Определяне на разстояние по gps координати. Разстояние между две точки на равнина.Координатни системи

Изчисляването на разстоянията между точките според техните координати в равнина е елементарно, на земната повърхност е малко по-сложно: ще разгледаме измерването на разстоянието и началния азимут между точките без проекционни трансформации. Първо, нека разберем терминологията.

Въведение

Голяма дължина на дъгата на кръга- най-късото разстояние между всеки две точки, разположени на повърхността на сферата, измерено по линията, свързваща тези две точки (такава линия се нарича ортодрома) и минаваща по повърхността на сферата или друга повърхност на въртене. Сферичната геометрия е различна от обичайната евклидова и уравненията на разстоянието също приемат различна форма. В евклидовата геометрия най-късото разстояние между две точки е права линия. На сфера няма прави линии. Тези линии на сферата са част от големи кръгове - кръгове, чиито центрове съвпадат с центъра на сферата. Начален азимут- азимутът, който при тръгване от точка А, следвайки големия кръг за най-късото разстояние до точка Б, крайната точка ще бъде точка В. При движение от точка А до точка Б по линията на големия кръг азимутът от текущата позиция до крайната точка B е постоянна, променя се. Началният азимут е различен от постоянен, след което азимутът от текущата точка до крайната не се променя, но маршрутът не е най-късото разстояние между две точки.

През произволни две точки от повърхността на сферата, ако те не са точно срещуположни една на друга (т.е. не са антиподи), може да се начертае уникален голям кръг. Две точки разделят големия кръг на две дъги. Дължината на къса дъга е най-късото разстояние между две точки. Безкраен брой големи кръгове могат да бъдат начертани между две противоположни точки, но разстоянието между тях ще бъде еднакво на всеки кръг и равно на половината от обиколката на кръга, или π*R, където R е радиусът на сферата.

В равнина (в правоъгълна координатна система) големите кръгове и техните фрагменти, както беше споменато по-горе, са дъги във всички проекции, с изключение на гномоничната, където големите кръгове са прави линии. На практика това означава, че самолетите и друг въздушен транспорт винаги използват маршрута на минималното разстояние между точките, за да спестят гориво, тоест полетът се извършва по дължината на голям кръг, в самолета изглежда като дъга.

Формата на Земята може да се опише като сфера, така че уравненията за разстоянието в големия кръг са важни за изчисляване на най-късото разстояние между точки на земната повърхност и често се използват в навигацията. Изчисляването на разстоянието по този метод е по-ефективно и в много случаи по-точно от изчисляването му за проектирани координати (в правоъгълни координатни системи), тъй като, първо, за това не е необходимо да се превеждат географски координати в правоъгълна координатна система (извършете проекция трансформации) и, второ, много проекции, ако са избрани неправилно, могат да доведат до значителни изкривявания на дължината поради естеството на изкривяванията на проекцията. Известно е, че не сферата, а елипсоидът описва по-точно формата на Земята, но тази статия обсъжда изчисляването на разстояния върху сфера, за изчисления се използва сфера с радиус 6372795 метра, което може да доведе до грешка при изчисляване на разстояния от порядъка на 0,5%.

Формули

Има три начина за изчисляване на сферичното разстояние на голям кръг. 1. Теорема за сферичен косинусВ случай на малки разстояния и малка битова дълбочина на изчисление (брой знаци след десетичната запетая), използването на формулата може да доведе до значителни грешки при закръгляване. φ1, λ1; φ2, λ2 - ширина и дължина на две точки в радиани Δλ - координатна разлика в дължина Δδ - ъглова разлика Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) За да преобразувате ъгловото разстояние в метрична стойност, трябва да умножите ъгловата разлика от радиуса на Земята (6372795 метра), единиците за крайното разстояние ще бъдат равни на единиците, в които е изразен радиусът (в този случай метри). 2. Формула на ХаверсинусИзползва се за избягване на проблеми с къси разстояния. 3. Модификация за антиподиПредишната формула също е предмет на проблема с антиподите, за да се реши, се използва следната модификация.

Моята реализация в PHP

// Дефиниране на радиуса на Земята ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Разстояние между две точки * $φA, $λA - ширина, дължина на 1-ва точка, * $φB, $λB - ширина, дължина на 2-ра точка * Въз основа на http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Михаил Кобзарев * */ функция изчислиРазстоянието ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // преобразуване на координатите в радиани $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // косинуси и синуси на разликите в ширината и дължината $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // изчисления голяма дължина на кръга $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Пример за извикване на функция: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; ехо изчисляванеРазстоянието($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "метри"; // Връща "17166029 метра"

Решаването на задачи по математика за ученици често е съпроводено с много трудности. Основната цел на нашия сайт е да помогнем на ученика да се справи с тези трудности, както и да го научим да прилага теоретичните си знания при решаване на конкретни задачи във всички раздели от курса на предмета "Математика".

Започвайки да решават задачи по темата, учениците трябва да могат да построят точка на равнина според нейните координати, както и да намерят координатите на дадена точка.

Изчисляването на разстоянието между две точки, взети в равнината A (x A; y A) и B (x B; y B), се извършва по формулата d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), където d е дължината на отсечката, която свързва тези точки в равнината.

Ако един от краищата на сегмента съвпада с началото, а другият има координати M (x M; y M), тогава формулата за изчисляване на d ще приеме формата OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Изчисляване на разстоянието между две точки по координатите на тези точки

Пример 1.

Намерете дължината на отсечката, която свързва точките A(2; -5) и B(-4; 3) на координатната равнина (фиг. 1).

Решение.

Дадено е условието на задачата: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 и y B = 3. Намерете d.

Прилагайки формулата d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), получаваме:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Изчисляване на координатите на точка, която е на равно разстояние от три дадени точки

Пример 2

Намерете координатите на точка O 1, която е на еднакво разстояние от трите точки A(7; -1) и B(-2; 2) и C(-1; -5).

Решение.

От формулировката на условието на проблема следва, че O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Нека желаната точка O 1 има координати (a; b). Съгласно формулата d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) намираме:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Съставяме система от две уравнения:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

След квадратура на левия и десни частиуравнения, които пишем:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Опростявайки, ние пишем

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

След като решихме системата, получаваме: a = 2; b = -1.

Точка O 1 (2; -1) е на равно разстояние от трите точки, дадени в условието, които не лежат на една права линия. Тази точка е центърът на окръжност, минаваща през три дадени точки. (фиг. 2).

3. Изчисляване на абсцисата (ординатата) на точка, която лежи на абсцисната (ординатната) ос и е на дадено разстояние от тази точка

Пример 3

Разстоянието от точка B(-5; 6) до точка A, лежаща на оста x, е 10. Намерете точка A.

Решение.

От формулировката на условието на задачата следва, че ординатата на точка А е нула и AB = 10.

Означавайки абсцисата на точката A през a, пишем A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Получаваме уравнението √((a + 5) 2 + 36) = 10. Опростявайки го, имаме

a 2 + 10a - 39 = 0.

Корените на това уравнение a 1 = -13; и 2 = 3.

Получаваме две точки A 1 (-13; 0) и A 2 (3; 0).

Преглед:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

И двете получени точки отговарят на условието на задачата (фиг. 3).

4. Изчисляване на абсцисата (ординатата) на точка, която лежи на абсцисната (ординатната) ос и е на еднакво разстояние от две дадени точки

Пример 4

Намерете точка на оста Oy, която е на същото разстояние от точки A (6; 12) и B (-8; 10).

Решение.

Нека координатите на изискваната от условието на задачата точка, лежаща на оста Oy, са O 1 (0; b) (в точката, лежаща на оста Oy, абсцисата е равна на нула). От условието следва, че O 1 A \u003d O 1 B.

Съгласно формулата d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) намираме:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Имаме уравнението √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) или 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

След опростяване получаваме: b - 4 = 0, b = 4.

Изисква се от условието на проблема точка O 1 (0; 4) (фиг. 4).

5. Изчисляване на координатите на точка, която е на същото разстояние от координатните оси и дадена точка

Пример 5

Намерете точка M, разположена на координатната равнина на същото разстояние от координатните оси и от точка A (-2; 1).

Решение.

Необходимата точка M, подобно на точка A (-2; 1), се намира във втория координатен ъгъл, тъй като е на еднакво разстояние от точки A, P 1 и P 2 (фиг. 5). Разстоянията на точката M от координатните оси са еднакви, следователно нейните координати ще бъдат (-a; a), където a > 0.

От условията на задачата следва, че MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

тези. |-a| = а.

Съгласно формулата d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) намираме:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Нека съставим уравнение:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

След повдигане на квадрат и опростяване имаме: a 2 - 6a + 5 = 0. Решаваме уравнението, намираме a 1 = 1; и 2 = 5.

