¿Cómo se llama un sistema de ecuaciones? Sistemas de ecuaciones

El material de este artículo está destinado a un primer conocimiento de los sistemas de ecuaciones. Aquí presentaremos la definición de un sistema de ecuaciones y sus soluciones, y también consideraremos los tipos más comunes de sistemas de ecuaciones. Como es habitual, daremos ejemplos explicativos.

Navegación de páginas.

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Nos acercaremos a la definición del sistema de ecuaciones gradualmente. En primer lugar, digamos simplemente que conviene darlo, indicando dos puntos: en primer lugar, el tipo de grabación y, en segundo lugar, el significado que se le atribuye a esta grabación. Veámoslos uno por uno y luego generalizamos el razonamiento en la definición de sistemas de ecuaciones.

Que haya varios de ellos frente a nosotros. Por ejemplo, tomemos dos ecuaciones 2 x+y=−3 y x=5. Escribámoslos uno debajo del otro y combinémoslos a la izquierda con una llave:

Los registros de este tipo, que son varias ecuaciones dispuestas en una columna y unidas por la izquierda por una llave, son registros de sistemas de ecuaciones.

¿Qué significan esas entradas? Definen el conjunto de todas las soluciones de las ecuaciones del sistema que son solución de cada ecuación.

No estaría de más describirlo con otras palabras. Digamos que algunas soluciones de la primera ecuación son soluciones de todas las demás ecuaciones del sistema. Entonces el registro del sistema solo se refiere a ellos.

Ahora estamos listos para aceptar adecuadamente la definición de un sistema de ecuaciones.

Definición.

Sistemas de ecuaciones Llame a registros que son ecuaciones ubicadas una debajo de la otra, unidas a la izquierda por una llave, que denotan el conjunto de todas las soluciones de ecuaciones que también son soluciones de cada ecuación del sistema.

En el libro de texto se da una definición similar, sin embargo, no se da para el caso general, sino para dos ecuaciones racionales con dos variables.

Tipos principales

Está claro que hay un número infinito de ecuaciones diferentes. Naturalmente, también existe una infinidad de sistemas de ecuaciones compilados con ellos. Por lo tanto, para la conveniencia de estudiar y trabajar con sistemas de ecuaciones, tiene sentido dividirlos en grupos según características similares y luego pasar a considerar sistemas de ecuaciones de tipos individuales.

La primera división se sugiere por el número de ecuaciones incluidas en el sistema. Si hay dos ecuaciones, entonces podemos decir que tenemos un sistema de dos ecuaciones, si hay tres, entonces un sistema de tres ecuaciones, etc. Está claro que no tiene sentido hablar de un sistema de una ecuación, ya que en este caso, en esencia, se trata de la ecuación en sí, y no del sistema.

La siguiente división se basa en la cantidad de variables involucradas al escribir las ecuaciones del sistema. Si hay una variable, entonces estamos ante un sistema de ecuaciones con una variable (también dicen con una incógnita), si hay dos, entonces ante un sistema de ecuaciones con dos variables (con dos incógnitas), etc. Por ejemplo, es un sistema de ecuaciones con dos variables x e y.

Esto se refiere al número de todas las diferentes variables involucradas en la grabación. No es necesario que estén todos incluidos en el registro de cada ecuación a la vez; su presencia en al menos una ecuación es suficiente. P.ej, es un sistema de ecuaciones con tres variables x, y y z. En la primera ecuación, la variable x está presente explícitamente, y y y z están implícitas (podemos suponer que estas variables tienen cero), y en la segunda ecuación están x y z, pero la variable y no se presenta explícitamente. En otras palabras, la primera ecuación puede verse como , y el segundo – como x+0·y−3·z=0.

El tercer punto en el que difieren los sistemas de ecuaciones es el tipo de ecuaciones mismas.

En la escuela, el estudio de sistemas de ecuaciones comienza con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. Es decir, tales sistemas constituyen dos ecuaciones lineales. Aquí hay un par de ejemplos: Y . Aprenden los conceptos básicos del trabajo con sistemas de ecuaciones.

Al resolver problemas más complejos, también puedes encontrarte con sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Además, en el noveno grado, se agregan ecuaciones no lineales a sistemas de dos ecuaciones con dos variables, en su mayoría ecuaciones completas de segundo grado, con menos frecuencia, de grados superiores. Estos sistemas se denominan sistemas de ecuaciones no lineales; si es necesario, se especifica el número de ecuaciones e incógnitas. Mostremos ejemplos de tales sistemas de ecuaciones no lineales: Y .

Y luego en los sistemas también los hay, por ejemplo, . Se les suele llamar simplemente sistemas de ecuaciones, sin especificar qué ecuaciones. Vale la pena señalar aquí que la mayoría de las veces se hace referencia a un sistema de ecuaciones simplemente como “sistema de ecuaciones” y se agregan aclaraciones solo si es necesario.

En la escuela secundaria, a medida que se estudia el material, penetran en los sistemas ecuaciones irracionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales: , , .

Si profundizamos aún más en el plan de estudios universitario de primer año, el énfasis principal está en el estudio y solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE), es decir, ecuaciones en las que los lados izquierdos contienen polinomios de primer grado, y los lados derechos contienen ciertos números. Pero allí, a diferencia de la escuela, ya no se toman dos ecuaciones lineales con dos variables, sino un número arbitrario de ecuaciones con un número arbitrario de variables, que muchas veces no coincide con el número de ecuaciones.

¿Cuál es la solución de un sistema de ecuaciones?

El término "solución de un sistema de ecuaciones" se refiere directamente a sistemas de ecuaciones. En la escuela se da la definición de resolver un sistema de ecuaciones con dos variables. :

Definición.

Resolver un sistema de ecuaciones con dos variables. Se llama un par de valores de estas variables que convierte cada ecuación del sistema en la correcta, en otras palabras, es una solución a cada ecuación del sistema.

Por ejemplo, un par de valores de variables x=5, y=2 (se puede escribir como (5, 2)) es una solución a un sistema de ecuaciones por definición, ya que las ecuaciones del sistema, cuando x= 5, y=2 se sustituyen en ellos, se convierten en igualdades numéricas correctas 5+2=7 y 5−2=3 respectivamente. Pero el par de valores x=3, y=0 no es solución de este sistema, ya que al sustituir estos valores en las ecuaciones, el primero de ellos se convertirá en la igualdad incorrecta 3+0=7.

Se pueden formular definiciones similares para sistemas con una variable, así como para sistemas con tres, cuatro, etc. variables.

Definición.

Resolver un sistema de ecuaciones con una variable. habrá un valor de la variable que es la raíz de todas las ecuaciones del sistema, es decir, convertir todas las ecuaciones en igualdades numéricas correctas.

Pongamos un ejemplo. Considere un sistema de ecuaciones con una variable t de la forma . El número −2 es su solución, ya que tanto (−2) 2 =4 como 5·(−2+2)=0 son igualdades numéricas verdaderas. Y t=1 no es una solución para el sistema, ya que sustituir este valor dará dos igualdades incorrectas 1 2 =4 y 5·(1+2)=0.

Definición.

Resolver un sistema con tres, cuatro, etc. variables llamado tres, cuatro, etc. valores de las variables, respectivamente, convirtiendo todas las ecuaciones del sistema en verdaderas igualdades.

Entonces, por definición, un triple de valores de las variables x=1, y=2, z=0 es una solución del sistema. , ya que 2·1=2, 5·2=10 y 1+2+0=3 son verdaderas igualdades numéricas. Y (1, 0, 5) no es solución de este sistema, ya que al sustituir estos valores de variables en las ecuaciones del sistema, el segundo de ellos se convierte en la igualdad incorrecta 5·0=10, y el tercero también 1+0+5=3.

Tenga en cuenta que los sistemas de ecuaciones pueden no tener soluciones, pueden tener un número finito de soluciones, por ejemplo, una, dos,..., o pueden tener infinitas soluciones. Verás esto a medida que profundices en el tema.

Teniendo en cuenta las definiciones de un sistema de ecuaciones y sus soluciones, podemos concluir que la solución de un sistema de ecuaciones es la intersección de los conjuntos de soluciones de todas sus ecuaciones.

Para concluir, aquí hay algunas definiciones relacionadas:

Definición.

no conjunto, si no tiene soluciones, en caso contrario el sistema se llama articulación.

Definición.

El sistema de ecuaciones se llama incierto, si tiene infinitas soluciones, y cierto, si tiene un número finito de soluciones o no las tiene en absoluto.

Estos términos se introducen, por ejemplo, en un libro de texto, pero rara vez se utilizan en la escuela; se escuchan con mayor frecuencia en las instituciones de educación superior.

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En esta lección veremos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En un curso de matemáticas superiores, los sistemas de ecuaciones lineales deben resolverse tanto en forma de tareas separadas, por ejemplo, "Resolver el sistema usando las fórmulas de Cramer", como durante la resolución de otros problemas. Los sistemas de ecuaciones lineales deben abordarse en casi todas las ramas de las matemáticas superiores.

Primero, un poco de teoría. ¿Qué significa en este caso la palabra matemática “lineal”? Esto significa que las ecuaciones del sistema Todo variables incluidas en primer grado: sin cosas sofisticadas como etc., que sólo entusiasman a los participantes en las Olimpíadas de Matemáticas.

En matemáticas superiores, no sólo se utilizan letras familiares desde la infancia para designar variables.
Una opción bastante popular son las variables con índices: .
O las letras iniciales del alfabeto latino, pequeñas y grandes:
No es tan raro encontrar letras griegas: – conocidas por muchos como “alfa, beta, gamma”. Y también un conjunto con índices, digamos, con la letra “mu”:

El uso de uno u otro conjunto de letras depende del apartado de la matemática superior en el que nos encontremos ante un sistema de ecuaciones lineales. Entonces, por ejemplo, en sistemas de ecuaciones lineales que se encuentran al resolver integrales, ecuaciones diferenciales Es tradicional utilizar la notación.

Pero no importa cómo se designen las variables, los principios, métodos y métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales no cambian. Por lo tanto, si te encuentras con algo aterrador como , no te apresures a cerrar el libro de problemas con miedo; después de todo, puedes dibujar el sol, un pájaro y una cara (la maestra). Y, por curioso que parezca, un sistema de ecuaciones lineales con estas notaciones también se puede resolver.

Tengo la sensación de que el artículo resultará bastante largo, por lo que un pequeño índice. Entonces, el “interrogatorio” secuencial será así:

– Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución (“método escolar”);
– Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema.;
– Solución del sistema mediante fórmulas de Cramer.;
– Resolver el sistema usando una matriz inversa.;
– Resolver el sistema mediante el método gaussiano..

Todo el mundo está familiarizado con los sistemas de ecuaciones lineales de los cursos escolares de matemáticas. Básicamente, comenzamos con la repetición.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de sustitución.

Este método También se le puede llamar "método escolar" o método de eliminación de incógnitas. En sentido figurado, también se le puede llamar “un método gaussiano inacabado”.

Ejemplo 1

Aquí se nos da un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Tenga en cuenta que los términos libres (números 5 y 7) se encuentran en el lado izquierdo de la ecuación. En general, no importa dónde estén, a la izquierda o a la derecha, lo que pasa es que en los problemas de matemáticas superiores a menudo se ubican de esa manera. Y una grabación de este tipo no debería dar lugar a confusión; si es necesario, el sistema siempre se puede escribir "como de costumbre": . No olvides que al pasar un término de una parte a otra, es necesario cambiar de signo.

¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones lineales? Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar muchas de sus soluciones. La solución de un sistema es un conjunto de valores de todas las variables incluidas en él, lo que convierte CADA ecuación del sistema en una verdadera igualdad. Además, el sistema puede ser no conjunto (no tengo soluciones).No seas tímido, esta es una definición general =) Tendremos solo un valor de “x” y un valor de “y”, que satisfacen cada ecuación c-we.

Existe un método gráfico para resolver el sistema, con el que podrás familiarizarte en clase. Los problemas más simples con una línea.. Ahí hablé de sentido geométrico Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Pero ahora estamos en la era del álgebra y de los números-números, de las acciones-acciones.

Vamos a decidir: de la primera ecuación expresamos:
Sustituimos la expresión resultante en la segunda ecuación:

Abrimos los corchetes, sumamos términos similares y encontramos el valor:

A continuación, recordamos para qué bailamos:
Ya sabemos el valor, solo queda encontrar:

Respuesta:

Después de que CUALQUIER sistema de ecuaciones se haya resuelto de CUALQUIER forma, recomiendo encarecidamente verificar (oralmente, en un borrador o en una calculadora). Afortunadamente, esto se hace fácil y rápidamente.

1) Sustituye la respuesta encontrada en la primera ecuación:

– se obtiene la igualdad correcta.

2) Sustituye la respuesta encontrada en la segunda ecuación:

– se obtiene la igualdad correcta.

O, para decirlo más simplemente, “todo salió bien”.

El método de solución considerado no es el único; a partir de la primera ecuación se pudo expresar , y no .
Puedes hacer lo contrario: expresar algo de la segunda ecuación y sustituirlo en la primera ecuación. Por cierto, tenga en cuenta que el más desventajoso de los cuatro métodos es expresar a partir de la segunda ecuación:

El resultado son fracciones, pero ¿por qué? Hay una solución más racional.

Sin embargo, en algunos casos todavía no puedes prescindir de las fracciones. En este sentido, me gustaría llamar su atención sobre CÓMO escribí la expresión. No así: y en ningún caso así: .

Si en matemáticas superiores se trata de números fraccionarios, intente realizar todos los cálculos en fracciones impropias ordinarias.

¡Exactamente, y no o!

La coma sólo se puede utilizar algunas veces, en particular si es la respuesta final a algún problema y no es necesario realizar más acciones con este número.

Muchos lectores probablemente pensaron “por qué con una explicación tan detallada como para una clase de corrección, todo está claro”. Nada de eso, parece un ejemplo escolar tan sencillo, ¡pero hay tantas conclusiones MUY importantes! Aqui hay otro más:

Debes esforzarte por completar cualquier tarea de la manera más racional.. Aunque sólo sea porque ahorra tiempo y nervios, y también reduce la probabilidad de cometer un error.

Si en un problema de matemáticas superiores te encuentras con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, entonces siempre puedes utilizar el método de sustitución (a menos que se indique que el sistema necesita ser resuelto por otro método). piensa que eres un tonto y reducirás tu nota por usar el “método escolar” "
Además, en algunos casos es recomendable utilizar el método de sustitución con un mayor número de variables.

Ejemplo 2

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Un sistema similar de ecuaciones surge a menudo cuando se utiliza el llamado método de coeficientes indefinidos, cuando encontramos la integral de una función racional fraccionaria. El sistema en cuestión lo tomé de allí.

Al encontrar la integral, el objetivo es rápido encontrar los valores de los coeficientes, y no recurrir a las fórmulas de Cramer, el método matriz inversa etc. Por tanto, en este caso, el método de sustitución es apropiado.

Cuando se da cualquier sistema de ecuaciones, en primer lugar es deseable saber si es posible simplificarlo de alguna manera INMEDIATAMENTE. Analizando las ecuaciones del sistema, notamos que la segunda ecuación del sistema se puede dividir por 2, que es lo que hacemos:

Referencia: el signo matemático significa "de esto se sigue aquello" y se utiliza a menudo en la resolución de problemas.

Ahora analicemos las ecuaciones; necesitamos expresar alguna variable en términos de las demás. ¿Qué ecuación debo elegir? Probablemente ya hayas adivinado que la forma más sencilla de lograr este propósito es tomar la primera ecuación del sistema:

Aquí, no importa qué variable expresar, uno podría expresar con la misma facilidad o .

A continuación, sustituimos la expresión for en la segunda y tercera ecuaciones del sistema:

Abrimos los corchetes y presentamos términos similares:

Divide la tercera ecuación por 2:

De la segunda ecuación expresamos y sustituimos en la tercera ecuación:

Casi todo está listo, de la tercera ecuación encontramos:
De la segunda ecuación:
De la primera ecuación:

Verificar: Sustituir los valores encontrados de las variables en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema:

1)
2)
3)

Se obtienen los lados derechos correspondientes de las ecuaciones, por lo que la solución se encuentra correctamente.

Ejemplo 3

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con 4 incógnitas.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta (respuesta al final de la lección).

Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema

Al resolver sistemas de ecuaciones lineales, debe intentar utilizar no el "método escolar", sino el método de suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema. ¿Por qué? Esto ahorra tiempo y simplifica los cálculos, sin embargo, ahora todo quedará más claro.

Ejemplo 4

Resolver un sistema de ecuaciones lineales:

Tomé el mismo sistema que en el primer ejemplo.
Al analizar el sistema de ecuaciones, notamos que los coeficientes de la variable son idénticos en magnitud y de signo opuesto (–1 y 1). En tal situación, las ecuaciones se pueden sumar término por término:

Las acciones marcadas en rojo se realizan MENTALMENTE.
Como puede ver, como resultado de la suma término por término, perdimos la variable. Esto, de hecho, es lo que la esencia del método es deshacerse de una de las variables.

resolver el sistema con dos incógnitas: esto significa encontrar todos los pares de valores de variables que satisfagan cada una de las ecuaciones dadas. Cada uno de estos pares se llama solución del sistema.

Ejemplo:
El par de valores $x=3$;$y=-1$ es una solución al primer sistema, porque al sustituir estos tres y menos unos en el sistema en lugar de $x$ y \ (y\), ambas ecuaciones se convertirán en las igualdades correctas $\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( casos)$

Pero $x=1$; $y=-2$ - no es una solución para el primer sistema, porque después de la sustitución la segunda ecuación “no converge” $\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(casos)$

Tenga en cuenta que estos pares a menudo se escriben más cortos: en lugar de "$x=3$; $y=-1$" se escriben así: $(3;-1)$.

¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales?

Hay tres formas principales de resolver sistemas de ecuaciones lineales:

Método de sustitución.

$\begin(casos)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(casos)$$\Leftrightarrow$ $\begin(casos)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

Sustituye la expresión resultante en lugar de esta variable en otra ecuación del sistema.

$\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)$$\Leftrightarrow$

$\begin(casos)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(casos)$

En la segunda ecuación, cada término es par, por lo que simplificamos la ecuación dividiéndola por $2$.

$\begin(casos)13x+9y=17\\6x-y=13\end(casos)$

Este sistema se puede solucionar de cualquiera de las siguientes formas, pero me parece que aquí el método de sustitución es el más conveniente. Expresemos y a partir de la segunda ecuación.

$\begin(casos)13x+9y=17\\y=6x-13\end(casos)$

Sustituyamos $6x-13$ en lugar de $y$ en la primera ecuación.

$\begin(casos)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(casos)$

La primera ecuación se convirtió en una normal. Resolvámoslo.

Primero, abramos los corchetes.

$\begin(casos)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(casos)$

Movámonos $117$ hacia la derecha y presentemos términos similares.

$\begin(casos)67x=134\\y=6x-13\end(casos)$

Dividamos ambos lados de la primera ecuación por $67$.

$\begin(casos)x=2\\y=6x-13\end(casos)$

¡Hurra, encontramos $x$! Sustituyamos su valor en la segunda ecuación y encontremos $y$.

$\begin(casos)x=2\\y=12-13\end(casos)$$\Leftrightarrow$$\begin(casos)x=2\\y=-1\end(casos )$

Anotemos la respuesta.

Con este vídeo comienzo una serie de lecciones dedicadas a sistemas de ecuaciones. Hoy hablaremos de resolver sistemas de ecuaciones lineales. método de suma- este es uno de los más maneras simples, pero al mismo tiempo uno de los más efectivos.

El método de suma consta de tres sencillos pasos:

Mire el sistema y elija una variable que tenga los mismos (u opuestos) coeficientes en cada ecuación;
Realizar restas algebraicas (para números opuestos, suma) de ecuaciones entre sí y luego traer términos similares;
Resuelve la nueva ecuación obtenida después del segundo paso.

Si todo se hace correctamente, en la salida obtendremos una única ecuación. con una variable— No será difícil solucionarlo. Entonces todo lo que queda es sustituir la raíz encontrada en el sistema original y obtener la respuesta final.

Sin embargo, en la práctica no todo es tan sencillo. Hay varias razones para esto:

Resolver ecuaciones usando el método de la suma implica que todas las líneas deben contener variables con coeficientes iguales/opuestos. ¿Qué hacer si no se cumple este requisito?
No siempre, después de sumar/restar ecuaciones de la forma indicada, obtenemos una construcción hermosa que pueda resolverse fácilmente. ¿Es posible simplificar de alguna manera los cálculos y acelerarlos?

Para obtener la respuesta a estas preguntas y, al mismo tiempo, comprender algunas sutilezas adicionales en las que muchos estudiantes fallan, mire mi lección en video:

Con esta lección comenzamos una serie de conferencias dedicadas a sistemas de ecuaciones. Y partiremos de los más simples, es decir, aquellos que contienen dos ecuaciones y dos variables. Cada uno de ellos será lineal.

Sistemas es material de séptimo grado, pero esta lección también será útil para estudiantes de secundaria que quieran repasar sus conocimientos sobre este tema.

En general, existen dos métodos para resolver este tipo de sistemas:

Método de suma;
Un método para expresar una variable en términos de otra.

Hoy nos ocuparemos del primer método: utilizaremos el método de resta y suma. Pero para hacer esto, debes comprender el siguiente hecho: una vez que tengas dos o más ecuaciones, puedes tomar dos de ellas y sumarlas entre sí. Se añaden miembro por miembro, es decir. Se suman “X” a las “X” y se dan similares, “Y” con “Y” se vuelven a similar, y lo que está a la derecha del signo igual también se suma entre sí, y allí también se dan similares .

El resultado de tales maquinaciones será una nueva ecuación que, si tiene raíces, seguramente estará entre las raíces de la ecuación original. Por lo tanto, nuestra tarea es hacer la resta o suma de tal manera que $x$ o $y$ desaparezcan.

Cómo lograrlo y qué herramienta utilizar para ello; hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas fáciles usando la suma

Entonces, aprendemos a usar el método de la suma usando el ejemplo de dos expresiones simples.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que $y$ tiene un coeficiente de $-4$ en la primera ecuación y $+4$ en la segunda. Son mutuamente opuestos, por lo que es lógico suponer que si los sumamos, en la suma resultante los "juegos" se destruirán mutuamente. Súmalo y obtén:

Resolvamos la construcción más simple:

Genial, encontramos la "x". ¿Qué debemos hacer con él ahora? Tenemos derecho a sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones. Sustituyamos en el primero:

\[-4y=12\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(2;-3 \derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situación aquí es completamente similar, sólo que con las "X". Sumémoslos:

Tenemos la ecuación lineal más simple, resolvámosla:

Ahora encontremos $x$:

Respuesta: $\izquierda(-3;3 \derecha)$.

Puntos importantes

Entonces, acabamos de resolver dos sistemas simples de ecuaciones lineales usando el método de la suma. Puntos clave nuevamente:

Si hay coeficientes opuestos para una de las variables, entonces es necesario sumar todas las variables de la ecuación. En este caso, uno de ellos será destruido.
Sustituimos la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar la segunda.
El registro de respuesta final se puede presentar de diferentes formas. Por ejemplo, así - $x=...,y=...$, o en forma de coordenadas de puntos - $\left(...;... \right)$. Es preferible la segunda opción. Lo principal que hay que recordar es que la primera coordenada es $x$ y la segunda es $y$.
La regla de escribir la respuesta en forma de coordenadas de puntos no siempre es aplicable. Por ejemplo, no se puede utilizar cuando las variables no son $x$ e $y$, sino, por ejemplo, $a$ y $b$.

En los siguientes problemas consideraremos la técnica de la resta cuando los coeficientes no son opuestos.

Resolver problemas fáciles usando el método de resta.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que aquí no hay coeficientes opuestos, pero sí idénticos. Por tanto, restamos la segunda de la primera ecuación:

Ahora sustituimos el valor $x$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Vamos primero:

Respuesta: $\izquierda(2;5\derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente vemos el mismo coeficiente de $5$ para $x$ en la primera y segunda ecuación. Por lo tanto, es lógico suponer que es necesario restar la segunda de la primera ecuación:

Hemos calculado una variable. Ahora encontremos el segundo, por ejemplo, sustituyendo el valor $y$ en la segunda construcción:

Respuesta: $\izquierda(-3;-2 \derecha)$.

Matices de la solución.

Entonces ¿Qué vemos? En esencia, el esquema no difiere de la solución de los sistemas anteriores. La única diferencia es que no sumamos ecuaciones, sino que las restamos. Estamos haciendo resta algebraica.

En otras palabras, tan pronto como veas un sistema que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo primero que debes mirar son los coeficientes. Si son iguales en cualquier parte, se restan las ecuaciones, y si son opuestas, se utiliza el método de la suma. Esto siempre se hace para que una de ellas desaparezca, y en la ecuación final, que queda después de la resta, solo queda una variable.

Por supuesto, eso no es todo. Ahora consideraremos sistemas en los que las ecuaciones son generalmente inconsistentes. Aquellos. No hay en ellos variables iguales ni opuestas. En este caso, para resolver dichos sistemas se utiliza una técnica adicional, a saber, multiplicar cada una de las ecuaciones por un coeficiente especial. Cómo encontrarlo y cómo resolver dichos sistemas en general, hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas multiplicando por un coeficiente.

Ejemplo No. 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vemos que ni para $x$ ni para $y$ los coeficientes no sólo son mutuamente opuestos, sino que tampoco están correlacionados de ninguna manera con la otra ecuación. Estos coeficientes no desaparecerán de ninguna manera, incluso si sumamos o restamos las ecuaciones entre sí. Por tanto, es necesario aplicar la multiplicación. Intentemos deshacernos de la variable $y$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente $y$ de la segunda ecuación, y la segunda ecuación por el coeficiente $y$ de la primera ecuación, sin tocar el signo. Multiplicamos y obtenemos un nuevo sistema:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Veámoslo: en $y$ los coeficientes son opuestos. En tal situación, es necesario utilizar el método de la suma. Agreguemos:

Ahora necesitamos encontrar $y$. Para hacer esto, sustituya $x$ en la primera expresión:

\[-9y=18\izquierda| :\izquierda(-9 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(4;-2 \derecha)$.

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente, los coeficientes de ninguna de las variables son consistentes. Multipliquemos por los coeficientes de $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nuestro nuevo sistema es equivalente al anterior, pero los coeficientes de $y$ son mutuamente opuestos, y por lo tanto es fácil aplicar el método de la suma aquí:

Ahora encontremos $y$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación:

Respuesta: $\izquierda(-2;1 \derecha)$.

Matices de la solución.

La regla clave aquí es la siguiente: siempre multiplicamos solo por números positivos; esto le evitará errores estúpidos y ofensivos asociados con el cambio de signos. En general, el esquema de solución es bastante sencillo:

Observamos el sistema y analizamos cada ecuación.
Si vemos que ni $y$ ni $x$ los coeficientes son consistentes, es decir no son iguales ni opuestos, luego hacemos lo siguiente: seleccionamos la variable de la que necesitamos deshacernos y luego miramos los coeficientes de estas ecuaciones. Si multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda, y la segunda, respectivamente, la multiplicamos por el coeficiente de la primera, al final obtendremos un sistema que es completamente equivalente al anterior, y los coeficientes de $ y$ será consistente. Todas nuestras acciones o transformaciones tienen como objetivo únicamente conseguir una variable en una ecuación.
Encontramos una variable.
Sustituimos la variable encontrada en una de las dos ecuaciones del sistema y encontramos la segunda.
Escribimos la respuesta en forma de coordenadas de puntos si tenemos las variables $x$ e $y$.

Pero incluso un algoritmo tan simple tiene sus propias sutilezas, por ejemplo, los coeficientes $x$ o $y$ pueden ser fracciones y otros números "feos". Ahora consideraremos estos casos por separado, porque en ellos se puede actuar de forma algo diferente que según el algoritmo estándar.

Resolver problemas con fracciones

Ejemplo No. 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Primero, observa que la segunda ecuación contiene fracciones. Pero tenga en cuenta que puede dividir $4$ entre $0,8$. Recibiremos $5$. Multipliquemos la segunda ecuación por $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Restamos las ecuaciones entre sí:

Encontramos $n$, ahora contemos $m$:

Respuesta: $n=-4;m=5$

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ bien.\]

Aquí, como en el sistema anterior, hay coeficientes fraccionarios, pero para ninguna de las variables los coeficientes encajan entre sí un número entero de veces. Por tanto, utilizamos el algoritmo estándar. Deshazte de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Usamos el método de resta:

Encontremos $p$ sustituyendo $k$ en la segunda construcción:

Respuesta: $p=-4;k=-2$.

Matices de la solución.

Eso es todo optimización. En la primera ecuación, no multiplicamos por nada en absoluto, sino que multiplicamos la segunda ecuación por $5$. Como resultado, obtuvimos una ecuación consistente e incluso idéntica para la primera variable. En el segundo sistema seguimos un algoritmo estándar.

Pero, ¿cómo encuentras los números por los cuales multiplicar las ecuaciones? Después de todo, si multiplicamos por fracciones, obtenemos nuevas fracciones. Por lo tanto, las fracciones deben multiplicarse por un número que daría un nuevo número entero, y luego las variables deben multiplicarse por coeficientes, siguiendo el algoritmo estándar.

Para concluir, me gustaría llamar su atención sobre el formato de registro de la respuesta. Como ya dije, como aquí no tenemos $x$ e $y$, sino otros valores, usamos una notación no estándar de la forma:

Resolver sistemas complejos de ecuaciones.

Como nota final del vídeo tutorial de hoy, veamos un par de sistemas realmente complejos. Su complejidad consistirá en que tendrán variables tanto a izquierda como a derecha. Por tanto, para solucionarlos tendremos que aplicar preprocesamiento.

Sistema nº 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Cada ecuación conlleva una cierta complejidad. Por lo tanto, tratemos cada expresión como si fuera una construcción lineal regular.

En total obtenemos el sistema final, que es equivalente al original:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Veamos los coeficientes de $y$: $3$ cabe en $6$ dos veces, así que multipliquemos la primera ecuación por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Los coeficientes de $y$ ahora son iguales, por lo que restamos el segundo de la primera ecuación: $$

Ahora encontremos $y$:

Respuesta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema nº 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Transformemos la primera expresión:

Ocupémonos del segundo:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

En total, nuestro sistema inicial tomará la siguiente forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Al observar los coeficientes de $a$, vemos que la primera ecuación debe multiplicarse por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Resta la segunda de la primera construcción:

Ahora encontremos $a$:

Respuesta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Eso es todo. Espero que este video tutorial te ayude a comprender este difícil tema, es decir, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales simples. Habrá muchas más lecciones sobre este tema en el futuro: veremos ejemplos más complejos, donde habrá más variables y las ecuaciones en sí serán no lineales. ¡Hasta luego!

Solución de sistemas lineales. ecuaciones algebraicas(SLAE) es sin duda el tema más importante del curso de álgebra lineal. Una gran cantidad de problemas de todas las ramas de las matemáticas se reducen a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Estos factores explican el motivo de este artículo. El material del artículo está seleccionado y estructurado para que con su ayuda puedas

elija el método óptimo para resolver su sistema de ecuaciones algebraicas lineales,
estudiar la teoría del método elegido,
resuelva su sistema de ecuaciones lineales considerando soluciones detalladas a ejemplos y problemas típicos.

Breve descripción del material del artículo.

Primero, damos todas las definiciones y conceptos necesarios e introducimos notaciones.

A continuación, consideraremos métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y que tienen una solución única. En primer lugar, nos centraremos en el método de Cramer, en segundo lugar, mostraremos el método matricial para resolver dichos sistemas de ecuaciones y, en tercer lugar, analizaremos el método de Gauss (el método de eliminación secuencial de variables desconocidas). Para consolidar la teoría, definitivamente resolveremos varios SLAE de diferentes formas.

Posteriormente pasaremos a la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general, en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o la matriz principal del sistema es singular. Formulemos el teorema de Kronecker-Capelli, que nos permite establecer la compatibilidad de los SLAE. Analicemos la solución de sistemas (si son compatibles) utilizando el concepto de base menor de una matriz. También consideraremos el método de Gauss y describiremos en detalle las soluciones de los ejemplos.

Definitivamente nos detendremos en la estructura de la solución general de sistemas homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales. Demos el concepto de un sistema fundamental de soluciones y mostremos cómo escribir decisión común SLAE utilizando vectores del sistema de solución fundamental. Para una mejor comprensión, veamos algunos ejemplos.

En conclusión, consideraremos sistemas de ecuaciones que pueden reducirse a lineales, así como varios problemas en cuya solución surgen SLAE.

Navegación de páginas.

Definiciones, conceptos, designaciones.

Consideraremos sistemas de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas (p puede ser igual a n) de la forma

Variables desconocidas, - coeficientes (algunos números reales o complejos), - términos libres (también números reales o complejos).

Esta forma de grabación SLAE se llama coordinar.

EN forma matricial escribir este sistema de ecuaciones tiene la forma,
Dónde - la matriz principal del sistema, - una matriz de columnas de variables desconocidas, - una matriz de columnas de términos libres.

Si agregamos una columna de matriz de términos libres a la matriz A como la (n+1)ésima columna, obtenemos la llamada matriz extendida sistemas de ecuaciones lineales. Normalmente, una matriz extendida se denota con la letra T y la columna de términos libres está separada por una línea vertical de las columnas restantes, es decir,

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Se llama conjunto de valores de variables desconocidas que convierte todas las ecuaciones del sistema en identidades. La ecuación matricial para valores dados de las variables desconocidas también se convierte en una identidad.

Si un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución, entonces se llama articulación.

Si un sistema de ecuaciones no tiene soluciones, entonces se llama no conjunto.

Si un SLAE tiene una solución única, entonces se llama cierto; Si hay más de una solución, entonces... incierto.

Si los términos libres de todas las ecuaciones del sistema son iguales a cero , entonces el sistema se llama homogéneo, de lo contrario - heterogéneo.

Resolución de sistemas elementales de ecuaciones algebraicas lineales.

Si el número de ecuaciones de un sistema es igual al número de variables desconocidas y el determinante de su matriz principal no es igual a cero, entonces dichos SLAE se denominarán elemental. Estos sistemas de ecuaciones tienen una solución única y, en el caso de un sistema homogéneo, todas las variables desconocidas son iguales a cero.

Comenzamos a estudiar tales SLAE en escuela secundaria. Al resolverlas, tomamos una ecuación, expresamos una variable desconocida en términos de otras y la sustituimos en las ecuaciones restantes, luego tomamos la siguiente ecuación, expresamos la siguiente variable desconocida y la sustituimos en otras ecuaciones, y así sucesivamente. O utilizaron el método de la suma, es decir, sumaron dos o más ecuaciones para eliminar algunas variables desconocidas. No nos detendremos en estos métodos en detalle, ya que son esencialmente modificaciones del método de Gauss.

Los principales métodos para resolver sistemas elementales de ecuaciones lineales son el método de Cramer, el método matricial y el método de Gauss. Vamos a solucionarlos.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Cramer.

Supongamos que necesitamos resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

en el que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, es decir, .

Sea el determinante de la matriz principal del sistema, y - determinantes de matrices que se obtienen de A por sustitución 1º, 2º,…, enésimo columna respectivamente a la columna de miembros gratuitos:

Con esta notación, las variables desconocidas se calculan utilizando las fórmulas del método de Cramer como . Así se encuentra la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Cramer.

Ejemplo.

método de cramer .

Solución.

La matriz principal del sistema tiene la forma . Calculemos su determinante (si es necesario, consulte el artículo):

Dado que el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, el sistema tiene una solución única que se puede encontrar mediante el método de Cramer.

Compongamos y calculemos los determinantes necesarios. (obtenemos el determinante reemplazando la primera columna de la matriz A con una columna de términos libres, el determinante reemplazando la segunda columna con una columna de términos libres y reemplazando la tercera columna de la matriz A con una columna de términos libres) :

Encontrar variables desconocidas usando fórmulas :

Respuesta:

La principal desventaja del método de Cramer (si se le puede llamar desventaja) es la complejidad de calcular los determinantes cuando el número de ecuaciones en el sistema es más de tres.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial (utilizando una matriz inversa).

Sea un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial, donde la matriz A tiene dimensión n por n y su determinante es distinto de cero.

Dado que , la matriz A es invertible, es decir, existe una matriz inversa. Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la izquierda, obtenemos una fórmula para encontrar una matriz-columna de variables desconocidas. Así obtuvimos una solución a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial.

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. método matricial.

Solución.

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

Porque

entonces el SLAE se puede resolver utilizando el método matricial. Usando la matriz inversa, la solución de este sistema se puede encontrar como .

Construyamos una matriz inversa usando una matriz a partir de sumas algebraicas de elementos de la matriz A (si es necesario, consulte el artículo):

Queda por calcular la matriz de variables desconocidas multiplicando la matriz inversa. a una columna de matriz de miembros gratuitos (si es necesario, consulte el artículo):

Respuesta:

o en otra notación x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

El principal problema a la hora de encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método matricial es la complejidad de encontrar la matriz inversa, especialmente para matrices cuadradas de orden superior a tercero.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.

Supongamos que necesitamos encontrar una solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n variables desconocidas.
cuyo determinante de la matriz principal es distinto de cero.

La esencia del método Gauss. Consiste en la exclusión secuencial de variables desconocidas: primero, se excluye x 1 de todas las ecuaciones del sistema, a partir de la segunda, luego se excluye x 2 de todas las ecuaciones, a partir de la tercera, y así sucesivamente, hasta que solo se excluya la variable desconocida x n permanece en la última ecuación. Este proceso de transformar ecuaciones del sistema para eliminar secuencialmente variables desconocidas se llama método gaussiano directo. Después de completar el avance del método gaussiano, se encuentra x n a partir de la última ecuación, usando este valor de la penúltima ecuación, se calcula x n-1, y así sucesivamente, se encuentra x 1 a partir de la primera ecuación. El proceso de calcular variables desconocidas al pasar de la última ecuación del sistema a la primera se llama inverso del método gaussiano.

Describamos brevemente el algoritmo para eliminar variables desconocidas.

Supondremos que , ya que siempre podemos lograrlo reordenando las ecuaciones del sistema. Eliminemos la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda. Para ello, a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera, multiplicada por , a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la primera, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

dónde y .

Habríamos llegado al mismo resultado si hubiéramos expresado x 1 en términos de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y hubiéramos sustituido la expresión resultante en todas las demás ecuaciones. Por tanto, la variable x 1 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.

A continuación se procede de forma similar, pero sólo con parte del sistema resultante, que está marcado en la figura.

Para ello, a la tercera ecuación del sistema le sumamos la segunda, multiplicada por , a la cuarta ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

dónde y . Por tanto, la variable x 2 queda excluida de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera.

A continuación procedemos a eliminar la incógnita x 3, mientras actuamos de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura.

Entonces continuamos la progresión directa del método gaussiano hasta que el sistema toma la forma

A partir de este momento comenzamos lo contrario del método gaussiano: calculamos x n de la última ecuación como , usando el valor obtenido de x n encontramos x n-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x 1 de la primera ecuación. .

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

Solución.

Excluyamos la variable desconocida x 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para ello, a ambos lados de la segunda y tercera ecuaciones sumamos las partes correspondientes de la primera ecuación, multiplicadas por y por, respectivamente:

Ahora eliminamos x 2 de la tercera ecuación sumando a su izquierda y lado derecho los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, multiplicados por:

Esto completa el movimiento hacia adelante del método de Gauss; comenzamos el movimiento hacia atrás.

De la última ecuación del sistema de ecuaciones resultante encontramos x 3:

De la segunda ecuación obtenemos .

De la primera ecuación encontramos la variable desconocida restante y así completamos el método inverso de Gauss.

Respuesta:

X1 = 4, X2 = 0, X3 = -1.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

EN caso general el número de ecuaciones del sistema p no coincide con el número de variables desconocidas n:

Estos SLAE pueden no tener soluciones, tener una única solución o tener infinitas soluciones. Esta afirmación también se aplica a los sistemas de ecuaciones cuya matriz principal es cuadrada y singular.

Teorema de Kronecker-Capelli.

Antes de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones lineales, es necesario establecer su compatibilidad. La respuesta a la pregunta de cuándo SLAE es compatible y cuándo es inconsistente viene dada por Teorema de Kronecker-Capelli:
Para que un sistema de p ecuaciones con n incógnitas (p puede ser igual a n) sea consistente, es necesario y suficiente que el rango de la matriz principal del sistema sea igual al rango de la matriz extendida, es decir , Rango(A)=Rango(T).

Consideremos, como ejemplo, la aplicación del teorema de Kronecker-Capelli para determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Descubra si el sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones.

Solución.

. Utilicemos el método de bordear a menores. Menor de segundo orden diferente de cero. Veamos los menores de tercer orden que lo bordean:

Dado que todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, el rango de la matriz principal es igual a dos.

A su vez, el rango de la matriz extendida es igual a tres, ya que el menor es de tercer orden

diferente de cero.

De este modo, Rang(A), por tanto, utilizando el teorema de Kronecker-Capelli, podemos concluir que el sistema original de ecuaciones lineales es inconsistente.

Respuesta:

El sistema no tiene soluciones.

Entonces, hemos aprendido a establecer la inconsistencia de un sistema usando el teorema de Kronecker-Capelli.

Pero ¿cómo encontrar solución a un SLAE si se establece su compatibilidad?

Para hacer esto, necesitamos el concepto de base menor de una matriz y un teorema sobre el rango de una matriz.

El menor de mayor orden de la matriz A, distinto de cero, se llama básico.

De la definición de base menor se deduce que su orden es igual al rango de la matriz. Para una matriz A distinta de cero puede haber varias bases menores; siempre hay una base menor.

Por ejemplo, considere la matriz .

Todos los menores de tercer orden de esta matriz son iguales a cero, ya que los elementos de la tercera fila de esta matriz son la suma de los elementos correspondientes de la primera y segunda fila.

Los siguientes menores de segundo orden son básicos, ya que son distintos de cero

Menores no son básicos, ya que son iguales a cero.

Teorema de rango matricial.

Si el rango de una matriz de orden p por n es igual a r, entonces todos los elementos de fila (y columna) de la matriz que no forman la base menor elegida se expresan linealmente en términos de los elementos de fila (y columna) correspondientes que forman la base menor.

¿Qué nos dice el teorema del rango matricial?

Si, de acuerdo con el teorema de Kronecker-Capelli, hemos establecido la compatibilidad del sistema, entonces elegimos cualquier base menor de la matriz principal del sistema (su orden es igual a r) y excluimos del sistema todas las ecuaciones que lo hacen. no forma la base menor seleccionada. El SLAE obtenido de esta forma será equivalente al original, ya que las ecuaciones descartadas aún son redundantes (según el teorema de rango matricial, son una combinación lineal de las ecuaciones restantes).

Como resultado, después de descartar ecuaciones innecesarias del sistema, son posibles dos casos.

Si el número de ecuaciones r en el sistema resultante es igual al número de variables desconocidas, entonces será definido y la única solución se podrá encontrar mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Ejemplo.

Solución.

Rango de la matriz principal del sistema. es igual a dos, ya que el menor es de segundo orden diferente de cero. Rango de matriz extendido también es igual a dos, ya que el único menor de tercer orden es cero

y el menor de segundo orden considerado anteriormente es diferente de cero. Con base en el teorema de Kronecker-Capelli, podemos afirmar la compatibilidad del sistema original de ecuaciones lineales, ya que Rango(A)=Rango(T)=2.

Como base menor tomamos . Está formado por los coeficientes de la primera y segunda ecuaciones:

La tercera ecuación del sistema no participa en la formación de la base menor, por lo que la excluimos del sistema basándonos en el teorema del rango de la matriz:

Así obtuvimos un sistema elemental de ecuaciones algebraicas lineales. Resolvámoslo usando el método de Cramer:

Respuesta:

x1 = 1, x2 = 2.

Si el número de ecuaciones r en el SLAE resultante es menor que el número de variables desconocidas n, entonces en los lados izquierdos de las ecuaciones dejamos los términos que forman la base menor y transferimos los términos restantes a los lados derechos de la ecuaciones del sistema con signo opuesto.

Las variables desconocidas (r de ellas) que quedan en el lado izquierdo de las ecuaciones se llaman principal.

Las variables desconocidas (hay n - r piezas) que están en el lado derecho se llaman gratis.

Ahora creemos que las variables desconocidas libres pueden tomar valores arbitrarios, mientras que las r principales variables desconocidas se expresarán mediante variables desconocidas libres de una manera única. Su expresión se puede encontrar resolviendo el SLAE resultante utilizando el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo.

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

Encontremos el rango de la matriz principal del sistema. por el método de frontera con menores. Tomemos un 1 1 = 1 como menor distinto de cero de primer orden. Comencemos a buscar un menor distinto de cero de segundo orden que bordee este menor:

Así es como encontramos un menor distinto de cero de segundo orden. Comencemos a buscar un menor de tercer orden distinto de cero:

Por tanto, el rango de la matriz principal es tres. El rango de la matriz extendida también es igual a tres, es decir, el sistema es consistente.

Tomamos como base el menor de tercer orden distinto de cero encontrado.

Para mayor claridad, mostramos los elementos que forman la base menor:

Dejamos los términos involucrados en la base menor en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema y transferimos el resto con signos opuestos a los lados derechos:

Demos a las variables desconocidas libres x 2 y x 5 valores arbitrarios, es decir, aceptamos , donde están los números arbitrarios. En este caso, la SLAE tomará la forma

Resolvamos el sistema elemental resultante de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método de Cramer:

Por eso, .

En tu respuesta, no olvides indicar variables desconocidas libres.

Respuesta:

¿Dónde están los números arbitrarios?

Resumir.

Para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales generales, primero determinamos su compatibilidad utilizando el teorema de Kronecker-Capelli. Si el rango de la matriz principal no es igual al rango de la matriz extendida, concluimos que el sistema es incompatible.

Si el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida, entonces seleccionamos una base menor y descartamos las ecuaciones del sistema que no participan en la formación de la base menor seleccionada.

Si el orden de la base menor es igual al número de variables desconocidas, entonces el SLAE tiene una solución única, que se puede encontrar mediante cualquier método que conozcamos.

Si el orden de la base menor es menor que el número de variables desconocidas, entonces en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema dejamos los términos con las principales variables desconocidas, transferimos los términos restantes a los lados derechos y damos valores arbitrarios a las variables desconocidas libres. Del sistema de ecuaciones lineales resultante encontramos las principales variables desconocidas utilizando el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

El método de Gauss se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de cualquier tipo sin probar primero su coherencia. El proceso de eliminación secuencial de variables desconocidas permite sacar una conclusión tanto sobre la compatibilidad como sobre la incompatibilidad del SLAE, y si existe una solución, permite encontrarla.

Desde un punto de vista computacional, es preferible el método gaussiano.

Míralo Descripción detallada y analizó ejemplos en el artículo del método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

Escribir una solución general a sistemas algebraicos lineales homogéneos y no homogéneos utilizando vectores del sistema fundamental de soluciones.

En esta sección hablaremos de sistemas simultáneos homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales que tienen un número infinito de soluciones.

Tratemos primero con sistemas homogéneos.

Sistema fundamental de soluciones. Un sistema homogéneo de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas es una colección de (n – r) soluciones linealmente independientes de este sistema, donde r es el orden de la base menor de la matriz principal del sistema.

Si denotamos soluciones linealmente independientes de un SLAE homogéneo como X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) son matrices columnares de dimensión n por 1) , entonces la solución general de este sistema homogéneo se representa como una combinación lineal de vectores del sistema fundamental de soluciones con coeficientes constantes arbitrarios C 1, C 2, ..., C (n-r), es decir, .

¿Qué significa el término solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales (oroslau)?

El significado es simple: la fórmula especifica todas las posibles soluciones del SLAE original, es decir, tomando cualquier conjunto de valores de constantes arbitrarias C 1, C 2, ..., C (n-r), usando la fórmula que obtener una de las soluciones del SLAE homogéneo original.

Por lo tanto, si encontramos un sistema fundamental de soluciones, entonces podemos definir todas las soluciones de este SLAE homogéneo como.

Mostremos el proceso de construcción de un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo.

Seleccionamos la base menor del sistema original de ecuaciones lineales, excluimos todas las demás ecuaciones del sistema y transferimos todos los términos que contienen variables desconocidas libres a los lados derechos de las ecuaciones del sistema con signos opuestos. Démosle a las variables desconocidas libres los valores 1,0,0,...,0 y calculemos las principales incógnitas resolviendo el sistema elemental de ecuaciones lineales resultante de cualquier forma, por ejemplo, usando el método de Cramer. Esto dará como resultado X (1), la primera solución del sistema fundamental. Si a las incógnitas libres les damos los valores 0,1,0,0,…,0 y calculamos las incógnitas principales, obtenemos X (2). Etcétera. Si asignamos los valores 0.0,…,0.1 a las variables desconocidas libres y calculamos las incógnitas principales obtenemos X(n-r). De esta forma se construirá un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo y su solución general podrá escribirse en la forma .

Para sistemas no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales, la solución general se representa en la forma , donde es la solución general del sistema homogéneo correspondiente, y es la solución particular del SLAE no homogéneo original, que obtenemos dando los valores a las incógnitas libres. 0,0,…,0 y calculando los valores de las principales incógnitas.

Veamos ejemplos.

Ejemplo.

Encuentre el sistema fundamental de soluciones y la solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

El rango de la matriz principal de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales es siempre igual al rango de la matriz extendida. Encontremos el rango de la matriz principal utilizando el método de menores limítrofes. Como menor distinto de cero de primer orden, tomamos el elemento a 1 1 = 9 de la matriz principal del sistema. Encontremos el menor limítrofe distinto de cero de segundo orden:

Se ha encontrado un menor de segundo orden, distinto de cero. Repasemos los menores de tercer orden que lo bordean en busca de uno distinto de cero:

Todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, por lo tanto, el rango de la matriz principal y extendida es igual a dos. Echemos . Para mayor claridad, observemos los elementos del sistema que lo forman:

La tercera ecuación de la SLAE original no participa en la formación de la base menor, por tanto, se puede excluir:

Dejamos los términos que contienen las principales incógnitas en los lados derechos de las ecuaciones y transferimos los términos con incógnitas libres a los lados derechos:

Construyamos un sistema fundamental de soluciones al sistema homogéneo original de ecuaciones lineales. El sistema fundamental de soluciones de este SLAE consta de dos soluciones, ya que el SLAE original contiene cuatro variables desconocidas y el orden de su base menor es igual a dos. Para encontrar X (1), le damos a las variables desconocidas libres los valores x 2 = 1, x 4 = 0, luego encontramos las principales incógnitas del sistema de ecuaciones.
.