2., 5.
,

3.
, 6.
.

Negli integrali 1-3 come tu accettare . Quindi dopo n-fold applicando la formula (19), si arriva a uno degli integrali di tabella

,
,
.

Negli integrali 4-6, quando si differenzia, il fattore trascendentale è semplificato
,
o
, che dovrebbe essere preso come tu.

Calcola i seguenti integrali.

Esempio 7

Esempio 8

Ridurre gli integrali a se stesso

Se l'integrando
sembra:

,
,
e così via,

quindi dopo doppia integrazione per parti otteniamo un'espressione contenente l'integrale originale :

,

dove
è una costante.

Risolvere l'equazione risultante rispetto a , otteniamo una formula per calcolare l'integrale originale:

.

Questo caso di applicazione del metodo di integrazione per parti è chiamato " portando a sé l'integrale».

Esempio 9 Calcola integrale
.

Sul lato destro c'è l'integrale originale . Spostandolo sul lato sinistro, otteniamo:

.

Esempio 10 Calcola integrale
.

4.5. Integrazione delle frazioni razionali proprie più semplici

Definizione.Le frazioni proprie più semplici io , II e III tipi si chiamano le seguenti frazioni:

io. ;

II.
; (
è un numero intero positivo);

III.
; (le radici del denominatore sono complesse, cioè:
.

Considera gli integrali di frazioni semplici.

io.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Trasformiamo il numeratore della frazione in modo da individuare il termine nel numeratore
uguale alla derivata del denominatore.

Considera il primo dei due integrali ottenuti e modificalo:

Nel secondo integrale completiamo il denominatore con un quadrato intero:

Infine, l'integrale di una frazione di terzo tipo è uguale a:

=
+
. (22)

Pertanto, l'integrale delle frazioni più semplici di tipo I è espresso in termini di logaritmi, tipo II - in termini di funzioni razionali, tipo III - in termini di logaritmi e arcotangenti.

4.6 Integrazione di funzioni frazionarie-razionali

Una delle classi di funzioni che hanno un integrale espresso in termini di funzioni elementari è la classe dell'algebrica funzioni razionali, cioè funzioni risultanti da un numero finito di operazioni algebriche sull'argomento.

Ogni funzione razionale
può essere rappresentato come rapporto di due polinomi
e
:

. (23)

Assumiamo che i polinomi non abbiano radici comuni.

Viene chiamata una frazione della forma (23). corretta, se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore, cioè m< n. Altrimenti - sbagliato.

Se la frazione non è corretta, allora, dividendo il numeratore per il denominatore (secondo la regola della divisione dei polinomi), rappresentiamo la frazione come somma di un polinomio e di una frazione propria:

, (24)

dove
- polinomio, è una frazione propria e il grado del polinomio
- nessun grado superiore ( n-1).

Esempio.

Poiché l'integrazione di un polinomio è ridotta alla somma degli integrali tabulari di una funzione di potenza, la principale difficoltà nell'integrazione delle frazioni razionali è l'integrazione delle frazioni razionali proprie.

L'algebra dimostra che ogni frazione propria si scompone nella somma di quanto sopra protozoi frazioni, la cui forma è determinata dalle radici del denominatore
.

Consideriamo tre casi speciali. Qui e sotto, assumeremo che il coefficiente al massimo grado del denominatore
uguale a uno =1, cioèpolinomio ridotto .

Caso 1 Le radici del denominatore, cioè le radici
equazioni
=0 sono reali e differenti. Quindi rappresentiamo il denominatore come prodotto di fattori lineari:

e la frazione propria si decompone nelle frazioni più semplici del tipo I:

, (26)

dove
- alcuni numeri costanti, che si trovano con il metodo dei coefficienti indeterminati.

Per questo hai bisogno di:

1. Piombo lato destro espansioni (26) a un denominatore comune.

2. Uguagliare i coefficienti alle stesse potenze dei polinomi identici nel numeratore delle parti sinistra e destra. Otteniamo un sistema di equazioni lineari per la determinazione
.