Получаваме две точки M 1 (-1; 1) и M 2 (-5; 5), удовлетворяващи условието на задачата.

6. Изчисляване на координатите на точка, която е на същото определено разстояние от абсцисната (ординатната) ос и от тази точка

Пример 6

Намерете точка M, така че нейното разстояние от оста y и от точката A (8; 6) да бъде равно на 5.

Решение.

От условието на задачата следва, че MA = 5 и абсцисата на точката M е равна на 5. Нека ординатата на точката M е равна на b, тогава M(5; b) (фиг. 6).

Съгласно формулата d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) имаме:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Нека съставим уравнение:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Опростявайки го, получаваме: b 2 - 12b + 20 = 0. Корените на това уравнение са b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Следователно има две точки, които отговарят на условието на проблема: M 1 (5; 2) и M 2 (5; 10).

Известно е, че много ученици при самостоятелно решаване на проблеми се нуждаят от постоянни консултации относно техниките и методите за решаването им. Често ученикът не може да намери начин да реши проблем без помощта на учител. Студентът може да получи необходимите съвети за решаване на проблеми на нашия уебсайт.

Имате ли някакви въпроси? Не сте сигурни как да намерите разстоянието между две точки на равнина?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

В тази статия ще разгледаме начини за определяне на разстоянието от точка до точка теоретично и на примера на конкретни задачи. Да започнем с някои дефиниции.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Разстояние между точките- това е дължината на отсечката, която ги свързва, в съществуващия мащаб. Необходимо е да настроите мащаба, за да имате единица дължина за измерване. Следователно основно проблемът за намиране на разстоянието между точките се решава чрез използване на техните координати върху координатната линия, в координатната равнина или триизмерното пространство.

Начални данни: координатната линия O x и произволна точка А, разположена върху нея.Във всяка точка от линията е присъщо едно реално число: нека това е определено число за точка А xA,това е координатата на точка А.

Като цяло можем да кажем, че оценката на дължината на определен сегмент се извършва в сравнение с сегмента, взет като единица дължина в дадена скала.

Ако точка А съответства на цяло реално число, отделяйки последователно от точка О до точка по права линия O A сегменти - единици за дължина, можем да определим дължината на сегмента O A от общия брой чакащи единични сегменти.

Например точка А съответства на числото 3 - за да стигнете до нея от точка О, ще е необходимо да отделите три единични сегмента. Ако точка А има координата - 4, единичните сегменти се изчертават по подобен начин, но в различна, отрицателна посока. Така в първия случай разстоянието O A е 3; във втория случай O A \u003d 4.

Ако точка А има рационално число като координата, тогава от началото (точка О) отделяме цяло число единични отсечки и след това необходимата му част. Но геометрично не винаги е възможно да се направи измерване. Например изглежда трудно да се остави настрана координатната права дроб 4 111 .

По горния начин е напълно невъзможно да се отложи ирационално число на права линия. Например, когато координатата на точка А е 11 . В този случай е възможно да се обърнем към абстракция: ако дадената координата на точка А е по-голяма от нула, тогава O A \u003d x A (числото се приема като разстояние); ако координатата е по-малка от нула, тогава O A = - x A . Като цяло тези твърдения са верни за всяко реално число x A .

Обобщавайки: разстоянието от началото до точката, която съответства на реално число на координатната права, е равно на:

0, ако точката е същата като началото;

x A, ако x A > 0;

- x A, ако x A< 0 .

В този случай е очевидно, че дължината на самия сегмент не може да бъде отрицателна, следователно, използвайки знака за модул, ние записваме разстоянието от точка O до точка A с координатата х А: O A = x A

Правилното твърдение би било: разстоянието от една точка до друга ще бъде равно на модула на разликата в координатите.Тези. за точки A и B, разположени на една и съща координатна линия на всяко място и имащи съответно координатите х Аи x B: A B = x B - x A.

Изходни данни: точки A и B, лежащи на равнина в правоъгълна координатна система O x y със зададени координати: A (x A , y A) и B (x B , y B) .

Нека да начертаем перпендикуляри на координатните оси O x и O y през точките A и B и да получим проекционните точки като резултат: A x , A y , B x , B y . Въз основа на местоположението на точки A и B са възможни още следните опции:

Ако точките А и В съвпадат, то разстоянието между тях е нула;

Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста O x (ос на абсцисата), тогава точките и съвпадат и | A B | = | A y B y | . Тъй като разстоянието между точките е равно на модула на разликата между техните координати, тогава A y B y = y B - y A , и следователно A B = A y B y = y B - y A .

Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста O y (ос y) - по аналогия с предходния параграф: A B = A x B x = x B - x A

Ако точките A и B не лежат на права линия, перпендикулярна на една от координатните оси, намираме разстоянието между тях, като изведем формулата за изчисление:

Виждаме, че триъгълникът A B C е правоъгълен по построение. В този случай A C = A x B x и B C = A y B y . Използвайки Питагоровата теорема, съставяме равенството: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 и след това го трансформираме: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Нека да направим заключение от получения резултат: разстоянието от точка А до точка В на равнината се определя чрез изчисление по формулата, използвайки координатите на тези точки

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Получената формула също потвърждава формулираните по-рано твърдения за случаите на съвпадение на точки или ситуации, когато точките лежат на прави линии, перпендикулярни на осите. И така, в случай на съвпадение на точки A и B равенството ще бъде вярно: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

За ситуацията, когато точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

За случая, когато точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Изходни данни: правоъгълна координатна система O x y z с лежащи върху нея произволни точки със зададени координати A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо е да се определи разстоянието между тези точки.

Обмисли общ случай, когато точки A и B не лежат в равнина, успоредна на една от координатните равнини. Начертайте през точки A и B равнини, перпендикулярни на координатните оси, и получете съответните проекционни точки: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Разстоянието между точки A и B е диагоналът на получената кутия. Според конструкцията на измерването на тази кутия: A x B x , A y B y и A z B z

От курса на геометрията е известно, че квадратът на диагонала на паралелепипед е равен на сумата от квадратите на неговите размери. Въз основа на това твърдение получаваме равенството: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Използвайки изводите, получени по-рано, пишем следното:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

Нека трансформираме израза:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Финал формула за определяне на разстоянието между точките в пространствотоще изглежда така:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Получената формула е валидна и за случаите, когато:

Точките съвпадат;

Те лежат на една и съща координатна ос или на права линия, успоредна на една от координатните оси.

Примери за решаване на задачи за намиране на разстоянието между точките

Пример 1

Изходни данни: дадени са координатна права и лежащи върху нея точки с дадени координати A (1 - 2) и B (11 + 2). Необходимо е да се намери разстоянието от референтната точка O до точка A и между точките A и B.

Решение

Разстоянието от референтната точка до точката е равно на модула на координатата на тази точка, съответно O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
Разстоянието между точките A и B се определя като модула на разликата между координатите на тези точки: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Отговор: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Пример 2

Първоначални данни: дадена е правоъгълна координатна система и две точки, разположени върху нея A (1 , - 1) и B (λ + 1 , 3) . λ е някакво реално число. Необходимо е да се намерят всички стойности на това число, за които разстоянието A B ще бъде равно на 5.

Решение

За да намерите разстоянието между точките A и B, трябва да използвате формулата A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Замествайки реалните стойности на координатите, получаваме: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

И също така използваме съществуващото условие, че A B = 5 и тогава равенството ще бъде вярно:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Отговор: A B \u003d 5, ако λ \u003d ± 3.

Пример 3

Изходни данни: дадено е триизмерно пространство в правоъгълна координатна система O x y z и лежащите в него точки A (1 , 2 , 3) и B - 7 , - 2 , 4.

Решение

За да решим задачата, използваме формулата A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Замествайки реалните стойности, получаваме: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Отговор: | A B | = 9

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Разстоянието между две точки на равнина.
Координатни системи

Всяка точка А от равнината се характеризира със своите координати (x, y). Те съвпадат с координатите на вектора 0А , излизащ от точката 0 - началото.

Нека A и B са произволни точки от равнината с координати (x 1 y 1) и (x 2, y 2), съответно.

Тогава векторът AB очевидно има координатите (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Известно е, че квадратът на дължината на вектор е равен на сумата от квадратите на неговите координати. Следователно разстоянието d между точките A и B или, което е същото, дължината на вектора AB, се определя от условието

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Получената формула ви позволява да намерите разстоянието между всеки две точки от равнината, ако са известни само координатите на тези точки

Всеки път, говорейки за координатите на една или друга точка от равнината, имаме предвид точно определена координатна система x0y. Като цяло координатната система на равнината може да бъде избрана по различни начини. Така че, вместо координатната система x0y, можем да разгледаме координатната система x"0y", която се получава чрез завъртане на старите координатни оси около началната точка 0 обратно на часовниковата стрелкастрелки на ъгъла α .

