2., 5.
,

3.
, 6.
.

Sa integrals 1-3 bilang u tanggapin . Pagkatapos n-multiple application ng formula (19) dumating kami sa isa sa mga integral table

,
,
.

Sa integral 4-6, kapag nag-iiba, pasimplehin ang transendental na kadahilanan
,
o
, na dapat kunin bilang u.

Kalkulahin ang mga sumusunod na integral.

Halimbawa 7.

Halimbawa 8.

Pagbawas ng mga integral sa kanilang sarili

Kung ang integrand
ay may anyo:

,
,
at iba pa,

pagkatapos ay pagkatapos ng pagsasama ng dalawang beses sa pamamagitan ng mga bahagi ay makakakuha tayo ng isang expression na naglalaman ng orihinal na integral :

,

saan
- ilang pare-pareho.

Paglutas ng resultang equation para sa , nakakakuha kami ng formula para sa pagkalkula ng orihinal na integral:

.

Ang kasong ito ng paglalapat ng paraan ng pagsasama ng mga bahagi ay tinatawag na " dinadala ang integral sa sarili nito».

Halimbawa 9. Kalkulahin ang integral
.

Sa kanang bahagi ay ang orihinal na integral . Ang paglipat nito sa kaliwang bahagi, nakukuha natin:

.

Halimbawa 10. Kalkulahin ang integral
.

4.5. Pagsasama ng pinakasimpleng wastong rational fraction

Kahulugan.Ang pinakasimpleng wastong fraction ako , II At III mga uri Ang mga sumusunod na fraction ay tinatawag na:

ako. ;

II.
; (
- positibong integer);

III.
; (ang mga ugat ng denominator ay kumplikado, iyon ay:
.

Isaalang-alang natin ang mga integral ng mga simpleng fraction.

ako.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Binabago namin ang numerator ng fraction sa paraang ihiwalay ang termino sa numerator
, katumbas ng derivative ng denominator.

Isaalang-alang natin ang una sa dalawang integral na nakuha at gumawa ng pagbabago dito:

Sa pangalawang integral idinadagdag namin ang denominator sa isang perpektong parisukat:

Sa wakas, ang integral ng isang fraction ng ikatlong uri ay katumbas ng:

=
+
. (22)

Kaya, ang integral ng pinakasimpleng fraction ng uri I ay ipinahayag sa pamamagitan ng logarithms, type II - sa pamamagitan ng rational function, type III - sa pamamagitan ng logarithms at arctangents.

4.6.Pagsasama-sama ng mga fractional-rational function

Ang isa sa mga klase ng mga function na may integral na ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya function ay ang klase ng algebraic makatwirang pag-andar, iyon ay, mga function na nagreresulta mula sa isang may hangganang bilang ng mga algebraic na operasyon sa argumento.

Ang bawat rational function
ay maaaring kinakatawan bilang isang ratio ng dalawang polynomial
At
:

. (23)

Ipagpalagay natin na ang mga polynomial ay walang mga karaniwang ugat.

Ang isang fraction ng form (23) ay tinatawag tama, kung ang antas ng numerator ay mas mababa kaysa sa antas ng denominator, iyon ay, m< n. Kung hindi - mali.

Kung ang fraction ay hindi wasto, pagkatapos ay sa pamamagitan ng paghahati ng numerator sa denominator (ayon sa panuntunan para sa paghahati ng polynomials), ipinapakita namin ang fraction bilang kabuuan ng isang polynomial at isang wastong fraction:

, (24)

saan
- polinomyal, - isang wastong fraction, at ang antas ng polynomial
- hindi mas mataas sa degree ( n-1).

Halimbawa.

Dahil ang pagsasama ng isang polynomial ay nabawasan sa kabuuan ng mga naka-tabulated na integral ng isang power function, ang pangunahing kahirapan sa pagsasama ng mga rational fraction ay nakasalalay sa pagsasama ng mga wastong rational fraction.

Ito ay napatunayan sa algebra na ang bawat tamang fraction nabubulok sa kabuuan ng nasa itaas protozoa mga fraction, ang anyo nito ay tinutukoy ng mga ugat ng denominator
.

Isaalang-alang natin ang tatlong espesyal na kaso. Dito at higit pa ay ipagpalagay natin na ang koepisyent sa pinakamataas na antas ng denominator
katumbas ng isa =1, iyon aypinababang polynomial .

Kaso 1. Ang mga ugat ng denominator, iyon ay, ang mga ugat
mga equation
=0, ay wasto at naiiba. Pagkatapos ay kinakatawan namin ang denominator bilang isang produkto ng mga linear na kadahilanan:

at ang wastong fraction ay nabubulok sa pinakasimpleng mga fraction ng I-gotype:

, (26)

saan
- ilan pare-parehong mga numero, na matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng hindi natukoy na mga koepisyent.

