Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation, mga paraan ng solusyon, mga halimbawa. Sistema ng mga equation

Mga sistema ng equation na natanggap malawak na aplikasyon sa sektor ng ekonomiya pagmomolde ng matematika iba't ibang proseso. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga problema ng pamamahala at pagpaplano ng produksyon, mga ruta ng logistik ( gawain sa transportasyon) o paglalagay ng kagamitan.

Ang mga sistema ng equation ay ginagamit hindi lamang sa larangan ng matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika at biology, kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng laki ng populasyon.

sistema linear na equation pangalanan ang dalawa o higit pang mga equation na may ilang mga variable kung saan ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang karaniwang solusyon. Ang ganitong pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang lahat ng mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay o nagpapatunay na ang pagkakasunod-sunod ay hindi umiiral.

Linear Equation

Ang mga equation ng anyong ax+by=c ay tinatawag na linear. Ang mga pagtatalagang x, y ay ang mga hindi alam, ang halaga nito ay dapat matagpuan, b, a ay ang mga coefficient ng mga variable, c ay ang libreng termino ng equation.
Ang paglutas ng equation sa pamamagitan ng paglalagay ng graph nito ay magmumukhang isang tuwid na linya, ang lahat ng mga punto ay ang solusyon ng polynomial.

Mga uri ng mga sistema ng mga linear na equation

Ang pinakasimple ay mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable na X at Y.

F1(x, y) = 0 at F2(x, y) = 0, kung saan F1,2 ay function at (x, y) ay function variable.

Lutasin ang isang sistema ng mga equation - nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga ganoong halaga (x, y) kung saan ang sistema ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay, o upang maitaguyod na walang angkop na mga halaga ng x at y.

Ang isang pares ng mga halaga (x, y), na isinulat bilang mga coordinate ng punto, ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation.

Kung ang mga sistema ay may isang karaniwang solusyon o walang solusyon, ang mga ito ay tinatawag na katumbas.

Ang mga homogenous na sistema ng linear equation ay mga sistema na ang kanang bahagi ay katumbas ng zero. Kung ang tamang bahagi pagkatapos ng "pantay" na tanda ay may halaga o ipinahayag ng isang function, ang naturang sistema ay hindi homogenous.

Ang bilang ng mga variable ay maaaring higit sa dalawa, pagkatapos ay dapat nating pag-usapan ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear equation na may tatlong variable o higit pa.

Nahaharap sa mga sistema, ipinapalagay ng mga mag-aaral na ang bilang ng mga equation ay kinakailangang magkasabay sa bilang ng mga hindi alam, ngunit hindi ito ganoon. Ang bilang ng mga equation sa system ay hindi nakasalalay sa mga variable, maaaring mayroong isang di-makatwirang malaking bilang ng mga ito.

Simple at kumplikadong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Walang pangkalahatang analytical na paraan upang malutas ang mga naturang sistema, ang lahat ng mga pamamaraan ay batay sa mga numerical na solusyon. Detalyadong inilalarawan ng kursong paaralan ng matematika ang mga pamamaraan tulad ng permutation, algebraic addition, substitution, pati na rin ang graphical at matrix method, ang solusyon sa pamamagitan ng Gauss method.

Ang pangunahing gawain sa pagtuturo ng mga pamamaraan ng paglutas ay ang magturo kung paano wastong pag-aralan ang system at hanapin ang pinakamainam na algorithm ng solusyon para sa bawat halimbawa. Ang pangunahing bagay ay hindi kabisaduhin ang isang sistema ng mga patakaran at aksyon para sa bawat pamamaraan, ngunit upang maunawaan ang mga prinsipyo ng paglalapat ng isang partikular na pamamaraan.

Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation ng ika-7 baitang ng pangkalahatang programa sa paaralan ng edukasyon ay medyo simple at ipinaliwanag nang detalyado. Sa anumang aklat-aralin sa matematika, ang bahaging ito ay binibigyan ng sapat na atensyon. Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss at Cramer ay pinag-aralan nang mas detalyado sa mga unang kurso ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Ang mga aksyon ng paraan ng pagpapalit ay naglalayong ipahayag ang halaga ng isang variable hanggang sa pangalawa. Ang expression ay pinapalitan sa natitirang equation, pagkatapos ito ay nabawasan sa isang solong variable na anyo. Ang aksyon ay paulit-ulit depende sa bilang ng mga hindi alam sa system

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation ng ika-7 klase sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang variable na x ay ipinahayag sa pamamagitan ng F(X) = 7 + Y. Ang resultang expression, na pinalitan sa 2nd equation ng system sa halip ng X, ay nakatulong upang makakuha ng isang variable Y sa 2nd equation. . Ang solusyon ng halimbawang ito ay hindi nagiging sanhi ng mga paghihirap at nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang halaga ng Y. Huling hakbang ito ay isang pagsubok ng mga natanggap na halaga.

Hindi laging posible na lutasin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang mga equation ay maaaring kumplikado at ang pagpapahayag ng variable sa mga tuntunin ng pangalawang hindi alam ay magiging napakahirap para sa karagdagang mga kalkulasyon. Kapag mayroong higit sa 3 hindi alam sa system, ang solusyon sa pagpapalit ay hindi rin praktikal.

Solusyon ng isang halimbawa ng isang sistema ng linear inhomogeneous equation:

Solusyon gamit ang algebraic na karagdagan

Kapag naghahanap ng solusyon sa mga system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag, ang termino-by-term na pagdaragdag at pagpaparami ng mga equation sa pamamagitan ng iba't ibang mga numero ay isinasagawa. Ang pangwakas na layunin ng mga pagpapatakbo ng matematika ay isang equation na may isang variable.

Para sa mga aplikasyon ang pamamaraang ito nangangailangan ito ng pagsasanay at pagmamasid. Hindi madaling lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag na may bilang ng mga variable na 3 o higit pa. Ang algebraic na karagdagan ay kapaki-pakinabang kapag ang mga equation ay naglalaman ng mga fraction at decimal na numero.

Algoritmo ng pagkilos ng solusyon:

I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa ilang numero. Bilang resulta ng operasyon ng aritmetika, ang isa sa mga coefficient ng variable ay dapat maging katumbas ng 1.
Idagdag ang nagresultang termino ng expression ayon sa termino at hanapin ang isa sa mga hindi alam.
I-substitute ang resultang value sa 2nd equation ng system para mahanap ang natitirang variable.

Paraan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable

Ang isang bagong variable ay maaaring ipakilala kung ang sistema ay kailangang makahanap ng solusyon para sa hindi hihigit sa dalawang equation, ang bilang ng mga hindi alam ay dapat ding hindi hihigit sa dalawa.

Ang pamamaraan ay ginagamit upang gawing simple ang isa sa mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang bagong equation ay nalutas na may kinalaman sa ipinasok na hindi alam, at ang resultang halaga ay ginagamit upang matukoy ang orihinal na variable.

Makikita mula sa halimbawa na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable t, posible na bawasan ang 1st equation ng system sa isang standard square trinomial. Maaari mong lutasin ang isang polynomial sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant.

Kinakailangang hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang kilalang formula: D = b2 - 4*a*c, kung saan ang D ay ang nais na discriminant, b, a, c ang mga multiplier ng polynomial. Sa ibinigay na halimbawa, a=1, b=16, c=39, kaya D=100. Kung mas malaki sa zero ang discriminant, may dalawang solusyon: t = -b±√D / 2*a, kung mas mababa sa zero ang discriminant, may isang solusyon lang: x= -b / 2*a.

Ang solusyon para sa mga nagresultang sistema ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

Isang visual na paraan para sa paglutas ng mga sistema

Angkop para sa mga system na may 3 equation. Ang pamamaraan ay binubuo sa paglalagay ng mga graph ng bawat equation na kasama sa system sa coordinate axis. Ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga curves at magiging karaniwang solusyon mga sistema.

Ang graphic na pamamaraan ay may isang bilang ng mga nuances. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa isang visual na paraan.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, dalawang puntos ang itinayo para sa bawat linya, ang mga halaga ng variable na x ay pinili nang arbitraryo: 0 at 3. Batay sa mga halaga ng x, ang mga halaga para sa y ay natagpuan: 3 at 0. Ang mga puntos na may mga coordinate (0, 3) at (3, 0) ay minarkahan sa graph at ikinonekta ng isang linya.

