พิจารณาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกได้ มีตัวอย่างให้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกได้

เนื้อหา

คำนิยาม

ให้ s (x), q (x)- ฟังก์ชั่นของตัวแปร x ;
พี (ญ), ร (ญ)- ฟังก์ชั่นของตัวแปร y .

สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรแยกได้คือสมการของรูปแบบ

วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกได้

พิจารณาสมการ:
(ผม) .
เราแสดงอนุพันธ์ y ในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล
;
.
คูณด้วย dx
(ii)
หารสมการด้วย s (x)ร(y). สามารถทำได้ถ้า s (x) r(y) ≠ 0. สำหรับ s (x) r(y) ≠ 0เรามี
.
การรวมเข้าด้วยกัน เราได้รับอินทิกรัลทั่วไปในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
(สาม) .

เนื่องจากเราหารด้วย s (x)ร(y)จากนั้นเราจะได้อินทิกรัลของสมการสำหรับ s (x) ≠ 0และ r (ญ) ≠ 0. ต่อไปคุณต้องแก้สมการ
r (y) = 0.
ถ้าสมการนี้มีราก แสดงว่าสมการนั้นก็คือคำตอบของสมการ (i) ให้สมการ r (y) = 0. มี n ราก a i , r (ผม ) = 0, ผม = 1, 2, ... , น. จากนั้นค่าคงที่ y = a i คือคำตอบของสมการ (i) วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้บางส่วนอาจมีอยู่แล้วในอินทิกรัลทั่วไป (iii)

โปรดทราบว่าหากสมการดั้งเดิมให้ในรูปแบบ (ii) สมการนั้นก็ควรแก้สมการด้วย
ส (x) = 0.
รากของมัน b j , s (b j ) = 0, เจ = 1, 2, ... , ม. ให้การแก้ปัญหา x = b j .

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกได้

แก้สมการ

เราแสดงอนุพันธ์ในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล:

คูณด้วย dx แล้วหารด้วย . สำหรับ y ≠ 0 เรามี:

มาบูรณาการกันเถอะ

เราคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตร

แทนที่เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการ
.

พิจารณากรณีนี้ y = 0 .
เห็นได้ชัดว่า y = 0 เป็นคำตอบของสมการเดิม ไม่รวมอยู่ในอินทิกรัลทั่วไป
มาบวกกับผลลัพธ์สุดท้ายกันเถอะ

; y= 0 .

ข้อมูลอ้างอิง:
น.ม. กุนเธอร์, อาร์.โอ. Kuzmin, การรวบรวมปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง, Lan, 2003.

พิจารณาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ลดเป็นสมการด้วยตัวแปรที่แยกออกได้ ตัวอย่างของการแก้ปัญหาโดยละเอียดของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ลดเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกได้

เนื้อหา

การกำหนดปัญหา

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์
(ผม) ,
โดยที่ f คือฟังก์ชัน a, b, c คือค่าคงที่ b ≠ 0 .
สมการนี้ลดลงเป็นสมการที่มีตัวแปรแยกได้

วิธีการแก้ปัญหา

เราทำการทดแทน:
u = ขวาน + โดย + c
โดยที่ y เป็นฟังก์ชันของ x ดังนั้น u จึงเป็นฟังก์ชันของ x ด้วย
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x
u′ = (ขวาน + โดย + c)′ = a + โดย′
ทดแทน (ผม)
u′ = a + โดย′ = a + b f(ax + โดย + c) = a + b f (ยู)
หรือ:
(ii)
แยกตัวแปร คูณด้วย dx แล้วหารด้วย a + b f (ยู). ถ้า a + b f (u) ≠ 0, แล้ว

โดยการรวมเข้าด้วยกัน เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิม (ผม)ในสี่เหลี่ยม:
(สาม) .

สุดท้ายนี้ พิจารณาคดี
(iv) a + b f (ยู) = 0.
สมมติว่าสมการนี้มี n ราก u = r i , a + b f (ผม ) = 0, ผม = 1, 2, ...น. เนื่องจากฟังก์ชัน u = r i เป็นค่าคงที่ อนุพันธ์เทียบกับ x เท่ากับศูนย์ ดังนั้น u = r i เป็นคำตอบของสมการ (ii).
อย่างไรก็ตาม สมการ (ii)ไม่ตรงกับสมการเดิม (ผม)และบางทีไม่ใช่คำตอบทั้งหมด u = r i แสดงในรูปของตัวแปร x และ y เป็นไปตามสมการดั้งเดิม (ผม).

ดังนั้น คำตอบของสมการดั้งเดิมจึงเป็นอินทิกรัลทั่วไป (สาม)และรากของสมการบางส่วน (iv).

ตัวอย่างการแก้สมการอนุพันธ์ที่ลดเป็นสมการด้วยตัวแปรที่แยกออกได้

แก้สมการ
(1)

เราทำการทดแทน:
ยู = x - y
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x และดำเนินการแปลง:
;

คูณด้วย dx แล้วหารด้วย u 2 .

ถ้าคุณ ≠ 0จากนั้นเราได้รับ:

เรารวม:

เราใช้สูตรจากตารางอินทิกรัล:

เราคำนวณอินทิกรัล

แล้ว
;
, หรือ

การตัดสินใจร่วมกัน:
.

พิจารณากรณี u = 0 , หรือ u = x - y = 0 , หรือ
y=x
ตั้งแต่ y' = (x)′ = 1แล้ว y = x คือคำตอบของสมการเดิม (1) .

;
.

สมการเชิงอนุพันธ์คำสั่งแรก. ตัวอย่างโซลูชัน
สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกได้

สมการเชิงอนุพันธ์ (DE). สองคำนี้มักจะทำให้คนธรรมดาทั่วไปหวาดกลัว สมการเชิงอนุพันธ์ดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่อุกอาจและยากสำหรับนักเรียนหลายคน Uuuuu… สมการอนุพันธ์ ฉันจะเอาตัวรอดทั้งหมดนี้ได้อย่างไร!

