Katotohanan 1.
\(\bullet\) Kumuha ng ilang hindi negatibong numero \(a\) (ibig sabihin \(a\geqslant 0\) ). Pagkatapos (aritmetika) parisukat na ugat mula sa numerong \(a\) ay tinatawag ang gayong hindi negatibong numero na \(b\), kapag ini-square ito ay nakukuha natin ang numerong \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(katulad ng )\quad a=b^2\] Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ang mga paghihigpit na ito ay isang mahalagang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang square root at dapat tandaan!
Alalahanin na ang anumang numero kapag naka-squad ay nagbibigay ng hindi negatibong resulta. Ibig sabihin, \(100^2=10000\geqslant 0\) at \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ano ang \(\sqrt(25)\) ? Alam namin na \(5^2=25\) at \((-5)^2=25\) . Dahil sa depinisyon kailangan nating maghanap ng hindi negatibong numero, ang \(-5\) ay hindi angkop, kaya \(\sqrt(25)=5\) (dahil \(25=5^2\) ).
Ang paghahanap ng value na \(\sqrt a\) ay tinatawag na pagkuha ng square root ng numero \(a\) , at ang numerong \(a\) ay tinatawag na root expression.
\(\bullet\) Batay sa kahulugan, ang mga expression na \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , atbp. walang saysay.

Katotohanan 2.
Para sa mabilis na pagkalkula, magiging kapaki-pakinabang na matutunan ang talahanayan ng mga parisukat ng mga natural na numero mula sa \(1\) hanggang \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 at \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 at \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 at \quad17^2=289\\ 8^2=64 at \quad18^2=324\\ 9^2=81 at \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Katotohanan 3.
Ano ang maaaring gawin sa mga square root?
\(\bullet\) Ang kabuuan o pagkakaiba ng mga square root ay HINDI PANTAY sa square root ng kabuuan o pagkakaiba, i.e. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Kaya, kung kailangan mong kalkulahin, halimbawa, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , dapat mo munang hanapin ang mga value \(\sqrt(25)\) at \(\sqrt (49)\ ) at pagkatapos ay idagdag ang mga ito. Dahil dito, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Kung ang mga halaga \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) ay hindi matagpuan kapag idinaragdag ang \(\sqrt a+\sqrt b\), kung gayon ang gayong expression ay hindi na mako-convert pa at mananatiling ganito. Halimbawa, sa kabuuan na \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) mahahanap natin ang \(\sqrt(49)\) - ito ay \(7\) , ngunit ang \(\sqrt 2\) ay hindi maaaring na-convert sa anumang paraan, kaya naman \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Dagdag pa, ang expression na ito, sa kasamaang-palad, ay hindi maaaring gawing simple sa anumang paraan.\(\bullet\) Ang produkto/quotient ng square roots ay katumbas ng square root ng product/quotient, i.e. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (sa kondisyon na ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay may katuturan)
Halimbawa: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Gamit ang mga katangiang ito, madaling mahanap ang square roots ng malalaking numero sa pamamagitan ng factoring sa kanila.
Isaalang-alang ang isang halimbawa. Hanapin ang \(\sqrt(44100)\) . Dahil \(44100:100=441\) , pagkatapos \(44100=100\cdot 441\) . Ayon sa criterion ng divisibility, ang numerong \(441\) ay nahahati sa \(9\) (dahil ang kabuuan ng mga digit nito ay 9 at nahahati ng 9), samakatuwid, \(441:9=49\) , ibig sabihin, \(441=9\ cdot 49\) .
Kaya, nakuha namin: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Tingnan natin ang isa pang halimbawa: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ipapakita namin kung paano magpasok ng mga numero sa ilalim ng square root sign gamit ang halimbawa ng expression na \(5\sqrt2\) (maikli para sa expression na \(5\cdot \sqrt2\) ). Dahil \(5=\sqrt(25)\) , pagkatapos \ Tandaan din na, halimbawa,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Bakit ganon? Ipaliwanag natin sa halimbawa 1). Gaya ng naintindihan mo na, hindi namin mako-convert sa anumang paraan ang numero \(\sqrt2\) . Isipin na ang \(\sqrt2\) ay ilang numero \(a\) . Alinsunod dito, ang expression na \(\sqrt2+3\sqrt2\) ay walang iba kundi \(a+3a\) (isang numero \(a\) kasama ang tatlo pa sa parehong mga numero \(a\) ). At alam namin na ito ay katumbas ng apat na mga numero \(a\) , iyon ay, \(4\sqrt2\) .