Ang mga hakbang ay dapat na ulitin para sa pangalawang equation. Ang punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng system.

Sa sumusunod na halimbawa, kinakailangan na makahanap ng isang graphical na solusyon sa sistema ng mga linear na equation: 0.5x-y+2=0 at 0.5x-y-1=0.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang sistema ay walang solusyon, dahil ang mga graph ay parallel at hindi nagsalubong sa kanilang buong haba.

Ang mga sistema mula sa Mga Halimbawa 2 at 3 ay magkatulad, ngunit kapag binuo, nagiging malinaw na ang kanilang mga solusyon ay magkaiba. Dapat tandaan na hindi laging posible na sabihin kung ang sistema ay may solusyon o wala, palaging kinakailangan na bumuo ng isang graph.

Matrix at mga varieties nito

Ginagamit ang mga matrice upang maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Ang matrix ay isang espesyal na uri ng talahanayan na puno ng mga numero. Ang n*m ay may n - row at m - column.

Ang matrix ay parisukat kapag ang bilang ng mga column at row ay pantay. Ang matrix-vector ay isang single-column matrix na may walang katapusang posibleng bilang ng mga row. Ang isang matrix na may mga yunit kasama ang isa sa mga diagonal at iba pang mga zero na elemento ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Ang isang kabaligtaran na matrix ay tulad ng isang matrix, kapag pinarami kung saan ang orihinal ay nagiging isang yunit, ang gayong matrix ay umiiral lamang para sa orihinal na parisukat.

Mga panuntunan para sa pagbabago ng isang sistema ng mga equation sa isang matrix

Tungkol sa mga sistema ng mga equation, ang mga coefficient at libreng mga miyembro ng mga equation ay nakasulat bilang mga numero ng matrix, isang equation ay isang hilera ng matrix.

Ang isang matrix row ay tinatawag na non-zero kung hindi bababa sa isang elemento ng row ay hindi katumbas ng zero. Samakatuwid, kung sa alinman sa mga equation ang bilang ng mga variable ay naiiba, pagkatapos ay kinakailangan na magpasok ng zero sa lugar ng nawawalang hindi alam.

Ang mga column ng matrix ay dapat na mahigpit na tumutugma sa mga variable. Nangangahulugan ito na ang mga coefficient ng variable x ay maaari lamang isulat sa isang column, halimbawa ang una, ang coefficient ng hindi kilalang y - sa pangalawa lamang.

Kapag nagpaparami ng isang matrix, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay sunud-sunod na pinarami ng isang numero.

Mga opsyon para sa paghahanap ng inverse matrix

Ang formula para sa paghahanap ng inverse matrix ay medyo simple: K -1 = 1 / |K|, kung saan ang K -1 ay ang inverse matrix at |K| - determinant ng matrix. |K| hindi dapat katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon.

Ang determinant ay madaling kalkulahin para sa isang two-by-two matrix, kinakailangan lamang na i-multiply ang mga elemento nang pahilis sa bawat isa. Para sa opsyong "three by three", mayroong formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Maaari mong gamitin ang formula, o maaari mong tandaan na kailangan mong kumuha ng isang elemento mula sa bawat row at bawat column upang ang mga numero ng column at row ng mga elemento ay hindi na maulit sa produkto.

Solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng matrix method

Ang paraan ng matrix ng paghahanap ng solusyon ay ginagawang posible upang mabawasan ang masalimuot na mga entry kapag nilulutas ang mga sistema na may malaking bilang ng mga variable at equation.

Sa halimbawa, ang isang nm ay ang mga coefficient ng mga equation, ang matrix ay isang vector x n ang mga variable, at ang b n ay ang mga libreng termino.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss

Sa mas mataas na matematika, ang Gauss method ay pinag-aaralan kasama ng Cramer method, at ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa mga system ay tinatawag na Gauss-Cramer method of solving. Ang mga pamamaraan na ito ay ginagamit upang mahanap ang mga variable ng mga system na may malaking bilang ng mga linear equation.

Ang pamamaraang Gaussian ay halos kapareho sa mga solusyon sa pagpapalit at algebraic na karagdagan, ngunit mas sistematiko. Sa kurso ng paaralan, ang solusyong Gaussian ay ginagamit para sa mga sistema ng 3 at 4 na equation. Ang layunin ng pamamaraan ay upang dalhin ang sistema sa anyo ng isang baligtad na trapezoid. Sa pamamagitan ng algebraic transformations at substitutions, ang halaga ng isang variable ay matatagpuan sa isa sa mga equation ng system. Ang pangalawang equation ay isang expression na may 2 hindi alam, at 3 at 4 - na may 3 at 4 na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Pagkatapos dalhin ang system sa inilarawang anyo, ang karagdagang solusyon ay ibinababa sa sunud-sunod na pagpapalit ng mga kilalang variable sa mga equation ng system.

AT mga aklat-aralin sa paaralan para sa ika-7 baitang, isang halimbawa ng solusyon sa pamamaraang Gauss ay inilarawan bilang sumusunod:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, sa hakbang (3) dalawang equation ang nakuha 3x 3 -2x 4 =11 at 3x 3 +2x 4 =7. Ang solusyon ng alinman sa mga equation ay magbibigay-daan sa iyo upang malaman ang isa sa mga variable x n.

Ang Theorem 5, na binanggit sa teksto, ay nagsasaad na kung ang isa sa mga equation ng sistema ay papalitan ng isang katumbas, kung gayon ang resultang sistema ay magiging katumbas din ng orihinal.

Ang pamamaraang Gauss ay mahirap maunawaan ng mga mag-aaral mataas na paaralan, ngunit isa sa mga pinakakawili-wiling paraan upang mapaunlad ang katalinuhan ng mga batang nakatala sa programa malalim na pag-aaral sa mga klase sa matematika at pisika.

Para sa kadalian ng pag-record ng mga kalkulasyon, kaugalian na gawin ang mga sumusunod:

Ang mga equation coefficient at libreng termino ay nakasulat sa anyo ng isang matrix, kung saan ang bawat hilera ng matrix ay tumutugma sa isa sa mga equation ng system. naghihiwalay sa kaliwang bahagi ng equation mula sa kanang bahagi. Ang mga numerong Romano ay tumutukoy sa mga bilang ng mga equation sa sistema.

Una, isinulat nila ang matrix kung saan gagana, pagkatapos ay ang lahat ng mga aksyon na isinasagawa sa isa sa mga hilera. Ang resultang matrix ay isinulat pagkatapos ng "arrow" sign at patuloy na isagawa ang mga kinakailangang algebraic operation hanggang sa makamit ang resulta.

Bilang isang resulta, ang isang matrix ay dapat makuha kung saan ang isa sa mga diagonal ay 1, at lahat ng iba pang mga coefficient ay katumbas ng zero, iyon ay, ang matrix ay nabawasan sa isang solong anyo. Hindi natin dapat kalimutang gumawa ng mga kalkulasyon sa mga numero ng magkabilang panig ng equation.

Ang notasyong ito ay hindi gaanong masalimuot at nagbibigay-daan sa iyo na hindi magambala sa pamamagitan ng paglilista ng maraming hindi alam.

Ang libreng aplikasyon ng anumang paraan ng solusyon ay mangangailangan ng pangangalaga at isang tiyak na dami ng karanasan. Hindi lahat ng pamamaraan ay inilalapat. Ang ilang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon ay mas kanais-nais sa isang partikular na lugar ng aktibidad ng tao, habang ang iba ay umiiral para sa layunin ng pag-aaral.

Mga sistema ng linear equation. Lektura 6

Mga sistema ng linear equation.

Pangunahing konsepto.

tingnan ang sistema

tinawag system - mga linear na equation na may mga hindi alam.

Ang mga numero, , ay tinatawag mga coefficient ng system.

Tinatawag ang mga numero libreng mga miyembro ng sistema, – mga variable ng system. Matrix

tinawag ang pangunahing matrix ng system, at ang matrix

– pinalawak na sistema ng matrix. Matrices - mga hanay

At naaayon matrice ng mga libreng miyembro at hindi alam ng system. Pagkatapos, sa matrix form, ang sistema ng mga equation ay maaaring isulat bilang . Solusyon ng system ay tinatawag na mga halaga ng mga variable, kapag pinapalitan kung alin, ang lahat ng mga equation ng system ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Ang anumang solusyon ng system ay maaaring katawanin bilang isang matrix-column. Kung gayon ang pagkakapantay-pantay ng matrix ay totoo.

