Едно от най-важните основни понятия на теорията на вероятностите е понятието за случайна променлива.

Случайна променлива е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, като не е известно предварително каква.

Примери за случайни променливи:

1) броят на попаденията с три изстрела;

2) броят на повикванията, приети от телефонната централа на ден;

3) скорост на попадение с 10 изстрела.

И в трите дадени примера случайните променливи могат да приемат отделни, изолирани стойности, които могат да бъдат изброени предварително.

И така, в пример 1) тези стойности са:

в пример 2):

в пример 3)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Такива случайни променливи, които приемат само стойности, отделени една от друга, които могат да бъдат изброени предварително, се наричат ​​прекъснати или дискретни случайни променливи.

Има случайни променливи от друг тип, например:

1) абсцисата на точката на попадение при изстрел;

2) грешката при претегляне на тялото на аналитична везна;

3) скоростта на самолета в момента на достигане на дадена височина;

4) теглото на произволно взето житно зърно.

Възможните стойности на такива случайни променливи не са отделени една от друга; те непрекъснато запълват известна празнина, която понякога има рязко очертани граници, а по-често - неопределени, неясни граници.

Такива случайни променливи, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал, се наричат ​​непрекъснати случайни променливи.

Концепцията за случайна променлива играе много важна роля в теорията на вероятностите. Ако "класическата" теория на вероятностите оперира главно със събития, тогава съвременната теория на вероятностите предпочита, където е възможно, да оперира със случайни променливи.

Нека дадем примери за методи за преход от събития към случайни променливи, типични за теорията на вероятностите.

Провежда се експеримент, в резултат на който някакво събитие може да се появи или да не се появи. Вместо събитие можем да разгледаме случайна променлива, която е равна на 1, ако събитието се случи, и е равна на 0, ако събитието не се случи. Случайната променлива е очевидно прекъсната; има две възможни стойности: 0 и 1. Тази случайна променлива се нарича характерна случайна променлива на събитието. На практика често се оказва по-удобно да се оперира с характерните за тях случайни величини вместо със събития. Например, ако се проведе серия от експерименти, във всеки от които събитието е възможно, тогава общият брой повторения на събитието е равен на сумата от характерните случайни променливи на събитието във всички експерименти. При решаването на много практически проблеми използването на тази техника се оказва много удобно.

От друга страна, много често, за да се изчисли вероятността от събитие, се оказва удобно да се свърже това събитие с някаква непрекъсната случайна променлива (или система от непрекъснати променливи).

Нека например се измерят координатите на някакъв обект O, за да се построи точка M, изобразяваща този обект върху панорама (обхват) на района. Ние се интересуваме от събитието, състоящо се в това, че грешката R в позицията на точката M няма да надвишава определената стойност (фиг. 2.4.1). Нека обозначим случайни грешки при измерването на координатите на обекта. Очевидно събитието е еквивалентно на попадение в произволна точка M с координати в кръг с радиус с център точка O. С други думи, за да се случи събитието, случайните променливи и трябва да удовлетворяват неравенството

Вероятността за събитие не е нищо друго освен вероятността за изпълнение на неравенството (2.4.1). Тази вероятност може да се определи, ако са известни свойствата на случайните променливи.

Такава органична връзка между събитията и случайните променливи е много характерна за съвременната теория на вероятностите, която, където е възможно, преминава от "схемата на събитията" към "схемата на случайните променливи". Последната схема, в сравнение с първата, е много по-гъвкав и универсален апарат за решаване на проблеми, свързани със случайни явления.

Случайна стойност- това е величина, която в резултат на опита приема една от многото стойности и появата на една или друга стойност на тази величина преди нейното измерване не може да бъде точно предвидена.

Официално математическа дефиницияследното: нека е вероятностно пространство, тогава случайна променлива е функция, която е измерима по отношение на и σ-алгебрата на Борел върху . Вероятностното поведение на отделна (независимо от другите) случайна променлива се описва напълно от нейното разпределение.

Определение [редактиране]

Пространство на елементарни събития [редактиране]

Пространството на елементарните събития в случай на хвърляне на зар

Ако се хвърли зар, горната страна може да бъде една от шестте лица с брой точки от една до шест. Загубата на всяко лице в този случай в теорията на вероятностите се нарича елементарно събитие, т.е

Наборът от всички лица образува пространство от елементарни събития, чиито подгрупи се наричат ​​случайни събития. В случай на едно хвърляне на зар, примери за събития са

Алгебра на събитията[редактиране]

Набор от случайни събития образува алгебра на събитията, ако са изпълнени следните условия:

Ако вместо третото условие, то удовлетворява друго условие: обединението на изброимо подсемейство от също принадлежи на , тогава множеството от случайни събития образува σ-алгебра от събития.

Алгебрата на събитията е частен случай на σ-алгебрата на множествата.

Най-малката сред всички възможни -алгебри, чиито елементи са всички интервали на реалната права, се нарича σ-алгебра на Борел върху множеството от реални числа.

Вероятност [редактиране]

Ако на всяко елементарно събитие се присвои номер, за който е изпълнено условието:

тогава се счита, че са дадени вероятностите за елементарни събития. Вероятността за събитие, като изброимо подмножество от пространството от елементарни събития, се определя като сбор от вероятностите на тези елементарни събития, които принадлежат на това събитие. Изискването за преброяване е важно, защото в противен случай сумата ще бъде недефинирана.

Помислете за пример за определяне на вероятността от различни случайни събития. Например, ако дадено събитие е празен набор, тогава неговата вероятност е нула:

Ако събитието е пространството на елементарните събития, тогава неговата вероятност е равна на единица:

Вероятността за събитие (подмножество от пространството от елементарни събития) е равна на сбора от вероятностите на тези елементарни събития, които включват разглежданото събитие.

Дефиниция на случайна променлива [редактиране]

Случайна променлива е функция, измерима по отношение на и σ-алгебра на Борел върху .

Случайна променлива може да бъде дефинирана и по друг еквивалентен начин. Функция се нарича случайна променлива, ако за всякакви реални числа и набор от събития такива, че , принадлежи .

Примери [редактиране]

е равна на средноаритметичното от всички получени стойности.

.

,

тоест математическото очакване не е дефинирано.

Класификация [редактиране]

случайни променливиможе да приема дискретни, непрекъснати и дискретно-непрекъснати стойности. Съответно случайните променливи се класифицират на дискретни, непрекъснати и дискретно-непрекъснати (смесени).

На тестовата схема може да се определи както отделна случайна променлива (едномерна / скаларна), така и цяла система от едномерни взаимосвързани случайни променливи (многомерна / векторна).

• Пример за смесена случайна променлива е времето за изчакване при преминаване пътв града на нерегулирано кръстовище.
• В безкрайни схеми (дискретни или непрекъснати) е удобно да се опишат количествено вече първоначално елементарни резултати. Например, числата на градациите на видовете произшествия при анализа на пътнотранспортните произшествия; време на работа на инструмента за контрол на качеството и др.
• Числените стойности, описващи резултатите от експериментите, може да не характеризират непременно отделни елементарни резултати в тестовата схема, но също така да съответстват на някои по-сложни събития.

От една страна, няколко числени стойности могат да бъдат едновременно свързани с една тестова схема и с отделни събития в нея, които трябва да бъдат анализирани заедно.

• Например координатите (абсциса, ордината) на някакъв вид експлозия на снаряд при стрелба по наземна цел; метрични размери (дължина, ширина и др.) на частта под контрол на качеството; резултатите от медицинско изследване (температура, налягане, пулс и др.) при диагностициране на пациент; данни от преброяването (по възраст, пол, богатство и др.).

Тъй като стойностите на числените характеристики на тестовите схеми съответстват в схемата на някои случайни събития (с техните определени вероятности), тогава самите тези стойности са случайни (със същите вероятности). Следователно такива числени характеристики обикновено се наричат ​​случайни променливи. В този случай разпределението на вероятностите за стойностите на случайна променлива се нарича закон за разпределение на случайна променлива.

Методи за описание[редактиране]

Възможно е частично да се зададе случайна променлива, като по този начин се опишат всички нейни вероятностни свойства като отделна случайна променлива, като се използва функцията на разпределение, плътността на вероятността и характеристичната функция, определяща вероятностите за нейните възможни стойности. Функцията на разпределение F(x) е вероятността стойностите на случайната променлива да са по-малки от реалното число x. От това определение следва, че вероятността стойността на случайна променлива да попадне в интервала

Случайна променлива, най-общо казано, може да приема стойности във всяко измеримо пространство. Тогава често се нарича случаен вектор или случаен елемент. Например,

Вижте също [редактиране]

• случаен процес
• разпределителна функция
• Очаквана стойност

Бележки [редактиране]

1. 1 2 Чернова Н. И.Глава 1. § 2. Елементарна теория на вероятностите // Теория на вероятностите. - Урок. - Новосибирск: Новосибирска държава. ун-т, 2007. - 160 с.
2. Чернова Н. И.Глава 3. § 1. Алгебра и сигма-алгебра на събитията // Теория на вероятностите. - Урок. - Новосибирск: Новосибирска държава. ун-т, 2007. - 160 с.
3. Чернова Н. И.ГЛАВА 1 § 2. Елементарна теория на вероятностите // Теория на вероятностите. - Урок. - Новосибирск: Новосибирска държава. ун-т, 2007. - 160 с.
4. 1 2 Чернова Н. И.Глава 6. Случайни променливи и техните разпределения § 1. Случайни променливи // Теория на вероятностите. - Урок. - Новосибирск: Новосибирска държава. ун-т, 2007. - 160 с.

