Analýza rozměrů fyzikálních veličin. Rozměrová analýza

Fyzikální veličiny, jejichž číselná hodnota nezávisí na zvolené stupnici jednotek, se nazývají bezrozměrné. Příklady bezrozměrných veličin jsou úhel (poměr délky oblouku k poloměru), index lomu hmoty (poměr rychlosti světla ve vakuu k rychlosti světla ve hmotě).

Fyzikální veličiny, které při změně měřítka jednotek mění svou číselnou hodnotu, se nazývají rozměrové. Příklady rozměrových veličin jsou délka, síla atd. Vyjádření jednotky fyzikální veličiny pomocí základních jednotek se nazývá její rozměr (neboli rozměrový vzorec). Například rozměr síly v soustavách CGS a SI je vyjádřen vzorcem

Úvahy o rozměru lze využít ke kontrole správnosti získaných odpovědí při řešení fyzikálních úloh: pravá a levá část získaných výrazů a také jednotlivé termíny v každé z částí musí mít stejný rozměr.

Metodu dimenzí lze také použít k odvození vzorců a rovnic, kdy víme, na jakých fyzikálních parametrech může požadovaná hodnota záviset. Podstatu metody lze nejsnáze pochopit na konkrétních příkladech.

Aplikace kótovací metody. Uvažujme problém, na který je nám dobře známá odpověď: jakou rychlostí dopadne těleso na zem volně padající bez počáteční rychlosti z výšky, lze-li zanedbat odpor vzduchu? Místo přímého výpočtu na základě pohybových zákonů budeme argumentovat následovně.

Zamysleme se nad tím, na čem může záviset požadovaná rychlost. Je zřejmé, že musí záviset na počáteční výšce a na zrychlení volného pádu. Lze předpokládat, podle Aristotela, že závisí také na hmotnosti. Protože lze přidat pouze hodnoty stejného rozměru, lze pro požadovanou rychlost navrhnout následující vzorec:

kde C je nějaká bezrozměrná konstanta (číselný koeficient) a x, y a z jsou neznámá čísla, která by měla být stanovena.

Rozměry pravé a levé části této rovnosti musí být stejné a právě tuto podmínku lze použít k určení exponentů x, y, z v (2). Rozměr rychlosti je rozměr výšky rozměr zrychlení volného pádu je nakonec rozměr hmoty roven M. Protože konstanta C je bezrozměrná, vzorec (2) odpovídá následující rovnosti rozměrů :

Tato rovnost musí platit bez ohledu na to, jaké jsou číselné hodnoty. Proto je nutné dát rovnítko mezi exponenty at a M v levé a pravé části rovnosti (3):

Z této soustavy rovnic dostáváme Proto vzorec (2) nabývá tvaru

Skutečná hodnota rychlosti, jak známo, je rovna

Použitý přístup tedy umožnil správně určit závislost na a neumožnil najít hodnotu

bezrozměrná konstanta C. Přestože se nám nepodařilo získat vyčerpávající odpověď, přesto byly získány velmi významné informace. S naprostou jistotou můžeme například tvrdit, že při čtyřnásobku počáteční výšky se rychlost v okamžiku pádu zdvojnásobí a že na rozdíl od Aristotelova názoru tato rychlost nezávisí na hmotnosti padajícího tělesa.

Výběr možností. Při použití metody dimenzí je třeba nejprve identifikovat parametry, které určují uvažovaný jev. To je snadné, pokud jsou známy fyzikální zákony, které to popisují. V řadě případů mohou být parametry určující jev specifikovány, i když fyzikální zákony nejsou známy. K použití metody rozměrové analýzy zpravidla potřebujete méně znalostí než k psaní pohybových rovnic.

Pokud je počet parametrů, které určují zkoumaný jev, větší než počet základních jednotek, na kterých je zvolená soustava jednotek postavena, pak samozřejmě nelze určit všechny exponenty v navrženém vzorci pro požadovanou hodnotu. V tomto případě je užitečné nejprve určit všechny nezávislé bezrozměrné kombinace zvolených parametrů. Potom nebude požadovaná fyzikální veličina určena vzorcem jako (2), ale součinem nějaké (nejjednodušší) kombinace parametrů, která má požadovaný rozměr (tj. rozměr požadované veličiny) nějakou funkcí nalezené bezrozměrné parametry.

Je snadné vidět, že ve výše uvedeném příkladu tělesa padajícího z výšky je nemožné vytvořit bezrozměrnou kombinaci z množství a bezrozměrné kombinace. Proto zde vzorec (2) vyčerpává všechny možné případy.

Bezrozměrný parametr. Uvažujme nyní o následujícím problému: určíme dosah vodorovného letu střely vystřelené v horizontálním směru s počáteční rychlostí ze zbraně umístěné na hoře výšky

Při absenci odporu vzduchu je počet parametrů, na kterých může záviset požadovaný rozsah, roven čtyřem: a m. Vzhledem k tomu, že počet základních jednotek je roven třem, úplné řešení problému metodou rozměrů je nemožné. . Najdeme nejprve všechny nezávislé bezrozměrné parametry y, které lze skládat z a

Tento výraz odpovídá následující rovnosti rozměrů:

Odtud dostaneme soustavu rovnic

který dává a pro požadovaný bezrozměrný parametr získáme

Je vidět, že jediným nezávislým bezrozměrným parametrem v uvažovaném problému je .

kde je dosud neznámá funkce bezrozměrného parametru Metoda kót (v prezentované verzi) neumožňuje tuto funkci určit. Ale víme-li odněkud, například ze zkušenosti, že požadovaný dosah je úměrný vodorovné rychlosti střely, pak je okamžitě určen tvar funkce: rychlost do ní musí vstoupit na první mocninu, tzn.

Nyní od (5) pro dosah střely, který dostaneme

která odpovídá správné odpovědi

Zdůrazňujeme, že při tomto způsobu určení typu funkce nám stačí znát charakter experimentálně zjištěné závislosti letového dosahu ne na všech parametrech, ale pouze na jednom z nich.

Vektorové jednotky délky. Ale rozsah (7) je možné určit pouze z rozměrových hledisek, zvýšíme-li na čtyři počet základních jednotek, kterými se parametry vyjadřují atd. Dosud se při psaní rozměrových vzorců nerozlišovalo mezi jednotky délky v horizontálním a vertikálním směru. Takové rozlišení však lze zavést na základě skutečnosti, že gravitace působí pouze vertikálně.

Označme rozměr délky v horizontálním směru skrz a ve vertikálním směru - přes Pak rozměr doletu ve vodorovném směru bude rozměr výšky bude rozměr vodorovné rychlosti bude a pro zrychlení

dostaneme volný pád Nyní, když se podíváme na vzorec (5), vidíme, že jediný způsob, jak získat správný rozměr na správné straně, je považovat ho za proporcionální.

Samozřejmě se čtyřmi základními jednotkami a M lze přímo sestavit hodnotu požadovaného rozměru ze čtyř parametrů a

Rovnost rozměrů levého a pravé části má formu

Systém rovnic pro x, y, z a dává hodnoty a opět se dostáváme ke vzorci (7).

Různé jednotky délky používané zde ve vzájemně kolmých směrech se někdy označují jako vektorové jednotky délky. Jejich aplikace výrazně rozšiřuje možnosti metody rozměrové analýzy.

Při použití metody rozměrové analýzy je užitečné rozvinout dovednosti do takové míry, že pro exponenty v požadovaném vzorci nebudete vytvářet soustavu rovnic, ale přímo je vybírat. Pojďme si to ilustrovat v dalším problému.

