Tämän artikkelin materiaali on tarkoitettu yhtälöjärjestelmien ensimmäiseen tutustumiseen. Tässä esittelemme yhtälöjärjestelmän määritelmän ja sen ratkaisut sekä tarkastelemme myös yleisimmät yhtälöjärjestelmätyypit. Kuten tavallista, annamme selittäviä esimerkkejä.

Sivulla navigointi.

Mikä on yhtälöjärjestelmä?

Lähestymme asteittain yhtälöjärjestelmän määritelmää. Ensinnäkin, sanotaanpa vain, että se on kätevä antaa, ja huomauttaa kaksi seikkaa: ensinnäkin tietueen tyyppi ja toiseksi tähän tietueeseen upotettu merkitys. Tarkastellaanpa niitä vuorotellen ja yleistetään sitten päättely yhtälöjärjestelmien määritelmäksi.

Annetaan joitakin niistä edessämme. Otetaan esimerkiksi kaksi yhtälöä 2 x+y=−3 ja x=5 . Kirjoitamme ne päällekkäin ja yhdistämme ne vasemmalla olevalla kiharalla:

Tämän tyyppiset tietueet, jotka ovat useita sarakkeeseen järjestettyjä yhtälöitä, jotka on yhdistetty vasemmalla kiharaan hakasulkeeseen, ovat yhtälöjärjestelmien tietueita.

Mitä tällaiset tietueet tarkoittavat? Ne määrittelevät joukon kaikkia sellaisia ​​järjestelmän yhtälöiden ratkaisuja, jotka ovat kunkin yhtälön ratkaisu.

Ei haittaa kuvailla sitä muilla sanoilla. Oletetaan, että jotkin ensimmäisen yhtälön ratkaisut ovat järjestelmän kaikkien muiden yhtälöiden ratkaisuja. Ja niin järjestelmän tietue vain nimeää ne.

Nyt olemme valmiita hyväksymään yhtälöjärjestelmän määritelmän.

Määritelmä.

Yhtälöjärjestelmät kutsutietueita, jotka ovat yhtälöitä, jotka sijaitsevat toistensa alapuolella ja joita yhdistää vasemmalla kihara hakasulke, jotka merkitsevät joukkoa yhtälöiden ratkaisuja, jotka ovat samanaikaisesti ratkaisuja järjestelmän jokaiselle yhtälölle.

Samanlainen määritelmä on annettu oppikirjassa, mutta siellä sitä ei ole annettu yleiselle tapaukselle, vaan kahdelle rationaaliselle yhtälölle, joissa on kaksi muuttujaa.

Päätyypit

On selvää, että erilaisia ​​yhtälöitä on äärettömän monta. Luonnollisesti on olemassa myös äärettömän paljon yhtälöjärjestelmiä, jotka on laadittu niiden avulla. Siksi yhtälöjärjestelmien opiskelun ja työskentelyn helpottamiseksi on järkevää jakaa ne ryhmiin samanlaisten ominaisuuksien mukaan ja sitten tarkastella yksittäisten tyyppien yhtälöjärjestelmiä.

Ensimmäinen alajako ehdottaa itsensä järjestelmään sisältyvien yhtälöiden lukumäärän perusteella. Jos yhtälöitä on kaksi, voimme sanoa, että meillä on kahden yhtälön järjestelmä, jos niitä on kolme, niin kolmen yhtälön järjestelmä jne. On selvää, että ei ole mitään järkeä puhua yhden yhtälön järjestelmästä, koska tässä tapauksessa itse asiassa olemme tekemisissä itse yhtälön kanssa, emme järjestelmän kanssa.

Seuraava jako perustuu järjestelmän yhtälöiden kirjoittamiseen osallistuvien muuttujien lukumäärään. Jos on yksi muuttuja, niin kyseessä on yhtälöjärjestelmä, jossa on yksi muuttuja (he sanovat myös yhdellä tuntemattomalla), jos niitä on kaksi, niin yhtälöjärjestelmää, jossa on kaksi muuttujaa (kahdella tuntemattomalla) jne. Esimerkiksi, on yhtälöjärjestelmä, jossa on kaksi muuttujaa x ja y.

Tämä viittaa tietueeseen liittyvien kaikkien eri muuttujien lukumäärään. Niiden ei tarvitse olla kerralla mukana jokaisen yhtälön tietueessa, riittää, että ne ovat vähintään yhdessä yhtälössä. Esimerkiksi, on yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme muuttujaa x, y ja z. Ensimmäisessä yhtälössä muuttuja x on eksplisiittisesti läsnä, kun taas y ja z ovat implisiittisiä (voidaan olettaa, että näillä muuttujilla on nolla), ja toisessa yhtälössä x ja z ovat läsnä, eikä muuttuja y ole eksplisiittisesti esitetty. Toisin sanoen ensimmäistä yhtälöä voidaan pitää muodossa , ja toinen x+0 y−3 z=0 .

Kolmas kohta, jossa yhtälöjärjestelmät eroavat toisistaan, on itse yhtälöiden muoto.

Koulussa yhtälöjärjestelmien opiskelu alkaa kahden hengen järjestelmät lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla. Eli tällaiset järjestelmät muodostavat kaksi lineaarista yhtälöä. Tässä pari esimerkkiä: ja . Niillä opetetaan yhtälöjärjestelmien kanssa työskentelyn perusteet.

Monimutkaisempia ongelmia ratkaistaessa voi kohdata myös kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmiä, joissa on kolme tuntematonta.

Edelleen 9. luokalla kahden muuttujan yhtälön järjestelmiin lisätään epälineaarisia yhtälöitä, suurimmaksi osaksi toisen asteen kokonaisia, harvemmin korkeamman asteen yhtälöitä. Näitä järjestelmiä kutsutaan epälineaaristen yhtälöiden järjestelmiksi; tarvittaessa määritetään yhtälöiden ja tuntemattomien lukumäärä. Näytämme esimerkkejä tällaisista epälineaaristen yhtälöjärjestelmien järjestelmistä: ja .

Ja sitten järjestelmissä on myös esim. Niitä kutsutaan yleensä yksinkertaisesti yhtälöjärjestelmiksi määrittelemättä mitä yhtälöitä. Tässä on syytä huomata, että useimmiten yhtälöjärjestelmästä sanotaan yksinkertaisesti "yhtälöjärjestelmä", ja tarkennuksia lisätään vain tarvittaessa.

Lukiossa materiaalia opiskellessa irrationaaliset, trigonometriset, logaritmiset ja eksponentiaaliset yhtälöt tunkeutuvat järjestelmiin: , , .

Jos tarkastellaan vielä pidemmälle yliopistojen ensimmäisten kurssien ohjelmaa, niin pääpaino on lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (SLAE) järjestelmien tutkimisessa ja ratkaisemisessa, eli yhtälöissä, joiden vasemmassa osassa ovat ensimmäinen aste, ja oikealla - joitain numeroita. Mutta siellä, toisin kuin koulu, ei ole jo otettu kahta lineaarista yhtälöä kahdella muuttujalla, vaan mielivaltainen määrä yhtälöitä, joissa on mielivaltainen määrä muuttujia, jotka eivät usein vastaa yhtälöiden määrää.

Mikä on yhtälöjärjestelmän ratkaisu?

Termi "yhtälöjärjestelmän ratkaisu" viittaa suoraan yhtälöjärjestelmiin. Koulu antaa määritelmän kahden muuttujan yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta :

Määritelmä.

Kahden muuttujan yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen kutsutaan näiden muuttujien arvoparia, joka muuttaa jokaisen järjestelmän yhtälön oikeaksi, toisin sanoen joka on ratkaisu järjestelmän jokaiseen yhtälöön.

Esimerkiksi muuttujien arvojen pari x=5 , y=2 (se voidaan kirjoittaa muodossa (5, 2) ) on määritelmän mukainen ratkaisu yhtälöjärjestelmälle, koska järjestelmän yhtälöt, kun x= 5 , y=2 substituoidaan niihin, muuttuvat todellisiksi numeerisiksi yhtälöiksi 5+2=7 ja 5−2=3 vastaavasti. Mutta arvopari x=3, y=0 ei ole ratkaisu tähän järjestelmään, koska kun nämä arvot korvataan yhtälöihin, niistä ensimmäinen muuttuu virheelliseksi yhtälöksi 3+0=7 .