Katotohanan 4.
\(\bullet\) Madalas sinasabing "hindi ma-extract ang ugat" kapag hindi posible na alisin ang sign \(\sqrt () \ \) ng ugat (radical) kapag hinahanap ang halaga ng ilang numero. Halimbawa, maaari mong i-root ang numero \(16\) dahil \(16=4^2\) , kaya \(\sqrt(16)=4\) . Ngunit upang kunin ang ugat mula sa numero \(3\) , iyon ay, upang mahanap \(\sqrt3\) , imposible, dahil walang ganoong numero na ibibigay ng squared \(3\) .
Ang mga naturang numero (o mga expression na may ganitong mga numero) ay hindi makatwiran. Halimbawa, mga numero \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) atbp. ay hindi makatwiran.
Hindi rin makatwiran ang mga numerong \(\pi\) (ang numerong "pi", humigit-kumulang katumbas ng \(3,14\) ), \(e\) (ang numerong ito ay tinatawag na numero ng Euler, humigit-kumulang katumbas ng \(2 ,7\) ) atbp.
\(\bullet\) Pakitandaan na ang anumang numero ay magiging makatwiran o hindi makatwiran. At sama-sama ang lahat ng rational at lahat ng irrational na numero ay bumubuo ng isang set na tinatawag hanay ng mga tunay (tunay) na numero. Ang set na ito ay tinutukoy ng titik \(\mathbb(R)\) .
Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga numero na kasalukuyang alam natin ay tinatawag na tunay na mga numero.

Katotohanan 5.
Ang \(\bullet\) Modulus ng isang tunay na numero \(a\) ay isang di-negatibong numero \(|a|\) na katumbas ng distansya mula sa puntong \(a\) hanggang \(0\) sa real linya. Halimbawa, ang \(|3|\) at \(|-3|\) ay katumbas ng 3, dahil ang mga distansya mula sa mga puntong \(3\) at \(-3\) hanggang \(0\) ay ang pareho at katumbas ng \(3 \) .
\(\bullet\) Kung ang \(a\) ay isang hindi negatibong numero, kung gayon \(|a|=a\) .
Halimbawa: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Kung ang \(a\) ay isang negatibong numero, kung gayon \(|a|=-a\) .
Halimbawa: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Sinasabi nila na para sa mga negatibong numero, ang module ay "kumakain" ng minus, at ang mga positibong numero, pati na rin ang numerong \(0\) , ang module ay umalis na hindi nagbabago.
PERO nalalapat lang ang panuntunang ito sa mga numero. Kung mayroon kang hindi kilalang \(x\) (o iba pang hindi alam) sa ilalim ng module sign, halimbawa, \(|x|\) , na hindi natin alam kung ito ay positibo, katumbas ng zero o negatibo, kung gayon tanggalin ang modyul na hindi natin kaya. Sa kasong ito, ang expression na ito ay nananatiling ganito: \(|x|\) . \(\bullet\) Ang mga sumusunod na formula ay mayroong: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\malaki((\sqrt(a))^2=a)), \text( ibinigay ) a\geqslant 0\] Ang sumusunod na pagkakamali ay madalas na ginagawa: sinasabi nila na ang \(\sqrt(a^2)\) at \((\sqrt a)^2\) ay magkaparehong bagay. Ito ay totoo lamang kapag ang \(a\) ay isang positibong numero o zero. Ngunit kung ang \(a\) ay isang negatibong numero, hindi ito totoo. Sapat na isaalang-alang ang gayong halimbawa. Kunin natin ang numerong \(-1\) sa halip na \(a\). Pagkatapos \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ngunit ang expression na \((\sqrt (-1))^2\) ay wala sa lahat (dahil ito ay imposible sa ilalim ng root sign ilagay ang mga negatibong numero!).
Samakatuwid, iginuhit namin ang iyong pansin sa katotohanan na ang \(\sqrt(a^2)\) ay hindi katumbas ng \((\sqrt a)^2\) ! Halimbawa: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), dahil \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dahil \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pagkatapos ay \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (ang expression na \(2n\) ay nagsasaad ng kahit na numero)
Iyon ay, kapag kinukuha ang ugat mula sa isang numero na nasa ilang antas, ang antas na ito ay hinahati.
Halimbawa:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tandaan na kung hindi nakatakda ang module, lumalabas na ang ugat ng numero ay katumbas ng \(-25 \) ; ngunit natatandaan namin , na, sa pamamagitan ng kahulugan ng ugat, hindi ito maaaring: kapag kinukuha ang ugat, dapat lagi tayong makakuha ng positibong numero o zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (dahil ang anumang numero sa pantay na kapangyarihan ay hindi negatibo)