ความเห็นและเจตคติเช่นนั้นเป็นสิ่งที่ผิดโดยพื้นฐานแล้ว เพราะแท้จริงแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์นั้นเรียบง่ายและสนุกอีกด้วย. สิ่งที่คุณต้องรู้และสามารถเรียนรู้การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้? หากต้องการศึกษาความแตกต่างที่ประสบความสำเร็จ คุณต้องมีความสามารถในการบูรณาการและสร้างความแตกต่าง ยิ่งมีการศึกษาหัวข้อที่ดีขึ้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวและ ปริพันธ์ไม่แน่นอนยิ่งเข้าใจสมการอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้น ฉันจะพูดให้มากขึ้นหากคุณมีทักษะในการบูรณาการที่ดีไม่มากก็น้อยหัวข้อนั้นก็จะเชี่ยวชาญ! ปริพันธ์มากขึ้น หลากหลายชนิดคุณรู้วิธีตัดสินใจ - ยิ่งดี ทำไม คุณต้องบูรณาการเป็นจำนวนมาก และสร้างความแตกต่าง อีกด้วย ขอเเนะนำเรียนรู้ที่จะหา

ใน 95% ของกรณีใน ควบคุมงานสมการอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งมี 3 ประเภท: สมการที่แยกออกได้ซึ่งเราจะกล่าวถึงในบทเรียนนี้ สมการเอกพันธ์และ สมการเอกพันธ์เชิงเส้น. สำหรับผู้เริ่มต้นเรียน diffusers ฉันแนะนำให้คุณอ่านบทเรียนตามลำดับนี้และหลังจากศึกษาบทความสองบทความแรกแล้ว การรวมทักษะของคุณในเวิร์กช็อปเพิ่มเติมจะไม่เสียหาย - สมการที่ลดลงเป็นเนื้อเดียวกัน.

สมการเชิงอนุพันธ์ยังมีประเภทที่หาได้ยากกว่า เช่น สมการในอนุพันธ์ทั้งหมด สมการเบอร์นูลลี และอื่นๆ ที่สำคัญที่สุดของสองประเภทสุดท้ายคือสมการใน ผลต่างทั้งหมดเพราะนอกจาก DE นี้แล้ว ฉันกำลังพิจารณาเนื้อหาใหม่ - บูรณาการบางส่วน.

ถ้าคุณเหลือเวลาอีกวันหรือสองวัน, แล้ว เพื่อการเตรียมตัวที่รวดเร็วเป็นพิเศษมี หลักสูตรสายฟ้าแลบในรูปแบบ pdf

มีการกำหนดจุดสังเกต - ไปกันเลย:

ให้เราจำสมการพีชคณิตปกติก่อน ประกอบด้วยตัวแปรและตัวเลข ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: . การแก้สมการธรรมดาหมายความว่าอย่างไร แปลว่า หา ชุดตัวเลขที่เป็นไปตามสมการนี้ ง่ายที่จะเห็นว่าสมการของเด็กมีรากเดียว: . เพื่อความสนุก มาทำการตรวจสอบกัน แทนที่รูทที่พบลงในสมการของเรา:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง

สารกระจายตัวถูกจัดเรียงในลักษณะเดียวกัน!

สมการเชิงอนุพันธ์ คำสั่งแรกใน กรณีทั่วไป ประกอบด้วย:
1) ตัวแปรอิสระ ;
2) ตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน);
3) อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน: .

ในบางสมการของลำดับที่ 1 อาจไม่มี "x" หรือ (และ) "y" แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็น - สำคัญดังนั้นใน DU เคยเป็นอนุพันธ์อันดับแรกและ ไม่ได้มีอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น - ฯลฯ

แปลว่าอะไร ?การแก้สมการอนุพันธ์หมายถึงการหา ครบทุกฟังก์ชั่นที่เป็นไปตามสมการนี้ เซตของฟังก์ชันดังกล่าวมักมีรูปแบบ ( เป็นค่าคงที่โดยพลการ) ซึ่งเรียกว่า คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์.

ตัวอย่าง 1

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

กระสุนเต็ม. จะเริ่มต้นที่ไหน วิธีการแก้?

ก่อนอื่น คุณต้องเขียนอนุพันธ์ในรูปแบบที่ต่างออกไปเล็กน้อย เราระลึกถึงสัญกรณ์ที่ยุ่งยาก ซึ่งหลายท่านอาจคิดว่าไร้สาระและไม่จำเป็น มันเป็นกฎใน diffusers!

ในขั้นที่ 2 มาดูกันว่าเป็นไปได้ไหม แยกตัวแปร?การแยกตัวแปรหมายความว่าอย่างไร พูดประมาณว่า ทางด้านซ้ายเราต้องจากไป เฉพาะ "เกม", แ อยู่ทางขวาจัดระเบียบ แค่ x's. การแยกตัวแปรจะดำเนินการโดยใช้การปรับเปลี่ยน "โรงเรียน": วงเล็บ, การถ่ายโอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมาย, การถ่ายโอนปัจจัยจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งตามกฎของสัดส่วน ฯลฯ

ความแตกต่างและเป็นตัวคูณเต็มและมีส่วนร่วมในสงคราม ในตัวอย่างนี้ ตัวแปรแยกจากกันอย่างง่ายดายโดยการพลิกตัวประกอบตามกฎสัดส่วน:

ตัวแปรถูกแยกออก ทางด้านซ้าย - เฉพาะ "เกม" ทางด้านขวา - เฉพาะ "X"

ขั้นตอนต่อไป - การรวมสมการเชิงอนุพันธ์. ง่ายมาก เราแขวนอินทิกรัลไว้ทั้งสองส่วน:

แน่นอนว่าต้องใช้อินทิกรัล ในกรณีนี้จะเป็นตาราง:

ดังที่เราจำได้ ค่าคงที่ถูกกำหนดให้กับแอนติเดริเวทีฟใดๆ มีอินทิกรัลสองตัวตรงนี้, แต่พอเขียนค่าคงที่ครั้งเดียว (เพราะค่าคงที่ + ค่าคงที่ยังคงเท่ากับค่าคงที่อื่น). ในกรณีส่วนใหญ่จะอยู่ใน ด้านขวา.

พูดอย่างเคร่งครัดหลังจากนำอินทิกรัลแล้วจะถือว่าสมการเชิงอนุพันธ์ได้รับการแก้ไข สิ่งเดียวคือ "y" ของเราไม่ได้แสดงผ่าน "x" นั่นคือโซลูชันถูกนำเสนอ โดยปริยายรูปร่าง. คำตอบโดยปริยายของสมการอนุพันธ์เรียกว่า อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์. นั่นคืออินทิกรัลทั่วไป

คำตอบในรูปแบบนี้ค่อนข้างเป็นที่ยอมรับ แต่มีทางเลือกที่ดีกว่านี้หรือไม่? มาลองรับ การตัดสินใจร่วมกัน.

โปรด, จำเทคนิคแรกเป็นเรื่องธรรมดามากและมักใช้ใน งานปฏิบัติ: หากลอการิทึมปรากฏทางด้านขวาหลังจากการรวม ในหลายกรณี (แต่ไม่เสมอไป!) ขอแนะนำให้เขียนค่าคงที่ไว้ใต้ลอการิทึมด้วย และเขียน ALWAYS ถ้าได้เฉพาะลอการิทึมเท่านั้น (ตามตัวอย่างที่พิจารณา).