Samanlaisia ​​määritelmiä voidaan muotoilla järjestelmille, joissa on yksi muuttuja, sekä järjestelmille, joissa on kolme, neljä jne. muuttujia.

Määritelmä.

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen yhdellä muuttujalla tulee muuttujaarvo, joka on järjestelmän kaikkien yhtälöiden juuri, eli joka muuttaa kaikki yhtälöt todellisiksi numeerisiksi yhtälöiksi.

Otetaan esimerkki. Tarkastellaan yhtälöjärjestelmää, jossa on yksi muodon muuttuja t . Luku −2 on sen ratkaisu, koska sekä (−2) 2 =4 että 5·(−2+2)=0 ovat todellisia numeerisia yhtälöitä. Ja t=1 ei ole ratkaisu järjestelmään, koska tämän arvon korvaaminen antaa kaksi väärää yhtälöä 1 2 =4 ja 5·(1+2)=0 .

Määritelmä.

Ratkaisu järjestelmästä, jossa on kolme, neljä jne. muuttujia kutsutaan kolmiosaiseksi, nelinkertaiseksi jne. muuttujien arvot vastaavasti, mikä muuntaa kaikki järjestelmän yhtälöt todellisiksi yhtälöiksi.

Joten määritelmän mukaan muuttujien x=1, y=2, z=0 arvojen kolmois on ratkaisu järjestelmään , koska 2 1=2 , 5 2=10 ja 1+2+0=3 ovat oikeita numeerisia yhtälöitä. Ja (1, 0, 5) ei ole ratkaisu tähän järjestelmään, koska kun nämä muuttujien arvot korvataan järjestelmän yhtälöillä, toinen niistä muuttuu virheelliseksi yhtälöksi 5 0=10 ja kolmas yksi on myös 1+0+5=3 .

Huomaa, että yhtälöjärjestelmillä ei välttämättä ole ratkaisuja, niillä voi olla äärellinen määrä ratkaisuja, esimerkiksi yksi, kaksi, ... tai niillä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Näet tämän, kun syvennät aihetta.

Ottaen huomioon yhtälöjärjestelmän määritelmät ja niiden ratkaisut, voimme päätellä, että yhtälöjärjestelmän ratkaisu on sen kaikkien yhtälöiden ratkaisujoukkojen leikkauspiste.

Lopuksi tässä on muutamia asiaan liittyviä määritelmiä:

Määritelmä.

yhteensopimaton jos sillä ei ole ratkaisuja, muuten järjestelmä kutsutaan liitos.

Määritelmä.

Yhtälöjärjestelmä on ns epävarma jos sillä on äärettömän monta ratkaisua, ja varma, jos sillä on rajallinen määrä ratkaisuja tai niitä ei ole ollenkaan.

Nämä termit esitellään esimerkiksi oppikirjassa, mutta niitä käytetään harvoin koulussa, useammin niitä voidaan kuulla korkeakouluissa.

Bibliografia.

1. Algebra: oppikirja 7 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 17. painos - M. : Koulutus, 2008. - 240 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: 9. luokka: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2009. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Algebra. 7. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 17. painos, lisäys. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A.G. Algebra. Luokka 9 Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. painos, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A.G. Algebra ja matemaattisen analyysin alku. Luokka 11. Klo 2. Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille ( profiilin taso) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos - M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Korkeamman algebran kurssi.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analyyttinen geometria: Oppikirja: Yliopistoille. – 5. painos – M.: Tiede. Fizmatlit, 1999. - 224 s. – (Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi). – ISBN 5-02-015234 – X (numero 3)

Tällä oppitunnilla tarkastelemme menetelmiä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi. Korkeamman matematiikan aikana lineaarisia yhtälöjärjestelmiä vaaditaan ratkaisemaan sekä erillisten tehtävien muodossa, esimerkiksi "Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla", että muiden ongelmien ratkaisemisen yhteydessä. Lähes kaikilla korkeamman matematiikan aloilla on käsiteltävä lineaarisia yhtälöjärjestelmiä.

Ensin vähän teoriaa. Mitä matemaattinen sana "lineaarinen" tarkoittaa tässä tapauksessa? Tämä tarkoittaa, että järjestelmän yhtälöissä kaikki muuttujat ovat mukana ensimmäisessä asteessa: ei mitään hienoja juttuja jne., joista vain matemaattisten olympialaisten osallistujat ovat iloisia.

Korkeammassa matematiikassa ei käytetä vain lapsuudesta tuttuja kirjaimia muuttujien osoittamiseen.
Melko suosittu vaihtoehto ovat muuttujat indekseillä: .
Tai latinalaisten aakkosten alkukirjaimet, pienet ja suuret:
Ei ole niin harvinaista löytää kreikkalaisia ​​kirjaimia: - monille tuttuja "alfa, beta, gamma". Ja myös sarja indekseillä, esimerkiksi kirjaimella "mu":

Yhden tai toisen kirjainjoukon käyttö riippuu korkeamman matematiikan haarasta, jossa kohtaamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän. Joten esimerkiksi lineaarisissa yhtälöjärjestelmissä, joita kohdataan integraalien ratkaisemisessa, differentiaaliyhtälöt perinteisesti käytetty merkintä

Mutta riippumatta siitä, kuinka muuttujat on nimetty, lineaarisen yhtälöjärjestelmän periaatteet, menetelmät ja menetelmät eivät muutu tästä. Joten jos kohtaat jotain kauheaa, älä kiirehdi sulkemaan ongelmakirjaa pelossa, sen sijaan voit piirtää auringon, sen sijaan - linnun ja sen sijaan - (opettajan) kasvot. Ja kummallista kyllä, lineaarinen yhtälöjärjestelmä näillä merkinnöillä voidaan myös ratkaista.

Jotain minulla on sellainen aavistus, että artikkelista tulee melko pitkä, joten pieni sisällysluettelo. Joten peräkkäinen "selvitys" on seuraava:

– Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä ("koulumenetelmä");
– Järjestelmän ratkaisu menetelmällä, jossa järjestelmän yhtälöt lasketaan termi kerrallaan;
– Järjestelmän ratkaisu Cramerin kaavoilla;
– Järjestelmän ratkaisu käänteismatriisin avulla;
– Järjestelmän ratkaisu Gaussin menetelmällä.

Kaikki tuntevat lineaariset yhtälöt koulumatematiikan kurssilta. Itse asiassa aloitamme toistolla.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen substituutiomenetelmällä

Tämä menetelmä voidaan kutsua myös "koulumenetelmäksi" tai menetelmäksi tuntemattomien poistamiseksi. Kuvaannollisesti sitä voidaan kutsua myös "puolivalmiiksi Gauss-menetelmäksi".

Esimerkki 1

Tässä meillä on kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kaksi tuntematonta. Huomaa, että vapaat termit (numerot 5 ja 7) sijaitsevat yhtälön vasemmalla puolella. Yleisesti ottaen ei ole väliä missä ne ovat, vasemmalla vai oikealla, vaan korkeamman matematiikan tehtävissä ne usein sijoittuvat näin. Ja tällaisen tietueen ei pitäisi olla hämmentävä, tarvittaessa järjestelmä voidaan aina kirjoittaa "tavalliseen tapaan":. Älä unohda, että kun siirrät termiä osasta toiseen, sinun on vaihdettava sen merkki.

Mitä tarkoittaa lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen? Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa sen ratkaisujoukon löytämistä. Järjestelmän ratkaisu on joukko kaikkien siihen sisältyvien muuttujien arvoja, joka muuttaa JOKAINEN järjestelmän yhtälö todelliseksi tasa-arvoksi. Lisäksi järjestelmä voi olla yhteensopimaton (ei ratkaisuja).Älä ole ujo, tämä on yleinen määritelmä =) Meillä on vain yksi arvo "x" ja yksi arvo "y", jotka täyttävät jokaisen yhtälön kanssa-we.

Järjestelmän ratkaisemiseen on graafinen menetelmä, joka löytyy oppitunnilta. Yksinkertaisimmat ongelmat suoralla viivalla. Siellä puhuin geometrinen tunne kahden lineaarisen yhtälön järjestelmät, joissa on kaksi tuntematonta. Mutta nyt pihalla on algebran aikakausi, ja numerot-numerot, teot-toimet.

