2., 5.
,

3.
, 6.
.

Integraaleissa 1-3 as u hyväksyä . Sen jälkeen n-kertainen kaavan (19) soveltaminen, päästään yhteen taulukon integraaleista

,
,
.

Integraaleissa 4-6 erotettaessa transsendentaalinen tekijä yksinkertaistuu
,
tai
, joka pitäisi ottaa sellaisena kuin u.

Laske seuraavat integraalit.

Esimerkki 7

Esimerkki 8

Integraalien pelkistäminen itseensä

Jos integrand
näyttää:

,
,
ja niin edelleen,

sitten osilla kaksoisintegroinnin jälkeen saadaan lauseke, joka sisältää alkuperäisen integraalin :

missä
on jonkin verran vakio.

Tuloksena olevan yhtälön ratkaiseminen suhteessa , saamme kaavan alkuperäisen integraalin laskemiseksi:

Tätä tapausta, jossa sovelletaan osien integrointimenetelmää, kutsutaan " tuo integraalin itseensä».

Esimerkki 9 Laske integraali
.

Oikealla puolella on alkuperäinen integraali . Siirtämällä sitä vasemmalle, saamme:

Esimerkki 10 Laske integraali
.

4.5. Yksinkertaisimpien oikeiden rationaalisten murtolukujen integrointi

Määritelmä.Yksinkertaisimmat oikeat murtoluvut minä , II ja III tyypit seuraavia murtolukuja kutsutaan:

minä. ;

II.
; (
on positiivinen kokonaisluku);

III.
; (nimittäjän juuret ovat monimutkaisia, eli:
.

Tarkastellaan yksinkertaisten murtolukujen integraaleja.

minä.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Muunnamme murtoluvun osoittajaa siten, että termi erotetaan osoittajassa
yhtä suuri kuin nimittäjän derivaatta.

Harkitse ensimmäistä kahdesta saadusta integraalista ja tee siihen muutos:

Toisessa integraalissa täydennämme nimittäjä täysneliöön:

Lopuksi kolmannen tyypin murto-osan integraali on yhtä suuri:

=
+
. (22)

Siten tyypin I yksinkertaisimpien murtolukujen integraali ilmaistaan logaritmeilla, tyyppi II - rationaalisilla funktioilla, tyyppi III - logaritmeilla ja arktangenteilla.

4.6 Murto-rationaalisten funktioiden integrointi

Yksi funktioluokista, joilla on alkeisfunktioina ilmaistu integraali, on algebrallinen luokka rationaalisia toimintoja, eli funktiot, jotka johtuvat rajallisesta määrästä argumentin algebrallisia operaatioita.

Jokainen järkevä toiminto
voidaan esittää kahden polynomin suhteena
ja
:

. (23)

Oletetaan, että polynomeilla ei ole yhteisiä juuria.

Muodosta (23) kutsutaan murto-osaa oikea, jos osoittajan aste on pienempi kuin nimittäjän aste, eli m< n. Muuten - väärä.

Jos murtoluku on virheellinen, jakamalla osoittaja nimittäjällä (polynomien jakosäännön mukaan), esitämme murto-osan polynomin ja oikean murtoluvun summana:

, (24)

missä
- polynomi, on oikea murtoluku ja polynomin aste
- ei korkeampaa tutkintoa ( n-1).

Esimerkki.

Koska polynomin integrointi pelkistetään potenssifunktion taulukkointegraalien summaksi, suurin vaikeus rationaalisten murtolukujen integroinnissa on oikeiden rationaalisten murtolukujen integrointi.

Algebra todistaa, että jokainen oikea murtoluku hajoaa yllä olevien summaksi alkueläimet murto-osia, joiden muodon määrää nimittäjän juuret
.

Tarkastellaan kolmea erityistapausta. Tässä ja alla oletetaan, että kerroin nimittäjän korkeimmassa asteessa
yhtä suuri kuin yksi =1, elipelkistetty polynomi .

Tapaus 1 Nimittäjän juuret eli juuret
yhtälöt
=0 ovat todellisia ja erilaisia. Sitten edustamme nimittäjä lineaaristen tekijöiden tulona:

ja oikea murto-osa hajoaa I-tyypin yksinkertaisimmiksi jakeiksi:

, (26)

missä
- jonkin verran vakioluvut, jotka löydetään määrittelemättömien kertoimien menetelmällä.

