Jak již dávno poznamenal Ross Ashby, žádný systém (ani počítač, ani organismus) nemůže něco produkovat. Nový pokud tento systém neobsahuje nějaký zdroj náhodnosti. V počítači by se jednalo o generátor náhodných čísel, díky kterému „hledání“ stroje metodou pokus-omyl nakonec vyčerpá všechny možnosti studované oblasti.

Jinými slovy, každý, kdo vytváří něco nového, tzn. tvořivý systémy jsou v jazyce kapitoly 2 divergentní; naopak sekvence událostí, které jsou předvídatelné, se ipso facto* sbíhají.

To mimochodem neznamená, že všechny divergentní systémy jsou stochastické. Tento proces vyžaduje nejen přístup k náhodnosti, ale také vestavěný komparátor, nazývaný v evoluci „přirozený výběr“ a v myšlení „preference“ či „posílení“.

Je docela možné, že z pohledu věčnosti, tedy v kosmickém a věčném kontextu, Všechno sekvence událostí se stávají stochastickými. Z tohoto pohledu, nebo i z pohledu klidně sympatického taoistického světce, může být jasné, že k vedení celého systému není potřeba žádné konečné preference. Ale žijeme v omezené oblasti vesmíru a každý z nás existuje v omezeném čase. Pro nás je divergence skutečná a potenciální zdroj zmatků nebo inovací.

Někdy mám dokonce podezření, že i když jsme vázáni iluzí, děláme tuto práci podle vlastního výběru a preference pro taoistu, který se dívá zvenčí. (Pamatuji si na jistého básníka, který odmítl vojenskou službu. Údajně prohlásil: „Jsem civilizace, za kterou tito chlapi bojují.“ Možná měl v určitém smyslu pravdu?).

Tak či onak zjevně existujeme v omezené biosféře, kde hlavní směr určují dva propojené stochastické procesy. Takový systém nemůže zůstat dlouho nezměněn. Ale Rychlost Změna je omezena třemi faktory:

A. Weismannova bariéra oddělující somatickou a genetickou změnu, o níž pojednává oddíl 1 této kapitoly, zajišťuje, že se somatické přizpůsobení nestane bezohledně nevratným.

b. V každé generaci sexuální reprodukce zajišťuje, že se plán DNA nové buňky nedostane do ostrého konfliktu s plánem staré buňky, tedy s formou přirozeného výběru působícího na úrovni DNA, bez ohledu na to, jaký je tento deviantní nový plán. může znamenat pro fenotyp.

v. Epigeneze působí jako konvergentní a konzervovaný systém; vývoj embrya sám o sobě představuje selekční kontext, který podporuje konzervatismus.

Skutečnost, že přírodní výběr existuje konzervativní proces, poprvé si uvědomil Alfred Russell Wallace. Již dříve jsme se při jiné příležitosti zmínili o souvisejícím kvazikybernetickém modelu z jeho dopisu Darwinovi, který vysvětluje jeho myšlenku:

„Tento princip funguje přesně jako u odstředivého regulátoru parního stroje, který kontroluje a opravuje všechny odchylky téměř dříve, než se projeví; podobně v živočišné říši nemůže žádná odchylka od rovnováhy nikdy dosáhnout nějaké znatelné velikosti, protože by se projevila hned v prvním kroku, což by znesnadnilo existenci a následné vyhynutí by bylo téměř nevyhnutelné.

9. srovnání a kombinace obou stochastických systémů

V této části se pokusím upřesnit popis obou systémů, prozkoumat funkce každého z nich a nakonec prozkoumat podstatu větší systém univerzální evoluce, která je kombinací těchto dvou subsystémů.

Každý subsystém má dvě složky (jak vyplývá ze slova stochastický) (viz Glosář): náhodná složka a selekční proces působící na produkty náhodné složky.

Ve stochastickém systému, kterému darwinisté dali nejvíce pozornosti, náhodná složka je genetický změnou, mutací nebo přeskupením genů mezi členy populace. Předpokládám, že mutace nereaguje na požadavky prostředí ani na vnitřní napětí organismus. Zároveň ale předpokládám, že selekční mechanismus působící na náhodně se měnící organismus zahrnuje jak vnitřní napětí každého tvora, tak dále podmínky prostředí, které na tohoto tvora působí.

Především je třeba poznamenat, že vzhledem k tomu, že embrya jsou chráněna vajíčkem nebo tělem matky, vnější prostředí nemá silný selektivní vliv na genetickou inovaci, dokud epigeneze neprojde řadou fází. V minulosti, stejně jako stále, vnější přírodní výběr upřednostňoval změny, které chránily embryo a mláďata před vnějšími nebezpečími. Výsledkem bylo stále větší oddělení dvou stochastických systémů.

Alternativní metodou, jak zajistit přežití alespoň části potomků, je jejich velké množství. Jestliže v každém cyklu rozmnožování jedinec produkuje miliony embrya, pak nastupující generace může snést náhodné zabití, zvláště když zůstane naživu jen několik jedinců z milionu. To znamená pravděpodobnostní postoj k vnějším příčinám smrti, bez jakékoli snahy přizpůsobit se jejich soukromé povaze. Díky této strategii získává vnitřní výběr také možnost svobodně kontrolovat změny.

Díky ochraně nezralých potomků nebo díky astronomickému znásobení jejich počtu se tedy ukázalo, že v naší době by pro mnoho organismů měla nová forma především s výhradou vnitřních podmínek. Bude nová forma v tomto prostředí životaschopná? Bude vyvíjející se embryo schopné tolerovat novou formu, nebo změna způsobí letální abnormality ve vývoji embrya? Odpověď bude záviset na somatické flexibilitě embrya.

Navíc při sexuální reprodukci vede kombinace chromozomů během oplodnění nevyhnutelně k procesu srovnávání. Všechno nové ve vajíčku nebo spermii se musí setkat se starým u partnera a tento test podporuje shodu a neměnnost. Příliš náhlé inovace budou odstraněny jako neslučitelné.

Proces fúze v reprodukci je následován všemi složitostmi vývoje a zde kombinatorický aspekt embryologie, zdůrazněný termínem epigeneze*, vyžaduje další testování shody. Jak víme, za současného stavu byly všechny požadavky na kompatibilitu splněny, aby se vytvořil sexuálně zralý fenotyp. Pokud by tomu tak nebylo, pak by status quo ante nikdy neexistoval.

Je velmi snadné propadnout klamu, že životaschopnost nového znamená, že se starým bylo něco špatně. Tento názor, k němuž se nevyhnutelně kloní organismy již trpící patologiemi příliš rychlých, neuvážených společenských změn, je samozřejmě z větší části mylný. Je vždy je třeba mít jistotu, že nový ne horší starý. Stále nemáme jistotu, že společnost se spalovacími motory je životaschopná nebo že elektronická komunikace, jako je televize, je kompatibilní s agresivní vnitrodruhovou konkurencí vyvolanou průmyslovou revolucí. Jsou-li ostatní věci stejné (což je vzácné), staré, poněkud otestované, lze považovat za životaschopnější než nové, netestované vůbec.

Vnitřní selekce je tedy první sérií pokusů pro jakoukoli novou genetickou složku nebo kombinaci.

Naproti tomu druhý stochastický systém má své přímé kořeny ve vnější úpravě (tj. v interakci mezi fenotypem a prostředím). Náhodná složka je zde dodávána systémem sestávajícím z fenotypu interagujícího s prostředím.

Zejména získané vlastnosti, způsobené reakcí na nějakou danou změnu prostředí, mohou být předvídatelné. Pokud se omezí výdej jídla, pak tělo pravděpodobně zhubne, a to především díky metabolismu vlastních tuků. Cvičení a necvičení způsobuje změny ve vývoji nebo nevyvinutí jednotlivých orgánů a podobně. Podobně lze často předvídat individuální změny v životním prostředí: lze předvídat chladnější změnu klimatu, která sníží místní biomasu, a tím sníží dodávku potravy mnoha druhům organismů. Ale spolu fenotyp a organismus produkují něco nepředvídatelného. Ani organismus, ani životní prostředí nemá informace o tom, co partner udělá v dalším kroku. Ale tento subsystém již má selekční složku, a to do té míry, že somatické změny způsobené návykem a prostředím (včetně návyku samotného) jsou adaptivní. (Široká třída environmentálních a zkušenostních změn, které nejsou ani adaptivní, ani nevedou k přežití, je známá jako závislostí).

Prostředí a fyziologie dohromady nabídka somatické změny, které mohou a nemusí být životaschopné a jejich životaschopnost je dána aktuálním stavem organismu, který určuje genetika. Jak jsem vysvětlil v části 4, limity, kterých může somatická změna nebo učení dosáhnout, jsou nakonec určeny genetikou.

Výsledkem je, že kombinace fenotypu a prostředí tvoří náhodnou složku stochastického systému, který nabídky změna; a genetický stav má, povolit některé změny a zakázat jiné. Lamarckisté by chtěli, aby somatické změny ovládaly genetiku, ale opak je pravdou. Je to genetika, která omezuje somatické změny, některé dělá možnými a jiné znemožňuje.

Navíc by počítačoví inženýři nazvali genom jednotlivého organismu, kde jsou možnosti změny databanka– poskytuje nabídku dostupných alternativních způsobů ubytování. U daného jedince zůstává většina těchto alternativ nevyužita a tudíž neviditelná.

Podobně v jiném stochastickém systému, genomu populace se nyní považuje za extrémně heterogenní. Všechny možné genetické kombinace, i ty vzácné, vznikají přeskupením genů v sexuální reprodukci. Existuje tedy obrovská nabídka alternativních genetických cest, které si přirozená populace může vybrat pod selekčním tlakem, jak ukázal Waddingtonův výzkum genetické asimilace (diskutovaný v části 3).

Pokud je tento obrázek správný, pak jsou populace i jednotlivci připraveni na změnu. Dá se předpokládat, že není třeba čekat na pořádné mutace, a to má určitou historickou zajímavost. Jak víte, Darwin kolísal ve svých názorech na lamarckismus a věřil, že geologický čas nestačí k tomu, aby proces evoluce fungoval bez lamarckovské dědičnosti. Proto v pozdějších vydáních Origin of Species přijal Lamarckův postoj. Objev Theodosia Dobzhanského, že jednotkou evoluce je populace a že populace je heterogenním úložištěm genetických možností, značně zkracuje dobu, kterou evoluční teorie vyžaduje. Obyvatelstvo je schopno okamžitě reagovat na tlak prostředí. Individuální organismus má schopnost adaptivní somatické změny, ale je to populace, která prostřednictvím selektivní eliminace jedinců provádí změnu, která se přenáší na další generace. Předmětem výběru je možnost somatické změny. Selekce prováděná prostředím působí populace.

Nyní se zaměříme na studium jednotlivých příspěvků k celkovému procesu evoluce každého z těchto dvou stochastických systémů. Je zřejmé, že v každém případě směr změn, které nakonec vstupují do celkového obrazu, je určen selektivní složkou.

Časová struktura dvou stochastických procesů je nutně odlišná. Při náhodné genetické změně existuje nový stav DNA od okamžiku oplodnění, ale k vnější úpravě může přispět až mnohem později. Jinými slovy, první test genetické změny je test konzervatismus. V důsledku toho je to právě tento vnitřní stochastický systém, který zaručuje formální podobnost vnitřních vztahů mezi částmi (tj. homologii), která je tak patrná ve všech případech. Navíc je možné předpovědět, který z mnoha druhů homologie bude pro vnitřní selekci nejvýhodnější; Odpovědět především- cytologické: jedná se o nápadnou podobnost, která spojuje celý svět buněčných organismů. Kam se podíváme, najdeme v buňkách srovnatelné formy a procesy. Tanec chromozomů, mitochondrií a dalších organel cytoplazmy, jednotná ultramikroskopická struktura bičíků, ať se vyskytují kdekoli, u rostlin i zvířat, všechny tyto hluboké formální podobnosti jsou výsledkem vnitřní selekce trvající na konzervatismu na této elementární úrovni.

K podobnému závěru nás vede i otázka dalšího osudu změn, které přežily první cytologické testy. Změna, která ovlivnila dříve etapa života embrya, by měla narušit delší a tím i složitější řetězec dalších událostí. Je obtížné nebo nemožné uvést jakékoli kvantitativní odhady distribuce homologií v historii organismů. Když říkají, že homologie je nejvýraznější na nejvíce raná stadia produkce gamet, oplodnění a tak dále, to znamená nějaké kvantitativní prohlášení o stupně homologie, přikládající důležitost charakteristikám, jako je počet chromozomů, mitotické vzorce, bilaterální symetrie, pětiprsté končetiny, centrální nervový systém s míchou a tak dále. Takové odhady jsou samozřejmě vysoce umělé ve světě, kde (jak je uvedeno v kapitole 2) kvantita nikdy neurčuje vzorec. Ale intuice stále zůstává. Jediný formální vzorce sdílené všemi buněčnými organismy – rostlinami i zvířaty – jsou na buněčné úrovni.

Z této myšlenkové linie vyplývá zajímavý závěr: Po všech sporech a pochybnostech si teorie opakování zaslouží podporu. Existuje a priori důvod očekávat, že embrya se budou ve svých formálních vzorcích více podobat embryonálním formám svých předků než dospělí formy svých dospělých předků. To je daleko od toho, o čem snili Haeckel a Herbert Spencer, kteří si představovali, že by embryologie měla jít cestou fylogeneze. Moderní formulace je spíše negativní: Odchýlit se od začátku cesty je obtížnější (méně pravděpodobné) než odbočit z pozdějších fází. Pokud bychom jako evoluční inženýři stáli před úkolem vybrat si cestu fylogeneze od volně plavejících organismů podobných pulcům k přisedlým, červovitým, bahenním Balanoglossus Pak bychom zjistili, že nejjednodušším způsobem evoluce by bylo vyhnout se příliš časným nebo příliš náhlým poruchám v embryonálním stádiu. Možná bychom to i našli evoluční proces je zjednodušen rozčleněním epigeneze vymezením jednotlivých stupňů. Pak bychom dospěli k organismu s volně plavajícími, pulci podobnými embryi, která se v určitém okamžiku metamorfují na červovité, přisedlé dospělé.

