Ipinakita kung paano makilala ang isang pangkalahatang homogenous na equation ng kaugalian. Ang isang paraan para sa paglutas ng isang pangkalahatang homogenous na equation ng kaugalian ng unang pagkakasunud-sunod ay isinasaalang-alang. Isang halimbawa ang ibinigay detalyadong solusyon ganyang equation.

Nilalaman

Kahulugan

Ang isang pangkalahatang first-order homogenous differential equation ay isang equation ng form:
, kung saan ≠ 0 , α ≠ 1 , f - function.

Paano matukoy kung ang isang differential equation ay isang generalised homogenous

Upang matukoy kung ang isang differential equation ay isang pangkalahatang homogenous, kailangan nating ipakilala ang isang pare-parehong t at gawin ang pagpapalit:
y → t α y , x → t x .
Kung pinamamahalaan nating pumili ng ganoong halaga α kung saan bababa ang pare-parehong t, kung gayon ito ay - pangkalahatan homogenous differential equation. Ang pagbabago sa derivative y′ sa ilalim ng naturang kapalit ay may anyo:
.

Halimbawa

Tukuyin kung ang ibinigay na equation ay pangkalahatan homogenous:
.

Ginagawa namin ang pagbabago y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 taon:
;
.
Hatiin sa t α+ 5 :
;
.
Ang equation ay hindi maglalaman ng t kung
4α - 6 = 0, α = 3/2 .
Dahil para sa α = 3/2 , t ay nabawasan, pagkatapos ito ay isang pangkalahatang homogenous na equation.

Paraan ng solusyon

Isaalang-alang ang pangkalahatang homogeneous differential equation ng unang order:
(1) .
Ipakita natin na maaari itong bawasan sa isang homogenous na equation sa pamamagitan ng pagpapalit:
t = xα .
Talaga,
.
Mula rito
; .
(1) :
;
.

Ito ay isang homogenous na equation. Ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpapalit:
y = z t,
kung saan ang z ay isang function ng t.
Kapag nilulutas ang mga problema, mas madaling ilapat ang pagpapalit:
y = z x α ,
kung saan ang z ay isang function ng x .

Isang halimbawa ng paglutas ng isang pangkalahatang homogeneous differential equation ng unang order

Lutasin ang differential equation
(P.1) .

Suriin natin kung ang ibinigay na equation ay isang pangkalahatan na homogenous. Para dito sa (P.1) paggawa ng pagpapalit:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 taon.
.
Hatiin sa t α :
.
bababa ang t kung ilalagay natin ang α = - 1 . Kaya ito ay isang pangkalahatang homogenous na equation.

Gumagawa kami ng pagpapalit:
y = z x α = z x - 1 ,
kung saan ang z ay isang function ng x .
.
Pinapalitan namin ang orihinal na equation (P.1):
(P.1) ;
;
.
Multiply sa x at buksan ang mga bracket:
;
;
.
Divide variables - i-multiply sa dx at hatiin sa x z 2 . Para sa z ≠ 0 meron kami:
.
Pinagsasama namin gamit ang talahanayan ng mga integral:
;
;
;
.
Potentiate:
.
Pinapalitan namin ang pare-parehong e C → C at alisin ang tanda ng module, dahil ang pagpili ng nais na tanda ay natutukoy sa pamamagitan ng pagpili ng tanda ng pare-parehong C:
.

Bumalik tayo sa variable na y . Palitan ang z = xy :
.
Hatiin sa x:
(P.2) .

Kapag hinati namin sa z 2 , ipinapalagay namin na ang z ≠ 0 . Ngayon isaalang-alang ang solusyon z = xy = 0 , o y = 0 .
Dahil para sa y = 0 , ang kaliwang bahagi ng expression (P.2) ay hindi tinukoy, pagkatapos ay sa nakuha na pangkalahatang integral, idinagdag namin ang solusyon y = 0 .

;
.

Mga sanggunian:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, Lan, 2003.

Sa pamamagitan ng pag-click sa pindutang "I-download ang archive", ida-download mo ang file na kailangan mo nang libre.
Bago i-download ang file na ito, tandaan ang magagandang sanaysay, kontrol, term paper, mga tesis, mga artikulo at iba pang mga dokumento na hindi inaangkin sa iyong computer. Ito ang iyong trabaho, dapat itong lumahok sa pag-unlad ng lipunan at makinabang sa mga tao. Hanapin ang mga gawang ito at ipadala ang mga ito sa knowledge base.
Kami at lahat ng mga mag-aaral, nagtapos na mga mag-aaral, mga batang siyentipiko na gumagamit ng base ng kaalaman sa kanilang pag-aaral at trabaho ay lubos na magpapasalamat sa iyo.