Tätä varten tarvitset:

1. Lyijy oikea puoli laajennukset (26) yhteiseen nimittäjään.

2. Yhdistä vasemman ja oikean osan osoittajassa olevien identtisten polynomien kertoimet samoilla potenssilla. Määrittämistä varten saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä
.

3. Ratkaise tuloksena oleva järjestelmä ja löydä epävarmat kertoimet
.

Tällöin murto-rationaalisen funktion (26) integraali on yhtä suuri kuin I-tyypin yksinkertaisimpien murto-osien integraalien summa laskettuna kaavalla (20).

Esimerkki. Laske integraali
.

Ratkaisu. Otetaan nimittäjä kertoimella Vietan lauseella:

Sitten integrandi laajenee yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Kirjoitetaan kolmen yhtälön järjestelmä etsimistä varten
X vasemmalla ja oikealla puolella:

Esitetään yksinkertaisempi menetelmä määrittelemättömien kertoimien löytämiseksi, ns osittaisen arvon menetelmä.

Olettaen tasa-arvon (27)
saamme
, missä
. Olettaen
saamme
. Lopuksi olettaen
saamme
.

Tapaus 2 nimittäjän juuri
ovat todellisia, mutta niiden joukossa on useita (samanlaisia) juuria. Sitten edustamme nimittäjä tuloon sisältyvien lineaaristen tekijöiden tulona siltä osin kuin vastaavan juuren monikerta on:

missä
.

Oikea murto-osa I. ja II. tyypin murto-osien summaa laajennetaan. Olkoon esim. - monikertanimittäjän juuri k ja kaikki loput ( n- k) juuret ovat erilaisia.

Sitten hajoaminen näyttää tältä:

Samoin, jos on muita useita juuria. Ei-useita juuria varten laajennus (28) sisältää ensimmäisen tyypin yksinkertaisimmat jakeet.

Esimerkki. Laske integraali
.

Ratkaisu. Esitetään murto-osa ensimmäisen ja toisen tyypin yksinkertaisten murto-osien summana määrittelemättömillä kertoimilla:

Tuomme oikean puolen yhteiseen nimittäjään ja yhtälöimme polynomit vasemman ja oikean puolen osoittajissa:

Oikealla puolella annamme samanlaisia, joilla on samat asteet X:

Kirjataan ylös neljän yhtälön järjestelmä etsimistä varten
ja . Tätä varten vertaamme kertoimet samoilla tehoilla X vasemmalla ja oikealla puolella

Tapaus 3 Nimittäjän juurien joukossa
niillä on monimutkaiset kertaluonteiset juuret. Toisin sanoen nimittäjän laajennus sisältää toisen asteen tekijät
, joita ei voida hajottaa todellisiksi lineaarisiksi tekijöiksi, eivätkä ne toistu.

Sitten fraktion laajennuksessa jokainen tällainen tekijä vastaa yksinkertaisinta tyypin III fraktiota. Lineaariset tekijät vastaavat I:nnen ja II:nnen tyypin yksinkertaisimpia murto-osia.

Esimerkki. Laske integraali
.

Ratkaisu.
.

Murto-rationaalisen funktion integrointi.
Määrittämättömien kertoimien menetelmä

Jatkamme työskentelyä murtolukujen integroimiseksi. Olemme jo käsitelleet eräiden murtolukutyyppien integraaleja oppitunnilla, ja tätä oppituntia voidaan tietyssä mielessä pitää jatkona. Materiaalin onnistuneeseen ymmärtämiseen tarvitaan perusintegraatiotaitoja, joten jos olet juuri aloittanut integraalien opiskelun, eli olet teekannu, sinun on aloitettava artikkelista Epämääräinen integraali. Ratkaisuesimerkkejä.

Kummallista kyllä, nyt emme ole niinkään mukana integraalien löytämisessä kuin ... järjestelmien ratkaisemisessa lineaariset yhtälöt. Tässä yhteydessä voimakkaasti Suosittelen vierailemaan oppitunnilla Sinun on nimittäin oltava hyvin perehtynyt korvausmenetelmiin ("koulu"-menetelmä ja menetelmä systeemiyhtälöiden termittäiseen yhteen- (vähennys) -menetelmään.

Mikä on murto-rationaalinen funktio? Yksinkertaisin sanoin, murto-rationaalinen funktio on murto-osa, jonka osoittajassa ja nimittäjässä ovat polynomit tai polynomien tulot. Samanaikaisesti murtoluvut ovat kehittyneempiä kuin artikkelissa käsitellyt. Joidenkin murtolukujen integrointi.