Ang sistema ng mga equation ay tinatawag magkadugtong kung mayroon itong kahit isang solusyon at hindi magkatugma kung wala itong solusyon.

Upang malutas ang isang sistema ng mga linear equation ay nangangahulugan na malaman kung ito ay katugma at, kung ito ay magkatugma, upang mahanap ang pangkalahatang solusyon nito.

Ang sistema ay tinatawag homogenous kung ang lahat ng mga libreng termino nito ay katumbas ng zero. Ang isang homogenous na sistema ay palaging magkatugma dahil mayroon itong solusyon

Ang Kronecker-Kopelli theorem.

Ang sagot sa tanong ng pagkakaroon ng mga solusyon ng mga linear system at ang kanilang pagiging natatangi ay nagpapahintulot sa amin na makuha ang sumusunod na resulta, na maaaring mabuo bilang mga sumusunod na pahayag tungkol sa isang sistema ng mga linear na equation na may mga hindi alam.

(1)

Teorama 2. Ang sistema ng mga linear equation (1) ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig (.

Teorama 3. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ng magkasanib na sistema ng mga linear na equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon.

Teorama 4. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ng isang magkasanib na sistema ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam, kung gayon ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Mga panuntunan para sa paglutas ng mga sistema.

3. Hanapin ang pagpapahayag ng mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libre at makuha ang pangkalahatang solusyon ng system.

4. Sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga di-makatwirang halaga sa mga libreng variable, lahat ng mga halaga ng pangunahing mga variable ay nakuha.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation.

Inverse matrix na pamamaraan.

at , ibig sabihin, ang system ay may natatanging solusyon. Sinusulat namin ang system sa matrix form

saan , , .

I-multiply ang magkabilang panig ng matrix equation sa kaliwa ng matrix

Dahil , nakakakuha tayo ng , kung saan nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay para sa paghahanap ng mga hindi alam

Halimbawa 27. Gamit ang inverse matrix method, lutasin ang sistema ng mga linear equation

Solusyon. Ipahiwatig sa pamamagitan ng pangunahing matrix ng system

Hayaan , pagkatapos ay hanapin natin ang solusyon sa pamamagitan ng formula .

kalkulahin natin.

Mula noon, ang sistema ay may natatanging solusyon. Hanapin ang lahat ng algebraic na karagdagan

, ,

Sa ganitong paraan

Suriin natin

Ang inverse matrix ay matatagpuan nang tama. Mula dito, gamit ang formula , makikita natin ang matrix ng mga variable .

Ang paghahambing ng mga halaga ng mga matrice, nakuha namin ang sagot: .

Pamamaraan ni Cramer.

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na equation na may mga hindi alam

at , ibig sabihin, ang system ay may natatanging solusyon. Isinulat namin ang solusyon ng system sa matrix form o

Magpakilala

. . . . . . . . . . . . . . ,

Kaya, nakakakuha kami ng mga formula para sa paghahanap ng mga halaga ng mga hindi alam, na tinatawag Mga formula ng Cramer.

Halimbawa 28. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga linear equation gamit ang Cramer's method .

Solusyon. Hanapin ang determinant ng pangunahing matrix ng system

Mula noon, ang sistema ay may natatanging solusyon.

Hanapin ang natitirang mga determinant para sa mga formula ng Cramer

Gamit ang mga formula ng Cramer, nakita namin ang mga halaga ng mga variable

Pamamaraan ng Gauss.

Ang pamamaraan ay binubuo sa sunud-sunod na pagbubukod ng mga variable.

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na equation na may mga hindi alam.

Ang proseso ng solusyon sa Gaussian ay binubuo ng dalawang hakbang:

Sa unang yugto, ang pinalawig na matrix ng system ay nabawasan sa stepwise na anyo sa tulong ng mga elementarya na pagbabago.

kung saan , na tumutugma sa sistema

Pagkatapos nito ang mga variable ay itinuturing na libre at sa bawat equation ay inililipat sa kanang bahagi.

Sa ikalawang yugto, ang variable ay ipinahayag mula sa huling equation, ang resultang halaga ay pinapalitan sa equation. Mula sa equation na ito

ang variable ay ipinahayag. Ang prosesong ito ay nagpapatuloy hanggang sa unang equation. Ang resulta ay isang pagpapahayag ng mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable .

Halimbawa 29. Lutasin ang sumusunod na sistema gamit ang Gaussian method

Solusyon. Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at bawasan ito sa step form

kasi ay mas malaki kaysa sa bilang ng mga hindi alam, kung gayon ang system ay katugma at may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Isulat natin ang sistema para sa step matrix

Ang determinant ng extended matrix ng system na ito, na binubuo ng unang tatlong column, ay hindi katumbas ng zero, kaya itinuturing namin itong basic. Mga variable

Magiging basic at ang variable ay magiging libre. Ilipat natin ito sa lahat ng equation sa kaliwang bahagi

Mula sa huling equation na ipinapahayag namin

Ang pagpapalit ng halagang ito sa penultimate na pangalawang equation, nakukuha natin

saan . Ang pagpapalit ng mga halaga ng mga variable at sa unang equation, nakita namin . Sinusulat namin ang sagot sa sumusunod na form

Ang sistema ng linear equation ay isang unyon ng n linear equation, bawat isa ay naglalaman ng k variable. Ito ay nakasulat tulad nito:

Marami, kapag nahaharap sa mas mataas na algebra sa unang pagkakataon, ay nagkakamali na naniniwala na ang bilang ng mga equation ay dapat na magkatugma sa bilang ng mga variable. Sa algebra ng paaralan ito ang kadalasang nangyayari, ngunit para sa mas mataas na algebra ito ay, sa pangkalahatan, hindi totoo.

Ang solusyon ng isang sistema ng mga equation ay isang sequence ng mga numero (k 1 , k 2 , ..., k n ), na siyang solusyon sa bawat equation ng system, i.e. kapag pinapalitan ang equation na ito sa halip na mga variable x 1 , x 2 , ..., x n ay nagbibigay ng tamang numerical equality.

Alinsunod dito, upang malutas ang isang sistema ng mga equation ay nangangahulugang hanapin ang hanay ng lahat ng mga solusyon nito o patunayan na ang hanay na ito ay walang laman. Dahil ang bilang ng mga equation at ang bilang ng mga hindi alam ay maaaring hindi pareho, tatlong mga kaso ang posible:

Ang sistema ay hindi pare-pareho, i.e. ang hanay ng lahat ng mga solusyon ay walang laman. Isang medyo bihirang kaso na madaling matukoy anuman ang paraan upang malutas ang system.
Ang sistema ay pare-pareho at tinukoy, i.e. may eksaktong isang solusyon. Ang klasikong bersyon, kilala mula noong paaralan.
Ang sistema ay pare-pareho at hindi natukoy, i.e. ay may walang katapusang maraming solusyon. Ito ang pinakamahirap na opsyon. Hindi sapat na sabihin na "ang sistema ay may walang katapusang hanay ng mga solusyon" - kinakailangan upang ilarawan kung paano nakaayos ang hanay na ito.

Ang variable na x i ay tinatawag na pinapayagan kung ito ay kasama lamang sa isang equation ng system, at may coefficient na 1. Sa madaling salita, sa natitirang mga equation, ang coefficient para sa variable na x i ay dapat na katumbas ng zero.

Kung pipili tayo ng isang pinapayagang variable sa bawat equation, makakakuha tayo ng set ng mga pinapayagang variable para sa buong sistema ng mga equation. Ang system mismo, na nakasulat sa form na ito, ay tatawagin ding pinapayagan. Sa pangkalahatan, ang isa at ang parehong paunang sistema ay maaaring bawasan sa iba't ibang mga pinapayagang sistema, ngunit hindi ito nag-aalala sa amin ngayon. Narito ang mga halimbawa ng mga pinapayagang system:

Ang parehong mga sistema ay pinapayagan na may paggalang sa mga variable x 1 , x 3 at x 4 . Gayunpaman, sa parehong tagumpay maaari itong maitalo na ang pangalawang sistema ay pinapayagan na may paggalang sa x 1 , x 3 at x 5 . Ito ay sapat na upang muling isulat ang pinakabagong equation sa anyong x 5 = x 4 .