Upang mag-download ng archive na may dokumento, maglagay ng limang digit na numero sa field sa ibaba at i-click ang button na "I-download ang archive"

Mga Katulad na Dokumento

Cauchy na mga problema para sa mga differential equation. Graph ng solusyon ng differential equation ng unang order. Mga equation na may mga separable variable at binabawasan sa homogenous. Homogeneous at inhomogeneous linear equation ng unang order. Bernoulli equation.

lecture, idinagdag 08/18/2012


Mga pangunahing konsepto ng teorya ng mga ordinaryong equation ng kaugalian. Sign ng equation in kabuuang pagkakaiba, pagbuo ng pangkalahatang integral. Ang pinakasimpleng mga kaso ng paghahanap ng integrating factor. Ang kaso ng isang multiplier ay depende lamang sa X at lamang sa Y.

term paper, idinagdag noong 12/24/2014


Mga kakaiba ng mga differential equation bilang mga relasyon sa pagitan ng mga function at mga derivatives ng mga ito. Patunay ng teorama ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng solusyon. Mga halimbawa at algorithm para sa paglutas ng mga equation sa kabuuang pagkakaiba. Pagsasama ng salik sa mga halimbawa.

term paper, idinagdag noong 02/11/2014


Mga Differential Equation Riccati. Pangkalahatang solusyon ng isang linear equation. Paghahanap ng lahat ng posibleng solusyon ng differential equation ni Bernoulli. Solusyon ng mga equation na may mga separable variable. Pangkalahatan at mga espesyal na solusyon ng Clairaut differential equation.

term paper, idinagdag noong 01/26/2015


Isang equation na may mga separable variable. Homogeneous at linear differential equation. Mga geometric na katangian ng integral curves. Kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable. Pagpapasiya ng integral sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng Bernoulli at mga pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho.

abstract, idinagdag 08/24/2015


Mga konsepto at solusyon ng pinakasimpleng differential equation at differential equation ng di-makatwirang pagkakasunud-sunod, kabilang ang mga may pare-parehong analytic coefficient. Mga sistema ng linear equation. Asymptotic na pag-uugali ng mga solusyon ng ilang mga linear system.

thesis, idinagdag noong 06/10/2010


Pangkalahatang integral ng equation, application ng Lagrange method para sa paglutas ng inhomogeneous linear equation na may hindi kilalang function. Solusyon ng isang differential equation sa parametric form. Euler condition, first order equation sa kabuuang differentials.

kontrol sa trabaho, idinagdag 11/02/2011

def 1 kontrol ng uri

tinawag homogenous differential equation ng unang order(ODE).

Th1 Hayaang matugunan ang mga sumusunod na kondisyon para sa function:

1) tuloy-tuloy sa

Pagkatapos ang ODE (1) ay may isang karaniwang integral, na para sa ibinigay ng formula:

kung saan ay ilang antiderivative ng function Sa ay isang arbitrary na pare-pareho.

Puna 1 Kung, para sa ilan, ang kondisyon ay nasiyahan, pagkatapos ay sa proseso ng paglutas ng ODE (1), ang mga solusyon ng form ay maaaring mawala; ang mga naturang kaso ay dapat tratuhin nang mas maingat at ang bawat isa sa kanila ay dapat suriin nang hiwalay.

Kaya mula sa teorama Th1 dapat pangkalahatang algorithm para sa paglutas ng ODE (1):

1) Gumawa ng kapalit:

2) Kaya, ang isang DE na may mga separable variable ay makukuha, na dapat ay isama;

3) Bumalik sa lumang g variable;

4) Suriin ang mga halaga para sa kanilang paglahok sa solusyon orihinal na remote control, kung saan ang kondisyon

5) Isulat ang sagot.

Halimbawa 1 Lutasin ang DE (4).

Solusyon: Ang DE (4) ay isang homogenous na differential equation, dahil mayroon itong anyo (1). Gawin natin ang kapalit (3), dadalhin nito ang equation (4) sa anyo:

Ang equation (5) ay ang pangkalahatang integral ng DE (4).

Tandaan na kapag naghihiwalay ng mga variable at naghahati sa pamamagitan ng, ang mga solusyon ay maaaring mawala, ngunit ito ay hindi isang solusyon sa DE (4), na madaling ma-verify sa pamamagitan ng direktang pagpapalit sa pagkakapantay-pantay (4), dahil ang halagang ito ay hindi kasama sa domain ng kahulugan ng orihinal na DE.

Sagot:

Puna 2 Minsan ang isa ay maaaring magsulat ng mga ODE sa mga tuntunin ng mga pagkakaiba-iba ng mga variable X at y. Inirerekomenda na ipasa mula sa DE notation na ito sa expression sa pamamagitan ng derivative at pagkatapos lamang gawin ang pagpapalit (3).