Úkol

Maximální dosah. V jakém úhlu k horizontále by měl být kámen vržen, aby se maximalizoval rozsah horizontálního letu?

Řešení. Předpokládejme, že jsme „zapomněli“ všechny kinematické vzorce a pokusme se získat odpověď z rozměrových úvah. Na první pohled se může zdát, že metoda kót zde není vůbec použitelná, jelikož do odpovědi musí vstoupit nějaká trigonometrická funkce úhlu vrhu. Proto místo samotného úhlu a zkusíme hledat výraz pro rozsah Je jasné, že se neobejdeme bez vektorových jednotek délky.

Je třeba zdůraznit, že konečný cíl v posuzovaném případě zůstává stejný: nalezení čísel podobnosti, pro která by mělo být modelování provedeno, je však řešeno s podstatně menším množstvím informací o povaze procesu.

Abychom objasnili, co následuje, stručně zopakujeme některé základní pojmy. Podrobnou prezentaci lze nalézt v knize A.N. Lebedeva "Modelování ve vědeckém a technickém výzkumu." - M.: Rádio a spoje. 1989. -224 s.

Jakýkoli hmotný objekt má řadu vlastností, které umožňují kvantitativní vyjádření. Každá z vlastností je navíc charakterizována velikostí určité fyzikální veličiny. Jednotky některých fyzikálních veličin lze libovolně volit a s jejich pomocí reprezentovat jednotky všech ostatních. Volají se libovolně zvolené fyzikální jednotky hlavní. V mezinárodním systému (aplikovaném na mechaniku) je to kilogram, metr a sekunda. Zbytek veličin vyjádřených těmito třemi se nazývá deriváty.

Základní jednotka může být označena buď symbolem příslušné veličiny nebo speciálním symbolem. Například jednotky délky jsou L, jednotky hmotnosti - M, jednotka času - T. Nebo, jednotkou délky je metr (m), jednotkou hmotnosti je kilogram (kg), jednotkou času je sekunda (s).

Dimenze je chápána jako symbolické vyjádření (někdy nazývané vzorec) ve formě mocninného monomiálu, spojující odvozenou hodnotu s hlavními. Obecná podoba této zákonitosti má tvar

kde X, y, z- Ukazatele rozměrů.

Například rozměr rychlosti

Pro bezrozměrné množství všechny ukazatele , a tedy .

Následující dvě tvrzení jsou zcela jasná a nepotřebují žádné zvláštní důkazy.

Poměr velikostí dvou objektů je konstantní hodnotou bez ohledu na jednotky, ve kterých jsou vyjádřeny. Pokud je tedy například poměr plochy obsazené okny k ploše stěn 0,2, pak tento výsledek zůstane nezměněn, pokud jsou samotné plochy vyjádřeny v mm2, m2 nebo km2.

Druhou pozici lze formulovat následovně. Jakýkoli správný fyzikální vztah musí být rozměrově jednotný. To znamená, že všechny pojmy obsažené v jeho pravé i levé části musí mít stejný rozměr. Toto jednoduché pravidlo je jasně implementováno v každodenním životě. Každý si uvědomuje, že metry lze přičítat pouze k metrům a ne ke kilogramům nebo sekundám. Musí být jasně pochopeno, že pravidlo zůstává platné i při zvažování i těch nejsložitějších rovnic.

Metoda rozměrové analýzy je založena na tzv. -teorému (čti: pí-větě). -teorém vytváří spojení mezi funkcí vyjádřenou pomocí rozměrových parametrů a funkcí v bezrozměrné podobě. Větu lze úplněji formulovat takto:

Jakýkoli funkční vztah mezi rozměrovými veličinami může být reprezentován jako vztah mezi N bezrozměrné komplexy (čísla) složené z těchto veličin. Počet těchto komplexů , kde n- počet základních jednotek. Jak je uvedeno výše, v hydromechanice (kg, m, s).

Nechť například hodnotu ALE je funkcí pětirozměrných veličin (), tzn.

(13.12)

Z -věty vyplývá, že tuto závislost lze transformovat na závislost obsahující dvě čísla ( )

(13.13)

kde a jsou bezrozměrné komplexy složené z rozměrových veličin.

Tato věta je někdy připisována Buckinghamovi a nazývá se – Buckinghamova věta. Ve skutečnosti k jeho vývoji přispělo mnoho významných vědců, včetně Fouriera, Ryabushinského a Rayleigha.

Důkaz teorému je nad rámec předmětu. V případě potřeby jej lze nalézt v knize L.I. Sedova "Metody podobnosti a rozměrů v mechanice" - M.: Nauka, 1972. - 440 s. Podrobné odůvodnění metody je také uvedeno v knize V.A.Venikova a G.V.Venikova "Teorie podobnosti a modelování" - M.: Higher school, 1984. -439 s. Charakteristickým rysem této knihy je, že kromě otázek souvisejících s podobností obsahuje informace o metodice nastavení experimentu a zpracování jeho výsledků.

Využití rozměrové analýzy pro řešení konkrétních praktických problémů je spojeno s potřebou sestavit funkční závislost tvaru (13.12), která je v další fázi zpracována speciálními technikami, které nakonec vedou k získání čísel (číslic podobnosti).

Hlavní tvůrčí fáze je první fáze, protože získané výsledky závisí na tom, jak správné a úplné je výzkumníkovo pochopení fyzikální podstaty procesu. Jinými slovy, jak funkční závislost (13.12) správně a plně zohledňuje všechny parametry, které ovlivňují zkoumaný proces. Jakákoli chyba zde nevyhnutelně vede k chybným závěrům. Takzvaný „Rayleighův omyl“ je v historii vědy znám. Její podstatou je, že při studiu problému přenosu tepla při turbulentním proudění Rayleigh nezohlednil vliv viskozity proudění, tzn. nezařadil do závislosti (13.12). V důsledku toho jím získané konečné poměry nezahrnovaly Reynoldsovo podobnostní číslo, které hraje extrémně důležitou roli při přenosu tepla.

Abyste pochopili podstatu metody, zvažte příklad, ilustrující jak obecný přístup k problému, tak metodu získávání podobnostních čísel.

Je nutné stanovit typ závislosti, který umožňuje určit tlakovou ztrátu nebo tlakovou ztrátu při turbulentním proudění v kruhovém potrubí.

Připomeňme, že tento problém již byl zvažován v části 12.6. Proto je nepochybně zajímavé zjistit, jak to lze vyřešit pomocí rozměrové analýzy a zda toto řešení poskytuje nějaké nové informace.

Je zřejmé, že tlakový spád podél potrubí, v důsledku energie vynaložené na překonání sil viskózního tření, je nepřímo úměrný jeho délce, a proto, aby se snížil počet proměnných, je vhodné uvažovat nikoli , ale , tj. tlaková ztráta na jednotku délky potrubí. Připomeňme, že poměr, kde je tlaková ztráta, se nazývá hydraulický sklon.

Z pojetí fyzikální podstaty procesu lze předpokládat, že výsledné ztráty by měly záviset na: průměrném průtoku pracovního média (v); na velikosti potrubí, určené jeho průměrem ( d); z fyzikální vlastnosti dopravované médium, charakterizované svou hustotou () a viskozitou (); a konečně je rozumné předpokládat, že ztráty musí nějak souviset se stavem vnitřního povrchu potrubí, tzn. s drsností ( k) jeho stěn. Závislost (13.12) má tedy v posuzovaném případě tvar

(13.14)

Tím končí první a nutno zdůraznit, že nejdůležitější krok v analýze rozměrů.

V souladu s -teorémem je počet ovlivňujících parametrů zahrnutých do závislosti . V důsledku toho počet bezrozměrných komplexů, tj. po příslušném zpracování (13.14) by měl mít formu

(13.15)

Existuje několik způsobů, jak najít čísla. Použijeme metodu navrženou Rayleighem.

Jeho hlavní výhodou je, že jde o jakýsi algoritmus, který vede k řešení problému.

Z parametrů obsažených v (13.15) je nutné vybrat libovolné tři, ale tak, aby zahrnovaly základní jednotky, tzn. metr, kilogram a sekundu. Ať jsou v, d, . Je snadné ověřit, že splňují uvedený požadavek.

Čísla jsou tvořena ve formě výkonových monomií z vybraných parametrů vynásobených jedním ze zbývajících v (13.14)

; (13.16)

; (13.17)

; (13.18)

Nyní je problém zredukován na nalezení všech exponentů. Zároveň je třeba je vybrat tak, aby čísla byla bezrozměrná.

Abychom tento problém vyřešili, nejprve určíme rozměry všech parametrů:

; ;

Viskozita , tj. .

Parametr , a .

A nakonec, .

Rozměry čísel tedy budou

Podobně další dva

Na začátku oddílu 13.3 již bylo uvedeno, že pro jakoukoli bezrozměrnou veličinu jsou rozměrové exponenty . Proto například pro číslo můžeme psát

Porovnáním exponentů dostaneme tři rovnice se třemi neznámými

Kde najdeme; ; .

Dosazením těchto hodnot do (13.6) získáme

(13.19)

Postupujeme-li podobně, je snadné to ukázat

a .

Závislost (13.15) má tedy podobu

(13.20)

Protože existuje nedefinující číslo podobnosti (Eulerovo číslo), pak (13.20) lze zapsat jako funkční závislost

(13.21)

Je třeba mít na paměti, že analýza rozměrů nedává a v zásadě nemůže udávat žádné číselné hodnoty v poměrech získaných s její pomocí. Proto by měl končit rozborem výsledků a případně jejich korekcí na základě obecných fyzikálních pojmů. Uvažujme výraz (13.21) z těchto pozic. Jeho pravá strana obsahuje druhou mocninu rychlosti, ale tato položka nevyjadřuje nic jiného než to, že rychlost je na druhou. Pokud však tuto hodnotu vydělíme dvěma, tzn. , pak, jak je známo z hydromechaniky, získává důležitý fyzikální význam: specifický Kinetická energie, a - dynamický tlak v důsledku průměrné rychlosti. S ohledem na to je účelné do formuláře napsat (13.21).

(13.22)

Pokud nyní, jako v (12.26), označíme písmenem , pak dospějeme k Darcymu vzorci

(13.23)

(13.24)

kde je hydraulický koeficient tření, který, jak vyplývá z (13.22), je funkcí Reynoldsova čísla a relativní drsnosti ( k/d). Podobu této závislosti lze zjistit pouze experimentálně.

LITERATURA

1. Kalnitsky L.A., Dobrotin D.A., Zheverzheev V.F. Speciální kurz vyšší matematiky pro vysoké školy. M.: Vyšší škola, 1976. - 389. léta.

2. Astarita J., Marruchi J. Základy hydromechaniky nenewtonských tekutin. - M.: Mir, 1978.-307s.

3. Fedyaevsky K.K., Faddeev Yu.I. Hydromechanika. - M.: Stavba lodí, 1968. - 567 s.

4. Fabrikant N.Ya. Aerodynamika. - M.: Nauka, 1964. - 814 s.

5. Arzhanikov N.S. a Maltsev V.N. Aerodynamika. - M.: Oborongiz, 1956 - 483 s.

6. Filchakov P.F. Přibližné metody konformního zobrazení. - K .: Naukova Dumka, 1964. - 530 s.

7. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metody teorie funkcí komplexní proměnné. - M.: Nauka, 1987. - 688 s.

8. Daly J., Harleman D. Mechanika tekutin. -M.: Energie, 1971. - 480 s.

9. TAK JAKO. Monin, A.M. Yaglom "Statistická hydromechanika" (část 1. - M .: Nauka, 1968. - 639 s.)

10. Schlichting G. Teorie mezní vrstvy. - M.: Nauka, 1974. - 711 s.

11. Pavlenko V.G. Základy mechaniky tekutin. - L.: Stavba lodí, 1988. - 240 s.

12. Altshul A.D. hydraulický odpor. - M.: Nedra, 1970. - 215 s.

13. A.A. Gukhman "Úvod do teorie podobnosti." - M.: Vyšší škola, 1963. - 253 s.

14. S. Kline "Podobnosti a přibližné metody". - M.: Mir, 1968. - 302 s.

15. A.A. Gukhman „Aplikace teorie podobnosti na studium procesů přenosu tepla a hmoty. Přenos procesů v pohyblivém médiu. - M.: Vyšší měřítko, 1967. - 302 s.

16. A.N. Lebedev „Modelování ve vědeckém a technickém výzkumu“. - M.: Rádio a spoje. 1989. -224 s.

17. L.I. Sedov "Metody podobnosti a rozměrů v mechanice" - M.: Nauka, 1972. - 440 s.

18. V.A.Venikov a G.V.Venikov "Teorie podobnosti a modelování" - M.: Vyšší škola, 1984. -439 s.

1. MATEMATICKÉ ZAŘÍZENÍ POUŽÍVANÉ V MECHANIKE KAPALIN ................................................ ...................................................................... ........................ 3

1.1. Vektory a operace s nimi ................................................ ...................... ...... čtyři

1.2. Operace prvního řádu (diferenciální charakteristiky pole). ................................................. ................................................. .. ... 5

1.3. Operace druhého řádu ................................................................ ........................... 6

1.4. Integrální vztahy teorie pole................................................................ .. 7

1.4.1. Tok vektorového pole ................................................ ............... 7

1.4.2. Cirkulace vektoru pole ................................................. .. 7

1.4.3. Stokesův vzorec ................................................ .............. 7

1.4.4. Gaussova-Ostrogradského formule............................ 7

2. ZÁKLADNÍ FYZIKÁLNÍ VLASTNOSTI A PARAMETRY KAPALINY. SÍLY A NAPĚTÍ ................................................... ................................................ osm

2.1. Hustota................................................. ................................... osm

2.2. Viskozita................................................. ...................................... 9

2.3. Klasifikace sil ................................................... ...................... 12

2.3.1. Hmotnostní síly ................................................................ ............................. 12

2.3.2. Povrchové síly ................................................ ............................. 12

2.3.3. Tenzor stresu ................................................ .............. 13

2.3.4. Pohybová rovnice při napětí .................................. 16

3. HYDROSTATIKA ...................................................... ................................... osmnáct

3.1. Rovnice tekutinové rovnováhy ............................................................ 18

3.2. Základní rovnice hydrostatiky v diferenciálním tvaru. ................................................. ................................................. .. ... 19

3.3. Ekvipotenciální plochy a plochy stejného tlaku. ................................................. ................................................. .. ... dvacet

3.4. Rovnováha homogenní nestlačitelné tekutiny v gravitačním poli. Pascalův zákon. Hydrostatický zákon rozložení tlaku... 20