Mechanismus variability jen tak nepovoluje a nejen tvoří. Má kontinuální determinismus, kde jsou možné změny Třída změny vhodné pro tento mechanismus. Systém náhodných genetických změn, filtrovaných selektivním procesem vnitřní životaschopnosti, dává fylogenezi charakter všudypřítomné homologie.

Uvážíme-li nyní druhý stochastický systém, dojdeme k úplně jinému obrazu. I když žádné množství učení nebo somatických změn nemůže přímo ovlivnit DNA, je zřejmé, že somatické změny (tj. pověstné získané vlastnosti) jsou obvykle adaptivní. Z hlediska individuálního přežití a/nebo reprodukce a/nebo jednoduchého pohodlí a snížení stresu je adaptace na změnu prostředí prospěšná. K této úpravě dochází na mnoha úrovních, ale na každé úrovni existuje skutečná nebo domnělá výhoda. Dobrý nápad- zrychlené dýchání, když se dostanete do vysoké nadmořské výšky; Je také dobré se naučit, jak si poradit bez zadýchání, pokud musíte zůstat dlouho v horách. Je dobré mít fyziologický systém, který se dokáže přizpůsobit fyziologickému stresu, i když takové přizpůsobení vede k aklimatizaci a aklimatizace se může stát závislostí.

Jinými slovy, somatické přizpůsobení vždy vytváří kontext pro genetickou změnu, ale zda k takové genetické změně dojde, je zcela jiná věc. Tuto otázku nechám zatím stranou a zvážím, v jakém rozsahu genetických změn možná naznačené somatickou změnou. Samozřejmě, toto spektrum nebo tato sada možností stanoví vnější hranici toho, čeho může daná stochastická složka evoluce dosáhnout.

Jeden společný rys somatická variabilita je okamžitě zřejmá: Všechno takové změny jsou kvantitativní nebo - jak by řekli počítačoví inženýři - analogový. Ve zvířecím těle jsou centrální nervový systém a DNA z velké části (možná zcela) oddělené, ale zbytek fyziologie je analogický.

Srovnáme-li tedy náhodné genetické změny prvního stochastického systému s reaktivními somatickými změnami druhého, opět se setkáme se zobecněním zdůrazněným v kapitole 2: Množství neurčuje vzor. Genetické změny mohou být vysoce abstraktní, mohou působit mnoho kroků od jejich konečného fenotypového vyjádření a nepochybně ve svém konečném vyjádření mohou být jak kvantitativní, tak kvalitativní. Ale somatické změny jsou mnohem bezprostřednější a věřím, že čistě kvantitativní. Pokud vím, popisné věty, které zavádějí vzory (tj. homologie) do popisu druhu, nejsou nikdy narušeny somatickými změnami, které může způsobit zvyk a prostředí.

Jinými slovy, zdá se, že kontrast předvedený D'Arcy Thompsonem (viz obr. 9) má své kořeny v (tj. vyplývá z) kontrastu mezi dvěma velkými stochastickými systémy.

Nakonec musím porovnat myšlenkové procesy s duálním stochastickým systémem biologické evoluce. Je takový duální systém vlastní i myšlení? (Pokud tomu tak není, pak je celá struktura této knihy sporná.)

Nejprve je důležité poznamenat, že „platonismus“, jak jsem jej nazval v 1. kapitole, byl v naší době umožněn díky argumentům, které jsou téměř opakem těch, které by preferovala dualistická teologie. Paralelismus mezi biologickou evolucí a myslí (myslí) se nevytváří postulováním Inženýra nebo Mistra skrývajícího se v mechanismu evolučního procesu, ale naopak postulováním stochastického myšlení. Kritici Darwina v devatenáctém století (zejména Samuel Butler) chtěli zavést do biosféry to, co nazývali „mysl“ (tj. nadpřirozená entelechye*). V dnešní době bych to zdůraznil tvořivý myšlenka vždy obsahuje náhodnou složku. Výzkumný proces je nekonečný proces pokus omyl psychický (mentální) pokrok – lze dosáhnout Nový pouze vstupem po náhodně vznikajících cestách; některé z nich jsou při testování nějakým způsobem vybrány pro něco jako přežití.

Připustíme-li zásadně stochastickou povahu kreativního myšlení, vyvstává pozitivní analogie s několika aspekty lidského duševního procesu. Hledáme binární oddělení myšlenkového procesu, stochastické na obě poloviny a takové, že náhodná složka jedné poloviny musí být diskrétní a náhodná složka druhé poloviny musí být analogová.

Zdá se, že nejjednodušším způsobem, jak k tomuto problému přistoupit, je nejprve zvážit výběrové procesy, které určují a omezují jeho výsledky. Zde se setkáváme se dvěma hlavními způsoby testování myšlenek či nápadů.

První z nich je testem logické koherence: dává nová myšlenka smysl ve světle toho, co je již známé nebo čemu věříme? Ačkoli existuje mnoho druhů významů a ačkoli „logika“, jak jsme viděli, je pouze chabým modelem toho, jak se věci ve světě mají, přesto prvním požadavkem myslitele na pojmy, které vyvstávají v jeho mysli, zůstává něco jako koherence nebo koherence – přísná nebo imaginární. Naopak, generování nových konceptů závisí téměř úplně (i když možná ne zcela) na přeskupování a rekombinaci existujících nápadů.

Skutečně existuje pozoruhodně úzká paralela mezi stochastickým procesem, který probíhá uvnitř mozku, a dalším stochastickým procesem, genezí náhodných genetických změn, na jejichž výsledcích funguje proces vnitřní selekce, poskytující určitou shodu mezi starým a Nový. A s bližším studiem tohoto předmětu se zdá, že formální podobnost narůstá.

Při diskuzi o kontrastu mezi epigenezí a kreativní evolucí jsem poukázal na to, že v epigenezi vše Nový informace je třeba nechat stranou a že tento proces je spíše odvozováním teorémů v rámci nějaké počáteční tautologie. Jak jsem poznamenal v této kapitole, celý proces epigeneze lze vnímat jako filtr, který explicitně a bezpodmínečně vyžaduje, aby rostoucí jedinec vyhovoval určitým standardům.

Nyní si všimneme, že existuje podobný filtr v intrakraniálním myšlenkovém procesu, který, stejně jako epigeneze v individuálním organismu, vyžaduje poslušnost a ukládá tento požadavek prostřednictvím procesu víceméně připomínajícího logiku (tj. podobný konstrukci tautologie k vytvářet věty). V procesu myšlení vážnost podobný vnitřní konektivita v evoluci.

Stručně řečeno, intrakraniální stochastický systém myšlení nebo učení se velmi podobá té složce evoluce, ve které jsou náhodné genetické změny selektovány epigenezí. A konečně, kulturní historik má k dispozici svět, kde formální podobnost přetrvává po mnoho generací kulturní historie, takže tam může hledat vhodné vzory stejně jako zoolog hledá homologii.