3. Risolvi il sistema risultante e trova i coefficienti incerti
.

Allora l'integrale della funzione frazionario-razionale (26) sarà uguale alla somma degli integrali delle frazioni più semplici del tipo I, calcolata dalla formula (20).

Esempio. Calcola integrale
.

Soluzione. Fattorizziamo il denominatore usando il teorema di Vieta:

Quindi, l'integrando si espande nella somma di frazioni semplici:

.

X:

Scriviamo un sistema di tre equazioni per la ricerca
X sui lati sinistro e destro:

.

Indichiamo un metodo più semplice per trovare coefficienti indeterminati, chiamato metodo del valore parziale.

Assumendo in uguaglianza (27)
noi abbiamo
, dove
. Supponendo
noi abbiamo
. Infine, supponendo
noi abbiamo
.

.

Caso 2 radice del denominatore
sono reali, ma tra loro ci sono radici multiple (uguali). Quindi rappresentiamo il denominatore come prodotto di fattori lineari inclusi nel prodotto nella misura in cui la molteplicità della radice corrispondente è:

dove
.

Frazione corretta verrà ampliata la somma delle frazioni di I-esimo e II-esimo tipo. Lasciamo, per esempio, - radice del denominatore della molteplicità K, e tutto il resto ( n- K) di radici sono diversi.

Quindi la scomposizione sarà simile a:

Allo stesso modo, se ci sono altre radici multiple. Per le radici non multiple, l'espansione (28) include le frazioni più semplici del primo tipo.

Esempio. Calcola integrale
.

Soluzione. Rappresentiamo una frazione come somma di frazioni semplici del primo e del secondo tipo a coefficienti indefiniti:

.

Portiamo il lato destro a un denominatore comune e uguagliamo i polinomi nei numeratori dei lati sinistro e destro:

Sul lato destro ne diamo di simili con gli stessi gradi X:

Scriviamo il sistema di quattro equazioni per la ricerca
e . Per fare questo, uguagliamo i coefficienti alle stesse potenze X sul lato sinistro e destro

.

Caso 3 Tra le radici del denominatore
hanno radici complesse una tantum. Cioè, l'espansione del denominatore include fattori di secondo grado
, che non possono essere scomposti in fattori lineari reali, e non si ripetono.

Quindi, nell'espansione della frazione, ciascuno di tali fattori corrisponderà alla frazione più semplice di tipo III. I fattori lineari corrispondono alle frazioni più semplici dei tipi I-esimo e II-esimo.

Esempio. Calcola integrale
.

Soluzione.
.

.

.

Integrazione di una funzione frazionario-razionale.
Metodo dei coefficienti indeterminati

Continuiamo a lavorare sull'integrazione delle frazioni. Abbiamo già considerato gli integrali di alcuni tipi di frazioni nella lezione, e questa lezione in un certo senso può essere considerata una continuazione. Per comprendere con successo il materiale, sono richieste competenze di integrazione di base, quindi se hai appena iniziato a studiare gli integrali, cioè sei una teiera, allora devi iniziare con l'articolo Integrale indefinito. Esempi di soluzioni.

Stranamente, ora ci occuperemo non tanto di trovare integrali quanto di... risolvere sistemi equazioni lineari. In questa connessione fortemente Consiglio di visitare la lezione Vale a dire, è necessario essere esperti nei metodi di sostituzione (il metodo "scuola" e il metodo dell'addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni di sistema).

Che cos'è una funzione razionale frazionaria? In parole semplici, una funzione frazionaria-razionale è una frazione il cui numeratore e denominatore sono polinomi o prodotti di polinomi. Allo stesso tempo, le frazioni sono più sofisticate di quelle discusse nell'articolo. Integrazione di alcune frazioni.

Integrazione della corretta funzione frazionario-razionale

Subito un esempio e un tipico algoritmo per risolvere l'integrale di una funzione razionale frazionaria.