Katotohanan 6.
Paano ihambing ang dalawang square roots?
\(\bullet\) True para sa square roots: kung \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aHalimbawa:
1) ihambing ang \(\sqrt(50)\) at \(6\sqrt2\) . Una, binago namin ang pangalawang expression sa \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Kaya, mula noong \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Sa pagitan ng aling mga integer ay \(\sqrt(50)\) ?
Dahil \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , at \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Ihambing ang \(\sqrt 2-1\) at \(0,5\) . Ipagpalagay na \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((magdagdag ng isa sa magkabilang panig))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((parisukat ang magkabilang bahagi))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Nakikita natin na nakakuha tayo ng hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, mali ang aming palagay at \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Tandaan na ang pagdaragdag ng isang tiyak na numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi makakaapekto sa tanda nito. Ang pagpaparami/paghahati sa magkabilang panig ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong numero ay hindi rin nagbabago sa tanda nito, ngunit ang pag-multiply/paghahati sa isang negatibong numero ay binabaligtad ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay!
Ang magkabilang panig ng isang equation/hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-squad LAMANG KUNG ang magkabilang panig ay hindi negatibo. Halimbawa, sa hindi pagkakapantay-pantay mula sa nakaraang halimbawa, maaari mong parisukat ang magkabilang panig, sa hindi pagkakapantay-pantay \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Tandaan na \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Ang pag-alam sa tinatayang kahulugan ng mga numerong ito ay makakatulong sa iyo kapag naghahambing ng mga numero! \(\bullet\) Upang makuha ang ugat (kung ito ay nakuha) mula sa ilang malaking bilang na wala sa talahanayan ng mga parisukat, kailangan mo munang matukoy kung aling "daan-daan" ito, pagkatapos ay sa pagitan ng kung aling "sampu", at pagkatapos ay tukuyin ang huling digit ng numerong ito. Ipakita natin kung paano ito gumagana sa isang halimbawa.
Kunin ang \(\sqrt(28224)\) . Alam namin na \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) at iba pa. Tandaan na ang \(28224\) ay nasa pagitan ng \(10\,000\) at \(40\,000\) . Samakatuwid, ang \(\sqrt(28224)\) ay nasa pagitan ng \(100\) at \(200\) .
Ngayon, tukuyin natin kung aling “sampu” ang ating numero (iyon ay, halimbawa, sa pagitan ng \(120\) at \(130\) ). Alam din natin mula sa talahanayan ng mga parisukat na \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atbp., pagkatapos ay \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Kaya nakikita natin na ang \(28224\) ay nasa pagitan ng \(160^2\) at \(170^2\) . Samakatuwid, ang numerong \(\sqrt(28224)\) ay nasa pagitan ng \(160\) at \(170\) .
Subukan nating matukoy ang huling digit. Tandaan natin kung anong mga solong-digit na numero ang ibinibigay sa pag-squaring sa dulo \ (4 \) ? Ito ay ang \(2^2\) at \(8^2\) . Samakatuwid, ang \(\sqrt(28224)\) ay magtatapos sa alinman sa 2 o 8. Suriin natin ito. Hanapin ang \(162^2\) at \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Kaya \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Upang sapat na malutas ang pagsusulit sa matematika, una sa lahat, kinakailangan na pag-aralan ang teoretikal na materyal, na nagpapakilala ng maraming theorems, formula, algorithm, atbp. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ito ay medyo simple. Gayunpaman, ang paghahanap ng mapagkukunan kung saan ang teorya para sa Unified State Examination sa matematika ay ipinakita sa isang madali at naiintindihan na paraan para sa mga mag-aaral na may anumang antas ng paghahanda, sa katunayan, isang medyo mahirap na gawain. Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay hindi laging nasa kamay. At ang paghahanap ng mga pangunahing formula para sa pagsusulit sa matematika ay maaaring maging mahirap kahit sa Internet.

Bakit napakahalagang mag-aral ng teorya sa matematika, hindi lamang para sa mga kumukuha ng pagsusulit?