Литература [редактиране]

• Гнеденко Б.В.Курс по теория на вероятностите. - 8-мо изд. добавете. и правилно. - М .: Едиториал URSS, 2005. - 448 с.
• Математически енциклопедичен речник/ гл. изд. Прохоров Ю. В. - 2-ро изд. - М.: "Съветска енциклопедия", 1998. - 847 с.
• Тихонов В.И., Харисов В.Н.Статистически анализ и синтез на радиотехнически устройства и системи. - Учебник за ВУЗ. - М.: Радио и комуникация, 1991. - 608 с. - ISBN 5-256-00789-0
• Чернова Н. И.Теория на вероятностите. - Урок. - Новосибирск: Новосибирска държава. ун-т, 2007. - 160 с.

Определение. Случайна променлива е такава променлива, която в резултат на експеримент приема всяка една стойност от набора от възможните си стойности и е невъзможно да се предвиди коя преди експеримента.

Случайни променливи са например броят точки, които се падат при хвърляне на зар, броят на посетителите на аптеката през деня, броят на ябълките на едно дърво и др.

Случайни променливи са също температурата на пациента в произволно избрано време от деня, масата на произволно избрана таблетка от някакво лекарство, ръстът на произволно избран ученик и др.

О

Въпреки това, от математическа гледна точка, има фундаментална разлика между такива случайни променливи като например броя на посетителите на аптеката през деня (нека означим тази случайна променлива X 1) и растежа на случайно избран ученик от определена група ученици (стойност X 2), а именно: за стойността X 1 можете да изброите всички нейни възможни стойности (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), докато за стойността X 2, това не може да бъде направено, тъй като тази стойност, в резултат на измерването, може да приеме произволна стойност от сегмента, където

и - съответно минималния и максималния ръст на учениците от групата.

Случайните променливи обикновено се означават с главни букви от латинската азбука - X, Y, Z и т.н., а възможните им стойности - със съответните малки букви с цифрови индекси. Например стойностите на случайна променлива x се обозначават по следния начин: x 1, x 2, x 3 и т.н.

Концепцията за дискретни и непрекъснати случайни променливи

Определение. Случайна променлива се нарича дискретна, ако наборът от всички нейни възможни стойности е краен или безкраен, но непременно изброим набор от стойности, т.е. такъв набор, всички елементи от който могат да бъдат (поне теоретично) номерирани и записани в подходящата последователност.

Определение. Случайна променлива се нарича непрекъсната, ако наборът от нейните възможни стойности е някакъв краен или безкраен интервал от числовата ос.

Въз основа на тези дефиниции, такива случайни променливи, изброени по-горе, като броя на точките, които падат при хвърляне на зарове, броя на посетителите на аптеката през деня, броя на ябълките на. дърво, са отделни случайни променливи и като температурата на пациента в определен час от деня, масата на произволно избрано хапче от някакво лекарство, височината на произволно избран ученик, са непрекъснати променливи.

Дискретни случайни променливи

Нека да разгледаме по-отблизо дискретни случайни променливи, и като правило ще ограничим разглеждането си до такива случайни променливи, за които броят на възможните стойности е краен.

Най-пълната информация за дискретна случайна променлива се дава от закона за разпределение на тази променлива.

Определение. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е съответствието между всички възможни стойности на тази случайна променлива и съответните им вероятности.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива често се задава под формата на двуредова таблица, чийто първи ред изброява всички възможни стойности на тази променлива (като правило във възходящ ред), а вторият - вероятностите, съответстващи на тези стойности Таблица 1:

Пример 2Има десет ученически групи съответно с 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 ученика. Напишете закон за разпределение за случайна променлива X, дефинирана като броя на учениците в произволно избрана група.

Решение. Възможните стойности на разглежданата случайна променлива X са следните (във възходящ ред):

8, 9, 10, 11 и 12.

Тъй като случайната променлива X приема стойност, равна на 8, в случай, че произволно избрана група е група от 8 ученици (нека го наречем събитие A), вероятността случайната променлива X да приеме стойност
, е равна на вероятността от това случайно събитие:
.

Вероятността за случайно събитие А в съответствие с класическата дефиниция на вероятността е
защото от 10 групи две са с по 8 ученика.

По този начин за вероятността на стойност получаваме:

.

По същия начин можете да намерите вероятностите на останалите стойности на случайната променлива X:

което ни позволява да съставим желания закон за разпределение (Таблица 2):

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива може също да бъде определен с помощта на формула, която позволява за всяка възможна стойност на тази променлива да се определи съответната вероятност.

Дискретни и непрекъснати случайни променливи

По правило при производството на продукти процесът на тяхното производство се влияе от много различни фактори, в резултат на което има разсейване в стойностите на показателите за качество на продукта. По този начин показателите за качество на произвежданите продукти или услуги трябва да се разглеждат като случайни променливи.

Случайна величина нарича се такава стойност, която в резултат на тестове в рамките на определен интервал може да приема различни числени стойности (съгласно STB GOST R 50779.10, случайна променлива е променлива, която може да приеме всяка стойност от даден набор от стойности и с която е свързано разпределение на вероятностите).