Esempio 1

Passo 1. La prima cosa che facciamo SEMPRE quando risolviamo un integrale di una funzione razionale-frazionaria è porre la seguente domanda: la frazione è corretta? Questo passaggio viene eseguito oralmente e ora spiegherò come:

Per prima cosa guarda il numeratore e scoprilo laurea polinomio:

La potenza massima del numeratore è due.

Ora guarda il denominatore e scoprilo laurea denominatore. Il modo più ovvio è aprire le parentesi e portare termini simili, ma puoi farlo più facilmente, dentro a testa parentesi trova il grado più alto

e mentalmente si moltiplicano: - quindi il grado più alto del denominatore è uguale a tre. È abbastanza ovvio che se apriamo davvero le parentesi, non otterremo un grado maggiore di tre.

Conclusione: Potenza massima del numeratore RIGOROSAMENTE minore della potenza massima del denominatore, allora la frazione è corretta.

Se in questo esempio il numeratore contenesse un polinomio 3, 4, 5, ecc. grado, allora la frazione sarebbe sbagliato.

Consideriamo ora solo le funzioni frazionarie-razionali proprie. Il caso in cui il grado del numeratore sia maggiore o uguale al grado del denominatore, lo analizzeremo alla fine della lezione.

Passo 2 Fattorizziamo il denominatore. Diamo un'occhiata al nostro denominatore:

In linea di massima qui c'è già un prodotto di fattori, ma, tuttavia, ci chiediamo: è possibile ampliare qualcos'altro? L'oggetto della tortura, ovviamente, sarà il trinomio quadrato. Risolviamo l'equazione quadratica:

Il discriminante è maggiore di zero, il che significa che il trinomio è effettivamente fattorizzato:

Regola generale: TUTTO ciò che al denominatore PUÒ essere fattorizzato - fattorizzare

Iniziamo a prendere una decisione:

Passaggio 3 Usando il metodo dei coefficienti indefiniti, espandiamo l'integrando in una somma di frazioni semplici (elementari). Ora sarà più chiaro.

Diamo un'occhiata alla nostra funzione integrando:

E, sai, in qualche modo sfugge un pensiero intuitivo che sarebbe bello trasformare la nostra grande frazione in tante piccole. Ad esempio, in questo modo:

La domanda sorge spontanea, è anche possibile farlo? Tiriamo un sospiro di sollievo, afferma il teorema corrispondente dell'analisi matematica - È POSSIBILE. Tale decomposizione esiste ed è unica.

C'è solo una cattura, i coefficienti noi addio non lo sappiamo, da cui il nome - il metodo dei coefficienti indefiniti.

Avete indovinato, i gesti successivi così, non schiamazzare! sarà finalizzato solo ad APPRENDERE - per scoprire a cosa sono uguali.

Attenzione, spiego in dettaglio una volta!

Quindi, iniziamo a ballare da:

Sul lato sinistro portiamo l'espressione a un denominatore comune:

Ora eliminiamo in sicurezza i denominatori (perché sono gli stessi):

Sul lato sinistro apriamo le parentesi, mentre non tocchiamo ancora i coefficienti sconosciuti:

Allo stesso tempo, ripetiamo la regola scolastica della moltiplicazione dei polinomi. Quando ero un insegnante, ho imparato a dire questa regola con faccia seria: Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro polinomio.

Dal punto di vista di una spiegazione chiara, è meglio mettere i coefficienti tra parentesi (anche se personalmente non lo faccio mai per risparmiare tempo):

Componiamo un sistema di equazioni lineari.
Per prima cosa, cerchiamo diplomi senior:

E scriviamo i coefficienti corrispondenti nella prima equazione del sistema:

Ricorda bene la seguente sfumatura. Cosa accadrebbe se il lato destro non esistesse affatto? Dimmi, si metterebbe in mostra senza alcun quadrato? In questo caso, nell'equazione del sistema, sarebbe necessario mettere zero a destra: . Perché zero? E perché sul lato destro puoi sempre attribuire lo stesso quadrato con zero: se non ci sono variabili o (e) un termine libero sul lato destro, mettiamo degli zeri ai lati destro delle equazioni corrispondenti del sistema.

Scriviamo i coefficienti corrispondenti nella seconda equazione del sistema:

E, infine, acqua minerale, selezioniamo membri gratuiti.

Eh, ... stavo scherzando. Scherzi a parte: la matematica è una scienza seria. Nel nostro gruppo di istituto, nessuno ha riso quando l'assistente professore ha detto che avrebbe disperso i membri lungo una linea numerica e avrebbe scelto il più grande di loro. Facciamo sul serio. Anche se... chi vive per vedere la fine di questa lezione sorriderà comunque tranquillamente.

Sistema pronto:

Risolviamo il sistema:

(1) Dalla prima equazione, la esprimiamo e la sostituiamo nella 2a e 3a equazione del sistema. Infatti era possibile esprimere (o un'altra lettera) da un'altra equazione, ma in questo caso è vantaggioso esprimerla dalla 1a equazione, poiché c'è le quote più piccole.

(2) Presentiamo termini simili nella 2a e 3a equazione.

(3) Sommiamo la 2a e la 3a equazione termine per termine, ottenendo l'uguaglianza , da cui segue che

(4) Sostituiamo nella seconda (o terza) equazione, da cui la troviamo

(5) Sostituiamo e nella prima equazione, ottenendo .

Se hai difficoltà con i metodi per risolvere il sistema, risolvili in classe. Come risolvere un sistema di equazioni lineari?

Dopo aver risolto il sistema, è sempre utile fare un controllo - sostituire i valori trovati in ciascun equazione del sistema, di conseguenza, tutto dovrebbe "convergere".

Quasi arrivato. I coefficienti si trovano, mentre:

Un lavoro pulito dovrebbe assomigliare a questo:

Come puoi vedere, la principale difficoltà del compito era comporre (correttamente!) e risolvere (correttamente!) un sistema di equazioni lineari. E nella fase finale, tutto non è così difficile: utilizziamo le proprietà della linearità dell'integrale indefinito e integriamo. Attiro la vostra attenzione sul fatto che sotto ciascuno dei tre integrali abbiamo una funzione complessa "libera", ho parlato delle caratteristiche della sua integrazione nella lezione Metodo del cambiamento di variabile nell'integrale indefinito.

Verifica: differenzia la risposta:

L'integrando originale è stato ottenuto, il che significa che l'integrale è stato trovato correttamente.
Durante la verifica è stato necessario riportare l'espressione a un denominatore comune, e ciò non è casuale. Il metodo dei coefficienti indefiniti e il portare l'espressione a un denominatore comune sono azioni reciprocamente inverse.

Esempio 2

Trova l'integrale indefinito.

Torniamo alla frazione del primo esempio: . È facile vedere che al denominatore tutti i fattori sono DIVERSI. Sorge la domanda, cosa fare se, ad esempio, viene data una tale frazione: ? Qui abbiamo i gradi al denominatore, o, in termini matematici, molteplici fattori. Inoltre esiste un trinomio quadrato indecomponibile (è facile verificare che il discriminante dell'equazione è negativo, quindi il trinomio non può essere scomposto in alcun modo). Cosa fare? Sembrerà l'espansione in una somma di frazioni elementari con coefficienti sconosciuti in alto o in qualche altro modo?

Esempio 3

Invia una funzione

Passo 1. Verificando se abbiamo una frazione corretta
Potenza massima del numeratore: 2
Massimo denominatore: 8
, quindi la frazione è corretta.

Passo 2 Si può considerare qualcosa al denominatore? Ovviamente no, tutto è già pronto. Il trinomio quadrato non si espande in un prodotto per i motivi di cui sopra. Bene. Meno lavoro.

Passaggio 3 Rappresentiamo una funzione frazionario-razionale come somma di frazioni elementari.
In questo caso, la scomposizione ha la seguente forma:

Diamo un'occhiata al nostro denominatore:
Quando si scompone una funzione frazionaria-razionale in una somma di frazioni elementari, si possono distinguere tre punti fondamentali:

1) Se il denominatore contiene un fattore “solitario” nel primo grado (nel nostro caso), mettiamo un coefficiente indefinito in alto (nel nostro caso). Gli esempi n. 1,2 consistevano solo in tali fattori "solitari".

