Definice náhodné veličiny. Mnoho náhodných událostí může být kvantifikováno náhodnými proměnnými.

Náhodné je veličina, která nabývá hodnot v závislosti na kombinaci náhodných okolností.

Náhodné proměnné jsou: počet pacientů v ordinaci, počet studentů v publiku, počet porodů ve městě, délka života individuální osoba, rychlost molekuly, teplota vzduchu, chyba v měření nějaké hodnoty atd. Pokud koule v urně očíslujete přibližně stejně jako při hře loterie, pak dojde k libovolnému odebrání koule z urna zobrazí číslo, které je náhodnou proměnnou.

Existují diskrétní a spojité náhodné proměnné.

Náhodná proměnná se nazývá diskrétní, pokud má spočetnou sadu hodnot: počet písmen na libovolné stránce knihy, energie elektronu v atomu, počet vlasů na hlavě člověka, počet zrnek v uších, počet molekul v daném objemu plynu atd.

Kontinuální náhodná hodnota má jakoukoli hodnotu v určitém intervalu: tělesná teplota, hmotnost zrna v klasy pšenice, souřadnice místa, kde střela zasáhla cíl (střelu bereme jako hmotný bod) atd.

Rozdělení diskrétní náhodné veličiny. Diskrétní náhodná veličina se považuje za danou, pokud jsou uvedeny její možné hodnoty a jejich odpovídající pravděpodobnosti. Označte diskrétní náhodnou veličinu X, jeho význam x 1 x 2,…., a pravděpodobnosti P(x 1)= p 1, P (x 2)= p 2 atd. Populace X a P se nazývá rozdělení diskrétní náhodné veličiny(Stůl 1).

stůl 1

Náhodná proměnná je číslo sportu ve hře "Sportlo-10". Celkový počet druhů je 49. Uveďte distribuci této náhodné veličiny (tab. 3).

Tabulka 3

Význam 1 = 0 odpovídá takovému případu, kdy třikrát za sebou dojde k event ALE se nestalo. Pravděpodobnost tohoto komplexního jevu je podle věty o násobení pravděpodobnosti (2.6) rovna
Význam já= 1 se týká případu, kdy k události A došlo v jednom ze tří pokusů. Podle vzorce (2.6) dostaneme

Od v l = 1 dochází také ke dvěma dalším komplexním událostem: (A a A a A) a (A a A a A), pak je nutné pomocí věty o sčítání pravděpodobnosti (2.4) získat celkovou pravděpodobnost pro l = 1, přidání předchozího výrazu třikrát:

Význam já= 2 odpovídá případu, ve kterém k události A došlo ve dvou ze tří pokusů. Úvahou podobnou výše uvedenému získáme celkovou pravděpodobnost pro tento případ:

V 1 = 3 událost A se objevuje ve všech třech pokusech. Pomocí věty o násobení pravděpodobnosti najdeme

V obecný případ Binomické rozdělení určuje pravděpodobnost, že událost A nastane. lčasy v P testy:

Na základě dlouhodobého pozorování se odhadne volání lékaře do daného domu s pravděpodobností 0,5. Najděte pravděpodobnost, že během šesti dnů budou čtyři telefonáty k lékaři; P(A)= 0,5, n = 6,1 = 4. T Použijeme vzorec (2.10):

Numerické charakteristiky diskrétní náhodné veličiny. V mnoha případech mohou spolu s rozdělením náhodné veličiny nebo místo ní poskytnout informace o těchto veličinách číselné parametry tzv. číselné charakteristiky náhodné veličiny. Podívejme se na nejběžnější z nich.

Matematické očekávání (střední hodnota) náhodné veličiny je součtem součinů všech jejích možných hodnot.
na pravděpodobnosti těchto hodnot:

Nechte s velkým počtem testů P diskrétní náhodná veličina X nabývá hodnot x v x 2,..., x n respektive m 1, m g,..., t p jednou. Střední hodnota je

Pokud P je velký, pak relativní četnosti t1/p, t2/p,... bude inklinovat k pravděpodobností a průměrná hodnota - k matematickému očekávání. Proto se matematické očekávání často ztotožňuje s průměrnou hodnotou.

Najděte matematické očekávání pro diskrétní náhodnou veličinu, která je dána číslem na hraně při hodu kostkou (viz tabulka 2).

Použijeme vzorec (2.11):

Najděte matematické očekávání pro diskrétní náhodnou veličinu, která je určena cirkulací „Sportlota“ (viz tabulka 3). Podle vzorce (2.11) najdeme

Možné hodnoty diskrétní náhodné proměnné jsou rozptýleny kolem jejího matematického očekávání, některé z nich přesahují M(X),část je méně M(X). Jak odhadnout stupeň rozptylu náhodné veličiny vzhledem k její střední hodnotě? Může se zdát, že k vyřešení takového problému je třeba vypočítat odchylky všech náhodných veličin od jejich matematického očekávání. X – M(X), a pak najděte matematické očekávání (průměr) těchto odchylek: M[X - M(X)]. Bez důkazu poznamenáváme, že tato hodnota je rovna nule, protože odchylky náhodných veličin od matematického očekávání mají kladné i záporné hodnoty. Proto je vhodné vzít v úvahu buď absolutní hodnoty odchylek M[X - M(X)] nebo jejich druhých mocnin M[X - M(X)]2. Druhá možnost se ukazuje jako výhodnější, takže docházejí ke konceptu rozptylu náhodné veličiny.

Disperze náhodné veličiny je matematickým očekáváním druhé mocniny odchylky náhodné veličiny od jejího matematického očekávání:

To znamená, že rozptyl je roven rozdílu mezi matematickým očekáváním druhé mocniny náhodné veličiny X a druhou mocninou jejího matematického očekávání.

Najděte rozptyl náhodné veličiny, který je dán číslem na hraně při hodu kostkou (viz tabulka 2).

Matematické očekávání tohoto rozdělení je 3,5. Zapišme druhé mocniny odchylky náhodných veličin od matematického očekávání: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5)2 = 0,25; (4 - 3,5)2 = 0,25; (5 - 3,5)2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Podle vzorce (2.12) s přihlédnutím k (2.11) zjistíme rozptyl:

Jak vyplývá z (2.12), rozptyl má rozměr druhé mocniny rozměru náhodné veličiny. Za účelem odhadu vzdálenosti náhodné veličiny v jednotkách stejné dimenze je zaveden koncept standardní odchylka,čímž se myslí Odmocnina z disperze:

Rozdělení a charakteristiky spojité náhodné veličiny. Spojitá náhodná veličina nemůže být specifikována stejným distribučním zákonem jako diskrétní. V tomto případě postupujte následovně.

