Mas maaga, tinalakay namin ang mga pangkalahatang pamamaraan ng pagsasama. Sa ito at sa mga sumusunod na seksyon, pag-uusapan natin ang tungkol sa pagsasama ng mga tiyak na klase ng mga pag-andar sa tulong ng mga isinasaalang-alang na pamamaraan.

Pagsasama-sama ng pinakasimpleng rational function

Isaalang-alang ang isang integral ng form \textstyle(\int R(x)\,dx), kung saan ang y=R(x) ay isang rational function. Ang anumang makatwirang expression na R(x) ay maaaring katawanin bilang \frac(P(x))(Q(x)), kung saan ang P(x) at Q(x) ay mga polynomial. Kung ang fraction na ito ay hindi tama, iyon ay, kung ang antas ng numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng antas ng denominator, kung gayon maaari itong katawanin bilang kabuuan ng isang polynomial (ang integer na bahagi) at isang wastong fraction. Samakatuwid, sapat na upang isaalang-alang ang pagsasama ng mga wastong fraction.

Ipakita natin na ang pagsasama-sama ng mga naturang fraction ay bumababa sa pagsasama mga simpleng fraction, ibig sabihin, mga expression ng form:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

saan A,\,B,\,a,\,p,\,q ay tunay na mga numero, at ang square trinomial x^2+px+q ay walang tunay na mga ugat. Ang mga expression ng form 1) at 2) ay tinatawag na mga fraction ng unang uri, at ang mga expression ng form 3) at 4) ay tinatawag na mga fraction ng ika-2 uri.

Ang mga integral ng mga fraction ng unang uri ay direktang kinakalkula

\begin(aligned)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ldots). \end(aligned)

Isaalang-alang ang pagkalkula ng mga integral mula sa mga fraction ng ika-2 uri: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Una, pansinin natin iyon

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Upang bawasan ang pagkalkula ng integral 3) sa dalawang integral na ito, binabago namin ang square trinomial x^2+px+q sa pamamagitan ng pagkuha ng isang buong parisukat mula dito:

x^2+px+q= (\kaliwa(x+\frac(p)(2)\kanan)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Dahil sa pag-aakalang ang trinomial na ito ay walang tunay na ugat, kung gayon q-\frac(p^2)(4)>0 at maaari naming ilagay q-\frac(p^2)(4)=a^2. Pagpapalit x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt binabago ang integral 3) sa isang linear na kumbinasyon ng dalawang integral sa itaas:

\begin(aligned)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\kanan)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\kaliwa(B-\frac(Ap)(2)\kanan)\!\ \operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C. \end(aligned)

Sa huling sagot, kailangan mo lamang palitan ang (t) ng x+\frac(p)(2) at (a) ng \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Dahil t^2+a^2=x^2+px+q , kung gayon

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2)(4)))+C.

Isaalang-alang ang kaso \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Tulad ng sa nakaraang kaso, itinakda namin ang x+\frac(p)(2)=t . Nakukuha namin:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \kaliwa(B-\frac(Ap)(2)\kanan)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Ang unang termino ay kinakalkula tulad nito:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Ang pangalawang integral ay kinakalkula gamit ang paulit-ulit na formula.

Halimbawa 1 Compute \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Solusyon. Meron kami: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Hayaan ang x+1=t . Pagkatapos dx=dt at 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 at samakatuwid

\begin(aligned)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end(aligned)

Halimbawa 2 Compute \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Solusyon. Meron kami: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Magpakilala tayo ng bagong variable sa pamamagitan ng pagtatakda ng x+3=t . Pagkatapos dt=dx at x+2=t-1 . Ang pagpapalit ng variable sa ilalim ng integral sign, nakukuha namin:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(nakahanay))

Ilagay natin I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Meron kami:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), ngunit I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operatorname(arctg)t Sa ganitong paraan, I_2= \frac(1)(2)\operatorname(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Sa wakas makuha namin:

\begin(aligned)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operatorname(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operatorname(arctg)(x+3)+C \end(aligned)

Pagsasama-sama ng mga wastong fraction

Isaalang-alang ang isang wastong fraction R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), kung saan ang Q(x) ay isang polynomial ng degree n . Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na ang nangungunang koepisyent sa Q(x) ay katumbas ng 1. Sa kurso ng algebra, napatunayan na ang gayong polynomial na may tunay na mga koepisyent ay maaaring maisaliksik sa una at ikalawang antas na mga kadahilanan na may tunay na mga koepisyent :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2 +r\,x+s)^(\delta).

kung saan ang x_1,\ldots,x_k ay mga tunay na ugat ng polynomial Q(x) at ang mga square trinomial ay walang tunay na ugat. Mapapatunayan na ang R(x) ay kinakatawan bilang kabuuan ng mga simpleng fraction ng form 1) -4):

\begin(aligned)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(aligned)

kung saan ang mga exponent ng mga denominator ay sunod-sunod na bumababa mula \alpha hanggang 1, ..., mula \beta hanggang 1, mula \gamma hanggang 1, ..., mula \delta hanggang 1, at A_1,\ldots,F_(\delta)- hindi natukoy na mga coefficient. Upang mahanap ang mga coefficient na ito, kinakailangan upang mapupuksa ang mga denominator at, nang makuha ang pagkakapantay-pantay ng dalawang polynomial, gamitin ang paraan ng hindi tiyak na mga coefficient.

Ang isa pang paraan upang matukoy ang mga coefficient A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) ay batay sa pagpapalit ng mga halaga ng variable x . Ang pagpapalit ng anumang numero sa halip na x sa pagkakapantay-pantay na nakuha mula sa pagkakapantay-pantay (1) pagkatapos ng pagpapalaya mula sa mga denominador, dumating tayo sa linear equation na may paggalang sa nais na coefficients. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng kinakailangang bilang ng mga partikular na halaga ng variable, nakakakuha kami ng isang sistema ng mga equation para sa paghahanap ng mga coefficient. Ito ay pinaka-maginhawa upang piliin ang mga ugat ng denominator (parehong tunay at kumplikado) bilang mga pribadong halaga ng variable. Sa kasong ito, halos lahat ng mga termino sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (ibig sabihin ang pagkakapantay-pantay ng dalawang polynomial) ay naglalaho, na ginagawang madali upang mahanap ang natitirang mga koepisyent. Kapag pinapalitan ang mga kumplikadong halaga, dapat tandaan na ang dalawang kumplikadong numero ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay magkapantay, ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid, mula sa bawat pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga kumplikadong numero, dalawang equation ang nakuha.

Matapos mahanap ang mga hindi tiyak na coefficient, nananatili itong kalkulahin ang mga integral ng nakuha na mga simpleng fraction. Dahil kapag pinagsama ang pinakasimpleng mga fraction, tulad ng nakita natin, ang mga rational function, arctangent at logarithms lamang ang nakuha, kung gayon ang integral ng anumang rational function ay ipinahayag sa mga tuntunin ng rational function, arctangent at logarithms.

Halimbawa 3 Kalkulahin ang integral ng isang wastong rational fraction \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Solusyon. Binubulok namin ang denominator ng integrand sa mga salik:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Isinulat namin ang integrand at kinakatawan ito bilang isang kabuuan ng mga simpleng fraction:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

Nang mapalaya ang ating sarili mula sa mga denominador sa pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin ang:

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.

Upang mahanap ang mga coefficient, ginagamit namin ang paraan ng pagpapalit ng mga bahagyang halaga. Upang mahanap ang koepisyent A inilalagay namin ang x=1 . Pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay (2) makakakuha tayo ng 7=4A , kung saan A=7/4 . Upang mahanap ang koepisyent B itinakda namin x=-3 . Pagkatapos mula sa pagkakapantay-pantay (2) nakukuha natin -17=-4B , kung saan B=17/4 .

Kaya, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). Ibig sabihin,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Halimbawa 4 Compute \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Solusyon. Isinulat namin ang integrand at kinakatawan ito bilang isang kabuuan ng mga simpleng fraction. Ang denominator ay naglalaman ng salik na x^2+2, na walang tunay na ugat, ito ay tumutugma sa isang bahagi ng ika-2 uri: \frac(Ax+B)(x^2+2) ang factor (x-1)^2 ay tumutugma sa kabuuan ng dalawang fraction ng unang uri: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); sa wakas, ang factor x+2 ay tumutugma sa isang fraction ng 1st kind \frac(E)(x+2) . Kaya, kakatawanin natin ang integrand bilang kabuuan ng apat na fraction:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Alisin natin ang mga denominador sa pagkakapantay-pantay na ito. Nakukuha namin:

\begin(aligned) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(aligned)

Ang denominator ng integrand ay may dalawang tunay na ugat: x=1 at x=-2 . Kapag pinapalitan ang x=1 sa pagkakapantay-pantay (4), nakukuha natin ang 16=9C , kung saan makikita natin ang C=16/9 . Kapag pinapalitan ang x=-2, nakukuha natin ang 13=54E at tinutukoy ang E=13/54 nang naaayon. Ang pagpapalit sa halagang x=i\,\sqrt(2) (ang ugat ng polynomial x^2+2 ) ay nagpapahintulot sa atin na makapasa sa pagkakapantay-pantay

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot(i\,\sqrt(2)+2).

Nagbabago ito sa:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, kung saan 10A+2B=5 , at (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Paglutas ng isang sistema ng dalawang equation na may dalawang variable \begin(cases)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(cases) nakita namin: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Ito ay nananatiling upang matukoy ang halaga ng koepisyent D . Upang gawin ito, sa pagkakapantay-pantay (4) binubuksan namin ang mga bracket, nagbibigay ng mga katulad na termino, at pagkatapos ay ihambing ang mga coefficient sa x^4. Nakukuha namin:

A+D+E=1 , iyon ay D=0 .

Palitan natin ang mga nahanap na halaga ng mga coefficient sa pagkakapantay-pantay (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

at pagkatapos ay magpatuloy sa pagsasama:

\begin(aligned)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16 )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(aligned)

Pagsasama-sama ng mga hindi wastong fraction

Hayaan itong kinakailangan upang isama ang function y=\frac(f(x))(g(x)), kung saan ang f(x) at g(x) ay mga polynomial, at ang antas ng polynomial na f(x) ay mas malaki kaysa o katumbas ng antas ng polynomial g(x) . Sa kasong ito, una sa lahat, kinakailangang piliin ang integer na bahagi ng hindi wastong bahagi \frac(f(x))(g(x)), ibig sabihin, kinakatawan ito sa anyo

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

kung saan ang s(x) ay isang polynomial ng degree na katumbas ng pagkakaiba ng degree ng polynomials f(x) at g(x) , at \frac(r(x))(g(x)) ay isang wastong fraction.

Tapos meron kami \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Halimbawa 5 Kalkulahin ang integral ng isang improper fraction \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Solusyon. Meron kami:

\begin(aligned)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end(aligned)

Upang kunin ang bahagi ng integer, hinati namin ang f(x) sa g(x) : \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Ibig sabihin, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Meron kami: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Upang kalkulahin ang integral \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx inilapat, tulad ng nasa itaas, ang paraan ng hindi natukoy na mga koepisyent. Pagkatapos ng mga kalkulasyon, na iniiwan namin sa mambabasa, nakukuha namin.

PAKSA: Pagsasama-sama ng mga rational fraction.

Pansin! Kapag pinag-aaralan ang isa sa mga pangunahing pamamaraan ng pagsasama - ang pagsasama ng mga rational fraction - kinakailangang isaalang-alang ang mga polynomial sa kumplikadong domain para sa mahigpit na mga patunay. Samakatuwid, ito ay kinakailangan mag-aral nang maaga ilang mga katangian ng mga kumplikadong numero at mga operasyon sa mga ito.

Pagsasama-sama ng pinakasimpleng rational fraction.

Kung ang P(z) at Q(z) ay mga polynomial sa kumplikadong domain, pagkatapos ay isang rational fraction. Ito ay tinatawag na tama kung ang degree P(z) mas kaunting degree Q(z) , at mali kung ang degree R walang gaanong degree Q.

Ang anumang hindi wastong bahagi ay maaaring katawanin bilang: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polynomial na ang degree ay mas mababa kaysa sa degree Q(z).

Kaya, ang integration ng rational fractions ay nababawasan sa integration ng polynomials, iyon ay, power functions, at proper fractions, dahil ito ay isang proper fraction.

Kahulugan 5. Ang pinakasimpleng (o elementarya) na mga praksyon ay mga praksyon ng mga sumusunod na uri:

1) , 2) , 3) , 4) .

Alamin natin kung paano sila isinama.

3) (ginalugad kanina).

Theorem 5. Ang anumang wastong fraction ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng mga simpleng fraction (nang walang patunay).

Corollary 1. Kung ito ay isang wastong rational fraction, at kung kabilang sa mga ugat ng polynomial ay mayroon lamang mga simpleng tunay na ugat, kung gayon sa pagpapalawak ng fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction ay magkakaroon lamang ng mga simpleng fraction ng 1st type:

Halimbawa 1

Corollary 2. Kung ito ay isang wastong rational fraction, at kung kabilang sa mga ugat ng polynomial ay marami lamang tunay na ugat, kung gayon sa pagpapalawak ng fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction ay magkakaroon lamang ng mga simpleng fraction ng 1st at 2nd type :

Halimbawa 2

Corollary 3. Kung ito ay isang wastong rational fraction, at kung kabilang sa mga ugat ng polynomial mayroon lamang simpleng complex conjugate roots, kung gayon sa pagpapalawak ng fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction ay magkakaroon lamang ng mga simpleng fraction ng 3rd type:

Halimbawa 3

Corollary 4. Kung ito ay isang wastong rational fraction, at kung kabilang sa mga ugat ng polynomial mayroon lamang maramihang kumplikadong conjugate roots, kung gayon sa pagpapalawak ng fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction ay magkakaroon lamang ng mga simpleng fraction ng 3rd at 4th. mga uri:

Upang matukoy ang hindi kilalang coefficient sa mga pagpapalawak sa itaas, magpatuloy bilang mga sumusunod. umalis at kanang bahagi pagpapalawak na naglalaman ng hindi kilalang mga koepisyent, pinarami ng Lumalabas ang pagkakapantay-pantay ng dalawang polynomial. Ang mga equation para sa nais na mga coefficient ay nakuha mula dito, gamit iyon:

1. Ang pagkakapantay-pantay ay may bisa para sa anumang mga halaga ng X (paraan ng mga bahagyang halaga). Sa kasong ito, ang anumang bilang ng mga equation ay nakuha, anumang m nito ay nagpapahintulot sa amin na makahanap ng mga hindi kilalang coefficient.

2. ang mga coefficient ay nag-tutugma sa parehong kapangyarihan ng X (paraan ng hindi tiyak na coefficients). Sa kasong ito, ang isang sistema ng m - equation na may m - hindi alam ay nakuha, kung saan ang mga hindi kilalang coefficient ay matatagpuan.

3. pinagsamang pamamaraan.

Halimbawa 5. Palawakin ang isang fraction sa pinakasimpleng.

Solusyon:

Hanapin ang coefficient A at B.

1 paraan - paraan ng pribadong halaga:

Paraan 2 - ang paraan ng hindi tiyak na mga coefficient:

Sagot:

Pagsasama-sama ng mga rational fraction.

Teorama 6. Ang indefinite integral ng anumang rational fraction sa anumang interval kung saan ang denominator nito ay hindi katumbas ng zero ay umiiral at ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar, katulad ng mga rational fraction, logarithms at arctangent.

Patunay.

Kinakatawan namin ang isang rational fraction sa anyo: . Bukod dito, ang huling termino ay isang wastong fraction, at sa pamamagitan ng Theorem 5 ito ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga simpleng fraction. Kaya, ang pagsasama ng isang rational fraction ay binabawasan sa pagsasama ng isang polynomial S(x) at ang pinakasimpleng mga praksiyon, na ang mga antiderivatives, tulad ng ipinakita, ay may anyo na ipinahiwatig sa teorama.

Magkomento. Ang pangunahing kahirapan sa kasong ito ay ang agnas ng denominator sa mga kadahilanan, iyon ay, ang paghahanap para sa lahat ng mga ugat nito.