Ngayon isaalang-alang ang higit pa pangkalahatang kaso. Ipagpalagay na mayroon kaming mga k variable sa kabuuan, kung saan ang r ay pinapayagan. Pagkatapos ay posible ang dalawang kaso:

Ang bilang ng mga pinapayagang variable r ay katumbas ng kabuuang bilang ng mga variable k : r = k . Nakakakuha tayo ng sistema ng k equation kung saan pinapayagan ng r = k ang mga variable. Ang ganitong sistema ay nagtutulungan at tiyak, dahil x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
Ang bilang ng mga pinapayagang variable r ay mas mababa sa kabuuang bilang ng mga variable k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Kaya, sa mga system sa itaas, ang mga variable na x 2 , x 5 , x 6 (para sa unang sistema) at x 2 , x 5 (para sa pangalawa) ay libre. Ang kaso kapag may mga libreng variable ay mas mahusay na nabuo bilang isang teorama:

Mangyaring tandaan: ito ay napaka mahalagang punto! Depende sa kung paano mo isusulat ang panghuling sistema, ang parehong variable ay maaaring parehong pinapayagan at libre. Inirerekomenda ng karamihan sa mga advanced na tutor sa matematika na isulat ang mga variable sa pagkakasunud-sunod ng lexicographic, i.e. pataas na index. Gayunpaman, hindi mo kailangang sundin ang payo na ito.

Teorama. Kung sa isang sistema ng n equation ang mga variable na x 1 , x 2 , ..., x r ay pinapayagan, at x r + 1 , x r + 2 , ..., x k ay libre, kung gayon:

Kung itinakda natin ang mga halaga ng mga libreng variable (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), at pagkatapos ay hanapin ang mga halaga x 1 , x 2 , . .., x r , nakakakuha tayo ng isa sa mga solusyon.

Kung ang mga halaga ng mga libreng variable sa dalawang solusyon ay pareho, kung gayon ang mga halaga ng pinapayagan na mga variable ay pareho din, i.e. pantay ang mga solusyon.

Ano ang kahulugan ng teorama na ito? Upang makuha ang lahat ng mga solusyon ng pinahihintulutang sistema ng mga equation, sapat na upang iisa ang mga libreng variable. Pagkatapos, pagtatalaga sa mga libreng variable iba't ibang kahulugan, matatanggap namin mga solusyon sa turnkey. Iyon lang - sa ganitong paraan maaari mong makuha ang lahat ng mga solusyon ng system. Walang ibang solusyon.

Konklusyon: ang pinapayagang sistema ng mga equation ay palaging magkatugma. Kung ang bilang ng mga equation sa pinapayagang sistema ay katumbas ng bilang ng mga variable, ang sistema ay magiging tiyak; kung mas kaunti, ito ay hindi tiyak.

At lahat ay magiging maayos, ngunit ang tanong ay lumitaw: kung paano makuha ang nalutas mula sa orihinal na sistema ng mga equation? Para dito mayroong

Nilalaman ng aralin

Mga Linear Equation na may Dalawang Variable

Ang mag-aaral ay may 200 rubles para kumain ng tanghalian sa paaralan. Ang isang cake ay nagkakahalaga ng 25 rubles, at ang isang tasa ng kape ay nagkakahalaga ng 10 rubles. Gaano karaming mga cake at tasa ng kape ang maaari mong bilhin para sa 200 rubles?

Tukuyin ang bilang ng mga cake sa pamamagitan ng x, at ang bilang ng mga tasa ng kape na dumaan y. Pagkatapos ang halaga ng mga cake ay ilalarawan ng expression na 25 x, at ang halaga ng mga tasa ng kape sa 10 y .

25x- presyo x mga cake
10y- presyo y tasa ng kape

Ang kabuuang halaga ay dapat na 200 rubles. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang equation na may dalawang variable x at y

25x+ 10y= 200

Ilang ugat mayroon ang equation na ito?

Ang lahat ay nakasalalay sa gana ng mag-aaral. Kung bumili siya ng 6 na cake at 5 tasa ng kape, kung gayon ang mga ugat ng equation ay ang mga numero 6 at 5.

Ang pares ng mga halaga 6 at 5 ay sinasabing mga ugat ng Equation 25 x+ 10y= 200 . Isinulat bilang (6; 5) , na ang unang numero ay ang halaga ng variable x, at ang pangalawa - ang halaga ng variable y .

Ang 6 at 5 ay hindi lamang ang mga ugat na bumabaligtad sa Equation 25 x+ 10y= 200 sa pagkakakilanlan. Kung ninanais, para sa parehong 200 rubles, ang isang mag-aaral ay maaaring bumili ng 4 na cake at 10 tasa ng kape:

Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation 25 x+ 10y Ang = 200 ay ang pares ng mga halaga (4; 10) .

Bukod dito, ang isang mag-aaral ay maaaring hindi bumili ng kape, ngunit bumili ng mga cake para sa lahat ng 200 rubles. Pagkatapos ang mga ugat ng equation 25 x+ 10y= 200 ang magiging mga halaga 8 at 0

O vice versa, huwag bumili ng mga cake, ngunit bumili ng kape para sa lahat ng 200 rubles. Pagkatapos ang mga ugat ng equation 25 x+ 10y= 200 ang magiging mga halaga 0 at 20

Subukan nating ilista ang lahat ng posibleng ugat ng equation 25 x+ 10y= 200 . Sumang-ayon tayo na ang mga halaga x at y nabibilang sa set ng integer. At hayaan ang mga halagang ito na mas malaki sa o katumbas ng zero:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Kaya ito ay magiging maginhawa para sa mag-aaral mismo. Ang mga cake ay mas maginhawang bilhin nang buo kaysa, halimbawa, ilang buong cake at kalahating cake. Ang kape ay mas maginhawa ring inumin sa buong tasa kaysa, halimbawa, ilang buong tasa at kalahating tasa.

Tandaan na para sa kakaiba x imposibleng makamit ang pagkakapantay-pantay sa ilalim ng alinman y. Pagkatapos ang mga halaga x magkakaroon ng mga sumusunod na numero 0, 2, 4, 6, 8. At alam x madaling matukoy y

Kaya, nakuha namin ang mga sumusunod na pares ng mga halaga (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ang mga pares na ito ay mga solusyon o ugat ng Equation 25 x+ 10y= 200. Ginagawa nilang pagkakakilanlan ang equation na ito.

Uri ng equation palakol + ni = c tinawag linear equation na may dalawang variable. Ang isang solusyon o mga ugat ng equation na ito ay isang pares ng mga halaga ( x; y), na ginagawa itong isang pagkakakilanlan.

Tandaan din na kung ang isang linear equation na may dalawang variable ay nakasulat bilang ax + b y = c , tapos sinasabi nila na nakasulat sa kanonikal(normal) na anyo.

Ang ilang mga linear na equation sa dalawang variable ay maaaring bawasan sa canonical form.

Halimbawa, ang equation 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) maaaring maalala palakol + ni = c. Buksan natin ang mga bracket sa parehong bahagi ng equation na ito, nakukuha natin 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Ang mga terminong naglalaman ng mga hindi alam ay pinagsama-sama sa kaliwang bahagi ng equation, at ang mga terminong walang mga hindi alam ay pinagsama-sama sa kanan. Pagkatapos makuha namin 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Nagdadala kami ng magkatulad na termino sa parehong bahagi, nakakakuha kami ng equation 16 x+ 8y= 32. Ang equation na ito ay binawasan sa anyo palakol + ni = c at kanonikal.

Ang equation 25 ay isinasaalang-alang nang mas maaga x+ 10y Ang = 200 ay isa ring two-variable linear equation sa canonical form. Sa equation na ito, ang mga parameter a , b at c ay katumbas ng mga halaga 25, 10 at 200, ayon sa pagkakabanggit.

Actually yung equation palakol + ni = c ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Paglutas ng Equation 25x+ 10y= 200, hinanap namin ang mga ugat nito sa hanay ng mga integer. Bilang isang resulta, nakakuha kami ng ilang mga pares ng mga halaga na naging isang pagkakakilanlan sa equation na ito. Ngunit sa hanay ng mga rational na numero equation 25 x+ 10y= 200 ay magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Upang makakuha ng mga bagong pares ng mga halaga, kailangan mong kumuha ng arbitrary na halaga para sa x, pagkatapos ay ipahayag y. Halimbawa, kumuha tayo ng variable x halaga 7. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang equation na may isang variable 25×7 + 10y= 200 kung saan ipahayag y

Hayaan x= 15 . Tapos yung equation 25x+ 10y= 200 ay nagiging 25 × 15 + 10y= 200. Mula dito makikita natin iyan y = −17,5

Hayaan x= −3 . Tapos yung equation 25x+ 10y= 200 ay nagiging 25 × (−3) + 10y= 200. Mula dito makikita natin iyan y = −27,5

Sistema ng dalawang linear equation na may dalawang variable

Para sa equation palakol + ni = c maaari kang kumuha ng anumang bilang ng mga arbitrary na halaga para sa x at maghanap ng mga halaga para sa y. Kung hiwalay, ang nasabing equation ay magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Ngunit nangyayari rin na ang mga variable x at y hindi konektado sa isa, ngunit sa pamamagitan ng dalawang equation. Sa kasong ito, bumubuo sila ng tinatawag na sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable. Ang ganitong sistema ng mga equation ay maaaring magkaroon ng isang pares ng mga halaga (o sa madaling salita: "isang solusyon").

Maaaring mangyari din na ang sistema ay walang mga solusyon sa lahat. Ang isang sistema ng mga linear equation ay maaaring magkaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon sa mga bihirang at pambihirang kaso.

Dalawang linear equation ang bumubuo ng isang sistema kapag ang mga halaga x at y ay kasama sa bawat isa sa mga equation na ito.

Bumalik tayo sa pinakaunang equation 25 x+ 10y= 200 . Ang isa sa mga pares ng mga halaga para sa equation na ito ay ang pares (6; 5). Ito ang kaso kapag ang 200 rubles ay maaaring bumili ng 6 na cake at 5 tasa ng kape.

Binubuo namin ang problema upang ang pares (6; 5) ang maging tanging solusyon para sa equation 25 x+ 10y= 200 . Upang gawin ito, bumuo kami ng isa pang equation na magkokonekta sa pareho x mga cake at y tasa ng kape.

Ilagay natin ang teksto ng gawain tulad ng sumusunod:

"Ang isang batang lalaki sa paaralan ay bumili ng ilang mga cake at ilang tasa ng kape sa halagang 200 rubles. Ang isang cake ay nagkakahalaga ng 25 rubles, at ang isang tasa ng kape ay nagkakahalaga ng 10 rubles. Ilang cake at tasa ng kape ang binili ng mag-aaral kung malalaman na ang bilang ng mga cake ay higit ng isa kaysa sa bilang ng mga tasa ng kape?

Mayroon na tayong unang equation. Ito ang Equation 25 x+ 10y= 200 . Ngayon magsulat tayo ng isang equation para sa kundisyon "Ang bilang ng mga cake ay isang yunit na higit sa bilang ng mga tasa ng kape" .

Ang bilang ng mga cake ay x, at ang bilang ng mga tasa ng kape ay y. Maaari mong isulat ang pariralang ito gamit ang equation x − y= 1. Ang equation na ito ay mangangahulugan na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga cake at kape ay 1.

x=y+ 1 . Ang equation na ito ay nangangahulugan na ang bilang ng mga cake ay higit pa sa bilang ng mga tasa ng kape. Samakatuwid, upang makakuha ng pagkakapantay-pantay, ang isa ay idinagdag sa bilang ng mga tasa ng kape. Madaling maunawaan ito kung gagamitin namin ang modelo ng timbang na isinasaalang-alang namin kapag pinag-aaralan ang mga pinakasimpleng problema:

Nakakuha ng dalawang equation: 25 x+ 10y= 200 at x=y+ 1. Dahil ang mga halaga x at y, ibig sabihin, ang 6 at 5 ay kasama sa bawat isa sa mga equation na ito, pagkatapos ay magkasama silang bumubuo ng isang sistema. Isulat natin ang sistemang ito. Kung ang mga equation ay bumubuo ng isang sistema, kung gayon ang mga ito ay naka-frame sa pamamagitan ng pag-sign ng system. Ang system sign ay isang curly brace:

Magdesisyon tayo ang sistemang ito. Ito ay magbibigay-daan sa amin upang makita kung paano namin naabot ang mga halaga 6 at 5. Mayroong maraming mga pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema. Isaalang-alang ang pinakasikat sa kanila.

Pamamaraan ng pagpapalit

Ang pangalan ng pamamaraang ito ay nagsasalita para sa sarili nito. Ang kakanyahan nito ay upang palitan ang isang equation sa isa pa, na dati nang nagpahayag ng isa sa mga variable.

Sa ating sistema, walang kailangang ipahayag. Sa pangalawang equation x = y+ 1 variable x naipahayag na. Ang variable na ito ay katumbas ng expression y+ 1 . Pagkatapos ay maaari mong palitan ang expression na ito sa unang equation sa halip na ang variable x

Pagkatapos palitan ang expression y+ 1 sa unang equation sa halip x, nakukuha namin ang equation 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ito ay isang linear equation na may isang variable. Ang equation na ito ay medyo madaling lutasin:

Natagpuan namin ang halaga ng variable y. Ngayon ay pinapalitan namin ang halagang ito sa isa sa mga equation at hanapin ang halaga x. Para dito, maginhawang gamitin ang pangalawang equation x = y+ 1 . Ilagay natin ang halaga dito y

Kaya't ang pares (6; 5) ay isang solusyon sa sistema ng mga equation, gaya ng aming nilayon. Sinusuri namin at tinitiyak na ang pares (6; 5) ay nakakatugon sa system:

Halimbawa 2

Palitan ang unang equation x= 2 + y sa pangalawang equation 3 x - 2y= 9 . Sa unang equation, ang variable x ay katumbas ng expression na 2 + y. Pinapalitan namin ang expression na ito sa pangalawang equation sa halip na x

Ngayon hanapin natin ang halaga x. Upang gawin ito, palitan ang halaga y sa unang equation x= 2 + y

Kaya ang solusyon ng system ay ang halaga ng pares (5; 3)

Halimbawa 3. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit:

Dito, hindi tulad ng mga nakaraang halimbawa, ang isa sa mga variable ay hindi tahasang ipinahayag.

Upang palitan ang isang equation sa isa pa, kailangan mo munang .

Ito ay kanais-nais na ipahayag ang variable na may isang koepisyent ng isa. Ang coefficient unit ay may variable x, na nakapaloob sa unang equation x+ 2y= 11 . Ipahayag natin ang variable na ito.

Pagkatapos ng variable na expression x, magiging ganito ang hitsura ng aming system:

Ngayon pinapalitan namin ang unang equation sa pangalawa at hanapin ang halaga y

Kapalit y x

Kaya ang solusyon ng system ay isang pares ng mga halaga (3; 4)

Siyempre, maaari mo ring ipahayag ang isang variable y. Ang mga ugat ay hindi magbabago. Pero kung ipahayag mo y, ang resulta ay hindi isang napakasimpleng equation, ang solusyon kung saan ay aabutin ng mas maraming oras. Magiging ganito ang hitsura:

Nakikita natin na sa halimbawang ito upang ipahayag x mas maginhawa kaysa sa pagpapahayag y .

Halimbawa 4. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit:

Ipahayag sa unang equation x. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Kapalit y sa unang equation at hanapin x. Maaari mong gamitin ang orihinal na equation 7 x+ 9y= 8 , o gamitin ang equation kung saan ipinahayag ang variable x. Gagamitin namin ang equation na ito, dahil ito ay maginhawa:

Kaya ang solusyon ng system ay ang pares ng mga halaga (5; −3)

Paraan ng pagdaragdag

Ang paraan ng pagdaragdag ay ang pagdaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino ng mga equation na kasama sa system. Ang pagdaragdag na ito ay nagreresulta sa isang bagong isang-variable na equation. At medyo madaling lutasin ang equation na ito.

Lutasin natin ang sumusunod na sistema ng mga equation:

Idagdag ang kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation. At ang kanang bahagi ng unang equation na may kanang bahagi ng pangalawang equation. Nakukuha namin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

Narito ang mga katulad na termino:

Bilang resulta, nakuha namin ang pinakasimpleng equation 3 x= 27 na ang ugat ay 9. Pag-alam sa halaga x mahahanap mo ang halaga y. Palitan ang halaga x sa pangalawang equation x − y= 3 . Nakukuha namin ang 9− y= 3 . Mula rito y= 6 .