2) Se il denominatore contiene multiplo moltiplicatore, quindi devi scomporre come segue:
- cioè, ordina in sequenza tutti i gradi di "x" dal primo all'ennesimo grado. Nel nostro esempio, ci sono due fattori multipli: e , dai un'altra occhiata alla scomposizione che ho dato e assicurati che siano scomposti esattamente secondo questa regola.

3) Se il denominatore contiene un polinomio indecomponibile di secondo grado (nel nostro caso ), quando si espande al numeratore, è necessario scrivere una funzione lineare con coefficienti indefiniti (nel nostro caso, con coefficienti indefiniti e ).

Infatti esiste anche un 4° caso, ma tacerò su di esso, poiché in pratica è estremamente raro.

Esempio 4

Invia una funzione come somma di frazioni elementari a coefficienti sconosciuti.

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.
Segui rigorosamente l'algoritmo!

Se hai capito i principi in base ai quali devi scomporre una funzione frazionario-razionale in una somma, puoi decifrare quasi tutti gli integrali del tipo in esame.

Esempio 5

Trova l'integrale indefinito.

Passo 1. Ovviamente la frazione è corretta:

Passo 2 Si può considerare qualcosa al denominatore? Può. Ecco la somma dei cubi . Fattorizzazione del denominatore utilizzando la formula di moltiplicazione abbreviata

Passaggio 3 Usando il metodo dei coefficienti indefiniti, espandiamo l'integrando in una somma di frazioni elementari:

Si noti che il polinomio è inscomponibile (verificare che il discriminante sia negativo), quindi in alto mettiamo una funzione lineare a coefficienti sconosciuti, e non solo una singola lettera.

Portiamo la frazione a un denominatore comune:

Creiamo e risolviamo il sistema:

(1) Dalla prima equazione, esprimiamo e sostituiamo nella seconda equazione del sistema (questo è il modo più razionale).

(2) Presentiamo termini simili nella seconda equazione.

(3) Sommiamo la seconda e la terza equazione del sistema termine per termine.

Tutti gli ulteriori calcoli, in linea di principio, sono orali, poiché il sistema è semplice.

(1) Scriviamo la somma delle frazioni secondo i coefficienti trovati.

(2) Usiamo le proprietà di linearità dell'integrale indefinito. Cosa è successo nel secondo integrale? Puoi trovare questo metodo nell'ultimo paragrafo della lezione. Integrazione di alcune frazioni.

(3) Ancora una volta utilizziamo le proprietà della linearità. Nel terzo integrale, iniziamo a selezionare un quadrato completo (il penultimo paragrafo della lezione Integrazione di alcune frazioni).

(4) Prendiamo il secondo integrale, nel terzo selezioniamo il quadrato pieno.

(5) Prendiamo l'integrale terzo. Pronto.

Il lavoro di controllo sull'integrazione delle funzioni, comprese le frazioni razionali, è affidato agli studenti del 1° e 2° corso. Esempi di integrali saranno principalmente di interesse per matematici, economisti e statistici. Questi esempi sono stati forniti lavoro di controllo presso LNU I. Franco. Le condizioni degli esempi seguenti sono "Trova l'integrale" o "Calcola l'integrale", quindi, per risparmiare spazio e tempo, non sono state scritte.

Esempio 15. Siamo giunti all'integrazione di funzioni razionali frazionarie. Occupano un posto speciale tra gli integrali, perché richiedono molto tempo per calcolare e aiutare gli insegnanti a testare le tue conoscenze non solo nell'integrazione. Per semplificare la funzione sotto l'integrale, aggiungiamo e sottraiamo un'espressione al numeratore che ci permette di dividere la funzione sotto l'integrale in due semplici

Di conseguenza, troviamo un integrale abbastanza rapidamente, nel secondo dobbiamo espandere la frazione nella somma delle frazioni elementari

Quando ridotti a un denominatore comune, otteniamo tali numeri

Quindi, apri le parentesi e raggruppa

Udentifichiamo il valore agli stessi gradi di "x" a destra ea sinistra. Di conseguenza, arriviamo a un sistema di tre equazioni lineari (SLAE) con tre incognite.

