Ang pamamaraang Gauss, na tinatawag ding paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, ay binubuo sa mga sumusunod. Gamit ang elementarya na pagbabago, ang sistema ng mga linear na equation ay dinadala sa isang anyo na ang matrix ng mga coefficient nito ay lumalabas na trapezoidal (kapareho ng triangular o stepped) o malapit sa trapezoidal (ang direktang kurso ng paraan ng Gauss, pagkatapos - isang direktang paglipat lamang). Ang isang halimbawa ng naturang sistema at ang solusyon nito ay ipinapakita sa figure sa itaas.

Sa ganoong sistema, ang huling equation ay naglalaman lamang ng isang variable at ang halaga nito ay maaaring matagpuan nang kakaiba. Pagkatapos ang halaga ng variable na ito ay pinapalitan sa nakaraang equation ( Gaussian reverse , pagkatapos - isang reverse move lamang), kung saan matatagpuan ang nakaraang variable, at iba pa.

Sa isang trapezoidal (triangular) na sistema, tulad ng nakikita natin, ang ikatlong equation ay hindi na naglalaman ng mga variable y at x, at ang pangalawang equation - variable x .

Matapos ang matrix ng system ay kumuha ng isang trapezoidal na hugis, hindi na mahirap ayusin ang tanong ng pagiging tugma ng system, matukoy ang bilang ng mga solusyon, at hanapin ang mga solusyon sa kanilang sarili.

Mga kalamangan ng pamamaraan:

1. kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation na may higit sa tatlong equation at hindi alam, ang Gauss method ay hindi kasing hirap ng Cramer method, dahil mas kaunting kalkulasyon ang kinakailangan kapag nilulutas ang Gauss method;
2. gamit ang pamamaraang Gauss, maaari mong lutasin ang mga hindi tiyak na sistema ng mga linear na equation, iyon ay, pagkakaroon ng isang karaniwang solusyon (at susuriin natin ang mga ito sa araling ito), at gamit ang paraan ng Cramer, maaari mo lamang sabihin na ang sistema ay hindi sigurado;
3. maaari mong lutasin ang mga sistema ng mga linear na equation kung saan ang bilang ng mga hindi alam ay hindi katumbas ng bilang ng mga equation (susuriin din natin ang mga ito sa araling ito);
4. ang pamamaraan ay batay sa mga pamamaraan ng elementarya (paaralan) - ang paraan ng pagpapalit ng mga hindi alam at ang paraan ng pagdaragdag ng mga equation, na aming hinawakan sa kaukulang artikulo.

Upang ang lahat ay mapuno ng pagiging simple kung saan malulutas ang mga trapezoidal (tatsulok, hakbang) na mga sistema ng mga linear na equation, ipinakita namin ang solusyon ng naturang sistema gamit ang reverse stroke. Ang isang mabilis na solusyon sa sistemang ito ay ipinakita sa larawan sa simula ng aralin.

Halimbawa 1 Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang reverse move:

Solusyon. Sa trapezoidal system na ito, ang variable z ay natatanging natagpuan mula sa ikatlong equation. Pinapalitan namin ang halaga nito sa pangalawang equation at makuha ang halaga ng variable y:

Ngayon alam natin ang mga halaga ng dalawang variable - z at y. Pinapalitan namin ang mga ito sa unang equation at makuha ang halaga ng variable x:

Mula sa mga nakaraang hakbang, isinulat namin ang solusyon ng sistema ng mga equation:

Upang makakuha ng tulad ng isang trapezoidal na sistema ng mga linear na equation, na nalutas namin nang napakasimple, kinakailangan na mag-aplay ng isang direktang paglipat na nauugnay sa mga elementarya na pagbabago ng sistema ng mga linear na equation. Hindi rin naman masyadong mahirap.

Mga pagbabagong pang-elementarya ng isang sistema ng mga linear na equation

Sa pag-uulit ng paraan ng paaralan ng algebraic na pagdaragdag ng mga equation ng system, nalaman namin na ang isa pang equation ng system ay maaaring idagdag sa isa sa mga equation ng system, at ang bawat isa sa mga equation ay maaaring i-multiply sa ilang mga numero. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear na equation na katumbas ng ibinigay. Sa loob nito, ang isang equation ay naglalaman lamang ng isang variable, na pinapalitan ang halaga ng kung saan sa iba pang mga equation, dumating tayo sa isang solusyon. Ang nasabing karagdagan ay isa sa mga uri ng elementarya na pagbabago ng sistema. Kapag ginagamit ang pamamaraang Gauss, maaari tayong gumamit ng ilang uri ng pagbabago.

Ang animation sa itaas ay nagpapakita kung paano ang sistema ng mga equation ay unti-unting nagiging trapezoidal. Iyon ay, ang nakita mo sa pinakaunang animation at tiniyak na madaling mahanap ang mga halaga ng lahat ng hindi alam mula dito. Kung paano isasagawa ang gayong pagbabago at, siyempre, ang mga halimbawa, ay tatalakayin pa.

Kapag nilulutas ang mga sistema ng mga linear na equation na may anumang bilang ng mga equation at hindi alam sa sistema ng mga equation at sa pinalawak na matrix ng system pwede:

1. swap lines (nabanggit ito sa pinakasimula ng artikulong ito);
2. kung bilang isang resulta ng iba pang mga pagbabagong pantay o proporsyonal na mga linya ay lumitaw, maaari silang tanggalin, maliban sa isa;
3. tanggalin ang "null" na mga hilera, kung saan ang lahat ng mga coefficient ay katumbas ng zero;
4. multiply o hatiin ang anumang string sa ilang numero;
5. magdagdag sa anumang linya ng isa pang linya na pinarami ng ilang numero.

Bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear na equation na katumbas ng ibinigay.

Algorithm at mga halimbawa ng paglutas sa pamamagitan ng Gauss method isang sistema ng mga linear equation na may square matrix ng system

Isaalang-alang muna ang solusyon ng mga sistema ng mga linear na equation kung saan ang bilang ng mga hindi alam ay katumbas ng bilang ng mga equation. Ang matrix ng naturang sistema ay parisukat, iyon ay, ang bilang ng mga hilera sa loob nito ay katumbas ng bilang ng mga haligi.

Halimbawa 2 Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Ang paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang mga pamamaraan ng paaralan, pinarami namin ang termino sa pamamagitan ng termino ng isa sa mga equation sa isang tiyak na numero, upang ang mga coefficient ng unang variable sa dalawang equation ay magkasalungat na numero. Kapag nagdadagdag ng mga equation, inaalis ang variable na ito. Ang pamamaraang Gauss ay gumagana sa katulad na paraan.

Para gawing simple hitsura mga solusyon buuin ang augmented matrix ng system:

Sa matrix na ito, ang mga coefficient ng mga hindi alam ay matatagpuan sa kaliwa bago ang vertical bar, at ang mga libreng miyembro ay nasa kanan pagkatapos ng vertical bar.

Para sa kaginhawaan ng paghahati ng mga coefficient ng mga variable (upang makakuha ng isang dibisyon sa pamamagitan ng isa) palitan ang una at ikalawang hanay ng system matrix. Nakukuha namin ang isang sistema na katumbas ng ibinigay, dahil sa sistema ng mga linear na equation ay maaaring muling ayusin ng isa ang mga equation:

Gamit ang bagong unang equation alisin ang variable x mula sa pangalawa at lahat ng kasunod na equation. Upang gawin ito, idagdag ang unang hilera na pinarami ng (sa aming kaso ng ) sa pangalawang hilera ng matrix, at ang unang hilera ay pinarami ng (sa aming kaso sa pamamagitan ng ) sa ikatlong hilera.

Posible ito dahil

Kung mayroong higit sa tatlong mga equation sa aming system, kung gayon ang unang linya ay dapat idagdag sa lahat ng kasunod na mga equation, na pinarami ng ratio ng kaukulang mga coefficient, na kinuha gamit ang isang minus sign.

Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang matrix na katumbas ng ibinigay na sistema ng isang bagong sistema ng mga equation, kung saan ang lahat ng mga equation, simula sa pangalawang hindi naglalaman ng variable x :

Upang gawing simple ang pangalawang hilera ng nagresultang sistema, pinarami namin ito at muling makuha ang matrix ng sistema ng mga equation na katumbas ng sistemang ito:

Ngayon, pinapanatili ang unang equation ng nagresultang sistema na hindi nagbabago, gamit ang pangalawang equation, inaalis namin ang variable y mula sa lahat ng kasunod na equation. Upang gawin ito, idagdag ang pangalawang hilera na pinarami ng (sa aming kaso, sa pamamagitan ng ) sa ikatlong hilera ng system matrix.

Kung mayroong higit sa tatlong mga equation sa aming system, ang pangalawang linya ay dapat idagdag sa lahat ng kasunod na mga equation, na pinarami ng ratio ng mga kaukulang coefficient, na kinuha gamit ang isang minus sign.

Bilang resulta, muli nating nakuha ang matrix ng sistema na katumbas ng ibinigay na sistema ng mga linear na equation:

Nakakuha kami ng isang trapezoidal system ng mga linear na equation na katumbas ng ibinigay na isa:

Kung ang bilang ng mga equation at variable ay mas malaki kaysa sa aming halimbawa, kung gayon ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable ay magpapatuloy hanggang ang system matrix ay maging trapezoidal, tulad ng sa aming demo na halimbawa.