1. Dahil pinalalawak nito ang iyong pananaw. Ang pag-aaral ng teoretikal na materyal sa matematika ay kapaki-pakinabang para sa sinumang gustong makakuha ng mga sagot sa malawak na hanay ng mga tanong na may kaugnayan sa kaalaman sa mundo. Lahat ng bagay sa kalikasan ay maayos at may malinaw na lohika. Ito ay tiyak kung ano ang makikita sa agham, kung saan posible na maunawaan ang mundo.
2. Dahil ito ay nagpapaunlad ng talino. Ang pag-aaral ng mga sangguniang materyales para sa pagsusulit sa matematika, pati na rin ang paglutas ng iba't ibang mga problema, ang isang tao ay natututong mag-isip at mangatuwiran nang lohikal, upang bumalangkas ng mga kaisipan nang tama at malinaw. Nabubuo niya ang kakayahang pag-aralan, gawing pangkalahatan, gumawa ng mga konklusyon.

Inaanyayahan ka naming personal na suriin ang lahat ng mga pakinabang ng aming diskarte sa systematization at pagtatanghal ng mga materyal na pang-edukasyon.

Palaging tinatanong ng mga estudyante: “Bakit hindi ako makagamit ng calculator sa pagsusulit sa matematika? Paano kunin ang square root ng isang numero nang walang calculator? Subukan nating sagutin ang tanong na ito.

Paano kunin ang square root ng isang numero nang walang tulong ng isang calculator?

Aksyon square root extraction kabaligtaran ng parisukat.

√81= 9 9 2 =81

Kung kukunin natin ang square root ng isang positibong numero at parisukat ang resulta, makukuha natin ang parehong numero.

Mula sa maliliit na numero na eksaktong mga parisukat ng mga natural na numero, halimbawa 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, ang mga square root ay maaaring makuha sa salita. Kadalasan sa paaralan ay nagtuturo sila ng isang talahanayan ng mga parisukat ng mga natural na numero hanggang dalawampu't. Alam ang talahanayang ito, madaling i-extract ang square roots mula sa mga numerong 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Mula sa mga numerong higit sa 400, maaari mong kunin gamit ang paraan ng pagpili gamit ang ilang tip. Subukan natin ang isang halimbawa upang isaalang-alang ang pamamaraang ito.

Halimbawa: I-extract ang ugat ng numerong 676.

Napansin namin na 20 2 \u003d 400, at 30 2 \u003d 900, na nangangahulugang 20< √676 < 900.

Ang mga eksaktong parisukat ng mga natural na numero ay nagtatapos sa 0; isa; apat; 5; 6; 9.
Ang bilang 6 ay ibinibigay ng 4 2 at 6 2 .
Kaya, kung ang ugat ay kinuha mula sa 676, kung gayon ito ay alinman sa 24 o 26.

Nananatili itong suriin: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Sagot: √676 = 26 .

Higit pa halimbawa: √6889 .

Mula noong 80 2 \u003d 6400, at 90 2 \u003d 8100, pagkatapos ay 80< √6889 < 90.
Ang numero 9 ay ibinibigay ng 3 2 at 7 2, pagkatapos ay ang √6889 ay alinman sa 83 o 87.

Suriin: 83 2 = 6889.

Sagot: √6889 = 83 .

Kung nahihirapan kang lutasin sa pamamagitan ng paraan ng pagpili, maaari mong i-factor ang root expression.

Halimbawa, hanapin ang √893025.

I-factorize natin ang numerong 893025, tandaan, ginawa mo ito noong ika-anim na baitang.

Nakukuha namin ang: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Higit pa halimbawa: √20736. I-factorize natin ang numerong 20736:

Nakukuha natin ang √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Siyempre, ang factoring ay nangangailangan ng kaalaman sa divisibility criteria at factoring skills.

At sa wakas, mayroon square root rule. Tingnan natin ang panuntunang ito na may isang halimbawa.

Kalkulahin ang √279841.

Upang kunin ang ugat ng isang multi-digit na integer, hinati namin ito mula kanan pakaliwa sa mga mukha na naglalaman ng 2 digit bawat isa (maaaring mayroong isang digit sa kaliwang extreme na mukha). Sumulat ng ganito 27'98'41

