Je ukázáno, jak rozpoznat zobecněnou homogenní diferenciální rovnici. Je zvažována metoda řešení zobecněné homogenní diferenciální rovnice prvního řádu. Je uveden příklad detailní řešení taková rovnice.

Obsah

Definice

Zobecněná homogenní diferenciální rovnice prvního řádu je rovnice ve tvaru:
, kde ≠ 0 , α ≠ 1 , f - funkce.

Jak určit, zda je diferenciální rovnice zobecněná homogenní

Abychom určili, zda je diferenciální rovnice zobecněná homogenní, musíme zavést konstantu t a provést substituci:
y → tα y, x → t x.
Pokud se nám podaří zvolit takovou hodnotu α, při které bude konstanta t klesat, pak je to - zobecněná homogenní diferenciální rovnice. Změna v derivaci y′ pod takovým nahrazením má tvar:
.

Příklad

Určete, zda je daná rovnice zobecněná homogenní:
.

Provedeme změnu y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 rok:
;
.
Vydělte t α+ 5 :
;
.
Rovnice nebude obsahovat t if
4a-6 = 0, α = 3/2 .
Protože pro α = 3/2 , t se pak sníží toto je zobecněná homogenní rovnice.

Metoda řešení

Uvažujme zobecněnou homogenní diferenciální rovnici prvního řádu:
(1) .
Ukažme, že ji lze substitucí redukovat na homogenní rovnici:
t = xa.
Opravdu,
.
Odtud
; .
(1) :
;
.

Toto je homogenní rovnice. Řeší se substitucí:
y = z t,
kde z je funkce t.
Při řešení problémů je jednodušší okamžitě použít substituci:
y = z x α,
kde z je funkce x.

Příklad řešení zobecněné homogenní diferenciální rovnice 1. řádu

Řešte diferenciální rovnici
(str. 1) .

Zkontrolujme, zda je daná rovnice zobecněná homogenní. Pro toto v (str. 1) provedení náhrady:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 rok.
.
Dělit t α :
.
t se sníží, pokud dáme α = - 1 . Jedná se tedy o zobecněnou homogenní rovnici.

Provádíme substituci:
y = z x α = z x - 1 ,
kde z je funkce x.
.
Dosadíme do původní rovnice (str. 1):
(str. 1) ;
;
.
Vynásobte x a otevřete závorky:
;
;
.
Dělení proměnných - násobení dx a dělení x z 2 . Pro z ≠ 0 my máme:
.
Integrujeme pomocí tabulky integrálů:
;
;
;
.
Zesílit:
.
Nahradíme konstantu e C → C a odstraníme znaménko modulu, protože výběr požadovaného znaménka je určen volbou znaménka konstanty C:
.

Vrátíme se k proměnné y . Náhradník z = xy :
.
Dělit x:
(str. 2) .

Když jsme dělili z 2 , předpokládali jsme, že z ≠ 0 . Nyní zvažte řešení z = xy = 0 , nebo y = 0 .
Protože pro y = 0 , levá strana výrazu (str. 2) není definován, pak k získanému obecnému integrálu přičteme řešení y = 0 .

;
.

Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Sbírka úloh z vyšší matematiky, Lan, 2003.

Kliknutím na tlačítko "Stáhnout archiv" si zdarma stáhnete potřebný soubor.
Před stažením tohoto souboru si zapamatujte ty dobré eseje, kontrolní, semestrální práce, teze, články a další dokumenty, které nejsou nárokovány ve vašem počítači. To je vaše práce, měla by se podílet na rozvoji společnosti a prospívat lidem. Najděte tato díla a odešlete je do znalostní báze.
My a všichni studenti, postgraduální studenti, mladí vědci, kteří využívají znalostní základnu při svém studiu a práci, vám budeme velmi vděční.

