Definiția unei variabile aleatoare. Multe evenimente aleatoare pot fi cuantificate prin variabile aleatorii.
Aleatorie este o cantitate care ia valori în funcție de o combinație de circumstanțe aleatorii.
Variabile aleatorii sunt: numărul de pacienți la cabinetul medicului, numărul de studenți din audiență, numărul de nașteri în oraș, speranța de viață persoana individuala, viteza unei molecule, temperatura aerului, o eroare în măsurarea unei valori etc. Dacă numerotați bilele într-o urna aproximativ la fel ca atunci când jucați o tragere la loto, atunci o scoatere arbitrară a unei bile din urna. urn va afișa un număr care este o variabilă aleatorie.
Există variabile aleatoare discrete și continue.
O variabilă aleatorie se numește discretă dacă ia un set numărabil de valori: numărul de litere de pe o pagină arbitrară a unei cărți, energia unui electron dintr-un atom, numărul de fire de păr de pe capul unei persoane, numărul de boabe din spice, numărul de molecule dintr-un anumit volum de gaz etc.
Continuu valoare aleatorie ia orice valoare într-un anumit interval: temperatura corpului, masa cerealelor în spice de grâu, coordonata locului în care glonțul a lovit ținta (luăm glonțul ca punct material) etc.
Distribuția unei variabile aleatoare discrete. O variabilă aleatorie discretă este considerată dată dacă sunt indicate valorile ei posibile și probabilitățile corespunzătoare. Indicați o variabilă aleatoare discretă X, intelesul sau x 1 x 2 ,…., și probabilitățile P(x 1)= p 1, P (x 2)= p 2 etc. Populația Xși P se numește distribuția unei variabile aleatoare discrete(Tabelul 1).
tabelul 1
Variabila aleatorie este numărul sportului din jocul „Sportlo-10”. Numărul total de specii este de 49. Indicați distribuția acestei variabile aleatoare (Tabelul 3).
Tabelul 3
Sens 1 = 0 corespunde unui astfel de caz în care de trei ori la rând evenimentul DAR nu sa întâmplat. Probabilitatea acestui eveniment complex, conform teoremei înmulțirii probabilităților (2.6), este egală cu
Sens I= 1 se referă la cazul în care evenimentul A a avut loc într-unul din cele trei procese. Prin formula (2.6) obținem
De la ora l = 1 au loc și alte două evenimente complexe: (A și A și A) și (A și A și A), atunci este necesar, folosind teorema de adunare a probabilității (2.4), să se obțină probabilitatea totală pentru l = 1, adăugând de trei ori expresia anterioară:
Sens I= 2 corespunde cazului în care evenimentul A s-a produs în două din cele trei procese. Prin raționament similar celui de mai sus, obținem probabilitatea totală pentru acest caz:
La 1 = 3 evenimentul A apare în toate cele trei încercări. Folosind teorema înmulțirii probabilităților, găsim
LA caz general Distribuția binomială determină probabilitatea ca evenimentul A să se producă. l ori la P teste:
Pe baza observațiilor pe termen lung, apelul unui medic la o anumită casă este estimat cu o probabilitate de 0,5. Găsiți probabilitatea ca în șase zile să fie patru apeluri la medic; P(A)= 0,5, n = 6,1 = 4. T Folosim formula (2.10):
Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete.În multe cazuri, împreună cu distribuția unei variabile aleatoare sau în locul acesteia, informațiile despre aceste mărimi pot fi furnizate prin parametri numerici numiți caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii. Să luăm în considerare cele mai comune dintre ele.
Așteptările matematice (valoarea medie) a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor sale posibile.
pe probabilitățile acestor valori:
Lasă cu un număr mare de teste P variabilă aleatoare discretă X ia valori x v x 2 ,..., x n respectiv m 1, m g,..., t p o singura data. Valoarea medie este
În cazul în care un P este mare, apoi frecvențele relative t 1 /p, t 2 /p,... va tinde spre probabilități, iar valoarea medie - spre așteptarea matematică. De aceea, așteptarea matematică este adesea identificată cu valoarea medie.
Găsiți așteptările matematice pentru o variabilă aleatorie discretă, care este dată de numărul de pe muchie atunci când aruncați un zar (vezi Tabelul 2).
Folosim formula (2.11):
Găsiți așteptările matematice pentru o variabilă aleatoare discretă, care este determinată de circulația „Sportloto” (vezi Tabelul 3). Conform formulei (2.11), găsim
Valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete sunt împrăștiate în jurul așteptărilor sale matematice, unele dintre ele depășesc M(X), parte este mai puțin M(X). Cum se estimează gradul de dispersie al unei variabile aleatoare în raport cu valoarea sa medie? Se poate părea că, pentru a rezolva o astfel de problemă, ar trebui să se calculeze abaterile tuturor variabilelor aleatoare de la așteptările sale matematice. X - M(X),și apoi găsiți așteptarea (media) matematică a acestor abateri: M[X - M(X)]. Fără dovezi, observăm că această valoare este egală cu zero, deoarece abaterile variabilelor aleatoare de la așteptarea matematică au atât valori pozitive, cât și negative. Prin urmare, este recomandabil să se țină cont fie de valorile absolute ale abaterilor M[X - M(X)] sau pătratele acestora M[X-M(X)]2. A doua opțiune se dovedește a fi preferabilă, așa că se ajunge la conceptul de varianță a unei variabile aleatoare.
Dispersia unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică:
Înseamnă că varianța este egală cu diferența dintre așteptările matematice ale pătratului variabilei aleatoare Xși pătratul așteptărilor sale matematice.
Găsiți varianța unei variabile aleatoare, care este dată de numărul de pe muchie atunci când aruncați un zar (vezi Tabelul 2).
Așteptarea matematică a acestei distribuții este 3,5. Să notăm pătratele abaterii variabilelor aleatoare de la așteptarea matematică: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Conform formulei (2.12), luând în considerare (2.11), găsim dispersia:
După cum rezultă din (2.12), varianța are dimensiunea pătratului dimensiunii variabilei aleatoare. Pentru a estima distanța unei variabile aleatoare în unități de aceeași dimensiune, se introduce conceptul deviație standard, prin care se înțelege Rădăcină pătrată din dispersie:
Distribuția și caracteristicile unei variabile aleatoare continue. O variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată prin aceeași lege de distribuție ca și una discretă. În acest caz, procedați după cum urmează.
