Unul dintre cele mai importante concepte de bază ale teoriei probabilităților este conceptul de variabilă aleatorie.

O variabilă aleatoare este o mărime care, în urma unui experiment, poate lua una sau alta valoare și nu se știe dinainte care dintre ele.

Exemple de variabile aleatoare:

1) numărul de lovituri cu trei lovituri;

2) numărul de apeluri primite de centrala telefonică pe zi;

3) rata de lovituri cu 10 lovituri.

În toate cele trei exemple date, variabilele aleatoare pot lua valori separate, izolate, care pot fi enumerate în prealabil.

Deci, în exemplul 1) aceste valori sunt:

în exemplul 2):

în exemplul 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Astfel de variabile aleatoare, care iau doar valori separate unele de altele, care pot fi enumerate în prealabil, se numesc variabile aleatoare discontinue sau discrete.

Există variabile aleatorii de alt tip, de exemplu:

1) abscisa punctului de impact la tragere;

2) eroarea de cântărire a corpului pe o balanță analitică;

3) viteza aeronavei în momentul atingerii unei altitudini date;

4) greutatea unui bob de grâu luat la întâmplare.

Valorile posibile ale unor astfel de variabile aleatoare nu sunt separate unele de altele; ele umplu continuu un anumit gol, care uneori are granițe clar definite și, mai des - granițe nedefinite, vagi.

Astfel de variabile aleatoare, ale căror posibile valori umplu continuu un anumit interval, se numesc variabile aleatoare continue.

Conceptul de variabilă aleatoare joacă un rol foarte important în teoria probabilității. Dacă teoria probabilității „clasică” a funcționat în principal cu evenimente, atunci teoria probabilității modernă preferă, acolo unde este posibil, să opereze cu variabile aleatoare.

Să dăm exemple de metode de tranziție de la evenimente la variabile aleatoare tipice pentru teoria probabilității.

Se efectuează un experiment, în urma căruia poate apărea sau nu un eveniment. În loc de un eveniment, putem considera o variabilă aleatoare, care este egală cu 1 dacă evenimentul are loc și este egală cu 0 dacă evenimentul nu are loc. Variabila aleatoare este evident discontinuă; are două valori posibile: 0 și 1. Această variabilă aleatoare se numește variabila aleatoare caracteristică a evenimentului. În practică, adesea se dovedește a fi mai convenabil să se opereze cu variabilele aleatoare caracteristice în loc de evenimente. De exemplu, dacă se efectuează o serie de experimente, în fiecare dintre ele posibilă apariția evenimentului, atunci numărul total de apariții ale evenimentului este egal cu suma variabilelor aleatoare caracteristice ale evenimentului în toate experimentele. Atunci când rezolvați multe probleme practice, utilizarea acestei tehnici se dovedește a fi foarte convenabilă.

Pe de altă parte, foarte des, pentru a calcula probabilitatea unui eveniment, se dovedește a fi convenabil să asociem acest eveniment cu o variabilă aleatoare continuă (sau un sistem de variabile continue).

Să fie măsurate, de exemplu, coordonatele unui obiect O pentru a construi un punct M care ilustrează acest obiect pe o panoramă (maturare) a zonei. Ne interesează evenimentul constând în faptul că eroarea R la poziția punctului M nu va depăși valoarea specificată (Fig. 2.4.1). Să notăm erori aleatorii în măsurarea coordonatelor obiectului. Evident, evenimentul este echivalent cu lovirea unui punct aleatoriu M cu coordonate în cadrul unui cerc de rază centrat în punctul O. Cu alte cuvinte, pentru ca evenimentul să aibă loc, variabilele aleatoare și trebuie să satisfacă inegalitatea

Probabilitatea unui eveniment nu este altceva decât probabilitatea îndeplinirii inegalității (2.4.1). Această probabilitate poate fi determinată dacă sunt cunoscute proprietățile variabilelor aleatoare.

O astfel de legătură organică între evenimente și variabile aleatoare este foarte caracteristică teoriei probabilităților moderne, care, oriunde este posibil, trece de la „schema evenimentelor” la „schema variabilelor aleatoare”. Ultima schemă, în comparație cu prima, este un aparat mult mai flexibil și universal pentru rezolvarea problemelor legate de fenomene aleatorii.

Valoare aleatoare- aceasta este o cantitate care, ca urmare a experienței, ia una dintre numeroasele valori, iar apariția uneia sau alteia valori a acestei mărimi înainte de măsurarea ei nu poate fi prezisă cu exactitate.

Formal definiție matematică următoarele: fie un spațiu de probabilitate, atunci o variabilă aleatoare este o funcție măsurabilă în raport cu și σ-algebra Borel pe . Comportamentul probabilist al unei variabile aleatoare separate (independent de celelalte) este complet descris de distribuția sa.

Definiție [editare]

Spațiul evenimentelor elementare [editare]

Spațiul evenimentelor elementare în cazul aruncării unui zar

Dacă se aruncă un zar, atunci fața de sus poate fi una dintre cele șase fețe cu un număr de puncte de la unu la șase. Pierderea oricărei fețe în acest caz în teoria probabilității se numește eveniment elementar, adică

Ansamblul tuturor fețelor formează un spațiu de evenimente elementare, ale căror submulțimi sunt numite evenimente aleatoare. În cazul unei singure aruncări de zar, exemple de evenimente sunt

Algebra evenimentelor[modifica]

Un set de evenimente aleatoare formează o algebră a evenimentelor dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

Dacă, în loc de a treia condiție, ea îndeplinește o altă condiție: uniunea unei subfamilii numărabile a aparține și ea , atunci mulțimea evenimentelor aleatoare formează o σ-algebră a evenimentelor.

