Fakta 1.
\(\bullet\) Ota jokin ei-negatiivinen luku \(a\) (eli \(a\geqslant 0\) ). Sitten (aritmeettinen) neliöjuuri luvusta \(a\) kutsutaan sellainen ei-negatiivinen luku \(b\), jonka neliöitäessä saamme luvun \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama as )\quad a=b^2\] Määritelmästä seuraa, että \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Nämä rajoitukset ovat tärkeä ehto neliöjuuren olemassaololle, ja ne tulee muistaa!
Muista, että mikä tahansa luku neliöitynä antaa ei-negatiivisen tuloksen. Eli \(100^2=10000\geqslant 0\) ja \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Mikä on \(\sqrt(25)\)? Tiedämme, että \(5^2=25\) ja \((-5)^2=25\) . Koska määritelmän mukaan meidän on löydettävä ei-negatiivinen luku, \(-5\) ei ole sopiva, joten \(\sqrt(25)=5\) (koska \(25=5^2\) ).
Arvon \(\sqrt a\) löytämistä kutsutaan luvun \(a\) neliöjuuren ottamiseksi, ja lukua \(a\) kutsutaan juurilausekkeeksi.
\(\bullet\) Määritelmän perusteella lausekkeet \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) jne. ei ole järkeä.

Fakta 2.
Nopeita laskelmia varten on hyödyllistä oppia luonnollisten lukujen neliötaulukko \(1\) - \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Mitä neliöjuurilla voidaan tehdä?
\(\bullet\) Neliöjuurien summa tai erotus EI OLE YHTÄÄN summan tai erotuksen neliöjuuren kanssa, ts. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jos sinun on siis laskettava esimerkiksi \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , sinun on ensin löydettävä arvot \(\sqrt(25)\) ja \(\sqrt (49)\ ) ja laske ne sitten yhteen. Näin ollen \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jos arvoja \(\sqrt a\) tai \(\sqrt b\) ei löydy lisättäessä \(\sqrt a+\sqrt b\), tällaista lauseketta ei muunneta enempää ja se säilyy sellaisena kuin se on. Esimerkiksi summasta \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) voimme löytää \(\sqrt(49)\) - tämä on \(7\) , mutta \(\sqrt 2\) ei voi olla muunnetaan millään tavalla, siksi \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Lisäksi tätä ilmaisua ei valitettavasti voi yksinkertaistaa millään tavalla.\(\bullet\) Neliöjuurien tulo/osamäärä on yhtä suuri kuin tulon/osamäärän neliöjuuri, ts. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (edellyttäen, että yhtäläisyyden molemmat osat ovat järkeviä)
Esimerkki: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Näitä ominaisuuksia käyttämällä on kätevää löytää suurten lukujen neliöjuuret kertomalla ne.
Harkitse esimerkkiä. Etsi \(\sqrt(44100)\) . Koska \(44100:100=441\) , sitten \(44100=100\cdot 441\) . Jaotuvuuskriteerin mukaan luku \(441\) on jaollinen luvulla \(9\) (koska sen numeroiden summa on 9 ja on jaollinen 9:llä), joten \(441:9=49\) , eli \(441=9\ cdot 49\) .
Saimme siis: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Katsotaanpa toista esimerkkiä: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Näytetään, kuinka neliöjuuren alle syötetään numeroita käyttämällä esimerkkiä lausekkeesta \(5\sqrt2\) (lyhenne lausekkeesta \(5\cdot \sqrt2\) ). Koska \(5=\sqrt(25)\) , niin \ Huomaa myös, että esim.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Miksi niin? Selitetään esimerkillä 1). Kuten jo ymmärsit, emme voi jotenkin muuntaa numeroa \(\sqrt2\) . Kuvittele, että \(\sqrt2\) on jokin luku \(a\) . Vastaavasti lauseke \(\sqrt2+3\sqrt2\) on vain \(a+3a\) (yksi numero \(a\) plus kolme muuta samaa numeroa \(a\) ). Ja tiedämme, että tämä on yhtä suuri kuin neljä tällaista lukua \(a\) , eli \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Usein sanotaan "juurta ei voi purkaa", kun juuren (radikaalin) merkistä \(\sqrt () \ \) ei ole mahdollista päästä eroon jonkin luvun arvoa löydettäessä. Voit esimerkiksi juurtaa luvun \(16\), koska \(16=4^2\) , joten \(\sqrt(16)=4\) . Mutta juuren erottaminen luvusta \(3\) eli \(\sqrt3\) on mahdotonta, koska ei ole sellaista lukua, joka neliössä antaisi \(3\) .
Tällaiset luvut (tai lausekkeet sellaisilla numeroilla) ovat irrationaalisia. Esimerkiksi numerot \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) jne. ovat irrationaalisia.
Irrationaalisia ovat myös luvut \(\pi\) (luku "pi", suunnilleen yhtä suuri kuin \(3,14\) ), \(e\) (tätä lukua kutsutaan Euler-luvuksi, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin \(2) ,7\) ) jne.
\(\bullet\) Huomaa, että mikä tahansa luku on joko rationaalinen tai irrationaalinen. Ja yhdessä kaikki rationaaliset ja kaikki irrationaaliset luvut muodostavat joukon nimeltä joukko todellisia (todellisia) lukuja. Tämä joukko on merkitty kirjaimella \(\mathbb(R)\) .
Tämä tarkoittaa, että kaikkia tällä hetkellä tuntemiamme lukuja kutsutaan reaaliluvuiksi.