Halimbawa 1. Hanapin ang integral

Ang materyal na ipinakita sa paksang ito ay batay sa impormasyong ipinakita sa paksang "Rational fractions. Decomposition of rational fractions into elementary (simple) fractions". Mahigpit kong ipinapayo sa iyo na hindi bababa sa pag-usisa sa paksang ito bago magpatuloy sa pagbabasa ng materyal na ito. Bilang karagdagan, kakailanganin namin ang isang talahanayan ng mga hindi tiyak na integral.

Hayaan akong ipaalala sa iyo ang ilang termino. Sila ay tinalakay sa may-katuturang paksa, kaya dito ko lilimitahan ang aking sarili sa isang maikling pagbabalangkas.

Ang ratio ng dalawang polynomial na $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ay tinatawag na rational function o rational fraction. Ang rational fraction ay tinatawag tama kung $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется mali.

Ang elementarya (pinakasimpleng) rational fraction ay mga rational fraction ng apat na uri:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Tandaan (kanais-nais para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa teksto): ipakita\itago

Bakit kailangan ang $p^2-4q na kondisyon?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Halimbawa, para sa expression na $x^2+5x+10$ nakukuha namin ang: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Dahil $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Sa pamamagitan ng paraan, para sa pagsusuring ito ay hindi kinakailangan na ang koepisyent sa harap ng $x^2$ ay katumbas ng 1. Halimbawa, para sa $5x^2+7x-3=0$ makuha natin ang: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Dahil $D > 0$, ang expression na $5x^2+7x-3$ ay factorizable.

Ang mga halimbawa ng rational fraction (regular at hindi wasto), pati na rin ang mga halimbawa ng decomposition ng rational fraction sa elementarya, ay matatagpuan. Dito lamang kami interesado sa mga tanong ng kanilang pagsasama. Magsimula tayo sa pagsasama ng mga elementary fraction. Kaya, ang bawat isa sa apat na uri ng mga elementary fraction sa itaas ay madaling isama gamit ang mga formula sa ibaba. Hayaan akong ipaalala sa iyo na kapag ang pagsasama ng mga fraction ng uri (2) at (4) $n=2,3,4,\ldots$ ay ipinapalagay. Ang mga formula (3) at (4) ay nangangailangan ng kundisyon $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equation)

Para sa $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ ang kapalit na $t=x+\frac(p)(2)$ ay ginawa, pagkatapos kung saan ang resultang integral ay nahati sa dalawa. Ang una ay kakalkulahin sa pamamagitan ng pagpasok nito sa ilalim ng differential sign, at ang pangalawa ay magmumukhang $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ang integral na ito ay kinuha gamit ang recurrence relation

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(equation)

Ang pagkalkula ng naturang integral ay sinusuri sa halimbawa No. 7 (tingnan ang ikatlong bahagi).

Scheme para sa pagkalkula ng mga integral mula sa mga rational function (mga rational fraction):

1. Kung elementary ang integrand, ilapat ang mga formula (1)-(4).
2. Kung ang integrand ay hindi elementarya, pagkatapos ay i-represent ito bilang kabuuan ng elementary fractions, at pagkatapos ay pagsamahin gamit ang mga formula (1)-(4).

Ang algorithm sa itaas para sa pagsasama ng mga rational fraction ay may hindi maikakaila na kalamangan - ito ay pangkalahatan. Yung. Gamit ang algorithm na ito, maaaring isama ng isa anuman rational fraction. Iyon ang dahilan kung bakit halos lahat ng mga pagpapalit ng mga variable sa hindi tiyak na integral (Euler, Chebyshev substitutions, universal trigonometric substitution) ay ginagawa sa paraang pagkatapos ng kapalit na ito ay nakakakuha tayo ng rational fraction sa ilalim ng interval. At ilapat ang algorithm dito. Susuriin namin ang direktang aplikasyon ng algorithm na ito gamit ang mga halimbawa, pagkatapos gumawa ng isang maliit na tala.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Sa prinsipyo, ang integral na ito ay madaling makuha nang walang mekanikal na aplikasyon ng formula. Kung kukunin natin ang pare-parehong $7$ mula sa integral sign at isasaalang-alang na $dx=d(x+9)$, pagkatapos ay makukuha natin:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Para sa detalyadong impormasyon, inirerekumenda kong tingnan ang paksa. Ipinapaliwanag nito nang detalyado kung paano nalulutas ang mga integral. Sa pamamagitan ng paraan, ang formula ay pinatunayan ng parehong mga pagbabagong inilapat sa talatang ito kapag nilutas ang "manu-mano".

2) Muli, mayroong dalawang paraan: mag-aplay ng isang handa na formula o gawin nang wala ito. Kung ilalapat mo ang formula, dapat mong isaalang-alang na ang coefficient sa harap ng $x$ (ang numero 4) ay kailangang alisin. Upang gawin ito, kunin lang namin ang apat sa mga ito sa mga bracket:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\kaliwa(4\kaliwa(x+\frac(19)(4)\kanan)\kanan)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\kaliwa(x+\frac(19)(4)\kanan)^8). $$

Ngayon ay oras na upang ilapat ang formula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\kaliwa(x+\frac(19)(4) \kanan)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Magagawa mo nang hindi gumagamit ng formula. At kahit na hindi inilalagay ang pare-parehong $4 sa mga bracket. Kung isasaalang-alang natin na $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, pagkatapos ay makukuha natin:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Ang mga detalyadong paliwanag sa paghahanap ng mga naturang integral ay ibinibigay sa paksang "Pagsasama-sama sa pamamagitan ng pagpapalit (pagpapakilala sa ilalim ng palatandaan ng kaugalian)" .

3) Kailangan nating isama ang fraction na $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ang fraction na ito ay may istraktura na $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kung saan $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Gayunpaman, upang matiyak na isa nga itong elementarya na bahagi ng ikatlong uri, kailangan mong suriin ang kundisyon $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Lutasin natin ang parehong halimbawa, ngunit nang hindi ginagamit ang handa na pormula. Subukan nating ihiwalay ang derivative ng denominator sa numerator. Anong ibig sabihin nito? Alam natin na $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Ito ang expression na $2x+10$ na kailangan nating ihiwalay sa numerator. Sa ngayon, ang numerator ay naglalaman lamang ng $4x+7$ , ngunit hindi ito nagtagal. Ilapat ang sumusunod na pagbabago sa numerator:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Ngayon ang kinakailangang expression na $2x+10$ ay lumitaw sa numerator. At ang aming integral ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Hatiin natin ang integrand sa dalawa. Well, at, nang naaayon, ang integral mismo ay "nahati" din:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \kanan)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Pag-usapan muna natin ang unang integral, i.e. tungkol sa $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Dahil ang $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, kung gayon ang denominator differential ay matatagpuan sa numerator ng integrand. Sa madaling salita, sa halip ng expression na $( 2x+10)dx$ isinusulat namin ang $d(x^2+10x+34)$.

Ngayon sabihin natin ang ilang mga salita tungkol sa pangalawang integral. Isa-isahin natin ang buong parisukat sa denominator: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Bilang karagdagan, isinasaalang-alang namin ang $dx=d(x+5)$. Ngayon ang kabuuan ng mga integral na nakuha namin kanina ay maaaring muling isulat sa isang bahagyang naiibang anyo:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Kung gagawin natin ang pagbabago $u=x^2+10x+34$ sa unang integral, kukuha ito ng form na $\int\frac(du)(u)$ at kukunin simpleng aplikasyon pangalawang pormula mula sa . Tulad ng para sa pangalawang integral, ang kapalit na $u=x+5$ ay magagawa para dito, pagkatapos ay kukuha ito ng anyong $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ito ang pinakadalisay na tubig, ang ikalabing-isang formula mula sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral. Kaya, bumalik sa kabuuan ng mga integral, magkakaroon tayo ng:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Nakuha namin ang parehong sagot tulad ng kapag nag-aaplay ng formula , na, sa katunayan, ay hindi nakakagulat. Sa pangkalahatan, ang formula ay pinatunayan ng parehong mga pamamaraan na ginamit namin upang mahanap ang integral na ito. Naniniwala ako na ang isang matulungin na mambabasa ay maaaring magkaroon ng isang katanungan dito, samakatuwid ay bubuuin ko ito:

Tanong #1

Kung ilalapat natin ang pangalawang formula mula sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral sa integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Bakit nawawala ang module sa solusyon?

Sagot sa tanong #1

Ang tanong ay ganap na lehitimo. Ang modulus ay wala lamang dahil ang expression na $x^2+10x+34$ para sa anumang $x\in R$ ay mas malaki sa zero. Ito ay medyo madaling ipakita sa maraming paraan. Halimbawa, dahil $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ at $(x+5)^2 ≥ 0$, pagkatapos ay $(x+5)^2+9 > 0$ . Posibleng humatol sa ibang paraan, nang hindi kinasasangkutan ng pagpili ng isang buong parisukat. Mula noong $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ para sa anumang $x\in R$ (kung ang lohikal na chain na ito ay nakakagulat, ipinapayo ko sa iyo na tingnan ang graphical na paraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parisukat). Sa anumang kaso, dahil $x^2+10x+34 > 0$, pagkatapos ay $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. maaari kang gumamit ng mga normal na bracket sa halip na isang module.

Ang lahat ng mga punto ng halimbawa No. 1 ay nalutas, ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.

Sagot:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Halimbawa #2

Hanapin ang integral na $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Sa unang sulyap, ang integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ay halos kapareho sa isang elementary fraction ng ikatlong uri, i.e. hanggang $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Mukhang ang pagkakaiba lang ay ang coefficient na $3$ sa harap ng $x^2$, ngunit hindi magtatagal upang maalis ang coefficient (wala sa mga bracket). Gayunpaman, ang pagkakatulad na ito ay maliwanag. Para sa fraction na $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ang kundisyon $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Ang aming coefficient sa harap ng $x^2$ ay hindi katumbas ng isa, kaya suriin ang kundisyon $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, kaya ang expression na $3x^2-5x-2$ ay maaaring i-factorize. At nangangahulugan ito na ang fraction na $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ay hindi elementarya fraction ng ikatlong uri, at nalalapat sa integral $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$ formula ay hindi pinapayagan.

Buweno, kung ang ibinigay na rational fraction ay hindi elementarya, dapat itong irepresenta bilang kabuuan ng elementary fractions, at pagkatapos ay isinama. Sa madaling salita, sinasamantala ng trail ang . Kung paano i-decompose ang isang rational fraction sa elementarya ay nakasulat nang detalyado. Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-factor ng denominator:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Kinakatawan namin ang subinternal na fraction sa sumusunod na anyo:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\kaliwa(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)). $$

Ngayon, palawakin natin ang fraction na $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ sa elementarya:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\kaliwa(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\kaliwa(x+\frac(1)(3)\kanan))(\kaliwa(x+ \frac(1)(3)\kanan)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\kaliwa(x+\frac(1)( 3)\kanan). $$

