Pokud jste na této stránce hledali pouze Simpsonovu metodu, pak důrazně doporučuji si nejprve přečíst začátek lekce a prohlédnout si alespoň první příklad. Z toho důvodu, že mnoho nápadů a technik bude podobných metodě lichoběžníku.
Opět začněme obecným vzorcem
Uvažujme určitý integrál, kde je funkce spojitá na úsečce. Rozdělme segment na dokonce množství rovnat se segmenty. Sudý počet segmentů je označen .
V praxi mohou být segmenty:
dva:
čtyři:
osm:
deset:
dvacet:
Jiné možnosti si nepamatuji.
Pozornost!Číslo je chápáno jako JEDNO ČÍSLO. to znamená, JE TO ZAKÁZÁNO snížit např. o dva, dostat . Záznam pouze znamenáže počet segmentů rovnoměrně. A o žádných škrtech se nedá mluvit.
Náš oddíl tedy vypadá takto:
Termíny jsou podobné jako u lichoběžníkového způsobu:
Tečky se nazývají uzly.
Simpsonův vzorec pro přibližný výpočet určitého integrálu má tento tvar:
kde:
- délka každého z malých segmentů popř krok;
jsou hodnoty integrandu v bodech .
Po podrobnostech tohoto hromadění analyzuji vzorec podrobněji:
je součet první a poslední hodnoty integrandu;
je součet členů s dokonce indexy násobené 2;
je součet členů s zvláštní index se násobí 4.
Příklad 4
Vypočítejte přibližný integrál pomocí Simpsonova vzorce s přesností na 0,001. Dělení začíná dvěma segmenty 
Integrál se mimochodem opět nebere.
Řešení: Hned upozorňuji na typ úlohy – je třeba vypočítat určitý integrál s určitou přesností. Co to znamená, bylo již komentováno na začátku článku, stejně jako na konkrétních příkladech předchozího odstavce. Pokud jde o lichoběžníkovou metodu, existuje vzorec, který vám okamžitě umožní určit požadovaný počet segmentů (hodnota "en"), aby byla zaručena požadovaná přesnost. Pravda, budeme muset najít čtvrtou derivaci a vyřešit extrémní problém. Kdo pochopil, co tím myslím a odhadl množství práce, usmál se. Zde však není k smíchu, najít čtvrtý derivát takového integranda už nebude megabotan, ale klinický psychopat. Proto se v praxi téměř vždy používá zjednodušená metoda odhadu chyby.
Začínáme se rozhodovat. Pokud máme dva segmenty oddílu, pak uzly budou ještě jeden: . A Simpsonův vzorec má velmi kompaktní formu: 
Pojďme vypočítat krok rozdělení: 
Vyplníme výpočtovou tabulku:
Ještě jednou komentuji, jak je tabulka vyplněna:
V horním řádku zapíšeme "počítadlo" indexů
Do druhého řádku nejprve zapíšeme dolní hranici integrace a poté postupně přidáme krok.
Na třetím řádku zadáme hodnoty integrandu. Například když , tak . Kolik desetinných míst ponechat? Ve skutečnosti o tom tato podmínka opět nic nevypovídá. Princip je stejný jako u lichoběžníkového způsobu, díváme se na požadovanou přesnost: 0,001. A přidejte další 2-3 číslice. To znamená, že je třeba zaokrouhlit na 5–6 desetinných míst.
Jako výsledek:
První výsledek byl získán. Nyní dvojnásobek počet segmentů až čtyři: . Simpsonův vzorec pro tento oddíl má následující podobu:
Pojďme vypočítat krok rozdělení: 
Vyplníme výpočtovou tabulku: 
Takto:
Chybu odhadujeme:
Chyba je větší než požadovaná přesnost: 
, takže musíte znovu zdvojnásobit počet segmentů: .
Simpsonův vzorec roste mílovými kroky:
Počítejme krok: 
Znovu vyplníme tabulku:
Takto: 
Všimněte si, že zde je žádoucí popsat výpočty podrobněji, protože Simpsonův vzorec je poměrně těžkopádný, a pokud okamžitě udeříte:
, pak tento chlast bude vypadat jako hack. A při podrobnějším záznamu získá učitel příznivý dojem, že jste klíče mikrokalkulačky svědomitě mazali dobrou hodinu. Podrobné výpočty pro "tvrdé" případy jsou přítomny v mé kalkulačce.
Chybu odhadujeme:
Chyba je menší než požadovaná přesnost: 
. Zbývá vzít nejpřesnější aproximaci, zaokrouhlit ji na tři desetinná místa a napsat:
Odpovědět: 
s přesností na 0,001
Příklad 5
Vypočítejte přibližný integrál pomocí Simpsonova vzorce s přesností na 0,0001. Dělení začíná dvěma segmenty 
Toto je příklad typu „udělej si sám“. Přibližný příklad konečného „krátkého“ návrhu řešení a odpověď na konci lekce.
V závěrečné části lekce se podíváme na několik běžných příkladů.
Příklad 6
Vypočítejte přibližnou hodnotu určitého integrálu 
pomocí Simpsonova vzorce, rozdělením integračního segmentu na 10 částí. Přesnost výpočtu 0,001.
Tento integrál je převzat, ale pro začátečníka není tak snadné jej rozluštit, odpovídající způsob řešení je uvažován v příkladu 5 lekce Komplexní integrály. V problémech přibližného výpočtu nemusí být integrál nezbytně nepoužitelný! Zvědaví studenti to dokážou přesně spočítat a odhadnout chybu vzhledem k přibližné hodnotě.
Řešení: Věnujte pozornost formulaci úkolu: "Přesnost výpočtů je 0,001." Sémantická nuance této formulace naznačuje, že výsledky stačí zaokrouhlit na třetí desetinné místo a nedosahovat takové přesnosti. Když jste tedy požádáni o vyřešení problému na lichoběžníkové metodě, Simpsonově metodě, vždy věnujte zvýšenou pozornost podmínkám! Spěch, jak víte, je potřeba při lovu blech.
Používáme Simpsonův vzorec:
S deseti segmenty dělení je krok 
Vyplníme výpočtovou tabulku: 
Racionálnější je udělat stůl dvoupatrový, abyste se nemuseli „zmenšovat“ a vše se čitelně vešlo na sešit.
Výpočty, nebuďte líní, malujte podrobněji: 
Odpovědět: 
A ještě jednou zdůrazňuji, že o přesnosti zde nemůže být řeč. Ve skutečnosti odpověď nemusí být, ale relativně vzato, . V tomto ohledu není v odpovědi nutné automaticky přiřazovat koncovku „povinnost“: „s přesností 0,001“
Příklad 7
Vypočítejte přibližnou hodnotu určitého integrálu pomocí Simpsonova vzorce a rozdělte integrační segment na 10 částí. Všechny výpočty musí být prováděny s přesností na třetí desetinné místo.
Hrubá verze konečného návrhu a odpověď na konci lekce, která skončila.
Pro přibližný výpočet určitého integrálu se používají i jiné metody. Zejména teorie mocninná řada se standardním úkolem Přibližný výpočet určitého integrálu rozšířením integrandu do řady. Ale to je materiál druhého kurzu.
A nyní je čas odhalit strašlivé tajemství integrálního počtu. Vytvořil jsem již více než tucet lekcí o integrálech a toto je takříkajíc teorie a klasika tohoto tématu. V praxi, zejména v inženýrských výpočtech, k přiblížení objektů reálný svět se standardními matematickými funkcemi téměř nemožné. Nemožné perfektní přesně vypočítat, plocha, objem, hustota, například asfaltová vozovka. Chyba, ať je to od desátého, ať je to od stého desetinného místa - ale ono stále bude. Proto byly stovky těžkých cihel napsány pomocí přibližných výpočtových metod a byl vytvořen seriózní software pro přibližné výpočty. Klasická teorie integrálního počtu se ve skutečnosti používá mnohem méně často. Ale, mimochodem, bez něj - také nikde!
Tato lekce není rekordní co do objemu, ale její vytvoření mi trvalo nezvykle dlouho. Několikrát jsem opravil materiál a přepracoval strukturu článku, protože se neustále kreslily nové nuance a jemnosti. Doufám, že práce nebyla marná a ukázalo se, že je docela logické a přístupné.
Vše nejlepší!
Řešení a odpovědi:
Příklad 3:Řešení:
Integrační segment rozdělujeme na 4 části:
Pak má lichoběžníkový vzorec následující tvar:
Počítejme krok: 
Vyplníme výpočtovou tabulku:
Pro nalezení určitého integrálu pomocí metody lichoběžníku se plocha křivočarého lichoběžníku také rozdělí na n pravoúhlých lichoběžníků s výškami h a základnami y 1, y 2, y 3,..y n, kde n je číslo pravoúhlý lichoběžník. Integrál bude číselně roven součtu ploch pravoúhlých lichoběžníků (obrázek 4).
Rýže. čtyři
n - počet dělení
Chyba lichoběžníkového vzorce se odhaduje číslem
Chyba lichoběžníkového vzorce klesá s růstem rychleji než chyba obdélníkového vzorce. Proto vám lichoběžníkový vzorec umožňuje získat větší přesnost než metoda obdélníku.
Simpsonův vzorec
Pokud pro každou dvojici segmentů sestrojíme polynom druhého stupně, pak jej integrujeme na segmentu a použijeme vlastnost aditivity integrálu, získáme Simpsonův vzorec.
V Simpsonově metodě pro výpočet určitého integrálu je celý integrační interval rozdělen na podintervaly stejnou délku h = (b-a)/n. Počet segmentů oddílu je sudé číslo. Poté je na každé dvojici sousedních subintervalů subintegrální funkce f(x) nahrazena Lagrangeovým polynomem druhého stupně (obrázek 5).
Rýže. 5 Funkce y=f(x) na segmentu je nahrazena polynomem 2. řádu
Uvažujme integrand na intervalu. Nahraďte tento integrand Lagrangeovým interpolačním polynomem druhého stupně, který se shoduje s y= v bodech:
Pojďme integrovat na interval:
Zavádíme změnu proměnných:
Vzhledem k náhradním vzorcům,
Po integraci získáme Simpsonův vzorec:
Hodnota získaná pro integrál se shoduje s plochou křivočarého lichoběžníku ohraničeného osou, přímkami a parabolou procházejícími body. Na segmentu bude Simpsonův vzorec vypadat takto:
Ve vzorci paraboly má hodnota funkce f (x) v lichých dělicích bodech x 1, x 3, ..., x 2n-1 koeficient 4, v sudých bodech x 2, x 4, ... , x 2n-2 - koeficient 2 a ve dvou hraničních bodech x 0 =a, x n =b - koeficient 1.
Geometrický význam Simpsonova vzorce: plocha křivočarého lichoběžníku pod grafem funkce f(x) na segmentu je přibližně nahrazena součtem ploch obrazců ležících pod parabolami.
Pokud má funkce f(x) spojitou derivaci čtvrtého řádu, pak absolutní hodnota chyby Simpsonova vzorce není větší než
kde M- nejvyšší hodnotu na segmentu. Protože n 4 roste rychleji než n 2 , chyba Simpsonova vzorce klesá s rostoucím n mnohem rychleji než chyba lichoběžníkového vzorce.
Počítáme integrál
Tento integrál lze snadno vypočítat:
Vezměme n rovné 10, h=0,1, vypočítejme hodnoty integrandu v bodech rozdělení a také body s polovičním číslem.
Podle vzorce středních obdélníků dostaneme I rovně = 0,785606 (chyba je 0,027 %), podle lichoběžníkového vzorce I trap = 0,784981 (chyba je asi 0,054. Při použití metody pravého a levého obdélníku je chyba je více než 3 %.
Pro srovnání přesnosti přibližných vzorců vypočítáme ještě jednou integrál
ale nyní pomocí Simpsonova vzorce pro n=4. Segment rozdělíme na čtyři stejné části s body x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 a vypočítáme přibližně hodnoty funkce f (x) \u003d 1 / ( 1+x) v těchto bodech: y 0 = 1,0000, y 1 = 0,8000, y 2 = 0,6667, y 3 = 0,5714, y 4 = 0,5000.
Podle Simpsonova vzorce máme
Odhadneme chybu získaného výsledku. Pro integrand f(x)=1/(1+x) máme: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , z čehož vyplývá, že na segmentu . Můžeme tedy vzít M=24 a výsledná chyba nepřekročí 24/(2880 4 4)=0,0004. Porovnáním přibližné hodnoty s přesnou hodnotou dojdeme k závěru, že absolutní chyba výsledku získaného pomocí Simpsonova vzorce je menší než 0,00011. To je v souladu s výše uvedeným odhadem chyby a navíc to naznačuje, že Simpsonův vzorec je mnohem přesnější než vzorec lichoběžník. Proto se Simpsonův vzorec pro přibližný výpočet určitých integrálů používá častěji než vzorec lichoběžníkový.
V této metodě se navrhuje aproximovat integrand na dílčím intervalu parabolou procházející body
(x j, f(x j)), kde j = i-1; i-0.5; i, to znamená, že integrand aproximujeme Lagrangeovým interpolačním polynomem druhého stupně:
(10.14)
Po integraci dostaneme:
(10.15)
Tak to je simpsonův vzorec
nebo vzorec parabol. Na segmentu
[a, b] Simpsonův vzorec má formu
(10.16)
Grafické znázornění Simpsonovy metody je na Obr. 2.4.
Rýže. 10.4. Simpsonova metoda
Zbavme se zlomkových indexů ve výrazu (2.16) přejmenováním proměnných:
(10.17)
Poté získá Simpsonův vzorec formu
(10.18)
Chyba vzorce (2.18) je odhadnuta následujícím výrazem:
, (10.19)
kde h n = b-a, 
. Chyba Simpsonova vzorce je tedy úměrná
Ó(h 4).
Komentář. Je třeba poznamenat, že ve vzorci Simpson je integrační segment nutně rozdělen na dokonce počet intervalů.
10.5. Výpočet určitých integrálů metodami
Monte Carlo
Výše uvedené metody jsou tzv deterministický , tedy postrádající prvek náhody.
Metody Monte Carlo(MMK) jsou numerické metody pro řešení matematických úloh pomocí simulace náhodné proměnné. MCM umožňují úspěšně řešit matematické problémy způsobené pravděpodobnostními procesy. Navíc při řešení problémů, které nesouvisí s žádnou pravděpodobností, lze uměle přijít s pravděpodobnostním modelem (a dokonce více než jedním), který umožňuje tyto problémy řešit. Zvažte výpočet určitého integrálu
(10.20)
Při výpočtu tohoto integrálu pomocí vzorce obdélníků je interval [ a, b] rozdělit na N identické intervaly, v jejichž středu byly vypočteny hodnoty integrandu. Výpočtem hodnot funkcí v náhodných uzlech můžete získat přesnější výsledek:
(10.21)
(10.22)
Zde γ i je náhodné číslo rovnoměrně rozložené v intervalu
. Chyba ve výpočtu integrálu MMK ~ , která je mnohem větší než u dříve studovaných deterministických metod.
Na Obr. 2.5 ukazuje grafickou implementaci metody Monte Carlo pro výpočet jednoho integrálu s náhodnými uzly (2.21) a (2.22).
(2.23)
Rýže. 10.6. Integrace Monte Carlo (2. případ)
Jak je vidět na Obr. 2.6, integrální křivka leží v jednotkovém čtverci, a pokud se nám podaří získat dvojice náhodných čísel rovnoměrně rozmístěných po intervalu, pak získané hodnoty (γ 1, γ 2) lze interpretovat jako souřadnice bodu v jednotkový čtverec. Pak, pokud je těchto dvojic čísel dostatek, můžeme to přibližně předpokládat
. Tady S je počet dvojic bodů, které spadají pod křivku, a N je celkový počet dvojic čísel.
Příklad 2.1. Vypočítejte následující integrál:
Úkol byl vyřešen různé metody. Získané výsledky jsou shrnuty v tabulce. 2.1.
Tabulka 2.1
Komentář. Volba tabulkového integrálu nám umožnila porovnat chybu každé metody a zjistit vliv počtu oddílů na přesnost výpočtů.
11 PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍHO
A TRANSCENDENTNÍ ROVNICE
Výpočet integrálů pomocí vzorců obdélníků, lichoběžníků a Simpsonova vzorce. Odhad chyb.
Pokyny k tématu 4.1:
Výpočet integrálů pomocí vzorců obdélníků. Odhad chyby:
Řešení mnoha technických problémů se redukuje na výpočet určitých integrálů, jejichž přesné vyjádření je obtížné, vyžaduje zdlouhavé výpočty a v praxi nemá vždy opodstatnění. Zde je jejich přibližná hodnota zcela dostačující. Například potřebujete vypočítat plochu ohraničenou přímkou, jejíž rovnice je neznámá, tedy osou X a dva ordináty. V tomto případě můžete tento řádek nahradit jednodušším, pro který je rovnice známá. Plocha takto získaného křivočarého lichoběžníku se bere jako přibližná hodnota požadovaného integrálu. Geometricky je myšlenkou metody výpočtu určitého integrálu pomocí vzorce obdélníků, že plocha křivočarého lichoběžníku A 1 ABB 1 je nahrazena plochou obdélníku o stejné ploše A 1 A 2 B 1 B 2, což se podle věty o střední hodnotě rovná
Kde f(c) --- výška obdélník A 1 A 2 B 1 B 2, což je hodnota integrandu v nějakém mezilehlém bodě c(a< c
Najít takovou hodnotu je prakticky obtížné S, při kterém (b-a)f(c) by se přesně rovnalo . Pro získání přesnější hodnoty je oblast křivočarého lichoběžníku rozdělena na n obdélníky, jejichž výšky jsou stejné y0, y1, y2, …,yn-1 a základy.
Pokud shrneme oblasti obdélníků, které pokrývají oblast křivočarého lichoběžníku s nevýhodou, funkce je neklesající, pak se místo vzorce použije vzorec
Pokud v přebytku, pak
Hodnoty se zjistí z rovnosti. Tyto vzorce se nazývají obdélníkové vzorce a uveďte přibližný výsledek. S nárůstem n výsledek bude přesnější.
Příklad 1 . Vypočítejte ze vzorce obdélníků
Interval integrace rozdělíme na 5 částí. Pak . Pomocí kalkulačky nebo tabulky najdeme hodnoty integrandu (s přesností na 4 desetinná místa):
Podle vzorce obdélníků (s nevýhodou)
Na druhou stranu podle Newtonova-Leibnizova vzorce
Pojďme najít relativní chybu výpočtu pomocí vzorce obdélníků:
Výpočet integrálů pomocí lichoběžníkových vzorců. Odhad chyby:
Geometrickým významem následující metody pro přibližný výpočet integrálů je nalezení plochy přibližně stejně velké "přímočarého" lichoběžníku.
Nechť je třeba vypočítat plochu A 1 AmBB 1 křivočarý lichoběžník, vyjádřený vzorcem .
Vyměňme oblouk AmB akord AB a místo plochy křivočarého lichoběžníku A 1 AmBB 1 vypočítat plochu lichoběžníku A 1 ABB 1: 
, kde AA 1 a BB 1 - základna lichoběžníku a A 1 B 1 je jeho výška.
Označit f(a)=AiA,f(b)=BiB. výška lichoběžníku A 1 B 1 \u003d b-a, náměstí 
. Tudíž, 
nebo
Tato tzv malý lichoběžníkový vzorec.
Problém vyvstává u numerického výpočtu určitého integrálu, který se řeší pomocí vzorců zvaných kvadratura.
Připomeňte si nejjednodušší vzorce pro numerickou integraci.
Vypočítejme přibližnou číselnou hodnotu . Integrační interval [а, b] rozdělíme dělením bodů na n stejných částí 
, nazývané uzly kvadraturního vzorce. Nechť jsou známé hodnoty v uzlech 
:
Hodnota 
se nazývá integrační interval nebo krok. Všimněte si, že v praxi -výpočtů se číslo i volí malé, obvykle není větší než 10-20. 
integrand je nahrazen interpolačním polynomem
která přibližně představuje funkci f(x) na uvažovaném intervalu.
a) Zachovejte pouze jeden první člen v interpolačním polynomu
Výsledný kvadratický vzorec
nazývaný vzorec obdélníků.
b) Zachovejte tedy první dva členy v interpolačním polynomu
(2)
Vzorec (2) se nazývá lichoběžníkový vzorec.
c) Interval integrace 
rozdělíme na sudý počet 2n stejných dílů, přičemž integrační krok h bude roven 
. Na intervalu 
o délce 2h nahradíme integrand interpolačním polynomem druhého stupně, tj. první tři členy v polynomu ponecháme:
Výsledný kvadraturní vzorec se nazývá Simpsonův vzorec
(3)
Vzorce (1), (2) a (3) mají jednoduchý geometrický význam. Ve vzorci obdélníků je integrand f(x) na intervalu 
je nahrazeno úsečkou y \u003d uk, rovnoběžnou s osou x, a v lichoběžníkovém vzorci - úsečkou 
a vypočítá se plocha obdélníku a přímočarého lichoběžníku, které se pak sečtou. V Simpsonově vzorci funkce f(x) na intervalu 
délka 2h je nahrazena čtvercovou trojčlenkou - parabolou 
vypočítá se plocha křivočarého parabolického lichoběžníku, pak se plochy sečtou.
ZÁVĚR
Na závěr bych chtěl poznamenat řadu vlastností aplikace výše diskutovaných metod. Každá metoda pro přibližné řešení určitého integrálu má své výhody a nevýhody, v závislosti na řešené úloze by měly být použity specifické metody.
Variabilní substituční metoda je jednou z hlavních metod pro výpočet neurčitých integrálů. I když integrujeme nějakou jinou metodou, často se musíme uchýlit ke změně proměnných v mezivýpočtech. Úspěšnost integrace do značné míry závisí na tom, zda dokážeme najít tak dobrou změnu proměnných, která by daný integrál zjednodušila.
Studium integračních metod v podstatě vede ke zjištění, jaký druh změny proměnné by měl být proveden pro tu či onu formu integrandu.
Takto, integrace každého racionálního zlomku redukuje na integraci polynomu a několika jednoduchých zlomků.
Integrál jakékoli racionální funkce lze vyjádřit pomocí elementárních funkcí v konečném tvaru, konkrétně:
přes logaritmy - v případech nejjednodušších zlomků typu 1;
přes racionální funkce - v případě jednoduchých zlomků 2. typu
přes logaritmy a arktangens - v případě jednoduchých zlomků typu 3
přes racionální funkce a arktangens - v případě nejjednodušších zlomků 4. typu. Univerzální trigonometrická substituce vždy racionalizuje integrand, ale často vede k velmi těžkopádným racionálním zlomkům, u kterých je zejména prakticky nemožné najít kořeny jmenovatele. Proto se pokud možno používají parciální substituce, které také racionalizují integrand a vedou k méně složitým zlomkům.
Newtonův-Leibnizův vzorec je obecný přístup k nalezení určitých integrálů.
Pokud jde o metody výpočtu určitých integrálů, prakticky se neliší od všech těchto metod a metod.
Totéž platí substituční metody(změna proměnné), metoda integrace po částech, stejné metody hledání primitivních funkcí pro goniometrické, iracionální a transcendentální funkce. Jedinou zvláštností je, že při aplikaci těchto technik je nutné rozšířit transformaci nejen na subintegrální funkci, ale i na hranice integrace. Při změně integrační proměnné nezapomeňte odpovídajícím způsobem změnit integrační limity.
Správně z věty podmínka spojitosti funkce je postačující podmínkou integrovatelnosti funkce. To ale neznamená, že určitý integrál existuje pouze pro spojité funkce. Třída integrovatelných funkcí je mnohem širší. Existuje tedy například určitý integrál funkcí, které mají konečný počet bodů nespojitosti.
Výpočet určitého integrálu spojité funkce pomocí Newton-Leibnizova vzorce se redukuje na nalezení primitivního prvku, který vždy existuje, ale není vždy elementární funkcí nebo funkcí, pro kterou jsou sestaveny tabulky, které umožňují získat hodnotu integrálu. V mnoha aplikacích je integrovatelná funkce uvedena v tabulce a Newton-Leibnizův vzorec není přímo použitelný.
Pokud chcete co nejpřesnější výsledek, ideální simpsonova metoda.
Z výše uvedeného lze vyvodit následující závěr, že integrál se používá v takových vědách, jako je fyzika, geometrie, matematika a další vědy. Pomocí integrálu se vypočítá práce síly, zjistí se souřadnice těžiště, dráha, kterou urazí hmotný bod. V geometrii se používá k výpočtu objemu tělesa, zjištění délky oblouku křivky atd.