Дискретни случайни променливи се наричат ​​тези, които в резултат на тестове могат да приемат само отделни, изолирани стойности и не могат да приемат междинни стойности между тях. Например, броят на лошите части в една партида може да бъде само цяло положително число 1, 2, 3 и т.н., но не може да бъде 1,3; 1.7 и т.н.

Непрекъсната случайна променлива се нарича такава стойност, която в резултат на тестове може да вземе всякакви числени стойности от непрекъсната серия от техните възможни стойности в рамките на определен интервал.

Например действителните размери на машинно обработените части са случайни променливи от непрекъснат тип, тъй като те могат да приемат произволна числена стойност в определени граници.

Възможностите на случайните променливи да приемат определени числени стойности по време на тестове се оценяват с помощта на вероятности.

Наборът от стойности на случайни променливи, подредени във възходящ ред с указание за техните вероятности за всяка от стойностите, се нарича разпределение на случайни променливи (по STB ГОСТ Р 50779.10 разпределението е функция, която определя вероятността една случайна променлива да приеме дадена стойност или да принадлежи към даден набор от стойности).

Разпределението на случайна величина може да се представи в табличен, графичен вид и с помощта на статистически оценки.

При представяне на разпределението на случайна променлива в табличен вид, всяко число на изследваната единица продукция (число на измерване) съответства на стойността на показателя за качество за тази единица продукция (резултат от измерване).

При представяне на разпределението на случайна променлива в графична форма се начертава графика на разпределението в координати, стойността на случайната променлива - вероятността (честота, честота) на стойността на случайната променлива.

Фигурата по-долу показва графиките на разпределението на дискретни и непрекъснати случайни променливи.

Фигура - Графика на разпределението на дискретна случайна променлива

Фигура - Графика на разпределението на непрекъсната случайна променлива

Има теоретични и емпирични разпределения на случайни променливи. В теоретичните разпределения оценката на възможните стойности на случайна променлива се извършва с помощта на вероятности, а в емпиричните разпределения, като се използват честоти или честоти, получени в резултат на тестове.

Следователно, емпирично разпределение на случайна променлива е набор от неговите експериментални стойности, подредени във възходящ ред, посочващи честотите или честотите за всяка от стойностите (по STB ГОСТ Р 50779.10 честотно разпределение е емпиричната връзка между стойностите на характеристика и нейните честоти или нейните относителни честоти).

Таблица. Пример за таблично представяне на теоретичното разпределение на дискретна случайна променлива

Графично емпиричното разпределение на дискретна случайна променлива може да бъде представено като стълбовидна диаграма , образуван от набор от колони с еднаква ширина, чиито височини са пропорционални на честотите на дискретни стойности на случайна променлива.

Фигура - Стълбова диаграма на дискретна случайна променлива.

Ако случайната променлива е непрекъсната, тогава възникват някои трудности при представянето на нейното разпределение под формата на таблица или графика. Следователно, на практика, когато се изучават случайни променливи от непрекъснат тип, получените стойности се разделят на равни интервали, така че стойността на интервала да е малко по-голяма от грешката на измерване на изследваното количество. Тогава честотите се изчисляват не по действителните стойности на случайната променлива, а по интервали. Следователно таблицата на емпиричното разпределение на случайна променлива от непрекъснат тип ще има следния вид.

Таблица. Емпирично разпределение на случайна величина от непрекъснат тип.

Стойностен интервал х	Средноаритметично	Честота f аз	Честота м аз
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		f аз = 100	м аз = 1

Емпиричното разпределение на случайна непрекъсната променлива може да бъде представено графично като хистограма на разпределение, честотен полигон или кумулативен честотен многоъгълник.

Хистограма на разпределение е набор от докосващи се правоъгълници, чиито основи са равни на интервалите на разделяне на непрекъсната случайна променлива, а площите са пропорционални на честотите, с които стойностите на случайната променлива попадат в тези интервали (според СТБ ГОСТ Р 50779.10 стълбовидна диаграма (разпределение) е графично представяне на честотното разпределение за количествена характеристика, образувано от съседни правоъгълници, чиито основи са интервалите на класовете, а площите са пропорционални на честотите на тези класове).

Фигура - Хистограма на разпределението на случайна непрекъсната променлива.

Честотен полигон е прекъсната линия, получена чрез свързване на точки, чиито абциси са равни на средните точки на разделителните интервали, а ординатите са равни на съответните честоти.

Фигура - Многоъгълник от честоти на случайна непрекъсната променлива.

Полигон кумулативен честоти е прекъсната линия, получена чрез свързване на точки, чиито абциси са равни на горните граници на разделителните интервали и чиито ординати са равни или на кумулативни честоти, или на кумулативни честоти (кумулативни относителни честоти).

Фигура - Многоъгълник от кумулативни честоти с произволна непрекъсната стойност.

При теоретичните описания на случайни величини от непрекъснат тип се използва функцията на разпределение. Теоретичното разпределение на случайна непрекъсната променлива може да бъде представено графично като интеграл, обратен интеграл, диференциалразпределителни функции и функции интензивност.

Нека X е случайна променлива и x е някакво реално число (с х< х ). Събитие X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

F(X) се извиква разпределителна функция вероятности случайна променлива или интегрална функция на разпределение.

За дискретна случайна променлива интегралната функция на разпределение F(X) се определя лесно от таблица или графика.

Така за горния пример за разпределение на дискретна случайна променлива (на X< 4):

F(X) = P( х ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Графиката на интегралната функция на разпределение на дискретна случайна променлива ще изглежда като стъпкова крива. Ординатите на кривата за всяка стойност на X ще представляват сумата от вероятностите на предишните стойности.

Фигура - Интегрална функция на разпределение на дискретна случайна променлива

Вероятността случайна променлива по време на тестване да бъде в границите на две дадени стойности x 1 и x 2 (x 2 > x 1) е равна на нарастването на интегралната функция в тази област, т.е.

P(x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - F(X 1 )

Ако се обърнем към горния пример за разпределение на дискретна случайна променлива, тогава за x1 = 2 и x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

За непрекъсната случайна променлива графиката на функцията на интегралното разпределение ще изглежда като монотонно нарастваща крива. На практика теоретичните честоти на разпределение се определят с помощта на кумулативната функция на разпределение.

Фигура - Кумулативна функция на разпределение

непрекъсната случайна променлива

Обратната кумулативна функция на разпределение е равна на разликата между единица и кумулативната функция на разпределение.

Плътност на разпределение (диференциална функция на разпределение) случайна променлива се нарича първа производна на интегралната функция на разпределение:

За аналитично описание на непрекъсната случайна променлива в теорията на надеждността използваме функция на интензитета , равно на съотношението на диференциалната функция на разпределение към функцията на обратното интегрално разпределение:

Фигура - Функция на интензитета на непрекъсната случайна променлива.

Тема 3.

Случайни променливи и функции на разпределение

Концепцията за случайна променлива.

Концепцията за случайна променлива

Функция на разпределение на случайна променлива, нейните свойства

Случайни величини с дискретно разпределение

Концепцията за случайна величина с дискретно разпределение

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива.

Примери за дискретни разпределения

Случайни величини с абсолютно непрекъснато разпределение

Концепцията за случайна величина с абсолютно непрекъснато разпределение

Закон за разпределение на абсолютно непрекъсната случайна променлива. Плътност, нейните свойства

Примери за абсолютно непрекъснати разпределения

Концепцията за случаен вектор.

Концепцията за случаен вектор

Независими случайни променливи

Съвместно разпределение на случайни променливи

Концепцията за случайна променлива.

От появата на теорията на вероятностите, нейната основна задача е да изучава не вероятностните свойства на експерименти със случайни резултати, а числените количества, свързани с тези експерименти, които е естествено да се наричат случайни променливи. Например, може да се интересуваме не от двойки числа върху горните страни на зара, а от тяхната сума; броя на успехите или неуспехите преди първия успех в схемата на Бернули.

Често в литературата можете да намерите вариации по темата на следното определение: Случайна величинанаречена променлива, която в зависимост от резултата от теста приема стойности, които зависят от случая.

По този начин случайната променлива е числова стойност, чиято стойност зависи от това какъв вид (елементарен) резултат е възникнал в резултат на експеримент със случаен резултат. Наборът от всички стойности, които една случайна променлива може да приеме, се нарича набор от възможни стойности на тази случайна променлива.

Ще дадем по-строга дефиниция, тъй като концепцията за случайна променлива е една от онези ключови концепции, които свързват теорията на вероятностите с математическия анализ и формират концептуалната основа на математическата статистика.

Определение. Случайна величинае функция X = X(ω), дефинирана в пространството от елементарни събития Ω, за които събитието (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Състояние (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из НО. Освен това чрез събития (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Коментирайте. По този начин случайна променлива е функция, чиято област на дефиниция е пространството на елементарни събития Ω, а наборът от стойности е числов набор, вероятно целият набор от реални числа Р.

σ-алгебрата на събитията A е областта на дефиниране на вероятността, ако я разглеждаме като функция.

Коментирайте . „Терминът „случайна променлива“ е донякъде неточен, по-подходящ би бил терминът „функция на шанса“, независимата променлива е точка в пространството на елементарни събития, т.е. резултатът от експеримент или случай. (W. Feller „Въведение в теорията на вероятностите“, гл. IX)

Случайните променливи се обозначават с буквите от гръцката азбука:  (xi),  (това),  или главни букви от латинската азбука X, Y, ... Ще запишем стойностите на случайна променлива като крайна или безкрайна последователност х 1 ,х 2 ,, х н,; y 1 ,y 2 ,,y н ,

Коментирайте . По-рано въведохме концепцията за вероятност по отношение на някои събития. Сега ще продължим да говорим за функциите. Най-очевидното събитие, което може да се свърже с концепцията за функция, е приемането от нея на някаква стойност (специфична или принадлежаща към интервала)

За да се изследват вероятностните свойства на случайна променлива, е необходимо да се знае правилото, което ви позволява да намерите вероятността случайна променлива да приеме стойност от подмножество от своите стойности. Всяко такова правило се нарича законът за разпределение на вероятностите или разпределението (на вероятностите) на случайна променлива.(думата "вероятност" обикновено се пропуска)

Общият закон на разпределение, присъщ на всички случайни променливи е разпределителна функция.

Определение.Целият набор от вероятности P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает закон за разпределение на случайната променлива Xв общ случай. Често, за краткост, законът за разпределение на случайна променлива се нарича просто разпределение на случайна променлива.

Определение.Функция F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется функцията на разпределение на случайната променлива X.

Стойността на функцията на разпределение в точка x е равна на вероятността на събитието (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Обикновено се казва, че стойността на функцията на разпределение в точката x е равна на вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x.

Геометрично това означава следното: F(x) е вероятността случайната променлива X да приеме стойността, представена от точката на числовата ос, разположена вляво от точката x.

Коментирайте . Функцията на разпределение също се нарича интегрална функция или интегрален закон за разпределение на случайна променлива X

Функцията на разпределение има следното Имоти:

0≤ F(x)≤1 (тъй като по дефиниция функцията на разпределение е вероятност)

F(x 1) ≤ F(x 2) за x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 като x → - ∞, lim F(x) = 1 като x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) е ляво непрекъсната функция, т.е. F(x) = F(x - 0), където F(x - 0) = lim F(y) като y → x - 0 (лява граница)

Коментирайте . За да се подчертае към коя случайна променлива принадлежи функцията на разпределение F(x), на тази функция понякога се присвоява долен индекс, обозначаващ конкретна случайна променлива. Например F X (x) = P (X< х}

Коментирайте. В някои публикации функцията на разпределение се определя като F(x) = P(X ≤ x). Такава дефиниция не променя нищо в същността на концепцията за функцията на разпределение, променя се само последното, пето свойство. Функцията в този случай се оказва непрекъсната отдясно.

Отклонение: "Какво е функция?"

Нека са ни дадени две множества X и Y, а Y е числово множество. И нека е дадено правилото f, според което всеки елемент (точка) от множеството X е свързан с (един и само един) елемент (номер) от множеството Y. Правилото f заедно с множествата X и Y определят функция f. Нотацията y=f(x) означава, че правилото f е приложено към някаква точка x от множеството X и в резултат получаваме точка y от множеството Y. X се нарича аргумент (независима променлива), а y е стойността (зависима променлива) на функцията f в точката X. Наборът X се нарича домейн на дефиниция (област на настройка) на функцията, те казват, че функцията е дадена на този набор, наборът Y се нарича набор от стойности на функцията. Наборът X не е непременно набор от числа. По този начин случайната променлива е функция, дефинирана върху нечислово пространство от елементарни събития.

СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ

Случайна стойност е величина, която в резултат на теста ще приеме една и само една възможна стойност, като коя не е предварително известна.

Дискретна е случайна променлива, която приема отделни изолирани възможни стойности с определени вероятности.

Непрекъснатата променлива е случайна променлива, която може да приема всички стойности от някакъв краен или безкраен интервал.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е съответствието между възможните стойности на случайна променлива и техните вероятности. Този закон е даден под формата на таблица, формула или графика.

За дискретни случайни променливи един от най-често срещаните е така нареченият биномиален закон за разпределение, към който води схемата на Бернули за повторение на тестовете. Формула (8) е аналитичният израз на този закон.

Пример 11.

Съобщението се предава по комуникационния канал с помощта на код, състоящ се от два знака. Вероятността за появата на първия е 2/3. Минаха три знака. Намерете закона за разпределение на случаите на първия знак.

Решение.

По условие н=4, Р=2/3, р=1/3. Възможни стойности на броя на срещанията на първия знак: 0, 1, 2 и 3. Намерете техните вероятности, като използвате формула (8):

Този закон може да се представи под формата на таблица

х
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Функцията на разпределение е функция, която определя вероятността една случайна променлива хв резултат на теста ще вземе стойност по-малка от Х,това е

Геометрично това означава, че случайна променлива с вероятност Рще приеме стойността, която е представена на цифровата ос от точката вляво Х.

За непрекъсната случайна променлива функцията на разпределение е непрекъсната частично диференцируема функция. Основните свойства се извличат от определението:

1. Стойностите на функцията на разпределение принадлежат на сегмента, т.е.

2. Е(х) е ненамаляваща функция, т.е. ако

3. Вероятността една случайна променлива да приеме стойност, съдържаща се в интервала [ а,б[, е равно на увеличението на функцията на разпределение на този интервал

За непрекъсната случайна променлива вероятността да се приеме една единствена стойност е нула. Следователно, за непрекъснати случайни променливи

Пример 12.

Случайна стойност хдаден от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на теста хще приеме стойността, принадлежаща на сегмента [-1; 0.5].

Решение.

От условието следва, че хе непрекъсната случайна променлива, която може да приема стойност от 0 до 1.

Плътност на вероятността непрекъснатослучайна величина хнаричаме първата производна на функцията на разпределението

разпределителна функция F(x)е една от антипроизводните за плътността на разпределение. Въз основа на определението за плътност или диференциален законразпределение и връзката му с функцията на разпределение, е лесно да се покажат следните свойства:

1. Плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива е неотрицателна функция

2. Вероятност за попадение на случайна променлива хв интервала е равно на

(16)

3. От свойство 2 получаваме израз за функцията на разпределение

(17)

4. Условие за нормализиране

(18)

Пример 13дискретна стойност хдадени по табл

х
Р	0,1	0,3	0,4	0,2

Намерете функцията на разпределение и изградете нейната графика.

Решение.

1. Ако , тогава , тъй като хне може да бъде по-малко от 2.

В този случай в интервала (-¥, Х)има само една стойност на случайната променлива х (х=2). Ето защо

За всяка стойност на аргумент хфункции F(x),удовлетворяващ това неравенство, в интервала (-¥, х) удря две стойности на случайна променлива ( х=2 и х=3). Тъй като събитията, които хще приеме, че дадените стойности са непоследователни (или х=2 или х=3), тогава

4. По същия начин, ако

Следователно функцията на разпределение ще изглежда така

Изграждаме графика на функцията на разпределение

Ориз. 1 - Графика на функцията на разпределение

дискретна случайна променлива

Пример 14. Плътност на разпределението на грешките при измерване

ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ

Случайни величини, тяхната класификация и методи за описание.

Случайна стойност е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, но коя точно не е известна предварително. Следователно за случайна променлива могат да бъдат посочени само стойности, една от които тя задължително ще вземе в резултат на експеримента. Тези стойности ще бъдат посочени като възможни стойности на случайната променлива. Тъй като случайната променлива количествено характеризира случайния резултат от експеримент, тя може да се разглежда като количествена характеристика на случайно събитие.

Случайните променливи обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука, например X..Y..Z, а възможните им стойности със съответните малки букви.

Има три вида случайни променливи:

отделен; Непрекъснато; Смесени.

Отделенсе нарича такава случайна променлива, чийто брой възможни стойности образува изброимо множество. От своя страна изброимо множество е множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани. Думата "дискретен" идва от латинското discretus, което означава "прекъснат, състоящ се от отделни части".

Пример 1. Дискретна случайна променлива е броят на дефектните части X в партида от nfl. Наистина, възможните стойности на тази случайна променлива са поредица от цели числа от 0 до n.

Пример 2. Дискретна случайна променлива е броят на изстрелите преди първото попадение в целта. Тук, както в пример 1, възможните стойности могат да бъдат номерирани, въпреки че в ограничаващия случай възможната стойност е безкрайно голямо число.

Непрекъснатосе нарича случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал от числовата ос, понякога наричан интервал на съществуване на тази случайна променлива. По този начин, на всеки краен интервал на съществуване, броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкрайно голям.

Пример 3. Непрекъсната случайна променлива е потреблението на електроенергия в предприятието за един месец.

Пример 4. Непрекъсната случайна променлива е грешката при измерване на височина с алтиметър. Нека от принципа на работа на висотомера е известно, че грешката е в диапазона от 0 до 2 м. Следователно интервалът на съществуване на тази случайна величина е интервалът от 0 до 2 м.

Закон за разпределение на случайни величини.

Случайна променлива се счита за напълно определена, ако нейните възможни стойности са посочени на цифровата ос и е установен законът за разпределение.

Законът за разпределение на случайна величина се нарича връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности.

За случайна променлива се казва, че е разпределена според даден закон или подчинена на даден закон за разпределение. Като закони за разпределение се използват редица вероятности, функция на разпределение, плътност на вероятността, характеристична функция.

Законът за разпределение дава пълно вероятно описание на случайна променлива. Според закона за разпределение е възможно да се прецени преди опита кои възможни стойности на случайна променлива ще се появяват по-често и кои по-рядко.

За дискретна случайна величина законът за разпределение може да бъде даден под формата на таблица, аналитично (под формата на формула) и графично.

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица (матрица), която изброява във възходящ ред всички възможни стойности на случайна променлива и съответните им вероятности, т.е.

Такава таблица се нарича серия от разпределение на дискретна случайна променлива. един

Събитията X 1 , X 2 ,..., X n , състоящи се в това, че в резултат на теста случайната променлива X ще приеме стойностите съответно x 1 , x 2 ,... x n , са непоследователни и единствените възможни (защото в таблицата са изброени всички възможни стойности на случайна променлива), т.е. образуват пълна група. Следователно сумата от техните вероятности е равна на 1. По този начин за всяка дискретна случайна променлива

(Тази единица по някакъв начин е разпределена между стойностите на случайната променлива, оттук и терминът „разпределение“).

Серия на разпределение може да бъде показана графично, ако стойностите на случайна променлива са нанесени по абсцисната ос, а съответните им вероятности по ординатната ос. Връзката на получените точки образува прекъсната линия, наречена многоъгълник или многоъгълник на вероятностното разпределение (фиг. 1).

ПримерИграе се лотарията: кола на стойност 5000 ден. бр., 4 телевизора на стойност 250 ден. единица, 5 видеорекордера на стойност 200 ден. единици Продадени са общо 1000 билета за 7 den. единици Съставете закона за разпределение на нетните печалби, получени от участника в лотарията, закупил един билет.

Решение. Възможните стойности на случайната променлива X - нетни печалби на билет - са 0-7 = -7 den. единици (ако билетът не е спечелил), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. единици (ако билетът спечели съответно видеорекордер, телевизор или кола). Като се има предвид, че от 1000 билета броят на непечелившите е 990, а посочените печалби са съответно 5, 4 и 1 и използвайки класическата дефиниция на вероятността, получаваме.

Разширение на концепцията за случайни събития, състоящо се в появата на определени числени стойности в резултат на експеримент, е произволна стойностХ.

Определение. Случаеннаричат ​​величина, която в резултат на опита приема само една стойност от някаква тяхната съвкупност и за която не се знае предварително каква.

Случайна стойност, например, е разумен модел за описание на геоложки данни, като се вземе предвид влиянието на различни фактори върху физическото поле.

Както и резултатът от отделен експеримент, точната стойност на случайна променлива не може да бъде предвидена; може само да се установят нейните статистически модели, т.е. определят вероятностите на стойностите на случайна променлива. Например измервания физични свойства скалиса наблюдения на съответните случайни променливи.

Сред случайните променливи, с които един геолог трябва да работи, могат да се разграничат два основни вида: отделени количества непрекъснато.

Определение. ОтделенСлучайна променлива е тази, която може да приеме краен или безкраен изброим набор от стойности.

Като типични примери за дискретна случайна променлива могат да бъдат всички резултати от полеви работи, всички резултати от експерименти, проби, донесени от полето и т.н.

Всички възможни стойности на случайна променлива образуват пълна група от събития, т.е. , където е ограничено или безкрайно. Следователно може да се каже, че произволна стойностобобщава концепцията за случайно събитие.

Нека в резултат на изследване се получи следната поредица от данни за количествения състав на дадена порода: 4; 3; един; 2; 5; четири; 2; 2; 3; един; 5; четири; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Проведени са общо 20 теста. За да се улесни работата с данните, те бяха трансформирани: получените стойности бяха подредени във възходящ ред и беше изчислен броят на срещанията на всяка от стойностите. В резултат на това получихме (Таблица 7.1):

Определение. Възходящото разпределение на данните се нарича класиране.

Определение. Наблюдаваната стойност на някакъв знак на случайна променлива се нарича вариант.

Определение. Серия, съставена от вариант, се нарича вариационни серии.

Определение. Промяна в някакъв знак на случайна променлива се нарича разнообразен.

Определение. Числото, показващо колко пъти варира даден вариант, се нарича честота и се означава с .

Определение. Вероятностпоявата на тази опция е равна на отношението на честотата към общата сума на вариационната серия

(1)

Като вземем предвид въведените определения, ще пренапишем таблица 7.1.

Таблица 7.2. класиран ред

опция	1	2	3	4	5	6
Честота	3	4	3	3	6	1
Вероятност	3/20	4/20	3/20	3/20	6/20	1/20

При Статистически анализексперименталните данни се използват главно в дискретни количества. Таблица 7.3 показва основните числени характеристики на тези величини, които имат голямо практическо значение при обработката на експериментални данни.

Таблица 7.3. Числени характеристики на случайни величини

N p / p	Характеристика (параметър) на случайна величина и нейното означение	Формула за намиране на характеристиките на случайна променлива	Забележка
1	Очаквана стойност	(2)	Характеризира позицията на случайна променлива върху числовата ос
2	Означава	(3)	Ако случайната променлива е независима, тогава
3	Мода	Това е стойността, за която най-големият	Равно на най-често срещаната стойност. Ако има няколко такива стойности в серията вариации, тогава тя не се определя.
4	Медиана	Ако дори, тогава Ако странно, тогава	Това е стойността, която е в центъра на класираната серия.
5	дисперсия		Характеризира действителната дисперсия на случайна променлива около средната стойност.
7	Коефициентът на вариация	(6)	Заедно с дисперсията характеризира променливостта на случайна променлива
8	Центрирано нормализирано отклонение