Upang makuha ang unang digit ng ugat (5), kinukuha namin ang square root ng pinakamalaking eksaktong parisukat na nasa unang kaliwang mukha (27).
Pagkatapos ang parisukat ng unang digit ng ugat (25) ay ibabawas mula sa unang mukha at ang susunod na mukha (98) ay iniuugnay (giniba) sa pagkakaiba.
Sa kaliwa ng natanggap na numero 298, isinulat nila ang dobleng digit ng ugat (10), hatiin sa pamamagitan nito ang bilang ng lahat ng sampu ng dating nakuhang numero (29/2 ≈ 2), maranasan ang quotient (102 ∙ 2 = Ang 204 ay dapat na hindi hihigit sa 298) at isulat ang (2) pagkatapos ng unang digit ng ugat.
Pagkatapos ay ang resultang quotient 204 ay ibabawas mula sa 298, at ang susunod na facet (41) ay iniuugnay (na-demolish) sa pagkakaiba (94).
Sa kaliwa ng resultang numero 9441, isinulat nila ang dobleng produkto ng mga digit ng ugat (52 ∙ 2 = 104), hatiin sa produktong ito ang bilang ng lahat ng sampu ng numero 9441 (944/104 ≈ 9), karanasan ang quotient (1049 ∙ 9 = 9441) ay dapat na 9441 at isulat ito (9) pagkatapos ng pangalawang digit ng ugat.

Nakuha namin ang sagot na √279841 = 529.

Katulad ng extract mga ugat ng mga decimal. Ang radikal na numero lamang ang dapat nahahati sa mga mukha upang ang kuwit ay nasa pagitan ng mga mukha.

Halimbawa. Hanapin ang halaga √0.00956484.

Tandaan lamang na kung ang decimal fraction ay may kakaibang bilang ng mga decimal na lugar, ang square root ay hindi eksaktong nakuha mula dito.

Kaya, ngayon ay nakakita ka ng tatlong paraan upang kunin ang ugat. Piliin ang isa na pinakaangkop sa iyo at magsanay. Upang matutunan kung paano lutasin ang mga problema, kailangan mong lutasin ang mga ito. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, mag-sign up para sa aking mga aralin.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema mula sa kurso ng matematika at pisika, ang mga mag-aaral at mga mag-aaral ay madalas na nahaharap sa pangangailangan na kunin ang mga ugat ng ikalawa, ikatlo o ika-1 na antas. Siyempre, sa siglo teknolohiya ng impormasyon Hindi magiging mahirap na lutasin ang gayong problema gamit ang isang calculator. Gayunpaman, may mga sitwasyon kung saan imposibleng gumamit ng electronic assistant.

Halimbawa, ipinagbabawal na magdala ng electronics sa maraming pagsusulit. Bilang karagdagan, ang calculator ay maaaring wala sa kamay. Sa ganitong mga kaso, kapaki-pakinabang na malaman ang hindi bababa sa ilang mga pamamaraan para sa manu-manong pagkalkula ng mga radikal.

Ang isa sa mga pinakasimpleng paraan upang makalkula ang mga ugat ay ang gamit ang isang espesyal na talahanayan. Ano ito at paano gamitin ito ng tama?

Gamit ang talahanayan, mahahanap mo ang parisukat ng anumang numero mula 10 hanggang 99. Kasabay nito, ang mga hilera ng talahanayan ay naglalaman ng sampung halaga, at ang mga column ay naglalaman ng mga halaga ng yunit. Ang cell sa intersection ng isang row at isang column ay naglalaman ng isang parisukat dalawang-digit na numero. Upang makalkula ang parisukat ng 63, kailangan mong makahanap ng isang hilera na may halaga na 6 at isang haligi na may halaga na 3. Sa intersection, nakakita kami ng isang cell na may numerong 3969.

Dahil ang pag-extract ng ugat ay ang kabaligtaran na operasyon ng squaring, upang maisagawa ang pagkilos na ito, dapat mong gawin ang kabaligtaran: hanapin muna ang cell na may numero kung saan radikal ang gusto mong kalkulahin, pagkatapos ay tukuyin ang sagot mula sa mga halaga ng hanay at hilera. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang pagkalkula ng square root ng 169.

Nakahanap kami ng isang cell na may ganitong numero sa talahanayan, pahalang na tinutukoy namin ang sampu - 1, patayo na hinahanap namin ang mga - 3. Sagot: √169 = 13.

Katulad nito, maaari mong kalkulahin ang mga ugat ng kubiko at n-th degree, gamit ang naaangkop na mga talahanayan.

Ang bentahe ng pamamaraan ay ang pagiging simple nito at ang kawalan ng karagdagang mga kalkulasyon. Ang mga kawalan ay halata: ang pamamaraan ay maaari lamang gamitin para sa isang limitadong hanay ng mga numero (ang numero kung saan ang ugat ay matatagpuan ay dapat nasa pagitan ng 100 at 9801). Bilang karagdagan, hindi ito gagana kung ang ibinigay na numero ay wala sa talahanayan.