Fakta 5.
\(\bullet\) Reaaliluvun moduuli \(a\) on ei-negatiivinen luku \(|a|\) yhtä suuri kuin etäisyys reaaliluvun pisteestä \(a\) \(0\) linja. Esimerkiksi \(|3|\) ja \(|-3|\) ovat yhtä kuin 3, koska etäisyydet pisteistä \(3\) ja \(-3\) \(0\) ovat sama ja yhtä suuri kuin \(3 \) .
\(\bullet\) Jos \(a\) on ei-negatiivinen luku, niin \(|a|=a\) .
Esimerkki: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jos \(a\) on negatiivinen luku, niin \(|a|=-a\) .
Esimerkki: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
He sanovat, että negatiivisille luvuille moduuli "syö" miinuksen ja positiiviset luvut sekä luvun \(0\) moduuli jättää ennalleen.
MUTTA tämä sääntö koskee vain numeroita. Jos sinulla on tuntematon \(x\) (tai jokin muu tuntematon) moduulimerkin alla, esimerkiksi \(|x|\) , josta emme tiedä onko se positiivinen, yhtä suuri kuin nolla vai negatiivinen, niin emme voi päästä eroon moduulista. Tässä tapauksessa tämä lauseke pysyy seuraavana: \(|x|\) . \(\bullet\) Seuraavat kaavat ovat voimassa: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \teksti (jos ) a\geqslant 0\] Usein tehdään seuraava virhe: sanotaan, että \(\sqrt(a^2)\) ja \((\sqrt a)^2\) ovat sama asia. Tämä on totta vain, kun \(a\) on positiivinen luku tai nolla. Mutta jos \(a\) on negatiivinen luku, tämä ei ole totta. Riittää, kun pohditaan tällaista esimerkkiä. Otetaan luku \(-1\) \(a\) sijaan. Silloin \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mutta lauseketta \((\sqrt (-1))^2\) ei ole ollenkaan (koska se on mahdotonta juurimerkin alle laita negatiiviset luvut!).
Siksi kiinnitämme huomiosi siihen tosiasiaan, että \(\sqrt(a^2)\) ei ole yhtä suuri kuin \((\sqrt a)^2\) ! Esimerkki: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), koska \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Koska \(\sqrt(a^2)=|a|\) , niin \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (lauseke \(2n\) tarkoittaa parillista lukua)
Toisin sanoen, kun juuri erotetaan luvusta, joka on jossain määrin, tämä aste puolitetaan.
Esimerkki:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (huomaa, että jos moduulia ei ole asetettu, käy ilmi, että luvun juuri on yhtä suuri kuin \(-25) \) ; mutta muistamme , joka juuren määritelmän mukaan ei voi olla: juurta poimittaessa tulee aina saada positiivinen luku tai nolla)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (koska mikä tahansa luku parilliseen potenssiin ei ole negatiivinen)

