Differential equation ng harmonic oscillations harmonic oscillators. Batas ng paggalaw ng isang harmonic oscillator

Isaalang-alang ang mga oscillations ng isang timbang m sa isang spring na may stiffness coefficient k, na namamalagi sa isang patag na pahalang na mesa, sa pag-aakalang walang friction ng bigat sa ibabaw ng mesa. Kung ang timbang ay tinanggal mula sa posisyon ng balanse, ito ay mag-oscillate tungkol sa posisyon na ito. Ilalarawan namin ang mga oscillations na ito sa pamamagitan ng isang function na nakasalalay sa oras, sa pag-aakalang tinutukoy nito ang paglihis ng timbang mula sa posisyon ng equilibrium nito sa oras t.

Sa pahalang na direksyon, isang puwersa lamang ang kumikilos sa bigat - ang nababanat na puwersa ng tagsibol, na tinutukoy ng kilalang batas ni Hooke

Ang pagpapapangit ng tagsibol ay isang function ng oras, kung kaya't ito ay isang variable din.

Mula sa ikalawang batas ni Newton mayroon tayo

dahil ang acceleration ay ang pangalawang derivative ng displacement: .

Ang equation (9) ay maaaring muling isulat sa anyo

saan. Ang equation na ito ay tinatawag na harmonic oscillator equation.

Magkomento. Sa mathematical literature, kapag nagsusulat ng differential equation, karaniwang hindi ipinapahiwatig ng isa ang argumento (t) malapit sa lahat ng function na nakasalalay dito. Ang dependency na ito ay ipinapalagay bilang default. Kapag ginagamit ang mathematical package na Maple sa (10), kinakailangang ipahiwatig ang tahasang pagdepende ng function.

Hindi tulad ng nakaraang halimbawa ng paggalaw ng katawan sa ilalim ng pagkilos ng isang pare-parehong puwersa, sa aming kaso ang puwersa ay nagbabago sa paglipas ng panahon, at ang equation (10) ay hindi na malulutas gamit ang karaniwang pamamaraan ng pagsasama. Subukan nating hulaan ang solusyon ng equation na ito, alam na inilalarawan nito ang ilang proseso ng oscillatory. Bilang isa sa mga posibleng solusyon sa equation (10), maaari nating piliin ang sumusunod na function:

Differentiating function (11), mayroon kami

Ang pagpapalit ng expression (12) sa equation (10), tinitiyak namin na ito ay nasiyahan nang magkapareho para sa anumang halaga ng t.

Gayunpaman, ang function (11) ay hindi lamang ang solusyon sa harmonic oscillator equation. Halimbawa, ang isa ay maaaring pumili ng isang function bilang isa pang solusyon, na madali ring suriin sa katulad na paraan. Bukod dito, masusuri ng isa na ang anumang linear na kumbinasyon ng dalawang random na pinangalanang solusyon na ito

na may pare-parehong coefficients A at B ay isa ring solusyon sa harmonic oscillator equation.

Mapapatunayan na ang dalawang pare-parehong solusyon (13) ay ang pangkalahatang solusyon ng harmonic oscillator equation (10). Nangangahulugan ito na inuubos ng formula (13) ang lahat ng posibleng solusyon sa equation na ito. Sa madaling salita, ang harmonic oscillator equation ay walang ibang partikular na solusyon, maliban sa mga nakuha mula sa formula (13) sa pamamagitan ng pag-aayos ng mga arbitrary na constants A at B.

Tandaan na sa pisika ito ay kadalasang kinakailangan upang maghanap ng ilang partikular na solusyon lamang ng mga indibidwal na ODE o kanilang mga sistema. Isaalang-alang natin ang tanong na ito nang mas detalyado.

Posibleng pukawin ang mga oscillations sa sistema ng timbang sa isang spring na aming isinasaalang-alang iba't ibang paraan. Itakda natin ang mga sumusunod na paunang kondisyon

Nangangahulugan ito na sa unang sandali ng oras, ang timbang ay tinanggal mula sa posisyon ng balanse sa pamamagitan ng isang halaga a at malayang inilabas (ibig sabihin, sinisimulan nito ang paggalaw nito na may zero na paunang bilis). Maaaring isipin ng isang tao ang maraming iba pang mga paraan ng paggulo, halimbawa, ang isang timbang sa posisyon ng balanse ay binibigyan ng ilang paunang bilis sa pamamagitan ng isang "click", atbp. [ pangkalahatang kaso, ].

Isinasaalang-alang namin ang mga paunang kondisyon (14) bilang ilang karagdagang mga kondisyon para sa paghihiwalay mula sa pangkalahatang solusyon (13) ilang partikular na solusyon na naaayon sa aming paraan ng paggulo ng mga oscillations ng timbang.

Sa pag-aakalang t=0 sa expression (13), mayroon tayo, kung saan sumusunod na B=a. Kaya, natagpuan namin ang isa sa mga dating arbitrary na constant sa solusyon (13). Dagdag pa, ang pagkakaiba sa formula (13), mayroon tayo

Sa pag-aakalang t=0 sa expression na ito at isinasaalang-alang ang pangalawang paunang kondisyon mula sa (14), nakukuha natin, kaya sumusunod na ang A=0 at, sa gayon, ang paunang partikular na solusyon ay may anyo

Inilalarawan nito ang oscillatory mode ng itinuturing na mekanikal na sistema, na tinutukoy ng mga kondisyon ng paunang paggulo (14).

Ito ay kilala mula sa kurso sa pisika ng paaralan na sa formula (16) a ay ang amplitude ng mga oscillations (ito ay nagtatakda ng pinakamataas na paglihis ng timbang mula sa posisyon ng equilibrium nito), ay ang cyclic frequency, at ang yugto ng mga oscillations (ang ang paunang yugto ay lumalabas na katumbas ng zero).

Ang harmonic oscillator equation (10) ay isang halimbawa ng linear ODE. Nangangahulugan ito na ang hindi kilalang function at lahat ng derivatives nito ay kasama sa bawat termino ng equation sa unang antas. Ang mga linear differential equation ay may napakahalagang natatanging katangian: natutugunan nila ang prinsipyo ng superposisyon. Nangangahulugan ito na ang anumang linear na kumbinasyon ng anumang dalawang solusyon ng isang linear ODE ay ang solusyon din nito.

Sa halimbawa ng harmonic oscillator equation na aming isinasaalang-alang, ang isang arbitraryong linear na kumbinasyon ng dalawang partikular na solusyon ay hindi lamang ilang bagong solusyon, ngunit isang pangkalahatang solusyon sa equation na ito (nauubos nito ang lahat ng posibleng solusyon).

Sa pangkalahatan, hindi ito ang kaso. Halimbawa, kung tayo ay nakikitungo sa isang third-order linear differential equation (ibig sabihin, kung ang equation ay may kasamang ikatlong derivative), kung gayon ang isang linear na kumbinasyon ng alinman sa dalawa sa mga partikular na solusyon nito ay magiging solusyon din sa equation na ito, ngunit hindi. kumatawan sa kanya karaniwang desisyon.

Sa kurso ng mga differential equation, napatunayan ang isang theorem na ang pangkalahatang solusyon ng isang ODE ng Nth order (linear o non-linear) ay nakasalalay sa N arbitrary constants. Sa kaso ng isang nonlinear equation, ang mga arbitrary na constant na ito ay maaaring pumasok sa pangkalahatang solusyon (sa kaibahan sa (13)), sa isang hindi linear na paraan.

Ang prinsipyo ng superposition ay gumaganap ng isang napakahalagang papel sa teorya ng mga ODE, dahil maaari itong magamit upang bumuo ng isang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation sa anyo ng isang superposisyon ng mga partikular na solusyon nito. Halimbawa, para sa kaso ng mga linear na ODE na may pare-parehong mga coefficient at kanilang mga sistema (ang harmonic oscillator equation ay tiyak na nabibilang sa ganitong uri ng mga equation), isang pangkalahatang paraan ng solusyon ang binuo sa teorya ng differential equation. Ang kakanyahan nito ay ang mga sumusunod. Naghahanap kami ng isang partikular na solusyon sa form Bilang resulta ng pagpapalit nito sa orihinal na equation, lahat ng mga salik na umaasa sa oras ay nakansela at nakarating tayo sa ilang katangiang equation, na para sa Nth order na ODE ay algebraic equation Nth degree. Ang paglutas nito, nakita namin, sa gayon, ang lahat ng posibleng partikular na solusyon, isang arbitraryong linear na kumbinasyon na nagbibigay ng pangkalahatang solusyon ng orihinal na ODE. Hindi na namin tatalakayin pa ang isyung ito, na nagre-refer sa mambabasa sa naaangkop na mga aklat-aralin sa teorya ng mga differential equation, kung saan ang mga karagdagang detalye ay matatagpuan, lalo na, ang kaso kapag ang characteristic equation ay naglalaman ng maraming ugat.

Kung ang isang linear na ODE na may mga variable na koepisyent ay isinasaalang-alang (ang mga coefficient nito ay nakasalalay sa oras), kung gayon ang prinsipyo ng superposisyon ay wasto din, ngunit hindi na posible na bumuo ng isang pangkalahatang solusyon sa equation na ito sa isang tahasang anyo sa pamamagitan ng anumang karaniwang pamamaraan. Babalik tayo sa isyung ito mamaya, tinatalakay ang phenomenon ng parametric resonance at ang Mathieu equation na nauugnay sa pag-aaral nito.

Marahil ang pinakasimpleng mekanikal na sistema na ang paggalaw ay inilalarawan ng isang linear differential equation na may pare-parehong coefficients ay isang masa sa isang spring. Matapos mabitin ang isang timbang mula sa tagsibol, ito ay mag-uunat ng kaunti upang balansehin ang puwersa ng grabidad. Sundin natin ngayon ang mga patayong paglihis ng masa mula sa posisyon ng ekwilibriyo (Larawan 21.1). Tinutukoy namin ang mga paitaas na paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo sa pamamagitan ng at ipinapalagay namin na nakikipag-ugnayan kami sa isang perpektong nababanat na spring. Sa kasong ito, ang mga puwersa na sumasalungat sa kahabaan ay direktang proporsyonal sa kahabaan. Nangangahulugan ito na ang puwersa ay pantay (ang minus sign ay nagpapaalala sa atin na ang puwersa ay sumasalungat sa mga displacement). Kaya, ang acceleration na pinarami ng masa ay dapat na katumbas ng

Para sa pagiging simple, ipagpalagay natin na nangyari ito (o binago natin ang sistema ng mga yunit kung kinakailangan) na . Kailangan nating lutasin ang equation

Fig. 21.1. Isang timbang na nasuspinde sa isang spring. Isang simpleng halimbawa ng isang harmonic oscillator.

Pagkatapos nito, babalik tayo sa equation (21.2), kung saan at tahasang nakapaloob.

Nakatagpo na tayo ng equation (21.3) noong una tayong nagsimulang mag-aral ng mechanics. Nalutas namin ito ayon sa numero upang mahanap ang paggalaw. Sa pamamagitan ng numerical integration, nakahanap kami ng isang curve na nagpapakita na kung ang particle sa una ay hindi balanse, ngunit sa pahinga, pagkatapos ay bumalik ito sa posisyon ng equilibrium. Hindi namin sinunod ang particle pagkatapos na maabot nito ang posisyon ng ekwilibriyo, ngunit malinaw na hindi ito titigil doon, ngunit mag-oscillate (mag-oscillate). Gamit ang numerical integration, nakita namin ang oras upang bumalik sa punto ng ekwilibriyo: . Ang tagal ng isang kumpletong cycle ay apat na beses na mas mahaba: "sec". Natagpuan namin ang lahat ng ito sa pamamagitan ng numerical integration, dahil hindi namin alam kung paano ito mas mahusay na lutasin. Ngunit binigyan tayo ng mga mathematician ng isang tiyak na pag-andar, na, kung ito ay iba-iba nang dalawang beses, napupunta sa sarili nito, na pinarami ng . (Siyempre, maaari mong gawin ang direktang pagkalkula ng mga naturang function, ngunit ito ay mas mahirap kaysa sa paghahanap lamang ng sagot.)

Ang function na ito ay: . Ibahin natin ito: , a . Sa paunang sandali , , at ang paunang bilis ay katumbas ng zero; ito ang eksaktong mga pagpapalagay na ginawa namin sa numerical integration. Ngayon, alam na , nakita namin ang eksaktong halaga ng oras kung kailan . Sagot: , o 1.57108. Nagkamali kami kanina sa huling sign, dahil tinatayang ang numerical integration, ngunit napakaliit ng error!

Upang magpatuloy, bumalik tayo sa sistema ng yunit, kung saan ang oras ay sinusukat sa totoong mga segundo. Ano ang magiging solusyon sa kasong ito? Marahil ay isasaalang-alang natin ang mga constants at sa pamamagitan ng pagpaparami ng kaukulang kadahilanan? Subukan Natin. Hayaan mo na at . Sa aming kalungkutan, hindi kami nagtagumpay sa paglutas ng equation (21.2), ngunit muling bumalik sa (21.3). Ngunit natuklasan namin ang pinakamahalagang katangian ng mga linear differential equation: kung i-multiply natin ang solusyon ng equation sa isang pare-pareho, pagkatapos ay muli nating makuha ang solusyon. Mathematically malinaw kung bakit. Kung mayroong isang solusyon sa equation, pagkatapos ay pagkatapos na i-multiply ang parehong bahagi ng equation sa mga derivatives, sila rin ay i-multiply sa at samakatuwid ay masiyahan ang equation tulad ng . Pakinggan natin kung ano ang sasabihin ng physicist tungkol dito. Kung ang bigat ay umaabot sa tagsibol nang dalawang beses kaysa sa dati, kung gayon ang puwersa ay doble, ang acceleration ay doble, ang nakuha na bilis ay magiging dalawang beses sa nakaraang bilis, at sa parehong oras ang timbang ay sasaklaw ng dalawang beses ang distansya. Ngunit ito ay dalawang beses ang distansya - ang parehong distansya na kailangan ng timbang upang pumunta sa posisyon ng balanse. Kaya, ito ay tumatagal ng parehong dami ng oras upang maabot ang ekwilibriyo at hindi ito nakasalalay sa paunang bias. Sa madaling salita, kung ang galaw ay inilarawan linear equation, kung gayon anuman ang "lakas" na bubuo sa oras sa parehong paraan.

Ang pagkakamali ay nakabuti sa amin - natutunan namin na sa pamamagitan ng pagpaparami ng solusyon sa isang pare-pareho, nakuha namin ang solusyon ng nakaraang equation. Pagkatapos ng ilang pagsubok at pagkakamali, maaari kang magkaroon ng konklusyon na sa halip na manipulahin, kailangan mong baguhin ang sukat ng oras. Sa madaling salita, ang equation (21.2) ay dapat magkaroon ng solusyon ng form

(Dito - hindi ang angular velocity ng isang umiikot na katawan, ngunit hindi tayo magkakaroon ng sapat na mga alpabeto kung ang bawat halaga ay tinutukoy ng isang espesyal na titik.) Ibinigay namin ang index 0 dito, dahil marami pa kaming omega na dapat matugunan: tandaan kung ano ang tumutugma sa natural na paggalaw ng oscillator. Ang pagtatangkang gamitin ang (21.4) bilang solusyon ay mas matagumpay dahil at . Sa wakas ay nalutas na namin ang equation na gusto naming lutasin. Ang equation na ito ay tumutugma sa (21.2) kung .

Ngayon kailangan nating maunawaan ang pisikal na kahulugan. Alam namin na ang cosine ay "uulit" pagkatapos magbago ang anggulo sa . Samakatuwid ito ay magiging pana-panahong paggalaw; isang buong cycle ng kilusang ito ay tumutugma sa isang pagbabago sa "anggulo" ng . Ang dami ay madalas na tinutukoy bilang ang yugto ng paggalaw. Upang lumipat sa , kailangan mong lumipat sa (full swing period); siyempre, ay matatagpuan mula sa equation . Nangangahulugan ito na kailangan mong kalkulahin para sa isang ikot, at ang lahat ay mauulit kung tataas ka ng ; sa kasong ito ay tataas natin ang bahagi ng . Sa ganitong paraan,

. (21.5)

Nangangahulugan ito na ang mas mabigat ang timbang, ang mas mabagal na spring ay oscillate pabalik-balik. Ang pagkawalang-kilos sa kasong ito ay magiging mas malaki, at kung ang puwersa ay hindi nagbabago, pagkatapos ay kakailanganin ng mas maraming oras upang mapabilis at mapabagal ang pagkarga. Kung kukuha ka ng isang stiffer spring, pagkatapos ay ang paggalaw ay dapat na mas mabilis; at sa katunayan, ang panahon ay bumababa sa pagtaas ng spring constant.

Pansinin ngayon na ang panahon ng oscillation ng masa sa spring ay hindi nakasalalay sa kung paano magsisimula ang mga oscillation. Para sa tagsibol, tila walang malasakit kung gaano natin ito inaabot. Tinutukoy ng equation of motion (21.2) ang panahon ng oscillation, ngunit walang sinasabi tungkol sa amplitude ng oscillation. Siyempre, maaaring matukoy ang amplitude ng oscillation, at haharapin natin ito ngayon, ngunit para dito kinakailangan na itakda ang mga paunang kondisyon.

Ang punto ay hindi pa natin nahanap ang pinaka-pangkalahatang solusyon ng equation (21.2). Mayroong ilang mga uri ng mga solusyon. Ang solusyon ay tumutugma sa kaso kapag sa unang sandali ang tagsibol ay nakaunat at ang bilis nito ay katumbas ng zero. Maaari mong gawin ang spring move sa ibang paraan, halimbawa, sakupin ang sandali kapag ang balanseng spring ay nagpapahinga, at pindutin ang timbang nang husto; ito ay nangangahulugan na sa sandaling ang ilang bilis ay iniulat sa tagsibol. Ang ganitong paggalaw ay tumutugma sa isa pang solusyon (21.2) - ang cosine ay dapat mapalitan ng isang sine. Magtapon tayo ng isa pang bato sa cosine: kung - solusyon, pagkatapos, pagpasok sa silid kung saan umuugoy ang tagsibol, sa sandaling ito (tawagin natin itong ""), kapag ang timbang ay dumaan sa posisyon ng balanse, mapipilitan tayong palitan ito solusyon sa isa pa. Samakatuwid, hindi maaaring magkaroon ng isang pangkalahatang solusyon; dapat pahintulutan ng pangkalahatang solusyon, wika nga, ang paglilipat ng pinagmulan ng panahon. Ang ganitong pag-aari ay may, halimbawa, ang solusyon , kung saan ang ilang pare-pareho. Dagdag pa, ang isa ay maaaring mabulok na tinatawag na angular frequency; ay ang bilang ng mga radian kung saan nagbabago ang bahagi sa loob ng 1 segundo. Ito ay tinutukoy ng isang differential equation. Ang iba pang mga dami ay hindi tinutukoy ng equation, ngunit depende sa paunang kondisyon. Ang pare-pareho ay nagsisilbing sukatan ng pinakamataas na paglihis ng pagkarga at tinatawag na oscillation amplitude. Ang pare-pareho ay kung minsan ay tinatawag na yugto ng oscillation, ngunit maaaring may mga hindi pagkakaunawaan dito, dahil tinatawag ng iba ang yugto at sinasabi na ang yugto ay nakasalalay sa oras. Masasabi natin na - ito ay isang phase shift kumpara sa ilan, kinuha bilang zero. Huwag na tayong magtalo tungkol sa mga salita. Iba't ibang tumutugma sa mga paggalaw na may iba't ibang yugto. Ito ay totoo, ngunit kung tatawagin itong isang yugto o hindi ay isa pang tanong.

Mga pagtuklas sa quantum field at iba pang lugar. Kasabay nito, ang mga bagong aparato at aparato ay naimbento, kung saan posible na magsagawa ng iba't ibang mga pag-aaral at ipaliwanag ang mga phenomena ng microworld. Ang isa sa mga mekanismong ito ay ang harmonic oscillator, ang prinsipyo kung saan ay kilala kahit na ng mga kinatawan ng mga sinaunang sibilisasyon.

Ang aparato at ang mga uri nito

Ang isang harmonic oscillator ay isang mekanikal na sistema na gumagalaw, na inilalarawan ng isang kaugalian na may mga coefficient na pare-pareho ang halaga. Karamihan mga simpleng halimbawa tulad ng mga aparato - isang load sa isang spring, isang pendulum, acoustic system, ang paggalaw ng mga molekular na particle, atbp.

Conventionally, ang mga sumusunod na uri ng device na ito ay maaaring makilala:

Application ng Device

Ginagamit ang device na ito sa iba't ibang larangan, higit sa lahat upang pag-aralan ang likas na katangian ng mga oscillatory system. Ang quantum harmonic oscillator ay ginagamit upang pag-aralan ang pag-uugali ng mga elemento ng photon. Ang mga resulta ng mga eksperimento ay maaaring gamitin sa iba't ibang larangan. Kaya, natuklasan ng mga physicist mula sa American Institute na ang mga atomo ng beryllium, na matatagpuan sa medyo malalaking distansya mula sa isa't isa, ay maaaring makipag-ugnayan sa antas ng quantum. Kasabay nito, ang pag-uugali ng mga particle na ito ay katulad ng mga katawan (mga metal na bola) sa macrocosm, na gumagalaw sa isang forward-return order, katulad ng isang harmonic oscillator. Beryllium ions, sa kabila ng pagiging pisikal malalayong distansya, ipinagpalit ang pinakamaliit na yunit ng enerhiya (quanta). Ang pagtuklas na ito ay nagbibigay-daan sa makabuluhang pagsulong ng mga IT-teknolohiya, at nagbibigay din ng bagong solusyon sa paggawa ng mga kagamitan sa computer at electronics.

Ang harmonic oscillator ay ginagamit sa pagsusuri ng mga musikal na gawa. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na spectroscopic examination. Kasabay nito, natagpuan na ang pinaka-matatag na sistema ay isang komposisyon ng apat na musikero (isang quartet). At ang mga modernong gawa ay halos anharmonic.

HARMONIC OSCILLATIONS

Lektura 1

VASCULATION

VASCULATION. MGA AWAY. OPTIK

Ang oscillation ay isa sa mga pinakakaraniwang proseso sa kalikasan at teknolohiya. Ang pagbabagu-bago ay mga prosesong umuulit sa paglipas ng panahon. Ang mga matataas na gusali at mga wire na may mataas na boltahe ay umiikot sa ilalim ng impluwensya ng hangin, ang pendulum ng isang orasan ng sugat at isang kotse sa mga bukal sa panahon ng paggalaw, ang antas ng ilog sa panahon ng taon at ang temperatura ng katawan ng tao sa panahon ng sakit. Ang tunog ay pagbabagu-bago sa presyon ng hangin, ang mga radio wave ay pana-panahong pagbabago sa lakas ng elektrikal at magnetic field, liwanag din mga electromagnetic oscillations. Mga lindol - mga panginginig ng lupa, pag-agos at pag-agos - mga pagbabago sa antas ng mga dagat at karagatan na dulot ng pagkahumaling ng buwan, atbp.

Ang mga oscillations ay mekanikal, electromagnetic, chemical, thermodynamic, atbp. Sa kabila ng ganitong pagkakaiba-iba, ang lahat ng mga oscillations ay inilalarawan ng parehong mga differential equation.

Ang mga unang siyentipiko na nag-aral ng vibrations ay sina Galileo Galilei at Christian Huygens. Itinatag ni Galileo ang kalayaan ng panahon ng mga oscillation mula sa amplitude. Inimbento ni Huygens ang pendulum clock.

Anumang sistema na, kapag bahagyang wala sa balanse, patuloy na umuusad ay tinatawag na isang harmonic oscillator. Sa klasikal na pisika, ang mga naturang sistema ay isang mathematical pendulum sa loob ng maliliit na anggulo ng pagpapalihis, isang load sa loob ng maliliit na oscillation amplitudes, isang electrical circuit na binubuo ng linear capacitance at inductance elements.

Ang isang harmonic oscillator ay maaaring ituring na linear kung ang displacement mula sa posisyon ng equilibrium ay direktang proporsyonal sa puwersang nakakagambala. Ang dalas ng oscillation ng isang harmonic oscillator ay hindi nakasalalay sa amplitude. Para sa oscillator, ang prinsipyo ng superposisyon ay natutupad - kung maraming nakakagambalang pwersa ang kumilos, kung gayon ang epekto ng kanilang kabuuang pagkilos ay maaaring makuha bilang resulta ng pagdaragdag ng mga epekto mula sa aktibong pwersa magkahiwalay.

Ang mga Harmonic oscillations ay inilalarawan ng equation (Larawan 1.1.1)

(1.1.1)

saan X- pag-aalis ng oscillating value mula sa posisyon ng equilibrium, PERO– amplitude ng mga oscillations na katumbas ng halaga ng maximum displacement, - phase ng oscillations, na tumutukoy sa displacement sa oras , - initial phase, na tumutukoy sa magnitude ng displacement sa unang sandali ng oras, - cyclic frequency ng oscillations.

Ang oras ng isang kumpletong oscillation ay tinatawag na period, kung saan ang bilang ng mga oscillation na nakumpleto sa panahon.

Tinutukoy ng dalas ng oscillation ang bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras, nauugnay ito sa cyclic frequency ng ratio, pagkatapos ay ang panahon.

Ang bilis ng isang oscillating material point

acceleration

Kaya, ang bilis at acceleration ng harmonic oscillator ay nagbabago din ayon sa harmonic law na may amplitudes at ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, ang bilis ay nauuna sa phase displacement by , at acceleration - by (Fig. 1.1.2).

Mula sa isang paghahambing ng mga equation ng paggalaw ng isang harmonic oscillator (1.1.1) at (1.1.2) sinusundan nito na , o

ito differential equation Ang pangalawang order ay tinatawag na harmonic oscillator equation. Ang kanyang solusyon ay naglalaman ng dalawang constants a at , na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtatakda ng mga paunang kundisyon

Kung ang isang pana-panahong umuulit na proseso ay inilalarawan ng mga equation na hindi tumutugma sa (1.1.1), ito ay tinatawag na anharmonic. Ang isang sistema na nagsasagawa ng anharmonic oscillations ay tinatawag na anharmonic oscillator.

1.1.2 . Libreng oscillations ng mga system na may isang antas ng kalayaan. kumplikadong anyo representasyon ng harmonic vibrations

Sa kalikasan, napakakaraniwan ng maliliit na oscillations na ginagawa ng isang system malapit sa posisyon ng equilibrium nito. Kung ang isang sistema na kinuha mula sa balanse ay naiwan sa sarili, iyon ay, ang mga panlabas na puwersa ay hindi kumikilos dito, kung gayon ang gayong sistema ay gagawa ng mga libreng undamped oscillations. Isaalang-alang ang isang sistema na may isang antas ng kalayaan.

Ang isang matatag na ekwilibriyo ay tumutugma sa isang posisyon ng sistema kung saan ang potensyal na enerhiya nito ay may pinakamababa ( q ay ang pangkalahatang coordinate ng system). Ang paglihis ng sistema mula sa posisyon ng ekwilibriyo ay humahantong sa paglitaw ng isang puwersa na may posibilidad na ibalik ang sistema. Tinutukoy namin ang halaga ng pangkalahatang coordinate na naaayon sa posisyon ng balanse, pagkatapos ay ang paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo

Bibilangin natin ang potensyal na enerhiya mula sa pinakamababang halaga. Kunin natin ang resultang function, palawakin ito sa isang serye ng Maclaurin at iwanan ang unang termino ng pagpapalawak, mayroon tayong: o

VASCULATION. MGA AWAY. OPTIK

VASCULATION

Lektura 1

HARMONIC OSCILLATIONS

Tamang-tama harmonic oscillator. Ang equation perpektong osileytor at ang kanyang desisyon. Amplitude, dalas at yugto ng mga oscillation

Ang oscillation ay isa sa mga pinakakaraniwang proseso sa kalikasan at teknolohiya. Ang pagbabagu-bago ay mga prosesong umuulit sa paglipas ng panahon. Ang mga matataas na gusali at mga wire na may mataas na boltahe ay umiikot sa ilalim ng impluwensya ng hangin, ang pendulum ng isang orasan ng sugat at isang kotse sa mga bukal sa panahon ng paggalaw, ang antas ng ilog sa panahon ng taon at ang temperatura ng katawan ng tao sa panahon ng sakit. Ang tunog ay pagbabagu-bago sa presyon ng hangin, ang mga radio wave ay pana-panahong pagbabago sa lakas ng electric at magnetic field, ang ilaw ay electromagnetic vibrations din. Mga lindol - mga panginginig ng lupa, pag-agos at pag-agos - mga pagbabago sa antas ng mga dagat at karagatan na dulot ng pagkahumaling ng buwan, atbp.

Ang isang harmonic oscillator ay maaaring ituring na linear kung ang displacement mula sa posisyon ng equilibrium ay direktang proporsyonal sa puwersang nakakagambala. Ang dalas ng oscillation ng isang harmonic oscillator ay hindi nakasalalay sa amplitude. Para sa oscillator, ang prinsipyo ng superposisyon ay natutupad - kung ang ilang mga nakakagambalang pwersa ay kumilos, kung gayon ang epekto ng kanilang kabuuang pagkilos ay maaaring makuha bilang isang resulta ng pagdaragdag ng mga epekto ng mga kumikilos na pwersa nang hiwalay.

Ang mga Harmonic oscillations ay inilalarawan ng equation (Larawan 1.1.1)

(1.1.1)

Ang oras ng isang kumpletong oscillation ay tinatawag na period, kung saan ang bilang ng mga oscillation na nakumpleto sa panahon.

Tinutukoy ng dalas ng oscillation ang bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras, nauugnay ito sa cyclic frequency ng ratio, pagkatapos ay ang panahon.

Ang bilis ng isang oscillating material point

acceleration

Mula sa isang paghahambing ng mga equation ng paggalaw ng isang harmonic oscillator (1.1.1) at (1.1.2) sinusundan nito na , o

Ang second-order differential equation na ito ay tinatawag na harmonic oscillator equation. Ang kanyang solusyon ay naglalaman ng dalawang constants a at , na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtatakda ng mga paunang kundisyon

1.1.2 . Libreng oscillations ng mga system na may isang antas ng kalayaan. Kumplikadong anyo ng representasyon ng mga harmonic oscillations

saan . Pagkatapos, isinasaalang-alang ang ipinakilala na notasyon:

, (1.1.4)

Isinasaalang-alang ang expression (1.1.4) para sa puwersang kumikilos sa system, nakukuha namin ang:

Ayon sa pangalawang batas ni Newton, ang equation ng paggalaw ng sistema ay may anyo:

Ang expression (1.1.5) ay tumutugma sa equation (1.1.3) ng libreng harmonic oscillations, sa kondisyon na

at may dalawang independiyenteng solusyon: at , kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Mula sa formula (1.1.6) sumusunod na ang dalas ay tinutukoy lamang ng mga intrinsic na katangian ng mekanikal na sistema at hindi nakasalalay sa amplitude at sa mga paunang kondisyon ng paggalaw.

Ang pag-asa ng coordinate ng oscillating system sa oras ay maaaring matukoy bilang ang tunay na bahagi ng kumplikadong expression , saan A=Xe-iα ay isang kumplikadong amplitude, ang modulus nito ay tumutugma sa karaniwang amplitude, at ang argumento nito ay tumutugma sa paunang yugto.

1.1.3 . Mga halimbawa ng oscillatory motions ng iba't ibang pisikal na kalikasan

Pagbabago ng pagkarga sa tagsibol

Isaalang-alang ang mga oscillations ng isang load sa isang spring, sa kondisyon na ang spring ay hindi deformed na lampas sa mga limitasyon ng elasticity. Ipapakita namin na ang gayong pagkarga ay magsasagawa ng mga harmonic oscillations na may kaugnayan sa posisyon ng equilibrium (Larawan 1.1.3). Sa katunayan, ayon sa batas ni Hooke, ang isang compressed o stretched spring ay lumilikha ng isang harmonic force:

saan - koepisyent ng paninigas ng tagsibol, ay ang coordinate ng posisyon ng ekwilibriyo, X ay ang coordinate ng load (materyal point) sa sandali ng oras , ay ang displacement mula sa equilibrium na posisyon.

Ilagay natin ang pinagmulan ng coordinate sa posisyon ng ekwilibriyo ng sistema. Sa kasong ito.

Kung ang tagsibol ay nakaunat ng X, pagkatapos ay ilabas sa oras t=0, pagkatapos ay ang equation ng paggalaw ng load ayon sa pangalawang batas ni Newton ay kukuha ng anyo -kx=ma, o , at

(1.1.6)

Ang equation na ito ay tumutugma sa anyo sa equation ng paggalaw (1.1.3) ng isang sistema na nagsasagawa ng mga harmonic oscillations, hahanapin natin ang solusyon nito sa anyo:

. (1.1.7)

Pinapalitan namin ang (1.17) sa (1.1.6), mayroon kaming: ibig sabihin, ang expression (1.1.7) ay isang solusyon sa equation (1.1.6) kung iyan

Kung sa paunang sandali ng oras ang posisyon ng pagkarga ay di-makatwiran, kung gayon ang equation ng paggalaw ay kukuha ng anyo:

Isaalang-alang natin kung paano nagbabago ang enerhiya ng pag-load, na gumagawa ng mga harmonic oscillations sa kawalan ng mga panlabas na puwersa (Larawan 1.14). Kung sa panahon t=0 ipadala ang offset sa cargo x=A, kung gayon ang kabuuang enerhiya nito ay magiging katumbas ng potensyal na enerhiya ng deformed spring, kinetic energy katumbas ng zero (punto 1).

Sapilitang kumilos sa pagkarga F= -kx, na naghahangad na ibalik ito sa posisyon ng balanse, kaya ang pagkarga ay gumagalaw nang may pagbilis at pinatataas ang bilis nito, at, dahil dito, ang kinetic energy nito. Binabawasan ng puwersang ito ang displacement ng load X, bumababa ang potensyal na enerhiya ng load, nagiging kinetic. Ang sistema ng "load - spring" ay sarado, kaya ang kabuuang enerhiya nito ay natipid, iyon ay:

. (1.1.8)

Sa sandali ng oras, ang load ay nasa equilibrium (punto 2), ang potensyal na enerhiya nito ay zero, at ang kinetic energy nito ay pinakamataas. Nahanap namin ang maximum na bilis ng pagkarga mula sa batas ng konserbasyon ng enerhiya (1.1.8):

Dahil sa stock ng kinetic energy, gumagana ang load laban sa elastic force – at dumadaan sa posisyon ng ekwilibriyo. Ang kinetic energy ay unti-unting nagiging potensyal. Kapag ang load ay may pinakamataas na negatibong displacement - PERO, kinetic energy wk=0, huminto ang load at magsisimulang lumipat sa equilibrium na posisyon sa ilalim ng pagkilos ng isang elastic force F= -kx. Ang karagdagang paggalaw ay katulad.

Mga palawit

Ang pendulum ay isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming punto o axis sa ilalim ng pagkilos ng gravity. Mayroong pisikal at mathematical na mga pendulum.

Ang mathematical pendulum ay isang idealized na sistema na binubuo ng isang walang timbang na inextensible thread kung saan ang isang mass concentrated sa isang materyal na punto ay sinuspinde.

Ang isang mathematical pendulum, halimbawa, ay isang bola sa isang mahabang manipis na sinulid.

Ang paglihis ng pendulum mula sa posisyon ng balanse ay nailalarawan sa pamamagitan ng anggulo φ , na bumubuo ng isang thread na may vertical (Larawan 1.15). Kapag ang pendulum ay lumihis mula sa posisyon ng balanse, isang sandali ng mga panlabas na puwersa (gravity) ang lumitaw: , saan m- timbang, - haba ng pendulum

Ang sandaling ito ay may posibilidad na ibalik ang pendulum sa posisyon ng ekwilibriyo (katulad ng quasi-elastic force) at nakadirekta sa tapat ng displacement φ , kaya may minus sign sa formula.

Equation ng dynamics umiinog na paggalaw para sa isang pendulum ay may anyo: Iε=,

Isasaalang-alang namin ang kaso ng maliliit na pagbabagu-bago, samakatuwid kasalanan φ ≈φ, magpakilala ,

meron kami: , o , at sa wakas

Ito ang equation ng harmonic oscillations, ang solusyon nito:

Ang dalas ng oscillation ng isang mathematical pendulum ay tinutukoy lamang ng haba nito at ang acceleration ng gravity, at hindi nakadepende sa masa ng pendulum. Ang panahon ay:

Kung ang oscillating body ay hindi maaaring kinakatawan bilang isang materyal na punto, kung gayon ang pendulum ay tinatawag na pisikal (Larawan 1.1.6). Isinulat namin ang equation ng paggalaw nito sa anyo:

Sa kaso ng maliliit na pagbabagu-bago , o =0 , saan . Ito ang equation ng paggalaw ng isang katawan na nagsasagawa ng mga harmonic oscillations. Ang dalas ng oscillation ng isang pisikal na pendulum ay nakasalalay sa masa, haba at sandali ng pagkawalang-galaw nito tungkol sa axis na dumadaan sa suspension point.

Tukuyin natin ang . Halaga ay tinatawag na pinababang haba ng pisikal na pendulum. Ito ang haba ng isang mathematical pendulum na ang panahon ng oscillation ay tumutugma sa panahon ng isang pisikal na pendulum. Ang isang punto sa isang tuwid na linya na nagkokonekta sa punto ng suspensyon sa gitna ng masa, na nakahiga sa layo ng pinababang haba mula sa axis ng pag-ikot, ay tinatawag na sentro ng swing ng isang pisikal na pendulum ( O'). Kung ang pendulum ay nasuspinde sa gitna ng swing, ang pinababang haba at panahon ng oscillation ay magiging kapareho ng sa punto O. Kaya, ang suspension point at ang swing center ay may mga katangian ng reciprocity: kapag ang suspension point ay inilipat sa swing center, ang lumang suspension point ay nagiging bagong swing center.

Ang isang mathematical pendulum na umiindayog na may parehong panahon ng pisikal na isa na isinasaalang-alang ay tinatawag na isochronous sa ibinigay na pisikal na pendulum.

1.1.4. Pagdaragdag ng mga vibrations (beats, Lissajous figure). Vector paglalarawan ng vibration karagdagan

Ang pagdaragdag ng pantay na direksyon na mga oscillations ay maaaring isagawa gamit ang paraan ng mga diagram ng vector. Ang anumang harmonic oscillation ay maaaring ilarawan bilang isang vector tulad ng sumusunod. Pumili tayo ng isang axis X na may pinanggalingan sa punto O(fig.1.1.7)

Mula sa isang punto O bumuo ng isang vector na bumubuo sa anggulo may ehe X. Hayaang umikot ang vector na ito nang may angular na bilis . Projection ng isang vector papunta sa isang axis X ay katumbas ng:

ibig sabihin, nagsasagawa ito ng mga harmonic oscillations na may amplitude a.

Isaalang-alang ang dalawang harmonic oscillations ng parehong direksyon at ang parehong cyclic maliit, na ibinigay ng mga vectors at . Nag-offset sa kahabaan ng axis X ay pantay:

ang nagresultang vector ay may projection at kumakatawan sa nagresultang oscillation (Fig. 1.1.8), ayon sa cosine theorem Kaya, ang pagdaragdag ng mga harmonic oscillations ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga vectors.

Isagawa natin ang pagdaragdag ng magkabilang patayo na mga oscillations. Hayaang ang materyal na punto ay gumawa ng dalawang magkaparehong patayong oscillations na may dalas:

Ang materyal na punto mismo ay lilipat sa ilang curvilinear trajectory.

Mula sa equation ng paggalaw ay sumusunod: ,

. (1.1.9)

Mula sa equation (1.1.9) maaari mong makuha ang ellipse equation (Fig.1.1.9):

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso ng equation na ito:

1. Pagkakaiba ng bahagi ng oscillation α= 0. Kasabay nito mga. o Ito ang equation ng isang tuwid na linya, at ang nagresultang oscillation ay nangyayari sa tuwid na linyang ito na may amplitude (Larawan 1.1.10).

ang acceleration nito ay katumbas ng pangalawang derivative ng displacement na may paggalang sa oras pagkatapos ay ang puwersa na kumikilos sa oscillating point, ayon sa ikalawang batas ni Newton, ay katumbas ng

Ibig sabihin, proporsyonal ang puwersa sa displacement X at nakadirekta laban sa displacement sa equilibrium na posisyon. Ang puwersang ito ay tinatawag na puwersang nagpapanumbalik. Sa kaso ng isang load sa isang spring, ang pagpapanumbalik na puwersa ay ang nababanat na puwersa, sa kaso ng isang mathematical pendulum, ito ay ang bahagi ng gravity.

Ang likas na puwersa ng pagpapanumbalik ay sumusunod sa batas ni Hooke F= -kx, saan

ay ang koepisyent ng puwersang nagpapanumbalik. Kung gayon ang potensyal na enerhiya ng oscillating point ay:

(ang integration constant ay pinili katumbas ng zero, upang kapag X).

Anharmonic Oscillator