Me päätämme: ensimmäisestä yhtälöstä ilmaisemme:
Korvaamme tuloksena olevan lausekkeen toiseen yhtälöön:

Avaamme sulut, annamme samankaltaiset termit ja löydämme arvon:

Seuraavaksi muistetaan, mistä he tanssivat:
Tiedämme jo arvon, on vielä löydettävä:

Vastaus:

Kun JOKAINEN yhtälöjärjestelmä on ratkaistu millä tahansa tavalla, suosittelen tarkistamista (suullisesti, luonnoksella tai laskimella). Onneksi tämä onnistuu nopeasti ja helposti.

1) Korvaa löydetty vastaus ensimmäisessä yhtälössä:

- oikea tasa-arvo saavutetaan.

2) Korvaamme löydetyn vastauksen toisessa yhtälössä:

- oikea tasa-arvo saavutetaan.

Tai yksinkertaisemmin sanottuna "kaikki tuli yhteen"

Tarkasteltu ratkaisumenetelmä ei ole ainoa; ensimmäisestä yhtälöstä oli mahdollista ilmaista , mutta ei .
Voit päinvastoin - ilmaista jotain toisesta yhtälöstä ja korvaa se ensimmäisellä yhtälöllä. Muuten, huomaa, että epäedullisin neljästä tavasta on ilmaista toisesta yhtälöstä:

Murtoluvut saadaan, mutta miksi niin? On olemassa järkevämpi ratkaisu.

Joissakin tapauksissa murto-osat ovat kuitenkin edelleen välttämättömiä. Tässä yhteydessä kiinnitän huomiosi siihen, MITEN kirjoitin ilmaisun. Ei näin: eikä missään nimessä näin: .

Jos korkeammassa matematiikassa käsittelet murtolukuja, yritä suorittaa kaikki laskelmat tavallisilla väärillä murtoluvuilla.

Aivan, ei tai!

Pilkkua voidaan käyttää vain satunnaisesti, varsinkin jos - tämä on lopullinen vastaus johonkin ongelmaan, eikä tällä numerolla tarvitse tehdä muita toimia.

Monet lukijat luultavasti ajattelivat "miksi niin yksityiskohtainen selitys kuin korjausluokassa, ja kaikki on selvää". Ei mitään sellaista, se näyttää olevan niin yksinkertainen kouluesimerkki, mutta kuinka monta ERITTÄIN tärkeää johtopäätöstä! Tässä toinen:

Kaikki tehtävät tulee pyrkiä saamaan päätökseen rationaalisimmalla tavalla.. Jos vain siksi, että se säästää aikaa ja hermoja ja vähentää myös virheen tekemisen todennäköisyyttä.

Jos korkeamman matematiikan tehtävässä törmäät kahden lineaarisen yhtälön järjestelmään, jossa on kaksi tuntematonta, voit aina käyttää korvausmenetelmää (ellei ole osoitettu, että järjestelmä on ratkaistava toisella menetelmällä) ".
Lisäksi joissakin tapauksissa on suositeltavaa käyttää korvausmenetelmää suuremmalla määrällä muuttujia.

Esimerkki 2

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme tuntematonta

Samanlainen yhtälöjärjestelmä syntyy usein käytettäessä niin kutsuttua epämääräisten kertoimien menetelmää, kun löydämme rationaalisen murtofunktion integraalin. Kyseisen järjestelmän otin sieltä.

Kun löydetään integraali - tavoite nopeasti löytää kertoimien arvot, äläkä ole kehittynyt Cramerin kaavoilla, menetelmällä käänteinen matriisi jne. Siksi tässä tapauksessa korvausmenetelmä on sopiva.

Kun mikä tahansa yhtälöjärjestelmä on annettu, on ensinnäkin toivottavaa selvittää, mutta onko mahdollista yksinkertaistaa sitä jotenkin VÄLITTÖMÄSTI? Analysoimalla järjestelmän yhtälöitä huomaamme, että järjestelmän toinen yhtälö voidaan jakaa kahdella, minkä teemme:

Viite: matemaattinen symboli tarkoittaa "tästä seuraa tätä", sitä käytetään usein tehtävien ratkaisussa.

Nyt analysoimme yhtälöt, meidän on ilmaistava jokin muuttuja muiden kautta. Mikä yhtälö valita? Olet luultavasti jo arvannut, että helpoin tapa tähän tarkoitukseen on ottaa järjestelmän ensimmäinen yhtälö:

Tässä ei ole väliä mitä muuttujaa ilmaistaan, yhtä hyvin voidaan ilmaista tai .

Seuraavaksi korvaamme lausekkeen for järjestelmän toiseen ja kolmanteen yhtälöön:

Avaa sulut ja lisää vastaavat termit:

Jaamme kolmannen yhtälön kahdella:

Toisesta yhtälöstä ilmaisemme ja korvaamme kolmanteen yhtälöön:

Melkein kaikki on valmista, kolmannesta yhtälöstä löydämme:
Toisesta yhtälöstä:
Ensimmäisestä yhtälöstä:

Tarkista: Korvaa järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalla puolella olevien muuttujien löydetyt arvot:

1)
2)
3)

Yhtälöiden vastaavat oikeat puolet saadaan, joten ratkaisu löytyy oikein.

Esimerkki 3

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on 4 tuntematonta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Järjestelmän ratkaisu järjestelmän yhtälöiden termi kerrallaan yhteenlaskemalla (vähennyksellä).

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä ratkaistaessa ei tulisi käyttää "koulumenetelmää", vaan järjestelmän yhtälöiden termikohtaista yhteenlasku- (vähennys) -menetelmää. Miksi? Tämä säästää aikaa ja yksinkertaistaa laskelmia, mutta nyt se selkenee.

Esimerkki 4

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Otin saman järjestelmän kuin ensimmäisessä esimerkissä.
Yhtälöjärjestelmää analysoimalla huomaamme, että muuttujan kertoimet ovat absoluuttisesti identtisiä ja etumerkillisesti päinvastaisia ​​(–1 ja 1). Tässä tilanteessa yhtälöt voidaan lisätä termi kerrallaan:

Punaisella ympyröidyt toiminnot suoritetaan HENKILÖSTÄ.
Kuten näet, termikohtaisen lisäyksen seurauksena olemme menettäneet muuttujan . Tämä itse asiassa on menetelmän ydin on päästä eroon yhdestä muuttujasta.

Ratkaise järjestelmä kahdella tuntemattomalla - tämä tarkoittaa, että etsitään kaikki muuttujaarvoparit, jotka täyttävät kunkin annetuista yhtälöistä. Jokaista tällaista paria kutsutaan järjestelmäratkaisu.

Esimerkki:
Arvopari \(x=3\);\(y=-1\) on ratkaisu ensimmäiseen järjestelmään, koska korvaamalla nämä kolmiot ja miinus ykköset järjestelmään \(x\) ja \ sijasta (y\), molemmat yhtälöt muuttuvat kelvollisiksi yhtälöiksi \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

Mutta \(x=1\); \(y=-2\) - ei ole ratkaisu ensimmäiseen järjestelmään, koska korvauksen jälkeen toinen yhtälö "ei konvergoidu" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Huomaa, että tällaiset parit kirjoitetaan usein lyhyemmiksi: "\(x=3\); \(y=-1\)" sijaan ne kirjoitetaan seuraavasti: \((3;-1)\).

Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen on kolme päätapaa:

1. Korvausmenetelmä.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\nuoli vasen oikealle\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\loppu(tapaukset)\)\(\nuoli vasen oikealle\)

Korvaa tuloksena oleva lauseke tämän muuttujan sijaan järjestelmän toisella yhtälöllä.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   Toisessa yhtälössä jokainen termi on parillinen, joten yksinkertaistamme yhtälöä jakamalla sen arvolla \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Tämä järjestelmä voidaan ratkaista millä tahansa tavalla, mutta minusta näyttää siltä, ​​​​että korvausmenetelmä on tässä kätevin. Ilmaistaan ​​y toisesta yhtälöstä.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Korvaa \(y\) ensimmäisessä yhtälössä \(6x-13\).
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ensimmäisestä yhtälöstä on tullut normaali. Me ratkaisemme sen.

   Avataan ensin sulut.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Siirretään \(117\) oikealle ja annetaan vastaavat termit.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Jaa ensimmäisen yhtälön molemmat puolet \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hurraa, löysimme \(x\)! Korvaa sen arvo toiseen yhtälöön ja etsi \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(tapaukset) )\)

   Kirjoitetaan vastaus ylös.

Tällä videolla aloitan oppituntien sarjan yhtälöjärjestelmistä. Tänään puhumme lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta lisäysmenetelmä- on yksi eniten yksinkertaisia ​​tapoja mutta myös yksi tehokkaimmista.

Lisäysmenetelmä koostuu kolmesta yksinkertaisesta vaiheesta:

1. Katso järjestelmää ja valitse muuttuja, jolla on samat (tai vastakkaiset) kertoimet jokaisessa yhtälössä;
2. Suorita yhtälöiden algebrallinen vähennys (vastakkaisille luvuille - yhteenlasku) ja tuo sitten samanlaiset termit;
3. Ratkaise toisen vaiheen jälkeen saatu uusi yhtälö.

Jos kaikki on tehty oikein, niin lähdössä saamme yhden yhtälön yhdellä muuttujalla- Se ei ole vaikea ratkaista. Sitten jää vain korvata löydetty juuri alkuperäisessä järjestelmässä ja saada lopullinen vastaus.

Käytännössä se ei kuitenkaan ole niin yksinkertaista. Tähän on useita syitä:

• Yhtälöiden ratkaiseminen yhteenlaskemalla tarkoittaa, että kaikilla riveillä on oltava muuttujat, joilla on samat/vastakkaiset kertoimet. Entä jos tämä vaatimus ei täyty?
• Ei aina, kun yhtälöitä on lisätty / vähennetty tällä tavalla, saamme kauniin rakenteen, joka on helposti ratkaistava. Onko mahdollista jotenkin yksinkertaistaa laskelmia ja nopeuttaa laskelmia?

Saadaksesi vastauksen näihin kysymyksiin ja samalla käsitelläksesi muutamia muita hienouksia, joihin monet opiskelijat "katoavat", katso opetusvideoni:

Tällä oppitunnilla aloitamme luentosarjan yhtälöjärjestelmistä. Ja aloitamme niistä yksinkertaisimmista, nimittäin niistä, jotka sisältävät kaksi yhtälöä ja kaksi muuttujaa. Jokainen niistä on lineaarinen.

Systems on 7. luokan materiaali, mutta tämä oppitunti on hyödyllinen myös lukiolaisille, jotka haluavat päivittää tietojaan tästä aiheesta.

Yleensä tällaisten järjestelmien ratkaisemiseen on kaksi tapaa:

1. Lisäysmenetelmä;
2. Menetelmä ilmaista yksi muuttuja toisella.

Tänään käsittelemme ensimmäistä menetelmää - käytämme vähennys- ja yhteenlaskumenetelmää. Mutta tätä varten sinun on ymmärrettävä seuraava tosiasia: kun sinulla on kaksi tai useampi yhtälö, voit ottaa mitkä tahansa kaksi niistä ja lisätä ne yhteen. Ne lisätään termi kerrallaan, ts. "X" lisätään "X:ihin" ja annetaan samankaltaisia;

Tällaisten masinaatioiden tulokset ovat uusi yhtälö, jolla, jos sillä on juuret, ne ovat varmasti alkuperäisen yhtälön juurien joukossa. Tehtävämme on siis tehdä vähennys- tai yhteenlasku niin, että joko $x$ tai $y$ katoaa.

Kuinka saavuttaa tämä ja mitä työkalua tähän käytetään - puhumme tästä nyt.

Helppojen ongelmien ratkaiseminen lisäysmenetelmällä

Opimme siis käyttämään summausmenetelmää kahden yksinkertaisen lausekkeen esimerkillä.

Tehtävä 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Huomaa, että $y$:n kerroin on $-4$ ensimmäisessä yhtälössä ja $+4$ toisessa. Ne ovat toistensa vastakohtaisia, joten on loogista olettaa, että jos laskemme ne yhteen, niin tuloksena olevan määrän "pelit" tuhoavat toisensa. Lisäämme ja saamme:

Ratkaisemme yksinkertaisimman rakentamisen:

Hienoa, löysimme X:n. Mitä hänen kanssaan nyt tehdä? Voimme korvata sen mihin tahansa yhtälöihin. Laitetaan se ensimmäiseen:

\[-4y=12\left| :\vasen(-4 \oikea) \oikea.\]

Vastaus: $\left(2;-3\right)$.

Tehtävä #2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Täällä tilanne on täysin samanlainen, vain X:iden kanssa. Laitetaan ne yhteen:

Saimme yksinkertaisin lineaarisen yhtälön, ratkaistaan ​​se:

Etsitään nyt $x$:

Vastaus: $\left(-3;3\right)$.

Tärkeitä kohtia

Joten olemme juuri ratkaisseet kaksi yksinkertaista lineaariyhtälöjärjestelmää summausmenetelmällä. Jälleen kerran pääkohdat:

1. Jos jollekin muuttujalle on päinvastaiset kertoimet, on tarpeen lisätä kaikki yhtälön muuttujat. Tässä tapauksessa yksi niistä tuhoutuu.
2. Korvaamme löydetyn muuttujan mihin tahansa järjestelmän yhtälöön löytääksemme toisen.
3. Vastauksen lopullinen tallenne voidaan esittää eri tavoin. Esimerkiksi näin - $x=...,y=...$ tai pisteiden koordinaattien muodossa - $\left(...;... \right)$. Toinen vaihtoehto on parempi. Tärkeintä on muistaa, että ensimmäinen koordinaatti on $x$ ja toinen on $y$.
4. Sääntöä vastauksen kirjoittamisesta pistekoordinaattien muodossa ei aina voida soveltaa. Sitä ei voi esimerkiksi käyttää, kun muuttujien rooli ei ole $x$ ja $y$, vaan esimerkiksi $a$ ja $b$.

Seuraavissa tehtävissä tarkastellaan vähennystekniikkaa, kun kertoimet eivät ole vastakkaisia.

Helppojen ongelmien ratkaiseminen vähennyslaskumenetelmällä

Tehtävä 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Huomaa, että tässä ei ole vastakkaisia ​​kertoimia, mutta on identtisiä. Siksi vähennämme toisen yhtälön ensimmäisestä yhtälöstä:

Nyt korvaamme $x$:n arvon mihin tahansa järjestelmän yhtälöön. Mennään ensin:

Vastaus: $\left(2;5\right)$.

Tehtävä #2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Näemme jälleen saman kertoimen $5$ arvolle $x$ ensimmäisessä ja toisessa yhtälössä. Siksi on loogista olettaa, että sinun on vähennettävä toinen ensimmäisestä yhtälöstä:

Olemme laskeneet yhden muuttujan. Etsitään nyt toinen esimerkiksi korvaamalla $y$:n arvo toisella konstruktilla:

Vastaus: $\left(-3;-2 \right)$.

Ratkaisun vivahteet

Joten mitä me näemme? Pohjimmiltaan järjestelmä ei eroa aikaisempien järjestelmien ratkaisusta. Ainoa ero on, että emme lisää yhtälöitä, vaan vähennämme ne. Teemme algebrallista vähennyslaskua.

Toisin sanoen heti kun näet järjestelmän, joka koostuu kahdesta yhtälöstä, joissa on kaksi tuntematonta, ensimmäinen asia, joka sinun on tarkasteltava, on kertoimet. Jos ne ovat samat missä tahansa, yhtälöt vähennetään, ja jos ne ovat vastakkaisia, käytetään summausmenetelmää. Tämä tehdään aina niin, että yksi niistä katoaa, ja vähennyksen jälkeen jäljelle jäävään loppuyhtälöön jäisi vain yksi muuttuja.