นั่นคือ, แทนบันทึกมักจะเขียน .

ทำไมจึงจำเป็น? และเพื่อให้ง่ายต่อการแสดง "y" เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึม . ในกรณีนี้:

ตอนนี้สามารถลบลอการิทึมและโมดูลได้:

มีการนำเสนอฟังก์ชันอย่างชัดเจน นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

ตอบ: การตัดสินใจร่วมกัน: .

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนมากนั้นค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบ ในกรณีของเรา ทำได้ค่อนข้างง่าย เราใช้วิธีแก้ปัญหาที่พบและแยกความแตกต่าง:

จากนั้นเราแทนที่อนุพันธ์ลงในสมการดั้งเดิม:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าคำตอบทั่วไปเป็นไปตามสมการ ซึ่งจำเป็นต้องตรวจสอบ

ให้ค่าคงที่ ความหมายต่างๆ, คุณจะได้รับมากมายอนันต์ การตัดสินใจส่วนตัวสมการเชิงอนุพันธ์. เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชั่นใด ๆ , , ฯลฯ. เป็นไปตามสมการอนุพันธ์

บางครั้งวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเรียกว่า ตระกูลของฟังก์ชัน. ในตัวอย่างนี้ คำตอบทั่วไป เป็นแฟมิลีของฟังก์ชันเชิงเส้น หรือค่อนข้างจะเป็นแฟมิลีของสัดส่วนโดยตรง

หลังจากอภิปรายโดยละเอียดเกี่ยวกับตัวอย่างแรกแล้ว เป็นการเหมาะสมที่จะตอบคำถามที่ไร้เดียงสาสองสามข้อเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์:

1)ในตัวอย่างนี้ เราจัดการแยกตัวแปรได้ เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้?ไม่เสมอไป และบ่อยครั้งที่ตัวแปรไม่สามารถแยกออกได้ ตัวอย่างเช่น ใน สมการอันดับหนึ่งที่เป็นเนื้อเดียวกันต้องเปลี่ยนก่อน ในสมการประเภทอื่นๆ เช่น ในสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่หนึ่ง คุณต้องใช้ลูกเล่นและวิธีต่างๆ เพื่อหาคำตอบทั่วไป สมการตัวแปรที่แยกออกได้ที่เราพิจารณาในบทเรียนแรกคือสมการเชิงอนุพันธ์แบบที่ง่ายที่สุด

2) เป็นไปได้ไหมที่จะรวมสมการอนุพันธ์เข้าด้วยกัน?ไม่เสมอไป มันง่ายมากที่จะสร้างสมการ "แฟนซี" ที่ไม่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ นอกจากนี้ยังมีอินทิกรัลที่ไม่สามารถนำมาได้ แต่ DE ดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยประมาณโดยใช้วิธีการพิเศษ D'Alembert และ Cauchy รับประกัน... ...เอ่อ lurkmore.to ฉันอ่านมากตอนนี้ ฉันเกือบจะเพิ่ม "จากอีกโลกหนึ่ง"

3) ในตัวอย่างนี้ เราได้รับคำตอบในรูปของอินทิกรัลทั่วไป . เป็นไปได้ไหมที่จะหาคำตอบทั่วไปจากอินทิกรัลทั่วไป นั่นคือ เพื่อแสดง "y" ในรูปแบบที่ชัดเจน?ไม่เสมอไป ตัวอย่างเช่น: . ฉันจะแสดง "y" ที่นี่ได้อย่างไร! ในกรณีเช่นนี้ คำตอบควรเขียนเป็นอินทิกรัลทั่วไป นอกจากนี้ บางครั้งอาจพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แต่เขียนไว้อย่างงุ่มง่ามและงุ่มง่าม ดังนั้นควรปล่อยให้คำตอบอยู่ในรูปของอินทิกรัลทั่วไป

4) ...อาจจะเพียงพอสำหรับตอนนี้ ในตัวอย่างแรก เราพบกัน อื่น จุดสำคัญ แต่เพื่อไม่ให้ครอบคลุม "หุ่นจำลอง" ด้วยข้อมูลใหม่ถล่มทลาย ฉันจะทิ้งไว้จนกว่าจะถึงบทเรียนถัดไป

อย่ารีบร้อน รีโมตคอนโทรลแบบธรรมดาอีกตัวหนึ่งและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปอื่นๆ:

ตัวอย่าง 2

หาคำตอบเฉพาะของสมการอนุพันธ์ที่ตรงตามความต้องการ เงื่อนไขเบื้องต้น

วิธีการแก้: ตามเงื่อนไขจะต้องหา การตัดสินใจส่วนตัว DE ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด การตั้งคำถามแบบนี้เรียกอีกอย่างว่า ปัญหาจุกจิก.

อันดับแรก เราพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ไม่มีตัวแปร "x" ในสมการ แต่สิ่งนี้ไม่ควรน่าอาย สิ่งสำคัญคือมันมีอนุพันธ์อันดับแรก

เราเขียนอนุพันธ์ใหม่เป็น แบบที่ต้องการ:

แน่นอน ตัวแปรสามารถแบ่งออกได้ เด็กผู้ชายทางซ้าย ผู้หญิงทางขวา:

เรารวมสมการ:

ได้อินทิกรัลทั่วไปแล้ว ที่นี่ฉันวาดค่าคงที่ด้วยเครื่องหมายเน้นเสียง ความจริงก็คือในไม่ช้ามันจะกลายเป็นค่าคงที่อื่น

ตอนนี้เรากำลังพยายามแปลงอินทิกรัลทั่วไปเป็นโซลูชันทั่วไป (แสดง "y" อย่างชัดเจน) เราจำโรงเรียนเก่าได้ดี: . ในกรณีนี้:

ค่าคงที่ในตัวบ่งชี้ดูไม่โคเชอร์ ดังนั้นจึงมักจะลดลงจากสวรรค์สู่โลก ในรายละเอียดมันเกิดขึ้นเช่นนี้ โดยใช้คุณสมบัติขององศา เราเขียนฟังก์ชันใหม่ดังนี้:

ถ้า เป็นค่าคงที่ ก็มีค่าคงที่เช่นกัน ให้กำหนดใหม่ด้วยตัวอักษร :
- ในเวลาเดียวกันเราลบโมดูลหลังจากนั้นค่าคงที่ "ce" สามารถรับได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ

จำ "การรื้อ" ของค่าคงที่คือ เทคนิคที่สองซึ่งมักใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ บนสำเนาที่สะอาดคุณสามารถไปจาก .ได้ทันที ถึง แต่พร้อมเสมอที่จะอธิบายการเปลี่ยนแปลงนี้