Hahanapin natin ang solusyon "mula sa dulo" - baligtarin. Para dito mula sa huling equation na aming tinutukoy z:
.
Ang pagpapalit ng halagang ito sa nakaraang equation, hanapin y:

Mula sa unang equation hanapin x:

Sagot: ang solusyon ng sistemang ito ng mga equation - .

: sa kasong ito, ang parehong sagot ay ibibigay kung ang sistema ay may natatanging solusyon. Kung ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, gayon din ang sagot, at ito ang paksa ng ikalimang bahagi ng araling ito.

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method mismo, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Sa harap natin ay muli ang isang halimbawa ng isang pare-pareho at tiyak na sistema ng mga linear na equation, kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam. Ang pagkakaiba sa aming halimbawa ng demo mula sa algorithm ay mayroon nang apat na equation at apat na hindi alam.

Halimbawa 4 Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method:

Ngayon ay kailangan mong gamitin ang pangalawang equation upang ibukod ang variable mula sa mga kasunod na equation. Gastos tayo gawaing paghahanda. Upang gawin itong mas maginhawa sa ratio ng mga coefficient, kailangan mong makakuha ng isang yunit sa pangalawang haligi ng pangalawang hilera. Upang gawin ito, ibawas ang ikatlong hilera mula sa pangalawang hilera, at i-multiply ang resultang pangalawang hilera sa -1.

Isagawa natin ngayon ang aktwal na pag-aalis ng variable mula sa ikatlo at ikaapat na equation. Upang gawin ito, idagdag ang pangalawa, pinarami ng , sa pangatlong linya, at ang pangalawa, pinarami ng , sa ikaapat.

Ngayon, gamit ang ikatlong equation, inaalis namin ang variable mula sa ikaapat na equation. Upang gawin ito, sa ikaapat na linya, idagdag ang pangatlo, na pinarami ng . Nakakakuha kami ng pinalawak na matrix ng isang hugis na trapezoidal.

Nakakuha kami ng isang sistema ng mga equation, na katumbas ng ibinigay na sistema:

Samakatuwid, ang mga resulta at ibinigay na mga sistema ay pare-pareho at tiyak. Nahanap namin ang pangwakas na solusyon "mula sa wakas." Mula sa ikaapat na equation, maaari nating direktang ipahayag ang halaga ng variable na "x fourth":

Pinapalitan namin ang halagang ito sa ikatlong equation ng system at makuha

,

,

Panghuli, pagpapalit ng halaga

Sa unang equation ay nagbibigay

,

kung saan matatagpuan namin ang "x first":

Sagot: Ang sistema ng mga equation na ito ay may natatanging solusyon. .

Maaari mo ring suriin ang solusyon ng system sa isang calculator na lumulutas sa pamamaraan ng Cramer: sa kasong ito, ang parehong sagot ay ibibigay kung ang system ay may natatanging solusyon.

Solusyon sa pamamagitan ng paraan ng Gauss ng mga inilapat na problema sa halimbawa ng problema para sa mga haluang metal

Ang mga sistema ng mga linear na equation ay ginagamit upang magmodelo ng mga tunay na bagay ng pisikal na mundo. Malutas natin ang isa sa mga problemang ito - para sa mga haluang metal. Mga katulad na gawain - mga gawain para sa mga pinaghalong, ang gastos o tiyak na gravity ng mga indibidwal na kalakal sa isang pangkat ng mga kalakal, at mga katulad nito.

Halimbawa 5 Tatlong piraso ng haluang metal ay may kabuuang masa na 150 kg. Ang unang haluang metal ay naglalaman ng 60% tanso, ang pangalawa - 30%, ang pangatlo - 10%. Kasabay nito, sa pangalawa at pangatlong haluang metal na pinagsama, ang tanso ay 28.4 kg na mas mababa kaysa sa unang haluang metal, at sa ikatlong haluang metal, ang tanso ay 6.2 kg na mas mababa kaysa sa pangalawa. Hanapin ang masa ng bawat piraso ng haluang metal.

Solusyon. Bumubuo kami ng isang sistema ng mga linear na equation:

Ang pagpaparami ng pangalawa at pangatlong equation sa pamamagitan ng 10, nakakakuha tayo ng katumbas na sistema ng mga linear na equation:

Binubuo namin ang pinahabang matrix ng system:

Pansin, direktang galaw. Sa pamamagitan ng pagdaragdag (sa aming kaso, pagbabawas) ng isang hilera, na pinarami ng isang numero (inilapat namin ito nang dalawang beses), ang mga sumusunod na pagbabago ay nangyayari sa pinalawak na matrix ng system:

Tapos na ang straight run. Nakakuha kami ng pinalawak na matrix ng isang hugis na trapezoidal.

Gamitin natin ang reverse. Nakahanap kami ng solusyon mula sa dulo. Nakikita natin yan.

Mula sa pangalawang equation nakita namin

Mula sa ikatlong equation -

Maaari mo ring suriin ang solusyon ng system sa isang calculator na lumulutas sa pamamaraan ng Cramer: sa kasong ito, ang parehong sagot ay ibibigay kung ang system ay may natatanging solusyon.

Ang pagiging simple ng pamamaraang Gauss ay napatunayan ng katotohanan na ang Aleman na matematiko na si Carl Friedrich Gauss ay tumagal lamang ng 15 minuto upang imbentuhin ito. Bilang karagdagan sa paraan ng kanyang pangalan, mula sa gawain ni Gauss, ang dictum na "Hindi natin dapat malito kung ano ang tila hindi kapani-paniwala at hindi natural sa atin sa ganap na imposible" ay isang uri ng maikling pagtuturo para sa paggawa ng mga pagtuklas.

Sa maraming inilapat na mga problema, maaaring walang pangatlong paghihigpit, iyon ay, pangatlong equation, pagkatapos ay kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation na may tatlong hindi alam gamit ang Gauss method, o, sa kabaligtaran, mayroong mas kaunting mga hindi alam kaysa sa mga equation. Nagsisimula na tayong lutasin ang mga ganitong sistema ng mga equation.

Gamit ang paraan ng Gauss, matutukoy mo kung pare-pareho o hindi pare-pareho ang anumang sistema n linear equation na may n mga variable.

Gauss method at mga sistema ng linear equation na may walang katapusang bilang ng mga solusyon

Ang sumusunod na halimbawa ay magkasanib, ngunit hindi tiyak na sistema linear equation, iyon ay, pagkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Pagkatapos magsagawa ng mga pagbabagong-anyo sa pinalawak na matrix ng system (pag-permute ng mga row, pagpaparami at paghahati ng mga row sa isang tiyak na numero, pagdaragdag ng isang row sa isa pa), mga row ng form

Kung sa lahat ng equation na may anyo

Ang mga libreng miyembro ay katumbas ng zero, nangangahulugan ito na ang sistema ay hindi tiyak, iyon ay, mayroon itong walang katapusang bilang ng mga solusyon, at ang mga equation ng ganitong uri ay "labis" at hindi kasama sa system.

Halimbawa 6

Solusyon. Buuin natin ang pinahabang matrix ng system. Pagkatapos, gamit ang unang equation, inaalis namin ang variable mula sa mga kasunod na equation. Upang gawin ito, sa pangalawa, pangatlo at pang-apat na linya, idagdag ang una, na pinarami ng , ayon sa pagkakabanggit:

Ngayon idagdag natin ang pangalawang hilera sa ikatlo at ikaapat.

Bilang resulta, nakarating kami sa sistema

Ang huling dalawang equation ay naging mga equation ng form. Ang mga equation na ito ay nasiyahan para sa anumang mga halaga ng hindi alam at maaaring itapon.

Upang masiyahan ang pangalawang equation, maaari tayong pumili ng mga arbitrary na halaga para sa at , pagkatapos ay matutukoy ang halaga para sa hindi malabo: . Mula sa unang equation, ang halaga para sa ay natatanging natagpuan din: .

Parehong ang ibinigay at ang huling mga sistema ay magkatugma ngunit hindi tiyak, at ang mga formula

para sa arbitrary at bigyan kami ng lahat ng mga solusyon ng ibinigay na sistema.

Gauss method at mga sistema ng linear equation na walang solusyon

Ang sumusunod na halimbawa ay isang hindi pare-parehong sistema ng mga linear na equation, iyon ay, wala itong mga solusyon. Ang sagot sa mga naturang problema ay nabuo bilang mga sumusunod: ang sistema ay walang mga solusyon.

Tulad ng nabanggit na may kaugnayan sa unang halimbawa, pagkatapos magsagawa ng mga pagbabagong-anyo sa pinalawak na matrix ng system, mga linya ng form

naaayon sa isang equation ng form

Kung sa kanila ay mayroong hindi bababa sa isang equation na may isang non-zero free term (i.e. ), kung gayon ang sistema ng mga equation na ito ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon, at ito ay nakumpleto ang solusyon nito.

Halimbawa 7 Lutasin ang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method:

Solusyon. Binubuo namin ang pinahabang matrix ng system. Gamit ang unang equation, ibubukod namin ang variable mula sa mga kasunod na equation. Upang gawin ito, idagdag ang unang pinarami sa ikalawang hanay, ang unang pinarami ng ikatlong hanay, at ang unang pinarami ng ikaapat na hanay.

Ngayon ay kailangan mong gamitin ang pangalawang equation upang ibukod ang variable mula sa mga kasunod na equation. Upang makakuha ng mga ratio ng integer ng mga coefficient, pinapalitan namin ang pangalawa at pangatlong hanay ng pinahabang matrix ng system.

Upang ibukod mula sa ikatlo at ikaapat na equation, idagdag ang pangalawa, pinarami ng , sa ikatlong hanay, at ang pangalawa, na pinarami ng , sa ikaapat.

Ngayon, gamit ang ikatlong equation, inaalis namin ang variable mula sa ikaapat na equation. Upang gawin ito, sa ikaapat na linya, idagdag ang pangatlo, na pinarami ng .

Ang ibinigay na sistema ay kaya katumbas ng mga sumusunod:

Ang resultang sistema ay hindi pare-pareho, dahil ang huling equation nito ay hindi masisiyahan ng anumang mga halaga ng hindi alam. Samakatuwid, ang sistemang ito ay walang mga solusyon.

Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga sistema ng mga linear na equation. Ang araling ito ay ang pangatlo sa paksa. Kung mayroon kang isang hindi malinaw na ideya kung ano ang isang sistema ng mga linear na equation sa pangkalahatan, pakiramdam mo ay isang tsarera, pagkatapos ay inirerekumenda kong magsimula sa mga pangunahing kaalaman sa Susunod na pahina, ito ay kapaki-pakinabang na pag-aralan ang aralin.

Gauss method ay madali! Bakit? Ang tanyag na Aleman na matematiko na si Johann Carl Friedrich Gauss, sa panahon ng kanyang buhay, ay tumanggap ng pagkilala bilang pinakadakilang matematiko sa lahat ng panahon, isang henyo, at maging ang palayaw na "Hari ng Matematika". At lahat ng mapanlikha, tulad ng alam mo, ay simple! Sa pamamagitan ng paraan, hindi lamang mga suckers, kundi pati na rin ang mga henyo ay nahulog sa pera - ang larawan ng Gauss ay ipinagmamalaki sa isang kuwenta ng 10 Deutschmarks (bago ang pagpapakilala ng euro), at si Gauss ay misteryosong ngumiti sa mga Aleman mula sa mga ordinaryong selyo ng selyo.

Ang pamamaraang Gauss ay simple dahil SAPAT NA ANG KAALAMAN NG ISANG IKALIMANG BAITANG NA MAG-AARAL upang makabisado ito. Dapat marunong magdagdag at magparami! Ito ay hindi nagkataon na ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam ay madalas na isinasaalang-alang ng mga guro sa mga elective na matematika ng paaralan. Ito ay isang kabalintunaan, ngunit ang pamamaraang Gauss ay nagdudulot ng pinakamalaking paghihirap para sa mga mag-aaral. Walang nakakagulat - lahat ito ay tungkol sa pamamaraan, at susubukan kong sabihin sa isang naa-access na form tungkol sa algorithm ng pamamaraan.

Una, i-systematize namin ang kaalaman tungkol sa mga sistema ng linear equation nang kaunti. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay maaaring:

1) Magkaroon ng natatanging solusyon. 2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon. 3) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).

Ang Gauss method ay ang pinakamakapangyarihan at versatile na tool para sa paghahanap ng solusyon anuman sistema ng mga linear na equation. Sa pagkakaalala natin Ang panuntunan at pamamaraan ng matrix ng Cramer ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. Isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam sabagay humantong kami sa sagot! Sa araling ito, muli nating isasaalang-alang ang pamamaraang Gauss para sa kaso No. 1 (ang tanging solusyon sa sistema), ang isang artikulo ay nakalaan para sa mga sitwasyon ng mga puntos No. 2-3. Tandaan ko na ang algorithm ng pamamaraan mismo ay gumagana sa parehong paraan sa lahat ng tatlong mga kaso.

Bumalik tayo sa pinakasimpleng sistema mula sa aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga linear na equation? at lutasin ito gamit ang Gaussian method.

Ang unang hakbang ay magsulat pinahabang sistema ng matrix: . Sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ang mga coefficient ay naitala, sa palagay ko ay makikita ng lahat. Ang patayong linya sa loob ng matrix ay hindi nagdadala ng anumang mathematical na kahulugan - ito ay isang strikethrough lamang para sa kadalian ng disenyo.

Sanggunian : Inirerekomenda kong tandaan mga tuntunin linear algebra. System Matrix ay isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient para sa mga hindi alam, sa halimbawang ito, ang matrix ng system: . Pinalawak na System Matrix ay ang parehong matrix ng system kasama ang isang column ng mga libreng miyembro, sa kasong ito: . Anuman sa mga matrice ay maaaring tawaging simpleng matrix para sa kaiklian.

Matapos isulat ang pinahabang matrix ng system, kinakailangan na magsagawa ng ilang mga aksyon kasama nito, na tinatawag ding mga pagbabagong elementarya.

Mayroong mga sumusunod na pagbabagong elementarya:

1) Mga string matrice pwede muling ayusin mga lugar. Halimbawa, sa matrix na isinasaalang-alang, maaari mong ligtas na muling ayusin ang una at pangalawang hilera:

2) Kung mayroong (o lumitaw) na proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix . Sa matrix na ito, ang huling tatlong hanay ay proporsyonal, kaya sapat na mag-iwan lamang ng isa sa mga ito: .

3) Kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin. Hindi ako gumuhit, siyempre, ang zero line ay ang linya kung saan mga zero lang.

4) Ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) para sa anumang numero hindi zero. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix . Dito ipinapayong hatiin ang unang linya ng -3, at i-multiply ang pangalawang linya ng 2: . Ang pagkilos na ito ay lubhang kapaki-pakinabang, dahil pinapasimple nito ang mga karagdagang pagbabago ng matrix.

5) Ang pagbabagong ito ay nagdudulot ng pinakamaraming kahirapan, ngunit sa katunayan ay wala ring kumplikado. Sa hilera ng matrix, maaari mo magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero. Isaalang-alang ang aming matrix mula sa isang praktikal na halimbawa: . Una, ilalarawan ko nang detalyado ang pagbabago. I-multiply ang unang hilera sa -2: , at sa pangalawang linya idinagdag namin ang unang linya na pinarami ng -2: . Ngayon ang unang linya ay maaaring hatiin "pabalik" ng -2: . Tulad ng nakikita mo, ang linya na ADDED LI – hindi nagbago. Ay laging ang linya ay binago, KUNG SAAN DAGDAG UT.

Sa pagsasagawa, siyempre, hindi sila nagpinta sa ganoong detalye, ngunit sumulat ng mas maikli: Muli: sa pangalawang linya idinagdag ang unang hilera na pinarami ng -2. Ang linya ay karaniwang pinararami nang pasalita o sa isang draft, habang ang mental na kurso ng mga kalkulasyon ay katulad nito:

"Isinulat ko muli ang matrix at muling isinulat ang unang hilera: »

Unang column muna. Sa ibaba kailangan kong makakuha ng zero. Samakatuwid, pinarami ko ang yunit sa itaas ng -2:, at idinagdag ang una sa pangalawang linya: 2 + (-2) = 0. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

“Ngayon ang pangalawang column. Sa itaas -1 beses -2: . Idinaragdag ko ang una sa pangalawang linya: 1 + 2 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

“At ang pangatlong column. Sa itaas -5 beses -2: . Idinagdag ko ang unang linya sa pangalawang linya: -7 + 10 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

Mangyaring pag-isipang mabuti ang halimbawang ito at unawain ang sunud-sunod na algorithm ng pagkalkula, kung naiintindihan mo ito, ang paraan ng Gauss ay halos "nasa iyong bulsa". Ngunit, siyempre, ginagawa pa rin namin ang pagbabagong ito.

Ang mga pagbabago sa elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation

! PANSIN: itinuturing na mga manipulasyon hindi maaaring gamitin, kung ikaw ay inaalok ng isang gawain kung saan ang mga matrice ay ibinigay "sa pamamagitan ng kanilang mga sarili". Halimbawa, na may "classic" matrice sa anumang kaso dapat mong muling ayusin ang isang bagay sa loob ng mga matrice! Balik tayo sa ating sistema. Halos pira-piraso na siya.

Isulat natin ang augmented matrix ng system at, gamit ang elementary transformations, bawasan ito sa stepped view:

(1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. At muli: bakit natin pinarami ang unang hilera sa -2? Upang makakuha ng zero sa ibaba, na nangangahulugan ng pag-alis ng isang variable sa pangalawang linya.

(2) Hatiin ang pangalawang hanay ng 3.

Ang layunin ng mga pagbabagong elementarya – i-convert ang matrix sa step form: . Sa disenyo ng gawain, direktang inilabas nila ang "hagdan" gamit ang isang simpleng lapis, at bilugan din ang mga numero na matatagpuan sa "mga hakbang". Ang terminong "stepped view" mismo ay hindi ganap na teoretikal; sa siyentipiko at pang-edukasyon na panitikan, madalas itong tinatawag na trapezoidal view o tatsulok na view.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha namin katumbas orihinal na sistema ng mga equation:

Ngayon ang system ay kailangang "untwisted" sa kabaligtaran na direksyon - mula sa ibaba pataas, ang prosesong ito ay tinatawag baligtarin ang pamamaraang Gauss.

Sa mas mababang equation, mayroon na tayong natapos na resulta: .

Isaalang-alang ang unang equation ng system at palitan ang kilalang halaga ng "y" dito:

Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwang sitwasyon, kapag ang Gaussian na pamamaraan ay kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam.

Halimbawa 1

Lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method:

Isulat natin ang augmented matrix ng system:

Ngayon ay agad kong iguguhit ang resulta na darating sa kurso ng solusyon: At inuulit ko, ang layunin namin ay dalhin ang matrix sa isang stepped form gamit ang elementary transformations. Saan magsisimulang kumilos?

Una, tingnan ang kaliwang itaas na numero: Dapat halos laging nandito yunit. Sa pangkalahatan, ang -1 (at kung minsan ay iba pang mga numero) ay babagay din, ngunit sa paanuman ay tradisyonal na nangyari na ang isang yunit ay karaniwang nakalagay doon. Paano ayusin ang isang yunit? Tinitingnan namin ang unang column - mayroon kaming natapos na unit! Transformation one: palitan ang una at ikatlong linya:

Ngayon ang unang linya ay mananatiling hindi nagbabago hanggang sa katapusan ng solusyon. Ngayon ayos na.

Nakaayos ang unit sa kaliwang itaas. Ngayon ay kailangan mong makakuha ng mga zero sa mga lugar na ito:

Ang mga zero ay nakuha lamang sa tulong ng isang "mahirap" na pagbabago. Una, haharapin natin ang pangalawang linya (2, -1, 3, 13). Ano ang kailangang gawin upang makakuha ng zero sa unang posisyon? Kailangan sa pangalawang linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -2. Sa isip o sa isang draft, i-multiply natin ang unang linya sa -2: (-2, -4, 2, -18). At palagi kaming nagsasagawa (muli sa pag-iisip o sa isang draft) karagdagan, sa pangalawang linya idinagdag namin ang unang linya, na pinarami na ng -2:

Ang resulta ay nakasulat sa pangalawang linya:

Katulad nito, haharapin natin ang ikatlong linya (3, 2, -5, -1). Upang makakuha ng zero sa unang posisyon, kailangan mo sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -3. Sa isip o sa isang draft, i-multiply natin ang unang linya sa -3: (-3, -6, 3, -27). At sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng -3:

Ang resulta ay nakasulat sa ikatlong linya:

Sa pagsasagawa, ang mga pagkilos na ito ay karaniwang ginagawa sa salita at nakasulat sa isang hakbang:

Hindi na kailangang bilangin ang lahat nang sabay-sabay. Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon at "insertion" ng mga resulta pare-pareho at kadalasang ganito: una naming isusulat muli ang unang linya, at tahimik na pumuputok - KONSISTENTO at MAINGAT:
At naisip ko na ang mental na kurso ng mga kalkulasyon mismo sa itaas.

Sa halimbawang ito, ito ay madaling gawin, hinahati namin ang pangalawang linya sa -5 (dahil ang lahat ng mga numero ay nahahati sa 5 nang walang natitira). Kasabay nito, hinahati namin ang ikatlong linya ng -2, dahil mas maliit ang numero, mas simple ang solusyon:

Sa huling yugto ng elementarya na pagbabago, isa pang zero ang dapat makuha dito:

Para dito sa ikatlong linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -2:
Subukang i-parse ang pagkilos na ito sa iyong sarili - i-multiply sa isip ang pangalawang linya sa -2 at isagawa ang karagdagan.

Ang huling aksyon na ginawa ay ang hairstyle ng resulta, hatiin ang ikatlong linya ng 3.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na paunang sistema ng mga linear na equation: Malamig.

Ngayon ang baligtad na kurso ng pamamaraang Gaussian ay naglalaro. Ang mga equation ay "unwind" mula sa ibaba pataas.

Sa ikatlong equation, mayroon na tayong natapos na resulta:

Tingnan natin ang pangalawang equation: . Ang kahulugan ng "z" ay kilala na, kaya:

At sa wakas, ang unang equation: . Ang "Y" at "Z" ay kilala, ang bagay ay maliit:

Sagot:

Tulad ng paulit-ulit na nabanggit, para sa anumang sistema ng mga equation, posible at kinakailangan upang suriin ang nahanap na solusyon, sa kabutihang palad, hindi ito mahirap at mabilis.

Halimbawa 2

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili, isang halimbawa ng pagtatapos at isang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Dapat tandaan na ang iyong kurso ng aksyon maaaring hindi tumutugma sa aking kilos, at ito ay isang tampok ng pamamaraang Gauss. Ngunit ang mga sagot ay dapat na pareho!

Halimbawa 3

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Ginawa ko ito: (1) Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Kung sino ang gustong makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng karagdagang galaw: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).

(2) Ang unang hilera na pinarami ng 5 ay idinagdag sa ikalawang hanay. Ang unang hilera na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong hanay.

(3) Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.

(4) Ang pangalawang linya na pinarami ng 2 ay idinagdag sa ikatlong linya.

(5) Ang ikatlong hanay ay hinati ng 3.

Ang isang masamang senyales na nagpapahiwatig ng isang error sa pagkalkula (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" bottom line. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay tulad ng nasa ibaba, at, nang naaayon, , pagkatapos ay may mataas na antas ng posibilidad na maipagtatalunan na ang isang pagkakamali ay ginawa sa kurso ng mga pagbabagong elementarya.

Sinisingil namin ang reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaaalala ko sa iyo, ay gumagana mula sa ibaba pataas. Oo, narito ang isang regalo:

Sagot: .

Halimbawa 4

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, ito ay medyo mas kumplikado. Okay lang kung may nalilito. Buong solusyon at sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin. Maaaring iba ang iyong solusyon sa akin.

Sa huling bahagi, isinasaalang-alang namin ang ilang mga tampok ng algorithm ng Gauss. Ang unang tampok ay kung minsan ang ilang mga variable ay nawawala sa mga equation ng system, halimbawa: Paano isulat nang tama ang augmented matrix ng system? Napag-usapan ko na ang sandaling ito sa aralin. Ang panuntunan ni Cramer. Paraan ng matrix. Sa pinalawak na matrix ng system, inilalagay namin ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable: Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang medyo madaling halimbawa, dahil mayroon nang isang zero sa unang hanay, at may mas kaunting mga pagbabagong elementarya na dapat gawin.

Ang pangalawang tampok ay ito. Sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, inilagay namin ang alinman sa -1 o +1 sa "mga hakbang". Maaari bang mayroong iba pang mga numero? Sa ilang mga kaso kaya nila. Isaalang-alang ang sistema: .

Dito sa itaas na kaliwang "hakbang" mayroon kaming isang deuce. Ngunit napansin namin ang katotohanan na ang lahat ng mga numero sa unang hanay ay nahahati sa 2 nang walang natitira - at isa pang dalawa at anim. At ang deuce sa kaliwang tuktok ay babagay sa atin! Sa unang hakbang, kailangan mong gawin ang mga sumusunod na pagbabago: idagdag ang unang linya na pinarami ng -1 sa pangalawang linya; sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -3. Kaya, makukuha natin ang ninanais na mga zero sa unang hanay.

O isa pang hypothetical na halimbawa: . Dito, ang triple sa pangalawang "rung" ay nababagay din sa atin, dahil ang 12 (ang lugar kung saan kailangan nating makakuha ng zero) ay nahahati sa 3 nang walang natitira. Kinakailangan na isagawa ang sumusunod na pagbabagong-anyo: sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng -4, bilang isang resulta kung saan ang zero na kailangan natin ay makukuha.

Ang paraan ng Gauss ay unibersal, ngunit mayroong isang kakaiba. Maaari mong kumpiyansa na matutunan kung paano lutasin ang mga system sa pamamagitan ng iba pang mga pamamaraan (paraan ng Cramer, pamamaraan ng matrix) nang literal mula sa unang pagkakataon - mayroong isang napakahigpit na algorithm. Ngunit upang makaramdam ng tiwala sa pamamaraang Gauss, dapat mong "punan ang iyong kamay" at lutasin ang hindi bababa sa 5-10 sampung sistema. Samakatuwid, sa una ay maaaring may pagkalito, mga pagkakamali sa mga kalkulasyon, at walang kakaiba o trahedya dito.

Maulan na panahon ng taglagas sa labas ng bintana .... Samakatuwid, para sa lahat, isang mas kumplikadong halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 5

Lutasin ang isang sistema ng 4 na linear na equation na may apat na hindi alam gamit ang Gauss method.

Ang ganitong gawain sa pagsasanay ay hindi gaanong bihira. Sa palagay ko kahit na ang isang teapot na nag-aral ng pahinang ito nang detalyado ay nauunawaan ang algorithm para sa paglutas ng naturang sistema nang intuitively. Karaniwang pareho - mas maraming aksyon.

Isinasaalang-alang sa aralin ang mga kaso kung saan ang sistema ay walang mga solusyon (hindi naaayon) o may walang katapusang maraming solusyon. Mga hindi tugmang system at system na may karaniwang solusyon. Doon maaari mong ayusin ang isinasaalang-alang na algorithm ng pamamaraang Gauss.

Nagaasam ng iyong tagumpay!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2: Solusyon : Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepped form.
Nagsagawa ng mga pagbabagong elementarya: (1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1. Pansin! Dito ay maaaring maging kaakit-akit na ibawas ang una mula sa ikatlong linya, hindi ko inirerekumenda ang pagbabawas - ang panganib ng error ay lubhang tumataas. Tupi lang tayo! (2) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa -1). Ang pangalawa at pangatlong linya ay napalitan na. tala na sa "mga hakbang" ay nasisiyahan tayo hindi lamang sa isa, kundi pati na rin sa -1, na mas maginhawa. (3) Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 5. (4) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa -1). Ang ikatlong linya ay hinati ng 14.

