показатели. Такива показатели се наричат ​​числа. характеристики на случайна променлива.Основните са математическото очакване, дисперсията, моментите от различен ред, модата и медианата.

Математическото очакване понякога се нарича средна стойност на случайна променлива. Помислете за дискретна случайна променлива X, приемаща стойностите x_1,x_2,\lточки,x_nсъответно с вероятности p_1,p_2,\lточки,p_nНека определим средноаритметичната стойност на стойностите на случайна променлива, претеглена от вероятностите за тяхното възникване. Така изчисляваме средната стойност на случайна променлива или нейното математическо очакване M(X):

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Като се има предвид това \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1получаваме

M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Така, математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности и съответните вероятности.

За непрекъсната случайна променлива, математическото очакване

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат на сегмента,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Използвайки функцията на разпределение на вероятностите F(x), математическото очакване на случайна променлива може да се изрази, както следва:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Свойства на очакванията

Свойство 1. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Свойство 2. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:

M(XY)=M(X)M(Y).

Свойство 3. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа:

M(c)=c.

Свойство 4. Постоянният множител на случайна променлива може да бъде изваден от знака за очакване:

M(cX)=cM(X).

Свойство 5. Математическото очакване на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване е нула:

M(X-M(X))=0.

Пример 3. Намерете математическото очакване на броя на дефектните продукти в извадка от пет продукта, ако случайната променлива X (броят на дефектните продукти) е дадена от серия на разпределение.

\begin(масив)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\край (масив)

Решение. По формула (4.1) намираме

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Режим M_0 на дискретна случайна променливанейната най-вероятна стойност се нарича.

Режим M_0 на непрекъсната случайна променливасе нарича неговата стойност, която съответства на най-голямата стойност на плътността на разпределение. Геометрично модата се интерпретира като абсцисата на точката на глобалния максимум на кривата на разпределение (фиг. 12).

Медиана M_e на случайна променливастойността му се нарича, за което равенството

P\(X M_e\).

От геометрична гледна точка медианата е абсцисата на точката, в която площта на фигурата, ограничена от кривата на разпределение на вероятностите и абсцисната ос, е разделена наполовина (фиг. 12). Тъй като цялата площ, ограничена от кривата на разпределение и оста x, е равна на единица, функцията на разпределение в точката, съответстваща на медианата, е 0,5, т.е.

F(M_e)=P\(X

С помощта на дисперсията и стандартното отклонение може да се прецени дисперсията на случайна променлива около математическото очакване. Като мярка за дисперсия на случайна променлива се използва математическото очакване на квадрата на отклонението на случайна величина от нейното математическо очакване, което се нарича дисперсия на случайна променлива X и обозначете D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

За дискретна случайна променлива дисперсията е равна на сумата от продуктите на квадратите на отклоненията на стойностите на случайната променлива от нейното математическо очакване по съответните вероятности:

D[X]=\sum\limits_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

За непрекъсната случайна променлива, чийто закон на разпределение е даден от плътността на вероятностното разпределение f(x), дисперсията

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Размерът на дисперсията е равен на квадрата на размерността на случайната променлива и следователно не може да се интерпретира геометрично. Тези недостатъци са лишени от стандартното отклонение на случайна величина, което се изчислява по формулата

\sigma=\sqrt(D[X]).

Свойства на дисперсията на случайни величини

Свойство 1. Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи:

D=D[X]+D[Y].

Свойство 2. Дисперсията на случайна променлива е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Свойство 3. Дисперсията на постоянна стойност е нула:

D[c]=0.

Свойство 4. Постоянният фактор на случайна променлива може да бъде изваден от знака на дисперсията, като първо се повдигне на квадрат:

D=c^2D[X].

Свойство 5. Дисперсията на произведението на две независими случайни променливи X и Y се определя по формулата

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Пример 4. Изчислете дисперсията на броя на дефектните продукти за разпределението на пример 3.

Решение. По дефиниция на дисперсията

Обобщение на основните числени характеристики на случайна променлива е концепцията за моменти на случайна променлива.

Началният момент на q-тия редслучайна променлива се нарича математическо очакване на стойността X^q:

Началният момент от първи ред е математическото очакване, а централният момент от втория ред е дисперсията на случайната променлива.

Нормализираният централен момент от трети ред служи като характеристика на асиметрията или асиметрията на разпределението ( фактор на асиметрия):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Нормализираният централен момент от четвърти ред служи като характеристика на разпределението с пик или плосък връх ( излишък):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Пример 5. Случайната променлива X е дадена от разпределението на плътността на вероятностите

F(x)=\begin(cases)0,&x<0;\\ax^2,&02.\край (случаи).

Намерете коефициент a , математическо очакване, дисперсия, асиметрия и ексцес.

Решение. Площта, ограничена от кривата на разпределение, е числено равна на

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^) 3)(3))\right|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Като се има предвид, че тази площ трябва да е равна на единица, намираме a=\frac(3)(8) . Използвайки формула (4.2), намираме математическото очакване:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \вляво.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\вдясно|_(0)^(2)=1,\!5.

Дисперсията се определя по формула (4.3). За да направим това, първо намираме математическото очакване на квадрата на случайна променлива:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4.

По този начин,

\begin(aligned)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\приблизително0,\!3873.\край (подравнено)

Използвайки началните моменти, изчисляваме централните моменти от трети и четвърти ред:

\begin(подравнено)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\край (подравнено)

Числени характеристики на средноаритметичната стойност на n независими случайни величини

Позволявам x_1,x_2,\lточки,x_n- стойности на случайната променлива X, получени от n независими опити. Математическото очакване на случайна променлива е равно на M(X) , а нейната дисперсия е D[X] . Тези стойности могат да се разглеждат като независими случайни променливи X_1,X_2,\lточки,X_nсъс същите математически очаквания и отклонения:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Средната аритметична стойност на тези случайни променливи

\overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Използвайки свойствата на математическото очакване и дисперсията на случайна променлива, можем да напишем:

\begin(aligned)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1) )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(aligned)

Преминете към следващия раздел
Многовариантни случайни променливи Javascript е деактивиран във вашия браузър.
ActiveX контролите трябва да са активирани, за да се правят изчисления!