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ: ครอบครัวที่ดีของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในขั้นตอนสุดท้าย คุณต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด มันง่ายเกินไป

หน้าที่คืออะไร? ต้องไปรับ เช่นค่าคงที่เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข

คุณสามารถจัดเรียงได้หลายวิธี แต่สิ่งที่เข้าใจได้มากที่สุดอาจเป็นแบบนี้ ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แทนที่จะเป็น "x" เราแทนที่ศูนย์และแทนที่ "y" สอง:

นั่นคือ,

รุ่นออกแบบมาตรฐาน:

ตอนนี้เราแทนค่าที่พบของค่าคงที่เป็นคำตอบทั่วไป:
– นี่คือโซลูชันเฉพาะที่เราต้องการ

ตอบ: โซลูชันส่วนตัว:

มาเช็คกัน การตรวจสอบโซลูชันเฉพาะประกอบด้วยสองขั้นตอน:

ขั้นแรก จำเป็นต้องตรวจสอบว่าโซลูชันที่พบนั้นตรงกับเงื่อนไขเริ่มต้นหรือไม่ แทนที่จะเป็น "x" เราจะแทนที่ศูนย์และดูว่าเกิดอะไรขึ้น:
- ใช่ ได้รับผีแล้ว ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นที่พอใจ

ขั้นตอนที่สองคุ้นเคยอยู่แล้ว เราใช้ผลลัพธ์เฉพาะที่เป็นผลลัพธ์และค้นหาอนุพันธ์:

แทนที่ในสมการเดิม:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

สรุป: พบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างถูกต้อง

ไปที่ตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

วิธีการแก้:เราเขียนอนุพันธ์ในรูปแบบที่เราต้องการ:

การประเมินว่าสามารถแยกตัวแปรได้หรือไม่? สามารถ. เราโอนเทอมที่สองไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย:

และเราพลิกตัวประกอบตามกฎสัดส่วน:

แยกตัวแปรแล้ว ให้รวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน:

ฉันต้องเตือนคุณ วันพิพากษาจะมาถึง ถ้าเรียนไม่เก่ง ปริพันธ์ไม่แน่นอนแก้ไขตัวอย่างบางส่วนแล้วไม่มีที่ไป - คุณต้องเชี่ยวชาญตอนนี้

อินทิกรัลของด้านซ้ายหาได้ง่าย โดยอินทิกรัลของโคแทนเจนต์ เราจัดการกับเทคนิคมาตรฐานที่เราพิจารณาในบทเรียน การรวมฟังก์ชันตรีโกณมิติในปีที่ผ่านมา:

เป็นผลให้เราได้เฉพาะลอการิทึม และตามคำแนะนำทางเทคนิคข้อแรกของฉัน เรายังกำหนดค่าคงที่ภายใต้ลอการิทึมด้วย

ตอนนี้เราพยายามทำให้อินทิกรัลทั่วไปง่ายขึ้น เนื่องจากเรามีลอการิทึมเท่านั้น จึงค่อนข้างเป็นไปได้ (และจำเป็น) ที่จะกำจัดพวกมัน โดยใช้ คุณสมบัติที่รู้จัก"แพ็ค" ลอการิทึมให้มากที่สุด ฉันจะเขียนอย่างละเอียด:

บรรจุภัณฑ์สมบูรณ์จนขาดรุ่งริ่ง:
และให้ทันทีทันใด ปริพันธ์ร่วมกันสู่จิตใจโดยเร็วที่สุด:

โดยทั่วไปไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่เป็นประโยชน์เสมอที่จะทำให้อาจารย์พอใจ ;-)

โดยหลักการแล้ว งานชิ้นเอกนี้สามารถเขียนเป็นคำตอบได้ แต่ที่นี่ก็ยังเหมาะสมที่จะยกกำลังสองส่วนและกำหนดค่าคงที่ใหม่:

ตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

! บันทึก: อินทิกรัลทั่วไปมักจะเขียนได้มากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น หากผลลัพธ์ของคุณไม่ตรงกับคำตอบที่ทราบก่อนหน้านี้ ก็ไม่ได้หมายความว่าคุณแก้สมการไม่ถูกต้อง

เป็นไปได้ไหมที่จะแสดง "y"? สามารถ. ขอแสดงวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

แน่นอน ผลลัพธ์ที่ได้นั้นเหมาะสมสำหรับคำตอบ แต่โปรดทราบว่าอินทิกรัลทั่วไปนั้นดูกะทัดรัดกว่า และวิธีแก้ปัญหากลับกลายเป็นว่าสั้นกว่า

เคล็ดลับเทคโนโลยีที่สาม:หากต้องดำเนินการเป็นจำนวนมากเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป ในกรณีส่วนใหญ่จะเป็นการดีกว่าที่จะละเว้นจากการกระทำเหล่านี้และปล่อยให้คำตอบอยู่ในรูปของอินทิกรัลทั่วไป เช่นเดียวกับการกระทำที่ "ไม่ดี" เมื่อจำเป็นต้องแสดงฟังก์ชันผกผัน เพิ่มกำลัง หยั่งราก ฯลฯความจริงก็คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะดูเสแสร้งและยุ่งยาก - ด้วยรากสัญญาณขนาดใหญ่และขยะทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ

จะตรวจสอบได้อย่างไร? การยืนยันสามารถทำได้สองวิธี วิธีที่หนึ่ง: ใช้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป , เราพบอนุพันธ์ และแทนค่าลงในสมการเดิม ลองด้วยตัวคุณเอง!

วิธีที่สองคือการแยกความแตกต่างของอินทิกรัลทั่วไป ค่อนข้างง่าย ที่สำคัญคือสามารถหาได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย:

แบ่งแต่ละเทอมโดย:

และเมื่อ:

ได้สมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมอย่างแม่นยำ ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลทั่วไปอย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4

หาคำตอบเฉพาะของสมการอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขตั้งต้น เรียกใช้การตรวจสอบ

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง

ฉันเตือนคุณว่าอัลกอริทึมประกอบด้วยสองขั้นตอน:
1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
2) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่จำเป็น

การตรวจสอบยังดำเนินการในสองขั้นตอน (ดูตัวอย่างในตัวอย่างที่ 2) คุณต้อง:
1) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าโซลูชันเฉพาะที่พบตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น
2) ตรวจสอบว่าคำตอบเฉพาะโดยทั่วไปตรงกับสมการเชิงอนุพันธ์หรือไม่

คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 5

หาคำตอบเฉพาะของสมการอนุพันธ์ , เป็นไปตามเงื่อนไขเบื้องต้น เรียกใช้การตรวจสอบ

วิธีการแก้:ขั้นแรก มาหาคำตอบทั่วไปกัน สมการนี้มีอนุพันธ์สำเร็จรูปอยู่แล้ว และ ซึ่งหมายความว่าคำตอบนั้นถูกทำให้ง่ายขึ้น การแยกตัวแปร:

เรารวมสมการ:

อินทิกรัลทางด้านซ้ายเป็นตาราง อินทิกรัลทางด้านขวาถูกนำมา วิธีการรวมฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียล:

ได้รับอินทิกรัลทั่วไปแล้ว เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงคำตอบทั่วไปได้สำเร็จ? สามารถ. เราแขวนลอการิทึมทั้งสองด้าน เนื่องจากเป็นค่าบวก สัญญาณโมดูโลจึงซ้ำซ้อน:

(หวังว่าทุกคนคงเข้าใจการเปลี่ยนแปลงนะ เรื่องแบบนี้น่าจะรู้อยู่แล้ว)

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

มาค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แทนที่จะเป็น "x" เราแทนที่ศูนย์และแทนที่จะเป็น "y" ลอการิทึมของสอง:

การออกแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น:

เราแทนค่าที่พบของค่าคงที่เป็นคำตอบทั่วไป

ตอบ:โซลูชันส่วนตัว:

ตรวจสอบ: ขั้นแรกตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นหรือไม่:
- ทุกอย่างเป็นสิ่งที่ดี.

ทีนี้มาตรวจดูว่าคำตอบเฉพาะที่พบตรงกับสมการเชิงอนุพันธ์หรือไม่ เราพบอนุพันธ์:

ลองดูสมการเดิม: - มันถูกนำเสนอในส่วนต่าง. มีสองวิธีในการตรวจสอบ เป็นไปได้ที่จะแสดงส่วนต่างจากอนุพันธ์ที่พบ:

เราแทนที่คำตอบเฉพาะที่พบและผลต่างเป็นสมการดั้งเดิม :

เราใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน:

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะอย่างถูกต้อง

วิธีที่สองของการตรวจสอบจะถูกสะท้อนและคุ้นเคยมากขึ้น: จากสมการ แสดงอนุพันธ์ สำหรับสิ่งนี้เราแบ่งชิ้นส่วนทั้งหมดด้วย:

และใน DE ที่แปลงแล้ว เราแทนที่โซลูชันเฉพาะที่ได้รับและอนุพันธ์ที่พบ อันเป็นผลมาจากการทำให้เข้าใจง่ายควรได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องด้วย

ตัวอย่างที่ 6

หาอินทิกรัลทั่วไปของสมการ นำเสนอคำตอบเป็น

นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเอง คำตอบที่สมบูรณ์ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

มีปัญหาอะไรรออยู่ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกได้?

1) ไม่ชัดเจนเสมอไป (โดยเฉพาะในกาน้ำชา) ที่สามารถแยกตัวแปรออกได้ พิจารณาตัวอย่างตามเงื่อนไข: ที่นี่คุณต้องเอาปัจจัยออกจากวงเล็บ: และแยกราก:. วิธีการดำเนินการต่อไปมีความชัดเจน

2) ความยากลำบากในการบูรณาการตัวเอง ปริพันธ์มักเกิดขึ้นไม่ง่ายที่สุด และหากมีข้อบกพร่องในทักษะการค้นหา ปริพันธ์ไม่แน่นอนแล้วมันคงจะยากด้วยดิฟฟิวเซอร์หลายๆ ตัว นอกจากนี้ คอมไพเลอร์ของคอลเลกชั่นและคู่มือยังได้รับความนิยมจากตรรกะ “เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์นั้นง่าย อย่างน้อยอินทิกรัลก็จะซับซ้อนมากขึ้น”

3) การเปลี่ยนแปลงด้วยค่าคงที่ อย่างที่ทุกคนสังเกตเห็น ค่าคงที่ในสมการเชิงอนุพันธ์สามารถจัดการได้ค่อนข้างอิสระ และการแปลงบางอย่างก็ไม่ชัดเจนสำหรับมือใหม่เสมอไป ลองดูตัวอย่างสมมติอีกตัวอย่างหนึ่ง: . ในนั้นแนะนำให้คูณเงื่อนไขทั้งหมดด้วย 2: . ค่าคงที่ที่เป็นผลลัพธ์ก็คือค่าคงที่บางประเภทเช่นกัน ซึ่งสามารถเขียนแทนด้วย: . ใช่ และเนื่องจากเรามีลอการิทึมเดียวกัน แนะนำให้เขียนค่าคงที่ใหม่เป็นค่าคงที่อื่น: .

ปัญหาคือพวกเขามักจะไม่สนใจดัชนีและใช้ตัวอักษรเดียวกัน เป็นผลให้บันทึกการตัดสินใจใช้รูปแบบต่อไปนี้:

ห่า?! นี่คือข้อผิดพลาด! พูดอย่างเคร่งครัดใช่ อย่างไรก็ตาม จากมุมมองที่สำคัญ ไม่มีข้อผิดพลาด เนื่องจากผลของการแปลงค่าคงที่ของตัวแปร จะได้ค่าคงที่ของตัวแปรที่เทียบเท่ากัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่าในการแก้สมการ จะได้อินทิกรัลทั่วไป คำตอบนี้ดูน่าเกลียด ดังนั้นจึงแนะนำให้เปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอม: . อย่างเป็นทางการ มีข้อผิดพลาดอีกครั้ง - ควรเขียนทางด้านขวา แต่มันบอกเป็นนัยอย่างไม่เป็นทางการว่า "ลบ ce" ยังคงเป็นค่าคงที่ที่ใช้ค่าชุดเดียวกันเช่นกัน ดังนั้นการใส่ "ลบ" จึงไม่สมเหตุสมผล

ฉันจะพยายามหลีกเลี่ยงแนวทางที่ไม่ระมัดระวัง และยังคงวางดัชนีต่างๆ สำหรับค่าคงที่เมื่อทำการแปลง ซึ่งผมแนะนำให้คุณทำ

ตัวอย่าง 7

แก้สมการอนุพันธ์ เรียกใช้การตรวจสอบ

วิธีการแก้:สมการนี้ยอมรับการแยกตัวแปร การแยกตัวแปร:

เรารวม:

ค่าคงที่ตรงนี้ไม่จำเป็นต้องกำหนดภายใต้ลอการิทึม เนื่องจากไม่มีผลดีอะไรเกิดขึ้น

ตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

และแน่นอน ไม่จำเป็นต้องแสดง "y" อย่างชัดเจนในที่นี้ เพราะจะกลายเป็นขยะ (จำเคล็ดลับทางเทคนิคข้อที่สาม)

การตรวจสอบ: แยกความแตกต่างของคำตอบ (ฟังก์ชันโดยนัย):

เรากำจัดเศษส่วน ในกรณีนี้ เราคูณทั้งสองเทอมด้วย:

ได้รับสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมแล้ว ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลทั่วไปถูกต้องแล้ว

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ DE
,

คำจำกัดความ 7สมการของรูปแบบเรียกว่าสมการกับ ตัวแปรที่แยกออกได้.

