Il metodo di Gauss, detto anche metodo della successiva eliminazione delle incognite, consiste in quanto segue. Usando trasformazioni elementari, il sistema di equazioni lineari viene portato in una forma tale che la sua matrice di coefficienti risulta essere trapezoidale (come triangolare o a gradini) o vicino al trapezoidale (il corso diretto del metodo Gauss, quindi - solo una mossa diretta). Un esempio di tale sistema e della sua soluzione è mostrato nella figura sopra.

In un tale sistema, l'ultima equazione contiene solo una variabile e il suo valore può essere trovato in modo univoco. Quindi il valore di questa variabile viene sostituito nell'equazione precedente ( Rovescio gaussiano , quindi - solo una mossa inversa), da cui viene trovata la variabile precedente e così via.

In un sistema trapezoidale (triangolare), come si vede, la terza equazione non contiene più variabili y e X, e la seconda equazione - variabile X .

Dopo che la matrice del sistema ha assunto una forma trapezoidale, non è più difficile risolvere la questione della compatibilità del sistema, determinare il numero di soluzioni e trovare le soluzioni stesse.

Vantaggi del metodo:

1. quando si risolvono i sistemi equazioni lineari con più di tre equazioni e incognite, il metodo di Gauss non è ingombrante come il metodo di Cramer, poiché sono necessari meno calcoli per risolvere il metodo di Gauss;
2. utilizzando il metodo di Gauss si possono risolvere sistemi indefiniti di equazioni lineari, cioè avendo una soluzione comune (e li analizzeremo in questa lezione), e utilizzando il metodo Cramer si può solo affermare che il sistema è incerto;
3. puoi risolvere sistemi di equazioni lineari in cui il numero di incognite non è uguale al numero di equazioni (le analizzeremo anche in questa lezione);
4. il metodo si basa sui metodi elementari (scolastici): il metodo di sostituzione delle incognite e il metodo di aggiunta di equazioni, di cui abbiamo parlato nell'articolo corrispondente.

Affinché tutti possano essere imbevuti della semplicità con cui vengono risolti i sistemi trapezoidali (triangolari, a gradini) di equazioni lineari, presentiamo la soluzione di un tale sistema usando il tratto inverso. Una rapida soluzione a questo sistema è stata mostrata nell'immagine all'inizio della lezione.

Esempio 1 Risolvi un sistema di equazioni lineari usando la mossa inversa:

Soluzione. In questo sistema trapezoidale, la variabile z si trova in modo univoco dalla terza equazione. Sostituiamo il suo valore nella seconda equazione e otteniamo il valore della variabile y:

Ora conosciamo i valori di due variabili - z e y. Li sostituiamo nella prima equazione e otteniamo il valore della variabile X:

Dai passaggi precedenti, scriviamo la soluzione del sistema di equazioni:

Per ottenere un tale sistema trapezoidale di equazioni lineari, che abbiamo risolto in modo molto semplice, è necessario applicare un movimento diretto associato a trasformazioni elementari del sistema di equazioni lineari. Inoltre non è molto difficile.

Trasformazioni elementari di un sistema di equazioni lineari

Ripetendo il metodo scolastico dell'addizione algebrica delle equazioni del sistema, abbiamo scoperto che un'altra equazione del sistema può essere aggiunta a una delle equazioni del sistema e ciascuna delle equazioni può essere moltiplicata per alcuni numeri. Di conseguenza, otteniamo un sistema di equazioni lineari equivalente a quello dato. In essa, un'equazione conteneva già solo una variabile, sostituendo il valore di cui in altre equazioni, arriviamo a una soluzione. Tale addizione è uno dei tipi di trasformazione elementare del sistema. Quando utilizziamo il metodo di Gauss, possiamo utilizzare diversi tipi di trasformazioni.

L'animazione sopra mostra come il sistema di equazioni si trasformi gradualmente in un sistema trapezoidale. Cioè, quello che hai visto alla prima animazione e ti sei assicurato che sia facile trovare i valori di tutte le incognite da esso. Come eseguire tale trasformazione e, naturalmente, esempi, saranno discussi ulteriormente.

Quando si risolvono sistemi di equazioni lineari con un numero qualsiasi di equazioni e incognite nel sistema di equazioni e nella matrice espansa del sistema Potere:

1. scambia le linee (questo è stato menzionato all'inizio di questo articolo);
2. se a seguito di altre trasformazioni sono apparse linee uguali o proporzionali, possono essere cancellate, tranne una;
3. eliminare le righe "null", dove tutti i coefficienti sono uguali a zero;
4. moltiplicare o dividere qualsiasi stringa per un numero;
5. aggiungi a qualsiasi riga un'altra riga moltiplicata per un numero.

Come risultato delle trasformazioni, otteniamo un sistema di equazioni lineari equivalente a quello dato.

Algoritmo ed esempi di risoluzione con il metodo di Gauss di un sistema di equazioni lineari a matrice quadrata del sistema

Consideriamo prima la soluzione di sistemi di equazioni lineari in cui il numero di incognite è uguale al numero di equazioni. La matrice di un tale sistema è quadrata, ovvero il numero di righe al suo interno è uguale al numero di colonne.

Esempio 2 Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss

Risolvendo sistemi di equazioni lineari con metodi scolastici, abbiamo moltiplicato termine per termine una delle equazioni per un certo numero, in modo che i coefficienti della prima variabile nelle due equazioni fossero numeri opposti. Quando si aggiungono equazioni, questa variabile viene eliminata. Il metodo di Gauss funziona in modo simile.

Per semplificare aspetto esteriore soluzioni comporre la matrice aumentata del sistema:

In questa matrice, i coefficienti delle incognite si trovano a sinistra prima della barra verticale e i membri liberi sono a destra dopo la barra verticale.

Per comodità di dividere i coefficienti delle variabili (per ottenere una divisione per uno) scambiare la prima e la seconda riga della matrice di sistema. Otteniamo un sistema equivalente a quello dato, poiché nel sistema delle equazioni lineari si possono riordinare le equazioni:

Con la nuova prima equazione eliminare la variabile X dalla seconda e da tutte le successive equazioni. Per fare ciò, aggiungi la prima riga moltiplicata per (nel nostro caso per ) alla seconda riga della matrice e la prima riga moltiplicata per (nel nostro caso per ) alla terza riga.

Questo è possibile perché

Se c'erano più di tre equazioni nel nostro sistema, allora la prima riga dovrebbe essere aggiunta a tutte le equazioni successive, moltiplicata per il rapporto dei coefficienti corrispondenti, presi con un segno meno.

Di conseguenza, otteniamo una matrice equivalente al sistema dato di un nuovo sistema di equazioni, in cui tutte le equazioni, a partire dalla seconda non contengono una variabile X :

Per semplificare la seconda riga del sistema risultante, lo moltiplichiamo per e di nuovo otteniamo la matrice del sistema di equazioni equivalente a questo sistema:

Ora, mantenendo invariata la prima equazione del sistema risultante, usando la seconda equazione, eliminiamo la variabile y da tutte le equazioni successive. Per fare ciò, aggiungi la seconda riga moltiplicata per (nel nostro caso, per ) alla terza riga della matrice di sistema.

Se c'erano più di tre equazioni nel nostro sistema, allora la seconda riga dovrebbe essere aggiunta a tutte le equazioni successive, moltiplicata per il rapporto dei coefficienti corrispondenti, presi con un segno meno.

Di conseguenza, otteniamo nuovamente la matrice del sistema equivalente al dato sistema di equazioni lineari:

Abbiamo ottenuto un sistema trapezoidale di equazioni lineari equivalente a quello dato:

Se il numero di equazioni e variabili è maggiore rispetto al nostro esempio, il processo di eliminazione sequenziale delle variabili continua fino a quando la matrice del sistema diventa trapezoidale, come nel nostro esempio demo.

Troveremo la soluzione "dalla fine" - inverso. Per questo dall'ultima equazione che determiniamo z:
.
Sostituendo questo valore nell'equazione precedente, trova y:

Dalla prima equazione trova X:

Risposta: la soluzione di questo sistema di equazioni - .

: in questo caso, la stessa risposta verrà data se il sistema ha una soluzione univoca. Se il sistema ha un numero infinito di soluzioni, lo sarà anche la risposta, e questo è l'argomento della quinta parte di questa lezione.

Risolvi un sistema di equazioni lineari usando tu stesso il metodo di Gauss, quindi osserva la soluzione

Davanti a noi c'è ancora un esempio di un sistema coerente e definito di equazioni lineari, in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. La differenza dal nostro esempio demo dall'algoritmo è che ci sono già quattro equazioni e quattro incognite.

Esempio 4 Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss:

Ora è necessario utilizzare la seconda equazione per escludere la variabile dalle equazioni successive. Spendiamo lavoro preparatorio. Per renderlo più conveniente con il rapporto dei coefficienti, è necessario ottenere un'unità nella seconda colonna della seconda riga. Per fare ciò, sottrarre la terza riga dalla seconda riga e moltiplicare la seconda riga risultante per -1.

Eseguiamo ora l'effettiva eliminazione della variabile dalla terza e dalla quarta equazione. Per fare ciò, aggiungi il secondo, moltiplicato per , alla terza riga e il secondo, moltiplicato per , alla quarta.

Ora, usando la terza equazione, eliminiamo la variabile dalla quarta equazione. Per fare ciò, alla quarta riga, aggiungi la terza, moltiplicata per . Otteniamo una matrice espansa di forma trapezoidale.

Abbiamo ottenuto un sistema di equazioni, che è equivalente al sistema dato:

Pertanto, i sistemi risultanti e dati sono coerenti e definiti. Troviamo la soluzione finale "dalla fine". Dalla quarta equazione, possiamo esprimere direttamente il valore della variabile "x quarto":

Sostituiamo questo valore nella terza equazione del sistema e otteniamo

,

,

Infine, la sostituzione del valore

Nella prima equazione dà

,

dove troviamo "x prima":

Risposta: Questo sistema di equazioni ha una soluzione unica. .

Puoi anche verificare la soluzione del sistema su una calcolatrice che risolve con il metodo di Cramer: in questo caso, la stessa risposta verrà data se il sistema ha una soluzione univoca.

Soluzione con il metodo di Gauss di problemi applicati sull'esempio di un problema per leghe

I sistemi di equazioni lineari sono usati per modellare oggetti reali del mondo fisico. Risolviamo uno di questi problemi - per le leghe. Compiti simili: compiti per miscele, il costo o il peso specifico dei singoli beni in un gruppo di beni e simili.

Esempio 5 Tre pezzi di lega hanno una massa totale di 150 kg. La prima lega contiene il 60% di rame, la seconda il 30%, la terza il 10%. Allo stesso tempo, nella seconda e terza lega messe insieme, il rame è 28,4 kg in meno rispetto alla prima lega e nella terza lega il rame è 6,2 kg in meno rispetto alla seconda. Trova la massa di ogni pezzo di lega.

Soluzione. Componiamo un sistema di equazioni lineari:

Moltiplicando la seconda e la terza equazione per 10, otteniamo un sistema equivalente di equazioni lineari:

Componiamo la matrice estesa del sistema:

Attenzione, mossa diretta. Sommando (nel nostro caso sottraendo) una riga, moltiplicata per un numero (lo applichiamo due volte), si verificano le seguenti trasformazioni con la matrice espansa del sistema:

Il rettilineo è finito. Abbiamo una matrice espansa di forma trapezoidale.

Usiamo il contrario. Troviamo una soluzione dalla fine. Lo vediamo .

Dalla seconda equazione troviamo

Dalla terza equazione -

Puoi anche verificare la soluzione del sistema su una calcolatrice che risolve con il metodo di Cramer: in questo caso, la stessa risposta verrà data se il sistema ha una soluzione univoca.

La semplicità del metodo di Gauss è testimoniata dal fatto che il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ha impiegato solo 15 minuti per inventarlo. Oltre al metodo del suo nome, tratto dall'opera di Gauss, il detto "Non dobbiamo confondere ciò che ci sembra incredibile e innaturale con l'assolutamente impossibile" è una sorta di breve istruzione per fare scoperte.

In molti problemi applicati potrebbe non esserci una terza restrizione, cioè una terza equazione, quindi è necessario risolvere un sistema di due equazioni con tre incognite usando il metodo di Gauss, o, al contrario, ci sono meno incognite delle equazioni. Iniziamo ora a risolvere tali sistemi di equazioni.

Usando il metodo Gauss, puoi determinare se un sistema è coerente o incoerente n equazioni lineari con n variabili.

Metodo di Gauss e sistemi di equazioni lineari con infinite soluzioni

L'esempio seguente è congiunto, ma sistema indefinito equazioni lineari, cioè aventi un numero infinito di soluzioni.

Dopo aver eseguito le trasformazioni nella matrice espansa del sistema (permutare le righe, moltiplicare e dividere le righe per un certo numero, aggiungere una riga all'altra), le righe del modulo

Se in tutte le equazioni aventi la forma

I membri liberi sono pari a zero, questo significa che il sistema è indefinito, cioè ha un numero infinito di soluzioni, e le equazioni di questo tipo sono “superflue” e sono escluse dal sistema.

Esempio 6

Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema. Quindi, utilizzando la prima equazione, eliminiamo la variabile dalle equazioni successive. Per fare ciò, alla seconda, terza e quarta riga, aggiungi la prima, moltiplicata rispettivamente per :

Ora aggiungiamo la seconda riga alla terza e alla quarta.

Di conseguenza, arriviamo al sistema

Le ultime due equazioni sono diventate equazioni della forma. Queste equazioni sono soddisfatte per qualsiasi valore delle incognite e possono essere scartate.

Per soddisfare la seconda equazione, possiamo scegliere valori arbitrari per e , quindi il valore per sarà determinato in modo inequivocabile: . Dalla prima equazione, si trova anche in modo univoco il valore per: .

Sia il dato che l'ultimo sistema sono compatibili ma indefiniti e le formule

per arbitrario e dacci tutte le soluzioni del sistema dato.

Metodo di Gauss e sistemi di equazioni lineari senza soluzioni

L'esempio seguente è un sistema incoerente di equazioni lineari, ovvero non ha soluzioni. La risposta a tali problemi è formulata come segue: il sistema non ha soluzioni.

Come già accennato in relazione al primo esempio, dopo aver eseguito trasformazioni nella matrice espansa del sistema, le linee del modulo

corrispondente ad un'equazione della forma

Se tra loro c'è almeno un'equazione con un termine libero diverso da zero (cioè ), allora questo sistema di equazioni è incoerente, cioè non ha soluzioni, e questo completa la sua soluzione.

Esempio 7 Risolvi il sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss:

Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema. Utilizzando la prima equazione, escludiamo la variabile dalle equazioni successive. Per fare ciò, aggiungi il primo moltiplicato per alla seconda riga, il primo moltiplicato per la terza riga e il primo moltiplicato per la quarta riga.

Ora è necessario utilizzare la seconda equazione per escludere la variabile dalle equazioni successive. Per ottenere rapporti interi dei coefficienti, scambiamo la seconda e la terza riga della matrice estesa del sistema.

Per escludere dalla terza e dalla quarta equazione, aggiungere la seconda, moltiplicata per , alla terza riga e la seconda, moltiplicata per , alla quarta.

Ora, usando la terza equazione, eliminiamo la variabile dalla quarta equazione. Per fare ciò, alla quarta riga, aggiungi la terza, moltiplicata per .

Il sistema dato è quindi equivalente al seguente:

Il sistema risultante è incoerente, poiché la sua ultima equazione non può essere soddisfatta da nessun valore delle incognite. Pertanto, questo sistema non ha soluzioni.

Continuiamo a considerare sistemi di equazioni lineari. Questa lezione è la terza sull'argomento. Se hai una vaga idea di cosa sia in generale un sistema di equazioni lineari, ti senti come una teiera, allora ti consiglio di iniziare con le basi nella pagina Successiva, è utile studiare la lezione.

Il metodo Gauss è facile! Come mai? Il famoso matematico tedesco Johann Carl Friedrich Gauss, durante la sua vita, ricevette il riconoscimento come il più grande matematico di tutti i tempi, un genio, e persino il soprannome di "Re della Matematica". E tutto ciò che è geniale, come sai, è semplice! A proposito, non solo i babbei, ma anche i geni cadono nel denaro: il ritratto di Gauss è stato sfoggiato su una banconota da 10 marchi tedeschi (prima dell'introduzione dell'euro) e Gauss sorride ancora misteriosamente ai tedeschi dai normali francobolli.

Il metodo Gauss è semplice in quanto BASTA LA CONOSCENZA DI UNO STUDENTE DI QUINTA GRADO per padroneggiarlo. Deve essere in grado di sommare e moltiplicare! Non è un caso che il metodo della successiva eliminazione delle incognite sia spesso considerato dai docenti delle scuole matematiche elettive. È un paradosso, ma il metodo Gauss causa le maggiori difficoltà agli studenti. Niente di sorprendente: si tratta della metodologia e cercherò di raccontare in una forma accessibile l'algoritmo del metodo.

In primo luogo, sistemiamo un po' le conoscenze sui sistemi di equazioni lineari. Un sistema di equazioni lineari può:

1) Avere una soluzione unica. 2) Avere infinite soluzioni. 3) Non avere soluzioni (be incompatibile).

Il metodo di Gauss è lo strumento più potente e versatile per trovare una soluzione qualunque sistemi di equazioni lineari. Come ricordiamo Regola di Cramer e metodo delle matrici sono inadatti nei casi in cui il sistema ha infinite soluzioni o è incoerente. Un metodo di eliminazione successiva di incognite comunque guidaci alla risposta! In questa lezione considereremo ancora il metodo di Gauss per il caso n. 1 (l'unica soluzione del sistema), un articolo è riservato alle situazioni dei punti n. 2-3. Noto che l'algoritmo del metodo stesso funziona allo stesso modo in tutti e tre i casi.

Torniamo al sistema più semplice della lezione Come risolvere un sistema di equazioni lineari? e risolverlo usando il metodo gaussiano.

Il primo passo è scrivere sistema a matrice estesa: . Secondo quale principio vengono registrati i coefficienti, penso che tutti possano vederlo. La linea verticale all'interno della matrice non ha alcun significato matematico: è solo una barratura per facilitare la progettazione.

Riferimento : Consiglio di ricordare termini algebra lineare. Matrice di sistema è una matrice composta solo da coefficienti per incognite, in questo esempio la matrice del sistema: . Matrice di sistema estesa è la stessa matrice del sistema più una colonna di membri liberi, in questo caso: . Una qualsiasi delle matrici può essere chiamata semplicemente una matrice per brevità.

Dopo aver scritto la matrice estesa del sistema, è necessario eseguire alcune azioni con essa, che vengono anche chiamate trasformazioni elementari.

Esistono le seguenti trasformazioni elementari:

1) stringhe matrici Potere riordinare posti. Ad esempio, nella matrice in esame, puoi tranquillamente riordinare la prima e la seconda riga:

2) Se ci sono (o sono apparse) righe proporzionali (come caso speciale - identiche) nella matrice, ne segue Elimina dalla matrice, tutte queste righe tranne una. Si consideri, ad esempio, la matrice . In questa matrice le ultime tre righe sono proporzionali, quindi è sufficiente lasciarne solo una: .

3) Se durante le trasformazioni è apparsa una riga zero nella matrice, ne consegue anche Elimina. Non disegnerò, ovviamente, la linea dello zero è la linea in cui solo zeri.

4) La riga della matrice può essere moltiplicare (dividere) per qualsiasi numero diverso da zero. Si consideri, ad esempio, la matrice. Qui è consigliabile dividere la prima riga per -3 e moltiplicare la seconda riga per 2: . Questa azione è molto utile, in quanto semplifica ulteriori trasformazioni della matrice.

5) Questa trasformazione causa la maggior parte delle difficoltà, ma in realtà non c'è niente di complicato. Alla riga della matrice, puoi aggiungi un'altra stringa moltiplicata per un numero, diverso da zero. Considera la nostra matrice da un esempio pratico: . In primo luogo, descriverò la trasformazione in dettaglio. Moltiplica la prima riga per -2: , e alla seconda riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -2: . Ora la prima riga può essere divisa "indietro" per -2: . Come puoi vedere, la riga che è AGGIUNTA LI – non è cambiato. È sempre la riga viene modificata, A CUI AGGIUNTA UT.

In pratica, ovviamente, non dipingono in modo così dettagliato, ma scrivono in modo più breve: Ancora una volta: alla seconda riga aggiunta la prima riga moltiplicata per -2. La linea viene solitamente moltiplicata oralmente o su una bozza, mentre il corso mentale dei calcoli è qualcosa del genere:

“Riscrivo la matrice e riscrivo la prima riga: »

Prima la prima colonna. Sotto ho bisogno di ottenere zero. Pertanto, moltiplico l'unità sopra per -2: e aggiungo la prima alla seconda riga: 2 + (-2) = 0. Scrivo il risultato nella seconda riga: »

“Ora la seconda colonna. Sopra -1 volte -2: . Aggiungo il primo alla seconda riga: 1 + 2 = 3. Scrivo il risultato alla seconda riga: »

«E la terza colonna. Sopra -5 volte -2: . Aggiungo la prima riga alla seconda riga: -7 + 10 = 3. Scrivo il risultato nella seconda riga: »

Per favore pensa attentamente a questo esempio e comprendi l'algoritmo di calcolo sequenziale, se lo capisci, il metodo Gauss è praticamente "in tasca". Ma, ovviamente, stiamo ancora lavorando a questa trasformazione.

Le trasformazioni elementari non cambiano la soluzione del sistema di equazioni

! ATTENZIONE: manipolazioni considerate non posso usare, se ti viene offerto un compito in cui le matrici sono fornite "da sole". Ad esempio, con "classico" matrici in nessun caso dovresti riorganizzare qualcosa all'interno delle matrici! Torniamo al nostro sistema. È praticamente fatta a pezzi.

Scriviamo la matrice aumentata del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la riduciamo a vista a gradini:

(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. E ancora: perché moltiplichiamo la prima riga per -2? Per ottenere zero in fondo, il che significa eliminare una variabile nella seconda riga.

(2) Dividi la seconda riga per 3.

Lo scopo delle trasformazioni elementari – convertire la matrice in forma di passaggio: . Nella progettazione dell'attività, estraggono direttamente la "scala" con una semplice matita e circondano anche i numeri che si trovano sui "gradini". Il termine stesso "vista a gradini" non è del tutto teorico; nella letteratura scientifica e educativa, viene spesso chiamato vista trapezoidale o vista triangolare.

Come risultato di trasformazioni elementari, abbiamo ottenuto equivalente sistema di equazioni originale:

Ora il sistema deve essere "svitato" nella direzione opposta: dal basso verso l'alto, viene chiamato questo processo metodo di Gauss inverso.

Nell'equazione inferiore, abbiamo già il risultato finale: .

Considera la prima equazione del sistema e sostituisci in essa il valore già noto di "y":

Consideriamo la situazione più comune, quando il metodo gaussiano è richiesto per risolvere un sistema di tre equazioni lineari con tre incognite.

Esempio 1

Risolvi il sistema di equazioni usando il metodo di Gauss:

Scriviamo la matrice aumentata del sistema:

Ora disegnerò subito il risultato a cui arriveremo nel corso della soluzione: E ripeto, il nostro obiettivo è portare la matrice a una forma a gradini usando trasformazioni elementari. Da dove iniziare ad agire?

Per prima cosa, guarda il numero in alto a sinistra: Dovrebbe essere quasi sempre qui unità. In generale, anche -1 (e talvolta altri numeri) andrà bene, ma in qualche modo è successo tradizionalmente che un'unità sia solitamente piazzata lì. Come organizzare un'unità? Guardiamo la prima colonna: abbiamo un'unità finita! Trasformazione uno: scambia la prima e la terza riga:

Ora la prima riga rimarrà invariata fino alla fine della soluzione. Ora bene.

L'unità in alto a sinistra è organizzata. Ora devi ottenere zeri in questi posti:

Gli zeri si ottengono solo con l'aiuto di una trasformazione "difficile". Innanzitutto, trattiamo la seconda riga (2, -1, 3, 13). Cosa bisogna fare per ottenere lo zero in prima posizione? Bisogno alla seconda riga aggiungere la prima riga moltiplicata per -2. Mentalmente o su una bozza, moltiplichiamo la prima riga per -2: (-2, -4, 2, -18). E eseguiamo costantemente (di nuovo mentalmente o su una bozza) l'aggiunta, alla seconda riga aggiungiamo la prima riga, già moltiplicata per -2:

Il risultato è scritto nella seconda riga:

Allo stesso modo, trattiamo la terza riga (3, 2, -5, -1). Per ottenere zero nella prima posizione, è necessario alla terza riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -3. Mentalmente o su una bozza, moltiplichiamo la prima riga per -3: (-3, -6, 3, -27). E alla terza riga aggiungiamo la prima riga moltiplicata per -3:

Il risultato è scritto nella terza riga:

In pratica, queste azioni vengono solitamente eseguite verbalmente e scritte in un unico passaggio:

Non c'è bisogno di contare tutto in una volta e allo stesso tempo. L'ordine dei calcoli e "inserimento" dei risultati coerente e di solito in questo modo: prima riscriviamo la prima riga e ci sbuffiamo tranquillamente - COSTANTEMENTE e CON ATTENZIONE:
E ho già considerato il corso mentale dei calcoli stessi sopra.

In questo esempio, questo è facile da fare, dividiamo la seconda riga per -5 (poiché tutti i numeri sono divisibili per 5 senza resto). Allo stesso tempo, dividiamo la terza riga per -2, perché più piccolo è il numero, più semplice è la soluzione:

Nella fase finale delle trasformazioni elementari, qui deve essere ottenuto un altro zero:

Per questo alla terza riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -2:
Prova ad analizzare tu stesso questa azione: moltiplica mentalmente la seconda riga per -2 ed esegui l'addizione.

L'ultima azione eseguita è l'acconciatura del risultato, dividi la terza riga per 3.

Come risultato di trasformazioni elementari, è stato ottenuto un sistema iniziale equivalente di equazioni lineari: Freddo.

Ora entra in gioco il corso inverso del metodo gaussiano. Le equazioni "si svolgono" dal basso verso l'alto.

Nella terza equazione, abbiamo già il risultato finale:

Diamo un'occhiata alla seconda equazione: . Il significato di "z" è già noto, quindi:

E infine, la prima equazione: . "Y" e "Z" sono noti, la questione è piccola:

Risposta:

Come è stato più volte notato, per qualsiasi sistema di equazioni è possibile e necessario verificare la soluzione trovata, fortunatamente non è difficile e veloce.

Esempio 2

Questo è un esempio di auto-risoluzione, un esempio di rifinitura e una risposta alla fine della lezione.

Va notato che il tuo corso di azione potrebbe non coincidere con la mia linea di condotta, e questa è una caratteristica del metodo di Gauss. Ma le risposte devono essere le stesse!

Esempio 3

Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss

Guardiamo il "passo" in alto a sinistra. Lì dovremmo avere un'unità. Il problema è che non ce ne sono affatto nella prima colonna, quindi nulla può essere risolto riordinando le righe. In questi casi, l'unità deve essere organizzata utilizzando una trasformazione elementare. Questo di solito può essere fatto in diversi modi. Ho fatto questo: (1) Alla prima riga aggiungiamo la seconda riga, moltiplicata per -1. Cioè, abbiamo moltiplicato mentalmente la seconda riga per -1 ed eseguito l'aggiunta della prima e della seconda riga, mentre la seconda riga non è cambiata.

Ora in alto a sinistra "meno uno", che ci si addice perfettamente. Chi vuole ottenere +1 può eseguire un gesto aggiuntivo: moltiplicare la prima riga per -1 (cambiarne il segno).

(2) Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 5. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 3.

(3) La prima riga è stata moltiplicata per -1, in linea di principio, questo è per la bellezza. Anche il segno della terza riga è stato cambiato e spostato al secondo posto, quindi, sul secondo “gradino, avevamo l'unità desiderata.

(4) La seconda riga moltiplicata per 2 è stata aggiunta alla terza riga.

(5) La terza riga è stata divisa per 3.

Un brutto segno che indica un errore di calcolo (meno spesso un errore di battitura) è una linea di fondo "cattiva". Cioè, se avessimo qualcosa come di seguito e, di conseguenza, , quindi con un alto grado di probabilità si può sostenere che è stato commesso un errore nel corso delle trasformazioni elementari.

Addebitiamo la mossa inversa, nella progettazione di esempi, il sistema stesso spesso non viene riscritto e le equazioni vengono "prese direttamente dalla matrice data". La mossa inversa, te lo ricordo, funziona dal basso verso l'alto. Sì, ecco un regalo:

Risposta: .

Esempio 4

Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss

Questo è un esempio per una soluzione indipendente, è un po' più complicato. Va bene se qualcuno si confonde. Soluzione completa ed esempio di progetto alla fine della lezione. La tua soluzione potrebbe essere diversa dalla mia.

Nell'ultima parte, consideriamo alcune caratteristiche dell'algoritmo di Gauss. La prima caratteristica è che a volte mancano alcune variabili nelle equazioni del sistema, ad esempio: Come scrivere correttamente la matrice aumentata del sistema? Ho già parlato di questo momento nella lezione. La regola di Cramer. Metodo matriciale. Nella matrice espansa del sistema mettiamo degli zeri al posto delle variabili mancanti: A proposito, questo è un esempio abbastanza semplice, poiché c'è già uno zero nella prima colonna e ci sono meno trasformazioni elementari da eseguire.

La seconda caratteristica è questa. In tutti gli esempi considerati, abbiamo posizionato –1 o +1 sui “gradini”. Potrebbero esserci altri numeri? In alcuni casi possono. Considera il sistema: .

Qui sul "passo" in alto a sinistra abbiamo un due. Ma notiamo il fatto che tutti i numeri nella prima colonna sono divisibili per 2 senza resto - e altri due e sei. E il diavolo in alto a sinistra ci starà bene! Al primo passaggio, è necessario eseguire le seguenti trasformazioni: aggiungere la prima riga moltiplicata per -1 alla seconda riga; alla terza riga aggiungi la prima riga moltiplicata per -3. Pertanto, otterremo gli zeri desiderati nella prima colonna.

O un altro ipotetico esempio: . Qui ci si addice anche la tripla del secondo “scatto”, poiché 12 (il punto in cui dobbiamo arrivare a zero) è divisibile per 3 senza resto. È necessario effettuare la seguente trasformazione: alla terza riga, aggiungere la seconda riga, moltiplicata per -4, in conseguenza della quale si otterrà lo zero di cui abbiamo bisogno.

Il metodo di Gauss è universale, ma c'è una particolarità. Puoi imparare con sicurezza come risolvere i sistemi con altri metodi (metodo di Cramer, metodo a matrice) letteralmente dalla prima volta: esiste un algoritmo molto rigido. Ma per sentirti sicuro del metodo Gauss, dovresti "riempire la tua mano" e risolvere almeno 5-10 dieci sistemi. Pertanto, all'inizio potrebbero esserci confusione, errori nei calcoli e non c'è nulla di insolito o tragico in questo.

Tempo piovoso autunnale fuori dalla finestra .... Quindi, per tutti, un esempio più complesso per una soluzione indipendente:

Esempio 5

Risolvi un sistema di 4 equazioni lineari con quattro incognite usando il metodo di Gauss.

Un tale compito in pratica non è così raro. Penso che anche una teiera che ha studiato questa pagina in dettaglio capisca l'algoritmo per risolvere un tale sistema in modo intuitivo. Fondamentalmente lo stesso - solo più azione.

Nella lezione vengono presi in considerazione i casi in cui il sistema non ha soluzioni (incoerenti) o ha infinite soluzioni. Sistemi incompatibili e sistemi con una soluzione comune. Lì puoi correggere l'algoritmo considerato del metodo Gauss.

Ti auguro successo!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione : Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini.
Trasformazioni elementari eseguite: (1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1. Attenzione! Qui potrebbe essere allettante sottrarre la prima dalla terza riga, non consiglio vivamente di sottrarre: il rischio di errore aumenta notevolmente. Abbiamo appena piegato! (2) Il segno della seconda riga è stato modificato (moltiplicato per -1). La seconda e la terza riga sono state scambiate. Nota che sui “gradini” ci accontentiamo non solo di uno, ma anche di -1, che è ancora più conveniente. (3) Alla terza riga, aggiungi la seconda, moltiplicata per 5. (4) Il segno della seconda riga è stato modificato (moltiplicato per -1). La terza riga è stata divisa per 14.

Mossa inversa:

Risposta : .

Esempio 4: Soluzione : Scriviamo la matrice estesa del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, la portiamo a una forma a gradini:

Conversioni eseguite: (1) La seconda riga è stata aggiunta alla prima riga. Pertanto, l'unità desiderata è organizzata sul "passo" in alto a sinistra. (2) Alla seconda riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 7. Alla terza riga è stata aggiunta la prima riga moltiplicata per 6.

Con il secondo "passo" tutto è peggio , i "candidati" sono i numeri 17 e 23 e abbiamo bisogno di uno o di -1. Le trasformazioni (3) e (4) saranno finalizzate all'ottenimento dell'unità desiderata (3) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -1. (4) La terza riga, moltiplicata per -3, è stata aggiunta alla seconda riga. La cosa necessaria sul secondo passaggio è ricevuta . (5) Alla terza riga si aggiunge la seconda, moltiplicata per 6. (6) La seconda riga è stata moltiplicata per -1, la terza riga è stata divisa per -83.

Mossa inversa:

Risposta :

Esempio 5: Soluzione : Scriviamo la matrice del sistema e, utilizzando trasformazioni elementari, portiamola a una forma graduale:

Conversioni eseguite: (1) La prima e la seconda riga sono state scambiate. (2) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per -2. La prima riga è stata aggiunta alla quarta riga, moltiplicata per -3. (3) Alla terza riga è stata aggiunta la seconda riga moltiplicata per 4. Alla quarta riga è stata aggiunta la seconda riga moltiplicata per -1. (4) Il segno della seconda riga è stato modificato. La quarta riga è stata divisa per 3 e posizionata al posto della terza riga. (5) La terza riga è stata aggiunta alla quarta riga, moltiplicata per -5.

Mossa inversa:

Risposta :

Fin dall'inizio del XVI-XVIII secolo, i matematici iniziarono a studiare intensamente le funzioni, grazie alle quali tanto è cambiato nelle nostre vite. La tecnologia informatica senza questa conoscenza semplicemente non esisterebbe. Per risolvere problemi complessi, equazioni lineari e funzioni, sono stati creati vari concetti, teoremi e tecniche di soluzione. Uno di questi metodi e tecniche universali e razionali per la risoluzione di equazioni lineari e dei loro sistemi era il metodo di Gauss. Matrici, loro rango, determinante: tutto può essere calcolato senza utilizzare operazioni complesse.

Cos'è SLAU

In matematica c'è il concetto di SLAE - un sistema lineare equazioni algebriche. Cosa rappresenta? Questo è un insieme di m equazioni con le n incognite richieste, generalmente indicate come x, y, z o x 1 , x 2 ... x n o altri simboli. Risolvi con il metodo di Gauss questo sistema- significa trovare tutte le incognite richieste. Se il sistema ha lo stesso numero incognite ed equazioni, allora è chiamato sistema di ordine n-esimo.

I metodi più popolari per risolvere SLAE

A istituzioni educative l'istruzione secondaria sta studiando varie tecniche per risolvere tali sistemi. Molto spesso si tratta di semplici equazioni composte da due incognite, quindi qualsiasi metodo esistente non ci vorrà molto per trovare le risposte. Può essere come un metodo di sostituzione, quando un'altra equazione viene derivata da un'equazione e sostituita in quella originale. Oppure sottrazione e addizione termine per termine. Ma il metodo Gauss è considerato il più semplice e universale. Consente di risolvere equazioni con un numero qualsiasi di incognite. Perché questa tecnica è considerata razionale? Tutto è semplice. Il metodo della matrice è buono perché non richiede più volte di riscrivere caratteri non necessari sotto forma di incognite, è sufficiente eseguire operazioni aritmetiche sui coefficienti e otterrai un risultato affidabile.

Dove vengono utilizzati nella pratica gli SLAE?

La soluzione di SLAE sono i punti di intersezione delle linee sui grafici delle funzioni. Nella nostra era dei computer high-tech, le persone che sono strettamente coinvolte nello sviluppo di giochi e altri programmi devono sapere come risolvere tali sistemi, cosa rappresentano e come verificare la correttezza del risultato risultante. Molto spesso, i programmatori sviluppano speciali calcolatori di algebra lineare, incluso un sistema di equazioni lineari. Il metodo di Gauss consente di calcolare tutte le soluzioni esistenti. Vengono utilizzate anche altre formule e tecniche semplificate.

Criterio di compatibilità SLAE

Un tale sistema può essere risolto solo se è compatibile. Per chiarezza, presentiamo lo SLAE nella forma Ax=b. Ha una soluzione se rang(A) è uguale a rang(A,b). In questo caso, (A,b) è una matrice in forma estesa che può essere ottenuta dalla matrice A riscrivendola con termini liberi. Si scopre che risolvere equazioni lineari usando il metodo gaussiano è abbastanza semplice.

Forse qualche notazione non è del tutto chiara, quindi è necessario considerare tutto con un esempio. Diciamo che esiste un sistema: x+y=1; 2x-3 anni=6. Consiste di solo due equazioni in cui ci sono 2 incognite. Il sistema avrà una soluzione solo se il rango della sua matrice è uguale al rango della matrice aumentata. Che cos'è un grado? Questo è il numero di linee indipendenti del sistema. Nel nostro caso, il rango della matrice è 2. La matrice A sarà composta dai coefficienti situati vicino alle incognite e anche i coefficienti dietro il segno "=" rientreranno nella matrice espansa.

Perché SLAE può essere rappresentato in forma matriciale

Sulla base del criterio di compatibilità secondo il collaudato teorema di Kronecker-Capelli, il sistema di equazioni algebriche lineari può essere rappresentato in forma matriciale. Usando il metodo della cascata gaussiana, puoi risolvere la matrice e ottenere l'unica risposta affidabile per l'intero sistema. Se il rango di una matrice ordinaria è uguale al rango della sua matrice estesa, ma inferiore al numero di incognite, allora il sistema ha un numero infinito di risposte.

Trasformazioni matriciali

Prima di passare alla risoluzione delle matrici, è necessario sapere quali azioni possono essere eseguite sui loro elementi. Esistono diverse trasformazioni elementari:

• Riscrivendo il sistema in forma matriciale ed effettuando la sua soluzione, è possibile moltiplicare tutti gli elementi della serie per lo stesso coefficiente.
• Per convertire una matrice in forma canonica, è possibile scambiare due righe parallele. La forma canonica implica che tutti gli elementi della matrice che si trovano lungo la diagonale principale diventino uno e i restanti diventino zeri.
• Gli elementi corrispondenti delle righe parallele della matrice possono essere sommati l'uno all'altro.

Metodo Jordan-Gauss

L'essenza della risoluzione di sistemi di equazioni lineari omogenee e disomogenee con il metodo di Gauss è eliminare gradualmente le incognite. Diciamo di avere un sistema di due equazioni in cui ci sono due incognite. Per trovarli, è necessario verificare la compatibilità del sistema. L'equazione gaussiana è risolta in modo molto semplice. È necessario scrivere i coefficienti situati vicino a ciascuna incognita in una forma matriciale. Per risolvere il sistema, devi scrivere la matrice aumentata. Se una delle equazioni contiene un numero inferiore di incognite, è necessario inserire "0" al posto dell'elemento mancante. Tutti i metodi di trasformazione noti vengono applicati alla matrice: moltiplicazione, divisione per un numero, aggiunta tra loro degli elementi corrispondenti delle righe e altri. Si scopre che in ogni riga è necessario lasciare una variabile con il valore "1", il resto dovrebbe essere ridotto a zero. Per una comprensione più accurata, è necessario considerare il metodo di Gauss con esempi.

Un semplice esempio di risoluzione di un sistema 2x2

Per cominciare, prendiamo un semplice sistema di equazioni algebriche, in cui ci saranno 2 incognite.

Riscriviamolo in una matrice aumentata.

Per risolvere questo sistema di equazioni lineari sono necessarie solo due operazioni. Dobbiamo portare la matrice alla forma canonica in modo che ci siano unità lungo la diagonale principale. Quindi, traducendo dalla forma matriciale al sistema, otteniamo le equazioni: 1x+0y=b1 e 0x+1y=b2, dove b1 e b2 sono le risposte ottenute nel processo di risoluzione.

1. Il primo passo per risolvere la matrice aumentata sarà il seguente: la prima riga deve essere moltiplicata per -7 e gli elementi corrispondenti aggiunti alla seconda riga, rispettivamente, per eliminare un'incognita nella seconda equazione.
2. Poiché la soluzione delle equazioni con il metodo di Gauss implica portare la matrice alla forma canonica, è necessario eseguire le stesse operazioni con la prima equazione e rimuovere la seconda variabile. Per fare ciò, sottraiamo la seconda riga dalla prima e otteniamo la risposta necessaria: la soluzione dello SLAE. Oppure, come mostrato in figura, moltiplichiamo la seconda riga per un fattore -1 e aggiungiamo gli elementi della seconda riga alla prima riga. Questo è lo stesso.

Come puoi vedere, il nostro sistema è risolto con il metodo Jordan-Gauss. Lo riscriviamo nella forma richiesta: x=-5, y=7.

Un esempio di risoluzione di SLAE 3x3

Supponiamo di avere un sistema più complesso di equazioni lineari. Il metodo di Gauss consente di calcolare la risposta anche per il sistema più apparentemente confuso. Pertanto, per approfondire la metodologia di calcolo, possiamo passare a un esempio più complesso con tre incognite.

Come nell'esempio precedente, riscriviamo il sistema sotto forma di una matrice espansa e iniziamo a portarlo alla forma canonica.

Per risolvere questo sistema, dovrai eseguire molte più azioni rispetto all'esempio precedente.

1. Per prima cosa devi creare nella prima colonna un singolo elemento e gli altri zeri. Per fare ciò, moltiplica la prima equazione per -1 e aggiungi la seconda equazione. È importante ricordare che riscriviamo la prima riga nella sua forma originale e la seconda, già in una forma modificata.
2. Successivamente, rimuoviamo la stessa prima incognita dalla terza equazione. Per fare ciò, moltiplichiamo gli elementi della prima riga per -2 e li aggiungiamo alla terza riga. Ora la prima e la seconda riga vengono riscritte nella loro forma originale e la terza - già con modifiche. Come puoi vedere dal risultato, abbiamo ottenuto il primo all'inizio della diagonale principale della matrice e il resto sono zeri. Ancora poche azioni e il sistema di equazioni con il metodo di Gauss sarà risolto in modo affidabile.
3. Ora devi fare operazioni su altri elementi delle righe. Il terzo e il quarto passaggio possono essere combinati in uno. Dobbiamo dividere la seconda e la terza riga per -1 per eliminare quelle negative sulla diagonale. Abbiamo già portato la terza riga al modulo richiesto.
4. Successivamente, canonicizziamo la seconda riga. Per fare ciò, moltiplichiamo gli elementi della terza riga per -3 e li aggiungiamo alla seconda riga della matrice. Dal risultato si può vedere che anche la seconda riga è ridotta alla forma di cui abbiamo bisogno. Resta da fare qualche altra operazione e rimuovere i coefficienti delle incognite dalla prima riga.
5. Per ottenere 0 dal secondo elemento della riga, devi moltiplicare la terza riga per -3 e aggiungerla alla prima riga.
6. Il prossimo passo decisivo è aggiungere alla prima riga elementi necessari seconda fila. Quindi otteniamo la forma canonica della matrice e, di conseguenza, la risposta.

Come puoi vedere, la soluzione delle equazioni con il metodo di Gauss è abbastanza semplice.

Un esempio di risoluzione di un sistema di equazioni 4x4

Alcuni sistemi di equazioni più complessi possono essere risolti con il metodo gaussiano utilizzando programmi per computer. È necessario guidare i coefficienti per le incognite nelle celle vuote esistenti e il programma calcolerà il risultato richiesto passo dopo passo, descrivendo ogni azione in dettaglio.

Descritto sotto istruzioni passo passo soluzioni a questo esempio.

Nella prima fase, i coefficienti e i numeri liberi per le incognite vengono inseriti in celle vuote. Quindi, otteniamo la stessa matrice aumentata che scriviamo a mano.

E vengono eseguite tutte le operazioni aritmetiche necessarie per portare la matrice estesa alla forma canonica. Deve essere chiaro che la risposta a un sistema di equazioni non è sempre numeri interi. A volte la soluzione può provenire da numeri frazionari.

Verifica della correttezza della soluzione

Il metodo Jordan-Gauss prevede la verifica della correttezza del risultato. Per scoprire se i coefficienti sono calcolati correttamente, è sufficiente sostituire il risultato nel sistema di equazioni originale. Il lato sinistro dell'equazione deve corrispondere al lato destro, che si trova dietro il segno di uguale. Se le risposte non corrispondono, è necessario ricalcolare il sistema o provare ad applicare un altro metodo di risoluzione degli SLAE a te noto, come la sostituzione o la sottrazione e l'addizione termine per termine. Dopotutto, la matematica è una scienza che ha un numero enorme di diversi metodi di risoluzione. Ma ricorda: il risultato dovrebbe essere sempre lo stesso, indipendentemente dal metodo di soluzione utilizzato.

Metodo di Gauss: gli errori più comuni nella risoluzione di SLAE

Durante la decisione sistemi lineari equazioni, errori come il trasferimento errato dei coefficienti alla forma matriciale si verificano più spesso. Ci sono sistemi in cui mancano alcune incognite in una delle equazioni, quindi, trasferendo i dati alla matrice espansa, possono andare perse. Di conseguenza, quando si risolve questo sistema, il risultato potrebbe non corrispondere a quello reale.

Un altro degli errori principali può essere l'errata scrittura del risultato finale. Deve essere chiaro che il primo coefficiente corrisponderà al primo sconosciuto dal sistema, il secondo al secondo e così via.

Il metodo di Gauss descrive in dettaglio la soluzione di equazioni lineari. Grazie a lui è facile eseguire le operazioni necessarie e trovare il giusto risultato. Inoltre, questo è uno strumento universale per trovare una risposta affidabile a equazioni di qualsiasi complessità. Forse è per questo che è così spesso usato per risolvere SLAE.

Oggi ci occupiamo del metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari. Puoi leggere cosa sono questi sistemi nel precedente articolo dedicato alla risoluzione dello stesso SLAE con il metodo Cramer. Il metodo Gauss non richiede alcuna conoscenza specifica, servono solo cura e costanza. Nonostante dal punto di vista della matematica, la preparazione scolastica sia sufficiente per la sua applicazione, la padronanza di questo metodo spesso causa difficoltà agli studenti. In questo articolo cercheremo di ridurli a zero!

Metodo Gauss

M Metodo Gaussè il metodo più universale per risolvere SLAE (ad eccezione di, beh, very grandi sistemi). A differenza di quello discusso in precedenza, è adatto non solo per sistemi che hanno una soluzione unica, ma anche per sistemi che hanno un numero infinito di soluzioni. Ci sono tre opzioni qui.

1. Il sistema ha una soluzione unica (il determinante della matrice principale del sistema non è uguale a zero);
2. Il sistema ha un numero infinito di soluzioni;
3. Non ci sono soluzioni, il sistema è incoerente.

Quindi, abbiamo un sistema (lascia che abbia una soluzione) e lo risolveremo usando il metodo gaussiano. Come funziona?

Il metodo gaussiano consiste in due fasi: diretta e inversa.

Metodo di Gauss diretto

Per prima cosa scriviamo la matrice aumentata del sistema. Per fare ciò, aggiungiamo una colonna di membri liberi alla matrice principale.

L'intera essenza del metodo gaussiano è ridurre questa matrice a una forma a gradini (o, come si suol dire, triangolare) mediante trasformazioni elementari. In questa forma, dovrebbero esserci solo zeri sotto (o sopra) la diagonale principale della matrice.

Cosa si può fare:

1. Puoi riordinare le righe della matrice;
2. Se nella matrice sono presenti righe identiche (o proporzionali), è possibile eliminarle tutte tranne una;
3. Puoi moltiplicare o dividere una stringa per qualsiasi numero (tranne zero);
4. Le righe zero vengono rimosse;
5. È possibile aggiungere una stringa moltiplicata per un numero diverso da zero a una stringa.

Metodo di Gauss inverso

Dopo aver trasformato il sistema in questo modo, uno sconosciuto xn diventa noto, ed è possibile trovare tutte le incognite rimanenti in ordine inverso, sostituendo le x già note nelle equazioni del sistema, fino alla prima.

Quando Internet è sempre a portata di mano, puoi risolvere il sistema di equazioni utilizzando il metodo di Gauss in linea . Tutto quello che devi fare è inserire le quote nel calcolatore online. Ma devi ammettere che è molto più piacevole rendersi conto che l'esempio è stato risolto non da un programma per computer, ma dal tuo stesso cervello.

Un esempio di risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo di Gauss

E ora - un esempio, in modo che tutto diventi chiaro e comprensibile. Sia dato un sistema di equazioni lineari, ed è necessario risolverlo con il metodo di Gauss:

Per prima cosa, scriviamo la matrice aumentata:

Ora diamo un'occhiata alle trasformazioni. Ricorda che dobbiamo ottenere una forma triangolare della matrice. Moltiplica la prima riga per (3). Moltiplica la 2a riga per (-1). Aggiungiamo la 2a riga alla 1a e otteniamo:

Quindi moltiplica la 3a riga per (-1). Aggiungiamo la 3a riga alla 2a:

Moltiplica la prima riga per (6). Moltiplica la 2a riga per (13). Aggiungiamo la 2a riga alla 1a:

Voilà: il sistema viene portato nel modulo appropriato. Resta da trovare le incognite:

Il sistema in questo esempio ha una soluzione unica. Considereremo la soluzione dei sistemi con un insieme infinito di soluzioni in un articolo separato. Forse all'inizio non saprai da dove iniziare con le trasformazioni di matrice, ma dopo un'adeguata pratica ci metterai le mani sopra e farai clic sullo SLAE gaussiano come un matto. E se all'improvviso ti imbatti in uno SLAU, che risulta essere troppo difficile da decifrare, contatta i nostri autori! è possibile lasciando una domanda nella corrispondenza. Insieme risolveremo qualsiasi problema!

Consideriamo metodi esatti per risolvere il sistema; ecco la matrice dimensionale

Un metodo per risolvere un problema è classificato come esatto se, assumendo che non vi siano arrotondamenti, fornisce una soluzione esatta al problema dopo un numero finito di operazioni aritmetiche e logiche. Se il numero di elementi diversi da zero della matrice del sistema è dell'ordine di , allora per la maggior parte dei metodi esatti attualmente utilizzati per risolvere tali sistemi, il numero richiesto di operazioni è dell'ordine di . Pertanto, per l'applicabilità di metodi esatti, è necessario che tale ordine del numero di operazioni sia accettabile per un dato computer; altre restrizioni sono imposte dal volume e dalla struttura della memoria del computer.

La clausola sui "metodi attualmente in uso" ha il seguente significato. Esistono metodi per risolvere tali sistemi con un numero inferiore di operazioni, ma non vengono utilizzati attivamente a causa della forte sensibilità del risultato all'errore di calcolo.

Il più famoso dei metodi esatti per risolvere i sistemi di equazioni lineari è il metodo di eliminazione di Gauss. Consideriamo una delle sue possibili implementazioni. Supponendo che , la prima equazione del sistema

dividere per il coefficiente , di conseguenza otteniamo l'equazione

Quindi, da ciascuna delle restanti equazioni, viene sottratta la prima equazione, moltiplicata per il coefficiente appropriato. Di conseguenza, queste equazioni vengono trasformate nella forma

La prima incognita è risultata esclusa da tutte le equazioni tranne la prima. Inoltre, supponendo che , dividiamo la seconda equazione per il coefficiente ed escludiamo l'incognita da tutte le equazioni, a partire dalla seconda, e così via. Come risultato della successiva eliminazione delle incognite, il sistema di equazioni si trasforma in un sistema di equazioni con matrice triangolare

L'insieme dei calcoli eseguiti, durante i quali il problema originario è stato trasformato nella forma (2), è detto corso diretto del metodo di Gauss.

Dall'equazione del sistema (2) determiniamo , da , ecc. fino a . La totalità di tali calcoli è chiamata il corso inverso del metodo di Gauss.

È facile verificare che l'implementazione del movimento in avanti del metodo di Gauss richiede operazioni aritmetiche e l'esecuzione inversa richiede operazioni aritmetiche.

L'eccezione si verifica a seguito delle seguenti operazioni: 1) dividendo l'equazione per , 2) sottraendo l'equazione ottenuta dopo tale divisione, moltiplicata per , dalle equazioni con numeri k . La prima operazione equivale a moltiplicare il sistema di equazioni a sinistra per la matrice diagonale

la seconda operazione equivale alla moltiplicazione a sinistra per la matrice

Pertanto, il sistema (2) ottenuto come risultato di queste trasformazioni può essere scritto come

Il prodotto delle matrici triangolari sinistra (destra) è una matrice triangolare sinistra (destra), quindi C è una matrice triangolare sinistra. Dalla formula per gli elementi della matrice inversa

ne consegue che la matrice inversa a una triangolare sinistra (destra) è triangolare sinistra (destra). Pertanto, la matrice è triangolare sinistra.

Introduciamo la notazione. Secondo la costruzione, tutto e la matrice D sono triangolari rettamente. Da qui otteniamo la rappresentazione della matrice A come prodotto delle matrici triangolari sinistra e destra:

L'uguaglianza, insieme alla condizione , forma un sistema di equazioni rispetto agli elementi delle matrici triangolari B e : . Poiché for e for , questo sistema può essere scritto come

(3)

oppure, che è lo stesso,

Usando la condizione che tutto otteniamo un sistema di relazioni di ricorrenza per determinare gli elementi e :

I calcoli vengono eseguiti in sequenza per gli insiemi. Qui e sotto, nel caso in cui il limite superiore della sommatoria sia inferiore a quello inferiore, si assume che l'intera somma sia uguale a zero.

Pertanto, invece di successive trasformazioni del sistema (1) nella forma (2), si possono calcolare direttamente le matrici B e utilizzare le formule (4). Questi calcoli possono essere eseguiti solo se tutti gli elementi sono diversi da zero. Siano matrici di principali minori dell'ordine delle matrici A, B, D. Secondo (3) . Perché poi . Di conseguenza,

Quindi, per eseguire i calcoli secondo le formule (4), è necessario e sufficiente soddisfare le condizioni

In alcuni casi è noto in anticipo che la condizione (5) è soddisfatta. Ad esempio, molti problemi di fisica matematica si riducono a risolvere sistemi con matrice definita positiva A. Tuttavia, in caso generale questo non si può dire in anticipo. Un caso del genere è anche possibile: tutto, ma tra le quantità ce ne sono di molto piccole e, divise per esse, si ottengono numeri grandi con errori assoluti grandi. Di conseguenza, la soluzione sarà fortemente distorta.

Indichiamo . Da e , allora le uguaglianze valgono. Pertanto, dopo aver scomposto la matrice del sistema originario nel prodotto di matrici triangolari sinistra e destra, la soluzione del sistema originario si riduce alla soluzione sequenziale di due sistemi con matrici triangolari; ciò richiederebbe operazioni aritmetiche.

Spesso è conveniente combinare la sequenza di operazioni per scomporre la matrice A nel prodotto di matrici triangolari e per determinare il vettore d. Equazioni

i sistemi possono essere scritti come

Pertanto, i valori possono essere calcolati contemporaneamente al resto dei valori utilizzando le formule (4).

Quando si risolvono problemi pratici, diventa spesso necessario risolvere sistemi di equazioni con una matrice contenente un gran numero di elementi zero.

Tipicamente, queste matrici hanno una cosiddetta struttura a bande. Più precisamente, la matrice A è detta -diagonale o ha una struttura a bande, se a . Il numero è chiamato larghezza del nastro. Si scopre che quando si risolve un sistema di equazioni con una matrice a nastro con il metodo di Gauss, il numero di operazioni aritmetiche e la quantità richiesta di memoria del computer possono essere notevolmente ridotte.

Compito 1. Indagare le caratteristiche del metodo di Gauss e il metodo per risolvere il sistema utilizzando la scomposizione della matrice a bande A nel prodotto delle matrici triangolari sinistra e destra. Mostra che per trovare la soluzione sono necessarie operazioni aritmetiche (per ). Trova il membro principale del numero di operazioni sotto la condizione .

Compito 2. Stimare la quantità di memoria del computer caricata nel metodo di Gauss per le matrici di bande.

Quando si calcola senza l'aiuto di un computer, c'è un'alta probabilità errori casuali. Per eliminare tali errori, a volte viene introdotto un sistema di controllo, costituito da elementi di controllo delle equazioni del sistema

Quando si trasformano le equazioni, sugli elementi di controllo vengono eseguite le stesse operazioni che sui membri liberi delle equazioni. Di conseguenza, l'elemento di controllo di ogni nuova equazione deve essere uguale alla somma dei coefficienti di questa equazione. Una grande discrepanza tra di loro indica errori nei calcoli o l'instabilità dell'algoritmo di calcolo in relazione all'errore di calcolo.

Ad esempio, nel caso di portare il sistema di equazioni nella forma utilizzando le formule (4), l'elemento di controllo di ciascuna delle equazioni del sistema viene calcolato utilizzando le stesse formule (4). Dopo aver calcolato tutti gli elementi ad un determinato controllo si effettua verificando l'uguaglianza

L'andamento inverso del metodo di Gauss è accompagnato anche dal calcolo degli elementi di controllo delle righe del sistema.

Per evitare l'influenza catastrofica dell'errore computazionale, si utilizza il metodo gaussiano con la scelta dell'elemento principale.

La sua differenza dallo schema del metodo gaussiano sopra descritto è la seguente. Sia, nel corso dell'eliminazione delle incognite, il sistema di equazioni

Troviamo tale che e ridenotiamo e ; quindi elimineremo l'incognita da tutte le equazioni, iniziando con . Tale ridenominazione porta a un cambiamento nell'ordine di eliminazione delle incognite e in molti casi riduce significativamente la sensibilità della soluzione agli errori di arrotondamento nei calcoli.

Spesso è necessario risolvere più sistemi di equazioni, con la stessa matrice A. Conviene procedere come segue: introducendo la notazione

Eseguiamo calcoli usando le formule (4) e calcoliamo gli elementi in . Come risultato si otterranno p sistemi di equazioni a matrice triangolare, corrispondenti al problema originale

Risolviamo questi sistemi ciascuno separatamente. Si scopre che il numero totale di operazioni aritmetiche per risolvere p sistemi di equazioni in questo modo è .

La tecnica sopra descritta viene talvolta utilizzata al fine di ottenere un giudizio sull'errore della soluzione, conseguenza di errori di arrotondamento nei calcoli, senza significativi costi aggiuntivi. Sono dati dal vettore z con componenti aventi, se possibile, lo stesso ordine e segno delle componenti della soluzione voluta; spesso a causa della mancanza di informazioni sufficienti che prendono. Il vettore viene calcolato e, insieme al sistema di equazioni originale, il sistema viene risolto.

Siano ez effettivamente ottenute soluzioni di questi sistemi. Il giudizio sull'errore della soluzione desiderata può essere ottenuto in base all'ipotesi: gli errori relativi nella risoluzione con il metodo di eliminazione di sistemi con la stessa matrice e diversi lati destri, che sono, rispettivamente, i valori e , differiscono non un numero molto elevato di volte.

Un'altra tecnica per ottenere un giudizio sul valore reale dell'errore che deriva dall'arrotondamento nei calcoli è cambiare la scala, che cambia il quadro dell'accumulo dell'errore di calcolo.

Insieme al sistema originale, il sistema viene risolto con lo stesso metodo

Per e , che non sono potenze intere di due, il confronto dei vettori e dà un'idea dell'entità dell'errore di calcolo. Ad esempio, puoi prendere .

Lo studio di molti problemi porta alla necessità di risolvere sistemi di equazioni lineari con matrice definita positiva simmetrica. Tali sistemi sorgono, ad esempio, durante la risoluzione equazioni differenziali metodo degli elementi finiti o metodi alle differenze finite. In questi casi, anche la matrice del sistema ha una struttura a bande.

Il metodo radice quadrata(Metodo Cholesky). La matrice A è rappresentata come

dove S è una matrice triangolare retta, è il suo coniugato, cioè

essendo tutti una matrice diagonale con elementi uguali o -1. L'uguaglianza di matrice (6) forma un sistema di equazioni

Equazioni simili per vengono scartate, poiché le equazioni corrispondenti alle coppie e sono equivalenti. Da qui si ottengono formule ricorrenti per la determinazione degli elementi e :

La matrice S è triangolare retta e quindi, ottenuta la rappresentazione (6), la soluzione del sistema originario si riduce anche alla Soluzione sequenziale di due sistemi con matrici triangolari. Si noti che nel caso di tutti e .

Compito 3. Stimare il numero di operazioni aritmetiche e il carico di memoria del computer (supponendo che la quantità di memoria richiesta per memorizzare la matrice A diminuisca) quando si risolve un sistema con una matrice definita positiva reale A con il metodo della radice quadrata.

Molti pacchetti software per la risoluzione di problemi ai limiti della fisica matematica con il metodo degli elementi finiti sono organizzati secondo lo schema seguente. Dopo che la matrice del sistema A è stata formata riorganizzando righe e colonne (sia le righe che le colonne vengono riorganizzate contemporaneamente), il sistema viene convertito nel modulo con la larghezza del nastro più piccola. Successivamente, viene applicato il metodo della radice quadrata. Allo stesso tempo, per ridurre la quantità di calcoli quando si risolve un sistema con altri membri destri, viene memorizzata la matrice S.