Fie dP probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X ia valori între Xși X+ dx. Este evident că Irm este mai mult interval dx, cu atât mai probabil dP: dP ~ dx.În plus, probabilitatea trebuie să depindă și de Valoarea aleatorie în sine, în apropierea căreia se află, așadar, intervalul
Unde f(x)- probabilitate densitate, sau funcția de distribuție a probabilității. Acesta arată cum se modifică probabilitatea legată de interval. dx variabilă aleatoare, în funcție de valoarea acestei variabile în sine:
Integrând expresia (2.15) în limitele corespunzătoare, găsim probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o anumită valoare în intervalul (ab):
Condiția de normalizare pentru o variabilă aleatoare continuă are forma
După cum se poate observa din (2.19), această funcție este egală cu probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori mai mici decât X:
Pentru o variabilă aleatoare continuă, așteptarea și varianța matematică sunt scrise, respectiv, ca
Definiție. O variabilă aleatoare este o astfel de variabilă care, ca rezultat al unui experiment, ia orice valoare din setul de valori posibile și este imposibil să se prezică care dintre ele înainte de experiment.
Variabile aleatorii sunt, de exemplu, numărul de puncte care cad atunci când se aruncă un zar, numărul de vizitatori ai farmaciei în timpul zilei, numărul de mere de pe un copac etc.
Variabile aleatorii sunt, de asemenea, temperatura pacientului la un moment al zilei selectat aleatoriu, masa unui comprimat selectat aleatoriu dintr-un anumit medicament, înălțimea unui student selectat aleatoriu etc.
O 
Cu toate acestea, din punct de vedere matematic, există o diferență fundamentală între astfel de variabile aleatoare cum ar fi, de exemplu, numărul de vizitatori ai farmaciei în timpul zilei (să notăm această variabilă aleatoare X 1) și creșterea unui student selectat aleatoriu dintr-un anumit grup de elevi (valoarea X 2), există o diferență fundamentală și anume: pentru valoarea X 1, puteți enumera toate valorile posibile ale acesteia (1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .), în timp ce pentru valoarea X 2, acest lucru nu se poate face, deoarece această valoare, ca rezultat al măsurării, poate lua orice valoare din segmentul , unde
şi - respectiv, înălţimea minimă şi maximă a elevilor grupei.
Variabilele aleatoare sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin - X, Y, Z etc., iar valorile lor posibile - prin litere mici corespunzătoare cu indici numerici. De exemplu, valorile unei variabile aleatoare x sunt notate după cum urmează: x 1, x 2, x 3 etc.
Conceptul de variabile aleatoare discrete și continue
Definiție. O variabilă aleatorie se numește discretă dacă mulțimea tuturor valorilor sale posibile este o mulțime de valori finită sau infinită, dar neapărat numărabilă, adică o astfel de mulțime, ale cărei elemente pot fi (cel puțin teoretic) numerotate și scrise în succesiunea corespunzătoare.
Definiție. O variabilă aleatorie se numește continuă dacă setul de valori posibile este un interval finit sau infinit al axei numerice.
Pe baza acestor definiții, variabile aleatoare enumerate mai sus, cum ar fi numărul de puncte care cad la aruncarea unui zar, numărul de vizitatori ai farmaciei în timpul zilei, numărul de mere per. arbore, sunt variabile aleatoare discrete și, cum ar fi temperatura pacientului la o oră fixă a zilei, masa unui comprimat selectat aleatoriu dintr-un anumit medicament, înălțimea unui student selectat aleatoriu, sunt variabile continue.
Variabile aleatoare discrete
Să aruncăm o privire mai atentă variabile aleatoare discreteși, de regulă, ne vom limita considerația la astfel de variabile aleatoare pentru care numărul de valori posibile este finit.
Cea mai completă informație despre o variabilă aleatoare discretă este dată de legea distribuției acestei variabile.
Definiție. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este corespondența dintre toate valorile posibile ale acestei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare.
Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este adesea specificată sub forma unui tabel cu două linii, al cărui prim rând listează toate valorile posibile ale acestei variabile (de regulă, în ordine crescătoare), iar pe al doilea rând liste probabilitățile corespunzătoare acestor valori din tabelul 1:
Exemplul 2 Există zece grupuri de studenți cu 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 și, respectiv, 11 studenți. Scrieți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatoare X, definită ca numărul de elevi dintr-un grup selectat aleatoriu.
Soluţie. Valorile posibile ale variabilei aleatoare considerate X sunt următoarele (în ordine crescătoare):
8, 9, 10, 11 și 12.
Deoarece variabila aleatoare X ia o valoare de 8, dacă grupul selectat aleatoriu este un grup de 8 studenți (să-i spunem evenimentul A), probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea 
, este egală cu probabilitatea acestui eveniment aleatoriu: 
.
Probabilitatea unui eveniment aleator A în conformitate cu definiția clasică a probabilității este 
pentru că din 10 grupe, două au câte 8 elevi.
Astfel, pentru probabilitatea unei valori, obținem:
.
În mod similar, puteți găsi probabilitățile valorilor rămase ale variabilei aleatoare X:
ceea ce ne permite să compunem legea de distribuție dorită (Tabelul 2):
Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete poate fi, de asemenea, specificată folosind o formulă care permite fiecărei valori posibile a acestei variabile să determine probabilitatea corespunzătoare.
Variabile aleatoare discrete și continue
De regulă, în fabricarea produselor, procesul de producție este influențat de mulți factori diferiți, ca urmare a cărora există o împrăștiere a valorilor indicatorilor de calitate a produsului. Astfel, indicatorii de calitate ai produselor sau serviciilor fabricate ar trebui considerați ca variabile aleatorii.
Variabilă aleatorie se numește o astfel de valoare care, ca urmare a testelor într-un anumit interval, poate lua diverse valori numerice (conform STB GOST R 50779.10, o variabilă aleatorie este o variabilă care poate lua orice valoare dintr-un anumit set de valori și cu care este asociată o distribuție de probabilitate).
Variabile aleatoare discrete se numesc acelea care, în urma testelor, pot lua doar valori separate, izolate și nu pot lua valori intermediare între ele. De exemplu, numărul de părți proaste dintr-un lot poate fi doar un întreg pozitiv 1, 2, 3 etc., dar nu poate fi 1,3; 1.7 etc.
Variabilă aleatoare continuă se numește o astfel de valoare, care, în urma testelor, poate lua orice valori numerice dintr-o serie continuă a valorilor lor posibile într-un anumit interval.
De exemplu, dimensiunile reale ale pieselor prelucrate sunt variabile aleatorii de tip continuu, deoarece pot lua orice valoare numerică în anumite limite.
Posibilitățile variabilelor aleatoare de a lua anumite valori numerice în timpul testelor sunt evaluate folosind probabilități.
Setul de valori ale variabilelor aleatoare dispuse în ordine crescătoare cu o indicație a probabilităților lor pentru fiecare dintre valori se numește distribuția variabilelor aleatoare (conform STB GOST R 50779.10 distribuția este o funcție care determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o anumită valoare sau să aparțină unui anumit set de valori).
Distribuția unei variabile aleatoare poate fi prezentată sub formă tabelară, grafică și cu ajutorul estimărilor statistice.