Prime factorization

Kung ang talahanayan ng mga parisukat ay wala sa kamay o sa tulong nito imposibleng mahanap ang ugat, maaari mong subukan mabulok ang bilang sa ilalim ng ugat sa prime factor. Ang mga pangunahing kadahilanan ay ang mga maaaring ganap (nang walang natitira) na hinati lamang ng sarili o ng isa. Ang mga halimbawa ay 2, 3, 5, 7, 11, 13, atbp.

Isaalang-alang ang pagkalkula ng ugat gamit ang halimbawang √576. I-decompose natin ito sa mga simpleng salik. Nakukuha namin ang sumusunod na resulta: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Gamit ang pangunahing pag-aari ng mga ugat √a² = a, inaalis namin ang mga ugat at parisukat, pagkatapos ay kalkulahin namin ang sagot: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Ano ang gagawin kung ang alinman sa mga kadahilanan ay walang sariling pares? Halimbawa, isaalang-alang ang pagkalkula ng √54. Pagkatapos ng factoring, nakukuha namin ang resulta sa sumusunod na form: Ang hindi naaalis na bahagi ay maaaring iwan sa ilalim ng ugat. Para sa karamihan ng mga problema sa geometry at algebra, ang naturang sagot ay mabibilang bilang pangwakas. Ngunit kung may pangangailangan na kalkulahin ang tinatayang mga halaga, maaari mong gamitin ang mga pamamaraan na tatalakayin sa ibang pagkakataon.

Pamamaraan ni Heron

Ano ang gagawin kapag kailangan mong malaman ang hindi bababa sa humigit-kumulang kung ano ang na-extract na ugat (kung imposibleng makakuha ng halaga ng integer)? Ang isang mabilis at medyo tumpak na resulta ay nakuha sa pamamagitan ng paglalapat ng pamamaraang Heron.. Ang kakanyahan nito ay nakasalalay sa paggamit ng isang tinatayang formula:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kung saan ang R ay ang numero kung saan ang ugat ay kakalkulahin, ang a ay ang pinakamalapit na numero na ang halaga ng ugat ay kilala.

Tingnan natin kung paano gumagana ang pamamaraan sa pagsasanay at suriin kung gaano ito katumpak. Kalkulahin natin kung ano ang katumbas ng √111. Ang pinakamalapit na numero sa 111, ang ugat kung saan ay kilala, ay 121. Kaya, R = 111, a = 121. Palitan ang mga halaga sa formula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Ngayon suriin natin ang katumpakan ng pamamaraan:

10.55² = 111.3025.

Ang error ng pamamaraan ay humigit-kumulang 0.3. Kung ang katumpakan ng pamamaraan ay kailangang pagbutihin, maaari mong ulitin ang mga hakbang na inilarawan nang mas maaga:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Suriin natin ang katumpakan ng pagkalkula:

10.536² = 111.0073.

Matapos ang paulit-ulit na paggamit ng formula, ang error ay naging hindi gaanong mahalaga.

Pagkalkula ng ugat sa pamamagitan ng paghahati sa isang hanay

Ang pamamaraang ito ng paghahanap ng square root value ay medyo mas kumplikado kaysa sa mga nauna. Gayunpaman, ito ang pinakatumpak sa iba pang paraan ng pagkalkula nang walang calculator..

Sabihin nating kailangan mong hanapin ang square root na may katumpakan na 4 na decimal na lugar. Suriin natin ang algorithm ng pagkalkula gamit ang halimbawa ng isang di-makatwirang numero 1308.1912.

