Yli 500 tuhannesta savitaulusta, jotka arkeologit löysivät muinaisen Mesopotamian kaivauksissa, noin 400 sisältää matemaattista tietoa. Suurin osa niistä on purettu, ja niiden avulla voidaan saada melko selkeä käsitys babylonialaisten tutkijoiden hämmästyttävistä algebrallisista ja geometrisista saavutuksista.

Matematiikan syntyajasta ja paikasta ollaan eri mieltä. Lukuisat tämän ongelman tutkijat uskovat sen luomisen eri kansoihin ja ajoittavat sen eri aikakausille. Muinaisilla kreikkalaisilla ei vielä ollut yhtä näkemystä tästä asiasta, joiden joukossa oli erityisen laajalle levinnyt versio, että egyptiläiset keksivät geometrian, ja foinikialaiset kauppiaat, jotka tarvitsivat tällaista tietoa kaupankäynnin laskelmiin ja aritmetiikkaan. Herodotos elokuvassa "Historia" ja Strabo "Maantiedossa" asettivat etusijalle foinikialaiset. Platon ja Diogenes Laertius pitivät Egyptiä sekä aritmeettisen että geometrian synnyinpaikkana. Tämä on myös Aristoteles, joka uskoi matematiikan syntyneen paikallisten pappien vapaa-ajan läsnäolon vuoksi.

Tämä huomautus seuraa sitä kohtaa, että jokaisessa sivilisaatiossa syntyvät ensin käytännön käsityöt, sitten huvitaiteet ja vasta sitten tietoon tähtäävät tieteet. Aristoteleen oppilas Eudemos piti, kuten useimmat hänen edeltäjänsä, myös Egyptiä geometrian syntymäpaikkana, ja syynä sen ilmestymiseen olivat maanmittauksen käytännön tarpeet. Eudemuksen mukaan geometria kulkee parantuessaan kolme vaihetta: maanmittauksen käytännön taitojen syntyminen, käytännöllisesti suuntautuneen soveltavan tieteenalan synty ja sen muuntaminen teoreettinen tiede. Kaikesta syystä Eudemus piti kaksi ensimmäistä vaihetta Egyptin ja kolmannen kreikkalaisen matematiikan ansioksi. Totta, hän kuitenkin myönsi, että pinta-alojen laskentateoria syntyi Babyloniasta peräisin olevien toisen asteen yhtälöiden ratkaisusta.

Iranista löydettyjä pieniä savilaattoja käytettiin oletusarvoisesti jyvien mittausten tallentamiseen 8000 eKr. Norjan paleografian ja historian instituutti,
Oslo.

Historioitsija Joseph Flaviuksella ("Muinainen Juudea", kirja 1, luku 8) on oma mielipiteensä. Vaikka hän kutsuu egyptiläisiä ensimmäisiksi, hän on varma, että juutalaisten esi-isä Abraham opetti heille aritmetiikkaa ja tähtitiedettä, joka pakeni Egyptiin Kanaanin maata kohdanneen nälänhädän aikana. No, Egyptin vaikutus Kreikassa oli tarpeeksi vahva pakottaakseen kreikkalaisiin samanlaisen mielipiteen, joka heidän kanssaan kevyt käsi on edelleen liikkeellä historiallisessa kirjallisuudessa. Hyvin säilyneitä savitauluja, jotka on peitetty Mesopotamiassa ja jotka on vuodelta 2000 eaa. ja ennen vuotta 300 jKr, todistavat sekä hieman erilaisesta asioiden tilasta että siitä, millaista matematiikka oli muinaisessa Babylonissa. Se oli melko monimutkainen seos aritmetiikkaa, algebraa, geometriaa ja jopa trigonometrian alkeita.

Matematiikkaa opetettiin kirjurikouluissa, ja jokaisella valmistuneella oli siihen aikaan melko vakava tietomäärä. Ilmeisesti juuri tästä puhuu Ashurbanipal, Assyrian kuningas 7. vuosisadalla. eKr., yhdessä hänen kirjoituksistaan, jossa hän sanoi, että hän oppi löytämään "monimutkaiset vastavuoroisuudet ja kertomaan". Elämä pakotti babylonialaiset turvautumaan laskelmiin. Aritmeettista ja yksinkertaista algebraa tarvittiin taloudenhoidossa, rahanvaihdossa ja tavaroiden selvittämisessä, yksinkertaisten ja korkokorkojen, verojen ja valtiolle, temppelille tai maanomistajalle luovutetun sadon osuuden laskemiseen. Matemaattisia laskelmia, ja melko monimutkaisia, vaadittiin suuriin arkkitehtuuriprojekteihin, kastelujärjestelmän rakentamiseen liittyviin insinööritöihin, ballistiikkaan, tähtitiedeen ja astrologiaan.

Tärkeä matematiikan tehtävä oli määrittää maatalouden töiden ajoitus, uskonnolliset juhlapyhät ja muut kalenteritarpeet. Kuinka korkeita saavutuksia muinaisissa kaupunkivaltioissa Tigriksen ja Eufratin välillä oli siinä, mitä kreikkalaiset myöhemmin kutsuivat matematiikaksi ("tiedoksi") niin yllättävän tarkasti, arvioikaamme Mesopotamian saven nuolenpääkirjoituksen tulkintaa. Muuten, kreikkalaisten keskuudessa termi matematiikka merkitsi aluksi neljän tieteen luetteloa: aritmetiikkaa, geometriaa, tähtitiedettä ja harmonisia, varsinaista matematiikkaa se alkoi merkitä paljon myöhemmin. Mesopotamiassa arkeologit ovat jo löytäneet ja löytävät edelleen nuolenpäätauluja, joissa on matemaattisia, osittain akkadin, osittain sumerinkielisiä tietoja, sekä matemaattisia viitetaulukoita. Jälkimmäinen helpotti suuresti päivittäin suoritettavia laskelmia, joten useat puretut tekstit sisältävät melko usein koronlaskennan.

Mesopotamian aikaisemman, sumerilaisen ajanjakson aritmeettisten operaatioiden nimet on säilytetty. Joten yhteenlaskuoperaatiota kutsuttiin "kertymäksi" tai "lisäämiseksi", vähentämisessä käytettiin verbiä "vetää ulos" ja termi kertolasku tarkoitti "syö". On mielenkiintoista, että Babylonissa käytettiin laajempaa kertotaulukkoa - 1:stä 180 000:een kuin se, joka meidän piti opetella koulussa, ts. laskettu luvuilla 1-100. Muinaisessa Mesopotamiassa luotiin yhtenäiset aritmeettiset säännöt paitsi kokonaislukujen, myös murtolukujen kanssa, sillä toimintataidolla babylonialaiset olivat huomattavasti parempia kuin egyptiläiset. Esimerkiksi Egyptissä murto-operaatiot pysyivät primitiivisinä pitkään, koska he tunsivat vain murto-osia (eli murto-osia, joiden osoittaja on 1). Mesopotamian sumerilaisten ajoista lähtien pääasiallinen laskentayksikkö kaikissa talousasioissa oli luku 60, vaikka tunnettiin myös desimaalilukujärjestelmä, jota akkadilaiset käyttivät.

Tunnetuin vanhan Babylonian kauden matemaattisista tauluista, tallennettu Columbia Universityn (USA) kirjastoon. Sisältää luettelon suorakulmaisista kolmioista, joissa on rationaaliset sivut, eli Pythagoraan lukujen kolminkertaiset x2 + y2 = z2, ja osoittaa, että Babylonialaiset tunsivat Pythagoraan lauseen vähintään tuhat vuotta ennen sen kirjoittajan syntymää. 1900-1600 eKr.

Kuutioyhtälöön johtavissa tehtävissä oli kolmas tuntematon suure - "syvyys", ja kolmen tuntemattoman tuloa kutsuttiin "tilavuudeksi". Myöhemmin, algebrallisen ajattelun kehittyessä, tuntemattomat alettiin ymmärtää abstraktimmin. Joskus Babylonin algebrallisten suhteiden havainnollistamiseksi käytettiin geometrisia piirustuksia. Myöhemmin Muinainen Kreikka niistä tuli algebran pääelementti, kun taas ensisijaisesti algebrallisesti ajatteleville babylonialaisille piirustukset olivat vain visualisointikeino, ja termit "viiva" ja "alue" tarkoittivat useimmiten ulottumattomia lukuja. Siksi oli ratkaisuja ongelmiin, joissa "pinta-ala" lisättiin "puolelle" tai vähennettiin "tilavuudesta" jne. Erityisen tärkeää muinaisina aikoina oli peltojen, puutarhojen, rakennusten tarkka mittaus - vuotuiset jokien tulvat toivat suuren määrän lietettä, joka peitti peltoja ja tuhosi niiden väliset rajat, ja veden laskun jälkeen maanmittaajat, omistajiensa määräyksestä joutuivat usein mittaamaan viljelyalat uudelleen. Nuolenkirjoitusarkistoon on säilynyt monia sellaisia ​​maanmittauskarttoja, jotka on laadittu yli 4 tuhatta vuotta sitten.

Aluksi mittayksiköt eivät olleet kovin tarkkoja, koska pituus mitattiin sormilla, kämmenillä, kyynärpäillä, jotka erilaiset ihmiset eri. Tilanne oli parempi suurilla määrillä, joiden mittaamiseen käytettiin ruokoa ja tietynkokoista köyttä. Mutta tässäkin mittaustulokset erosivat usein toisistaan ​​riippuen siitä, kuka mittasi ja missä. Siksi Babylonian eri kaupungeissa otettiin käyttöön erilaisia ​​pituusmittoja. Esimerkiksi Lagashin kaupungissa "kyynärä" oli 400 mm ja itse Nippurissa ja Babylonissa - 518 mm. Monet säilyneet nuolenkirjoitusmateriaalit olivat opinto-oppaat Babylonian koululaisille, joka tarjosi ratkaisuja erilaisiin yksinkertaisiin ongelmiin, joita käytännön elämässä usein kohdattiin. Ei kuitenkaan ole selvää, ratkoiko opiskelija ne mielessään vai teki alustavia laskelmia oksalla maassa - tauluihin on kirjoitettu vain matemaattisten tehtävien ehdot ja niiden ratkaisu.

Geometriset tehtävät puolisuunnikkaan ja kolmioiden piirustuksissa ja Pythagoraan lauseen ratkaisu. Levyn mitat: 21,0x8,2. 1800-luvulla eKr. Brittiläinen museo

Suurin osa koulun matematiikan kurssista oli aritmeettisten, algebrallisten ja geometristen tehtävien ratkaisemista, joiden muotoilussa oli tapana toimia tiettyjen esineiden, alueiden ja tilavuuksien kanssa. Yhdessä nuolenpäätaulussa oli säilynyt seuraava ongelma: "Kuinka monessa päivässä voidaan valmistaa tietynpituinen kangaspala, jos tiedämme, että tästä kankaasta tehdään päivittäin niin monta kyynärää (pituusmitta)?" Toisessa näkyy rakennustöihin liittyviä tehtäviä. Esimerkiksi "Kuinka paljon maata tarvitaan penkereen, jonka mitat ovat tiedossa, ja kuinka paljon maata jokaisen työntekijän on siirrettävä, jos heidän kokonaismääränsä tiedetään?" tai "Kuinka paljon savea jokaisen työntekijän tulee valmistautua rakentamaan tietyn kokoinen muuri?"

Opiskelijan piti myös osata laskea kertoimia, laskea summia, ratkaista kulmien mittaustehtäviä, laskea suoraviivaisten kuvioiden pinta-aloja ja tilavuuksia - tämä oli perusgeometrian yleinen joukko. Sumerien ajoilta säilyneet geometristen hahmojen nimet ovat mielenkiintoisia. Kolmiota kutsuttiin "kiilaksi", puolisuunnikkaan "härän otsaksi", ympyrää kutsuttiin "vanteeksi", säiliötä nimitettiin termillä "vesi", tilavuus oli "maa, hiekka", aluetta kutsuttiin "pelloksi". Yksi nuolenkirjoitusteksteistä sisältää 16 ongelmaa ja ratkaisuja, jotka liittyvät patoon, valleihin, kaivoihin, vesikelloihin ja maanrakennustöihin. Yhdessä tehtävässä on piirustus, joka liittyy pyöreään akseliin, toinen käsittelee katkaistua kartiota, joka määrittää sen tilavuuden kertomalla korkeus puolella ylemmän ja alemman alustan pinta-alojen summasta.

Babylonialaiset matemaatikot ratkaisivat myös planimetrisiä ongelmia käyttämällä suorakulmaisten kolmioiden ominaisuuksia, jotka Pythagoras muotoili myöhemmin lauseen muodossa hypotenuusan neliön ja jalkojen neliöiden summan välisen suorakulmaisen kolmion tasa-arvosta. Toisin sanoen kuuluisa Pythagoraan lause oli babylonialaisten tiedossa ainakin tuhat vuotta ennen Pythagorasta. Planimetristen tehtävien lisäksi he ratkaisivat stereometrisiä ongelmia, jotka liittyivät erilaisten tilojen, kappaleiden tilavuuden määrittämiseen, ja harjoittelivat laajasti peltojen, alueiden, yksittäisten rakennusten piirustussuunnitelmia, mutta yleensä ei mittakaavassa. Matematiikan merkittävin saavutus oli sen tosiasian havaitseminen, että neliön diagonaalin ja sivun suhdetta ei voida ilmaista kokonaislukuna tai yksinkertaisena murtolukuna. Näin irrationaalisuuden käsite otettiin käyttöön matematiikassa.

Uskotaan, että Pythagoralle kuuluu yhden tärkeimmistä irrationaalisista luvuista - numero π, joka ilmaisee ympyrän kehän suhdetta sen halkaisijaan ja on yhtä suuri kuin ääretön murto-osa ≈ 3,14 .... Toisen version mukaan Arkhimedes ehdotti numerolle π arvoa 3,14 ensimmäisen kerran 300 vuotta myöhemmin, 3. vuosisadalla eKr. eKr. Toisen mukaan Omar Khayyam oli ensimmäinen, joka laski sen, tämä on yleensä 1000-1200-luku. ILMOITUS Tiedetään vain varmasti, että kreikkalainen kirjain π merkitsi tätä suhdetta ensimmäisen kerran vuonna 1706 englantilaisen matemaatikko William Jonesin toimesta, ja vasta sen jälkeen, kun sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler lainasi tämän nimityksen vuonna 1737, siitä tuli yleisesti hyväksytty. Luku π on vanhin matemaattinen arvoitus, tämä löytö tulisi etsiä myös muinaisesta Mesopotamiasta.

Babylonialaiset matemaatikot tiesivät hyvin tärkeimmät irrationaaliset luvut, ja ratkaisu ympyrän pinta-alan laskentaongelmaan löytyy myös matemaattisen sisällön nuolenkielisten savitaulujen dekoodauksesta. Näiden tietojen mukaan π:ksi otettiin 3, mikä kuitenkin oli varsin riittävä käytännön maanmittaustarkoituksiin. Tutkijat uskovat, että seksagesimaalijärjestelmä valittiin muinaisessa Babylonissa metrologisista syistä: numerolla 60 on monia jakajia. Kokonaislukujen heksadesimaalimerkintä ei yleistynyt Mesopotamian ulkopuolella, vaan Euroopassa vasta 1600-luvulla. sekä seksagesimaalilukuja että tavallista ympyrän jakoa 360 asteeseen käytettiin laajalti. Myös tunnit ja minuutit, jaettuna 60 osaan, ovat peräisin Babylonista.

Babylonilaisten nerokas idea käyttää mahdollisimman vähän digitaalisia merkkejä numeroiden kirjoittamiseen on merkittävä. Esimerkiksi roomalaiset eivät edes ajatelleet, että sama numero voi tarkoittaa eri määriä! Tätä varten he käyttivät aakkosten kirjaimia. Tämän seurauksena nelinumeroinen luku, esimerkiksi 2737, sisälsi peräti yksitoista kirjainta: MMDCCXXXVII. Ja vaikka meidän aikanamme on äärimatemaatikoita, jotka pystyvät jakamaan LXXVIII:n sarakkeeksi luvulla CLXVI tai kertomaan CLIX:n LXXIV:llä, voi vain olla sääli niitä Ikuisen kaupungin asukkaita kohtaan, jotka joutuivat suorittamaan monimutkaisia ​​kalenteri- ja tähtitieteellisiä laskelmia tällaisten matemaattisten tasapainotustoimien tai laskettujen suurien arkkitehtonisten projektien ja erilaisten teknisten kohteiden avulla.

Kreikkalainen numerojärjestelmä perustui myös aakkosten kirjainten käyttöön. Aluksi ullakkojärjestelmä otettiin käyttöön Kreikassa, jossa käytettiin pystysuoraa viivaa osoittamaan yksikköä ja numeroille 5, 10, 100, 1000, 10 000 (olennaisesti se oli desimaalijärjestelmä) - kreikkalaisten nimien alkukirjaimia. Myöhemmin, noin 3. vuosisadalla. eKr., Ioninen numerojärjestelmä tuli laajalle levinneeksi, jossa 24 kreikkalaisen aakkoston kirjainta ja kolme arkaaista kirjainta käytettiin osoittamaan numeroita. Ja erottaakseen numerot sanoista kreikkalaiset asettivat vaakaviivan vastaavan kirjaimen päälle. Tässä mielessä Babylonian matemaattinen tiede oli myöhemmän kreikkalaisen tai roomalaisen yläpuolella, koska juuri hän omistaa yhden merkittävimmistä saavutuksista numeromerkintäjärjestelmien kehittämisessä - paikannusperiaatteen, jonka mukaan sama numeerinen merkki (symboli) on erilaisia ​​merkityksiä riippuen siitä, missä se sijaitsee. Muuten, egyptiläinen numerojärjestelmä oli huonompi kuin Babylonian ja nykyaikainen egyptiläinen numerojärjestelmä.

Egyptiläiset käyttivät ei-paikannusta desimaalijärjestelmää, jossa numerot 1 - 9 merkittiin vastaavalla määrällä pystysuoraa viivaa, ja yksittäiset hieroglyfisymbolit otettiin käyttöön 10:n peräkkäisille potenssille. Pienille luvuille Babylonin numerojärjestelmä muistutti yleisesti egyptiläistä. Yksi pystysuora kiilamainen viiva (varhaisissa sumerilaisissa tauluissa - pieni puoliympyrä) tarkoitti yksikköä; toistettiin tarvittava määrä kertoja, tämä merkki käytti alle kymmenen numeroiden kirjoittamiseen; osoittamaan numeroa 10, babylonialaiset, kuten egyptiläiset, ottivat käyttöön uuden symbolin - leveän kiilanmuotoisen merkin, jonka kärki on suunnattu vasemmalle ja joka muistuttaa muodoltaan kulmakiinnikettä (varhaisissa sumerilaisissa teksteissä - pieni ympyrä). Tämä merkki toistettiin sopiva määrä kertoja, ja se edusti numeroita 20, 30, 40 ja 50. Useimmat nykyajan historioitsijat uskovat, että muinaiset tieteellinen tietämys olivat puhtaasti empiirisiä.

Mitä tulee havaintoihin perustuviin fysiikan, kemian, luonnonfilosofian, se näyttää olevan totta. Mutta käsitys aistikokemuksesta tiedon lähteenä on ratkaisemattoman kysymyksen edessä, kun on kyse sellaisesta abstraktista tieteestä kuin symboleilla toimiva matematiikka. Erityisen merkittäviä olivat Babylonian matemaattisen tähtitieteen saavutukset. Mutta nostiko äkillinen harppaus Mesopotamian matemaatikot utilitaristisen käytännön tasolta laajaan tietoon, joka antoi heille mahdollisuuden soveltaa matemaattisia menetelmiä ennustaakseen Auringon, Kuun ja planeettojen paikkoja, pimennyksiä ja muita taivaanilmiöitä, vai etenikö kehitys asteittain, emme valitettavasti tiedä. Matemaattisen tiedon historia yleensä näyttää oudolta.

Tiedämme, kuinka esi-isämme oppivat laskemaan sormillaan ja varpaillaan tehden primitiivisiä numeerisia tietueita kepissä olevien lovien, köyden solmujen tai riviin aseteltujen kivien muodossa. Ja sitten - ilman mitään siirtymäkohtaa - yhtäkkiä tietoa babylonialaisten, egyptiläisten, kiinalaisten, hindujen ja muiden muinaisten tiedemiesten matemaattisista saavutuksista, niin vankkaa, että heidän matemaattiset menetelmänsä kestivät ajan kokeen äskettäin päättyneen II vuosituhannen puoliväliin asti, ts. yli kolme tuhatta vuotta...

Mitä näiden linkkien välissä on? Miksi muinaiset viisaat kunnioittivat matematiikkaa käytännön merkityksen lisäksi pyhänä tiedona ja antoivat jumalien nimiä numeroille ja geometrisille hahmoille? Onko tämän takana vain kunnioittava asenne Tietoa kohtaan sellaisenaan? Ehkä tulee aika, jolloin arkeologit löytävät vastaukset näihin kysymyksiin. Sillä välin älkäämme unohtako, mitä oxfordilainen Thomas Bradwardine sanoi 700 vuotta sitten: "Hänen, jolla on häpeämättömyyttä kieltää matematiikka, olisi pitänyt tietää alusta alkaen, ettei hän koskaan astuisi viisauden porteista."

Aritmetiikasta, numerotieteestä, tutustumisemme matematiikkaan alkaa. Yksi ensimmäisistä venäläisistä aritmeettisista oppikirjoista, jonka L. F. Magnitsky kirjoitti vuonna 1703, alkoi sanoilla: "Aritmetiikka tai osoittaja on taidetta, joka on rehellistä, kadehdimatonta ja helposti ymmärrettävää kaikille, hyödyllisin ja ylistetyin, vanhimmista uusin, joka asui eri aikoina hienoimpien aritmeetikkojen, keksi ja selitti. Aritmetiikassa astumme, kuten M. V. Lomonosov sanoi, "oppimisen porteille" ja aloitamme pitkän ja vaikean, mutta kiehtovan matkamme maailman tuntemiseen.

Sana "aritmeettinen" tulee kreikan sanasta arithmos, joka tarkoittaa "lukua". Tämä tiede tutkii lukujen operaatioita, erilaisia ​​sääntöjä niiden käsittelyyn, opettaa sinua ratkaisemaan ongelmia, jotka tiivistyvät lukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuihin. Aritmetiikkaa kuvitellaan usein joksikin matematiikan ensimmäiseksi askeleeksi, jonka perusteella on mahdollista tutkia sen monimutkaisempia osia - algebraa, matemaattista analyysiä jne. Parilliset kokonaisluvut - aritmeettisen perusobjektin - viitataan, kun niitä tarkastellaan yleiset ominaisuudet ja kuviot korkeampaan aritmetiikkaan tai lukuteoriaan. Tällaisella aritmeettisella näkemyksellä on tietysti perusteita - se todellakin pysyy "laskennan aakkosena", mutta aakkoset ovat "hyödyllisin" ja "mukavin".

Aritmetiikka ja geometria ovat ihmisen vanhoja kumppaneita. Nämä tieteet ilmestyivät, kun oli tarpeen laskea esineitä, mitata maata, jakaa saalista, seurata aikaa.

Aritmetiikka sai alkunsa muinaisen idän maista: Babylonista, Kiinasta, Intiasta, Egyptistä. Esimerkiksi egyptiläinen papyrus Rinda (nimetty omistajansa G. Rindan mukaan) on peräisin 1900-luvulta. eKr. Se sisältää muun tiedon ohella murto-osan laajennuksia murto-osien summaksi, jonka osoittaja on ykkönen, esimerkiksi:

Muinaisen idän maihin kertyneet matemaattisen tiedon aarteet kehittivät ja jatkoivat muinaisen Kreikan tiedemiehet. Monet aritmetiikkaan osallistuvien tiedemiesten nimet muinainen maailma, historia on säilyttänyt meille - Anaxagoras ja Zeno, Euklides (katso Eukleides ja hänen "alkunsa"), Archimedes, Eratosthenes ja Diophantus. Pythagoraan (VI vuosisata eKr.) nimi kimaltelee täällä kirkkaana tähtenä. Pythagoralaiset (Pythagoraan opetuslapset ja seuraajat) palvoivat numeroita uskoen, että ne sisälsivät kaiken maailman harmonian. Yksittäisille numeroille ja numeropareille määritettiin erityisiä ominaisuuksia. Numerot 7 ja 36 olivat suuressa arvossa, samalla kiinnitettiin huomiota niin sanottuihin täydellisiin numeroihin, ystävänumeroihin jne.

Keskiajalla aritmeettinen kehitys liittyy myös itään: Intiaan, arabimaailman maihin ja Keski-Aasiaan. Intiaanit tulivat meille käyttämämme numerot, nolla ja paikkalukujärjestelmä; al-Kashilta (XV vuosisata), joka työskenteli Samarkandin observatoriossa Ulugbek, - desimaalilukuja.

Kaupan kehityksen ja itämaisen kulttuurin vaikutuksen ansiosta XIII vuosisadalta lähtien. kasvava kiinnostus aritmetiikkaa kohtaan Euroopassa. On syytä muistaa italialaisen Pisan tiedemiehen Leonardon (Fibonacci) nimi, jonka teos "Abacuksen kirja" esitteli eurooppalaiset idän matematiikan pääsaavutuksiin ja oli monien aritmetiikan ja algebran tutkimusten alku.

Yhdessä painatuksen keksimisen kanssa (1400-luvun puolivälissä) ilmestyivät ensimmäiset painetut matemaattiset kirjat. Ensimmäinen painettu aritmetiikkakirja julkaistiin Italiassa vuonna 1478. Saksalaisen matemaatikon M. Stiefelin (1500-luvun alku) Complete Aithmetic sisältää jo negatiivisia lukuja ja jopa ajatuksen logaritmista.

Noin 1500-luvulla puhtaasti aritmeettisten kysymysten kehitys virtasi algebran valtavirtaan - merkittävänä virstanpylväänä voidaan mainita ranskalaisen tiedemiehen F. Vietan teosten ilmestyminen, joissa numerot on merkitty kirjaimilla. Siitä lähtien aritmeettiset perussäännöt on ymmärretty täysin algebran näkökulmasta.

Aritmetiikan perusobjekti on luku. Luonnolliset luvut, ts. luvut 1, 2, 3, 4, ... jne. syntyivät laskemalla tiettyjä kohteita. Kului vuosituhansia ennen kuin ihminen oppi, että kaksi fasaania, kaksi kättä, kaksi ihmistä jne. voidaan kutsua samalla sanalla "kaksi". Aritmetiikan tärkeä tehtävä on oppia ylittämään laskettujen esineiden nimien erityinen merkitys, ottamaan pois niiden muodosta, koosta, väristä jne. Fibonaccilla on jo tehtävä: ”Seitsemän vanhaa naista on lähdössä Roomaan. Jokaisessa on 7 muulia, jokaisessa muulissa on 7 pussia, jokaisessa pussissa on 7 leipää, jokaisessa limissä on 7 veistä, jokaisessa veitsessä on 7 tuppia. Kuinka monta? Ongelman ratkaisemiseksi sinun on koottava vanhoja naisia, muuleja, laukkuja ja leipää.

Numeron käsitteen kehitys - nolla- ja negatiivisten lukujen, tavallisten ja desimaalilukujen esiintyminen, numeroiden kirjoitustavat (numerot, symbolit, numerojärjestelmät) - kaikella tällä on rikas ja mielenkiintoinen historia.

”Lukutiede tarkoittaa kahta tiedettä: käytännöllistä ja teoreettista. Käytännön opiskelu numeroita sikäli kuin puhumme laskettavista luvuista. Tätä tiedettä käytetään markkina- ja siviiliasioissa. Teoreettinen lukutiede tutkii numeroita absoluuttisessa merkityksessä, mielen irrottamana kehosta ja kaikesta, mitä niissä voidaan laskea. al-Farabi

Aritmetiikassa luvut lasketaan yhteen, vähennetään, kerrotaan ja jaetaan. Taitoa suorittaa nämä operaatiot nopeasti ja tarkasti mille tahansa numerolle on pitkään pidetty aritmeettisen tärkeimpänä tehtävänä. Nyt teemme mielessämme tai paperilla vain yksinkertaisimpia laskelmia, uskoen yhä useammin monimutkaisempaa laskennallista työtä mikrolaskimille, jotka vähitellen korvaavat sellaiset laitteet kuin abacus, lisäyskone (katso Tietojenkäsittely), diasääntö. Kuitenkin kaikkien tietokoneiden - yksinkertaisen ja monimutkaisen - toiminta perustuu yksinkertaisimpaan operaatioon - luonnollisten lukujen yhteenlaskemiseen. Osoittautuu, että monimutkaisimmat laskelmat voidaan pelkistää yhteenlaskuksi, vain tämä toimenpide on suoritettava useita miljoonia kertoja. Mutta tässä tunkeudumme toiselle matematiikan alueelle, joka on peräisin aritmetiikasta - laskennallisesta matematiikasta.

Lukujen aritmeettisilla operaatioilla on useita ominaisuuksia. Nämä ominaisuudet voidaan kuvata sanoin, esimerkiksi: "Summa ei muutu termien paikkojen muutoksesta", voidaan kirjoittaa kirjaimilla:, voidaan ilmaista erikoistermeillä.

Esimerkiksi tätä yhteenlaskuominaisuutta kutsutaan kommutatiiviseksi tai kommutatiiviseksi laiksi. Käytämme aritmeettisia lakeja usein tottumuksesta, huomaamattamme sitä. Usein koululaiset kysyvät: "Miksi oppia kaikkia näitä siirtymä- ja yhdistelmälakeja, koska on niin selvää kuinka lukuja lasketaan yhteen ja kerrotaan?" 1800-luvulla matematiikka otti tärkeän askeleen - se alkoi systemaattisesti lisätä ja kertoa paitsi numeroita, myös vektoreita, funktioita, siirtymiä, lukutaulukoita, matriiseja ja paljon muuta ja jopa vain kirjaimia, symboleja välittämättä niiden erityisestä merkityksestä. Ja tässä kävi ilmi, että tärkeintä on se, mitä lakeja nämä toiminnot noudattavat. Mielivaltaisille objekteille (ei välttämättä numeroille) annettujen operaatioiden tutkiminen on jo algebran alaa, vaikka tämä tehtävä perustuukin aritmetiikkaan ja sen lakeihin.

Aritmetiikka sisältää monia sääntöjä tehtävien ratkaisemiseksi. Vanhoista kirjoista löytyy ongelmia "kolmiosäännölle", "suhteelliselle jaolle", "painomenetelmälle", "väärälle säännölle" jne. Suurin osa näistä säännöistä on nyt vanhentuneita, vaikka heidän avullaan ratkaistuja tehtäviä ei voida missään tapauksessa pitää vanhentuneina. Kuuluisa ongelma useilla putkilla täytettyyn uima-altaaseen on ainakin kaksituhatta vuotta vanha, eikä se ole vieläkään helppoa koululaisille. Mutta jos aikaisemmin tämän ongelman ratkaisemiseksi oli tarpeen tietää erityinen sääntö, niin nykyään jopa nuorempia opiskelijoita opetetaan ratkaisemaan tällainen ongelma syöttämällä halutun arvon kirjainmerkintä. Siten aritmeettiset tehtävät johtivat tarpeeseen ratkaista yhtälöitä, ja tämä on jälleen algebran tehtävä.

Aritmetiikan käyttöön ottamien tärkeiden käsitteiden joukossa tulee huomioida suhteet ja prosenttiosuudet. Suurin osa aritmeettisista käsitteistä ja menetelmistä perustuu lukujen erilaisten suhteiden vertailuun. Matematiikan historiassa aritmeettisen ja geometrian yhdistämisprosessi tapahtui vuosisatojen ajan.

Aritmetiikan "geometrisoituminen" voidaan jäljittää selvästi: monimutkaiset säännöt ja kaavoilla ilmaistut kuviot selkenevät, jos niitä voidaan esittää geometrisesti. Tärkeä rooli itse matematiikassa ja sen sovelluksissa on käänteisellä prosessilla - visuaalisen, geometrisen tiedon kääntämisellä numeroiden kielelle (katso Graafiset laskelmat). Tämä käännös perustuu ranskalaisen filosofin ja matemaatikon R. Descartesin näkemykseen tason pisteiden määrittelystä koordinaattien avulla. Tietysti tätä ajatusta oli käytetty jo ennen häntä esimerkiksi merenkulkuasioissa, kun oli tarpeen määrittää aluksen sijainti, sekä tähtitiedessä ja geodesiassa. Mutta juuri Descartesilta ja hänen oppilaisiltaan tulee koordinaattien kielen johdonmukainen käyttö matematiikassa. Ja meidän aikanamme monimutkaisia ​​prosesseja (esimerkiksi avaruusaluksen lentoa) hallittaessa he haluavat saada kaiken tiedon numeroiden muodossa, joita tietokone käsittelee. Tarvittaessa kone auttaa henkilöä kääntämään kertyneet numeeriset tiedot piirustuksen kielelle.

Näet, että aritmetiikasta puhuttaessa ylitämme aina sen rajat - algebraan, geometriaan ja muihin matematiikan aloihin.

Kuinka rajata itse aritmetiikkaa?

Missä mielessä tätä sanaa käytetään?

Sana "aritmetiikka" voidaan ymmärtää seuraavasti:

akateeminen aine, joka käsittelee ensisijaisesti rationaalilukuja (kokolukuja ja murtolukuja), niiden operaatioita ja näiden operaatioiden avulla ratkaistavia ongelmia;

osa historiallista matematiikan rakennusta, johon on kertynyt erilaisia ​​laskelmia koskevia tietoja;

"teoreettinen aritmetiikka" - osa nykyaikaista matematiikkaa, joka käsittelee erilaisten numeeristen järjestelmien rakentamista (luonnolliset, kokonaisluvut, rationaaliset, todelliset, kompleksiluvut ja niiden yleistykset);

"muodollinen aritmetiikka" - osa matemaattista logiikkaa (ks. Matemaattinen logiikka), joka käsittelee aritmeettisen aksiomaattisen teorian analyysiä;

"korkea aritmetiikka" tai lukuteoria, itsenäisesti kehittyvä matematiikan osa.

18

suosikkeihin suosikkeihin suosikeista 7

Toimituksellinen esipuhe: Yli 500 tuhannesta savitaulusta, jotka arkeologit löysivät muinaisen Mesopotamian kaivauksissa, noin 400 sisältää matemaattista tietoa. Suurin osa niistä on purettu, ja niiden avulla voidaan saada melko selkeä käsitys babylonialaisten tutkijoiden hämmästyttävistä algebrallisista ja geometrisista saavutuksista.

Matematiikan syntyajasta ja paikasta ollaan eri mieltä. Lukuisat tämän ongelman tutkijat uskovat sen luomisen eri kansoihin ja ajoittavat sen eri aikakausille. Muinaisilla kreikkalaisilla ei vielä ollut yhtä näkemystä tästä asiasta, joiden joukossa oli erityisen laajalle levinnyt versio, että egyptiläiset keksivät geometrian, ja foinikialaiset kauppiaat, jotka tarvitsivat tällaista tietoa kaupankäynnin laskelmiin ja aritmetiikkaan.

Herodotos elokuvassa "Historia" ja Strabo "Maantiedossa" asettivat etusijalle foinikialaiset. Platon ja Diogenes Laertius pitivät Egyptiä sekä aritmeettisen että geometrian synnyinpaikkana. Tämä on myös Aristoteles, joka uskoi matematiikan syntyneen paikallisten pappien vapaa-ajan läsnäolon vuoksi. Tämä huomautus seuraa sitä kohtaa, että jokaisessa sivilisaatiossa syntyvät ensin käytännön käsityöt, sitten huvitaiteet ja vasta sitten tietoon tähtäävät tieteet.

Aristoteleen oppilas Eudemos piti, kuten useimmat hänen edeltäjänsä, myös Egyptiä geometrian syntymäpaikkana, ja syynä sen ilmestymiseen olivat maanmittauksen käytännön tarpeet. Evdemin mukaan geometria käy läpi kehittymisensä kolme vaihetta: käytännön taitojen syntyminen maanmittauksessa, käytännöllisesti suuntautuneen soveltavan tieteenalan synty ja sen muuttuminen teoreettiseksi tieteeksi. Ilmeisesti Eudemuksen kaksi ensimmäistä vaihetta johtuivat Egyptistä ja kolmas - kreikkalaisesta matematiikasta. Totta, hän kuitenkin myönsi, että pinta-alojen laskentateoria syntyi Babyloniasta peräisin olevien toisen asteen yhtälöiden ratkaisusta.

Historioitsija Joseph Flaviuksella ("Muinainen Juudea", kirja 1, luku 8) on oma mielipiteensä. Vaikka hän kutsuu egyptiläisiä ensimmäisiksi, hän on varma, että juutalaisten esi-isä Abraham opetti heille aritmetiikkaa ja tähtitiedettä, joka pakeni Egyptiin Kanaanin maata kohdanneen nälänhädän aikana. No, Egyptin vaikutus Kreikassa oli tarpeeksi vahva pakottaakseen kreikkalaisiin samanlaisen mielipiteen, joka heidän kevyellä kädellänsä on edelleen liikkeellä historiallisessa kirjallisuudessa. Hyvin säilyneitä savitauluja, jotka on peitetty Mesopotamiassa ja jotka on vuodelta 2000 eaa. ja ennen vuotta 300 jKr, todistavat sekä hieman erilaisesta asioiden tilasta että siitä, millaista matematiikka oli muinaisessa Babylonissa. Se oli melko monimutkainen seos aritmetiikkaa, algebraa, geometriaa ja jopa trigonometrian alkeita.