Ang mga differential equation ay bumabawas sa mga homogenous.

def 2 Tinatawag ang function homogenous function ng degree k sa lugar ng, kung saan ang pagkakapantay-pantay ay matutupad:

Narito ang mga pinakakaraniwang uri ng DE na maaaring bawasan sa anyo (1) pagkatapos ng iba't ibang pagbabago.

1) saan ang function ay homogenous, zero degree, ibig sabihin, totoo ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: Ang DE (6) ay madaling maibaba sa anyo (1) kung ilalagay natin ang , na higit na isinama gamit ang kapalit na (3).

2) (7), kung saan ang mga function ay homogenous ng parehong antas k . Ang DE ng form (7) ay isinama din gamit ang pagbabago (3).

Halimbawa 2 Lutasin ang DE (8).

Solusyon: Ipakita natin na ang DE (8) ay homogenous. Hinahati namin sa kung ano ang posible, dahil hindi ito solusyon sa differential equation (8).

Gawin natin ang kapalit (3), dadalhin nito ang equation (9) sa anyo:

Ang equation (10) ay ang pangkalahatang integral ng DE (8).

Tandaan na kapag pinaghihiwalay ang mga variable at hinahati sa pamamagitan ng , ang mga solusyon na tumutugma sa mga halaga ng at maaaring mawala. Suriin natin ang mga ekspresyong ito. Ipalit natin ang mga ito sa DE (8):

Sagot:

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kapag nilutas ang halimbawang ito, lumilitaw ang isang function na tinatawag na "sign" ng numero X(basahin" signum x”), tinukoy ng expression:

Puna 3 Hindi kinakailangang dalhin ang DE (6) o (7) sa form (1), kung halata na homogenous ang DE, posible na agad na palitan

3) Ang DE ng form (11) ay isinama bilang isang ODE kung , habang ang pagpapalit ay unang ginanap:

(12), nasaan ang solusyon ng system: (13), at pagkatapos ay gamitin ang kapalit na (3) para sa function. Pagkatapos makuha ang pangkalahatang integral, bumalik sa mga variable X at sa.

Kung , kung gayon, sa pag-aakala sa equation (11), makakakuha tayo ng DE na may mga separable variable.

Halimbawa 3 Lutasin ang problemang Cauchy (14).

Solusyon: Ipakita natin na ang DE (14) ay nabawasan sa isang homogenous na DE at isinama ayon sa pamamaraan sa itaas:

Malulutas namin ang isang hindi magkakatulad na sistema ng linear algebraic equation(15) Pamamaraan ni Cramer:

Gumagawa kami ng pagbabago ng mga variable at isinasama ang resultang equation:

(16) – Pangkalahatang integral ng DE (14). Kapag hinahati ang mga variable, maaaring mawala ang mga solusyon kapag hinahati sa isang expression, na maaaring makuha nang tahasan pagkatapos malutas ang isang quadratic equation. Gayunpaman, ang mga ito ay isinasaalang-alang sa pangkalahatang integral (16) sa

Maghanap tayo ng solusyon sa problemang Cauchy: pinapalitan natin ang mga halaga ng at sa pangkalahatang integral (16) at hanapin Sa.

Kaya, ang bahagyang integral ay ibibigay ng formula:

Sagot:

4) Posibleng pangunahan ang ilang DE sa mga homogenous para sa bago, ngunit hindi kilalang function, kung maglalapat tayo ng pagpapalit ng form:

Kasabay nito, ang bilang m ay pinili mula sa kondisyon na ang resultang equation, kung maaari, ay nagiging homogenous sa ilang antas. Gayunpaman, kung hindi ito magagawa, ang itinuturing na DE ay hindi maaaring bawasan sa isang homogenous sa ganitong paraan.

Halimbawa 4 Lutasin ang DU. (labing walo)

Solusyon: Ipakita natin na ang DE (18) ay binabawasan sa isang homogenous na DE gamit ang pagpapalit (17) at pagkatapos ay isinama gamit ang kapalit (3):

Hanapin natin may:

Kaya, ang isang partikular na solusyon ng DE (24) ay may anyo

.
Differential equation.

§ 1. Pangunahing konsepto ng mga ordinaryong differential equation.

Kahulugan 1. Ordinaryong differential equation n-ika-order para sa function y argumento x ay tinatawag na kaugnayan ng anyo

saan F ay isang ibinigay na function ng mga argumento nito. Sa pangalan ng klase ng mathematical equation na ito, binibigyang-diin ng terminong "differential" na kinabibilangan ng mga derivatives ang mga ito.
(mga function na nabuo bilang isang resulta ng pagkita ng kaibhan); ang terminong - "ordinaryo" ay nagsasabi na ang nais na pag-andar ay nakasalalay lamang sa isang tunay na argumento.