Přejdeme-li nyní k jinému procesu učení nebo kreativního myšlení, který zahrnuje nejen mozek jednotlivce, ale také svět kolem organismu, najdeme analogii tohoto procesu v evoluci, kde zkušenost vytváří vztah mezi organismem a prostředím, kterým říkáme přizpůsobování tím, že vnucuje tělu změny návyků a soma.

Každá akce živého organismu zahrnuje určité množství pokusů a omylů, a aby byl pokus nový, musí být poněkud náhodný. I když je nová akce jen nějakým dobře prostudovaným prvkem třída akce, ale jelikož je nová, musí se do jisté míry stát potvrzením nebo studiem tvrzení „tak se to dělá“.

Ale v učení, stejně jako v somatických změnách, existují limity a facilitace, které berou to, co se lze naučit. Některé z nich jsou vnější vůči tělu, jiné jsou vnitřní. V prvním případě je to, co se lze v tuto chvíli naučit, omezeno nebo usnadněno tím, co se naučilo dříve. Ve skutečnosti stále existuje učení o tom, jak se učit - s konečnou hranicí určenou genetickou výbavou -, které lze okamžitě změnit v reakci na požadavky prostředí. A na každém kroku nakonec působí genetická kontrola (jak bylo zdůrazněno v diskusi o somatické variabilitě v části 4).

Nakonec je nutné porovnat oba stochastické procesy, které jsem pro účely analýzy oddělil. Jaký formální vztah mezi nimi existuje?

Jak jsem pochopil, podstata věci spočívá v kontrastu mezi diskrétním a analogovým, nebo, v jiném jazyce, mezi název a jmenoval proces.

Ale pojmenování je proces sám o sobě a proces, který neprobíhá pouze v naší analýze, ale také, hlubokým a významným způsobem, v samotných systémech, které se snažíme analyzovat. Ať už je kódování a mechanický vztah mezi DNA a fenotypem jakýkoli, DNA je stále nějakým způsobem řídící orgán předepisující – a v tomto smyslu pojmenovávající – vztahy, které se musí projevit ve fenotypu.

Ale pokud připustíme, že pojmenování je jev, který se vyskytuje a organizuje jevy, které studujeme, pak ipso facto připouštíme, že očekáváme, že v tomto jevu najdeme hierarchii logických typů.

Až do tohoto bodu si vystačíme s Russellem a Principia.¦ Nyní už ale nejsme v russelovském světě abstraktní logiky a matematiky a nemůžeme přijmout prázdnou hierarchii jmen nebo tříd. O matematikovi se snadno mluví jména jmen jmen nebo o třídy třídy tříd. Ale pro vědce tento prázdný svět nestačí.+ Snažíme se pochopit prolínání nebo interakci diskrétních stupňů (tj. jmen) s analogovými stupni. Samotný proces pojmenování je pojmenování, a tato skutečnost nás nutí nahradit střídání jednoduchý žebříček logických typů, které nabízí Principia.

Jinými slovy, abych znovu sjednotil dva stochastické systémy, do kterých jsem pro účely analýzy rozdělil jak evoluci, tak mentální proces, budu muset vzít v úvahu oba ve střídavém pořadí. Co je uvnitř Principia se jeví jako žebřík kroků jednoho druhu (jména jmen a tak dále), stává se střídáním kroků dvou druhů. Pocházet z název na jméno jméno musíme projít proces jméno pojmenování. Vždy musí existovat proces generování, který vytvoří třídy, než je lze pojmenovat.

Tímto velmi širokým a komplexním tématem se budeme zabývat v kapitole 7.

Časové řady. Časová řada je soubor pozorování generovaných postupně v průběhu času. Pokud je čas spojitý, říká se, že časová řada je spojitá. Pokud se čas mění diskrétně, je časová řada diskrétní. Pozorování diskrétních časových řad provedená v časových bodech lze označit . Tato kniha se zabývá pouze diskrétními časovými řadami, ve kterých jsou pozorování prováděna v pevném intervalu. Když jsou k dispozici po sobě jdoucí hodnoty takové řady pro analýzu, zapíšeme , označující pozorování provedená ve stejně vzdálených bodech v čase . V mnoha případech hodnoty a nejsou důležité, ale pokud potřebujete přesně určit časy pozorování, musíte tyto dvě hodnoty zadat. Pokud to vezmeme jako počátek a jako jednotku času, můžeme to považovat za pozorování v čase .

Diskrétní časové řady se mohou objevit dvěma způsoby.

1) Výběr ze souvislých časových řad, např. v situaci na Obr. 1.2, kde se v intervalech 9 s odečítají hodnoty kontinuálního příkonu a výkonu plynové pece.

2) Akumulace proměnné za určité časové období; příklady jsou dešťové srážky, které se typicky hromadí během období, jako je den nebo měsíc, nebo produkce dávek produktu, které se hromadí během cyklu. Například na Obr. Obrázek 2.1 ukazuje časovou řadu výtěžků ze 70 po sobě jdoucích šarží produktu chemického procesu.

Rýže. 2.1 Výtěžek 70 po sobě jdoucích šarží produktu chemického procesu .

Deterministické a náhodné časové řady. Pokud jsou budoucí hodnoty časové řady přesně určeny nějakou matematickou funkcí, jako je např

,

časová řada se nazývá deterministická. Pokud lze budoucí hodnoty popsat pouze pomocí rozdělení pravděpodobnosti, říká se, že časová řada je nedeterministická nebo jednoduše náhodná. Údaje o šaržích produktu na Obr. 2.1 je příkladem náhodné časové řady. Ačkoli je v tomto řádku zřetelný vzestupný a sestupný trend, není možné přesně předpovědět výstup další dávky. V této knize prozkoumáme právě takové náhodné časové řady.

Stochastické procesy. Statický jev, který se vyvíjí v čase podle zákonů teorie pravděpodobnosti, se nazývá stochastický proces. Často jej budeme označovat jednoduše jako proces, vynecháme slovo „stochastický“. Časové řady, které mají být analyzovány, lze považovat za jednu konkrétní implementaci studovaného systému, generovanou skrytým pravděpodobnostním mechanismem. Jinými slovy, při analýze časové řady ji považujeme za realizaci stochastického procesu.

Rýže. 2.2 Pozorované časové řady (tučná čára) a další časové řady, které jsou realizacemi stejné stochastické řady.

Rýže. 2. 3. Isolinie hustoty popisu dvourozměrného rozdělení pravděpodobnosti stochastický proces občas a v čase je také okrajová distribuce .

Když například analyzujeme výstupní data šarže produktu na obrázku 2.1, můžeme si představit jiné sady pozorování (jiné realizace stochastického procesu, který generuje tato pozorování), které mohou být generovány stejným chemickým systémem, ve stejném cykly. Tak například na Obr. Obrázek 2.2 ukazuje výtěžky šarží produktu od do (tučná čára) spolu s dalšími časovými řadami, které lze získat z populace časových řad definovaných stejným stochastickým procesem. Z toho vyplývá, že pozorování v daném čase můžeme považovat řekněme za realizaci náhodné veličiny s hustotou pravděpodobnosti . s hustotou pravděpodobnosti .