Siinä ei tietenkään vielä kaikki. Nyt tarkastelemme järjestelmiä, joissa yhtälöt ovat yleensä epäjohdonmukaisia. Nuo. niissä ei ole sellaisia ​​muuttujia, jotka olisivat joko samat tai vastakkaiset. Tässä tapauksessa tällaisten järjestelmien ratkaisemiseksi käytetään lisätekniikkaa, nimittäin kunkin yhtälön kertomista erityisellä kertoimella. Kuinka löytää se ja kuinka ratkaista tällaiset järjestelmät yleensä, puhumme nyt tästä.

Ongelman ratkaiseminen kertoimella

Esimerkki #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Näemme, että $x$:n ja $y$:n kertoimet eivät ole vain keskenään vastakkaisia, vaan yleensä ne eivät korreloi millään tavalla toisen yhtälön kanssa. Nämä kertoimet eivät katoa millään tavalla, vaikka lisäämme tai vähennämme yhtälöt toisistaan. Siksi on tarpeen soveltaa kertolaskua. Yritetään päästä eroon muuttujasta $y$. Tätä varten kerromme ensimmäisen yhtälön kertoimella $y$ toisesta yhtälöstä ja toisen yhtälön kertoimella $y$ ensimmäisestä yhtälöstä etumerkkiä muuttamatta. Kerromme ja saamme uuden järjestelmän:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Katsotaanpa sitä: $y$:lle vastakkaiset kertoimet. Tällaisessa tilanteessa on tarpeen soveltaa lisäysmenetelmää. Lisätään:

Nyt meidän on löydettävä $y$. Voit tehdä tämän korvaamalla $x$ ensimmäisessä lausekkeessa:

\[-9y=18\left| :\vasen(-9 \oikea) \oikea.\]

Vastaus: $\left(4;-2\right)$.

Esimerkki #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Jälleen kerran, minkään muuttujan kertoimet eivät ole yhdenmukaisia. Kerrotaan $y$:n kertoimilla:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Uusi järjestelmämme on samanlainen kuin edellinen, mutta $y$:n kertoimet ovat keskenään päinvastaisia, joten summausmenetelmää on helppo käyttää tässä:

Etsi nyt $y$ korvaamalla $x$ ensimmäiseen yhtälöön:

Vastaus: $\left(-2;1\right)$.

Ratkaisun vivahteet

Keskeinen sääntö tässä on seuraava: kerro aina vain positiivisilla luvuilla - tämä säästää sinua typeriltä ja loukkaavilta virheiltä, ​​jotka liittyvät merkkien vaihtamiseen. Yleensä ratkaisukaavio on melko yksinkertainen:

1. Katsomme järjestelmää ja analysoimme jokaisen yhtälön.
2. Jos näemme, että $y$ ja $x$ eivät kertoimet ole yhdenmukaisia, ts. ne eivät ole yhtä suuria eivätkä vastakkaisia, teemme seuraavaa: valitse muuttuja, josta päästään eroon, ja katso sitten näiden yhtälöiden kertoimia. Jos kerromme ensimmäisen yhtälön kertoimella toisesta ja kerromme toisen vastaavan kertoimella ensimmäisestä, niin loppujen lopuksi saadaan järjestelmä, joka on täysin ekvivalentti edellisen kanssa, ja kertoimet kohdassa $y $ on johdonmukainen. Kaikki toimintamme tai muunnokset tähtäävät vain yhden muuttujan saamiseen yhteen yhtälöön.
3. Löydämme yhden muuttujan.
4. Korvaamme löydetyn muuttujan jompaankumpaan järjestelmän kahdesta yhtälöstä ja etsimme toisen.
5. Kirjoitamme vastauksen pisteiden koordinaattien muodossa, jos meillä on muuttujat $x$ ja $y$.

Mutta jopa sellaisella yksinkertaisella algoritmilla on omat hienovaraisuutensa, esimerkiksi $x$ tai $y$ kertoimet voivat olla murtolukuja ja muita "rumia" lukuja. Käsittelemme nyt näitä tapauksia erikseen, koska niissä voit toimia hieman eri tavalla kuin vakioalgoritmin mukaan.

Tehtävän ratkaiseminen murtoluvuilla

Esimerkki #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Ensinnäkin huomaa, että toinen yhtälö sisältää murto-osia. Huomaa kuitenkin, että voit jakaa 4 dollaria 0,8 dollarilla. Saamme 5 dollaria. Kerrotaan toinen yhtälö $5$:lla:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Vähennämme yhtälöt toisistaan:

$n$ löysimme, nyt laskemme $m$:

Vastaus: $n=-4;m=5$

Esimerkki #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ oikein.\]

Tässä, kuten edellisessä järjestelmässä, on murtokertoimia, mutta minkään muuttujan kertoimet eivät sovi toisiinsa kokonaislukumäärän verran. Siksi käytämme vakioalgoritmia. Päästä eroon $p$:sta:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Käytetään vähennysmenetelmää:

Etsitään $p$ korvaamalla $k$ toiseen konstruktiin:

Vastaus: $p=-4;k=-2$.

Ratkaisun vivahteet

Siinä kaikki optimointi. Ensimmäisessä yhtälössä emme kertoneet millään, ja toinen yhtälö kerrottiin $5 $:lla. Tämän seurauksena olemme saaneet johdonmukaisen ja jopa saman yhtälön ensimmäiselle muuttujalle. Toisessa järjestelmässä toimimme vakioalgoritmin mukaan.

Mutta kuinka löytää numerot, joilla sinun on kerrottava yhtälöt? Loppujen lopuksi, jos kerromme murtoluvuilla, saamme uusia murtolukuja. Siksi murtoluvut on kerrottava luvulla, joka antaisi uuden kokonaisluvun, ja sen jälkeen muuttujat tulee kertoa kertoimilla vakioalgoritmia noudattaen.

Lopuksi haluan kiinnittää huomionne vastaustietueen muotoon. Kuten jo sanoin, koska täällä ei ole $x$ ja $y$, vaan muita arvoja, käytämme muodon epätyypillistä merkintää:

Monimutkaisten yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen

Viimeisenä silauksena tämän päivän video-opetusohjelmaan, katsotaanpa pari todella monimutkaista järjestelmää. Niiden monimutkaisuus koostuu siitä, että ne sisältävät muuttujia sekä vasemmalla että oikealla. Siksi meidän on käytettävä esikäsittelyä niiden ratkaisemiseksi.

Järjestelmä #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \oikea )-1=5\vasen(2x-1 \oikea)+8 \\\end(tasaa) \oikea.\]

Jokaisella yhtälöllä on tietty monimutkaisuus. Siksi jokaisella lausekkeella tehdään kuten normaalilla lineaarisella konstruktiolla.

Yhteensä saamme lopullisen järjestelmän, joka vastaa alkuperäistä:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Katsotaanpa $y$:n kertoimia: $3$ sopii $6$:iin kahdesti, joten kerromme ensimmäisen yhtälön $2$:lla:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$:n kertoimet ovat nyt yhtä suuret, joten vähennämme toisen ensimmäisestä yhtälöstä: $$

Etsitään nyt $y$:

Vastaus: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Järjestelmä #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(tasaa) \oikea.\]

Muunnetaan ensimmäinen lauseke:

Käsitellään toista:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Alkuperäinen järjestelmämme on kokonaisuudessaan seuraavanlainen:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Tarkasteltaessa $a$:n kertoimia, näemme, että ensimmäinen yhtälö on kerrottava $2$:lla:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Vähennämme toisen ensimmäisestä rakenteesta:

Etsi nyt $a$:

Vastaus: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Siinä kaikki. Toivon, että tämä video-opetusohjelma auttaa sinua ymmärtämään tämän vaikean aiheen, nimittäin yksinkertaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisen. Tästä aiheesta tulee lisää oppitunteja: analysoimme monimutkaisempia esimerkkejä, joissa on enemmän muuttujia ja yhtälöt ovat jo epälineaarisia. Nähdään pian!

Lineaaristen järjestelmien ratkaisu algebralliset yhtälöt(SLAE) on epäilemättä lineaarialgebran kurssin tärkein aihe. Valtava määrä ongelmia kaikilta matematiikan aloilta rajoittuu lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Nämä tekijät selittävät syyn tämän artikkelin luomiseen. Artikkelin materiaali on valittu ja jäsennelty niin, että sen avulla voit

• valita optimaalinen menetelmä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi,
• opiskella valitun menetelmän teoriaa,
• ratkaise lineaariyhtälöjärjestelmäsi harkittuaan yksityiskohtaisesti tyypillisten esimerkkien ja ongelmien ratkaisuja.