สมการนี้สามารถลดลงเป็นรูปแบบได้โดยการหารเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วยผลคูณ

เช่น แก้สมการ

วิธีการแก้. อนุพันธ์เท่ากับ

การแยกตัวแปรเราได้รับ:

ตอนนี้ขอรวม:

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

วิธีการแก้. นี่คือสมการลำดับแรกที่มีตัวแปรที่แยกออกได้ เพื่อแยกตัวแปรของสมการนี้ออกมาในรูป และแบ่งตามระยะเป็นผลิตภัณฑ์ เป็นผลให้เราได้รับ หรือ

เมื่อรวมทั้งสองส่วนของสมการสุดท้ายเข้าด้วยกัน เราจะได้คำตอบทั่วไป

arcsin y = อาร์คซิน x + C

ให้เราค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเบื้องต้น แทนที่เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป เราได้รับ

; โดยที่ C=0

ดังนั้น คำตอบเฉพาะจึงมีรูปแบบ arc sin y = arc sin x แต่ไซน์ของส่วนโค้งเท่ากันจะเท่ากัน

บาป (arcsin y) = บาป (arcsin x)

ดังนั้น โดยนิยามของอาร์กไซน์ มันตามมาว่า y = x

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์

คำจำกัดความ 8สมการเชิงอนุพันธ์ของรูปที่ลดรูปได้เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกัน.

ในการรวมสมการดังกล่าว จะทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร โดยสมมติว่า . การแทนที่นี้ส่งผลให้เกิดสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับ x และ t ซึ่งตัวแปรถูกแยกออก หลังจากนั้นจึงจะสามารถรวมสมการได้ เพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย คุณต้องแทนที่ตัวแปร t ด้วย .

ตัวอย่างเช่น,แก้สมการ

วิธีการแก้. ลองเขียนสมการใหม่ดังนี้:

เราได้รับ:

หลังจากลดลง x 2 เรามี:

มาแทนที่ t ด้วย:

ทบทวนคำถาม

1 สมการอนุพันธ์คืออะไร?

2 ตั้งชื่อประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์

3 บอกอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 3

วิธีการแก้:เราเขียนอนุพันธ์ในรูปแบบที่เราต้องการ:

และเราพลิกตัวประกอบตามกฎสัดส่วน:

แยกตัวแปรแล้ว ให้รวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน:

ทางด้านขวา เราได้ลอการิทึม ตามคำแนะนำทางเทคนิคข้อแรกของฉัน ในกรณีนี้ ค่าคงที่ควรเขียนใต้ลอการิทึมด้วย

ตอนนี้เราพยายามทำให้อินทิกรัลทั่วไปง่ายขึ้น เนื่องจากเรามีลอการิทึมเท่านั้น จึงค่อนข้างเป็นไปได้ (และจำเป็น) ที่จะกำจัดพวกมัน เรา "แพ็ค" ลอการิทึมให้มากที่สุด บรรจุภัณฑ์ดำเนินการโดยใช้คุณสมบัติสามประการ:

โปรดเขียนสามสูตรนี้ใหม่ให้กับตัวเองใน สมุดงานมีการใช้บ่อยมากในการแก้ปัญหาการกระจาย

ฉันจะเขียนวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียด:

บรรจุภัณฑ์เสร็จสมบูรณ์ ลบลอการิทึม:

เป็นไปได้ไหมที่จะแสดง "y"? สามารถ. ทั้งสองส่วนจะต้องยกกำลังสอง แต่คุณไม่จำเป็นต้อง

เคล็ดลับเทคโนโลยีที่สาม:ถ้าเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป คุณต้องเพิ่มพลังหรือหยั่งราก ดังนั้น ในกรณีส่วนใหญ่คุณควรละเว้นจากการกระทำเหล่านี้และปล่อยให้คำตอบอยู่ในรูปของปริพันธ์ทั่วไป ความจริงก็คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะดูอวดดีและน่ากลัว - มีรากสัญญาณขนาดใหญ่

ดังนั้นเราจึงเขียนคำตอบเป็นอินทิกรัลทั่วไป ถือว่าเป็นรูปแบบที่ดีในการนำเสนออินทิกรัลทั่วไปในรูปแบบ นั่นคือ ทางด้านขวา ถ้าเป็นไปได้ ให้เหลือเพียงค่าคงที่ ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่เป็นประโยชน์เสมอที่จะทำให้อาจารย์พอใจ ;-)

ตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

บันทึก: อินทิกรัลทั่วไปของสมการใดๆ สามารถเขียนได้มากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น หากผลลัพธ์ของคุณไม่ตรงกับคำตอบที่ทราบก่อนหน้านี้ ก็ไม่ได้หมายความว่าคุณได้แก้สมการไม่ถูกต้อง

ตรวจสอบอินทิกรัลทั่วไปได้ค่อนข้างง่าย สิ่งสำคัญคือสามารถหาได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย. ลองแยกความแตกต่างของคำตอบ:

เราคูณทั้งสองเทอมด้วย:

และเราหารด้วย:

ตัวอย่างที่ 4

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ฉันเตือนคุณว่าปัญหา Cauchy ประกอบด้วยสองขั้นตอน:
1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
2) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

การตรวจสอบยังดำเนินการในสองขั้นตอน (ดูตัวอย่างในตัวอย่างที่ 2) คุณต้อง:
1) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าโซลูชันเฉพาะที่พบตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นจริงๆ
2) ตรวจสอบว่าคำตอบเฉพาะโดยทั่วไปตรงตามสมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 5

เรารวมสมการ:

ได้รับอินทิกรัลทั่วไปแล้ว เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงคำตอบทั่วไปได้สำเร็จ? สามารถ. เราแขวนลอการิทึม:

(หวังว่าทุกคนคงเข้าใจการเปลี่ยนแปลงนะ เรื่องแบบนี้น่าจะรู้อยู่แล้ว)

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

มาค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แทนที่จะเป็น "x" เราแทนที่ศูนย์และแทนที่จะเป็น "y" ลอการิทึมของสอง:

การออกแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น:

เราแทนค่าที่พบของค่าคงที่เป็นคำตอบทั่วไป

ตอบ:โซลูชันส่วนตัว:

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการอนุพันธ์ แสดงคำตอบเป็นอินทิกรัลทั่วไป

มีปัญหาอะไรรออยู่ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกได้?