Ако някоя точка от равнината в координатната система x0y има координати (x, y), то в новата координатна система x"0y" тя ще има други координати (x", y").

Като пример, разгледайте точката M, разположена на оста 0x" и отдалечена от точка 0 на разстояние, равно на 1.

Очевидно в координатната система x0y тази точка има координати (cos α , грях α ), а в координатната система x"0y" координатите са (1,0).

Координатите на всеки две точки от равнината A и B зависят от това как е зададена координатната система в тази равнина. Но разстоянието между тези точки не зависи от това как е зададена координатната система. Ще използваме съществено това важно обстоятелство в следващия раздел.

Упражнения

I. Намерете разстояния между точки от равнината с координати:

1) (3.5) и (3.4); 3) (0,5) и (5, 0); 5) (-3,4) и (9, -17);

2) (2, 1) и (- 5, 1); 4) (0,7) и (3,3); 6) (8, 21) и (1, -3).

II. Намерете периметъра на триъгълник, чиито страни са дадени от уравненията:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 и y = 1.

III. В координатната система x0y точките M и N имат съответно координати (1, 0) и (0,1). Намерете координатите на тези точки в новата координатна система, която също се получава чрез завъртане на старите оси около началната точка под ъгъл 30 ° обратно на часовниковата стрелка.

IV. В координатната система x0y точките M и N имат координати (2, 0) и (\ / 3/2, - 1/2) съответно. Намерете координатите на тези точки в новата координатна система, която се получава чрез завъртане на старите оси около началната точка под ъгъл 30° по посока на часовниковата стрелка.

1. Изчисляване на разстоянието между две точки по координатите на тези точки

Пример 1.

Намерете дължината на отсечката, която свързва точките A(2; -5) и B(-4; 3) на координатната равнина (фиг. 1).

Решение.

Дадено е условието на задачата: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 и y B = 3. Намерете d.

Прилагайки формулата d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), получаваме:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Изчисляване на координатите на точка, която е на равно разстояние от три дадени точки

Пример 2

Намерете координатите на точка O 1, която е на еднакво разстояние от трите точки A(7; -1) и B(-2; 2) и C(-1; -5).

Решение.

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Съставяме система от две уравнения:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

След като повдигнем на квадрат лявата и дясната страна на уравненията, записваме:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Опростявайки, ние пишем

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

След като решихме системата, получаваме: a = 2; b = -1.

Пример 3

Разстоянието от точка B(-5; 6) до точка A, лежаща на оста x, е 10. Намерете точка A.

Решение.

От формулировката на условието на задачата следва, че ординатата на точка А е нула и AB = 10.

Означавайки абсцисата на точката A през a, пишем A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Получаваме уравнението √((a + 5) 2 + 36) = 10. Опростявайки го, имаме

a 2 + 10a - 39 = 0.

Корените на това уравнение a 1 = -13; и 2 = 3.

Получаваме две точки A 1 (-13; 0) и A 2 (3; 0).

Преглед:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

И двете получени точки отговарят на условието на задачата (фиг. 3).

Пример 4

Намерете точка на оста Oy, която е на същото разстояние от точки A (6; 12) и B (-8; 10).

Решение.

Съгласно формулата d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) намираме:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Имаме уравнението √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) или 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

След опростяване получаваме: b - 4 = 0, b = 4.

Изисква се от условието на проблема точка O 1 (0; 4) (фиг. 4).

5. Изчисляване на координатите на точка, която е на същото разстояние от координатните оси и дадена точка

Пример 5

Решение.

От условията на задачата следва, че MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

тези. |-a| = а.

Съгласно формулата d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) намираме:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Нека съставим уравнение:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

След повдигане на квадрат и опростяване имаме: a 2 - 6a + 5 = 0. Решаваме уравнението, намираме a 1 = 1; и 2 = 5.

Получаваме две точки M 1 (-1; 1) и M 2 (-5; 5), удовлетворяващи условието на задачата.

Пример 6

Намерете точка M, така че нейното разстояние от оста y и от точката A (8; 6) да бъде равно на 5.

Решение.

Съгласно формулата d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) имаме:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Нека съставим уравнение:

Имате ли някакви въпроси? Не сте сигурни как да намерите разстоянието между две точки на равнина?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.