Ang isang ordinaryong differential equation ay maaaring hindi tahasang naglalaman ng argumento x, gustong function
at alinman sa mga derivatives nito, ngunit ang pinakamataas na derivative
dapat isama sa equation n- utos. Halimbawa

a)
ay ang first order equation;

b)
ay isang third order equation.

Kapag nagsusulat ng mga ordinaryong differential equation, kadalasang ginagamit ang notasyon ng mga derivatives sa pamamagitan ng differentials:

sa)
ay isang pangalawang order equation;

G)
ay ang first order equation,

nabubuo pagkatapos ng paghahati sa pamamagitan ng dx katumbas na anyo ng equation:
.

Function
ay tinatawag na solusyon sa isang ordinaryong differential equation kung, kapag ipinalit dito, ito ay nagiging isang pagkakakilanlan.

Halimbawa, ang 3rd order equation

May solusyon
.

Upang mahanap sa pamamagitan ng isang paraan o iba pa, halimbawa, pagpili, ang isang function na nakakatugon sa isang equation ay hindi nangangahulugan ng paglutas nito. Upang malutas ang isang ordinaryong differential equation ay nangangahulugan ng paghahanap lahat mga function na bumubuo ng pagkakakilanlan kapag ipinalit sa equation. Para sa equation (1.1), ang pamilya ng naturang mga function ay nabuo sa tulong ng mga arbitrary constants at tinatawag na pangkalahatang solusyon ng ordinaryong differential equation. n ika-order, at ang bilang ng mga constant ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng equation: y(x) : Sa kasong ito, ang solusyon ay tinatawag na pangkalahatang integral ng equation (1.1).

Halimbawa, ang pangkalahatang solusyon ng differential equation
ay ang sumusunod na expression: , at ang pangalawang termino ay maaari ding isulat bilang
, dahil sa isang arbitrary na pare-pareho hinati sa 2 ay maaaring mapalitan ng isang bagong arbitrary na pare-pareho .

Sa pamamagitan ng pagtatakda ng ilang mga tinatanggap na halaga para sa lahat ng mga arbitrary na constant sa pangkalahatang solusyon o sa pangkalahatang integral, nakakakuha tayo ng isang tiyak na function na hindi na naglalaman ng mga arbitrary na constant. Ang function na ito ay tinatawag na isang partikular na solusyon o isang partikular na integral ng equation (1.1). Upang mahanap ang mga halaga ng mga di-makatwirang constants, at samakatuwid ang partikular na solusyon, iba't ibang mga karagdagang kundisyon sa equation (1.1) ay ginagamit. Halimbawa, ang tinatawag na mga paunang kondisyon para sa (1.2) ay maaaring ibigay

Sa mga tamang bahagi ng mga paunang kondisyon (1.2), ang mga numerical na halaga ng function at derivatives ay ibinibigay, at ang kabuuang bilang ng mga paunang kundisyon ay katumbas ng bilang ng mga arbitrary na constant na tinutukoy.

Ang problema sa paghahanap ng partikular na solusyon sa equation (1.1) mula sa mga paunang kondisyon ay tinatawag na problemang Cauchy.

§ 2. Ordinaryong differential equation ng 1st order - mga pangunahing konsepto.

Ordinary differential equation ng 1st order ( n=1) ay may anyo:
o, kung ito ay malulutas nang may kinalaman sa hinango:
. Karaniwang desisyon y= y(x,MULA) o pangkalahatang integral
Ang mga equation ng 1st order ay naglalaman ng isang arbitrary na pare-pareho. Ang tanging paunang kondisyon para sa 1st order equation
nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang halaga ng pare-pareho mula sa pangkalahatang solusyon o mula sa pangkalahatang integral. Kaya, ang isang partikular na solusyon ay matatagpuan o, na kung saan ay din ang Cauchy problema ay malulutas. Ang tanong ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang solusyon sa problemang Cauchy ay isa sa mga pangunahing katanungan sa pangkalahatang teorya ordinaryong differential equation. Para sa isang first-order equation, sa partikular, ang theorem ay wasto, na tinatanggap dito nang walang patunay.

Teorama 2.1. Kung sa equation ang function
at ang partial derivative nito
tuloy-tuloy sa ilang lugar D eroplano XOY, at isang punto ang ibinibigay sa lugar na ito
, pagkatapos ay mayroong at, higit pa rito, isang natatanging solusyon na nakakatugon sa parehong equation at paunang kondisyon
.

Sa geometriko karaniwang desisyon Ang 1st order equation ay isang pamilya ng mga curve sa eroplano XOY, na wala karaniwang mga punto at naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang parameter - ang halaga ng pare-pareho C. Ang mga curve na ito ay tinatawag na integral curves para sa ibinigay na equation. Ang integral curves ng equation ay may halatang geometric na property: sa bawat punto, ang tangent ng slope ng tangent sa curve ay katumbas ng halaga ng kanang bahagi ng equation sa puntong iyon:
. Sa madaling salita, ang equation ay ibinigay sa eroplano XOY larangan ng mga direksyon ng tangents sa integral curves. Komento: Dapat pansinin na para sa equation
ibinibigay ang equation at ang tinatawag na equation sa simetriko na anyo
.

§ 3. First order differential equation na may mga separable variable.

Kahulugan. Ang isang differential equation na may separable variable ay isang equation ng form
(3.1)

o isang equation ng form (3.2)

Upang paghiwalayin ang mga variable sa equation (3.1), i.e. bawasan ang equation na ito sa tinatawag na equation na may mga pinaghiwalay na variable, gawin ang mga sumusunod na aksyon:

;

Ngayon kailangan nating lutasin ang equation g(y)= 0 . Kung ito ay may tunay na solusyon y= a, pagkatapos y= a magiging solusyon din ng equation (3.1).

Ang equation (3.2) ay binabawasan sa isang separated variable equation sa pamamagitan ng paghahati sa produkto
:

, na nagpapahintulot sa amin na makuha ang pangkalahatang integral ng equation (3.2):
. (3.3)

Ang integral curves (3.3) ay pupunan ng mga solusyon
kung may mga ganitong solusyon.

Lutasin ang equation: .

Paghihiwalay ng mga variable:

.

Pagsasama, nakukuha namin

Higit pa mula sa mga equation
at
hanapin x=1, y=-1. Ang mga desisyong ito ay mga pribadong desisyon.

§ 4. Mga homogenous na differential equation ng unang order.

Kahulugan 1. Ang isang equation ng 1st order ay tinatawag na homogenous kung para sa kanang bahagi nito para sa alinman
ang ratio
, na tinatawag na kondisyon ng homogeneity ng isang function ng dalawang variable zero na dimensyon.

Halimbawa 1 Ipakita ang function na iyon
- homogenous na pagsukat ng zero.

Solusyon.

,

Q.E.D.

Teorama. Anumang function
ay homogenous at, sa kabaligtaran, anumang homogenous na function
ang zero na dimensyon ay nabawasan sa anyo
.

Patunay.

Ang unang assertion ng theorem ay halata, dahil
. Patunayan natin ang pangalawang pahayag. Ilagay natin
, pagkatapos ay para sa isang homogenous na function
, na dapat patunayan.

Kahulugan 2. Equation (4.1)

kung saan M at N ay mga homogenous na function ng parehong degree, i.e. magkaroon ng ari-arian para sa lahat , ay tinatawag na homogenous.

Malinaw, ang equation na ito ay maaaring palaging bawasan sa anyo
(4.2), bagaman hindi ito maaaring gawin upang malutas ito.

Ang isang homogenous na equation ay binabawasan sa isang equation na may mga separable variable sa pamamagitan ng pagpapalit sa nais na function. y ayon sa pormula y= zx, saan z(x) ay ang bagong gustong function. Pagkatapos isagawa ang pagpapalit na ito sa equation (4.2), nakukuha natin ang:
o
o
.

Pagsasama, nakukuha natin ang pangkalahatang integral ng equation na may paggalang sa function z(x)
, na pagkatapos ng paulit-ulit na pagpapalit
nagbibigay ng pangkalahatang integral ng orihinal na equation. Bilang karagdagan, kung - mga ugat ng equation
, pagkatapos ay ang mga pag-andar
- mga solusyon ng isang homogenous na ibinigay na equation. Kung
, pagkatapos ay ang equation (4.2) ay kumukuha ng anyo

at nagiging isang equation na may mga separable variable. Ang mga solusyon nito ay semi-direkta:
.

Magkomento. Minsan ipinapayong gamitin ang pagpapalit sa halip na ang pagpapalit sa itaas x= zy.

§ 5. Ang mga differential equation ay bumabawas sa mga homogenous.

Isaalang-alang ang isang equation ng form
. (5.1)

Kung ang
, kung gayon ang equation na ito ay sa pamamagitan ng pagpapalit , kung saan at ay mga bagong variable, at - ilan pare-parehong mga numero tinutukoy mula sa sistema

Binawasan sa isang homogenous na equation

Kung ang
, pagkatapos ay ang equation (5.1) ay nasa anyo

.

Ipagpalagay z= palakol+ sa pamamagitan ng, dumating tayo sa isang equation na hindi naglalaman ng independent variable.

Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Halimbawa 1

Isama ang Equation

at i-highlight ang integral curve na dumadaan sa mga puntos: a) (2;2); b) (1;-1).

Solusyon.

Ilagay natin y= zx. Pagkatapos dy= xdz+ zdx at

Paikliin natin ito ng at magtipon ng mga miyembro sa dx at dz:

Paghiwalayin natin ang mga variable:

.

Pagsasama, nakukuha namin;

o
,
.

Pinapalitan dito z sa , nakukuha natin ang pangkalahatang integral ng ibinigay na equation sa anyo (5.2)
o

.

Itong pamilya ng mga lupon
, na ang mga sentro ay nasa isang tuwid na linya y = x at kung saan sa pinanggalingan ay padaplis sa linya y + x = 0. Diretso itoy = - x sa turn, isang partikular na solusyon ng equation.

Ngayon ang Cauchy task mode:

A) ipinapalagay sa pangkalahatang integral x=2, y=2, hanapin C=2, kaya ang nais na solusyon ay
.

B) wala sa mga bilog (5.2) ang dumadaan sa punto (1;-1). Ngunit kalahating linya y = - x,
dumadaan sa punto at nagbibigay ng nais na solusyon.

Halimbawa 2 Lutasin ang equation: .

Solusyon.

Ang equation ay isang espesyal na kaso ng equation (5.1).

Determinant
sa halimbawang ito
, kaya kailangan nating lutasin ang sumusunod na sistema

Paglutas, nakukuha namin iyon
. Nagsasagawa ng pagpapalit sa ibinigay na equation
, nakakakuha tayo ng homogenous na equation . Pagsasama nito sa isang pagpapalit
, nahanap namin
.

Pagbabalik sa mga lumang variable x at y mga formula
, meron kami .

§ 6. Generalized homogenous equation.

Ang equation M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 ay tinatawag na generalised homogenous kung posible na pumili ng naturang numero k na ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay nagiging isang homogenous na function ng ilang antas m medyo x, y, dx at dy sa kondisyon na x ay itinuturing na halaga ng unang pagsukat, y – k ika pagsukat , dx at dy – zero at (k-1) ika mga sukat. Halimbawa, ito ang magiging equation
. (6.1)

Wasto sa ilalim ng pagpapalagay na ginawa tungkol sa mga sukat

x, y, dx at dy mga miyembro ng kaliwang bahagi
at dy magkakaroon ng ayon sa pagkakabanggit ng mga sukat -2, 2 k at k-isa. Pagtutumbas sa kanila, nakukuha natin ang kundisyon na dapat matugunan ng nais na numero k: -2 = 2k=k-isa. Ang kundisyong ito ay nasiyahan kapag k= -1 (na may ganito k lahat ng termino sa kaliwang bahagi ng equation na isinasaalang-alang ay magkakaroon ng dimensyon -2). Dahil dito, ang equation (6.1) ay generalised homogenous.

Ang pangkalahatang homogenous na equation ay binabawasan sa isang equation na may mga separable variable gamit ang substitution
, saan z ay isang bagong hindi kilalang function. Isama natin ang equation (6.1) sa ipinahiwatig na paraan. kasi k= -1, pagkatapos
, pagkatapos nito makuha natin ang equation .

Ang pagsasama nito, nakita namin
, saan
. Ito ang pangkalahatang solusyon ng equation (6.1).

§ 7. Linear differential equation ng unang order.

Ang linear na equation ng 1st order ay isang equation na linear na may paggalang sa nais na function at derivative nito. Mukhang:

, (7.1)

saan P(x) at Q(x) ay binibigyan ng tuluy-tuloy na pag-andar ng x. Kung ang function
, pagkatapos ang equation (7.1) ay may anyo:
(7.2)

at tinatawag na linear homogenous equation, kung hindi man
ito ay tinatawag na linear inhomogeneous equation.

Ang linear homogenous differential equation (7.2) ay isang equation na may mga separable variable:

(7.3)

Ang expression (7.3) ay ang pangkalahatang solusyon ng equation (7.2). Upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon ng equation (7.1) kung saan ang function P(x) nagsasaad ng parehong function tulad ng sa equation (7.2), inilalapat namin ang pamamaraan na tinatawag na paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho at binubuo sa mga sumusunod: susubukan naming piliin ang function C=C(x) upang ang pangkalahatang solusyon ng linear homogeneous equation (7.2) ay magiging solusyon ng inhomogeneous linear equation (7.1). Pagkatapos para sa derivative ng function (7.3) nakukuha natin:

.

Ang pagpapalit ng natagpuang derivative sa equation (7.1), magkakaroon tayo ng:

o
.

saan
, kung saan ay isang arbitrary na pare-pareho. Bilang resulta, ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous linear equation (7.1) ay magiging (7.4)

Ang unang termino sa formula na ito ay kumakatawan sa pangkalahatang solusyon (7.3) ng linear homogeneous differential equation (7.2), at ang pangalawang termino sa formula (7.4) ay isang partikular na solusyon ng linear inhomogeneous equation (7.1) na nakuha mula sa general (7.4). ) kasama
. Isa-isahin natin ang mahalagang konklusyon na ito sa anyo ng isang teorama.

Teorama. Kung ang isang partikular na solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ay kilala
, pagkatapos lahat ng iba pang solusyon ay may form
, saan
ay ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang linear homogeneous differential equation.

Gayunpaman, dapat tandaan na ang isa pang pamamaraan, kung minsan ay tinatawag na Bernoulli method, ay mas madalas na ginagamit upang malutas ang linear inhomogeneous differential equation ng 1st order (7.1). Maghahanap tayo ng solusyon sa equation (7.1) sa form
. Pagkatapos
. Pinapalitan namin ang nahanap na derivative sa orihinal na equation:
.

Pagsamahin natin, halimbawa, ang pangalawa at pangatlong termino ng huling expression at alisin ang function u(x) para sa mga bracket:
(7.5)

Hinihiling namin na mawala ang panaklong:
.

Lutasin namin ang equation na ito sa pamamagitan ng pagtatakda ng arbitrary na pare-pareho C katumbas ng zero:
. Sa nahanap na function v(x) bumalik sa equation (7.5):
.

Ang paglutas nito, nakukuha natin:
.

Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng equation (7.1) ay may anyo:

§ 8. Ang equation ni Bernoulli.

Kahulugan.

Differential equation ng form
, saan
, ay tinatawag na Bernoulli equation.

Ipagpalagay na
, hinahati natin ang magkabilang panig ng Bernoulli equation sa pamamagitan ng . Bilang resulta, nakukuha namin ang:
(8.1)

Ipinakilala namin ang isang bagong function
. Pagkatapos
. I-multiply namin ang equation (8.1) sa
at ipasa ito sa function z(x) :
, ibig sabihin. para sa function z(x) nakakuha ng linear inhomogeneous equation ng 1st order. Ang equation na ito ay nalulutas ng mga pamamaraan na tinalakay sa nakaraang talata. Ipalit natin sa pangkalahatang solusyon nito sa halip na z(x) pagpapahayag
, nakukuha namin ang pangkalahatang integral ng Bernoulli equation, na madaling malutas nang may kinalaman sa y. Sa
idinagdag ang solusyon y(x)=0 . Ang Bernoulli equation ay maaari ding lutasin nang hindi ginagawa ang paglipat sa isang linear equation sa pamamagitan ng pagpapalit
, at paglalapat ng paraan ng Bernoulli, na tinalakay nang detalyado sa § 7. Isaalang-alang ang aplikasyon ng paraang ito para sa paglutas ng Bernoulli equation gamit ang isang partikular na halimbawa.

Halimbawa. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng equation:
(8.2)

Solusyon.

Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay may anyo:
, y(x)=0.

§ 9. Differential equation sa kabuuang differentials.

Kahulugan. Kung sa equation M(x, y) dx+ N(x, y) dy=0 (9.1) ang kaliwang bahagi ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function U(x, y) , pagkatapos ito ay tinatawag na isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba. Ang equation na ito ay maaaring muling isulat bilang du(x, y)=0 , samakatuwid, ang pangkalahatang integral nito ay u(x, y)= c.

Halimbawa, ang equation xdy+ ydx=0 ay isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba, dahil maaari itong muling isulat sa anyo d(xy)=0. Ang pangkalahatang integral ay magiging xy= c ay isang arbitrary differentiable function. Pinag-iiba namin ang (9.3) hinggil sa iyo
§ 10. Salik ng pagsasama.

Kung ang equation M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 ay hindi isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba at mayroong isang function µ = µ(x, y) , na pagkatapos na i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan nito, makuha natin ang equation

µ(Mdx + Ndy) = 0 sa kabuuang mga pagkakaiba, i.e. µ(Mdx + Ndy)du, pagkatapos ay ang function µ(x, y) ay tinatawag na integrating factor ng equation. Sa kaso kung ang equation ay isa nang equation sa kabuuang differentials, ipinapalagay namin µ = 1.

Kung may nakitang integrating factor µ , kung gayon ang pagsasama ng equation na ito ay bumababa sa pagpaparami ng parehong bahagi nito sa pamamagitan ng µ at paghahanap ng pangkalahatang integral ng resultang equation sa kabuuang differentials.

Kung ang µ ay isang patuloy na naiba-iba na function ng x at y, pagkatapos
.

Ito ay sumusunod na ang integrating factor µ natutugunan ang sumusunod na 1st order PDE:

(10.1).

Kung ito ay kilala nang maaga na µ= µ(ω) , saan ω ay isang ibinigay na function mula sa x at y, pagkatapos ay binabawasan ang equation (10.1) sa isang ordinaryong (at, bukod dito, linear) na equation na may hindi kilalang function µ mula sa malayang baryabol ω :

(10.2),

saan
, ibig sabihin, ang fraction ay isang function lamang ng ω .

Paglutas ng equation (10.2), makikita natin ang integrating factor

, Sa = 1.

Sa partikular, ang equation M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 ay may integrating factor na nakasalalay lamang sa x(ω = x) o mula lamang sa y(ω = y) kung ang mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan, ayon sa pagkakabanggit:

,

,
.

First order differential equation na may mga separable variable.

Kahulugan. Ang isang differential equation na may mga separable variable ay isang equation ng form (3.1) o isang equation ng form (3.2)

Upang paghiwalayin ang mga variable sa equation (3.1), i.e. bawasan ang equation na ito sa tinatawag na equation na may mga pinaghiwalay na variable, gawin ang mga sumusunod na aksyon: ;

Ngayon kailangan nating lutasin ang equation g(y)=0. Kung ito ay may tunay na solusyon y=a, pagkatapos y=a magiging solusyon din ng equation (3.1).

Ang equation (3.2) ay binabawasan sa isang equation na may mga pinaghiwalay na variable sa pamamagitan ng paghahati sa produkto:

, na nagpapahintulot sa amin na makuha ang pangkalahatang integral ng equation (3.2): . (3.3)

Ang integral curves (3.3) ay pupunan ng mga solusyon kung may mga ganitong solusyon.

Mga homogenous na differential equation ng 1st order.

Kahulugan 1. Ang isang equation ng 1st order ay tinatawag na homogenous kung ang kaugnayan , na tinatawag na homogeneity condition para sa isang function ng dalawang variable ng zero na dimensyon.

Halimbawa 1 Ipakita na ang function ay homogenous ng zero na dimensyon.

Solusyon. ,

Q.E.D.

Teorama. Ang anumang function ay homogenous at, sa kabaligtaran, ang anumang homogenous na function ng zero na dimensyon ay binabawasan sa anyo .

Patunay. Ang unang assertion ng theorem ay halata, dahil . Patunayan natin ang pangalawang pahayag. Hayaan , pagkatapos ay para sa isang homogenous na function , na dapat patunayan.

Kahulugan 2. Equation (4.1) kung saan M at N ay mga homogenous na function ng parehong degree, i.e. may ari-arian para sa lahat, ay tinatawag na homogenous. Malinaw, ang equation na ito ay maaaring palaging bawasan sa anyo (4.2) , kahit na hindi ito maaaring gawin upang malutas ito. Ang isang homogenous na equation ay binabawasan sa isang equation na may mga separable variable sa pamamagitan ng pagpapalit sa nais na function. y ayon sa pormula y=zx, saan z(x) ay ang bagong gustong function. Nang maisagawa ang pagpapalit na ito sa equation (4.2), nakukuha natin ang: o o .

Pagsasama, nakukuha natin ang pangkalahatang integral ng equation na may paggalang sa function z(x) , na pagkatapos ng paulit-ulit na pagpapalit ay nagbibigay ng pangkalahatang integral ng orihinal na equation. Bilang karagdagan, kung ang mga ugat ng equation , kung gayon ang mga function ay mga solusyon ng isang homogenous na ibinigay na equation. Kung , kung gayon ang equation (4.2) ay nasa anyo

At ito ay nagiging isang equation na may mga separable variable. Ang mga solusyon nito ay kalahating linya: .

Magkomento. Minsan ipinapayong gamitin ang pagpapalit sa halip na ang pagpapalit sa itaas x=zy.

Pangkalahatang homogenous equation.

Ang equation M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 ay tinatawag na generalised homogenous kung posible na pumili ng naturang numero k na ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay nagiging isang homogenous na function ng ilang antas m medyo x, y, dx at dy sa kondisyon na x ay itinuturing na halaga ng unang pagsukat, y – k- ika pagsukat , dx at dy- zero at (k-1) ika mga sukat. Halimbawa, ito ang magiging equation . (6.1) Sa katunayan, sa ilalim ng pagpapalagay na ginawa tungkol sa mga sukat x, y, dx at dy miyembro ng kaliwang bahagi at dy magkakaroon ng ayon sa pagkakabanggit ng mga sukat -2, 2 k at k-isa. Pagtutumbas sa kanila, nakukuha natin ang kundisyon na dapat matugunan ng nais na numero k: -2 = 2k=k-isa. Ang kundisyong ito ay nasiyahan kapag k= -1 (na may ganito k lahat ng termino sa kaliwang bahagi ng equation na isinasaalang-alang ay magkakaroon ng dimensyon -2). Dahil dito, ang equation (6.1) ay generalised homogenous.