3.5. Stanovení síly tlaku kapaliny na povrch těles .... 22

3.5.1. Plochý povrch................................................ ..... 24

4. KINEMATIKA............................................................ ...................................... 26

4.1. Stálý a nestabilní pohyb tekutiny ...... 26

4.2. Rovnice kontinuity (kontinuity)................................................................ .. 27

4.3. Proudy a trajektorie ................................................ ........................ 29

4.4. Potoková trubice (povrch proudu) ................................................ ........ 29

4.5. Model proudění ............................................................ ........................ 29

4.6. Rovnice kontinuity pro pramínek ................................................ .. 30

4.7. Zrychlení kapalné částice ................................................... ............................. 31

4.8. Analýza pohybu kapalné částice ...................................................... ..... 32

4.8.1. Úhlové deformace ................................................ .................... ... 32

4.8.2. Lineární deformace ................................................................ ................... .36

5. VORTEXOVÝ POHYB KAPALINY .................................................. ................... .38

5.1. Kinematika vírového pohybu ................................................................ 38

5.2. Intenzita víru ................................................ ............................. 39

5.3. Rychlost oběhu ................................................. ................................... 41

5.4. Stokesova věta ................................................................ ............................. 42

6. POTENCIÁLNÍ POHYB KAPALINY ................................................ 44

6.1. Potenciál rychlosti ................................................. ................................. 44

6.2. Laplaceova rovnice ................................................ ................... 46

6.3. Rychlostní oběh v potenciálním poli................................................ 47

6.4. Funkce rovinného proudu ................................................... ...................... .47

6.5. Hydromechanický význam funkce proudu ........................ 49

6.6. Vztah mezi rychlostním potenciálem a proudovou funkcí ................................... 49

6.7. Metody výpočtu potenciálních toků ................................................. 50

6.8. Superpozice potenciálních toků ................................................................ ...... 54

6.9. Necirkulační proudění kolem kruhového válce ................... 58

6.10. Aplikace teorie funkcí komplexní proměnné na studium rovinných proudění ideální tekutiny ..... 60

6.11. Konformní mapování ................................................................ ............................. 62

7. HYDRODYNAMIKA IDEÁLNÍ KAPALINY ................................... 65

7.1. Pohybové rovnice pro ideální tekutinu................................. 65

7.2. Proměna Gromeka-Lamb ................................................................ 66

7.3. Pohybová rovnice ve tvaru Gromeka-Lamb ................................... 67

7.4. Integrace pohybové rovnice pro ustálené proudění............................................ ............................................................. ............................. 68

7.5. Zjednodušené odvození Bernoulliho rovnice............................................ 69

7.6. Energetický význam Bernoulliho rovnice ........................ 70

7.7. Bernoulliho rovnice ve tvaru hlav................................................. .... 71

8. HYDRODYNAMIKA VISKÓZNÍ KAPALINY ...................................................... ... 72

8.1. Model viskózní kapaliny ...................................................... ............................. 72

8.1.1. Hypotéza linearity ...................................................... ................... ... 72

8.1.2. Hypotéza homogenity ...................................................................... ................... 74

8.1.3. Hypotéza izotropie ...................................................... ............... .74

8.2 Pohybová rovnice viskózní kapaliny. (Navier-Stokesova rovnice) ................................................ ...................................................... .............. 74

9. JEDNOROZMĚRNÉ PRŮTOKY NESTLAČITELNÉ KAPALINY (základy hydrauliky) ................................... ...................................................................... ................................... 77

9.1. Průtok a průměrná rychlost ............................................................ ................. 77

9.2. Slabě deformované toky a jejich vlastnosti....................... 78

9.3. Bernoulliho rovnice pro proudění viskózní tekutiny ................................... 79

9.4. Fyzikální význam Coriolisova koeficientu ................................... 82

10. KLASIFIKACE PRŮTOKŮ KAPALINY. STABILITA POHYBU ................................................................ ...................................................... ........... 84

11. PRAVIDLA LAMINÁRNÍHO PROUDĚNÍ V KRUHOVÝCH TRUBKÁCH ........................................ ...................................................................... ...................................... 86

12. HLAVNÍ PRAVIDLA TURBULENTNÍHO POHYBU. ................................................. ................................................. .. ............... 90

12.1. Obecná informace................................................ ...................... 90

12.2. Reynoldsovy rovnice ................................................................ ............... 92

12.3. Semi-empirické teorie turbulence................................................ ... 93

12.4. Turbulentní proudění v potrubí ................................................ 95

12.5. Výkonové zákony distribuce rychlosti....................... 100

12.6. Ztráta tlaku (tlaku) při turbulentním proudění v potrubí. ................................................. ................................................. .. ... 100

13. ZÁKLADY TEORIE PODOBNOSTI A MODELOVÁNÍ .......... 102

13.1. Kontrolní analýza diferenciálních rovnic..... 106

13.2. Koncept sebepodobnosti ................................................ ................... .110

13.3. Rozměrová analýza ................................................................ ............................. 111

Literatura …………………………………………………………………………..118

S UVĚŘITELNÝMI DŮVODY „OD KONCE DO ZAČÁTKU“ PŘI HODNOCENÍ FAKTORŮ TECHNOLOGICKÉHO PROCESU

Obecné informace o metodě rozměrové analýzy

Při studiu mechanické jevy je zavedena řada pojmů, např. energie, rychlost, napětí atd., které charakterizují posuzovaný jev a lze je zadat a určit pomocí čísla. Všechny otázky o pohybu a rovnováze jsou formulovány jako problémy určování určitých funkcí a číselných hodnot pro veličiny charakterizující jev a při řešení takových problémů v čistě teoretických studiích jsou přírodní zákony a různé geometrické (prostorové) vztahy prezentovány v tvar funkcionálních rovnic - obvykle diferenciálních.

Velmi často nemáme možnost formulovat problém v matematické podobě, protože zkoumaný mechanický jev je natolik složitý, že pro něj zatím neexistuje přijatelné schéma a neexistují zatím žádné pohybové rovnice. S takovou situací se setkáváme při řešení úloh v oblasti letecké mechaniky, hydromechaniky, v úlohách studia pevnosti a deformací a podobně. V těchto případech hrají hlavní roli experimentální výzkumné metody, které umožňují stanovit nejjednodušší experimentální data, která následně tvoří základ koherentních teorií s přísným matematickým aparátem. Samotné experimenty však lze provádět pouze na základě předběžného teoretického rozboru. Rozpor je vyřešen během iterativního procesu výzkumu, předkládání předpokladů a hypotéz a jejich experimentálního testování. Zároveň jsou založeny na přítomnosti podobnosti přírodních jevů jako obecného zákona. Teorie podobnosti a dimenzí je do jisté míry „gramatika“ experimentu.

Dimenze veličin

Jednotky měření různých fyzikálních veličin, kombinované na základě jejich konzistence, tvoří soustavu jednotek. V současné době se používá Mezinárodní systém jednotek (SI). V SI se nezávisle na sobě volí jednotky měření tzv. primárních veličin - hmotnost (kilogram, kg), délka (metr, m), čas (sekunda, sec, s), proudová síla (ampér). , a), teplota (stupeň Kelvina, K) a síla světla (svíčka, sv). Říká se jim základní jednotky. Jednotky měření zbývajících, vedlejších, veličin jsou vyjádřeny jako hlavní. Vzorec, který udává závislost měrné jednotky vedlejší veličiny na hlavních měrných jednotkách, se nazývá rozměr této veličiny.

Dimenze sekundární veličiny se zjistí pomocí definiční rovnice, která slouží jako definice této veličiny v matematické podobě. Například definující rovnice pro rychlost je

Rozměr veličiny pak označíme symbolem této veličiny v hranatých závorkách

nebo
,

kde [L], [T] jsou rozměry délky a času.

