Ang pagkakaroon ng karaniwang form na $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, kung saan ang kaliwang bahagi ay ang kabuuang differential ng ilang function $F Ang \left( x,y\right)$ ay tinatawag na equation sa kabuuang differentials.

Ang kabuuang differential equation ay palaging maaaring muling isulat bilang $dF\left(x,y\right)=0$, kung saan ang $F\left(x,y\right)$ ay isang function na ang $dF\left(x, y) \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Isinasama namin ang magkabilang panig ng equation $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; ang integral ng zero na kanang bahagi ay katumbas ng isang arbitraryong pare-parehong $C$. kaya, karaniwang desisyon ng equation na ito sa implicit form ay may anyong $F\left(x,y\right)=C$.

Para ang isang ibinigay na differential equation ay isang equation sa kabuuang differentials, ito ay kinakailangan at sapat na ang kondisyon na $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ ay matugunan . Kung nasiyahan ang kundisyong ito, mayroong isang function na $F\left(x,y\right)$ kung saan maaari naming isulat: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, kung saan nakakuha tayo ng dalawang relasyon: $\ frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ at $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.

Isinasama namin ang unang ugnayang $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ sa $x$ at makakuha ng $F\left(x,y\right)=\int P\ kaliwa(x,y\kanan)\cdot dx +U\kaliwa(y\kanan)$ kung saan $U\kaliwa(y\kanan)$ -- arbitrary function mula sa $y$.

Piliin natin ito upang ang pangalawang ugnayan na $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ ay nasiyahan. Upang gawin ito, iniiba namin ang resultang kaugnayan para sa $F\left(x,y\right)$ na may paggalang sa $y$ at itinutumbas ang resulta sa $Q\left(x,y\right)$. Nakukuha namin ang: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\kanan)$.

Ang susunod na solusyon ay:

• mula sa huling pagkakapantay-pantay ay makikita natin ang $U"\left(y\right)$;
• isama ang $U"\left(y\right)$ at hanapin ang $U\left(y\right)$;
• palitan ang $U\left(y\right)$ sa $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ at sa wakas nakuha namin ang function na $F\left(x,y\right)$.

\

Natagpuan namin ang pagkakaiba:

Isinasama namin ang $U"\left(y\right)$ sa $y$ at hanapin ang $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Hanapin ang resulta: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon bilang $F\left(x,y\right)=C$, namely:

Humanap ng partikular na solusyon $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kung saan $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Ang isang partikular na solusyon ay may anyo: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

ilang function. Kung ibabalik natin ang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito, makikita natin ang pangkalahatang integral differential equation. Sa ibaba ay pag-uusapan natin ang paraan ng pagbawi ng isang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito.

Ang kaliwang bahagi ng differential equation ay ang kabuuang differential ng ilang function U(x, y) = 0 kung matugunan ang kondisyon.

kasi kabuuang pagkakaiba ng isang function U(x, y) = 0 Ito , na nangangahulugan na sa ilalim ng mga kundisyon ay sinasabi nila na .

pagkatapos, .

Mula sa unang equation ng system, nakuha namin . Nahanap namin ang function gamit ang pangalawang equation ng system:

Kaya, makikita natin ang nais na pag-andar U(x, y) = 0.

Halimbawa.

Hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng DE .

Solusyon.

Sa ating halimbawa. Ang kundisyon ay natutugunan dahil:

Pagkatapos, ang kaliwang bahagi ng paunang DE ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function U(x, y) = 0. Kailangan nating hanapin ang function na ito.

kasi ay ang kabuuang pagkakaiba ng function U(x, y) = 0, Ibig sabihin:

.

Pagsasama-sama x 1st equation ng system at differentiable na may kinalaman sa y resulta:

.

Mula sa 2nd equation ng system ay nakuha namin. Ibig sabihin:

saan SA ay isang arbitrary na pare-pareho.

Kaya, at ang pangkalahatang integral ng ibinigay na equation ay magiging .

May isang segundo paraan para sa pagkalkula ng isang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito. Binubuo ito sa pagkuha ng curvilinear integral ng isang nakapirming punto (x0, y0) sa isang punto na may variable na coordinate (x, y): . Sa kasong ito, ang halaga ng integral ay independiyente sa landas ng pagsasama. Maginhawang kunin bilang integration path ang isang putol na linya na ang mga link ay parallel sa mga coordinate axes.

Halimbawa.

Hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng DE .

Solusyon.

Sinusuri namin ang katuparan ng kondisyon:

Kaya, ang kaliwang bahagi ng DE ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function U(x, y) = 0. Nahanap namin ang function na ito sa pamamagitan ng pagkalkula ng curvilinear integral ng punto (1; 1) dati (x, y). Kumuha kami ng polyline bilang isang integration path: dadaan kami sa unang seksyon ng polyline sa isang tuwid na linya y=1 mula sa punto (1, 1) dati (x, 1), bilang pangalawang seksyon ng landas na kumukuha kami ng isang tuwid na bahagi ng linya mula sa punto (x, 1) dati (x, y):

Kaya ang pangkalahatang solusyon ng DE ay ganito: .

Halimbawa.

Tukuyin natin ang pangkalahatang solusyon ng DE .

Solusyon.

kasi , kung gayon ang kundisyon ay hindi natutugunan, kung gayon ang kaliwang bahagi ng DE ay hindi magiging kabuuang pagkakaiba ng function at kailangan mong gamitin ang pangalawang paraan ng solusyon (ang equation na ito ay isang differential equation na may mga separable variable).

Ipinapakita kung paano makilala ang isang differential equation sa kabuuang differentials. Ang mga pamamaraan para sa solusyon nito ay ibinigay. Ang isang halimbawa ng paglutas ng isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba sa dalawang paraan ay ibinigay.

Nilalaman

Panimula

Ang first-order differential equation sa kabuuang differentials ay isang equation ng form:
(1) ,
kung saan ang kaliwang bahagi ng equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function na U (x, y) sa mga variable x, y :
.
Kung saan .

Kung ang ganitong function U (x, y), pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:
dU (x, y) = 0.
Pangkalahatang integral nito:
U (x, y) = C,
kung saan ang C ay isang pare-pareho.

Kung ang first order differential equation ay nakasulat sa mga tuntunin ng derivative:
,
pagkatapos ito ay madaling dalhin ito sa form (1) . Upang gawin ito, i-multiply ang equation sa dx. Tapos . Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang equation na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga pagkakaiba:
(1) .

Property ng isang differential equation sa kabuuang differentials

Upang ang equation (1) ay isang equation sa kabuuang pagkakaiba, ito ay kinakailangan at sapat na ang sumusunod na kaugnayan ay nasiyahan:
(2) .

Patunay

Dagdag pa, ipinapalagay namin na ang lahat ng mga function na ginamit sa patunay ay tinukoy at may kaukulang mga derivative sa ilang hanay ng x at y. punto x 0 , y0 kabilang din sa lugar na ito.

Patunayan natin ang pangangailangan ng kondisyon (2).
Hayaan ang kaliwang bahagi ng equation (1) ay ang pagkakaiba ng ilang function na U (x, y):
.
Pagkatapos
;
.
Dahil ang pangalawang derivative ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng pagkita ng kaibhan, kung gayon
;
.
Kaya naman sinusunod iyon. Kondisyon ng pangangailangan (2) napatunayan.

Patunayan natin ang kasapatan ng kondisyon (2).
Hayaan ang kondisyon (2) :
(2) .
Ipakita natin na posibleng makahanap ng ganoong function na U (x, y) na ang pagkakaiba nito ay:
.
Nangangahulugan ito na mayroong ganoong function na U (x, y), na nakakatugon sa mga equation:
(3) ;
(4) .
Maghanap tayo ng ganoong function. Pinagsasama namin ang equation (3) sa pamamagitan ng x mula sa x 0 sa x , sa pag-aakalang y ay isang pare-pareho:
;
;
(5) .
Magkaiba nang may paggalang sa y, ipagpalagay na ang x ay pare-pareho at ilapat (2) :

.
Ang equation (4) ipapatupad kung
.
Pagsasama ng higit sa y mula sa y 0 kay y:
;
;
.
Palitan sa (5) :
(6) .
Kaya nakahanap kami ng isang function na ang pagkakaiba ay
.
Ang sapat ay napatunayan.

Sa formula (6) , U (x0, y0) ay isang pare-pareho - ang halaga ng function na U (x, y) sa punto x 0 , y0. Maaari itong italaga ng anumang halaga.

Paano makilala ang isang differential equation sa kabuuang differentials

Isaalang-alang ang differential equation:
(1) .
Upang matukoy kung ang equation na ito ay nasa buong pagkakaiba, kailangan mong suriin ang kundisyon (2) :
(2) .
Kung ito ay humahawak, kung gayon ito ay isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba. Kung hindi, hindi ito isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba.