Oikean murto-rationaalifunktion integrointi

Välittömästi esimerkki ja tyypillinen algoritmi murto-rationaalisen funktion integraalin ratkaisemiseksi.

Esimerkki 1

Vaihe 1. Ensimmäinen asia, jonka teemme AINA ratkaiseessamme rationaali-murto-funktion integraalia, on kysyä seuraava kysymys: onko murto oikea? Tämä vaihe tehdään suullisesti, ja nyt selitän kuinka:

Katso ensin osoittajaa ja ota selvää vanhempi tutkinto polynomi:

Osoittajan suurin potenssi on kaksi.

Katso nyt nimittäjä ja ota selvää vanhempi tutkinto nimittäjä. Ilmeinen tapa on avata sulut ja tuoda samanlaiset termit, mutta voit tehdä sen helpommin jokainen suluissa löytää korkein aste

ja kertoa henkisesti: - siis nimittäjän suurin aste on kolme. On aivan selvää, että jos todella avaamme sulut, emme saa kolmea suurempaa astetta.

Johtopäätös: Osoittimen suurin teho TIUKASTI pienempi kuin nimittäjän suurin potenssi, murtoluku on oikea.

Jos tässä esimerkissä osoittaja sisälsi polynomin 3, 4, 5 jne. astetta, silloin murto-osa olisi väärä.

Nyt tarkastellaan vain oikeita murto-rationaalisia funktioita. Tapausta, jossa osoittajan aste on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjän aste, analysoimme oppitunnin lopussa.

Vaihe 2 Otetaan nimittäjä kertoimella. Katsotaanpa nimittäjäämme:

Yleisesti ottaen tämä on jo tekijöiden tulos, mutta siitä huolimatta kysymme itseltämme: onko mahdollista laajentaa jotain muuta? Kidutuksen kohteena on tietysti neliötrinomi. Ratkaisemme toisen asteen yhtälön:

Diskriminantti on suurempi kuin nolla, mikä tarkoittaa, että trinomi on todellakin kertoimella:

Yleissääntö: KAIKKI, mikä nimittäjässä VOIDAAN kertoa - kertoi

Aloitetaan päätöksenteko:

Vaihe 3 Epämääräisten kertoimien menetelmää käyttämällä laajennetaan integrandi yksinkertaisten (alkeis) murtolukujen summaksi. Nyt se tulee selvemmäksi.

Katsotaanpa integrand-toimintoamme:

Ja tiedätkö, jotenkin lipsahtaa läpi intuitiivinen ajatus, että olisi mukavaa muuttaa iso murto-osa useaksi pieneksi. Esimerkiksi näin:

Herää kysymys, onko tämä edes mahdollista? Hengitellään helpotuksesta, matemaattisen analyysin vastaava lause toteaa - ON MAHDOLLINEN. Tällainen hajoaminen on olemassa ja on ainutlaatuinen.

On vain yksi saalis, kertoimet me Hei hei emme tiedä, tästä syystä nimi - määrittelemättömien kertoimien menetelmä.

Arvasit sen, myöhemmät eleet niin, älä cackle! Tavoitteena on vain OPPEMINEN heitä - selvittää, mitä he ovat yhtäläisiä.

Ole varovainen, selitän kerran yksityiskohtaisesti!

Joten aloitetaan tanssiminen:

Vasemmalla puolella tuomme lausekkeen yhteiseen nimittäjään:

Nyt pääsemme turvallisesti eroon nimittäjistä (koska ne ovat samat):

Vasemmalla puolella avaamme sulut, kun emme vielä koske tuntemattomiin kertoimiin:

Samanaikaisesti toistamme koulun sääntöä polynomien kertomisesta. Opettajana opin sanomaan tämän säännön suoralla kasvoilla: Jos haluat kertoa polynomin polynomilla, sinun on kerrottava yhden polynomin jokainen termi toisen polynomin kullakin termillä.