Uvažujme proměnnou, která se řídí Markovovým stochastickým procesem. Předpokládejme, že jeho aktuální hodnota je 10 a změna v průběhu roku je popsána funkcí 0(0, 1), kde a) je normální rozdělení pravděpodobnosti s matematickým očekáváním // a směrodatnou odchylkou o. Jaké rozdělení pravděpodobnosti popisuje změnu této proměnné za dva roky?
Změna proměnné po dvou letech je popsána součtem dvou normálních rozdělení s nulovými matematickými očekáváními a jednotkovými směrodatnými odchylkami. Protože je proměnná markovovská, jsou tato rozdělení na sobě nezávislá. Sečtením dvou nezávislých normálních rozdělení dostaneme normální rozdělení, jehož matematické očekávání se rovná součtu matematických očekávání každého z členů a rozptyl je součtem jejich rozptylů. Matematické očekávání změn uvažované proměnné za dva roky je tedy nulové a rozptyl je 2,0. Změna hodnoty proměnné po dvou letech je tedy náhodná veličina s rozdělením pravděpodobnosti φ(0, %/2).
Dále zvažte změnu proměnné za šest měsíců. Rozptyl změn této proměnné během jednoho roku se rovná součtu rozptylů těchto změn během prvního a druhého půl roku. Předpokládáme, že tyto odchylky jsou stejné. Pak je rozptyl změn proměnné za šest měsíců 0,5 a směrodatná odchylka 1/0,5. Proto rozdělení pravděpodobnosti změny proměnné v průběhu šesti měsíců je φ(0, \DW)
Podobná úvaha nám umožňuje dokázat, že změna proměnné za tři měsíce má rozdělení 0(0, ^/0,25). Obecně řečeno, změnu proměnné za časový úsek délky T popisuje rozdělení pravděpodobnosti φ(0, \[T) ).
Odmocniny v těchto výrazech se mohou zdát zvláštní. Vznikají ze skutečnosti, že při analýze Markovova procesu se rozptyly změn proměnné v po sobě jdoucích časových bodech sčítají, ale standardní odchylky nikoli. V našem příkladu je rozptyl změn proměnné během jednoho roku 1,0, takže rozptyl změn této proměnné za dva roky je 2,0 a po třech letech je 3,0. Zároveň směrodatná odchylka
změn proměnných po dvou a třech letech jsou \/2 a \/3. Přísně vzato bychom neměli říkat, že směrodatná odchylka změn proměnné za jeden rok je 1,0 za rok. Je třeba říci, že se rovná „odmocnině jednoty za rok“. To vysvětluje, proč je množství nejistoty často považováno za úměrné druhé odmocnině času.
Wienerovy procesy
Proces, kterému podléhá výše diskutovaná proměnná, se nazývá Wienerův proces. Jde o speciální případ Markovova stochastického procesu, kdy je očekávání změn v proměnné nulové a jejich rozptyl je 1,0. Tento proces je ve fyzice široce používán k popisu pohybu částice, která se účastní velkého počtu srážek s molekulami (tento jev je tzv. Brownův pohyb(Brownův pohyb)).
Formálně řečeno, proměnná z se řídí Wienerovým procesem, pokud má následující vlastnosti.
VLASTNOST 1. Změna Az během malého časového intervalu At splňuje rovnost
Az = ey/At, (12.1)
kde e je náhodná veličina, která se řídí standardizovaným normálním rozdělením φ(0,1).
Vlastnost 2. Hodnoty Az ve dvou malých časových intervalech At jsou nezávislé.
Z první vlastnosti vyplývá, že veličina Az má normální rozdělení, ve kterém se matematické očekávání rovná nule, směrodatná odchylka je rovna VAt a rozptyl je roven At. Druhá vlastnost znamená, že veličina 2 se řídí Markovovým procesem.
Uvažujme nárůst proměnné z za relativně dlouhou dobu T. Tuto změnu můžeme označit jako z(T) - z(0). Lze jej znázornit jako součet nárůstu proměnné r přes N relativně malých časových intervalů délky At. Tady
Tudíž,
z(t)z(o) = J2?^t' (12,2)
r=1
kde?r,r = 1,2,...,LG jsou náhodné veličiny s rozdělením pravděpodobnosti φ(0,1). Z druhé vlastnosti Wienerova procesu vyplývá, že množství?
?; jsou na sobě nezávislé. Z výrazu (12.2) vyplývá, že náhodná veličina z(T) - z(0) má normální rozdělení, jehož matematické očekávání je nulové, rozptyl je NAt = T a směrodatná odchylka y/T. Tyto závěry jsou v souladu s výsledky uvedenými výše. Příklad 12.1
Předpokládejme, že hodnota r náhodné veličiny, která se řídí Wienerovým procesem v počátečním časovém okamžiku, je 25 a čas se měří v letech. Na konci prvního roku je hodnota proměnné normálně rozdělena s očekávanou hodnotou 25 a směrodatnou odchylkou 1,0. Na konci pátého roku má hodnota proměnné normální rozdělení s průměrem 25 a směrodatnou odchylkou n/5, tzn. 2,236. Nejistota hodnoty proměnné v určitém okamžiku v budoucnosti, měřená její směrodatnou odchylkou, roste s tím, jak se zvyšuje Odmocnina z délky předpokládaného intervalu. ?
V matematické analýze se hojně využívá přechod na limitu, kdy hodnota malých změn má tendenci k nule. Například, když At -> 0, změní se veličina Ax = aAt na veličinu dx = adt. Při analýze stochastických procesů se používá podobný zápis. Například jako At -> 0 má výše popsaný proces Az tendenci k Wienerově procesu dz.
Na Obr. Obrázek 12.1 ukazuje, jak se mění trajektorie proměnné z jako At -> 0. Všimněte si, že tento graf je zubatý. Je to proto, že změna proměnné z v čase At je úměrná hodnotě v^Af, a když se hodnota At stane malou, číslo \/At je mnohem větší než At. Díky tomu má Wienerův proces dvě zajímavé vlastnosti.
1. Očekávaná délka trajektorie, kterou proměnná z urazí během libovolného časového období, je nekonečná.
2. Očekávaný počet shod proměnné z s jakoukoli konkrétní hodnotou v libovolném časovém období je nekonečný.
Generalizovaný Wienerův proces
Rychlost driftu nebo koeficient driftu stochastického procesu je průměrná změna proměnné za jednotku času a rychlost rozptylu nebo koeficient difúze je množství fluktuace za jednotku času. Rychlost driftu hlavního Wienerova procesu dz diskutovaného výše je nula a rozptyl je 1,0. Posun nuly znamená, že očekávaná hodnota proměnné z v daném čase je rovna její aktuální hodnotě. Jednotkový rozptyl procesu znamená, že rozptyl změny proměnné z v časovém intervalu T je roven její délce.
Rýže. 12.1. Změna ceny akcií v příkladu
Zobecněný Wienerův proces pro x lze definovat pomocí dz následovně.
dx - adt + bdz, (12.3)
kde a a b jsou konstanty.
Abychom pochopili význam rovnice (12.3), je užitečné zvážit dva členy na pravé straně samostatně. Výraz a dt znamená, že očekávaná rychlost driftu proměnné x je 0 jednotek za jednotku času. Bez druhého členu se rovnice (12.3) změní na rovnici
dx=adt,
odkud z toho plyne
dx
Integrací této rovnice v průběhu času dostaneme
x = xo + a?,
kde xo je hodnota proměnné x v čase nula. Během časového období T se tedy proměnná x zvětší o hodnotu ee. Termín b dz lze chápat jako šum nebo proměnlivost trajektorie, kterou proměnná x cestuje. Velikost tohoto šumu je bkrát větší než hodnota Wienerova procesu. Standardní odchylka Wienerova procesu je 1,0. Z toho vyplývá, že směrodatná odchylka b dz je rovna b. Na krátkých časových intervalech AL je změna proměnné x určena rovnicemi (12.1) a (12.3).
Axe \u003d aAb ​​​​+ bEY / Ab,
kde e, jako dříve, je náhodná veličina se standardizovaným normálním rozdělením. Takže veličina Ax má normální rozdělení, jehož matematické očekávání se rovná aAb, směrodatná odchylka je 6n/D7 a rozptyl je b2D/. Podobná úvaha může ukázat, že změna proměnné x během libovolného časového intervalu T má normální rozdělení s matematickým očekáváním c.T, směrodatnou odchylkou bu/T a rozptylem b2T. Očekávaná rychlost driftu zobecněného Wienerova procesu (12.3) (tj. průměrná změna driftu za jednotku času) je tedy rovna a, a rozptyl (tj. rozptyl proměnné za jednotku času) je b2. Tento proces je znázorněn na Obr. 12.2. Stahování si ilustrujme na následujícím příkladu.
Příklad 12.2
Uvažujme situaci, kdy podíl aktiv společnosti investovaný do krátkodobých hotovostních pozic (hotovostní pozice) měřený v tisících dolarů podléhá zobecněnému Wienerovu procesu s mírou driftu 20 000 USD za rok a rozptylem 900 000 USD za rok. rok. V prvním okamžiku je podíl aktiv 50 000 USD Po roce bude mít tento podíl aktiv normální rozdělení s matematickým očekáváním 70 000 USD a směrodatnou odchylkou l/900, tzn. 30 USD. O šest měsíců později bude normálně rozdělena s očekáváním 60 000 USD a standardní odchylkou 30 USD\DC >= 21,21 USD. Nejistota spojená s podílem aktiv investovaných do krátkodobých peněžních ekvivalentů měřených pomocí standardní odchylky se zvyšuje s tím, jak druhá odmocnina délky předpokládaného intervalu. Všimněte si, že tento podíl aktiv se může stát záporným (když si společnost půjčí). ?
Ito proces
Stochastický proces Ito je zobecněný Wienerův proces, ve kterém parametry aab jsou funkcemi závislými na proměnné x a čase t. Proces Ito lze vyjádřit následujícím vzorcem.
dx = a(x, t)dt + b(x, t)d,z,?
Jak očekávaná rychlost driftu, tak i rozptyl tohoto procesu se v průběhu času mění. V krátkém časovém úseku od t do At se proměnná změní z
x až x + ah kde
Ax = a(x, t) At + b(x, t)e\fAt.
Tento vztah obsahuje trochu úsek. Souvisí to s tím, že uvažujeme drift a rozptyl proměnné x konstanty, které se v časovém intervalu od t do At rovnají a(x, t) respektive b(x, t)2.

Stochasticita (starořecky στόχος - cíl, předpoklad) znamená náhodnost. Stochastický proces je proces, jehož chování není deterministické a následný stav takového systému je popsán jak veličinami předvídatelnými, tak náhodnými. Podle M. Kaca a E. Nelsona však bude jakýkoli vývoj procesu v čase (ať už deterministický nebo pravděpodobnostní), analyzován z hlediska pravděpodobností, stochastickým procesem (jinými slovy, všechny procesy, které se vyvíjejí v čase, od z hlediska teorie pravděpodobnosti, jsou stochastické ).

Příkladem skutečného stochastického procesu v našem světě je modelování tlaku plynu pomocí Wienerova procesu. Navzdory skutečnosti, že se každá molekula plynu pohybuje po své vlastní přesně definované dráze (v tomto modelu a nikoli ve skutečném plynu), pohyb množiny takových molekul je prakticky nemožné vypočítat a předpovědět. Dostatečně velký soubor molekul bude mít stochastické vlastnosti, jako je plnění nádoby, vyrovnávání tlaku, pohyb směrem k menšímu koncentračnímu gradientu atd. Projevuje se tedy vznik systému.

Metoda Monte Carlo si získala oblibu díky fyzikům Stanislawu Ulamovi, Enricu Fermimu, Johnu von Neumannovi a Nicholasi Metropolisovi. Název pochází z kasina v Monte Carlu v Monaku, kde si strýček Ulama půjčil peníze na hraní. Využití povahy náhody a opakování ke studiu procesů je analogické s činnostmi, které se odehrávají v kasinu.

Metody pro provádění výpočtů a experimentů založené na náhodných procesech jako forma stochastického modelování byly používány na úsvitu rozvoje teorie pravděpodobnosti (například Buffonův problém a práce Williama Gosseta o odhadu malých vzorků), ale nejvíce rozvinuté v r. předpočítačové éry. punc Simulační metoda Monte Carlo spočívá v tom, že nejprve se hledá pravděpodobnostní analog (viz algoritmus simulace žíhání). Předtím šly simulační metody opačným směrem: simulace byla použita k testování výsledku dříve určeného problému. A přestože takové přístupy existovaly již dříve, nebyly běžné a oblíbené, dokud se neobjevila metoda Monte Carlo.

Snad nejslavnější z raných aplikací těchto metod je díky Enricu Fermimu, který v roce 1930 použil stochastické metody k výpočtu vlastností nově objeveného neutronu. Metody Monte Carlo byly při práci na projektu Manhattan hojně využívány i přes to, že možnosti počítačů byly značně omezené. Z tohoto důvodu se metody Monte Carlo začaly rozšiřovat až s příchodem počítačů. V 50. letech je využívá Národní laboratoř Los Alamos k vytvoření vodíkové bomby. Metody jsou široce používány v takových oblastech, jako je fyzika, fyzikální chemie a operační výzkum.

Použití metod Monte Carlo vyžaduje velké množství náhodné proměnné, což následně vedlo k vývoji generátorů pseudonáhodných čísel, které byly mnohem rychlejší než metody generování tabulek dříve používané pro statistické vzorkování.

Studium statistických zákonitostí je nejdůležitějším kognitivním úkolem statistiky, který řeší pomocí speciálních metod měnících se v závislosti na charakteru výchozí informace a cílech poznání. Znalost podstaty a síly vazeb umožňuje řídit socioekonomické procesy a předvídat jejich vývoj.

Mezi mnoha formami souvislostí je nejdůležitější ta kauzální, která určuje všechny ostatní formy. Podstatou kauzality je generování jednoho jevu druhým. Přitom příčina sama o sobě ještě neurčuje účinek, záleží i na podmínkách, ve kterých působení příčiny probíhá. Pro vznik účinku jsou potřeba všechny faktory, které jej určují – příčina a podmínky. Nezbytná podmíněnost jevů množstvím faktorů se nazývá determinismus.

