Ако сте търсили само метода Симпсън на тази страница, тогава силно ви препоръчвам първо да прочетете началото на урока и да видите поне първия пример. Поради това, че много идеи и техники ще бъдат подобни на метода на трапеца.
Отново, нека започнем с общата формула
Да разгледаме определения интеграл, където е функция, непрекъсната на отсечката. Нека разделим сегмента на дориколичество равенсегменти. Четен брой сегменти се означава с .
На практика сегментите могат да бъдат:
две:
четири:
осем:
десет:
двадесет:
Други варианти не се сещам.
внимание!Числото се разбира като ЕДНО ЧИСЛО. Това е, ЗАБРАНЕНО Енамали, например, с две, получавайки . Записване само средстваче броят на сегментите равномерно. И няма съкращения, за които да говорим.
Така нашият дял изглежда така:
Условията са подобни на тези на трапецовидния метод:
Точките се наричат възли.
Формула на Симпсънза приблизителното изчисляване на определения интеграл има следния вид:
където:
- дължината на всеки от малките сегменти или стъпка;
са стойностите на интегранта в точките.
Описвайки това натрупване, ще анализирам формулата по-подробно:
е сумата от първата и последната стойност на интегранта;
е сумата от членове с дорииндекси, умножени по 2;
е сумата от членове с странноиндексът се умножава по 4.
Пример 4
Изчислете приблизителния интеграл, като използвате формулата на Симпсън с точност до 0,001. Разделянето започва с два сегмента 
Интегралът, между другото, отново не е взет.
Решение:Веднага обръщам внимание на вида на задачата - необходимо е да се изчисли определен интеграл с определена точност. Какво означава това вече беше коментирано в началото на статията, както и на конкретни примери от предишния параграф. Що се отнася до трапецовидния метод, има формула, която веднага ще ви позволи да определите необходимия брой сегменти (стойността на "en"), за да гарантирате необходимата точност. Вярно е, че ще трябва да намерим четвъртата производна и да решим екстремалната задача. Кой разбра какво имам предвид и прецени количеството работа, усмихна се той. Тук обаче няма място за смях, намирането на четвъртата производна на такъв интегранд вече няма да е мегаботаник, а клиничен психопат. Следователно на практика почти винаги се използва опростен метод за оценка на грешката.
Започваме да решаваме. Ако имаме два сегмента на дяла, тогава възлите ще бъдат още едно: . И формулата на Симпсън има много компактна форма: 
Нека изчислим стъпката на разделяне: 
Нека попълним таблицата за изчисление:
Още веднъж коментирам как се попълва таблицата:
В горния ред записваме "брояча" на индексите
Във втория ред първо записваме долната граница на интегриране и след това последователно добавяме стъпката.
В третия ред въвеждаме стойностите на интегранта. Например, ако , тогава . Колко знака след десетичната запетая да оставим?Всъщност условието отново не казва нищо за това. Принципът е същият като при трапецовидния метод, разглеждаме необходимата точност: 0,001. И добавете допълнителни 2-3 цифри. Тоест, трябва да закръглите до 5-6 знака след десетичната запетая.
Като резултат:
Първият резултат е получен. Сега двойноброй сегменти до четири: . Формулата на Симпсън за този дял приема следната форма:
Нека изчислим стъпката на разделяне: 
Нека попълним таблицата за изчисление: 
По този начин:
Ние оценяваме грешката:
Грешката е по-голяма от необходимата точност: 
, така че трябва отново да удвоите броя на сегментите: .
Формулата на Симпсън расте главоломно:
Нека изчислим стъпката: 
Нека попълним отново таблицата:
По този начин: 
Имайте предвид, че тук е желателно да се опишат изчисленията по-подробно, тъй като формулата на Симпсън е доста тромава и ако веднага ударите:
, тогава този алкохол ще изглежда като хак. И с по-подробен запис учителят ще получи благоприятното впечатление, че съвестно сте изтрили клавишите на микрокалкулатора за добър час. Подробни изчисления за "трудни" случаи присъстват в моя калкулатор.