Chcete-li stáhnout archiv s dokumentem, zadejte do pole níže pětimístné číslo a klikněte na tlačítko "Stáhnout archiv"

Podobné dokumenty

Cauchyovy úlohy pro diferenciální rovnice. Graf řešení diferenciální rovnice 1. řádu. Rovnice se separovatelnými proměnnými a redukující na homogenní. Homogenní a nehomogenní lineární rovnice 1. řádu. Bernoulliho rovnice.

přednáška, přidáno 18.08.2012


Základní pojmy teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Znaménko rovnice v celkové diferenciály, konstrukce obecného integrálu. Nejjednodušší případy hledání integračního faktoru. Případ multiplikátoru závislého pouze na X a pouze na Y.

semestrální práce, přidáno 24.12.2014


Zvláštnosti diferenciálních rovnic jako vztahy mezi funkcemi a jejich derivacemi. Důkaz věty o existenci a jednoznačnosti řešení. Příklady a algoritmy pro řešení rovnic totálních diferenciálů. Integrační faktor v příkladech.

semestrální práce, přidáno 2.11.2014


Diferenciální rovnice Riccati. Obecné řešení lineární rovnice. Nalezení všech možných řešení Bernoulliho diferenciální rovnice. Řešení rovnic se separovatelnými proměnnými. Obecná a speciální řešení Clairautovy diferenciální rovnice.

semestrální práce, přidáno 26.01.2015


Rovnice s oddělitelnými proměnnými. Homogenní a lineární diferenciální rovnice. Geometrické vlastnosti integrálních křivek. Totální diferenciál funkce dvou proměnných. Určení integrálu Bernoulliho metodami a variace libovolné konstanty.

abstrakt, přidáno 24.08.2015


Koncepce a řešení nejjednodušších diferenciálních rovnic a diferenciálních rovnic libovolného řádu, včetně těch s konstantními analytickými koeficienty. Soustavy lineárních rovnic. Asymptotické chování řešení některých lineárních systémů.

práce, přidáno 6.10.2010


Obecný integrál rovnice, aplikace Lagrangeovy metody pro řešení nehomogenní lineární rovnice s neznámou funkcí. Řešení diferenciální rovnice v parametrickém tvaru. Eulerova podmínka, rovnice prvního řádu v totálních diferenciálech.

kontrolní práce, přidáno 11.2.2011

def 1 ovládání typu

volala homogenní diferenciální rovnice prvního řádu(ÓDA).

Th1 Nechť jsou pro funkci splněny následující podmínky:

1) kontinuální při

Pak ODR (1) má společný integrál, který je dán vzorcem:

kde je nějaká primitivní funkce S je libovolná konstanta.

Poznámka 1 Pokud je u některých podmínka splněna, pak v procesu řešení ODR (1) může dojít ke ztrátě řešení formuláře, takové případy je třeba řešit opatrněji a kontrolovat každý zvlášť.

Tedy z věty Th1 by měl obecný algoritmus pro řešení ODR (1):

1) Proveďte náhradu:

2) Získá se tedy DE se separovatelnými proměnnými, které by měly být integrovány;

3) Návrat ke starým proměnným g;

4) Zkontrolujte hodnoty pro jejich zapojení do řešení originální dálkový ovladač, za kterých je podm

5) Zapište odpověď.

Příklad 1 Vyřešte DE (4).

Řešení: DE (4) je homogenní diferenciální rovnice, protože má tvar (1). Udělejme náhradu (3), tím se rovnice (4) dostane do tvaru:

Rovnice (5) je obecný integrál DE (4).

Všimněte si, že při oddělování proměnných a dělení může dojít ke ztrátě řešení, ale nejde o řešení DE (4), které lze snadno ověřit přímou substitucí na rovnost (4), protože tato hodnota není zahrnuta v oblasti definice původního DE.

Odpovědět:

Poznámka 2 Někdy lze psát ODR z hlediska diferenciálů proměnných X a y Z tohoto DE zápisu se doporučuje přejít k výrazu přes derivaci a teprve potom provést náhradu (3).

Diferenciální rovnice redukující na homogenní.

def 2 Funkce je volána homogenní funkce stupně k v oblasti, pro které bude rovnost splněna:

Zde jsou nejběžnější typy DE, které lze po různých transformacích redukovat do tvaru (1).

1) kde je funkce je homogenní, nulový stupeň, to znamená, že platí následující rovnost: DE (6) lze snadno zredukovat na tvar (1), pokud dáme , což je dále integrováno pomocí náhrady (3).

2) (7), kde jsou funkce stejného stupně homogenní k . DE formuláře (7) je také integrováno pomocí změny (3).

Příklad 2 Vyřešte DE (8).

Řešení: Ukažme, že DE (8) je homogenní. Dělíme tím, co je možné, protože to není řešení diferenciální rovnice (8).

Udělejme náhradu (3), tím se rovnice (9) dostane do tvaru:

Rovnice (10) je obecný integrál DE (8).

Všimněte si, že při oddělování proměnných a dělení pomocí , mohou být řešení odpovídající hodnotám a ztracena. Pojďme si tyto výrazy ověřit. Dosadíme je do DE (8):

Odpovědět:

Je zajímavé poznamenat, že při řešení tohoto příkladu se objeví funkce, která se nazývá "znaménko" čísla X(čti " signum x“), definovaný výrazem:

Poznámka 3 DE (6) nebo (7) není nutné přinášet do formuláře (1), pokud je zřejmé, že je DE homogenní, pak je možné ihned nahradit

3) DE formuláře (11) je integrováno jako ODR, pokud je substituce zpočátku provedena:

(12), kde je řešení soustavy: (13), a poté za funkci použijte náhradu (3) Po získání obecného integrálu se vraťte k proměnným X a v.

Jestliže , pak za předpokladu v rovnici (11) dostaneme DE se separovatelnými proměnnými.

Příklad 3 Vyřešte problém Cauchy (14).

Řešení: Ukažme, že DE (14) je redukováno na homogenní DE a integrováno podle výše uvedeného schématu:

Budeme řešit nehomogenní soustavu lineárních algebraické rovnice(15) Cramerova metoda:

Provedeme změnu proměnných a integrujeme výslednou rovnici:

(16) – Obecný integrál DE (14). Při dělení proměnných by mohlo dojít ke ztrátě řešení při dělení výrazem, který lze získat explicitně po vyřešení kvadratické rovnice. Jsou však zohledněny v obecném integrálu (16) at

Pojďme najít řešení Cauchyho problému: dosadíme hodnoty a do obecného integrálu (16) a najdeme S.

Částečný integrál tedy bude dán vzorcem:

Odpovědět:

4) Je možné vést některá DE k homogenním pro novou, dosud neznámou funkci, pokud použijeme substituci tvaru:

Zároveň číslo m je vybrána z podmínky, že se výsledná rovnice, pokud je to možné, stane do určité míry homogenní. Pokud to však nelze provést, nelze uvažované DE tímto způsobem redukovat na homogenní.

Příklad 4 Vyřešte DU. (osmnáct)

Řešení: Ukažme, že DE (18) je redukováno na homogenní DE pomocí substituce (17) a poté integrováno pomocí nahrazení (3):

Pojďme najít S:

Konkrétní řešení DE (24) má tedy tvar

.
Diferenciální rovnice.

§ 1. Základní pojmy z obyčejných diferenciálních rovnic.

Definice 1. Obyčejná diferenciální rovnice n-tý řád funkce y argument X se nazývá relace formy

kde F je daná funkce jeho argumentů. Ve jménu této třídy matematických rovnic termín „diferenciální“ zdůrazňuje, že zahrnují derivace
(funkce vzniklé jako výsledek diferenciace); termín - "obyčejný" říká, že požadovaná funkce závisí pouze na jednom skutečném argumentu.

Obyčejná diferenciální rovnice nemusí explicitně obsahovat argument X, požadovanou funkci
a kterýkoli z jeho derivátů, ale nejvyšší derivát
musí být zahrnuto do rovnice n- objednat. Například

A)
je rovnice prvního řádu;

b)
je rovnice třetího řádu.

Při psaní obyčejných diferenciálních rovnic se často používá zápis derivací přes diferenciály:

v)
je rovnice druhého řádu;

G)
je rovnice prvního řádu,

tvořící po rozdělení podle dx ekvivalentní tvar rovnice:
.

Funkce
se nazývá řešením obyčejné diferenciální rovnice, pokud se po dosazení do ní stane identitou.

Například rovnice 3. řádu

Má řešení
.

Najít tou či onou metodou, například výběrem, jednu funkci, která splňuje rovnici, neznamená její vyřešení. Řešit obyčejnou diferenciální rovnici znamená najít Všechno funkce, které tvoří identitu, když jsou dosazeny do rovnice. Pro rovnici (1.1) je rodina takových funkcí tvořena pomocí libovolných konstant a nazývá se obecné řešení obyčejné diferenciální rovnice nřádu a počet konstant se shoduje s řádem rovnice: y(X) : V tomto případě se řešení nazývá obecný integrál rovnice (1.1).

Například obecné řešení diferenciální rovnice
je následující výraz: , a druhý výraz lze také psát jako
, protože libovolná konstanta děleno 2 lze nahradit novou libovolnou konstantou .

Nastavením některých přípustných hodnot pro všechny libovolné konstanty v obecném řešení nebo v obecném integrálu získáme určitou funkci, která již libovolné konstanty neobsahuje. Tato funkce se nazývá partikulární řešení nebo partikulární integrál rovnice (1.1). K nalezení hodnot libovolných konstant, a tedy konkrétního řešení, se používají různé dodatečné podmínky k rovnici (1.1). Například lze zadat tzv. počáteční podmínky pro (1.2).

V pravých částech počátečních podmínek (1.2) jsou uvedeny číselné hodnoty funkce a derivace a celkový počet počátečních podmínek se rovná počtu určených libovolných konstant.

Problém nalezení konkrétního řešení rovnice (1.1) z počátečních podmínek se nazývá Cauchyho problém.

§ 2. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu - základní pojmy.

Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu ( n=1) má tvar:
nebo, pokud to lze vyřešit s ohledem na derivát:
. Společné rozhodnutí y= y(X,Z) nebo obecný integrál
Rovnice 1. řádu obsahují jednu libovolnou konstantu. Jediná počáteční podmínka pro rovnici 1. řádu
umožňuje určit hodnotu konstanty z obecného řešení nebo z obecného integrálu. Tak bude nalezeno konkrétní řešení nebo, což je také Cauchyho problém, bude vyřešen. Otázka existence a jedinečnosti řešení Cauchyho problému je jednou z ústředních otázek v obecná teorie obyčejné diferenciální rovnice. Zejména pro rovnici prvního řádu platí věta, která je zde přijata bez důkazu.

Věta 2.1. Je-li v rovnici funkce
a jeho parciální derivace
v nějaké oblasti nepřetržité D letadlo XOY a v této oblasti je uveden bod
, pak existuje a navíc unikátní řešení, které splňuje jak rovnici, tak i výchozí stav
.

Geometricky společné rozhodnutí Rovnice 1. řádu je rodina křivek v rovině XOY, kteří nemají společné body a liší se od sebe jedním parametrem – hodnotou konstanty C. Tyto křivky se pro danou rovnici nazývají integrální křivky. Integrální křivky rovnice mají zjevnou geometrickou vlastnost: v každém bodě je tečna sklonu tečny ke křivce rovna hodnotě pravé strany rovnice v tomto bodě:
. Jinými slovy, rovnice je dána v rovině XOY pole směrů tečen k integrálním křivkám. Komentář: Nutno podotknout, že pro rovnici
je uvedena rovnice a tzv. rovnice v symetrickém tvaru
.

§ 3. Diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými.

Definice. Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými je rovnice tvaru
(3.1)

nebo rovnice ve tvaru (3.2)

Aby bylo možné oddělit proměnné v rovnici (3.1), tzn. zredukujte tuto rovnici na tzv. rovnici s oddělenými proměnnými, proveďte následující akce:

;

Nyní musíme rovnici vyřešit G(y)= 0 . Jestli to má reálné řešení y= A, pak y= A bude také řešením rovnice (3.1).

Rovnice (3.2) se redukuje na oddělenou proměnnou rovnici dělením součinem
:

, což nám umožňuje získat obecný integrál rovnice (3.2):
. (3.3)

Integrální křivky (3.3) budou doplněny o řešení
pokud taková řešení existují.

Řešte rovnici: .

Oddělování proměnných:

.

Integrace, rozumíme

Dále z rovnic
a
nalézt X=1, y=-1. Tato rozhodnutí jsou soukromá rozhodnutí.

§ 4. Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu.

Definice 1. Rovnice 1. řádu se nazývá homogenní, pokud pro její pravou stranu pro jakoukoli
poměr
, nazývaná podmínka homogenity funkce dvou proměnných nulový rozměr.

Příklad 1 Ukažte tuto funkci
- homogenní měření nuly.

Řešení.

,

Q.E.D.

Teorém. Jakákoli funkce
je homogenní a naopak jakákoliv homogenní funkce
nulový rozměr je redukován na formu
.

Důkaz.

První tvrzení věty je zřejmé, protože
. Dokažme druhé tvrzení. Položme
, pak pro homogenní funkci
, což mělo být prokázáno.

Definice 2. Rovnice (4.1)

kde M a N jsou homogenní funkce stejného stupně, tzn. mít majetek pro všechny , se nazývá homogenní.

Je zřejmé, že tuto rovnici lze vždy zredukovat do tvaru
(4.2), i když to nemusí být provedeno, aby se to vyřešilo.

Homogenní rovnice se redukuje na rovnici s oddělitelnými proměnnými nahrazením požadované funkce y podle vzorce y= zx, kde z(X) je nová požadovaná funkce. Po provedení této substituce v rovnici (4.2) získáme:
nebo
nebo
.

Integrací získáme obecný integrál rovnice vzhledem k funkci z(X)
, který po opakované výměně
dává obecný integrál původní rovnice. Navíc pokud - kořeny rovnice
, pak funkce
- řešení homogenní dané rovnice. Li
, pak rovnice (4.2) nabývá tvaru

a stává se rovnicí s oddělitelnými proměnnými. Jeho řešení jsou polopřímá:
.

Komentář. Někdy je vhodné místo výše uvedené substituce použít substituci X= z y.

§ 5. Diferenciální rovnice redukující na homogenní.

Uvažujme rovnici tvaru
. (5.1)

Pokud
, pak je tato rovnice substitucí , kde a jsou nové proměnné a - některé konstantní čísla určeno ze systému

Redukováno na homogenní rovnici

Pokud
, pak rovnice (5.1) nabývá tvaru

.

Za předpokladu z= sekera+ podle, dospějeme k rovnici, která neobsahuje nezávislou proměnnou.

Zvažte příklady.

Příklad 1

Integrujte rovnici

a zvýrazněte integrální křivku procházející body: a) (2;2); b) (1;-1).

Řešení.

Položme y= zx. Pak dy= xdz+ zdx a

Pojďme to zkrátit a shromáždit členy na dx a dz:

Rozdělme proměnné:

.

Integrací získáme ;

nebo
,
.

Výměna zde z na , získáme obecný integrál dané rovnice ve tvaru (5.2)
nebo

.

Tato rodina kruhů
, jehož středy leží na přímce y = X a které jsou v počátku tečné k přímce y + X = 0. Tohle rovnouy = - X zase konkrétní řešení rovnice.

Nyní režim úloh Cauchy:

A) za předpokladu obecného integrálu X=2, y=2, nalézt C=2, takže požadované řešení je
.

B) žádná z kružnic (5.2) neprochází bodem (1;-1). Ale polořadovka y = - X,
prochází bodem a dává požadované řešení.

Příklad 2Řešte rovnici: .

Řešení.

Rovnice je speciálním případem rovnice (5.1).

Determinant
v tomto příkladu
, takže musíme vyřešit následující systém

Vyřešeno, máme to
. Provedení substituce v dané rovnici
, dostaneme homogenní rovnici . Integrace se substitucí
, shledáváme
.

Návrat ke starým proměnným X a y vzorce
, my máme .

§ 6. Zobecněná homogenní rovnice.

Rovnice M(X, y) dx+ N(X, y) dy=0 se nazývá zobecněná homogenní, pokud je možné takové číslo zvolit kže levá strana této rovnice se do určité míry stává homogenní funkcí m poměrně X, y, dx a dy pokud X se považuje za hodnotu prvního měření, y – k měření , dx a dy – nula a (k-1) měření. Například toto by byla rovnice
. (6.1)

Platí za předpokladu provedeného o měření

X, y, dx a dyčlenové levé strany
a dy bude mít příslušné rozměry -2, 2 k a k-jeden. Jejich přirovnáním získáme podmínku, kterou musí požadované číslo splňovat k: -2 = 2k=k-jeden. Tato podmínka je splněna, když k= -1 (s takovými k všechny členy na levé straně uvažované rovnice budou mít rozměr -2). V důsledku toho je rovnice (6.1) zobecněná homogenní.

Zobecněná homogenní rovnice je pomocí substituce redukována na rovnici se separovatelnými proměnnými
, kde z je nová neznámá funkce. Integrujme rovnici (6.1) naznačenou metodou. Protože k= -1, tedy
, po kterém dostaneme rovnici .

Když to integrujeme, zjistíme
, kde
. Toto je obecné řešení rovnice (6.1).

§ 7. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu.

Lineární rovnice 1. řádu je rovnice, která je lineární vzhledem k požadované funkci a její derivaci. Vypadá to, že:

, (7.1)

kde P(X) a Q(X) jsou uvedeny spojité funkce X. Pokud je funkce
, pak rovnice (7.1) má tvar:
(7.2)

a nazývá se lineární homogenní rovnice, jinak
nazývá se lineární nehomogenní rovnice.

Lineární homogenní diferenciální rovnice (7.2) je rovnice se separovatelnými proměnnými:

(7.3)

Výraz (7.3) je obecným řešením rovnice (7.2). Najít obecné řešení rovnice (7.1), ve které je funkce P(X) označuje stejnou funkci jako v rovnici (7.2), použijeme metodu zvanou metoda variace libovolné konstanty a spočívá v následujícím: zkusíme zvolit funkci C=C(X) takže obecné řešení lineární homogenní rovnice (7.2) by bylo řešením nehomogenní lineární rovnice (7.1). Pak pro derivaci funkce (7.3) dostaneme:

.

Dosazením nalezené derivace do rovnice (7.1) dostaneme:

nebo
.

Kde
, kde je libovolná konstanta. V důsledku toho bude obecné řešení nehomogenní lineární rovnice (7.1) (7.4)

První člen v tomto vzorci představuje obecné řešení (7.3) lineární homogenní diferenciální rovnice (7.2) a druhý člen ve vzorci (7.4) je konkrétní řešení lineární nehomogenní rovnice (7.1) získané z obecné (7.4). ) s
. Vyjmenujme tento důležitý závěr ve formě věty.

Teorém. Je-li známo jedno konkrétní řešení lineární nehomogenní diferenciální rovnice
, pak všechna ostatní řešení mají tvar
, kde
je obecné řešení odpovídající lineární homogenní diferenciální rovnice.

Je však třeba poznamenat, že pro řešení lineární nehomogenní diferenciální rovnice 1. řádu (7.1) se častěji používá jiná metoda, někdy nazývaná Bernoulliho metoda. Budeme hledat řešení rovnice (7.1) ve tvaru
. Pak
. Nalezenou derivaci dosadíme do původní rovnice:
.

Zkombinujme například druhý a třetí člen posledního výrazu a vyjmeme funkci u(X) pro závorky:
(7.5)

Požadujeme, aby závorka zmizela:
.

Tuto rovnici vyřešíme nastavením libovolné konstanty C rovná se nule:
. S nalezenou funkcí proti(X) zpět na rovnici (7.5):
.

Když to vyřešíme, dostaneme:
.

Obecné řešení rovnice (7.1) má tedy tvar:

§ 8. Bernoulliho rovnice.

Definice.

Diferenciální rovnice tvaru
, kde
, se nazývá Bernoulliho rovnice.

Za předpokladu, že
, obě strany Bernoulliho rovnice vydělíme . V důsledku toho získáme:
(8.1)

Představujeme novou funkci
. Pak
. Rovnici (8.1) vynásobíme
a předat v něm funkci z(X) :
, tj. pro funkci z(X) získal lineární nehomogenní rovnici 1. řádu. Tato rovnice je řešena metodami diskutovanými v předchozím odstavci. Místo toho dosadíme do jeho obecného řešení z(X) výraz
, získáme obecný integrál Bernoulliho rovnice, který je snadno vyřešen vzhledem k y. V
přidá se roztok y(X)=0 . Bernoulliho rovnici lze také vyřešit bez přechodu na lineární rovnici dosazením
a použitím Bernoulliho metody, podrobně probírané v § 7. Zvažte použití této metody pro řešení Bernoulliho rovnice na konkrétním příkladu.

Příklad. Najděte obecné řešení rovnice:
(8.2)

Řešení.

Obecné řešení této rovnice má tedy tvar:
, y(X)=0.

§ 9. Diferenciální rovnice v totálních diferenciálech.

Definice. Pokud v rovnici M(X, y) dx+ N(X, y) dy=0 (9.1) levá strana je totální diferenciál nějaké funkce U(X, y) , pak se nazývá rovnice totálních diferenciálů. Tuto rovnici lze přepsat jako du(X, y)=0 , tedy jeho obecný integrál je u(X, y)= C.

Například rovnice xdy+ ydx=0 je rovnice v totálních diferenciálech, protože ji lze přepsat do tvaru d(xy)=0. Obecný integrál bude xy= C je libovolná diferencovatelná funkce. Rozlišujeme (9.3) s ohledem na u
§ 10. Integrační faktor.

Pokud rovnice M(X, y) dx + N(X, y) dy = 0 není rovnice v totálních diferenciálech a existuje funkce µ = µ(X, y) , takže po vynásobení obou stran rovnice jím dostaneme rovnici

u(Mdx + Ndy) = 0 v celkových diferenciálech, tzn. µ(Mdx + Ndy)du, pak funkci µ(X, y) se nazývá integrační faktor rovnice. V případě, že rovnice je již rovnicí v totálních diferenciálech, předpokládáme µ = 1.

Pokud se najde integrační faktor µ , pak se integrace této rovnice redukuje na vynásobení obou jejích částí číslem µ a nalezení obecného integrálu výsledné rovnice v totálních diferenciálech.

Pokud µ je plynule diferencovatelná funkce X a y, pak
.

Z toho vyplývá, že integrační faktor µ splňuje následující PDE 1. řádu:

(10.1).

Pokud je to předem známo µ= µ(ω) , kde ω je daná funkce od X a y, pak rovnice (10.1) redukuje na obyčejnou (a navíc lineární) rovnici s neznámou funkcí µ z nezávislé proměnné ω :

(10.2),

kde
, tj. zlomek je pouze funkcí ω .

Řešením rovnice (10.2) najdeme integrační faktor

, S = 1.

Zejména rovnice M(X, y) dx + N(X, y) dy = 0 má integrační faktor, který závisí pouze na X(ω = X) nebo pouze od y(ω = y), pokud jsou splněny následující podmínky, resp.

,

,
.

Diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými.

Definice. Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými je rovnice tvaru (3.1) nebo rovnice tvaru (3.2)

Aby bylo možné oddělit proměnné v rovnici (3.1), tzn. zredukujte tuto rovnici na tzv. rovnici s oddělenými proměnnými, proveďte následující akce: ;

Nyní musíme rovnici vyřešit g(y)=0. Jestli to má reálné řešení y=a, pak y=a bude také řešením rovnice (3.1).

Rovnice (3.2) se redukuje na rovnici s oddělenými proměnnými dělením součinem:

, což nám umožňuje získat obecný integrál rovnice (3.2): . (3.3)

Integrální křivky (3.3) budou doplněny o řešení pokud taková řešení existují.

Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu.

Definice 1. Rovnice 1. řádu se nazývá homogenní, pokud vztah , nazývaná podmínka homogenity pro funkci dvou proměnných nulového rozměru.

Příklad 1 Ukažte, že funkce je homogenní s nulovým rozměrem.

Řešení. ,

Q.E.D.

Teorém. Libovolná funkce je homogenní a naopak jakákoliv homogenní funkce nulového rozměru je redukována do tvaru .

Důkaz. První tvrzení věty je zřejmé, protože . Dokažme druhé tvrzení. Nechť , pak pro homogenní funkci , což mělo být prokázáno.

Definice 2. Rovnice (4.1) ve které M a N jsou homogenní funkce stejného stupně, tzn. mít vlastnost pro všechny, se nazývá homogenní. Je zřejmé, že tato rovnice může být vždy redukována do tvaru (4.2) , i když to nemusí být provedeno pro její vyřešení. Homogenní rovnice se redukuje na rovnici s oddělitelnými proměnnými nahrazením požadované funkce y podle vzorce y=zx, kde z(x) je nová požadovaná funkce. Po provedení této substituce v rovnici (4.2) dostaneme: nebo nebo .

Integrací získáme obecný integrál rovnice vzhledem k funkci z(x) , který po opakovaném nahrazení dává obecný integrál původní rovnice. Navíc, jestliže jsou kořeny rovnice , pak funkce jsou řešením homogenní dané rovnice. Jestliže , pak rovnice (4.2) má tvar

A stává se rovnicí s oddělitelnými proměnnými. Její řešení jsou polopřímky: .

Komentář. Někdy je vhodné místo výše uvedené substituce použít substituci x=zy.

Zobecněná homogenní rovnice.

Rovnice M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se nazývá zobecněná homogenní, pokud je možné takové číslo zvolit kže levá strana této rovnice se do určité míry stává homogenní funkcí m poměrně x, y, dx a dy pokud X se považuje za hodnotu prvního měření, y – k- měření , dx a dy- nula a (k-1) měření. Například toto by byla rovnice . (6.1) Za předpokladu měření x, y, dx a dy příslušníci levé strany a dy bude mít příslušné rozměry -2, 2 k a k-jeden. Jejich přirovnáním získáme podmínku, kterou musí požadované číslo splňovat k: -2 = 2k=k-jeden. Tato podmínka je splněna, když k= -1 (s takovými k všechny členy na levé straně uvažované rovnice budou mít rozměr -2). V důsledku toho je rovnice (6.1) zobecněná homogenní.