Definující rovnici pro sílu lze považovat za druhý Newtonův zákon

Pak bude mít rozměr síly následující tvar

[F]=[M][L][T] .

Definující rovnice a vzorec pro rozměr práce budou mít tvar

A=Fs a [A]=[M][L] [T] .

V obecném případě budeme mít vztah

[Q] =[M] [L] [T] (1).

Věnujme pozornost záznamu vztahu rozměrů, ještě se nám bude hodit.

Věty o podobnosti

Vznik teorie podobnosti v historickém aspektu charakterizují její tři hlavní věty.

První věta o podobnosti formuluje nezbytné podmínky a vlastnosti takových systémů s tím, že tyto jevy mají stejná kritéria podobnosti ve formě bezrozměrných výrazů, které jsou mírou poměru intenzity dvou fyzikálních jevů, které jsou pro zkoumaný proces zásadní.

Druhá věta o podobnosti(P-teorém) dokazuje možnost redukce rovnice na kriteriální tvar bez určení dostatečnosti podmínek pro existenci podobnosti.

Třetí věta o podobnosti poukazuje na limity pravidelné distribuce jediné zkušenosti, protože podobné jevy budou ty, které mají podobné podmínky pro jedinečnost a stejná definující kritéria.

Metodologická podstata teorie dimenzí tedy spočívá v tom, že jakoukoli soustavu rovnic, která obsahuje matematický záznam zákonitostí, jimiž se jev řídí, lze formulovat jako vztah mezi bezrozměrnými veličinami. Určující kritéria jsou složena ze vzájemně nezávislých veličin, které jsou zahrnuty v podmínkách jednoznačnosti: geometrické vztahy, fyzikální parametry, okrajové (počáteční a okrajové) podmínky. Systém definování parametrů musí mít vlastnosti úplnosti. Některé z definujících parametrů mohou být fyzikální rozměrové konstanty, budeme je nazývat fundamentální proměnné, na rozdíl od jiných - řízené proměnné. Příkladem je gravitační zrychlení. Ona je základní proměnná. V pozemských podmínkách konstantní a je proměnná ve vesmírných podmínkách.

Pro správnou aplikaci rozměrové analýzy musí výzkumník ve svém experimentu znát povahu a počet základních a řízených proměnných.

V tomto případě existuje praktický závěr z teorie rozměrové analýzy a spočívá v tom, že pokud experimentátor skutečně zná všechny proměnné zkoumaného procesu, a ještě neexistuje žádný matematický záznam zákona v podobě rovnici, pak má právo je transformovat použitím první části Buckinghamovy věty: "Pokud je nějaká rovnice s ohledem na rozměry jednoznačná, pak ji lze převést na vztah obsahující množinu bezrozměrných kombinací veličin."

Homogenní vzhledem k rozměrům je rovnice, jejíž tvar nezávisí na volbě základních jednotek.

PS. Empirické vzorce jsou obvykle přibližné. Jedná se o popisy ve formě nehomogenních rovnic. Ve svém návrhu mají rozměrové koeficienty, které „fungují“ pouze v určité soustavě jednotek měření. Následně akumulací dat dojdeme k popisu ve formě homogenních rovnic, tedy nezávislých na systému měrných jednotek.

Bezrozměrné kombinace, jsou produkty nebo poměry množství sestavené takovým způsobem, že v každé kombinaci rozměrů jsou zmenšeny. V tomto případě se tvoří produkty několika rozměrových veličin různé fyzikální povahy komplexy, poměr dvourozměrných veličin stejné fyzikální povahy - zjednodušení.

Místo abyste postupně měnili každou z proměnných,a změna některých z nich může způsobitobtíže, může badatel pouze obměňovatkombinace. Tato okolnost značně zjednodušuje experiment a umožňuje prezentovat v grafické podobě a analyzovat získaná data mnohem rychleji a s větší přesností.

Pomocí metody rozměrové analýzy organizování věrohodného uvažování „od konce do začátku“.

Po seznámení se s obecná informace, je třeba věnovat zvláštní pozornost následujícím bodům.

Nejúčinnější použití rozměrové analýzy je v přítomnosti jedné bezrozměrné kombinace. V tomto případě postačí experimentálně určit pouze párovací koeficient (k sestavení a řešení jedné rovnice stačí sestavit jeden experiment). Úloha se stává složitější s nárůstem počtu bezrozměrných kombinací. Splnění požadavku úplného popisu fyzikálního systému je zpravidla možné (nebo si to možná myslí) se zvýšením počtu zohledněných proměnných. Ale zároveň se zvyšuje pravděpodobnost komplikace formy funkce a hlavně se prudce zvyšuje množství experimentální práce. Zavedení dalších základních jednotek problém nějak zmírňuje, ale ne vždy a ne úplně. Skutečnost, že se teorie rozměrové analýzy postupem času vyvíjí, je velmi povzbudivá a orientuje se na hledání nových možností.

Nuže, co když při hledání a utváření souboru faktorů, které je třeba vzít v úvahu, tedy vlastně při obnově struktury zkoumaného fyzikálního systému, použijeme uspořádání věrohodného uvažování „od konce k začátku“ podle Pappus?

Pro pochopení výše uvedeného návrhu a upevnění základů metody rozměrové analýzy navrhujeme analyzovat příklad stanovení vztahu faktorů určujících účinnost trhaviny při hlubinné těžbě rudných ložisek.

S přihlédnutím k principům systémového přístupu můžeme oprávněně soudit, že dva systémové interagující objekty tvoří nový dynamický systém. Ve výrobních činnostech jsou tyto předměty předmětem přeměny a předmětným nástrojem přeměny.

Při lámání rudy na základě explozivní destrukce můžeme za takový považovat rudný masiv a systém trhavinových náloží (vrtů).

Při použití principů rozměrové analýzy s organizací věrohodného uvažování „od konce do začátku“ získáme následující linii uvažování a systém vzájemných vztahů mezi parametry výbušného komplexu a charakteristikami pole.

d m = f 1 (W,I 0 ,t zástupce , s)	d m = k 1 W(st zástupce ¤ já 0 W) n (1)
já 0 = f 2 (I C ,PROTI Búr ,K a )	já 0 = k 2 já C PROTI Búr K a (2)
já C = f 3 (t zástupce ,Q ,A)	já S = k 3 t vzduch 2/3 Q 2/3 A 1/3 (3)
t vzduch = f 4 (r zab ,P Max l studna )	t vzduch = k 4 r zab 1/2 P Max –1/2 l studna (4)
P Max = F 5 (r zar D)	P Max = k 5 r zar D 2 (5)

Označení a vzorce pro rozměry použitých proměnných jsou uvedeny v tabulce.

PROMĚNNÉ	Označení	rozměry
Maximální průměr drcení	d m	[ L]
Linka nejmenšího odporu		[ L]
Pevnost hornin v tlaku
Perioda (interval) zpomalení odstřelu	t zástupce	[ T]
Výbušný impuls na 1 m 3 pole	já 0
Měrná spotřeba vrtání, m/m 3	PROTI Búr	[ L -2 ]
Míra využití zpoplatněných studní	Na je
Výbušný impuls na 1 m studny	já C
Energie výbuchu na 1 m nabití
Akustická tvrdost média (A=gC)
Doba dopadu výbuchu ve studni	t vzduch	[ T]
hustota stonku	r zab	[ L -3 M]
No délka	l studna	[ L]
Maximální počáteční tlak ve studni		[ L -1 M T -2 ]
Hustota náboje ve studni	r zar	[ L -3 M]
Rychlost výbušné detonace		[ L T -1 ]

Přechod od vzorce (5) k vzorci (1), odhalení zavedených vztahů a také s ohledem na dříve stanovený vztah mezi průměrem průměru a průměrem maximálního kusu z hlediska kolapsu

d St = k 6 d m 2/3 , (6)

získáme obecnou rovnici pro vztah faktorů, které určují kvalitu drcení:

d St = kW 2/3 [ s t zástupce / r zab 1/3 D -2/3 l studna 2/3 M zar 2|3 U století 2/3 ALE 1/3 PROTI Búr Na je W] n (7)

Transformujme poslední výraz, abychom vytvořili bezrozměrné komplexy, přičemž mějme na paměti:

Q= M zar U století ; q století =M zar PROTI Búr Na je ; M zab =0.25 p r zab d studna 2 ;

kde M zar je hmotnost výbušné náplně v 1 m délky vrtu, kg/m;

M zab – hmotnost stonku v 1 m stonku, kg/m;

U století – výhřevnost výbušnin, kcal/kg.

V čitateli a jmenovateli, který používáme [M zar 1/3 U století 1/3 (0.25 pd studna 2 ) 1/3 ] . Konečně se dočkáme

Všechny komplexy a zjednodušení mají fyzikální význam. Podle experimentálních dat a praktických dat mocninný exponent n=1/3, a koeficient k se určuje v závislosti na měřítku zjednodušení vyjadřování (8).

Přestože úspěch rozměrové analýzy závisí na správném pochopení fyzikálního významu konkrétního problému, po volbě proměnných a základních rozměrů lze tuto metodu aplikovat zcela automaticky. Proto může být tato metoda snadno uvedena ve formě předpisu, avšak s ohledem na to, že takový "recept" vyžaduje, aby výzkumník správně vybral složky, které tvoří. Jediné, co zde můžeme udělat, je poskytnout obecnou radu.

Fáze 1. Vyberte nezávislé proměnné, které ovlivňují systém. Rozměrové koeficienty a fyzikální konstanty by měly být také brány v úvahu, pokud hrají důležitou roli. To je nejzodpovědnějšíny etapa celého díla.

Fáze 2. Zvolte si systém základních rozměrů, pomocí kterého můžete vyjádřit jednotky všech vybraných proměnných. Běžně se používají tyto systémy: v mechanice a dynamice tekutin MLq(někdy FLq), v termodynamika MLqT nebo MLqTH; v elektrotechnice a jaderné fyzice MLqNa nebo MLqm., v tomto případě lze teplotu považovat buď za základní veličinu, nebo ji vyjádřit pomocí molekulární kinetické energie.

Fáze 3. Zapište si rozměry vybraných nezávislých proměnných a vytvořte bezrozměrné kombinace. Řešení bude správné, pokud: 1) každá kombinace je bezrozměrná; 2) počet kombinací není menší, než předpovídá p-věta; 3) každá proměnná se vyskytuje v kombinaci alespoň jednou.

Fáze 4. Prověřte výsledné kombinace z hlediska jejich přijatelnosti, fyzikálního významu a (pokud má být použita metoda nejmenších čtverců) koncentrace nejistoty v jedné kombinaci, pokud je to možné. Pokud kombinace nesplňují tato kritéria, pak je možné: 1) získat jiné řešení rovnic pro exponenty za účelem nalezení nejlepší sady kombinací; 2) zvolit jiný systém základních rozměrů a dělat veškerou práci od samého začátku; 3) zkontrolovat správnost volby nezávisle proměnných.

Etapa 5. Když je získána uspokojivá sada bezrozměrných kombinací, může výzkumník naplánovat změnu kombinací změnou hodnot vybraných proměnných ve svém zařízení. Zvláštní pozornost by měla být věnována designu experimentů.

Při použití metody rozměrové analýzy s organizací věrohodného uvažování „od konce do začátku“ je nutné zavést závažné korekce, a to zejména v první fázi.

Stručné závěry

Dnes je možné tvořit koncepční opatření výzkumné práce podle již zavedeného normativního algoritmu. Postupné sledování vám umožní zefektivnit hledání tématu a určit jeho fáze implementace s přístupem k vědeckým ustanovením a doporučením. Znalost obsahu jednotlivých postupů přispívá k jejich odbornému vyhodnocení a výběru těch nejvhodnějších a nejefektivnějších.

Pokrok vědeckého výzkumu lze prezentovat ve formě logického schématu, určeného v procesu provádění výzkumu, zdůrazňujícího tři fáze, které jsou charakteristické pro jakoukoli činnost:

Přípravná fáze: Lze to nazvat i etapou metodologické přípravy výzkumu a formování metodologické podpory výzkumu. Náplň práce je následující. Vymezení problému, vypracování pojmového popisu předmětu zkoumání a vymezení (formulace) výzkumného tématu. Vypracování výzkumného programu s formulací úkolů a vypracováním plánu jejich řešení. Rozumná volba výzkumných metod. Vývoj metodiky pro experimentální práci.

Hlavní pódium: - výkonná (technologická), realizace programu a výzkumného záměru.

poslední úroveň: - zpracování výsledků výzkumu, formulace hlavních ustanovení, doporučení, expertizy.

Vědecká ustanovení jsou novou vědeckou pravdou – to je to, co je potřeba a lze to bránit. Formulace vědeckých ustanovení může být matematická nebo logická. Vědecká ustanovení pomáhají příčině, řešení problému. Měla by být cílená vědecká ustanovení, tzn. odrážejí (obsahují) téma, pro které byly řešeny. Aby bylo možné provést obecné propojení obsahu VaV se strategií jeho realizace, doporučuje se pracovat na struktuře zprávy VaV před a (nebo) po vypracování těchto ustanovení. V prvním případě má práce na struktuře zprávy dokonce heuristický potenciál, přispívá k pochopení nápadů VaV, ve druhém případě funguje jako jakýsi strategický test a zpětná vazba pro management VaV.

Pamatujme, že existuje logika hledání, vykonávání práce a hle geek prezentace. První je dialektická – dynamická, s cykly, návraty, obtížně formalizovatelná, druhá je logika stavu statického, formální, tzn. mající přesně definovanou formu.

Jako závěr je žádoucí po celou dobu výzkumu nepřestat pracovat na struktuře zprávy a epizodicky tak „kontrolovat hodiny DVOU LOGIKY“.

Ke zvýšení efektivity práce na koncepci přispívá systematizace moderních problémů těžby na administrativní úrovni.

V metodické podpoře výzkumné práce se často setkáváme se situacemi, kdy teoretická ustanovení ke konkrétnímu problému ještě nejsou plně rozpracována. Vhodné je využít metodický „leasing“. Jako příklad takového přístupu a jeho možného využití je zajímavá metoda rozměrové analýzy s organizací věrohodného uvažování „od konce do začátku“.

Základní pojmy a pojmy

Předmět a předmět činnosti	Relevantnost	těžební technologie
Pojem		Zařízení důlní technologie
Stanovení účelu a cíle		Nástroje důlní technologie
problémová problémová situace	Struktura	Fyzikální a technický efekt
Etapy a etapy výzkumu		Vědecká pozice
Věty o podobnosti	Dimenze	Základní jednotky

Zkušenost je průzkumníkem přírody. Nikdy neklame... Musíme dělat experimenty, měnit okolnosti, dokud se z nich nedostaneme hlavní pravidla, protože zkušenost přináší skutečná pravidla.

Leonardo da Vinci

Ve fyzice... není místo pro zmatené myšlenky...
Opravdu pochopení přírody
Ten či onen jev by měl dostat hlavní
Zákony z úvah o dimenzi. E. Fermi

Popis toho či onoho problému, diskuse o teoretických a experimentálních otázkách začíná kvalitativním popisem a posouzením efektu, který tato práce dává.

Při popisu problému je nutné především vyhodnotit řádovou velikost očekávaného účinku, jednoduché omezující případy a povahu funkčního vztahu veličin popisujících tento jev. Tyto otázky se nazývají kvalitativní popis fyzické situace.

Jeden z nejvíce efektivní metody takovou analýzou je metoda dimenzí.

Zde jsou některé výhody a aplikace rozměrové metody:

rychlé posouzení rozsahu zkoumaných jevů;
získání kvalitativních a funkčních závislostí;
obnovení zapomenutých vzorců u zkoušek;
splnění některých úkolů zkoušky;
ověření správnosti řešení problémů.

Rozměrová analýza se ve fyzice používá již od dob Newtona. Byl to Newton, kdo formuloval, úzce související s metodou dimenzí, princip podobnosti (analogie).

S rozměrovou metodou se studenti poprvé setkávají při studiu tepelného záření v kurzu fyziky 11. ročníku:

Spektrální charakteristika tepelného záření tělesa je spektrální hustota svítivosti energie r v - energie elektromagnetického záření emitovaného za jednotku času na jednotku plochy povrchu těla v intervalu jednotkové frekvence.

Jednotkou spektrální hustoty svítivosti energie je joule za metr čtvereční(1 J/m2). Energie tepelného záření černého tělesa závisí na teplotě a vlnové délce. Jediná kombinace těchto veličin s rozměrem J/m 2 je kT/ 2 ( = c/v). Přesný výpočet, který provedli Rayleigh a Jeans v roce 1900 v rámci klasické vlnové teorie, poskytl následující výsledek:

kde k je Boltzmannova konstanta.

Jak ukázala zkušenost, tento výraz je v souladu s experimentálními daty pouze v oblasti dostatečně nízkých frekvencí. Pro vysoké frekvence, zejména v ultrafialové oblasti spektra, je Rayleigh-Jeansův vzorec nesprávný: výrazně se liší od experimentu. Metody klasické fyziky se ukázaly jako nedostatečné pro vysvětlení charakteristik záření černého tělesa. Proto ten rozpor mezi výsledky klasické vlnové teorie a experimentu na konci 19. stol nazývaná „ultrafialová katastrofa“.

Ukažme si aplikaci kótovací metody na jednoduchém a dobře srozumitelném příkladu.

Obrázek 1

Tepelné záření černého tělesa: ultrafialová katastrofa - rozpor mezi klasickou teorií tepelného záření a zkušeností.

Představte si, že se těleso o hmotnosti m pohybuje po přímce působením konstantní síly F. Je-li počáteční rychlost tělesa nulová a rychlost na konci ujetého úseku dráhy délky s je rovna v, pak můžeme napsat větu o kinetické energii: Mezi hodnotami F, m, v a s existuje funkční souvislost.

Předpokládejme, že věta o kinetické energii je zapomenuta, ale chápeme, že funkční závislost mezi v, F, ma s existuje a má mocninný zákon.

Zde x, y, z jsou nějaká čísla. Pojďme si je definovat. Znaménko ~ znamená, že levá strana vzorce je úměrná pravé straně, to znamená, že kde k je číselný koeficient, nemá žádné měrné jednotky a není určeno pomocí rozměrové metody.

Levá a pravá část vztahu (1) mají stejné rozměry. Rozměry v, F, ma s jsou: [v] = m/c = ms -1, [F] = H = kgms -2, [m] = kg, [s] = m. (Symbol [A ] označuje rozměr A.) Zapišme rovnost rozměrů v levé a pravé části vztahu (1):

m c -1 = kg x m x c -2x kg y m Z = kg x+y m x+z c -2x.

Na levé straně rovnice nejsou vůbec žádné kilogramy, takže by neměly být ani na pravé.

Znamená to, že

Vpravo jsou metry zahrnuty v mocninách x + z a vlevo v mocninách 1, takže

Podobně to vyplývá z porovnání exponentů v sekundách

Ze získaných rovnic najdeme čísla x, y, z:

x=1/2, y=-1/2, z=1/2.

Výsledný vzorec vypadá

To dostaneme umocněním levé a pravé strany tohoto vztahu

Poslední vzorec je matematický zápis věty o kinetické energii, i když bez číselného koeficientu.

Princip podobnosti, formulovaný Newtonem, je ten, že poměr v 2 /s je přímo úměrný poměru F/m. Například dvě tělesa s různými hmotnostmi m 1 a m 2; budeme na ně působit různými silami F 1 a F 2, ale tak, že poměry F 1 / m 1 a F 2 / m 2 budou stejné. Pod vlivem těchto sil se tělesa začnou pohybovat. Jsou-li počáteční rychlosti rovné nule, pak rychlosti získané tělesy na úseku dráhy délky s budou stejné. Toto je zákon podobnosti, ke kterému jsme dospěli pomocí myšlenky rovnosti rozměrů pravé a levé části vzorce, která popisuje mocninně-právní vztah hodnoty konečné rychlosti s hodnoty síly, hmotnosti a délky dráhy.

Metoda kót byla zavedena při budování základů klasické mechaniky, ale její efektivní aplikace pro řešení fyzikálních problémů začala na konci minulosti - na začátku našeho století. Velkou zásluhu na propagaci této metody a řešení zajímavých a důležitých problémů s její pomocí má vynikající fyzik Lord Rayleigh. Rayleigh napsal v roce 1915: Často mě překvapuje malá pozornost, kterou velkému principu podobnosti věnují i velmi skvělí vědci. Často se stává, že výsledky usilovného bádání jsou prezentovány jako nově objevené „zákony“, které však bylo možné a priori získat během několika minut.

V dnešní době již nelze fyzikům vyčítat přehlížející přístup nebo nedostatečnou pozornost k principu podobnosti a metodě dimenzí. Zvažte jeden z klasických Rayleighových problémů.

Rayleighův problém s vibracemi koule na provázku.

Mezi body A a B nechejte natáhnout provázek. Napínací síla struny F. Uprostřed této struny v bodě C je těžká koule. Délka segmentu AC (a tedy CB) je rovna 1. Hmotnost M kuličky je mnohem větší než hmotnost samotné struny. Provázek se zatáhne a uvolní. Je celkem jasné, že koule bude kmitat. Pokud je amplituda těchto x kmitů mnohem menší než délka struny, pak bude proces harmonický.

Určíme frekvenci vibrací kuličky na struně. Nechť jsou veličiny , F, M a 1 spojeny mocninným zákonem:

Exponenty x, y, z jsou čísla, která musíme určit.

Vypišme rozměry veličin, které nás zajímají v soustavě SI:

C-1, [F] = kgms-2, [M] = kg, = m.

Pokud vzorec (2) vyjadřuje skutečnou fyzikální zákonitost, pak se rozměry pravé a levé části tohoto vzorce musí shodovat, tedy rovnost

c -1 = kg x m x c -2x kg y m z = kg x + y m x + z c -2x

Levá strana této rovnice vůbec nezahrnuje metry a kilogramy a sekundy jsou zahrnuty do mocnin - 1. To znamená, že pro x, y a z jsou rovnice splněny:

x+y=0, x+z=0, -2x= -1

Při řešení tohoto systému zjistíme:

x = 1/2, y = -1/2, z = -1/2

Tudíž,

~F 1/2 M-1/2 1-1/2

Přesný vzorec pro frekvenci se liší od nalezeného pouze faktorem ( 2 = 2F/(M1)).

Byl tak získán nejen kvalitativní, ale i kvantitativní odhad závislosti na hodnotách F, M a 1. Řádově nalezená výkonová kombinace dává správnou hodnotu frekvence. Hodnocení je vždy zajímavé řádově. V jednoduchých úlohách lze koeficienty, které nejsou určeny metodou dimenzí, často považovat za čísla řádu jednotek. Není to striktní pravidlo.

Při studiu vln uvažuji o kvalitativní predikci rychlosti zvuku metodou rozměrové analýzy. Rychlost zvuku hledáme jako rychlost šíření kompresní a řidší vlny v plynu. Studenti nepochybují o závislosti rychlosti zvuku v plynu na hustotě plynu a jeho tlaku p.

Odpověď hledáme ve tvaru:

kde С je bezrozměrný faktor, jehož číselnou hodnotu nelze z rozboru rozměrů zjistit. Přechod v (1) na rovnost rozměrů.

m/s \u003d (kg/m 3) x platba,

m / s \u003d (kg / m 3) x (kg m / (s 2 m 2)) y,

m 1 s -1 \u003d kg x m -3x kg y m y c -2y m -2r,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x + y-2y c -2y,

m 1 s -1 \u003d kg x + y m -3x-y c -2y.

Rovnost rozměrů na levé a pravé straně rovnosti dává:

x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,

x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,

x = -1/2, y = 1/2.

Tedy rychlost zvuku v plynu

Vzorec (2) při C=1 byl poprvé získán I. Newtonem. Ale kvantitativní odvození tohoto vzorce bylo velmi obtížné.

Experimentální stanovení rychlosti zvuku ve vzduchu bylo provedeno v kolektivní práci členů pařížské akademie věd v roce 1738, která měřila dobu, za kterou zvuk výstřelu z děla urazil vzdálenost 30 km.

Při opakování tohoto učiva v 11. ročníku upozorňujeme studenty na skutečnost, že výsledek (2) lze získat pro model izotermického procesu šíření zvuku pomocí Mendělejevovy-Clapeyronovy rovnice a konceptu hustoty:

je rychlost šíření zvuku.

Poté, co jsem studenty seznámil s metodou dimenzí, předám jim tuto metodu k odvození základní MKT rovnice pro ideální plyn.

Studenti chápou, že tlak ideálního plynu závisí na hmotnosti jednotlivých molekul ideálního plynu, počtu molekul na jednotku objemu - n (koncentrace molekul plynu) a rychlosti pohybu molekul -.

Když známe rozměry veličin zahrnutých v této rovnici, máme:

Porovnáním rozměrů levé a pravé části této rovnosti máme:

Základní rovnice MKT má tedy následující tvar:

- z toho vyplývá

Ze stínovaného trojúhelníku je to vidět

Odpověď: B).

Použili jsme kótovací metodu.

Metoda dimenzí, kromě provádění tradičního ověřování správnosti řešení problémů, provádění některých úkolů Jednotné státní zkoušky, pomáhá najít funkční vztahy mezi různými fyzikálními veličinami, ale pouze pro ty situace, kdy jsou tyto závislosti mocninné. zákon. V přírodě existuje mnoho takových závislostí a metoda dimenzí je dobrým pomocníkem při řešení takových problémů.

V případech, kdy nejsou popsány zkoumané procesy diferenciální rovnice, jedním ze způsobů, jak je analyzovat, je experiment, jehož výsledky je nejlépe prezentovat v zobecněné podobě (ve formě bezrozměrných komplexů). Způsob sestavování takových komplexů je metoda rozměrové analýzy.

Rozměr libovolné fyzikální veličiny je určen poměrem mezi ní a těmi fyzikálními veličinami, které jsou brány jako hlavní (primární). Každý systém jednotek má své základní jednotky. Například v Mezinárodní soustavě jednotek SI jsou jednotky délky, hmotnosti a času brány jako metr (m), kilogram (kg), sekunda (s). Jednotky měření ostatních fyzikálních veličin, tzv. odvozené veličiny (sekundární), se přejímají na základě zákonů, které mezi těmito jednotkami zakládají vztah. Tento vztah lze znázornit formou tzv. dimenzního vzorce.

Teorie rozměrů je založena na dvou předpokladech.

1. Poměr dvou číselných hodnot jakékoli veličiny nezávisí na volbě měřítek pro hlavní jednotky měření (například poměr dvou lineárních rozměrů nezávisí na jednotkách, ve kterých budou měřeny) .
2. Jakýkoli vztah mezi rozměrovými veličinami lze formulovat jako vztah mezi bezrozměrnými veličinami. Toto prohlášení představuje tzv P-teorém v teorii rozměrů.

Z první pozice vyplývá, že vzorce pro dimenzi fyzikálních veličin by měly mít podobu mocninných závislostí

kde jsou rozměry základních jednotek.

Matematické vyjádření P-věty lze získat na základě následujících úvah. Nechte nějakou rozměrovou hodnotu A 1 je funkcí několika nezávislých rozměrových veličin, tzn.

Z toho tedy vyplývá

Předpokládejme, že počet základních rozměrových jednotek, pomocí kterých lze vše vyjádřit P proměnné, se rovná t. P-teorém říká, že pokud vše P proměnné vyjádřené v základních jednotkách, pak je lze sdružovat do bezrozměrných P-členů, tzn.

V tomto případě bude každý P-člen obsahovat proměnnou.

V úlohách hydromechaniky musí být počet proměnných zahrnutých v P-členech čtyři. Rozhodující budou tři z nich (většinou se jedná o charakteristickou délku, rychlost proudění tekutiny a její hustotu) - jsou obsaženy v každém z P-členů. Jedna z těchto proměnných (čtvrtá) se při přechodu z jednoho P-členu na druhý liší. Ukazatele stupňů definujících kritérií (označme je x, y , z ) jsou neznámé. Pro usnadnění vezmeme exponent čtvrté proměnné rovný -1.

Vztahy pro P-termíny budou vypadat takto

Proměnné zahrnuté v P-termech lze vyjádřit pomocí základních dimenzí. Protože tyto členy jsou bezrozměrné, exponenty každé ze základních dimenzí se musí rovnat nule. Výsledkem je, že pro každý z P-členů je možné sestavit tři nezávislé rovnice (jednu pro každou dimenzi), které spojují exponenty proměnných v nich obsažených. Řešení výsledného systému rovnic umožňuje najít číselné hodnoty neznámých exponentů X , v , z. V důsledku toho je každý z P-členů určen ve formě vzorce složeného z konkrétních veličin (parametrů prostředí) v příslušné míře.

Jako konkrétní příklad najdeme řešení problému stanovení tlakové ztráty v důsledku tření v turbulentním proudění tekutiny.

Z obecných úvah můžeme usoudit, že tlaková ztráta v potrubí závisí na následujících hlavních faktorech: průměr d , délka l , drsnost stěny k, hustota ρ a viskozita µ média, průměrná rychlost proudění proti , počáteční smykové napětí, tzn.

(5.8)

Rovnice (5.8) obsahuje n=7 členů, a počet základních rozměrových jednotek. Podle P-věty získáme rovnici složenou z bezrozměrných P-členů:

(5.9)

Každý takový P-člen obsahuje 4 proměnné. Vezmeme-li jako hlavní proměnné průměr d , Rychlost proti , hustotu a jejich kombinací se zbytkem proměnných v rovnici (5.8), získáme