Paraan Kramer at Gaussian isa sa mga pinakasikat na solusyon SLAU. Bilang karagdagan, sa ilang mga kaso ay ipinapayong gumamit ng mga tiyak na pamamaraan. Ang session ay malapit na, at ngayon ang oras upang ulitin o master ang mga ito mula sa simula. Ngayon ay haharapin natin ang solusyon sa pamamagitan ng paraan ng Cramer. Pagkatapos ng lahat, ang solusyon ng sistema linear na equation Ang pamamaraan ni Cramer ay isang napaka-kapaki-pakinabang na kasanayan.

Mga sistema ng linear algebraic equation

Ang sistema ng linear algebraic equation ay isang sistema ng mga equation ng anyo:

Itinakda ang halaga x , kung saan ang mga equation ng system ay nagiging mga pagkakakilanlan, ay tinatawag na solusyon ng system, a at b ay mga tunay na coefficient. Ang isang simpleng sistema na binubuo ng dalawang equation na may dalawang hindi alam ay maaaring malutas sa isip o sa pamamagitan ng pagpapahayag ng isang variable sa mga tuntunin ng isa. Ngunit maaaring mayroong higit sa dalawang variable (x) sa SLAE, at ang mga simpleng manipulasyon sa paaralan ay kailangang-kailangan dito. Anong gagawin? Halimbawa, lutasin ang SLAE sa pamamagitan ng paraan ng Cramer!

Kaya hayaan ang sistema n mga equation na may n hindi kilala.

Ang ganitong sistema ay maaaring muling isulat sa matrix form

Dito A ay ang pangunahing matrix ng system, X at B , ayon sa pagkakabanggit, mga column matrice ng mga hindi kilalang variable at libreng miyembro.

SLAE solution sa pamamagitan ng Cramer's method

Kung ang determinant ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng zero (ang matrix ay nonsingular), ang sistema ay maaaring malutas gamit ang paraan ng Cramer.

Ayon sa paraan ng Cramer, ang solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:

Dito delta ay ang determinant ng pangunahing matrix, at delta x n-th - ang determinant na nakuha mula sa determinant ng pangunahing matrix sa pamamagitan ng pagpapalit sa n-th column ng column ng mga libreng termino.

Ito ang buong punto ng pamamaraan ni Cramer. Ang pagpapalit ng mga halaga na natagpuan ng mga formula sa itaas x sa nais na sistema, kumbinsido tayo sa kawastuhan (o kabaliktaran) ng ating solusyon. Upang gawing mas madali para sa iyo na maunawaan ang punto, narito ang isang halimbawa. detalyadong solusyon SLAE sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer:

Kahit na hindi ka magtagumpay sa unang pagkakataon, huwag panghinaan ng loob! Sa kaunting pagsasanay, magsisimula kang mag-pop ng mga SLOW na parang mani. Bukod dito, ngayon ay ganap na hindi kinakailangan na mag-pore sa isang notebook, paglutas ng masalimuot na mga kalkulasyon at pagsulat sa baras. Madaling lutasin ang SLAE sa pamamagitan ng paraan ng Cramer online, sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng mga coefficient sa tapos na form. subukan online na calculator ang mga solusyon sa pamamagitan ng paraan ng Cramer ay maaaring, halimbawa, sa site na ito.

At kung ang sistema ay naging matigas ang ulo at hindi sumuko, maaari mong palaging humingi ng tulong sa aming mga may-akda, halimbawa, upang bumili ng isang buod. Kung mayroong hindi bababa sa 100 na hindi alam sa system, tiyak na malulutas namin ito ng tama at sa tamang oras!

Hayaang magbigay ng isang sistema ng tatlong linear na equation:

Upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng Cramer method, ang pangunahing determinant ng system  ay pinagsama-sama mula sa mga coefficient ng mga hindi alam. Para sa system (1), ang pangunahing determinant ay mayroong anyo
.

Susunod, ang mga determinant ay pinagsama-sama sa paggalang sa mga variable
,,. Upang gawin ito, sa pangunahing determinant, sa halip na isang hanay ng mga coefficient para sa kaukulang variable, isang haligi ng mga libreng miyembro ay nakasulat, iyon ay

,
,
.

Pagkatapos ang solusyon ng system ay matatagpuan ng mga formula ng Cramer

,
,

Dapat tandaan na ang sistema ay may natatanging solusyon
kung ang pangunahing determinant
. Kung
at
= 0,= 0,= 0, kung gayon ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, na hindi mahahanap ng mga formula ng Cramer. Kung
at
0, o 0, o 0, kung gayon ang sistema ng mga equation ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon.

Halimbawa

Solusyon:

1) Bumuo at kalkulahin ang pangunahing determinant ng system, na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam.

.

Samakatuwid, ang sistema ay may natatanging solusyon.

2) Bumuo at kalkulahin ang mga pantulong na pantukoy, na pinapalitan ang kaukulang column sa  ng column ng mga libreng miyembro.

Gamit ang mga formula ng Cramer, nakita namin ang mga hindi alam:

,
,
.

Susuriin namin upang matiyak na tama ang solusyon

Yung.
.

, ibig sabihin.

, ibig sabihin.

Sagot: .

Halimbawa

Lutasin ang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer:

Solusyon:

1) Bumuo at kalkulahin ang pangunahing determinant ng system mula sa mga coefficient ng mga hindi alam:

.

Samakatuwid, ang sistema ay walang natatanging solusyon.

2) Bumuo at kalkulahin ang mga pantulong na determinant, na pinapalitan ang kaukulang column sa  ng column ng mga libreng termino:

,
, samakatuwid ang sistema ay hindi naaayon.

Sagot: hindi pare-pareho ang sistema.

Pamamaraan ng Gauss

Ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng dalawang yugto. Ang unang yugto ay binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable mula sa mga equation ng system gamit ang mga aksyon na hindi lumalabag sa equivalence ng system. Halimbawa, isaalang-alang ang unang dalawang equation ng system (1).