Upang mahanap ang mga coefficient na $A$ at $B$ mayroong dalawang karaniwang paraan: ang paraan ng mga indeterminate coefficient at ang paraan ng pagpapalit ng mga partial na halaga. Ilapat natin ang paraan ng pagpapalit ng bahagyang halaga sa pamamagitan ng pagpapalit ng $x=2$ at pagkatapos ay $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\kaliwa(2+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Dahil natagpuan ang mga koepisyent, nananatili lamang itong isulat ang natapos na pagpapalawak:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Sa prinsipyo, maaari mong iwanan ang entry na ito, ngunit gusto ko ang isang mas tumpak na bersyon:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\kaliwa(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Pagbabalik sa orihinal na integral, pinapalitan namin ang nagresultang pagpapalawak dito. Pagkatapos ay hinati namin ang integral sa dalawa, at ilapat ang formula sa bawat isa. Mas gusto kong agad na alisin ang mga constant sa labas ng integral sign:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Sagot: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\kanan| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Halimbawa #3

Hanapin ang integral na $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Kailangan nating isama ang fraction na $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Ang numerator ay isang polynomial ng pangalawang degree, at ang denominator ay isang polynomial ng ikatlong degree. Dahil ang antas ng polynomial sa numerator ay mas mababa kaysa sa antas ng polynomial sa denominator, i.e. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Kailangan lang nating hatiin ang ibinigay na integral sa tatlo, at ilapat ang formula sa bawat isa. Mas gusto kong agad na alisin ang mga constant sa labas ng integral sign:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Sagot: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Ang pagpapatuloy ng pagsusuri ng mga halimbawa ng paksang ito ay matatagpuan sa ikalawang bahagi.

Ang isa sa pinakamahalagang klase ng mga function na ang mga integral ay ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na function ay ang klase makatwirang pag-andar.

Depinisyon 1. Isang function ng form kung saan
- degree polynomialsnatmtinatawag na rational. Isang buong rational function, i.e. polynomial, direktang nagsasama. Ang integral ng isang fractional-rational function ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpapalawak sa mga termino, na kung saan ay na-convert sa isang karaniwang paraan sa pangunahing mga integral table.

Kahulugan 2. Fraction
ay tinatawag na tama kung ang antas ng numeratornmas mababa sa denominatorm. Ang isang fraction na ang numerator ay mas malaki sa o katumbas ng denominator ay tinatawag na hindi wastong fraction.

Ang anumang hindi wastong fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng isang polynomial at isang tamang fraction. Ginagawa ito sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa isang "column" polynomial, katulad ng paghahati ng mga numero.

Halimbawa.

Isipin ang isang fraction
bilang kabuuan ng isang polynomial at isang wastong fraction:

x - 1

3

3

3

Unang termino
sa quotient ay nakuha bilang resulta ng paghahati ng nangungunang termino
, nahahati sa nangungunang termino X divider. Pagkatapos ay dumami tayo
sa divisor x-1 at ibawas ang resulta mula sa dibidendo; ang natitirang mga termino ng hindi kumpletong kusyente ay matatagpuan nang katulad.

Pagkatapos hatiin ang mga polynomial, nakukuha natin:

Ang pagkilos na ito ay tinatawag na pagpili ng buong bahagi.

Depinisyon 3. Ang pinakasimpleng mga praksiyon ay mga wastong rational fraction ng mga sumusunod na uri:

ako.

II.
(K=2, 3, …).

III.
nasaan ang square trinomial

IV.
kung saan K=2, 3, …; parisukat na trinomial
walang tunay na ugat.

a) palawakin ang denominator
sa pinakasimpleng totoong salik (ayon sa pangunahing teorama ng algebra, ang agnas na ito ay maaaring maglaman ng mga linear na binomial ng form
at square trinomals
, walang mga ugat);

b) sumulat ng isang scheme para sa pagpapalawak ng isang ibinigay na fraction sa isang kabuuan ng mga simpleng fraction. Bukod dito, ang bawat kadahilanan ng form
tumutugma k mga tuntunin ng mga uri I at II:

sa bawat salik ng anyo
tumutugma sa mga tuntunin ng mga uri III at IV:

Halimbawa.

Sumulat ng isang fraction decomposition scheme
sa kabuuan ng pinakasimpleng.

c) isagawa ang pagdaragdag ng mga nakuhang simpleng fraction. Isulat ang pagkakapantay-pantay ng mga numerator ng natanggap at unang mga praksiyon;

d) hanapin ang mga coefficient ng kaukulang pagpapalawak:
(tatalakayin sa ibaba ang mga paraan ng solusyon);

e) Palitan ang mga nahanap na halaga ng mga coefficient sa decomposition scheme.

Ang pagsasama-sama ng anumang wastong rational fraction pagkatapos ng agnas sa mga simpleng termino ay binabawasan sa paghahanap ng mga integral ng isa sa mga uri:

(k at e =2, 3, …).

Integral na pagkalkula bumaba sa formula III:

integral - sa formula II:

integral ay matatagpuan sa pamamagitan ng tuntunin na tinukoy sa teorya ng pagsasama ng mga function na naglalaman ng isang square trinomial; - sa pamamagitan ng mga pagbabagong ipinapakita sa ibaba sa halimbawa 4.

Halimbawa 1

a) i-factor ang denominator:

b) sumulat ng isang pamamaraan para sa pagpapalawak ng integrand sa mga termino:

c) isagawa ang pagdaragdag ng mga simpleng fraction:

Isinulat namin ang pagkakapantay-pantay ng mga numerator ng mga fraction:

d) mayroong dalawang pamamaraan para sa paghahanap ng mga hindi kilalang coefficient A, B, C.

Ang dalawang polynomial ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang mga coefficient ay pantay sa parehong kapangyarihan X, para magawa mo ang kaukulang sistema ng mga equation. Isa ito sa mga solusyon.