Halimbawa

Suriin kung ang equation ay nasa kabuuang pagkakaiba:
.

Dito
, .
Magkaiba nang may kinalaman sa y, sa pag-aakalang ang x ay pare-pareho:


.
Pag-iiba


.
Dahil ang:
,
pagkatapos ang ibinigay na equation ay nasa kabuuang pagkakaiba.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga differential equation sa kabuuang differentials

Sequential Differential Extraction Method

Karamihan simpleng paraan ang paglutas ng equation sa kabuuang differentials ay ang paraan ng sunud-sunod na pagkuha ng differential. Upang gawin ito, gumagamit kami ng mga formula ng pagkita ng kaibhan na nakasulat sa anyo ng kaugalian:
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Sa mga formula na ito, ang u at v ay mga arbitrary na expression na binubuo ng anumang kumbinasyon ng mga variable.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation:
.

Mas maaga ay nalaman namin na ang equation na ito ay nasa kabuuang pagkakaiba. Ibahin natin ito:
(P1) .
Nilulutas namin ang equation sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-highlight sa differential.
;
;
;
;

.
Palitan sa (P1):
;
.

Pamamaraan ng sunud-sunod na pagsasama

Sa pamamaraang ito, hinahanap namin ang function na U (x, y), na nagbibigay-kasiyahan sa mga equation:
(3) ;
(4) .

Pinagsasama namin ang equation (3) sa x, sa pag-aakalang y ay pare-pareho:
.
Dito φ (y) ay isang arbitrary na function ng y upang tukuyin. Ito ay isang pare-pareho ng pagsasama. Pinapalitan namin ang equation (4) :
.
Mula rito:
.
Pagsasama, nakita namin ang φ (y) at kaya U (x, y).

Halimbawa 2

Lutasin ang equation sa kabuuang differentials:
.

Mas maaga ay nalaman namin na ang equation na ito ay nasa kabuuang pagkakaiba. Ipakilala natin ang notasyon:
, .
Naghahanap ng Function U (x, y), na ang pagkakaiba ay ang kaliwang bahagi ng equation:
.
Pagkatapos:
(3) ;
(4) .
Pinagsasama namin ang equation (3) sa x, sa pag-aakalang y ay pare-pareho:
(P2)
.
Magkaiba nang may kinalaman sa y :

.
Palitan sa (4) :
;
.
Pinagsasama namin:
.
Palitan sa (P2):

.
Pangkalahatang integral ng equation:
U (x, y) = const.
Pinagsasama namin ang dalawang constants sa isa.

Paraan ng pagsasama sa isang kurba

Ang function na U na tinukoy ng kaugnayan:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsasama ng equation na ito sa kahabaan ng curve na nagkokonekta sa mga puntos (x0, y0) At (x, y):
(7) .
Dahil ang
(8) ,
kung gayon ang integral ay nakasalalay lamang sa mga coordinate ng inisyal (x0, y0) at pangwakas (x, y) puntos at hindi nakadepende sa hugis ng kurba. Mula sa (7) At (8) nakita namin:
(9) .
Dito x 0 at y 0 - permanente. Samakatuwid U (x0, y0) ay pare-pareho din.

Ang isang halimbawa ng naturang kahulugan ng U ay nakuha sa patunay:
(6) .
Dito, ginagawa muna ang pagsasama kasama ang isang segment na kahanay sa y axis mula sa punto (x 0 , y 0 ) sa punto (x0, y). Pagkatapos ang pagsasama ay ginanap sa isang segment na kahanay sa x axis mula sa punto (x0, y) sa punto (x, y) .

Sa mas maraming pangkalahatang kaso, kailangan mong kumatawan sa equation ng curve na nagkokonekta sa mga puntos (x 0 , y 0 ) At (x, y) sa parametric form:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
at pagsamahin sa ibabaw ng t 1 mula sa t 0 sa t.

Ang pinakasimpleng pagsasama ay sa ibabaw ng segment na nagkokonekta sa mga punto (x 0 , y 0 ) At (x, y). Sa kasong ito:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Pagkatapos ng pagpapalit, nakukuha natin ang integral sa t ng 0 dati 1 .
Ang pamamaraang ito, gayunpaman, ay humahantong sa medyo masalimuot na mga kalkulasyon.

Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng Differential Equation, LKI, 2015.

Kahulugan 8.4. Differential equation ng form

saan
ay tinatawag na total differential equation.

Tandaan na ang kaliwang bahagi ng naturang equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function
.

Sa pangkalahatang kaso, ang equation (8.4) ay maaaring katawanin bilang

Sa halip na equation (8.5), maaaring isaalang-alang ng isa ang equation

,

na ang solusyon ay ang pangkalahatang integral ng equation (8.4). Kaya, upang malutas ang equation (8.4) ito ay kinakailangan upang mahanap ang function
. Alinsunod sa kahulugan ng equation (8.4), mayroon tayo

(8.6)

Function
hahanapin natin, bilang isang function na nakakatugon sa isa sa mga kundisyong ito (8.6):

saan ay isang arbitrary na function na independiyente sa .

Function
ay tinukoy upang ang pangalawang kondisyon ng pagpapahayag (8.6) ay nasiyahan

(8.7)

Mula sa expression (8.7) ang function ay tinutukoy
. Pagpapalit nito sa ekspresyong para sa
at makuha ang pangkalahatang integral ng orihinal na equation.

Suliranin 8.3. Isama ang Equation

Dito
.

Samakatuwid, ang equation na ito ay kabilang sa uri ng differential equation sa kabuuang differentials. Function
maghahanap tayo sa form

.

Sa kabila,

.

Sa ilang mga kaso, ang kondisyon
maaaring hindi maisagawa.

Pagkatapos ang mga naturang equation ay binabawasan sa uri na isinasaalang-alang sa pamamagitan ng pagpaparami ng tinatawag na integrating factor, na, sa pangkalahatang kaso, ay isang function ng lamang o .

Kung ang ilang equation ay may integrating factor na nakasalalay lamang sa , pagkatapos ito ay tinutukoy ng formula

nasaan ang ratio dapat ay isang function lamang .

Katulad nito, isang integrating factor depende lamang sa , ay tinutukoy ng formula

nasaan ang ratio
dapat ay isang function lamang .

Ang kawalan sa mga ratio sa itaas, sa unang kaso, ng variable , at sa pangalawa - isang variable , ay isang tanda ng pagkakaroon ng isang integrating factor para sa isang ibinigay na equation.

Suliranin 8.4. Dalhin ang equation na ito sa isang equation sa kabuuang differentials.

.

Isaalang-alang ang relasyon:

.

Paksa 8.2. Linear differential equation

Kahulugan 8.5. Differential equation
ay tinatawag na linear kung ito ay linear na may paggalang sa nais na function , ang hinango nito at hindi naglalaman ng produkto ng ninanais na function at ang hinango nito.

Ang pangkalahatang anyo ng isang linear differential equation ay kinakatawan ng sumusunod na relasyon:

(8.8)

Kung may kaugnayan (8.8) ang kanang bahagi
, kung gayon ang gayong equation ay tinatawag na linear homogenous. Sa kaso kung saan ang kanang bahagi
, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na linear inhomogeneous.

Ipakita natin na ang equation (8.8) ay maaaring isama sa mga quadrature.

Sa unang yugto, isinasaalang-alang namin ang isang linear homogenous na equation.

Ang nasabing equation ay isang equation na may mga separable variable. Talaga,

;

/

Tinutukoy ng huling kaugnayan ang pangkalahatang solusyon ng linear homogenous equation.

Upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang linear inhomogeneous equation, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng derivative ng isang pare-pareho ay ginagamit. Ang ideya ng pamamaraan ay ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation sa parehong anyo bilang ang solusyon ng kaukulang homogeneous equation, gayunpaman, isang arbitrary na pare-pareho. pinalitan ng ilang function
para malaman. Kaya mayroon kaming:

(8.9)

Pinapalitan sa kaugnayan (8.8) ang mga ekspresyong katumbas ng
At
, nakukuha namin

Ang pagpapalit ng huling expression sa kaugnayan (8.9), ang isa ay nakakakuha ng pangkalahatang integral ng isang linear na hindi homogenous na equation.

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng isang linear non-homogeneous equation ay tinutukoy ng dalawang quadratures: ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous equation at isang partikular na solusyon ng isang linear non-homogeneous equation.

Suliranin 8.5. Isama ang Equation

Kaya, ang orihinal na equation ay kabilang sa uri ng linear inhomogeneous differential equation.