(1)

Ito ay kinakailangan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang equation na ito upang makakuha ng isang equation kung saan walang variable . I-multiply ang unang equation sa , at ang pangalawa sa (
) at idagdag ang mga resultang equation

Pinapalitan namin ang coefficient dati y, z at isang libreng miyembro sa ,at nang naaayon, nakakakuha tayo ng bagong pares ng mga equation

Tandaan na walang variable sa pangalawang equation x.

Ang pagkakaroon ng mga katulad na aksyon sa una at ikatlong equation ng system (1), at pagkatapos ay sa pangalawa at pangatlong equation na nakuha bilang resulta ng karagdagan, binago namin ang system (1) sa form

(2)

Posible ang resultang ito kung ang sistema ay may natatanging solusyon. Sa kasong ito, ang solusyon ay matatagpuan gamit ang reverse Gauss method (ikalawang yugto). Mula sa huling equation ng system (2) nakita natin ang hindi kilalang variable z, pagkatapos ay mula sa pangalawang equation nakita namin y, a x ayon sa pagkakabanggit mula sa una, ang pagpapalit sa mga ito ay natagpuan na ang mga hindi alam.

Minsan, bilang resulta ng pagdaragdag ng dalawang equation, ang kabuuang equation ay maaaring tumagal ng isa sa mga sumusunod na anyo:

PERO)
, saan
. Nangangahulugan ito na ang sistemang niresolba ay hindi pare-pareho.

B), iyon ay
. Ang nasabing equation ay hindi kasama sa system, bilang isang resulta, ang bilang ng mga equation sa system ay nagiging mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable, at ang system ay may isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, ang paghahanap kung saan ay ipapakita ng isang halimbawa.

Halimbawa

Solusyon:

Isaalang-alang ang sumusunod na pamamaraan para sa pagpapatupad ng unang yugto ng solusyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss. Isulat natin ang tatlong hanay ng mga coefficient para sa hindi alam at libreng mga termino na tumutugma sa tatlong equation ng system. Pinaghihiwalay namin ang mga libreng termino mula sa mga coefficient na may patayong linya, at gumuhit ng pahalang na linya sa ilalim ng ikatlong linya.

Bilog namin ang unang linya, na tumutugma sa unang equation ng system - ang mga coefficient sa equation na ito ay mananatiling hindi nagbabago. Sa halip na ang pangalawang linya (equation), kailangan mong kumuha ng linya (equation), kung saan ang coefficient sa katumbas ng zero. Upang gawin ito, pinarami namin ang lahat ng mga numero sa unang hilera sa pamamagitan ng (-2) at idagdag ang mga ito sa kaukulang mga numero sa pangalawang hilera. Isinulat namin ang mga nagresultang halaga sa ilalim ng pahalang na linya (ika-apat na linya). Upang sa halip na ang ikatlong linya (equation) ay makakuha din ng isang linya (equation) kung saan ang coefficient sa katumbas ng zero, pinarami namin ang lahat ng mga numero sa unang hilera sa pamamagitan ng (-5) at idinagdag ang mga ito sa kaukulang mga numero sa ikatlong hilera. Isinulat namin ang mga nagresultang halaga sa ikalimang linya at gumuhit ng bagong pahalang na linya sa ilalim nito. Ang ikaapat na linya (o ang ikalimang - opsyonal) ay bilugan. Ang row na may mas maliliit na coefficient ay pinili. Sa linyang ito, ang mga coefficient ay mananatiling hindi nagbabago. Sa halip na ang ikalimang linya, kailangan mong makakuha ng isang linya kung saan ang dalawang coefficient ay katumbas na ng zero. I-multiply ang ikaapat na hanay ng 3 at idagdag ito sa ikalima. Isinulat namin ang halaga sa ilalim ng pahalang na linya (ikaanim na linya) at bilugan ito.

Ang lahat ng inilarawang aksyon ay ipinapakita sa Talahanayan 1 gamit ang mga palatandaan at arrow ng aritmetika. Isinulat namin muli ang mga hilera na nakabilog sa talahanayan sa anyo ng mga equation (3) at, gamit ang reverse move ng Gauss method, nakita namin ang mga halaga ng mga variable. x, y at z.

Talahanayan 1

Ibinabalik namin ang sistema ng mga equation na nakuha bilang resulta ng aming mga pagbabagong-anyo:

(3)

Baliktarin ang pamamaraan ng Gauss

Mula sa ikatlong equation
hanapin
.

Sa pangalawang equation ng system
palitan ang nahanap na halaga
, nakukuha namin
o
.

Mula sa unang equation
, na pinapalitan ang nahanap na mga halaga ng mga variable, nakuha namin
, yan ay
.

Upang matiyak na ang solusyon ay tama, ang isang pagsusuri ay dapat gawin sa lahat ng tatlong mga equation ng system.

Pagsusuri:

, nakukuha namin

Kunin

Kunin

Ibig sabihin, tama ang sistema.

Sagot:
,
,
.

Halimbawa

Lutasin ang system gamit ang Gauss method:

Solusyon:

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon sa halimbawang ito ay katulad ng pagkakasunud-sunod sa nakaraang halimbawa, at ang mga partikular na aksyon ay ipinahiwatig sa Talahanayan 2.

Bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, nakakakuha tayo ng equation ng form , samakatuwid, ang ibinigay na sistema ay hindi pare-pareho.

Sagot: hindi pare-pareho ang sistema.

Halimbawa

Lutasin ang system gamit ang Gauss method:

Solusyon:

Talahanayan 3

Bilang resulta ng mga pagbabago, nakakakuha kami ng equation ng form , na hindi kasama sa pagsasaalang-alang. Kaya, mayroon tayong sistema ng mga equation kung saan ang bilang ng mga hindi alam ay 3, at ang bilang ng mga equation ay 2.

Ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Upang mahanap ang mga solusyong ito, ipinakilala namin ang isang libreng variable. (Ang bilang ng mga libreng variable ay palaging katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng mga hindi alam at ang bilang ng mga equation na natitira pagkatapos ng pagbabago ng system. Sa aming kaso, 3 - 2 = 1).

