Hvis du bare var ute etter Simpson-metoden på denne siden, anbefaler jeg på det sterkeste at du først leser begynnelsen av leksjonen og ser minst det første eksemplet. Av den grunn at mange ideer og teknikker vil ligne på trapesmetoden.
Igjen, la oss starte med den generelle formelen
Tenk på det bestemte integralet, hvor er en funksjon kontinuerlig på segmentet. La oss dele segmentet inn i til og med beløp lik segmenter. Et partall av segmenter er angitt med .
I praksis kan segmenter være:
to:
fire:
åtte:
ti:
tjue:
Jeg husker ingen andre alternativer.
Merk følgende! Tall forstås som ETT NUMMER. Det er, DET ER FORBUDT redusere for eksempel med to, få . Innspilling bare betyr at antall segmenter jevnt. Og det er ingen kutt å snakke om.
Så partisjonen vår ser slik ut:
Begrepene ligner på de for trapesmetoden:
Prikker kalles knuter.
Simpson formel for den omtrentlige beregningen av det bestemte integralet har følgende form:
hvor:
- lengden på hvert av de små segmentene eller steg;
er verdiene til integranden ved punktene.
Med detaljer om denne opphopningen vil jeg analysere formelen mer detaljert:
er summen av den første og siste verdien av integranden;
er summen av medlemmer med til og med indekser multiplisert med 2;
er summen av medlemmer med merkelig indeksen multipliseres med 4.
Eksempel 4
Beregn det omtrentlige integralet ved å bruke Simpsons formel til nærmeste 0,001. Delingsstart med to segmenter 
Integralet er forresten igjen ikke tatt.
Løsning: Jeg trekker umiddelbart oppmerksomheten til typen oppgave - det er nødvendig å beregne en bestemt integral med en viss nøyaktighet. Hva dette betyr er allerede kommentert i begynnelsen av artikkelen, samt konkrete eksempler fra forrige avsnitt. Når det gjelder den trapesformede metoden, er det en formel som umiddelbart lar deg bestemme det nødvendige antallet segmenter (verdien av "en") for å garantere den nødvendige nøyaktigheten. Det er sant at vi må finne den fjerde deriverte og løse det ekstreme problemet. Som skjønte hva jeg mener og estimerte arbeidsmengden, smilte han. Det er imidlertid ingen latter her, å finne den fjerde deriverten av en slik integrand vil ikke lenger være en megabotan, men en klinisk psykopat. Derfor brukes i praksis nesten alltid en forenklet metode for å estimere feilen.
Vi begynner å bestemme oss. Hvis vi har to partisjonssegmenter, vil nodene være det en til: . Og Simpsons formel har en veldig kompakt form: 
La oss beregne partisjonstrinnet: 
La oss fylle ut beregningstabellen:
Nok en gang kommenterer jeg hvordan tabellen er fylt:
I den øverste linjen skriver vi "telleren" av indekser
I den andre linjen skriver vi først den nedre grensen for integrasjon, og legger deretter til trinnet.
I den tredje linjen legger vi inn verdiene til integranden. For eksempel hvis , da . Hvor mange desimaler skal du legge igjen? Faktisk sier tilstanden igjen ingenting om dette. Prinsippet er det samme som i trapesmetoden, vi ser på nødvendig nøyaktighet: 0,001. Og legg til ytterligere 2-3 sifre. Det vil si at du må runde opp til 5-6 desimaler.
Som et resultat:
Det første resultatet er oppnådd. Nå dobbelt antall segmenter opptil fire: . Simpsons formel for denne partisjonen har følgende form:
La oss beregne partisjonstrinnet: 
La oss fylle ut beregningstabellen: 
På denne måten:
Vi anslår feilen:
Feilen er større enn den nødvendige nøyaktigheten: 
, så du må doble antall segmenter igjen: .
Simpsons formel vokser med stormskritt:
La oss beregne trinnet: 
La oss fylle ut regnearket igjen:
På denne måten: 
Merk at her er det ønskelig å beskrive beregningene mer detaljert, siden Simpsons formel er ganske tungvint, og hvis du umiddelbart dunker:
, så vil denne spriten se ut som et hack. Og med et mer detaljert opptak vil læreren få det gunstige inntrykk av at du samvittighetsfullt slettet tastene til mikrokalkulatoren i en god time. Detaljerte beregninger for "harde" saker finnes i min kalkulator.