Algebra evenimentelor este un caz special al σ-algebrei mulțimilor.

Cea mai mică dintre toate -algebrele posibile, ale căror elemente sunt toate intervalele pe dreapta reală, se numește σ-algebra Borel pe mulțimea numerelor reale.

Probabilitate [editare]

Dacă fiecărui eveniment elementar i se atribuie un număr pentru care condiția este îndeplinită:

atunci se consideră că sunt date probabilităţile evenimentelor elementare. Probabilitatea unui eveniment, ca submulțime numărabilă a spațiului evenimentelor elementare, este definită ca suma probabilităților acelor evenimente elementare care aparțin acestui eveniment. Cerința numărabilității este importantă, deoarece altfel suma va fi nedefinită.

Luați în considerare un exemplu de determinare a probabilității diferitelor evenimente aleatoare. De exemplu, dacă un eveniment este un set gol, atunci probabilitatea sa este zero:

Dacă evenimentul este spațiul evenimentelor elementare, atunci probabilitatea sa este egală cu unu:

Probabilitatea unui eveniment (un subset al spațiului evenimentelor elementare) este egală cu suma probabilităților acelor evenimente elementare care includ evenimentul luat în considerare.

Definiția unei variabile aleatoare [editare]

O variabilă aleatorie este o funcție măsurabilă în raport cu și o σ-algebră Borel pe .

O variabilă aleatoare poate fi definită și într-un alt mod echivalent. O funcție se numește variabilă aleatoare dacă pentru orice numere reale și un set de evenimente astfel încât , aparține .

Exemple [editare]

este egală cu media aritmetică a tuturor valorilor primite.

.

,

adică așteptarea matematică nu este definită.

Clasificare [editare]

variabile aleatoare poate lua valori discrete, continue și discrete-continue. În consecință, variabilele aleatoare sunt clasificate în discrete, continue și discrete-continue (mixte).

Pe schema de testare, pot fi definite atât o variabilă aleatoare separată (unidimensională/scalară), cât și un întreg sistem de variabile aleatoare unidimensionale interconectate (multidimensionale/vectorale).

• Un exemplu de variabilă aleatoare mixtă este timpul de așteptare la trecere drumîn oraș la o intersecție nereglementată.
• În scheme infinite (discrete sau continue), este convenabil să descriem cantitativ rezultate deja inițial elementare. De exemplu, numărul de gradări ale tipurilor de accidente în analiza accidentelor rutiere; timpul de funcționare al instrumentului pentru controlul calității etc.
• Valorile numerice care descriu rezultatele experimentelor pot să nu caracterizeze neapărat rezultatele elementare individuale în schema de testare, dar să corespundă și unor evenimente mai complexe.

Pe de o parte, mai multe valori numerice pot fi asociate simultan cu o schemă de testare și cu evenimente individuale din aceasta, care trebuie analizate împreună.

• De exemplu, coordonatele (abscisa, ordonata) unui fel de explozie de proiectil atunci când trageți într-o țintă de la sol; dimensiunile metrice (lungime, latime etc.) ale piesei aflate sub controlul calitatii; rezultatele unui examen medical (temperatura, presiune, puls etc.) la diagnosticarea unui pacient; datele recensământului (pe vârstă, sex, avere etc.).

Deoarece valorile caracteristicilor numerice ale schemelor de testare corespund în schemă unor evenimente aleatoare (cu anumite probabilități), atunci aceste valori însele sunt aleatorii (cu aceleași probabilități). Prin urmare, astfel de caracteristici numerice sunt de obicei numite variabile aleatoare. În acest caz, distribuția probabilităților pentru valorile unei variabile aleatoare se numește legea distribuției unei variabile aleatoare.

Metode de descriere[modifica]

Este posibilă setarea parțială a unei variabile aleatoare, descriind astfel toate proprietățile ei probabilistice ca o variabilă aleatoare separată, folosind funcția de distribuție, densitatea de probabilitate și funcția caracteristică, determinând probabilitățile valorilor posibile ale acesteia. Funcția de distribuție F(x) este probabilitatea ca valorile variabilei aleatoare să fie mai mici decât numărul real x. Din această definiție rezultă că probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare să cadă în interval

O variabilă aleatorie, în general, poate lua valori în orice spațiu măsurabil. Apoi este adesea numit un vector aleator sau un element aleator. De exemplu,

Vezi și [editare]

• proces aleatoriu
• functie de distributie
• Valorea estimata

Note [editare]

1. 1 2 Chernova N. I. Capitolul 1. § 2. Teoria probabilității elementare // Teoria probabilității. - Tutorial. - Novosibirsk: statul Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
2. Chernova N. I. Capitolul 3. § 1. Algebra și sigma-algebra evenimentelor // Teoria probabilității. - Tutorial. - Novosibirsk: statul Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
3. Chernova N. I. CAPITOLUL 1 § 2. Teoria probabilității elementare // Teoria probabilității. - Tutorial. - Novosibirsk: statul Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.
4. 1 2 Chernova N. I. Capitolul 6. Variabile aleatoare și distribuțiile lor § 1. Variabile aleatoare // Teoria probabilității. - Tutorial. - Novosibirsk: statul Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

Literatură [editare]

