În procesul Poisson, probabilitatea unei schimbări în timp (t, t~\~h) nu depinde de numărul de modificări în timp (0, t). Cea mai simplă generalizare este să renunți la această ipoteză. Să presupunem acum că, dacă n modificări au loc în timp (0, t), atunci probabilitatea unei noi schimbări în timp (t, t h) este \nh plus un termen de ordin mai mare al micimii decât /r; în loc de o constantă X care caracterizează procesul, avem o secvență de constante X0, Xj, X2

Este convenabil să introduceți o terminologie mai flexibilă. În loc să spunem că n modificări s-au produs în timp (0, t), vom spune că sistemul este în starea En. Noua modificare determină apoi tranziția En->En+1. În procesul de reproducere pură, trecerea de la En este posibilă numai la En+1. Acest proces este caracterizat de următoarele postulate.

Postulatele. Dacă în momentul t sistemul se află în starea En(n ~ 0, 1, 2,...), atunci probabilitatea ca în timpul (t, t -) - h) să se producă trecerea la En + 1 este egal cu Xn/r -|~ o (A). Probabilitatea altor modificări are un ordin de micime mai mare decât h.

") Deoarece considerăm că h este o valoare pozitivă, atunci, strict vorbind, Pn (t) din (2.4) ar trebui considerată drept derivată. Dar, în realitate, aceasta este o derivată obișnuită cu două fețe. Într-adevăr, termenul o (K) în formula (2.2 ) nu depinde de t și, prin urmare, nu se modifică dacă t este înlocuit cu t − h. Atunci proprietatea (2.2) exprimă continuitate și (2.3) este diferențiabilă în în sensul obişnuit. Această observație este aplicabilă și în cele ce urmează și nu se va repeta.

Semnul distinctiv al acestei presupuneri este că timpul pe care sistemul îl petrece în orice stare individuală este irelevant: indiferent de cât timp rămâne sistemul într-o stare, o tranziție bruscă la o altă stare rămâne la fel de posibilă.

Fie din nou P„(t) probabilitatea ca în momentul t sistemul să fie în starea En. Funcțiile Pn(t) satisfac un sistem de ecuații diferențiale care pot fi derivate folosind argumentele din secțiunea anterioară, cu singura modificare pe care (2.2) este înlocuită cu

Pn (t-\-h) = Pn (0(1- V0 + Pn-1 (0\-ih + 0 (A) - (3.1))

Astfel, obținem sistemul principal de ecuații diferențiale:

p "n (t) \u003d -lnPn (t) + ln_xPn_x (t) ("> 1),

P "0 (t) \u003d -l0P0 (t).

Putem calcula P0(t) și apoi secvenţial tot Pn(t). Dacă starea sistemului este numărul de modificări în timp (0, (), atunci starea inițială este £0, astfel încât PQ (0) = 1 și, prin urmare, P0 (t) - e~k "". Totuși, nu este necesar ca sistemul să pornească de la starea £0 (vezi Exemplul 3, b) Dacă în momentul 0 sistemul este în starea £, atunci

P. (0) = 1. Pn (0) = 0 pentru n Φ I. (3.3)

Aceste condiții inițiale determina soluții în mod unic)