Come risolvere i sistemi di equazioni è descritto in altri articoli sul sito. Nella versione finale, riceverai le seguenti soluzioni SLAE
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Sostituiamo le costanti nell'espansione delle frazioni in quelle più semplici ed eseguiamo l'integrazione


Questo esempio è risolto.

Esempio 16. Ancora una volta, devi trovare l'integrale della funzione razionale frazionaria. Per cominciare, scomponiamo l'equazione cubica contenuta nel denominatore della frazione in fattori semplici

Successivamente, eseguiamo la scomposizione della frazione nella più semplice

Riduciamo il lato destro a un denominatore comune e apriamo le parentesi al numeratore.


Udentifichiamo i coefficienti alle stesse potenze della variabile. Ancora una volta arriviamo allo SLAE con tre incognite

Sostituto valori A,B,C nell'espansione e calcolare l'integrale

I primi due termini danno il logaritmo, anche l'ultimo è facile da trovare.

Esempio 17. Al denominatore di una funzione razionale frazionaria abbiamo la differenza di cubi. Secondo le formule della moltiplicazione abbreviata, lo scomponiamo in due fattori primi

Successivamente, dipingiamo la funzione frazionaria risultante per la somma di frazioni semplici e le riduciamo a un denominatore comune

Al numeratore otteniamo la seguente espressione.

Da esso formiamo un sistema di equazioni lineari per il calcolo di 3 incognite

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Sostituiamo A, B, C nella formula ed eseguiamo l'integrazione. Di conseguenza, arriviamo alla seguente risposta


Qui, il numeratore dell'integrale secondo è stato trasformato in un logaritmo, mentre il resto sotto l'integrale dà l'arco tangente.
Ci sono molti esempi simili sull'integrazione di frazioni razionali su Internet. Esempi simili possono essere trovati nei materiali seguenti.

Qui presentiamo soluzioni dettagliate tre esempi di integrazione delle seguenti frazioni razionali:
, , .

Esempio 1

Calcola integrale:
.

Soluzione

Qui sotto il segno di integrale c'è una funzione razionale, poiché l'integrando è una frazione di polinomi. Il grado del polinomio denominatore ( 3 ) è minore del grado del polinomio numeratore ( 4 ). Pertanto, prima devi selezionare l'intera parte della frazione.

1. Prendiamo la parte intera della frazione. Dividi x 4 su x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Da qui
.

2. Fattorizziamo il denominatore. Per fare ciò, devi risolvere l'equazione cubica:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Sostituisci x = 1 :
.

1 . Dividi per x - 1 :

Da qui
.
Risolviamo un'equazione quadratica.
.
Radici dell'equazione: , .
Quindi
.

3. Scomponiamo la frazione in semplici.

.

Quindi abbiamo trovato:
.
Integriamo.

Risposta

Esempio 2

Calcola integrale:
.

Soluzione

Qui al numeratore della frazione è un polinomio di grado zero ( 1 = x0). Il denominatore è un polinomio di terzo grado. Perché il 0 < 3 , allora la frazione è corretta. Dividiamolo in semplici frazioni.

1. Fattorizziamo il denominatore. Per fare ciò, devi risolvere l'equazione di terzo grado:
.
Supponiamo che abbia almeno una radice intera. Allora è il divisore del numero 3 (un membro senza x ). Cioè, l'intera radice può essere uno dei numeri:
1, 3, -1, -3 .
Sostituisci x = 1 :
.

Quindi abbiamo trovato una radice x = 1 . Dividi x 3 + 2 x - 3 su x- 1 :

Così,
.