Vi anslår feilen:
Feilen er mindre enn den nødvendige nøyaktigheten: 
. Det gjenstår å ta den mest nøyaktige tilnærmingen, runde den opp til tre desimaler og skrive:
Svar: 
nøyaktig til 0,001
Eksempel 5
Beregn et omtrentlig integral ved å bruke Simpsons formel til nærmeste 0,0001. Delingsstart med to segmenter 
Dette er et gjør-det-selv eksempel. Et omtrentlig eksempel på en endelig "kort" utforming av løsningen og svaret på slutten av leksjonen.
I den siste delen av leksjonen vil vi vurdere et par mer vanlige eksempler.
Eksempel 6
Beregn den omtrentlige verdien av et bestemt integral 
ved å bruke Simpson-formelen, og dele integreringssegmentet inn i 10 deler. Beregningsnøyaktighet 0,001.
Denne integralen er tatt, men det er ikke så lett for en nybegynner å knekke det, den tilsvarende løsningsmetoden vurderes i eksempel 5 i leksjonen Komplekse integraler. I problemer med omtrentlig beregning, trenger ikke integralet nødvendigvis være ubenyttet! Nysgjerrige elever kan beregne det nøyaktig og estimere feilen i forhold til den omtrentlige verdien.
Løsning: Vær oppmerksom på ordlyden i oppgaven: "Nøyaktigheten av beregninger er 0,001." Den semantiske nyansen til denne formuleringen antyder at resultatene bare trenger å avrundes til tredje desimal, og ikke oppnå en slik nøyaktighet. Derfor, når du blir bedt om å løse et problem på trapesmetoden, Simpson-metoden, alltid vær nøye med vilkårene! Hastverk, som du vet, er nødvendig når du jakter på lopper.
Vi bruker Simpson-formelen:
Med ti divisjonssegmenter er trinnet 
La oss fylle ut beregningstabellen: 
Det er mer rasjonelt å gjøre bordet to-etasjes slik at du ikke trenger å "krympe" og alt passer leselig på et notatbokark.
Beregninger, ikke vær lat, mal mer detaljert: 
Svar: 
Og nok en gang understreker jeg at det ikke er snakk om nøyaktighet her. Faktisk er svaret kanskje ikke, men relativt sett . I denne forbindelse, i svaret, er det ikke nødvendig å automatisk tilskrive "plikt"-endelsen: "med en nøyaktighet på 0,001"
Eksempel 7
Beregn den omtrentlige verdien av det bestemte integralet ved å bruke Simpsons formel, og del integrasjonssegmentet i 10 deler. Alle beregninger skal utføres med tredje desimal.
En grov versjon av det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen som tok slutt.
Andre metoder brukes også for omtrentlig beregning av et bestemt integral. Spesielt teorien kraftserie med en standardoppgave Omtrentlig beregning av et bestemt integral ved å utvide integranden til en serie. Men dette er materialet til det andre kurset.
Og nå er det på tide å avsløre den forferdelige hemmeligheten til integralregning. Jeg har allerede laget mer enn et dusin leksjoner om integraler, og dette er så å si en teori og en klassiker om emnet. I praksis, spesielt i tekniske beregninger, for å bringe objekter nærmere virkelige verden nesten umulig med standard matematiske funksjoner. Umulig perfekt akkurat beregne, areal, volum, tetthet, for eksempel asfaltdekke. Feil, la det være fra tiendedelen, la det være fra hundredels desimal - men det vil fortsatt være. Det er derfor hundrevis av tunge klosser er skrevet ved hjelp av omtrentlige beregningsmetoder og seriøs programvare for omtrentlige beregninger er laget. Den klassiske teorien om integralregning brukes faktisk mye sjeldnere. Men, forresten, uten det - heller ingen steder!
Denne leksjonen er ikke rekord når det gjelder volum, men det tok meg uvanlig lang tid å lage den. Jeg korrigerte materialet og omarbeidet strukturen til artikkelen flere ganger, da nye nyanser og finesser stadig ble tegnet. Jeg håper arbeidet ikke var forgjeves, og det viste seg ganske logisk og tilgjengelig.