Selkeän selityksen kannalta on parempi laittaa kertoimet suluihin (vaikka en henkilökohtaisesti koskaan tee tätä ajan säästämiseksi):

Muodostamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän.
Ensin etsimme vanhempia tutkintoja:

Ja kirjoitamme vastaavat kertoimet järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön:

Muista seuraava vivahde. Mitä tapahtuisi, jos oikeaa puolta ei olisi ollenkaan? Sano, näyttäytyisikö se ilman neliötä? Tässä tapauksessa järjestelmän yhtälössä olisi tarpeen laittaa nolla oikealle: . Miksi nolla? Ja koska oikealle puolelle voit aina merkitä tämän saman neliön nollalla: Jos oikealla puolella ei ole muuttujia tai (ja) vapaata termiä, niin laitamme nollia järjestelmän vastaavien yhtälöiden oikealle puolelle.

Kirjoitamme vastaavat kertoimet järjestelmän toiseen yhtälöön:

Ja lopuksi, kivennäisvesi, valitsemme ilmaiset jäsenet.

Eh... vitsailin. Vitsit sivuun - matematiikka on vakava tiede. Instituuttiryhmässämme kukaan ei nauranut, kun apulaisprofessori sanoi, että hän hajottaa jäsenet numeroviivalle ja valitsee niistä suurimman. Ollaanpa tosissaan. Vaikka... joka elää nähdäkseen tämän oppitunnin lopun, hymyilee silti hiljaa.

Järjestelmä valmis:

Ratkaisemme järjestelmän:

(1) Ensimmäisestä yhtälöstä ilmaistaan ja korvaamme sen järjestelmän 2. ja 3. yhtälöllä. Itse asiassa oli mahdollista ilmaista (tai toinen kirjain) toisesta yhtälöstä, mutta tässä tapauksessa on edullista ilmaista se 1. yhtälöstä, koska pienimmät kertoimet.

(2) Esitämme samanlaiset termit 2. ja 3. yhtälössä.

(3) Lisäämme 2. ja 3. yhtälön termi kerrallaan, jolloin saadaan yhtälö, josta seuraa, että

(4) Korvataan toiseen (tai kolmanteen) yhtälöön, josta löydämme sen

(5) Korvaamme ja ensimmäiseen yhtälöön, saamme .

Jos sinulla on vaikeuksia järjestelmän ratkaisumenetelmien kanssa, selvitä ne luokassa. Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Järjestelmän ratkaisemisen jälkeen on aina hyödyllistä tehdä tarkistus - korvata löydetyt arvot jokaisessa järjestelmän yhtälö, minkä seurauksena kaiken pitäisi "lähentyä".

Melkein saapui. Kertoimet löytyvät, kun taas:

Puhtaan työn pitäisi näyttää tältä:

Kuten näette, tehtävän päävaikeus oli muodostaa (oikein!) ja ratkaista (oikein!) lineaarinen yhtälöjärjestelmä. Ja viimeisessä vaiheessa kaikki ei ole niin vaikeaa: käytämme määrittelemättömän integraalin lineaarisuuden ominaisuuksia ja integroimme. Kiinnitän huomionne siihen, että jokaisen kolmen integraalin alla meillä on "vapaa" monimutkainen funktio, puhuin sen integroinnin ominaisuuksista oppitunnilla Muuttujan muutosmenetelmä määrittelemättömässä integraalissa.

Tarkista: Erota vastaus:

Alkuperäinen integrandi saatiin, mikä tarkoittaa, että integraali löytyi oikein.
Tarkistuksen aikana oli tarpeen tuoda lauseke yhteiseen nimittäjään, eikä tämä ole sattumaa. Epämääräisten kertoimien menetelmä ja lausekkeen tuominen yhteiseen nimittäjään ovat keskenään käänteisiä toimia.

Esimerkki 2

Etsi epämääräinen integraali.

Palataan ensimmäisen esimerkin murto-osaan: . On helppo nähdä, että nimittäjässä kaikki tekijät ovat ERI. Herää kysymys, mitä tehdä, jos esimerkiksi tällainen murto-osa annetaan: ? Täällä meillä on asteet nimittäjässä, tai matemaattisesti useita tekijöitä. Lisäksi on olemassa hajoamaton neliötrinomi (on helppo varmistaa, että yhtälön diskriminantti on negatiivinen, joten trinomia ei voida ottaa huomioon millään tavalla). Mitä tehdä? Laajentuminen alkeismurtolukujen summaksi näyttää tältä tuntemattomilla kertoimilla ylhäällä vai jollain muulla tavalla?

Esimerkki 3

Lähetä funktio

Vaihe 1. Tarkistamme, onko meillä oikea murtoluku
Osoittimen suurin teho: 2
Suurin nimittäjä: 8
, joten murtoluku on oikea.