2) ความยากลำบากในการบูรณาการตัวเอง ปริพันธ์มักเกิดขึ้นไม่ง่ายที่สุด และหากมีข้อบกพร่องในทักษะการค้นหา ปริพันธ์ไม่แน่นอนแล้วมันคงจะยากด้วยดิฟฟิวเซอร์หลายๆ ตัว นอกจากนี้ ตรรกะ “เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์นั้นง่าย ให้อินทิกรัลมีความซับซ้อนมากขึ้น” เป็นที่นิยมในหมู่ผู้รวบรวมคอลเลกชั่นและคู่มือ

3) การเปลี่ยนแปลงด้วยค่าคงที่ อย่างที่ทุกคนสังเกตเห็น ด้วยค่าคงที่ในสมการเชิงอนุพันธ์ คุณสามารถทำเกือบทุกอย่างได้ และไม่ใช่ว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะชัดเจนสำหรับผู้เริ่มต้นเสมอไป พิจารณาตัวอย่างเงื่อนไขอื่น: . ในนั้นแนะนำให้คูณเงื่อนไขทั้งหมดด้วย 2: . ค่าคงที่ที่เป็นผลลัพธ์ก็คือค่าคงที่บางประเภทเช่นกัน ซึ่งสามารถเขียนแทนด้วย: . ใช่ และเนื่องจากมีลอการิทึมอยู่ทางด้านขวา แนะนำให้เขียนค่าคงที่ใหม่เป็นค่าคงที่อื่น: .

ปัญหาคือพวกเขามักจะไม่สนใจดัชนี และใช้ตัวอักษรเดียวกัน และด้วยเหตุนี้ บันทึกการตัดสินใจจึงมีรูปแบบดังนี้:

อะไรนรก? นี่คือข้อผิดพลาด อย่างเป็นทางการใช่ และอย่างไม่เป็นทางการ - ไม่มีข้อผิดพลาดเป็นที่เข้าใจว่าเมื่อแปลงค่าคงที่ยังคงได้รับค่าคงที่อื่น ๆ

หรือตัวอย่างดังกล่าว สมมติว่าในการแก้สมการ จะได้อินทิกรัลทั่วไป คำตอบนี้ดูน่าเกลียด ดังนั้นจึงแนะนำให้เปลี่ยนเครื่องหมายของตัวคูณทั้งหมด: . ตามบันทึกมีข้อผิดพลาดอีกครั้งควรเขียน แต่มันบอกเป็นนัยอย่างไม่เป็นทางการว่า - ยังคงเป็นค่าคงที่อื่น ๆ (ยิ่งสามารถรับค่าใดก็ได้) ดังนั้นการเปลี่ยนเครื่องหมายของค่าคงที่จึงไม่สมเหตุสมผลและคุณสามารถใช้ตัวอักษรเดียวกันได้

ฉันจะพยายามหลีกเลี่ยงแนวทางที่ไม่ระมัดระวัง และยังคงวางดัชนีต่างๆ สำหรับค่าคงที่เมื่อทำการแปลง

ตัวอย่าง 7

แก้สมการอนุพันธ์ เรียกใช้การตรวจสอบ

วิธีการแก้:สมการนี้ยอมรับการแยกตัวแปร การแยกตัวแปร:

ตอบ:อินทิกรัลทั่วไป:

ตรวจสอบ: แยกความแตกต่างของคำตอบ (ฟังก์ชันโดยนัย):

เรากำจัดเศษส่วน ในกรณีนี้ เราคูณทั้งสองเทอมด้วย:

ได้รับสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมแล้ว ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลทั่วไปถูกต้องแล้ว

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ DE
,

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ความคิดเห็นเดียวที่นี่คุณจะได้รับอินทิกรัลทั่วไปและถูกต้องมากขึ้นคุณต้องประดิษฐ์เพื่อค้นหาไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ แต่ อินทิกรัลส่วนตัว. คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ใน diffuras ที่มีตัวแปรที่แยกได้ มักจะไม่ปรากฏอินทิกรัลที่ง่ายที่สุด และนี่คือตัวอย่างสองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ฉันแนะนำให้ทุกคนแก้ตัวอย่างหมายเลข 9-10 โดยไม่คำนึงถึงระดับการฝึกอบรม สิ่งนี้จะช่วยให้คุณอัปเดตทักษะในการค้นหาอินทิกรัลหรือเติมช่องว่างความรู้

ตัวอย่างที่ 9

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ตัวอย่าง 10

แก้สมการเชิงอนุพันธ์

โปรดจำไว้ว่าอินทิกรัลทั่วไปสามารถเขียนได้มากกว่าหนึ่งวิธี และลักษณะของคำตอบของคุณอาจแตกต่างไปจาก รูปร่างคำตอบของฉัน คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

โปรโมชั่นสำเร็จ!

โซลูชั่นและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4:วิธีการแก้: มาหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปกัน การแยกตัวแปร:

เรารวม:

ได้รับอินทิกรัลทั่วไปแล้ว เรากำลังพยายามทำให้มันง่ายขึ้น เราแพ็คลอการิทึมและกำจัดพวกมัน:

เราแสดงฟังก์ชันอย่างชัดเจนโดยใช้ .
การตัดสินใจร่วมกัน:

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น .
วิธีที่หนึ่ง แทน "x" เราแทน 1 แทน "y" - "e":
.
วิธีที่สอง:

เราแทนค่าที่พบของค่าคงที่ เป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
ตอบ: โซลูชันส่วนตัว:

ตรวจสอบ: ตรวจสอบว่าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นจริงหรือไม่:
, ใช่ เงื่อนไขเริ่มต้น ดำเนินการ
เราตรวจสอบว่าวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะตรงหรือไม่ สมการเชิงอนุพันธ์. อันดับแรกเราพบอนุพันธ์:

เราแทนที่โซลูชันเฉพาะที่ได้รับ และพบอนุพันธ์ ลงในสมการเดิม :

ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าพบวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 6:วิธีการแก้: สมการนี้ยอมรับการแยกตัวแปร เราแยกตัวแปรและรวม:

ตอบ: อินทิกรัลทั่วไป:

หมายเหตุ: คุณสามารถรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้ที่นี่:

แต่ตามคำแนะนำทางเทคนิคข้อที่สามของฉัน ไม่ควรทำเช่นนี้ เนื่องจากคำตอบนั้นดูแย่มาก

ตัวอย่างที่ 8:วิธีการแก้: รีโมทคอนโทรลนี้ช่วยให้สามารถแยกตัวแปรได้ การแยกตัวแปร:

เรารวม:

อินทิกรัลทั่วไป:
ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (อินทิกรัลบางส่วน) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด . เราแทนที่เป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป และ :

ตอบ: อินทิกรัลส่วนตัว:
โดยหลักการแล้ว คำตอบสามารถหวีได้และได้สิ่งที่กะทัดรัดกว่า .