Předmětem studia statistického měření vztahů je zpravidla determinismus účinku faktory (příčina a podmínky). Znaky podle důležitosti pro studium vztahu se dělí do dvou tříd. Znaky, které způsobují změny v jiných souvisejících znameních, se nazývají faktoriální nebo jednoduše faktory. Znaky, které se mění pod vlivem faktorových znaků, se nazývají efektivní.

Vztahy mezi jevy a jejich znaky jsou klasifikovány podle stupně těsnosti spojení, směru a analytického vyjádření.

Mezi různými jevy a jejich znaky je třeba především rozlišit dva typy vztahů: funkční (pevně určené) a statistické (stochasticky určené).

Spojení atributu „y“ s atributem „x“ se nazývá funkční, pokud každá možná hodnota nezávislého atributu „x“ odpovídá jedné nebo více přesně definovaným hodnotám závislého atributu „y“. Definici funkčního spojení lze snadno zobecnit pro případ mnoha atributů x 1 ,x 2 ,...,x n .

Charakteristickým rysem funkčních vztahů je, že v každém jednotlivém případě je znám úplný seznam faktorů, které určují hodnotu závislého (výsledného) atributu, a také přesný mechanismus jejich vlivu, vyjádřený určitou rovnicí.

Funkční vztah lze znázornit rovnicí: y i =f(x i), kde y i je efektivní znak (i ​​= 1, ..., n); f(x i) je známá funkce spojení mezi efektivní a faktorovou charakteristikou; x i - znak faktoru.

Nejčastěji jsou funkční souvislosti pozorovány u jevů popisovaných matematikou, fyzikou a dalšími exaktními vědami. Funkční souvislosti probíhají i v socioekonomických procesech, ale zcela výjimečně (odrážejí provázanost pouze jednotlivých aspektů komplexních jevů). veřejný život). V ekonomii je příkladem funkčního vztahu vztah mezi mzdou y a počtem vyrobených dílů x pro jednoduché kusové mzdy.

V reálném společenském životě může v důsledku neúplnosti informací rigidně určeného systému vznikat nejistota, kvůli které je nutné tento systém ze své podstaty považovat za pravděpodobnostní, přičemž vztah mezi znaky se stává stochastickým.

Stochastické spojení je spojení mezi veličinami, ve kterých jedna z nich, náhodná veličina y, reaguje na změnu jiné hodnoty x nebo jiných hodnot x 1 , x 2 ,..., x n , (náhodná nebo nenáhodná ) změnou distribučního zákona. To je způsobeno skutečností, že závislá proměnná (výsledné znaménko), kromě uvažovaných nezávislých, podléhá vlivu řady nezapočítaných nebo nekontrolovaných (náhodných) faktorů a také některým nevyhnutelným chybám v měření. proměnných. Protože hodnoty závislé proměnné podléhají náhodným variacím, nelze je s dostatečnou přesností předpovídat, ale pouze indikovat s určitou pravděpodobností.

Charakteristickým rysem stochastických vztahů je, že se objevují v celé populaci, nikoli v každé její jednotce (a ani úplný seznam faktorů, které určují hodnotu efektivní vlastnosti, ani přesný mechanismus jejich fungování a interakce s účinná vlastnost je známá).

Model stochastického spojení lze v obecné podobě reprezentovat rovnicí: ŷ i = f(x i) + ε i, kde ŷi- vypočtená hodnota efektivního znaku; f(x i) - část efektivního znaku, vytvořená pod vlivem uvažovaných známých faktorových znaků (jeden nebo více), které jsou ve stochastickém vztahu se znakem; ε i- část efektivního znaku, která vznikla v důsledku působení nekontrolovaných nebo nezvažovaných faktorů, jakož i měření znaků, které je nevyhnutelně doprovázeno některými náhodnými chybami.

Projev stochastických souvislostí podléhá působení zákona velkých čísel: pouze v dostatečně velkém počtu jednotek se jednotlivé charakteristiky vyhladí, šance se navzájem vyruší a závislost, pokud má významnou sílu, dojde k vyhlazení jednotlivých charakteristik. se projeví zcela jasně.

V socioekonomickém životě se člověk musí potýkat s mnoha jevy pravděpodobnostního charakteru. Například úroveň produktivity práce pracovníků stochasticky souvisí s celou řadou faktorů: kvalifikací, pracovními zkušenostmi, úrovní mechanizace a automatizace výroby, náročností na práci, prostoje, zdravotním stavem pracovníka, jeho náladou, atmosférou. tlak a další. Úplný seznam faktory je téměř nemožné určit.

Speciálním případem stochastického spojení je korelace, ve které se průměrná hodnota (očekávání) náhodné hodnoty efektivního znaku y přirozeně mění v závislosti na změně jiné hodnoty x nebo jiných náhodných veličin x 1 ,x 2 ,.. .,x n . Korelace se neobjevuje v každém jednotlivém případě, ale v celé populaci jako celku. Pouze u dostatečně velkého počtu případů bude každá hodnota náhodného prvku x odpovídat rozložení průměrných hodnot náhodného prvku y. Přítomnost korelací je vlastní mnoha společenským jevům.

V závislosti na směru působení mohou být funkční a stochastické vztahy přímé a reverzní. Při přímé souvislosti se směr změny výsledného atributu shoduje se směrem změny atributu-faktoru, tzn. s nárůstem atributu faktoru roste i atribut efektivní a naopak s poklesem atributu faktor se snižuje i atribut efektivní. Jinak mezi uvažovanými veličinami existují zpětné vazby. Například čím vyšší kvalifikace pracovníka (hodnost), tím vyšší úroveň produktivity práce – přímá úměra. A čím vyšší je produktivita práce, tím nižší jsou jednotkové náklady výroby – zpětná vazba.

Podle analytického výrazu (formy) mohou být spoje přímočaré a nelineární (křivočaré). Při přímém vztahu se zvýšením hodnoty atributu faktoru dochází k kontinuálnímu nárůstu (nebo poklesu) hodnot výsledného atributu. Matematicky je takový vztah reprezentován rovnicí přímky a graficky - přímkou. Proto jeho více krátký název- lineární spojení.

U křivočarých vztahů s nárůstem hodnoty faktoru atributu dochází k nárůstu (nebo poklesu) efektivního atributu nerovnoměrně, nebo je směr jeho změny obrácen. Geometricky jsou taková spojení reprezentována zakřivenými čarami (hyperbola, parabola atd.).

Podle počtu faktorů působících na výsledný atribut se liší vztahy mezi jednofaktorovým (jeden faktor) a vícefaktorovým (dva a více faktorů). Jednofaktorové (jednoduché) vztahy se obvykle nazývají párové (protože se uvažuje o dvojici znaků). Například korelace mezi ziskem a produktivitou práce. V případě multifaktoriálního (vícenásobného) spojení se rozumí, že všechny faktory působí komplexně, tzn. současně a ve vzájemné souvislosti např. korelace mezi produktivitou práce a úrovní organizace práce, automatizace výroby, kvalifikace pracovníků, pracovní zkušenosti, prostoje a další faktory faktorů.