La prezentarea distribuției unei variabile aleatoare sub formă tabelară, fiecărui număr al unității de produs studiate (numărul de măsurare) corespunde valorii indicatorului de calitate pentru această unitate de produs (rezultatul măsurării).
Când se prezintă distribuția unei variabile aleatoare într-o formă grafică, un grafic de distribuție este reprezentat în coordonate, valoarea variabilei aleatoare - probabilitatea (frecvența, frecvența) a valorii variabilei aleatoare.
Figura de mai jos prezintă graficele distribuției variabilelor aleatoare discrete și continue.
Figura - Graficul distribuției unei variabile aleatoare discrete
Figura - Graficul distribuției unei variabile aleatoare continue
Există distribuții teoretice și empirice ale variabilelor aleatoare. În distribuțiile teoretice, evaluarea valorilor posibile ale unei variabile aleatoare se realizează folosind probabilități, iar în distribuțiile empirice, folosind frecvențe sau frecvențe obținute în urma testelor.
Prin urmare, distribuția empirică a unei variabile aleatoare este un set al valorilor sale experimentale, aranjate în ordine crescătoare, indicând frecvențele sau frecvențele pentru fiecare dintre valori (conform STB GOST R 50779.10 distribuția de frecvență este relația empirică dintre valorile unei caracteristici și frecvențele sale sau frecvențele sale relative).
Masa. Un exemplu de reprezentare tabelară a distribuției teoretice a unei variabile aleatoare discrete
Grafic, distribuția empirică a unei variabile aleatoare discrete poate fi reprezentată ca diagramă cu bare , format dintr-un set de coloane de lățime egală, ale căror înălțimi sunt proporționale cu frecvențele valorilor discrete ale unei variabile aleatorii.
Figura - Diagramă cu bare a unei variabile aleatoare discrete.
Dacă variabila aleatoare este continuă, atunci apar unele dificultăți în prezentarea distribuției sale sub forma unui tabel sau grafic. Prin urmare, în practică, atunci când se studiază variabile aleatoare de tip continuu, valorile obținute sunt împărțite în intervale egale, astfel încât valoarea intervalului să fie ceva mai mare decât eroarea de măsurare a cantității studiate. Apoi frecvențele sunt calculate nu prin valorile reale ale variabilei aleatoare, ci pe intervale. Prin urmare, tabelul de distribuție empirică a unei variabile aleatoare de tip continuu va avea următoarea formă.
Masa. Distribuția empirică a unei variabile aleatoare de tip continuu.
|
Interval valoric X |
Media aritmetică |
Frecvență f i |
Frecvență m i |
|
160,031 - 160,033 |
|||
|
160,033 - 160,035 |
|||
|
160,035 - 160,037 |
|||
|
160,037 - 160,039 |
|||
|
160,039 - 160,041 |
|||
|
160,041 - 160,043 |
|||
|
160,043 - 160,045 |
|||
|
160,045 - 160,047 |
|||
|
f i = 100 |
m i = 1 |
Distribuția empirică a unei variabile continue aleatoare poate fi reprezentată grafic ca histogramă de distribuție, un poligon de frecvență sau un poligon de frecvență cumulativă.
Histograma distribuției este un set de dreptunghiuri care se ating, ale căror baze sunt egale cu intervalele de împărțire a unei variabile aleatoare continue, iar zonele sunt proporționale cu frecvențele cu care valorile variabilei aleatoare se încadrează în aceste intervale. (conform STB GOST R 50779.10 diagramă cu bare (distribuția) este o reprezentare grafică a distribuției de frecvență pentru o caracteristică cantitativă, formată din dreptunghiuri învecinate, ale căror baze sunt intervalele de clase, iar ariile sunt proporționale cu frecvențele acestor clase).
Figura - Histograma distribuției unei variabile continue aleatoare.
Poligon de frecvență este o linie întreruptă obținută prin conectarea punctelor ale căror abscise sunt egale cu punctele medii ale intervalelor de partiție, iar ordonatele sunt egale cu frecvențele corespunzătoare.
Figura - Poligon de frecvențe ale unei variabile continue aleatoare.
Poligon cumulativ frecvente este o linie întreruptă obținută prin conectarea punctelor ale căror abscise sunt egale cu limitele superioare ale intervalelor de partiție și ale căror ordonate sunt egale fie cu frecvențe cumulate, fie cu frecvențe cumulate (frecvențe relative cumulate).
Figura - Poligon de frecvențe cumulate de o valoare continuă aleatoare.
În descrierile teoretice ale variabilelor aleatoare de tip continuu se folosește funcția de distribuție. Distribuția teoretică a unei variabile continue aleatoare poate fi reprezentată grafic ca integrală, integrală inversă, diferenţială funcții și funcții de distribuție intensitate.
Fie X o variabilă aleatorie și x un număr real (cu X< х ). Evenimentul X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.
P(X< х) = F(х)
F(X) se numește funcția de distribuție probabilități variabilă aleatoare sau funcție de distribuție integrală.
Pentru o variabilă aleatorie discretă, funcția de distribuție integrală F(X) este ușor de determinat dintr-un tabel sau grafic.
Astfel, pentru exemplul de mai sus al distribuției unei variabile aleatoare discrete (la X< 4):
F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30
Graficul funcției de distribuție integrală a unei variabile aleatoare discrete va arăta ca o curbă în trepte. Ordonatele curbei pentru orice valoare a lui X vor reprezenta suma probabilităților valorilor anterioare.
Figura - Funcția de distribuție integrală a unei variabile aleatoare discrete
Probabilitatea ca o variabilă aleatorie în timpul testării să fie în limitele a două valori date \u200b\u200bx 1 și x 2 (x 2 > x 1) este egală cu incrementul funcției integrale în această zonă, adică.
P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )
Dacă ne întoarcem la exemplul de mai sus al distribuției unei variabile aleatoare discrete, atunci pentru x1 = 2 și x2 = 3:
P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30
Pentru o variabilă aleatoare continuă, graficul funcției de distribuție integrală va arăta ca o curbă crescătoare monotonă. În practică, frecvențele de distribuție teoretice sunt determinate folosind funcția de distribuție cumulativă.
Figura - Funcția de distribuție cumulativă
variabilă aleatoare continuă
Funcția de distribuție cumulativă inversă este egală cu diferența dintre unitate și funcția de distribuție cumulativă.
Densitatea distribuției (funcția de distribuție diferențială) variabila aleatoare se numeste derivata prima a functiei de distributie integrala:
Pentru o descriere analitică a unei variabile aleatoare continue în teoria fiabilității, folosim functie de intensitate , egal cu raportul dintre funcția de distribuție diferențială și funcția de distribuție integrală inversă:
Figura - Funcția de intensitate a unei variabile aleatoare continue.
Subiectul 3.
Variabile aleatoare și funcții de distribuție
Conceptul de variabilă aleatoare.
Conceptul de variabilă aleatoare
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare, proprietățile acesteia
Variabile aleatoare cu distribuție discretă
Conceptul de variabilă aleatoare cu o distribuție discretă
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete.
Exemple de distribuții discrete
Variabile aleatoare cu distribuție absolut continuă
Conceptul de variabilă aleatoare cu o distribuție absolut continuă
Legea distribuției unei variabile aleatoare absolut continue. Densitatea, proprietățile sale
Exemple de distribuții absolut continue
Conceptul de vector aleatoriu.
Conceptul de vector aleatoriu
Variabile aleatoare independente
Distribuția comună a variabilelor aleatoare
Conceptul de variabilă aleatoare.
De la apariția teoriei probabilităților, sarcina sa principală a fost să studieze nu proprietățile probabilistice ale experimentelor cu rezultate aleatorii, ci cantitățile numerice asociate acestor experimente, pe care este firesc să le numim. variabile aleatoare. De exemplu, ne pot interesa nu perechile de numere de pe fețele superioare ale zarurilor, ci suma lor; numărul de succese sau eșecuri înainte de primul succes în schema Bernoulli.
Adesea, în literatură puteți găsi variații pe tema următoarei definiții: Variabilă aleatorie numită variabilă care, în funcție de rezultatul testului, ia valori care depind de caz.
Astfel, o variabilă aleatorie este o valoare numerică, a cărei valoare depinde de ce fel de rezultat (elementar) a apărut ca urmare a unui experiment cu un rezultat aleatoriu. Se numește setul tuturor valorilor pe care le poate lua o variabilă aleatorie set de valori posibile ale acestei variabile aleatoare.
Vom da o definiție mai riguroasă, deoarece conceptul de variabilă aleatorie este unul dintre acele concepte cheie care conectează teoria probabilității cu analiza matematică și formează baza conceptuală a statisticii matematice.
Definiție. Variabilă aleatorie este o funcție X = X(ω) definită pe spațiul evenimentelor elementare Ω pentru care evenimentul (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.
Condiție (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из DAR. În plus, prin evenimente (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.
Cometariu. Astfel, o variabilă aleatorie este o funcție al cărei domeniu de definiție este spațiul evenimentelor elementare Ω, iar mulțimea de valori este o mulțime numerică, eventual întregul set de numere reale R.
σ-algebra evenimentelor A este domeniul de definire a probabilității, dacă o considerăm ca o funcție.
cometariu . „Termenul „variabilă aleatorie” este oarecum inexact, termenul „funcție șansă” ar fi mai potrivit, variabila independentă este un punct în spațiul evenimentelor elementare, adică. rezultatul unui experiment sau al unui caz. (W. Feller „Introducere în teoria probabilității”, cap. IX)
Variabilele aleatoare sunt notate cu literele alfabetului grecesc: (xi), (acest), sau majuscule ale alfabetului latin X, Y,... Vom scrie valorile unei variabile aleatoare ca succesiune finită sau infinită X 1 ,X 2,, X n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,
cometariu . Anterior am introdus conceptul de probabilitate în raport cu unele evenimente. Acum trecem la a vorbi despre funcții. Cel mai evident eveniment care poate fi asociat conceptului de funcție este adoptarea de către aceasta a unei valori (specifice sau aparținând intervalului)
Pentru a studia proprietățile probabilistice ale unei variabile aleatoare, este necesar să cunoașteți regula care vă permite să găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare dintr-un subset al valorilor sale. Orice astfel de regulă este numită legea distribuției probabilităților sau a distribuției (a probabilităților) unei variabile aleatoare.(cuvântul „probabilitate” este de obicei omis)
Legea distribuției generale inerentă tuturor variabilelor aleatoare este functie de distributie.
Definiție.Întregul set de probabilități P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает legea de distribuție a variabilei aleatoare Xîn general. Adesea, pentru concizie, legea distribuției unei variabile aleatoare se numește pur și simplu distribuția unei variabile aleatoare.
Definiție. Funcția F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется funcția de distribuție a variabilei aleatoare X.
Valoarea funcției de distribuție în punctul x este egală cu probabilitatea evenimentului (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.
De obicei se spune că valoarea funcției de distribuție în punctul x este egală cu probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x.
Geometric, aceasta înseamnă următoarele: F(x) este probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea reprezentată de punctul de pe dreapta numerică situat în stânga punctului x.
cometariu . Se mai numește și funcția de distribuție funcția integrală sau legea integrală a distribuției unei variabile aleatoare X
Funcția de distribuție are următoarele proprietăți:
0≤ F(x)≤1 (deoarece, prin definiție, funcția de distribuție este o probabilitate)
F(x 1) ≤ F(x 2) pentru x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)
lim F(x) = 0 ca x → - ∞ , lim F(x) = 1 ca x → + ∞
P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)
F(x) este o funcție continuă la stânga, adică. F(x) = F(x - 0), unde F(x - 0) = lim F(y) ca y → x - 0 (limită din stânga)
cometariu . Pentru a sublinia cărei variabile aleatoare îi aparține funcția de distribuție F(x), acestei funcții i se atribuie uneori un indice care denotă o anumită variabilă aleatoare. De exemplu, F X (x) = P (X< х}
Cometariu. În unele publicații, funcția de distribuție este definită ca F(x) = P(X ≤ x). O astfel de definiție nu schimbă nimic în esența conceptului de funcție de distribuție, doar ultima, a cincea proprietate se modifică. Funcția în acest caz se dovedește a fi dreaptă-continuă.
Digresiune: „Ce este o funcție?”
Să ne dăm două seturi X și Y, iar Y este o mulțime de numere. Și să fie dată regula f, conform căreia fiecare element (punct) al mulțimii X este asociat cu (unul și un singur) element (număr) al mulțimii Y. Regula f împreună cu mulțimile X și Y definesc funcția f. Notația y=f(x) înseamnă că regula f a fost aplicată unui punct x al mulțimii X și, ca rezultat, am obținut un punct y din mulțimea Y. X se numește argument (variabilă independentă), iar y este valoarea (variabilă dependentă) a funcției f în punctul X. Mulțimea X se numește domeniul de definire (zona de setare) a funcției, se spune că funcția este dată pe această mulțime, mulțimea Y se numește mulțimea de valori a funcției. Mulțimea X nu este neapărat o mulțime de numere. Astfel, o variabilă aleatoare este o funcție definită pe un spațiu nenumeric al evenimentelor elementare.
VALORI ALEATORII
O valoare aleatorie este o cantitate care, în urma testului, va lua una și o singură valoare posibilă și care nu este cunoscută dinainte.
Discreta este o variabilă aleatorie care ia valori posibile separate, izolate, cu anumite probabilități.
O variabilă continuă este o variabilă aleatoare care poate lua toate valorile dintr-un interval finit sau infinit.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestora. Această lege este dată sub forma unui tabel, formulă sau grafic.
Pentru variabilele aleatoare discrete, una dintre cele mai comune este așa-numita lege de distribuție binomială, la care duce schema Bernoulli de repetare a testelor. Formula (8) este expresia analitică a acestei legi.
Exemplul 11.
Un mesaj este transmis prin canalul de comunicare folosind un cod format din două caractere. Probabilitatea apariției primului este de 2/3. Au trecut trei semne. Găsiți legea distribuției pentru aparițiile primului semn.
Soluţie.
După condiție n=4, R=2/3, q=1/3. Valori posibile ale numărului de apariții ale primului semn: 0, 1, 2 și 3. Găsiți probabilitățile lor folosind formula (8):
Această lege poate fi prezentată sub forma unui tabel
| X | ||||
| P1/27 | 1/27 | 2/9 | 4/9 | 8/27 |
O funcție de distribuție este o funcție care determină probabilitatea ca o variabilă aleatorie X ca urmare a testului va lua o valoare mai mică decât X, acesta este
Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că o variabilă aleatoare cu o probabilitate R va prelua valoarea care este reprezentată pe axa numerică de punctul din stânga X.
Pentru o variabilă aleatoare continuă, funcția de distribuție este o funcție diferențiabilă continuă pe bucăți. Principalele proprietăți sunt derivate din definiție:
1. Valorile funcției de distribuție aparțin segmentului , i.e.
2. F(X) este o funcție nedescrescătoare, adică dacă
3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare cuprinsă în intervalul [ a,b[, este egal cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval
Pentru o variabilă aleatoare continuă, probabilitatea de a accepta o singură valoare este zero. Prin urmare, pentru variabile aleatoare continue
Exemplul 12.
Valoare aleatoare X dat de funcţia de distribuţie
Găsiți probabilitatea ca în urma testului X va lua valoarea aparținând segmentului [-1; 0,5].
Soluţie.
Din condiţia rezultă că X este o variabilă aleatoare continuă care poate lua o valoare de la 0 la 1.
Probabilitate densitate continuu variabilă aleatorie X numiți derivata întâi a funcției de distribuție
funcția de distribuție F(x) este una dintre antiderivatele pentru densitatea distribuției. Pe baza definiției densității sau legea diferentiala distribuția și relația sa cu funcția de distribuție, este ușor să arătați următoarele proprietăți:
1. Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue este o funcție nenegativă
2. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare Xîn interval este egal cu
(16)
3. Din proprietatea 2 obținem o expresie pentru funcția de distribuție
(17)
4. Condiție de normalizare
(18)
Exemplul 13 valoare discretă X dat de tabel
| X | ||||
| R | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Găsiți funcția de distribuție și construiți graficul acesteia.
Soluţie.
1. Dacă , atunci , din moment ce X nu poate fi mai mic de 2.
În acest caz, în intervalul (-¥, X) există o singură valoare a variabilei aleatoare X (X=2). De aceea
Pentru orice valoare de argument X funcții F(x), satisfacerea acestei inegalități, în intervalul (-¥, X) atinge două valori ale unei variabile aleatorii ( X=2 și X=3). Pentru că evenimentele care X va accepta valorile date sunt inconsecvente (sau X=2 sau X=3), atunci
4. În mod similar, dacă
Prin urmare, funcția de distribuție va arăta ca
Construim un grafic al funcției de distribuție
Orez. 1 - Graficul funcției de distribuție
variabilă aleatoare discretă
Exemplul 14. Densitatea distribuției erorii de măsurare
O variabilă aleatoare este o variabilă a cărei valoare este obținută ca urmare a recalculării sau măsurătorilor și nu poate fi determinată fără ambiguitate de condițiile de apariție a acesteia.
Adică, o variabilă aleatoare reprezintă evenimente numerice aleatorii.
Variabilele aleatoare sunt împărțite în două clase:
Variabile aleatoare discrete - valorile acestor cantități sunt numere naturale, cărora, ca evenimente individuale, li se atribuie frecvențe și probabilități.
Variabile aleatoare continue - pot lua orice valoare dintr-un anumit interval (interval). Având în vedere că există un număr infinit de valori numerice în intervalul de la X1 la X2, probabilitatea ca variabila aleatoare XiЄ(X1,X2) să ia o anumită valoare este infinit de mică. Având în vedere că este imposibil să enumerați toate valorile unei variabile aleatoare continue, în practică se utilizează valoarea medie a intervalului (X1,X2).
Pentru variabile aleatoare discrete, funcția y \u003d P (x) se numește funcție de distribuție a variabilei aleatoare și are un grafic - se numește poligon de distribuție.
Se disting următoarele grupe de caracteristici numerice: caracteristici de poziție (așteptări matematice, mod, mediană, cuantilă etc.), dispersie (varianță, abatere standard, etc.), caracteristici ale formei densității distribuției (asimetrie, kurtoză etc.) .
Așteptările matematice (valoarea medie prin distribuție) este un număr real, determinat în funcție de tipul de SV X prin formula:
Așteptările matematice există dacă seria (respectiv, integrala) din partea dreaptă a formulei converge absolut. Dacă mX = 0, atunci CV X se numește centrat (notat cu ).
Proprietățile așteptărilor matematice:
unde C este o constantă;
M = C×M[X];
M = M[X]+M[Y],
pentru orice CB X și Y;
M = M[X]×M[Y] + KXY,
unde KXY = M este covarianța CV-urilor lui X și Y.
Momentul inițial al ordinului k (k = 0, 1, 2, ...) al distribuției lui SV X este un număr real determinat de formula:
nk=M= 
Momentul central al ordinului k al distribuției lui SV X este numărul determinat de formula:
mk = M[(X-mX)k]= 
Din definițiile momentelor, în special, rezultă că: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.
Modul SWNT este numărul real Mo(X) = x*, definit ca punctul maxim al PR f(x). Un mod poate avea o singură valoare (distribuție unimodală) sau mai multe valori (distribuție multimodală).
Mediana SWNT este un număr real Me(X) = x0 care satisface condiția: P(X< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.
O cuantilă de nivel p este un număr real tp care satisface ecuația: F(tp) = p. În special, din definiția mediei rezultă că x0 = t0,5.
Varianta lui SV X este un număr nenegativ D[X] = DX, definit prin formula:
DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 = 
Dispersia există dacă seria (respectiv, integrala) din partea dreaptă a egalității converge. Proprietăți de dispersie:
D[C] = 0, unde C este o constantă;
D = C2×D[X];
varianța în mod evident nu se schimbă cu biasul CB X;
D = D[X] + D[Y] + 2×KXY,
unde KXY = M - covarianța CB X și Y;
Un număr nenegativ sХ = se numește abatere standard a RV X. Are dimensiunea RV X și definește un interval de dispersie rms standard, simetric față de așteptarea matematică. (Valoarea lui sX este uneori numită abatere standard.) CV X se numește standardizat dacă mX = 0 și sX = 1. Dacă valoarea X = const (adică X nu este aleatoriu), atunci D[X] = 0.
Un indicator al asimetriei PR este coeficientul de asimetrie („skewness”) al distribuției: A = m3/s3X. Indicatorul curtozei PR este coeficientul de curtoză („punctură”) al distribuției: E = (m4/s4X)-3. În special, pentru o distribuție normală, E = 0.
O mulțime ordonată de n variabile aleatoare (CV) X1, X2, ..., Xn, considerate împreună în acest experiment, se numește CV n-dimensional sau vector aleator și se notează = (X1, X2, ..., Xn).
Funcția de distribuție (DF) a unui vector aleator n-dimensional este o funcție a n variabile reale x1, x2, ..., xn, definite ca probabilitatea îndeplinirii în comun a n inegalități: F(x1, x2, ... xn) = P( X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующими свойствами:
1 0 £ F(x, y) £ 1;
2 F(x, y) - funcţie nedescrescătoare a argumentelor sale;
4.
Proprietatea 4 este denumită în mod obișnuit condiția de consistență. Înseamnă că DF-urile componentelor individuale ale unui vector aleatoriu pot fi găsite prin trecerea la limita din funcția de distribuție comună a acestor componente. Probabilitatea ca un punct aleatoriu din planul (X, Y) să cadă într-un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate poate fi calculată folosind DF folosind formula:
P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).
Un vector aleator bidimensional (X,Y) se numește vector aleatoriu de tip discret (RDV) dacă setul de valori posibile G(x, y) este cel mult numărabil. Legea sa de distribuție poate fi specificată printr-un tabel bidimensional din lista de valori posibile ale perechilor de componente ((хi, yi) | (хi, yi) О G(x, y)) și corespunzătoare fiecărei astfel de perechi de probabilități pij = P(X = xi, Y = yj ) care îndeplinesc condiția
Un vector aleator bidimensional (X, Y) se numește vector aleatoriu de tip continuu (CBNT) dacă există o astfel de funcție nenegativă f(x, y) numită densitatea distribuției de probabilitate (DP) a vectorului aleator care :
f(x, y) = , apoi F(x, y) = .
PR al probabilităților are următoarele proprietăți:
f(x, y) ³ 0, (x, y) н R2;
este condiția de normalizare.
PR al probabilităților componentelor individuale ale unui vector aleatoriu sunt exprimate ca integrale ale densității articulației:
f(x) = f(y) = .
Probabilitatea ca un punct aleator să cadă într-o zonă arbitrară de pătrat S pe plan este determinată de formula
P((X, Y) О S)= .
Densitatea distribuției de probabilitate condiționată a componentei aleatoare X, cu condiția ca componenta Y să fi luat o anumită valoare y, este funcția f(x/y) a variabilei reale x О R: f(x/y) = f(x , y)/f(y). În mod similar, se determină densitatea de probabilitate condiționată a componentei aleatoare Y, cu condiția ca componenta X să fi luat o anumită valoare x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). RV-urile X1, X2, ..., Xn sunt numite independente (în agregat) dacă pentru evenimente (Xi н Bi), i = 1, 2, ..., n, unde B1, B2, ... Bn sunt submulțimi a dreptei numerice, este valabilă următoarea egalitate: P(X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn) = P(X1 Î B1)× P(X2 Î B2)× ... ×P(Xn Î Bn).
Teorema: XV X1, X2, .... Xn sunt independente dacă și numai dacă în orice punct x = (x1, x2, ..., xn) este valabilă următoarea egalitate: F(x1, x2, ..., xn ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (sau f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f (xn)).
Pentru un vector aleator bidimensional (X, Y), sunt introduse următoarele caracteristici numerice.
Momentul inițial de ordin r + s al unui vector aleator (X, Y) este un număr real nr,s, definit prin formula:
nr,s = M = 
Momentul inițial nr,s există dacă integrala (respectiv, seria) din partea dreaptă a egalității converge absolut. În special, nr,0 = M sunt momentele inițiale corespunzătoare ale componentei X. Vectorul cu coordonate nealeatoare (mX, mY) = (n1,0, n0,1) se numește așteptarea vectorului aleator (X , Y) sau centrul de dispersie.
Momentul central de ordin r + s al unui vector aleator (X, Y) este numărul real mr,s definit prin formula
mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] = 
Momentul central mr,s există dacă integrala (respectiv, seria) din partea dreaptă a egalității converge absolut. Un vector cu coordonate non-aleatoare (DX, DY) = (m2,0, m0,2) se numește varianța unui vector aleator.
Momentul central m1,1 se numește momentul de corelație (covarianță): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY.
Coeficientul de corelație a două componente aleatoare X și Y ale unui vector aleator este covarianța normalizată
rXY = KXY/(sXsY).
Proprietăți de covarianță (și coeficient de corelație).
Conceptul de variabilă aleatoare. Variabile aleatoare discrete și continue. Funcția de distribuție a probabilității și proprietățile acesteia. Densitatea distribuției probabilității și proprietățile acesteia. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare: așteptarea matematică, dispersia și proprietățile acestora, abaterea standard, modul și mediana; momente inițiale și centrale, asimetrie și curtoză. Caracteristicile numerice ale mediei aritmetice a n variabile aleatoare independente.Conceptul de variabilă aleatoare
Aleatoriu se numește o mărime care, în urma testelor, ia una sau alta (dar doar una) valoare posibilă, necunoscută dinainte, schimbându-se de la test la test și în funcție de circumstanțe aleatorii. Spre deosebire de un eveniment aleatoriu, care este o caracteristică calitativă a unui rezultat de testare aleatoriu, o variabilă aleatoare caracterizează rezultatul testului din punct de vedere cantitativ. Exemple de variabile aleatoare sunt dimensiunea unei piese de prelucrat, eroarea rezultată în măsurarea oricărui parametru al unui produs sau al mediului. Dintre variabilele aleatoare întâlnite în practică, se pot distinge două tipuri principale: discrete și continue.
Discret este o variabilă aleatorie care ia un set de valori numărabile finit sau infinit. De exemplu: frecvența lovirilor cu trei lovituri; numărul de produse defecte dintr-un lot de n bucăți; numărul de apeluri care sosesc la centrala telefonică în timpul zilei; numărul de defecțiuni ale elementelor dispozitivului pentru o anumită perioadă de timp la testarea fiabilității acestuia; numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei etc.
Continuu se numește o variabilă aleatoare care poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit. Evident, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit. De exemplu: o eroare în măsurarea razei de acțiune a radarului; timpul de funcționare a cipului; eroarea de fabricație a pieselor; concentrația de sare în apa de mare etc.
Variabilele aleatoare sunt de obicei notate cu literele X, Y etc., iar valorile lor posibile sunt x, y etc. Pentru a specifica o variabilă aleatoare, nu este suficient să enumerați toate valorile posibile ale acesteia. De asemenea, este necesar să se știe cât de des poate apărea una sau alta dintre valorile sale ca urmare a testelor în aceleași condiții, adică este necesar să se stabilească probabilitățile de apariție a acestora. Setul tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile lor corespunzătoare constituie distribuția unei variabile aleatoare.
Legile distribuției unei variabile aleatoare
legea distributiei O variabilă aleatoare este o corespondență între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile lor corespunzătoare. Se spune că o variabilă aleatorie respectă o lege de distribuție dată. Sunt numite două variabile aleatoare independent, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori posibile a luat cealaltă valoare. În caz contrar, sunt apelate variabile aleatorii dependent. Sunt numite mai multe variabile aleatoare independent reciproc, dacă legile de distribuție a oricărui număr dintre ele nu depind de ce valori posibile au luat celelalte cantități.
Legea distribuției unei variabile aleatoare poate fi dată sub forma unui tabel, a unei funcții de distribuție sau a unei densități de distribuție. Un tabel care conține valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare este cea mai simplă formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare.
\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1) )&p_n\\\hline\end(matrice)
Specificația tabelară a legii distribuției poate fi utilizată numai pentru o variabilă aleatoare discretă cu un număr finit de valori posibile. Forma tabelară de specificare a legii unei variabile aleatoare se mai numește și serie de distribuție.
Pentru claritate, seria de distribuție este prezentată grafic. Într-o reprezentare grafică într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt reprezentate de-a lungul axei absciselor, iar probabilitățile corespunzătoare sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor. Se numesc puncte (x_i,p_i) legate prin segmente drepte poligon de distribuție(Fig. 5). Trebuie amintit că legătura punctelor (x_i,p_i) se realizează numai în scopul clarității, deoarece în intervalele dintre x_1 și x_2 , x_2 și x_3 etc. nu există valori pe care variabila aleatoare X le poate luați, deci probabilitățile apariției sale în aceste intervale sunt zero.
Poligonul de distribuție, ca și seria de distribuție, este una dintre formele de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. Ele pot avea forme diferite, dar toate împărtășesc la fel proprietate comună: suma ordonatelor vârfurilor poligonului de distribuție, care este suma probabilităților tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare, este întotdeauna egală cu unu. Această proprietate rezultă din faptul că toate valorile posibile ale variabilei aleatoare X formează un grup complet de evenimente incompatibile, a căror sumă a probabilităților este egală cu unu.
Funcția de distribuție a probabilității și proprietățile acesteia
Funcția de distribuție este cea mai generală formă de stabilire a legii distribuției. Este folosit pentru a specifica atât variabile aleatoare discrete, cât și continue. Se notează de obicei F(x) . funcția de distribuție determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să ia valori mai mici decât un număr real fix x, adică F(x)=P\(X
Interpretarea geometrică a funcției de distribuție este foarte simplă. Dacă o variabilă aleatoare este considerată ca un punct aleator X al axei Ox (Fig. 6), care, ca rezultat al testului, poate lua una sau alta poziție pe axă, atunci funcția de distribuție F(x) este probabilitatea ca punctul aleator X, ca rezultat al testului, să cadă în punctele din stânga x .
Pentru o variabilă aleatoare discretă X care poate lua valori, funcția de distribuție are forma
F(x)=\sum\limits_(x_i O variabilă aleatoare continuă are o funcție de distribuție continuă, graficul acestei funcții are forma unei curbe netede (Fig. 8). Luați în considerare proprietățile generale ale funcțiilor de distribuție. Proprietatea 1. Funcția de distribuție este nenegativă, o funcție cuprinsă între zero și unu: 0\leqslant(F(x))\leqslant1 Valabilitatea acestei proprietăți rezultă din faptul că funcția de distribuție F(x) este definită ca probabilitatea unui eveniment aleatoriu ca X Proprietatea 2. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze în intervalul [\alpha;\beta) este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestui interval, adică. P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)
Rezultă că probabilitatea oricărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue este zero. Proprietatea 3. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nedescrescătoare, adică. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)). Proprietatea 4. La minus infinit, funcția de distribuție este egală cu zero, iar la plus infinit, este egală cu unu, adică. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0și \lim_(x\to+\infty)F(x)=1. Exemplul 1. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este dată de expresia F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 Găsiți coeficientul a și reprezentați grafic F(x) . Determinați probabilitatea ca variabila aleatoare X ca rezultat al experimentului să ia o valoare pe intervalul . Soluţie. Deoarece funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X este continuă, atunci pentru x=3 obținem a(3-1)^2=1 . Prin urmare a=\frac(1)(4) . Graficul funcției F(x) este prezentat în fig. 9. Pe baza celei de-a doua proprietăți a funcției de distribuție, avem P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este caracteristica probabilistică a acesteia. Dar are un dezavantaj, care constă în faptul că este dificil de judecat natura distribuției unei variabile aleatoare într-o mică vecinătate a unuia sau altui punct al axei numerice. O reprezentare mai vizuală a naturii distribuției unei variabile aleatoare continue este dată de o funcție numită densitate de distribuție a probabilității sau funcția de distribuție diferențială a unei variabile aleatoare. Densitatea de distribuție f(x) este egală cu derivata funcției de distribuție F(x) , i.e. F(x)=F"(x). Semnificația densității distribuției f(x) este că indică cât de des apare variabila aleatoare X într-o apropiere a punctului x atunci când experimentele sunt repetate. Se numește curba care ilustrează densitatea distribuției f(x) a unei variabile aleatoare curba de distributie. Considera proprietățile densității de distribuție. Proprietatea 1. Densitatea distribuției este nenegativă, adică. F(x)\geqslant0. Proprietatea 2. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este egală cu integrala densității în intervalul de la -\infty la x, adică. F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx. Proprietatea 3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să lovească segmentul (\alpha;\beta) este egală cu integrala densității de distribuție preluată pe acest segment, i.e. P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx. Proprietatea 4. Integrala în limite infinite a densității distribuției este egală cu unu: \int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1. Exemplul 2. Variabila aleatoare X este supusă legii distribuției cu densitate F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\a\sin{x},&0 Determinați coeficientul a; construiți un grafic al densității distribuției; găsiți probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare în zona de la 0 la \frac(\pi)(2) determinați funcția de distribuție și construiți graficul acesteia. \int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a. Ținând cont de proprietatea 4 a densității distribuției, găsim a=\frac(1)(2) . Prin urmare, densitatea distribuției poate fi exprimată după cum urmează: F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0 Graficul densității de distribuție din fig. 10. Prin proprietatea 3, avem P\!\stânga\(0 Pentru a determina funcția de distribuție, folosim proprietatea 2: F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x). Astfel, avem F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0 Graficul funcției de distribuție este prezentat în fig. unsprezece Legea distribuției caracterizează pe deplin o variabilă aleatoare din punct de vedere probabilistic. Dar atunci când rezolvați o serie de probleme practice, nu este nevoie să cunoașteți toate valorile posibile ale unei variabile aleatorii și probabilitățile corespunzătoare, dar este mai convenabil să folosiți niște indicatori cantitativi. Astfel de indicatori se numesc numere. caracteristicile unei variabile aleatoare. Principalele sunt așteptarea matematică, varianța, momentele de diverse ordine, modul și mediana. Așteptările matematice sunt uneori numite valoarea medie a unei variabile aleatorii. Se consideră o variabilă aleatoare discretă X care ia valorile x_1,x_2,\ldots,x_n cu probabilităţi, respectiv p_1,p_2,\ldots,p_n Să determinăm media aritmetică a valorilor unei variabile aleatoare, ponderată cu probabilitățile de apariție a acestora. Astfel, calculăm valoarea medie a unei variabile aleatoare sau așteptarea sa matematică M(X): M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i). Dat fiind \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1 primim M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1) Asa de, așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și a probabilităților corespunzătoare. Pentru o variabilă aleatoare continuă, așteptarea matematică M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue X, ale căror posibile valori aparțin segmentului, M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2) Folosind funcția de distribuție a probabilității F(x) , așteptarea matematică a unei variabile aleatoare poate fi exprimată după cum urmează: M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)). Proprietatea 1. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: M(X+Y)=M(X)+M(Y). Proprietatea 2. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M(XY)=M(X)M(Y). Proprietatea 3. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăși: M(c)=c. Proprietatea 4. Un multiplicator constant al unei variabile aleatoare poate fi scos din semnul așteptării: M(cX)=cM(X). Proprietatea 5. Așteptarea matematică a abaterii unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică este zero: M(X-M(X))=0. Exemplul 3. Aflați așteptarea matematică a numărului de produse defecte dintr-un eșantion de cinci produse, dacă variabila aleatoare X (numărul de produse defecte) este dată de o serie de distribuție. \begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(array) Soluţie. Prin formula (4.1) găsim M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.
Modul M_0 al unei variabile aleatoare discrete valoarea sa cea mai probabilă se numește. Modul M_0 al unei variabile aleatoare continue se numește valoarea sa, care corespunde celei mai mari valori a densității de distribuție. Geometric, modul este interpretat ca abscisa punctului maximului global al curbei de distribuție (Fig. 12). Mediana M_e a variabilei aleatoare valoarea sa este numită pentru care egalitatea P\(X Din punct de vedere geometric, mediana este abscisa punctului în care aria figurii delimitată de curba de distribuție a probabilității și axa de abscisă este împărțită la jumătate (Fig. 12). Întrucât întreaga zonă delimitată de curba de distribuție și de axa x este egală cu unu, funcția de distribuție în punctul corespunzător medianei este 0,5, i.e. F(M_e)=P\(X Cu ajutorul varianței și a abaterii standard, se poate aprecia dispersia unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor matematice. Ca măsură de dispersie a unei variabile aleatoare, se utilizează așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea sa matematică, care se numește varianță ale variabilei aleatoare X și notăm D[X]: D[X]=M((X-M(X))^2). Pentru o variabilă aleatoare discretă, varianța este egală cu suma produselor abaterilor pătrate ale valorilor variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică cu probabilitățile corespunzătoare: D[X]=\sum\limits_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i. Pentru o variabilă aleatoare continuă a cărei lege de distribuție este dată de densitatea distribuției de probabilitate f(x) , varianța D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx. Dimensiunea varianței este egală cu pătratul dimensiunii variabilei aleatoare și, prin urmare, nu poate fi interpretată geometric. Aceste deficiențe sunt lipsite de abaterea standard a unei variabile aleatoare, care este calculată prin formulă \sigma=\sqrt(D[X]). Proprietatea 1. Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile: D=D[X]+D[Y]. Proprietatea 2. Varianta unei variabile aleatoare este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptării sale matematice: D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3). Proprietatea 3. Dispersia unei valori constante este zero: D[c]=0. Proprietatea 4. Un factor constant al unei variabile aleatoare poate fi scos din semnul de varianță prin pătratul: D=c^2D[X]. Proprietatea 5. Varianța produsului a două variabile aleatoare independente X și Y este determinată de formula D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X]. Exemplul 4. Calculați varianța numărului de produse defecte pentru distribuția exemplului 3. Soluţie. Prin definiția varianței O generalizare a principalelor caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare este conceptul de momente ale unei variabile aleatoare. Momentul inițial al ordinului q variabila aleatoare se numește așteptarea matematică a valorii X^q: Momentul inițial de ordinul întâi este așteptarea matematică, iar momentul central de ordinul doi este varianța variabilei aleatoare. Momentul central normalizat de ordinul al treilea servește ca o caracteristică a asimetriei sau asimetriei distribuției ( factor de asimetrie): A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3). Momentul central normalizat de ordinul al patrulea servește ca o caracteristică a distribuției cu vârf sau plat ( exces): E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3. Exemplul 5. Variabila aleatoare X este dată de distribuția densității de probabilitate F(x)=\begin(cases)0,&x<0;\\ax^2,&0 Găsiți coeficientul a, așteptarea matematică, varianța, asimetria și curtoza. Soluţie. Aria delimitată de curba de distribuție este numeric egală cu \int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^) 3)(3))\right|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a. Având în vedere că această zonă ar trebui să fie egală cu unu, găsim a=\frac(3)(8) . Folosind formula (4.2), găsim așteptările matematice: M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5. Dispersia se determină prin formula (4.3). Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi așteptarea matematică a pătratului unei variabile aleatoare: M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4. În acest fel, \begin(aligned)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approx0,\!3873.\end(aligned) Folosind momentele inițiale, calculăm momentele centrale de ordinul al treilea și al patrulea: \begin(aliniat)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\end(aliniat) Lăsa x_1,x_2,\ldots,x_n- valorile variabilei aleatoare X obținute din n studii independente. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt egale cu M(X) , iar varianța acesteia este D[X] . Aceste valori pot fi considerate variabile aleatoare independente X_1,X_2,\ldots,X_n cu aceleași așteptări și variații matematice: M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n. Media aritmetică a acestor variabile aleatoare \overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n). Folosind proprietățile așteptării matematice și dispersia unei variabile aleatoare, putem scrie: \begin(aligned)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(aliniat)
unde inegalitatea x_i 
Distribuția densității de probabilitate și proprietățile acesteia
Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare
Proprietăți de așteptare
Proprietăți ale dispersiei variabilelor aleatoare
Caracteristicile numerice ale mediei aritmetice a n variabile aleatoare independente
Treceți la secțiunea următoare
Variabile aleatoare multivariate Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!