Risolviamo l'equazione quadratica:
X 2 + x + 3 = 0.
Trova il discriminante: D = 1 2 - 4 3 = -11. Perché d< 0 , allora l'equazione non ha radici reali. Abbiamo quindi ottenuto la scomposizione del denominatore in fattori:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Sostituisci x = 1 . Allora x- 1 = 0 ,
.

Sostituisci (2.1) x= 0 :
1 = 3 LA - DO;
.

Pari dentro (2.1) coefficienti in x 2 :
;
0=A+B;
.

.

3. Integriamo.
(2.2) .
Per calcolare il secondo integrale, selezioniamo la derivata del denominatore al numeratore e riduciamo il denominatore alla somma dei quadrati.

;
;
.

Calcola I 2 .


.
Poiché l'equazione x 2 + x + 3 = 0 non ha radici reali, allora x 2 + x + 3 > 0. Pertanto, il segno del modulo può essere omesso.

Consegniamo a (2.2) :
.

Risposta

Esempio 3

Calcola integrale:
.

Soluzione

Qui, sotto il segno dell'integrale c'è una frazione di polinomi. Pertanto, l'integrando è una funzione razionale. Il grado del polinomio al numeratore è 3 . Il grado del polinomio del denominatore di una frazione è 4 . Perché il 3 < 4 , allora la frazione è corretta. Pertanto, può essere scomposto in frazioni semplici. Ma per questo è necessario scomporre il denominatore in fattori.

1. Fattorizziamo il denominatore. Per fare ciò, devi risolvere l'equazione di quarto grado:
.
Supponiamo che abbia almeno una radice intera. Allora è il divisore del numero 2 (un membro senza x ). Cioè, l'intera radice può essere uno dei numeri:
1, 2, -1, -2 .
Sostituisci x = -1 :
.

Quindi abbiamo trovato una radice x = -1 . Dividi per x - (-1) = x + 1:


Così,
.

Ora dobbiamo risolvere l'equazione di terzo grado:
.
Se assumiamo che questa equazione abbia una radice intera, allora è un divisore del numero 2 (un membro senza x ). Cioè, l'intera radice può essere uno dei numeri:
1, 2, -1, -2 .
Sostituisci x = -1 :
.

Quindi, abbiamo trovato un'altra radice x = -1 . Sarebbe possibile, come nel caso precedente, dividere il polinomio per , ma raggrupperemo i termini:
.

Poiché l'equazione x 2 + 2 = 0 non ha radici reali, quindi otteniamo la fattorizzazione del denominatore:
.

2. Scomponiamo la frazione in semplici. Cerchiamo una scomposizione nella forma:
.
Eliminiamo il denominatore della frazione, moltiplichiamo per (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Sostituisci x = -1 . Quindi x + 1 = 0 ,
.

Differenziare (3.1) :

;

.
Sostituisci x = -1 e tieni conto che x + 1 = 0 :
;
; .

Sostituisci (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Pari dentro (3.1) coefficienti in x 3 :
;
1=B+C;
.

Quindi, abbiamo trovato la scomposizione in frazioni semplici:
.

3. Integriamo.


.

Una funzione razionale è una frazione della forma, il cui numeratore e denominatore sono polinomi o prodotti di polinomi.

Esempio 1 Passo 2

.

Moltiplichiamo coefficienti indefiniti per polinomi che non sono in questa singola frazione, ma che sono in altre frazioni ottenute:

Apriamo le parentesi e uguagliamo il numeratore dell'integrando originale ricevuto all'espressione ottenuta:

In entrambe le parti dell'uguaglianza, cerchiamo termini con le stesse potenze di x e ne formiamo un sistema di equazioni:

.

Cancelliamo tutte le x e otteniamo un sistema di equazioni equivalente:

.

Pertanto, l'espansione finale dell'integrando nella somma di frazioni semplici:

.

Esempio 2 Passo 2 Al passaggio 1, abbiamo ottenuto la seguente espansione della frazione originale nella somma di frazioni semplici con coefficienti indefiniti nei numeratori:

.