สมการเชิงอนุพันธ์.

แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

คำจำกัดความ 1สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ น-ลำดับของฟังก์ชัน y การโต้แย้ง x เรียกว่าความสัมพันธ์ของรูป

ที่ไหน F เป็นหน้าที่ของอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด ในนามของสมการทางคณิตศาสตร์ชั้นนี้ คำว่า "ส่วนต่าง" เน้นย้ำว่ารวมอนุพันธ์ด้วย (ฟังก์ชั่นที่เกิดขึ้นจากความแตกต่าง); คำว่า - "สามัญ" กล่าวว่าฟังก์ชันที่ต้องการขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ที่แท้จริงเพียงข้อเดียวเท่านั้น

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอาจไม่มีอาร์กิวเมนต์อย่างชัดเจน เอ็กซ์, ฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ใดๆ แต่ต้องรวมอนุพันธ์สูงสุดไว้ในสมการ น-คำสั่ง. ตัวอย่างเช่น

a) เป็นสมการลำดับแรก

ข) เป็นสมการลำดับที่สาม

เมื่อเขียนสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ มักใช้สัญกรณ์อนุพันธ์ผ่านดิฟเฟอเรนเชียล:

ใน) เป็นสมการลำดับที่สอง

d) เป็นสมการลำดับแรก

ก่อตัวหลังจากการหารโดย dxรูปแบบเทียบเท่าของสมการ: .

ฟังก์ชันเรียกว่าคำตอบของสมการอนุพันธ์สามัญ ถ้าแทนที่มันจะกลายเป็นเอกลักษณ์

ตัวอย่างเช่น สมการลำดับที่ 3

มีทางแก้ .

หากต้องการค้นหาด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง เช่น การเลือก ฟังก์ชันหนึ่งที่ตรงกับสมการไม่ได้หมายความว่าจะแก้สมการนั้น การแก้สมการอนุพันธ์สามัญหมายถึงการหา ทั้งหมดฟังก์ชันที่สร้างเอกลักษณ์เมื่อแทนที่ลงในสมการ สำหรับสมการ (1.1) แฟมิลีของฟังก์ชันดังกล่าวถูกสร้างขึ้นโดยใช้ค่าคงที่ตามอำเภอใจและเรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ นลำดับที่ และจำนวนค่าคงที่ตรงกับลำดับของสมการ: y(x): ในกรณีนี้ การแก้ปัญหาเรียกว่าอินทิกรัลทั่วไปของสมการ (1.1)

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ต่อไปนี้เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ , และพจน์ที่สองสามารถเขียนเป็น , เนื่องจากค่าคงที่ใดๆ หารด้วย 2 สามารถแทนที่ด้วยค่าคงที่ใดๆ ก็ได้

โดยการตั้งค่าที่ยอมรับได้สำหรับค่าคงที่ตามอำเภอใจทั้งหมดในโซลูชันทั่วไปหรือในอินทิกรัลทั่วไป เราจะได้ฟังก์ชันบางอย่างที่ไม่มีค่าคงที่ตามอำเภอใจอีกต่อไป ฟังก์ชันนี้เรียกว่าคำตอบเฉพาะหรืออินทิกรัลเฉพาะของสมการ (1.1) เพื่อหาค่าของค่าคงที่ตามอำเภอใจและด้วยเหตุนี้จึงใช้เงื่อนไขเพิ่มเติมต่างๆ ของสมการ (1.1) ตัวอย่างเช่น สามารถกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับ (1.2) ได้

ในส่วนที่ถูกต้องของเงื่อนไขเริ่มต้น (1.2) จะมีการให้ค่าตัวเลขของฟังก์ชันและอนุพันธ์ และจำนวนรวมของเงื่อนไขเริ่มต้นจะเท่ากับจำนวนค่าคงที่ตามอำเภอใจที่ถูกกำหนด

ปัญหาในการหาคำตอบเฉพาะของสมการ (1.1) จากเงื่อนไขตั้งต้นเรียกว่าปัญหาคอชี

§ 2 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่ 1 - แนวคิดพื้นฐาน

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่ 1 ( น=1) มีรูปแบบ: หรือหากสามารถแก้ได้ด้วยอนุพันธ์: . การตัดสินใจร่วมกัน y=y(x, C) หรืออินทิกรัลทั่วไปของสมการอันดับที่ 1 มีค่าคงที่ตามอำเภอใจหนึ่งค่า เงื่อนไขเริ่มต้นเพียงอย่างเดียวสำหรับสมการลำดับที่ 1 ช่วยให้คุณสามารถกำหนดค่าคงที่จากคำตอบทั่วไปหรือจากอินทิกรัลทั่วไปได้ ดังนั้นจะพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหรือซึ่งเป็นปัญหาของ Cauchy ก็จะได้รับการแก้ไข คำถามเกี่ยวกับการมีอยู่และเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา Cauchy เป็นหนึ่งในคำถามสำคัญใน ทฤษฎีทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ โดยเฉพาะสำหรับสมการอันดับที่หนึ่ง ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้จริง ซึ่งยอมรับที่นี่โดยไม่มีการพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2.1.ถ้าในสมการฟังก์ชันและอนุพันธ์ย่อยของมันต่อเนื่องกันในบางภูมิภาค ดี เครื่องบิน XOY และได้รับจุดหนึ่งในภูมิภาคนี้ จึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวที่ตอบสนองทั้งสมการและเงื่อนไขเริ่มต้น

คำตอบทั่วไปทางเรขาคณิตของสมการลำดับที่ 1 คือตระกูลของเส้นโค้งในระนาบ XOY, ใครยังไม่มี จุดร่วมและแตกต่างกันโดยหนึ่งพารามิเตอร์ - ค่าของค่าคงที่ ค. เส้นโค้งเหล่านี้เรียกว่าเส้นโค้งอินทิกรัลสำหรับสมการที่กำหนด เส้นโค้งอินทิกรัลของสมการมีคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่ชัดเจน: ในแต่ละจุด แทนเจนต์ของความชันของเส้นโค้งแทนเจนต์กับเส้นโค้งจะเท่ากับค่าของด้านขวาของสมการที่จุดนั้น: กล่าวอีกนัยหนึ่งคือสมการได้รับในระนาบ XOYสนามของทิศทางของแทนเจนต์ต่อเส้นโค้งอินทิกรัล ความคิดเห็น:ควรสังเกตว่าสำหรับสมการ ให้สมการและสมการที่เรียกว่าสมมาตร .