Coefficients sa

libreng miyembro (coefficient at ):4A=8.

Ang paglutas ng sistema, nakukuha namin A=2, B=1, C= - 10.

Ang isa pang paraan - ang mga pribadong halaga ay tatalakayin sa susunod na halimbawa;

e) palitan ang mga nahanap na halaga sa scheme ng pagpapalawak:

Ang pagpapalit sa nagresultang kabuuan sa ilalim ng integral sign, at pagsasama-sama ng bawat termino nang hiwalay, makikita natin ang:

Halimbawa 2

Ang pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na wasto para sa anumang mga halaga ng mga hindi alam na kasama dito. Batay sa mga ito paraan ng pribadong halaga. Maaaring ikabit X anumang halaga. Mas maginhawa para sa mga kalkulasyon na kunin ang mga halagang iyon na nawawala ang anumang mga termino sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay.

Hayaan x = 0. Pagkatapos 1 = A 0(0+2)+B 0 (0-1)+C (0-1)(0+2).

Katulad nito, kapag x = - 2 meron kami 1= - 2B*(-3), sa x = 1 meron kami 1 = 3A.

Dahil dito,

Halimbawa 3

d) Una, ginagamit namin ang paraan ng mga bahagyang halaga.

Hayaan x = 0, pagkatapos 1 = A 1, A = 1.

Sa x = - 1 meron kami - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) o 6 = - 3V, B = - 2.

Upang mahanap ang mga coefficient C at D, kailangan mong bumuo ng dalawa pang equation. Upang gawin ito, maaari kang kumuha ng anumang iba pang mga halaga X, Halimbawa x = 1 at x = 2. Maaari mong gamitin ang unang paraan, i.e. itumbas ang mga coefficient sa anumang magkakaparehong kapangyarihan X, halimbawa kapag at . Kunin

1 = A + B + C at 4 = C +D- AT.

Alam A = 1, B = -2, hanapin C = 2, D = 0 .

Kaya, kapag kinakalkula ang mga coefficient, ang parehong mga pamamaraan ay maaaring pagsamahin.

Huling integral hanapin namin nang hiwalay ayon sa tuntunin na tinukoy sa paraan ng pag-uutos ng isang bagong variable. Pinipili namin ang buong parisukat sa denominator:

sabihin nating
pagkatapos
Nakukuha namin:

=

Ang pagpapalit sa nakaraang pagkakapantay-pantay, nakita namin

Halimbawa 4

Hanapin

b)

e)

Pagsasama, mayroon kaming:

Binabago namin ang unang integral sa formula III:

Binabago namin ang pangalawang integral sa formula II:

Sa ikatlong integral, pinapalitan namin ang variable:

(Kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo, ginamit namin ang formula ng trigonometrya

Maghanap ng mga integral:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Mga tanong para sa pagsusuri sa sarili.

Alin sa mga ibinigay na rational fraction ang tama:

2. Tama ba ang pagkakasulat ng scheme ng pagpapalawak ng isang fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction?

2., 5.
,

3.
, 6.
.

Sa integrals 1-3 bilang u tanggapin . Pagkatapos n-fold application ng formula (19), dumating kami sa isa sa mga integral table

,
,
.

Sa integrals 4-6, kapag nag-iiba, ang transendental na kadahilanan ay pinasimple
,
o
, na dapat kunin bilang u.

Kalkulahin ang mga sumusunod na integral.

Halimbawa 7

Halimbawa 8

Pagbawas ng mga integral sa sarili nito

Kung ang integrand
mukhang:

,
,
at iba pa,

pagkatapos pagkatapos ng dobleng pagsasama ng mga bahagi ay nakakakuha tayo ng isang expression na naglalaman ng orihinal na integral :

,

saan
ay ilang pare-pareho.

Paglutas ng resultang equation na may kinalaman sa , nakakakuha kami ng formula para sa pagkalkula ng orihinal na integral:

.

Ang kasong ito ng paglalapat ng paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay tinatawag na " dinadala ang integral sa sarili nito».

Halimbawa 9 Kalkulahin ang Integral
.

Sa kanang bahagi ay ang orihinal na integral . Ang paglipat nito sa kaliwang bahagi, nakukuha natin:

.

Halimbawa 10 Kalkulahin ang Integral
.

4.5. Pagsasama-sama ng pinakasimpleng wastong rational fraction

Kahulugan.Ang pinakasimpleng wastong fraction ako , II at III mga uri ang mga sumusunod na fraction ay tinatawag na:

ako. ;

II.
; (
ay isang positibong integer);

III.
; (ang mga ugat ng denominator ay kumplikado, iyon ay:
.

Isaalang-alang ang mga integral ng mga simpleng fraction.

ako.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Binabago namin ang numerator ng fraction sa paraang iisa-isa ang termino sa numerator
katumbas ng derivative ng denominator.

Isaalang-alang ang una sa dalawang integral na nakuha at gumawa ng pagbabago dito:

Sa pangalawang integral, pinupunan namin ang denominator sa isang buong parisukat:

Sa wakas, ang integral ng isang bahagi ng ikatlong uri ay katumbas ng:

=
+
. (22)

Kaya, ang integral ng pinakasimpleng mga fraction ng uri I ay ipinahayag sa mga tuntunin ng logarithms, uri II - sa mga tuntunin ng rational function, uri III - sa mga tuntunin ng logarithms at arctangents.

4.6 Pagsasama-sama ng mga fractional-rational function

Ang isa sa mga klase ng mga function na may integral na ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na mga function ay ang klase ng algebraic rational function, iyon ay, mga function na nagreresulta mula sa isang may hangganan na bilang ng mga algebraic na operasyon sa isang argumento.

Ang bawat rational function
ay maaaring kinakatawan bilang isang ratio ng dalawang polynomial
at
:

. (23)

Ipagpalagay natin na ang mga polynomial ay walang mga karaniwang ugat.

Ang isang fraction ng form (23) ay tinatawag tama, kung ang antas ng numerator ay mas mababa kaysa sa antas ng denominator, iyon ay, m< n. Kung hindi - mali.

Kung mali ang fraction, kung gayon, hinahati ang numerator sa denominator (ayon sa tuntunin ng paghahati ng polynomials), kinakatawan namin ang fraction bilang kabuuan ng polynomial at tamang fraction:

, (24)

saan
- polinomyal, ay isang wastong fraction, at ang antas ng polynomial
- walang mas mataas na antas ( n-1).

Halimbawa.

Dahil ang pagsasama ng isang polynomial ay nabawasan sa kabuuan ng mga tabular integral ng isang power function, ang pangunahing kahirapan sa pagsasama ng mga rational fraction ay ang pagsasama ng mga wastong rational fraction.

Pinatutunayan ng Algebra na ang bawat tamang fraction nabubulok sa kabuuan ng nasa itaas protozoa mga fraction, ang anyo nito ay tinutukoy ng mga ugat ng denominator
.

Isaalang-alang natin ang tatlong espesyal na kaso. Dito at sa ibaba, ipagpalagay natin na ang coefficient sa pinakamataas na antas ng denominator
katumbas ng isa =1, iyon aypinababang polynomial .

Kaso 1 Ang mga ugat ng denominator, iyon ay, ang mga ugat
mga equation
=0 ay totoo at iba. Pagkatapos ay kinakatawan namin ang denominator bilang isang produkto ng mga linear na kadahilanan:

at ang wastong fraction ay nabubulok sa pinakasimpleng mga fraction ng I-type:

, (26)

saan
- ilan pare-parehong mga numero, na matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient.

Para dito kailangan mo:

1. Bawasan ang kanang bahagi ng expansion (26) sa isang common denominator.

2. Equate ang coefficients sa parehong kapangyarihan ng magkaparehong polynomial sa numerator ng kaliwa at kanang bahagi. Kumuha kami ng isang sistema ng mga linear na equation para sa pagtukoy
.

3. Lutasin ang resultang sistema at hanapin ang hindi tiyak na coefficient
.

Kung gayon ang integral ng fractional-rational function (26) ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga integral ng pinakasimpleng fraction ng I-type, na kinakalkula ng formula (20).

Halimbawa. Kalkulahin ang Integral
.

Solusyon. I-factorize natin ang denominator gamit ang theorem ni Vieta:

Pagkatapos, ang integrand ay lumalawak sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

.

X:

Sumulat tayo ng isang sistema ng tatlong equation para sa paghahanap
X sa kaliwa at kanang bahagi:

.

Ipahiwatig natin ang isang mas simpleng paraan para sa paghahanap ng mga hindi tiyak na coefficient, na tinatawag paraan ng bahagyang halaga.

Ipagpalagay sa pagkakapantay-pantay (27)
nakukuha namin
, saan
. Ipagpalagay
nakukuha namin
. Sa wakas, assuming
nakukuha namin
.

.

Kaso 2 ugat ng denominador
ay totoo, ngunit sa mga ito ay may maramihang (pantay na) ugat. Pagkatapos ay kinakatawan namin ang denominator bilang isang produkto ng mga linear na salik na kasama sa produkto hanggang sa ang multiplicity ng kaukulang ugat ay:

saan
.

Wastong fraction lalawak ang kabuuan ng mga fraction ng I-th at II-th na uri. Hayaan, halimbawa, - ugat ng multiplicity denominator k, at lahat ng iba pa ( n- k) ng mga ugat ay iba.

Pagkatapos ang agnas ay magiging ganito:

Katulad nito, kung mayroong iba pang maramihang mga ugat. Para sa mga di-maraming ugat, kasama sa pagpapalawak (28) ang pinakasimpleng mga fraction ng unang uri.

Halimbawa. Kalkulahin ang Integral
.

Solusyon. Katawanin natin ang isang fraction bilang kabuuan ng mga simpleng fraction ng una at pangalawang uri na may mga hindi tiyak na koepisyent:

.

Dinadala namin ang kanang bahagi sa isang karaniwang denominador at itinutumbas ang mga polynomial sa mga numerator ng kaliwa at kanang panig:

Sa kanang bahagi, nagbibigay kami ng mga katulad na may parehong degree X:

Isulat natin ang sistema ng apat na equation para sa paghahanap
at . Upang gawin ito, itinutumbas namin ang mga coefficient sa parehong kapangyarihan X sa kaliwa at kanang bahagi

.

Kaso 3 Kabilang sa mga ugat ng denominator
may kumplikadong minsanang mga ugat. Iyon ay, ang pagpapalawak ng denominator ay kinabibilangan ng mga kadahilanan ng ikalawang antas
, na hindi mabulok sa totoong linear na mga salik, at hindi na mauulit ang mga ito.

Pagkatapos, sa pagpapalawak ng fraction, ang bawat naturang salik ay tumutugma sa pinakasimpleng bahagi ng uri III. Ang mga linear na kadahilanan ay tumutugma sa pinakasimpleng mga fraction ng I-th at II-th na mga uri.

Halimbawa. Kalkulahin ang Integral
.

Solusyon.
.

.

.