Hayaan
ay isang libreng variable.

Pagkatapos ay mula sa pangalawang equation nakita namin
, saan
at pagkatapos ay hanapin x mula sa unang equation
o
.

Sa ganitong paraan,
;
;
.

Suriin natin ang mga equation na hindi kasama sa paghahanap at , iyon ay, sa pangalawa at pangatlong equation ng orihinal na sistema.

Pagsusuri:

o , nakukuha namin
.

o , nakukuha namin
.

Tama ang sistema. Pagbibigay ng arbitraryong pare-pareho iba't ibang kahulugan, makakakuha tayo ng iba't ibang halaga x, y at z.

Sagot:
;
;
.

2. Paglutas ng mga sistema ng mga equation sa pamamagitan ng matrix method (gamit ang inverse matrix).
3. Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation.

Pamamaraan ni Cramer.

Ang pamamaraan ni Cramer ay ginagamit upang malutas ang mga sistema ng mga linear algebraic equation ( SLAU).

Mga formula sa halimbawa ng isang sistema ng dalawang equation na may dalawang variable.
Ibinigay: Lutasin ang sistema sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer

Tungkol sa mga Variable X at sa.
Solusyon:
Hanapin ang determinant ng matrix, na binubuo ng mga coefficient ng system Pagkalkula ng mga determinant. :

Ilapat natin ang mga formula ng Cramer at hanapin ang mga halaga ng mga variable:
at .
Halimbawa 1:
Lutasin ang sistema ng mga equation:

tungkol sa mga variable X at sa.
Solusyon:


Palitan natin ang unang column sa determinant na ito ng column ng mga coefficient mula sa kanang bahagi ng system at hanapin ang halaga nito:

Gumawa tayo ng katulad na pagkilos, na pinapalitan ang pangalawang column sa unang determinant:

Naaangkop Mga formula ng Cramer at hanapin ang mga halaga ng mga variable:
at .
Sagot:
Komento: Ang pamamaraang ito ay maaaring gamitin upang malutas ang mga sistema ng mas mataas na sukat.

Komento: Kung ito ay lumabas na , at imposibleng hatiin sa zero, pagkatapos ay sinasabi nila na ang sistema ay walang natatanging solusyon. Sa kasong ito, ang system ay may alinman sa walang katapusang maraming solusyon o walang solusyon.

Halimbawa 2(isang walang katapusang bilang ng mga solusyon):

Lutasin ang sistema ng mga equation:

tungkol sa mga variable X at sa.
Solusyon:
Hanapin ang determinant ng matrix, na binubuo ng mga coefficient ng system:

Paglutas ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit.

Ang una sa mga equation ng system ay isang pagkakapantay-pantay na totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable (dahil ang 4 ay palaging katumbas ng 4). Kaya isang equation na lang ang natitira. Ito ay isang equation ng relasyon sa pagitan ng mga variable.
Nakuha namin na ang solusyon ng system ay anumang pares ng mga halaga ng mga variable na nauugnay sa pagkakapantay-pantay.
Ang pangkalahatang solusyon ay nakasulat tulad nito:
Maaaring matukoy ang mga partikular na solusyon sa pamamagitan ng pagpili ng arbitraryong halaga ng y at pagkalkula ng x mula sa equation ng relasyon na ito.

atbp.
Mayroong walang katapusan na maraming ganoong solusyon.
Sagot: karaniwang desisyon
Mga Pribadong Solusyon:

Halimbawa 3(walang solusyon, hindi pare-pareho ang system):

Lutasin ang sistema ng mga equation:

Solusyon:
Hanapin ang determinant ng matrix, na binubuo ng mga coefficient ng system:

Hindi mo magagamit ang mga formula ng Cramer. Lutasin natin ang sistemang ito sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Ang pangalawang equation ng system ay isang pagkakapantay-pantay na hindi wasto para sa anumang mga halaga ng mga variable (siyempre, dahil ang -15 ay hindi katumbas ng 2). Kung ang isa sa mga equation ng system ay hindi totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable, kung gayon ang buong sistema ay walang mga solusyon.
Sagot: walang solusyon

Sa unang bahagi, tiningnan namin ang ilan teoretikal na materyal, ang paraan ng pagpapalit, at ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation ng system. Sa lahat ng pumunta sa site sa pamamagitan ng pahinang ito, inirerekumenda kong basahin mo ang unang bahagi. Marahil, mahahanap ng ilang bisita ang materyal na masyadong simple, ngunit sa kurso ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation, gumawa ako ng isang bilang ng mga napakahalagang pangungusap at konklusyon tungkol sa solusyon ng mga problema sa matematika sa pangkalahatan.

At ngayon ay susuriin natin ang panuntunan ng Cramer, pati na rin ang solusyon ng isang sistema ng mga linear na equation gamit ang inverse matrix (matrix method). Ang lahat ng mga materyales ay ipinakita nang simple, nang detalyado at malinaw, halos lahat ng mga mambabasa ay matututo kung paano lutasin ang mga sistema gamit ang mga pamamaraan sa itaas.

Una naming isaalang-alang ang panuntunan ni Cramer nang detalyado para sa isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam. Para saan? "Kung tutuusin, ang pinakasimpleng sistema ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pamamaraan ng paaralan, sa pamamagitan ng termino-by-term na karagdagan!

Ang katotohanan ay kahit na kung minsan, ngunit may ganoong gawain - upang malutas ang isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam gamit ang mga formula ng Cramer. Pangalawa, ang isang mas simpleng halimbawa ay makakatulong sa iyo na maunawaan kung paano gamitin ang panuntunan ng Cramer para sa isang mas kumplikadong kaso - isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.

Bilang karagdagan, mayroong mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable, na ipinapayong lutasin nang eksakto ayon sa panuntunan ng Cramer!

Isaalang-alang ang sistema ng mga equation

Sa unang hakbang, kinakalkula namin ang determinant , ito ay tinatawag ang pangunahing determinant ng system.

Pamamaraan ng Gauss.

Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon, at upang mahanap ang mga ugat, kailangan nating kalkulahin ang dalawa pang determinant:
at

Sa pagsasagawa, ang mga qualifier sa itaas ay maaari ding tukuyin ng Latin na titik.

Ang mga ugat ng equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:
,

Halimbawa 7

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation

Solusyon: Nakikita namin na ang mga coefficient ng equation ay medyo malaki, sa kanang bahagi ay may mga decimal fraction na may kuwit. Ang kuwit ay isang bihirang bisita mga praktikal na gawain sa matematika, kinuha ko ang sistemang ito mula sa isang problemang ekonomiko.

Paano malutas ang ganitong sistema? Maaari mong subukang ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa, ngunit sa kasong ito, tiyak na makakakuha ka ng mga kakila-kilabot na magarbong mga fraction, na lubhang hindi maginhawa upang gumana, at ang disenyo ng solusyon ay magiging kakila-kilabot lamang. Maaari mong i-multiply ang pangalawang equation sa 6 at ibawas ang termino sa pamamagitan ng term, ngunit ang parehong mga fraction ay lilitaw dito.

Anong gagawin? Sa ganitong mga kaso, ang mga formula ng Cramer ay dumating upang iligtas.

;

;

Sagot: ,

Ang parehong mga ugat ay may walang katapusang mga buntot at matatagpuan nang humigit-kumulang, na medyo katanggap-tanggap (at maging karaniwan) para sa mga problema sa ekonometrika.

Ang mga komento ay hindi kailangan dito, dahil ang gawain ay nalutas ayon sa mga yari na formula, gayunpaman, mayroong isang caveat. Kapag ginagamit ang pamamaraang ito, sapilitan Ang fragment ng assignment ay ang sumusunod na fragment: "kaya ang sistema ay may natatanging solusyon". Kung hindi, maaaring parusahan ka ng tagasuri sa hindi paggalang sa teorama ni Cramer.

Hindi magiging labis na suriin, na maginhawa upang maisagawa sa isang calculator: pinapalitan namin ang tinatayang mga halaga sa kaliwang bahagi ng bawat equation ng system. Bilang isang resulta, na may isang maliit na error, ang mga numero na nasa kanang bahagi ay dapat makuha.

Halimbawa 8

Ipahayag ang iyong sagot sa mga ordinaryong improper fraction. Gumawa ng tseke.

Ito ay isang halimbawa para sa isang malayang solusyon (halimbawa ng magandang disenyo at sagot sa katapusan ng aralin).

Bumaling tayo sa pagsasaalang-alang ng panuntunan ni Cramer para sa isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam:

Natagpuan namin ang pangunahing determinant ng system:

Kung , kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho (walang mga solusyon). Sa kasong ito, hindi makakatulong ang panuntunan ni Cramer, kailangan mong gamitin ang paraan ng Gauss.

Kung , kung gayon ang system ay may natatanging solusyon, at upang mahanap ang mga ugat, kailangan nating kalkulahin ang tatlo pang determinant:
, ,

At sa wakas, ang sagot ay kinakalkula ng mga formula:

Tulad ng nakikita mo, ang kaso na "tatlo sa tatlo" ay sa panimula ay hindi naiiba sa kaso ng "dalawa sa dalawa", ang hanay ng mga libreng termino na sunud-sunod na "lumalakad" mula kaliwa hanggang kanan kasama ang mga hanay ng pangunahing determinant.

Halimbawa 9

Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer.

Solusyon: Lutasin natin ang system gamit ang mga formula ng Cramer.

, kaya may kakaibang solusyon ang system.

Sagot: .

Sa totoo lang, wala nang espesyal na maikomento muli dito, dahil sa katotohanan na ang desisyon ay ginawa ayon sa mga nakahanda nang formula. Ngunit mayroong ilang mga tala.

Ito ay nangyayari na bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang "masamang" hindi mababawasan na mga praksyon ay nakuha, halimbawa: .
Inirerekomenda ko ang sumusunod na algorithm ng "paggamot". Kung walang computer sa kamay, ginagawa namin ito:

1) Maaaring may pagkakamali sa mga kalkulasyon. Sa sandaling makatagpo ka ng "masamang" shot, dapat mong suriin kaagad kung tama ba ang pagkakasulat ng kundisyon. Kung ang kundisyon ay muling isinulat nang walang mga error, kailangan mong muling kalkulahin ang mga determinant gamit ang pagpapalawak sa isa pang hilera (column).

2) Kung walang nakitang mga error bilang resulta ng pagsusuri, malamang na nagkaroon ng typo sa kondisyon ng pagtatalaga. Sa kasong ito, mahinahon at MABUTI na lutasin ang gawain hanggang sa wakas, at pagkatapos siguraduhing suriin at iguhit ito sa isang malinis na kopya pagkatapos ng desisyon. Siyempre, ang pagsuri sa isang fractional na sagot ay isang hindi kasiya-siyang gawain, ngunit ito ay magiging isang disarming argument para sa guro, na, well, talagang gustong maglagay ng minus para sa anumang masamang bagay tulad. Kung paano haharapin ang mga fraction ay detalyado sa sagot para sa Halimbawa 8.

Kung mayroon kang computer sa kamay, pagkatapos ay gumamit ng isang awtomatikong programa upang suriin ito, na maaaring ma-download nang libre sa pinakadulo simula ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay pinaka-kapaki-pakinabang na gamitin ang programa kaagad (kahit na bago simulan ang solusyon), makikita mo kaagad ang intermediate na hakbang kung saan nagkamali ka! Awtomatikong kinakalkula ng parehong calculator ang solusyon ng system gamit ang matrix method.

Pangalawang pangungusap. Paminsan-minsan mayroong mga sistema sa mga equation kung saan nawawala ang ilang mga variable, halimbawa:

Dito sa unang equation walang variable , sa pangalawa walang variable . Sa ganitong mga kaso, napakahalaga na isulat nang tama at MABUTI ang pangunahing determinant:
– inilalagay ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable.
Sa pamamagitan ng paraan, makatuwiran na buksan ang mga determinant na may mga zero sa hilera (haligi) kung saan matatagpuan ang zero, dahil may kapansin-pansing mas kaunting mga kalkulasyon.