Pomocí vícenásobné korelace je možné pokrýt celý komplex faktorových charakteristik a objektivně odrážet existující vícenásobné vztahy.

Slovo stochastický používají matematici a fyzici k popisu procesů, ve kterých je prvek náhody. Pochází přímo z řeckého slova „atoaaizeoa“. V Aristotelově etice se toto slovo používá ve smyslu „schopnost odhadnout“. Matematici toto slovo použili zjevně na základě toho, že v nutnosti uhodnout je prvek náhody. Ve Websterově novém mezinárodním slovníku je slovo stochastický definováno jako domnělé. Všimli jsme si tedy, že technický význam tohoto slova není přesně v souladu s jeho lexikální (slovníkovou) definicí. Ve stejném smyslu jako „stochastický proces“ používají někteří autoři výraz „náhodný proces“. V budoucnu budeme hovořit o procesech a signálech, které nejsou čistě náhodné, ale náhodnost do té či oné míry obsahují. Z tohoto důvodu dáváme přednost slovu „stochastický“.

Rýže. 3.1-1. Porovnání typických stochastických a předvídatelných signálů.

Na Obr. 3.1-1 porovnává jednoduché průběhy stochastických a regulárních signálů. Zopakujeme-li experiment s měřením stochastického signálu, pak dostaneme oscilace nové formy, odlišné od předchozí, ale stále vykazující určitou podobnost v charakteristických rysech. Záznam vln oceánu

je dalším příkladem stochastického signálu. Proč je nutné mluvit o těchto poněkud neobvyklých stochastických signálech? Odpověď na tuto otázku je založena na skutečnosti, že vstupní signály automatizačních systémů často nejsou zcela předvídatelné jako sinusovka nebo jednoduchý přechodový jev. Ve skutečnosti se ve výzkumu vyskytují stochastické signály automatické systémyčastěji než předvídatelné signály. Nicméně skutečnost, že předvídatelné signály mají velká důležitost zatím nejde o závažné opomenutí. Poměrně často lze dospět k přijatelné technice výběrem signálů z třídy předvídatelných signálů takovým způsobem, aby se zobrazily vlastnosti skutečný signál, který má stochastickou povahu. Příkladem tohoto druhu je použití několika vhodně zvolených sinusoid k reprezentaci stochastických změn v momentech, které způsobují rolování v problému stability lodi. Na druhou stranu se setkáváme s problémy, ve kterých je velmi obtížné reprezentovat skutečný stochastický signál pomocí predikovatelné funkce. Jako první příklad zvažte schéma automatického systému sledování cíle a řízení palby. Zde polohovací radarové zařízení neměří chybu ukazování přesně, ale pouze přibližně. Rozdíl mezi skutečnou chybou zaměření a tím, co radar měří, se často nazývá radarový šum. Obvykle je velmi obtížné aproximovat radarový šum pomocí několika sinusoid nebo jiných jednoduché funkce. Dalším příkladem je tkaní textilních vláken. V procesu tkaní se nit vytahuje z náhodně zamotaných svazků vláken (tzv. příze). Tloušťku nitě lze v jistém smyslu považovat za vstupní signál při regulaci procesu tkaní. Změny v tomto procesu jsou způsobeny změnami v počtu a tloušťce jednotlivých vláken v různých propletených úsecích příze. Je zřejmé, že tento typ odchylky je ve své podstatě stochastický a je obtížné jej aproximovat nějakými pravidelnými funkcemi.

Předchozí úvahy ukazují, že stochastické signály hrají důležitou roli při studiu řídicích systémů. Dosud jsme mluvili o stochastických signálech jako o signálech způsobených procesy obsahujícími nějaký prvek náhodnosti. Abychom mohli pokračovat dále, musíme si ujasnit pojmy takových signálů. Moderní fyzika, a zejména kvantová mechanika, učí, že všechny fyzikální procesy, když jsou podrobně zkoumány,

jsou nespojité a nedeterministické. Zákony klasické mechaniky jsou nahrazeny statistickými zákony založenými na pravděpodobnosti událostí. Za plynulou funkci obvykle považujeme například napětí kmitů, které vznikají na stínítku elektronky osciloskopu. Víme však, že pokud se tyto kmity zkoumají pod mikroskopem, nebudou vypadat tak hladce kvůli hluku výstřelu v trubici, který doprovází buzení kmitů. Po určité reflexi není těžké se přiklonit k závěru, že všechny signály v přírodě jsou stochastické. Ačkoli jsme zprvu předpokládali, že ve srovnání se sinusoidou nebo jednotkovou skokovou funkcí je stochastický signál relativně abstraktní pojem, ve skutečnosti je opak pravdou: sinusovka, jednotková skoková funkce a obecně regulární signály představují abstrakci. Nicméně, stejně jako euklidovská geometrie, je to užitečná abstrakce.

Stochastický signál nelze graficky znázornit předem určeným způsobem, protože je způsoben procesem obsahujícím prvek náhody. Nemůžeme říci, jaká je velikost stochastického signálu v budoucím časovém bodě. O stochastickém signálu v budoucím časovém okamžiku lze pouze říci, jaká je pravděpodobnost, že jeho hodnota spadá do určitého intervalu. Vidíme tedy, že pojmy funkce pro stochastický signál a pro běžný signál jsou zcela odlišné. Pro regulární proměnnou myšlenka funkce implikuje určitou závislost proměnné na jejím argumentu. S každou hodnotou argumentu spojujeme jednu nebo více hodnot proměnných. V případě stochastické funkce nemůžeme jednoznačně vztáhnout hodnotu proměnné k nějaké konkrétní hodnotě argumentu. Jediné, co můžeme udělat, je spojit některá rozdělení pravděpodobnosti s konkrétními hodnotami argumentu. V určitém smyslu jsou všechny regulární signály limitujícím případem stochastických signálů, kdy rozdělení pravděpodobnosti má vysoké vrcholy, takže nejistota polohy proměnné pro konkrétní hodnotu argumentu je nulová. Na první pohled se stochastická proměnná může zdát tak nejistá, že její analytické zpracování je nemožné. Uvidíme však, že analýzu stochastických signálů lze provádět pomocí funkcí hustoty pravděpodobnosti a dalších statistických charakteristik, jako jsou střední, efektivní a korelační funkce. S ohledem na statistickou povahu stochastických signálů je často vhodné je považovat za prvky sady signálů, z nichž každý je způsoben stejným procesem. Tato sada signálů se nazývá soubor. Pojem souboru pro stochastické signály odpovídá pojmu populace ve statistice. Charakteristika stochastického signálu

odkazují obvykle na soubor, nikoli na částečný signál souboru. Když tedy mluvíme o určitých vlastnostech stochastického signálu, obvykle máme na mysli, že soubor tyto vlastnosti má. Obecně je nemožné uvažovat o tom, že jeden stochastický signál má libovolné vlastnosti (možná s výjimkou nepodstatných vlastností). V další části probereme důležitou výjimku z tohoto obecného pravidla.