Nechť dP je pravděpodobnost spojité náhodné veličiny X nabývá hodnot mezi X a X+ dx. Je zřejmé, že Irm je více intervalový dx, tím pravděpodobnější dP: dP ~ dx. Pravděpodobnost navíc musí záviset i na samotné náhodné Hodnotě, poblíž které se tedy interval nachází

kde f(x)- hustota pravděpodobnosti, nebo funkce rozdělení pravděpodobnosti. Ukazuje, jak se mění pravděpodobnost související s intervalem. dx náhodná proměnná, v závislosti na hodnotě této proměnné samotné:

Integrací výrazu (2.15) v příslušných mezích zjistíme pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude nějaké hodnoty v intervalu (ab):

Normalizační podmínka pro spojitou náhodnou veličinu má tvar

Jak je vidět z (2.19), tato funkce je rovna pravděpodobnosti, že náhodná veličina nabývá hodnot menší než X:

Pro spojitou náhodnou veličinu se matematické očekávání a rozptyl zapisují jako

Definice. Náhodná veličina je taková proměnná, která v důsledku experimentu nabývá libovolnou hodnotu z množiny svých možných hodnot a před experimentem nelze předpovědět kterou.

Náhodné veličiny jsou například počet bodů, které vypadnou při hodu kostkou, počet návštěvníků lékárny během dne, počet jablek na stromě atd.

Náhodnými veličinami jsou také teplota pacienta v nějakou náhodně vybranou denní dobu, hmotnost náhodně vybrané tablety nějakého léku, výška náhodně vybraného studenta atp.

Ó

Z matematického hlediska je však zásadní rozdíl mezi takovými náhodnými veličinami, jako je například počet návštěvníků lékárny během dne (označme tuto náhodnou veličinu X 1) a růst náhodně vybraného studenta z r. určité skupině studentů (hodnota X 2) je zásadní rozdíl, a to: pro hodnotu X 1 můžete uvést všechny její možné hodnoty (1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .), zatímco pro hodnotu X 2 to nelze provést, protože tato hodnota může v důsledku měření nabývat libovolné hodnoty ze segmentu , kde

a - minimální a maximální výška studentů ve skupině.

Náhodné proměnné se obvykle označují velkými písmeny latinské abecedy - X, Y, Z atd., a jejich možnými hodnotami - odpovídajícími malými písmeny s číselnými indexy. Například hodnoty náhodné proměnné x jsou označeny takto: x 1, x 2, x 3 atd.

Pojem diskrétních a spojitých náhodných veličin

Definice. Náhodná proměnná se nazývá diskrétní, pokud množina všech jejích možných hodnot je konečná nebo nekonečná, ale nutně spočetná množina hodnot, tedy taková množina, jejíž všechny prvky lze (alespoň teoreticky) očíslovat a zapsat příslušnou sekvenci.

Definice. Náhodná veličina se nazývá spojitá, pokud množina jejích možných hodnot je nějaký konečný nebo nekonečný interval číselné osy.

Na základě těchto definic mohou být takové náhodné veličiny uvedené výše jako počet bodů, které vypadnou při hodu kostkou, počet návštěvníků lékárny během dne, počet jablek na. strom, jsou diskrétní náhodné proměnné, a jako je teplota pacienta v pevnou denní dobu, hmotnost náhodně vybrané tablety nějakého léku, výška náhodně vybraného studenta, jsou spojité proměnné.

Diskrétní náhodné veličiny

Pojďme se na to blíže podívat diskrétní náhodné proměnné a zpravidla omezíme naši úvahu na takové náhodné veličiny, pro které je počet možných hodnot konečný.

Nejúplnější informaci o diskrétní náhodné veličině dává zákon rozdělení této veličiny.

Definice. Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny je korespondence mezi všemi možnými hodnotami této náhodné veličiny a jejich odpovídajícími pravděpodobnostmi.

Distribuční zákon diskrétní náhodné proměnné je často specifikován ve formě dvouřádkové tabulky, jejíž první řádek uvádí všechny možné hodnoty této proměnné (zpravidla ve vzestupném pořadí) a druhý řádek uvádí seznam všech možných hodnot této proměnné. pravděpodobnosti odpovídající těmto hodnotám v tabulce 1:

Příklad 2 Existuje deset studentských skupin s 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 a 11 studenty. Napište distribuční zákon pro náhodnou veličinu X, definovanou jako počet studentů v náhodně vybrané skupině.

Řešení. Možné hodnoty uvažované náhodné proměnné X jsou následující (ve vzestupném pořadí):

8, 9, 10, 11 a 12.

Protože náhodná proměnná X nabývá hodnoty 8, je-li náhodně vybranou skupinou skupina 8 studentů (říkejme tomu událost A), pravděpodobnost, že náhodná proměnná X nabude hodnoty
, se rovná pravděpodobnosti této náhodné události:
.

Pravděpodobnost náhodného jevu A v souladu s klasickou definicí pravděpodobnosti je
protože z 10 skupin mají dvě každá 8 studentů.

Pro pravděpodobnost hodnoty tedy dostaneme:

.

Podobně můžete najít pravděpodobnosti zbývajících hodnot náhodné proměnné X:

což nám umožňuje sestavit požadovaný distribuční zákon (tabulka 2):

Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny lze také specifikovat pomocí vzorce, který umožňuje pro každou možnou hodnotu této proměnné určit odpovídající pravděpodobnost.

Diskrétní a spojité náhodné veličiny

Při výrobě produktů je proces jejich výroby zpravidla ovlivněn mnoha různými faktory, v důsledku čehož dochází k rozptylu hodnot ukazatelů kvality produktu. Ukazatele kvality vyráběných výrobků nebo služeb by tedy měly být považovány za náhodné proměnné.

Náhodná proměnná nazývá se taková hodnota, která v důsledku testů v určitém intervalu může nabývat různých číselných hodnot (podle STB GOST R 50779.10 je náhodná proměnná proměnná, která může nabývat libovolné hodnoty z dané množiny hodnot a s níž je spojeno rozdělení pravděpodobnosti).

Diskrétní náhodné veličiny se nazývají ty, které v důsledku testů mohou nabývat pouze samostatné, izolované hodnoty a nemohou nabývat hodnot mezi nimi. Například počet špatných dílů v dávce může být pouze kladné celé číslo 1, 2, 3 atd., ale nemůže být 1,3; 1.7 atd.

Spojitá náhodná veličina nazývá se taková hodnota, která v důsledku testů může nabývat libovolné číselné hodnoty ze souvislé řady jejich možných hodnot v určitém intervalu.

Například skutečné rozměry obráběných součástí jsou náhodné proměnné spojitého typu, protože mohou nabývat jakékoli číselné hodnoty v určitých mezích.

Možnosti náhodných veličin nabývat určité číselné hodnoty během testů jsou hodnoceny pomocí pravděpodobností.

Soubor hodnot náhodných proměnných uspořádaných vzestupně s uvedením jejich pravděpodobností pro každou z hodnot se nazývá rozdělení náhodných veličin (podle STB GOST R 50779.10 rozdělení je funkce, která určuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude dané hodnoty nebo bude patřit do dané sady hodnot).

Rozdělení náhodné veličiny lze prezentovat v tabulkové, grafické podobě a pomocí statistických odhadů.

Při prezentaci rozdělení náhodné veličiny v tabulkové formě odpovídá každé číslo zkoumané jednotky produktu (číslo měření) hodnotě ukazatele kvality pro tuto jednotku produktu (výsledek měření).