Sa unang yugto, nakita namin ang pangkalahatang solusyon ng linear homogenous equation.

;

Sa ikalawang yugto, tinutukoy namin ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous equation, na hinahanap sa anyo

,

saan
ay ang function na dapat tukuyin.

Kaya mayroon kaming:

Pagpapalit sa mga ratios para sa At sa orihinal na linear inhomogeneous equation na nakuha natin:

;

;

.

Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay magiging ganito:

.

Differential ay tinatawag na equation ng anyo

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

kung saan ang kaliwang bahagi ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function ng dalawang variable.

Tukuyin natin ang hindi kilalang function ng dalawang variable (ito ang kailangan nating hanapin kapag nilulutas ang mga equation sa kabuuang mga pagkakaiba) sa pamamagitan ng F at babalikan natin ito sa lalong madaling panahon.

Ang unang bagay na dapat bigyang-pansin ay dapat mayroong zero sa kanang bahagi ng equation, at ang sign na nagkokonekta sa dalawang termino sa kaliwang bahagi ay dapat na isang plus.

Pangalawa, ang ilang pagkakapantay-pantay ay dapat sundin, na isang kumpirmasyon na ang ibinigay na differential equation ay isang equation sa buong differentials. Ang tseke na ito ay isang ipinag-uutos na bahagi ng algorithm para sa paglutas ng mga equation sa kabuuang mga pagkakaiba (ito ay nasa ikalawang talata ng araling ito), kaya ang proseso ng paghahanap ng isang function F medyo nakakaubos ng oras at ito ay mahalaga sa paunang yugto upang matiyak na hindi tayo mag-aaksaya ng oras sa walang kabuluhan.

Kaya, ang hindi kilalang function na makikita ay tinutukoy ng F. Ang kabuuan ng mga bahagyang pagkakaiba sa lahat ng mga independiyenteng variable ay nagbibigay ng kabuuang pagkakaiba. Samakatuwid, kung ang equation ay isang equation sa kabuuang differentials, ang kaliwang bahagi ng equation ay ang kabuuan ng partial differentials. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Naaalala namin ang formula para sa pagkalkula ng kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable:

Ang paglutas ng huling dalawang pagkakapantay-pantay, maaari nating isulat

.

Ang unang pagkakapantay-pantay ay naiba-iba tungkol sa variable na "y", ang pangalawa - na may paggalang sa variable na "x":

.

na ang kundisyon na ang ibinigay na differential equation ay talagang isang equation sa kabuuang differentials.

Algorithm para sa paglutas ng mga differential equation sa kabuuang differentials

Hakbang 1. Siguraduhin na ang equation ay isang equation sa kabuuang differentials. Para sa pagpapahayag ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function F(x, y), ito ay kinakailangan at sapat na. Sa madaling salita, kailangan nating kunin ang partial derivative na may kinalaman sa x at ang partial derivative na may kinalaman sa y isa pang termino at, kung ang mga derivatives na ito ay pantay, kung gayon ang equation ay isang equation sa kabuuang differentials.

Hakbang 2 Isulat ang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3 Isama ang unang equation ng system - over x (y F:

,
y.

Ang isang alternatibong opsyon (kung mas madaling mahanap ang integral sa ganitong paraan) ay ang pagsamahin ang pangalawang equation ng system - sa pamamagitan ng y (x nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya, ang pag-andar ay naibalik din F:

,
kung saan nagmula ang isang hindi kilalang function X.

Hakbang 4 Ang resulta ng hakbang 3 (ang natagpuang pangkalahatang integral) ay pinag-iba ng y(bilang kahalili, sa pamamagitan ng x) at katumbas ng pangalawang equation ng system:

,

at bilang kahalili, sa unang equation ng system:

.

Mula sa nagresultang equation, tinutukoy namin (sa isang alternatibong bersyon)

Hakbang 5 Ang resulta ng hakbang 4 ay isinama at natagpuan (alternatively find ).

Hakbang 6 Palitan ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Isang arbitrary na pare-pareho C mas madalas na nakasulat pagkatapos ng equal sign - sa kanang bahagi ng equation. Kaya, nakukuha namin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation sa kabuuang differentials. Ito, tulad ng nabanggit na, ay may anyo F(x, y) = C.