Matematiikkaa opetettiin kirjurikouluissa, ja jokaisella valmistuneella oli siihen aikaan melko vakava tietomäärä. Ilmeisesti juuri tästä puhuu Ashurbanipal, Assyrian kuningas 7. vuosisadalla. eKr., jossa hän sanoi, että hän oli oppinut löytämään

"monimutkaiset käänteiset ja kertovat".

Elämä pakotti babylonialaiset turvautumaan laskelmiin. Aritmeettista ja yksinkertaista algebraa tarvittiin taloudenhoidossa, rahanvaihdossa ja tavaroiden selvittämisessä, yksinkertaisten ja korkokorkojen, verojen ja valtiolle, temppelille tai maanomistajalle luovutetun sadon osuuden laskemiseen. Matemaattisia laskelmia, ja melko monimutkaisia, vaadittiin suuriin arkkitehtuuriprojekteihin, kastelujärjestelmän rakentamiseen liittyviin insinööritöihin, ballistiikkaan, tähtitiedeen ja astrologiaan. Tärkeä matematiikan tehtävä oli määrittää maatalouden töiden ajoitus, uskonnolliset juhlapyhät ja muut kalenteritarpeet. Kuinka korkealla muinaisissa kaupunkivaltioissa Tigriksen ja Eufratin välissä oli saavutuksia siinä, mitä kreikkalaiset myöhemmin kutsuivat niin yllättävän tarkasti μαθημα ("tieto"), voimme arvioida Mesopotamian saven nuolenpääkirjoituksen tulkintaa. Muuten, kreikkalaisten keskuudessa termi μαθημα merkitsi aluksi neljän tieteen luetteloa: aritmetiikkaa, geometriaa, tähtitiedettä ja harmonisia, varsinaista matematiikkaa hän alkoi merkitä paljon myöhemmin.

Mesopotamiassa arkeologit ovat jo löytäneet ja löytävät edelleen nuolenpäätauluja, joissa on matemaattisia, osittain akkadin, osittain sumerinkielisiä tietoja, sekä matemaattisia viitetaulukoita. Jälkimmäinen helpotti suuresti päivittäin suoritettavia laskelmia, joten useat puretut tekstit sisältävät melko usein koronlaskennan. Mesopotamian aikaisemman, sumerilaisen ajanjakson aritmeettisten operaatioiden nimet on säilytetty. Joten yhteenlaskuoperaatiota kutsuttiin "kertymäksi" tai "lisäämiseksi", vähentämisessä käytettiin verbiä "vetää ulos" ja termi kertolasku tarkoitti "syö".

On mielenkiintoista, että Babylonissa käytettiin laajempaa kertotaulukkoa - 1:stä 180 000:een kuin se, joka meidän piti opetella koulussa, ts. lasketaan luvuista 1-100.

Muinaisessa Mesopotamiassa aritmeettisille operaatioille luotiin yhtenäiset säännöt paitsi kokonaisluvuilla, myös murtoluvuilla, sillä toimintataidolla babylonialaiset olivat huomattavasti parempia kuin egyptiläiset. Esimerkiksi Egyptissä murto-operaatiot pysyivät primitiivisinä pitkään, koska he tunsivat vain murto-osia (eli murto-osia, joiden osoittaja on 1). Mesopotamian sumerilaisten ajoista lähtien pääasiallinen laskentayksikkö kaikissa talousasioissa oli luku 60, vaikka tunnettiin myös desimaalilukujärjestelmä, jota akkadilaiset käyttivät. Babylonialaiset matemaatikot käyttivät laajalti seksagesimaalista paikkalaskentajärjestelmää (!). Sen pohjalta laadittiin erilaisia ​​laskentataulukoita. Kerto- ja käänteistaulukoiden lisäksi, joilla jako tehtiin, oli neliöjuuri- ja kuutiolukutaulukot.

Algebrallisten ja geometristen ongelmien ratkaisemiseen omistetut nuolenpäätekstit osoittavat, että babylonialaiset matemaatikot pystyivät ratkaisemaan joitakin erikoisongelmia, mukaan lukien jopa kymmenen yhtälöä, joissa on kymmenen tuntematonta, sekä tietyt kuutioyhtälöiden ja neljännen asteen yhtälöiden lajikkeet. Aluksi toisen asteen yhtälöt palvelivat pääasiassa puhtaasti käytännöllisiä tarkoituksia - pinta-alojen ja tilavuuksien mittaamista, mikä näkyi terminologiassa. Esimerkiksi kun ratkaistaan ​​yhtälöitä kahdella tuntemattomalla, toista kutsuttiin "pituudeksi" ja toista "leveydeksi". Tuntemattomien tuotetta kutsuttiin "alueeksi". Aivan kuten nyt! Kuutioyhtälöön johtavissa tehtävissä oli kolmas tuntematon suure - "syvyys", ja kolmen tuntemattoman tuloa kutsuttiin "tilavuudeksi". Myöhemmin, algebrallisen ajattelun kehittyessä, tuntemattomat alettiin ymmärtää abstraktimmin.

Joskus Babylonin algebrallisten suhteiden havainnollistamiseksi käytettiin geometrisia piirustuksia. Myöhemmin, muinaisessa Kreikassa, niistä tuli algebran pääelementti, kun taas ensisijaisesti algebrallisesti ajatteleville babylonialaisille piirustukset olivat vain selkeyden väline, ja termit "viiva" ja "alue" tarkoittivat useimmiten ulottumattomia lukuja. Siksi ongelmiin oli ratkaisuja, joissa "ala" lisättiin "sivulle" tai vähennettiin "tilavuudesta" jne.

Erityisen tärkeää muinaisina aikoina oli peltojen, puutarhojen, rakennusten tarkka mittaus - vuotuiset jokien tulvat toivat mukanaan suuren määrän lietettä, joka peitti peltoja ja tuhosi niiden väliset rajat, ja veden alenemisen jälkeen maanmittaajat, mm. omistajiensa järjestyksessä, joutuivat usein mittaamaan viljelyalat uudelleen. Nuolenkirjoitusarkistoon on säilynyt monia sellaisia ​​maanmittauskarttoja, jotka on laadittu yli 4 tuhatta vuotta sitten.

Aluksi mittayksiköt eivät olleet kovin tarkkoja, koska pituus mitattiin sormilla, kämmenillä, kyynärpäillä, jotka ovat erilaisia ​​eri ihmisillä. Tilanne oli parempi suurilla määrillä, joiden mittaamiseen käytettiin ruokoa ja tietynkokoista köyttä. Mutta tässäkin mittaustulokset erosivat usein toisistaan ​​riippuen siitä, kuka mittasi ja missä. Siksi Babylonian eri kaupungeissa otettiin käyttöön erilaisia ​​pituusmittoja. Esimerkiksi Lagashin kaupungissa "kyynärä" oli 400 mm ja itse Nippurissa ja Babylonissa - 518 mm.

Monet säilyneet nuolenkirjoitusmateriaalit olivat babylonialaisten koululaisten oppikirjoja, jotka tarjosivat ratkaisuja erilaisiin yksinkertaisiin ongelmiin, joita käytännön elämässä usein kohdattiin. Ei kuitenkaan ole selvää, ratkoiko opiskelija ne mielessään vai teki alustavia laskelmia oksalla maassa - tauluihin on kirjoitettu vain matemaattisten tehtävien ehdot ja niiden ratkaisu.

Suurin osa koulun matematiikan kurssista oli aritmeettisten, algebrallisten ja geometristen tehtävien ratkaisemista, joiden muotoilussa oli tapana toimia tiettyjen esineiden, alueiden ja tilavuuksien kanssa. Yhdessä nuolenpäätaulussa oli säilynyt seuraava ongelma: "Kuinka monessa päivässä voidaan valmistaa tietynpituinen kangaspala, jos tiedämme, että tästä kankaasta tehdään päivittäin niin monta kyynärää (pituusmitta)?" Toisessa näkyy rakennustöihin liittyviä tehtäviä. Esimerkiksi "Kuinka paljon maata tarvitaan penkereen, jonka mitat ovat tiedossa, ja kuinka paljon maata jokaisen työntekijän on siirrettävä, jos heidän kokonaismääränsä tiedetään?" tai "Kuinka paljon savea jokaisen työntekijän tulee valmistautua rakentamaan tietyn kokoinen muuri?"

Opiskelijan piti myös osata laskea kertoimia, laskea summia, ratkaista kulmien mittaustehtäviä, laskea suoraviivaisten kuvioiden pinta-aloja ja tilavuuksia - tämä oli perusgeometrian yleinen joukko.

Sumerien ajoilta säilyneet geometristen hahmojen nimet ovat mielenkiintoisia. Kolmiota kutsuttiin "kiilaksi", puolisuunnikkaan - "härän otsaksi", ympyrä - "vanne", kapasiteetti nimettiin termillä "vesi", tilavuus - "maa, hiekka", alue ns. "ala".

Yksi nuolenkirjoitusteksteistä sisältää 16 ongelmaa ja ratkaisuja, jotka liittyvät patoon, valleihin, kaivoihin, vesikelloihin ja maanrakennustöihin. Yhdessä tehtävässä on piirustus, joka liittyy pyöreään akseliin, toinen käsittelee katkaistua kartiota, joka määrittää sen tilavuuden kertomalla korkeus puolella ylemmän ja alemman alustan pinta-alojen summasta. Babylonialaiset matemaatikot ratkaisivat myös planimetrisiä ongelmia käyttämällä suorakulmaisten kolmioiden ominaisuuksia, jotka Pythagoras muotoili myöhemmin lauseen muodossa hypotenuusan neliön ja jalkojen neliöiden summan välisen suorakulmaisen kolmion tasa-arvosta. Toisin sanoen kuuluisa Pythagoraan lause oli babylonialaisten tiedossa ainakin tuhat vuotta ennen Pythagorasta.

Planimetristen tehtävien lisäksi he ratkaisivat stereometrisiä ongelmia, jotka liittyivät erilaisten tilojen, kappaleiden tilavuuden määrittämiseen, ja harjoittelivat laajasti peltojen, alueiden, yksittäisten rakennusten piirustussuunnitelmia, mutta yleensä ei mittakaavassa.

Matematiikan merkittävin saavutus oli sen tosiasian havaitseminen, että neliön diagonaalin ja sivun suhdetta ei voida ilmaista kokonaislukuna tai yksinkertaisena murtolukuna. Näin irrationaalisuuden käsite otettiin käyttöön matematiikassa.

Uskotaan, että Pythagoralle kuuluu yksi tärkeimmistä irrationaalisista luvuista - numero π, joka ilmaisee ympyrän kehän suhdetta sen halkaisijaan ja on yhtä suuri kuin ääretön murtoluku = 3,14 .... Toisen version mukaan Arkhimedes ehdotti numerolle π arvoa 3,14 ensimmäisen kerran 300 vuotta myöhemmin, 3. vuosisadalla eKr. eKr. Toisen mukaan Omar Khayyam laski sen ensimmäisenä, tämä on yleensä 11-12 vuosisataa. On vain varmaa tietoa, että kreikkalainen kirjain π merkitsi tätä suhdetta ensimmäisen kerran vuonna 1706 englantilaisen matemaatikko William Jonesin toimesta, ja vasta sen jälkeen, kun sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler lainasi tämän nimityksen vuonna 1737, siitä tuli yleisesti hyväksytty.

Luku π on vanhin matemaattinen arvoitus, tämä löytö tulisi etsiä myös muinaisesta Mesopotamiasta. Babylonialaiset matemaatikot tiesivät hyvin tärkeimmät irrationaaliset luvut, ja ratkaisu ympyrän pinta-alan laskentaongelmaan löytyy myös matemaattisen sisällön nuolenkielisten savitaulujen dekoodauksesta. Näiden tietojen mukaan π:ksi otettiin 3, mikä kuitenkin oli varsin riittävä käytännön maanmittaustarkoituksiin. Tutkijat uskovat, että seksagesimaalijärjestelmä valittiin muinaisessa Babylonissa metrologisista syistä: numerolla 60 on monia jakajia. Kokonaislukujen heksadesimaalimerkintä ei yleistynyt Mesopotamian ulkopuolella, vaan Euroopassa vasta 1600-luvulla. sekä seksagesimaalilukuja että tavallista ympyrän jakoa 360 asteeseen käytettiin laajalti. Myös tunnit ja minuutit, jaettuna 60 osaan, ovat peräisin Babylonista. Babylonilaisten nerokas idea käyttää mahdollisimman vähän digitaalisia merkkejä numeroiden kirjoittamiseen on merkittävä. Esimerkiksi roomalaiset eivät edes ajatelleet, että sama numero voi tarkoittaa eri määriä! Tätä varten he käyttivät aakkosten kirjaimia. Tämän seurauksena nelinumeroinen luku, esimerkiksi 2737, sisälsi peräti yksitoista kirjainta: MMDCCXXXVII. Ja vaikka meidän aikanamme on äärimatemaatikoita, jotka pystyvät jakamaan LXXVIII:n sarakkeeksi luvulla CLXVI tai kertomaan CLIX:n LXXIV:llä, voi vain olla sääli niitä Ikuisen kaupungin asukkaita kohtaan, jotka joutuivat suorittamaan monimutkaisia ​​kalenteri- ja tähtitieteellisiä laskelmia tällaisten matemaattisten tasapainotustoimien tai laskettujen suurien arkkitehtonisten projektien ja erilaisten teknisten kohteiden avulla.

Kreikkalainen numerojärjestelmä perustui myös aakkosten kirjainten käyttöön. Aluksi ullakkojärjestelmä otettiin käyttöön Kreikassa, jossa käytettiin pystysuoraa viivaa osoittamaan yksikköä ja numeroille 5, 10, 100, 1000, 10 000 (olennaisesti se oli desimaalijärjestelmä) - niiden kreikkalaisten nimien alkukirjaimet. . Myöhemmin, noin 3. vuosisadalla. eKr., Ioninen numerojärjestelmä tuli laajalle levinneeksi, jossa 24 kreikkalaisen aakkoston kirjainta ja kolme arkaaista kirjainta käytettiin osoittamaan numeroita. Ja erottaakseen numerot sanoista kreikkalaiset asettivat vaakaviivan vastaavan kirjaimen päälle.

Tässä mielessä Babylonian matemaattinen tiede oli myöhemmän kreikkalaisen tai roomalaisen yläpuolella, koska juuri hän omistaa yhden merkittävimmistä saavutuksista numeromerkintäjärjestelmien kehittämisessä - paikannusperiaatteen, jonka mukaan sama numeerinen merkki (symboli) sillä on erilaisia ​​merkityksiä riippuen siitä, missä se sijaitsee.

Muuten, egyptiläinen numerojärjestelmä oli huonompi kuin Babylonian ja nykyaikainen egyptiläinen numerojärjestelmä. Egyptiläiset käyttivät ei-paikannusta desimaalijärjestelmää, jossa numerot 1 - 9 merkittiin vastaavalla määrällä pystysuoraa viivaa, ja yksittäiset hieroglyfisymbolit otettiin käyttöön 10:n peräkkäisille potenssille. Pienille luvuille Babylonin numerojärjestelmä muistutti yleisesti egyptiläistä. Yksi pystysuora kiilamainen viiva (varhaisissa sumerilaisissa tauluissa - pieni puoliympyrä) tarkoitti yksikköä; toistettiin tarvittava määrä kertoja, tämä merkki käytti alle kymmenen numeroiden kirjoittamiseen; osoittamaan numeroa 10, babylonialaiset, kuten egyptiläiset, ottivat käyttöön uuden symbolin - leveän kiilanmuotoisen merkin, jonka kärki on suunnattu vasemmalle ja joka muistuttaa muodoltaan kulmakiinnikettä (varhaisissa sumerilaisissa teksteissä - pieni ympyrä). Tämä merkki toistettiin sopiva määrä kertoja, ja se edusti numeroita 20, 30, 40 ja 50.

Useimmat nykyajan historioitsijat uskovat, että muinainen tieteellinen tieto oli luonteeltaan puhtaasti empiiristä. Mitä tulee havaintoihin perustuviin fysiikan, kemian, luonnonfilosofian, se näyttää olevan totta. Mutta käsitys aistikokemuksesta tiedon lähteenä on ratkaisemattoman kysymyksen edessä, kun on kyse sellaisesta abstraktista tieteestä kuin symboleilla toimiva matematiikka.

Erityisen merkittäviä olivat Babylonian matemaattisen tähtitieteen saavutukset. Mutta nostiko äkillinen harppaus Mesopotamian matemaatikot utilitaristisen käytännön tasolta laajaan tietoon, joka antoi heille mahdollisuuden soveltaa matemaattisia menetelmiä ennustaakseen Auringon, Kuun ja planeettojen paikkoja, pimennyksiä ja muita taivaanilmiöitä, vai etenikö kehitys asteittain, emme valitettavasti tiedä.

Matemaattisen tiedon historia yleensä näyttää oudolta. Tiedämme, kuinka esi-isämme oppivat laskemaan sormillaan ja varpaillaan tehden primitiivisiä numeerisia tietueita kepissä olevien lovien, köyden solmujen tai riviin aseteltujen kivien muodossa. Ja sitten - ilman mitään siirtymäkohtaa - yhtäkkiä tietoa babylonialaisten, egyptiläisten, kiinalaisten, hindujen ja muiden muinaisten tiedemiesten matemaattisista saavutuksista, niin vankkaa, että heidän matemaattiset menetelmänsä kestivät ajan kokeen äskettäin päättyneen II vuosituhannen puoliväliin asti, ts. yli kolme tuhatta vuotta...

Mitä näiden linkkien välissä on? Miksi muinaiset viisaat kunnioittivat matematiikkaa käytännön merkityksen lisäksi pyhänä tiedona ja antoivat jumalien nimiä numeroille ja geometrisille hahmoille? Onko tämän takana vain kunnioittava asenne Tietoa kohtaan sellaisenaan?

Ehkä tulee aika, jolloin arkeologit löytävät vastaukset näihin kysymyksiin. Sillä välin älkäämme unohtako mitä oxfordilainen Thomas Bradwardine sanoi 700 vuotta sitten:

"Sen, jolla on häpeämätöntä kieltää matematiikka, olisi pitänyt tietää alusta alkaen, ettei hän koskaan astuisi viisauden porteista."

Lähetä hyvä työsi tietokanta on yksinkertainen. Käytä alla olevaa lomaketta

Opiskelijat, jatko-opiskelijat, nuoret tutkijat, jotka käyttävät tietopohjaa opinnoissaan ja työssään, ovat sinulle erittäin kiitollisia.

Lähetetty http://www.allbest.ru/

Johdanto

1. Matematiikan alku primitiivisessä yhteiskunnassa

2. Matematiikan alkuperä muinaisessa idässä

2.1 Egypti

2.2 Babylon

Johtopäätös

Bibliografia

Johdanto

Matematiikka (kreikaksi - tieto, tiede) - tiede reaalimaailman määrällisistä suhteista ja tilamuodoista.

Selkeä ymmärrys matematiikan itsenäisestä asemasta erityistieteenä, jolla on oma aihe ja menetelmä, tuli mahdolliseksi vasta riittävän suuren asiaaineiston kertymisen jälkeen ja syntyi ensimmäisen kerran Dr. Kreikka 6-5-luvuilla. eKr. Matematiikan kehitys tähän asti liittyy luonnollisesti matemaatikoiden syntyvaiheeseen ja 6-5-luvuille. eKr. päivättävä perusmatematiikan ajanjakson alku, joka kesti 1500-luvulle asti. Näillä kahdella ensimmäisellä jaksolla matemaattinen tutkimus käsittelee pääasiassa hyvin rajallista peruskäsitteiden kantaa, jotka ovat syntyneet jo hyvin varhaisessa historiallisen kehityksen vaiheessa talouselämän yksinkertaisimpien vaatimusten yhteydessä, rajoittuen esineiden laskemiseen, tuotteiden määrän mittaamiseen, pinta-aloihin. maasta, arkkitehtonisten rakenteiden yksittäisten osien koon määrittäminen, ajan mittaus, kaupalliset laskelmat, navigointi jne. Ensimmäiset mekaniikan ja fysiikan ongelmat, lukuun ottamatta Arkhimedesen (3. vuosisadalla eKr.) yksittäisiä tutkimuksia, jotka jo edellyttivät infinitesimaalilaskennan alkua, saattoivat silti tyytyä samaan matemaattisten peruskäsitteiden joukkoon. Ainoa tiede, joka kauan ennen luonnonilmiöiden matemaattisen tutkimuksen laajaa kehitystä 17-18-luvuilla. esitti systemaattisesti sen erityiset ja erittäin korkeat vaatimukset matematiikalle, oli tähtitiedettä, joka määritti täysin mm. varhainen kehitys trigonometria.

1600-luvulla luonnontieteen ja tekniikan uudet vaatimukset pakottavat matemaatikot keskittymään sellaisten menetelmien luomiseen, joiden avulla he voivat matemaattisesti tutkia liikettä, suureiden muutosprosesseja, geometristen muotojen muuntumista (suunnittelun aikana jne.). Muuttujien käytöllä R. Descartesin analyyttisessä geometriassa ja differentiaali- ja integraalilaskennan luomisella alkaa muuttujien matematiikan kausi.

Matematiikan tutkimien määrällisten suhteiden ja tilamuotojen kirjoa laajennettiin edelleen 1800-luvun alussa. tarve käsitellä matemaattisen tutkimuksen aiheen laajentamisprosessia tietoisesti, asettaen itsellemme järjestelmällisen tutkimuksen tehtäväksi riittävästi yhteinen kohta näkemys mahdollisista määrällisistä suhteista ja tilamuodoista. N.I.:n luominen. Lobatševski hänen "kuvitteellisesta geometriasta", joka myöhemmin sai melko todellisia sovelluksia, oli ensimmäinen merkittävä askel tähän suuntaan. Tällaisen tutkimuksen kehittyminen toi matematiikan rakenteeseen niin tärkeitä piirteitä kuin matematiikka 1800- ja 1900-luvuilla. johtuu luonnollisesti modernin matematiikan erityiskaudesta.

1. Matematiikan alku primitiivisessä yhteiskunnassa

Alkukäsityksemme lukumäärästä ja muodosta kuuluvat hyvin kaukaiseen muinaisen kivikauden aikakauteen - paleoliittiseen aikaan. Tämän ajanjakson satoja tuhansia vuosia ihmiset asuivat luolissa olosuhteissa, jotka eivät juurikaan poikkea eläinten elämästä, ja heidän energiansa käytettiin pääasiassa ruoan hankkimiseen yksinkertaisimmalla tavalla - keräämällä sitä aina, kun se oli mahdollista. Ihmiset valmistivat työkaluja metsästykseen ja kalastukseen, kehittivät kielen kommunikointiin toistensa kanssa, ja myöhäispaleoliittikaudella he sisustivat olemassaoloaan luomalla taideteoksia, hahmoja ja piirustuksia. Ehkä Ranskan ja Espanjan luolissa (noin 15 tuhatta vuotta sitten) olevilla piirroksilla oli rituaalinen merkitys, mutta epäilemättä niistä löytyy upea muodon tunne.

Ennen kuin tapahtui siirtymä yksinkertaisesta ruoan keräämisestä sen aktiiviseen tuotantoon, metsästyksestä ja kalastuksesta maatalouteen, ihmiset eivät juurikaan edistyneet numeeristen arvojen ja tilasuhteiden ymmärtämisessä. Vasta tämän perustavanlaatuisen muutoksen, vallankumouksen, alkaessa, kun ihmisen passiivinen asenne luontoon korvattiin aktiivisella, astumme uuteen kivikauteen, neoliittiseen aikaan.

Tämä suuri tapahtuma ihmiskunnan historiassa tapahtui noin kymmenentuhatta vuotta sitten, kun jäätikkö Euroopassa ja Aasiassa alkoi sulaa ja väistää metsiä ja aavikoita. Paimentolaiset vaeltavat ruokaa etsimään loppuivat vähitellen. Alkukantaiset maanviljelijät pakottivat kalastajat ja metsästäjät yhä enemmän pois. Tällaiset viljelijät, jotka pysyivät yhdessä paikassa maaperän hedelmällisenä, rakensivat asuntoja, jotka oli suunniteltu enemmän pitkällä aikavälillä. Kyliä alkoi syntyä suojellakseen niitä huonolta säältä ja saalistusvihollisilta. Useita tällaisia ​​neoliittisia asutuksia on kaivettu. Heidän jäännöksensä osoittavat, kuinka sellaiset yksinkertaiset käsityöt kuin keramiikka, kudonta ja puusepäntyöt kehittyivät vähitellen. Siellä oli aittoja, jotta asukkaat voisivat ylijäämää tuottamalla varastoida ruokaa talveksi ja sadon epäonnistumisen varalta. Leipää leivottiin, olutta haudutettiin ja kuparia ja pronssia sulatettiin ja käsiteltiin myöhäisneoliittissa. Löytöjä tehtiin, savenvalajan ja kärryn pyörää keksittiin, veneitä ja asuntoja parannettiin. Kaikki nämä merkittävät innovaatiot syntyivät vain yhden alueen sisällä, eivätkä ne aina levinneet sen ulkopuolelle. Esimerkiksi Amerikan intiaanit saivat tietää kärrypyörän olemassaolosta vasta valkoisten saapumisen jälkeen. Teknologisen kehityksen vauhti on kuitenkin kiihtynyt valtavasti muinaiseen kivikauteen verrattuna.

Kylät kävivät keskenään merkittävää kauppaa, joka kehittyi niin paljon, että on mahdollista jäljittää kauppasuhteiden olemassaolo satojen kilometrien päässä toisistaan. Tätä kaupallista toimintaa kannusti voimakkaasti kuparin ja pronssin sulatustekniikan löytäminen ja ensin kupari- ja sitten pronssityökalujen ja aseiden valmistus. Tämä puolestaan ​​​​edisti kielten muodostumista edelleen. Näiden kielten sanat ilmaisivat hyvin konkreettisia asioita ja hyvin vähän abstrakteja käsitteitä, mutta kielillä oli jo tietty sanasto yksinkertaisille numeerisille termeille ja joillekin tilakuville. Monet heimot Australiassa, Amerikassa ja Afrikassa olivat tällä tasolla, kun he tapasivat ensimmäisen kerran valkoisia ihmisiä, ja jotkut heimot elävät edelleen tällaisissa olosuhteissa, joten on mahdollista tutkia heidän tapojaan ja tapojaan ilmaista ajatuksia.

Numeeriset termit, jotka ilmaisevat joitain "abstrakteimpia käsitteitä, joita ihmismieli voi luoda", kuten Adam Smith D.Ya. Stroyk sanoi. Lyhyt essee matematiikan historia - M, 1984 .- S.23. , tuli hitaasti käyttöön. Ensimmäistä kertaa ne esiintyvät pikemminkin kvalitatiivisina kuin kvantitatiivisina termeinä, jotka ilmaisevat eron vain yhden (tai pikemminkin "jotkut" - "jotkut" eikä "yksi henkilö") ja kahden ja monien välillä. Numeeristen käsitteiden ikivanha kvalitatiivinen alkuperä paljastuu edelleen niissä erityisissä binääritermeissä, joita esiintyy joissakin kielissä, kuten esimerkiksi kreikassa ja keltissä. Lukukäsitteen laajenemisen myötä suuret luvut muodostuivat ensin lisäämällä: 3 lisäämällä 2 ja 1, 4 lisäämällä 2 ja 2, 5 lisäämällä 2 ja 3.

Tässä on esimerkkejä joidenkin australialaisten heimojen laskemisesta:

Murray River Tribe: 1 = enea, 2 = petcheval, 3 = petcheval-enea, 4 = petcheval-petcheval.

Kamilaroi: 1 = pieni, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-bulan, 5 = bulan-guliba, 6 = guliba-guliba.

Käsityön ja kaupan kehitys myötävaikutti numerokäsitteen kiteytymiseen. Numerot ryhmiteltiin ja yhdistettiin suuremmiksi yksiköiksi, yleensä yhden käden tai molempien käsien sormilla, mikä on yleinen tekniikka kaupankäynnissä. Tämä johti laskemiseen ensin viiteen kantaan, sitten kymmeneen kantaan, joka saatiin päätökseen lisäämällä ja joskus vähentämällä, niin että kaksitoista koettiin 10 + 2:na ja yhdeksän 10 - I2). Joskus 20 otettiin perustaksi - sormien ja varpaiden lukumäärä. Ealesin tutkimista 307 primitiivisestä amerikkalaisesta kansasta 146 oli desimaaleja, 106 viiden ja viiden desimaalin tarkkuutta ja loput kaksikymmentäviisi kaksikymmentä. Tyypillisimmissä muodossaan kahdenkymmenen perusjärjestelmä oli olemassa Mayojen keskuudessa Meksikossa ja kelttien keskuudessa Euroopassa. Numeeriset merkinnät tehtiin nippujen, tikkujen lovien, köysien solmujen, kivien tai simpukien avulla, jotka oli pinottu viisipinoihin, tekniikoilla, jotka olivat hyvin samankaltaisia ​​kuin muinaisina majatalon omistaja, joka käytti tunnisteita. Tällaisista temppuista siirtyminen erikoismerkkeihin 5, 10, 20 jne. piti ottaa vain yksi askel, ja juuri tällaisia ​​symboleja löydämme käytössämme tallennetun historian alussa, niin sanotussa sivilisaation kynnyksellä.

Vanhin esimerkki tunnisteiden käytöstä juontaa juurensa paleoliittiselta aikakaudelta. Tämä on nuoren suden säde, joka löydettiin vuonna 1937 Vestonicesta (Määri), ja se on noin 17 senttimetriä pitkä ja siinä on 55 syvää lovea. Ensimmäiset 25 lovea sijoitetaan viiden ryhmiin, jota seuraa kaksinkertainen lovi, joka päättää tämän rivin, ja sitten uusi lovirivi alkaa uudella kaksinkertaisella pituudella. Joten on selvää, että vanha väite, jonka löydämme Jacob Grimmilta ja jota toistettiin usein, että laskeminen syntyi sormilla laskemisena, on väärä. Sormilaskenta, eli laskeminen kantapäällä ja kymmenillä, syntyi vasta tietyssä vaiheessa yhteisökehitys. Mutta koska tämä tuli, tuli mahdolliseksi ilmaista numeroita numerojärjestelmässä, mikä mahdollisti suurten lukujen muodostamisen. Joten syntyi primitiivinen aritmetiikka. Neljätoista ilmaistiin 10 + 4, joskus 15--1. Kertominen sai alkunsa, kun 20 ei ilmaistu luvulla 10 + 10, vaan 2 x 10. Samanlaisia ​​binäärioperaatioita suoritettiin vuosituhansia, mikä edusti yhteenlaskua ja kertolaskua, erityisesti Egyptissä ja esiarjalaisessa Mohenjo-Daron kulttuurissa. Indus. Jako alkoi siitä, että 10 alettiin ilmaista "puoleksi kehosta", vaikka murto-osien tietoinen käyttö jäi erittäin harvinaiseksi. Esimerkiksi pohjoisamerikkalaisten heimojen keskuudessa tunnetaan vain muutamia fraktioiden käyttötapauksia, ja melkein aina se on vain murto-osa, vaikka joskus

On kummallista, että heidät veivät pois erittäin suuret joukot, mikä johtui kenties yleisestä halusta liioitella karjojen tai tapettujen vihollisten määrää; Tämän puolueellisuuden jälkiä on nähtävissä Raamatussa ja muissa uskonnollisissa kirjoissa.

Oli myös tarpeen mitata esineiden pituus ja kapasiteetti. Mittayksiköt olivat karkeita ja usein perustuivat ihmiskehon kokoon. Meitä muistuttavat tästä sellaiset yksiköt kuin sormi, jalka (eli jalka), kyynärpää. Kun alettiin rakentaa taloja, kuten Intian maanviljelijöiden tai Keski-Euroopan pinottujen rakennusten asukkaiden taloja, alettiin laatia sääntöjä, kuinka rakentaa suoria linjoja ja suorassa kulmassa. Englanninkielinen sana"suora" (suora) liittyy verbiin "venytellä" (venytellä), joka osoittaa köyden käyttöä). Englanninkielinen sana "line" (linja) on sukua sanalle "pellava" (kangas), joka osoittaa yhteyttä kudontatyön ja geometrian syntymän välillä. Tämä oli yksi tavoista, joilla matemaattisten kiinnostusten kehittyminen eteni.

Neoliittisella ihmisellä oli myös innokas geometrisen muodon taju. Saviastioiden poltto ja värjäys, ruokomattojen, korien ja kankaiden valmistus ja myöhemmin metallintyöstö kehittivät ajatuksen taso- ja tilasuhteista.

Myös tanssihahmoilla oli osansa. Neoliittiset koristeet miellyttivät silmää, paljastaen hahmojen tasa-arvoisuuden, symmetrian ja samankaltaisuuden. Näissä kuvissa voi esiintyä myös numeerisia suhteita, kuten joissakin esihistoriallisissa kolmiomaisia ​​numeroita kuvaavissa koristeissa; muista koristeista löydämme "pyhiä" numeroita. Tällaiset koristeet säilyivät käytössä historiallisina aikoina. Näemme hienoja esimerkkejä dipylonmaljakoista Minolaisen ja varhaisen Kreikan ajalta, myöhemmin bysanttilaisista ja arabialaisista mosaiikeista, persialaisista ja kiinalaisista matoista. Alun perin varhaisilla koristeilla saattoi olla uskonnollinen tai maaginen merkitys, mutta niiden esteettinen tarkoitus tuli vähitellen hallitsevaksi.

Kivikauden uskonnossa saamme kiinni ensimmäisistä yrityksistä päästä käsiksi luonnonvoimiin. Uskonnolliset riitit olivat täysin taikuuden läpäisemiä, maaginen elementti oli osa silloin olemassa olevia numeerisia ja geometrisia esityksiä, jotka ilmenivät myös kuvanveistossa, musiikissa ja piirtämisessä.

Siellä oli maagisia numeroita, kuten 3, 4, 7, ja maagisia hahmoja, kuten viisisakarainen tähti ja hakaristi; Jotkut kirjoittajat jopa uskovat, että tämä matematiikan puoli oli ratkaiseva tekijä kehityksessä1), mutta vaikka matematiikan yhteiskunnalliset juuret nykyaikana ovat saattaneet olla vähemmän havaittavissa, ne ovat melko ilmeisiä ihmiskunnan historian alkuvaiheessa. Nykyaikainen "numerologia" on jäännös maagisista riiteistä, jotka juontavat juurensa neoliittiseen ja ehkä jopa paleoliittiseen aikakauteen.

Jopa takapajuisimpien heimojen joukosta löydämme jonkin verran aikaa ja siten myös tietoa auringon, kuun ja tähtien liikkeistä. Tämänkaltaiset tiedot saivat ensin tieteellisemmän luonteen, kun maatalous ja kauppa alkoivat kehittyä. Kuukalenterin käyttö juontaa juurensa hyvin muinaiseen aikakauteen ihmiskunnan historiassa, sillä kasvien kasvun kulun muutos liittyi kuun vaiheisiin. Alkukantaiset ihmiset kiinnittivät huomiota sekä päivänseisaukseen että Plejadien nousuun iltahämärässä. Vanhimmat sivistyneet kansat pitivät tähtitieteellistä tietoa olemassaolonsa kaukaisimmasta esihistoriallisesta ajanjaksosta. Muut primitiiviset kansat käyttivät tähtikuvioita maamerkeinä purjehtiessaan. Tämä tähtitiede antoi jonkin verran tietoa pallon, ympyröiden ja kulmien ominaisuuksista.

Tämä lyhyt tieto matematiikan aikakaudelta primitiivinen yhteiskunta osoittavat, että tiede ei kehityksessään välttämättä käy läpi kaikkia vaiheita, jotka nyt muodostavat sen opetuksen. Vasta äskettäin tiedemiehet ovat kiinnittäneet riittävästi huomiota joihinkin ihmiskunnan vanhimpiin tuntemiin geometrisiin muotoihin, kuten solmuihin tai koristeisiin. Toisaalta jotkin matematiikan alkeellisimmista haaroista, kuten grafiikka tai alkeisstatiikka, ovat suhteellisen tuoretta alkuperää. A. Speiser huomautti tietyllä kaustisella tavalla: "Alkeismatematiikan myöhäisestä alkuperästä todistaa ainakin se tosiasia, että se on selvästi taipuvainen olemaan tylsää, ominaisuus, joka ilmeisesti kuuluu siihen, kun taas luova matemaatikko haluaa aina mieluummin käsitellä mielenkiintoisten ja kauniiden ongelmien kanssa” Kolmogorov A.N. Matematiikka // Suuri venäläinen tietosanakirja / Toim. B.A. Vvedensky.- M, 1998.- S.447. .

2. Matematiikan alkuperä muinaisessa idässä

2.1 Egypti

Esineiden laskeminen kulttuurin varhaisimmissa kehitysvaiheissa johti luonnollisten lukujen aritmeettisten yksinkertaisimpien käsitteiden luomiseen. Ainoastaan ​​kehitetyn suullisen numeroinnin pohjalta syntyy kirjallisia numerojärjestelmiä, jotka vähitellen kehittävät menetelmiä neljän aritmeettisen laskutoimituksen suorittamiseksi luonnollisille luvuille (joista vain jako aiheutti suuria vaikeuksia pitkään). Mittaustarpeet (jyvän määrä, tien pituus jne.) johtavat yksinkertaisimpien murtolukujen nimien ja symbolien ilmestymiseen sekä menetelmien kehittämiseen murtolukujen aritmeettisten operaatioiden suorittamiseksi. Tällä tavalla kerättiin materiaalia, joka vähitellen muodostui vanhimmaksi matemaattiseksi tieteeksi - aritmetiikkaksi. Pinta-alojen ja tilavuuksien mittaaminen, rakennustekniikan tarpeet ja hieman myöhemmin tähtitiede aiheuttavat geometrian alkeiden kehittymistä. Nämä prosessit etenivät monien kansojen keskuudessa pitkälti itsenäisesti ja rinnakkain. Tieteen jatkokehityksen kannalta erityisen tärkeä oli aritmeettisen ja geometrisen tiedon kertyminen Dr. Egypti ja Babylon. Babylonissa kehittyneen aritmeettisen laskennan tekniikan pohjalta ilmestyivät myös algebran alkeet ja tähtitieteen vaatimusten yhteydessä trigonometrian alkeet.

Vanhimmat säilyneet matemaattiset tekstit Dr. Egypti, joka liittyy 2. vuosituhannen alkuun eKr. e. koostuvat pääasiassa yksittäisten ongelmien ratkaisuesimerkeistä ja parhaimmillaan niiden ratkaisuresepteistä, jotka joskus voidaan ymmärtää vain analysoimalla teksteissä annettuja numeerisia esimerkkejä; näitä päätöksiä seuraa usein vastauksen tarkistus. Meidän pitäisi puhua resepteistä tietyntyyppisten ongelmien ratkaisemiseksi, koska matemaattista teoriaa toisiinsa liittyvien ja yleisesti ottaen tavalla tai toisella todistettujen yleisten lauseiden järjestelmän merkityksessä ei ilmeisesti ollut olemassa ollenkaan. Tästä on osoituksena esimerkiksi se, että käytettiin täsmällisiä ratkaisuja ilman eroa likimääräisistä. Siitä huolimatta vakiintuneiden matemaattisten tosiasioiden määrä oli korkean rakennustekniikan mukaisesti varsin suuri maasuhteiden monimutkaisuus, tarkan kalenterin tarve jne. Papyruksen mukaan 1. kerros. 2. vuosituhat eKr Egyptin matematiikan tilaa tuohon aikaan voidaan luonnehtia seuraavilla termeillä. Esimerkistä selviää, että on voitettu vaikeudet operaatioissa kokonaislukujen kanssa, jotka perustuvat ei-sijaintiin desimaalilukujärjestelmään.

Egyptiläiset loivat erikoisen ja melko monimutkaisen laitteen murto-osien käsittelyyn, mikä vaati erityisiä aputaulukoita. Päärooli tässä oli kokonaislukujen tuplaus- ja jakamisoperaatioilla sekä murtolukujen esittämisellä ykkösen murto-osien ja lisäksi murto-osien 2/3 summina. Kaksinkertaistuminen ja kaksinkertaistuminen, erityinen toiminta, useiden väliyhteyksien kautta saavutti keskiajan Eurooppaan. Ongelmia etsittiin järjestelmällisesti tuntemattomia numeroita, joka nyt kirjoitettaisiin yhtälönä yhteen tuntemattomaan. Geometria rajoittui pinta-alojen ja tilavuuksien laskennan sääntöihin. Kolmion ja puolisuunnikkaan pinta-alat, suuntaissärmiön ja neliömäisen pyramidin tilavuudet laskettiin oikein. Egyptiläisten korkein tunnettu saavutus tähän suuntaan oli menetelmän löytäminen katkaistun pyramidin tilavuuden laskemiseksi neliömäisellä pohjalla, joka vastaa kaavaa

Säännöt ympyrän pinta-alan sekä sylinterin ja kartion tilavuuksien laskemiseksi vastaavat joskus karkeasti likimääräistä arvoa p = 3, joskus paljon tarkempaa.

Säännön olemassaolo katkaistun pyramidin tilavuuden laskemiseksi, ohjeet kuinka laskea esimerkiksi tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala muuttamalla se yhtäläiseksi suorakulmioksi, ja monet muut olosuhteet osoittavat, että pyramidin muodostuminen matemaattinen deduktiivinen ajattelu suunniteltiin jo Egyptin matematiikassa. Muinaisilla papyruksilla itsellään oli koulutustarkoitus, eivätkä ne täysin heijastaneet egyptiläisten matemaatikoiden tiedon ja menetelmien määrää. matemaattinen murto-osa

2.2 Babylon

Babylonissa on vertaansa vailla enemmän matemaattisia tekstejä, joiden avulla voidaan arvioida matematiikkaa kuin egyptiläisiä. Babylonian nuolenkieliset matemaattiset tekstit kattavat ajanjakson 2. vuosituhannen eKr. alusta. e. (Hammurabi-dynastian ja kasiittien aikakausi) ennen kreikkalaisen matematiikan syntyä ja kehitystä. Jopa ensimmäinen näistä teksteistä kuuluu kuitenkin babylonialaisen matematiikan kukoistusaikaan, muut tekstit, huolimatta uusista seikoista, todistavat kaiken kaikkiaan pikemminkin sen pysähtyneisyydestä. Hammurabi-dynastian babylonialaiset saivat sumerilaiskaudelta kehitetyn sekoitettu desimaali-heksadesimaalinumerointijärjestelmän, joka sisälsi jo paikkaperiaatteen 1:n ja 60:n sekä 10:n merkeillä (samat merkit tarkoittavat samaa määrää eri seksagesimaaliyksiköitä numerot). Esimerkiksi:

Sexagesimaaliset fraktiot nimettiin myös samalla tavalla. Tämä mahdollisti toimien suorittamisen kokonaisluvuilla ja seksagesimaaliluvuilla yhtenäisten sääntöjen mukaisesti. Myöhemmin ilmestyy myös erityinen merkki, joka osoittaa välinumeroiden puuttumisen tietyssä numerossa. Jako käänteistaulukoilla pelkistettiin kertolaskuksi (tämä tekniikka löytyy joskus egyptiläisistä teksteistä). Myöhemmissä teksteissä muiden kuin 2 a , 3 b , 5 g käänteislukujen laskeminen, ts. ei ilmaista lopullisella seksagesimaaliluvulla, joskus saatettu kahdeksanteen seksagesimaalimerkkiin; on mahdollista, että tässä tapauksessa tällaisten jakeiden jaksollisuus havaittiin; esimerkiksi tapauksessa 1/7 . Käänteistaulukoiden lisäksi on tuotetaulukoita, neliöitä, kuutioita jne. Suuri määrä taloudellisia tietueita todistaa kaikkien näiden keinojen laajan käytön monimutkaisessa talouspalatsi- ja temppelitoiminnassa. Myös velkojen koronlaskentaa on kehitetty laajasti. Hammurabi-dynastiasta on myös useita tekstejä, jotka on omistettu ongelmien ratkaisemiseen, jotka nykyajan näkökulmasta pelkistyvät ensimmäisen, toisen ja jopa kolmannen asteen yhtälöiksi. Neliöyhtälöiden ongelmat syntyivät luultavasti kääntämällä käänteisiä puhtaasti käytännöllisiä geometrisia ongelmia, jotka monissa tapauksissa osoittavat abstraktin matemaattisen ajattelun merkittävää kehitystä. Tällainen on esimerkiksi ongelma suorakulmion sivun määrittämisessä sen pinta-alan ja kehän perusteella. Tätä ongelmaa ei kuitenkaan pelkistetty kolmiteräiseksi toisen asteen yhtälöksi, vaan se ilmeisesti ratkaistu käyttämällä muunnosta, jonka kirjoittaisimme (x+y)2=(x-y)2+4xy, mikä johtaa lähes välittömästi kahden järjestelmän syntymiseen. lineaariset yhtälöt kahden tuntemattoman kanssa. Toinen ongelma, joka liittyi niin kutsuttuun Pythagoraan lauseeseen, joka tunnettiin Babylonissa muinaisista ajoista lähtien jalkojen määrittämiseksi annetusta hypotenuusasta ja alueesta, esitettiin kolmitermisellä yhtälöllä, jolla oli yksi positiivinen juuri. Tehtävät valitaan siten, että juuret ovat aina positiivisia kokonaislukuja ja suurimmaksi osaksi samoja. Tämä osoittaa, että säilyneet savitaulut ovat opetusharjoituksia; opetus oli ilmeisesti suullista. Mutta babylonialaiset tiesivät myös neliöjuuren likimääräiset laskentamenetelmät, esimerkiksi tietyn sivun neliön lävistäjän pituuden. Siten Babylonin matematiikan algebrallinen komponentti oli merkittävä ja saavutti korkean tason. Tämän lisäksi babylonialaiset osasivat laskea yhteen aritmeettiset progressiot, ainakin yksinkertaisimmat äärelliset geometriset progressiot, ja jopa tiesivät säännön peräkkäisten neliölukujen summaamisesta alkaen 1. Oletetaan, että sellaiset abstraktimmat tieteelliset kiinnostuksen kohteet, jotka eivät rajoitu käytännössä välttämätön, mutta yleisten algebrallisten menetelmien luomiseen johtanut resepti syntyi "kirjurien kouluissa", joissa opiskelijat valmistautuivat laskemiseen ja taloudelliseen toimintaan. Myöhemmin tällaiset tekstit katoavat. Mutta sitten moninumeroisten lukujen laskentatekniikka kehittyy edelleen 1. vuosituhannen eKr. kehityksen yhteydessä. e. tarkempia menetelmiä tähtitiedessä. Tähtitieteen pohjalta syntyvät ensimmäiset laajat empiirisesti löydettyjen riippuvuuksien taulukot, joissa näkyy funktioidean prototyyppi. Babylonian nuolenkielinen matemaattinen perinne jatkuu Assyriassa, Persian valtiossa ja jopa hellenistiseen aikakauteen aina 1. vuosisadalle eKr. asti. eKr. Babylonian matematiikan saavutuksista geometrian alalla, jotka ylittivät egyptiläisten tietämyksen, on huomattava kehittynyt kulmien mittaus ja jotkut trigonometrian alkeet, jotka ilmeisesti liittyvät tähtitieteen kehitykseen; myöhemmin jotkut säännölliset monikulmiot ilmestyvät ympyrään kaiverretuissa nuolenkirjoitusteksteissä.

Jos verrataan Egyptin ja Babylonin matemaattisia tieteitä ajattelutavan suhteen, ei ole vaikeaa todeta niiden yhteisyyttä sellaisilla ominaisuuksilla kuin autoritaarisuus, kriittisyys, perinteen seuraaminen ja tiedon äärimmäisen hidas kehitys. Samat piirteet löytyvät idän filosofiasta, mytologiasta ja uskonnosta. Kuten E. Kolman tästä kirjoitti, "tässä paikassa, jossa despootin tahtoa pidettiin laina, ei ollut sijaa ajattelulle, ilmiöiden syiden ja perustelujen etsimiselle, saati vapaalle keskustelulle" Kolmogorov A.N. Matematiikka // Suuri venäläinen tietosanakirja / Toim. B.A. Vvedensky.- M, 1998.- S.447. .

Johtopäätös

Kuten jo mainittiin, matematiikka on tiedettä tutkittavien kohteiden tilamuodoista (geometrinen näkökulma) ja kvantitatiivisista suhteista (numeerinen aspekti). Samalla se abstrahoituu esineiden laadullisesta varmuudesta, joten matemaattiset tulokset ovat universaaleja, soveltuvia kaikkiin esineisiin ja kaikkiin tieteellisiin ongelmiin. Numero "20" voi tarkoittaa emäksisten aminohappojen lukumäärää (biokemia); maailmankaikkeuden ikä, miljardeja vuosia (kosmologia); geologisen aikakauden kesto, miljoonia vuosia (geologia); ihmisen ikä, vuodet (antropologia); yrityksen työntekijöiden lukumäärä (johto); neuronien määrä ihmisen aivoissa; miljardeja (fysiologia); prosenttiosuus tuotannon kannattavuudesta (talous) jne. Juuri sen soveltamisen universaalisuuden vuoksi ja myös prosessien tärkeimpien kvantitatiivisten näkökohtien tutkimuksen yhteydessä matematiikan rooli kaikkien tieteiden kehityksessä on erittäin korkea. Tämä on ollut jo pitkään selvää arvostetuille tiedemiehille.

Siksi minkä tahansa tunnetun tieteen kehitystaso voidaan määrittää ensisijaisesti matematiikan käyttöasteen perusteella. Samaan aikaan emme puhu vain numeroiden käytöstä (silloin historiaa voitaisiin pitää kehittyneimpänä tieteenä), vaan tiettyjen tieteellisten saavutusten matemaattisuuden tasosta.

Kotimaiset metodologit (Akchurin A.I.) erottavat kolme tiedon matematisoinnin tasoa:

1. Ensimmäinen (alin) taso on matematiikan käyttö kvantitatiivisten kokeiden tulosten käsittelyssä.

2. Toinen (keskitaso) on teoreettisten ja matemaattisten mallien kehittäminen.

3. Kolmas (korkein) taso on matemaattisen teorian luominen tutkittavista objekteista.

Eri tieteillä, sekä luonnontieteillä että humanitaarisilla tieteillä, ja jopa yksittäisten tieteiden osilla on erilainen matemaattistaso:

1. Alin taso on tyypillinen sellaisille tieteille kuin oikeustiede, kielitiede (pois lukien matemaattinen kielitiede), historiografia, pedagogiikka, psykologia, sosiologia ja eräät muut.

2. Keskitaso on tyypillinen sellaisille tieteille kuin biofysiikka, genetiikka, ekologia, sotatieteet, taloustiede, johtaminen, geologia, kemia jne.

3. Korkein taso on tyypillistä sellaisille tieteille kuin tähtitiede, geodesia, fysiikka (erityisesti mekaniikka, akustiikka, hydrodynamiikka, sähködynamiikka, optiikka) jne.

Tieteet, joilla on tällä hetkellä korkein taso matematisointia kutsutaan eksakiksi. Tietenkin matematiikka itsessään on myös tarkka tiede.

Näin ollen matemaattinen mallinnus -- tehokas menetelmä tieto, mutta se ei sovellu kaikille tieteille ja niiden osille, vaan vain niille, joissa matematiikan käyttö on edennyt riittävästi.

Bibliografia

1. Besov K. Tieteen ja tekniikan historia muinaisista ajoista 1900-luvun loppuun.- M: UNITI, 1997.- P.14-16.

2. Kolmogorov A.N. Matematiikka // Suuri venäläinen tietosanakirja / Toim. B.A. Vvedensky.- M: TSB, 1998 .- S.446-449.

3. Modernin luonnontieteen käsite /Toim. SI. Samygina.- Rostov-on-Don: Phoenix, 1997 .- S.8-12.

4. Lipovko P.O. Modernin luonnontieteen käsite - Rostov n/D: Phoenix, 2004 .- P.41-45.

5. Polikarpov V.S. Tieteen ja tekniikan historia - Rostov-on-Don: Phoenix, 1999 .- P.56-59.

6. Stroyk D.Ya. Lyhyt essee matematiikan historiasta. - M: Fysiikan ja matematiikan päätoimituslautakunta, 1984 .- P.21-53.

Isännöi Allbest.ru:ssa

Samanlaisia ​​asiakirjoja

Matematiikan historiallisen kehityksen tutkimus vuonna Venäjän valtakunta 1700-1800-luvuilla reaalimaailman määrällisten suhteiden ja tilamuotojen tieteenä. Venäläisten tutkijoiden analyysi matemaattisen koulutuksen tasosta ja sen kehityksestä.

tiivistelmä, lisätty 26.1.2012


Taustaa matematiikan alkuperästä muinaisessa Egyptissä. Tehtävät "aha" laskemiseen. Muinaisten egyptiläisten tiede. Ongelma Rhind Papyruksesta. Geometria muinaisessa Egyptissä. Suurten tiedemiesten sanontoja matematiikan tärkeydestä. Egyptin matematiikan merkitys meidän aikanamme.

tiivistelmä, lisätty 24.5.2012


Matematiikan synty ja kehityksen päävaiheet todellisten esineiden laskenta-, mittaus- ja muotojen kuvaukseen perustuvien rakenteiden, järjestyksen ja suhteiden tieteenä. Aritmetiikan ja geometrian tiedon kehittyminen muinaisessa idässä, Babylonissa ja antiikin Kreikassa.

esitys, lisätty 17.12.2010


Tutkimus matematiikan syntymisestä ja matemaattisten menetelmien käytöstä muinaisessa Kiinassa. Kiinalaisten ongelmien erityispiirteet yhtälöiden ja geometristen tehtävien numeerisessa ratkaisussa, jotka johtavat kolmannen asteen yhtälöihin. Erinomaiset matemaatikot muinaisesta Kiinasta.

tiivistelmä, lisätty 11.9.2010


Muinaisten sivilisaatioiden matemaattisen kulttuurin yleiset ominaisuudet. Tärkeimmät kronologiset jaksot matematiikan alkuperästä ja kehityksestä. Matematiikan piirteet Egyptissä, Babylonissa, Intiassa ja Kiinassa antiikin aikana. Mesoamerikkalaisten intiaanien matemaattinen kulttuuri.

esitys, lisätty 20.9.2015


Matematiikan muodostumisen historia tieteenä. Perusmatematiikan kausi. Muuttujien matematiikan luomisaika. Analyyttisen geometrian, differentiaali- ja integraalilaskennan luominen. Matematiikan kehitys Venäjällä XVIII-XIX vuosisadalla.

tiivistelmä, lisätty 09.10.2008


Fraktioiden syntymisen ja käytön piirteet Egyptissä. Seksagesimaalisten murtolukujen käytön piirteet Babylonissa, kreikkalais- ja arabialaiset matemaatikot ja tähtitieteilijät. Erottuvia piirteitä murto-osia sisään Antiikin Rooma ja Venäjä. Murtoluvut nykymaailmassa.

esitys, lisätty 29.4.2014


Teos on omistettu matematiikan tärkeydelle, sen kunnialle eri tiedegallerioissa. Іnformatsija, yaka dopomozhe zatsіkaviti uchnіv ja vyvchenni matematiikka. Etapi matematiikan kehitys. Pythagoralaisten lukumäärän filosofia. Matemaattiset kaavat fysiikassa, kemiassa, psykologiassa.

lukukausityö, lisätty 12.9.2009


Matematiikan syntykausi (7-5-luvulle eKr. asti). Matematiikan aika vakioita(VII-V vuosisata eKr. - XVII vuosisata jKr.). Muuttujien matematiikka (XVII-XIX vuosisatoja). Nykyaikainen matematiikan kehityskausi. Tietokonematematiikan ominaisuudet.

esitys, lisätty 20.9.2015


Kreikkalainen matematiikka. Keskiaika ja renessanssi. Modernin matematiikan alku. Moderni matematiikka. Matematiikka ei perustu logiikkaan, vaan terveeseen intuitioon. Matematiikan perusteiden ongelmat ovat filosofisia.

Matematiikka alkaa aritmetiikasta. Aritmetiikassa astumme, kuten M. V. Lomonosov sanoi, "oppimisen porteille".

Sana "aritmeettinen" tulee kreikan sanasta arithmos, joka tarkoittaa "lukua". Tämä tiede tutkii lukujen operaatioita, erilaisia ​​sääntöjä niiden käsittelyyn, opettaa sinua ratkaisemaan ongelmia, jotka tiivistyvät lukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuihin. Aritmetiikkaa kuvitellaan usein joksikin matematiikan ensimmäiseksi askeleeksi, jonka perusteella on mahdollista tutkia sen monimutkaisempia osia - algebraa, matemaattista analyysiä jne.Aritmetiikka sai alkunsa muinaisen idän maista: Babylonista, Kiinasta, Intiasta, Egyptistä. Esimerkiksi egyptiläinen papyrus Rinda (nimetty omistajansa G. Rindan mukaan) on peräisin 1900-luvulta. eKr e.

Muinaisen idän maihin kertyneet matemaattisen tiedon aarteet kehittivät ja jatkoivat muinaisen Kreikan tiedemiehet. Historia on säilyttänyt meille monia aritmetiikkaan osallistuneiden tiedemiesten nimiä muinaisessa maailmassa - Anaxagoras ja Zeno, Euklides, Archimedes, Eratosthenes ja Diophantus. Pythagoraan (VI vuosisata eKr.) nimi kimaltelee täällä kirkkaana tähtenä. Pythagoralaiset palvoivat numeroita uskoen, että ne sisälsivät kaiken maailman harmonian. Yksittäisille numeroille ja numeropareille määritettiin erityisiä ominaisuuksia. Numerot 7 ja 36 olivat suuressa arvossa, samalla kiinnitettiin huomiota niin sanottuihin täydellisiin numeroihin, ystävänumeroihin jne.

Keskiajalla aritmeettinen kehitys liittyy myös itään: Intiaan, arabimaailman maihin ja Keski-Aasiaan. Intiaanit tulivat meille käyttämämme numerot, nolla ja paikkalukujärjestelmä; al-Kashista (XV vuosisata), Ulugbek - desimaalilukuja.

Kaupan kehityksen ja itämaisen kulttuurin vaikutuksen ansiosta XIII vuosisadalta lähtien. kasvava kiinnostus aritmetiikkaa kohtaan Euroopassa. On syytä muistaa italialaisen Pisan tiedemiehen Leonardon (Fibonacci) nimi, jonka teos "Abacuksen kirja" esitteli eurooppalaiset idän matematiikan pääsaavutuksiin ja oli monien aritmetiikan ja algebran tutkimusten alku.

Yhdessä painatuksen keksimisen kanssa (1400-luvun puolivälissä) ilmestyivät ensimmäiset painetut matemaattiset kirjat. Ensimmäinen painettu aritmetiikkakirja julkaistiin Italiassa vuonna 1478. Saksalaisen matemaatikon M. Stiefelin (1500-luvun alku) Complete Aithmetic sisältää jo negatiivisia lukuja ja jopa ajatuksen logaritmista.

Noin 1500-luvulla puhtaasti aritmeettisten kysymysten kehitys virtasi algebran valtavirtaan, merkittävänä virstanpylväänä voidaan mainita ranskalaisen tiedemiehen F. Vietan teosten ilmestyminen, joissa numerot on merkitty kirjaimilla. Siitä lähtien aritmeettiset perussäännöt on ymmärretty täysin algebran näkökulmasta.

Aritmetiikan perusobjekti on luku. Luonnolliset luvut, ts. luvut 1, 2, 3, 4, ... jne. syntyivät laskemalla tiettyjä kohteita. Kului vuosituhansia ennen kuin ihminen oppi, että kaksi fasaania, kaksi kättä, kaksi ihmistä jne. voidaan kutsua samalla sanalla "kaksi". Tärkeä aritmeettinen tehtävä on oppia voittamaan laskettujen esineiden nimien erityiset merkitykset, olemaan huomioimatta niiden muodosta, koosta, väristä jne. Aritmetiikassa luvut lasketaan yhteen, vähennetään, kerrotaan ja jaetaan. Taitoa suorittaa nämä operaatiot nopeasti ja tarkasti mille tahansa numerolle on pitkään pidetty aritmeettisen tärkeimpänä tehtävänä.Lukujen aritmeettisilla operaatioilla on useita ominaisuuksia. Nämä ominaisuudet voidaan kuvata sanoin, esimerkiksi: "Summa ei muutu termien paikkojen muutoksesta", voidaan kirjoittaa kirjaimin: a + b \u003d b + a, voidaan ilmaista erikoistermeillä.

Aritmetiikan käyttöön ottamien tärkeiden käsitteiden joukossa tulee huomioida suhteet ja prosenttiosuudet. Suurin osa aritmeettisista käsitteistä ja menetelmistä perustuu lukujen erilaisten suhteiden vertailuun. Matematiikan historiassa aritmeettisen ja geometrian yhdistämisprosessi tapahtui vuosisatojen ajan.

Sana "aritmetiikka" voidaan ymmärtää seuraavasti:

akateeminen aine, joka käsittelee ensisijaisesti rationaalilukuja (kokolukuja ja murtolukuja), niiden operaatioita ja näiden operaatioiden avulla ratkaistavia ongelmia;


osa historiallista matematiikan rakennusta, johon on kertynyt erilaisia ​​laskelmia koskevia tietoja;


"teoreettinen aritmetiikka" - osa nykyaikaista matematiikkaa, joka käsittelee erilaisten numeeristen järjestelmien rakentamista (luonnolliset, kokonaisluvut, rationaaliset, todelliset, kompleksiluvut ja niiden yleistykset);


"muodollinen aritmetiikka" - osa matemaattista logiikkaa, joka käsittelee aritmeettisen aksiomaattisen teorian analyysiä;


"korkea aritmetiikka" tai lukuteoria, itsenäisesti kehittyvä osa matematiikkaa ja

/Nuoren matemaatikon tietosanakirja, 1989/