La funksjonen være definert i domenet

Definisjon. Uttrykk

kalt funksjonelle nær.

Eksempel.

For noen verdier kan serien konvergere, for andre verdier kan den divergere.

Eksempel.

Finn konvergensområdet til serien. Denne serien er definert for verdiene

Hvis så, divergerer serien, siden det nødvendige kriteriet for konvergens av serien ikke er oppfylt; hvis serien divergerer; if er en uendelig avtagende geometrisk progresjon.

Sammenligning av denne serien med den konvergerende serien ved gir konvergensregionen til den studerte serien.

Med verdier fra funksjonsserien oppnås en numerisk serie

Hvis for tallserien konvergerer, kalles punktet konvergenspunkt funksjonell rad.

Settet med alle konvergenspunkter i en serie danner området for dens konvergens. Konvergensområdet er vanligvis et intervall av aksen.

Hvis tallserien konvergerer på hvert punkt, kalles den funksjonelle rekken konvergerende i området.

Summen av den funksjonelle rekken er en funksjon av variabelen definert i konvergensområdet til serien

Hvilke egenskaper har funksjonene hvis egenskapene er kjent som et medlem av serien, altså.

Kontinuitet av funksjoner er ikke tilstrekkelig for å konkludere om kontinuitet.

Konvergensen av en serie kontinuerlige funksjoner til en kontinuerlig funksjon er gitt av en tilleggsbetingelse som uttrykker ett viktig trekk ved konvergensen til en funksjonell serie.

Definisjon. En funksjonell serie kalles konvergent i domenet hvis det er en grense for delsummer av denne serien, dvs.

Definisjon. En funksjonell serie kalles jevnt konvergent i regionen hvis det for noe positivt er et slikt tall at ulikheten gjelder for alle.

Geometrisk betydning av enhetlig konvergens

Hvis vi omgir grafen til funksjonen med en stripe, definert av relasjonen så grafene alle funksjoner , som starter med en tilstrekkelig stor verdi , fullstendig ligge i denne "-stripen" som omgir grafen til grensefunksjonen.

Egenskaper til en jevnt konvergent serie .

1. Summen av en jevnt konvergent serie i noen region, sammensatt av kontinuerlige funksjoner, er en kontinuerlig funksjon i denne regionen.

2. En slik serie kan differensieres begrep for begrep

3. Serien kan integreres termin for termin

For å bestemme om en funksjonell serie er jevnt konvergent, må vi bruke Weierstrass tilstrekkelig konvergenskriterium.

Definisjon. Den funksjonelle serien kalles dominerte i en endringsregion hvis det er en så konvergent numerisk serie med positive termer at ulikheter gjelder for hele denne regionen.

Weierstrass-skilt(uniform konvergens av funksjonsserien).

Funksjonell rekkevidde konvergerer jevnt i domenet for konvergens hvis det er dominert i dette domenet.

Med andre ord, hvis funksjonene i et område ikke overskrider de tilsvarende positive tallene i absolutt verdi, og hvis tallserien konvergerer, så konvergerer den funksjonelle rekken jevnt i dette området.

Eksempel. Bevis den enhetlige konvergensen til den funksjonelle serien.

Løsning. . La oss erstatte den vanlige termen i denne serien med den vanlige termen for den numeriske serien, men overskrider hvert medlem av serien i absolutt verdi. For å gjøre dette er det nødvendig å bestemme hvor den vanlige termen for serien vil være maksimal.

Den resulterende numeriske serien konvergerer, noe som betyr at den funksjonelle serien konvergerer jevnt i henhold til Weierstrass-testen.

Eksempel. Finn summen av serien.

For å finne summen av en serie bruker vi den velkjente formelen for summen av en geometrisk progresjon

Ved å differensiere venstre og høyre del av formel (1), får vi suksessivt

I summen som skal beregnes, skiller vi ut begrepene proporsjonale med den første og andre deriverte:

La oss beregne derivatene:

Power-serien.

Blant de funksjonelle seriene er det en klasse av makt og trigonometriske serier.

Definisjon. Funksjonell serie av skjemaet

kalles makt i makter. Uttrykk er konstante tall.

Hvis serien er en potensserie i potenser av .

Domene for konvergens av en potensserie. Abels teorem.

Teorem. Hvis en potensserie konvergerer i et punkt, så konvergerer den og dessuten absolutt for enhver verdi som er mindre i absolutt verdi, det vil si, eller i intervallet.

Bevis.

På grunn av konvergensen til rad, må dens vanlige term ha en tendens til null, så alle leddene i denne serien er jevnt avgrenset: det er et konstant positivt tall , slik at ulikheten for alle gjelder ., som for alle med sentrum ved punkt

funksjonelle rader. Power-serien.
Rekkevidde for konvergens av serien

Latter uten grunn er et tegn på d'Alembert

Så timen med funksjonelle rader har slått til. For å lykkes med å mestre emnet, og spesielt denne leksjonen, må du være godt kjent med den vanlige nummerserien. Du bør ha en god forståelse av hva en serie er, kunne bruke tegnene på sammenligning for å studere serien for konvergens. Så hvis du nettopp har begynt å studere emnet eller er en tekanne i høyere matematikk, nødvendig jobb deg gjennom tre leksjoner i rekkefølge: Rader for tekanner,Tegn av d'Alembert. Tegn på Cauchy Og Vekslende rader. Leibniz tegn. Definitivt alle tre! Hvis du har grunnleggende kunnskaper og ferdigheter i å løse problemer med tallserier, så vil det være ganske enkelt å håndtere funksjonelle serier, siden det ikke er veldig mye nytt materiale.

I denne leksjonen vil vi vurdere konseptet med en funksjonell serie (hva det er generelt), bli kjent med potensserier, som finnes i 90 % av praktiske oppgaver, og lære hvordan man løser et vanlig typisk problem med å finne konvergensen radius, konvergensintervall og konvergensregion i en potensserie. Videre anbefaler jeg å vurdere materialet på utvidelse av funksjoner til kraftserier, og en ambulanse vil bli gitt til nybegynneren. Etter litt hvile går vi videre til neste nivå:

Også i delen av funksjonelle serier er det mange applikasjoner for omtrentlige beregninger, og Fourier-serien, som som regel er tildelt et eget kapittel i pedagogisk litteratur, går litt fra hverandre. Jeg har bare én artikkel, men den er lang og mange, mange ekstra eksempler!

Så, landemerkene er satt, la oss gå:

Konseptet med funksjonelle serier og kraftserier

Hvis uendelighet oppnås i grensen, så fullfører også løsningsalgoritmen sitt arbeid, og vi gir det endelige svaret på oppgaven: «Serien konvergerer ved» (eller ved enten»). Se sak #3 i forrige avsnitt.

Hvis i grensen viser det seg ikke null og ikke uendelig, så har vi det vanligste tilfellet i praksis nr. 1 - serien konvergerer på et visst intervall.

I dette tilfellet er grensen . Hvordan finne konvergensintervallet til en serie? Vi lager en ulikhet:

I ENHVER oppgave av denne typen på venstre side av ulikheten skal være grenseberegningsresultat, og på høyre side av ulikheten strengt tatt enhet. Jeg skal ikke forklare hvorfor akkurat denne ulikheten og hvorfor det er en til høyre. Leksjonene er praktiske, og det er allerede veldig bra at noen av teoremene har blitt tydeligere fra historiene mine om at lærerstaben ikke hengte seg.

Teknikken med å jobbe med modulen og løse doble ulikheter ble vurdert i detalj i det første året i artikkelen Funksjonsomfang, men for enkelhets skyld vil jeg prøve å kommentere alle handlingene så detaljert som mulig. Vi avdekker ulikheten med modulen etter skoleregelen . I dette tilfellet:

Halvveis bak.

På det andre trinnet er det nødvendig å undersøke konvergensen til serien ved endene av det funnet intervallet.

Først tar vi den venstre enden av intervallet og bytter den inn i potensserien vår:

På

En numerisk serie er mottatt, og vi må undersøke den for konvergens (en oppgave som allerede er kjent fra tidligere leksjoner).

1) Serien er tegnvekslende.
2) – betingelsene for serien reduseres modulo. Dessuten er hvert neste ledd i serien mindre enn det forrige i modul: , så nedgangen er monoton.
Konklusjon: serien konvergerer.

Ved hjelp av en serie som består av moduler, vil vi finne ut nøyaktig hvordan:
– konvergerer ("referanse"-serier fra familien av generaliserte harmoniske serier).

Dermed konvergerer den resulterende tallserien absolutt.

på - konvergerer.

! jeg minner at enhver konvergent positiv serie også er absolutt konvergent.

Dermed konvergerer potensserien, og absolutt, i begge ender av det funnet intervallet.

Svar: region for konvergens av den studerte potensserien:

Den har rett til liv og en annen utforming av svaret: Serien konvergerer hvis

Noen ganger i tilstanden til problemet er det nødvendig å spesifisere konvergensradius. Det er åpenbart at i det betraktede eksemplet .

Eksempel 2

Finn konvergensområdet til en potensserie

Løsning: vi finner konvergensintervallet til serien ved bruk av tegn på d'Alembert (men ikke i henhold til attributtet! - det er ingen slik attributt for funksjonelle serier):

Serien konvergerer kl

Venstre vi må dra bare, så vi multipliserer begge sider av ulikheten med 3:

– Serien er tegnvekslende.
– – betingelsene for serien reduseres modulo. Hvert neste ledd i serien er mindre enn det forrige i absolutt verdi: , så nedgangen er monoton.

Konklusjon: serien konvergerer.

Vi undersøker det for arten av konvergens:

Sammenlign denne serien med den divergerende serien.
Vi bruker grensetegnet for sammenligning:

Et endelig tall annet enn null oppnås, som betyr at rekken divergerer sammen med rekken.

Dermed konvergerer serien betinget.

2) Når – divergerer (som bevist).

Svar: Konvergensområdet til den studerte kraftserien: . For , serien konvergerer betinget.

I det betraktede eksemplet er konvergensdomenet til potensserien et halvt intervall, og på alle punkter av intervallet potensserien konvergerer absolutt, og på punktet, som det viste seg, betinget.

Eksempel 3

Finn konvergensintervallet til potensserien og undersøk konvergensen i enden av det funnet intervallet

Dette er et gjør-det-selv eksempel.

Tenk på et par eksempler som er sjeldne, men som forekommer.

Eksempel 4

Finn konvergensområdet til serien:

Løsning: ved å bruke d'Alembert-kriteriet finner vi konvergensintervallet til denne serien:

(1) Komponer forholdet mellom neste medlem av serien og forrige.

(2) Bli kvitt den fire-etasjers brøken.

(3) Kuber og, i henhold til regelen for operasjoner med krefter, oppsummeres under en enkelt grad. I telleren dekomponerer vi på en smart måte graden, dvs. utvide på en slik måte at vi ved neste trinn reduserer brøken med . Faktorer er beskrevet i detalj.

(4) Under kuben deler vi telleren med nevneren ledd for ledd, noe som indikerer at . I en brøkdel reduserer vi alt som kan reduseres. Multiplikatoren tas ut av grensetegnet, den kan tas ut, siden det ikke er noe i den som avhenger av den "dynamiske" variabelen "en". Vær oppmerksom på at modultegnet ikke er tegnet - av den grunn at det tar ikke-negative verdier for enhver "x".

I grensen oppnås null, noe som betyr at vi kan gi det endelige svaret:

Svar: Serien konvergerer kl

Og først så det ut til at denne raden med en "forferdelig fylling" ville være vanskelig å løse. Null eller uendelig i grensen er nesten en gave, fordi løsningen er merkbart redusert!

Eksempel 5

Finn konvergensområdet til en serie

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Vær forsiktig ;-) Den fullstendige løsningen er svaret på slutten av leksjonen.

Tenk på noen flere eksempler som inneholder et element av nyhet når det gjelder bruk av teknikker.

Eksempel 6

Finn konvergensintervallet til serien og undersøk konvergensen i enden av det funnet intervallet

Løsning: Den vanlige termen for kraftserien inkluderer faktoren , som sikrer vekslingen. Løsningsalgoritmen er fullstendig bevart, men når vi kompilerer grensen, ignorerer vi (ikke skriv) denne faktoren, siden modulen ødelegger alle "minusene".

Vi finner konvergensintervallet til serien ved å bruke d'Alembert-testen:

Vi komponerer standardulikheten:
Serien konvergerer kl
Venstre vi må dra kun modul, så vi multipliserer begge sider av ulikheten med 5:

Nå utvider vi modulen på en kjent måte:

I midten av den doble ulikheten må du bare la "x" være, for dette formålet, trekk 2 fra hver del av ulikheten:

er konvergensintervallet til den studerte potensserien.

Vi undersøker konvergensen til serien ved endene av det funnet intervallet:

1) Erstatt verdien i vår potensserie :

Vær ekstremt forsiktig, multiplikatoren gir ikke alternering, for noen naturlig "en". Vi tar den resulterende minus utenfor serien og glemmer den, siden den (som enhver konstant-multiplikator) ikke påvirker konvergensen eller divergensen til den numeriske serien på noen måte.

Legg merke til igjen at vi i løpet av å substituere verdien inn i potensseriens fellesledd har redusert faktoren . Hvis dette ikke skjedde, vil dette bety at vi enten har beregnet grensen feil, eller at vi har utvidet modulen feil.

Så det er nødvendig å undersøke konvergensen til den numeriske serien. Her er det enklest å bruke grensesammenligningskriteriet og sammenligne denne serien med en divergerende harmonisk serie. Men for å være ærlig var jeg veldig lei av det ultimate tegnet på sammenligning, så jeg vil legge til litt variasjon til løsningen.

Så serien konvergerer kl

Multipliser begge sider av ulikheten med 9:

Vi trekker ut roten fra begge deler, mens vi husker den gamle skolevitsen:

Utvide modulen:

og legg til en til alle deler:

er konvergensintervallet til den studerte potensserien.

Vi undersøker konvergensen til potensseriene i endene av det funnet intervallet:

1) Hvis , oppnås følgende nummerserie:

Multiplikatoren forsvant sporløst, fordi for enhver naturlig verdi av "en" .

Lukhov Yu.P. Sammendrag av forelesninger om høyere matematikk. Forelesning nr. 42 5

Forelesning 42

EMNE: funksjonelle rader

Plan.

funksjonelle rader. Konvergensområde.
Ensartet konvergens. Weierstrass-skilt.
Egenskaper til jevnt konvergerende serier: kontinuitet av summen av en serie, term-for-term integrasjon og differensiering.
Power-serien. Abels teorem. Domene for konvergens av en potensserie. konvergensradius.
Grunnleggende egenskaper til potensserier: ensartet konvergens, kontinuitet og uendelig differensierbarhet av summen. Termisk integrasjon og differensiering av effektserier.

funksjonelle rader. Konvergensområde

Definisjon 40.1. En uendelig sum av funksjoner

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)

hvor u n (x) = f (x, n), kalles funksjonell rekkevidde.

Hvis du angir en bestemt numerisk verdi X , vil serie (40.1) bli til en numerisk serie, og avhengig av valg av verdi X en slik serie kan konvergere eller divergere. Bare konvergerende serier er av praktisk verdi, så det er viktig å bestemme disse verdiene X , hvor den funksjonelle serien blir en konvergent numerisk serie.

Definisjon 40.2. Mange verdier X , som erstatter hvilken inn i funksjonsserien (40.1) man får en konvergent numerisk serie, kalleskonvergensregionfunksjonell rad.

Definisjon 40.3. Funksjon s(x), definert i området for konvergens av serien, som for hver verdi X fra konvergensområdet er lik summen av den tilsvarende numeriske serien hentet fra (40.1) for en gitt verdi x kalles summen av funksjonsserien.

Eksempel. La oss finne konvergensområdet og summen av den funksjonelle rekken

1 + x + x ² +…+ x n +…

Når | x | ≥ 1, så den tilsvarende numeriske rekken divergerer. Hvis

| x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Derfor er konvergensområdet til serien intervallet (-1, 1), og summen har den angitte formen.

Kommentar . Akkurat som for numeriske serier, kan vi introdusere konseptet med en delsum av en funksjonell serie:

s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n

og resten av serien: r n = s s n .

Ensartet konvergens av en funksjonell serie

La oss først definere begrepet enhetlig konvergens av en numerisk sekvens.

Definisjon 40.4. Funksjonssekvens f n (x ) kalles jevnt konvergerende til funksjonen f på settet X hvis og

Merknad 1. Vi vil betegne den vanlige konvergensen av en funksjonell sekvens og enhetlig konvergens - .

Merknad 2 . La oss igjen legge merke til den grunnleggende forskjellen mellom enhetlig konvergens og vanlig konvergens: i tilfelle av vanlig konvergens, for en valgt verdi av ε, for hver finnes det nummeret ditt N for hvilket n > N følgende ulikhet gjelder:

I dette tilfellet kan det vise seg at for et gitt ε det generelle tallet N, sikre oppfyllelsen av denne ulikheten for evt X , umulig. I tilfelle av enhetlig konvergens, et slikt tall N, felles for alle x, eksisterer.

La oss nå definere forestillingen om enhetlig konvergens av en funksjonell serie. Siden hver serie tilsvarer en sekvens av dens delsummer, er den enhetlige konvergensen til en serie definert i form av den enhetlige konvergensen til denne sekvensen:

Definisjon 40.5. Den funksjonelle serien kallesjevnt konvergent på settet X, hvis på X sekvensen av dens delsummer konvergerer jevnt.

Weierstrass-skilt

Teorem 40.1. Hvis tallrekken konvergerer for alle og for alle n = 1, 2,..., så konvergerer serien absolutt og jevnt på settet X.

Bevis.

For alle ε > 0 c det er et slikt tall N, det er derfor

For resten r n serie, anslaget

Derfor konvergerer serien jevnt.

Kommentar. Prosedyren for å velge en tallserie som oppfyller betingelsene i teorem 40.1 kalles vanligvis hovedfag , og selve serien majorant for dette funksjonsområdet.

Eksempel. For den funksjonelle serien, majorant for enhver verdi X er en konvergent positiv serie. Derfor konvergerer den originale serien jevnt på (-∞, +∞).

Egenskaper til jevnt konvergerende serier

Teorem 40.2. Hvis funksjoner u n (x ) er kontinuerlige ved og serien konvergerer jevnt på X, deretter summen s (x) er også kontinuerlig på punktet x 0.

Bevis.

Vi velger ε > 0. Da eksisterer det derfor et tall n 0 det

- summen av et begrenset antall kontinuerlige funksjoner, altsåkontinuerlig på punktet x 0. Derfor eksisterer det δ > 0 slik at Da får vi:

Det vil si at funksjonen s (x) er kontinuerlig for x \u003d x 0.

Teorem 40.3. La funksjonene u n (x ) er kontinuerlige i intervallet [ a, b ] og serien konvergerer jevnt på dette segmentet. Da konvergerer serien også jevnt på [ a , b ] og (40.2)

(det vil si at under teoremets betingelser kan serien integreres ledd for ledd).

Bevis.

Ved teorem 40.2, funksjonen s(x) = kontinuerlig på [a, b ] og er derfor integrerbar på den, det vil si at integralet på venstre side av likhet (40.2) eksisterer. La oss vise at serien konvergerer jevnt til funksjonen

Betegn

Så for enhver ε er det et tall N , som for n > N

Derfor konvergerer serien jevnt, og summen er lik σ ( x ) = .

Teoremet er bevist.

Teorem 40.4. La funksjonene u n (x ) er kontinuerlig differensierbare på intervallet [ a, b ] og en serie sammensatt av deres derivater:

(40.3)

konvergerer jevnt på [ a, b ]. Så, hvis serien konvergerer minst på ett punkt, så konvergerer den jevnt på alle [ a , b ], summen s (x )= er en kontinuerlig differensierbar funksjon og

(serien kan differensieres begrep for begrep).

Bevis.

La oss definere funksjonen σ( X ) Hvordan. Ved teorem 40.3 kan serien (40.3) integreres begrep for begrep:

Serien på høyre side av denne likheten konvergerer jevnt på [ a, b ] av teorem 40.3. Men den numeriske serien konvergerer etter betingelsen til teoremet, derfor konvergerer serien jevnt. Deretter funksjonen σ( t ) er summen av en jevnt konvergent serie med kontinuerlige funksjoner på [ a, b ] og er derfor selv kontinuerlig. Da er funksjonen kontinuerlig differensierbar på [ a, b ], og, som nødvendig for å bevise.

Definisjon 41.1. kraft neste kalles en funksjonell rekke av formen

(41.1)

Kommentar. Ved å erstatte x x 0 = t seriene (41.1) kan reduseres til formen, så det er tilstrekkelig å bevise alle egenskapene til potensserier for serier av formen

(41.2)

Teorem 41.1 (Abels 1. teorem).Hvis effektserien (41.2) konvergerer kl x \u003d x 0, deretter for enhver x: | x |< | x 0 | serie (41.2) konvergerer absolutt. Hvis serien (41.2) divergerer kl x \u003d x 0, så divergerer det for evt x : | x | > | x 0 |.

Bevis.

Hvis serien konvergerer, er det en konstant c > 0:

Derfor, mens serien for | x |<| x 0 | konvergerer fordi det er summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon. Derfor er serien for | x |<| x 0 | konvergerer absolutt.

Hvis det er kjent at serie (41.2) divergerer kl x = x 0 , så kan den ikke konvergere for | x | > | x 0 | , siden det ville følge av det som ble bevist tidligere at det også konvergerer på punktet x 0.

Altså hvis du finner det største av tallene x 0 > 0 slik at (41.2) konvergerer for x \u003d x 0, da vil konvergensområdet til denne serien, som følger av Abel-setningen, være intervallet (- x 0, x 0 ), muligens inkludert en eller begge grenser.

Definisjon 41.2. Tallet R ≥ 0 kalles konvergensradiuspotensserie (41.2) hvis denne rekken konvergerer, men divergerer. Intervall (- R, R) kalles konvergensintervall serie (41.2).

Eksempler.

For å studere den absolutte konvergensen til serien bruker vi d'Alembert-testen: . Derfor konvergerer serien kun når X = 0, og radiusen til konvergensen er 0: R = 0.
Ved å bruke samme d'Alembert-test kan man vise at serien konvergerer for evt x, altså
For en serie basert på d'Alembert-testen får vi:

Derfor, for 1< x < 1 ряд сходится, при

x< -1 и x > 1 divergerer. På X = 1 får vi en harmonisk rekke, som som du vet divergerer, og når X = -1 serien konvergerer betinget i henhold til Leibniz-kriteriet. Dermed er konvergensradiusen til den betraktede serien R = 1, og konvergensintervallet er [-1, 1).

Formler for å bestemme konvergensradiusen til en potensserie.

d'Alembert formel.

Tenk på en potensserie og bruk d'Alembert-testen på den: for konvergensen av serien er det nødvendig at. Hvis det finnes, så bestemmes området for konvergens av ulikheten, dvs.

- (41.3)

d'Alemberts formelfor å beregne konvergensradiusen.

Cauchy-Hadamard formel.

Ved å bruke det radikale Cauchy-kriteriet og resonnementet på lignende måte, får vi at det er mulig å sette konvergensområdet til en potensserie som et sett med løsninger på ulikheten, forutsatt at denne grensen eksisterer, og følgelig finne enda en formel for konvergensradius:

(41.4)

Cauchy-Hadamard formel.

Egenskaper til kraftserier.

Teorem 41.2 (Abels 2. teorem). Hvis R konvergensradiusen til serien (41.2) og denne serien konvergerer kl x = R , så konvergerer den jevnt på intervallet (- R, R).

Bevis.

Den fortegn-positive serien konvergerer ved setning 41.1. Derfor konvergerer serien (41.2) jevnt i intervallet [-ρ, ρ] etter setning 40.1. Fra valget av ρ følger det at intervallet for enhetlig konvergens (- R, R ), som skulle bevises.

Konsekvens 1 . På ethvert segment som ligger helt innenfor konvergensintervallet, er summen av serien (41.2) en kontinuerlig funksjon.

Bevis.

Termene for serien (41.2) er kontinuerlige funksjoner, og serien konvergerer jevnt på intervallet som vurderes. Deretter følger kontinuiteten til summen av setning 40.2.

Konsekvens 2. Hvis grensene for integrasjon α, β ligger innenfor konvergensintervallet til potensserien, er integralet av summen av serien lik summen av integralene til termene i serien:

(41.5)

Beviset for denne påstanden følger av teorem 40.3.

Teorem 41.3. Hvis serien (41.2) har et konvergensintervall (- R , R ), deretter serien

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41,6)

oppnådd ved term-for-term-differensiering av serien (41.2), har samme konvergensintervall (- R, R). Hvori

φ΄ (х) = s΄ (x) for | x |< R , (41.7)

det vil si at innenfor konvergensintervallet er den deriverte av summen av en potensserie lik summen av serien oppnådd ved term-for-term-differensiering.

Bevis.

Vi velger ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Så konvergerer serien, altså hvis| x | ≤ ρ, da

Hvor vilkårene for serien (41.6) er mindre i absolutt verdi enn vilkårene til serien med positive tegn, som konvergerer i henhold til d'Alembert-testen:

det vil si at den er majorant for serien (41.6) ved Derfor konvergerer serien (41.6) jevnt på [-ρ, ρ]. Derfor, ved teorem 40.4, er likhet (41.7) sann. Fra valget av ρ følger det at serien (41.6) konvergerer ved et hvilket som helst indre punkt i intervallet (- R, R).

La oss bevise at serier (41.6) divergerer utenfor dette intervallet. Faktisk, hvis det konvergerte kl x1 > R , deretter integrere det begrep for begrep i intervallet (0, x 2), R< x 2 < x 1 , vil vi få at serien (41.2) konvergerer på punktet x 2 , som motsier betingelsen til teoremet. Så teoremet er fullstendig bevist.

Kommentar . Serien (41.6) kan på sin side differensieres termin for termin og denne operasjonen kan utføres så mange ganger som ønskelig.

Konklusjon: hvis potensserien konvergerer på intervallet (- R, R ), så er summen en funksjon som har deriverte av en hvilken som helst rekkefølge innenfor konvergensintervallet, som hver er summen av en serie oppnådd fra originalen ved bruk av term-for-term differensiering tilsvarende antall ganger; mens konvergensintervallet for en serie med deriverte av en hvilken som helst rekkefølge er (- R, R).

Institutt for informatikk og høyere matematikk, KSPU

Tema 2. Funksjonell serie. Power-serien

2.1. Funksjonelle rader

Så langt har vi vurdert serier hvis medlemmer var tall. La oss nå gå til studiet av serier hvis medlemmer er funksjoner.

Funksjonell rekkevidde kalles en rad

hvis medlemmer er funksjoner av samme argument definert på samme sett E.

For eksempel,

1.
;

2.
;

Hvis vi argumenterer X en numerisk verdi
,
, så får vi en tallserie

som kan konvergere (konvergere absolutt) eller divergere.

Hvis kl
den resulterende tallserien konvergerer, deretter punktet
kaltkonvergenspunkt funksjonell rad. Settet med alle konvergenspunkter kalleskonvergensregion funksjonell rad. La oss betegne området for konvergens X, åpenbart,
.

Hvis det for positive numeriske serier stilles spørsmålet: "Konvergerer eller divergerer serien?", for tegnvariablerekker, er spørsmålet: "Konvergerer den som - betinget eller absolutt, - eller divergerer?", Så for den funksjonelle serien er hovedspørsmålet: «Konvergerer (konvergerer absolutt) til hva X?».

Funksjonell rekkevidde
etablerer en lov som hver verdi av argumentet
,
, er tildelt et tall som er lik summen av tallserien
. Altså på settet X funksjonen er gitt
, som kalles summen av funksjonsserien.

Eksempel 16

Finn konvergensområdet til en funksjonell serie

Løsning.

La X er et fast tall, kan denne serien betraktes som en numerisk serie med positivt fortegn for
og vekslende kl
.

La oss lage en serie absolutte verdier for medlemmene i denne serien:

dvs. for enhver verdi X denne grensen er mindre enn én, noe som betyr at denne serien konvergerer, og absolutt (siden vi studerte en serie absolutte verdier av vilkårene i serien) på hele den virkelige aksen.

Dermed er området for absolutt konvergens settet
.

Eksempel 17.

Finn konvergensområdet til en funksjonell serie
.

Løsning.

La X er et fast nummer
, så kan denne serien betraktes som en numerisk serie med positivt fortegn for
og vekslende kl
.

Tenk på en rekke absolutte verdier til medlemmene i denne serien:

og bruk DAlembert-testen på den.

I følge DAlembert-testen konvergerer serien dersom grenseverdien er mindre enn én, dvs. denne serien vil konvergere hvis
.

Ved å løse denne ulikheten får vi:


.

Dermed konvergerer serien som er sammensatt av de absolutte verdiene av vilkårene i denne serien, noe som betyr at den opprinnelige serien konvergerer absolutt, og kl.
denne serien divergerer.

På
serien kan konvergere eller divergere, siden for disse verdiene X grenseverdien er lik én. Derfor studerer vi i tillegg konvergensen av poengserien
Og
.

Erstatter i denne raden
, får vi en tallserie
, som det er kjent at det er en harmonisk divergerende serie, så er poenget
er divergenspunktet for den gitte serien.

På
en alternerende nummerserie oppnås

som er kjent for å konvergere betinget (se eksempel 15), så poenget
er poenget med betinget konvergens av serien.

Dermed er konvergensområdet for denne serien , og serien konvergerer absolutt ved .

Funksjonell rekkevidde

kaltdominerte i et eller annet område av x, hvis det er en slik konvergent positiv serie

at for alle x fra det gitte området tilstanden
på
. Rad
kaltmajorant.

Med andre ord er en serie dominert hvis hver av dens ledd ikke er større i absolutt verdi enn det tilsvarende leddet til en konvergerende positiv-tegnserie.

For eksempel en rad

er dominert for noen X, fordi for alle X forholdet

på
,

og en rad er kjent for å være konvergent.

TeoremWeierstrass

En serie dominert i et eller annet domene konvergerer absolutt i det domenet.

Tenk for eksempel på funksjonsserien
. Denne serien er dominert for
, fordi kl
vilkårene for serien overstiger ikke de tilsvarende medlemmene av den positive serien . Derfor, ifølge Weierstrass-teoremet, konvergerer den betraktede funksjonelle rekken absolutt for
.

2.2. Power-serien. Abels teorem. Domene for konvergens av en potensserie

Blant variasjonen av funksjonelle serier er de viktigste fra synspunkt av praktisk anvendelse kraft og trigonometriske serier. La oss se nærmere på disse radene.

kraft neste av grader
kalles en funksjonell rekke av formen

Hvor er et fast nummer
er tall som kalles koeffisienter i rekken.

På
vi får en potensserie i potenser X, som ser ut som

For enkelhets skyld vil vi vurdere potensserier i potenser X, siden det fra en slik serie er lett å få en serie i potenser
, erstatte i stedet X uttrykk
.

Enkelheten og viktigheten av klassen potensserier skyldes først og fremst det faktum at delsummen av en potensserie

er et polynom - en funksjon hvis egenskaper er godt studert og hvis verdier lett kan beregnes ved å bruke bare aritmetiske operasjoner.

Siden kraftserier er et spesielt tilfelle av en funksjonell serie, er det også nødvendig å finne konvergensområdet for dem. I motsetning til området for konvergens av en vilkårlig funksjonell serie, som kan være et sett med vilkårlig form, har området for konvergens av en potensserie en veldefinert form. Dette er hva følgende teorem sier.

TeoremAbel.

Hvis kraftserien
konvergerer til en viss verdi
, så konvergerer den, og absolutt, for alle verdier av x som tilfredsstiller betingelsen
. Hvis effektserien divergerer med en eller annen verdi
, da divergerer den også for verdier som tilfredsstiller betingelsen
.

Det følger av Abels teorem at Alle konvergenspunkter for en potensserie i potenser X ligger fra opprinnelsen til koordinatene lenger enn noen av divergenspunktene. Det er åpenbart at konvergenspunktene fyller et visst gap sentrert ved origo. teoremet om konvergensområdet til en potensserie er gyldig.

Teorem.

For enhver kraftserie
det er et tallR (R>0)slik at for alle x som ligger innenfor intervallet
, serien konvergerer absolutt og for alle x som ligger utenfor intervallet
, serien divergerer.

AntallRkaltkonvergensradius potensserier og intervallet
– konvergensintervall potensrekke i potenser av x.

Legg merke til at teoremet ikke sier noe om konvergensen til rekken ved enden av konvergensintervallet, dvs. på poeng
. På disse punktene oppfører forskjellige potensserier seg annerledes: seriene kan konvergere (absolutt eller betinget), eller den kan divergere. Derfor bør konvergensen av serien på disse punktene kontrolleres direkte per definisjon.

I spesielle tilfeller kan konvergensradiusen til serien være lik null eller uendelig. Hvis
, deretter potensserien i potenser X konvergerer bare på ett punkt
; hvis
, så konvergerer potensserien på hele den reelle aksen.

Igjen, merk at kraftserien
av grader
kan reduseres til en kraftserie
ved å erstatte
. Hvis raden
konvergerer kl
, dvs. Til
, så får vi etter omvendt erstatning

 eller
.

Dermed intervallet for konvergens av potensserien
har formen
. Punkt kalt senter for konvergens. For klarhetens skyld er det vanlig å skildre konvergensintervallet på den numeriske aksen (figur 1)

Dermed består konvergensområdet av konvergensintervallet, som punkter kan legges til
hvis serien konvergerer på disse punktene. Konvergensintervallet kan bli funnet ved direkte å bruke DAlembert-testen eller den radikale Cauchy-testen på en serie sammensatt av de absolutte verdiene til medlemmene i denne serien.

Eksempel 18.

Finn konvergensområdet til en serie
.

Løsning.

Denne serien er en kraftserie i makter X, dvs.
. Tenk på en serie som består av de absolutte verdiene til medlemmene i denne serien, og bruk dAlembert-testen.

Serien vil konvergere dersom grenseverdien er mindre enn 1, dvs.

, hvor
.

Dermed intervallet for konvergens av denne serien
, konvergensradius
.

Vi studerer konvergensen av serien ved enden av intervallet, ved punktene
. Erstatter verdien i denne serien
, vi får serien

Den resulterende serien er en harmonisk divergerende serie, derfor på punktet
serien divergerer, så poenget
er ikke inkludert i konvergensregionen.

På
vi får en vekslende serie

som er betinget konvergent (eksempel 15), derav poenget
– konvergenspunkt (betinget).

Dermed regionen for konvergens av serien
, og på punktet
serien konvergerer betinget, og på andre punkter - absolutt.

Resonnementet som brukes for å løse eksemplet kan gis en generell karakter.

Tenk på kraftserien

La oss lage en serie absolutte verdier av medlemmene i serien og bruke tegnet til D "Alembert på den.

Hvis det er en (endelig eller uendelig) grense, vil serien konvergere ved konvergensbetingelsen til d'Alembert-testen.

Herfra, fra definisjonen av intervallet og konvergensradiusen, har vi

Ved å bruke det radikale Cauchy-kriteriet og resonnere på samme måte, kan man få en annen formel for å finne konvergensradius

Eksempel 19

Løsning.

Serien er en maktserie i makter X. For å finne konvergensintervallet, beregner vi konvergensradiusen ved å bruke formelen ovenfor. For en gitt serie har formelen for den numeriske koeffisienten formen

, Deretter

Derfor,

Fordi R = , så konvergerer serien (absolutt) for alle verdier X, de. konvergensregion X (–; +).

Merk at det ville være mulig å finne konvergensområdet uten å bruke formler, men direkte bruke tegnet D "Alembert:

Siden verdien av grensen ikke avhenger av X og mindre enn 1, så konvergerer serien for alle verdier X, de. på X(-;+).

Eksempel 20

Finn konvergensområdet til en serie

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + P!(X + 5) P +...

Løsning .

x + 5), de. konvergenssenter X 0 = - 5. Numerisk koeffisient for serien EN P = n!.

Finn konvergensradiusen til serien

Dermed består konvergensintervallet av ett punkt - midten av konvergensintervallet x = - 5.

Eksempel 21

Finn konvergensområdet til en serie
.

Løsning.

Denne serien er en kraftserie i potenser ( X–2), de.

konvergenssenter X 0 = 2. Merk at serien er fortegn-positiv for alle faste X, fordi uttrykket ( X- 2) hevet til makten 2 P. La oss bruke det radikale Cauchy-kriteriet på serien.

Serien vil konvergere dersom grenseverdien er mindre enn 1, dvs.

,
,
,

altså konvergensradius
, deretter konvergensintegralet

,
.

Dermed konvergerer serien absolutt for X
. Merk at konvergensintegralet er symmetrisk med hensyn til konvergenssenteret X O = 2.

La oss studere konvergensen til serien ved enden av konvergensintervallet.

Forutsatt
, får vi en numerisk positiv-tegn-serie

Vi bruker det nødvendige konvergenskriteriet:

derfor divergerer tallserien, og punktet
er poenget med divergens. Merk at den andre bemerkelsesverdige grensen ble brukt i beregningen av grensen.

Forutsatt
, vi får samme tallserie (sjekk det selv!), så poenget
er heller ikke inkludert i konvergensintervallet.

Så regionen med absolutt konvergens av denne serien X
.

2.3. Egenskaper til konvergerende kraftserier

Vi vet at en endelig sum av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig; summen av differensierbare funksjoner er differensierbar, og den deriverte av summen er lik summen av de deriverte; sluttsummen kan integreres termin for termin.

Det viser seg at for "uendelige summer" av funksjoner - funksjonelle serier, i det generelle tilfellet, finner ikke egenskaper sted.

Tenk for eksempel på den funksjonelle serien

Åpenbart er alle medlemmer av serien kontinuerlige funksjoner. La oss finne konvergensområdet til denne serien og summen. For å gjøre dette finner vi delsummene av serien

deretter summen av serien

Altså summen S(X) av denne serien, som grensen for en sekvens av delsummer, eksisterer og er endelig for X (-1;1), derfor er dette intervallet området for konvergens av serien. Dessuten er summen en diskontinuerlig funksjon, siden

Så dette eksemplet viser at i det generelle tilfellet har egenskapene til endelige summer ingen analog for uendelige summer - serier. Men for et spesielt tilfelle av funksjonelle serier - potensserier - er egenskapene til summen lik egenskapene til endelige summer.

Funksjonell rekkevidde kalles et formelt skriftlig uttrykk

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... , (1)

Hvor u1 (x), u 2 (x), u 3 (x), ..., u n ( x), ... - sekvens av funksjoner fra en uavhengig variabel x.

En forkortet notasjon av en funksjonell serie med sigma:.

Eksempler på funksjonelle serier er :

(2)

(3)

Å gi den uavhengige variabelen x noen verdi x0 og erstatter den med den funksjonelle rekken (1), får vi en numerisk serie

u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + u 3 (x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...

Hvis den oppnådde numeriske serien konvergerer, sies den funksjonelle serien (1) å konvergere for x = x0 ; hvis den divergerer, som sies å være serie (1) divergerer kl x = x0 .

Eksempel 1. Undersøk konvergensen til en funksjonell serie(2) for verdier x= 1 og x = - 1 .
Løsning. På x= 1 får vi en tallrekke

som konvergerer i henhold til Leibniz-testen. På x= - 1 får vi en tallrekke

som divergerer som produktet av en divergerende harmonisk serie med – 1. Dermed konvergerer serie (2) kl. x= 1 og divergerer ved x = - 1 .

Hvis en slik test for konvergens av funksjonsserien (1) utføres med hensyn til alle verdiene til den uavhengige variabelen fra definisjonsdomenet til medlemmene, vil poengene til dette domenet bli delt inn i to sett: med verdier x tatt i en av dem konvergerer serien (1), og i den andre divergerer den.

Settet med verdier til en uavhengig variabel som funksjonsserien konvergerer for kalles dens konvergensregion .

Eksempel 2. Finn konvergensområdet til en funksjonell serie

Løsning. Medlemmene i rekken er definert på hele talllinjen og danner en geometrisk progresjon med en nevner q= synd x. Så serien konvergerer hvis

og divergerer hvis

(verdier er ikke mulig). Men for verdier og for andre verdier x. Derfor konvergerer serien for alle verdier x, unntatt . Regionen for dens konvergens er hele talllinjen, med unntak av disse punktene.

Eksempel 3. Finn konvergensområdet til en funksjonell serie

Løsning. Termene i serien danner en geometrisk progresjon med en nevner q=ln x. Derfor konvergerer serien hvis , eller , hvorfra . Dette er konvergensområdet for denne serien.

Eksempel 4. Undersøk konvergensen til en funksjonell serie

Løsning. La oss ta en vilkårlig verdi. Med denne verdien får vi en tallserie

(*)

Finn grensen for den vanlige termen

Følgelig divergerer serien (*) for en vilkårlig valgt, dvs. for enhver verdi x. Domenet for dens konvergens er det tomme settet.

Ensartet konvergens av en funksjonell serie og dens egenskaper

La oss gå videre til konseptet enhetlig konvergens av funksjonsserien . La s(x) er summen av denne serien, og sn ( x) - sum n de første medlemmene i denne serien. Funksjonell rekkevidde u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... kalles jevnt konvergent på intervallet [ en, b] , hvis for et hvilket som helst vilkårlig lite antall ε > 0 det er et slikt tall N, det for alle n ≥ N ulikheten vil bli tilfredsstilt

|s(x) − s n ( x)| < ε

for alle x fra segmentet [ en, b] .

Egenskapen ovenfor kan illustreres geometrisk som følger.

Tenk på grafen til funksjonen y = s(x) . Vi konstruerer en stripe med bredde 2 rundt denne kurven. ε n, det vil si at vi konstruerer kurver y = s(x) + ε n Og y = s(x) − ε n(de er grønne på bildet under).

Deretter for enhver ε n funksjonsgraf sn ( x) vil ligge helt i bandet som vurderes. Det samme båndet vil inneholde grafer av alle påfølgende delsummer.

Enhver konvergent funksjonell serie som ikke har funksjonen beskrevet ovenfor, er ikke-ensartet konvergent.

Tenk på en annen egenskap ved jevnt konvergerende funksjonelle serier:

summen av en serie kontinuerlige funksjoner som konvergerer jevnt på et eller annet intervall [ en, b] , er det en funksjon som er kontinuerlig på dette segmentet.

Eksempel 5 Bestem om summen av en funksjonell serie er kontinuerlig