Při prezentaci rozdělení náhodné veličiny v grafické podobě se v souřadnicích vynese graf rozdělení, hodnota náhodné veličiny - pravděpodobnost (četnost, četnost) hodnoty náhodné veličiny.

Níže uvedený obrázek ukazuje grafy rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin.

Obrázek - Graf rozdělení diskrétní náhodné veličiny

Obrázek - Graf rozdělení spojité náhodné veličiny

Existují teoretické a empirické rozdělení náhodných veličin. V teoretických rozděleních se hodnocení možných hodnot náhodné veličiny provádí pomocí pravděpodobností a v empirických rozděleních pomocí frekvencí nebo frekvencí získaných jako výsledek testů.

Tudíž, empirické rozdělení náhodné veličiny je soubor jeho experimentálních hodnot, uspořádaných ve vzestupném pořadí, udávající frekvence nebo frekvence pro každou z hodnot (podle STB GOST R 50779.10 přidělení frekvence je empirický vztah mezi hodnotami prvku a jeho frekvencemi nebo jejich relativními frekvencemi).

Stůl. Příklad tabulkového znázornění teoretického rozdělení diskrétní náhodné veličiny

Graficky lze empirické rozdělení diskrétní náhodné veličiny znázornit jako sloupcový graf , tvořený sadou sloupců stejné šířky, jejichž výšky jsou úměrné frekvencím diskrétních hodnot náhodné veličiny.

Obrázek - Sloupcový graf diskrétní náhodné veličiny.

Pokud je náhodná veličina spojitá, pak vznikají určité potíže s prezentací jejího rozdělení ve formě tabulky nebo grafu. Proto se v praxi při studiu náhodných veličin spojitého typu získané hodnoty rozdělují do stejných intervalů tak, aby hodnota intervalu byla o něco větší než chyba měření studované veličiny. Frekvence se pak nepočítají podle skutečných hodnot náhodné veličiny, ale podle intervalů. Tabulka empirického rozdělení náhodné veličiny spojitého typu bude mít tedy následující podobu.

Stůl. Empirické rozdělení náhodné veličiny spojitého typu.

Hodnotový interval X	Aritmetický průměr	Frekvence F i	Frekvence m i
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		F i = 100	m i = 1

Empirické rozdělení náhodné spojité proměnné lze graficky znázornit jako distribuční histogram, frekvenční polygon nebo kumulativní frekvenční polygon.

Histogram distribuce je soubor dotýkajících se obdélníků, jejichž základny se rovnají intervalům dělení spojité náhodné veličiny a plochy jsou úměrné frekvencím, se kterými hodnoty náhodné veličiny do těchto intervalů spadají (podle STB GOST R 50779.10 sloupcový graf (distribuce) je grafické znázornění rozdělení četností pro kvantitativní charakteristiku, tvořené souvislými obdélníky, jejichž základnami jsou intervaly tříd a plochy jsou úměrné četnostem těchto tříd).

Obrázek - Histogram rozdělení náhodné spojité proměnné.

Frekvenční mnohoúhelník je přerušovaná čára získaná spojením bodů, jejichž úsečky se rovnají středům rozdělovacích intervalů a pořadnice se rovnají odpovídajícím frekvencím.

Obrázek - Mnohoúhelník frekvencí náhodné spojité veličiny.

Mnohoúhelník kumulativní frekvence je přerušovaná čára získaná spojením bodů, jejichž úsečky se rovnají horním hranicím rozdělovacích intervalů a jejichž pořadnice se rovnají buď kumulativním četnostem, nebo kumulativním četnostem (kumulativní relativní četnosti).

Obrázek - Polygon kumulativních četností náhodné spojité hodnoty.

V teoretických popisech náhodných veličin spojitého typu se používá distribuční funkce. Teoretické rozdělení náhodné spojité proměnné lze graficky znázornit jako integrál, inverzní integrál, diferenciál distribuční funkce a funkce intenzita.

Nechť X je náhodná proměnná a x je nějaké reálné číslo (s X< х ). Událost X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

Zavolá se F(X). distribuční funkce pravděpodobnosti funkce náhodné proměnné nebo integrální distribuční funkce.

Pro diskrétní náhodnou veličinu lze integrální distribuční funkci F(X) snadno určit z tabulky nebo grafu.

Tedy pro výše uvedený příklad rozdělení diskrétní náhodné veličiny (na X< 4):

F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Graf integrální distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny bude vypadat jako stupňová křivka. Ordináty křivky pro jakoukoli hodnotu X budou představovat součet pravděpodobností předchozích hodnot.

Obrázek - Integrální distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny

Pravděpodobnost, že náhodná veličina během testování bude v mezích dvou daných hodnot x 1 a x 2 (x 2 > x 1) se rovná přírůstku integrální funkce v této oblasti, tzn.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Pokud se vrátíme k výše uvedenému příkladu rozdělení diskrétní náhodné veličiny, pak pro x1 = 2 a x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Pro spojitou náhodnou veličinu bude graf funkce integrálního rozdělení vypadat jako monotónně rostoucí křivka. V praxi se teoretické distribuční četnosti určují pomocí kumulativní distribuční funkce.

Obrázek - Kumulativní distribuční funkce

spojitá náhodná veličina

Inverzní kumulativní distribuční funkce je rovna rozdílu mezi jednotkovou a kumulativní distribuční funkcí.

Distribuční hustota (diferenciální distribuční funkce) náhodná veličina se nazývá první derivace funkce integrálního rozdělení:

Pro analytický popis spojité náhodné veličiny v teorii spolehlivosti používáme funkce intenzity , rovno poměru funkce diferenciálního rozdělení k funkci inverzního integrálního rozdělení:

Obrázek - Funkce intenzity spojité náhodné veličiny.

Téma 3.

Náhodné veličiny a distribuční funkce

Pojem náhodné veličiny.

Pojem náhodné veličiny

Distribuční funkce náhodné veličiny, její vlastnosti

Náhodné veličiny s diskrétním rozdělením

Pojem náhodné veličiny s diskrétním rozdělením

Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny.

Příklady diskrétních distribucí

Náhodné veličiny s absolutně spojitým rozdělením

Pojem náhodné veličiny s absolutně spojitým rozdělením

Distribuční zákon absolutně spojité náhodné veličiny. Hustota, její vlastnosti

Příklady absolutně spojitých rozdělení

Koncept náhodného vektoru.

Koncept náhodného vektoru

Nezávislé náhodné veličiny

Společné rozdělení náhodných veličin

Pojem náhodné veličiny.

Od vzniku teorie pravděpodobnosti bylo jejím hlavním úkolem studovat nikoli pravděpodobnostní vlastnosti experimentů s náhodnými výsledky, ale číselné veličiny spojené s těmito experimenty, které je přirozené nazývat náhodné proměnné. Například nás nemusí zajímat dvojice čísel na horních stranách kostky, ale jejich součet; počet úspěchů nebo neúspěchů před prvním úspěchem v Bernoulliho schématu.

V literatuře často najdete variace na téma následující definice: Náhodná proměnná nazývaná proměnná, která v závislosti na výsledku testu nabývá hodnot, které závisí na případu.

Náhodná veličina je tedy číselná hodnota, jejíž hodnota závisí na tom, k jakému (elementárnímu) výsledku došlo v důsledku experimentu s náhodným výsledkem. Volá se množina všech hodnot, které může náhodná proměnná nabývat množina možných hodnot této náhodné veličiny.

Uvedeme přesnější definici, protože koncept náhodné veličiny je jedním z klíčových konceptů, které spojují teorii pravděpodobnosti s matematickou analýzou a tvoří konceptuální základ matematické statistiky.

Definice. Náhodná proměnná je funkce X = X(ω) definovaná na prostoru elementárních událostí Ω, pro které je událost (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Stav (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из ALE. Kromě toho prostřednictvím událostí (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Komentář. Náhodná proměnná je tedy funkce, jejíž doménou definice je prostor elementárních událostí Ω a množinou hodnot je číselná množina, případně celá množina reálných čísel. R.

σ-algebra událostí A je oborem definice pravděpodobnosti, uvažujeme-li ji jako funkci.

Komentář . „Pojem „náhodná veličina“ je poněkud nepřesný, vhodnější by byl termín „funkce náhody“, nezávislá proměnná je bod v prostoru elementárních dějů, tzn. výsledek experimentu nebo případu. (W. Feller „Úvod do teorie pravděpodobnosti“, kap. IX)

Náhodné proměnné se označují písmeny řecké abecedy:  (xi),  (toto),  nebo velkými písmeny latinské abecedy X, Y, ... Hodnoty náhodné veličiny zapíšeme jako konečná nebo nekonečná posloupnost X 1 ,X 2,, X n,; y 1 , y 2 ,  , y n ,

Komentář . Již dříve jsme zavedli pojem pravděpodobnosti ve vztahu k některým událostem. Nyní přejdeme k povídání o funkcích. Nejzjevnější událostí, která může být spojena s konceptem funkce, je její přijetí nějaké hodnoty (specifické nebo patřící do intervalu)

Pro studium pravděpodobnostních vlastností náhodné veličiny je nutné znát pravidlo, které umožňuje najít pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty z podmnožiny jejích hodnot. Každé takové pravidlo se nazývá zákon rozdělení pravděpodobnosti nebo rozdělení (pravděpodobností) náhodné veličiny.(slovo "pravděpodobnost" se obvykle vynechává)

Obecný distribuční zákon vlastní všem náhodným veličinám je distribuční funkce.

Definice. Celá množina pravděpodobností P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает distribuční zákon náhodné veličiny X obecně. Často, pro stručnost, zákon rozdělení náhodné veličiny je jednoduše nazýván rozdělením náhodné veličiny.

Definice. Funkce F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется distribuční funkce náhodné veličiny X.

Hodnota distribuční funkce v bodě x se rovná pravděpodobnosti události (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Obvykle se říká, že hodnota distribuční funkce v bodě x je rovna pravděpodobnosti, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší než x.

Geometricky to znamená následující: F(x) je pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty reprezentované bodem na číselné ose umístěné vlevo od bodu x.

Komentář . Také se nazývá distribuční funkce integrální funkce, neboli integrální zákon rozdělení náhodné veličiny X

Distribuční funkce má následující vlastnosti:

0≤ F(x)≤1 (protože distribuční funkcí je podle definice pravděpodobnost)

F(x 1) ≤ F(x 2) pro x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 jako x → - ∞ , lim F(x) = 1 jako x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) je levá spojitá funkce, tzn. F(x) = F(x - 0), kde F(x - 0) = lim F(y) jako y → x - 0 (levý limit)

Komentář . Aby se zdůraznilo, ke které náhodné veličině distribuční funkce F(x) patří, je této funkci někdy přiřazen dolní index označující určitou náhodnou veličinu. Například F X (x) = P (X< х}

Komentář. V některých publikacích je distribuční funkce definována jako F(x) = P(X ≤ x). Taková definice nic nemění na podstatě pojmu distribuční funkce, mění se pouze poslední, pátá vlastnost. Funkce se v tomto případě ukáže jako správně spojitá.

Odbočka: "Co je to funkce?"

Dostaneme dvě množiny X a Y a Y je číselná množina. A budiž dáno pravidlo f, podle kterého je každý prvek (bod) množiny X spojen s (jediným) prvkem (číslem) množiny Y. Pravidlo f spolu s množinami X a Y definuje funkce f. Zápis y=f(x) znamená, že pravidlo f bylo aplikováno na nějaký bod x množiny X a jako výsledek jsme dostali bod y z množiny Y. X se nazývá argument (nezávislá proměnná) a y je hodnota (závislá proměnná) funkce f v bodě X. Množina X se nazývá doména definice (oblast nastavení) funkce, říká se, že funkce je dána na této množině, množina Y se nazývá množina hodnot funkce. Množina X nemusí být nutně číselná množina. Náhodná veličina je tedy funkce definovaná na nenumerickém prostoru elementárních událostí.

NÁHODNÉ HODNOTY

Náhodná hodnota je veličina, která v důsledku testu nabude pouze jedné možné hodnoty a která není předem známa.

Diskrétní je náhodná proměnná, která nabývá samostatných, izolovaných možných hodnot s určitou pravděpodobností.

Spojitá proměnná je náhodná proměnná, která může nabývat všech hodnot z nějakého konečného nebo nekonečného intervalu.

Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny je korespondence mezi možnými hodnotami náhodné veličiny a jejich pravděpodobnostmi. Tento zákon je dán ve formě tabulky, vzorce nebo grafu.

Pro diskrétní náhodné veličiny je jedním z nejčastějších tzv. zákon binomického rozdělení, ke kterému vede Bernoulliho schéma opakování testů. Vzorec (8) je analytickým vyjádřením tohoto zákona.

Příklad 11.

Zpráva je přenášena komunikačním kanálem pomocí kódu sestávajícího ze dvou znaků. Pravděpodobnost výskytu prvního je 2/3. Prošly tři znamení. Najděte distribuční zákon pro výskyty prvního znaménka.

Řešení.

Podle stavu n=4, R=2/3, q= 1/3. Možné hodnoty počtu výskytů prvního znaménka: 0, 1, 2 a 3. Určete jejich pravděpodobnosti pomocí vzorce (8):

Tento zákon lze prezentovat ve formě tabulky

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Distribuční funkce je funkce, která určuje pravděpodobnost náhodné veličiny X jako výsledek testu bude mít hodnotu menší než X, to je

Geometricky to znamená, že náhodná veličina s pravděpodobností R převezme hodnotu, která je na číselné ose znázorněna bodem vlevo X.

Pro spojitou náhodnou veličinu je distribuční funkce spojitá po částech diferencovatelná funkce. Hlavní vlastnosti jsou odvozeny z definice:

1. Hodnoty distribuční funkce patří do segmentu , tzn.

2. F(X) je neklesající funkce, tedy pokud

3. Pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty obsažené v intervalu [ a,b[, se rovná přírůstku distribuční funkce na tomto intervalu

Pro spojitou náhodnou veličinu je pravděpodobnost přijetí jediné hodnoty nulová. Tedy pro spojité náhodné veličiny

Příklad 12.

Náhodná hodnota X dáno distribuční funkcí

Najděte pravděpodobnost, že jako výsledek testu X bude mít hodnotu patřící segmentu [-1; 0,5].

Řešení.

Z podmínky vyplývá, že X je spojitá náhodná veličina, která může nabývat hodnoty od 0 do 1.

Hustota pravděpodobnosti kontinuální náhodná proměnná X zavolejte první derivaci distribuční funkce

distribuční funkce F(x) je jedním z primitivních derivátů pro hustotu distribuce. Na základě definice hustoty resp diferenciální zákon distribuce a její vztah s distribuční funkcí, je snadné ukázat následující vlastnosti:

1. Hustota rozdělení spojité náhodné veličiny je nezáporná funkce

2. Pravděpodobnost zásahu náhodné veličiny X v intervalu se rovná

(16)

3. Z vlastnosti 2 získáme výraz pro distribuční funkci

(17)

4. Normalizační stav

(18)

Příklad 13 diskrétní hodnotu X dáno tabulkou

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Najděte distribuční funkci a vytvořte její graf.

Řešení.

1. Jestliže , pak , protože X nesmí být menší než 2.

V tomto případě v intervalu (-¥, X) existuje pouze jedna hodnota náhodné veličiny X (X=2). Proto

Pro jakoukoli hodnotu argumentu X funkcí F(x), uspokojení této nerovnosti do intervalu (-¥, X) narazí na dvě hodnoty náhodné proměnné ( X= 2 a X=3). Protože události, které X bude akceptovat, že dané hodnoty jsou nekonzistentní (resp X=2 nebo X=3), tedy

4. Podobně, jestliže

Proto bude distribuční funkce vypadat

Sestavíme graf distribuční funkce

Rýže. 1 - Graf distribuční funkce

diskrétní náhodná veličina

Příklad 14. Hustota rozložení chyb měření

Náhodná veličina je veličina, jejíž hodnota je získána jako výsledek přepočtu nebo měření a nelze ji jednoznačně určit podmínkami jejího vzniku.

To znamená, že náhodná proměnná představuje číselné náhodné události.

Náhodné proměnné jsou rozděleny do dvou tříd:

Diskrétní náhodné veličiny - hodnoty těchto veličin jsou přirozená čísla, kterým jsou jako jednotlivé události přiřazeny frekvence a pravděpodobnosti.

Spojité náhodné veličiny - mohou nabývat libovolné hodnoty z určitého intervalu (intervalu). Vzhledem k tomu, že v intervalu od X1 do X2 existuje nekonečný počet číselných hodnot, je pravděpodobnost, že náhodná veličina XiЄ(X1,X2) nabude určité hodnoty, nekonečně malá. Vzhledem k tomu, že není možné vypsat všechny hodnoty spojité náhodné veličiny, v praxi se používá průměrná hodnota intervalu (X1,X2).

U diskrétních náhodných veličin se funkce y \u003d P (x) nazývá distribuční funkce náhodné veličiny a má graf - nazývá se distribuční polygon.

Rozlišují se tyto skupiny číselných charakteristik: polohové charakteristiky (matematické očekávání, modus, medián, kvantil atd.), disperze (rozptyl, směrodatná odchylka atd.), charakteristiky tvaru hustoty rozložení (šikmost, špičatost atd.) .

Matematické očekávání (průměrná hodnota podle rozdělení) je reálné číslo, určené v závislosti na typu SV X podle vzorce:

Matematické očekávání existuje, pokud řada (respektive integrál) na pravé straně vzorce absolutně konverguje. Je-li mX = 0, pak se CV X nazývá centrovaný (označený ).

Vlastnosti matematického očekávání:

kde C je konstanta;

M = CxM[X];

M = M[X]+M[Y],

pro jakékoli CB X a Y;

M = M[X]×M[Y] + KXY,

kde KXY = M je kovariance CV X a Y.

Počáteční moment k-tého řádu (k = 0, 1, 2, ...) rozdělení SV X je reálné číslo určené vzorcem:

nk=M=

Centrální moment k-tého řádu rozdělení SV X je číslo určené vzorcem:

mk = M[(X-mX)k]=

Z definic momentů zejména vyplývá, že: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.

Režim SWNT je reálné číslo Mo(X) = x*, definované jako maximální bod PR f(x). Režim může mít jednu hodnotu (unimodální rozdělení) nebo více hodnot (multimodální rozdělení).

Medián SWNT je reálné číslo Me(X) = x0, které splňuje podmínku: P(X< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.

Kvantil na úrovni p je reálné číslo tp, které splňuje rovnici: F(tp) = p. Zejména z definice mediánu vyplývá, že x0 = t0,5.

Rozptyl SV X je nezáporné číslo D[X] = DX, definované vzorcem:

DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 =

Disperze existuje, pokud řada (respektive integrál) na pravé straně rovnosti konverguje. Vlastnosti disperze:

D[C] = 0, kde C je konstanta;

D = C2xD[X];

rozptyl se zjevně nemění se zkreslením CB X;

D = D[X] + D[Y] + 2×KXY,

kde KXY = M - kovariance CB X a Y;

Nezáporné číslo sХ = se nazývá směrodatná odchylka RV X. Má rozměr RV X a definuje nějaký standardní rms disperzní interval, symetrický vzhledem k matematickému očekávání. (Hodnota sX se někdy nazývá standardní odchylka.) CV X se nazývá standardizovaný, pokud mX = 0 a sX = 1. Pokud hodnota X = const (tj. X není náhodné), pak D[X] = 0.

Ukazatelem asymetrie PR je koeficient asymetrie („šikmost“) rozdělení: A = m3/s3X. Ukazatelem špičatosti PR je koeficient špičatosti („bodovitosti“) rozdělení: E = (m4/s4X)-3. Konkrétně pro normální rozdělení je E = 0.

Uspořádaná množina n náhodných proměnných (CV) X1, X2, ..., Xn, uvažovaných společně v tomto experimentu, se nazývá n-rozměrný CV nebo náhodný vektor a značí se = (X1, X2, ..., Xn).

Distribuční funkce (DF) n-rozměrného náhodného vektoru je funkcí n reálných proměnných x1, x2, ..., xn, definovaných jako pravděpodobnost společného naplnění n nerovností: F(x1, x2, ... xn) = P(X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующими свойствами:

1 0 £ F(x, y) £ 1;

2 F(x, y) - neklesající funkce jeho argumentů;

4.

Vlastnost 4 se běžně označuje jako podmínka konzistence. To znamená, že DFs jednotlivých složek náhodného vektoru lze nalézt přechodem k limitě od společné distribuční funkce těchto složek. Pravděpodobnost, že náhodný bod v rovině (X, Y) spadne do obdélníku se stranami rovnoběžnými se souřadnicovými osami, lze vypočítat pomocí DF pomocí vzorce:

P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).

Dvourozměrný náhodný vektor (X,Y) se nazývá náhodný vektor diskrétního typu (RDV), pokud je množina jeho možných hodnot G(x, y) maximálně spočetná. Jeho distribuční zákon lze určit pomocí dvourozměrné tabulky ze seznamu možných hodnot dvojic složek ((хi, yi) | (хi, yi) О G(x, y)) a odpovídajících každé takové dvojici pravděpodobností pij = P(X = xi, Y = yj ) splňujících podmínku

Dvourozměrný náhodný vektor (X, Y) se nazývá náhodný vektor spojitého typu (CBNT), pokud existuje taková nezáporná funkce f(x, y) nazývaná hustota rozdělení pravděpodobnosti (DP) náhodného vektoru, která :

f(x, y) = , pak F(x, y) = .

PR pravděpodobností má následující vlastnosti:

f(x, y) 30, (x, y) n R2;

je normalizační stav.

PR pravděpodobností jednotlivých složek náhodného vektoru jsou vyjádřeny jako integrály hustoty spoje:

f(x) = f(y) =.

Pravděpodobnost pádu náhodného bodu do libovolné kvadratury S v rovině je určena vzorcem

P((X, Y) О S)=.

Podmíněná hustota rozdělení pravděpodobnosti náhodné složky X za předpokladu, že složka Y nabyla určité hodnoty y, je funkcí f(x/y) reálné proměnné x О R: f(x/y) = f(x). , y)/f(y). Podobně se určí podmíněná hustota pravděpodobnosti náhodné složky Y za předpokladu, že složka X nabyla určité hodnoty x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). RV X1, X2, ..., Xn se nazývají nezávislé (v souhrnu), pokud pro události (Xi н Bi), i = 1, 2, ..., n, kde B1, B2, ... Bn jsou podmnožiny číselné přímky platí tato rovnost: P(X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn) = P(X1 Î B1)× P(X2 Î B2)× ... ×P(Xn Î Bn).

Věta: XV X1, X2, .... Xn jsou nezávislé právě tehdy, když v libovolném bodě x = (x1, x2, ..., xn) platí rovnost: F(x1, x2, ..., xn ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (nebo f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f (xn)).

Pro dvourozměrný náhodný vektor (X, Y) jsou zavedeny následující numerické charakteristiky.

Počáteční moment řádu r + s náhodného vektoru (X, Y) je reálné číslo nr,s, definované vzorcem:

nr,s = M =

Počáteční moment nr,s existuje, pokud integrál (resp. řada) na pravé straně rovnosti absolutně konverguje. Konkrétně nr,0 = M jsou odpovídající počáteční momenty složky X. Vektor s nenáhodnými souřadnicemi (mX, mY) = (n1,0, n0,1) se nazývá očekávání náhodného vektoru (X , Y) nebo disperzní centrum.

Centrální moment řádu r + s náhodného vektoru (X, Y) je reálné číslo mr,s definované vzorcem

mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =

Centrální moment mr,s existuje, pokud integrál (respektive řada) na pravé straně rovnosti absolutně konverguje. Vektor s nenáhodnými souřadnicemi (DX, DY) = (m2,0, m0,2) se nazývá rozptyl náhodného vektoru.

Centrální moment m1,1 se nazývá korelační moment (kovariance): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY.

Korelační koeficient dvou náhodných X a Y složek náhodného vektoru je normalizovaná kovariance

rXY = KXY/(sXsY).

Vlastnosti kovariance (a korelačního koeficientu).

Pojem náhodné veličiny. Diskrétní a spojité náhodné veličiny. Funkce rozdělení pravděpodobnosti a její vlastnosti. Hustota rozdělení pravděpodobnosti a její vlastnosti. Numerické charakteristiky náhodných veličin: matematické očekávání, disperze a jejich vlastnosti, směrodatná odchylka, modus a medián; počáteční a centrální momenty, asymetrie a špičatost. Numerické charakteristiky aritmetického průměru n nezávislých náhodných veličin.

Pojem náhodné veličiny

Náhodný nazývá se veličina, která v důsledku testů nabývá té či oné (ale pouze jedné) možné hodnoty, předem neznámé, měnící se test od testu a v závislosti na náhodných okolnostech. Na rozdíl od náhodné události, která je kvalitativní charakteristikou náhodného výsledku testu, náhodná veličina charakterizuje výsledek testu kvantitativně. Příklady náhodné veličiny jsou velikost obrobku, chyba ve výsledku měření jakéhokoli parametru produktu nebo prostředí. Mezi náhodnými veličinami, se kterými se v praxi setkáváme, lze rozlišit dva hlavní typy: diskrétní a spojité.

Oddělený je náhodná proměnná, která nabývá konečné nebo nekonečné spočítatelné množiny hodnot. Například: četnost zásahů třemi výstřely; počet vadných výrobků v dávce n kusů; počet hovorů přicházejících na telefonní ústřednu během dne; počet poruch prvků zařízení za určitou dobu při testování spolehlivosti; počet ran před prvním zásahem do terče atd.

kontinuální se nazývá náhodná veličina, která může nabývat libovolné hodnoty z nějakého konečného nebo nekonečného intervalu. Je zřejmé, že počet možných hodnot spojité náhodné proměnné je nekonečný. Například: chyba v měření dosahu radaru; doba provozu čipu; výrobní chyba dílů; koncentrace soli v mořské vodě atd.

Náhodné veličiny se obvykle označují písmeny X, Y atd. a jejich možné hodnoty jsou x, y atd. Pro specifikaci náhodné veličiny nestačí vypsat všechny její možné hodnoty. Je také nutné vědět, jak často se ta či ona jeho hodnota může objevit jako výsledek testů za stejných podmínek, to znamená, že je nutné nastavit pravděpodobnosti jejich výskytu. Množina všech možných hodnot náhodné veličiny a jim odpovídajících pravděpodobností tvoří rozdělení náhodné veličiny.

Zákony rozdělení náhodné veličiny

distribuční zákon Náhodná veličina je korespondence mezi možnými hodnotami náhodné veličiny a jejich odpovídajícími pravděpodobnostmi. O náhodné veličině se říká, že se řídí daným distribučním zákonem. Jsou volány dvě náhodné proměnné nezávislý, pokud distribuční zákon jednoho z nich nezávisí na tom, jaké možné hodnoty nabyla druhá hodnota. Jinak se volají náhodné proměnné závislý. Volá se několik náhodných proměnných vzájemně nezávislé pokud distribuční zákony libovolného počtu z nich nezávisí na možných hodnotách ostatních veličin.

Zákon rozdělení náhodné veličiny může být dán ve formě tabulky, distribuční funkce nebo hustoty rozdělení. Tabulka obsahující možné hodnoty náhodné veličiny a odpovídající pravděpodobnosti je nejjednodušší formou specifikace zákona rozdělení náhodné veličiny.

\begin(pole)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1 )&p_n\\\hline\end(pole)

Tabulkovou specifikaci zákona o rozdělení lze použít pouze pro diskrétní náhodnou veličinu s konečným počtem možných hodnot. Tabulková forma upřesnění zákona náhodné veličiny se také nazývá distribuční řada.

Pro přehlednost je distribuční řada uvedena graficky. V grafickém znázornění v pravoúhlém souřadnicovém systému jsou všechny možné hodnoty náhodné proměnné vyneseny podél osy úsečky a odpovídající pravděpodobnosti jsou vyneseny podél osy pořadnice. Nazývají se body (x_i,p_i) spojené úsečkami distribuční polygon(obr. 5). Je třeba připomenout, že spojení bodů (x_i,p_i) se provádí pouze z důvodu přehlednosti, protože v intervalech mezi x_1 a x_2 , x_2 a x_3 atd. neexistují žádné hodnoty, které by náhodná veličina X mohla vzít, takže pravděpodobnosti jeho výskytu v těchto intervalech jsou nulové.

Distribuční polygon, stejně jako distribuční řada, je jednou z forem specifikace distribučního zákona diskrétní náhodné veličiny. Mohou mít různé tvary, ale všechny sdílejí stejné společný majetek: součet souřadnic vrcholů distribučního polygonu, což je součet pravděpodobností všech možných hodnot náhodné veličiny, je vždy roven jedné. Tato vlastnost vyplývá ze skutečnosti, že všechny možné hodnoty náhodné veličiny X tvoří ucelenou skupinu neslučitelných událostí, jejichž součet pravděpodobností je roven jedné.

Funkce rozdělení pravděpodobnosti a její vlastnosti

Distribuční funkce je nejobecnější formou stanovení distribučního zákona. Používá se ke specifikaci jak diskrétních, tak spojitých náhodných veličin. Obvykle se označuje F(x) . distribuční funkce určuje pravděpodobnost, že náhodná proměnná X nabývá hodnot nižších než pevné reálné číslo x, tj. F(x)=P\(X integrální distribuční funkce.

Geometrická interpretace distribuční funkce je velmi jednoduchá. Pokud je náhodná veličina uvažována jako náhodný bod X osy Ox (obr. 6), který v důsledku testu může zaujmout jednu nebo druhou polohu na ose, pak distribuční funkce F(x) je pravděpodobnost, že náhodný bod X v důsledku testu spadne do levých bodů x .

Pro diskrétní náhodnou proměnnou X, která může nabývat hodnot, má distribuční funkce tvar

F(x)=\součet\limity_(x_i
kde nerovnost x_i

Spojitá náhodná veličina má spojitou distribuční funkci, graf této funkce má tvar hladké křivky (obr. 8).

Zvažte obecné vlastnosti distribučních funkcí.

Vlastnost 1. Distribuční funkce je nezáporná, funkce uzavřená mezi nulou a jedničkou:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Platnost této vlastnosti vyplývá ze skutečnosti, že distribuční funkce F(x) je definována jako pravděpodobnost náhodného jevu, který X

Vlastnost 2. Pravděpodobnost, že náhodná veličina spadne do intervalu [\alpha;\beta) je rovna rozdílu mezi hodnotami distribuční funkce na koncích tohoto intervalu, tzn.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Z toho vyplývá, že pravděpodobnost jakékoli jednotlivé hodnoty spojité náhodné veličiny je nulová.

Vlastnost 3. Distribuční funkce náhodné veličiny je funkce neklesající, tzn. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Vlastnost 4. V mínus nekonečnu je distribuční funkce rovna nule a v plus nekonečnu je rovna jedné, tzn. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 a \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Příklad 1. Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je dána výrazem

F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\konec (případy).

Najděte koeficient a a vykreslete F(x) . Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina X v důsledku experimentu nabude hodnoty na intervalu.

Řešení. Protože distribuční funkce spojité náhodné veličiny X je spojitá, pak pro x=3 dostaneme a(3-1)^2=1 . Proto a=\frac(1)(4) . Graf funkce F(x) je na Obr. 9.

Na základě druhé vlastnosti distribuční funkce máme

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Rozdělení hustoty pravděpodobnosti a jeho vlastnosti

Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je její pravděpodobnostní charakteristikou. Má to však nevýhodu, která spočívá v tom, že je obtížné posoudit povahu rozložení náhodné veličiny v malém okolí jednoho nebo druhého bodu číselné osy. Vizuálnější reprezentaci povahy rozdělení spojité náhodné veličiny poskytuje funkce nazývaná hustota rozdělení pravděpodobnosti nebo diferenciální distribuční funkce náhodné veličiny.

Hustota distribuce f(x) se rovná derivaci distribuční funkce F(x) , tzn.

F(x)=F"(x).

Význam hustoty rozdělení f(x) je ten, že udává, jak často se náhodná veličina X objeví v nějakém okolí bodu x, když se experimenty opakují. Křivka znázorňující hustotu rozdělení f(x) náhodné veličiny se nazývá distribuční křivka.

Zvážit vlastnosti distribuční hustoty.

Vlastnost 1. Hustota distribuce je nezáporná, tzn.

F(x)\geqslant0.

Vlastnost 2. Distribuční funkce náhodné veličiny je rovna integrálu hustoty v intervalu od -\infty do x, tzn.

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Vlastnost 3. Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina X zasáhne segment (\alpha;\beta) je rovna integrálu hustoty distribuce převzaté z tohoto segmentu, tzn.

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Vlastnost 4. Integrál v nekonečných mezích hustoty rozdělení je roven jedné:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Příklad 2. Náhodná veličina X podléhá distribučnímu zákonu s hustotou

F(x)=\začátek(případy)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(cases)

Určete koeficient a; vytvořte graf hustoty distribuce; najít pravděpodobnost zásahu náhodné veličiny v oblasti od 0 do \frac(\pi)(2), určit distribuční funkci a sestavit její graf.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Vezmeme-li v úvahu vlastnost 4 hustoty distribuce, najdeme a=\frac(1)(2) . Proto lze hustotu distribuce vyjádřit takto:

F(x)=\začátek(případy)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(případy).

Graf hustoty distribuce na Obr. 10. Podle vlastnosti 3 máme

P\!\left\(0

K určení distribuční funkce použijeme vlastnost 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Takže máme

F(x)=\začátek(případy)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(případy).

Graf distribuční funkce je znázorněn na Obr. jedenáct

Numerické charakteristiky náhodných veličin

Distribuční zákon zcela charakterizuje náhodnou veličinu z pravděpodobnostního hlediska. Ale při řešení řady praktických problémů není potřeba znát všechny možné hodnoty náhodné veličiny a odpovídající pravděpodobnosti, ale je vhodnější použít nějaké kvantitativní ukazatele. Takové indikátory se nazývají čísla. charakteristiky náhodné veličiny. Mezi hlavní patří matematické očekávání, rozptyl, momenty různých řádů, modus a medián.

Matematické očekávání se někdy nazývá střední hodnota náhodné veličiny. Uvažujme diskrétní náhodnou proměnnou X nabývající hodnot x_1, x_2,\ldots,x_n s pravděpodobnostmi resp p_1, p_2,\ldots,p_n Stanovme aritmetický průměr hodnot náhodné veličiny, vážený pravděpodobnostmi jejich výskytu. Vypočítáme tedy průměrnou hodnotu náhodné veličiny nebo její matematické očekávání M(X) :

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Vzhledem k tomu \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1 dostaneme

M(X)=\součet\limity_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Tak, matematické očekávání Diskrétní náhodná veličina je součtem součinů všech jejích možných hodnot a odpovídajících pravděpodobností.

Pro spojitou náhodnou veličinu matematické očekávání

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Matematické očekávání spojité náhodné veličiny X , jehož možné hodnoty patří do segmentu,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Pomocí funkce rozdělení pravděpodobnosti F(x) lze matematické očekávání náhodné veličiny vyjádřit takto:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Vlastnosti očekávání

Vlastnost 1. Matematické očekávání součtu dvou náhodných proměnných se rovná součtu jejich matematických očekávání:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Vlastnost 2. Matematické očekávání součinu dvou nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání:

M(XY)=M(X)M(Y).

Vlastnost 3. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná samotné konstantě:

M(c)=c.

Vlastnost 4. Konstantní násobitel náhodné veličiny lze vyjmout ze znaménka očekávání:

M(cX)=cM(X).

Vlastnost 5. Matematické očekávání odchylky náhodné veličiny od jejího matematického očekávání je nulové:

M(X-M(X))=0.

Příklad 3. Najděte matematické očekávání počtu vadných výrobků ve vzorku pěti výrobků, pokud je náhodná veličina X (počet vadných výrobků) dána distribuční řadou.

\begin(pole)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(pole)

Řešení. Podle vzorce (4.1) najdeme

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Mód M_0 diskrétní náhodné veličiny jeho nejpravděpodobnější hodnota se nazývá.

Mód M_0 spojité náhodné veličiny nazývá se jeho hodnota, která odpovídá největší hodnotě hustoty rozložení. Geometricky je mod interpretován jako úsečka bodu globálního maxima distribuční křivky (obr. 12).

Medián M_e náhodné veličiny jeho hodnota se nazývá, pro kterou je rovnost

P\(X Mě\).

Z geometrického hlediska je medián úsečkou bodu, ve kterém je plocha obrázku ohraničená křivkou rozdělení pravděpodobnosti a osou úsečky rozdělena na polovinu (obr. 12). Protože celá plocha ohraničená distribuční křivkou a osou x je rovna jedné, je distribuční funkce v bodě odpovídajícím mediánu 0,5, tzn.

F(M_e)=P\(X

Pomocí rozptylu a směrodatné odchylky lze posoudit rozptyl náhodné veličiny kolem matematického očekávání. Jako míra disperze náhodné veličiny se používá matematické očekávání druhé mocniny odchylky náhodné veličiny od jejího matematického očekávání, tzv. náhodná proměnná rozptyl X a označují D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

U diskrétní náhodné veličiny se rozptyl rovná součtu součinů čtverců odchylek hodnot náhodné veličiny od jejího matematického očekávání odpovídajícími pravděpodobnostmi:

D[X]=\součet\limity_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Pro spojitou náhodnou veličinu, jejíž distribuční zákon je dán hustotou rozdělení pravděpodobnosti f(x) , je rozptyl

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Dimenze rozptylu je rovna druhé mocnině dimenze náhodné veličiny a nelze ji tedy geometricky interpretovat. Tyto nedostatky jsou zbaveny směrodatné odchylky náhodné veličiny, která je vypočtena vzorcem

\sigma=\sqrt(D[X]).

Vlastnosti disperze náhodných veličin

Vlastnost 1. Rozptyl součtu dvou nezávislých náhodných proměnných se rovná součtu rozptylů těchto proměnných:

D=D[X]+D[Y].

Vlastnost 2. Rozptyl náhodné veličiny je roven rozdílu mezi matematickým očekáváním druhé mocniny náhodné veličiny X a druhou mocninou jejího matematického očekávání:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4,3).

Vlastnost 3. Rozptyl konstantní hodnoty je nula:

D[c]=0.

Vlastnost 4. Konstantní faktor náhodné proměnné lze vyjmout ze znaménka rozptylu tak, že jej nejprve umocníme:

D=c^2D[X].

Vlastnost 5. Rozptyl součinu dvou nezávislých náhodných veličin X a Y je určen vzorcem

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Příklad 4. Vypočítejte rozptyl počtu vadných výrobků pro distribuci z příkladu 3.

Řešení. Podle definice rozptylu

Zobecněním základních číselných charakteristik náhodné veličiny je koncept momentů náhodné veličiny.

Počáteční okamžik q. řádu náhodná veličina se nazývá matematické očekávání hodnoty X^q:

Počátečním momentem prvního řádu je matematické očekávání a ústředním momentem druhého řádu je rozptyl náhodné veličiny.

Normalizovaný centrální moment třetího řádu slouží jako charakteristika šikmosti nebo asymetrie distribuce ( faktor asymetrie):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Normalizovaný centrální moment čtvrtého řádu slouží jako charakteristika distribuce s vrcholem nebo s plochým vrcholem ( přebytek):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Příklad 5. Náhodná veličina X je dána rozdělením hustoty pravděpodobnosti

F(x)=\začátek(případy)0,&x<0;\\ax^2,&02.\konec (případy).

Najděte koeficient a , matematické očekávání, rozptyl, šikmost a špičatost.

Řešení. Plocha ohraničená distribuční křivkou je číselně rovna

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^) 3)(3))\right|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Vzhledem k tomu, že by tato oblast měla být rovna jedné, najdeme a=\frac(3)(8) . Pomocí vzorce (4.2) najdeme matematické očekávání:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

Disperze se stanoví podle vzorce (4.3). K tomu nejprve najdeme matematické očekávání druhé mocniny náhodné proměnné:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4.

Takto,

\začátek(zarovnáno)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\cca0,\!3873.\end(zarovnáno)

Pomocí počátečních momentů vypočítáme centrální momenty třetího a čtvrtého řádu:

\začátek(zarovnáno)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\end (zarovnáno)

Numerické charakteristiky aritmetického průměru n nezávislých náhodných veličin

Nechat x_1, x_2,\ldots,x_n- hodnoty náhodné proměnné X získané z n nezávislých pokusů. Matematické očekávání náhodné veličiny se rovná M(X) a její rozptyl je D[X] . Tyto hodnoty lze považovat za nezávislé náhodné proměnné X_1,X_2,\ldots,X_n se stejnými matematickými očekáváními a rozptyly:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Aritmetický průměr těchto náhodných veličin

\overline(X)=\součet\limity_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Pomocí vlastností matematického očekávání a disperze náhodné veličiny můžeme napsat:

\začátek(zarovnáno)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\součet\limity_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\součet\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\součet\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(zarovnáno)

Přejít na další sekci
Vícerozměrné náhodné proměnné Javascript je ve vašem prohlížeči zakázán.
Aby bylo možné provádět výpočty, musí být povoleny ovládací prvky ActiveX!