Lyhyt kuvaus artikkelin materiaalista.

Ensin annamme kaikki tarvittavat määritelmät, käsitteet ja otamme käyttöön joitain merkintöjä.

Seuraavaksi tarkastellaan menetelmiä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja joilla on ainutlaatuinen ratkaisu. Ensinnäkin keskitytään Cramer-menetelmään, toiseksi näytämme matriisimenetelmän tällaisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi, ja kolmanneksi analysoimme Gaussin menetelmää (tuntemattomien muuttujien peräkkäisen eliminoinnin menetelmä). Teorian vahvistamiseksi ratkaisemme varmasti useita SLAE-ratkaisuja eri tavoilla.

Sen jälkeen siirrytään ratkaisemaan yleismuotoisia lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä tai järjestelmän päämatriisi on degeneroitunut. Muotoilemme Kronecker-Capelli-lauseen, jonka avulla voimme määrittää SLAE:n yhteensopivuuden. Analysoidaan järjestelmien ratkaisua (niiden yhteensopivuuden tapauksessa) matriisin kantamollin käsitteellä. Tarkastellaan myös Gaussin menetelmää ja kuvataan yksityiskohtaisesti esimerkkien ratkaisut.

Muista keskittyä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisten ja epähomogeenisten järjestelmien yleisen ratkaisun rakenteeseen. Esitetään perusratkaisujärjestelmän käsite ja osoitetaan kuinka kirjoittaa yhteinen päätös SLAE perusratkaisujärjestelmän vektorien avulla. Paremman ymmärtämisen vuoksi katsotaanpa muutama esimerkki.

Lopuksi tarkastelemme yhtälöjärjestelmiä, jotka on pelkistetty lineaarisiin, sekä erilaisia ​​​​ongelmia, joiden ratkaisussa SLAE syntyy.

Sivulla navigointi.

Määritelmät, käsitteet, nimitykset.

Tarkastellaan p lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiä, joissa on n tuntematonta muuttujaa (p voi olla yhtä suuri kuin n ) muotoa

Tuntemattomat muuttujat, - kertoimet (jotkut reaali- tai kompleksiluvut), - vapaat jäsenet (myös reaali- tai kompleksiluvut).

Tätä SLAE-muotoa kutsutaan koordinoida.

AT matriisimuoto tällä yhtälöjärjestelmällä on muoto,
missä - järjestelmän päämatriisi, - tuntemattomien muuttujien matriisisarake, - vapaiden jäsenten matriisisarake.

Jos lisäämme matriisiin A sarakkeena (n + 1) vapaiden termien matriisisarakkeen, niin saadaan ns. laajennettu matriisi lineaariset yhtälöt. Yleensä laajennettu matriisi merkitään kirjaimella T, ja vapaiden jäsenten sarake on erotettu pystyviivalla muista sarakkeista, eli

Ratkaisemalla lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän kutsutaan joukoksi tuntemattomien muuttujien arvoja, joka muuttaa kaikki järjestelmän yhtälöt identiteeteiksi. Myös matriisiyhtälö tuntemattomien muuttujien annetuille arvoille muuttuu identiteetiksi.

Jos yhtälöjärjestelmällä on vähintään yksi ratkaisu, sitä kutsutaan liitos.

Jos yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, sitä kutsutaan yhteensopimaton.

Jos SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, sitä kutsutaan varma; jos ratkaisuja on useampi kuin yksi, niin - epävarma.

Jos järjestelmän kaikkien yhtälöiden vapaat ehdot ovat nolla , niin järjestelmä kutsutaan homogeeninen, muuten - heterogeeninen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisu.

Jos järjestelmäyhtälöiden määrä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä ja sen päämatriisin determinantti ei ole nolla, kutsumme tällaisia ​​SLAE:itä perus. Tällaisilla yhtälöjärjestelmillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja homogeenisen järjestelmän tapauksessa kaikki tuntemattomat muuttujat ovat nollia.

Aloimme tutkia tällaisia ​​SLAE:ita vuonna lukio. Niitä ratkottaessa otimme yhden yhtälön, ilmaisimme yhden tuntemattoman muuttujan muilla ja korvasimme sen jäljellä olevilla yhtälöillä, otimme sitten seuraavan yhtälön, ilmaisimme seuraavan tuntemattoman muuttujan ja substituoimme sen muilla yhtälöillä ja niin edelleen. Tai he käyttivät summausmenetelmää, eli he lisäsivät kaksi tai useampia yhtälöitä joidenkin tuntemattomien muuttujien poistamiseksi. Emme käsittele näitä menetelmiä yksityiskohtaisesti, koska ne ovat olennaisesti Gaussin menetelmän muunnelmia.

Tärkeimmät menetelmät lineaaristen yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisemiseksi ovat Cramer-menetelmä, matriisimenetelmä ja Gaussin menetelmä. Selvitetään ne.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Cramerin menetelmällä.

Meidän on ratkaistava lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä

jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti on eri kuin nolla, eli .

Antaa olla determinantti päämatriisin järjestelmän, ja ovat determinantteja matriisien, jotka saadaan A:sta korvaamalla 1., 2., …, n:s sarake vastaavasti vapaiden jäsenten sarakkeeseen:

Tällaisella merkinnällä tuntemattomat muuttujat lasketaan Cramerin menetelmän kaavoilla as . Näin Cramer-menetelmällä löydetään lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu.

Esimerkki.

Cramer menetelmä .

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisilla on muoto . Laske sen determinantti (katso tarvittaessa artikkeli):

Koska järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää Cramerin menetelmällä.

Laadi ja laske tarvittavat determinantit (determinantti saadaan korvaamalla matriisin A ensimmäinen sarake vapaiden jäsenten sarakkeella, determinantti - korvaamalla toinen sarake vapaiden jäsenten sarakkeella, - korvaamalla matriisin A kolmas sarake vapaiden jäsenten sarakkeella ):

Tuntemattomien muuttujien etsiminen kaavoilla :

Vastaus:

Cramerin menetelmän suurin haitta (jos sitä voidaan kutsua haitaksi) on determinanttien laskemisen monimutkaisuus, kun järjestelmäyhtälöitä on enemmän kuin kolme.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen matriisimenetelmällä (käyttäen käänteismatriisia).

Olkoon lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä matriisimuodossa , jossa matriisin A mitat ovat n x n ja sen determinantti on nollasta poikkeava.

Koska , niin matriisi A on käänteinen, eli on olemassa käänteimatriisi . Jos kerromme yhtälön molemmat osat vasemmalla, saadaan kaava tuntemattomien muuttujien sarakematriisin löytämiseksi. Joten saimme lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisun matriisimenetelmällä.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä matriisimenetelmä.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä uudelleen matriisimuotoon:

Koska

silloin SLAE voidaan ratkaista matriisimenetelmällä. Käänteismatriisia käyttämällä ratkaisu tähän järjestelmään voidaan löytää seuraavasti .

Rakennetaan käänteismatriisi käyttämällä matriisin A elementtien algebrallisten komplementtien matriisia (katso tarvittaessa artikkeli):

Jää vielä laskea - tuntemattomien muuttujien matriisi kertomalla käänteinen matriisi ilmaisten jäsenten matriisisarakkeessa (katso tarvittaessa artikkeli):

Vastaus:

tai toisessa merkinnässä x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Suurin ongelma ratkaisujen löytämisessä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiin matriisimenetelmällä on käänteismatriisin löytämisen monimutkaisuus, erityisesti neliömatriisien kohdalla, joiden kertaluku on korkeampi kuin kolmas.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Oletetaan, että meidän on löydettävä ratkaisu n lineaarisen yhtälön järjestelmälle, jossa on n tuntematonta muuttujaa
jonka päämatriisin determinantti on eri kuin nolla.

Gaussin menetelmän ydin koostuu tuntemattomien muuttujien peräkkäisestä poissulkemisesta: ensin x 1 jätetään pois kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta, sitten x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä alkaen kolmannesta ja niin edelleen, kunnes vain tuntematon muuttuja x n jää viimeiseen yhtälöön. Tällaista prosessia järjestelmän yhtälöiden muuntamiseksi tuntemattomien muuttujien peräkkäiseksi eliminoimiseksi kutsutaan ns. suora Gaussin menetelmä. Kun Gaussin menetelmän eteenpäinajo on suoritettu loppuun, x n löydetään viimeisestä yhtälöstä, x n-1 lasketaan toiseksi viimeisestä yhtälöstä tätä arvoa käyttäen ja niin edelleen, x 1 löydetään ensimmäisestä yhtälöstä. Tuntemattomien muuttujien laskentaprosessi siirryttäessä järjestelmän viimeisestä yhtälöstä ensimmäiseen on ns. käänteinen Gaussin menetelmä.

Kuvataanpa lyhyesti algoritmi tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi.

Oletetaan, että , koska voimme aina saavuttaa tämän järjestämällä järjestelmän yhtälöitä uudelleen. Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois kaikista järjestelmän yhtälöistä toisesta alkaen. Tätä varten lisää ensimmäinen yhtälö kerrottuna järjestelmän toiseen yhtälöön, lisää ensimmäinen kerrottuna kolmanteen yhtälöön ja niin edelleen, lisää ensimmäinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä .

Pääsisimme samaan tulokseen, jos ilmaisimme x 1:n muilla tuntemattomilla muuttujilla järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä ja korvaamme tuloksena olevan lausekkeen kaikilla muilla yhtälöillä. Siten muuttuja x 1 jätetään pois kaikista yhtälöistä toisesta alkaen.

Seuraavaksi toimimme samalla tavalla, mutta vain osan kanssa tuloksena olevasta järjestelmästä, joka on merkitty kuvaan

Tee tämä lisäämällä toinen kerrottuna järjestelmän kolmanteen yhtälöön, lisäämällä toinen kerrottuna neljänteen yhtälöön ja niin edelleen, lisäämällä toinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä . Siten muuttuja x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä kolmannesta alkaen.

Seuraavaksi edetään tuntemattoman x 3:n eliminointiin samalla tavalla toimien kuvassa merkityn järjestelmän osan kanssa

Jatkamme siis Gaussin menetelmän suoraa kulkua, kunnes järjestelmä saa muodon

Tästä hetkestä lähtien aloitamme Gaussin menetelmän käänteisen kulkun: laskemme x n viimeisestä yhtälöstä kuten , käyttämällä saatua arvoa x n löydämme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1 ja niin edelleen, löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälö.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmä.

Ratkaisu.

Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä. Tätä varten lisäämme toisen ja kolmannen yhtälön molempiin osiin ensimmäisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna ja vastaavasti:

Nyt poistamme x 2 kolmannesta yhtälöstä lisäämällä sen vasemmalle ja oikeat osat toisen yhtälön vasen ja oikea puoli kerrottuna:

Tällä Gaussin menetelmän eteenpäin suuntautuva kurssi on valmis, aloitamme käänteisen kurssin.

Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän viimeisestä yhtälöstä löydämme x 3:

Toisesta yhtälöstä saamme .

Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme jäljellä olevan tuntemattoman muuttujan ja tämä täydentää Gaussin menetelmän käänteisen kurssin.

Vastaus:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen.

AT yleinen tapaus järjestelmäyhtälöiden lukumäärä p ei vastaa tuntemattomien muuttujien määrää n:

Tällaisilla SLAE-ratkaisuilla ei voi olla ratkaisuja, niillä voi olla yksi ratkaisu tai niillä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Tämä väite koskee myös yhtälöjärjestelmiä, joiden päämatriisi on neliömäinen ja degeneroitunut.

Kronecker-Capellin lause.

Ennen kuin löytää ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle, on tarpeen selvittää sen yhteensopivuus. Vastaus kysymykseen, milloin SLAE on yhteensopiva ja milloin se ei ole yhteensopiva, antaa Kronecker-Capellin lause:
jotta p-yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta (p voi olla yhtä suuri kuin n ), olisi johdonmukainen, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin järjestys, eli Rank( A) = Sijoitus(T) .

Tarkastellaan esimerkkinä Kronecker-Cappelli-lauseen soveltamista lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden määrittämiseen.

Esimerkki.

Selvitä, onko lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ratkaisuja.

Ratkaisu.

. Käytetään alaikäisten rajaamista. Toisen asteen alaikäinen eroaa nollasta. Käydään läpi sitä ympäröivät kolmannen asteen alaikäiset:

Koska kaikki vierekkäiset kolmannen asteen alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, päämatriisin arvo on kaksi.

Puolestaan ​​lisätyn matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kolme, koska kolmannen asteen molli

eroaa nollasta.

Tällä tavalla, Alue(A) , joten Kronecker-Capellin lauseen mukaan voimme päätellä, että alkuperäinen lineaariyhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen.

Vastaus:

Ratkaisujärjestelmää ei ole.

Olemme siis oppineet määrittämään järjestelmän epäjohdonmukaisuuden Kronecker-Capellin lauseen avulla.

Mutta kuinka löytää SLAE:n ratkaisu, jos sen yhteensopivuus on vahvistettu?

Tätä varten tarvitsemme matriisin kanta-mollin käsitteen ja matriisin asteen lauseen.

Kutsutaan matriisin A korkeimman asteen molliarvoa, joka on muu kuin nolla perus.

Perusmollin määritelmästä seuraa, että sen järjestys on yhtä suuri kuin matriisin järjestys. Nollasta poikkeavassa matriisissa A voi olla useita perusmolleja, aina yksi perusmolli.

Harkitse esimerkiksi matriisia .

Kaikki tämän matriisin kolmannen kertaluvun alamerkit ovat nollia, koska tämän matriisin kolmannen rivin elementit ovat ensimmäisen ja toisen rivin vastaavien elementtien summa.

Seuraavat toisen asteen alamerkit ovat perusasioita, koska ne ovat nollasta poikkeavia

Alaikäiset eivät ole perus, koska ne ovat yhtä kuin nolla.

Matriisiarvolause.

Jos matriisin, jonka kertaluku on p:llä n, on r, niin kaikki matriisin rivien (ja sarakkeiden) alkiot, jotka eivät muodosta valittua kanta-mollia, ilmaistaan ​​lineaarisesti rivien (ja sarakkeiden) vastaavilla elementeillä. ), jotka muodostavat perustan molli.

Mitä matriisiarvolause antaa meille?

Jos olemme Kronecker-Capellin lauseella todenneet järjestelmän yhteensopivuuden, valitsemme minkä tahansa järjestelmän päämatriisin perusmollin (sen järjestys on yhtä suuri kuin r) ja suljemme pois järjestelmästä kaikki yhtälöt, jotka eivät muodostavat valitun sivuaineen. Tällä tavalla saatu SLAE on ekvivalentti alkuperäisen kanssa, koska hylätyt yhtälöt ovat edelleen redundantteja (matriisiarvolauseen mukaan ne ovat lineaarinen yhdistelmä jäljellä olevista yhtälöistä).

Tämän seurauksena järjestelmän liiallisten yhtälöiden hylkäämisen jälkeen kaksi tapausta on mahdollista.

Jos yhtälöiden lukumäärä r tuloksena olevassa järjestelmässä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin se on määrätty ja ainoa ratkaisu löytyy Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Esimerkki.

.

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi, koska toisen asteen molli eroaa nollasta. Laajennettu matriisiarvo on myös yhtä kuin kaksi, koska kolmannen asteen ainoa molli on yhtä suuri kuin nolla

ja edellä tarkasteltu toisen asteen molli on eri kuin nolla. Kronecker-Capelli-lauseen perusteella voidaan väittää alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän yhteensopivuus, koska Rank(A)=Rank(T)=2 .

Otamme lähtökohtana sivuaineen . Se muodostuu ensimmäisen ja toisen yhtälön kertoimista:


Järjestelmän kolmas yhtälö ei osallistu perusmollin muodostukseen, joten jätämme sen pois järjestelmästä matriisirankalauseen perusteella:


Siten olemme saaneet lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän. Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä:


Vastaus:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jos yhtälöiden r määrä tuloksena olevassa SLAE:ssä on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä n , niin jätämme yhtälöiden vasempaan osiin perusmollin muodostavat termit ja siirrämme loput yhtälöiden oikeaan osiin. järjestelmästä päinvastaisella merkillä.

Yhtälöiden vasemmalle puolelle jääviä tuntemattomia muuttujia (niitä on r) kutsutaan ns. pää.

Tuntemattomia muuttujia (niitä on n - r), jotka päätyivät oikealle puolelle kutsutaan vapaa.

Nyt oletetaan, että vapaat tuntemattomat muuttujat voivat saada mielivaltaisia ​​arvoja, kun taas r tärkeintä tuntematonta muuttujaa ilmaistaan ​​vapailla tuntemattomilla muuttujilla ainutlaatuisella tavalla. Niiden ilmaisu voidaan löytää ratkaisemalla tuloksena oleva SLAE Cramer-, matriisi- tai Gauss-menetelmällä.

Otetaan esimerkki.

Esimerkki.

Ratkaise lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä .

Ratkaisu.

Etsi järjestelmän päämatriisin sijoitus rajaavien alaikäisten menetelmällä. Otetaan 1 1 = 1 nollasta poikkeava ensimmäisen asteen molli. Aloitetaan etsimään nollasta poikkeavaa toisen asteen mollia, joka ympäröi tätä mollia:


Joten löysimme nollasta poikkeavan toisen asteen mollin. Aloitetaan kolmannen asteen nollasta poikkeavan reunustavan molli etsiminen:


Siten päämatriisin sijoitus on kolme. Lisätyn matriisin sijoitus on myös kolme, eli järjestelmä on johdonmukainen.

Kolmannen kertaluvun löydetty nollasta poikkeava molli otetaan perusyksiköksi.

Selvyyden vuoksi näytämme elementit, jotka muodostavat perustan minor:


Jätämme perusmolliin osallistuvat termit järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle ja siirrämme loput vastakkaisilla etumerkeillä oikealle:


Annamme vapaat tuntemattomat muuttujat x 2 ja x 5 mielivaltaiset arvot, eli otamme , missä on mielivaltaisia ​​lukuja. Tässä tapauksessa SLAE ottaa muodon


Ratkaisemme saadun lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän Cramer-menetelmällä:


Tämän seurauksena,.

Älä unohda ilmoittaa vastauksessa ilmaisia ​​tuntemattomia muuttujia.

Vastaus:

Missä on mielivaltaisia ​​numeroita.

Tee yhteenveto.

Yleisen muodon lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi selvitetään ensin sen yhteensopivuus Kronecker-Capelli-lauseen avulla. Jos päämatriisin sijoitus ei ole sama kuin laajennetun matriisin sijoitus, päätämme, että järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Jos päämatriisin arvo on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo, valitsemme perusmollin ja hylkäämme järjestelmän yhtälöt, jotka eivät osallistu valitun perusmollin muodostukseen.

Jos kantamollin järjestys on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä, niin SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää millä tahansa tunnetulla menetelmällä.

Jos kantamollin järjestys on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin jätämme termit tärkeimpien tuntemattomien muuttujien kanssa järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle, siirremme loput termit oikealle puolelle ja annamme mielivaltaiset arvot ​ilmaisiin tuntemattomiin muuttujiin. Tuloksena olevasta lineaariyhtälöjärjestelmästä löydämme tärkeimmät tuntemattomat muuttujat Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseen.

Gaussin menetelmällä voidaan ratkaista kaikenlaisia ​​lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä ilman niiden yhteensopivuuden alustavaa tutkimusta. Tuntemattomien muuttujien peräkkäinen eliminointiprosessi mahdollistaa johtopäätöksen sekä SLAE:n yhteensopivuudesta että epäjohdonmukaisuudesta, ja jos ratkaisu on olemassa, se mahdollistaa sen löytämisen.

Laskennallisen työn kannalta Gaussin menetelmä on parempi.

Katso sitä Yksityiskohtainen kuvaus ja analysoinut esimerkkejä artikkelissa Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi.

Homogeenisten ja epähomogeenisten lineaaristen algebrallisten järjestelmien yleisratkaisun kirjaaminen perusratkaisujärjestelmän vektoreilla.

Tässä osiossa keskitymme lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisiin ja epähomogeenisiin yhteisiin järjestelmiin, joilla on ääretön määrä ratkaisuja.

Käsittelemme ensin homogeenisia järjestelmiä.

Peruspäätösjärjestelmä P lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeeninen järjestelmä, jossa on n tuntematonta muuttujaa, on joukko (n – r) tämän järjestelmän lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, missä r on järjestelmän päämatriisin kantamollin järjestys.

Jos merkitsemme homogeenisen SLAE:n lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ovat matriisisarakkeita, joiden mitat ovat n 1 ) , silloin tämän homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu esitetään lineaarisena yhdistelmänä perusratkaisujen vektoreita mielivaltaisilla vakiokertoimilla С 1 , С 2 , …, С (n-r), eli .

Mitä termi homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu (oroslau) tarkoittaa?

Merkitys on yksinkertainen: kaava määrittää kaikki mahdolliset ratkaisut alkuperäiseen SLAE:hen, toisin sanoen ottamalla minkä tahansa mielivaltaisten vakioiden C 1 , C 2 , ..., C (n-r) arvojoukon kaavan me mukaan. saa yhden alkuperäisen homogeenisen SLAE:n ratkaisuista.

Siten, jos löydämme perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän, voimme asettaa tämän homogeenisen SLAE:n kaikki ratkaisut muotoon .

Esitetään prosessi, jossa rakennetaan perusratkaisujärjestelmä homogeeniselle SLAE:lle.

Valitaan alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän perusmolli, jätetään kaikki muut yhtälöt pois järjestelmästä ja siirretään järjestelmän yhtälöiden oikealle puolelle vastakkaisilla etumerkeillä kaikki termit, jotka sisältävät vapaita tuntemattomia muuttujia. Annetaan vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 1,0,0,…,0 ja lasketaan tärkeimmät tuntemattomat ratkaisemalla tuloksena oleva lineaariyhtälöiden alkeisjärjestelmä millä tahansa tavalla, esimerkiksi Cramer-menetelmällä. Siten saadaan X (1) - perusjärjestelmän ensimmäinen ratkaisu. Jos annamme vapaille tuntemattomille arvot 0,1,0,0,…,0 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (2) . Ja niin edelleen. Jos annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 0,0,…,0,1 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (n-r) . Näin rakennetaan homogeenisen SLAE:n perusratkaisujärjestelmä ja sen yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon .

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden epähomogeenisille järjestelmille yleinen ratkaisu esitetään muodossa

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi perusratkaisujärjestelmä ja homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu .

Ratkaisu.

Homogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien päämatriisin järjestys on aina yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo. Etsitään päämatriisin sijoitus alaikäisten fringing-menetelmällä. Ensimmäisen kertaluvun nollasta poikkeavaksi molliksi otetaan järjestelmän päämatriisin alkio a 1 1 = 9. Etsi toisen kertaluvun reunustava nollasta poikkeava molli:

Toisen asteen molli, joka eroaa nollasta, löytyy. Käydään läpi sitä rajaavat kolmannen asteen alaikäiset etsimään nollasta poikkeavaa ykköstä:

Kaikki kolmannen asteen rajaavat alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, joten pää- ja laajennetun matriisin arvo on kaksi. Otetaan perus-molli. Selvyyden vuoksi panemme merkille sen muodostavat järjestelmän elementit:

Alkuperäisen SLAE:n kolmas yhtälö ei osallistu perusmollin muodostukseen, joten se voidaan sulkea pois:

Jätetään tärkeimmät tuntemattomat sisältävät termit yhtälöiden oikealle puolelle ja siirretään termit vapailla tuntemattomilla oikealle:

Rakentakaamme perusratkaisujärjestelmä alkuperäiselle homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle. Tämän SLAE:n perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta ratkaisusta, koska alkuperäinen SLAE sisältää neljä tuntematonta muuttujaa ja sen perusmollin järjestys on kaksi. Löytääksemme X (1) annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, sitten löydämme tärkeimmät tuntemattomat yhtälöjärjestelmästä
.