Fatto 1.
\(\bullet\) Prendi un numero non negativo \(a\) (cioè \(a\geqslant 0\) ). Poi (aritmetica) radice quadrata dal numero \(a\) viene chiamato un tale numero non negativo \(b\), quando lo si quadra otteniamo il numero \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(come )\quad a=b^2\] Dalla definizione deriva che \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Queste restrizioni sono una condizione importante per l'esistenza di una radice quadrata e dovrebbero essere ricordate!
Ricorda che qualsiasi numero al quadrato dà un risultato non negativo. Cioè, \(100^2=10000\geqslant 0\) e \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Che cos'è \(\sqrt(25)\) ? Sappiamo che \(5^2=25\) e \((-5)^2=25\) . Poiché per definizione dobbiamo trovare un numero non negativo, \(-5\) non è adatto, quindi \(\sqrt(25)=5\) (poiché \(25=5^2\) ).
Trovare il valore \(\sqrt a\) viene chiamato prendendo la radice quadrata del numero \(a\) e il numero \(a\) viene chiamato espressione radice.
\(\bullet\) In base alla definizione, le espressioni \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , ecc. non ha senso.

Fatto 2.
Per calcoli rapidi, sarà utile imparare la tabella dei quadrati dei numeri naturali da \(1\) a \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fatto 3.
Cosa si può fare con le radici quadrate?
\(\proiettile\) La somma o la differenza delle radici quadrate NON è UGUALE alla radice quadrata della somma o della differenza, cioè \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Pertanto, se devi calcolare, ad esempio, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , inizialmente devi trovare i valori \(\sqrt(25)\) e \(\sqrt (49)\ ) e poi sommali. Di conseguenza, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Se non è possibile trovare i valori \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) aggiungendo \(\sqrt a+\sqrt b\), tale espressione non viene ulteriormente convertita e rimane com'è. Ad esempio, nella somma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) possiamo trovare \(\sqrt(49)\) - questo è \(7\) , ma \(\sqrt 2\) non può essere convertito in alcun modo, ecco perché \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Inoltre, questa espressione, purtroppo, non può essere semplificata in alcun modo.\(\bullet\) Il prodotto/quoziente delle radici quadrate è uguale alla radice quadrata del prodotto/quoziente, cioè \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (a condizione che entrambe le parti delle uguaglianze abbiano un senso)
Esempio: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando queste proprietà, è conveniente trovare le radici quadrate di numeri grandi fattorizzandole.
Considera un esempio. Trova \(\sqrt(44100)\) . Poiché \(44100:100=441\) , allora \(44100=100\cdot 441\) . Secondo il criterio di divisibilità, il numero \(441\) è divisibile per \(9\) (poiché la somma delle sue cifre è 9 ed è divisibile per 9), quindi \(441:9=49\) , ovvero \(441=9\ cdot 49\) .
Quindi, abbiamo: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Diamo un'occhiata a un altro esempio: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mostriamo come inserire i numeri sotto il segno della radice quadrata usando l'esempio dell'espressione \(5\sqrt2\) (abbreviazione dell'espressione \(5\cdot \sqrt2\) ). Poiché \(5=\sqrt(25)\) , allora \ Si noti inoltre che, ad esempio,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Perché? Spieghiamo con l'esempio 1). Come hai già capito, non possiamo in qualche modo convertire il numero \(\sqrt2\) . Immagina che \(\sqrt2\) sia un numero \(a\) . Di conseguenza, l'espressione \(\sqrt2+3\sqrt2\) non è altro che \(a+3a\) (un numero \(a\) più altri tre numeri uguali \(a\) ). E sappiamo che questo è uguale a quattro di questi numeri \(a\) , cioè \(4\sqrt2\) .