1. Hatiin ang sheet ng papel sa 2 bahagi na may patayong linya, at pagkatapos ay gumuhit ng isa pang linya mula dito sa kanan, bahagyang nasa ibaba ng tuktok na gilid. Isinulat namin ang numero sa kaliwang bahagi, hinahati ito sa mga grupo ng 2 digit, lumilipat sa kanan at kaliwa ng decimal point. Ang pinakaunang digit sa kaliwa ay maaaring walang pares. Kung nawawala ang sign sa kanang bahagi ng numero, dapat na idagdag ang 0. Sa aming kaso, makakakuha tayo ng 13 08.19 12.
2. Piliin natin ang pinakamalaking numero na ang parisukat ay magiging mas mababa o katumbas ng unang pangkat ng mga digit. Sa aming kaso, ito ay 3. Isulat natin ito sa kanang tuktok; 3 ang unang digit ng resulta. Sa kanang ibaba, ipinapahiwatig namin ang 3 × 3 = 9; ito ay kakailanganin para sa mga susunod na kalkulasyon. Ibawas ang 9 mula sa 13 sa isang hanay, makukuha natin ang natitirang 4.
3. Idagdag natin ang susunod na pares ng mga numero sa natitirang 4; nakakakuha tayo ng 408.
4. I-multiply ang numero sa kanang itaas ng 2 at isulat ito sa kanang ibaba, idagdag ang _ x _ = dito. Nakukuha namin ang 6_ x _ =.
5. Sa halip na mga gitling, kailangan mong palitan ang parehong numero, mas mababa sa o katumbas ng 408. Nakukuha namin ang 66 × 6 \u003d 396. Sumulat tayo ng 6 sa kanang tuktok, dahil ito ang pangalawang digit ng resulta. Ibawas ang 396 sa 408, makakakuha tayo ng 12.
6. Ulitin natin ang hakbang 3-6. Dahil ang mga digit na dinala pababa ay nasa fractional na bahagi ng numero, kinakailangang maglagay ng decimal point sa kanang tuktok pagkatapos ng 6. Isulat natin ang dobleng resulta na may mga gitling: 72_ x _ =. Ang angkop na numero ay 1: 721 × 1 = 721. Isulat natin ito bilang sagot. Ibawas natin ang 1219 - 721 = 498.
7. Gawin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na ibinigay sa nakaraang talata nang tatlong beses upang makuha ang kinakailangang bilang ng mga decimal na lugar. Kung walang sapat na mga palatandaan para sa karagdagang mga kalkulasyon, dalawang zero ang dapat idagdag sa kasalukuyang numero sa kaliwa.

Bilang resulta, nakuha namin ang sagot: √1308.1912 ≈ 36.1689. Kung susuriin mo ang aksyon gamit ang isang calculator, maaari mong tiyakin na ang lahat ng mga character ay natukoy nang tama.

Bitwise na pagkalkula ng square root value

Ang pamamaraan ay lubos na tumpak. Bilang karagdagan, ito ay lubos na nauunawaan at hindi nangangailangan ng pagsasaulo ng mga formula o isang kumplikadong algorithm ng mga aksyon, dahil ang kakanyahan ng pamamaraan ay upang piliin ang tamang resulta.

Kunin natin ang ugat mula sa bilang na 781. Isaalang-alang natin nang detalyado ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

1. Alamin kung aling digit ng square root value ang magiging pinakamataas. Upang gawin ito, parisukat natin ang 0, 10, 100, 1000, atbp. at alamin kung alin sa kanila ang root number. Nakukuha namin iyon 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Kunin natin ang halaga ng sampu. Upang gawin ito, maghahalinhinan tayong itaas sa kapangyarihan ng 10, 20, ..., 90, hanggang sa makakuha tayo ng numerong mas malaki sa 781. Para sa ating kaso, makakakuha tayo ng 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Ang halaga ng resulta n ay nasa loob ng 20< n <30.
3. Katulad ng nakaraang hakbang, ang halaga ng digit ng mga unit ay pinili. Palitan nating kuwadrado ang 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 782.< n < 28.
4. Ang bawat kasunod na digit (sampu, daan, atbp.) ay kinakalkula sa parehong paraan tulad ng ipinapakita sa itaas. Isinasagawa ang mga kalkulasyon hanggang sa makamit ang kinakailangang katumpakan.

Pagkuha ng ugat mula sa isang malaking bilang. Mahal na mga kaibigan!Sa artikulong ito, ipapakita namin sa iyo kung paano kunin ang ugat ng isang malaking numero nang walang calculator. Ito ay kinakailangan hindi lamang para sa paglutas ng ilang mga uri ng mga problema sa PAGGAMIT (mayroong para sa paggalaw), kundi pati na rin para sa pangkalahatang pag-unlad ng matematika, ito ay kanais-nais na malaman ang analytical technique na ito.

Mukhang simple lang ang lahat: factorize at extract. Walang problema. Halimbawa, ang numerong 291600, kapag pinalawak, ay magbibigay sa produkto ng:

Kinakalkula namin:

May isa PERO! Ang pamamaraan ay mabuti kung ang mga divisors 2, 3, 4 at iba pa ay madaling matukoy. Ngunit paano kung ang numero kung saan kinuha natin ang ugat ay produkto ng mga prime number? Halimbawa, ang 152881 ay produkto ng mga numerong 17, 17, 23, 23. Subukang hanapin ang mga divisors na ito kaagad.

Ang kakanyahan ng pamamaraan na aming isinasaalang-alang- ito ay purong pagsusuri. Ang ugat na may naipon na kasanayan ay mabilis na matatagpuan. Kung ang kasanayan ay hindi nagawa, ngunit ang diskarte ay naiintindihan lamang, kung gayon ito ay medyo mabagal, ngunit determinado pa rin.