Baliktad na galaw:

Sagot : .

Halimbawa 4: Solusyon : Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Ginawa ang mga conversion: (1) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa unang linya. Kaya, ang nais na yunit ay nakaayos sa itaas na kaliwang "hakbang". (2) Ang unang hilera na pinarami ng 7 ay idinagdag sa pangalawang hilera. Ang unang hilera na pinarami ng 6 ay idinagdag sa ikatlong hanay.

Sa pangalawang "hakbang" ang lahat ay mas masahol pa , ang "mga kandidato" para dito ay ang mga numero 17 at 23, at kailangan namin ng alinman sa isa o -1. Ang mga pagbabagong-anyo (3) at (4) ay maglalayong makuha ang ninanais na yunit (3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1. (4) Ang ikatlong linya, na pinarami ng -3, ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang kinakailangang bagay sa ikalawang hakbang ay natanggap . (5) Sa ikatlong linya ay idinagdag ang pangalawa, na pinarami ng 6. (6) Ang ikalawang hanay ay pinarami ng -1, ang ikatlong hanay ay hinati sa -83.

Baliktad na galaw:

Sagot :

Halimbawa 5: Solusyon : Isulat natin ang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo:

Ginawa ang mga conversion: (1) Napalitan na ang una at pangalawang linya. (2) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng -3. (3) Ang pangalawang linya na pinarami ng 4 ay idinagdag sa ikatlong linya. Ang pangalawang linya na pinarami ng -1 ay idinagdag sa ikaapat na linya. (4) Ang tanda ng ikalawang linya ay binago. Ang ikaapat na linya ay hinati ng 3 at inilagay sa halip na ang ikatlong linya. (5) Ang ikatlong linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng -5.

Baliktad na galaw:

Sagot :

Mula pa noong simula ng ika-16-18 na siglo, sinimulan ng mga mathematician na masinsinang pag-aralan ang mga function, salamat sa kung saan napakaraming nagbago sa ating buhay. Ang teknolohiya ng computer nang walang kaalamang ito ay hindi iiral. Upang malutas ang mga kumplikadong problema, mga linear na equation at function, ang iba't ibang mga konsepto, theorems at mga diskarte sa solusyon ay nilikha. Isa sa mga unibersal at makatwirang pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga linear na equation at ang kanilang mga sistema ay ang Gauss method. Matrices, ang kanilang ranggo, determinant - lahat ay maaaring kalkulahin nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong operasyon.

Ano ang SLAU

Sa matematika, mayroong konsepto ng SLAE - isang sistema ng linear algebraic equation. Ano ang kinakatawan niya? Ito ay isang hanay ng mga m equation na may mga kinakailangang n hindi alam, karaniwang tinutukoy bilang x, y, z, o x 1 , x 2 ... x n, o iba pang mga simbolo. Lutasin sa pamamaraang Gauss ang sistemang ito- nangangahulugang hanapin ang lahat ng kinakailangang hindi alam. Kung ang sistema ay mayroon ang parehong numero hindi alam at mga equation, pagkatapos ay tinatawag itong n-th order system.

Ang pinakasikat na pamamaraan para sa paglutas ng SLAE

AT institusyong pang-edukasyon ang sekondaryang edukasyon ay nag-aaral ng iba't ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema. Kadalasan ito ay mga simpleng equation na binubuo ng dalawang hindi alam, kaya kahit ano umiiral na pamamaraan hindi magtatagal upang makahanap ng mga sagot sa kanila. Maaari itong maging tulad ng isang paraan ng pagpapalit, kapag ang isa pang equation ay hinango mula sa isang equation at pinalitan sa orihinal na isa. O kataga ayon sa termino pagbabawas at karagdagan. Ngunit ang paraan ng Gauss ay itinuturing na pinakamadali at pinaka-unibersal. Ginagawa nitong posible na malutas ang mga equation sa anumang bilang ng mga hindi alam. Bakit itinuturing na makatwiran ang pamamaraang ito? Ang lahat ay simple. Ang pamamaraan ng matrix ay mabuti dahil hindi ito nangangailangan ng maraming beses upang muling isulat ang mga hindi kinakailangang mga character sa anyo ng mga hindi alam, sapat na upang gawin ang mga operasyon ng aritmetika sa mga coefficient - at makakakuha ka ng isang maaasahang resulta.

Saan ginagamit ang mga SLAE sa pagsasanay?

Ang solusyon ng SLAE ay ang mga punto ng intersection ng mga linya sa mga graph ng mga function. Sa ating high-tech na panahon ng computer, ang mga taong malapit na kasangkot sa pagbuo ng mga laro at iba pang mga programa ay kailangang malaman kung paano lutasin ang mga naturang sistema, kung ano ang kanilang kinakatawan at kung paano suriin ang kawastuhan ng resultang resulta. Kadalasan, ang mga programmer ay bumuo ng mga espesyal na linear algebra calculators, kabilang dito ang isang sistema ng mga linear equation. Ang paraan ng Gauss ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang lahat ng umiiral na mga solusyon. Ginagamit din ang iba pang pinasimpleng formula at pamamaraan.

SLAE compatibility criterion

Ang ganitong sistema ay malulutas lamang kung ito ay magkatugma. Para sa kalinawan, ipinakita namin ang SLAE sa form na Ax=b. Ito ay may solusyon kung ang rang(A) ay katumbas ng rang(A,b). Sa kasong ito, ang (A,b) ay isang pinahabang form na matrix na maaaring makuha mula sa matrix A sa pamamagitan ng muling pagsulat nito ng mga libreng termino. Lumalabas na ang paglutas ng mga linear equation gamit ang Gaussian method ay medyo madali.

Marahil ang ilang notasyon ay hindi lubos na malinaw, kaya't kinakailangang isaalang-alang ang lahat ng may isang halimbawa. Sabihin nating mayroong isang sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Binubuo lamang ito ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi alam. Ang sistema ay magkakaroon lamang ng solusyon kung ang ranggo ng matrix nito ay katumbas ng ranggo ng augmented matrix. Ano ang isang ranggo? Ito ang bilang ng mga independiyenteng linya ng system. Sa aming kaso, ang ranggo ng matrix ay 2. Ang Matrix A ay bubuo ng mga coefficient na matatagpuan malapit sa mga hindi alam, at ang mga coefficient sa likod ng sign na "=" ay magkakasya din sa pinalawak na matrix.

Bakit maaaring katawanin ang SLAE sa anyong matrix

Batay sa compatibility criterion ayon sa napatunayang Kronecker-Capelli theorem, ang sistema ng linear algebraic equation ay maaaring katawanin sa matrix form. Gamit ang Gaussian cascade method, maaari mong lutasin ang matrix at makuha ang tanging maaasahang sagot para sa buong system. Kung ang ranggo ng isang ordinaryong matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix nito, ngunit mas mababa sa bilang ng mga hindi alam, kung gayon ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga sagot.

Mga pagbabago sa matrix

Bago lumipat sa paglutas ng mga matrice, kinakailangang malaman kung anong mga aksyon ang maaaring gawin sa kanilang mga elemento. Mayroong ilang mga pangunahing pagbabago:

• Sa pamamagitan ng muling pagsulat ng system sa isang matrix form at pagsasakatuparan ng solusyon nito, posibleng i-multiply ang lahat ng elemento ng serye sa parehong koepisyent.
• Upang ma-convert ang isang matrix sa canonical form, dalawang parallel row ang maaaring palitan. Ang canonical form ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga elemento ng matrix na matatagpuan sa kahabaan ng pangunahing dayagonal ay nagiging isa, at ang mga natitira ay nagiging mga zero.
• Ang mga kaukulang elemento ng parallel row ng matrix ay maaaring idagdag ng isa sa isa.

Paraan ng Jordan-Gauss

Ang kakanyahan ng paglutas ng mga sistema ng linear homogenous at inhomogeneous equation sa pamamagitan ng Gauss method ay ang unti-unting pagtanggal ng mga hindi alam. Sabihin nating mayroon tayong sistema ng dalawang equation kung saan mayroong dalawang hindi alam. Upang mahanap ang mga ito, kailangan mong suriin ang system para sa pagiging tugma. Ang Gaussian equation ay nalutas nang napakasimple. Kinakailangang isulat ang mga coefficient na matatagpuan malapit sa bawat hindi kilala sa isang matrix form. Upang malutas ang system, kailangan mong isulat ang augmented matrix. Kung ang isa sa mga equation ay naglalaman ng mas maliit na bilang ng mga hindi alam, dapat ilagay ang "0" sa lugar ng nawawalang elemento. Ang lahat ng mga kilalang paraan ng pagbabago ay inilalapat sa matrix: multiplikasyon, paghahati sa isang numero, pagdaragdag ng mga kaukulang elemento ng mga hilera sa bawat isa, at iba pa. Ito ay lumalabas na sa bawat hilera kinakailangan na mag-iwan ng isang variable na may halagang "1", ang natitira ay dapat bawasan sa zero. Para sa isang mas tumpak na pag-unawa, kinakailangang isaalang-alang ang pamamaraang Gauss na may mga halimbawa.

Isang simpleng halimbawa ng paglutas ng 2x2 system

Upang magsimula, kunin natin ang isang simpleng sistema ng mga algebraic equation, kung saan magkakaroon ng 2 hindi alam.

Isulat muli natin ito sa isang augmented matrix.

Upang malutas ang sistemang ito ng mga linear na equation, dalawang operasyon lamang ang kinakailangan. Kailangan nating dalhin ang matrix sa canonical form upang mayroong mga unit kasama ang pangunahing dayagonal. Kaya, ang pagsasalin mula sa matrix form pabalik sa system, nakukuha natin ang mga equation: 1x+0y=b1 at 0x+1y=b2, kung saan ang b1 at b2 ay ang mga sagot na nakuha sa proseso ng paglutas.

1. Ang unang hakbang sa paglutas ng augmented matrix ay ang mga sumusunod: ang unang hilera ay dapat na i-multiply sa -7 at ang mga kaukulang elemento ay idinagdag sa pangalawang hilera, ayon sa pagkakabanggit, upang maalis ang isang hindi alam sa pangalawang equation.
2. Dahil ang solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng Gauss method ay nagpapahiwatig ng pagdadala ng matrix sa canonical form, kung gayon kinakailangan na gawin ang parehong mga operasyon sa unang equation at alisin ang pangalawang variable. Upang gawin ito, ibawas namin ang pangalawang linya mula sa una at makuha ang kinakailangang sagot - ang solusyon ng SLAE. O, tulad ng ipinapakita sa figure, pinarami namin ang pangalawang hilera sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng -1 at idagdag ang mga elemento ng pangalawang hilera sa unang hilera. Ito ay pareho.

Tulad ng nakikita mo, ang aming sistema ay nalutas sa pamamagitan ng pamamaraang Jordan-Gauss. Muli naming isinusulat ito sa kinakailangang anyo: x=-5, y=7.

Isang halimbawa ng paglutas ng SLAE 3x3

Ipagpalagay na mayroon tayong mas kumplikadong sistema ng mga linear equation. Ginagawang posible ng paraan ng Gauss na kalkulahin ang sagot kahit na para sa pinaka tila nakakalito na sistema. Samakatuwid, upang mas malalim ang pag-aaral sa pamamaraan ng pagkalkula, maaari tayong magpatuloy sa isang mas kumplikadong halimbawa na may tatlong hindi alam.

Tulad ng sa nakaraang halimbawa, muling isinulat namin ang system sa anyo ng isang pinalawak na matrix at sinimulan itong dalhin sa canonical form.

Upang malutas ang system na ito, kakailanganin mong magsagawa ng higit pang mga aksyon kaysa sa nakaraang halimbawa.

1. Una kailangan mong gumawa sa unang hanay ng isang solong elemento at ang natitirang mga zero. Upang gawin ito, i-multiply ang unang equation sa -1 at idagdag ang pangalawang equation dito. Mahalagang tandaan na muling isinulat namin ang unang linya sa orihinal nitong anyo, at ang pangalawa - nasa binagong anyo na.
2. Susunod, aalisin namin ang parehong unang hindi alam mula sa ikatlong equation. Upang gawin ito, pinarami namin ang mga elemento ng unang hilera sa pamamagitan ng -2 at idagdag ang mga ito sa ikatlong hilera. Ngayon ang una at pangalawang linya ay muling isinulat sa kanilang orihinal na anyo, at ang pangatlo - mayroon nang mga pagbabago. Tulad ng nakikita mo mula sa resulta, nakuha namin ang una sa simula ng pangunahing dayagonal ng matrix at ang natitira ay mga zero. Ang ilang higit pang mga aksyon, at ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay mapagkakatiwalaan na malulutas.
3. Ngayon ay kailangan mong gawin ang mga operasyon sa iba pang mga elemento ng mga hilera. Ang ikatlo at ikaapat na hakbang ay maaaring pagsamahin sa isa. Kailangan nating hatiin ang pangalawa at pangatlong linya sa -1 upang maalis ang mga negatibo sa dayagonal. Dinala na namin ang ikatlong linya sa kinakailangang form.
4. Susunod, i-canonicalize namin ang pangalawang linya. Upang gawin ito, pinarami namin ang mga elemento ng ikatlong hilera sa pamamagitan ng -3 at idagdag ang mga ito sa pangalawang linya ng matrix. Makikita mula sa resulta na ang pangalawang linya ay nabawasan din sa form na kailangan natin. Ito ay nananatiling gumawa ng ilang higit pang mga operasyon at alisin ang mga coefficient ng mga hindi alam mula sa unang hilera.
5. Upang makagawa ng 0 mula sa pangalawang elemento ng row, kailangan mong i-multiply ang ikatlong row sa -3 at idagdag ito sa unang row.
6. Ang susunod na mapagpasyang hakbang ay ang magdagdag sa unang linya mga kinakailangang elemento pangalawang hilera. Kaya nakuha namin ang canonical form ng matrix, at, nang naaayon, ang sagot.

Tulad ng nakikita mo, ang solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay medyo simple.

Isang halimbawa ng paglutas ng 4x4 na sistema ng mga equation

Ang ilang mas kumplikadong sistema ng mga equation ay maaaring malutas sa pamamagitan ng Gaussian method gamit ang mga computer program. Kinakailangan na magmaneho ng mga coefficient para sa mga hindi alam sa mga umiiral nang walang laman na mga cell, at kakalkulahin ng programa ang kinakailangang resulta nang sunud-sunod, na naglalarawan sa bawat aksyon nang detalyado.

Inilalarawan sa ibaba hakbang-hakbang na pagtuturo mga solusyon sa halimbawang ito.

Sa unang hakbang, ang mga libreng coefficient at numero para sa mga hindi alam ay ipinasok sa mga walang laman na cell. Kaya, nakukuha namin ang parehong augmented matrix na isinusulat namin sa pamamagitan ng kamay.

At ang lahat ng kinakailangang operasyon ng aritmetika ay isinasagawa upang dalhin ang pinalawig na matrix sa canonical form. Dapat itong maunawaan na ang sagot sa isang sistema ng mga equation ay hindi palaging integer. Minsan ang solusyon ay maaaring mula sa mga fractional na numero.

Sinusuri ang kawastuhan ng solusyon

Ang pamamaraang Jordan-Gauss ay nagbibigay para sa pagsuri sa kawastuhan ng resulta. Upang malaman kung ang mga coefficient ay kinakalkula nang tama, kailangan mo lamang na palitan ang resulta sa orihinal na sistema ng mga equation. Ang kaliwang bahagi ng equation ay dapat tumugma sa kanang bahagi, na nasa likod ng equals sign. Kung hindi tumugma ang mga sagot, kailangan mong kalkulahin muli ang system o subukang maglapat ng ibang paraan ng paglutas ng SLAE na alam mo, tulad ng pagpapalit o term-by-term na pagbabawas at karagdagan. Pagkatapos ng lahat, ang matematika ay isang agham na mayroong isang malaking bilang ng iba't ibang mga pamamaraan ng paglutas. Ngunit tandaan: ang resulta ay dapat palaging pareho, anuman ang paraan ng solusyon na iyong ginamit.

Gauss method: ang pinakakaraniwang error sa paglutas ng SLAE

Sa panahon ng desisyon mga linear na sistema mga equation, kadalasang nangyayari ang mga error tulad ng maling paglipat ng mga coefficient sa matrix form. May mga sistema kung saan ang ilang mga hindi alam ay nawawala sa isa sa mga equation, pagkatapos, ang paglilipat ng data sa pinalawak na matrix, maaari silang mawala. Bilang resulta, kapag nilulutas ang sistemang ito, ang resulta ay maaaring hindi tumutugma sa tunay.

Ang isa pa sa mga pangunahing pagkakamali ay maaaring maling pagsulat ng huling resulta. Dapat itong malinaw na maunawaan na ang unang koepisyent ay tumutugma sa unang hindi alam mula sa system, ang pangalawa - sa pangalawa, at iba pa.

Ang pamamaraang Gauss ay inilalarawan nang detalyado ang solusyon ng mga linear na equation. Salamat sa kanya, madaling gawin ang mga kinakailangang operasyon at hanapin ang tamang resulta. Bilang karagdagan, ito ay isang unibersal na tool para sa paghahanap ng isang maaasahang sagot sa mga equation ng anumang kumplikado. Marahil iyon ang dahilan kung bakit madalas itong ginagamit sa paglutas ng SLAE.

Ngayon ay haharapin natin ang pamamaraang Gauss para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear algebraic equation. Maaari mong basahin ang tungkol sa kung ano ang mga sistemang ito sa nakaraang artikulo na nakatuon sa paglutas ng parehong SLAE sa pamamagitan ng paraan ng Cramer. Ang pamamaraang Gauss ay hindi nangangailangan ng anumang partikular na kaalaman, tanging pangangalaga at pagkakapare-pareho ang kailangan. Sa kabila ng katotohanan na mula sa punto ng view ng matematika, ang paghahanda sa paaralan ay sapat na para sa aplikasyon nito, ang pag-master ng pamamaraang ito ay kadalasang nagiging sanhi ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral. Sa artikulong ito, susubukan naming bawasan ang mga ito sa wala!

Pamamaraan ng Gauss

M Pamamaraan ng Gauss ay ang pinaka-unibersal na paraan para sa paglutas ng SLAE (maliban sa, well, very malalaking sistema). Hindi tulad ng tinalakay kanina, ito ay angkop hindi lamang para sa mga system na may natatanging solusyon, kundi pati na rin para sa mga system na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Mayroong tatlong mga pagpipilian dito.

1. Ang sistema ay may natatanging solusyon (ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero);
2. Ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon;
3. Walang solusyon, hindi tugma ang sistema.