Fakta 6.
Kuinka verrata kahta neliöjuurta?
\(\bullet\) Tosi neliöjuurille: jos \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEsimerkki:
1) vertaa \(\sqrt(50)\) ja \(6\sqrt2\) . Ensin muunnamme toisen lausekkeen muotoon \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Siten vuodesta \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Minkä kokonaislukujen välissä on \(\sqrt(50)\) ?
Koska \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ja \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vertaa \(\sqrt 2-1\) ja \(0,5\) . Oletetaan \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(tasattu) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((lisää yksi molemmille puolille))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((neliöi molemmat osat))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(tasattu)\] Näemme, että olemme saaneet väärän epätasa-arvon. Siksi oletuksemme oli väärä ja \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Huomaa, että tietyn luvun lisääminen epäyhtälön molemmille puolille ei vaikuta sen etumerkkiin. Epäyhtälön molempien osien kertominen/jako positiivisella luvulla ei myöskään vaikuta sen etumerkkiin, mutta kertominen/jako negatiivisella luvulla kääntää epäyhtälön etumerkin!
Yhtälön/epäyhtälön molemmat puolet voidaan neliöidä VAIN JOS molemmat puolet eivät ole negatiivisia. Esimerkiksi edellisen esimerkin epäyhtälössä voit neliöttää molemmat puolet, epäyhtälössä \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Huomaa tämä \[\begin(tasattu) &\sqrt 2\noin 1,4\\ &\sqrt 3\noin 1,7 \end(tasattu)\] Näiden numeroiden likimääräisen merkityksen tunteminen auttaa sinua vertailemaan lukuja! \(\bullet\) Jotta juuri (jos se erotetaan) jostakin suuresta luvusta, jota ei ole neliötaulukossa, voidaan erottaa, sinun on ensin määritettävä, minkä "satojen" välillä se on, sitten minkä "kymmenien" välillä. ja määritä sitten tämän luvun viimeinen numero. Näytämme esimerkin avulla, miten se toimii.
Ota \(\sqrt(28224)\) . Tiedämme, että \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) ja niin edelleen. Huomaa, että \(28224\) on välillä \(10\,000\) ja \(40\,000\) . Siksi \(\sqrt(28224)\) on välillä \(100\) ja \(200\) .
Määritetään nyt, minkä "kymmenien" välissä lukumme on (eli esimerkiksi välillä \(120\) ja \(130\) ). Neliötaulukosta tiedämme myös, että \(11^2=121\) , \(12^2=144\) jne., sitten \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Joten näemme, että \(28224\) on välillä \(160^2\) ja \(170^2\) . Siksi numero \(\sqrt(28224)\) on välillä \(160\) ja \(170\) .
Yritetään määrittää viimeinen numero. Muistetaan mitä yksinumeroiset luvut neliöitettäessä antavat lopussa \ (4 \) ? Nämä ovat \(2^2\) ja \(8^2\) . Siksi \(\sqrt(28224)\) päättyy joko numeroon 2 tai 8. Tarkistetaan tämä. Etsi \(162^2\) ja \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Tästä syystä \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Jotta matematiikan tentti voitaisiin ratkaista asianmukaisesti, on ensinnäkin tarpeen tutkia teoreettista materiaalia, joka esittelee lukuisia lauseita, kaavoja, algoritmeja jne. Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että tämä on melko yksinkertaista. Kuitenkin sellaisen lähteen löytäminen, jossa matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon teoria esitetään helposti ja ymmärrettävästi minkä tahansa koulutustason opiskelijoille, on itse asiassa melko vaikea tehtävä. Koulukirjoja ei aina voi pitää käsillä. Ja matematiikan tentin peruskaavojen löytäminen voi olla vaikeaa jopa Internetistä.

Miksi matematiikan teorian opiskelu on niin tärkeää, ei vain kokeeseen osallistuville?

1. Koska se laajentaa näköalojasi. Matematiikan teoreettisen materiaalin opiskelu on hyödyllistä kaikille, jotka haluavat saada vastauksia monenlaisiin maailman tuntemiseen liittyviin kysymyksiin. Luonnossa kaikki on järjestettyä ja sillä on selkeä logiikka. Juuri tämä heijastuu tieteeseen, jonka kautta on mahdollista ymmärtää maailmaa.
2. Koska se kehittää älyä. Opiskellessaan matematiikan tentin viitemateriaaleja sekä ratkaisemalla erilaisia ​​​​ongelmia ihminen oppii ajattelemaan ja päättelemään loogisesti, muotoilemaan ajatuksia oikein ja selkeästi. Hän kehittää kykyä analysoida, yleistää ja tehdä johtopäätöksiä.

Kutsumme sinut henkilökohtaisesti arvioimaan kaikkia koulutusmateriaalien systematisointiin ja esittämiseen liittyvää lähestymistapaamme.

Oppilaat kysyvät aina: ”Miksi en voi käyttää laskinta matematiikan kokeessa? Kuinka erottaa luvun neliöjuuri ilman laskinta? Yritetään vastata tähän kysymykseen.

Kuinka erottaa luvun neliöjuuri ilman laskimen apua?

Toiminta neliöjuuren uuttaminen neliöinnin vastakohta.

√81= 9 9 2 =81

Jos otamme positiivisen luvun neliöjuuren ja neliöimme tuloksen, saamme saman luvun.

Pienistä luvuista, jotka ovat luonnollisten lukujen tarkkoja neliöitä, esimerkiksi 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, neliöjuuret voidaan erottaa sanallisesti. Yleensä koulussa opetetaan luonnollisten lukujen neliötaulukkoa kahteenkymmeneen asti. Kun tiedät tämän taulukon, on helppo poimia neliöjuuret luvuista 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Lukuista, jotka ovat suurempia kuin 400, voit poimia valintamenetelmällä joidenkin vinkkien avulla. Kokeillaan esimerkkiä tämän menetelmän pohtimiseksi.

Esimerkki: Poimi luvun 676 juuri.

Huomaamme, että 20 2 \u003d 400 ja 30 2 \u003d 900, mikä tarkoittaa 20< √676 < 900.

Luonnollisten lukujen tarkat neliöt päättyvät nollaan; yksi; neljä; 5; 6; 9.
Numeron 6 antaa 4 2 ja 6 2 .
Joten, jos juuri on otettu luvusta 676, se on joko 24 tai 26.

Vielä on tarkistettava: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Vastaus: √676 = 26 .

Lisää esimerkki: √6889 .

Vuodesta 80 2 \u003d 6400 ja 90 2 \u003d 8100, sitten 80< √6889 < 90.
Numeron 9 antaa 3 2 ja 7 2, sitten √6889 on joko 83 tai 87.

Tarkista: 83 2 = 6889.

Vastaus: √6889 = 83 .

Jos sinun on vaikea ratkaista valintamenetelmällä, voit kertoa juurilausekkeen.

Esimerkiksi, etsi √893025.

Lasketaanpa luku 893025, muista, teit sen kuudennella luokalla.

Saamme: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Lisää esimerkki: √20736. Lasketaan luku 20736:

Saamme √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Tietysti factoring vaatii jakokriteerien tuntemusta ja factoring-taitoja.

Ja lopuksi on olemassa neliöjuuren sääntö. Tarkastellaan tätä sääntöä esimerkin avulla.

Laske √279841.

Poimimme moninumeroisen kokonaisluvun juuren jakamalla sen oikealta vasemmalle kasvoiksi, joissa kussakin on 2 numeroa (vasemmassa ääripinnassa voi olla yksi numero). Kirjoita näin 27'98'41

Saadaksesi juuren (5) ensimmäisen numeron, erotamme neliöjuuren suurimmasta tarkasta neliöstä, joka sisältyy ensimmäisessä vasemmassa puolella (27).
Sitten juuren (25) ensimmäisen numeron neliö vähennetään ensimmäisestä pinnasta ja seuraava pinta (98) lasketaan (purkataan) erotukseen.
Tuloksena olevan luvun 298 vasemmalle puolelle he kirjoittavat juuren kaksinumeroisen numeron (10), jakavat sillä aiemmin saadun luvun kaikkien kymmenien lukumäärän (29/2 ≈ 2), kokevat osamäärän (102 ∙ 2 = 204 ei saa olla suurempi kuin 298) ja kirjoita (2) juuren ensimmäisen numeron jälkeen.
Sitten tuloksena saatu osamäärä 204 vähennetään luvusta 298, ja seuraava puoli (41) lasketaan (purkataan) erotukselle (94).
Tuloksena olevan luvun 9441 vasemmalle puolelle he kirjoittavat juuren numeroiden kaksoistulon (52 ∙ 2 = 104), jakavat tällä tulolla luvun 9441 kaikkien kymmenien lukumäärän (944/104 ≈ 9), kokemus osamäärän (1049 ∙ 9 = 9441) tulee olla 9441 ja kirjoita se ylös (9) juuren toisen numeron jälkeen.

Saimme vastauksen √279841 = 529.

Poimi samalla tavalla desimaalien juuret. Vain radikaaliluku tulee jakaa kasvoiksi niin, että pilkku on kasvojen välissä.

Esimerkki. Etsi arvo √0,00956484.

Muista vain, että jos desimaalimurtoluvussa on pariton määrä desimaaleja, neliöjuurta ei eroteta siitä tarkasti.

Joten, nyt olet nähnyt kolme tapaa purkaa juuri. Valitse itsellesi sopivin ja harjoittele. Jotta voit oppia ratkaisemaan ongelmia, sinun on ratkaistava ne. Ja jos sinulla on kysyttävää, ilmoittaudu tunneilleni.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Ratkaistaessa erilaisia ​​​​ongelmia matematiikan ja fysiikan kurssista, oppilaat ja opiskelijat kohtaavat usein tarpeen poimia toisen, kolmannen tai n:nnen asteen juuret. Tietenkin vuosisadalla tietotekniikat Tällaista ongelmaa ei ole vaikea ratkaista laskimen avulla. On kuitenkin tilanteita, joissa elektronista avustajaa ei voi käyttää.

Esimerkiksi elektroniikan tuominen moneen kokeeseen on kielletty. Lisäksi laskin ei välttämättä ole käsillä. Tällaisissa tapauksissa on hyödyllistä tietää ainakin joitain menetelmiä radikaalien manuaaliseen laskemiseen.

Yksi yksinkertaisimmista tavoista laskea juuret on käyttämällä erityistä pöytää. Mikä se on ja miten sitä käytetään oikein?

Taulukon avulla löydät minkä tahansa luvun väliltä 10 - 99 neliön. Samanaikaisesti taulukon riveillä on kymmeniä arvoja ja sarakkeilla yksikköarvoja. Rivin ja sarakkeen leikkauskohdassa oleva solu sisältää neliön kaksinumeroinen luku. Laskeaksesi neliön 63, sinun on löydettävä rivi, jonka arvo on 6, ja sarake, jonka arvo on 3. Leikkauksesta löydämme solun numerolla 3969.

Koska juuren erottaminen on neliöinnin käänteisoperaatio, tämän toiminnon suorittamiseksi sinun on toimittava päinvastoin: etsi ensin solu, jossa on numero, jonka radikaalin haluat laskea, ja määritä sitten vastaus sarakkeen ja rivin arvoista. Harkitse esimerkkinä luvun 169 neliöjuuren laskemista.

Löydämme taulukosta solun tällä numerolla, vaakasuunnassa määritämme kymmenet - 1, pystysuunnassa löydämme yksiköt - 3. Vastaus: √169 = 13.

Vastaavasti voit laskea kuutio- ja n:nnen asteen juuret käyttämällä sopivia taulukoita.

Menetelmän etuna on sen yksinkertaisuus ja lisälaskelmien puuttuminen. Haitat ovat ilmeiset: menetelmää voidaan käyttää vain rajoitetulle lukualueelle (luvun, jonka juuri löytyy, on oltava välillä 100 - 9801). Lisäksi se ei toimi, jos annettua numeroa ei ole taulukossa.

Alkutekijähajotelma

Jos neliötaulukkoa ei ole käsillä tai sen avulla oli mahdotonta löytää juuria, voit yrittää hajottaa juuren alla oleva luku alkutekijöiksi. Alkutekijät ovat sellaisia, jotka voidaan jakaa kokonaan (ilman jäännöstä) vain itsellään tai yhdellä. Esimerkkejä ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13 jne.

Harkitse juuren laskemista esimerkin √576 avulla. Jaetaan se yksinkertaisiin tekijöihin. Saamme seuraavan tuloksen: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Käyttämällä juurien pääominaisuutta √a² = a pääsemme eroon juurista ja neliöistä, minkä jälkeen laskemme vastauksen: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Mitä tehdä, jos jollakin tekijöistä ei ole omaa paria? Harkitse esimerkiksi √54:n laskentaa. Factoringin jälkeen saamme tuloksen seuraavassa muodossa: Ei-irrotettava osa voidaan jättää juuren alle. Useimmissa geometrian ja algebran ongelmissa tällainen vastaus lasketaan lopulliseksi. Mutta jos likimääräiset arvot on laskettava, voit käyttää menetelmiä, joista keskustellaan myöhemmin.

Heronin menetelmä

Mitä tehdä, kun sinun on tiedettävä ainakin suunnilleen, mikä erotettu juuri on (jos kokonaislukuarvoa ei voida saada)? Nopea ja melko tarkka tulos saadaan käyttämällä Heron-menetelmää.. Sen ydin on likimääräisen kaavan käyttö:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

jossa R on luku, jonka juuri on laskettava, a on lähin luku, jonka juuriarvo tunnetaan.

Katsotaan kuinka menetelmä toimii käytännössä ja arvioidaan kuinka tarkka se on. Lasketaan mikä √111 on yhtä suuri. Lähin luku 111, jonka juuri tunnetaan, on 121. Siten R = 111, a = 121. Korvaa kaavan arvot:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Tarkastetaan nyt menetelmän tarkkuus:

10,55² = 111,3025.

Menetelmän virhe oli noin 0,3. Jos menetelmän tarkkuutta on parannettava, voit toistaa aiemmin kuvatut vaiheet:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Tarkastetaan laskennan tarkkuus:

10,536² = 111,0073.

Toistuvan kaavan käytön jälkeen virheestä tuli melko merkityksetön.

Juuren laskeminen sarakkeeseen jakamalla

Tämä neliöjuuren arvon löytämismenetelmä on hieman monimutkaisempi kuin edelliset. Se on kuitenkin tarkin muiden laskentamenetelmien joukossa ilman laskinta..

Oletetaan, että sinun on löydettävä neliöjuuri 4 desimaalin tarkkuudella. Analysoidaan laskenta-algoritmia mielivaltaisen luvun 1308.1912 esimerkillä.

1. Jaa paperiarkki kahteen osaan pystyviivalla ja vedä siitä toinen viiva oikealle, hieman yläreunan alapuolelle. Kirjoitamme numeron vasemmalle puolelle jakamalla sen 2 numeron ryhmiin siirtyen desimaalipilkun oikealle ja vasemmalle puolelle. Vasemmalla oleva ensimmäinen numero voi olla ilman paria. Jos merkki puuttuu numeron oikealta puolelta, tulee lisätä 0. Meidän tapauksessamme saamme 13 08.19 12.
2. Valitaan suurin luku, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin ensimmäinen numeroryhmä. Meidän tapauksessamme tämä on 3. Kirjoita se oikeaan yläkulmaan; 3 on tuloksen ensimmäinen numero. Oikeassa alakulmassa merkitsemme 3 × 3 = 9; tätä tarvitaan myöhempiä laskelmia varten. Vähennä 9 sarakkeen 13:sta, saamme loppuosan 4.
3. Lisätään seuraava numeropari jäännökseen 4; saamme 408.
4. Kerro oikeassa yläkulmassa oleva luku kahdella ja kirjoita se oikeaan alakulmaan lisäämällä siihen _ x _ =. Saamme 6_ x _ =.
5. Väliviivojen sijasta sinun on korvattava sama luku, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 408. Saamme 66 × 6 \u003d 396. Kirjoita 6 oikeaan yläkulmaan, koska tämä on tuloksen toinen numero. Vähennä 396 luvusta 408, saamme 12.
6. Toistetaan vaiheet 3-6. Koska alas siirretyt luvut ovat luvun murto-osassa, on tarpeen laittaa desimaalipiste oikeaan yläkulmaan 6:n jälkeen. Kirjoitetaan kaksinkertainen tulos viivoilla: 72_ x _ =. Sopiva luku olisi 1: 721 × 1 = 721. Kirjoita se vastaukseksi. Vähennetään 1219 - 721 = 498.
7. Suoritetaan edellisessä kappaleessa annettu toimintosarja vielä kolme kertaa saadaksesi tarvittavan määrän desimaaleja. Jos merkkejä ei ole riittävästi lisälaskelmia varten, on vasemmalla olevaan nykyiseen numeroon lisättävä kaksi nollaa.

Tuloksena saamme vastauksen: √1308.1912 ≈ 36.1689. Jos tarkistat toiminnon laskimella, voit varmistaa, että kaikki merkit on määritetty oikein.

Neliöjuuren arvon bittikohtainen laskenta

Menetelmä on erittäin tarkka. Lisäksi se on varsin ymmärrettävää, eikä se vaadi kaavojen ulkoa tai monimutkaista toiminta-algoritmia, koska menetelmän ydin on oikean tuloksen valinta.

Poimitaan juuri luvusta 781. Tarkastellaan yksityiskohtaisesti toimintojen järjestystä.

1. Selvitä, mikä neliöjuuren arvon numero on suurin. Tätä varten neliötetään 0, 10, 100, 1000 jne. ja selvitetään, minkä välissä juuriluku sijaitsee. Saamme sen 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Otetaan arvo kymmeniä. Tätä varten nostamme vuorotellen potenssiin 10, 20, ..., 90, kunnes saamme luvun, joka on suurempi kuin 781. Meidän tapauksessamme saamme 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Tuloksen n arvo on 20:n sisällä< n <30.
3. Samalla tavalla kuin edellisessä vaiheessa valitaan yksikkönumeron arvo. Neliöimme vuorotellen 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Saamme, että 78247.< n < 28.
4. Jokainen seuraava numero (kymmenesosat, sadasosat jne.) lasketaan samalla tavalla kuin yllä. Laskelmia suoritetaan, kunnes vaadittu tarkkuus on saavutettu.

Juuren poimiminen suuresta määrästä. Rakkaat ystävät!Tässä artikkelissa näytämme sinulle, kuinka voit ottaa suuren luvun juuren ilman laskinta. Tämä ei ole välttämätöntä vain tietyntyyppisten USE-ongelmien ratkaisemiseksi (sellaisia ​​​​ongelmia on liikkumiselle), vaan on myös toivottavaa tuntea tämä analyyttinen tekniikka yleistä matemaattista kehitystä varten.

Vaikuttaa siltä, ​​​​että kaikki on yksinkertaista: tee tekijöitä ja pura. Ei ole mitään ongelmaa. Esimerkiksi numero 291600, kun se on laajennettu, antaa tuotteelle:

Laskemme:

On yksi MUTTA! Menetelmä on hyvä, jos jakajat 2, 3, 4 ja niin edelleen ovat helposti määritettävissä. Mutta entä jos luku, josta poimimme juuren, on alkulukujen tulo? Esimerkiksi 152881 on lukujen 17, 17, 23, 23 tulo. Yritä löytää nämä jakajat heti.

Tarkastelemamme menetelmän ydin- tämä on puhdasta analyysiä. Kertyneen taidon juuri löytyy nopeasti. Jos taitoa ei kehitetä, mutta lähestymistapa yksinkertaisesti ymmärretään, se on hieman hitaampaa, mutta silti määrätietoista.

Otetaan vuoden 190969 juuret.

Määritetään ensin, minkä lukujen (sadan kerrannaisten) välissä tuloksemme on.

Tietenkin tietyn luvun juuren tulos on välillä 400 - 500, koska

400 2 = 160 000 ja 500 2 = 250 000

Todella:

keskellä, lähempänä 160 000 tai 250 000?

Numero 190969 on jossain keskellä, mutta silti lähempänä lukua 160000. Voimme päätellä, että juuremme tulos on alle 450. Tarkistetaan:

Itse asiassa se on alle 450, koska 190 969< 202 500.

Tarkastetaan nyt numero 440:

Joten tuloksemme on alle 440, koska 190 969 < 193 600.

Tarkista numero 430:

Olemme todenneet, että tämän juuren tulos on välillä 430-440.

Numeroihin 1 tai 9 päättyvien lukujen tulo antaa numeroon 1 päättyvän luvun. Esimerkiksi 21 kertaa 21 on 441.

Numeroihin 2 tai 8 päättyvien lukujen tulo antaa numeroon 4 päättyvän luvun. Esimerkiksi 18 kertaa 18 on 324.

Viiteen päättyvien lukujen tulo antaa viiteen päättyvän luvun. Esimerkiksi 25 kertaa 25 on 625.

Numeroihin 4 tai 6 päättyvien lukujen tulo antaa numeroon 6 päättyvän luvun. Esimerkiksi 26 kertaa 26 on 676.

Numeroihin 3 tai 7 päättyvien lukujen tulo antaa numeroon 9 päättyvän luvun. Esimerkiksi 17 kertaa 17 on 289.

Koska numero 190969 päättyy numeroon 9, tämä tuote on joko 433 tai 437.

*Ainoastaan ​​he voivat antaa lopussa 9 neliöitynä.

Tarkistamme:

Joten juuren tulos on 437.

Eli me tavallaan "tuntimme" oikean vastauksen.

Kuten näet, enimmäismäärä on suorittaa 5 toimintoa sarakkeessa. Ehkä pääset heti asiaan tai teet vain kolme toimenpidettä. Kaikki riippuu siitä, kuinka tarkasti teet alustavan arvion numerosta.

Pura oma juuresi 148996:sta

Tällainen erottaja saadaan ongelmassa:

Moottorilaiva kulkee jokea pitkin määränpäähän 336 km ja palaa pysäköinnin jälkeen lähtöpisteeseen. Selvitä laivan nopeus tyynessä vedessä, jos virran nopeus on 5 km/h, pysäköinti kestää 10 tuntia ja laiva palaa lähtöpisteeseen 48 tuntia siitä lähtemisen jälkeen. Anna vastauksesi yksikössä km/h.

Näytä ratkaisu

Juuren tulos on lukujen 300 ja 400 välissä:

300 2 =90000 400 2 =160000

Itse asiassa 90 000<148996<160000.

Lisäpäättelyn ydin on määrittää kuinka numero 148996 sijaitsee (etäisyys) suhteessa näihin lukuihin.

Laske erot 148996 – 90000=58996 ja 160000 – 148996=11004.

Osoittautuu, että 148996 on lähellä (paljon lähempänä) arvoa 160000. Siksi juuren tulos on varmasti suurempi kuin 350 ja jopa 360.

Voimme päätellä, että tuloksemme on suurempi kuin 370. Edelleen on selvää: koska 148996 päättyy numeroon 6, tämä tarkoittaa, että sinun on neliöitävä joko 4:ään tai 6:een päättyvä luku. *Vain nämä luvut, kun ne ovat neliöissä loppu 6.

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.