Kunin natin ang ugat ng 190969.

Una, tukuyin natin sa pagitan ng kung aling mga numero (multiples ng isang daan) ang ating resulta.

Malinaw, ang resulta ng ugat ng isang naibigay na numero ay nasa hanay mula 400 hanggang 500, kasi

400 2 =160000 at 500 2 =250000

Talaga:

sa gitna, mas malapit sa 160,000 o 250,000?

Ang bilang na 190969 ay nasa gitna, ngunit mas malapit pa rin sa 160000. Maaari nating tapusin na ang resulta ng ating ugat ay mas mababa sa 450. Suriin natin:

Sa katunayan, ito ay mas mababa sa 450, mula noong 190,969< 202 500.

Ngayon tingnan natin ang numero 440:

Kaya ang aming resulta ay mas mababa sa 440, dahil 190 969 < 193 600.

Sinusuri ang numero 430:

Natukoy namin na ang resulta ng ugat na ito ay nasa hanay mula 430 hanggang 440.

Ang produkto ng mga numerong nagtatapos sa 1 o 9 ay nagbibigay ng numerong nagtatapos sa 1. Halimbawa, ang 21 beses na 21 ay katumbas ng 441.

Ang produkto ng mga numero na nagtatapos sa 2 o 8 ay nagbibigay ng isang numero na nagtatapos sa 4. Halimbawa, ang 18 beses na 18 ay katumbas ng 324.

Ang produkto ng mga numero na nagtatapos sa 5 ay nagbibigay ng isang numero na nagtatapos sa 5. Halimbawa, ang 25 beses na 25 ay katumbas ng 625.

Ang produkto ng mga numero na nagtatapos sa 4 o 6 ay nagbibigay ng isang numero na nagtatapos sa 6. Halimbawa, ang 26 beses na 26 ay katumbas ng 676.

Ang produkto ng mga numero na nagtatapos sa 3 o 7 ay nagbibigay ng isang numero na nagtatapos sa 9. Halimbawa, ang 17 beses na 17 ay katumbas ng 289.

Dahil ang numerong 190969 ay nagtatapos sa numerong 9, ang produktong ito ay alinman sa numerong 433 o 437.

*Sila lang, kapag squared, ang makakapagbigay ng 9 sa dulo.

Sinusuri namin:

Kaya ang resulta ng ugat ay magiging 437.

Ibig sabihin, medyo "naramdaman" namin ang tamang sagot.

Gaya ng nakikita mo, ang maximum na kinakailangan ay ang magsagawa ng 5 aksyon sa isang column. Marahil ay darating ka kaagad sa punto, o gagawa ka lamang ng tatlong aksyon. Ang lahat ay nakasalalay sa kung gaano ka tumpak na ginawa mo ang paunang pagtatantya ng numero.

I-extract ang sarili mong ugat mula sa 148996

Ang ganitong diskriminasyon ay nakuha sa problema:

Ang barko ng motor ay dumadaan sa kahabaan ng ilog patungo sa patutunguhan na 336 km at pagkatapos ng paradahan ay bumalik sa punto ng pag-alis. Hanapin ang bilis ng barko sa tubig, kung ang bilis ng kasalukuyang ay 5 km / h, ang paradahan ay tumatagal ng 10 oras, at ang barko ay bumalik sa punto ng pag-alis 48 oras pagkatapos umalis dito. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.

Tingnan ang Solusyon

Ang resulta ng ugat ay nasa pagitan ng mga numero 300 at 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Totoo, 90000<148996<160000.

Ang kakanyahan ng karagdagang pangangatwiran ay upang matukoy kung paano matatagpuan ang numerong 148996 (distansya) na may kaugnayan sa mga numerong ito.

Kalkulahin ang mga pagkakaiba 148996 - 90000=58996 at 160000 - 148996=11004.

Lumalabas na ang 148996 ay malapit (mas malapit) sa 160000. Samakatuwid, ang resulta ng ugat ay tiyak na higit sa 350 at kahit na 360.

Maaari nating tapusin na ang ating resulta ay mas malaki kaysa sa 370. Dagdag pa, ito ay malinaw: dahil ang 148996 ay nagtatapos sa numerong 6, nangangahulugan ito na dapat mong i-square ang numero na nagtatapos sa alinman sa 4 o 6. *Tanging ang mga numerong ito, kapag naka-square, magbigay sa pagtatapos 6.

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.