Kaya, mayroon tayong sistema (hayaan itong magkaroon ng isang solusyon), at lulutasin natin ito gamit ang Gaussian method. Paano ito gumagana?

Ang pamamaraang Gaussian ay binubuo ng dalawang yugto - direkta at kabaligtaran.

Direktang Gauss na pamamaraan

Una, isinulat namin ang augmented matrix ng system. Para magawa ito, nagdaragdag kami ng column ng mga libreng miyembro sa pangunahing matrix.

Ang buong diwa ng pamamaraang Gaussian ay upang bawasan ang matrix na ito sa isang stepped (o, gaya ng sinasabi nila, tatsulok) na anyo sa pamamagitan ng mga elementarya na pagbabago. Sa form na ito, dapat mayroong mga zero lamang sa ilalim (o sa itaas) ng pangunahing dayagonal ng matrix.

Ano ang maaaring gawin:

1. Maaari mong muling ayusin ang mga hilera ng matrix;
2. Kung mayroong magkapareho (o proporsyonal) na mga hilera sa matrix, maaari mong tanggalin ang lahat maliban sa isa sa mga ito;
3. Maaari mong i-multiply o hatiin ang isang string sa anumang numero (maliban sa zero);
4. Ang mga zero na linya ay tinanggal;
5. Maaari kang magdagdag ng string na pinarami ng hindi zero na numero sa isang string.

Baliktarin ang pamamaraan ng Gauss

Pagkatapos naming baguhin ang sistema sa ganitong paraan, hindi alam ang isa xn nagiging kilala, at posibleng mahanap ang lahat ng natitirang hindi alam sa reverse order, na pinapalitan ang mga kilala na x sa mga equation ng system, hanggang sa una.

Kapag ang Internet ay laging nasa kamay, maaari mong lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method online. Ang kailangan mo lang gawin ay ilagay ang mga logro sa online na calculator. Ngunit dapat mong aminin, ito ay mas kaaya-aya upang mapagtanto na ang halimbawa ay nalutas hindi sa pamamagitan ng isang computer program, ngunit sa pamamagitan ng iyong sariling utak.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method

At ngayon - isang halimbawa, upang ang lahat ay maging malinaw at nauunawaan. Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na equation, at ito ay kinakailangan upang malutas ito sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss:

Una, isulat natin ang augmented matrix:

Ngayon tingnan natin ang mga pagbabagong-anyo. Tandaan na kailangan nating makamit ang isang triangular na anyo ng matrix. I-multiply ang 1st row sa (3). I-multiply ang 2nd row sa (-1). Idagdag natin ang 2nd row sa 1st at makuha ang:

Pagkatapos ay i-multiply ang 3rd row sa (-1). Idagdag natin ang ika-3 linya sa ika-2:

I-multiply ang 1st row sa (6). I-multiply ang 2nd row sa (13). Idagdag natin ang 2nd line sa 1st:

Voila - ang sistema ay dinadala sa naaangkop na anyo. Ito ay nananatiling hanapin ang mga hindi alam:

Ang sistema sa halimbawang ito ay may natatanging solusyon. Isasaalang-alang namin ang solusyon ng mga system na may walang katapusang hanay ng mga solusyon sa isang hiwalay na artikulo. Marahil sa una ay hindi mo alam kung saan magsisimula sa mga pagbabagong matrix, ngunit pagkatapos ng naaangkop na pagsasanay ay makukuha mo ang iyong mga kamay dito at i-click ang Gaussian SLAE na parang mga mani. At kung bigla kang makatagpo ng isang SLAU, na lumalabas na masyadong matigas para ma-crack, makipag-ugnayan sa aming mga may-akda! magagawa mo sa pamamagitan ng pag-iwan ng aplikasyon sa Correspondence. Sama-sama nating lutasin ang anumang problema!

Isaalang - alang natin ang mga eksaktong pamamaraan para sa paglutas ng sistema ; narito ang dimension matrix

Ang isang paraan para sa paglutas ng isang problema ay inuri bilang eksakto kung, sa ilalim ng pagpapalagay na walang mga roundings, ito ay nagbibigay ng eksaktong solusyon sa problema pagkatapos ng isang may hangganang bilang ng mga aritmetika at lohikal na operasyon. Kung ang bilang ng mga nonzero na elemento ng matrix ng system ay nasa pagkakasunud-sunod ng , kung gayon para sa karamihan ng kasalukuyang ginagamit na eksaktong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema, ang kinakailangang bilang ng mga operasyon ay nasa pagkakasunud-sunod ng . Samakatuwid, para sa kakayahang magamit ng mga eksaktong pamamaraan, kinakailangan na ang naturang pagkakasunud-sunod ng bilang ng mga operasyon ay katanggap-tanggap para sa isang naibigay na computer; iba pang mga paghihigpit ay ipinapataw ng dami at istraktura ng memorya ng computer.

Ang sugnay tungkol sa "mga pamamaraan na kasalukuyang ginagamit" ay may sumusunod na kahulugan. Mayroong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema na may mas mababang bilang ng mga operasyon, ngunit hindi sila aktibong ginagamit dahil sa malakas na sensitivity ng resulta sa computational error.

Ang pinakatanyag sa mga eksaktong pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation ay ang Gauss elimination method. Isaalang-alang natin ang isa sa mga posibleng pagpapatupad nito. Ipagpalagay na , ang unang equation ng system

hatiin sa koepisyent , bilang isang resulta makuha namin ang equation

Pagkatapos, mula sa bawat isa sa natitirang mga equation, ang unang equation ay ibabawas, na pinarami ng naaangkop na koepisyent . Bilang resulta, ang mga equation na ito ay binago sa anyo

Ang unang hindi alam ay lumabas na hindi kasama sa lahat ng mga equation maliban sa una. Dagdag pa, sa ilalim ng pagpapalagay na , hinahati namin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng coefficient at ibinubukod ang hindi alam sa lahat ng equation, simula sa pangalawa, at iba pa. Bilang resulta ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam, ang sistema ng mga equation ay binago sa isang sistema ng mga equation na may triangular matrix

Ang hanay ng mga kalkulasyon na isinagawa, kung saan ang orihinal na problema ay binago sa anyo (2), ay tinatawag na direktang kurso ng pamamaraang Gauss.

Mula sa equation ng system (2) tinutukoy namin ang , mula sa , atbp. hanggang sa . Ang kabuuan ng naturang mga kalkulasyon ay tinatawag na reverse course ng Gauss method.

Madaling suriin na ang pagpapatupad ng pasulong na paglipat ng pamamaraang Gauss ay nangangailangan ng mga operasyong aritmetika, at ang reverse run ay nangangailangan ng mga operasyong aritmetika.

Ang pagbubukod ay nangyayari bilang resulta ng mga sumusunod na operasyon: 1) paghahati ng equation sa pamamagitan ng , 2) pagbabawas ng equation na nakuha pagkatapos ng naturang dibisyon, na pinarami ng , mula sa mga equation na may mga numerong k . Ang unang operasyon ay katumbas ng pagpaparami ng sistema ng mga equation sa kaliwa ng diagonal matrix

ang pangalawang operasyon ay katumbas ng multiplikasyon sa kaliwa ng matrix

Kaya, ang sistema (2) na nakuha bilang resulta ng mga pagbabagong ito ay maaaring isulat bilang

Ang produkto ng kaliwa (kanan) tatsulok na matrix ay isang kaliwa (kanan) tatsulok na matrix, kaya ang C ay isang kaliwang tatsulok na matrix. Mula sa formula para sa mga elemento ng inverse matrix

ito ay sumusunod na ang matrix inverse sa isang kaliwa (kanan) tatsulok ay isang kaliwa (kanan) tatsulok. Samakatuwid, ang matrix ay kaliwang tatsulok.

Ipakilala natin ang notasyon. Ayon sa konstruksiyon, ang lahat at ang matrix D ay tamang tatsulok. Mula dito nakuha namin ang representasyon ng matrix A bilang isang produkto ng kaliwa at kanang triangular na matrice:

Ang pagkakapantay-pantay, kasama ang kundisyon, ay bumubuo ng isang sistema ng mga equation na may paggalang sa mga elemento ng triangular na matrice B at : . Dahil para sa at para sa , ang sistemang ito ay maaaring isulat bilang

(3)

o, na pareho,

Gamit ang kundisyon na lahat tayo ay nakakakuha ng isang sistema ng pag-uulit na mga relasyon para sa pagtukoy ng mga elemento at :

Ang mga kalkulasyon ay isinasagawa nang sunud-sunod para sa mga set. Dito at sa ibaba, sa kaso kapag ang pinakamataas na limitasyon sa pagbubuod ay mas mababa kaysa sa mas mababa, ipinapalagay na ang buong kabuuan ay katumbas ng zero.

Kaya, sa halip na sunud-sunod na pagbabago ng sistema (1) sa anyo (2), maaaring direktang kalkulahin ng isa ang mga matrice B at gamit ang mga formula (4). Ang mga kalkulasyon na ito ay maaari lamang isagawa kung ang lahat ng mga elemento ay iba sa zero. Hayaan ang mga matrice ng mga pangunahing menor de edad ng pagkakasunud-sunod ng mga matrice A, B, D. Ayon sa (3) . Dahil, kung gayon. Dahil dito,

Kaya, upang maisagawa ang mga kalkulasyon ayon sa mga formula (4), ito ay kinakailangan at sapat upang matupad ang mga kondisyon

Sa ilang mga kaso, alam nang maaga na ang kondisyon (5) ay natutugunan. Halimbawa, maraming problema ng matematikal na pisika ang nabawasan sa paglutas ng mga sistema na may positibong tiyak na matrix A. Gayunpaman, sa pangkalahatang kaso hindi ito masasabi nang maaga. Posible rin ang ganitong kaso: lahat, ngunit kabilang sa mga dami ay napakaliit, at kapag hinati sa kanila, ang malalaking numero na may malaking ganap na mga error ay makukuha. Bilang isang resulta, ang solusyon ay magiging malakas na baluktot.

Tukuyin natin ang . Since and , then the equalities hold. Kaya, pagkatapos mabulok ang matrix ng orihinal na sistema sa produkto ng kaliwa at kanang tatsulok na matrice, ang solusyon ng orihinal na sistema ay nabawasan sa sunud-sunod na solusyon ng dalawang sistema na may mga triangular na matrice; mangangailangan ito ng mga operasyong aritmetika.

Ito ay madalas na maginhawa upang pagsamahin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon para sa decomposing ang matrix A sa produkto ng triangular matrices at para sa pagtukoy ng vector d. Mga equation

Ang mga sistema ay maaaring isulat bilang

Samakatuwid, ang mga halaga ay maaaring kalkulahin nang sabay-sabay sa natitirang mga halaga gamit ang mga formula (4).

Kapag nilulutas ang mga praktikal na problema, madalas na kinakailangan upang malutas ang mga sistema ng mga equation na may isang matrix na naglalaman ng isang malaking bilang ng mga zero na elemento.

Karaniwan, ang mga matrice na ito ay may tinatawag na istraktura ng banda. Mas tiyak, ang matrix A ay tinatawag na -diagonal o may istraktura ng banda, kung sa . Ang numero ay tinatawag na lapad ng tape. Ito ay lumiliko na kapag ang paglutas ng isang sistema ng mga equation na may tape matrix sa pamamagitan ng paraan ng Gauss, ang bilang ng mga operasyon sa aritmetika at ang kinakailangang halaga ng memorya ng computer ay maaaring makabuluhang bawasan.

Gawain 1. Siyasatin ang mga katangian ng Gauss method at ang paraan ng paglutas ng system gamit ang decomposition ng band matrix A sa produkto ng kaliwa at kanang triangular matrice. Ipakita na ang mga pagpapatakbo ng aritmetika ay kinakailangan upang mahanap ang solusyon (para sa ). Hanapin ang nangungunang miyembro ng bilang ng mga operasyon sa ilalim ng kundisyon.

Gawain 2. Tantyahin ang dami ng na-load na memorya ng computer sa pamamaraang Gauss para sa mga band matrice.

Kapag nagkalkula nang walang tulong ng isang computer, mayroong isang mataas na posibilidad mga random na error. Upang maalis ang gayong mga pagkakamali, kung minsan ay ipinakilala ang isang control system, na binubuo ng mga elemento ng kontrol ng mga equation ng system

Kapag binabago ang mga equation, ang parehong mga operasyon ay isinasagawa sa mga elemento ng kontrol tulad ng sa mga libreng miyembro ng mga equation. Bilang resulta, ang elemento ng kontrol ng bawat bagong equation ay dapat na katumbas ng kabuuan ng mga coefficient ng equation na ito. Ang isang malaking pagkakaiba sa pagitan ng mga ito ay nagpapahiwatig ng mga error sa mga kalkulasyon o ang kawalang-tatag ng algorithm ng pagkalkula na may kaugnayan sa computational error.

Halimbawa, sa kaso ng pagdadala ng sistema ng mga equation sa anyo gamit ang mga formula (4), ang control element ng bawat isa sa mga equation ng system ay kinakalkula gamit ang parehong mga formula (4). Pagkatapos kalkulahin ang lahat ng mga elemento sa isang nakapirming kontrol ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagsuri sa pagkakapantay-pantay

Ang baligtad na kurso ng pamamaraang Gauss ay sinamahan din ng pagkalkula ng mga elemento ng kontrol ng mga hilera ng system.

Upang maiwasan ang sakuna na impluwensya ng computational error, ang Gaussian method ay ginagamit sa pagpili ng pangunahing elemento.

Ang pagkakaiba nito sa iskema ng pamamaraang Gaussian na inilarawan sa itaas ay ang mga sumusunod. Hayaan, sa kurso ng pag-aalis ng mga hindi alam, ang sistema ng mga equation

Hanapin natin ang ganyan at muling tukuyin at ; pagkatapos ay aalisin natin ang hindi alam sa lahat ng equation, simula sa . Ang ganitong muling pagtatalaga ay humahantong sa isang pagbabago sa pagkakasunud-sunod ng pag-aalis ng mga hindi alam at sa maraming mga kaso ay makabuluhang binabawasan ang sensitivity ng solusyon sa mga error sa pag-ikot sa mga kalkulasyon.

Kadalasan ito ay kinakailangan upang malutas ang ilang mga sistema ng mga equation , na may parehong matrix A. Ito ay maginhawa upang magpatuloy tulad ng sumusunod: sa pamamagitan ng pagpapasok ng notasyon

Magsagawa tayo ng mga kalkulasyon gamit ang mga formula (4), at kalkulahin ang mga elemento sa . Bilang isang resulta, ang mga p system ng mga equation na may isang tatsulok na matrix ay makukuha, na tumutugma sa orihinal na problema

Nire-solve namin ang mga system na ito nang hiwalay. Lumalabas na ang kabuuang bilang ng mga operasyong aritmetika sa paglutas ng mga p system ng mga equation sa ganitong paraan ay .

Ang pamamaraan na inilarawan sa itaas ay minsan ginagamit upang makakuha ng paghuhusga sa error ng solusyon, na bunga ng mga error sa pag-ikot sa mga kalkulasyon, nang walang makabuluhang karagdagang gastos. Ang mga ito ay ibinibigay ng vector z na may mga bahagi na mayroong, kung maaari, ang parehong pagkakasunud-sunod at sign bilang mga bahagi ng nais na solusyon; madalas dahil sa kakulangan ng sapat na impormasyong kinukuha nila. Ang vector ay kinakalkula, at kasama ang orihinal na sistema ng mga equation, ang sistema ay nalutas.

Hayaan at z ay aktwal na makuha ang mga solusyon ng mga sistemang ito. Ang paghuhusga tungkol sa pagkakamali ng nais na solusyon ay maaaring makuha batay sa hypothesis: ang mga kamag-anak na pagkakamali sa paglutas sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga system na may parehong matrix at magkakaibang kanang bahagi, na, ayon sa pagkakabanggit, ang mga halaga at , magkakaiba. hindi sa napakaraming beses.

Ang isa pang pamamaraan para sa pagkuha ng paghatol tungkol sa tunay na halaga ng error na lumitaw dahil sa pag-round off sa mga kalkulasyon ay ang pagbabago ng sukat, na nagbabago sa larawan ng akumulasyon ng computational error.

Kasama ang orihinal na sistema, ang sistema ay nalulutas sa parehong paraan

Para sa at , na hindi mga integer na kapangyarihan ng dalawa, ang paghahambing ng mga vectors at nagbibigay ng ideya ng magnitude ng computational error. Halimbawa, maaari mong kunin ang .

Ang pag-aaral ng maraming problema ay humahantong sa pangangailangang lutasin ang mga sistema ng mga linear na equation na may simetriko na positibong tiyak na matrix. Ang ganitong mga sistema ay lumitaw, halimbawa, kapag naglutas differential equation finite element method o finite difference method. Sa mga kasong ito, ang matrix ng system ay mayroon ding istraktura ng banda.

Ang paraan parisukat na ugat(Paraan ng Cholesky). Ang Matrix A ay kinakatawan bilang

kung saan ang S ay isang right triangular matrix, ay ang conjugate nito, i.e.

na ang lahat ay isang dayagonal matrix na may mga elemento na katumbas ng o -1. Ang pagkakapantay-pantay ng matrix (6) ay bumubuo ng isang sistema ng mga equation

Ang mga katulad na equation para sa ay itinatapon, dahil ang mga equation na tumutugma sa mga pares at ay katumbas. Mula dito nakakakuha tayo ng paulit-ulit na mga formula para sa pagtukoy ng mga elemento at :

Ang matrix S ay tamang tatsulok, at sa gayon, pagkatapos makuha ang representasyon (6), ang solusyon ng orihinal na sistema ay bumababa din sa Sequential na solusyon ng dalawang sistema na may mga triangular na matrice. Tandaan na sa kaso ng lahat at .

Gawain 3. Tantyahin ang bilang ng mga pagpapatakbo ng aritmetika at pag-load ng memorya ng computer (ipagpalagay na ang halaga ng memorya na kinakailangan upang maimbak ang matrix A ay bumababa) kapag nilulutas ang isang system na may tunay na positibong tiyak na matrix A sa pamamagitan ng square root method.

Maraming software packages para sa paglutas ng mga problema sa boundary value ng mathematical physics sa pamamagitan ng finite element method ay inayos ayon sa sumusunod na scheme. Matapos mabuo ang matrix ng system A sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga row at column (parehong row at column ay sabay na muling inayos), ang system ay na-convert sa form na may pinakamaliit na lapad ng tape. Susunod, ang paraan ng square root ay inilapat. Kasabay nito, upang mabawasan ang dami ng mga kalkulasyon kapag nilulutas ang isang sistema sa iba pang mga kanang bahagi, ang matrix S ay kabisado.