Ora iniziamo a cercare coefficienti incerti. Per fare ciò, uguagliamo il numeratore della frazione originale nell'espressione della funzione al numeratore dell'espressione ottenuta dopo aver ridotto la somma delle frazioni a un denominatore comune:

Ora devi creare e risolvere un sistema di equazioni. Per fare ciò, uguagliamo i coefficienti della variabile al grado appropriato nel numeratore dell'espressione originale della funzione e coefficienti simili nell'espressione ottenuta al passaggio precedente:

Risolviamo il sistema risultante:

Quindi, da qui

.

Esempio 3 Passo 2 Al passaggio 1, abbiamo ottenuto la seguente espansione della frazione originale nella somma di frazioni semplici con coefficienti indefiniti nei numeratori:

Iniziamo a cercare coefficienti incerti. Per fare ciò, uguagliamo il numeratore della frazione originale nell'espressione della funzione al numeratore dell'espressione ottenuta dopo aver ridotto la somma delle frazioni a un denominatore comune:

Come negli esempi precedenti, componiamo un sistema di equazioni:

Riduciamo x e otteniamo un sistema di equazioni equivalente:

Risolvendo il sistema, otteniamo i seguenti valori di coefficienti incerti:

Otteniamo l'espansione finale dell'integrando nella somma di frazioni semplici:

.

Esempio 4 Passo 2 Al passaggio 1, abbiamo ottenuto la seguente espansione della frazione originale nella somma di frazioni semplici con coefficienti indefiniti nei numeratori:

.

Come eguagliare il numeratore della frazione originale con l'espressione al numeratore ottenuta dopo aver scomposto la frazione nella somma delle frazioni semplici e aver ridotto tale somma a un denominatore comune, lo sappiamo già dagli esempi precedenti. Pertanto, solo per il controllo, presentiamo il sistema di equazioni risultante:

Risolvendo il sistema, otteniamo i seguenti valori di coefficienti incerti:

Otteniamo l'espansione finale dell'integrando nella somma di frazioni semplici:

Esempio 5 Passo 2 Al passaggio 1, abbiamo ottenuto la seguente espansione della frazione originale nella somma di frazioni semplici con coefficienti indefiniti nei numeratori:

.

Portiamo indipendentemente questa somma a un denominatore comune, uguagliamo il numeratore di questa espressione al numeratore della frazione originale. Il risultato dovrebbe essere il seguente sistema di equazioni:

Risolvendo il sistema, otteniamo i seguenti valori di coefficienti incerti:

.

Otteniamo l'espansione finale dell'integrando nella somma di frazioni semplici:

.

Esempio 6 Passo 2 Al passaggio 1, abbiamo ottenuto la seguente espansione della frazione originale nella somma di frazioni semplici con coefficienti indefiniti nei numeratori:

Eseguiamo le stesse azioni con questo importo come negli esempi precedenti. Il risultato dovrebbe essere il seguente sistema di equazioni:

Risolvendo il sistema, otteniamo i seguenti valori di coefficienti incerti:

.

Otteniamo l'espansione finale dell'integrando nella somma di frazioni semplici:

.

Esempio 7 Passo 2 Al passaggio 1, abbiamo ottenuto la seguente espansione della frazione originale nella somma di frazioni semplici con coefficienti indefiniti nei numeratori:

.

Dopo azioni note con la somma risultante, si dovrebbe ottenere il seguente sistema di equazioni:

Risolvendo il sistema, otteniamo i seguenti valori di coefficienti incerti:

Otteniamo l'espansione finale dell'integrando nella somma di frazioni semplici:

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Esempio 8 Passo 2 Al passaggio 1, abbiamo ottenuto la seguente espansione della frazione originale nella somma di frazioni semplici con coefficienti indefiniti nei numeratori:

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Apportiamo alcune modifiche alle azioni già portate all'automaticità per ottenere un sistema di equazioni. C'è un trucco artificiale, che in alcuni casi aiuta a evitare calcoli inutili. Portando la somma delle frazioni a un denominatore comune, otteniamo e uguagliando il numeratore di questa espressione al numeratore della frazione originale, otteniamo.