Ние оценяваме грешката:
Грешката е по-малка от необходимата точност: 
. Остава да вземем най-точното приближение, да го закръглим до три знака след десетичната запетая и да напишем:
Отговор: 
с точност до 0,001
Пример 5
Изчислете приблизителен интеграл, като използвате формулата на Симпсън с точност до 0,0001. Разделянето започва с два сегмента 
Това е пример за „направи си сам“. Приблизителен пример за окончателен „кратък“ дизайн на решението и отговора в края на урока.
В последната част на урока ще разгледаме още няколко общи примера.
Пример 6
Изчислете приблизителната стойност на определен интеграл 
използвайки формулата на Симпсън, разделяйки интеграционния сегмент на 10 части. Точност на изчислението 0.001.
Този интеграл е взет, но не е толкова лесно за начинаещ да го разбие, съответният метод на решение е разгледан в пример 5 от урока Комплексни интеграли. При проблеми с приблизително изчисление не е задължително интегралът да не се взема! Любознателните ученици могат да го изчислят точно и да оценят грешката спрямо приблизителната стойност.
Решение:Обърнете внимание на формулировката на задачата: "Точността на изчисленията е 0,001." Семантичният нюанс на тази формулировка предполага, че резултатите трябва да бъдат закръглени само до третия знак след десетичната запетая, а не да се постигне такава точност. Така, когато бъдете помолени да решите задача по метода на трапеца, методът на Симпсън, винаги обърнете внимание на условията! Бързането, както знаете, е необходимо при лов на бълхи.
Използваме формулата на Симпсън:
С десет разделителни сегмента стъпката е 
Нека попълним таблицата за изчисление: 
По-рационално е да направите масата двуетажна, така че да не се налага да „свивате“ и всичко да се побира четливо на лист тетрадка.
Изчисления, не бъдете мързеливи, рисувайте по-подробно: 
Отговор: 
И още веднъж подчертавам, че тук не става въпрос за точност. Всъщност отговорът може да не е, но относително казано, . В тази връзка в отговора не е необходимо автоматично да се приписва окончанието „мито“: „с точност до 0,001“
Пример 7
Изчислете приблизителната стойност на определения интеграл, като използвате формулата на Симпсън, като разделите интеграционния сегмент на 10 части. Всички изчисления трябва да се извършват до третия знак след десетичната запетая.
Груба версия на окончателния дизайн и отговор в края на урока, който приключи.
Използват се и други методи за приблизително изчисляване на определен интеграл. По-специално, теорията степенни редовесъс стандартна задача Приблизително изчисляване на определен интеграл чрез разширяване на интегралната функция в редица. Но това е материалът на втория курс.
И сега е време да разкрием ужасната тайна на интегралното смятане. Вече съм създал повече от дузина уроци по интеграли и това, така да се каже, е теория и класика на темата. На практика, по-специално в инженерните изчисления, за приближаване на обектите реалния святпочти невъзможно със стандартни математически функции. Невъзможен перфектно точноизчисляване на площ, обем, плътност, например асфалтова настилка. Грешка, нека да е от десетия, нека да е от стотния знак след десетичната запетая - но то все още ще бъде. Ето защо са написани стотици тежки тухли с помощта на методи за приблизителни изчисления и е създаден сериозен софтуер за приблизителни изчисления. Класическата теория на интегралното смятане всъщност се използва много по-рядко. Но, между другото, без него - също никъде!
Този урок не е рекордьор по обем, но ми отне необичайно много време да го създам. Коригирах материала и преработвах структурата на статията няколко пъти, тъй като непрекъснато се рисуваха нови нюанси и тънкости. Надявам се, че работата не беше напразна и се оказа доста логична и достъпна.
Всичко най-хубаво!
Решения и отговори:
Пример 3:Решение:
Разделяме интеграционния сегмент на 4 части:
Тогава формулата на трапеца приема следната форма:
Нека изчислим стъпката: 
Нека попълним таблицата за изчисление:
За да се намери определен интеграл с помощта на метода на трапеца, площта на криволинейния трапец също се разделя на n правоъгълни трапеца с височини h и основи y 1, y 2, y 3,..y n, където n е броят на правоъгълен трапец. Интегралът ще бъде числено равен на сумата от площите на правоъгълни трапеци (Фигура 4).
Ориз. четири
n - брой разделяния
Грешката на формулата на трапеца се оценява с числото
Грешката на формулата на трапеца намалява по-бързо с растежа, отколкото грешката на формулата на правоъгълника. Следователно формулата на трапеца ви позволява да получите по-голяма точност от метода на правоъгълника.
Формула на Симпсън
Ако за всяка двойка сегменти построим полином от втора степен, след това го интегрираме върху сегмента и използваме свойството на адитивност на интеграла, тогава получаваме формулата на Симпсън.
В метода на Симпсън за изчисляване на определения интеграл целият интервал на интегриране е разделен на подинтервали еднаква дължина h=(b-a)/n. Броят на разделителните сегменти е четно число. След това, на всяка двойка съседни подинтервали, подинтегралната функция f(x) се заменя с полином на Лагранж от втора степен (Фигура 5).
Ориз. 5 Функцията y=f(x) на сегмента се заменя с полином от 2-ри ред
Разгледайте интегралната функция на интервала. Нека заменим този интегранд с интерполационен полином от втора степен на Лагранж, съвпадащ с y= в точките:
Нека интегрираме в интервала:
Въвеждаме промяна на променливите:
Като се имат предвид формулите за заместване,
След интегрирането получаваме формулата на Симпсън:
Получената стойност за интеграла съвпада с площта на криволинейния трапец, ограничен от ос, прави линии и парабола, минаваща през точки.На сегмент формулата на Симпсън ще изглежда така:
Във формулата на параболата стойността на функцията f (x) в нечетни точки на разделяне x 1, x 3, ..., x 2n-1 има коефициент 4, в четни точки x 2, x 4, ... , x 2n-2 - коефициент 2 и в две гранични точки x 0 =a, x n =b - коефициент 1.
Геометричното значение на формулата на Симпсън: площта на криволинейния трапец под графиката на функцията f (x) върху сегмент се заменя приблизително със сумата от площите на фигурите, лежащи под параболите.
Ако функцията f(x) има непрекъсната производна от четвърти ред, тогава абсолютната стойност на грешката на формулата на Симпсън е не повече от
където М - най-висока стойностна сегмента. Тъй като n 4 нараства по-бързо от n 2 , грешката на формулата на Симпсън намалява с увеличаване на n много по-бързо от грешката на формулата на трапеца.
Изчисляваме интеграла
Този интеграл е лесен за изчисляване:
Нека вземем n равно на 10, h=0,1, изчислим стойностите на интегранта в точките на разделяне, както и полуцелите точки.
Според формулата на средните правоъгълници получаваме I прав = 0.785606 (грешката е 0.027%), според формулата на трапеца I trap = 0.784981 (грешката е около 0.054. Когато използвате метода на десния и левия правоъгълник, грешката е повече от 3%.
За да сравним точността на приблизителните формули, изчисляваме още веднъж интеграла
но сега по формулата на Симпсън за n=4. Разделяме сегмента на четири равни части с точки x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 = 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 и изчисляваме приблизително стойностите на функцията f (x) \u003d 1 / ( 1+x) в тези точки: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.
По формулата на Симпсън получаваме
Нека оценим грешката на получения резултат. За подинтегралната функция f(x)=1/(1+x) имаме: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , откъдето следва, че на отсечката . Следователно можем да вземем M=24 и грешката на резултата не надвишава 24/(2880 4 4)=0,0004. Сравнявайки приблизителната стойност с точната, заключаваме, че абсолютната грешка на резултата, получен по формулата на Симпсън, е по-малка от 0,00011. Това е в съответствие с оценката на грешката, дадена по-горе, и в допълнение показва, че формулата на Симпсън е много по-точна от формулата на трапеца. Следователно формулата на Симпсън за приблизително изчисляване на определени интеграли се използва по-често от формулата на трапеца.
В този метод се предлага да се апроксимира интегралната функция на частичен интервал с парабола, минаваща през точките
(x j, f(x j)), където й = аз-1; аз-0.5; аз, тоест ние приближаваме интегранта чрез интерполационния полином на Лагранж от втора степен:
(10.14)
След интегрирането получаваме:
(10.15)
Това е, което е формула на Симпсън
или формулата на параболите. На сегмента
[а, б] Формулата на Симпсън приема формата
(10.16)
Графично представяне на метода на Симпсън е показано на фиг. 2.4.
Ориз. 10.4.Метод на Симпсън
Нека се отървем от дробните индекси в израз (2.16), като преименуваме променливите:
(10.17)
Тогава формулата на Симпсън приема формата
(10.18)
Грешката на формула (2.18) се оценява със следния израз:
, (10.19)
където h n = б-а, 
. По този начин грешката на формулата на Симпсън е пропорционална на
О(ч 4).
Коментирайте.Трябва да се отбележи, че във формулата на Симпсън интеграционният сегмент задължително се разделя на дориброй интервали.
10.5. Изчисляване на определени интеграли чрез методи
Монте Карло
Обсъдените по-рано методи се извикват детерминистичен , тоест лишен от елемента на случайност.
Методи Монте Карло(MMK) са числени методи за решаване на математически проблеми с помощта на симулация случайни променливи. MCM позволява успешно решаване на математически проблеми, причинени от вероятностни процеси. Освен това, когато се решават проблеми, които не са свързани с никакви вероятности, човек може изкуствено да излезе с вероятностен модел (и дори повече от един), който позволява решаването на тези проблеми. Разгледайте изчислението на определения интеграл
(10.20)
При изчисляване на този интеграл, използвайки формулата на правоъгълниците, интервалът [ а, б] се разделят на нидентични интервали, в средата на които са изчислени стойностите на интегранта. Чрез изчисляване на стойностите на функцията в произволни възли можете да получите по-точен резултат:
(10.21)
(10.22)
Тук γ i е произволно число, равномерно разпределено в интервала
. Грешката при изчисляване на интеграла MMK ~ , която е много по-голяма от тази на изследваните по-рано детерминистични методи.
На фиг. 2.5 показва графична реализация на метода Монте Карло за изчисляване на единичен интеграл със случайни възли (2.21) и (2.22).
(2.23)
Ориз. 10.6.Интеграция Монте Карло (2-ри случай)
Както се вижда на фиг. 2.6, интегралната крива лежи в единичния квадрат и ако можем да получим двойки произволни числа, равномерно разпределени в интервала, тогава получените стойности (γ 1, γ 2) могат да се интерпретират като координати на точка в единичен квадрат. Тогава, ако има достатъчно от тези двойки числа, можем приблизително да приемем това
. Тук Се броят на двойките точки, които попадат под кривата, и не общият брой двойки числа.
Пример 2.1.Изчислете следния интеграл:
Задачата беше решена различни методи. Получените резултати са обобщени в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Коментирайте.Изборът на табличния интеграл ни позволи да сравним грешката на всеки метод и да разберем влиянието на броя на дяловете върху точността на изчисленията.
11 ПРИБЛИЖЕНО РЕШЕНИЕ НА НЕЛИНЕЙНА
И ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ
Изчисляване на интеграли по формулите на правоъгълници, трапеци и формула на Симпсън. Оценка на грешките.
Насоки по тема 4.1:
Изчисляване на интеграли по формули на правоъгълници. Оценка на грешката:
Решаването на много технически проблеми се свежда до изчисляването на определени интеграли, чието точно изразяване е трудно, изисква дълги изчисления и не винаги е оправдано на практика. Тук тяхната приблизителна стойност е напълно достатъчна. Например, трябва да изчислите площта, ограничена от линия, чието уравнение е неизвестно, оста хи две ординати. В този случай можете да замените тази линия с по-проста, за която уравнението е известно. Площта на така получения криволинеен трапец се приема като приблизителна стойност на желания интеграл. Геометрично, идеята зад метода за изчисляване на определения интеграл с помощта на формулата на правоъгълниците е, че площта на криволинейния трапец A 1 ABB 1се заменя с площта на правоъгълник с равна площ A 1 A 2 B 1 B 2, което според теоремата за средната стойност е равно на
Където е(в) --- височинаправоъгълник A 1 A 2 B 1 B 2,което е стойността на интегранта в някаква междинна точка c(a< c
На практика е трудно да се намери такава стойност с, при което (b-a)f(c)ще бъде точно равно на . За да се получи по-точна стойност, площта на криволинейния трапец се разделя на нправоъгълници с равни височини y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1и основи.
Ако обобщим площите на правоъгълниците, които покриват площта на криволинейния трапец с недостатък, функцията е ненамаляваща, тогава вместо формулата се използва формулата
Ако е в повече, тогава
Стойностите се намират от равенства. Тези формули се наричат правоъгълни формулии дават приблизителен резултат. С нарастването нрезултатът става по-точен.
Пример 1 . Изчислете по формулата на правоъгълниците
Разделяме интервала на интегриране на 5 части. Тогава . С помощта на калкулатор или таблица намираме стойностите на интегранта (с точност до 4 знака след десетичната запетая):
По формулата на правоъгълниците (с недостатък)
От друга страна, според формулата на Нютон-Лайбниц
Нека намерим относителната грешка при изчисление, използвайки формулата на правоъгълниците:
Изчисляване на интеграли по формули на трапец. Оценка на грешката:
Геометричният смисъл на следния метод за приблизително изчисляване на интеграли е намирането на площта на приблизително еднакъв размер "праволинеен" трапец.
Нека е необходимо да се изчисли площта A 1 AmBB 1криволинеен трапец, изразен с формулата .
Нека сменим дъгата AmBакорд ABи вместо областта на криволинейния трапец A 1 AmBB 1изчислете площта на трапеца A 1 ABB 1: 
, където АА 1и BB 1 - основата на трапеца и А 1 Б 1 е неговата височина.
Обозначете f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B.трапецовидна височина A 1 B 1 \u003d b-a,квадрат 
. Следователно, 
или
Този т.нар формула на малък трапец.
Възниква проблемът с численото изчисляване на определен интеграл, който се решава с помощта на формули, наречени квадратура.
Припомнете си най-простите формули за числено интегриране.
Нека изчислим приблизителната числена стойност на . Разделяме интервала на интегриране [а, b] на n равни части чрез разделяне на точки 
, наречени възли на квадратурната формула. Нека стойностите във възлите са известни 
:
Стойност 
се нарича интеграционен интервал или стъпка. Имайте предвид, че в практиката на изчисленията числото i се избира малко, обикновено не повече от 10-20.На частичен интервал 
интегрантът се заменя с интерполационния полином
което приблизително представлява функцията f(x) на разглеждания интервал.
а) След това запазете само един първи член в интерполационния полином
Получената квадратна формула
наречена формула на правоъгълниците.
б) След това запазете първите два члена в интерполационния полином
(2)
Формула (2) се нарича формула на трапец.
c) Интеграционен интервал 
разделяме на четен брой от 2n равни части, докато стъпката на интегриране h ще бъде равна на 
. На интервала 
с дължина 2h, заместваме интегранта с интерполационен полином от втора степен, т.е. запазваме първите три члена в полинома:
Получената квадратурна формула се нарича формула на Симпсън
(3)
Формули (1), (2) и (3) имат просто геометрично значение. Във формулата на правоъгълниците интегрантът f(x) върху интервала 
се заменя с прав сегмент y \u003d uk, успореден на оста x, а във формулата на трапеца - с прав сегмент 
и се изчислява съответно площта на правоъгълник и праволинеен трапец, които след това се сумират. Във формулата на Симпсън функцията f(x) върху интервала 
дължина 2h се заменя с квадратен тричлен - парабола 
площта на криволинейния параболичен трапец се изчислява, след което площите се сумират.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение бих искал да отбележа редица характеристики на прилагането на методите, разгледани по-горе. Всеки метод за приблизително решаване на определен интеграл има своите предимства и недостатъци, в зависимост от поставената задача трябва да се използват специфични методи.
Метод на заместване на променливие един от основните методи за изчисляване на неопределени интеграли. Дори когато интегрираме по някакъв друг метод, често се налага да прибягваме до промяна на променливите в междинните изчисления. Успехът на интегрирането зависи до голяма степен от това дали можем да намерим толкова добра промяна на променливите, която да опрости дадения интеграл.
По същество изучаването на методите за интегриране се свежда до откриване на какъв вид промяна на променливата трябва да се направи за една или друга форма на интегралната функция.
По този начин, интегриране на всяка рационална дробсе свежда до интегриране на полином и няколко прости дроби.
Интегралът на всяка рационална функция може да бъде изразен чрез елементарни функции в крайна форма, а именно:
чрез логаритми - в случаи на най-прости дроби от тип 1;
чрез рационални функции - в случай на прости дроби от тип 2
чрез логаритми и арктангенси - в случай на прости дроби от тип 3
чрез рационални функции и арктангенси - в случая на най-простите дроби от тип 4. Универсалното тригонометрично заместване винаги рационализира интегранта, но често води до много тромави рационални дроби, за които по-специално е практически невъзможно да се намерят корените на знаменателя. Следователно, ако е възможно, се използват частични замествания, които също рационализират интегранта и водят до по-малко сложни дроби.
Формула на Нютон-Лайбнице общ подход за намиране на определени интеграли.
Що се отнася до методите за изчисляване на определени интеграли, те практически не се различават от всички тези методи и методи.
Същото важи методи за заместване(промяна на променлива), методът на интегриране по части, същите методи за намиране на първоизводни за тригонометрични, ирационални и трансцендентални функции. Единствената особеност е, че при прилагането на тези техники е необходимо трансформацията да се разшири не само до субинтегралната функция, но и до границите на интегрирането. Когато променяте интеграционната променлива, не забравяйте да промените съответно границите на интеграция.
Правилно от теоремата, условието за непрекъснатост на функциятае достатъчно условие за интегрируемост на функцията. Но това не означава, че определеният интеграл съществува само за непрекъснати функции. Класът на интегрируемите функции е много по-широк. Така например има определен интеграл от функции, които имат краен брой точки на прекъсване.
Изчисляването на определен интеграл на непрекъсната функция с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц се свежда до намиране на антипроизводна, която винаги съществува, но не винаги е елементарна функция или функция, за която се съставят таблици, които позволяват да се получи стойността на интеграла. В много приложения интегрируемата функция е дадена в таблица и формулата на Нютон-Лайбниц не е директно приложима.
Ако искате най-точния резултат, идеално метод на Симпсън.
От изложеното по-горе може да се направи следното заключение, че интегралът се използва в такива науки като физика, геометрия, математика и други науки. С помощта на интеграла се изчислява работата на силата, намират се координатите на центъра на масата, пътя, изминат от материалната точка. В геометрията се използва за изчисляване на обема на тяло, намиране на дължината на дъга на крива и т.н.