Upang gawin ito kailangan mo:

1. Nangunguna kanang bahagi pagpapalawak (26) sa isang common denominator.

2. Equate ang coefficients ng magkaparehong kapangyarihan ng magkaparehong polynomial sa numerator ng kaliwa at kanang bahagi. Kumuha kami ng isang sistema ng mga linear na equation upang matukoy
.

3. Lutasin ang resultang sistema at hanapin ang mga hindi natukoy na coefficient
.

Kung gayon ang integral ng fractional-rational function (26) ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga integral ng pinakasimpleng fraction ng I-type, na kinakalkula ng formula (20).

Halimbawa. Kalkulahin ang integral
.

Solusyon. I-factorize natin ang denominator gamit ang theorem ni Vieta:

Pagkatapos, ang integrand function ay nabubulok sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

.

X:

Sumulat tayo ng isang sistema ng tatlong equation upang mahanap
X sa kaliwa at kanang bahagi:

.

Ipahiwatig natin ang isang mas simpleng paraan ng paghahanap ng mga hindi tiyak na coefficient, na tinatawag paraan ng bahagyang halaga.

Ipagpalagay sa pagkakapantay-pantay (27)
nakukuha namin
, saan
. Naniniwala
nakukuha namin
. Sa wakas, naniniwala
nakukuha namin
.

.

Kaso 2. Root ng denominator
ay may bisa, ngunit kasama ng mga ito mayroong maramihang (pantay na) ugat. Pagkatapos ay kinakatawan namin ang denominator bilang isang produkto ng mga linear na salik na kasama sa produkto hanggang sa ang multiplicity ng kaukulang ugat ay:

saan
.

Wastong fraction ang kabuuan ng mga fraction ng mga uri I at II ay mabubulok. Hayaan, halimbawa, - ugat ng denominator ng multiplicity k, at lahat ng iba pa ( n- k) magkaiba ang mga ugat.

Pagkatapos ang pagpapalawak ay magiging ganito:

Gayundin, kung mayroong iba pang maramihang mga ugat. Para sa mga di-maraming ugat, ang pagpapalawak (28) ay kinabibilangan ng pinakasimpleng mga fraction ng unang uri.

Halimbawa. Kalkulahin ang integral
.

Solusyon. Isipin natin ang fraction bilang kabuuan ng pinakasimpleng mga fraction ng una at pangalawang uri na may hindi natukoy na mga coefficient:

.

Dalhin natin ang kanang bahagi sa isang karaniwang denominator at ipantay ang mga polynomial sa mga numerator ng kaliwa at kanang bahagi:

Sa kanang bahagi ay ipinakita namin ang mga katulad na may parehong antas X:

Sumulat tayo ng isang sistema ng apat na equation upang mahanap
At . Upang gawin ito, itinutumbas namin ang mga coefficient sa parehong kapangyarihan X sa kaliwa at kanang bahagi

.

Kaso 3. Kabilang sa mga ugat ng denominator
may mga kumplikadong solong ugat. Iyon ay, ang pagpapalawak ng denominator ay kinabibilangan ng mga kadahilanan ng ikalawang antas
, hindi nabubulok sa totoong linear na mga salik, at hindi nauulit ang mga ito.

Pagkatapos, sa agnas ng isang fraction, ang bawat naturang salik ay tumutugma sa isang pinakasimpleng fraction ng uri III. Ang mga linear na kadahilanan ay tumutugma sa pinakasimpleng mga fraction ng mga uri I at II.

Halimbawa. Kalkulahin ang integral
.

Solusyon.
.

.

.

Pagsasama ng isang fractional-rational function.
Hindi tiyak na paraan ng koepisyent

Patuloy kaming nagsusumikap sa pagsasama ng mga fraction. Napagmasdan na natin ang mga integral ng ilang uri ng mga fraction sa aralin, at ang araling ito, sa isang diwa, ay maituturing na isang pagpapatuloy. Upang matagumpay na maunawaan ang materyal, kinakailangan ang mga pangunahing kasanayan sa pagsasama, kaya kung nagsimula ka pa lamang sa pag-aaral ng mga integral, iyon ay, ikaw ay isang baguhan, kailangan mong magsimula sa artikulo Indefinite integral. Mga halimbawa ng solusyon.

Kakatwa, ngayon tayo ay hindi gaanong makikibahagi sa paghahanap ng mga integral, ngunit... sa paglutas ng mga sistema linear na equation. Sa bagay na ito nang madalian Inirerekumenda ko ang pagdalo sa aralin. Ibig sabihin, kailangan mong maging bihasa sa mga pamamaraan ng pagpapalit ("paraan ng paaralan" at ang paraan ng pagdaragdag sa bawat termino (pagbabawas) ng mga equation ng system).

Ano ang isang fractional rational function? Sa simpleng salita, ang fractional-rational function ay isang fraction na ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga polynomial o mga produkto ng polynomial. Bukod dito, ang mga fraction ay mas sopistikado kaysa sa mga tinalakay sa artikulo Pagsasama ng Ilang Fraction.

Pagsasama ng Wastong Fractional-Rational Function

Kaagad isang halimbawa at isang tipikal na algorithm para sa paglutas ng integral ng isang fractional-rational function.

Halimbawa 1

Hakbang 1. Ang unang bagay na LAGI nating ginagawa kapag nilulutas ang isang integral ng isang fractional rational function ay ang linawin ang sumusunod na tanong: wasto ba ang fraction? Ang hakbang na ito ay ginagawa sa salita, at ngayon ay ipapaliwanag ko kung paano:

Una naming tingnan ang numerator at alamin senior degree polinomyal:

Ang nangungunang kapangyarihan ng numerator ay dalawa.

Ngayon ay titingnan natin ang denominator at alamin senior degree denominador. Ang malinaw na paraan ay buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino, ngunit magagawa mo ito nang mas simple, sa bawat isa hanapin ang pinakamataas na antas sa mga bracket

at mentally multiply: - kaya, ang pinakamataas na antas ng denominator ay katumbas ng tatlo. Malinaw na kung talagang bubuksan natin ang mga bracket, hindi tayo makakakuha ng degree na higit sa tatlo.

Konklusyon: Major degree ng numerator MAHIGPIT ay mas mababa kaysa sa pinakamataas na kapangyarihan ng denominator, na nangangahulugan na ang fraction ay wasto.

Kung sa halimbawang ito ang numerator ay naglalaman ng polynomial 3, 4, 5, atbp. degrees, kung gayon ang fraction ay magiging mali.

Ngayon ay isasaalang-alang lamang natin ang tamang fractional rational function. Ang kaso kung ang antas ng numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng antas ng denominator ay tatalakayin sa pagtatapos ng aralin.

Hakbang 2. I-factorize natin ang denominator. Tingnan natin ang aming denominator:

Sa pangkalahatan, ito ay isang produkto ng mga kadahilanan, ngunit, gayunpaman, tinatanong natin ang ating sarili: posible bang palawakin ang iba pa? Ang layunin ng pagpapahirap ay walang alinlangan na ang square trinomial. Paglutas ng quadratic equation:

Ang discriminant ay mas malaki kaysa sa zero, na nangangahulugan na ang trinomial ay talagang maaaring i-factorize:

Pangkalahatang tuntunin: LAHAT ng MAAARING i-factor sa denominator - pinapa-factor namin ito

Magsimula tayong magbalangkas ng isang solusyon:

Hakbang 3. Gamit ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent, pinalawak namin ang integrand sa kabuuan ng mga simpleng (elementarya) na fraction. Ngayon ito ay magiging mas malinaw.

Tingnan natin ang aming integrand function:

At, alam mo, kahit papaano ay lumalabas ang isang intuitive na kaisipan na magiging maganda kung gawing ilang maliliit ang ating malaking bahagi. Halimbawa, tulad nito:

Ang tanong ay lumitaw, posible bang gawin ito? Huminga tayo ng maluwag, ang kaukulang theorem ng mathematical analysis ay nagsasaad – POSIBLE. Ang ganitong agnas ay umiiral at natatangi.

Mayroon lamang isang catch, ang posibilidad ay Bye Hindi namin alam, kaya ang pangalan - ang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient.

Tulad ng nahulaan mo, ang mga kasunod na paggalaw ng katawan ay ganoon, huwag mag-cackle! ay naglalayong KILALA lamang sila - upang malaman kung ano ang mga ito ay katumbas.

Mag-ingat, isang beses lang ako magpapaliwanag nang detalyado!

Kaya, magsimula tayong sumayaw mula sa:

Sa kaliwang bahagi binabawasan namin ang expression sa isang karaniwang denominator:

Ngayon ay ligtas na nating mapupuksa ang mga denominador (dahil pareho sila):

Sa kaliwang bahagi binubuksan namin ang mga bracket, ngunit huwag hawakan ang hindi kilalang coefficient sa ngayon:

Kasabay nito, inuulit namin ang tuntunin ng paaralan ng pagpaparami ng polynomial. Noong guro ako, natutunan kong bigkasin ang panuntunang ito nang may tuwid na mukha: Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa pang polynomial.

Mula sa punto ng view ng isang malinaw na paliwanag, mas mahusay na ilagay ang mga coefficient sa mga bracket (bagaman hindi ko personal na ginagawa ito upang makatipid ng oras):

Bumubuo kami ng isang sistema ng mga linear na equation.
Una naming hinahanap ang mga senior degree:

At isinulat namin ang kaukulang mga coefficient sa unang equation ng system:

Tandaang mabuti ang sumusunod na punto. Ano ang mangyayari kung walang s sa kanang bahagi sa lahat? Sabihin nating, magpapakitang gilas ba ito nang walang parisukat? Sa kasong ito, sa equation ng system kakailanganing maglagay ng zero sa kanan: . Bakit zero? Ngunit dahil sa kanang bahagi maaari mong palaging italaga ang parehong parisukat na may zero: Kung sa kanang bahagi ay walang mga variable at/o isang libreng termino, pagkatapos ay maglalagay kami ng mga zero sa kanang bahagi ng kaukulang mga equation ng system.

Isinulat namin ang kaukulang mga coefficient sa pangalawang equation ng system:

At panghuli, mineral water, pumipili tayo ng mga libreng miyembro.

Eh...medyo nagbibiro ako. Isantabi ang mga biro - ang matematika ay isang seryosong agham. Sa grupo namin sa institute, walang natawa nang sabihin ng assistant professor na ikakalat niya ang mga termino sa linya ng numero at pipiliin ang pinakamalalaki. Seryoso na tayo. Bagama't... ang sinumang nabubuhay upang makita ang pagtatapos ng araling ito ay tahimik pa ring ngingiti.

Ang sistema ay handa na:

Nalutas namin ang sistema:

(1) Mula sa unang equation ay ipinapahayag at pinapalitan natin ito sa 2nd at 3rd equation ng system. Sa katunayan, posible na ipahayag (o isa pang titik) mula sa isa pang equation, ngunit sa kasong ito ay kapaki-pakinabang na ipahayag ito mula sa 1st equation, dahil doon ang pinakamaliit na posibilidad.

(2) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa 2nd at 3rd equation.

(3) Idinaragdag namin ang 2nd at 3rd equation term sa pamamagitan ng term, na nakukuha ang pagkakapantay-pantay , kung saan ito ay sumusunod na

(4) Pinapalitan natin ang pangalawa (o pangatlong) equation, kung saan natin makikita iyon

(5) Palitan at sa unang equation, pagkuha ng .

Kung mayroon kang anumang mga paghihirap sa mga paraan ng paglutas ng system, isagawa ang mga ito sa klase. Paano malutas ang isang sistema ng mga linear na equation?

Pagkatapos malutas ang system, palaging kapaki-pakinabang na suriin - palitan ang mga nahanap na halaga bawat equation ng system, bilang isang resulta ang lahat ay dapat "magtagpo".

Malapit na. Ang mga coefficient ay natagpuan, at:

Ang natapos na trabaho ay dapat magmukhang ganito:

Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahirapan ng gawain ay ang pagbuo (tama!) At lutasin (tama!) Ang isang sistema ng mga linear na equation. At sa huling yugto, ang lahat ay hindi napakahirap: ginagamit namin ang mga katangian ng linearity ng hindi tiyak na integral at pagsasama. Pakitandaan na sa ilalim ng bawat isa sa tatlong integral mayroon tayong "libre" na kumplikadong pag-andar; Pinag-usapan ko ang mga tampok ng pagsasama nito sa aralin Paraan ng pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral.

Suriin: Ibahin ang pagkakaiba ng sagot:

Ang orihinal na integrand function ay nakuha, na nangangahulugan na ang integral ay natagpuan ng tama.
Sa panahon ng pag-verify, kailangan naming bawasan ang expression sa isang karaniwang denominator, at hindi ito aksidente. Ang paraan ng mga hindi tiyak na koepisyent at pagbabawas ng isang expression sa isang karaniwang denominator ay magkabaligtaran na mga aksyon.

Halimbawa 2

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Bumalik tayo sa fraction mula sa unang halimbawa: . Madaling mapansin na sa denominator ang lahat ng mga kadahilanan ay IBA. Ang tanong ay lumitaw, ano ang gagawin kung, halimbawa, ang sumusunod na bahagi ay ibinigay: ? Dito mayroon tayong mga degree sa denominator, o, sa matematika, maramihan. Bilang karagdagan, mayroong isang quadratic trinomial na hindi maaaring i-factorize (madaling i-verify na ang discriminant ng equation ay negatibo, kaya ang trinomial ay hindi maaaring i-factorize). Anong gagawin? Ang pagpapalawak sa kabuuan ng mga elementarya na praksyon ay magiging katulad nito na may hindi kilalang coefficient sa itaas o iba pa?

Halimbawa 3

Magpakilala ng isang function

Hakbang 1. Sinusuri kung mayroon tayong tamang fraction
Pangunahing numerator: 2
Pinakamataas na antas ng denominator: 8
, na nangangahulugang tama ang fraction.

Hakbang 2. Posible bang i-factor ang isang bagay sa denominator? Halatang hindi, nakalatag na ang lahat. Ang square trinomial ay hindi maaaring palawakin sa isang produkto para sa mga kadahilanang nakasaad sa itaas. Hood. Mas konting trabaho.

Hakbang 3. Isipin natin ang isang fractional-rational function bilang kabuuan ng elementary fractions.
Sa kasong ito, ang pagpapalawak ay may sumusunod na anyo:

Tingnan natin ang aming denominator:
Kapag nabubulok ang isang fractional-rational function sa kabuuan ng elementary fractions, tatlong pangunahing punto ang maaaring makilala:

1) Kung ang denominator ay naglalaman ng isang "malungkot" na kadahilanan sa unang kapangyarihan (sa aming kaso), pagkatapos ay naglalagay kami ng isang hindi tiyak na koepisyent sa tuktok (sa aming kaso). Ang mga halimbawa Blg. 1, 2 ay binubuo lamang ng gayong "malungkot" na mga kadahilanan.

2) Kung ang denominator ay may maramihan multiplier, pagkatapos ay kailangan mong i-decompose ito tulad nito:
- iyon ay, sunud-sunod na dumaan sa lahat ng antas ng "X" mula sa una hanggang sa ika-n degree. Sa aming halimbawa mayroong dalawang maraming salik: at , tingnan muli ang pagpapalawak na ibinigay ko at tiyaking eksaktong pinalawak ang mga ito ayon sa panuntunang ito.

3) Kung ang denominator ay naglalaman ng isang indecomposable polynomial ng pangalawang degree (sa aming kaso), pagkatapos kapag nabubulok sa numerator kailangan mong magsulat ng isang linear function na may hindi natukoy na mga coefficient (sa aming kaso na may hindi natukoy na mga coefficient at ).

Sa katunayan, may isa pang ika-4 na kaso, ngunit tatahimik ako tungkol dito, dahil sa pagsasagawa ito ay napakabihirang.

Halimbawa 4

Magpakilala ng isang function bilang kabuuan ng mga elementarya na fraction na may hindi kilalang coefficient.

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Sundin ang algorithm nang mahigpit!

Kung naiintindihan mo ang mga prinsipyo kung saan kailangan mong palawakin ang isang fractional-rational function sa kabuuan, maaari mong nguyain ang halos anumang integral ng uri na isinasaalang-alang.

Halimbawa 5

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Hakbang 1. Malinaw na ang fraction ay tama:

Hakbang 2. Posible bang i-factor ang isang bagay sa denominator? Pwede. Narito ang kabuuan ng mga cube . I-factor ang denominator gamit ang pinaikling multiplication formula

Hakbang 3. Gamit ang paraan ng mga hindi tiyak na koepisyent, pinalawak namin ang integrand sa kabuuan ng mga elementarya na fraction:

Pakitandaan na ang polynomial ay hindi maaaring i-factorize (tingnan kung ang discriminant ay negatibo), kaya sa itaas ay naglalagay kami ng linear function na may hindi kilalang coefficient, at hindi isang letra lang.

Dinadala namin ang fraction sa isang karaniwang denominator:

Bumuo tayo at lutasin ang sistema:

(1) Nagpapahayag kami mula sa unang equation at pinapalitan ito sa pangalawang equation ng system (ito ang pinaka-makatuwirang paraan).

(2) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa pangalawang equation.

(3) Idinaragdag namin ang pangalawa at pangatlong equation ng term ng system sa pamamagitan ng termino.

Ang lahat ng karagdagang mga kalkulasyon ay, sa prinsipyo, sa bibig, dahil ang sistema ay simple.

(1) Isinulat namin ang kabuuan ng mga fraction alinsunod sa mga nakitang coefficient.

(2) Ginagamit namin ang mga katangian ng linearity ng hindi tiyak na integral. Ano ang nangyari sa ikalawang integral? Maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa paraang ito sa huling talata ng aralin. Pagsasama ng Ilang Fraction.

(3) Muli naming ginagamit ang mga katangian ng linearity. Sa ikatlong integral, sinisimulan nating ihiwalay ang kumpletong parisukat (panghuli na talata ng aralin Pagsasama ng Ilang Fraction).

(4) Kinukuha namin ang pangalawang integral, sa pangatlo pipiliin namin ang kumpletong parisukat.

(5) Kunin ang ikatlong integral. handa na.

Isang pagsusulit sa pagsasama ng mga function, kabilang ang mga rational fraction, ay ibinibigay sa mga mag-aaral sa 1st at 2nd year. Ang mga halimbawa ng integral ay pangunahing magiging interesante sa mga mathematician, economist, at statistician. Ang mga halimbawang ito ay tinanong sa pagsubok na gawain sa LNU na pinangalanan. I. Frank. Ang mga kundisyon ng mga sumusunod na halimbawa ay "Hanapin ang integral" o "Kalkulahin ang integral", kaya upang makatipid ng espasyo at iyong oras ay hindi sila isinulat.

Halimbawa 15. Dumating kami sa pagsasama ng mga fractional-rational function. Sinasakop nila ang isang espesyal na lugar sa mga integral dahil nangangailangan sila ng maraming oras upang kalkulahin at tulungan ang mga guro na subukan ang iyong kaalaman hindi lamang sa pagsasama. Upang gawing simple ang function sa ilalim ng integral, idinaragdag at ibinabawas namin ang isang expression sa numerator na magpapahintulot sa amin na hatiin ang function sa ilalim ng integral sa dalawang simple.

Bilang resulta, mabilis kaming nakahanap ng isang integral, sa pangalawa kailangan naming palawakin ang fraction sa kabuuan ng mga elementary fraction.

Kapag binawasan sa isang karaniwang denominator, nakukuha natin ang mga sumusunod na numero

Susunod, buksan ang mga bracket at pangkat

Itinutumbas namin ang halaga para sa parehong mga kapangyarihan ng "x" sa kanan at kaliwa. Bilang resulta, nakarating tayo sa isang sistema ng tatlong linear equation (SLAE) na may tatlong hindi alam.

Kung paano malutas ang mga sistema ng mga equation ay inilarawan sa iba pang mga artikulo sa site. Sa huling bersyon, matatanggap mo ang sumusunod na solusyon sa SLAE
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Pinapalitan namin ang mga constant sa pagpapalawak ng mga fraction sa mga simple at nagsasagawa ng pagsasama


Ito ay nagtatapos sa halimbawa.

Halimbawa 16. Muli kailangan nating hanapin ang integral ng isang fractional rational function. Upang magsimula sa, nabubulok namin ang cubic equation na nakapaloob sa denominator ng fraction sa simpleng mga kadahilanan

Susunod, binubulok namin ang fraction sa mga pinakasimpleng anyo nito

Binabawasan namin ang kanang bahagi sa isang karaniwang denominator at binubuksan ang mga bracket sa numerator.


Tinutumbas namin ang mga koepisyent para sa parehong antas ng variable. Halika muli sa SLAE na may tatlong hindi alam

Palitan natin mga halaga A, B, C sa pagpapalawak at kalkulahin ang integral

Ang unang dalawang termino ay nagbibigay ng logarithm, ang huli ay madaling mahanap.

Halimbawa 17. Sa denominator ng fractional rational function mayroon tayong pagkakaiba ng mga cube. Gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon, nabubulok namin ito sa dalawang simpleng salik

Susunod, isinusulat namin ang resultang fractional function sa kabuuan ng mga simpleng fraction at binabawasan ang mga ito sa isang common denominator.

Sa numerator nakukuha natin ang sumusunod na expression.

Mula dito bumubuo kami ng isang sistema ng mga linear na equation upang makalkula ang 3 hindi alam

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Pinapalitan namin ang A, B, C sa formula at nagsasagawa ng pagsasama. Bilang resulta, nakarating tayo sa sumusunod na sagot:


Dito ang numerator ng pangalawang integral ay na-convert sa isang logarithm, at ang natitira sa ilalim ng integral ay nagbibigay ng arctangent.
Mayroong maraming mga katulad na halimbawa sa pagsasama ng mga rational fraction sa Internet. Makakahanap ka ng mga katulad na halimbawa mula sa mga materyales sa ibaba.

Dito kami maghaharap mga detalyadong solusyon tatlong halimbawa ng pagsasama ng mga sumusunod na rational fraction:
, , .

Halimbawa 1

Kalkulahin ang integral:
.

Solusyon

Dito, sa ilalim ng integral sign mayroong isang rational function, dahil ang integrand ay isang fraction ng polynomials. Denominator polynomial degree ( 3 ) ay mas mababa sa antas ng numerator polynomial ( 4 ). Samakatuwid, kailangan mo munang piliin ang buong bahagi ng fraction.

1. Piliin natin ang buong bahagi ng fraction. Hatiin ang x 4 ni x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Mula rito
.

2. I-factorize natin ang denominator ng fraction. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang cubic equation:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Palitan natin ang x = 1 :
.

1 . Hatiin sa x - 1 :

Mula rito
.
Paglutas ng isang quadratic equation.
.
Ang mga ugat ng equation ay: , .
Pagkatapos
.

3. Hatiin natin ang fraction sa pinakasimpleng anyo nito.

.

Kaya natagpuan namin:
.
Pagsamahin natin.

Sagot

Halimbawa 2

Kalkulahin ang integral:
.

Solusyon

Dito ang numerator ng fraction ay isang polynomial ng degree zero ( 1 = x 0). Ang denominator ay isang polynomial ng ikatlong antas. Dahil ang 0 < 3 , kung gayon ang fraction ay tama. Hatiin natin ito sa mga simpleng fraction.

1. I-factorize natin ang denominator ng fraction. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang ikatlong antas na equation:
.
Ipagpalagay natin na mayroon itong hindi bababa sa isang buong ugat. Pagkatapos ito ay isang divisor ng numero 3 (miyembro na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 3, -1, -3 .
Palitan natin ang x = 1 :
.

Kaya, natagpuan namin ang isang ugat x = 1 . Hatiin ang x 3 + 2 x - 3 sa x - 1 :

Kaya,
.

Paglutas ng quadratic equation:
x 2 + x + 3 = 0.
Hanapin ang discriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Mula noong D< 0 , kung gayon ang equation ay walang tunay na mga ugat. Kaya, nakuha namin ang factorization ng denominator:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Palitan natin ang x = 1 . Tapos x- 1 = 0 ,
.

Palitan natin (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Equate natin to (2.1) coefficients para sa x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Pagsamahin natin.
(2.2) .
Upang kalkulahin ang pangalawang integral, pipiliin namin ang derivative ng denominator sa numerator at bawasan ang denominator sa kabuuan ng mga parisukat.

;
;
.

Kalkulahin ang I 2 .


.
Dahil ang equation x 2 + x + 3 = 0 ay walang tunay na ugat, pagkatapos x 2 + x + 3 > 0. Samakatuwid, ang modulus sign ay maaaring tanggalin.

Nagdedeliver kami sa (2.2) :
.

Sagot

Halimbawa 3

Kalkulahin ang integral:
.

Solusyon

Dito sa ilalim ng integral sign mayroong isang fraction ng polynomials. Samakatuwid, ang integrand ay isang rational function. Ang antas ng polynomial sa numerator ay katumbas ng 3 . Ang antas ng polynomial ng denominator ng fraction ay katumbas ng 4 . Dahil ang 3 < 4 , kung gayon ang fraction ay tama. Samakatuwid, maaari itong mabulok sa mga simpleng fraction. Ngunit para magawa ito kailangan mong i-factorize ang denominator.

1. I-factorize natin ang denominator ng fraction. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang equation ng ikaapat na antas:
.
Ipagpalagay natin na mayroon itong hindi bababa sa isang buong ugat. Pagkatapos ito ay isang divisor ng numero 2 (miyembro na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2 .
Palitan natin ang x = -1 :
.

Kaya, natagpuan namin ang isang ugat x = -1 . Hatiin sa x - (-1) = x + 1:


Kaya,
.

Ngayon kailangan nating lutasin ang ikatlong antas na equation:
.
Kung ipagpalagay natin na ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng numero 2 (miyembro na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2 .
Palitan natin ang x = -1 :
.

Kaya, nakakita kami ng isa pang ugat x = -1 . Posible, tulad ng sa nakaraang kaso, na hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , ngunit ipapangkat namin ang mga termino:
.

Dahil ang equation x 2 + 2 = 0 ay walang tunay na mga ugat, pagkatapos ay makuha natin ang factorization ng denominator:
.

2. Hatiin natin ang fraction sa pinakasimpleng anyo nito. Naghahanap kami ng pagpapalawak sa anyo:
.
Inaalis namin ang denominator ng fraction, i-multiply sa (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Palitan natin ang x = -1 . Pagkatapos x + 1 = 0 ,
.

Magkaiba tayo (3.1) :

;

.
Palitan natin ang x = -1 at isaalang-alang na ang x + 1 = 0 :
;
; .

Palitan natin (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Equate natin to (3.1) coefficients para sa x 3 :
;
1 = B + C;
.

Kaya, natagpuan namin ang agnas sa mga simpleng fraction:
.

3. Pagsamahin natin.


.

Ang rational function ay isang fraction ng form , ang numerator at denominator nito ay mga polynomial o produkto ng polynomials.

Halimbawa 1. Hakbang 2.

.

Pina-multiply namin ang mga hindi natukoy na coefficient sa mga polynomial na wala sa indibidwal na fraction na ito, ngunit nasa iba pang mga resultang fraction:

Binubuksan namin ang mga bracket at itinutumbas ang numerator ng orihinal na integrand sa resultang expression:

Sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay, naghahanap tayo ng mga terminong may parehong kapangyarihan ng x at bumubuo ng isang sistema ng mga equation mula sa kanila:

.

Kinansela namin ang lahat ng x at kumuha ng katumbas na sistema ng mga equation:

.

Kaya, ang huling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction ay:

.

Halimbawa 2. Hakbang 2. Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na agnas ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi natukoy na coefficient sa mga numerator:

.

Ngayon nagsisimula kaming maghanap ng mga hindi tiyak na coefficient. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang numerator ng orihinal na fraction sa expression ng function sa numerator ng expression na nakuha pagkatapos na bawasan ang kabuuan ng mga fraction sa isang karaniwang denominator:

Ngayon ay kailangan mong lumikha at lutasin ang isang sistema ng mga equation. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang mga coefficient ng variable sa kaukulang degree sa numerator ng orihinal na expression ng function at mga katulad na coefficient sa expression na nakuha sa nakaraang hakbang:

Nalulutas namin ang nagresultang sistema:

Kaya, mula dito

.

Halimbawa 3. Hakbang 2. Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na agnas ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi natukoy na coefficient sa mga numerator:

Nagsisimula kaming maghanap ng mga hindi tiyak na coefficient. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang numerator ng orihinal na fraction sa expression ng function sa numerator ng expression na nakuha pagkatapos na bawasan ang kabuuan ng mga fraction sa isang karaniwang denominator:

Tulad ng sa mga nakaraang halimbawa, bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation:

Binabawasan namin ang mga x at kumuha ng katumbas na sistema ng mga equation:

Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:

Nakukuha namin ang panghuling agnas ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

.

Halimbawa 4. Hakbang 2. Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na agnas ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi natukoy na coefficient sa mga numerator:

.

Alam na natin mula sa mga nakaraang halimbawa kung paano i-equate ang numerator ng orihinal na fraction sa expression sa numerator na nakuha pagkatapos mabulok ang fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction at dalhin ang kabuuan na ito sa isang common denominator. Samakatuwid, para lamang sa mga layunin ng kontrol, ipinakita namin ang nagresultang sistema ng mga equation:

Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:

Nakukuha namin ang panghuling agnas ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

Halimbawa 5. Hakbang 2. Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na agnas ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi natukoy na coefficient sa mga numerator:

.

Independiyente naming binabawasan ang kabuuan na ito sa isang karaniwang denominator, na tinutumbasan ang numerator ng expression na ito sa numerator ng orihinal na fraction. Ang resulta ay dapat ang sumusunod na sistema ng mga equation:

Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:

.

Nakukuha namin ang panghuling agnas ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

.

Halimbawa 6. Hakbang 2. Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na agnas ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi natukoy na coefficient sa mga numerator:

Ginagawa namin ang parehong mga aksyon sa halagang ito tulad ng sa mga nakaraang halimbawa. Ang resulta ay dapat ang sumusunod na sistema ng mga equation:

Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:

.

Nakukuha namin ang panghuling agnas ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

.

Halimbawa 7. Hakbang 2. Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na agnas ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi natukoy na coefficient sa mga numerator:

.

Pagkatapos ng ilang mga aksyon na may nagresultang halaga, ang sumusunod na sistema ng mga equation ay dapat makuha:

Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:

Nakukuha namin ang panghuling agnas ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

.

Halimbawa 8. Hakbang 2. Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na agnas ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi natukoy na coefficient sa mga numerator:

.

Gumawa tayo ng ilang mga pagbabago sa mga aksyon na nadala na sa automaticity upang makakuha ng isang sistema ng mga equation. Mayroong isang artipisyal na pamamaraan na sa ilang mga kaso ay nakakatulong upang maiwasan ang mga hindi kinakailangang kalkulasyon. Ang pagdadala ng kabuuan ng mga fraction sa isang karaniwang denominator, nakukuha namin at itinutumbas ang numerator ng expression na ito sa numerator ng orihinal na fraction, nakuha namin.