• Gnedenko B.V. Curs de teoria probabilității. - Ed. a 8-a. adăuga. si corecta. - M.: Editorial URSS, 2005. - 448 p.
• Matematic Dicţionar enciclopedic/ Ch. ed. Prokhorov Yu. V. - ed. a II-a. - M.: „Enciclopedia Sovietică”, 1998. - 847 p.
• Tihonov V.I., Kharisov V.N. Analiza statistică și sinteza dispozitivelor și sistemelor de inginerie radio. - Manual pentru universități. - M.: Radio și comunicare, 1991. - 608 p. - ISBN 5-256-00789-0
• Chernova N. I. Teoria probabilității. - Tutorial. - Novosibirsk: statul Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

Definiție. O variabilă aleatoare este o astfel de variabilă care, ca rezultat al unui experiment, ia orice valoare din setul de valori posibile și este imposibil să se prezică care dintre ele înainte de experiment.

Variabile aleatorii sunt, de exemplu, numărul de puncte care cad atunci când se aruncă un zar, numărul de vizitatori ai farmaciei în timpul zilei, numărul de mere de pe un copac etc.

Variabile aleatorii sunt, de asemenea, temperatura pacientului la un moment al zilei selectat aleatoriu, masa unui comprimat selectat aleatoriu dintr-un anumit medicament, înălțimea unui student selectat aleatoriu etc.

O

Cu toate acestea, din punct de vedere matematic, există o diferență fundamentală între astfel de variabile aleatoare cum ar fi, de exemplu, numărul de vizitatori ai farmaciei în timpul zilei (să notăm această variabilă aleatoare X 1) și creșterea unui student selectat aleatoriu dintr-un anumit grup de elevi (valoarea X 2), există o diferență fundamentală și anume: pentru valoarea X 1, puteți enumera toate valorile posibile ale acesteia (1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .), în timp ce pentru valoarea X 2, acest lucru nu se poate face, deoarece această valoare, ca rezultat al măsurării, poate lua orice valoare din segmentul , unde

şi - respectiv, înălţimea minimă şi maximă a elevilor grupei.

Variabilele aleatoare sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin - X, Y, Z etc., iar valorile lor posibile - prin litere mici corespunzătoare cu indici numerici. De exemplu, valorile unei variabile aleatoare x sunt notate după cum urmează: x 1, x 2, x 3 etc.

Conceptul de variabile aleatoare discrete și continue

Definiție. O variabilă aleatorie se numește discretă dacă mulțimea tuturor valorilor sale posibile este o mulțime de valori finită sau infinită, dar neapărat numărabilă, adică o astfel de mulțime, ale cărei elemente pot fi (cel puțin teoretic) numerotate și scrise în succesiunea corespunzătoare.

Definiție. O variabilă aleatorie se numește continuă dacă setul de valori posibile este un interval finit sau infinit al axei numerice.

Pe baza acestor definiții, variabile aleatoare enumerate mai sus, cum ar fi numărul de puncte care cad la aruncarea unui zar, numărul de vizitatori ai farmaciei în timpul zilei, numărul de mere per. arbore, sunt variabile aleatoare discrete și, cum ar fi temperatura pacientului la o oră fixă ​​a zilei, masa unui comprimat selectat aleatoriu dintr-un anumit medicament, înălțimea unui student selectat aleatoriu, sunt variabile continue.

Variabile aleatoare discrete

Să aruncăm o privire mai atentă variabile aleatoare discreteși, de regulă, ne vom limita considerația la astfel de variabile aleatoare pentru care numărul de valori posibile este finit.

Cea mai completă informație despre o variabilă aleatoare discretă este dată de legea distribuției acestei variabile.

Definiție. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este corespondența dintre toate valorile posibile ale acestei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare.

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este adesea specificată sub forma unui tabel cu două linii, al cărui prim rând listează toate valorile posibile ale acestei variabile (de regulă, în ordine crescătoare), iar pe al doilea rând liste probabilitățile corespunzătoare acestor valori din tabelul 1:

Exemplul 2 Există zece grupuri de studenți cu 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 și, respectiv, 11 studenți. Scrieți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatoare X, definită ca numărul de elevi dintr-un grup selectat aleatoriu.

Soluţie. Valorile posibile ale variabilei aleatoare considerate X sunt următoarele (în ordine crescătoare):

8, 9, 10, 11 și 12.

Deoarece variabila aleatoare X ia o valoare de 8, dacă grupul selectat aleatoriu este un grup de 8 studenți (să-i spunem evenimentul A), probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea
, este egală cu probabilitatea acestui eveniment aleatoriu:
.

Probabilitatea unui eveniment aleator A în conformitate cu definiția clasică a probabilității este
pentru că din 10 grupe, două au câte 8 elevi.

Astfel, pentru probabilitatea unei valori, obținem:

.

În mod similar, puteți găsi probabilitățile valorilor rămase ale variabilei aleatoare X:

ceea ce ne permite să compunem legea de distribuție dorită (Tabelul 2):

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete poate fi, de asemenea, specificată folosind o formulă care permite fiecărei valori posibile a acestei variabile să determine probabilitatea corespunzătoare.

Variabile aleatoare discrete și continue

De regulă, în fabricarea produselor, procesul de producție este influențat de mulți factori diferiți, ca urmare a cărora există o împrăștiere a valorilor indicatorilor de calitate a produsului. Astfel, indicatorii de calitate ai produselor sau serviciilor fabricate ar trebui considerați ca variabile aleatorii.