Kaya ang solusyon ng system ay isang pares ng mga halaga (9; 6)

Halimbawa 2

Idagdag ang kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation. At ang kanang bahagi ng unang equation na may kanang bahagi ng pangalawang equation. Sa resultang pagkakapantay-pantay, ipinapakita namin ang mga katulad na termino:

Bilang resulta, nakuha namin ang pinakasimpleng equation 5 x= 20, ang ugat nito ay 4. Pag-alam sa halaga x mahahanap mo ang halaga y. Palitan ang halaga x sa unang equation 2 x+y= 11 . Kunin natin ang 8 + y= 11 . Mula rito y= 3 .

Kaya ang solusyon ng system ay ang pares ng mga halaga (4;3)

Ang proseso ng pagdaragdag ay hindi inilarawan nang detalyado. Ito ay dapat gawin sa isip. Kapag nagdadagdag, ang parehong mga equation ay dapat na bawasan sa canonical form. Na ibig sabihin ac+by=c .

Mula sa mga isinasaalang-alang na mga halimbawa, makikita na ang pangunahing layunin ng pagdaragdag ng mga equation ay upang alisin ang isa sa mga variable. Ngunit hindi laging posible na agad na malutas ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag. Kadalasan, ang sistema ay paunang dinadala sa isang anyo kung saan posibleng idagdag ang mga equation na kasama sa sistemang ito.

Halimbawa, ang sistema maaaring malutas nang direkta sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag. Kapag idinaragdag ang parehong mga equation, ang mga termino y at −y mawala dahil ang kanilang kabuuan ay zero. Bilang resulta, ang pinakasimpleng equation ay nabuo 11 x= 22 , na ang ugat ay 2. Pagkatapos ay magiging posible upang matukoy y katumbas ng 5.

At ang sistema ng mga equation ang paraan ng pagdaragdag ay hindi malulutas kaagad, dahil hindi ito hahantong sa pagkawala ng isa sa mga variable. Ang pagdaragdag ay magreresulta sa Equation 8 x+ y= 28 , na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Kung ang parehong bahagi ng equation ay pinarami o hinati sa parehong numero na hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay isang equation na katumbas ng ibinigay na isa ay makukuha. Ang panuntunang ito ay wasto din para sa isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable. Ang isa sa mga equation (o parehong equation) ay maaaring i-multiply sa ilang numero. Ang resulta ay isang katumbas na sistema, ang mga ugat nito ay magkakasabay sa nauna.

Bumalik tayo sa pinakaunang sistema, na naglalarawan kung gaano karaming mga cake at tasa ng kape ang binili ng estudyante. Ang solusyon ng sistemang ito ay isang pares ng mga halaga (6; 5).

I-multiply namin ang parehong mga equation na kasama sa system na ito sa ilang mga numero. Sabihin nating i-multiply natin ang unang equation sa 2 at ang pangalawa sa 3

Ang resulta ay isang sistema
Ang solusyon sa sistemang ito ay ang pares pa rin ng mga halaga (6; 5)

Nangangahulugan ito na ang mga equation na kasama sa system ay maaaring bawasan sa isang form na angkop para sa paglalapat ng paraan ng karagdagan.

Bumalik sa sistema , na hindi namin malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

I-multiply ang unang equation sa 6 at ang pangalawa sa −2

Pagkatapos ay makuha namin ang sumusunod na sistema:

Idinaragdag namin ang mga equation na kasama sa sistemang ito. Pagdaragdag ng mga bahagi 12 x at -12 x ay magreresulta sa 0, karagdagan 18 y at 4 y magbibigay ng 22 y, at ang pagdaragdag ng 108 at −20 ay nagbibigay ng 88. Pagkatapos ay makukuha mo ang equation 22 y= 88 , samakatuwid y = 4 .

Kung sa una ay mahirap magdagdag ng mga equation sa iyong isip, pagkatapos ay maaari mong isulat kung paano idinagdag ang kaliwang bahagi ng unang equation sa kaliwang bahagi ng pangalawang equation, at ang kanang bahagi ng unang equation sa kanang bahagi ng ang pangalawang equation:

Alam na ang halaga ng variable y ay 4, maaari mong mahanap ang halaga x. Kapalit y sa isa sa mga equation, halimbawa sa unang equation 2 x+ 3y= 18 . Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang equation na may isang variable 2 x+ 12 = 18 . Inilipat namin ang 12 sa kanang bahagi, binabago ang sign, nakakuha kami ng 2 x= 6 , samakatuwid x = 3 .

Halimbawa 4. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

I-multiply ang pangalawang equation sa −1. Pagkatapos ang system ay kukuha ng sumusunod na form:

Idagdag natin ang parehong mga equation. Pagdaragdag ng mga sangkap x at −x ay magreresulta sa 0, karagdagan 5 y at 3 y magbibigay ng 8 y, at ang pagdaragdag ng 7 at 1 ay nagbibigay ng 8. Ang resulta ay equation 8 y= 8 , na ang ugat ay 1. Alam na ang halaga y ay 1, mahahanap mo ang halaga x .

Kapalit y sa unang equation, nakukuha namin x+ 5 = 7 , samakatuwid x= 2

Halimbawa 5. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

Ito ay kanais-nais na ang mga terminong naglalaman ng parehong mga variable ay matatagpuan isa sa ilalim ng isa. Samakatuwid, sa pangalawang equation, ang mga termino 5 y at −2 x magpalit ng lugar. Bilang resulta, ang sistema ay kukuha ng anyo:

I-multiply ang pangalawang equation sa 3. Pagkatapos ay kukuha ang system ng form:

Ngayon idagdag natin ang parehong mga equation. Bilang resulta ng karagdagan, nakukuha namin ang equation 8 y= 16 , na ang ugat ay 2.

Kapalit y sa unang equation, makakakuha tayo ng 6 x− 14 = 40 . Inilipat namin ang term −14 sa kanang bahagi, binabago ang sign, nakakakuha kami ng 6 x= 54 . Mula rito x= 9.

Halimbawa 6. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

Tanggalin natin ang mga fraction. I-multiply ang unang equation sa 36 at ang pangalawa sa 12

Sa resultang sistema ang unang equation ay maaaring i-multiply sa −5 at ang pangalawa sa 8

Idagdag natin ang mga equation sa resultang sistema. Pagkatapos ay makukuha natin ang pinakasimpleng equation −13 y= −156 . Mula rito y= 12 . Kapalit y sa unang equation at hanapin x

Halimbawa 7. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

Dinadala namin ang parehong mga equation sa normal na anyo. Narito ito ay maginhawa upang ilapat ang panuntunan ng proporsyon sa parehong mga equation. Kung sa unang equation ang kanang bahagi ay kinakatawan bilang , at ang kanang bahagi ng pangalawang equation bilang , kung gayon ang sistema ay kukuha ng anyo:

May proportion tayo. Pina-multiply natin ang mga extreme at middle terms nito. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

I-multiply namin ang unang equation sa −3, at buksan ang mga bracket sa pangalawa:

Ngayon idagdag natin ang parehong mga equation. Bilang resulta ng pagdaragdag ng mga equation na ito, nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay, sa parehong bahagi kung saan magkakaroon ng zero:

Lumalabas na ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Ngunit hindi natin maaaring kunin ang mga di-makatwirang halaga mula sa langit para sa x at y. Maaari naming tukuyin ang isa sa mga halaga, at ang isa ay matutukoy depende sa halaga na aming tinukoy. Halimbawa, hayaan x= 2 . I-substitute ang value na ito sa system:

Bilang resulta ng paglutas ng isa sa mga equation, ang halaga para sa y, na makakatugon sa parehong mga equation:

Ang magreresultang pares ng mga halaga (2; −2) ay magbibigay-kasiyahan sa system:

Maghanap tayo ng isa pang pares ng mga halaga. Hayaan x= 4. I-substitute ang value na ito sa system:

Maaari itong matukoy sa pamamagitan ng mata na y katumbas ng zero. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang pares ng mga halaga (4; 0), na nakakatugon sa aming system:

Halimbawa 8. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:

I-multiply ang unang equation sa 6 at ang pangalawa sa 12

Isulat muli natin ang natitira:

I-multiply ang unang equation sa −1. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Ngayon idagdag natin ang parehong mga equation. Bilang resulta ng karagdagan, nabuo ang equation 6 b= 48 , na ang ugat ay 8. Palitan b sa unang equation at hanapin a

Sistema ng mga linear equation na may tatlong variable

Ang isang linear equation na may tatlong variable ay may kasamang tatlong variable na may coefficients, pati na rin ang isang intercept. Sa canonical form, maaari itong isulat bilang mga sumusunod:

ax + by + cz = d

Ang equation na ito ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Pagbibigay ng dalawang variable iba't ibang kahulugan, mahahanap mo ang pangatlong halaga. Ang solusyon sa kasong ito ay ang triple ng mga halaga ( x; y; z) na ginagawang pagkakakilanlan ang equation.