Halimbawa 10

Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer.

Ito ay isang halimbawa para sa self-solving (pagtatapos ng sample at sagot sa katapusan ng aralin).

Para sa kaso ng isang sistema ng 4 na equation na may 4 na hindi alam, ang mga formula ng Cramer ay isinulat ayon sa mga katulad na prinsipyo. Makakakita ka ng live na halimbawa sa aralin ng Determinant Properties. Pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng determinant - ang limang 4th order determinants ay medyo nalulusaw. Bagama't ang gawain ay lubos na nakapagpapaalaala sa sapatos ng isang propesor sa dibdib ng isang masuwerteng estudyante.

Solusyon ng system gamit ang inverse matrix

Ang inverse matrix method ay mahalagang isang espesyal na kaso equation ng matrix(Tingnan ang Halimbawa Blg. 3 ng tinukoy na aralin).

Upang pag-aralan ang seksyong ito, kailangan mong palawakin ang mga determinant, hanapin ang inverse matrix at magsagawa ng matrix multiplication. Ibibigay ang mga nauugnay na link habang umuusad ang paliwanag.

Halimbawa 11

Lutasin ang system gamit ang matrix method

Solusyon: Sinusulat namin ang system sa matrix form:
, saan

Mangyaring tingnan ang sistema ng mga equation at ang mga matrice. Sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ang isinusulat namin ang mga elemento sa mga matrice, sa palagay ko naiintindihan ng lahat. Ang tanging komento: kung ang ilang mga variable ay nawawala sa mga equation, ang mga zero ay kailangang ilagay sa mga kaukulang lugar sa matrix.

Nahanap namin ang inverse matrix sa pamamagitan ng formula:
, nasaan ang transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix .

Una, harapin natin ang determinant:

Dito ang determinant ay pinalawak ng unang linya.

Pansin! Kung , kung gayon ang kabaligtaran na matrix ay hindi umiiral, at imposibleng malutas ang sistema sa pamamagitan ng pamamaraan ng matrix. Sa kasong ito, ang sistema ay malulutas sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam (Gauss method).

Ngayon ay kailangan mong kalkulahin ang 9 na menor de edad at isulat ang mga ito sa matrix ng mga menor de edad

Sanggunian: Kapaki-pakinabang na malaman ang kahulugan ng double subscripts sa linear algebra. Ang unang digit ay ang numero ng linya kung saan matatagpuan ang elemento. Ang pangalawang digit ay ang bilang ng column kung saan matatagpuan ang elemento:

Iyon ay, ang isang dobleng subscript ay nagpapahiwatig na ang elemento ay nasa unang hilera, ikatlong hanay, habang, halimbawa, ang elemento ay nasa ika-3 hilera, ika-2 haligi.

Hayaan ang sistema ng mga linear na equation na maglaman ng kasing dami ng equation ng bilang ng mga independiyenteng variable, i.e. may porma

Ang ganitong mga sistema ng linear equation ay tinatawag na quadratic. Ang determinant na binubuo ng mga coefficient ng mga independiyenteng variable ng system (1.5) ay tinatawag na pangunahing determinant ng system. Ipakikilala natin ito sa letrang Griyego na D. Kaya,

Kung sa pangunahing determinant ay isang arbitrary ( j ika) column, palitan ito ng column ng mga libreng miyembro ng system (1.5), pagkatapos ay makakakuha tayo ng higit pa n pantulong na pantukoy:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Ang panuntunan ni Cramer ang paglutas ng mga quadratic system ng linear equation ay ang mga sumusunod. Kung ang pangunahing determinant D ng system (1.5) ay nonzero, kung gayon ang system ay mayroon ding natatanging solusyon, na makikita ng mga formula:

Halimbawa 1.5. Lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang pamamaraan ni Cramer

Kalkulahin natin ang pangunahing determinant ng system:

Mula noong D¹0, ang system ay may natatanging solusyon na makikita gamit ang mga formula (1.8):

Sa ganitong paraan,

Matrix Actions

1. Pagpaparami ng isang matrix sa isang numero. Ang operasyon ng pagpaparami ng isang matrix sa isang numero ay tinukoy bilang mga sumusunod.

2. Upang ma-multiply ang isang matrix sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang lahat ng elemento nito sa numerong ito. Yan ay

Halimbawa 1.6. .

Pagdaragdag ng matrix.

Ang operasyong ito ay ipinakilala lamang para sa mga matrice ng parehong pagkakasunud-sunod.

Upang magdagdag ng dalawang matrice, kinakailangang idagdag ang kaukulang elemento ng isa pang matrix sa mga elemento ng isang matrix:

(1.10)
Ang operasyon ng matrix addition ay may mga katangian ng associativity at commutativity.

Halimbawa 1.7. .

Pagpaparami ng matris.

Kung ang bilang ng mga haligi ng matrix PERO tumutugma sa bilang ng mga row ng matrix AT, pagkatapos para sa gayong mga matrice ang pagpapatakbo ng multiplikasyon ay ipinakilala:

Kaya, kapag pinarami ang matrix PERO mga sukat m´ n sa matrix AT mga sukat n´ k nakakakuha kami ng matrix MULA SA mga sukat m´ k. Sa kasong ito, ang mga elemento ng matrix MULA SA ay kinakalkula ayon sa mga sumusunod na formula:

Suliranin 1.8. Hanapin, kung maaari, ang produkto ng mga matrice AB at BA:

Solusyon. 1) Upang makahanap ng trabaho AB, kailangan mo ng mga matrix row A i-multiply sa mga column ng matrix B:

2) Artwork BA ay hindi umiiral, dahil ang bilang ng mga haligi ng matrix B hindi tumutugma sa bilang ng mga matrix row A.

Baliktad na matrix. Paglutas ng mga sistema ng mga linear equation sa paraang matrix

Matrix a- 1 ay tinatawag na kabaligtaran ng isang square matrix PERO kung ang pagkakapantay-pantay ay hawak:

kung saan saan ako nagsasaad ng identity matrix ng parehong pagkakasunud-sunod ng matrix PERO:

Para magkaroon ng inverse ang isang square matrix, kinakailangan at sapat na ang determinant nito ay nonzero. Ang inverse matrix ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

saan Isang ij- algebraic na pagdaragdag sa mga elemento aij matrice PERO(tandaan na ang mga algebraic na pagdaragdag sa mga hilera ng matrix PERO ay nakaayos sa inverse matrix sa anyo ng kaukulang mga column).

Halimbawa 1.9. Maghanap ng inverse matrix a- 1 hanggang matrix

Nahanap namin ang inverse matrix sa pamamagitan ng formula (1.13), na para sa kaso n= 3 mukhang:

Hanapin natin si det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Dahil ang determinant ng orihinal na matrix ay naiiba sa zero, kung gayon ang inverse matrix ay umiiral.

1) Maghanap ng mga algebraic na karagdagan Isang ij:

Para sa kaginhawaan ng paghahanap ng inverse matrix, inilagay namin ang mga algebraic na pagdaragdag sa mga hilera ng orihinal na matrix sa mga kaukulang column.

Mula sa nakuhang algebraic na mga karagdagan, bumubuo kami ng bagong matrix at hinahati ito sa determinant det A. Kaya, makukuha natin ang inverse matrix:

Ang mga quadratic system ng linear equation na may non-zero principal determinant ay malulutas gamit ang inverse matrix. Para dito, ang system (1.5) ay nakasulat sa matrix form:

Pagpaparami ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (1.14) sa kaliwa ng a- 1 , nakukuha namin ang solusyon ng system:

Kaya, upang makahanap ng solusyon sa isang parisukat na sistema, kailangan mong hanapin ang inverse matrix sa pangunahing matrix ng system at i-multiply ito sa kanan ng column matrix ng mga libreng termino.

Suliranin 1.10. Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation

gamit ang inverse matrix.

Solusyon. Isinulat namin ang system sa matrix form: ,

kung saan ang pangunahing matrix ng system, ay ang column ng mga hindi alam, at ang column ng mga libreng termino. Dahil ang pangunahing determinant ng system ay , kung gayon ang pangunahing matrix ng system PERO may inverse matrix PERO-isa. Upang mahanap ang inverse matrix PERO-1 , kalkulahin ang algebraic complements sa lahat ng elemento ng matrix PERO:

Mula sa mga nakuhang numero, bumubuo kami ng isang matrix (at saka, ang mga algebraic na pagdaragdag sa mga hilera ng matrix PERO isulat sa naaangkop na mga hanay) at hatiin ito sa determinant na D. Kaya, nakita namin ang inverse matrix:

Ang solusyon ng system ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula (1.15):

Sa ganitong paraan,

Paglutas ng mga System ng Linear Equation sa pamamagitan ng Ordinary Jordan Exceptions

Hayaang magbigay ng arbitrary (hindi kinakailangang parisukat) na sistema ng mga linear na equation:

Kinakailangan na makahanap ng solusyon sa system, i.e. tulad ng isang hanay ng mga variable na nakakatugon sa lahat ng pagkakapantay-pantay ng system (1.16). AT pangkalahatang kaso ang system (1.16) ay maaaring magkaroon ng hindi lamang isang solusyon, kundi pati na rin ng isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Maaaring wala rin itong mga solusyon.

Kapag nilulutas ang mga naturang problema, ginagamit ang kilalang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam mula sa kurso ng paaralan, na tinatawag ding paraan ng ordinaryong pag-aalis ng Jordanian. kakanyahan ang pamamaraang ito namamalagi sa katotohanan na sa isa sa mga equation ng system (1.16) ang isa sa mga variable ay ipinahayag sa mga tuntunin ng iba pang mga variable. Pagkatapos ang variable na ito ay pinapalitan sa ibang mga equation ng system. Ang resulta ay isang sistema na naglalaman ng isang equation at isang mas kaunting variable kaysa sa orihinal na sistema. Ang equation kung saan ipinahayag ang variable ay naaalala.

Ang prosesong ito ay paulit-ulit hanggang ang isang huling equation ay mananatili sa system. Sa proseso ng pag-aalis ng mga hindi alam, ang ilang mga equation ay maaaring maging tunay na pagkakakilanlan, halimbawa. Ang mga naturang equation ay hindi kasama sa system, dahil ang mga ito ay wasto para sa anumang mga halaga ng mga variable at, samakatuwid, ay hindi nakakaapekto sa solusyon ng system. Kung, sa proseso ng pag-aalis ng mga hindi alam, hindi bababa sa isang equation ang naging isang pagkakapantay-pantay na hindi masisiyahan para sa anumang mga halaga ng mga variable (halimbawa, ), pagkatapos ay ipagpalagay namin na ang system ay walang solusyon.

Kung sa kurso ng paglutas ng hindi pantay na mga equation ay hindi lumitaw, kung gayon ang isa sa mga natitirang mga variable dito ay matatagpuan mula sa huling equation. Kung isang variable lamang ang nananatili sa huling equation, ito ay ipinahayag bilang isang numero. Kung ang ibang mga variable ay mananatili sa huling equation, kung gayon ang mga ito ay itinuturing na mga parameter, at ang variable na ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito ay magiging isang function ng mga parameter na ito. Pagkatapos ay ginawa ang tinatawag na "reverse move". Ang nahanap na variable ay pinapalitan sa huling kabisadong equation at ang pangalawang variable ay matatagpuan. Pagkatapos ang dalawang nahanap na variable ay pinapalitan sa penultimate memorized equation at ang ikatlong variable ay matatagpuan, at iba pa, hanggang sa unang kabisadong equation.

Bilang resulta, nakukuha namin ang solusyon ng system. Ang solusyon na ito ay magiging isa lamang kung ang mga nahanap na variable ay mga numero. Kung ang unang nahanap na variable, at pagkatapos ang lahat ng iba ay nakasalalay sa mga parameter, ang system ay magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyon (bawat hanay ng mga parameter ay tumutugma sa isang bagong solusyon). Ang mga formula na nagpapahintulot sa paghahanap ng solusyon sa system depende sa isang partikular na hanay ng mga parameter ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng system.

Halimbawa 1.11.

x

Pagkatapos kabisaduhin ang unang equation at magdala ng mga katulad na termino sa pangalawa at pangatlong equation, dumating tayo sa system:

Express y mula sa pangalawang equation at palitan ito sa unang equation:

Alalahanin ang pangalawang equation, at mula sa una ay makikita natin z:

Ang paggawa ng reverse move, sunud-sunod naming mahanap y at z. Upang gawin ito, pinapalitan muna namin ang huling kabisadong equation , kung saan matatagpuan namin y:

Pagkatapos ay pinapalitan namin at sa unang kabisadong equation , kung saan matatagpuan namin x:

Suliranin 1.12. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam:

Solusyon. Ipahayag natin ang variable mula sa unang equation x at palitan ito sa pangalawa at pangatlong equation:

Sa sistemang ito, ang una at pangalawang equation ay sumasalungat sa isa't isa. Sa katunayan, nagpapahayag y mula sa unang equation at pinapalitan ito sa pangalawang equation, nakuha natin na 14 = 17. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay hindi nasisiyahan, para sa anumang mga halaga ng mga variable x, y, at z. Dahil dito, ang system (1.17) ay hindi pare-pareho, ibig sabihin, walang solusyon.

Inaanyayahan ang mga mambabasa na independiyenteng i-verify na ang pangunahing determinant ng orihinal na sistema (1.17) ay katumbas ng zero.

Isaalang-alang ang isang sistema na naiiba sa system (1.17) sa pamamagitan lamang ng isang libreng termino.

Suliranin 1.13. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam:

Solusyon. Tulad ng dati, ipinapahayag namin ang variable mula sa unang equation x at palitan ito sa pangalawa at pangatlong equation:

Tandaan ang unang equation at magbigay ng magkatulad na termino sa pangalawa at pangatlong equation. Dumating kami sa sistema:

pagpapahayag y mula sa unang equation at pinapalitan ito sa pangalawang equation, nakukuha natin ang pagkakakilanlan 14 = 14, na hindi nakakaapekto sa solusyon ng system, at, samakatuwid, maaari itong hindi kasama sa system.

Sa huling kabisadong pagkakapantay-pantay, ang variable z ay ituturing bilang isang parameter. Naniniwala kami . Pagkatapos

Kapalit y at z sa unang kabisadong pagkakapantay-pantay at hanapin x:

Kaya, ang system (1.18) ay may walang katapusang hanay ng mga solusyon, at anumang solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula (1.19) sa pamamagitan ng pagpili ng arbitraryong halaga ng parameter. t:

(1.19)
Kaya, ang mga solusyon ng system, halimbawa, ay ang mga sumusunod na hanay ng mga variable (1; 2; 0), (2; 26; 14), atbp. Ang mga formula (1.19) ay nagpapahayag ng pangkalahatang (anumang) solusyon ng system (1.18). ).

Sa kaso kapag ang orihinal na sistema (1.16) ay may sapat na malaking bilang ng mga equation at hindi alam, ang ipinahiwatig na paraan ng ordinaryong pag-aalis ng Jordan ay tila mahirap. Gayunpaman, hindi ito. Ito ay sapat na upang makuha ang algorithm para sa muling pagkalkula ng mga coefficient ng system sa isang hakbang sa isang pangkalahatang anyo at gawing pormal ang solusyon ng problema sa anyo ng mga espesyal na talahanayan ng Jordan.

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear na anyo (equation):

, (1.20)
saan x j- mga independiyenteng (nais na) variable, aij- pare-pareho ang mga coefficient
(ako = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Mga tamang bahagi ng system y i (ako = 1, 2,…, m) ay maaaring parehong variable (depende) at constants. Kinakailangang maghanap ng mga solusyon sa sistemang ito sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam.

Isaalang-alang natin ang sumusunod na operasyon, pagkatapos ay tinutukoy bilang "isang hakbang ng mga ordinaryong pagbubukod sa Jordan". Mula sa isang arbitrary ( r th) pagkakapantay-pantay, nagpapahayag kami ng arbitraryong variable ( x s) at palitan sa lahat ng iba pang pagkakapantay-pantay. Siyempre, ito ay posible lamang kung isang rs¹ 0. Coefficient isang rs ay tinatawag na paglutas (kung minsan ay gumagabay o pangunahing) elemento.

Makukuha natin ang sumusunod na sistema:

Mula sa s ika-pantay ng sistema (1.21), hahanapin natin ang variable x s(pagkatapos mahanap ang iba pang mga variable). S Ang ika-linya ay naaalala at pagkatapos ay hindi kasama sa system. Ang natitirang sistema ay maglalaman ng isang equation at isang mas kaunting independent variable kaysa sa orihinal na sistema.

Kalkulahin natin ang mga coefficient ng nagresultang sistema (1.21) sa mga tuntunin ng mga coefficient ng orihinal na sistema (1.20). Magsimula tayo sa r ika equation, na, pagkatapos ipahayag ang variable x s sa iba pang mga variable ay magiging ganito:

Kaya, ang mga bagong coefficient r ang equation ay kinakalkula ng mga sumusunod na formula:

(1.23)
Kalkulahin natin ngayon ang mga bagong coefficient b ij(i¹ r) ng isang arbitrary na equation. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang variable na ipinahayag sa (1.22) x s sa i ika equation ng system (1.20):

Pagkatapos magdala ng mga katulad na termino, makukuha natin:

(1.24)
Mula sa pagkakapantay-pantay (1.24) nakakakuha tayo ng mga formula kung saan kinakalkula ang natitirang mga koepisyent ng system (1.21) (maliban sa r ika-equation):

(1.25)
Ang pagbabagong-anyo ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng ordinaryong Jordanian eliminations ay ipinakita sa anyo ng mga talahanayan (matrices). Ang mga talahanayang ito ay tinatawag na "Jordan tables".