Vaihe 2 Voidaanko nimittäjässä ottaa huomioon jotain? Ilmeisesti ei, kaikki on jo selvitetty. Neliötrinomi ei laajene tuotteeksi yllä mainituista syistä. Hyvä. Vähemmän työtä.

Vaihe 3 Esitetään murto-rationaalinen funktio alkeismurtolukujen summana.
Tässä tapauksessa hajoamisella on seuraava muoto:

Katsotaanpa nimittäjäämme:
Kun murto-rationaalinen funktio jaetaan alkeismurtolukujen summaksi, voidaan erottaa kolme peruspistettä:

1) Jos nimittäjä sisältää "yksinäisen" tekijän ensimmäisessä asteessa (tapauksessamme), niin laitamme määräämättömän kertoimen huipulle (tapauksessamme). Esimerkit nro 1,2 koostuivat vain sellaisista "yksinäisistä" tekijöistä.

2) Jos nimittäjä sisältää useita kerroin, sinun on hajotettava seuraavasti:
- eli lajittele peräkkäin kaikki "x":n asteet ensimmäisestä n:teen asteeseen. Esimerkissämme on kaksi useampaa tekijää: ja , katso vielä kerran antamaani hajoamista ja varmista, että ne hajotetaan täsmälleen tämän säännön mukaisesti.

3) Jos nimittäjä sisältää toisen asteen hajoamattoman polynomin (tapauksessamme ), niin osoittajaa laajennettaessa on kirjoitettava lineaarinen funktio, jolla on epämääräiset kertoimet (tapauksessamme määrittelemättömillä kertoimilla ja ).

Itse asiassa on olemassa myös neljäs tapaus, mutta vaikenen siitä, koska käytännössä se on erittäin harvinaista.

Esimerkki 4

Lähetä funktio tuntemattomien kertoimien alkeisosien summana.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.
Noudata tarkasti algoritmia!

Jos olet selvittänyt periaatteet, joiden mukaan sinun on hajotettava murto-rationaalinen funktio summaksi, voit murtaa melkein minkä tahansa tarkasteltavan tyypin integraalin.

Esimerkki 5

Etsi epämääräinen integraali.

Vaihe 1. Ilmeisesti murtoluku on oikea:

Vaihe 2 Voidaanko nimittäjässä ottaa huomioon jotain? Voi. Tässä on kuutioiden summa . Nimittäjä kerrotaan käyttämällä lyhennettyä kertolaskua

Vaihe 3 Epämääräisten kertoimien menetelmää käyttämällä laajennamme integrandin alkeismurtolukujen summaksi:

Huomaa, että polynomi on hajoamaton (tarkista, että diskriminantti on negatiivinen), joten laitamme yläosaan lineaarifunktion tuntemattomilla kertoimilla, emme vain yksittäistä kirjainta.

Tuomme murto-osan yhteiseen nimittäjään:

Luodaan ja ratkaistaan järjestelmä:

(1) Ensimmäisestä yhtälöstä ilmaistamme ja korvaamme järjestelmän toisen yhtälön (tämä on järkevin tapa).

(2) Esitämme samanlaiset termit toisessa yhtälössä.

(3) Lisäämme järjestelmän toisen ja kolmannen yhtälön termi kerrallaan.

Kaikki muut laskelmat ovat periaatteessa suullisia, koska järjestelmä on yksinkertainen.

(1) Kirjoitetaan murto-osien summa löydettyjen kertoimien mukaisesti.

(2) Käytämme epämääräisen integraalin lineaarisuusominaisuuksia. Mitä toisessa integraalissa tapahtui? Löydät tämän menetelmän oppitunnin viimeisestä kappaleesta. Joidenkin murtolukujen integrointi.

(3) Jälleen kerran käytämme lineaarisuuden ominaisuuksia. Kolmannessa integraalissa alamme valita täyden neliön (oppitunnin toiseksi viimeinen kappale Joidenkin murtolukujen integrointi).

(4) Otamme toisen integraalin, kolmannessa valitsemme täyden neliön.

(5) Otetaan kolmas integraali. Valmis.

Ohjaustyö funktioiden integroinnista, mukaan lukien rationaaliset murtoluvut, annetaan 1. ja 2. kurssin opiskelijoille. Esimerkit integraaleista kiinnostavat pääasiassa matemaatikoita, taloustieteilijöitä ja tilastotieteilijöitä. Näitä esimerkkejä annettiin valvoa työtä LNU:ssa I. Frank. Seuraavien esimerkkien ehdot ovat "Etsi integraali" tai "Laske integraali", joten tilan ja ajan säästämiseksi niitä ei kirjoitettu ulos.

Esimerkki 15. Pääsimme murto-osien rationaalisten funktioiden integrointiin. Niillä on erityinen paikka integraalien joukossa, koska ne vaativat paljon aikaa laskemiseen ja auttavat opettajia testaamaan tietosi paitsi integroinnissa. Integraalin alla olevan funktion yksinkertaistamiseksi lisäämme ja vähennämme osoittajaan lausekkeen, jonka avulla voimme jakaa integraalin alla olevan funktion kahteen yksinkertaiseen

Tämän seurauksena löydämme yhden integraalin melko nopeasti, toisessa meidän on laajennettava murto-osa alkeismurtolukujen summaksi

Kun pelkistetään yhteiseksi nimittäjäksi, saadaan tällaisia lukuja

Avaa seuraavaksi sulut ja ryhmä

Yhdistämme arvon samoilla "x"-asteilla oikealla ja vasemmalla. Tämän seurauksena päädymme kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmään (SLAE), jossa on kolme tuntematonta.

Yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen on kuvattu muissa sivuston artikkeleissa. Lopullisessa versiossa saat seuraavat SLAE-ratkaisut
A = 4; B = -9/2; C = -7/2.
Korvaamme murto-osien laajennuksen vakiot yksinkertaisimmiksi ja suoritamme integroinnin

Tämä esimerkki on ratkaistu.

Esimerkki 16. Jälleen sinun on löydettävä rationaalisen murtofunktion integraali. Aluksi hajotamme murtoluvun nimittäjään sisältyvän kuutiometrisen yhtälön yksinkertaisiksi tekijöiksi

Seuraavaksi teemme murto-osan hajotuksen yksinkertaisimmaksi

Vähennämme oikean puolen yhteiseksi nimittäjäksi ja avaamme osoittajan sulut.

Yhdistämme kertoimet muuttujan samoilla potenssilla. Taas tulemme SLAE:hen kolmen tuntemattoman kanssa

Korvaava arvot A,B,C laajennukseen ja laske integraali

Kaksi ensimmäistä termiä antavat logaritmin, viimeinen on myös helppo löytää.

Esimerkki 17. Murtolukuisen rationaalisen funktion nimittäjässä on kuutioiden erotus. Lyhennettyjen kertolaskujen kaavojen mukaan jaamme sen kahdeksi alkutekijäksi

Seuraavaksi maalataan tuloksena oleva murto-funktio yksinkertaisten murtolukujen summalle ja vähennetään ne yhteiseksi nimittäjäksi

Osoittimessa saamme seuraavan lausekkeen.

Siitä muodostamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän 3 tuntemattoman laskemiseksi

A = 1/3; B = -1/3; C = 1/3.
Korvaamme A, B, C kaavaan ja suoritamme integroinnin. Tämän seurauksena saamme seuraavan vastauksen

Tässä toisen integraalin osoittaja muutettiin logaritmiksi, kun taas integraalin alla oleva jäännös antaa arkitangentin.
Internetissä on paljon samanlaisia esimerkkejä rationaalisten murtolukujen integroinnista. Vastaavia esimerkkejä löytyy alla olevista materiaaleista.

Tässä esittelemme yksityiskohtaisia ratkaisuja kolme esimerkkiä seuraavien rationaalisten murtolukujen integroimisesta:
, , .

Esimerkki 1

Laske integraali:
.

Ratkaisu

Tässä integraalimerkin alla on rationaalinen funktio, koska integrandi on murto-osa polynomista. Nimittäjäpolynomin aste ( 3 ) on pienempi kuin osoittajapolynomin ( 4 ). Siksi ensin sinun on valittava murto-osan koko osa.

1. Otetaan murto-osan kokonaislukuosa. Jaa x 4 kohdassa x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Täältä
.

2. Otetaan nimittäjä kertoimella. Tätä varten sinun on ratkaistava kuutioyhtälö:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Korvaa x = 1 :
.

1 . jakaa x:llä - 1 :

Täältä
.
Ratkaisemme toisen asteen yhtälön.
.
Yhtälön juuret: , .
Sitten
.

3. Jaetaan murto yksinkertaisiksi.

.

Joten löysimme:
.
Integroidaan.

Vastaus

Esimerkki 2

Laske integraali:
.

Ratkaisu

Tässä murtoluvun osoittajassa on nolla-asteen polynomi ( 1 = x0). Nimittäjä on kolmannen asteen polynomi. Koska 0 < 3 , murtoluku on oikea. Jaetaan se yksinkertaisiin murtolukuihin.

1. Otetaan nimittäjä kertoimella. Tätä varten sinun on ratkaistava kolmannen asteen yhtälö:
.
Oletetaan, että sillä on vähintään yksi kokonaisluvun juuri. Sitten se on luvun jakaja 3 (jäsen ilman x ). Eli koko juuri voi olla yksi numeroista:
1, 3, -1, -3 .
Korvaa x = 1 :
.

Joten olemme löytäneet yhden juuren x = 1 . Jaa x 3 + 2 x - 3 x- 1 :

Niin,
.

Ratkaisemme toisen asteen yhtälön:
x 2 + x + 3 = 0.
Etsi diskriminantti: D = 1 2 - 4 3 = -11. Koska D< 0 , silloin yhtälöllä ei ole todellisia juuria. Siten olemme saaneet nimittäjän jakautumisen tekijöiksi:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Korvaa x = 1 . Sitten x- 1 = 0 ,
.

Korvaa sisään (2.1) x= 0 :
1 = 3 A - C;
.

Tasaa sisään (2.1) kertoimet kohdassa x 2 :
;
0 = A+B;
.

3. Integroidaan.
(2.2) .
Toisen integraalin laskemiseksi valitsemme osoittajan nimittäjän derivaatan ja pienennämme nimittäjä neliöiden summaksi.

;
;
.

Laske I 2 .

.
Koska yhtälö x 2 + x + 3 = 0 sillä ei ole todellisia juuria, sitten x 2 + x + 3 > 0. Siksi moduulin merkki voidaan jättää pois.

Toimitamme osoitteeseen (2.2) :
.

Vastaus

Esimerkki 3

Laske integraali:
.

Ratkaisu

Tässä integraalin merkin alla on murto-osa polynomista. Siksi integrandi on rationaalinen funktio. Polynomin aste osoittajassa on 3 . Murtoluvun nimittäjän polynomin aste on 4 . Koska 3 < 4 , murtoluku on oikea. Siksi se voidaan hajottaa yksinkertaisiksi jakeiksi. Mutta tätä varten sinun on hajotettava nimittäjä tekijöiksi.

1. Otetaan nimittäjä kertoimella. Tätä varten sinun on ratkaistava neljännen asteen yhtälö:
.
Oletetaan, että sillä on vähintään yksi kokonaisluvun juuri. Sitten se on luvun jakaja 2 (jäsen ilman x ). Eli koko juuri voi olla yksi numeroista:
1, 2, -1, -2 .
Korvaa x = -1 :
.

Joten olemme löytäneet yhden juuren x = -1 . jakaa x:llä - (-1) = x + 1:

Niin,
.

Nyt meidän on ratkaistava kolmannen asteen yhtälö:
.
Jos oletetaan, että tällä yhtälöllä on kokonaislukujuuri, niin se on luvun jakaja 2 (jäsen ilman x ). Eli koko juuri voi olla yksi numeroista:
1, 2, -1, -2 .
Korvaa x = -1 :
.

Joten, olemme löytäneet toisen juuren x = -1 . Olisi mahdollista, kuten edellisessä tapauksessa, jakaa polynomi arvolla, mutta ryhmittelemme termit:
.

Koska yhtälö x 2 + 2 = 0 sillä ei ole todellisia juuria, niin saamme nimittäjän tekijöiden jakamisen:
.

2. Jaetaan murto yksinkertaisiksi. Etsimme hajotusta muodossa:
.
Pääsemme eroon murtoluvun nimittäjästä, kerromme (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Korvaa x = -1 . Sitten x + 1 = 0 ,
.

Erota (3.1) :

;

.
Korvaa x = -1 ja ota huomioon, että x + 1 = 0 :
;
; .

Korvaa sisään (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Tasaa sisään (3.1) kertoimet kohdassa x 3 :
;
1 = B+C;
.

Joten, olemme löytäneet hajotuksen yksinkertaisiin jakeisiin:
.

3. Integroidaan.

.

Rationaalinen funktio on muodon murto-osa, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja tai polynomien tuloja.

Esimerkki 1 Vaihe 2

Kerromme määrittelemättömät kertoimet polynomeilla, jotka eivät ole tässä yksittäisessä murtoluvussa, mutta jotka ovat muissa saaduissa murtoluvuissa:

Avaamme sulut ja rinnastamme saadun alkuperäisen integrandin osoittajan saatuun lausekkeeseen:

Yhtälön molemmista osista etsimme termejä, joilla on samat x:n potenssit, ja muodostamme niistä yhtälöjärjestelmän:

Perutaan kaikki x:t ja saadaan vastaava yhtälöjärjestelmä:

Siten integrandin lopullinen laajennus yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 2 Vaihe 2 Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimet osoittajissa ovat määrittelemättömät:

Nyt aletaan etsiä epävarmoja kertoimia. Tätä varten vertaamme funktiolausekkeen alkuperäisen murtoluvun osoittajaa sen lausekkeen osoittajaan, joka saadaan, kun murto-osien summa on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi:

Nyt sinun on luotava ja ratkaistava yhtälöjärjestelmä. Tätä varten yhtälöimme muuttujan kertoimet sopivaan asteeseen funktion alkuperäisen lausekkeen osoittajassa ja vastaavat kertoimet edellisessä vaiheessa saadussa lausekkeessa:

Ratkaisemme tuloksena olevan järjestelmän:

Joten täältä

Esimerkki 3 Vaihe 2 Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimet osoittajissa ovat määrittelemättömät:

Alamme etsiä epävarmoja kertoimia. Tätä varten vertaamme funktiolausekkeen alkuperäisen murtoluvun osoittajaa sen lausekkeen osoittajaan, joka saadaan, kun murto-osien summa on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi:

Kuten edellisissä esimerkeissä, muodostamme yhtälöjärjestelmän:

Vähennämme x:t ja saamme vastaavan yhtälöjärjestelmän:

Ratkaisemalla järjestelmän saamme seuraavat epävarmien kertoimien arvot:

Saamme integrandin lopullisen laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 4 Vaihe 2 Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimet osoittajissa ovat määrittelemättömät:

Tiedämme jo aiemmista esimerkeistä, kuinka alkuperäisen murtoluvun osoittaja rinnastetaan osoittajassa olevaan lausekkeeseen, joka on saatu murtoluvun hajotuksen jälkeen yksinkertaisten murtolukujen summaksi ja tämän summan vähentämiseksi yhteiseksi nimittäjäksi. Siksi vain ohjausta varten esitämme tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän:

Ratkaisemalla järjestelmän saamme seuraavat epävarmien kertoimien arvot:

Saamme integrandin lopullisen laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 5 Vaihe 2 Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimet osoittajissa ovat määrittelemättömät:

Tuomme tämän summan itsenäisesti yhteiseen nimittäjään, rinnastamme tämän lausekkeen osoittajan alkuperäisen murtoluvun osoittajaan. Tuloksena pitäisi olla seuraava yhtälöjärjestelmä:

Ratkaisemalla järjestelmän saamme seuraavat epävarmien kertoimien arvot:

Saamme integrandin lopullisen laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 6 Vaihe 2 Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimet osoittajissa ovat määrittelemättömät:

Suoritamme samat toiminnot tällä määrällä kuin edellisissä esimerkeissä. Tuloksena pitäisi olla seuraava yhtälöjärjestelmä:

Ratkaisemalla järjestelmän saamme seuraavat epävarmien kertoimien arvot:

Saamme integrandin lopullisen laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 7 Vaihe 2 Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimet osoittajissa ovat määrittelemättömät:

Tunnettujen toimien jälkeen tuloksena olevalla summalla tulisi saada seuraava yhtälöjärjestelmä:

Ratkaisemalla järjestelmän saamme seuraavat epävarmien kertoimien arvot:

Saamme integrandin lopullisen laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 8 Vaihe 2 Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan laajennuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimet osoittajissa ovat määrittelemättömät:

Tehdään joitain muutoksia jo automatisoituihin toimiin yhtälöjärjestelmän saamiseksi. On keinotekoinen temppu, joka joissain tapauksissa auttaa välttämään tarpeettomia laskelmia. Tuomalla murto-osien summan yhteiseen nimittäjään, saamme ja rinnastamalla tämän lausekkeen osoittajan alkuperäisen murtoluvun osoittajaan, saamme.