Kung variable x, y, z ay magkakaugnay ng tatlong equation, pagkatapos ay nabuo ang isang sistema ng tatlong linear na equation na may tatlong variable. Upang malutas ang naturang sistema, maaari mong ilapat ang parehong mga pamamaraan na naaangkop sa mga linear na equation na may dalawang variable: ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Halimbawa 1. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit:

Nagpapahayag kami sa ikatlong equation x. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Ngayon gawin natin ang pagpapalit. Variable x ay katumbas ng expression 3 − 2y − 2z . Ipalit ang expression na ito sa una at pangalawang equation:

Buksan natin ang mga bracket sa parehong mga equation at magbigay ng mga katulad na termino:

Nakarating kami sa isang sistema ng mga linear equation na may dalawang variable. Sa kasong ito, maginhawang ilapat ang paraan ng pagdaragdag. Bilang resulta, ang variable y mawawala at mahahanap natin ang halaga ng variable z

Ngayon hanapin natin ang halaga y. Para dito, maginhawang gamitin ang equation − y+ z= 4. Palitan ang halaga z

Ngayon hanapin natin ang halaga x. Para dito, maginhawang gamitin ang equation x= 3 − 2y − 2z . Palitan ang mga halaga dito y at z

Kaya, ang triple ng mga halaga (3; −2; 2) ay ang solusyon sa aming system. Sa pamamagitan ng pagsusuri, tinitiyak namin na ang mga halagang ito ay nakakatugon sa system:

Halimbawa 2. Lutasin ang system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag

Idagdag natin ang unang equation sa pangalawa na pinarami ng −2.

Kung ang pangalawang equation ay pinarami ng −2, ito ay kukuha ng anyo −6x+ 6y- 4z = −4 . Ngayon idagdag ito sa unang equation:

Nakikita natin na bilang resulta ng elementarya na pagbabago, ang halaga ng variable ay natukoy x. Ito ay katumbas ng isa.

Bumalik tayo sa pangunahing sistema. Idagdag natin ang pangalawang equation sa pangatlo na pinarami ng −1. Kung ang ikatlong equation ay pinarami ng −1, ito ay kukuha ng anyo −4x + 5y − 2z = −1 . Ngayon idagdag ito sa pangalawang equation:

Nakuha ang equation x - 2y= −1 . Palitan ang halaga dito x na nakita namin kanina. Pagkatapos ay matutukoy natin ang halaga y

Alam na natin ngayon ang mga halaga x at y. Pinapayagan ka nitong matukoy ang halaga z. Ginagamit namin ang isa sa mga equation na kasama sa system:

Kaya, ang triple ng mga halaga (1; 1; 1) ay ang solusyon sa aming system. Sa pamamagitan ng pagsusuri, tinitiyak namin na ang mga halagang ito ay nakakatugon sa system:

Mga gawain para sa pag-compile ng mga sistema ng linear equation

Ang gawain ng pag-compile ng mga sistema ng mga equation ay nalutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng ilang mga variable. Susunod, ang mga equation ay pinagsama-sama batay sa mga kondisyon ng problema. Mula sa pinagsama-samang mga equation, bumubuo sila ng isang sistema at nilulutas ito. Ang pagkakaroon ng paglutas ng sistema, kinakailangan upang suriin kung ang solusyon nito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

Gawain 1. Ang isang Volga na kotse ay umalis sa lungsod para sa kolektibong bukid. Bumalik siya sa kahabaan ng isa pang kalsada, na mas maikli ng 5 km kaysa sa una. Sa kabuuan, ang kotse ay nagmaneho ng 35 km sa magkabilang direksyon. Ilang kilometro ang haba ng bawat kalsada?

Solusyon

Hayaan x- haba ng unang kalsada, y- ang haba ng pangalawa. Kung ang kotse ay nagmaneho ng 35 km sa parehong paraan, kung gayon ang unang equation ay maaaring isulat bilang x+ y= 35. Inilalarawan ng equation na ito ang kabuuan ng mga haba ng parehong kalsada.

Sinasabing pabalik ang kotse sa kahabaan ng kalsada, na mas maikli kaysa sa una ng 5 km. Pagkatapos ang pangalawang equation ay maaaring isulat bilang x− y= 5. Ang equation na ito ay nagpapakita na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga haba ng mga kalsada ay 5 km.

O ang pangalawang equation ay maaaring isulat bilang x= y+ 5 . Gagamitin natin ang equation na ito.

Dahil ang mga variable x at y sa parehong mga equation ay tumutukoy sa parehong numero, pagkatapos ay maaari tayong bumuo ng isang sistema mula sa kanila:

Lutasin natin ang sistemang ito gamit ang isa sa mga naunang pinag-aralan na pamamaraan. Sa kasong ito, maginhawang gamitin ang paraan ng pagpapalit, dahil sa pangalawang equation ang variable x naipahayag na.

Palitan ang pangalawang equation sa una at hanapin y

Palitan ang nahanap na halaga y sa pangalawang equation x= y+ 5 at hanapin x

Ang haba ng unang kalsada ay tinukoy ng variable x. Ngayon nahanap na natin ang kahulugan nito. Variable x ay 20. Kaya ang haba ng unang kalsada ay 20 km.

At ang haba ng ikalawang kalsada ay ipinahiwatig ng y. Ang halaga ng variable na ito ay 15. Kaya ang haba ng pangalawang kalsada ay 15 km.

Suriin natin. Una, tiyakin natin na ang system ay nalutas nang tama:

Ngayon suriin natin kung ang solusyon (20; 15) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

Sinabi na sa kabuuan ang sasakyan ay nagmaneho ng 35 km sa magkabilang direksyon. Idinaragdag namin ang mga haba ng parehong kalsada at tinitiyak na ang solusyon (20; 15) ay nakakatugon sa kundisyong ito: 20 km + 15 km = 35 km

Susunod na kondisyon: bumalik ang kotse sa kahabaan ng isa pang kalsada, na 5 km na mas maikli kaysa sa una . Nakikita namin na ang solusyon (20; 15) ay nakakatugon din sa kondisyong ito, dahil ang 15 km ay mas maikli sa 20 km ng 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Kapag nag-compile ng isang system, mahalaga na ang mga variable ay tumutukoy sa parehong mga numero sa lahat ng mga equation na kasama sa system na ito.

Kaya ang aming sistema ay naglalaman ng dalawang equation. Ang mga equation na ito naman ay naglalaman ng mga variable x at y, na tumutukoy sa parehong mga numero sa parehong mga equation, katulad ng mga haba ng mga kalsada na katumbas ng 20 km at 15 km.

Gawain 2. Ang mga Oak at pine sleeper ay inilagay sa platform, sa kabuuan ay 300 sleeper. Ito ay kilala na ang lahat ng oak sleepers ay tumimbang ng 1 toneladang mas mababa kaysa sa lahat ng pine sleepers. Tukuyin kung gaano karaming mga oak at pine sleeper ang hiwalay, kung ang bawat oak sleeper ay tumitimbang ng 46 kg, at bawat pine sleeper ay 28 kg.

Solusyon

Hayaan x oak at y Ang mga pine sleeper ay inilagay sa platform. Kung mayroong 300 sleepers sa kabuuan, ang unang equation ay maaaring isulat bilang x+y = 300 .

Lahat ng oak sleepers ay tumitimbang ng 46 x kg, at ang pine ay may timbang na 28 y kg. Dahil ang mga oak sleeper ay tumitimbang ng 1 toneladang mas mababa kaysa sa pine sleeper, ang pangalawang equation ay maaaring isulat bilang 28y- 46x= 1000 . Ang equation na ito ay nagpapakita na ang mass difference sa pagitan ng oak at pine sleepers ay 1000 kg.

Ang mga tonelada ay na-convert sa kilo dahil ang masa ng mga oak at pine sleeper ay sinusukat sa kilo.

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang equation na bumubuo sa system

Solusyonan natin ang sistemang ito. Ipahayag sa unang equation x. Pagkatapos ang system ay kukuha ng form:

Palitan ang unang equation sa pangalawa at hanapin y

Kapalit y sa equation x= 300 − y at alamin kung ano x

Nangangahulugan ito na 100 oak at 200 pine sleeper ang inikarga sa platform.

Suriin natin kung ang solusyon (100; 200) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema. Una, tiyakin natin na ang system ay nalutas nang tama:

Nasa 300 umano ang natutulog sa kabuuan. Idinaragdag namin ang bilang ng mga oak at pine sleeper at tinitiyak na ang solusyon (100; 200) ay nakakatugon sa kundisyong ito: 100 + 200 = 300.

Susunod na kondisyon: lahat ng oak sleepers ay tumitimbang ng 1 toneladang mas mababa kaysa sa lahat ng pine . Nakikita namin na ang solusyon (100; 200) ay nakakatugon din sa kondisyong ito, dahil ang 46 × 100 kg ng mga oak sleeper ay mas magaan kaysa sa 28 × 200 kg ng mga pine sleeper: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Gawain 3. Kumuha kami ng tatlong piraso ng haluang metal na tanso at nikel sa mga ratio na 2: 1, 3: 1 at 5: 1 ayon sa timbang. Sa mga ito, ang isang piraso na tumitimbang ng 12 kg ay pinagsama sa isang ratio ng tanso at nikel na nilalaman na 4: 1. Hanapin ang masa ng bawat orihinal na piraso kung ang masa ng una sa kanila ay dalawang beses sa masa ng pangalawa.

Sistema ng m linear equation na may n hindi alam tinatawag na sistema ng anyo

saan aij at b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ay ilang kilalang numero, at x 1 ,…,x n- hindi kilala. Sa notasyon ng mga coefficient aij unang index i nagsasaad ng bilang ng equation, at ang pangalawa j ay ang bilang ng hindi alam kung saan nakatayo ang coefficient na ito.

Ang mga coefficient para sa mga hindi alam ay isusulat sa anyo ng isang matrix , na tatawagin natin system matrix.

Ang mga numero sa kanang bahagi ng mga equation b 1 ,…,b m tinawag libreng miyembro.

Pinagsama-sama n numero c 1 ,…,c n tinawag desisyon ng sistemang ito, kung ang bawat equation ng system ay naging isang pagkakapantay-pantay pagkatapos palitan ang mga numero dito c 1 ,…,c n sa halip na ang kaukulang mga hindi alam x 1 ,…,x n.

Ang aming gawain ay maghanap ng mga solusyon sa system. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang tatlong sitwasyon:

Ang isang sistema ng mga linear na equation na may hindi bababa sa isang solusyon ay tinatawag magkadugtong. Kung hindi, i.e. kung ang sistema ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkatugma.

Isaalang-alang ang mga paraan upang makahanap ng mga solusyon sa system.

MATRIX METHOD PARA SA PAGSOLBA NG MGA SISTEMA NG LINEAR EQUATIONS

Ginagawang posible ng mga matrice na maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Hayaang magbigay ng isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam:

Isaalang-alang ang matrix ng system at matrix na mga column ng hindi kilalang at libreng mga miyembro

Hanapin natin ang produkto

mga. bilang resulta ng produkto, nakukuha natin ang kaliwang bahagi ng mga equation ng sistemang ito. Pagkatapos, gamit ang kahulugan ng matrix equality, ang sistemang ito ay maaaring isulat bilang

o mas maikli A∙X=B.

Dito matrices A at B ay kilala, at ang matris X hindi kilala. Kailangan niyang mahanap, dahil. ang mga elemento nito ang solusyon ng sistemang ito. Ang equation na ito ay tinatawag equation ng matrix.

Hayaang ang matrix determinant ay naiiba sa zero | A| ≠ 0. Pagkatapos ang matrix equation ay malulutas bilang mga sumusunod. I-multiply ng matrix ang magkabilang panig ng equation sa kaliwa A-1, ang kabaligtaran ng matris A: . Dahil ang A -1 A = E at E∙X=X, pagkatapos ay makuha namin ang solusyon ng matrix equation sa anyo X = A -1 B .

Tandaan na dahil ang inverse matrix ay matatagpuan lamang para sa mga square matrice, ang matrix method ay maaari lamang malutas ang mga system kung saan ang bilang ng mga equation ay kapareho ng bilang ng mga hindi alam. Gayunpaman, ang matrix notation ng system ay posible rin sa kaso kapag ang bilang ng mga equation ay hindi katumbas ng bilang ng mga hindi alam, pagkatapos ay ang matrix. A ay hindi parisukat at samakatuwid ay imposibleng makahanap ng solusyon sa sistema sa anyo X = A -1 B.

Mga halimbawa. Lutasin ang mga sistema ng mga equation.

PANUNTUNAN NI CRAMER

Isaalang-alang ang isang sistema ng 3 linear equation na may tatlong hindi alam:

Third-order determinant na naaayon sa matrix ng system, i.e. binubuo ng mga coefficient sa hindi alam,

tinawag determinant ng sistema.

Bumubuo kami ng tatlo pang determinant gaya ng sumusunod: sunud-sunod naming pinapalitan ang 1, 2 at 3 column sa determinant D ng column ng mga libreng termino

Pagkatapos ay maaari nating patunayan ang sumusunod na resulta.

Theorem (panuntunan ng Cramer). Kung ang determinant ng system ay Δ ≠ 0, kung gayon ang system na isinasaalang-alang ay may isa at isang solusyon lamang, at

Patunay. Kaya, isaalang-alang ang isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam. I-multiply ang 1st equation ng system sa algebraic complement A 11 elemento isang 11, 2nd equation - on A21 at ika-3 - sa A 31:

Idagdag natin ang mga equation na ito:

Isaalang-alang ang bawat isa sa mga bracket at ang kanang bahagi ng equation na ito. Sa pamamagitan ng theorem sa pagpapalawak ng determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng 1st column

Katulad nito, maaari itong ipakita na at .

Sa wakas, madaling makita iyon

Kaya, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay: .

Dahil dito, .

Ang mga pagkakapantay-pantay at ay nagmula sa magkatulad, kung saan ang assertion ng theorem ay sumusunod.

Kaya, tandaan namin na kung ang determinant ng system ay Δ ≠ 0, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon at kabaliktaran. Kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, kung gayon ang system ay maaaring mayroong isang walang katapusang hanay ng mga solusyon o walang mga solusyon, i.e. hindi magkatugma.

Mga halimbawa. Lutasin ang isang sistema ng mga equation

PARAAN NG GAUSS

Ang naunang isinasaalang-alang na mga pamamaraan ay maaaring gamitin upang malutas lamang ang mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng system ay dapat na iba sa zero. Ang Gaussian method ay mas unibersal at angkop para sa mga system na may anumang bilang ng mga equation. Binubuo ito sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam mula sa mga equation ng system.

Isaalang-alang muli ang isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam:

Iniiwan namin ang unang equation na hindi nagbabago, at mula sa ika-2 at ika-3 ibubukod namin ang mga terminong naglalaman ng x 1. Upang gawin ito, hinati namin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng a 21 at i-multiply sa - a 11 at pagkatapos ay idagdag sa 1st equation. Katulad nito, hinahati namin ang ikatlong equation sa a 31 at i-multiply sa - a 11 at pagkatapos ay idagdag ito sa una. Bilang resulta, ang orihinal na sistema ay kukuha ng anyo:

Ngayon, mula sa huling equation, inalis namin ang terminong naglalaman x2. Upang gawin ito, hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng , multiply sa at idagdag ito sa pangalawa. Pagkatapos ay magkakaroon tayo ng isang sistema ng mga equation:

Kaya mula sa huling equation ay madaling mahanap x 3, pagkatapos ay mula sa 2nd equation x2 at sa wakas mula sa 1st - x 1.

Kapag ginagamit ang Gaussian method, ang mga equation ay maaaring palitan kung kinakailangan.

Kadalasan, sa halip na magsulat ng bagong sistema ng mga equation, nililimitahan nila ang kanilang mga sarili sa pagsusulat ng pinahabang matrix ng system: