ตามตำราของ Sovetov และ Yakovlev: “แบบจำลอง (lat. โมดูลัส - การวัด) เป็นการทดแทนวัตถุของวัตถุดั้งเดิมโดยให้การศึกษาคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับ” (หน้า 6) “การแทนที่วัตถุหนึ่งด้วยวัตถุอื่นเพื่อให้ได้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัตถุดั้งเดิมโดยใช้วัตถุแบบจำลองเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง” (หน้า 6) “ภายใต้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เราจะเข้าใจกระบวนการสร้างสัมพันธ์กับวัตถุจริงที่กำหนดของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เรียกว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และการศึกษาแบบจำลองนี้ ซึ่งทำให้ได้ลักษณะของวัตถุจริงที่อยู่ในการพิจารณา . ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับทั้งธรรมชาติของวัตถุจริงและงานของการศึกษาวัตถุและความน่าเชื่อถือและความถูกต้องที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้”

สุดท้าย คำจำกัดความที่กระชับที่สุดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: “สมการแสดงความคิด"

การจำแนกแบบจำลอง

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการ

การจำแนกแบบจำลองอย่างเป็นทางการขึ้นอยู่กับการจำแนกประเภทของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ มักสร้างขึ้นในรูปของการแบ่งขั้ว ตัวอย่างเช่น ชุดไดโคโทมียอดนิยมชุดหนึ่งคือ:

และอื่นๆ แบบจำลองที่สร้างขึ้นแต่ละแบบเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น กำหนดหรือสุ่ม ... โดยธรรมชาติแล้ว แบบผสมก็เป็นไปได้เช่นกัน: เน้นในลักษณะหนึ่ง (ในแง่ของพารามิเตอร์) แบบจำลองแบบกระจายในอีกรูปแบบหนึ่ง เป็นต้น

การจำแนกตามวิธีการแสดงวัตถุ

นอกจากการจำแนกประเภทที่เป็นทางการแล้ว แบบจำลองต่างๆ จะแตกต่างกันไปตามวิธีการเป็นตัวแทนของวัตถุ:

• แบบจำลองโครงสร้างหรือการใช้งาน

แบบจำลองโครงสร้างเป็นตัวแทนของวัตถุในฐานะระบบที่มีอุปกรณ์และกลไกการทำงานของตัวเอง แบบจำลองการทำงานไม่ได้ใช้การแสดงแทนดังกล่าวและสะท้อนให้เห็นเฉพาะพฤติกรรมที่รับรู้จากภายนอก (การทำงาน) ของวัตถุ ในการแสดงออกที่รุนแรง พวกเขาจะเรียกว่าโมเดล "กล่องดำ" นอกจากนี้ยังสามารถรวมประเภทของโมเดลซึ่งบางครั้งเรียกว่าโมเดล "กล่องสีเทา"

เนื้อหาและรูปแบบที่เป็นทางการ

ผู้เขียนเกือบทั้งหมดที่อธิบายกระบวนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ระบุว่าในขั้นแรก การก่อสร้างในอุดมคติแบบพิเศษได้ถูกสร้างขึ้น โมเดลเนื้อหา. ไม่มีศัพท์เฉพาะที่นี่ และผู้เขียนคนอื่นเรียกสิ่งนี้ว่า วัตถุในอุดมคติ รูปแบบความคิด , แบบจำลองเก็งกำไรหรือ พรีโมเดล. ในกรณีนี้ จะเรียกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายว่า แบบเป็นทางการหรือเพียงแค่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับจากการจัดรูปแบบเนื้อหานี้ให้เป็นแบบแผน (รุ่นก่อนแบบจำลอง) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายสามารถทำได้โดยใช้ชุดของอุดมคติสำเร็จรูป เช่นเดียวกับในกลไกที่มีสปริงในอุดมคติ ตัวแข็ง, ลูกตุ้มในอุดมคติ, สื่อยืดหยุ่น ฯลฯ จัดเตรียมองค์ประกอบโครงสร้างสำเร็จรูปสำหรับการสร้างแบบจำลองที่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม ในด้านความรู้ที่ไม่มีทฤษฎีที่เป็นทางการที่สมบูรณ์ (ความล้ำหน้าของฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ สังคมวิทยา จิตวิทยา และสาขาอื่น ๆ ส่วนใหญ่) การสร้างแบบจำลองที่มีความหมายนั้นซับซ้อนกว่ามาก

การจำแนกแบบจำลองที่มีความหมาย

ไม่มีสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ใดที่สามารถพิสูจน์ได้ในคราวเดียว Richard Feynman กล่าวไว้อย่างชัดเจน:

“เรามีความสามารถในการพิสูจน์หักล้างทฤษฎีได้เสมอ แต่โปรดทราบว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีนั้นถูกต้อง สมมติว่าคุณเสนอสมมติฐานที่ประสบความสำเร็จ คำนวณว่ามันจะนำไปสู่ที่ใด และพบว่าผลที่ตามมาทั้งหมดได้รับการยืนยันจากการทดลอง นี่หมายความว่าทฤษฎีของคุณถูกต้องหรือไม่? ไม่ มันหมายความว่าคุณล้มเหลวในการหักล้างมัน

หากมีการสร้างแบบจำลองประเภทแรกขึ้น แสดงว่าแบบจำลองนั้นได้รับการยอมรับชั่วคราวว่าเป็นความจริงและสามารถมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาอื่นๆ ได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่สามารถเป็นจุดในการวิจัยได้ แต่เป็นการหยุดชั่วคราวเท่านั้น: สถานะของแบบจำลองประเภทแรกสามารถอยู่ได้เพียงชั่วคราวเท่านั้น

ประเภทที่ 2: แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยา (ทำตัวเหมือน…)

แบบจำลองปรากฏการณ์วิทยามีกลไกในการอธิบายปรากฏการณ์ อย่างไรก็ตาม กลไกนี้ไม่น่าเชื่อถือเพียงพอ ไม่สามารถยืนยันเพียงพอโดยข้อมูลที่มีอยู่ หรือไม่เห็นด้วยกับทฤษฎีที่มีอยู่และความรู้ที่สะสมเกี่ยวกับวัตถุ ดังนั้นแบบจำลองปรากฏการณ์วิทยาจึงมีสถานะของการแก้ปัญหาชั่วคราว เชื่อว่ายังไม่ทราบคำตอบและจำเป็นต้องค้นหา "กลไกที่แท้จริง" ต่อไป ตัวอย่างเช่น Peierls อ้างถึงแบบจำลองแคลอรี่และแบบจำลองควาร์กของอนุภาคมูลฐานเป็นประเภทที่สอง

บทบาทของตัวแบบในการวิจัยอาจเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา ข้อมูลและทฤษฎีใหม่ๆ อาจเกิดขึ้นได้เพื่อยืนยันแบบจำลองทางปรากฏการณ์วิทยาและได้รับการเลื่อนตำแหน่งให้เป็นสมมติฐาน ในทำนองเดียวกัน ความรู้ใหม่อาจค่อยๆ ขัดแย้งกับแบบจำลอง - สมมติฐานประเภทแรก และอาจถูกถ่ายโอนไปยังความรู้ที่สอง ดังนั้น แบบจำลองควาร์กจึงค่อยๆ เคลื่อนเข้าสู่หมวดหมู่ของสมมติฐาน อะตอมในฟิสิกส์เกิดขึ้นเป็นวิธีแก้ปัญหาชั่วคราว แต่ด้วยประวัติศาสตร์ก็ผ่านเข้าสู่ประเภทแรก แต่โมเดลอีเธอร์ได้เปลี่ยนจากประเภทที่ 1 เป็นประเภทที่ 2 และตอนนี้มันอยู่นอกเหนือวิทยาศาสตร์

แนวคิดเรื่องการทำให้เข้าใจง่ายเป็นที่นิยมอย่างมากเมื่อสร้างแบบจำลอง แต่การทำให้เข้าใจง่ายแตกต่างกัน Peierls แยกแยะความแตกต่างของการทำให้เข้าใจง่ายสามประเภทในการสร้างแบบจำลอง

ประเภท 3: ค่าประมาณ (บางอย่างถือว่าใหญ่มากหรือเล็กมาก)

หากสามารถสร้างสมการที่อธิบายระบบที่กำลังศึกษาอยู่ ไม่ได้หมายความว่าจะแก้ได้แม้จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วยก็ตาม เทคนิคทั่วไปในกรณีนี้คือการใช้การประมาณ (แบบจำลองประเภท 3) ในหมู่พวกเขา แบบจำลองการตอบสนองเชิงเส้น. สมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการเชิงเส้น ตัวอย่างมาตรฐานคือกฎของโอห์ม

และนี่คือประเภทที่ 8 ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทางชีววิทยา

ประเภทที่ 8: การสาธิตความเป็นไปได้ (สิ่งสำคัญคือการแสดงความสอดคล้องภายในของความเป็นไปได้)

สิ่งเหล่านี้ยังเป็นการทดลองทางความคิดกับสิ่งที่อยู่ในจินตภาพอีกด้วย ซึ่งแสดงให้เห็นว่า ปรากฏการณ์ที่ควรจะเป็นสอดคล้องกับหลักการพื้นฐานและความสอดคล้องภายใน นี่คือข้อแตกต่างหลักจากรุ่น 7 ที่เผยให้เห็นความขัดแย้งที่ซ่อนอยู่

หนึ่งในการทดลองที่มีชื่อเสียงที่สุดคือเรขาคณิตของ Lobachevsky (Lobachevsky เรียกมันว่า "เรขาคณิตจินตภาพ") อีกตัวอย่างหนึ่งคือการผลิตจำนวนมากของแบบจำลองจลนศาสตร์อย่างเป็นทางการของการแกว่งทางเคมีและชีวภาพ คลื่นอัตโนมัติ ฯลฯ ความขัดแย้งของไอน์สไตน์-โพดอลสกี-โรเซนถูกมองว่าเป็นแบบจำลองประเภทที่ 7 เพื่อแสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของกลศาสตร์ควอนตัม ในทางที่ไม่ได้วางแผนไว้อย่างสมบูรณ์ ในที่สุดก็กลายเป็นแบบจำลองประเภท 8 ซึ่งเป็นการสาธิตความเป็นไปได้ของการเคลื่อนย้ายข้อมูลด้วยควอนตัม

ตัวอย่าง

พิจารณา ระบบเครื่องกลประกอบด้วยสปริงจับจ้องอยู่ที่ปลายด้านหนึ่ง และน้ำหนักบรรทุก มติดกับปลายสปริงอิสระ เราจะถือว่าโหลดสามารถเคลื่อนที่ได้เฉพาะในทิศทางของแกนสปริง (เช่น การเคลื่อนที่เกิดขึ้นตามแนวแกน) ให้เราสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบนี้ เราจะอธิบายสถานะของระบบตามระยะทาง xจากศูนย์กลางของโหลดไปยังตำแหน่งสมดุล ให้เราอธิบายการโต้ตอบของสปริงและโหลดโดยใช้ กฎของฮุก (F = − kx ) หลังจากนั้นเราใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อแสดงในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์:

โดยที่หมายถึงอนุพันธ์อันดับสองของ xตามเวลา: .

สมการที่ได้จะอธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบทางกายภาพที่พิจารณา รูปแบบนี้เรียกว่า "ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์"

ตามการจัดประเภทที่เป็นทางการ โมเดลนี้เป็นเชิงเส้น กำหนด ไดนามิก เข้มข้น ต่อเนื่อง ในกระบวนการสร้าง เราได้ตั้งสมมติฐานหลายอย่าง (เกี่ยวกับการไม่มีแรงภายนอก การไม่มีแรงเสียดทาน ความเบี่ยงเบนเล็กน้อย ฯลฯ) ซึ่งในความเป็นจริงอาจไม่สำเร็จ

เมื่อเทียบกับความเป็นจริงแล้ว โมเดลนี้มักจะเป็นแบบที่ 4 การทำให้เข้าใจง่าย(“เราละรายละเอียดบางอย่างเพื่อความชัดเจน”) เนื่องจากคุณสมบัติสากลที่จำเป็นบางอย่าง (เช่น การกระจายตัว) ถูกละไว้ ในการประมาณค่าบางอย่าง (เช่น ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนของโหลดจากสภาวะสมดุลนั้นน้อย มีแรงเสียดทานน้อย ไม่นานเกินไปและขึ้นอยู่กับเงื่อนไขอื่นๆ บางอย่าง) โมเดลดังกล่าวอธิบายระบบกลไกที่แท้จริงได้ค่อนข้างดี เนื่องจากปัจจัยที่ถูกละทิ้ง มีผลเล็กน้อยต่อพฤติกรรมของมัน อย่างไรก็ตาม แบบจำลองนี้สามารถปรับปรุงได้โดยคำนึงถึงปัจจัยเหล่านี้บางประการ สิ่งนี้จะนำไปสู่โมเดลใหม่ที่มีขอบเขตที่กว้างขึ้น (แต่ก็ถูกจำกัดอีกครั้ง)

อย่างไรก็ตาม เมื่อแบบจำลองได้รับการขัดเกลา ความซับซ้อนของการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของมันสามารถเพิ่มขึ้นอย่างมากและทำให้แบบจำลองนั้นไร้ประโยชน์อย่างแท้จริง บ่อยขึ้น แบบง่ายๆช่วยให้คุณสำรวจระบบจริงได้ดียิ่งขึ้นและลึกกว่าระบบที่ซับซ้อนกว่า (และเป็นทางการ "ถูกต้องมากขึ้น")

หากเราใช้โมเดล ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกสำหรับวัตถุที่อยู่ห่างไกลจากฟิสิกส์ สถานะที่สำคัญอาจแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้แบบจำลองนี้กับประชากรทางชีววิทยา น่าจะมาจากประเภท 6 ความคล้ายคลึง(“มาพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างเท่านั้น”)

รุ่นแข็งและอ่อน

ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของโมเดลที่เรียกว่า "ฮาร์ด" ได้มาจากการสร้างอุดมคติที่แข็งแกร่งของระบบทางกายภาพที่แท้จริง ในการแก้ไขปัญหาการบังคับใช้จำเป็นต้องเข้าใจว่าปัจจัยที่เราละเลยไปมีความสำคัญเพียงใด กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำเป็นต้องตรวจสอบโมเดล "อ่อน" ซึ่งได้มาจากการรบกวนเล็กน้อยของโมเดล "แข็ง" สามารถให้ตัวอย่างเช่นโดยสมการต่อไปนี้:

ที่นี่ - ฟังก์ชั่นบางอย่างซึ่งสามารถคำนึงถึงแรงเสียดทานหรือการพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงกับระดับการยืด - พารามิเตอร์เล็ก ๆ บางอย่าง รูปแบบที่ชัดเจนของฟังก์ชัน ฉเราไม่สนใจในขณะนี้ หากเราพิสูจน์ว่าพฤติกรรมของแบบจำลองที่อ่อนนุ่มนั้นไม่ได้มีความแตกต่างโดยพื้นฐานจากแบบจำลองแบบแข็ง (โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบที่ชัดเจนของปัจจัยที่ก่อกวน หากมีขนาดเล็กเพียงพอ) ปัญหาจะลดลงเหลือเพียงการศึกษาแบบจำลองแบบแข็ง มิฉะนั้น การประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาแบบจำลองที่เข้มงวดจะต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์คือฟังก์ชันของรูปแบบ นั่นคือ การแกว่งที่มีแอมพลิจูดคงที่ จากนี้ไปออสซิลเลเตอร์จริงจะแกว่งไปเรื่อย ๆ ด้วยแอมพลิจูดคงที่หรือไม่? ไม่ เนื่องจากการพิจารณาระบบที่มีการเสียดสีเล็กน้อยตามอำเภอใจ (มักอยู่ในระบบจริงเสมอ) เราจึงเกิดการสั่นสะท้าน พฤติกรรมของระบบมีการเปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพ

หากระบบยังคงพฤติกรรมเชิงคุณภาพภายใต้การรบกวนเล็กน้อย กล่าวกันว่ามีความเสถียรทางโครงสร้าง ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเป็นตัวอย่างของระบบโครงสร้างที่ไม่เสถียร (ไม่หยาบ) อย่างไรก็ตาม โมเดลนี้สามารถใช้เพื่อศึกษากระบวนการในช่วงเวลาจำกัด

ความเป็นสากลของรุ่น

ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดมักจะมีคุณสมบัติที่สำคัญ ความเป็นสากล: ปรากฏการณ์จริงที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานสามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกไม่ได้อธิบายเฉพาะพฤติกรรมของโหลดบนสปริงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกระบวนการออสซิลเลเตอร์อื่นๆ ซึ่งมักจะมีลักษณะที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: การสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้ม การผันผวนของระดับของเหลวใน ยู- รูปภาชนะหรือการเปลี่ยนแปลงความแรงของกระแสในวงจรออสซิลเลเตอร์ ดังนั้น จากการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หนึ่งแบบจำลอง เราจึงศึกษาปรากฏการณ์ทั้งชั้นที่อธิบายโดยแบบจำลองนั้นในคราวเดียว นี่คือความต่างของกฎที่แสดงโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในส่วนต่างๆ ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ที่ทำให้ Ludwig von Bertalanffy สร้าง "ทฤษฎีระบบทั่วไป"

ปัญหาทางตรงและผกผันของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

มีปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ประการแรก จำเป็นต้องสร้างโครงร่างพื้นฐานของวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลอง เพื่อทำซ้ำภายในกรอบของการทำให้เป็นอุดมคติของวิทยาศาสตร์นี้ ดังนั้น รถยนต์รถไฟจึงกลายเป็นระบบจานและวัตถุที่ซับซ้อนมากขึ้นจาก วัสดุต่างๆวัสดุแต่ละชนิดถูกกำหนดให้เป็นอุดมคติทางกลมาตรฐาน (ความหนาแน่น โมดูลียืดหยุ่น ลักษณะความแข็งแรงมาตรฐาน) หลังจากนั้นจะรวบรวมสมการ ระหว่างทางที่รายละเอียดบางส่วนถูกละทิ้งเนื่องจากไม่มีนัยสำคัญ มีการคำนวณ เปรียบเทียบกับการวัด แบบจำลองได้รับการขัดเกลา และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม สำหรับการพัฒนาเทคโนโลยีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จะเป็นประโยชน์ในการแยกกระบวนการนี้ออกเป็นองค์ประกอบหลัก

ตามเนื้อผ้า มีปัญหาหลักสองประเภทที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์: ตรงและผกผัน

ปัญหาโดยตรง: พิจารณาโครงสร้างของแบบจำลองและพารามิเตอร์ทั้งหมด ภารกิจหลักคือการศึกษาแบบจำลองเพื่อดึงความรู้ที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับวัตถุ สะพานสามารถรับน้ำหนักสถิตย์อะไรได้บ้าง? มันจะตอบสนองต่อโหลดแบบไดนามิกอย่างไร (เช่นในการเดินขบวนของกองทหารหรือทางเดินของรถไฟด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน) เครื่องบินจะเอาชนะอุปสรรคเสียงได้อย่างไรไม่ว่าจะกระพือปีกหรือไม่ - นี่เป็นตัวอย่างทั่วไปของงานโดยตรง การกำหนดปัญหาโดยตรงที่ถูกต้อง (การถามคำถามที่ถูกต้อง) ต้องใช้ทักษะพิเศษ หากไม่ถามคำถามที่ถูกต้อง สะพานอาจพังได้แม้ว่าจะถูกสร้างขึ้นแล้วก็ตาม แบบอย่างที่ดีสำหรับพฤติกรรมของเขา ดังนั้นในปี พ.ศ. 2422 ในอังกฤษ สะพานโลหะข้ามแม่น้ำเทย์จึงพังทลายลง ผู้ออกแบบได้สร้างแบบจำลองของสะพานขึ้น โดยคำนวณจากระยะขอบ 20 เท่าของความปลอดภัยสำหรับน้ำหนักบรรทุก แต่ลืมไปว่าลมที่พัดอยู่ตลอดเวลาในนั้น สถานที่. และหลังจากนั้นหนึ่งปีครึ่งมันก็พังทลายลง

ในกรณีที่ง่ายที่สุด (เช่น สมการออสซิลเลเตอร์หนึ่งสมการ) ปัญหาโดยตรงนั้นง่ายมากและลดลงเป็นคำตอบที่ชัดเจนของสมการนี้

ปัญหาผกผัน: รู้จักโมเดลที่เป็นไปได้มากมาย จำเป็นต้องเลือกโมเดลเฉพาะตามข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับออบเจ็กต์ ส่วนใหญ่มักจะรู้จักโครงสร้างของแบบจำลองและจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัว ข้อมูลเพิ่มเติมอาจประกอบด้วยข้อมูลเชิงประจักษ์เพิ่มเติมหรือในข้อกำหนดสำหรับวัตถุ ( งานออกแบบ). ข้อมูลเพิ่มเติมสามารถเกิดขึ้นได้โดยไม่คำนึงถึงกระบวนการแก้ปัญหาผกผัน ( การสังเกตแบบพาสซีฟ) หรือเป็นผลจากการทดลองที่วางแผนไว้เป็นพิเศษในระหว่างการแก้ ( การเฝ้าระวังเชิงรุก).

ตัวอย่างแรกๆ ของการแก้ปัญหาอัจฉริยะของปัญหาผกผันกับการใช้ข้อมูลที่มีอยู่อย่างเต็มที่มากที่สุดคือวิธีการที่สร้างขึ้นโดย I. Newton สำหรับการสร้างแรงเสียดทานใหม่จากการสั่นของแดมเปอร์ที่สังเกตได้

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ที่ไหน x ส- ขนาดประชากร "สมดุล" ซึ่งอัตราการเกิดได้รับการชดเชยอย่างแน่นอนด้วยอัตราการเสียชีวิต ขนาดประชากรในแบบจำลองดังกล่าวมีแนวโน้มที่ค่าดุลยภาพ x สและพฤติกรรมนี้มีความเสถียรทางโครงสร้าง

ระบบนี้มีสภาวะสมดุลซึ่งจำนวนกระต่ายและจิ้งจอกจะคงที่ การเบี่ยงเบนจากสถานะนี้นำไปสู่ความผันผวนของจำนวนกระต่ายและสุนัขจิ้งจอก คล้ายกับความผันผวนของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ในกรณีของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ พฤติกรรมนี้ไม่มีความเสถียรทางโครงสร้าง: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแบบจำลอง (เช่น โดยคำนึงถึงทรัพยากรที่จำกัดที่กระต่ายต้องการ) อาจนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรม ตัวอย่างเช่น สภาวะสมดุลสามารถมีเสถียรภาพ และความผันผวนของประชากรจะลดลง สถานการณ์ที่ตรงกันข้ามก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากตำแหน่งสมดุลจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ร้ายแรง จนถึงการสูญพันธุ์โดยสมบูรณ์ของหนึ่งในสายพันธุ์ สำหรับคำถามที่ว่าสถานการณ์ใดเกิดขึ้นจริง โมเดล Volterra-Lotka ไม่ได้ให้คำตอบ: จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมที่นี่

หมายเหตุ

1. "การแทนค่าทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง" (Encyclopaedia Britanica)
2. โนวิก ไอ.บี., เกี่ยวกับคำถามเชิงปรัชญาของการสร้างแบบจำลองไซเบอร์เนติกส์ ม., ความรู้, 2507.
3. Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A. , Mikhailov A. P.การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ไอเดีย. วิธีการ ตัวอย่าง. . - 2nd ed., Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4
6. วิกิพจนานุกรม: แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
7. คลิฟส์โน้ต
8. การลดแบบจำลองและแนวทางการเกรนหยาบสำหรับปรากฏการณ์หลายขนาด, สปริงเกอร์, ซีรีส์ความซับซ้อน, เบอร์ลิน-ไฮเดลเบิร์ก-นิวยอร์ก, 2549. XII+562 pp. ไอเอสบีเอ็น 3-540-35885-4
9. “ทฤษฎีถือว่าเป็นเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ขึ้นอยู่กับว่า - เครื่องมือเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น - เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อะไร - เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น - แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ ...โดยไม่ปฏิเสธอย่างหลัง นักฟิสิกส์สมัยใหม่ ถ้าเขาบังเอิญกำหนดเอนทิตีที่สำคัญเช่น non-linearity ใหม่ ก็มักจะทำหน้าที่แตกต่างออกไป และเลือกที่จะให้ความไม่เป็นเชิงเส้นว่ามีความสำคัญมากกว่าและเป็นเรื่องธรรมดาของสิ่งที่ตรงกันข้ามทั้งสอง จะนิยามความเป็นเส้นตรงว่า "ไม่ใช่-ไม่ใช่- ความเป็นเส้นตรง" Danilov Yu. A., การบรรยายเกี่ยวกับพลวัตไม่เชิงเส้น. เบื้องต้นเบื้องต้น. Synergetics จากอดีตสู่อนาคต เอ็ด.2. - ม.: URSS, 2549. - 208 น. ISBN 5-484-00183-8
10. « ระบบไดนามิก, จำลองโดยจำนวนจำกัดของสามัญ สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าเข้มข้นหรือ ระบบจุด. มีการอธิบายโดยใช้พื้นที่เฟสที่มีขอบเขตจำกัด และมีลักษณะเป็นองศาอิสระจำนวนจำกัด ระบบเดียวกันใน เงื่อนไขต่างๆสามารถพิจารณาได้ทั้งแบบเข้มข้นหรือแบบกระจาย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบแบบกระจายคือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการปริพันธ์ หรือสมการหน่วงเวลาธรรมดา จำนวนของระดับความเป็นอิสระของระบบแบบกระจายนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และจำเป็นต้องมีข้อมูลจำนวนอนันต์เพื่อกำหนดสถานะของระบบ Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, ฉบับที่ 11, p. 77-84.
11. “ขึ้นอยู่กับธรรมชาติของกระบวนการที่ศึกษาในระบบ S การสร้างแบบจำลองทุกประเภทสามารถแบ่งออกเป็นแบบกำหนดและสุ่ม แบบคงที่และแบบไดนามิก แบบไม่ต่อเนื่อง แบบต่อเนื่อง และแบบไม่ต่อเนื่องแบบต่อเนื่อง แบบจำลองเชิงกำหนดจะแสดงกระบวนการที่กำหนดขึ้นเอง กล่าวคือ กระบวนการที่ถือว่าไม่มีอิทธิพลแบบสุ่มใดๆ เกิดขึ้น แบบจำลองสุ่มแสดงกระบวนการและเหตุการณ์ที่น่าจะเป็น … การสร้างแบบจำลองแบบคงที่ใช้เพื่ออธิบายพฤติกรรมของวัตถุ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ในขณะที่การสร้างแบบจำลองแบบไดนามิกจะสะท้อนพฤติกรรมของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง การสร้างแบบจำลองแบบไม่ต่อเนื่องใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่ถือว่าไม่ต่อเนื่องตามลำดับ การสร้างแบบจำลองต่อเนื่องช่วยให้คุณสะท้อนถึงกระบวนการที่ต่อเนื่องในระบบ และการสร้างแบบจำลองต่อเนื่องแบบไม่ต่อเนื่องจะใช้สำหรับกรณีที่คุณต้องการเน้นการมีอยู่ของกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2
12. โดยปกติ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะสะท้อนโครงสร้าง (การจัดเรียง) ของวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลอง คุณสมบัติและการเชื่อมต่อระหว่างส่วนประกอบต่างๆ ของวัตถุนี้ซึ่งจำเป็นสำหรับวัตถุประสงค์ของการศึกษา แบบจำลองดังกล่าวเรียกว่าโครงสร้าง หากแบบจำลองสะท้อนถึงวิธีการทำงานของวัตถุเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ปฏิกิริยาตอบสนองต่ออิทธิพลภายนอก จะเรียกว่ากล่องดำที่ใช้งานได้จริงหรือในเชิงเปรียบเทียบ โมเดลรวมก็เป็นไปได้เช่นกัน มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4
13. “สิ่งที่เห็นได้ชัด แต่ขั้นตอนเริ่มต้นที่สำคัญที่สุดในการสร้างหรือเลือกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการทำให้ชัดเจนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เกี่ยวกับวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองและเพื่อปรับแต่งโมเดลเนื้อหาตามการสนทนาที่ไม่เป็นทางการ ไม่ควรสละเวลาและความพยายามในขั้นตอนนี้ ความสำเร็จของการศึกษาทั้งหมดส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับมัน เกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งที่งานจำนวนมากที่ใช้ไปในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์กลับกลายเป็นว่าไม่ได้ผลหรือสูญเปล่าเพราะไม่สนใจเรื่องด้านนี้ มิชกิส เอ.ดี., องค์ประกอบของทฤษฎีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - ครั้งที่ 3 รายได้ - M.: KomKniga, 2007. - 192 with ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « คำอธิบายของรูปแบบแนวคิดของระบบในขั้นตอนย่อยของการสร้างแบบจำลองระบบ: ก) แบบจำลองแนวคิด M ถูกอธิบายด้วยคำศัพท์และแนวคิดที่เป็นนามธรรม b) คำอธิบายของแบบจำลองได้รับโดยใช้รูปแบบทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ค) สมมติฐานและสมมติฐานเป็นที่ยอมรับในที่สุด d) การเลือกขั้นตอนสำหรับการประมาณกระบวนการจริงเมื่อสร้างแบบจำลองได้รับการพิสูจน์แล้ว Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A., การสร้างแบบจำลองระบบ: Proc. สำหรับมหาวิทยาลัย - ครั้งที่ 3, ปรับปรุง. และเพิ่มเติม - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2544. - 343 น. ISBN 5-06-003860-2, หน้า. 93.

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุทางเทคนิคคือชุดของวัตถุทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุเหล่านี้ที่สะท้อนถึงคุณสมบัติของวัตถุที่อยู่ระหว่างการศึกษาซึ่งเป็นที่สนใจของผู้วิจัย (วิศวกร) อย่างเพียงพอ

โมเดลสามารถแสดงได้หลายวิธี

แบบฟอร์มการแสดงแบบจำลอง:

ค่าคงที่ - บันทึกความสัมพันธ์ของแบบจำลองโดยใช้ภาษาคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิม โดยไม่คำนึงถึงวิธีการแก้สมการของแบบจำลอง

การวิเคราะห์ - บันทึกแบบจำลองในรูปแบบของผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ของสมการเริ่มต้นของแบบจำลอง

อัลกอริธึม - บันทึกความสัมพันธ์ของแบบจำลองและวิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขที่เลือกในรูปแบบของอัลกอริธึม

แผนผัง (กราฟิก) - การแสดงโมเดลในภาษากราฟิกบางภาษา (เช่น ภาษาของกราฟ วงจรที่เทียบเท่า ไดอะแกรม ฯลฯ );

ทางกายภาพ

อนาล็อก

ที่เป็นสากลที่สุดคือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการ - การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แนวคิดของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ยังรวมถึงกระบวนการแก้ปัญหาบนคอมพิวเตอร์ด้วย

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั่วไป

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลเริ่มต้นและค่าที่ต้องการ

องค์ประกอบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั่วไปคือ (รูปที่ 1): ชุดข้อมูลอินพุต (ตัวแปร) X,Y;

X - ชุดของตัวแปรตัวแปร; Y - ตัวแปรอิสระ (ค่าคงที่);

ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ L ที่กำหนดการดำเนินการกับข้อมูลเหล่านี้ ซึ่งเข้าใจว่าเป็นระบบที่สมบูรณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายความสัมพันธ์เชิงตัวเลขหรือเชิงตรรกะระหว่างชุดข้อมูลอินพุตและเอาต์พุต (ตัวแปร)

ชุดข้อมูลเอาต์พุต (ตัวแปร) G(X,Y); เป็นชุดของฟังก์ชันเกณฑ์ รวมถึง (ถ้าจำเป็น) ฟังก์ชันวัตถุประสงค์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นแบบอะนาล็อกทางคณิตศาสตร์ของวัตถุที่ออกแบบ ระดับความเพียงพอของวัตถุถูกกำหนดโดยการกำหนดและความถูกต้องของการแก้ปัญหาการออกแบบ

ชุดพารามิเตอร์ตัวแปร (ตัวแปร) X จะสร้างช่องว่างของพารามิเตอร์ตัวแปร Rx (พื้นที่การค้นหา) ซึ่งเป็นหน่วยเมตริกที่มีมิติ n เท่ากับจำนวนพารามิเตอร์ตัวแปร

ชุดของตัวแปรอิสระ Y สร้างพื้นที่เมตริกของข้อมูลอินพุต Ry ในกรณีที่แต่ละองค์ประกอบของพื้นที่ Ry ถูกกำหนดโดยช่วงของค่าที่เป็นไปได้ ชุดของตัวแปรอิสระจะถูกจับคู่กับสเปซย่อยที่จำกัดของพื้นที่ Ry

ชุดของตัวแปรอิสระ Y กำหนดสภาพแวดล้อมสำหรับการทำงานของวัตถุเช่น สภาพภายนอกที่วัตถุที่ออกแบบจะทำงาน

สามารถ:

• - ข้อกำหนดทางเทคนิควัตถุที่ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ในระหว่างขั้นตอนการออกแบบ
• - การรบกวนทางกายภาพของสภาพแวดล้อมที่วัตถุการออกแบบโต้ตอบ
• - พารามิเตอร์ทางยุทธวิธีที่วัตถุการออกแบบควรบรรลุ

ข้อมูลผลลัพธ์ของแบบจำลองทั่วไปที่พิจารณาแล้วจะสร้างพื้นที่เมตริกของตัวชี้วัดเกณฑ์ RG

โครงร่างการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในระบบการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยแสดงในรูปที่ 2

ข้อกำหนดสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ข้อกำหนดหลักสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือข้อกำหนดของความเพียงพอ ความเป็นสากล และความประหยัด

ความเพียงพอ โมเดลนี้ถือว่าเพียงพอหากสะท้อนคุณสมบัติที่กำหนดด้วยความแม่นยำที่ยอมรับได้ ความแม่นยำถูกกำหนดให้เป็นระดับของข้อตกลงระหว่างค่าของพารามิเตอร์เอาต์พุตของแบบจำลองและวัตถุ

ความแม่นยำของแบบจำลองแตกต่างกันใน เงื่อนไขต่างๆการทำงานของวัตถุ เงื่อนไขเหล่านี้มีลักษณะเฉพาะด้วยพารามิเตอร์ภายนอก ในพื้นที่ของพารามิเตอร์ภายนอก เลือกขอบเขตของความเพียงพอของแบบจำลอง โดยที่ข้อผิดพลาดน้อยกว่าข้อผิดพลาดที่อนุญาตสูงสุดที่ระบุ การกำหนดโดเมนของความเพียงพอของแบบจำลองเป็นขั้นตอนที่ซับซ้อนซึ่งต้องใช้ต้นทุนในการคำนวณจำนวนมาก ซึ่งเติบโตอย่างรวดเร็วด้วยการเพิ่มขนาดของพื้นที่ของพารามิเตอร์ภายนอก งานนี้สามารถทำได้มากกว่างานการปรับพารามิเตอร์ให้เหมาะสมที่สุดสำหรับตัวแบบในปริมาณมาก ดังนั้นจึงอาจไม่สามารถแก้ไขได้สำหรับวัตถุที่ออกแบบใหม่

ความเป็นสากล - ถูกกำหนดโดยส่วนใหญ่โดยจำนวนและองค์ประกอบของพารามิเตอร์ภายนอกและเอาต์พุตที่นำมาพิจารณาในแบบจำลอง

เศรษฐกิจของแบบจำลองนั้นโดดเด่นด้วยต้นทุนของทรัพยากรการคำนวณสำหรับการนำไปใช้งาน - ต้นทุนเวลาคอมพิวเตอร์และหน่วยความจำ

ข้อกำหนดที่ขัดแย้งกันสำหรับแบบจำลองเพื่อให้มีความเพียงพอที่หลากหลาย ความเป็นสากลในระดับสูง และประสิทธิภาพสูงเป็นตัวกำหนดการใช้แบบจำลองจำนวนหนึ่งสำหรับวัตถุประเภทเดียวกัน

วิธีการดึงแบบจำลอง

รับโมเดลใน กรณีทั่วไป- ขั้นตอนที่ไม่เป็นทางการ ผู้ออกแบบเป็นผู้ตัดสินใจหลักเกี่ยวกับการเลือกประเภทของความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ ลักษณะของตัวแปรและพารามิเตอร์ที่ใช้ ในเวลาเดียวกัน การดำเนินการต่างๆ เช่น การคำนวณค่าตัวเลขของพารามิเตอร์แบบจำลอง การกำหนดพื้นที่ความเพียงพอ และอื่นๆ จะถูกอัลกอริธึมและแก้ไขบนคอมพิวเตอร์ ดังนั้น การสร้างแบบจำลองขององค์ประกอบของระบบที่ออกแบบมักจะดำเนินการโดยผู้เชี่ยวชาญในสาขาเทคนิคเฉพาะโดยใช้การศึกษาทดลองแบบดั้งเดิม

วิธีการรับแบบจำลองเชิงฟังก์ชันขององค์ประกอบแบ่งออกเป็นทฤษฎีและการทดลอง

วิธีการทางทฤษฎีอยู่บนพื้นฐานของการศึกษาความสม่ำเสมอทางกายภาพของกระบวนการที่เกิดขึ้นในวัตถุ การกำหนดคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับความสม่ำเสมอเหล่านี้ การพิสูจน์และยอมรับสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้น ดำเนินการคำนวณที่จำเป็น และนำผลลัพธ์ไปสู่รูปแบบที่ยอมรับได้ของการแสดงแบบจำลอง .

วิธีทดลองขึ้นอยู่กับการใช้งาน อาการภายนอกคุณสมบัติของวัตถุ บันทึกระหว่างการทำงานของวัตถุประเภทเดียวกันหรือระหว่างการทดลองเป้าหมาย

แม้จะมีลักษณะการทำงานแบบฮิวริสติกของการดำเนินการหลายอย่าง แต่การสร้างแบบจำลองก็มีข้อกำหนดและเทคนิคจำนวนหนึ่งที่ใช้กันทั่วไปในการรับแบบจำลองของวัตถุต่างๆ พวกมันค่อนข้างทั่วไปในธรรมชาติ

เทคนิคการสร้างแบบจำลองมาโคร

วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับการวางแผนการทดลอง

อัลกอริทึมสำหรับการดำเนินการที่เป็นทางการสำหรับการคำนวณค่าตัวเลขของพารามิเตอร์และกำหนดพื้นที่ของความเพียงพอ

การใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

พลังการคำนวณของคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ รวมกับการจัดหาทรัพยากรระบบทั้งหมดให้กับผู้ใช้ ความเป็นไปได้ของโหมดโต้ตอบเมื่อแก้ปัญหาและวิเคราะห์ผลลัพธ์ ทำให้สามารถลดเวลาในการแก้ปัญหาได้

เมื่อรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ผู้วิจัยจะต้อง:

ศึกษาคุณสมบัติของวัตถุที่กำลังศึกษา

ความสามารถในการแยกคุณสมบัติหลักของวัตถุออกจากคุณสมบัติรอง

ประเมินสมมติฐานที่ทำ

แบบจำลองอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลที่ป้อนเข้าและค่าที่ต้องการ ลำดับของการกระทำที่ต้องทำเพื่อย้ายจากข้อมูลเริ่มต้นไปยังค่าที่ต้องการเรียกว่าอัลกอริทึม

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาบนคอมพิวเตอร์นั้นสัมพันธ์กับการเลือกวิธีตัวเลข ขึ้นอยู่กับรูปแบบของการแสดงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (รูปแบบพีชคณิตหรือดิฟเฟอเรนเชียล) ใช้วิธีตัวเลขต่างๆ

สาระสำคัญของแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์อยู่ในคำอธิบายของระบบและกระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคมในรูปแบบของแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

ลองพิจารณาคำถามของการจำแนกวิธีการทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ วิธีการเหล่านี้ ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น เป็นสาขาวิชาเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน ซึ่งเป็นการผสมผสานระหว่างเศรษฐศาสตร์ คณิตศาสตร์ และไซเบอร์เนติกส์

ดังนั้นการจำแนกวิธีการทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์จึงลดลงเป็นการจำแนกสาขาวิชาวิทยาศาสตร์ที่รวมอยู่ในองค์ประกอบ แม้ว่าการจำแนกประเภทที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปของสาขาวิชาเหล่านี้ยังไม่ได้รับการพัฒนา แต่ด้วยการประมาณค่าระดับหนึ่ง ส่วนต่อไปนี้สามารถแยกความแตกต่างได้ในองค์ประกอบของวิธีการทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์:

• * ไซเบอร์เนติกส์ทางเศรษฐกิจ: การวิเคราะห์ระบบเศรษฐศาสตร์ ทฤษฎีข้อมูลเศรษฐศาสตร์ และทฤษฎีระบบควบคุม
• * สถิติทางคณิตศาสตร์: การประยุกต์ใช้ทางเศรษฐศาสตร์ของสาขาวิชานี้ - วิธีการสุ่มตัวอย่าง, การวิเคราะห์ความแปรปรวน, การวิเคราะห์สหสัมพันธ์, การวิเคราะห์การถดถอย, การวิเคราะห์ทางสถิติหลายตัวแปร, การวิเคราะห์ปัจจัย, ทฤษฎีดัชนี ฯลฯ ;
• * เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์และเศรษฐมิติที่ศึกษาคำถามเดียวกันจากด้านปริมาณ: ทฤษฎีการเติบโตทางเศรษฐกิจ ทฤษฎีฟังก์ชันการผลิต ยอดคงเหลือระหว่างภาค การบัญชีระดับชาติ การวิเคราะห์อุปสงค์และการบริโภค การวิเคราะห์ระดับภูมิภาคและเชิงพื้นที่ การสร้างแบบจำลองทั่วโลก ฯลฯ
• * วิธีการในการตัดสินใจที่เหมาะสม รวมถึงการศึกษาการดำเนินงานในระบบเศรษฐกิจ นี่เป็นส่วนที่กว้างขวางที่สุด ซึ่งรวมถึงสาขาวิชาและวิธีการต่อไปนี้: การเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด (ทางคณิตศาสตร์) รวมถึงวิธีการสาขาและขอบเขต การวางแผนเครือข่ายและวิธีการควบคุม การวางแผนโปรแกรมเป้าหมายและวิธีการควบคุม ทฤษฎีและวิธีการจัดการสินค้าคงคลัง ทฤษฎีการจัดคิว , ทฤษฎีเกม ทฤษฎีการตัดสินใจและวิธีการ ทฤษฎีการตั้งเวลา การเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด (ทางคณิตศาสตร์) รวมถึงโปรแกรมเชิงเส้นตรง การเขียนโปรแกรมที่ไม่ใช่เชิงเส้น โปรแกรมแบบไดนามิก โปรแกรมไม่ต่อเนื่อง (จำนวนเต็ม) โปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วน โปรแกรมพารามิเตอร์ โปรแกรมแยกส่วน โปรแกรมสุ่ม โปรแกรมเรขาคณิต
• * วิธีการและระเบียบวินัยที่เฉพาะเจาะจงสำหรับทั้งเศรษฐกิจที่วางแผนไว้จากส่วนกลางและเศรษฐกิจแบบตลาด (การแข่งขัน) ประการแรกรวมถึงทฤษฎีการทำงานที่เหมาะสมที่สุดของเศรษฐกิจ การวางแผนที่เหมาะสม ทฤษฎีการกำหนดราคาที่เหมาะสม แบบจำลองของการขนส่ง ฯลฯ ประการที่สองคือวิธีการที่อนุญาตให้พัฒนาแบบจำลองของการแข่งขันอย่างเสรี แบบจำลองของวัฏจักรทุนนิยม แบบจำลองการผูกขาด แบบจำลอง การวางแผนเชิงบ่งชี้ แบบจำลองทฤษฎีของบริษัท เป็นต้น

วิธีการมากมายที่พัฒนาขึ้นสำหรับเศรษฐกิจที่วางแผนไว้จากส่วนกลางยังมีประโยชน์ในการสร้างแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ในระบบเศรษฐกิจแบบตลาด

* วิธีการศึกษาทดลองปรากฏการณ์ทางเศรษฐศาสตร์ ซึ่งรวมถึงวิธีการทางคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์และการวางแผนการทดลองทางเศรษฐศาสตร์ วิธีการจำลองเครื่อง (แบบจำลองการจำลอง) ตามกฎ เกมธุรกิจ. รวมถึงวิธีการประเมินโดยผู้เชี่ยวชาญที่พัฒนาขึ้นเพื่อประเมินปรากฏการณ์ที่ไม่สามารถวัดได้โดยตรง

ตอนนี้ให้เราหันไปที่คำถามของการจำแนกแบบจำลองทางเศรษฐกิจและคณิตศาสตร์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบและกระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคม

ระบบการจัดประเภทแบบรวมศูนย์สำหรับแบบจำลองดังกล่าวในปัจจุบันยังไม่มีอยู่ อย่างไรก็ตาม โดยปกติแล้ว มากกว่าสิบคุณลักษณะหลักของการจำแนกประเภท หรือหัวข้อการจำแนกประเภท มักจะมีความโดดเด่น ลองมาดูที่บางส่วนของส่วนเหล่านี้

ตามวัตถุประสงค์ทั่วไป แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็นทางทฤษฎีและเชิงวิเคราะห์ ซึ่งใช้ในการศึกษานี้ คุณสมบัติทั่วไปและกฎหมายของกระบวนการทางเศรษฐกิจและประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาทางเศรษฐกิจเฉพาะของการวิเคราะห์ การพยากรณ์ และการจัดการ ประเภทต่างๆแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ได้รับการพิจารณาในบทช่วยสอนนี้

ตามระดับการรวมตัวของวัตถุแบบจำลอง แบบจำลองจะแบ่งออกเป็นเศรษฐศาสตร์มหภาคและเศรษฐศาสตร์จุลภาค แม้ว่าจะไม่มีความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างพวกเขา แต่รูปแบบแรกรวมถึงแบบจำลองที่สะท้อนถึงการทำงานของเศรษฐกิจโดยรวม ในขณะที่แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์จุลภาคนั้นตามกฎแล้ว กับส่วนต่างๆ ของเศรษฐกิจเช่นองค์กรและบริษัท

ตามวัตถุประสงค์เฉพาะ กล่าวคือ ตามวัตถุประสงค์ของการสร้างและการประยุกต์ใช้ แบบจำลองดุลยภาพมีความโดดเด่น โดยแสดงข้อกำหนดว่าความพร้อมของทรัพยากรสอดคล้องกับการใช้งาน แบบจำลองแนวโน้มซึ่งการพัฒนาระบบเศรษฐกิจแบบจำลองสะท้อนผ่านแนวโน้ม (แนวโน้มระยะยาว) ของตัวชี้วัดหลัก แบบจำลองการปรับให้เหมาะสมที่ออกแบบมาสำหรับการเลือก ทางเลือกที่ดีที่สุดจากตัวเลือกจำนวนหนึ่งสำหรับการผลิต การจำหน่าย หรือการบริโภค โมเดลจำลองสำหรับใช้ในกระบวนการจำลองเครื่องจักรของระบบหรือกระบวนการที่กำลังศึกษา ฯลฯ

ตามประเภทของข้อมูลที่ใช้ในแบบจำลอง แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็นเชิงวิเคราะห์ สร้างจากข้อมูลสำคัญ และระบุตัวตนได้ ซึ่งสร้างขึ้นจากข้อมูลส่วนหลัง

เมื่อคำนึงถึงปัจจัยด้านเวลา แบบจำลองจะแบ่งออกเป็นแบบคงที่ ซึ่งการขึ้นต่อกันทั้งหมดเกี่ยวข้องกับจุดหนึ่งในเวลาหนึ่ง และเป็นไดนามิกซึ่งอธิบายระบบเศรษฐกิจที่กำลังพัฒนา

โดยคำนึงถึงปัจจัยความไม่แน่นอน ตัวแบบจะแบ่งออกเป็นตัวกำหนด ถ้าผลลัพธ์ที่ได้นั้นถูกกำหนดโดยการกระทำของตัวควบคุมอย่างไม่ซ้ำกัน และสุ่ม (ความน่าจะเป็น) หากเมื่อระบุชุดของค่าบางชุดที่อินพุตของแบบจำลอง สามารถรับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันได้ขึ้นอยู่กับการกระทำของปัจจัยสุ่ม

แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ยังสามารถจำแนกได้ตามลักษณะของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่รวมอยู่ในแบบจำลอง กล่าวคือ ตามประเภทของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในแบบจำลอง บนพื้นฐานนี้ ตัวแบบเมทริกซ์ ตัวแบบโปรแกรมเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น ตัวแบบการถดถอยสหสัมพันธ์

แนวคิดพื้นฐานของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองทฤษฎีการเข้าคิว การวางแผนเครือข่ายและแบบจำลองการควบคุม แบบจำลองทฤษฎีเกม เป็นต้น

สุดท้าย ตามประเภทของแนวทางของระบบเศรษฐกิจและสังคมที่ศึกษา แบบจำลองเชิงพรรณนาและเชิงบรรทัดฐานมีความโดดเด่น ด้วยวิธีการพรรณนา (พรรณนา) แบบจำลองจะได้รับที่ออกแบบมาเพื่ออธิบายและอธิบายปรากฏการณ์ที่สังเกตได้จริงหรือเพื่อทำนายปรากฏการณ์เหล่านี้ ตัวอย่างของแบบจำลองเชิงพรรณนา เราสามารถอ้างอิงแบบจำลองดุลยภาพและแนวโน้มที่มีชื่อก่อนหน้านี้ ด้วยแนวทางเชิงบรรทัดฐาน พวกเขาไม่สนใจวิธีการจัดระเบียบและพัฒนาเศรษฐกิจ ระบบเศรษฐกิจแต่ควรจัดอย่างไรและควรปฏิบัติอย่างไรในแง่ของเกณฑ์บางอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โมเดลการปรับให้เหมาะสมทั้งหมดเป็นประเภทเชิงบรรทัดฐาน โมเดลเชิงบรรทัดฐานของมาตรฐานการครองชีพสามารถใช้เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งได้

ให้เราพิจารณาเป็นตัวอย่างแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ของสมดุลอินพุต-เอาท์พุต (EMM IOB) เมื่อพิจารณาจากหัวข้อการจำแนกข้างต้นแล้ว นี่เป็นแบบจำลองที่ใช้ เศรษฐกิจมหภาค เชิงวิเคราะห์ เชิงพรรณนา กำหนดขึ้นเอง สมดุล แบบจำลองเมทริกซ์ ในขณะที่พวกเขามีอยู่เป็น วิธีการแบบคงที่เช่นเดียวกับไดนามิก

การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นสาขาหนึ่งของการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด ในทางกลับกัน การเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด (ทางคณิตศาสตร์) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่ศึกษาปัญหาของการเพิ่มประสิทธิภาพตามเงื่อนไข ในทางเศรษฐศาสตร์ ปัญหาดังกล่าวเกิดขึ้นในการดำเนินการตามหลักการที่เหมาะสมที่สุดในการวางแผนและการจัดการ

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการใช้แนวทางที่เหมาะสมที่สุดในการวางแผนและการจัดการ (หลักการของความเหมาะสมที่สุด) คือความยืดหยุ่น ทางเลือกของการผลิต และสถานการณ์ทางเศรษฐกิจที่ต้องตัดสินใจในการวางแผนและการจัดการ ตามกฎแล้วสถานการณ์เหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นแนวทางปฏิบัติรายวันขององค์กรทางเศรษฐกิจ (การเลือกโปรแกรมการผลิต, การเชื่อมต่อกับซัพพลายเออร์, การกำหนดเส้นทาง, วัสดุตัด, การเตรียมส่วนผสม ฯลฯ )

สาระสำคัญของหลักการของความเหมาะสมอยู่ในความปรารถนาที่จะเลือกการตัดสินใจในการวางแผนและการจัดการดังกล่าว วิธีที่ดีที่สุดจะคำนึงถึงความสามารถภายในและเงื่อนไขภายนอกของกิจกรรมการผลิตของหน่วยงานทางเศรษฐกิจ

คำว่า "ในทางที่ดีที่สุด" ในที่นี้หมายถึงการเลือกเกณฑ์ความเหมาะสมบางประการ กล่าวคือ ตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจบางอย่างที่ช่วยให้คุณเปรียบเทียบประสิทธิผลของการวางแผนและการตัดสินใจด้านการจัดการบางอย่าง เกณฑ์ความเหมาะสมแบบดั้งเดิม: "กำไรสูงสุด" "ต้นทุนขั้นต่ำ" "ความสามารถในการทำกำไรสูงสุด" ฯลฯ คำว่า "จะคำนึงถึงความสามารถภายในและสภาวะภายนอกของกิจกรรมการผลิต" หมายความว่ามีการกำหนดเงื่อนไขจำนวนหนึ่งสำหรับการเลือก การวางแผนและการตัดสินใจในการจัดการ (พฤติกรรม) t .e. ทางเลือกของ X นั้นดำเนินการจากบางภูมิภาคของโซลูชันที่เป็นไปได้ (ยอมรับได้) D; พื้นที่นี้เรียกอีกอย่างว่าพื้นที่กำหนดปัญหา ปัญหาทั่วไปของการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด (ทางคณิตศาสตร์) หรือรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด การสร้าง (การพัฒนา) ซึ่งขึ้นอยู่กับหลักการของความเหมาะสมและความสม่ำเสมอ

เวกเตอร์ X (ชุดของตัวแปรควบคุม Xj, j = 1, n) เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ หรือแผนปัญหาการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด หากเป็นไปตามระบบข้อจำกัด และแผน X (โซลูชันที่ยอมรับได้) ที่ให้ฟังก์ชันวัตถุประสงค์สูงสุดหรือต่ำสุด f(xi, *2, ..., xn) นั้นเรียกว่าแผนที่เหมาะสมที่สุด (พฤติกรรมที่เหมาะสมที่สุด หรือวิธีแก้ปัญหาง่ายๆ) ของปัญหาการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด

ดังนั้น การเลือกพฤติกรรมการจัดการที่เหมาะสมที่สุดในสถานการณ์การผลิตเฉพาะจึงสัมพันธ์กับการทำแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์จากมุมมองของความสม่ำเสมอและความเหมาะสม และการแก้ปัญหาของการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุด ปัญหาการเขียนโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุดในรูปแบบทั่วไปส่วนใหญ่จัดประเภทตามเกณฑ์ต่อไปนี้

• 1. โดยธรรมชาติของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร --
• ก) เชิงเส้น
• b) ไม่เชิงเส้น

ในกรณีที่ a) การเชื่อมต่อการทำงานทั้งหมดในระบบข้อจำกัดและฟังก์ชันเป้าหมายเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น การมีอยู่ของความไม่เชิงเส้นอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบที่กล่าวถึงจะนำไปสู่กรณี b)

• 2. โดยธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร --
• ก) ต่อเนื่อง
• ข) ไม่ต่อเนื่อง

ในกรณีก) ค่าของตัวแปรควบคุมแต่ละตัวสามารถเติมพื้นที่ของจำนวนจริงบางส่วนได้อย่างสมบูรณ์ ในกรณีที่ b) ตัวแปรทั้งหมดหรืออย่างน้อยหนึ่งตัวสามารถรับได้เฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้น

• 3. โดยคำนึงถึงปัจจัยด้านเวลา -
• ก) คงที่
• ข) ไดนามิก

ในงาน a) การสร้างแบบจำลองและการตัดสินใจดำเนินการภายใต้สมมติฐานที่ว่าองค์ประกอบของแบบจำลองนั้นไม่ขึ้นอยู่กับเวลาในช่วงเวลาที่ทำการตัดสินใจในการวางแผนและการจัดการ ในกรณี b) สมมติฐานดังกล่าวไม่สามารถยอมรับได้โดยมีเหตุผลเพียงพอและต้องคำนึงถึงปัจจัยด้านเวลาด้วย

• 4. ตามความพร้อมของข้อมูลเกี่ยวกับตัวแปร --
• ก) งานภายใต้เงื่อนไขของความแน่นอนอย่างสมบูรณ์ (กำหนดขึ้น)
• ข) งานในเงื่อนไขของข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์
• c) งานภายใต้เงื่อนไขของความไม่แน่นอน

ในงาน b) องค์ประกอบแต่ละอย่างเป็นปริมาณที่น่าจะเป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม กฎการกระจายของพวกมันเป็นที่รู้จักหรือสามารถสร้างการศึกษาทางสถิติเพิ่มเติมได้ ในกรณี c) เราสามารถตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ขององค์ประกอบสุ่ม แต่ไม่สามารถสรุปเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ได้

• 5. ตามจำนวนเกณฑ์การประเมินทางเลือก -
• ก) งานง่ายเกณฑ์เดียว
• b) งานหลายเกณฑ์ที่ซับซ้อน

ในงาน a) เป็นที่ยอมรับในเชิงเศรษฐกิจที่จะใช้เกณฑ์ความเหมาะสมอย่างใดอย่างหนึ่งหรือเป็นไปได้โดยขั้นตอนพิเศษ (เช่น "การถ่วงน้ำหนักลำดับความสำคัญ")

การแนะนำ

เป็นไปไม่ได้ที่จะจินตนาการถึงวิทยาศาสตร์สมัยใหม่โดยปราศจาก ประยุกต์กว้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ สาระสำคัญของวิธีการนี้คือการแทนที่วัตถุดั้งเดิมด้วย "ภาพ" ซึ่งเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับแบบจำลองโดยใช้อัลกอริธึมเชิงคำนวณที่นำไปใช้กับคอมพิวเตอร์ "วิธีที่สาม" ของความรู้ความเข้าใจ การออกแบบ การออกแบบผสมผสานข้อดีมากมายของทั้งทฤษฎีและการทดลอง การทำงานไม่ได้อยู่กับตัววัตถุเอง (ปรากฏการณ์, กระบวนการ) แต่ด้วยแบบจำลองทำให้สามารถตรวจสอบคุณสมบัติและพฤติกรรมของวัตถุในสถานการณ์ที่เป็นไปได้ (ข้อดีของทฤษฎี) อย่างไม่ลำบาก ค่อนข้างรวดเร็ว และไม่ต้องเสียค่าใช้จ่ายมาก ในเวลาเดียวกัน การคำนวณ (คอมพิวเตอร์ การจำลอง การจำลอง) การทดลองด้วยแบบจำลองวัตถุทำให้เป็นไปได้โดยอาศัยพลังของวิธีการคำนวณที่ทันสมัยและเครื่องมือทางเทคนิคของสารสนเทศเพื่อศึกษาวัตถุในรายละเอียดที่เพียงพอและในเชิงลึกในความสมบูรณ์เพียงพอไม่สามารถเข้าถึงได้ สู่แนวทางเชิงทฤษฎีอย่างหมดจด (ข้อดีเชิงทดลอง) ไม่น่าแปลกใจที่วิธีการของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มีการพัฒนาอย่างรวดเร็ว ครอบคลุมพื้นที่ใหม่ทั้งหมด - จากการพัฒนา ระบบเทคนิคและการจัดการเพื่อวิเคราะห์กระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคมที่ซับซ้อนที่สุด

องค์ประกอบของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ตั้งแต่เริ่มต้นของการปรากฏตัวของวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน และไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่วิธีการคำนวณบางอย่างมีชื่อผู้ทรงคุณวุฒิทางวิทยาศาสตร์เช่นนิวตันและออยเลอร์และคำว่า "อัลกอริทึม" มาจาก ชื่อของนักวิทยาศาสตร์อาหรับยุคกลาง Al-Khwarizmi “การเกิด” ครั้งที่สองของวิธีการนี้เกิดขึ้นในช่วงปลายทศวรรษ 1940 และต้นทศวรรษ 1950 และเกิดจากสาเหตุอย่างน้อยสองประการ ประการแรกคือการเกิดขึ้นของคอมพิวเตอร์ (คอมพิวเตอร์) แม้ว่าจะพอประมาณตามมาตรฐานปัจจุบัน แต่ถึงกระนั้นก็ช่วยนักวิทยาศาสตร์จากงานคอมพิวเตอร์เป็นประจำจำนวนมาก ประการที่สองคือระเบียบทางสังคมที่ไม่เคยมีมาก่อน - การดำเนินการตามโครงการระดับชาติของสหภาพโซเวียตและสหรัฐอเมริกาเพื่อสร้างเกราะป้องกันขีปนาวุธนิวเคลียร์ซึ่งไม่สามารถทำได้ด้วยวิธีการแบบเดิม การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์รับมือกับงานนี้: การระเบิดนิวเคลียร์และเที่ยวบินของจรวดและดาวเทียมก่อนหน้านี้ "ดำเนินการ" ในส่วนลึกของคอมพิวเตอร์โดยใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และนำไปปฏิบัติเท่านั้น ความสำเร็จนี้ส่วนใหญ่กำหนดความสำเร็จต่อไปของระเบียบวิธีวิจัย โดยที่ไม่มีโครงการทางเทคโนโลยี สิ่งแวดล้อม หรือเศรษฐกิจขนาดใหญ่ในปัจจุบันได้รับการพิจารณาอย่างจริงจังในประเทศที่พัฒนาแล้ว

ตอนนี้การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์กำลังเข้าสู่ขั้นตอนสำคัญขั้นพื้นฐานที่สามของการพัฒนา นั่นคือ "การบูรณาการ" เข้ากับโครงสร้างของสังคมข้อมูลที่เรียกว่า ความก้าวหน้าที่น่าประทับใจในวิธีการประมวลผล การส่ง และการจัดเก็บข้อมูลสอดคล้องกับแนวโน้มระดับโลกที่มีต่อความยุ่งยากซับซ้อนและการแทรกซึมซึ่งกันและกัน พื้นที่ต่างๆกิจกรรมของมนุษย์ หากปราศจาก "ทรัพยากร" ของข้อมูล เป็นไปไม่ได้ที่จะคิดเกี่ยวกับการแก้ปัญหาที่ใหญ่และหลากหลายมากขึ้นที่ชุมชนโลกกำลังเผชิญอยู่ อย่างไรก็ตาม ข้อมูลดังกล่าวมักใช้เพียงเล็กน้อยสำหรับการวิเคราะห์และการคาดการณ์ สำหรับการตัดสินใจและติดตามการนำไปใช้ เราต้องการวิธีที่เชื่อถือได้ในการประมวลผลข้อมูล "วัตถุดิบ" ให้เป็น "ผลิตภัณฑ์" สำเร็จรูป เช่น ความรู้ที่ถูกต้อง ประวัติความเป็นมาของวิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โน้มน้าวใจ: สามารถและควรเป็นแกนกลางทางปัญญา เทคโนโลยีสารสนเทศกระบวนการทั้งหมดของการให้ข้อมูลของสังคม

เทคนิค นิเวศวิทยา เศรษฐกิจ และระบบอื่นๆ ที่ศึกษา วิทยาศาสตร์สมัยใหม่จะไม่คล้อยตามการตรวจสอบอีกต่อไป (ในความครบถ้วนสมบูรณ์และความถูกต้องที่จำเป็น) โดยวิธีการทางทฤษฎีทั่วไป การทดลองโดยตรงอย่างเต็มรูปแบบนั้นใช้เวลานาน มีราคาแพง มักเป็นอันตรายหรือเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากระบบเหล่านี้จำนวนมากมีอยู่ใน "สำเนาเดียว" ราคาของความผิดพลาดและการคำนวณผิดพลาดในการจัดการกับข้อผิดพลาดนั้นสูงอย่างไม่อาจยอมรับได้ ดังนั้นการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (ในวงกว้างมากขึ้น - ให้ข้อมูล) จึงเป็นองค์ประกอบที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ของความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

เมื่อพิจารณาถึงปัญหาในวงกว้างมากขึ้น เราจำได้ว่าการสร้างแบบจำลองมีอยู่ในกิจกรรมสร้างสรรค์เกือบทุกประเภทของผู้คนที่ "เชี่ยวชาญ" ต่างๆ ไม่ว่าจะเป็นนักวิจัยและผู้ประกอบการ นักการเมือง และผู้นำทางทหาร การแนะนำความรู้ที่แน่นอนในขอบเขตเหล่านี้ช่วยจำกัด "การสร้างแบบจำลอง" เก็งกำไรที่ใช้งานง่าย ขยายขอบเขตของการประยุกต์ใช้วิธีการที่มีเหตุผล แน่นอนว่าการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะมีผลก็ต่อเมื่อตรงตามข้อกำหนดของมืออาชีพที่มีชื่อเสียง: การกำหนดแนวคิดและสมมติฐานพื้นฐานที่ชัดเจน การวิเคราะห์ความเพียงพอของแบบจำลองที่ใช้ การรับประกันความถูกต้องของอัลกอริธึมการคำนวณ ฯลฯ หากเราพูดถึงการสร้างแบบจำลอง ระบบที่มีส่วนร่วมของ "ปัจจัยมนุษย์" เช่น วัตถุที่ยากต่อการทำให้เป็นทางการ จากนั้นข้อกำหนดเหล่านี้จำเป็นต้องเพิ่มความแตกต่างที่ถูกต้องระหว่างคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์และในชีวิตประจำวัน (ฟังดูเหมือนกัน แต่มีความหมายต่างกัน) อย่างระมัดระวัง การใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำเร็จรูปในการศึกษาปรากฏการณ์และกระบวนการ (ควรเลือกเส้นทาง "จากปัญหาสู่วิธีการ" ไม่ใช่ในทางกลับกัน) และอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่ง

การแก้ปัญหาสังคมสารสนเทศ จะไร้เดียงสาที่จะพึ่งพาพลังของคอมพิวเตอร์และเครื่องมือสารสนเทศอื่นๆ เท่านั้น การปรับปรุงอย่างต่อเนื่องของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามกลุ่มและการนำไปใช้ในระบบการสร้างแบบจำลองข้อมูลที่ทันสมัยมีความจำเป็นตามระเบียบวิธี การใช้งานเท่านั้นที่ทำให้สามารถรับวัสดุและผลิตภัณฑ์ทางปัญญาที่มีเทคโนโลยีสูง แข่งขันได้ และหลากหลายที่เราต้องการอย่างยิ่ง

หัวข้อที่ฉันเลือกมีความเกี่ยวข้องในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่และการประยุกต์ ในแนวทางทางวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ในการศึกษาวัตถุทางธรรมชาติ เทคนิค และเศรษฐกิจและสังคม ความสำคัญของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการที่เกิดขึ้นในตัวมันกำลังเพิ่มขึ้น การศึกษาพฤติกรรมธรรมชาติของวัตถุและระบบในโหมดและเงื่อนไขดังกล่าวเป็นไปไม่ได้หรือยาก ซึ่งบังคับให้ใช้วิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

วัตถุประสงค์ของหลักสูตรนี้คือการเรียนรู้วิธีใช้วิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อศึกษากระบวนการทางสังคมตามธรรมชาติต่างๆ

งานที่กำหนดไว้เพื่อให้บรรลุเป้าหมาย:

n เพื่อศึกษาคำถามเชิงทฤษฎีของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การจำแนกประเภทของแบบจำลอง

แนวคิดพื้นฐานของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การสร้างแบบจำลอง- วิธีการวิจัยทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับปรากฏการณ์ กระบวนการ วัตถุ อุปกรณ์หรือระบบ (โดยทั่วไป - วัตถุวิจัย) บนพื้นฐานของการสร้างและศึกษาแบบจำลองเพื่อให้ได้ความรู้ใหม่ ปรับปรุงลักษณะของวัตถุวิจัยหรือจัดการพวกมัน

แบบอย่าง- วัตถุวัตถุหรือภาพ (จิตหรือเงื่อนไข: สมมติฐาน ความคิด สิ่งที่เป็นนามธรรม รูปภาพ คำอธิบาย ไดอะแกรม สูตร รูปวาด แผน แผนที่ ผังอัลกอริทึม บันทึก ฯลฯ) ซึ่งแสดงคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัตถุ การวิจัย.

โมเดลใดๆ จะง่ายกว่าวัตถุจริงเสมอ และแสดงเพียงส่วนหนึ่งของคุณลักษณะที่สำคัญที่สุด องค์ประกอบหลัก และการเชื่อมต่อเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ จึงมีแบบจำลองต่างๆ มากมายสำหรับวัตถุการศึกษาชิ้นหนึ่ง ประเภทของแบบจำลองขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการสร้างแบบจำลองที่เลือก

คำว่า "โมเดล" ขึ้นอยู่กับโมดูลัสคำภาษาละติน - การวัด, ตัวอย่าง แบบจำลองนี้ใช้แทนวัตถุจริงของการศึกษา โมเดลนี้ง่ายกว่าวัตถุที่กำลังศึกษาอยู่เสมอ เมื่อศึกษาปรากฏการณ์ที่ซับซ้อน กระบวนการ วัตถุ เป็นไปไม่ได้ที่จะคำนึงถึงผลรวมขององค์ประกอบและความสัมพันธ์ทั้งหมดที่กำหนดคุณสมบัติของพวกมัน

แต่องค์ประกอบและการเชื่อมต่อทั้งหมดในแบบจำลองที่สร้างขึ้นไม่ควรนำมาพิจารณา จำเป็นต้องแยกแยะองค์ประกอบที่โดดเด่นและโดดเด่นที่สุดออกมาเท่านั้น ซึ่งจะกำหนดคุณสมบัติหลักของวัตถุประสงค์การศึกษาอย่างท่วมท้น ด้วยเหตุนี้ วัตถุประสงค์ของการศึกษาจึงถูกแทนที่ด้วยความคล้ายคลึงแบบง่ายบางอย่าง แต่มีลักษณะเฉพาะ คุณสมบัติหลักคล้ายกับวัตถุประสงค์ของการศึกษา วัตถุใหม่ (หรือสิ่งที่เป็นนามธรรม) ที่ปรากฏจากการแทนที่มักจะเรียกว่าแบบจำลองของวัตถุแห่งการศึกษา

ในการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ใดก็ได้ เช่น แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ การวิเคราะห์การถดถอย ทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติทางคณิตศาสตร์ ฯลฯ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือชุดของสูตร สมการ อสมการ เงื่อนไขเชิงตรรกะ ฯลฯ ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์กำหนดกระบวนการเปลี่ยนสถานะของวัตถุที่ศึกษาขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ สัญญาณอินพุต เงื่อนไขเบื้องต้นและเวลา โดยพื้นฐานแล้ว คณิตศาสตร์ทั้งหมดได้รับการออกแบบเพื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

อู๋ สำคัญมากคณิตศาสตร์สำหรับวิทยาศาสตร์อื่น ๆ ทั้งหมด (รวมถึงการสร้างแบบจำลอง) กล่าวถึงข้อเท็จจริงต่อไปนี้ นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษผู้ยิ่งใหญ่ I. Newton (1643-1727) ในช่วงกลางศตวรรษที่ 17 ได้ทำความคุ้นเคยกับผลงานของ Rene Descartes และ Pierre Gassendi งานเหล่านี้ระบุว่าโครงสร้างทั้งหมดของโลกสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรทางคณิตศาสตร์ ภายใต้อิทธิพลของผลงานเหล่านี้ I. Newton เริ่มศึกษาคณิตศาสตร์อย่างเข้มข้น ผลงานของเขาในด้านฟิสิกส์และคณิตศาสตร์เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีการศึกษาวัตถุของการศึกษาโดยอาศัยการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และใช้เพื่อให้ได้ความรู้ใหม่ ปรับปรุงวัตถุประสงค์ของการศึกษาหรือควบคุมวัตถุ

สำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เป็นลักษณะเฉพาะที่กระบวนการของการทำงานของวัตถุนั้นเขียนในรูปแบบของความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ (พีชคณิต ปริพันธ์) ซึ่งเขียนในรูปแบบของเงื่อนไขเชิงตรรกะ

สมการเชิงอนุพันธ์เป็นหนึ่งในวิธีการหลักในการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เมื่อศึกษากระบวนการทางกายภาพ การแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่นำไปใช้ ตามกฎแล้ว เป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหากฎที่เชื่อมโยงปริมาณที่ระบุลักษณะปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษาโดยตรง มักจะง่ายกว่าในการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเดียวกันและอนุพันธ์หรือส่วนต่าง ความสัมพันธ์ประเภทนี้เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ ความเป็นไปได้และกฎเกณฑ์สำหรับการรวบรวมสมการเชิงอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยความรู้เกี่ยวกับกฎหมายของสาขาวิชาวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของปัญหาที่กำลังศึกษาอยู่ ตัวอย่างเช่น กฎของนิวตันสามารถใช้ได้ในกลศาสตร์ ในทฤษฎีความเร็ว ปฏิกริยาเคมี- กฎแห่งกรรม ฯลฯ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ มักมีบางกรณีที่กฎหมายที่สามารถทำให้สมการอนุพันธ์ไม่เป็นที่รู้จัก จากนั้นจึงหันไปใช้สมมติฐานต่างๆ ที่ทำให้เข้าใจง่ายขึ้นซึ่งเกี่ยวข้องกับกระบวนการโดยมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในตัวแปรพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ การผ่านไปยังขีดจำกัดจะนำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ คำถามเกี่ยวกับความสอดคล้องของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และปรากฏการณ์จริงได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของการวิเคราะห์ผลลัพธ์การทดลองและการเปรียบเทียบกับพฤติกรรมของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้รับ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - opi โดยประมาณคำอธิบายของวัตถุของการสร้างแบบจำลองแสดงโดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ schyu

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ปรากฏขึ้นพร้อมกับคณิตศาสตร์เมื่อหลายศตวรรษก่อน แรงผลักดันอย่างมากในการพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นั้นเกิดจากลักษณะของคอมพิวเตอร์ การใช้คอมพิวเตอร์ทำให้สามารถวิเคราะห์และนำแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จำนวนมากมาใช้ได้จริง ซึ่งไม่เคยคล้อยตามการวิจัยเชิงวิเคราะห์มาก่อน คณิตศาสตร์ที่ใช้คอมพิวเตอร์โมเดลท้องฟ้าเรียกว่า แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์, เอ ดำเนินการคำนวณเป้าหมายโดยใช้แบบจำลองคอมพิวเตอร์เรียกว่า การทดลองทางคอมพิวเตอร์.

ขั้นตอนของคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ moการลบแสดงในรูป ครั้งแรกเวที - คำจำกัดความของเป้าหมายการสร้างแบบจำลองเป้าหมายเหล่านี้อาจแตกต่างกัน:

1. จำเป็นต้องมีแบบจำลองเพื่อให้เข้าใจว่าวัตถุนั้นทำงานอย่างไร โครงสร้างอะไร คุณสมบัติพื้นฐาน กฎการพัฒนาและการมีปฏิสัมพันธ์
   กับโลกภายนอก (ความเข้าใจ);
2. จำเป็นต้องมีแบบจำลองเพื่อเรียนรู้วิธีการควบคุมวัตถุ (หรือกระบวนการ) และกำหนด วิธีที่ดีที่สุดการจัดการโดยมีเป้าหมายและเกณฑ์ที่กำหนด (การจัดการ)
3. จำเป็นต้องใช้แบบจำลองเพื่อทำนายผลโดยตรงและโดยอ้อมของการดำเนินการตามวิธีการที่ระบุและรูปแบบของผลกระทบต่อวัตถุ (การคาดการณ์)

มาอธิบายด้วยตัวอย่าง ให้วัตถุของการศึกษาเป็นปฏิสัมพันธ์ของการไหลของของเหลวหรือก๊าซกับร่างกายที่เป็นอุปสรรคต่อการไหลนี้ ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าแรงต้านที่ไหลจากด้านข้างของตัวรถเพิ่มขึ้นตามความเร็วการไหลที่เพิ่มขึ้น แต่ที่ความเร็วสูงพอสมควร แรงนี้จะลดลงอย่างกะทันหันเพื่อเพิ่มความเร็วอีกครั้งด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้นอีก อะไรทำให้แรงต้านทานลดลง? แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เราได้คำตอบที่ชัดเจน: ในขณะที่ความต้านทานลดลงอย่างกะทันหัน กระแสน้ำวนที่เกิดขึ้นในการไหลของของเหลวหรือก๊าซที่อยู่ด้านหลังร่างกายที่เพรียวบางก็เริ่มแยกออกจากกันและไหลไปตามกระแส

ตัวอย่างจากพื้นที่ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง: การอยู่ร่วมกันอย่างสงบสุขด้วยจำนวนประชากรที่มั่นคงของบุคคลสองสายพันธุ์ที่มีฐานอาหารร่วมกัน "ทันใดนั้น" เริ่มเปลี่ยนจำนวนอย่างมาก และที่นี่การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ช่วยให้ (ด้วยความมั่นใจในระดับหนึ่ง) เพื่อสร้างสาเหตุ (หรืออย่างน้อยก็เพื่อหักล้างสมมติฐานบางอย่าง)

การพัฒนาแนวคิดของการจัดการวัตถุเป็นอีกหนึ่งเป้าหมายที่เป็นไปได้ของการสร้างแบบจำลอง ควรเลือกโหมดการบินของเครื่องบินแบบใดเพื่อให้เที่ยวบินปลอดภัยและได้เปรียบทางเศรษฐกิจมากที่สุด จะกำหนดเวลางานหลายร้อยประเภทในการก่อสร้างโรงงานขนาดใหญ่ได้อย่างไรเพื่อให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ปัญหาดังกล่าวมากมายเกิดขึ้นอย่างเป็นระบบต่อหน้านักเศรษฐศาสตร์ นักออกแบบ และนักวิทยาศาสตร์

สุดท้าย การทำนายผลที่ตามมาของผลกระทบบางอย่างต่อวัตถุอาจเป็นเรื่องที่ค่อนข้างง่ายในระบบทางกายภาพที่เรียบง่าย และซับซ้อนอย่างยิ่ง - ใกล้จะเป็นไปได้ - ในระบบชีวภาพ เศรษฐกิจ และสังคม ถ้ามันค่อนข้างง่ายที่จะตอบคำถามเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในโหมดของการแพร่กระจายความร้อนในแท่งบาง ๆ ที่มีการเปลี่ยนแปลงในโลหะผสมที่เป็นส่วนประกอบ การติดตาม (ทำนาย) ผลกระทบด้านสิ่งแวดล้อมและภูมิอากาศของการสร้าง a สถานีไฟฟ้าพลังน้ำขนาดใหญ่หรือผลกระทบทางสังคมของการเปลี่ยนแปลงกฎหมายภาษีอากร บางทีวิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจให้ความช่วยเหลือที่สำคัญกว่านี้ในอนาคตได้เช่นกัน

ระยะที่สอง:คำจำกัดความของพารามิเตอร์อินพุตและเอาต์พุตของโมเดล การแบ่งพารามิเตอร์อินพุตตามระดับความสำคัญของผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงที่มีต่อผลลัพธ์ กระบวนการนี้เรียกว่าการจัดอันดับหรือแบ่งตามอันดับ (ดูด้านล่าง) "ฟอร์มาลิสาและแบบจำลอง").

ขั้นตอนที่สาม:การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ในขั้นตอนนี้ มีการเปลี่ยนจากสูตรนามธรรมของแบบจำลองไปเป็นสูตรที่มีการแทนค่าทางคณิตศาสตร์เฉพาะ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ สมการ ระบบสมการ ระบบอสมการ สมการเชิงอนุพันธ์หรือระบบของสมการดังกล่าว เป็นต้น

ขั้นตอนที่สี่:การเลือกวิธีศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่มักใช้วิธีการเชิงตัวเลขซึ่งเป็นประโยชน์ต่อการเขียนโปรแกรม ตามกฎแล้ว หลายวิธีเหมาะสำหรับการแก้ปัญหาเดียวกัน ความแม่นยำ ความเสถียร ฯลฯ ต่างกัน ความสำเร็จของกระบวนการสร้างแบบจำลองทั้งหมดมักขึ้นอยู่กับการเลือกวิธีการที่ถูกต้อง

ขั้นตอนที่ห้า:การพัฒนาอัลกอริธึม การคอมไพล์และการดีบักของโปรแกรมคอมพิวเตอร์เป็นกระบวนการที่ยากต่อการทำให้เป็นทางการ สำหรับภาษาโปรแกรม ผู้เชี่ยวชาญหลายคนสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ชอบ FORTRAN: ทั้งเนื่องจากประเพณีและเนื่องจากประสิทธิภาพที่ไม่มีใครเทียบได้ของคอมไพเลอร์ (สำหรับงานคำนวณ) และการมีอยู่ของไลบรารีขนาดใหญ่ ดีบักอย่างระมัดระวังและเพิ่มประสิทธิภาพของโปรแกรมมาตรฐานของวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่เขียน มัน. ภาษาเช่น PASCAL, BASIC, C ก็ใช้เช่นกันขึ้นอยู่กับลักษณะของงานและความโน้มเอียงของโปรแกรมเมอร์

ขั้นตอนที่หก:การทดสอบโปรแกรม การทำงานของโปรแกรมถูกตรวจสอบสำหรับ งานทดสอบกับคำตอบที่รู้กัน นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของขั้นตอนการทดสอบที่ยากจะอธิบายอย่างละเอียดถี่ถ้วนอย่างเป็นทางการ โดยปกติ การทดสอบจะสิ้นสุดลงเมื่อผู้ใช้พิจารณาว่าโปรแกรมถูกต้องตามลักษณะทางวิชาชีพของเขา

ขั้นตอนที่เจ็ด:การทดลองคำนวณจริง ในระหว่างนั้นจะชัดเจนว่าแบบจำลองนั้นสอดคล้องกับวัตถุจริง (กระบวนการ) หรือไม่ โมเดลนี้เพียงพอสำหรับกระบวนการจริง หากคุณลักษณะบางอย่างของกระบวนการที่ได้รับบนคอมพิวเตอร์ตรงกับลักษณะที่ได้รับจากการทดลองด้วยระดับความแม่นยำที่กำหนด หากแบบจำลองไม่สอดคล้องกับกระบวนการจริง เราจะกลับไปที่ขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่งก่อนหน้านี้

การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การจำแนกประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถยึดตาม หลักการต่างๆ. เป็นไปได้ที่จะจำแนกแบบจำลองตามสาขาวิทยาศาสตร์ (แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในวิชาฟิสิกส์ ชีววิทยา สังคมวิทยา ฯลฯ) สามารถจำแนกตามเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ประยุกต์ (แบบจำลองตามการใช้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย วิธีสุ่ม การแปลงพีชคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง เป็นต้น) สุดท้ายขึ้นอยู่กับ งานทั่วไปการสร้างแบบจำลองในวิทยาศาสตร์ที่แตกต่างกัน โดยไม่คำนึงถึงเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ การจำแนกประเภทต่อไปนี้เป็นธรรมชาติที่สุด:

• แบบจำลองเชิงพรรณนา (พรรณนา)
• แบบจำลองการเพิ่มประสิทธิภาพ
• ตัวแบบหลายเกณฑ์
• โมเดลเกม

มาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างกัน

แบบจำลองเชิงพรรณนา (พรรณนา). ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบจำลองการเคลื่อนที่ของดาวหางที่บุกรุก ระบบสุริยะถูกสร้างขึ้นเพื่อทำนายวิถีการบิน ระยะทางที่มันจะผ่านจากโลก ฯลฯ ในกรณีนี้ เป้าหมายของการสร้างแบบจำลองนั้นเป็นการพรรณนา เนื่องจากไม่มีทางที่จะโน้มน้าวการเคลื่อนที่ของดาวหางเพื่อเปลี่ยนแปลงบางสิ่งในนั้น

โมเดลการเพิ่มประสิทธิภาพใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่อาจได้รับอิทธิพลในความพยายามที่จะบรรลุเป้าหมายที่กำหนด ในกรณีนี้ โมเดลจะรวมพารามิเตอร์อย่างน้อยหนึ่งพารามิเตอร์ที่อาจได้รับอิทธิพล ตัวอย่างเช่น โดยการเปลี่ยนระบบการระบายความร้อนในยุ้งฉาง เราสามารถตั้งเป้าหมายในการเลือกระบอบการปกครองดังกล่าวเพื่อให้ได้รับการเก็บรักษาเมล็ดพืชอย่างสูงสุด กล่าวคือ เพิ่มประสิทธิภาพกระบวนการจัดเก็บ

ตัวแบบหลายเกณฑ์. บ่อยครั้งจำเป็นต้องปรับกระบวนการให้เหมาะสมในพารามิเตอร์หลายตัวพร้อมกัน และเป้าหมายอาจขัดแย้งกันมาก ตัวอย่างเช่น การรู้ราคาอาหารและความต้องการอาหารของบุคคล จำเป็นต้องจัดอาหารสำหรับคนกลุ่มใหญ่ (ในกองทัพ ค่ายฤดูร้อนสำหรับเด็ก ฯลฯ) อย่างถูกต้องทางสรีรวิทยาและในเวลาเดียวกันให้ถูกที่สุด เป็นที่ชัดเจนว่าเป้าหมายเหล่านี้ไม่ตรงกันเลย เมื่อสร้างแบบจำลองจะใช้เกณฑ์หลายอย่างซึ่งจะต้องค้นหาสมดุล

โมเดลเกมอาจเกี่ยวข้องไม่เฉพาะกับ เกมส์คอมพิวเตอร์แต่ยังรวมถึงสิ่งที่จริงจังมากด้วย ตัวอย่างเช่น ก่อนการสู้รบ หากมีข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์เกี่ยวกับกองทัพฝ่ายตรงข้าม ผู้บังคับบัญชาต้องพัฒนาแผน: เพื่อที่จะนำหน่วยบางหน่วยเข้าสู่การต่อสู้ ฯลฯ โดยคำนึงถึงปฏิกิริยาที่เป็นไปได้ของศัตรู มีส่วนพิเศษของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ - ทฤษฎีเกม - ที่ศึกษาวิธีการตัดสินใจภายใต้เงื่อนไขของข้อมูลที่ไม่สมบูรณ์

ในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์ของโรงเรียน นักเรียนจะได้รับแนวคิดเบื้องต้นเกี่ยวกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์ภายในกรอบของ คอร์สพื้นฐาน. ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถศึกษาอย่างลึกซึ้งในหลักสูตรการศึกษาทั่วไปสำหรับชั้นเรียนในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ตลอดจนในวิชาเลือกเฉพาะทาง

รูปแบบหลักของการสอนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ด้วยคอมพิวเตอร์ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายคือการบรรยาย ห้องปฏิบัติการ และชั้นเรียนสินเชื่อ โดยปกติงานสร้างและเตรียมการศึกษาโมเดลใหม่แต่ละรุ่นจะใช้เวลา 3-4 บทเรียน ในระหว่างการนำเสนอเนื้อหามีการกำหนดงานซึ่งในอนาคตนักเรียนควรแก้ไขด้วยตนเองโดยทั่วไปแล้วจะมีการสรุปวิธีการแก้ปัญหา มีการตั้งคำถามซึ่งเป็นคำตอบที่ควรได้รับเมื่อปฏิบัติงาน มีการระบุวรรณกรรมเพิ่มเติมซึ่งช่วยให้ได้รับข้อมูลเสริมเพื่อให้งานสำเร็จลุล่วงได้มากขึ้น

รูปแบบของการจัดชั้นเรียนในการศึกษาเนื้อหาใหม่ๆ มักจะเป็นการบรรยาย หลังจากเสร็จสิ้นการอภิปรายรุ่นต่อไป นักเรียนมีข้อมูลเชิงทฤษฎีที่จำเป็นและชุดงานสำหรับการทำงานต่อไป ในการเตรียมตัวสำหรับงาน นักเรียนเลือกวิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสม โดยใช้โซลูชันส่วนตัวที่เป็นที่รู้จัก พวกเขาจะทดสอบโปรแกรมที่พัฒนาขึ้น ในกรณีที่มีความยากลำบากในการปฏิบัติงาน มีการปรึกษาหารือ เสนอให้ทำงานในส่วนเหล่านี้โดยละเอียดยิ่งขึ้นในวรรณคดี

ที่เกี่ยวข้องมากที่สุดกับส่วนปฏิบัติของการสอนการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์คือวิธีการของโครงการ งานนี้จัดทำขึ้นสำหรับนักเรียนในรูปแบบของโครงการการศึกษาและเสร็จสิ้นในหลายบทเรียนด้วย main รูปแบบองค์กรขณะทำงานห้องปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ การเรียนรู้เพื่อสร้างแบบจำลองโดยใช้วิธีการโครงการเรียนรู้สามารถนำไปใช้ได้ในระดับต่างๆ ประการแรกคือคำชี้แจงปัญหาของกระบวนการดำเนินโครงการซึ่งนำโดยครู ประการที่สองคือการดำเนินโครงการโดยนักเรียนภายใต้การแนะนำของครู ที่สามคือการดำเนินการโดยอิสระโดยนักศึกษาของโครงการวิจัยทางการศึกษา

ผลงานควรนำเสนอในรูปแบบตัวเลขในรูปแบบของกราฟไดอะแกรม ถ้าเป็นไปได้ กระบวนการจะแสดงบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ในไดนามิก เมื่อเสร็จสิ้นการคำนวณและรับผลลัพธ์แล้ว จะถูกวิเคราะห์โดยเปรียบเทียบกับข้อเท็จจริงที่ทราบจากทฤษฎี ความน่าเชื่อถือได้รับการยืนยันและดำเนินการตีความที่มีความหมาย ซึ่งจะสะท้อนให้เห็นในรายงานที่เป็นลายลักษณ์อักษรในเวลาต่อมา

ถ้าผลงานถูกใจนักเรียนและครู ผลงาน นับเสร็จสิ้น และขั้นตอนสุดท้ายคือการจัดทำรายงาน รายงานประกอบด้วยข้อมูลเชิงทฤษฎีโดยย่อในหัวข้อที่กำลังศึกษา การกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์ อัลกอริธึมการแก้ปัญหาและเหตุผล โปรแกรมคอมพิวเตอร์ ผลลัพธ์ของโปรแกรม การวิเคราะห์ผลลัพธ์และข้อสรุป รายการอ้างอิง

เมื่อจัดทำรายงานทั้งหมดแล้ว ในเซสชั่นการทดสอบ นักเรียนจะทำรายงานสั้น ๆ เกี่ยวกับงานที่ทำเสร็จแล้ว ปกป้องโครงงานของพวกเขา นี่คือรูปแบบการรายงานที่มีประสิทธิภาพของทีมงานโครงการต่อชั้นเรียน รวมถึงการตั้งปัญหา การสร้างแบบจำลองที่เป็นทางการ การเลือกวิธีการทำงานกับแบบจำลอง การปรับใช้แบบจำลองบนคอมพิวเตอร์ การทำงานกับแบบจำลองที่เสร็จแล้ว การตีความผลลัพธ์ การพยากรณ์ เป็นผลให้นักเรียนสามารถรับเกรดสอง: ครั้งแรก - สำหรับการอธิบายรายละเอียดโครงการและความสำเร็จของการป้องกัน ที่สอง - สำหรับโปรแกรม ความเหมาะสมของอัลกอริทึม อินเทอร์เฟซ ฯลฯ นักศึกษายังได้รับคะแนนจากการสำรวจทฤษฎีอีกด้วย

คำถามสำคัญคือเครื่องมือชนิดใดที่จะใช้ในหลักสูตรสารสนเทศของโรงเรียนสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การนำแบบจำลองไปใช้ด้วยคอมพิวเตอร์สามารถทำได้:

• ใช้สเปรดชีต (โดยปกติคือ MS Excel);
• โดยการสร้างโปรแกรมในภาษาโปรแกรมดั้งเดิม (Pascal, BASIC เป็นต้น) รวมถึงในเวอร์ชันที่ทันสมัย ​​(Delphi, Visual
  พื้นฐานสำหรับการสมัคร ฯลฯ );
• ใช้ชุดซอฟต์แวร์พิเศษสำหรับแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (MathCAD เป็นต้น)

ในระดับประถมศึกษา วิธีการรักษาแบบแรกดูเหมือนจะเป็นวิธีที่ชอบ อย่างไรก็ตาม ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย เมื่อการเขียนโปรแกรมควบคู่ไปกับการสร้างแบบจำลอง ซึ่งเป็นหัวข้อสำคัญของวิทยาการคอมพิวเตอร์ ขอแนะนำให้มีส่วนร่วมเป็นเครื่องมือในการสร้างแบบจำลอง ในกระบวนการของการเขียนโปรแกรม รายละเอียดของขั้นตอนทางคณิตศาสตร์จะมีให้สำหรับนักเรียน ยิ่งไปกว่านั้น พวกเขาถูกบังคับให้เชี่ยวชาญ และสิ่งนี้ยังมีส่วนช่วยในการศึกษาคณิตศาสตร์อีกด้วย สำหรับการใช้แพ็คเกจซอฟต์แวร์พิเศษนี้ เหมาะสมในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์แบบโปรไฟล์ เป็นส่วนเสริมของเครื่องมืออื่นๆ

ออกกำลังกาย :

• ร่างแนวคิดหลัก

บรรยาย 4

ความหมายและวัตถุประสงค์ของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ภายใต้ แบบอย่าง(จากโมดูลัสภาษาละติน - การวัด, ตัวอย่าง, บรรทัดฐาน) เราจะเข้าใจวัตถุที่เป็นตัวแทนทางวัตถุหรือทางจิตใจซึ่งในกระบวนการของความรู้ความเข้าใจ (การศึกษา) แทนที่วัตถุดั้งเดิมโดยคงไว้ซึ่งคุณสมบัติทั่วไปบางอย่างที่มีความสำคัญสำหรับการศึกษานี้ . กระบวนการสร้างและใช้แบบจำลองเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง

แก่นแท้ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (MM) คือการแทนที่วัตถุที่ศึกษา (กระบวนการ) ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอแล้วศึกษาคุณสมบัติของแบบจำลองนี้โดยใช้วิธีการวิเคราะห์หรือการทดลองทางคอมพิวเตอร์

บางครั้งก็มีประโยชน์มากกว่า แทนที่จะให้คำจำกัดความที่เข้มงวด เพื่ออธิบายแนวคิดเฉพาะด้วยตัวอย่างเฉพาะ ดังนั้นเราจึงแสดงคำจำกัดความข้างต้นของ MM โดยใช้ตัวอย่างของปัญหาการคำนวณแรงกระตุ้นจำเพาะ ในช่วงต้นทศวรรษ 1960 นักวิทยาศาสตร์ต้องเผชิญกับงานพัฒนาเชื้อเพลิงจรวดที่มีแรงกระตุ้นจำเพาะสูงสุด หลักการของการเคลื่อนที่ของจรวดมีดังนี้: เชื้อเพลิงเหลวและตัวออกซิไดเซอร์จากถังจรวดจะถูกป้อนเข้าสู่เครื่องยนต์ซึ่งจะถูกเผาไหม้และผลิตภัณฑ์จากการเผาไหม้จะถูกปล่อยสู่ชั้นบรรยากาศ จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ในกรณีนี้ จรวดจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว

แรงกระตุ้นจำเพาะของเชื้อเพลิงคือแรงกระตุ้นที่เกิดขึ้นหารด้วยมวลของเชื้อเพลิง การทดลองมีราคาแพงมากและนำไปสู่ความเสียหายอย่างเป็นระบบต่ออุปกรณ์ ปรากฎว่ามันง่ายกว่าและถูกกว่าในการคำนวณฟังก์ชันทางอุณหพลศาสตร์ของก๊าซในอุดมคติ คำนวณด้วยความช่วยเหลือขององค์ประกอบของก๊าซที่ปล่อยออกมาและอุณหภูมิพลาสมาและแรงกระตุ้นจำเพาะ นั่นคือเพื่อดำเนินการ MM ของกระบวนการเผาไหม้เชื้อเพลิง

แนวคิดของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (MM) ในปัจจุบันเป็นหนึ่งในแนวคิดที่พบบ่อยที่สุดในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ วิทยานิพนธ์และวิทยานิพนธ์สมัยใหม่ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาและการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม คอมพิวเตอร์เอ็มเอ็มในปัจจุบันเป็นส่วนสำคัญของกิจกรรมของมนุษย์ในหลายด้าน (วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี เศรษฐศาสตร์ สังคมวิทยา ฯลฯ) นี่เป็นหนึ่งในสาเหตุของการขาดแคลนผู้เชี่ยวชาญในสาขาเทคโนโลยีสารสนเทศในปัจจุบัน

การเติบโตอย่างรวดเร็วของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นั้นเกิดจากการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อย่างรวดเร็ว หากเมื่อ 20 ปีที่แล้ว มีโปรแกรมเมอร์เพียงไม่กี่คนที่มีส่วนร่วมในการคำนวณเชิงตัวเลข ตอนนี้จำนวนหน่วยความจำและความเร็วของคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ ซึ่งทำให้สามารถแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้นั้นมีไว้สำหรับผู้เชี่ยวชาญทุกคน รวมถึงนักศึกษามหาวิทยาลัยด้วย

ในสาขาวิชาใด ๆ จะมีการให้คำอธิบายเชิงคุณภาพของปรากฏการณ์ก่อน แล้ว -- เชิงปริมาณ สูตรในรูปแบบของกฎที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณต่างๆ (ความแรงของสนาม, ความเข้มของการกระเจิง, ประจุอิเล็กตรอน, ... ) ในรูปแบบของสมการทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าในแต่ละสาขาวิชามีวิทยาศาสตร์มากพอๆ กับที่มีนักคณิตศาสตร์อยู่ในนั้น และข้อเท็จจริงนี้ช่วยให้เราแก้ปัญหาต่างๆ ได้สำเร็จโดยใช้วิธีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

หลักสูตรนี้ออกแบบมาสำหรับนักเรียนวิชาเอกคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่กำลังจะจบวิทยานิพนธ์ภายใต้การดูแลของนักวิทยาศาสตร์ชั้นนำที่ทำงานในสาขาต่างๆ ดังนั้นหลักสูตรนี้จึงมีความจำเป็นไม่เพียงเพราะ สื่อการศึกษาแต่ยังเป็นการเตรียมความพร้อมสำหรับ วิทยานิพนธ์. สำหรับการเรียน คอร์สนี้เราจะต้องมีส่วนต่อไปนี้ของคณิตศาสตร์:

1. สมการฟิสิกส์คณิตศาสตร์ (กลศาสตร์กันเทียน แก๊ส และอุทกพลศาสตร์)

2. พีชคณิตเชิงเส้น (ทฤษฎีความยืดหยุ่น)

3. สนามสเกลาร์และเวกเตอร์ (ทฤษฎีสนาม)

4. ทฤษฎีความน่าจะเป็น (กลศาสตร์ควอนตัม ฟิสิกส์สถิติ จลนศาสตร์ทางกายภาพ)

5. คุณสมบัติพิเศษ

6. การวิเคราะห์เทนเซอร์ (ทฤษฎีความยืดหยุ่น)

7. การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

MM ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ วิศวกรรมศาสตร์ และเศรษฐศาสตร์

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาสาขาต่างๆ ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ เทคโนโลยี เศรษฐศาสตร์ ซึ่งใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

ฟิสิกส์ซึ่งกำหนดกฎพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติได้แบ่งออกเป็นทฤษฎีและการทดลองมานานแล้ว ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีเกี่ยวข้องกับการได้มาของสมการที่อธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพ ดังนั้น ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีถือได้ว่าเป็นหนึ่งในพื้นที่ของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (จำได้ว่าชื่อหนังสือเล่มแรกในวิชาฟิสิกส์ - "หลักการทางคณิตศาสตร์ของปรัชญาธรรมชาติ" โดย I. Newton สามารถแปลเป็น ภาษาสมัยใหม่เป็น "แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ") บนพื้นฐานของกฎหมายที่ได้รับการคำนวณทางวิศวกรรมจะดำเนินการซึ่งดำเนินการในสถาบัน บริษัท สำนักออกแบบต่างๆ องค์กรเหล่านี้พัฒนาเทคโนโลยีสำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์สมัยใหม่ที่เน้นวิทยาศาสตร์ ดังนั้น แนวคิดของเทคโนโลยีที่เน้นวิทยาศาสตร์จึงรวมถึงการคำนวณโดยใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม

หนึ่งในสาขาฟิสิกส์ที่กว้างขวางที่สุด - กลศาสตร์คลาสสิก(บางครั้งส่วนนี้เรียกว่ากลศาสตร์เชิงทฤษฎีหรือเชิงวิเคราะห์) ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีส่วนนี้ศึกษาการเคลื่อนไหวและปฏิสัมพันธ์ของร่างกาย การคำนวณโดยใช้สูตรของกลศาสตร์เชิงทฤษฎีมีความจำเป็นเมื่อศึกษาการหมุนของร่างกาย (การคำนวณโมเมนต์ของความเฉื่อย, ไจโรสแตท - อุปกรณ์ที่ทำให้แกนหมุนอยู่กับที่) การวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของร่างกายในสุญญากาศ ฯลฯ หนึ่งในส่วน กลศาสตร์ทฤษฎีเรียกว่าทฤษฎีเสถียรภาพและรองรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จำนวนมากที่อธิบายการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน เรือ จรวด ส่วนของกลศาสตร์เชิงปฏิบัติ - หลักสูตร "ทฤษฎีเครื่องจักรและกลไก", "ชิ้นส่วนเครื่องจักร" ได้รับการศึกษาโดยนักศึกษาจากมหาวิทยาลัยเทคนิคเกือบทั้งหมด (รวมถึง MGIU)

ทฤษฎีความยืดหยุ่น- ส่วนหนึ่งของส่วน กลศาสตร์ต่อเนื่องซึ่งถือว่าวัสดุของตัวยืดหยุ่นนั้นเป็นเนื้อเดียวกันและกระจายไปทั่วปริมาตรทั้งหมดของร่างกายอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นองค์ประกอบที่เล็กที่สุดที่ตัดออกจากร่างกายจึงเท่ากัน คุณสมบัติทางกายภาพซึ่งเป็นทั้งตัว การประยุกต์ใช้ทฤษฎีความยืดหยุ่น - หลักสูตร "ความแข็งแรงของวัสดุ" ได้รับการศึกษาโดยนักศึกษาของมหาวิทยาลัยเทคนิคทั้งหมด (รวมถึง MGIU) ส่วนนี้จำเป็นสำหรับการคำนวณความแข็งแรงทั้งหมด นี่คือการคำนวณความแข็งแรงของลำตัวเรือ เครื่องบิน ขีปนาวุธ การคำนวณความแข็งแรงของเหล็กและโครงสร้างคอนกรีตเสริมเหล็กของอาคาร และอีกมากมาย

ก๊าซและอุทกพลศาสตร์เช่นเดียวกับทฤษฎีความยืดหยุ่น - ส่วนหนึ่งของส่วน กลศาสตร์ต่อเนื่องพิจารณากฎการเคลื่อนที่ของของเหลวและก๊าซ สมการของก๊าซและอุทกพลศาสตร์มีความจำเป็นเมื่อวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุในตัวกลางที่เป็นของเหลวและก๊าซ (ดาวเทียม, เรือดำน้ำ, จรวด, กระสุน, รถยนต์) เมื่อคำนวณการไหลของก๊าซจากหัวฉีดของเครื่องยนต์จรวดและเครื่องบิน การใช้งานเชิงปฏิบัติของพลศาสตร์ของไหล – ไฮดรอลิกส์ (เบรก หางเสือ…)

ส่วนก่อนหน้าของกลศาสตร์พิจารณาการเคลื่อนไหวของวัตถุในมหภาคและกฎทางกายภาพของมหภาคนั้นใช้ไม่ได้ในพิภพเล็กซึ่งอนุภาคของสสารเคลื่อนที่ - โปรตอน นิวตรอน อิเล็กตรอน ในที่นี้ หลักการที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงทำงาน และเพื่ออธิบายไมโครเวิร์ล จำเป็นต้อง กลศาสตร์ควอนตัม. สมการพื้นฐานที่อธิบายพฤติกรรมของอนุภาคขนาดเล็กคือสมการชโรดิงเงอร์: . นี่คือตัวดำเนินการ Hamiltonian (Hamiltonian) สำหรับสมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคหนึ่งมิติ https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potential energy คำตอบของสมการนี้ เป็นชุดของค่าลักษณะเฉพาะของพลังงานและฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ..gif" width="55" height="24 src=">– ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น การคำนวณทางกลควอนตัมจำเป็นสำหรับการพัฒนาวัสดุใหม่ (ไมโครเซอร์กิต) การสร้างเลเซอร์ การพัฒนาวิธีการวิเคราะห์สเปกตรัม ฯลฯ

งานจำนวนมากได้รับการแก้ไข จลนศาสตร์อธิบายการเคลื่อนที่และปฏิสัมพันธ์ของอนุภาค ที่นี่และการแพร่กระจาย การถ่ายเทความร้อน ทฤษฎีพลาสมา - สถานะที่สี่ของสสาร

ฟิสิกส์สถิติพิจารณาชุดของอนุภาค ช่วยให้คุณสามารถพูดเกี่ยวกับพารามิเตอร์ของทั้งมวล ตามคุณสมบัติของอนุภาคแต่ละ หากทั้งมวลประกอบด้วยโมเลกุลของแก๊ส คุณสมบัติของทั้งมวลที่ได้มาจากวิธีการทางฟิสิกส์เชิงสถิติก็คือสมการของสถานะก๊าซที่รู้จักกันดีในสมัยมัธยม: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-น้ำหนักโมเลกุลของก๊าซ K คือค่าคงที่ริดเบิร์ก วิธีการทางสถิตินอกจากนี้ยังคำนวณคุณสมบัติของสารละลาย ผลึก และอิเล็กตรอนในโลหะด้วย ฟิสิกส์สถิติ MM - พื้นฐานทางทฤษฎีอุณหพลศาสตร์ซึ่งรองรับการคำนวณเครื่องยนต์ เครือข่ายทำความร้อน และสถานี

ทฤษฎีสนามอธิบายโดยวิธี MM หนึ่งในรูปแบบหลักของสสาร - ฟิลด์ ในกรณีนี้สนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นที่สนใจหลัก สมการของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า (อิเล็กโทรไดนามิกส์) ได้มาจาก Maxwell: , , , . ที่นี่และ https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - ความหนาแน่นของประจุ - ความหนาแน่นกระแส สมการของไฟฟ้าไดนามิกรองรับการคำนวณของ การแพร่กระจายของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่จำเป็นในการอธิบายการแพร่กระจายของคลื่นวิทยุ (วิทยุ, โทรทัศน์, การสื่อสารเคลื่อนที่) อธิบายการทำงานของสถานีเรดาร์

เคมีสามารถแสดงได้เป็นสองลักษณะ โดยเน้นที่เคมีเชิงพรรณนา - การค้นพบปัจจัยทางเคมีและคำอธิบาย - และเคมีเชิงทฤษฎี - การพัฒนาของทฤษฎีที่ช่วยให้สรุปปัจจัยที่กำหนดขึ้นและนำเสนอในรูปแบบของระบบเฉพาะ (L. Pauling) . เคมีเชิงทฤษฎีเรียกอีกอย่างว่าเคมีกายภาพและโดยพื้นฐานแล้วเป็นสาขาหนึ่งของฟิสิกส์ที่ศึกษาสารและปฏิกิริยาของพวกมัน ดังนั้นทุกอย่างที่พูดถึงฟิสิกส์จึงนำไปใช้กับเคมีได้อย่างเต็มที่ ส่วนของเคมีกายภาพจะเป็นเทอร์โมเคมี ซึ่งศึกษาผลกระทบทางความร้อนของปฏิกิริยา จลนพลศาสตร์เคมี (อัตราการเกิดปฏิกิริยา) เคมีควอนตัม (โครงสร้างของโมเลกุล) ในขณะเดียวกัน ปัญหาทางเคมีก็ซับซ้อนมาก ตัวอย่างเช่น เพื่อแก้ปัญหาเคมีควอนตัม - ศาสตร์แห่งโครงสร้างของอะตอมและโมเลกุล มีการใช้โปรแกรมที่เทียบเคียงได้กับโปรแกรมป้องกันภัยทางอากาศของประเทศ ตัวอย่างเช่น เพื่ออธิบายโมเลกุล UCl4 ซึ่งประกอบด้วยนิวเคลียสอะตอม 5 ตัวและอิเล็กตรอน +17 * 4) คุณต้องเขียนสมการการเคลื่อนที่ - สมการในอนุพันธ์ย่อยบางส่วน

ชีววิทยา

คณิตศาสตร์เข้ามาสู่ชีววิทยาในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 เท่านั้น ความพยายามครั้งแรกในการอธิบายกระบวนการทางคณิตศาสตร์ทางคณิตศาสตร์นั้นเกี่ยวข้องกับแบบจำลองพลวัตของประชากร ประชากรคือชุมชนของบุคคลในสายพันธุ์เดียวกันซึ่งครอบครองพื้นที่บางส่วนบนโลก สาขาวิชาชีววิทยาคณิตศาสตร์นี้ซึ่งศึกษาการเปลี่ยนแปลงของขนาดประชากรภายใต้เงื่อนไขต่างๆ (การปรากฏตัวของสัตว์ที่แข่งขันกัน, นักล่า, โรค ฯลฯ ) ทำหน้าที่เป็นพื้นที่ทดสอบทางคณิตศาสตร์ซึ่งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในสาขาชีววิทยาต่างๆ ได้แก่ " ดำเนินการ". รวมถึงแบบจำลองวิวัฒนาการ จุลชีววิทยา ภูมิคุ้มกันวิทยา และพื้นที่อื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเซลล์
แบบจำลองแรกที่เป็นที่รู้จักซึ่งกำหนดขึ้นในสภาพแวดล้อมทางชีววิทยาคืออนุกรมฟีโบนักชีที่มีชื่อเสียง (ตัวเลขที่ตามมาแต่ละหมายเลขคือผลรวมของสองตัวก่อนหน้า) ซึ่งเลโอนาร์โดแห่งปิซาอ้างถึงในงานของเขาในศตวรรษที่ 13 นี่คือชุดตัวเลขที่อธิบายจำนวนคู่ของกระต่ายที่เกิดในแต่ละเดือน ถ้ากระต่ายเริ่มผสมพันธุ์ตั้งแต่เดือนที่สองและออกกระต่ายคู่หนึ่งในแต่ละเดือน แถวแสดงลำดับของตัวเลข: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

อีกตัวอย่างหนึ่งคือการศึกษากระบวนการขนส่งอิออนทรานส์เมมเบรนบนเมมเบรนไบเลเยอร์เทียม ในที่นี้ เพื่อศึกษากฎของการก่อตัวของรูพรุนที่ไอออนผ่านเมมเบรนเข้าสู่เซลล์ จำเป็นต้องสร้างระบบแบบจำลองที่สามารถศึกษาทดลองได้ และสำหรับคำอธิบายทางกายภาพที่ได้รับการพัฒนามาอย่างดีแล้ว ใช้แล้ว.

ตัวอย่างคลาสสิกของ MM ก็คือประชากรแมลงหวี่ รูปแบบที่สะดวกยิ่งขึ้นคือไวรัสซึ่งสามารถแพร่กระจายในหลอดทดลองได้ วิธีการสร้างแบบจำลองทางชีววิทยาคือวิธีการของทฤษฎีระบบไดนามิก และวิธีการคือสมการเชิงอนุพันธ์และความแตกต่าง วิธีการของทฤษฎีเชิงคุณภาพของสมการเชิงอนุพันธ์ การจำลองแบบจำลอง
เป้าหมายของการสร้างแบบจำลองทางชีววิทยา:
3. การอธิบายกลไกการทำงานร่วมกันระหว่างองค์ประกอบของระบบ
4. การระบุและตรวจสอบพารามิเตอร์แบบจำลองโดยใช้ข้อมูลการทดลอง
5. การประเมินความเสถียรของระบบ (รุ่น)

6. การทำนายพฤติกรรมของระบบภายใต้อิทธิพลภายนอกต่างๆ วิธีต่างๆการจัดการและอื่น ๆ
7. การควบคุมระบบอย่างเหมาะสมที่สุดตามเกณฑ์ความเหมาะสมที่เลือก

เทคนิค

ผู้เชี่ยวชาญจำนวนมากมีส่วนร่วมในการพัฒนาเทคโนโลยีซึ่งในการทำงานของพวกเขาขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ การวิจัยทางวิทยาศาสตร์. ดังนั้น MM ในเทคโนโลยีจึงเหมือนกับ MM ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่กล่าวถึงข้างต้น

เศรษฐกิจและกระบวนการทางสังคม

เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีการวิเคราะห์กระบวนการเศรษฐศาสตร์มหภาคเป็นครั้งแรกโดยแพทย์ของ King Louis XV, Dr. ฟร็องซัว เควสเนย์ซึ่งในปี ค.ศ. 1758 ได้ตีพิมพ์ผลงาน "Economic Table" ในงานนี้ มีความพยายามครั้งแรกในการอธิบายเศรษฐกิจของประเทศในเชิงปริมาณ และในปี พ.ศ. 2381 ในหนังสือ อ. คอร์น็อทวิธีการเชิงปริมาณ "การตรวจสอบหลักการทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีความมั่งคั่ง" ถูกนำมาใช้ครั้งแรกในการวิเคราะห์การแข่งขันในตลาดสำหรับสินค้าในสถานการณ์ต่างๆ ของตลาด

ทฤษฎีประชากรของ Malthus เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางเช่นกัน ซึ่งเขาเสนอแนวคิดที่ว่าการเติบโตของประชากรไม่เป็นที่ต้องการเสมอไป และการเติบโตนี้เร็วกว่าความเป็นไปได้ที่เพิ่มขึ้นของการจัดหาอาหารให้กับประชากร แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการดังกล่าวค่อนข้างง่าย: ให้ - การเติบโตของประชากรเมื่อเวลาผ่านไป https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> ประชากร เท่ากับ . และเป็นสัมประสิทธิ์โดยคำนึงถึงอัตราการเกิดและตาย (คน/ปี)

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">วิธีการที่ใช้และคณิตศาสตร์" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">วิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (เช่น ในทศวรรษที่ผ่านมา ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการพัฒนาวัฒนธรรมได้ปรากฏในมนุษยศาสตร์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการระดม การพัฒนาวัฏจักรของกระบวนการทางสังคมวัฒนธรรม แบบจำลองปฏิสัมพันธ์ระหว่างประชาชนและรัฐบาล มีการสร้างและศึกษาแบบจำลองการแข่งขันทางอาวุธ เป็นต้น)

โดยทั่วไปแล้ว กระบวนการ MM ของกระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคมสามารถแบ่งออกเป็นสี่ขั้นตอนตามเงื่อนไข:

การจัดทำระบบสมมติฐานและการพัฒนาแบบจำลองแนวคิด การพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ผลลัพธ์ของการคำนวณแบบจำลองซึ่งรวมถึงการเปรียบเทียบกับการปฏิบัติ การกำหนดสมมติฐานใหม่และการปรับแต่งแบบจำลองในกรณีที่เกิดความคลาดเคลื่อนระหว่างผลการคำนวณกับข้อมูลที่นำไปใช้ได้จริง

สังเกตว่า ตามกฎแล้ว กระบวนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นวัฏจักร เนื่องจากแม้ในขณะที่ศึกษากระบวนการที่ค่อนข้างง่าย ก็แทบจะไม่สามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอตั้งแต่ขั้นตอนแรกและเลือกพารามิเตอร์ที่แน่นอนได้

ในปัจจุบัน เศรษฐกิจถือเป็นระบบการพัฒนาที่ซับซ้อน สำหรับคำอธิบายเชิงปริมาณซึ่งใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบบไดนามิกที่มีระดับความซับซ้อนต่างกันไป งานวิจัยด้านพลวัตเศรษฐกิจมหภาคด้านหนึ่งเกี่ยวข้องกับการสร้างและวิเคราะห์แบบจำลองการจำลองแบบไม่เชิงเส้นที่ค่อนข้างง่าย ซึ่งสะท้อนถึงปฏิสัมพันธ์ของระบบย่อยต่างๆ - ตลาดแรงงาน ตลาดสินค้า ระบบการเงิน สภาพแวดล้อมทางธรรมชาติ ฯลฯ

ทฤษฎีความหายนะกำลังพัฒนาอย่างประสบความสำเร็จ ทฤษฎีนี้พิจารณาคำถามเกี่ยวกับเงื่อนไขที่การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ของระบบไม่เชิงเส้นทำให้เกิดจุดในปริภูมิเฟส กำหนดลักษณะของสถานะของระบบ ย้ายจากบริเวณแรงดึงดูดไปยังตำแหน่งสมดุลเริ่มต้นไปยังพื้นที่ของ แรงดึงดูดไปยังตำแหน่งสมดุลอื่น สิ่งหลังมีความสำคัญมากไม่เพียงแต่สำหรับการวิเคราะห์ระบบทางเทคนิคเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการทำความเข้าใจความยั่งยืนของกระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคมด้วย ในการนี้ ผลการวิจัยพบว่า เกี่ยวกับความสำคัญของการศึกษาแบบจำลองไม่เชิงเส้นสำหรับการจัดการ ในหนังสือ "The Theory of Catastrophes" ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1990 เขาเขียนว่า: "... การปรับโครงสร้างในปัจจุบันส่วนใหญ่เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าอย่างน้อยกลไกการตอบรับ (กลัวการทำลายตนเอง) ได้เริ่มทำงาน ."

(พารามิเตอร์รุ่น)

เมื่อสร้างแบบจำลองของวัตถุและปรากฏการณ์จริง เรามักพบว่าขาดข้อมูล สำหรับวัตถุที่อยู่ระหว่างการศึกษา การกระจายคุณสมบัติ พารามิเตอร์ของผลกระทบและสถานะเริ่มต้นนั้นทราบด้วยระดับความไม่แน่นอนที่แตกต่างกัน เมื่อสร้างแบบจำลอง อาจมีตัวเลือกต่อไปนี้สำหรับการอธิบายพารามิเตอร์ที่ไม่แน่นอน:

การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

(วิธีการดำเนินการ)

วิธีการใช้งาน MM สามารถจำแนกได้ตามตารางด้านล่าง

วิธีการดำเนินการ MM บ่อยครั้งที่โซลูชันการวิเคราะห์สำหรับโมเดลถูกนำเสนอในรูปแบบของฟังก์ชัน เพื่อให้ได้ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้สำหรับค่าเฉพาะของพารามิเตอร์อินพุตจะใช้การขยายเป็นอนุกรม (เช่น Taylor) และกำหนดค่าของฟังก์ชันสำหรับแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์โดยประมาณ โมเดลที่ใช้เทคนิคนี้เรียกว่า โดยประมาณ. ที่ วิธีการเชิงตัวเลขเซตของความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองนั้นถูกแทนที่ด้วยอะนาล็อกที่มีมิติจำกัด ซึ่งทำได้บ่อยที่สุดโดยการแยกความสัมพันธ์เริ่มต้น กล่าวคือ โดยการส่งผ่านจากฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ต่อเนื่องไปยังฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ที่ไม่ต่อเนื่อง (เมธอดกริด) วิธีแก้ปัญหาที่พบหลังจากการคำนวณบนคอมพิวเตอร์ถือเป็นวิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นโดยประมาณ ระบบที่มีอยู่ส่วนใหญ่นั้นซับซ้อนมาก และเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างแบบจำลองจริงสำหรับระบบเหล่านี้ โดยอธิบายในเชิงวิเคราะห์ ระบบดังกล่าวควรศึกษาโดยใช้ แบบจำลองการจำลอง. หนึ่งในวิธีการหลักของการจำลองแบบจำลองเกี่ยวข้องกับการใช้ตัวสร้างตัวเลขสุ่ม เนื่องจากปัญหาจำนวนมากได้รับการแก้ไขโดยวิธี MM จึงมีการศึกษาวิธีการนำ MM ไปใช้มากกว่าหนึ่งวิธี คอร์สอบรม. ต่อไปนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ การจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ ฯลฯ PAULING, Linus Carl (Pauling, Linus Carl) () นักเคมีและนักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน ได้รับรางวัลในปี 1954 รางวัลโนเบลในวิชาเคมีเพื่อการศึกษาธรรมชาติ พันธะเคมีและกำหนดโครงสร้างของโปรตีน เกิดเมื่อวันที่ 28 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2444 ที่พอร์ตแลนด์ รัฐโอเรกอน เขาได้พัฒนาวิธีการทางกลควอนตัมเพื่อศึกษาโครงสร้างของโมเลกุล (ร่วมกับนักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน เจ. สเลเยอร์) ซึ่งเป็นวิธีพันธะเวเลนซ์ เช่นเดียวกับทฤษฎีเรโซแนนซ์ ซึ่งทำให้สามารถอธิบายโครงสร้างของสารประกอบที่ประกอบด้วยคาร์บอนได้ ส่วนใหญ่เป็นสารประกอบของซีรีย์อะโรมาติก ในช่วงระยะเวลาของลัทธิบุคลิกภาพของสหภาพโซเวียต นักวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเคมีควอนตัมถูกกดขี่ข่มเหงและถูกกล่าวหาว่า "polingism" MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) () นักเศรษฐศาสตร์ชาวอังกฤษ เกิดที่ Rookery ใกล้ Dorking ใน Surrey เมื่อวันที่ 15 หรือ 17 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2309 ในปี พ.ศ. 2341 เขาเผยแพร่โดยไม่ระบุชื่อ การทดลองเรื่องกฎของประชากรในปี ค.ศ. 1819 Malthus ได้รับเลือกให้เป็น Fellow of the Royal Society