Kaya, ang problema (1.20) ay nauugnay sa sumusunod na talahanayan ng Jordan:

Talahanayan 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a ay		isang in
…………………………………………………………………..
y r=	isang r 1	isang r 2		isang rj		isang rs		isang rn
………………………………………………………………….
y n=	isang m 1	isang m 2		isang mj		isang ms		amn

Ang Jordan table 1.1 ay naglalaman ng kaliwang head column, kung saan nakasulat ang mga kanang bahagi ng system (1.20), at ang tuktok na head line, kung saan nakasulat ang mga independent variable.

Ang natitirang mga elemento ng talahanayan ay bumubuo sa pangunahing matrix ng mga coefficient ng system (1.20). Kung i-multiply natin ang matrix PERO sa matrix na binubuo ng mga elemento ng itaas na hilera ng header, pagkatapos ay makuha namin ang matrix na binubuo ng mga elemento ng kaliwang haligi ng header. Iyon ay, sa esensya, ang talahanayan ng Jordan ay isang matrix na anyo ng pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation: . Sa kasong ito, ang sumusunod na talahanayan ng Jordan ay tumutugma sa system (1.21):

Talahanayan 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b ay		b sa
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Permissive na elemento isang rs i-highlight natin nang naka-bold. Alalahanin na upang maipatupad ang isang hakbang ng mga pagbubukod sa Jordan, ang elemento ng paglutas ay dapat na nonzero. Ang isang table row na naglalaman ng permissive element ay tinatawag na permissive row. Ang column na naglalaman ng enable element ay tinatawag na enable column. Kapag lumipat mula sa isang ibinigay na talahanayan patungo sa susunod na talahanayan, isang variable ( x s) mula sa tuktok na hilera ng header ng talahanayan ay inilipat sa kaliwang hanay ng header at, sa kabaligtaran, isa sa mga libreng miyembro ng system ( y r) ay inilipat mula sa kaliwang hanay ng header ng talahanayan patungo sa hilera ng tuktok na header.

Ilarawan natin ang algorithm para sa muling pagkalkula ng mga coefficient sa pagpasa mula sa talahanayan ng Jordan (1.1) patungo sa talahanayan (1.2), na sumusunod mula sa mga formula (1.23) at (1.25).

1. Ang nagpapagana na elemento ay pinapalitan ng kabaligtaran na numero:

2. Ang natitirang mga elemento ng permissive line ay hinati sa permissive element at change sign sa kabaligtaran:

3. Ang natitirang mga elemento ng column na nagpapagana ay nahahati sa elementong nagpapagana:

4. Ang mga elementong hindi kasama sa hanay ng paglutas at hanay ng paglutas ay muling kinakalkula ayon sa mga formula:

Ang huling formula ay madaling matandaan kung mapapansin mo na ang mga elementong bumubuo sa fraction ay nasa intersection i-oh at r-ika linya at j ika at s-th column (pagresolba sa row, sa pagresolba ng column at sa row at column sa intersection kung saan matatagpuan ang elementong kakalkulahin muli). Mas tiyak, kapag isinasaulo ang formula, maaari mong gamitin ang sumusunod na diagram:

-21 -26 -13 -37

Ang pagsasagawa ng unang hakbang ng Jordanian exception, anumang elemento ng Table 1.3 na matatagpuan sa mga column x 1 ,…, x 5 (lahat ng tinukoy na elemento ay hindi katumbas ng zero). Hindi mo lang dapat piliin ang elementong nagpapagana sa huling column, dahil kailangang maghanap ng mga independiyenteng variable x 1 ,…, x 5 . Pinipili namin, halimbawa, ang koepisyent 1 na may variable x 3 sa ikatlong hilera ng talahanayan 1.3 (ipinapakita sa bold ang elementong nagpapagana). Kapag lumipat sa talahanayan 1.4, ang variable x Ang 3 mula sa tuktok na hilera ng header ay pinapalitan ng pare-parehong 0 ng kaliwang column ng header (ikatlong hilera). Kasabay nito, ang variable x 3 ay ipinahayag sa mga tuntunin ng natitirang mga variable.

string x 3 (Talahanayan 1.4) ay maaaring, na naalala, ay hindi kasama sa Talahanayan 1.4. Ibinubukod din ng talahanayan 1.4 ang ikatlong column na may zero sa itaas na linya ng header. Ang punto ay anuman ang mga coefficient ng column na ito b i 3 lahat ng mga termino na naaayon dito ng bawat equation 0 b i 3 sistema ay magiging katumbas ng zero. Samakatuwid, ang mga coefficient na ito ay hindi maaaring kalkulahin. Pag-aalis ng isang variable x 3 at pag-alala sa isa sa mga equation, nakarating kami sa isang sistema na naaayon sa Talahanayan 1.4 (na may naka-cross out na linya x 3). Pagpili sa talahanayan 1.4 bilang isang elemento ng paglutas b 14 = -5, pumunta sa talahanayan 1.5. Sa talahanayan 1.5, naaalala namin ang unang hilera at ibinubukod ito mula sa talahanayan kasama ang ikaapat na hanay (na may zero sa itaas).

Talahanayan 1.5 Talahanayan 1.6

Mula sa huling talahanayan 1.7 nakita namin: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Sunud-sunod na pinapalitan ang mga nahanap na variable sa mga kabisadong linya, makikita natin ang natitirang mga variable:

Kaya, ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. variable x 5 , maaari kang magtalaga ng mga arbitrary na halaga. Ang variable na ito ay gumaganap bilang isang parameter x 5 = t. Napatunayan namin ang pagiging tugma ng system at natagpuan ang pangkalahatang solusyon nito:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Pagbibigay ng parameter t magkaibang mga halaga, nakakakuha tayo ng walang katapusang bilang ng mga solusyon sa orihinal na sistema. Kaya, halimbawa, ang solusyon ng system ay ang sumusunod na hanay ng mga variable (- 3; - 1; - 2; 4; 0).