Variabilă aleatorie se numește o astfel de valoare care, ca urmare a testelor într-un anumit interval, poate lua diverse valori numerice (conform STB GOST R 50779.10, o variabilă aleatorie este o variabilă care poate lua orice valoare dintr-un anumit set de valori și cu care este asociată o distribuție de probabilitate).

Variabile aleatoare discrete se numesc acelea care, în urma testelor, pot lua doar valori separate, izolate și nu pot lua valori intermediare între ele. De exemplu, numărul de părți proaste dintr-un lot poate fi doar un întreg pozitiv 1, 2, 3 etc., dar nu poate fi 1,3; 1.7 etc.

Variabilă aleatoare continuă se numește o astfel de valoare, care, în urma testelor, poate lua orice valori numerice dintr-o serie continuă a valorilor lor posibile într-un anumit interval.

De exemplu, dimensiunile reale ale pieselor prelucrate sunt variabile aleatorii de tip continuu, deoarece pot lua orice valoare numerică în anumite limite.

Posibilitățile variabilelor aleatoare de a lua anumite valori numerice în timpul testelor sunt evaluate folosind probabilități.

Setul de valori ale variabilelor aleatoare dispuse în ordine crescătoare cu o indicație a probabilităților lor pentru fiecare dintre valori se numește distribuția variabilelor aleatoare (conform STB GOST R 50779.10 distribuția este o funcție care determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o anumită valoare sau să aparțină unui anumit set de valori).

Distribuția unei variabile aleatoare poate fi prezentată sub formă tabelară, grafică și cu ajutorul estimărilor statistice.

La prezentarea distribuției unei variabile aleatoare sub formă tabelară, fiecărui număr al unității de produs studiate (numărul de măsurare) corespunde valorii indicatorului de calitate pentru această unitate de produs (rezultatul măsurării).

Când se prezintă distribuția unei variabile aleatoare într-o formă grafică, un grafic de distribuție este reprezentat în coordonate, valoarea variabilei aleatoare - probabilitatea (frecvența, frecvența) a valorii variabilei aleatoare.

Figura de mai jos prezintă graficele distribuției variabilelor aleatoare discrete și continue.

Figura - Graficul distribuției unei variabile aleatoare discrete

Figura - Graficul distribuției unei variabile aleatoare continue

Există distribuții teoretice și empirice ale variabilelor aleatoare. În distribuțiile teoretice, evaluarea valorilor posibile ale unei variabile aleatoare se realizează folosind probabilități, iar în distribuțiile empirice, folosind frecvențe sau frecvențe obținute în urma testelor.

Prin urmare, distribuția empirică a unei variabile aleatoare este un set al valorilor sale experimentale, aranjate în ordine crescătoare, indicând frecvențele sau frecvențele pentru fiecare dintre valori (conform STB GOST R 50779.10 distribuția de frecvență este relația empirică dintre valorile unei caracteristici și frecvențele sale sau frecvențele sale relative).

Masa. Un exemplu de reprezentare tabelară a distribuției teoretice a unei variabile aleatoare discrete

Grafic, distribuția empirică a unei variabile aleatoare discrete poate fi reprezentată ca diagramă cu bare , format dintr-un set de coloane de lățime egală, ale căror înălțimi sunt proporționale cu frecvențele valorilor discrete ale unei variabile aleatorii.

Figura - Diagramă cu bare a unei variabile aleatoare discrete.

Dacă variabila aleatoare este continuă, atunci apar unele dificultăți în prezentarea distribuției sale sub forma unui tabel sau grafic. Prin urmare, în practică, atunci când se studiază variabile aleatoare de tip continuu, valorile obținute sunt împărțite în intervale egale, astfel încât valoarea intervalului să fie ceva mai mare decât eroarea de măsurare a cantității studiate. Apoi frecvențele sunt calculate nu prin valorile reale ale variabilei aleatoare, ci pe intervale. Prin urmare, tabelul de distribuție empirică a unei variabile aleatoare de tip continuu va avea următoarea formă.

Masa. Distribuția empirică a unei variabile aleatoare de tip continuu.

Interval valoric X	Media aritmetică	Frecvență f i	Frecvență m i
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		f i = 100	m i = 1

Distribuția empirică a unei variabile continue aleatoare poate fi reprezentată grafic ca histogramă de distribuție, un poligon de frecvență sau un poligon de frecvență cumulativă.

Histograma distribuției este un set de dreptunghiuri care se ating, ale căror baze sunt egale cu intervalele de împărțire a unei variabile aleatoare continue, iar zonele sunt proporționale cu frecvențele cu care valorile variabilei aleatoare se încadrează în aceste intervale. (conform STB GOST R 50779.10 diagramă cu bare (distribuția) este o reprezentare grafică a distribuției de frecvență pentru o caracteristică cantitativă, formată din dreptunghiuri învecinate, ale căror baze sunt intervalele de clase, iar ariile sunt proporționale cu frecvențele acestor clase).

Figura - Histograma distribuției unei variabile continue aleatoare.

Poligon de frecvență este o linie întreruptă obținută prin conectarea punctelor ale căror abscise sunt egale cu punctele medii ale intervalelor de partiție, iar ordonatele sunt egale cu frecvențele corespunzătoare.

Figura - Poligon de frecvențe ale unei variabile continue aleatoare.

Poligon cumulativ frecvente este o linie întreruptă obținută prin conectarea punctelor ale căror abscise sunt egale cu limitele superioare ale intervalelor de partiție și ale căror ordonate sunt egale fie cu frecvențe cumulate, fie cu frecvențe cumulate (frecvențe relative cumulate).

Figura - Poligon de frecvențe cumulate de o valoare continuă aleatoare.

În descrierile teoretice ale variabilelor aleatoare de tip continuu se folosește funcția de distribuție. Distribuția teoretică a unei variabile continue aleatoare poate fi reprezentată grafic ca integrală, integrală inversă, diferenţială funcții și funcții de distribuție intensitate.

Fie X o variabilă aleatorie și x un număr real (cu X< х ). Evenimentul X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X) se numește functie de distributie probabilități variabilă aleatoare sau funcție de distribuție integrală.

Pentru o variabilă aleatorie discretă, funcția de distribuție integrală F(X) este ușor de determinat dintr-un tabel sau grafic.

Astfel, pentru exemplul de mai sus al distribuției unei variabile aleatoare discrete (la X< 4):

F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Graficul funcției de distribuție integrală a unei variabile aleatoare discrete va arăta ca o curbă în trepte. Ordonatele curbei pentru orice valoare a lui X vor reprezenta suma probabilităților valorilor anterioare.

Figura - Funcția de distribuție integrală a unei variabile aleatoare discrete

Probabilitatea ca o variabilă aleatorie în timpul testării să fie în limitele a două valori date \u200b\u200bx 1 și x 2 (x 2 > x 1) este egală cu incrementul funcției integrale în această zonă, adică.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Dacă ne întoarcem la exemplul de mai sus al distribuției unei variabile aleatoare discrete, atunci pentru x1 = 2 și x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Pentru o variabilă aleatoare continuă, graficul funcției de distribuție integrală va arăta ca o curbă crescătoare monotonă. În practică, frecvențele de distribuție teoretice sunt determinate folosind funcția de distribuție cumulativă.

Figura - Funcția de distribuție cumulativă

variabilă aleatoare continuă

Funcția de distribuție cumulativă inversă este egală cu diferența dintre unitate și funcția de distribuție cumulativă.

Densitatea distribuției (funcția de distribuție diferențială) variabila aleatoare se numeste derivata prima a functiei de distributie integrala:

Pentru o descriere analitică a unei variabile aleatoare continue în teoria fiabilității, folosim functie de intensitate , egal cu raportul dintre funcția de distribuție diferențială și funcția de distribuție integrală inversă:

Figura - Funcția de intensitate a unei variabile aleatoare continue.

Subiectul 3.

Variabile aleatoare și funcții de distribuție

Conceptul de variabilă aleatoare.

Conceptul de variabilă aleatoare

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare, proprietățile acesteia

Variabile aleatoare cu distribuție discretă

Conceptul de variabilă aleatoare cu o distribuție discretă

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete.

Exemple de distribuții discrete

Variabile aleatoare cu distribuție absolut continuă

Conceptul de variabilă aleatoare cu o distribuție absolut continuă

Legea distribuției unei variabile aleatoare absolut continue. Densitatea, proprietățile sale

Exemple de distribuții absolut continue

Conceptul de vector aleatoriu.

Conceptul de vector aleatoriu

Variabile aleatoare independente

Distribuția comună a variabilelor aleatoare

Conceptul de variabilă aleatoare.

De la apariția teoriei probabilităților, sarcina sa principală a fost să studieze nu proprietățile probabilistice ale experimentelor cu rezultate aleatorii, ci cantitățile numerice asociate acestor experimente, pe care este firesc să le numim. variabile aleatoare. De exemplu, ne pot interesa nu perechile de numere de pe fețele superioare ale zarurilor, ci suma lor; numărul de succese sau eșecuri înainte de primul succes în schema Bernoulli.

Adesea, în literatură puteți găsi variații pe tema următoarei definiții: Variabilă aleatorie numită variabilă care, în funcție de rezultatul testului, ia valori care depind de caz.

Astfel, o variabilă aleatorie este o valoare numerică, a cărei valoare depinde de ce fel de rezultat (elementar) a apărut ca urmare a unui experiment cu un rezultat aleatoriu. Se numește setul tuturor valorilor pe care le poate lua o variabilă aleatorie set de valori posibile ale acestei variabile aleatoare.

Vom da o definiție mai riguroasă, deoarece conceptul de variabilă aleatorie este unul dintre acele concepte cheie care conectează teoria probabilității cu analiza matematică și formează baza conceptuală a statisticii matematice.

Definiție. Variabilă aleatorie este o funcție X = X(ω) definită pe spațiul evenimentelor elementare Ω pentru care evenimentul (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Condiție (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из DAR. În plus, prin evenimente (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Cometariu. Astfel, o variabilă aleatorie este o funcție al cărei domeniu de definiție este spațiul evenimentelor elementare Ω, iar mulțimea de valori este o mulțime numerică, eventual întregul set de numere reale R.

σ-algebra evenimentelor A este domeniul de definire a probabilității, dacă o considerăm ca o funcție.

cometariu . „Termenul „variabilă aleatorie” este oarecum inexact, termenul „funcție șansă” ar fi mai potrivit, variabila independentă este un punct în spațiul evenimentelor elementare, adică. rezultatul unui experiment sau al unui caz. (W. Feller „Introducere în teoria probabilității”, cap. IX)

Variabilele aleatoare sunt notate cu literele alfabetului grecesc:  (xi),  (acest),  sau majuscule ale alfabetului latin X, Y,... Vom scrie valorile unei variabile aleatoare ca succesiune finită sau infinită X 1 ,X 2,, X n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

cometariu . Anterior am introdus conceptul de probabilitate în raport cu unele evenimente. Acum trecem la a vorbi despre funcții. Cel mai evident eveniment care poate fi asociat conceptului de funcție este adoptarea de către aceasta a unei valori (specifice sau aparținând intervalului)

Pentru a studia proprietățile probabilistice ale unei variabile aleatoare, este necesar să cunoașteți regula care vă permite să găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare dintr-un subset al valorilor sale. Orice astfel de regulă este numită legea distribuției probabilităților sau a distribuției (a probabilităților) unei variabile aleatoare.(cuvântul „probabilitate” este de obicei omis)

Legea distribuției generale inerentă tuturor variabilelor aleatoare este functie de distributie.

Definiție.Întregul set de probabilități P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает legea de distribuție a variabilei aleatoare Xîn caz general. Adesea, pentru concizie, legea distribuției unei variabile aleatoare se numește pur și simplu distribuția unei variabile aleatoare.

Definiție. Funcția F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется funcția de distribuție a variabilei aleatoare X.

Valoarea funcției de distribuție în punctul x este egală cu probabilitatea evenimentului (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

De obicei se spune că valoarea funcției de distribuție în punctul x este egală cu probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x.

Geometric, aceasta înseamnă următoarele: F(x) este probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea reprezentată de punctul de pe dreapta numerică situat în stânga punctului x.

cometariu . Se mai numește și funcția de distribuție funcția integrală sau lege integrală distribuția variabilei aleatoare X

Funcția de distribuție are următoarele proprietăți:

0≤ F(x)≤1 (deoarece, prin definiție, funcția de distribuție este o probabilitate)

F(x 1) ≤ F(x 2) pentru x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 ca x → - ∞ , lim F(x) = 1 ca x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) este o funcție continuă la stânga, adică. F(x) = F(x - 0), unde F(x - 0) = lim F(y) ca y → x - 0 (limită din stânga)

cometariu . Pentru a sublinia cărei variabile aleatoare îi aparține funcția de distribuție F(x), acestei funcții i se atribuie uneori un indice care denotă o anumită variabilă aleatoare. De exemplu, F X (x) = P (X< х}

Cometariu. În unele publicații, funcția de distribuție este definită ca F(x) = P(X ≤ x). O astfel de definiție nu schimbă nimic în esența conceptului de funcție de distribuție, doar ultima, a cincea proprietate se modifică. Funcția în acest caz se dovedește a fi dreaptă-continuă.

Digresiune: „Ce este o funcție?”

Să ne dăm două seturi X și Y, iar Y este o mulțime de numere. Și să fie dată regula f, conform căreia fiecare element (punct) al mulțimii X este asociat cu (unul și un singur) element (număr) al mulțimii Y. Regula f împreună cu mulțimile X și Y definesc funcția f. Notația y=f(x) înseamnă că regula f a fost aplicată unui punct x al mulțimii X și, ca rezultat, am obținut un punct y din mulțimea Y. X se numește argument (variabilă independentă), iar y este valoarea (variabilă dependentă) a funcției f în punctul X. Mulțimea X se numește domeniul de definire (zona de setare) a funcției, se spune că funcția este dată pe această mulțime, mulțimea Y ​​se numește mulțimea de valori a funcției. Mulțimea X nu este neapărat o mulțime de numere. Astfel, o variabilă aleatoare este o funcție definită pe un spațiu nenumeric al evenimentelor elementare.

VALORI ALEATORII

O valoare aleatorie este o cantitate care, în urma testului, va lua una și o singură valoare posibilă și care nu este cunoscută dinainte.

Discreta este o variabilă aleatorie care ia valori posibile separate, izolate, cu anumite probabilități.

O variabilă continuă este o variabilă aleatoare care poate lua toate valorile dintr-un interval finit sau infinit.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestora. Această lege este dată sub forma unui tabel, formulă sau grafic.

Pentru variabilele aleatoare discrete, una dintre cele mai comune este așa-numita lege de distribuție binomială, la care duce schema Bernoulli de repetare a testelor. Formula (8) este expresia analitică a acestei legi.

Exemplul 11.

Un mesaj este transmis prin canalul de comunicare folosind un cod format din două caractere. Probabilitatea apariției primului este de 2/3. Au trecut trei semne. Găsiți legea distribuției pentru aparițiile primului semn.

Soluţie.

După condiție n=4, R=2/3, q=1/3. Valori posibile ale numărului de apariții ale primului semn: 0, 1, 2 și 3. Găsiți probabilitățile lor folosind formula (8):

Această lege poate fi prezentată sub forma unui tabel

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

O funcție de distribuție este o funcție care determină probabilitatea ca o variabilă aleatorie X ca urmare a testului va lua o valoare mai mică decât X, acesta este

Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că o variabilă aleatoare cu o probabilitate R va prelua valoarea care este reprezentată pe axa numerică de punctul din stânga X.

Pentru o variabilă aleatoare continuă, funcția de distribuție este o funcție diferențiabilă continuă pe bucăți. Principalele proprietăți sunt derivate din definiție:

1. Valorile funcției de distribuție aparțin segmentului , i.e.

2. F(X) este o funcție nedescrescătoare, adică dacă

3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare cuprinsă în intervalul [ a,b[, este egal cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval

Pentru o variabilă aleatoare continuă, probabilitatea de a accepta o singură valoare este zero. Prin urmare, pentru variabile aleatoare continue

Exemplul 12.

Valoare aleatoare X dat de funcţia de distribuţie

Găsiți probabilitatea ca în urma testului X va lua valoarea aparținând segmentului [-1; 0,5].

Soluţie.

Din condiţia rezultă că X este o variabilă aleatoare continuă care poate lua o valoare de la 0 la 1.

Probabilitate densitate continuu variabilă aleatorie X numiți derivata întâi a funcției de distribuție

functie de distributie F(x) este una dintre antiderivatele pentru densitatea distribuției. Pe baza definiției densității sau a legii distribuției diferențiale și a conexiunii acesteia cu funcția de distribuție, este ușor să arătăm următoarele proprietăți:

1. Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue este o funcție nenegativă

2. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare Xîn interval este egal cu

(16)

3. Din proprietatea 2 obținem o expresie pentru funcția de distribuție

(17)

4. Condiție de normalizare

(18)

Exemplul 13 valoare discretă X dat de tabel

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Găsiți funcția de distribuție și construiți graficul acesteia.

Soluţie.

1. Dacă , atunci , din moment ce X nu poate fi mai mic de 2.

În acest caz, în intervalul (-¥, X) există o singură valoare a variabilei aleatoare X (X=2). De aceea

Pentru orice valoare de argument X funcții F(x), satisfacerea acestei inegalități, în intervalul (-¥, X) atinge două valori ale unei variabile aleatorii ( X=2 și X=3). Pentru că evenimentele care X va accepta valorile date sunt inconsecvente (sau X=2 sau X=3), atunci

4. În mod similar, dacă

Prin urmare, funcția de distribuție va arăta ca

Construim un grafic al funcției de distribuție

Orez. 1 - Graficul funcției de distribuție

variabilă aleatoare discretă

Exemplul 14. Densitatea distribuției erorii de măsurare

LEGEA DISTRIBUȚIEI ȘI CARACTERISTICI

VALORI ALEATORII

Variabile aleatoare, clasificarea lor și metode de descriere.

O valoare aleatorie este o cantitate care, în urma unui experiment, poate lua una sau alta valoare, dar care nu este cunoscută dinainte. Pentru o variabilă aleatorie, prin urmare, pot fi specificate numai valori, dintre care una va lua neapărat ca rezultat al experimentului. Aceste valori vor fi denumite posibile valori ale variabilei aleatoare. Deoarece o variabilă aleatoare caracterizează cantitativ rezultatul aleatoriu al unui experiment, poate fi considerată o caracteristică cantitativă a unui eveniment aleatoriu.

Variabilele aleatoare sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin, de exemplu, X..Y..Z, iar valorile lor posibile prin literele mici corespunzătoare.

Există trei tipuri de variabile aleatoare:

discret; Continuu; Amestecat.

Discret se numește o astfel de variabilă aleatorie, numărul de valori posibile al cărui număr formează un set numărabil. La rândul său, o mulțime numărabilă este o mulțime ale cărei elemente pot fi numerotate. Cuvântul „discret” provine din latinescul discretus, care înseamnă „discontinuu, format din părți separate”.

Exemplul 1. O variabilă aleatorie discretă este numărul de părți defecte X dintr-un lot de nfl. Într-adevăr, valorile posibile ale acestei variabile aleatoare sunt o serie de numere întregi de la 0 la n.

Exemplul 2. O variabilă aleatorie discretă este numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei. Aici, ca și în exemplul 1, valorile posibile pot fi numerotate, deși în cazul limită valoarea posibilă este un număr infinit de mare.

continuu se numește variabilă aleatoare, ale cărei valori posibile umple continuu un anumit interval al axei numerice, numit uneori interval de existență a acestei variabile aleatoare. Astfel, pe orice interval finit de existență, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit de mare.

Exemplul 3. O variabilă aleatoare continuă este consumul de energie electrică la întreprindere pentru o lună.

Exemplul 4. O variabilă aleatoare continuă este eroarea în măsurarea înălțimii folosind un altimetru. Să se știe din principiul de funcționare al altimetrului că eroarea se află în intervalul de la 0 la 2 m. Prin urmare, intervalul de existență a acestei variabile aleatoare este intervalul de la 0 la 2 m.

Legea distribuției variabilelor aleatoare.

O variabilă aleatoare este considerată complet specificată dacă valorile ei posibile sunt indicate pe axa numerică și se stabilește legea distribuției.

Legea distribuției unei variabile aleatoare se numește relație care stabilește o relație între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare.

Se spune că o variabilă aleatorie este distribuită conform unei legi date sau supusă unei legi de distribuție date. Ca legi de distribuție sunt folosite un număr de probabilități, o funcție de distribuție, o densitate de probabilitate, o funcție caracteristică.

Legea distribuției oferă o descriere completă probabilă a unei variabile aleatoare. Conform legii distribuției, este posibil să se judece înainte de experiență care valori posibile ale unei variabile aleatoare vor apărea mai des și care sunt mai rar.

Pentru o variabilă aleatorie discretă, legea distribuției poate fi dată sub forma unui tabel, analitic (sub forma unei formule) și grafic.

Cea mai simplă formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este un tabel (matrice), care listează în ordine crescătoare toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile lor corespunzătoare, de exemplu.

Un astfel de tabel se numește o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. unu

Evenimentele X 1 , X 2 ,..., X n , constând în faptul că, în urma testului, variabila aleatoare X va lua valorile x 1 , x 2 , respectiv... x n , sunt inconsecvente și singurele posibile (deoarece tabelul listează toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare), adică formează un grup complet. Prin urmare, suma probabilităților lor este egală cu 1. Astfel, pentru orice variabilă aleatoare discretă

(Această unitate este oarecum distribuită între valorile variabilei aleatoare, de unde și termenul „distribuție”).

O serie de distribuție poate fi afișată grafic dacă valorile unei variabile aleatoare sunt reprezentate grafic de-a lungul axei absciselor și probabilitățile lor corespunzătoare de-a lungul axei ordonatelor. Legătura punctelor obținute formează o linie întreruptă, numită poligon sau poligon al distribuției de probabilitate (Fig. 1).

Exemplu Se joacă loteria: o mașină în valoare de 5000 de den. unitati, 4 televizoare in valoare de 250 den. unitate, 5 VCR-uri în valoare de 200 den. unitati În total, 1000 de bilete sunt vândute pentru 7 den. unitati Întocmește legea de repartizare a câștigurilor nete primite de participantul la loterie care a cumpărat un bilet.

Soluţie. Valorile posibile ale variabilei aleatoare X - câștiguri nete pe bilet - sunt 0-7 = -7 den. unitati (dacă biletul nu a câștigat), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unitati (dacă biletul a câștigat VCR-ul, respectiv televizorul sau mașina). Având în vedere că din 1000 de bilete numărul de necâștigători este de 990, iar câștigurile indicate sunt 5, 4 și, respectiv, 1 și folosind definiția clasică a probabilității, obținem.

O extensie a conceptului de evenimente aleatoare, constând în apariția anumitor valori numerice ca urmare a unui experiment, este valoare aleatorie X.

Definiție. Aleatoriu ei numesc o cantitate care, ca urmare a experimentului, ia o singură valoare dintr-o parte din totalitatea lor și care nu se știe dinainte care.

Valoare aleatoare, de exemplu, este un model rezonabil pentru descrierea datelor geologice, ținând cont de influența diferiților factori asupra câmpului fizic.

Pe lângă rezultatul unui experiment separat, valoarea exactă a unei variabile aleatoare nu poate fi prezisă; se pot stabili doar modelele ei statistice, de exemplu. determinați probabilitățile valorilor unei variabile aleatoare. De exemplu, măsurători proprietăți fizice stânci sunt observații ale variabilelor aleatoare corespunzătoare.

Printre variabilele aleatoare cu care are de a face un geolog, se pot distinge două tipuri principale: discretși cantități continuu.

Definiție. Discret O variabilă aleatoare este una care poate lua un set de valori numărabile finit sau infinit.

Ca exemple tipice ale unei variabile aleatoare discrete, pot exista toate rezultatele muncii pe teren, toate rezultatele experimentelor, mostre aduse de pe teren etc.

Toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare formează un grup complet de evenimente, adică , unde este finit sau infinit. Prin urmare, se poate spune că valoare aleatorie generalizează conceptul de eveniment aleatoriu.

Să se obțină în urma cercetărilor următoarea serie de date privind compoziția cantitativă a unei anumite rase: 4; 3; unu; 2; 5; patru; 2; 2; 3; unu; 5; patru; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Au fost efectuate în total 20 de teste. Pentru a facilita lucrul cu datele, acestea au fost transformate: valorile obținute au fost aranjate în ordine crescătoare și a fost calculat numărul de apariții ale fiecăreia dintre valori. Ca rezultat, am obținut (Tabelul 7.1):

Definiție. Distribuția ascendentă a datelor se numește clasament.

Definiție. Valoarea observată a unui semn al unei variabile aleatoare se numește variantă.

Definiție. Se numește o serie alcătuită dintr-o variantă serie variațională.

Definiție. Se numește o modificare a unui semn al unei variabile aleatoare variat.

Definiție. Numărul care arată de câte ori variază o anumită variantă se numește frecvență și este notat cu .

Definiție. Probabilitate aspectul acestei opțiuni este egal cu raportul dintre frecvență și cantitatea totală a seriei de variații

(1)

Ținând cont de definițiile introduse, vom rescrie Tabelul 7.1.

Tabelul 7.2. rând clasat

Opțiune	1	2	3	4	5	6
Frecvență	3	4	3	3	6	1
Probabilitate	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

La analize statistice datele experimentale sunt utilizate în principal cantități discrete. Tabelul 7.3 prezintă principalele caracteristici numerice ale acestor mărimi, care au o mare importanță practică în prelucrarea datelor experimentale.

Tabelul 7.3. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare

N p / p	Caracteristica (parametrul) unei variabile aleatoare și desemnarea acesteia	Formula pentru aflarea caracteristicilor unei variabile aleatoare	Notă
1	Valorea estimata	(2)	Caracterizează poziția unei variabile aleatoare pe axa numerelor
2	Rău	(3)	Dacă variabila aleatoare este independentă, atunci
3	Modă	Aceasta este valoarea pentru care este cea mai mare	Egal cu valoarea care apare cel mai frecvent . Dacă există mai multe astfel de valori în seria de variații, atunci nu este determinată.
4	Median	Dacă chiar, atunci Dacă ciudat, atunci	Aceasta este valoarea care se află în centrul seriei clasate.
5	Dispersia		Caracterizează dispersia reală a unei variabile aleatoare în jurul valorii medii.
7	Coeficientul de variație	(6)	Împreună cu dispersia caracterizează variabilitatea unei variabile aleatorii
8	Abatere normalizată centrată