Fatto 4.
\(\bullet\) Si dice spesso “non è possibile estrarre la radice” quando non è possibile eliminare il segno \(\sqrt() \ \) della radice (radicale) quando si trova il valore di un numero. Ad esempio, puoi eseguire il root del numero \(16\) perché \(16=4^2\) , quindi \(\sqrt(16)=4\) . Ma estrarre la radice dal numero \(3\) , cioè trovare \(\sqrt3\) , è impossibile, perché non esiste un numero tale che al quadrato darà \(3\) .
Tali numeri (o espressioni con tali numeri) sono irrazionali. Ad esempio, i numeri \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \ sqrt(15)\) eccetera. sono irrazionali.
Irrazionali sono anche i numeri \(\pi\) (il numero “pi”, approssimativamente uguale a \(3,14\) ), \(e\) (questo numero è chiamato numero di Eulero, approssimativamente uguale a \(2 ,7\) ) ecc.
\(\bullet\) Tieni presente che qualsiasi numero sarà razionale o irrazionale. E insieme tutti i numeri razionali e tutti irrazionali formano un insieme chiamato insieme di numeri reali (reali). Questo insieme è indicato dalla lettera \(\mathbb(R)\) .
Ciò significa che tutti i numeri che conosciamo attualmente sono chiamati numeri reali.

Fatto 5.
\(\bullet\) Modulo di un numero reale \(a\) è un numero non negativo \(|a|\) uguale alla distanza dal punto \(a\) a \(0\) sul reale linea. Ad esempio, \(|3|\) e \(|-3|\) sono uguali a 3, poiché le distanze dai punti \(3\) e \(-3\) a \(0\) sono le uguale e uguale a \(3 \) .
\(\bullet\) Se \(a\) è un numero non negativo, allora \(|a|=a\) .
Esempio: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Se \(a\) è un numero negativo, allora \(|a|=-a\) .
Esempio: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Dicono che per i numeri negativi, il modulo "mangia" il meno e i numeri positivi, così come il numero \(0\) , il modulo rimane invariato.
MA questa regola si applica solo ai numeri. Se hai uno sconosciuto \(x\) (o qualche altro sconosciuto) sotto il segno del modulo, ad esempio \(|x|\) , di cui non sappiamo se è positivo, uguale a zero o negativo, allora sbarazzarsi del modulo non possiamo. In questo caso, questa espressione rimane tale: \(|x|\) . \(\bullet\) Valgono le seguenti formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( fornito ) a\geqslant 0\] Spesso viene commesso il seguente errore: dicono che \(\sqrt(a^2)\) e \((\sqrt a)^2\) sono la stessa cosa. Questo è vero solo quando \(a\) è un numero positivo o zero. Ma se \(a\) è un numero negativo, allora questo non è vero. È sufficiente considerare un esempio del genere. Prendiamo il numero \(-1\) invece di \(a\). Quindi \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ma l'espressione \((\sqrt (-1))^2\) non esiste affatto (perché è impossibile sotto il segno della radice inserire numeri negativi!).
Pertanto, attiriamo la vostra attenzione sul fatto che \(\sqrt(a^2)\) non è uguale a \((\sqrt a)^2\) ! Esempio 1) \(\sqrt(\sinistra(-\sqrt2\destra)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), perché \(-\sqrt2<0\) ;

\(\fantasma(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Poiché \(\sqrt(a^2)=|a|\) , allora \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (l'espressione \(2n\) denota un numero pari)
Cioè, quando si estrae la radice da un numero che è in una certa misura, questo grado viene dimezzato.
Esempio:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (notare che se il modulo non è impostato, risulta che la radice del numero è uguale a \(-25 \) ; ma ricordiamo che, per definizione della radice, questo non può essere: quando si estrae la radice, dovremmo sempre ottenere un numero positivo o zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (poiché qualsiasi numero a una potenza pari non è negativo)

Fatto 6.
Come confrontare due radici quadrate?
\(\bullet\) Vero per le radici quadrate: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEsempio:
1) confronta \(\sqrt(50)\) e \(6\sqrt2\) . Innanzitutto, trasformiamo la seconda espressione in \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Quindi, dal momento che \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Tra quali numeri interi c'è \(\sqrt(50)\) ?
Poiché \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) e \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Confronta \(\sqrt 2-1\) e \(0,5\) . Supponiamo \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(allineato) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((aggiungi uno a entrambi i lati))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((quadrare entrambe le parti))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(allineato)\] Vediamo che abbiamo ottenuto una disuguaglianza errata. Pertanto, la nostra ipotesi era sbagliata e \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Si noti che l'aggiunta di un certo numero a entrambi i lati della disuguaglianza non influisce sul suo segno. Anche moltiplicare/dividere entrambe le parti della disuguaglianza per un numero positivo non influisce sul suo segno, ma moltiplicare/dividere per un numero negativo inverte il segno della disuguaglianza!
Entrambi i lati di un'equazione/disuguaglianza possono essere quadrati SOLO SE entrambi i lati non sono negativi. Ad esempio, nella disuguaglianza dell'esempio precedente, puoi quadrare entrambi i lati, nella disuguaglianza \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Nota che \[\begin(allineato) &\sqrt 2\circa 1,4\\ &\sqrt 3\circa 1,7 \end(allineato)\] Conoscere il significato approssimativo di questi numeri ti aiuterà a confrontare i numeri! \(\bullet\) Per estrarre la radice (se estratta) da un numero grande che non è nella tabella dei quadrati, devi prima determinare tra quali “centinaia” si tratta, poi tra quali “decine”, e quindi determinare l'ultima cifra di questo numero. Mostriamo come funziona con un esempio.
Prendi \(\sqrt(28224)\) . Sappiamo che \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) e così via. Nota che \(28224\) è compreso tra \(10\,000\) e \(40\,000\) . Pertanto, \(\sqrt(28224)\) è compreso tra \(100\) e \(200\) .
Ora determiniamo tra quali “decine” è il nostro numero (cioè, ad esempio, tra \(120\) e \(130\) ). Sappiamo anche dalla tabella dei quadrati che \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ecc., quindi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Quindi vediamo che \(28224\) è compreso tra \(160^2\) e \(170^2\) . Pertanto, il numero \(\sqrt(28224)\) è compreso tra \(160\) e \(170\) .
Proviamo a determinare l'ultima cifra. Ricordiamo quali numeri a una cifra durante la quadratura danno alla fine \ (4 \) ? Questi sono \(2^2\) e \(8^2\) . Pertanto, \(\sqrt(28224)\) terminerà con 2 o 8. Controlliamo questo. Trova \(162^2\) e \(168^2\) :
\(162^2=162\cpunto 162=26224\)
\(168^2=168\cpunto 168=28224\) .
Quindi \(\sqrt(28224)=168\) . Ecco!

Per risolvere adeguatamente l'esame di matematica, prima di tutto, è necessario studiare il materiale teorico, che introduce numerosi teoremi, formule, algoritmi, ecc. A prima vista, può sembrare che ciò sia abbastanza semplice. Tuttavia, trovare una fonte in cui la teoria per l'esame di stato unificato in matematica sia presentata in modo facile e comprensibile per studenti con qualsiasi livello di formazione è, in effetti, un compito piuttosto difficile. I libri di testo scolastici non possono essere sempre tenuti a portata di mano. E trovare le formule base per l'esame di matematica può essere difficile anche su Internet.

Perché è così importante studiare la teoria in matematica, non solo per chi sostiene l'esame?

1. Perché allarga i tuoi orizzonti. Lo studio del materiale teorico in matematica è utile per chiunque voglia ottenere risposte ad un'ampia gamma di domande relative alla conoscenza del mondo. Tutto in natura è ordinato e ha una logica chiara. Questo è esattamente ciò che si riflette nella scienza, attraverso la quale è possibile comprendere il mondo.
2. Perché sviluppa l'intelletto. Studiando i materiali di riferimento per l'esame di matematica, oltre a risolvere vari problemi, una persona impara a pensare e ragionare in modo logico, a formulare pensieri in modo corretto e chiaro. Sviluppa la capacità di analizzare, generalizzare, trarre conclusioni.

Vi invitiamo a valutare personalmente tutti i vantaggi del nostro approccio alla sistematizzazione e presentazione dei materiali didattici.

Gli studenti chiedono sempre: “Perché non posso usare una calcolatrice per un esame di matematica? Come estrarre la radice quadrata di un numero senza calcolatrice? Proviamo a rispondere a questa domanda.

Come estrarre la radice quadrata di un numero senza l'aiuto di una calcolatrice?

Azione estrazione della radice quadrata l'opposto della quadratura.

√81= 9 9 2 =81

Se prendiamo la radice quadrata di un numero positivo e al quadrato il risultato, otteniamo lo stesso numero.

Da piccoli numeri che sono quadrati esatti di numeri naturali, ad esempio 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, si possono estrarre verbalmente radici quadrate. Di solito a scuola insegnano una tabella di quadrati di numeri naturali fino a venti. Conoscendo questa tabella, è facile estrarre le radici quadrate dai numeri 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Da numeri maggiori di 400, puoi estrarre usando il metodo di selezione usando alcuni suggerimenti. Proviamo un esempio per considerare questo metodo.

Esempio: Estrarre la radice del numero 676.

Notiamo che 20 2 \u003d 400 e 30 2 \u003d 900, il che significa 20< √676 < 900.

I quadrati esatti di numeri naturali terminano con 0; uno; quattro; 5; 6; 9.
Il numero 6 è dato da 4 2 e 6 2 .
Quindi, se la radice è presa da 676, allora è 24 o 26.

Resta da verificare: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Risposta: √676 = 26 .

Di più esempio: √6889 .

Da 80 2 \u003d 6400 e 90 2 \u003d 8100, quindi 80< √6889 < 90.
Il numero 9 è dato da 3 2 e 7 2, quindi √6889 è 83 o 87.

Verifica: 83 2 = 6889.

Risposta: √6889 = 83 .

Se trovi difficile risolvere con il metodo di selezione, puoi fattorizzare l'espressione radice.

Per esempio, trova √893025.

Fattorizziamo il numero 893025, ricorda, l'hai fatto in prima media.

Otteniamo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Di più esempio: √20736. Fattorizziamo il numero 20736:

Otteniamo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Naturalmente, il factoring richiede la conoscenza dei criteri di divisibilità e delle capacità di factoring.

E infine, c'è regola della radice quadrata. Diamo un'occhiata a questa regola con un esempio.

Calcola √279841.

Per estrarre la radice di un numero intero a più cifre, lo dividiamo da destra a sinistra in facce contenenti 2 cifre ciascuna (potrebbe esserci una cifra nella faccia estrema sinistra). Scrivi così 27'98'41

Per ottenere la prima cifra della radice (5), estraiamo la radice quadrata del quadrato esatto più grande contenuto nella prima faccia sinistra (27).
Quindi si sottrae alla prima faccia il quadrato della prima cifra della radice (25) e si attribuisce (demolita) alla differenza la faccia successiva (98).
A sinistra del numero risultante 298, scrivono la doppia cifra della radice (10), dividono per essa il numero di tutte le decine del numero precedentemente ottenuto (29/2 ≈ 2), sperimentano il quoziente (102 ∙ 2 = 204 non deve essere più di 298) e scrivi (2) dopo la prima cifra della radice.
Quindi il quoziente risultante 204 viene sottratto da 298 e la sfaccettatura successiva (41) viene attribuita (demolita) alla differenza (94).
A sinistra del numero risultante 9441, scrivono il doppio prodotto delle cifre della radice (52 ∙ 2 = 104), dividono per questo prodotto il numero di tutte le decine del numero 9441 (944/104 ≈ 9), esperienza il quoziente (1049 ∙ 9 = 9441) dovrebbe essere 9441 e annotarlo (9) dopo la seconda cifra della radice.

Abbiamo la risposta √279841 = 529.

Allo stesso modo estrai radici dei decimali. Solo il numero radicale deve essere diviso in facce in modo che la virgola sia tra le facce.

Esempio. Trova il valore √0,00956484.

Ricorda solo che se la frazione decimale ha un numero dispari di cifre decimali, la radice quadrata non viene esattamente estratta da essa.

Quindi, ora hai visto tre modi per estrarre la radice. Scegli quello che fa per te e fai pratica. Per imparare a risolvere i problemi, devi risolverli. E se hai domande, iscriviti alle mie lezioni.

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Quando risolvono vari problemi del corso di matematica e fisica, alunni e studenti si trovano spesso di fronte alla necessità di estrarre radici di secondo, terzo o ennesimo grado. Certo, nel sec Tecnologie informatiche Non sarà difficile risolvere un problema del genere usando una calcolatrice. Tuttavia, ci sono situazioni in cui è impossibile utilizzare un assistente elettronico.

Ad esempio, è vietato portare l'elettronica a molti esami. Inoltre, la calcolatrice potrebbe non essere a portata di mano. In questi casi, è utile conoscere almeno alcuni metodi per calcolare manualmente i radicali.

Uno dei modi più semplici per calcolare le radici è utilizzando una tabella speciale. Che cos'è e come utilizzarlo correttamente?

Usando la tabella, puoi trovare il quadrato di qualsiasi numero da 10 a 99. Allo stesso tempo, le righe della tabella contengono valori di decine e le colonne contengono valori di unità. La cella all'intersezione di una riga e di una colonna contiene un quadrato numero a due cifre. Per calcolare il quadrato di 63, devi trovare una riga con un valore di 6 e una colonna con un valore di 3. All'intersezione, troviamo una cella con il numero 3969.

Poiché l'estrazione della radice è l'operazione inversa della quadratura, per eseguire questa azione è necessario fare il contrario: trovare prima la cella con il numero di cui si vuole calcolare il radicale, quindi determinare la risposta dai valori di colonna e riga. Si consideri ad esempio il calcolo della radice quadrata di 169.

Troviamo una cella con questo numero nella tabella, orizzontalmente determiniamo le decine - 1, verticalmente troviamo le uno - 3. Risposta: √169 = 13.

Allo stesso modo, puoi calcolare le radici del cubo e l'n-esimo grado, usando le apposite tabelle.

Il vantaggio del metodo è la sua semplicità e l'assenza di calcoli aggiuntivi. Gli svantaggi sono evidenti: il metodo può essere utilizzato solo per un intervallo limitato di numeri (il numero per cui si trova la radice deve essere compreso tra 100 e 9801). Inoltre, non funzionerà se il numero indicato non è nella tabella.

fattorizzazione in numeri primi

Se la tabella dei quadrati non è a portata di mano o con il suo aiuto è stato impossibile trovare la radice, puoi provare scomporre il numero sotto la radice in fattori primi. I fattori primi sono quelli che possono essere completamente (senza resto) divisi solo per se stessi o per uno. Esempi sarebbero 2, 3, 5, 7, 11, 13, ecc.

Considera il calcolo della radice usando l'esempio √576. Scomponiamolo in semplici fattori. Otteniamo il seguente risultato: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Usando la proprietà principale delle radici √a² = a, ci liberiamo delle radici e dei quadrati, dopodiché calcoliamo la risposta: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Cosa fare se uno qualsiasi dei fattori non ha la propria coppia? Si consideri ad esempio il calcolo di √54. Dopo il factoring, otteniamo il risultato nella seguente forma: La parte non rimovibile può essere lasciata sotto la radice. Per la maggior parte dei problemi di geometria e algebra, tale risposta verrà conteggiata come ultima. Ma se è necessario calcolare valori approssimativi, è possibile utilizzare i metodi che verranno discussi in seguito.

Il metodo di Airone

Cosa fare quando è necessario conoscere almeno approssimativamente qual è la radice estratta (se è impossibile ottenere un valore intero)? Un risultato rapido e abbastanza accurato si ottiene applicando il metodo Heron.. La sua essenza sta nell'uso di una formula approssimativa:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

dove R è il numero la cui radice deve essere calcolata, a è il numero più vicino di cui si conosce il valore della radice.

Vediamo come funziona in pratica il metodo e valutiamo quanto è accurato. Calcoliamo a cosa è uguale √111. Il numero più vicino a 111, la cui radice è nota, è 121. Pertanto, R = 111, a = 121. Sostituisci i valori nella formula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Ora controlliamo l'accuratezza del metodo:

10,55² = 111,3025.

L'errore del metodo era di circa 0,3. Se è necessario migliorare la precisione del metodo, è possibile ripetere i passaggi descritti in precedenza:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Verifichiamo la correttezza del calcolo:

10.536² = 111.0073.

Dopo l'applicazione ripetuta della formula, l'errore è diventato abbastanza insignificante.

Calcolo della radice per divisione in una colonna

Questo metodo per trovare il valore della radice quadrata è un po' più complicato dei precedenti. Tuttavia, è il più accurato tra gli altri metodi di calcolo senza calcolatrice..

Diciamo che devi trovare la radice quadrata con una precisione di 4 cifre decimali. Analizziamo l'algoritmo di calcolo usando l'esempio di un numero arbitrario 1308.1912.

1. Dividi il foglio di carta in 2 parti con una linea verticale, quindi traccia un'altra linea da esso a destra, leggermente al di sotto del bordo superiore. Scriviamo il numero sul lato sinistro, dividendolo in gruppi di 2 cifre, spostandoci a destra ea sinistra del punto decimale. La prima cifra a sinistra può essere senza coppia. Se il segno manca sul lato destro del numero, è necessario aggiungere 0. Nel nostro caso, otteniamo 13 08.19 12.
2. Selezioniamo il numero più grande il cui quadrato sarà minore o uguale al primo gruppo di cifre. Nel nostro caso è 3. Scriviamolo in alto a destra; 3 è la prima cifra del risultato. In basso a destra indichiamo 3 × 3 = 9; questo sarà necessario per i calcoli successivi. Sottraendo 9 da 13 in una colonna, otteniamo il resto 4.
3. Aggiungiamo la prossima coppia di numeri al resto 4; otteniamo 408.
4. Moltiplica il numero in alto a destra per 2 e scrivilo in basso a destra, aggiungendo _ x _ = ad esso. Otteniamo 6_ x _ =.
5. Invece dei trattini, devi sostituire lo stesso numero, minore o uguale a 408. Otteniamo 66 × 6 \u003d 396. Scriviamo 6 in alto a destra, poiché questa è la seconda cifra del risultato. Sottraendo 396 da 408, otteniamo 12.
6. Ripetiamo i passaggi 3-6. Poiché i numeri riportati sono nella parte frazionaria del numero, è necessario inserire un punto decimale in alto a destra dopo 6. Scriviamo il risultato raddoppiato con dei trattini: 72_ x _ =. Un numero adatto sarebbe 1: 721 × 1 = 721. Scriviamolo come risposta. Sottraiamo 1219 - 721 = 498.
7. Eseguiamo la sequenza di azioni indicata nel paragrafo precedente altre tre volte per ottenere il numero di cifre decimali richiesto. Se non ci sono segni sufficienti per ulteriori calcoli, è necessario aggiungere due zeri al numero corrente a sinistra.

Di conseguenza, otteniamo la risposta: √1308.1912 ≈ 36.1689. Se controlli l'azione con una calcolatrice, puoi assicurarti che tutti i caratteri siano stati determinati correttamente.

Calcolo bit a bit del valore della radice quadrata

Il metodo è estremamente accurato. Inoltre, è abbastanza comprensibile e non richiede la memorizzazione di formule o un complesso algoritmo di azioni, poiché l'essenza del metodo è selezionare il risultato corretto.

Estraiamo la radice dal numero 781. Consideriamo in dettaglio la sequenza di azioni.

1. Scopri quale cifra del valore della radice quadrata sarà la più alta. Per fare ciò, quadrizziamo 0, 10, 100, 1000, ecc. e scopriamo tra quali di essi si trova il numero radice. Otteniamo quel 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Prendiamo il valore delle decine. Per fare ciò, a turno saliamo alla potenza di 10, 20, ..., 90, fino a ottenere un numero maggiore di 781. Nel nostro caso, otteniamo 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Il valore del risultato n sarà compreso tra 20< n <30.
3. Analogamente al passaggio precedente, viene selezionato il valore della cifra delle unità. Alternativamente quadramo 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Otteniamo 27< n < 28.
4. Ogni cifra successiva (decimi, centesimi, ecc.) viene calcolata nello stesso modo mostrato sopra. I calcoli vengono eseguiti fino al raggiungimento della precisione richiesta.

Estrarre una radice da un numero grande. Cari amici!In questo articolo, ti mostreremo come prendere la radice di un numero grande senza una calcolatrice. Ciò è necessario non solo per risolvere alcuni tipi di problemi USE (esistono problemi di movimento), ma è anche desiderabile conoscere questa tecnica analitica per lo sviluppo matematico generale.

Sembrerebbe che tutto sia semplice: fattorizzare ed estrarre. Non c'è problema. Ad esempio, il numero 291600, quando ampliato, darà al prodotto:

Calcoliamo:

Ce n'è uno MA! Il metodo è buono se i divisori 2, 3, 4 e così via sono facilmente determinabili. Ma cosa succede se il numero da cui estraiamo la radice è un prodotto di numeri primi? Ad esempio, 152881 è il prodotto dei numeri 17, 17, 23, 23. Prova a trovare subito questi divisori.

L'essenza del metodo che stiamo considerando- questa è pura analisi. La radice con l'abilità accumulata viene trovata rapidamente. Se l'abilità non viene elaborata, ma l'approccio è semplicemente compreso, allora è un po' più lento, ma comunque determinato.

Prendiamo la radice di 190969.

Per prima cosa, determiniamo tra quali numeri (multipli di cento) si trova il nostro risultato.

Ovviamente il risultato della radice di un dato numero è compreso tra 400 e 500, perché

400 2 =160000 e 500 2 =250000

Veramente:

nel mezzo, più vicino a 160.000 o 250.000?

Il numero 190969 è da qualche parte nel mezzo, ma ancora più vicino a 160000. Possiamo concludere che il risultato della nostra radice sarà inferiore a 450. Controlliamo:

Infatti, è meno di 450, da 190.969< 202 500.

Ora controlliamo il numero 440:

Quindi il nostro risultato è inferiore a 440, da allora 190 969 < 193 600.

Controllo del numero 430:

Abbiamo stabilito che il risultato di questa radice è compreso tra 430 e 440.

Il prodotto di numeri che terminano con 1 o 9 dà un numero che termina con 1. Ad esempio, 21 per 21 equivale a 441.

Il prodotto di numeri che terminano con 2 o 8 dà un numero che termina con 4. Ad esempio, 18 per 18 fa 324.

Il prodotto di numeri che terminano con 5 dà un numero che termina con 5. Ad esempio, 25 per 25 equivale a 625.

Il prodotto di numeri che terminano con 4 o 6 dà un numero che termina con 6. Ad esempio, 26 per 26 equivale a 676.

Il prodotto di numeri che terminano con 3 o 7 dà un numero che termina con 9. Ad esempio, 17 per 17 equivale a 289.

Poiché il numero 190969 termina con il numero 9, questo prodotto è 433 o 437.

*Solo loro, al quadrato, possono dare 9 alla fine.

Controlliamo:

Quindi il risultato della radice sarà 437.

Cioè, abbiamo "sentito" la risposta giusta.

Come puoi vedere, il massimo richiesto è di eseguire 5 azioni in una colonna. Forse arriverai subito al punto, oppure farai solo tre azioni. Tutto dipende dalla precisione con cui fai la stima iniziale del numero.

Estrai la tua radice da 148996

Tale discriminante si ottiene nel problema:

La motonave transita lungo il fiume fino a destinazione 336 km e dopo aver parcheggiato torna al punto di partenza. Trova la velocità della nave in acqua ferma, se la velocità della corrente è 5 km / h, il parcheggio dura 10 ore e la nave torna al punto di partenza 48 ore dopo averla lasciata. Dai la tua risposta in km/h.

Visualizza soluzione

Il risultato della radice è compreso tra i numeri 300 e 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Infatti, 90000<148996<160000.

L'essenza di un ulteriore ragionamento è determinare come si trova (distanziato) il numero 148996 rispetto a questi numeri.

Calcola le differenze 148996 - 90000=58996 e 160000 - 148996=11004.

Si scopre che 148996 è vicino (molto più vicino) a 160000. Pertanto, il risultato della radice sarà sicuramente maggiore di 350 e persino 360.

Possiamo concludere che il nostro risultato è maggiore di 370. Inoltre, è chiaro: poiché 148996 termina con il numero 6, ciò significa che devi quadrare il numero che termina con 4 o 6. *Solo questi numeri, quando al quadrato, danno in fine 6.

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ti sarei grato se parlassi del sito nei social network.