Vectorii pot fi reprezentați grafic prin segmente de linie direcțională. Lungimea este aleasă pe o anumită scară pentru a indica mărimea vectorului , iar direcția segmentului reprezintă direcția vectorială . De exemplu, dacă presupunem că 1 cm reprezintă 5 km/h, atunci un vânt de nord-est de 15 km/h va fi reprezentat de o linie direcțională de 3 cm, așa cum se arată în figură.

Vector în plan este un segment dirijat. Doi vectori egal daca au la fel valoareȘi direcţie.

Considerăm un vector desenat din punctul A în punctul B. Punctul se numește punct de start vector, iar punctul B se numește punctul final. Notația simbolică pentru acest vector este (a se citi „vector AB”). Vectorii sunt de asemenea indicați cu litere aldine, cum ar fi U, V și W. Cei patru vectori din figura din stânga au aceeași lungime și direcție. Prin urmare ele reprezintă egal vânturi; acesta este,

În contextul vectorilor, folosim = pentru a desemna egalitatea lor.

lungime, sau magnitudinea exprimat ca ||. Pentru a determina dacă vectorii sunt egali, găsim mărimile și direcțiile lor.

Exemplul 1 Vectorii u, , w sunt prezentați în figura de mai jos. Demonstrați că u = w.

Soluţie Mai întâi găsim lungimea fiecărui vector folosind formula distanței:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
De aici
|u| = | = |w|.
Vectorii u, , și w, după cum puteți vedea din figură, par să aibă aceeași direcție, dar le vom verifica panta. Dacă liniile pe care se află au aceeași pantă, atunci vectorii au aceeași direcție. Calculați pante:
Deoarece u, , și w au aceeași mărime și aceeași direcție,
u = w.

Rețineți că vectorii egali necesită doar aceeași magnitudine și aceeași direcție, nefiind în același loc. Figura de sus este un exemplu de egalitate a vectorilor.

Să presupunem că o persoană face 4 pași spre est și apoi 3 pași spre nord. Persoana va fi apoi la 5 pași de punctul de plecare în direcția indicată în stânga. Un vector lung de 4 unități și cu direcția dreaptă reprezintă 4 pași spre est și un vector lung de 3 unități în sus reprezintă 3 pași spre nord. Sumă dintre acești doi vectori este un vector de 5 trepte de mărime și în direcția arătată. Se mai numește și suma rezultând doi vectori.

În general, doi vectori nenuli u și v pot fi adăugați geometric prin poziționarea punctului de început al vectorului v la punctul final al vectorului u și apoi găsirea unui vector care are același punct de început ca vectorul u și același punct final. ca vector v așa cum se arată în figura de mai jos.

Suma este un vector reprezentat de un segment direcționat de la punctul A al vectorului u până la punctul final C al vectorului v. Astfel, dacă u = și v = , atunci
u+v=+=

Putem descrie, de asemenea, adăugarea vectorială ca plasarea punctelor de pornire ale vectorilor împreună, construirea unui paralelogram și găsirea diagonalei paralelogramului. (imaginea de mai jos.) Această adăugare este uneori denumită regula paralelogramului adaos de vectori. Adunarea vectorială este comutativă. După cum se arată în figură, ambii vectori u + v și v + u sunt reprezentați de același segment direcționat.

Dacă două forțe F 1 și F 2 acționează asupra aceluiași obiect, rezultând forța este suma F 1 + F 2 a acestor două forțe separate.

Exemplu Două forțe de 15 newtoni și 25 de newtoni acționează asupra aceluiași obiect perpendicular unul pe celălalt. Găsiți suma lor sau forța rezultantă și unghiul pe care îl formează cu forța mai mare.

Soluţie Să desenăm condiția problemei, în acest caz un dreptunghi, folosind v sau pentru a reprezenta rezultatul. Pentru a-i găsi valoarea, folosim teorema lui Pitagora:
|v| 2 = 152 + 252 Aici |v| denotă lungimea sau mărimea lui v.
|v| = √152 + 252
|v| ≈ 29,2.
Pentru a găsi direcția, rețineți că, deoarece OAB este un unghi drept,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Folosind un calculator, găsim θ, unghiul pe care forța mare îl formează cu forța netă:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Cel rezultat are o magnitudine de 29,2 și un unghi de 31° cu forța mai mare.

Piloții își pot corecta direcția zborului dacă există un vânt lateral. Vântul și viteza aeronavei pot fi reprezentate ca vânturi.

Exemplul 3. Viteza și direcția aeronavei. Aeronava se deplasează de-a lungul unui azimut de 100° cu o viteză de 190 km/h, în timp ce viteza vântului este de 48 km/h, iar azimutul său este de 220°. Găsiți viteza absolută a aeronavei și direcția mișcării sale, ținând cont de vânt.

Soluţie Să facem mai întâi un desen. Este reprezentat vântul și vectorul viteză al aeronavei este . Vectorul viteză rezultat este v, suma celor doi vectori. Unghiul θ dintre v și se numește unghi de deriva .


Rețineți că COA = 100° - 40° = 60°. Atunci valoarea CBA este, de asemenea, egală cu 60° (unghiurile opuse ale paralelgramului sunt egale). Deoarece suma tuturor unghiurilor unui paralelogram este de 360° și COB și OAB au aceeași mărime, fiecare trebuie să fie de 120°. De regula cosinusului în OAB, avem
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Apoi |v| este egal cu 218 km/h. Conform regula sinusului , in acelasi triunghi,
48 /sinθ = 218 /păcat 120°,
sau
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Apoi, θ = 11°, până la cel mai apropiat unghi întreg. Viteza absolută este de 218 km/h, iar direcția mișcării sale, ținând cont de vânt: 100 ° - 11 °, sau 89 °.

Având în vedere un vector w, putem găsi alți doi vectori u și v a căror sumă este w. Se numesc vectorii u si v componente w și procesul de găsire a acestora se numește descompunere , sau o reprezentare a unui vector prin componentele sale vectoriale.

Când descompunem un vector, de obicei căutăm componente perpendiculare. Foarte des, totuși, o componentă va fi paralelă cu axa x, iar cealaltă va fi paralelă cu axa y. Prin urmare, ele sunt adesea numite orizontală Și vertical componente vectoriale. În figura de mai jos, vectorul w = este descompus ca sumă dintre u = și v = .

Componenta orizontală a lui w este u, iar componenta verticală este v.

Exemplul 4 Vectorul w are o magnitudine de 130 și o pantă de 40° față de orizontală. Descompune vectorul în componente orizontale și verticale.

Soluţie Mai întâi desenăm o imagine cu vectorii orizontali și verticali u și v, a căror sumă este w.

Din ABC, găsim |u| și |v| folosind definițiile cosinusului și sinusului:
cos40° = |u|/130 sau |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, sau |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Apoi, componenta orizontală w este 100 la dreapta și componenta verticală w este 84 în sus.

„Geometrie „Zona trapezului”” - Gândește-te. Zona trapezului. AH=. 1. AD = 4 cm.Baza. Găsiți aria trapezului ABCD. Găsiți aria unui trapez dreptunghiular. Geometrie. Repetați demonstrația teoremei. Împărțiți poligonul în triunghiuri. Problemă cu o soluție.

„Determinarea simetriei axiale” - Construiți punctele A „și B”. Simetrie axială. Figura. Coordonatele lipsesc. Construirea unui segment. Segment de linie. Axa de simetrie. Simetria în poezie. Construcția unui triunghi. Puncte care se află pe aceeași perpendiculară. Construirea unui punct. Simetrie. Triunghiuri. Construiți triunghiuri. Desenați un punct. Plot puncte. Figuri cu o singură axă de simetrie. Drept. Figuri cu două axe de simetrie. Simetrie în natură.

„Cadunghiuri, semnele și proprietățile lor” - Teste. Colțuri cu romburi. Un dreptunghi cu toate laturile egale. Tipuri de patrulatere. Aflați despre tipurile de patrulatere. Un patrulater ale cărui vârfuri sunt la mijlocul laturilor. Patraunghiuri. Cadrilatere, semnele și proprietățile lor. Trapez. Paralelogram. Proprietățile paralelogramului. Diagonale. Ce două triunghiuri egale pot forma un pătrat? Dreptunghi. Pătrat. Tipuri de trapez.

„Teorema unghiului înscris” - Studiul materialului nou. Cercurile se intersectează. Răspuns. Actualizarea cunoștințelor elevilor. Verifică-te. Raza cercului. Răspuns corect. Raza cercului este de 4 cm.Consolidarea materialului studiat. Colt ascutit. Găsiți unghiul dintre coarde. Triunghi. Teorema unghiului înscris. Conceptul de unghi înscris. Găsiți unghiul dintre ele. Cum se numește unghiul cu vârful în centrul cercului? Soluţie. Actualizare de cunoștințe.

„Constructia unei tangente la un cerc” - Cercul. Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui cerc. Cercul și linia. Diametru. Puncte comune. Coardă. Soluţie. Cercul și linia au una punct comun. Tangent la un cerc. Repetiţie. Teorema segmentului tangent.

„Geometrie „Triunghiuri similare”” - Două triunghiuri sunt numite similare. Valori sinus, cosinus și tangente pentru unghiuri de 30°, 45°, 60°. Aflați aria unui triunghi dreptunghic isoscel. Teorema raportului dintre ariile triunghiurilor similare. Triunghiuri similare. Al doilea semn al asemănării triunghiurilor. Continuarea laturilor. Valori sinus, cosinus și tangente. tăieri proporționale. Cele două laturi ale triunghiului sunt legate printr-un segment care nu este paralel cu al treilea.

Acest capitol este dedicat dezvoltării aparatului vectorial al geometriei. Folosind vectori, puteți demonstra teoreme și rezolva probleme geometrice. Exemple de utilizare a vectorilor sunt date în acest capitol. Dar studiul vectorilor este util și pentru că aceștia sunt folosiți pe scară largă în fizică pentru a descrie diferite mărimi fizice, cum ar fi, de exemplu, viteza, accelerația, forța.

Mulți mărimi fizice, de exemplu, forța, deplasarea unui punct material, viteza, sunt caracterizate nu numai prin valoarea lor numerică, ci și prin direcția lor în spațiu. Aceste mărimi fizice sunt numite cantități vectoriale(sau scurt vectori).

Luați în considerare un exemplu. Fie ca asupra corpului să acționeze o forță de 8 N. În figură, forța este reprezentată printr-un segment cu o săgeată (Fig. 240). Săgeata indică direcția forței, iar lungimea segmentului corespunde valorii numerice a forței pe scara selectată. Deci, în figura 240, o forță de 1 N este prezentată ca un segment de 0,6 cm lungime, prin urmare o forță de 8 N este reprezentată ca un segment de 4,8 cm lungime.

Orez. 240

Făcând abstracție de la proprietățile specifice ale mărimilor vectoriale fizice, ajungem la conceptul geometric de vector.

Luați în considerare un segment arbitrar. Capetele sale mai sunt numite punctele de limita ale segmentului.

Pe un segment pot fi specificate două direcții: de la un punct de limită la altul și invers.

Pentru a alege una dintre aceste direcții, numim un punct de limită al segmentului începutul segmentului, si celalalt - sfarsitul segmentuluiși vom presupune că segmentul este îndreptat de la început până la sfârșit.

Definiție

În figuri, un vector este reprezentat ca un segment cu o săgeată care arată direcția vectorului. Vectorii sunt indicați cu două litere latine mari cu o săgeată deasupra lor, de exemplu . Prima literă indică începutul vectorului, a doua - sfârșitul (Fig. 242).

Orez. 242

Figura 243, a prezintă vectorii punctele A, C, E sunt începuturile acestor vectori, iar B, D, F sunt capetele lor. Vectorii sunt adesea indicați printr-o literă latină minusculă cu o săgeată deasupra ei: (Fig. 243, b).

Orez. 243

Pentru ceea ce urmează, este oportun să fim de acord că orice punct al planului este, de asemenea, un vector. În acest caz, vectorul este numit zero. Începutul vectorului zero coincide cu sfârșitul acestuia. În figură, un astfel de vector este reprezentat printr-un singur punct. Dacă, de exemplu, punctul care reprezintă vectorul zero este notat cu litera M, atunci acest vector zero poate fi notat astfel: (Fig. 243, a). Vectorul zero este de asemenea notat cu simbolul În Figura 243 vectori sunt diferite de zero, iar vectorul este zero.

Lungimea sau modulul unui vector diferit de zero este lungimea segmentului AB. Lungimea unui vector (vector ) se notează astfel: . Lungimea vectorului nul este considerată zero:

Lungimile vectorilor prezentați în figurile 243, a și 243, 6 sunt după cum urmează:

(fiecare celulă din figura 243 are o latură egală cu unitatea de măsură a segmentelor).

Egalitatea vectorială

Înainte de a defini vectori egali, să ne uităm la un exemplu. Luați în considerare mișcarea unui corp în care toate punctele sale se mișcă cu aceeași viteză și în aceeași direcție.

Viteza fiecărui punct M al corpului este o mărime vectorială, deci poate fi reprezentată printr-un segment direcționat, al cărui început coincide cu punctul M (Fig. 244). Deoarece toate punctele corpului se mișcă cu aceeași viteză, toate segmentele direcționate care reprezintă vitezele acestor puncte au aceeași direcție și lungimile lor sunt egale.

Orez. 244

Acest exemplu ne spune cum să determinăm egalitatea vectorilor.

Să introducem mai întâi conceptul de vectori coliniari.

Se numesc vectori nenuli coliniare, dacă se află fie pe aceeași dreaptă, fie pe drepte paralele; vectorul zero este considerat coliniar cu orice vector.

În Figura 245, vectorii (vectorul zero) sunt coliniari, iar vectorii și sunt, de asemenea, necoliniari.

Orez. 245

Dacă doi vectori nenuli și sunt coliniari, atunci ei pot fi direcționați fie în același mod, fie în sens opus. În primul caz, vectorii și sunt numiți co-directional, iar în al doilea directii opuse 1 .

Co-direcția vectorilor și se notează după cum urmează: Dacă vectorii și sunt direcționați opus, atunci aceasta se notează după cum urmează: Figura 245 prezintă atât vectori co-direcționați, cât și vectori direcționați opus:

Începutul vectorului zero coincide cu sfârșitul acestuia, astfel încât vectorul zero nu are nicio direcție anume. Cu alte cuvinte, orice direcție poate fi considerată direcția vectorului zero. Suntem de acord să presupunem că vectorul zero este codirecțional cu orice vector. Astfel, în figura 245 etc.

Vectorii coliniari nenuli au proprietăți care sunt ilustrate în Figura 246, a - c.




Orez. 246

Acum dăm definiția vectorilor egali.

Definiție

Astfel, vectorii și sunt egali dacă . Egalitatea vectorilor și se notează după cum urmează:

Amânarea unui vector dintr-un punct dat

Dacă punctul A este începutul vectorului, atunci ei spun că vectorul este amânat din punctul A(Fig. 247). Să demonstrăm următoarea afirmație:

din orice punct M, puteți amâna un vector egal cu un vector dat și, în plus, doar unul.




Orez. 247

Într-adevăr, dacă este un vector nul, atunci vectorul necesar este vectorul . Să presupunem că vectorul este diferit de zero, iar punctele A și B sunt începutul și sfârșitul său. Să trasăm o dreaptă p paralelă cu AB prin punctul M (Fig. 248; dacă M este un punct al dreptei AB, atunci luăm dreptul AB însăși drept p). Pe linia p, lăsăm deoparte segmentele MN și MN", egale cu segmentul AB și alegem dintre vectori unul care este co-dirijat cu vectorul (în Figura 248 vector). Acest vector este vectorul dorit, egal cu vectorul . Din construcție rezultă că există un singur astfel de vector.




Orez. 248

cometariu

Vectorii egali reprezentați din puncte diferite sunt adesea indicați cu aceeași literă. Astfel, de exemplu, vectorii viteză egală ai punctelor diferite sunt indicați în Figura 244. Uneori se spune că astfel de vectori sunt același vector, dar reprezentați grafic din puncte diferite.

Sarcini practice

738. Marcați punctele A, B și C care nu se află pe o singură linie dreaptă. Desenați toți vectorii nenuli al căror început și sfârșit coincid cu oricare dintre aceste puncte. Notați toți vectorii rezultați și indicați începutul și sfârșitul fiecărui vector.

739. După ce ați ales o scară adecvată, desenați vectori care descriu zborul unui avion, mai întâi la 300 km sud de la orașul A la B și apoi la 500 km est de la orașul B la C. Apoi desenați un vector care ilustrează mișcarea de la punctul de plecare. până la punctul final.

740. Desenați vectori astfel încât:

741. Desenați doi vectori necoliniari și . Desenați mai mulți vectori: a) co-directional cu vectorul ; b) co-directional cu vectorul ; c) îndreptată opus vectorului ; d) îndreptată opus vectorului .

742. Desenați doi vectori: a) având lungimi egaleși necoliniare; b) având lungimi egale și co-direcțional; c) având lungimi egale şi direcţii opuse. În care caz vectorii rezultați sunt egali?

RăspunsÎn cazul b).