Gaussin menetelmä, jota kutsutaan myös tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmäksi, koostuu seuraavista. Lineaariyhtälöjärjestelmä saatetaan alkeismuunnoksilla sellaiseen muotoon, että sen kerroinmatriisi osoittautuu puolisuunnikkaan muotoinen (sama kuin kolmiomainen tai porrastettu) tai lähellä puolisuunnikkaan muotoista (Gaussin menetelmän suora kurssi, sitten - vain suora liike). Esimerkki tällaisesta järjestelmästä ja sen ratkaisusta on esitetty yllä olevassa kuvassa.

Tällaisessa järjestelmässä viimeinen yhtälö sisältää vain yhden muuttujan ja sen arvo voidaan löytää yksiselitteisesti. Sitten tämän muuttujan arvo korvataan edelliseen yhtälöön ( Gaussin käänteinen , sitten - vain käänteinen liike), josta edellinen muuttuja löytyy ja niin edelleen.

Kuten näemme puolisuunnikkaan (kolmio) järjestelmässä, kolmas yhtälö ei enää sisällä muuttujia y ja x, ja toinen yhtälö - muuttuja x .

Kun järjestelmän matriisi on saanut puolisuunnikkaan muodon, ei ole enää vaikeaa selvittää järjestelmän yhteensopivuutta, määrittää ratkaisujen lukumäärä ja löytää itse ratkaisut.

Menetelmän edut:

1. kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa on enemmän kuin kolme yhtälöä ja tuntemattomia, Gauss-menetelmä ei ole yhtä hankala kuin Cramer-menetelmä, koska Gaussin menetelmää ratkaistaessa tarvitaan vähemmän laskelmia;
2. Gauss-menetelmän avulla voit ratkaista epämääräisiä lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, eli niillä on yhteinen ratkaisu (ja analysoimme ne tässä oppitunnissa), ja Cramer-menetelmää käyttämällä voit vain todeta, että järjestelmä on epävarma;
3. voit ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa tuntemattomien lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä (analysoimme niitä myös tässä oppitunnissa);
4. menetelmä perustuu alkeis- (koulu)menetelmiin - tuntemattomien korvausmenetelmään ja yhtälöiden lisäämismenetelmään, joita käsittelimme vastaavassa artikkelissa.

Jotta kaikki olisivat täynnä sitä yksinkertaisuutta, jolla puolisuunnikkaan (kolmio, askel) lineaariyhtälöjärjestelmät ratkaistaan, esittelemme tällaisen järjestelmän ratkaisun käänteisellä iskulla. Tämän järjestelmän nopea ratkaisu esitettiin oppitunnin alussa olevassa kuvassa.

Esimerkki 1 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä käänteisellä siirrolla:

Ratkaisu. Tässä puolisuunnikkaan muotoisessa järjestelmässä muuttuja z löytyy ainutlaatuisesti kolmannesta yhtälöstä. Korvaamme sen arvon toiseen yhtälöön ja saamme muuttujan arvon y:

Nyt tiedämme kahden muuttujan arvot - z ja y. Korvaamme ne ensimmäiseen yhtälöön ja saamme muuttujan arvon x:

Edellisistä vaiheista kirjoitamme yhtälöjärjestelmän ratkaisun:

Jotta saadaan tällainen puolisuunnikkaan muotoinen lineaariyhtälöjärjestelmä, jonka ratkaisimme hyvin yksinkertaisesti, on käytettävä suoraa liikettä, joka liittyy lineaariyhtälöjärjestelmän perusmuunnoksiin. Se ei myöskään ole kovin vaikeaa.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän alkeismuunnokset

Toistamalla järjestelmän yhtälöiden algebrallista yhteenlaskua, havaitsimme, että yhteen järjestelmän yhtälöön voidaan lisätä toinen järjestelmän yhtälö ja jokainen yhtälö voidaan kertoa joillakin luvuilla. Tuloksena saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka vastaa annettua yhtälöä. Siinä yksi yhtälö sisälsi jo vain yhden muuttujan, jonka arvon korvaamalla muilla yhtälöillä päästään ratkaisuun. Tällainen lisäys on yksi järjestelmän alkeismuunnostyypeistä. Gaussin menetelmää käytettäessä voimme käyttää useita muunnoksia.

Yllä oleva animaatio näyttää kuinka yhtälöjärjestelmä muuttuu vähitellen puolisuunnikkaan muotoiseksi. Eli se, jonka näit heti ensimmäisessä animaatiossa ja varmistit, että siitä on helppo löytää kaikkien tuntemattomien arvot. Miten tällainen muunnos suoritetaan, ja tietysti esimerkkejä käsitellään edelleen.

Kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa on mikä tahansa määrä yhtälöitä ja tuntemattomia yhtälöjärjestelmässä ja järjestelmän laajennetussa matriisissa voi:

1. vaihtaa rivejä (tämä mainittiin tämän artikkelin alussa);
2. jos muiden muunnosten seurauksena ilmestyi yhtä suuria tai suhteellisia viivoja, ne voidaan poistaa yhtä lukuun ottamatta;
3. poista "nolla" rivit, joissa kaikki kertoimet ovat nolla;
4. kerro tai jaa mikä tahansa merkkijono jollakin luvulla;
5. lisää mille tahansa riville toinen rivi kerrottuna jollakin luvulla.

Muutosten tuloksena saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka vastaa annettua yhtälöä.

Algoritmi ja esimerkkejä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä järjestelmän neliömatriisin kanssa

Tarkastellaan ensin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisua, joissa tuntemattomien lukumäärä on yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä. Tällaisen järjestelmän matriisi on neliö, eli siinä olevien rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä.

Esimerkki 2 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Ratkaisimme lineaarisia yhtälöjärjestelmiä koulumenetelmillä, kerroimme termi kerrallaan yhden yhtälön tietyllä luvulla siten, että kahden yhtälön ensimmäisen muuttujan kertoimet olivat vastakkaisia ​​lukuja. Kun lisäät yhtälöitä, tämä muuttuja eliminoidaan. Gaussin menetelmä toimii samalla tavalla.

Yksinkertaistamiseksi ulkomuoto ratkaisuja muodostaa järjestelmän lisätty matriisi:

Tässä matriisissa tuntemattomien kertoimet sijaitsevat vasemmalla ennen pystypalkkia ja vapaat jäsenet oikealla pystypalkin jälkeen.

Muuttujien kertoimien jakamisen helpottamiseksi (jaon saamiseksi yhdellä) vaihda järjestelmämatriisin ensimmäinen ja toinen rivi. Saamme järjestelmän, joka vastaa annettua, koska lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä yhtälöt voidaan järjestää uudelleen:

Uuden ensimmäisen yhtälön kanssa poista muuttuja x toisesta ja kaikista myöhemmistä yhtälöistä. Voit tehdä tämän lisäämällä ensimmäisen rivin kerrottuna (meissä tapauksessa ) matriisin toiseen riviin ja ensimmäinen rivi kerrottuna (meidän tapauksessamme:lla) kolmanteen riviin.

Tämä on mahdollista, koska

Jos järjestelmässämme oli enemmän kuin kolme yhtälöä, ensimmäinen rivi tulee lisätä kaikkiin seuraaviin yhtälöihin kerrottuna vastaavien kertoimien suhteella, otettuna miinusmerkillä.

Tuloksena saadaan matriisi, joka vastaa annettua uuden yhtälöjärjestelmän järjestelmää, jossa kaikki yhtälöt, alkaen toisesta eivät sisällä muuttujaa x :

Tuloksena olevan järjestelmän toisen rivin yksinkertaistamiseksi kerromme sen ja saamme jälleen tätä järjestelmää vastaavan yhtälöjärjestelmän matriisin:

Nyt, pitäen tuloksena olevan järjestelmän ensimmäinen yhtälö muuttumattomana, toista yhtälöä käyttämällä eliminoimme muuttujan y kaikista myöhemmistä yhtälöistä. Voit tehdä tämän lisäämällä järjestelmämatriisin kolmanteen riviin toisen rivin kerrottuna (meissä tapauksessa:lla).

Jos järjestelmässämme oli enemmän kuin kolme yhtälöä, toinen rivi tulisi lisätä kaikkiin seuraaviin yhtälöihin kerrottuna vastaavien kertoimien suhteella, otettuna miinusmerkillä.

Tämän seurauksena saamme jälleen järjestelmän matriisin, joka vastaa annettua lineaariyhtälöjärjestelmää:

Olemme saaneet puolisuunnikkaan muotoisen lineaariyhtälöjärjestelmän, joka vastaa annettua yhtälöä:

Jos yhtälöiden ja muuttujien määrä on suurempi kuin esimerkissämme, muuttujien peräkkäinen eliminointiprosessi jatkuu, kunnes järjestelmämatriisista tulee puolisuunnikkaan muotoinen, kuten demoesimerkissämme.

Löydämme ratkaisun "lopusta" - päinvastoin. Tätä varten viimeisestä yhtälöstä, jonka määritämme z:
.
Korvaa tämä arvo edelliseen yhtälöön, löytö y:

Ensimmäisestä yhtälöstä löytö x:

Vastaus: tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisu - .

: tässä tapauksessa sama vastaus annetaan, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Jos järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, niin on myös vastaus, ja tämä on tämän oppitunnin viidennen osan aihe.

Ratkaise itse lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä ja katso sitten ratkaisua

Edessämme on jälleen esimerkki johdonmukaisesta ja määrätystä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä, jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä. Ero demoesimerkistämme algoritmista on se, että yhtälöitä on jo neljä ja tuntematonta.

Esimerkki 4 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Nyt sinun on käytettävä toista yhtälöä muuttujan sulkemiseksi pois myöhemmistä yhtälöistä. Kulutetaan esityö. Jotta kertoimien suhteen olisi helpompi käyttää, sinun on hankittava yksikkö toisen rivin toisessa sarakkeessa. Tee tämä vähentämällä kolmas rivi toisesta rivistä ja kertomalla tuloksena oleva toinen rivi -1:llä.

Suoritetaan nyt muuttujan todellinen eliminointi kolmannesta ja neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä kolmannelle riville toisen luvulla kerrottuna ja neljännen rivin toisen luvulla kerrottuna.

Nyt käyttämällä kolmatta yhtälöä poistamme muuttujan neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä neljännelle riville kolmannen kerrottuna . Saamme puolisuunnikkaan muotoisen laajennetun matriisin.

Olemme saaneet yhtälöjärjestelmän, joka vastaa annettua järjestelmää:

Siksi tuloksena saadut ja annetut järjestelmät ovat johdonmukaisia ​​ja määrättyjä. Löydämme lopullisen ratkaisun "lopusta". Neljännestä yhtälöstä voimme ilmaista suoraan muuttujan "x neljäs" arvon:

Korvaamme tämän arvon järjestelmän kolmanteen yhtälöön ja saamme

,

,

Lopuksi arvon korvaaminen

Ensimmäisessä yhtälössä antaa

,

mistä löydämme "x ensin":

Vastaus: Tällä yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. .

Voit myös tarkistaa järjestelmän ratkaisun laskimella, joka ratkaisee Cramerin menetelmällä: tässä tapauksessa annetaan sama vastaus, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Sovellettujen ongelmien ratkaisu Gaussin menetelmällä metalliseosten ongelman esimerkissä

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä käytetään fyysisen maailman todellisten esineiden mallintamiseen. Ratkaistaan ​​yksi näistä ongelmista - seoksille. Samanlaiset tehtävät - tehtävät sekoituksille, yksittäisten tavaroiden kustannukset tai ominaispaino tavararyhmässä ja vastaavat.

Esimerkki 5 Kolmen metalliseoksen kappaleen kokonaismassa on 150 kg. Ensimmäinen seos sisältää 60% kuparia, toinen - 30%, kolmas - 10%. Samanaikaisesti toisessa ja kolmannessa lejeeringissä kuparia on yhteensä 28,4 kg vähemmän kuin ensimmäisessä lejeeringissä, ja kolmannessa lejeeringissä kuparia on 6,2 kg vähemmän kuin toisessa. Etsi kunkin seoksen kappaleen massa.

Ratkaisu. Muodostamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän:

Kerrotaan toinen ja kolmas yhtälö 10:llä, saadaan vastaava lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Muodostamme järjestelmän laajennetun matriisin:

Huomio, suora liike. Lisäämällä (tässä tapauksessamme vähentämällä) yksi rivi, kerrottuna luvulla (soveltamme sitä kahdesti), seuraavat muunnokset tapahtuvat järjestelmän laajennetulla matriisilla:

Suora juoksu on ohi. Saimme puolisuunnikkaan muotoisen laajennetun matriisin.

Käytetään toisinpäin. Löydämme ratkaisun lopusta. Näemme sen.

Toisesta yhtälöstä löydämme

Kolmannesta yhtälöstä -

Voit myös tarkistaa järjestelmän ratkaisun laskimella, joka ratkaisee Cramerin menetelmällä: tässä tapauksessa annetaan sama vastaus, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Gaussin menetelmän yksinkertaisuuden todistaa se, että saksalainen matemaatikko Carl Friedrich Gauss kesti vain 15 minuuttia sen keksimiseen. Hänen nimensä menetelmän lisäksi Gaussin teosten sana ”Emme saa sekoittaa sitä, mikä näyttää meille uskomattomalta ja luonnottomalta, ehdottoman mahdottomaan” on eräänlainen lyhyt ohje löytöjen tekemiseen.

Monissa sovellettavissa ongelmissa ei ehkä ole kolmatta rajoitusta, eli kolmatta yhtälöä, silloin on tarpeen ratkaista kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta Gaussin menetelmällä, tai päinvastoin tuntemattomia on vähemmän kuin yhtälöitä. Nyt alamme ratkaista tällaisia ​​yhtälöjärjestelmiä.

Gaussin menetelmällä voit määrittää, onko jokin järjestelmä johdonmukainen vai epäjohdonmukainen n lineaariset yhtälöt kanssa n muuttujia.

Gaussin menetelmä ja lineaariset yhtälöt, joissa on ääretön määrä ratkaisuja

Seuraava esimerkki on yhteinen, mutta määrittelemätön järjestelmä lineaariset yhtälöt, eli niillä on ääretön määrä ratkaisuja.

Kun muunnokset on tehty järjestelmän laajennetussa matriisissa (rivien permutointi, rivien kertominen ja jakaminen tietyllä numerolla, rivin lisääminen toiseen), lomakkeen rivit

Jos kaikissa yhtälöissä on muoto

Vapaat jäsenet ovat yhtä kuin nolla, mikä tarkoittaa, että järjestelmä on epämääräinen, eli sillä on ääretön määrä ratkaisuja, ja tämän tyyppiset yhtälöt ovat "tarpeetonta" ja jätetään järjestelmän ulkopuolelle.

Esimerkki 6

Ratkaisu. Muodostetaan järjestelmän laajennettu matriisi. Sitten, käyttämällä ensimmäistä yhtälöä, poistamme muuttujan seuraavista yhtälöistä. Voit tehdä tämän lisäämällä toiselle, kolmannelle ja neljännelle riville ensimmäinen, kerrottuna vastaavasti:

Lisätään nyt toinen rivi kolmanteen ja neljänteen.

Tämän seurauksena pääsemme järjestelmään

Kahdesta viimeisestä yhtälöstä on tullut muodon yhtälöitä. Nämä yhtälöt täyttyvät kaikille tuntemattomien arvoille ja ne voidaan hylätä.

Toisen yhtälön tyydyttämiseksi voimme valita mielivaltaiset arvot ja , jolloin arvo määritetään yksiselitteisesti: . Ensimmäisestä yhtälöstä arvo löytyy myös yksiselitteisesti: .

Sekä annettu että viimeinen järjestelmä ovat yhteensopivia, mutta epämääräisiä, ja kaavat

mielivaltaiselle ja anna meille kaikki annetun järjestelmän ratkaisut.

Gaussin menetelmä ja lineaariyhtälöjärjestelmät, joilla ei ole ratkaisuja

Seuraava esimerkki on epäjohdonmukainen lineaariyhtälöjärjestelmä, eli sillä ei ole ratkaisuja. Vastaus tällaisiin ongelmiin on muotoiltu seuraavasti: järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Kuten jo mainittiin ensimmäisen esimerkin yhteydessä, järjestelmän laajennetussa matriisissa muunnosten suorittamisen jälkeen muodon rivit

joka vastaa muodon yhtälöä

Jos niiden joukossa on ainakin yksi yhtälö, jossa on nollasta poikkeava vapaa termi (eli ), tämä yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja, ja tämä täydentää sen ratkaisun.

Esimerkki 7 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Muodostamme järjestelmän laajennetun matriisin. Ensimmäisen yhtälön avulla jätämme muuttujan pois myöhemmistä yhtälöistä. Tee tämä lisäämällä ensimmäinen kerrottuna toiselle riville, ensimmäinen kerrottuna kolmannella rivillä ja ensimmäinen kerrottuna neljännellä rivillä.

Nyt sinun on käytettävä toista yhtälöä muuttujan sulkemiseksi pois myöhemmistä yhtälöistä. Saadaksemme kertoimien kokonaislukusuhteet, vaihdamme järjestelmän laajennetun matriisin toisen ja kolmannen rivin.

Jos haluat sulkea pois kolmannen ja neljännen yhtälön, lisää toinen, kerrottuna , kolmanteen riviin ja toinen, kerrottuna , neljännelle riville.

Nyt käyttämällä kolmatta yhtälöä poistamme muuttujan neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä neljännelle riville kolmannen kerrottuna .

Annettu järjestelmä vastaa siis seuraavaa:

Tuloksena oleva järjestelmä on epäjohdonmukainen, koska sen viimeistä yhtälöä ei voida täyttää millään tuntemattomien arvoilla. Siksi tällä järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Jatkamme lineaaristen yhtälöjärjestelmien tarkastelua. Tämä oppitunti on aiheesta kolmas. Jos sinulla on epämääräinen käsitys siitä, mitä lineaarinen yhtälöjärjestelmä yleensä on, tunnet olosi teekannuksi, suosittelen aloittamaan perusasioista Seuraavalla sivulla, on hyödyllistä tutkia oppitunti.

Gaussin menetelmä on helppo! Miksi? Kuuluisa saksalainen matemaatikko Johann Carl Friedrich Gauss sai elämänsä aikana tunnustuksen kaikkien aikojen suurimmaksi matemaatikoksi, neroksi ja jopa lempinimen "Matematiikan kuningas". Ja kaikki nerokas, kuten tiedät, on yksinkertaista! Muuten, rahojen joukkoon putoaa paitsi tikkarit, myös nerot - Gaussin muotokuva oli esillä 10 Saksan markan setelissä (ennen euron käyttöönottoa), ja Gauss hymyilee edelleen mystisesti saksalaisille tavallisista postimerkeistä.

Gaussin menetelmä on yksinkertainen siinä mielessä, että sen hallitsemiseen RIITTÄVÄN VIIDES LUOKKAAN OPPILAIDEN TIETO. Pitää osata lisätä ja kertoa! Ei ole sattumaa, että opettajat harkitsevat usein koulun matematiikan valinnaisaineiden peräkkäistä tuntemattomien poistamista. Se on paradoksi, mutta Gaussin menetelmä aiheuttaa eniten vaikeuksia opiskelijoille. Ei mitään yllättävää - kyse on metodologiasta, ja yritän kertoa helposti saatavilla olevassa muodossa menetelmän algoritmista.

Ensin systematisoimme hieman tietoa lineaarisista yhtälöjärjestelmistä. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä voi:

1) Hanki ainutlaatuinen ratkaisu. 2) On äärettömän monta ratkaisua. 3) Ei ratkaisuja (ol yhteensopimaton).

Gaussin menetelmä on tehokkain ja monipuolisin työkalu ratkaisun löytämiseen minkä tahansa lineaariset yhtälöt. Kuten muistamme Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksissa, joissa järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen. Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin joka tapauksessa johdattaa meidät vastaukseen! Tällä oppitunnilla tarkastelemme jälleen Gaussin menetelmää tapaukselle nro 1 (ainoa ratkaisu järjestelmään), artikkeli on varattu kohtien nro 2-3 tilanteisiin. Huomaan, että menetelmäalgoritmi itsessään toimii samalla tavalla kaikissa kolmessa tapauksessa.

Palataan oppitunnin yksinkertaisimpaan järjestelmään Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä? ja ratkaista se Gaussin menetelmällä.

Ensimmäinen askel on kirjoittaa laajennettu matriisijärjestelmä: . Millä periaatteella kertoimet kirjataan, luulen kaikkien näkevän. Matriisin sisällä olevalla pystyviivalla ei ole matemaattista merkitystä - se on vain yliviivaus suunnittelun helpottamiseksi.

Viite : Suosittelen muistamaan ehdot lineaarialgebra. Järjestelmämatriisi on matriisi, joka koostuu vain tuntemattomien kertoimista, tässä esimerkissä järjestelmän matriisi: . Laajennettu järjestelmämatriisi on sama järjestelmän matriisi plus vapaiden jäsenten sarake, tässä tapauksessa: . Mitä tahansa matriiseista voidaan kutsua yksinkertaisesti matriisiksi lyhyyden vuoksi.

Kun järjestelmän laajennettu matriisi on kirjoitettu, sen kanssa on suoritettava joitain toimintoja, joita myös kutsutaan alkeellisia muunnoksia.

Siellä on seuraavat perusmuunnokset:

1) jouset matriiseja voi järjestää uudelleen paikoissa. Esimerkiksi tarkasteltavassa matriisissa voit järjestää ensimmäisen ja toisen rivin turvallisesti uudelleen:

2) Jos matriisissa on (tai ilmestyi) suhteellisia (erikoistapauksena - identtisiä) rivejä, siitä seuraa poistaa matriisista kaikki nämä rivit yhtä lukuun ottamatta. Harkitse esimerkiksi matriisia . Tässä matriisissa kolme viimeistä riviä ovat verrannollisia, joten riittää, että jätät vain yhden niistä: .

3) Jos matriisiin ilmaantui muunnosten aikana nollarivi, niin se myös seuraa poistaa. En tietenkään piirrä, nollaviiva on se viiva, jossa vain nollia.

4) Matriisin rivi voi olla kertoa (jakaa) mille tahansa numerolle ei-nolla. Harkitse esimerkiksi matriisia . Tässä on suositeltavaa jakaa ensimmäinen rivi -3:lla ja kertoa toinen rivi 2:lla: . Tämä toiminto on erittäin hyödyllinen, koska se yksinkertaistaa matriisin lisämuunnoksia.

5) Tämä muunnos aiheuttaa eniten vaikeuksia, mutta todellisuudessa ei myöskään ole mitään monimutkaista. Matriisin riville voit lisää toinen merkkijono kerrottuna numerolla, eroaa nollasta. Tarkastellaan matriisiamme käytännön esimerkistä: . Ensin kuvailen muodonmuutosta yksityiskohtaisesti. Kerro ensimmäinen rivi -2:lla: , ja toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla: . Nyt ensimmäinen rivi voidaan jakaa "takaisin" -2:lla: . Kuten näet, rivi, joka on LISÄTTY LI – ei ole muuttunut. On aina rivi muuttuu, JOIHIN LISÄTTY UT.

Käytännössä he eivät tietenkään maalaa niin yksityiskohtaisesti, mutta kirjoittavat lyhyemmin: Vielä kerran: toiselle riville lisäsi ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla. Rivi kerrotaan yleensä suullisesti tai luonnoksessa, kun taas laskelmien henkinen kulku on jotain tällaista:

"Kirjoitan uudelleen matriisin ja kirjoitan ensimmäisen rivin uudelleen: »

Ensimmäinen sarake ensin. Alla minun täytyy saada nolla. Siksi kerron yllä olevan yksikön -2:lla ja lisään ensimmäisen toiselle riville: 2 + (-2) = 0. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

"Nyt toinen sarake. Yli -1 kertaa -2: . Lisään ensimmäisen toiselle riville: 1 + 2 = 3. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

"Ja kolmas sarake. Yli -5 kertaa -2: . Lisään ensimmäisen rivin toiselle riville: -7 + 10 = 3. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

Mieti tarkkaan tätä esimerkkiä ja ymmärrä peräkkäisen laskenta-algoritmi, jos ymmärrät tämän, niin Gaussin menetelmä on käytännössä "taskussasi". Mutta luonnollisesti työskentelemme edelleen tämän muutoksen parissa.

Elementaarimuunnokset eivät muuta yhtälöjärjestelmän ratkaisua

! HUOMIO: harkittuja manipulaatioita ei voi käyttää, jos sinulle tarjotaan tehtävää, jossa matriisit annetaan "itse". Esimerkiksi "klassisella" matriisejaÄlä missään tapauksessa saa järjestää mitään uudelleen matriisien sisällä! Palataan järjestelmäämme. Hän on käytännössä murtunut palasiksi.

Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi ja pelkistetään se alkeismuunnoksilla porrastettu näkymä:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ja vielä: miksi kerromme ensimmäisen rivin -2:lla? Saadakseen nollan alareunaan, mikä tarkoittaa eroon yhdestä muuttujasta toisella rivillä.

(2) Jaa toinen rivi 3:lla.

Alkeismuunnosten tarkoitus – muuntaa matriisi askelmuotoon: . Tehtävän suunnittelussa he piirtävät "tikkaat" suoraan yksinkertaisella kynällä ja ympyröivät myös "portailla" olevat numerot. Termi "askelmainen näkymä" itsessään ei ole täysin teoreettinen, vaan tieteellisessä ja opetuskirjallisuudessa sitä kutsutaan usein ns. puolisuunnikkaan muotoinen näkymä tai kolmiomainen näkymä.

Alkuainemuunnosten tuloksena olemme saaneet vastaava alkuperäinen yhtälöjärjestelmä:

Nyt järjestelmä on "kierrettävä" vastakkaiseen suuntaan - alhaalta ylöspäin, tätä prosessia kutsutaan käänteinen Gaussin menetelmä.

Alemmassa yhtälössä meillä on jo valmis tulos: .

Tarkastellaan järjestelmän ensimmäistä yhtälöä ja korvataan siihen jo tunnettu "y":n arvo:

Tarkastellaan yleisintä tilannetta, jolloin kolmen tuntemattoman lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaisemiseen tarvitaan Gaussin menetelmä.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi:

Piirrän nyt heti tuloksen, johon tulemme ratkaisun aikana: Ja toistan, tavoitteemme on saattaa matriisi porrastettuun muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia. Mistä alkaa toimia?

Katso ensin vasemmassa yläkulmassa olevaa numeroa: Pitäisi olla melkein aina täällä yksikkö. Yleisesti ottaen myös -1 (ja joskus muutkin luvut) sopivat, mutta jotenkin perinteisesti on käynyt niin, että sinne yleensä sijoitetaan yksikkö. Kuinka organisoida yksikkö? Katsomme ensimmäistä saraketta - meillä on valmis yksikkö! Muunnos yksi: vaihda ensimmäinen ja kolmas rivi:

Nyt ensimmäinen rivi pysyy muuttumattomana ratkaisun loppuun asti. Nyt hyvin.

Vasemmassa yläkulmassa oleva yksikkö on järjestetty. Nyt sinun on saatava nollia näissä paikoissa:

Nollat ​​saadaan vain "vaikean" muunnoksen avulla. Ensin käsittelemme toista riviä (2, -1, 3, 13). Mitä pitää tehdä nollan saamiseksi ensimmäiselle sijalle? Tarve lisää toiselle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -2:lla. Henkisesti tai luonnoksessa kerromme ensimmäisen rivin -2:lla: (-2, -4, 2, -18). Ja teemme jatkuvasti (taas henkisesti tai luonnoksessa) lisäystä, toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin, joka on jo kerrottu -2:lla:

Tulos kirjoitetaan toiselle riville:

Vastaavasti käsittelemme kolmatta riviä (3, 2, -5, -1). Jotta saat nollan ensimmäiselle paikalle, sinun on lisää kolmannelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla. Henkisesti tai luonnoksessa kerromme ensimmäisen rivin -3:lla: (-3, -6, 3, -27). Ja kolmanteen riviin lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla:

Tulos kirjoitetaan kolmannelle riville:

Käytännössä nämä toimet suoritetaan yleensä suullisesti ja kirjataan ylös yhdessä vaiheessa:

Kaikkea ei tarvitse laskea kerralla ja samaan aikaan. Laskelmien järjestys ja tulosten "lisääminen". johdonmukainen ja yleensä näin: kirjoitamme ensin ensimmäisen rivin uudelleen ja puhaltelemme hiljaa - JOHDONMUKAISESTI ja HUOLELLISESTI:
Ja olen jo tarkastellut itse laskelmien henkistä kulkua yllä.

Tässä esimerkissä tämä on helppo tehdä, jaamme toisen rivin -5:llä (koska kaikki siellä olevat luvut ovat jaollisia 5:llä ilman jäännöstä). Samanaikaisesti jaamme kolmannen rivin -2:lla, koska mitä pienempi numero, sitä yksinkertaisempi ratkaisu:

Alkeismuunnosten viimeisessä vaiheessa on saatava yksi nolla lisää tästä:

Tätä varten kolmannelle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -2:lla:
Yritä jäsentää tämä toiminto itse - kerro henkisesti toinen rivi -2:lla ja suorita yhteenlasku.

Viimeinen suoritettu toimenpide on tuloksen kampaus, jaa kolmas rivi 3:lla.

Alkuainemuunnosten tuloksena saatiin ekvivalentti alkuperäinen lineaariyhtälöjärjestelmä: Viileä.

Nyt tulee esiin Gaussin menetelmän käänteinen kulku. Yhtälöt "purkautuvat" alhaalta ylöspäin.

Kolmannessa yhtälössä meillä on jo lopullinen tulos:

Katsotaanpa toista yhtälöä: . "z":n merkitys on jo tiedossa, joten:

Ja lopuksi ensimmäinen yhtälö: . "Y" ja "Z" tunnetaan, asia on pieni:

Vastaus:

Kuten on toistuvasti todettu, missä tahansa yhtälöjärjestelmässä on mahdollista ja välttämätöntä tarkistaa löydetty ratkaisu, onneksi tämä ei ole vaikeaa ja nopeaa.

Esimerkki 2

Tämä on esimerkki itseratkaisusta, näyte viimeistelystä ja vastaus oppitunnin lopussa.

On huomattava, että sinun toimintatapa ei ehkä ole sama kuin toimintani, ja tämä on Gaussin menetelmän ominaisuus. Mutta vastausten on oltava samat!

Esimerkki 3

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Katsomme vasemman yläkulman "askelta". Siellä meillä pitäisi olla yksikkö. Ongelmana on, että ensimmäisessä sarakkeessa ei ole ketään, joten rivien uudelleenjärjestelyllä ei voida ratkaista mitään. Tällaisissa tapauksissa yksikkö on organisoitava alkeismuunnolla. Tämä voidaan yleensä tehdä useilla tavoilla. Tein tämän: (1) Ensimmäiselle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -1:llä. Toisin sanoen kerroimme henkisesti toisen rivin -1:llä ja lisäsimme ensimmäisen ja toisen rivin, kun taas toinen rivi ei muuttunut.

Nyt vasemmassa yläkulmassa "miinus yksi", joka sopii meille täydellisesti. Se, joka haluaa saada +1, voi suorittaa lisäeleen: kerro ensimmäinen rivi -1:llä (muuta sen merkkiä).

(2) Ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla lisättiin kolmanteen riviin.

(3) Ensimmäinen rivi kerrottiin -1:llä, periaatteessa tämä on kauneuden vuoksi. Myös kolmannen rivin merkki muutettiin ja siirrettiin toiselle paikalle, joten toisessa ”askeleessa meillä oli haluttu yksikkö.

(4) Toinen rivi kerrottuna 2:lla lisättiin kolmanteen riviin.

(5) Kolmas rivi jaettiin kolmella.

Huono merkki, joka osoittaa laskentavirheen (harvemmin kirjoitusvirheen), on "huono" tulos. Eli jos saamme jotain alla olevan kaltaista, ja vastaavasti , niin suurella todennäköisyydellä voidaan väittää, että alkeismuunnosten aikana on tapahtunut virhe.

Veloitamme käänteisen liikkeen, esimerkkien suunnittelussa itse järjestelmää ei usein kirjoiteta uudelleen, ja yhtälöt "otetaan suoraan annetusta matriisista". Käänteinen liike, muistutan teitä, toimii alhaalta ylöspäin. Kyllä, tässä on lahja:

Vastaus: .

Esimerkki 4

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, se on hieman monimutkaisempi. Ei haittaa, jos joku on hämmentynyt. Koko ratkaisu ja malliesimerkki oppitunnin lopussa. Ratkaisusi voi poiketa minun ratkaisustani.

Viimeisessä osassa tarkastelemme joitain Gauss-algoritmin ominaisuuksia. Ensimmäinen ominaisuus on, että joskus järjestelmän yhtälöistä puuttuu joitain muuttujia, esimerkiksi: Kuinka kirjoittaa oikein järjestelmän lisätty matriisi? Puhuin tästä hetkestä jo oppitunnilla. Cramerin sääntö. Matriisimenetelmä. Järjestelmän laajennetussa matriisissa laitamme nollia puuttuvien muuttujien tilalle: Muuten, tämä on melko helppo esimerkki, koska ensimmäisessä sarakkeessa on jo yksi nolla ja suoritettavaa alkeismuunnoksia on vähemmän.

Toinen ominaisuus on tämä. Kaikissa tarkasteluissa esimerkeissä sijoitimme "askeliin" joko -1 tai +1. Voiko muita numeroita olla? Joissakin tapauksissa voivat. Harkitse järjestelmää: .

Tässä vasemmassa yläkulmassa "askel" meillä on kakkonen. Mutta huomaamme sen tosiasian, että kaikki ensimmäisen sarakkeen numerot ovat jaollisia kahdella ilman jäännöstä - ja vielä kahdella ja kuudella. Ja vasemmassa yläkulmassa oleva kakkonen sopii meille! Ensimmäisessä vaiheessa sinun on suoritettava seuraavat muunnokset: lisää ensimmäinen rivi kerrottuna -1:llä toiselle riville; lisää kolmannelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla. Siten saamme halutut nollat ​​ensimmäiseen sarakkeeseen.

Tai toinen hypoteettinen esimerkki: . Täällä myös toisen "asteikon" kolmoisosa sopii meille, koska 12 (paikka, josta meidän on saatava nolla) on jaollinen 3:lla ilman jäännöstä. On tarpeen suorittaa seuraava muunnos: kolmanteen riviin lisätään toinen rivi kerrottuna -4:llä, minkä seurauksena tarvitsemme nolla.

Gaussin menetelmä on universaali, mutta siinä on yksi erikoisuus. Voit luottavaisesti oppia ratkaisemaan järjestelmiä muilla menetelmillä (Cramerin menetelmä, matriisimenetelmä) kirjaimellisesti ensimmäisestä kerrasta lähtien - on erittäin jäykkä algoritmi. Mutta tunteaksesi itsevarmaksi Gauss-menetelmässä, sinun tulee "täytä kätesi" ja ratkaista vähintään 5-10 kymmenen järjestelmää. Siksi aluksi voi olla sekaannusta, laskuvirheitä, eikä tässä ole mitään epätavallista tai traagista.

Sateinen syyssää ikkunan ulkopuolella .... Siksi kaikille monimutkaisempi esimerkki itsenäisestä ratkaisusta:

Esimerkki 5

Ratkaise 4 lineaarisen yhtälön järjestelmä neljällä tuntemattomalla Gaussin menetelmällä.

Tällainen tehtävä ei käytännössä ole niin harvinainen. Uskon, että jopa teekannu, joka on tutkinut tämän sivun yksityiskohtaisesti, ymmärtää algoritmin tällaisen järjestelmän ratkaisemiseksi intuitiivisesti. Pohjimmiltaan sama - vain enemmän toimintaa.

Oppitunnilla tarkastellaan tapauksia, joissa järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukaisia) tai ratkaisuja on äärettömän monta. Yhteensopimattomat järjestelmät ja järjestelmät, joissa on yhteinen ratkaisu. Siellä voit korjata Gaussin menetelmän tarkasteltavan algoritmin.

Toivon sinulle menestystä!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2: Ratkaisu : Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon.
Suoritetut alkeismuunnokset: (1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä. Huomio! Tässä saattaa olla houkuttelevaa vähentää ensimmäinen kolmannesta rivistä, en suosittele vähentämistä - virheriski kasvaa huomattavasti. Me vain kippaamme! (2) Toisen rivin etumerkki muutettiin (kerroin -1). Toinen ja kolmas rivi on vaihdettu. merkintä että "askelissa" olemme tyytyväisiä paitsi yhteen, myös -1:een, mikä on vielä kätevämpää. (3) Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna 5:llä. (4) Toisen rivin etumerkki muutettiin (kerroin -1). Kolmas rivi jaettiin 14:llä.

Käänteinen liike:

Vastaus : .

Esimerkki 4: Ratkaisu : Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon:

Suoritetut konversiot: (1) Toinen rivi lisättiin ensimmäiselle riville. Siten haluttu yksikkö on järjestetty vasemman yläkulman "askeleen". (2) Ensimmäinen rivi kerrottuna 7:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 6:lla lisättiin kolmanteen riviin.

Toisessa "vaiheessa" kaikki on pahempaa , sen "ehdokkaat" ovat numerot 17 ja 23, ja tarvitsemme joko yhden tai -1:n. Muunnoksilla (3) ja (4) pyritään saamaan haluttu yksikkö (3) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä. (4) Kolmas rivi kerrottuna -3:lla lisättiin toiselle riville. Tarvittava asia toisessa vaiheessa vastaanotetaan . (5) Kolmannelle riville lisätään toinen, kerrottuna 6:lla. (6) Toinen rivi kerrottiin -1:llä, kolmas rivi jaettiin -83:lla.

Käänteinen liike:

Vastaus :

Esimerkki 5: Ratkaisu : Kirjataan ylös järjestelmän matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

Suoritetut konversiot: (1) Ensimmäinen ja toinen rivi on vaihdettu. (2) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin neljännelle riville kerrottuna -3:lla. (3) Toinen rivi kerrottuna 4:llä lisättiin kolmanteen riviin ja toinen rivi kerrottuna -1:llä lisättiin neljännelle riville. (4) Toisen rivin merkki on muutettu. Neljäs rivi jaettiin kolmella ja sijoitettiin kolmannen rivin sijaan. (5) Kolmas rivi lisättiin neljännelle riville kerrottuna -5:llä.

Käänteinen liike:

Vastaus :

Jo 1500-1700-luvun alusta lähtien matemaatikot alkoivat tutkia intensiivisesti toimintoja, joiden ansiosta elämässämme on muuttunut niin paljon. Tietotekniikkaa ei yksinkertaisesti olisi olemassa ilman tätä tietoa. Monimutkaisten ongelmien, lineaaristen yhtälöiden ja funktioiden ratkaisemiseksi on luotu erilaisia ​​käsitteitä, lauseita ja ratkaisutekniikoita. Yksi sellaisista universaaleista ja rationaalisista menetelmistä ja tekniikoista lineaaristen yhtälöiden ja niiden järjestelmien ratkaisemiseksi oli Gaussin menetelmä. Matriisit, niiden sijoitus, determinantti - kaikki voidaan laskea ilman monimutkaisia ​​​​toimintoja.

Mikä on SLAU

Matematiikassa on käsite SLAE - lineaarinen järjestelmä algebralliset yhtälöt. Mitä hän edustaa? Tämä on joukko m yhtälöitä, joissa on vaaditut n tuntematonta, jotka yleensä merkitään x, y, z tai x 1 , x 2 ... x n tai muilla symboleilla. Ratkaise Gaussin menetelmällä tämä järjestelmä- tarkoittaa kaikkien tarvittavien tuntemattomien löytämistä. Jos järjestelmässä on sama numero tuntemattomia ja yhtälöitä, niin sitä kutsutaan n:nnen kertaluvun järjestelmäksi.

Suosituimmat menetelmät SLAE:n ratkaisemiseksi

AT koulutusinstituutiot toisen asteen koulutuksessa opiskelevat erilaisia ​​tekniikoita tällaisten järjestelmien ratkaisemiseksi. Useimmiten nämä ovat yksinkertaisia ​​yhtälöitä, jotka koostuvat kahdesta tuntemattomasta, joten mistä tahansa olemassa oleva menetelmä ei kestä kauan löytää vastauksia niihin. Se voi olla kuin korvausmenetelmä, kun yhdestä yhtälöstä johdetaan toinen yhtälö ja korvataan se alkuperäisellä. Tai termi kerrallaan vähennys- ja yhteenlasku. Mutta Gaussin menetelmää pidetään helpoimpana ja universaalimpana. Se mahdollistaa yhtälöiden ratkaisemisen millä tahansa määrällä tuntemattomia. Miksi tätä tekniikkaa pidetään järkevänä? Kaikki on yksinkertaista. Matriisimenetelmä on hyvä, koska se ei vaadi useita kertoja tarpeettomien merkkien uudelleenkirjoittamista tuntemattomien muotoon, riittää, että teet aritmeettisia operaatioita kertoimille - ja saat luotettavan tuloksen.

Missä SLAE:itä käytetään käytännössä?

SLAE:n ratkaisu ovat funktioiden kuvaajien viivojen leikkauspisteet. Korkean teknologian tietokoneaikakaudellamme pelien ja muiden ohjelmien kehittämiseen tiiviisti osallistuvien ihmisten on tiedettävä, kuinka tällaisia ​​järjestelmiä ratkaistaan, mitä ne edustavat ja miten tuloksena olevan tuloksen oikeellisuus tarkistetaan. Useimmiten ohjelmoijat kehittävät erityisiä lineaarisia algebralaskimia, joihin sisältyy lineaarinen yhtälöjärjestelmä. Gaussin menetelmän avulla voit laskea kaikki olemassa olevat ratkaisut. Myös muita yksinkertaistettuja kaavoja ja tekniikoita käytetään.

SLAE-yhteensopivuuskriteeri

Tällainen järjestelmä voidaan ratkaista vain, jos se on yhteensopiva. Selvyyden vuoksi esitämme SLAE:n muodossa Ax=b. Sillä on ratkaisu, jos rang(A) on yhtä kuin rang(A,b). Tässä tapauksessa (A,b) on laajennettu muotomatriisi, joka voidaan saada matriisista A kirjoittamalla se uudelleen vapailla termeillä. Osoittautuu, että lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen Gaussin menetelmällä on melko helppoa.

Ehkä jotkut merkinnät eivät ole täysin selvät, joten on tarpeen tarkastella kaikkea esimerkin avulla. Oletetaan, että on olemassa järjestelmä: x+y=1; 2x-3v = 6. Se koostuu vain kahdesta yhtälöstä, joissa on 2 tuntematonta. Järjestelmällä on ratkaisu vain, jos sen matriisin arvo on sama kuin lisätyn matriisin arvo. Mikä on arvosana? Tämä on järjestelmän itsenäisten juovien lukumäärä. Meidän tapauksessamme matriisin arvo on 2. Matriisi A koostuu tuntemattomien lähellä sijaitsevista kertoimista, ja myös ”=”-merkin takana olevat kertoimet sopivat laajennettuun matriisiin.

Miksi SLAE voidaan esittää matriisimuodossa

Todetun Kronecker-Capellin lauseen mukaisen yhteensopivuuskriteerin perusteella lineaarialgebrallinen yhtälöjärjestelmä voidaan esittää matriisimuodossa. Käyttämällä Gaussin kaskadimenetelmää voit ratkaista matriisin ja saada ainoan luotettavan vastauksen koko järjestelmälle. Jos tavallisen matriisin arvo on yhtä suuri kuin sen laajennetun matriisin arvo, mutta pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, niin järjestelmällä on ääretön määrä vastauksia.

Matriisimuunnokset

Ennen kuin siirryt matriisien ratkaisemiseen, on tarpeen tietää, mitä toimia niiden elementeille voidaan suorittaa. On olemassa useita perusmuunnoksia:

• Kirjoittamalla järjestelmä uudelleen matriisimuotoon ja suorittamalla sen ratkaisu on mahdollista kertoa kaikki sarjan alkiot samalla kertoimella.
• Matriisin muuntamiseksi kanoniseen muotoon voidaan vaihtaa kaksi rinnakkaista riviä. Kanoninen muoto tarkoittaa, että kaikista matriisin elementeistä, jotka sijaitsevat päälävistäjällä, tulee ykkösiä ja lopuista nollia.
• Matriisin rinnakkaisten rivien vastaavat elementit voidaan lisätä toisiinsa.

Jordan-Gaussin menetelmä

Lineaaristen homogeenisten ja epähomogeenisten yhtälöiden ratkaisujen ydin Gaussin menetelmällä on tuntemattomien asteittainen eliminointi. Oletetaan, että meillä on kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kaksi tuntematonta. Niiden löytämiseksi sinun on tarkistettava järjestelmän yhteensopivuus. Gaussin yhtälö ratkaistaan ​​hyvin yksinkertaisesti. Jokaisen tuntemattoman lähellä sijaitsevat kertoimet on kirjoitettava matriisimuotoon. Järjestelmän ratkaisemiseksi sinun on kirjoitettava lisätty matriisi. Jos jokin yhtälöistä sisältää pienemmän määrän tuntemattomia, puuttuvan elementin tilalle on laitettava "0". Matriisiin sovelletaan kaikkia tunnettuja muunnosmenetelmiä: kertominen, jako luvulla, rivien vastaavien elementtien lisääminen toisiinsa ja muut. Osoittautuu, että jokaisella rivillä on jätettävä yksi muuttuja arvolla "1", loput tulee vähentää nollaan. Tarkempaa ymmärtämistä varten on tarpeen tarkastella Gaussin menetelmää esimerkein.

Yksinkertainen esimerkki 2x2-järjestelmän ratkaisemisesta

Otetaan aluksi yksinkertainen algebrallinen yhtälöjärjestelmä, jossa on 2 tuntematonta.

Kirjoitetaan se uudelleen lisättyyn matriisiin.

Tämän lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi tarvitaan vain kaksi operaatiota. Meidän on saatettava matriisi kanoniseen muotoon niin, että päädiagonaalilla on yksiköitä. Kääntämällä siis matriisimuodosta takaisin järjestelmään, saadaan yhtälöt: 1x+0y=b1 ja 0x+1y=b2, missä b1 ja b2 ovat ratkaisuprosessissa saadut vastaukset.

1. Ensimmäinen vaihe lisätyn matriisin ratkaisemisessa on seuraava: ensimmäinen rivi on kerrottava -7:llä ja vastaavat elementit lisätään vastaavasti toiseen riviin, jotta päästään eroon yhdestä tuntemattomasta toisessa yhtälössä.
2. Koska yhtälöiden ratkaisu Gaussin menetelmällä edellyttää matriisin saattamista kanoniseen muotoon, on tarpeen tehdä samat toiminnot ensimmäisen yhtälön kanssa ja poistaa toinen muuttuja. Tätä varten vähennämme toisen rivin ensimmäisestä ja saamme tarvittavan vastauksen - SLAE:n ratkaisun. Tai, kuten kuvassa, kerromme toisen rivin kertoimella -1 ja lisäämme toisen rivin elementit ensimmäiseen riviin. Tämä on sama.

Kuten näet, järjestelmämme on ratkaistu Jordan-Gauss-menetelmällä. Kirjoitetaan se uudelleen vaadittuun muotoon: x=-5, y=7.

Esimerkki SLAE 3x3:n ratkaisemisesta

Oletetaan, että meillä on monimutkaisempi lineaarinen yhtälöjärjestelmä. Gaussin menetelmä mahdollistaa vastauksen laskemisen jopa hämmentävällekin järjestelmälle. Siksi, jotta voimme syventää laskentamenetelmää, voimme siirtyä monimutkaisempaan esimerkkiin, jossa on kolme tuntematonta.

Kuten edellisessä esimerkissä, kirjoitamme järjestelmän uudelleen laajennetun matriisin muotoon ja alamme tuoda sen kanoniseen muotoon.

Tämän järjestelmän ratkaisemiseksi sinun on suoritettava paljon enemmän toimintoja kuin edellisessä esimerkissä.

1. Ensin sinun on tehtävä ensimmäiseen sarakkeeseen yksi elementti ja loput nollia. Tee tämä kertomalla ensimmäinen yhtälö -1:llä ja lisäämällä siihen toinen yhtälö. On tärkeää muistaa, että kirjoitamme ensimmäisen rivin uudelleen alkuperäisessä muodossaan ja toisen - jo muokatussa muodossa.
2. Seuraavaksi poistamme saman ensimmäisen tuntemattoman kolmannesta yhtälöstä. Tätä varten kerromme ensimmäisen rivin elementit -2:lla ja lisäämme ne kolmanteen riviin. Nyt ensimmäinen ja toinen rivi kirjoitetaan uudelleen alkuperäisessä muodossaan ja kolmas - jo muutoksilla. Kuten tuloksesta näkyy, saimme ensimmäisen matriisin päädiagonaalin alkuun ja loput ovat nollia. Vielä muutama toiminto ja yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä ratkaistaan ​​luotettavasti.
3. Nyt sinun on suoritettava toimintoja rivien muille elementeille. Kolmas ja neljäs vaihe voidaan yhdistää yhdeksi. Meidän on jaettava toinen ja kolmas rivi -1:llä päästäksemme eroon diagonaalin negatiivisista. Olemme jo saaneet kolmannen rivin vaadittuun muotoon.
4. Seuraavaksi kanonisoimme toisen rivin. Tätä varten kerromme kolmannen rivin elementit -3:lla ja lisäämme ne matriisin toiselle riville. Tuloksesta voidaan nähdä, että myös toinen rivi on pelkistetty tarvitsemamme muotoon. Jää vielä tehdä muutama operaatio ja poistaa tuntemattomien kertoimet ensimmäiseltä riviltä.
5. Jotta rivin toisesta elementistä saadaan 0, sinun on kerrottava kolmas rivi -3:lla ja lisättävä se ensimmäiseen riviin.
6. Seuraava ratkaiseva askel on lisätä ensimmäiseen riviin tarvittavat elementit toinen rivi. Joten saamme matriisin kanonisen muodon ja vastaavasti vastauksen.

Kuten näet, yhtälöiden ratkaisu Gaussin menetelmällä on melko yksinkertainen.

Esimerkki 4x4 yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta

Jotkut monimutkaisemmat yhtälöjärjestelmät voidaan ratkaista Gaussin menetelmällä tietokoneohjelmia käyttämällä. Tuntemattomien kertoimet on ohjattava olemassa oleviin tyhjiin soluihin, jolloin ohjelma laskee vaaditun tuloksen askel askeleelta ja kuvailee jokaisen toimenpiteen yksityiskohtaisesti.

Kuvailtu alla vaiheittaiset ohjeet ratkaisuja tähän esimerkkiin.

Ensimmäisessä vaiheessa vapaat kertoimet ja luvut tuntemattomille syötetään tyhjiin soluihin. Siten saamme saman lisätyn matriisin, jonka kirjoitamme käsin.

Ja kaikki tarvittavat aritmeettiset operaatiot suoritetaan laajennetun matriisin saattamiseksi kanoniseen muotoon. On ymmärrettävä, että vastaus yhtälöjärjestelmään ei aina ole kokonaislukuja. Joskus ratkaisu voi olla murtoluvuista.

Ratkaisun oikeellisuuden tarkistaminen

Jordan-Gaussin menetelmä mahdollistaa tuloksen oikeellisuuden tarkistamisen. Saadaksesi selville, onko kertoimet laskettu oikein, sinun tarvitsee vain korvata tulos alkuperäiseen yhtälöjärjestelmään. Yhtälön vasemman puolen tulee vastata oikeaa puolta, joka on yhtäläisyysmerkin takana. Jos vastaukset eivät täsmää, sinun on laskettava järjestelmä uudelleen tai yritettävä käyttää jotakin muuta sinulle tiedossa olevaa SLAE-ratkaisumenetelmää, kuten korvaamista tai termikohtaista vähennystä ja yhteenlaskua. Loppujen lopuksi matematiikka on tiede, jolla on valtava määrä erilaisia ​​​​ratkaisumenetelmiä. Mutta muista: tuloksen tulee olla aina sama, riippumatta siitä, mitä ratkaisutapaa käytit.

Gaussin menetelmä: yleisimmät virheet SLAE:n ratkaisussa

Päätöksen aikana lineaariset järjestelmät yhtälöt, virheitä, kuten kertoimien virheellinen siirto matriisimuotoon, tapahtuu useimmiten. On järjestelmiä, joissa jotkin tuntemattomat puuttuvat jostakin yhtälöstä, jolloin siirrettäessä tiedot laajennettuun matriisiin, ne voivat kadota. Tämän seurauksena tätä järjestelmää ratkaistaessa tulos ei välttämättä vastaa todellista.

Toinen suurimmista virheistä voi olla virheellinen lopputuloksen kirjoittaminen. On ymmärrettävä selvästi, että ensimmäinen kerroin vastaa ensimmäistä järjestelmästä tuntematonta, toinen - toista ja niin edelleen.

Gaussin menetelmä kuvaa yksityiskohtaisesti lineaaristen yhtälöiden ratkaisua. Hänen ansiosta on helppo suorittaa tarvittavat toimenpiteet ja löytää oikea tulos. Lisäksi tämä on universaali työkalu luotettavan vastauksen löytämiseen minkä tahansa monimutkaisuuden yhtälöihin. Ehkä siksi sitä käytetään niin usein SLAE:n ratkaisemisessa.

Tänään käsittelemme Gaussin menetelmää lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi. Voit lukea siitä, mitä nämä järjestelmät ovat, edellisestä artikkelista, joka on omistettu saman SLAE:n ratkaisemiseen Cramer-menetelmällä. Gaussin menetelmä ei vaadi erityistä tietoa, tarvitaan vain huolellisuutta ja johdonmukaisuutta. Huolimatta siitä, että matematiikan näkökulmasta kouluvalmistelu riittää sen soveltamiseen, tämän menetelmän hallitseminen aiheuttaa usein vaikeuksia opiskelijoille. Tässä artikkelissa yritämme vähentää ne tyhjäksi!

Gaussin menetelmä

M Gaussin menetelmä on yleisin tapa ratkaista SLAE (lukuun ottamatta hyvin, hyvin suuria järjestelmiä). Toisin kuin aiemmin käsitelty, se ei sovellu vain järjestelmiin, joissa on ainutlaatuinen ratkaisu, vaan myös järjestelmiin, joissa on ääretön määrä ratkaisuja. Tässä on kolme vaihtoehtoa.

1. Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla);
2. Järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja;
3. Ratkaisuja ei ole, järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Joten meillä on järjestelmä (olkoon sillä yksi ratkaisu), ja aiomme ratkaista sen Gaussin menetelmällä. Kuinka se toimii?

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta - suorasta ja käänteisestä.

Suora Gaussin menetelmä

Ensin kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi. Tätä varten lisäämme päämatriisiin vapaan jäsenen sarakkeen.

Gaussin menetelmän koko olemus on pelkistää tämä matriisi porrastettuun (tai kuten sanotaan kolmiomaiseen) muotoon alkeismuunnosten avulla. Tässä muodossa matriisin päädiagonaalin alla (tai sen yläpuolella) pitäisi olla vain nollia.

Mitä voidaan tehdä:

1. Voit järjestää matriisin rivit uudelleen;
2. Jos matriisissa on identtisiä (tai suhteellisia) rivejä, voit poistaa ne kaikki yhtä lukuun ottamatta.
3. Voit kertoa tai jakaa merkkijonon millä tahansa luvulla (paitsi nollalla);
4. Nollaviivat poistetaan;
5. Voit lisätä merkkijonoon nollasta poikkeavalla luvulla kerrotun merkkijonon.

Käänteinen Gaussin menetelmä

Kun olemme muuttaneet järjestelmän tällä tavalla, yksi tuntematon xn tulee tunnetuksi, ja on mahdollista löytää kaikki jäljellä olevat tuntemattomat käänteisessä järjestyksessä korvaamalla jo tunnetut x:t järjestelmän yhtälöihin ensimmäiseen saakka.

Kun Internet on aina käsillä, voit ratkaista yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä verkossa. Sinun tarvitsee vain syöttää kertoimet online-laskuriin. Mutta täytyy myöntää, että on paljon miellyttävämpää huomata, että esimerkkiä ei ratkaissut tietokoneohjelma, vaan omat aivosi.

Esimerkki yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Ja nyt - esimerkki, jotta kaikki tulee selväksi ja ymmärrettäväksi. Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä, ja se on ratkaistava Gaussin menetelmällä:

Ensin kirjoitetaan lisätty matriisi:

Katsotaanpa nyt muunnoksia. Muista, että meidän on saavutettava matriisin kolmiomuoto. Kerro 1. rivi (3). Kerro 2. rivi arvolla (-1). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen ja saadaan:

Kerro sitten 3. rivi arvolla (-1). Lisätään 3. rivi toiseen:

Kerro ensimmäinen rivi (6). Kerro toinen rivi arvolla (13). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

Voila - järjestelmä saatetaan sopivaan muotoon. Vielä on löydettävä tuntemattomat:

Tämän esimerkin järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Käsittelemme erillisessä artikkelissa ratkaisua järjestelmiin, joissa on loputon joukko ratkaisuja. Ehkä aluksi et tiedä mistä aloittaa matriisimuunnokset, mutta sopivan harjoittelun jälkeen saat sen käsiisi ja napsaat Gaussin SLAE:tä kuin pähkinät. Ja jos kohtaat yhtäkkiä SLAU:n, joka osoittautuu liian kovaksi pähkinäksi, ota yhteyttä kirjoittajiimme! voit jättää hakemuksen kirjeenvaihtoon. Yhdessä ratkaisemme kaikki ongelmat!

Tarkastellaan tarkkoja menetelmiä järjestelmän ratkaisemiseksi; tässä on mittamatriisi

Tehtävän ratkaisumenetelmä luokitellaan eksaktiksi, jos se, olettaen, että pyöristyksiä ei ole, antaa tehtävälle tarkan ratkaisun äärellisen määrän aritmeettisia ja loogisia operaatioita jälkeen. Jos järjestelmän matriisin nollasta poikkeavien elementtien lukumäärä on suuruusluokkaa , niin useimmissa tällä hetkellä käytettävillä täsmällisillä menetelmillä tällaisten järjestelmien ratkaisemiseksi tarvittava määrä operaatioita on suuruusluokkaa . Siksi tarkkojen menetelmien sovellettavuuden kannalta on välttämätöntä, että tällainen toimintojen lukumääräjärjestys on hyväksyttävä tietylle tietokoneelle; muita rajoituksia asettaa tietokoneen muistin tilavuus ja rakenne.

"Tällä hetkellä käytössä olevia menetelmiä" koskevalla lausekkeella on seuraava merkitys. On olemassa menetelmiä tällaisten järjestelmien ratkaisemiseksi pienemmällä määrällä operaatioita, mutta niitä ei käytetä aktiivisesti, koska tulos on erittäin herkkä laskentavirheelle.

Tunnetuin täsmällisistä menetelmistä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on Gaussin eliminaatiomenetelmä. Tarkastellaanpa yhtä sen mahdollisista toteutuksista. Olettaen, että järjestelmän ensimmäinen yhtälö

jaetaan kertoimella , tuloksena saadaan yhtälö

Sitten kustakin jäljellä olevista yhtälöistä vähennetään ensimmäinen yhtälö, joka kerrotaan sopivalla kertoimella. Tämän seurauksena nämä yhtälöt muunnetaan muotoon

Ensimmäinen tuntematon osoittautui poissuljetuksi kaikista yhtälöistä paitsi ensimmäistä. Lisäksi olettaen, että jaetaan toinen yhtälö kertoimella ja jätetään tuntematon pois kaikista yhtälöistä, alkaen toisesta jne. Tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin seurauksena yhtälöjärjestelmä muuttuu järjestelmäksi yhtälöt kolmiomatriisilla

Suoritettua laskutoimitusjoukkoa, jonka aikana alkuperäinen tehtävä muutettiin muotoon (2), kutsutaan Gaussin menetelmän suoraksi kurssiksi.

Järjestelmän (2) yhtälöstä määritetään , alkaen jne. asti . Tällaisten laskelmien kokonaisuutta kutsutaan Gaussin menetelmän käänteiseksi kurssiksi.

On helppo tarkistaa, että Gaussin menetelmän eteenpäinliikkeen toteuttaminen vaatii aritmeettisia operaatioita ja taaksepäin ajo vaatii aritmeettisia operaatioita.

Poikkeus syntyy seuraavien operaatioiden seurauksena: 1) yhtälön jakaminen luvulla k , 2) vähennetään tällaisen jaon jälkeen saatu yhtälö kerrottuna luvulla k . Ensimmäinen operaatio vastaa vasemmalla olevan yhtälöjärjestelmän kertomista diagonaalimatriisilla

toinen operaatio vastaa kertomista vasemmalla matriisilla

Siten näiden muunnosten tuloksena saatu järjestelmä (2) voidaan kirjoittaa muodossa

Vasemman (oikean) kolmiomatriisin tulo on vasen (oikea) kolmiomatriisi, joten C on vasen kolmiomatriisi. Käänteimatriisin elementtien kaavasta

tästä seuraa, että matriisi käänteinen vasemmalle (oikealle) kolmiolle on vasen (oikea) kolmio. Siksi matriisi on vasen kolmion muotoinen.

Otetaan käyttöön merkintä. Rakenteen mukaan kaikki ja matriisi D ovat suoran kolmion muotoisia. Tästä saamme matriisin A esityksen vasemman ja oikean kolmiomatriisin tulona:

Yhtälö yhdessä ehdon kanssa muodostaa yhtälöjärjestelmän kolmiomatriisien B ja : alkioiden suhteen. Koska for ja for , tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa muodossa

(3)

tai mikä on sama,

Käyttämällä ehtoa, että kaikki saamme toistuvuussuhteiden järjestelmän elementtien määrittämiseksi ja:

Laskelmat suoritetaan sarjoille peräkkäin. Tässä ja alla, jos ylempi summausraja on pienempi kuin alempi, oletetaan, että koko summa on nolla.

Siten järjestelmän (1) peräkkäisten muunnosten sijaan muotoon (2) voidaan suoraan laskea matriisit B ja käyttämällä kaavoja (4). Nämä laskelmat voidaan suorittaa vain, jos kaikki elementit eroavat nollasta. Olkoon matriisit päämollarien luokkaa matriisit A, B, D. Mukaan (3) . Koska sitten. Näin ollen

Joten kaavojen (4) mukaisten laskelmien suorittamiseksi on välttämätöntä ja riittävää täyttää ehdot

Joissakin tapauksissa tiedetään etukäteen, että ehto (5) täyttyy. Esimerkiksi monet matemaattisen fysiikan ongelmat rajoittuvat positiivisen määrätyn matriisin A sisältävien järjestelmien ratkaisemiseen. yleinen tapaus tätä ei voi sanoa etukäteen. Tällainen tapaus on myös mahdollista: kaikki, mutta määrien joukossa on hyvin pieniä, ja niillä jaettuna saadaan suuria lukuja suurilla absoluuttisilla virheillä. Tämän seurauksena ratkaisu vääristyy voimakkaasti.

Merkitään. Koska ja , sitten yhtäläisyydet pätevät. Näin ollen, kun alkuperäisen järjestelmän matriisi on hajotettu vasemman ja oikean kolmion matriisien tuloksi, alkuperäisen järjestelmän ratkaisu pelkistetään kahden järjestelmän peräkkäiseksi ratkaisuksi, joissa on kolmiomatriisi; tämä vaatisi aritmeettisia operaatioita.

Usein on kätevää yhdistää operaatiosarja matriisin A hajottamiseksi kolmiomatriisien tuloksi ja vektorin d määrittämiseksi. Yhtälöt

järjestelmät voidaan kirjoittaa muodossa

Siksi arvot voidaan laskea samanaikaisesti muiden arvojen kanssa kaavoilla (4).

Käytännön ongelmia ratkaistaessa tulee usein välttämättömäksi ratkaista yhtälöjärjestelmät matriisilla, joka sisältää suuren määrän nollaelementtejä.

Tyypillisesti näillä matriiseilla on niin kutsuttu kaistarakenne. Tarkemmin sanottuna matriisia A kutsutaan -diagonaaliksi tai sillä on kaistarakenne, jos . Numeroa kutsutaan nauhan leveydeksi. Osoittautuu, että kun yhtälöjärjestelmä ratkaistaan ​​nauhamatriisilla Gaussin menetelmällä, aritmeettisten operaatioiden määrää ja tarvittavaa tietokoneen muistin määrää voidaan vähentää merkittävästi.

Tehtävä 1. Tutki Gaussin menetelmän ominaisuuksia ja menetelmää järjestelmän ratkaisemiseksi käyttämällä kaistamatriisin A hajottamista vasemman ja oikean kolmiomatriisin tuloksi. Osoita, että aritmeettisia operaatioita tarvitaan ratkaisun löytämiseen (for ). Etsi operaatioiden määrän johtava jäsen ehdon alla.

Tehtävä 2. Arvioi ladatun tietokoneen muistin määrä Gaussin menetelmällä kaistamatriiseille.

Kun lasketaan ilman tietokoneen apua, on suuri todennäköisyys satunnaisia ​​virheitä. Tällaisten virheiden poistamiseksi otetaan joskus käyttöön ohjausjärjestelmä, joka koostuu järjestelmän yhtälöiden ohjauselementeistä

Yhtälöitä muunnettaessa ohjauselementeille suoritetaan samat toiminnot kuin yhtälöiden vapaille jäsenille. Tämän seurauksena jokaisen uuden yhtälön ohjauselementin on oltava yhtä suuri kuin tämän yhtälön kertoimien summa. Suuri ero niiden välillä osoittaa virheitä laskelmissa tai laskenta-algoritmin epävakautta suhteessa laskentavirheeseen.

Esimerkiksi kun yhtälöjärjestelmä saatetaan muotoon kaavojen (4) avulla, järjestelmän kunkin yhtälön ohjauselementti lasketaan samoilla kaavoilla (4). Kaikkien elementtien laskemisen jälkeen suoritetaan kiinteä ohjaus tarkastamalla tasa-arvo

Gaussin menetelmän käänteiseen kulkuun liittyy myös järjestelmärivien ohjauselementtien laskenta.

Laskennallisen virheen katastrofaalisen vaikutuksen välttämiseksi pääelementin valinnassa käytetään Gaussin menetelmää.

Sen ero edellä kuvatusta Gaussin menetelmän kaaviosta on seuraava. Olkoon tuntemattomien poistamisen aikana yhtälöjärjestelmä

Etsitään sellainen, että ja uudelleen merkitse ja ; sitten poistamme tuntemattoman kaikista yhtälöistä alkaen . Tällainen uudelleenmäärittely johtaa tuntemattomien eliminointijärjestyksen muutokseen ja vähentää monissa tapauksissa merkittävästi ratkaisun herkkyyttä laskelmien pyöristysvirheille.

Usein joudutaan ratkaisemaan useita yhtälöjärjestelmiä samalla matriisilla A. On kätevää edetä seuraavasti: ottamalla käyttöön merkintä

Suoritetaan laskutoimitukset kaavoilla (4) ja lasketaan alkiot kohdassa . Tuloksena saadaan p yhtälöjärjestelmä kolmiomatriisilla, jotka vastaavat alkuperäistä ongelmaa

Ratkaisemme nämä järjestelmät kukin erikseen. Osoittautuu, että aritmeettisten operaatioiden kokonaismäärä ratkaistaessa p yhtälöjärjestelmää tällä tavalla on .

Edellä kuvattua tekniikkaa käytetään toisinaan arvioimaan ratkaisun virhettä, joka johtuu laskelmien pyöristysvirheistä, ilman merkittäviä lisäkustannuksia. Ne annetaan vektorilla z komponenteilla, joilla on, mikäli mahdollista, sama järjestys ja etumerkki kuin halutun ratkaisun komponenteilla; usein riittämättömän tiedon puutteen vuoksi. Vektori lasketaan, ja yhdessä alkuperäisen yhtälöjärjestelmän kanssa järjestelmä ratkaistaan.

Olkoon ja z näiden järjestelmien tosiasiallisesti saadut ratkaisut. Arvio halutun ratkaisun virheestä voidaan saada hypoteesin perusteella: suhteelliset virheet eliminointimenetelmällä ratkaistavissa järjestelmissä, joissa on sama matriisi ja eri oikeat puolet, jotka ovat vastaavasti arvot ja , eroavat ei kovin monta kertaa.

Toinen tekniikka laskelmissa pyöristyksestä syntyvän virheen todellisen arvon arvioimiseksi on muuttaa asteikkoa, mikä muuttaa kuvaa laskennallisen virheen kertymisestä.

Alkuperäisen järjestelmän ohella järjestelmä on ratkaistu samalla menetelmällä

Sillä ja , jotka eivät ole kahden kokonaislukupotenssia, vektorien vertailu ja antaa käsityksen laskentavirheen suuruudesta. Voit esimerkiksi ottaa.

Monien ongelmien tutkiminen johtaa tarpeeseen ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa on symmetrinen positiivinen määrätty matriisi. Tällaisia ​​järjestelmiä syntyy esimerkiksi ratkaistaessa differentiaaliyhtälöt elementtimenetelmä tai äärellisen erotuksen menetelmät. Näissä tapauksissa järjestelmän matriisilla on myös kaistarakenne.

Menetelmä neliöjuuri(Cholesky-menetelmä). Matriisi A esitetään muodossa

missä S on suorakulmainen kolmiomatriisi, on sen konjugaatti, ts.

kaikki ovat diagonaalimatriisia, joiden elementit ovat yhtä suuria tai -1. Matriisiyhtälö (6) muodostaa yhtälöjärjestelmän

Samanlaiset yhtälöt hylätään, koska pareja ja vastaavat yhtälöt ovat ekvivalentteja. Täältä saamme toistuvat kaavat elementtien määrittämiseksi ja:

Matriisi S on suorakulmainen kolmion muotoinen, joten esityksen (6) saamisen jälkeen alkuperäisen järjestelmän ratkaisu pelkistyy myös kahden kolmiomatriisijärjestelmän peräkkäisratkaisuksi. Huomaa, että kaikkien ja .

Tehtävä 3. Arvioi aritmeettisten operaatioiden määrä ja tietokoneen muistin kuormitus (olettaen, että matriisin A tallentamiseen tarvittavan muistin määrä pienenee), kun ratkaistaan ​​neliöjuurimenetelmällä systeemi, jossa on todellinen positiivinen määrätty matriisi A.

Monet ohjelmistopaketit matemaattisen fysiikan raja-arvoongelmien ratkaisemiseksi elementtimenetelmällä on järjestetty seuraavan kaavion mukaisesti. Kun järjestelmän A matriisi on muodostettu järjestämällä rivejä ja sarakkeita uudelleen (sekä rivit että sarakkeet järjestetään samanaikaisesti uudelleen), järjestelmä muunnetaan pienimmän nauhaleveyden omaavaan muotoon. Seuraavaksi käytetään neliöjuurimenetelmää. Samanaikaisesti laskutoimitusten määrän vähentämiseksi ratkaistaessa järjestelmää, jossa on toiset oikeat puolet, matriisi S tallennetaan muistiin.