Beste ønsker!
Løsninger og svar:
Eksempel 3:Løsning:
Vi deler integrasjonssegmentet inn i 4 deler:
Deretter har trapesformelen følgende form:
La oss beregne trinnet: 
La oss fylle ut beregningstabellen:
For å finne et bestemt integral ved hjelp av trapesmetoden, er arealet til en krumlinjeformet trapes også delt inn i n rektangulære trapeser med høydene h og baser y 1, y 2, y 3,..y n, hvor n er tallet på rektangulær trapes. Integralet vil være numerisk lik summen av arealene til rektangulære trapeser (Figur 4).
Ris. fire
n - antall splitter
Feilen til trapesformelen estimeres ved tallet
Feilen til trapesformelen avtar raskere med vekst enn feilen til rektangelformelen. Derfor lar trapesformelen deg få mer nøyaktighet enn rektangelmetoden.
Simpson formel
Hvis vi for hvert par av segmenter konstruerer et polynom av andre grad, så integrerer det på segmentet og bruker additivitetsegenskapen til integralet, får vi Simpson-formelen.
I Simpsons metode for å beregne det bestemte integralet er hele integrasjonsintervallet delt inn i delintervaller lik lengde h=(b-a)/n. Antall partisjonssegmenter er et partall. Deretter, på hvert par av tilstøtende delintervaller, erstattes subintegralfunksjonen f(x) med et Lagrange-polynom av andre grad (Figur 5).
Ris. 5 Funksjonen y=f(x) på segmentet erstattes av et 2. ordens polynom
Tenk på integranden på intervallet. La oss erstatte denne integranden med et andregrads Lagrange-interpolasjonspolynom som sammenfaller med y= ved punktene:
La oss integrere på intervallet:
Vi introduserer en endring av variabler:
Gitt erstatningsformlene,
Etter integrering får vi Simpson-formelen:
Verdien som er oppnådd for integralet faller sammen med arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av en akse, rette linjer og en parabel som går gjennom punkter. På et segment vil Simpsons formel se slik ut:
I parabelformelen har verdien av funksjonen f (x) ved oddetallspunkter x 1, x 3, ..., x 2n-1 en koeffisient på 4, ved partallspunkter x 2, x 4, ... , x 2n-2 - koeffisient 2 og ved to grensepunkter x 0 =a, x n =b - koeffisient 1.
Den geometriske betydningen av Simpsons formel: arealet av en krumlinjet trapes under grafen til funksjonen f(x) på et segment er omtrent erstattet av summen av arealene til figurene som ligger under parablene.
Hvis funksjonen f(x) har en kontinuerlig derivert av fjerde orden, så er den absolutte verdien av feilen i Simpson-formelen ikke mer enn
hvor M - høyeste verdi på segmentet. Siden n 4 vokser raskere enn n 2, avtar feilen i Simpsons formel med økende n mye raskere enn feilen i trapesformelen.
Vi beregner integralet
Dette integralet er enkelt å beregne:
La oss ta n lik 10, h=0,1, beregne verdiene til integranden ved partisjonspunktene, så vel som halvheltallspunkter.
I henhold til formelen for midtre rektangler får vi I rett = 0,785606 (feilen er 0,027%), i henhold til trapesformelen I felle = 0,784981 (feilen er ca. 0,054. Ved bruk av metoden for høyre og venstre rektangler, er feilen er mer enn 3 %.
For å sammenligne nøyaktigheten til de omtrentlige formlene, beregner vi nok en gang integralet
men nå etter Simpson-formelen for n=4. Vi deler segmentet i fire like deler med poeng x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 og beregner omtrent verdiene av funksjonen f (x) \u003d 1 / ( 1+x) på disse punktene: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.
Ved Simpsons formel får vi
La oss estimere feilen til det oppnådde resultatet. For integranden f(x)=1/(1+x) har vi: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , hvorav det følger at på segmentet . Derfor kan vi ta M=24, og resultatfeilen overstiger ikke 24/(2880 4 4)=0,0004. Ved å sammenligne den omtrentlige verdien med den eksakte, konkluderer vi med at den absolutte feilen for resultatet oppnådd med Simpson-formelen er mindre enn 0,00011. Dette er i samsvar med feilestimatet gitt ovenfor og indikerer i tillegg at Simpson-formelen er mye mer nøyaktig enn trapesformelen. Derfor brukes Simpson-formelen for omtrentlig beregning av bestemte integraler oftere enn trapesformelen.
I denne metoden foreslås det å tilnærme integranden på et delintervall ved at en parabel passerer gjennom punktene
(x j, f(x j)), hvor j = Jeg-1; Jeg-0.5; Jeg, det vil si at vi tilnærmer integranden ved Lagrange-interpolasjonspolynomet av andre grad:
(10.14)
Etter integrering får vi:
(10.15)
Det er det det er simpsons formel
eller formelen til parabler. På segmentet
[a, b] Simpsons formel tar formen
(10.16)
En grafisk fremstilling av Simpsons metode er vist i fig. 2.4.
Ris. 10.4. Simpson-metoden
La oss bli kvitt brøkindekser i uttrykk (2.16) ved å gi nytt navn til variablene:
(10.17)
Så tar Simpsons formel formen
(10.18)
Feilen i formel (2.18) estimeres ved følgende uttrykk:
, (10.19)
hvor h n = b-a, 
. Dermed er feilen i Simpsons formel proporsjonal med
O(h 4).
Kommentar. Det skal bemerkes at i Simpson-formelen er integrasjonssegmentet nødvendigvis delt inn i til og med antall intervaller.
10.5. Beregning av bestemte integraler ved hjelp av metoder
Monte Carlo
De tidligere omtalte metodene kalles deterministisk , altså blottet for tilfeldighetselementet.
Monte Carlo metoder(MMK) er numeriske metoder for å løse matematiske problemer ved hjelp av simulering tilfeldige variabler. MCM lar deg løse matematiske problemer forårsaket av sannsynlighetsprosesser. Dessuten, når man løser problemer som ikke er relatert til noen sannsynligheter, kan man kunstig komme opp med en sannsynlighetsmodell (og enda mer enn én) som tillater å løse disse problemene. Vurder beregningen av det bestemte integralet
(10.20)
Når du beregner dette integralet ved å bruke formelen for rektangler, vil intervallet [ a, b] dele inn i N identiske intervaller, i midten av hvilke verdiene til integranden ble beregnet. Ved å beregne funksjonsverdiene ved tilfeldige noder, kan du få et mer nøyaktig resultat:
(10.21)
(10.22)
Her er γ i et tilfeldig tall jevnt fordelt over intervallet
. Feilen ved beregning av MMK-integralet ~ , som er mye større enn den for de tidligere studerte deterministiske metodene.
På fig. 2.5 viser en grafisk implementering av Monte Carlo-metoden for å beregne et enkelt integral med tilfeldige noder (2.21) og (2.22).
(2.23)
Ris. 10.6. Monte Carlo-integrasjon (2. tilfelle)
Som vist i fig. 2.6, ligger integralkurven i enhetskvadratet, og hvis vi kan få par med tilfeldige tall jevnt fordelt over intervallet, kan de oppnådde verdiene (γ 1, γ 2) tolkes som koordinatene til et punkt i enhet kvadrat. Så, hvis det er nok av disse tallparene, kan vi omtrent anta det
. Her S er antall punkter som faller under kurven, og N er det totale antallet tallpar.
Eksempel 2.1. Regn ut følgende integral:
Oppgaven ble løst ulike metoder. De oppnådde resultatene er oppsummert i tabell. 2.1.
Tabell 2.1
Kommentar. Valget av tabellintegralet tillot oss å sammenligne feilen til hver metode og finne ut hvilken innflytelse antallet partisjoner har på nøyaktigheten av beregningene.
11 OMTRENTLIG LØSNING AV IKKELINEÆR
OG TRANSCENDENT LIGNINGER
Beregning av integraler ved hjelp av formlene for rektangler, trapeser og Simpsons formel. Beregning av feil.
Retningslinjer om emne 4.1:
Beregning av integraler ved formler for rektangler. Feilanslag:
Løsningen av mange tekniske problemer er redusert til beregningen av visse integraler, hvis eksakte uttrykk er vanskelig, krever lange beregninger og ikke alltid er berettiget i praksis. Her er deres omtrentlige verdi ganske tilstrekkelig. For eksempel må du beregne arealet avgrenset av en linje hvis ligning er ukjent, aksen X og to ordinater. I dette tilfellet kan du erstatte denne linjen med en enklere, som ligningen er kjent for. Arealet til den krumlinjede trapesen som er oppnådd på denne måten, tas som den omtrentlige verdien av det ønskede integralet. Geometrisk er ideen bak metoden for å beregne det bestemte integralet ved hjelp av formelen for rektangler at arealet til en krumlinjet trapes A 1 ABB 1 erstattes av arealet av et rektangel med lik areal A 1 A 2 B 1 B 2, som ifølge middelverdisetningen er lik
Hvor f(c) --- høyde rektangel A 1 A 2 B 1 B 2, som er verdien av integranden på et mellomliggende punkt c(a< c
Det er praktisk talt vanskelig å finne en slik verdi Med, ved hvilken (b-a)f(c) ville være nøyaktig lik . For å oppnå en mer nøyaktig verdi, er området til en krumlinjet trapes delt inn i n rektangler med samme høyde y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 og stiftelser.
Hvis vi oppsummerer områdene av rektangler som dekker arealet til en krumlinjet trapes med en ulempe, er funksjonen ikke-avtagende, i stedet for formelen brukes formelen
Hvis i overkant, da
Verdier er funnet fra likheter. Disse formlene kalles rektangelformler og gi et omtrentlig resultat. Med økningen n resultatet blir mer nøyaktig.
Eksempel 1 . Regn ut fra formelen for rektangler
Vi deler integrasjonsintervallet inn i 5 deler. Deretter . Ved hjelp av en kalkulator eller en tabell finner vi verdiene til integranden (med en nøyaktighet på 4 desimaler):
I henhold til formelen for rektangler (med en ulempe)
På den annen side, ifølge Newton-Leibniz-formelen
La oss finne den relative regnefeilen ved å bruke formelen for rektangler:
Beregning av integraler med trapesformler. Feilanslag:
Den geometriske betydningen av følgende metode for omtrentlig beregning av integraler er å finne arealet til en omtrent like stor "rettlinjet" trapes.
La det være nødvendig å beregne arealet A 1 AmBB 1 krumlinjet trapes, uttrykt med formelen .
La oss bytte ut buen AmB akkord AB og i stedet for området til en krumlinjet trapes A 1 AmBB 1 beregne arealet til trapesen A 1 ABB 1: 
, hvor AA 1 og BB 1 - bunnen av trapesen, og A 1 B 1 er høyden.
Betegn f(a)=A 1 A, f(b)=B 1 B. trapeshøyde A 1 B 1 \u003d b-a, torget 
. Følgelig 
eller
Dette såkalte liten trapesformel.
Problemet oppstår med den numeriske beregningen av et bestemt integral, som løses ved hjelp av formler kalt kvadratur.
Husk de enkleste formlene for numerisk integrasjon.
La oss beregne den omtrentlige numeriske verdien av . Vi deler integrasjonsintervallet [а, b] i n like deler ved å dele poeng 
, kalt noder av kvadraturformelen. La verdiene i nodene være kjent 
:
Verdi 
kalles integrasjonsintervallet eller trinnet. Legg merke til at i praksisen med -beregninger er tallet i valgt lite, vanligvis er det ikke mer enn 10-20. På et delintervall 
integranden erstattes av interpolasjonspolynomet
som omtrent representerer funksjonen f(x) på intervallet som vurderes.
a) Behold da bare ett første ledd i interpolasjonspolynomet
Den resulterende kvadratiske formelen
kalt formelen for rektangler.
b) Behold deretter de to første leddene i interpolasjonspolynomet
(2)
Formel (2) kalles trapesformelen.
c) Integrasjonsintervall 
vi deler inn i et partall på 2n like deler, mens integrasjonstrinnet h vil være lik 
. På intervallet 
med lengde 2h, erstatter vi integranden med et interpolasjonspolynom av andre grad, dvs. vi beholder de tre første leddene i polynomet:
Den resulterende kvadraturformelen kalles Simpsons formel
(3)
Formler (1), (2) og (3) har en enkel geometrisk betydning. I formelen for rektangler er integranden f(x) på intervallet 
erstattes av et rett linjesegment y \u003d uk, parallelt med x-aksen, og i trapesformelen - av et rett linjesegment 
og arealet til henholdsvis et rektangel og et rettlinjet trapes beregnes, som deretter summeres. I Simpsons formel er funksjonen f(x) på intervallet 
lengde 2h erstattes av et kvadratisk trinomium - en parabel 
arealet til en krumlinjet parabolsk trapes beregnes, deretter summeres arealene.
KONKLUSJON
Avslutningsvis vil jeg merke meg en rekke funksjoner ved anvendelsen av metodene diskutert ovenfor. Hver metode for omtrentlig løsning av et bestemt integral har sine fordeler og ulemper, avhengig av oppgaven, bør spesifikke metoder brukes.
Variabel substitusjonsmetode er en av hovedmetodene for å beregne ubestemte integraler. Selv når vi integrerer med en annen metode, må vi ofte ty til en endring av variabler i mellomberegninger. Suksessen til integrasjonen avhenger i stor grad av om vi kan finne en så god endring av variabler som vil forenkle det gitte integralet.
I hovedsak går studiet av integreringsmetoder ned på å finne ut hva slags endring av variabel som bør gjøres for en eller annen form av integranden.
På denne måten, integrering av hver rasjonell brøkdel reduserer til å integrere et polynom og noen få enkle brøker.
Integralet til enhver rasjonell funksjon kan uttrykkes i form av elementære funksjoner i den endelige formen, nemlig:
gjennom logaritmer - i tilfeller av de enkleste brøkene av type 1;
gjennom rasjonelle funksjoner - når det gjelder enkle brøker av type 2
gjennom logaritmer og arctangenser - når det gjelder enkle brøker av type 3
gjennom rasjonelle funksjoner og arctangenser - når det gjelder de enkleste brøkene av type 4. Den universelle trigonometriske substitusjonen rasjonaliserer alltid integranden, men ofte fører den til svært tungvinte rasjonelle brøker, som spesielt er praktisk talt umulig å finne røttene til nevneren. Derfor, hvis mulig, brukes partielle substitusjoner, som også rasjonaliserer integranden og fører til mindre komplekse fraksjoner.
Newton–Leibniz formel er en generell tilnærming til å finne bestemte integraler.
Når det gjelder metodene for å beregne bestemte integraler, skiller de seg praktisk talt ikke fra alle disse metodene og metodene.
Det samme gjelder substitusjonsmetoder(endring av variabel), metoden for integrering av deler, de samme metodene for å finne antiderivater for trigonometriske, irrasjonelle og transcendentale funksjoner. Den eneste særegenheten er at når du bruker disse teknikkene, er det nødvendig å utvide transformasjonen ikke bare til sub-integralfunksjonen, men også til grensene for integrasjon. Når du endrer integrasjonsvariabelen, husk å endre integrasjonsgrensene tilsvarende.
Ordentlig fra teoremet, funksjonens kontinuitetsbetingelse er en tilstrekkelig betingelse for funksjonens integrerbarhet. Men dette betyr ikke at det bestemte integralet kun eksisterer for kontinuerlige funksjoner. Klassen av integrerbare funksjoner er mye bredere. Så, for eksempel, er det et bestemt integral av funksjoner som har et begrenset antall diskontinuitetspunkter.
Beregningen av et bestemt integral av en kontinuerlig funksjon ved bruk av Newton-Leibniz-formelen reduseres til å finne en antiderivert, som alltid eksisterer, men som ikke alltid er en elementær funksjon eller en funksjon som det er kompilert tabeller for som gjør det mulig å oppnå verdien av integralet. I mange applikasjoner er den integrerbare funksjonen gitt i en tabell, og Newton-Leibniz-formelen er ikke direkte anvendelig.
Hvis du vil ha det mest nøyaktige resultatet, ideelt Simpsons metode.
Fra det studerte ovenfor kan følgende konklusjon trekkes at integralet brukes i slike vitenskaper som fysikk, geometri, matematikk og andre vitenskaper. Ved hjelp av integralet beregnes kraftens arbeid, koordinatene til massesenteret, banen reist av materialpunktet blir funnet. I geometri brukes det til å beregne volumet til et legeme, finne lengden på en bue av en kurve osv.