Mga halimbawa ng mga solusyon sa differential equation sa kabuuang differentials

Halimbawa 1

Hakbang 1. equation sa kabuuang pagkakaiba x isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa y ibang termino
equation sa kabuuang pagkakaiba .

Hakbang 2 F:

Hakbang 3 Sa pamamagitan ng x (y nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya, ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan nagmula ang isang hindi kilalang function y.

Hakbang 4 y

.

.

Hakbang 5

Hakbang 6 F. Isang arbitrary na pare-pareho C :
.

Ano ang malamang na error dito? Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay ang pagkuha ng partial integral sa isa sa mga variable para sa karaniwang integral ng produkto ng mga function at subukang pagsamahin sa pamamagitan ng mga bahagi o isang kapalit na variable, at gayundin na kunin ang partial derivative ng dalawang salik bilang derivative ng produkto ng mga function at hanapin ang derivative gamit ang naaangkop na formula.

Dapat itong tandaan: kapag kinakalkula ang isang bahagyang integral na may paggalang sa isa sa mga variable, ang isa ay pare-pareho at kinuha mula sa integral sign, at kapag kinakalkula ang isang bahagyang derivative na may paggalang sa isa sa mga variable, ang isa ay din ang isang pare-pareho at ang hinango ng expression ay matatagpuan bilang isang derivative ng "kumikilos" na variable na pinarami ng isang pare-pareho.

Among mga equation sa kabuuang pagkakaiba hindi karaniwan - mga halimbawa na may exponent. Ito ang susunod na halimbawa. Kapansin-pansin din ang katotohanan na ang isang alternatibong opsyon ay ginagamit sa solusyon nito.

Halimbawa 2 Lutasin ang differential equation

.

Hakbang 1. Tiyaking ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa x isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa y ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, kaya ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba .

Hakbang 2 Isinulat namin ang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3 Isinasama namin ang pangalawang equation ng system - tapos na y (x nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya, ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan nagmula ang isang hindi kilalang function X.

Hakbang 4 Ang resulta ng hakbang 3 (nahanap na pangkalahatang integral) ay naiba-iba patungkol sa X

at katumbas ng unang equation ng system:

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin:
.

Hakbang 5 Isinasama namin ang resulta ng hakbang 4 at hanapin:
.

Hakbang 6 Pinapalitan namin ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Isang arbitrary na pare-pareho C isulat pagkatapos ng equal sign. Kaya nakuha namin ang heneral solusyon ng isang differential equation sa kabuuang differentials :
.

Sa sumusunod na halimbawa, bumalik kami mula sa kahalili sa pangunahing isa.

Halimbawa 3 Lutasin ang differential equation

Hakbang 1. Tiyaking ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa y isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa x ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, kaya ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba .

Hakbang 2 Isinulat namin ang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3 Isinasama namin ang unang equation ng system - Sa pamamagitan ng x (y nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya, ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan nagmula ang isang hindi kilalang function y.

Hakbang 4 Ang resulta ng hakbang 3 (nahanap na pangkalahatang integral) ay naiba-iba patungkol sa y

at katumbas ng pangalawang equation ng system:

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin:
.

Hakbang 5 Isinasama namin ang resulta ng hakbang 4 at hanapin:

Hakbang 6 Pinapalitan namin ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Isang arbitrary na pare-pareho C isulat pagkatapos ng equal sign. Kaya nakuha namin ang heneral solusyon ng isang differential equation sa kabuuang differentials :
.

Halimbawa 4 Lutasin ang differential equation

Hakbang 1. Tiyaking ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa y isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa x ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, na nangangahulugan na ang equation ay isang equation sa kabuuang differentials.

Hakbang 2 Isinulat namin ang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3 Isinasama namin ang unang equation ng system - Sa pamamagitan ng x (y nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya, ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan nagmula ang isang hindi kilalang function y.

Hakbang 4 Ang resulta ng hakbang 3 (nahanap na pangkalahatang integral) ay naiba-iba patungkol sa y

at katumbas ng pangalawang equation ng system:

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin:
.

Hakbang 5 Isinasama namin ang resulta ng hakbang 4 at hanapin:

Hakbang 6 Pinapalitan namin ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Isang arbitrary na pare-pareho C isulat pagkatapos ng equal sign. Kaya nakuha namin ang heneral solusyon ng isang differential equation sa kabuuang differentials :
.

Halimbawa 5 Lutasin ang differential equation

.

Hakbang 1. Tiyaking ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa y isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa x ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, kaya ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba .