Vektorer kan representeres grafisk ved retningslinjesegmenter. Lengden er valgt på en bestemt skala for å indikere størrelsen på vektoren , og retningen til segmentet representerer vektor retning . Hvis vi for eksempel antar at 1 cm representerer 5 km/t, vil en nordøstlig vind på 15 km/t representeres av en 3 cm retningslinje, som vist på figuren.

Vektor i flyet er det et rettet segment. To vektorer lik hvis de har det samme verdi Og retning.

Betrakt en vektor tegnet fra punkt A til punkt B. Punktet kalles Utgangspunktet vektor, og punktet B kalles sluttpunkt. Den symbolske notasjonen for denne vektoren er (lest som "vektor AB"). Vektorer er også merket med fete bokstaver, som U, V og W. De fire vektorene i figuren til venstre har samme lengde og retning. Derfor presenterer de lik vind; det er,

I sammenheng med vektorer bruker vi = for å betegne deres likhet.

lengde, eller omfanget uttrykt som ||. For å finne ut om vektorer er like, finner vi deres størrelser og retninger.

Eksempel 1 Vektorene u, , w er vist i figuren under. Bevis at u = w.

Løsning Først finner vi lengden på hver vektor ved å bruke avstandsformelen:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Herfra
|u| = | = |w|.
Vektorene u, , og w, som du kan se av figuren, ser ut til å ha samme retning, men vi skal sjekke helningen deres. Hvis linjene de er på har samme helning, så har vektorene samme retning. Beregn stigninger:
Siden u, , og w har samme størrelse og samme retning,
u = w.

Husk at like vektorer bare krever samme størrelse og samme retning, ikke på samme sted. Den øverste figuren er et eksempel på likhet mellom vektorer.

Anta at en person tar 4 skritt mot øst og deretter 3 skritt mot nord. Personen vil da være 5 skritt unna startpunktet i retningen vist til venstre. En vektor 4 enheter lang og med høyre retning representerer 4 trinn øst og en vektor 3 enheter lang opp representerer 3 trinn nord. Sum av disse to vektorene er en vektor med 5 størrelsestrinn og i den viste retningen. Beløpet kalles også resulterende to vektorer.

Generelt kan to vektorer u og v som ikke er null adderes geometrisk ved å plassere startpunktet til vektor v til endepunktet til vektor u, og deretter finne en vektor som har samme startpunkt som vektor u og samme endepunkt. som vektor v som vist i figuren under.

Summen er en vektor representert av et rettet segment fra punkt A i vektor u til endepunkt C til vektor v. Så hvis u = og v =, så
u+v=+=

Vi kan også beskrive vektoraddisjon som å sette sammen startpunktene til vektorer, bygge et parallellogram og finne diagonalen til parallellogrammet. (bildet nedenfor.) Dette tillegget blir noen ganger referert til som parallellogramregel tillegg av vektorer. Vektortilsetning er kommutativ. Som vist på figuren er begge vektorene u + v og v + u representert av det samme rettede segmentet.

Hvis to krefter F 1 og F 2 virker på samme gjenstand, resulterende kraft er summen F 1 + F 2 av disse to separate kreftene.

Eksempel To krefter på 15 newton og 25 newton virker på det samme objektet vinkelrett på hverandre. Finn summen, eller resulterende kraft, og vinkelen den danner med den største kraften.

Løsning La oss tegne tilstanden til problemet, i dette tilfellet et rektangel, ved å bruke v eller for å representere resultatet. For å finne verdien bruker vi Pythagoras teorem:
|v| 2 = 152 + 252 Her |v| angir lengden eller størrelsen på v.
|v| = √152 + 252
|v| ≈ 29,2.
For å finne retningen, merk at siden OAB er en rett vinkel,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Ved hjelp av en kalkulator finner vi θ, vinkelen som den store kraften lager med nettokraften:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Den resulterende har en styrke på 29,2 og en vinkel på 31° med den største kraften.

Piloter kan korrigere flyretningen hvis det er sidevind. Vind og flyhastighet kan representeres som vind.

Eksempel 3. Flyhastighet og retning. Flyet beveger seg langs en asimut på 100° med en hastighet på 190 km/t, mens vindhastigheten er 48 km/t og dens asimut er 220°. Finn den absolutte hastigheten til flyet og bevegelsesretningen, ta hensyn til vinden.

Løsning La oss lage en tegning først. Vinden er representert og flyets hastighetsvektor er . Den resulterende hastighetsvektoren er v, summen av de to vektorene. Vinkelen θ mellom v og kalles drivvinkel .


Merk at COA = 100° - 40° = 60°. Da er verdien av CBA også lik 60° (motsatte vinkler på parallellgrammet er like). Siden summen av alle vinklene til et parallellogram er 360° og COB og OAB er av samme størrelse, må hver være 120°. Av kosinus regel i OAB har vi
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Så |v| tilsvarer 218 km/t. I følge sinusregel , i samme trekant,
48 /sinθ = 218 /synd 120°,
eller
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0.1907
θ ≈ 11°
Deretter, θ = 11°, til nærmeste heltallsvinkel. Den absolutte hastigheten er 218 km / t, og bevegelsesretningen, tatt i betraktning vinden: 100 ° - 11 °, eller 89 °.

Gitt en vektor w, kan vi finne to andre vektorer u og v hvis sum er w. Vektorene u og v kalles komponenter w og prosessen med å finne dem kalles nedbrytning , eller en representasjon av en vektor ved dens vektorkomponenter.

Når vi dekomponerer en vektor, ser vi vanligvis etter vinkelrette komponenter. Svært ofte vil imidlertid en komponent være parallell med x-aksen og den andre vil være parallell med y-aksen. Derfor kalles de ofte horisontal Og vertikal vektorkomponenter. I figuren under er vektoren w = dekomponert som summen av u = og v =.

Den horisontale komponenten til w er u og den vertikale komponenten er v.

Eksempel 4 w-vektoren har en styrke på 130 og en helning på 40° i forhold til horisontalen. Dekomponer vektoren i horisontale og vertikale komponenter.

Løsning Først tegner vi et bilde med horisontale og vertikale vektorer u og v, hvis sum er w.

Fra ABC finner vi |u| og |v| ved å bruke definisjonene av cosinus og sinus:
cos40° = |u|/130, eller |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, eller |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Deretter er den horisontale w-komponenten 100 til høyre og den vertikale w-komponenten er 84 oppover.

"Geometri "Area of ​​the trapesoid"" - Tenk. Området til trapeset. AH=. 1. AD = 4 cm Base. Finn arealet av trapes ABCD. Finn arealet til en rektangulær trapes. Geometri. Gjenta beviset for teoremet. Del polygonet i trekanter. Problem med en løsning.

"Bestemmelse av aksial symmetri" - Byggepunkt A "og B". Aksial symmetri. Figur. Mangler koordinater. Bygge et segment. Linjestykke. Symmetriakse. Symmetri i poesi. Konstruksjon av en trekant. Punkter som ligger på samme vinkelrett. Bygge et poeng. Symmetri. Trekanter. Bygg trekanter. Tegn et punkt. Plot poeng. Figurer med en symmetriakse. Rett. Figurer med to symmetriakser. Symmetri i naturen.

"Firekanter, deres tegn og egenskaper" - Tester. Rombehjørner. Et rektangel med alle sider like. Typer firkanter. Lær om typer firkanter. En firkant hvis toppunkter er midt på sidene. Firkanter. Firkanter, deres tegn og egenskaper. Trapes. Parallelogram. Parallelogramegenskaper. Diagonaler. Hvilke to like trekanter kan danne en firkant? Rektangel. Torget. Typer trapes.

"Theorem of the inscribed angle" - Studiet av nytt materiale. Sirklene krysser hverandre. Svar. Oppdatering av elevenes kunnskap. Sjekk deg selv. Sirkelradius. Korrekt svar. Sirkelens radius er 4 cm Konsolidering av det studerte materialet. Skarpt hjørne. Finn vinkelen mellom akkordene. Triangel. Innskrevet vinkelteorem. Konseptet med en innskrevet vinkel. Finn vinkelen mellom dem. Hva heter vinkelen med toppunktet i sentrum av sirkelen? Løsning. Kunnskapsoppdatering.

"Konstruksjon av en tangent til en sirkel" - Sirkel. Gjensidig arrangement av en rett linje og en sirkel. Sirkel og linje. Diameter. Felles poeng. Akkord. Løsning. Sirkel og linje har en felles poeng. Tangent til en sirkel. Gjentakelse. Tangentsegmentteorem.

"Geometri "Lignende trekanter"" - To trekanter kalles like. Sinus-, cosinus- og tangensverdier for 30°, 45°, 60° vinkler. Finn arealet av en likebenet rettvinklet trekant. Teorem om forholdet mellom arealene til like trekanter. Lignende trekanter. Det andre tegnet på likheten mellom trekanter. Fortsettelse av sidene. Sinus-, cosinus- og tangensverdier. proporsjonale kutt. De to sidene av trekanten er forbundet med et segment som ikke er parallelt med det tredje.

Dette kapittelet er viet utviklingen av geometriens vektorapparat. Ved hjelp av vektorer kan du bevise teoremer og løse geometriske problemer. Eksempler på denne bruken av vektorer er gitt i dette kapittelet. Men studiet av vektorer er også nyttig fordi de er mye brukt i fysikk for å beskrive ulike fysiske størrelser, som for eksempel hastighet, akselerasjon, kraft.

Mange fysiske mengder, for eksempel kraft, forskyvning av et materialpunkt, hastighet, karakteriseres ikke bare av deres numeriske verdi, men også av deres retning i rommet. Disse fysiske størrelsene kalles vektormengder(eller kort vektorer).

Tenk på et eksempel. La en kraft på 8 N virke på kroppen På figuren er kraften representert ved et segment med en pil (Fig. 240). Pilen indikerer retningen til kraften, og lengden på segmentet tilsvarer den numeriske verdien av kraften på den valgte skalaen. Så i figur 240 er en kraft på 1 N vist som et segment 0,6 cm langt, derfor er en kraft på 8 N avbildet som et segment på 4,8 cm.

Ris. 240

Abstrahere fra de spesifikke egenskapene til fysiske vektormengder, kommer vi til det geometriske konseptet til en vektor.

Tenk på et vilkårlig segment. Dens ender kalles også grensepunkter for segmentet.

To retninger kan spesifiseres på et segment: fra ett grensepunkt til et annet og omvendt.

For å velge en av disse retningene kaller vi ett grensepunkt for segmentet begynnelsen av segmentet, og den andre - slutten av segmentet og vi vil anta at segmentet er rettet fra begynnelsen til slutten.

Definisjon

I figurene er en vektor avbildet som et segment med en pil som viser retningen til vektoren. Vektorer er merket med to store latinske bokstaver med en pil over dem, for eksempel . Den første bokstaven indikerer begynnelsen av vektoren, den andre - slutten (fig. 242).

Ris. 242

Figur 243, a viser vektorene punktene A, C, E er begynnelsen på disse vektorene, og B, D, F er deres ender. Vektorer er ofte betegnet med én liten latinsk bokstav med en pil over: (Fig. 243, b).

Ris. 243

For det følgende er det hensiktsmessig å godta at et hvilket som helst punkt i planet også er en vektor. I dette tilfellet kalles vektoren null. Begynnelsen av nullvektoren faller sammen med slutten. På figuren er en slik vektor representert av et enkelt punkt. Hvis for eksempel punktet som representerer nullvektoren er betegnet med bokstaven M, kan denne nullvektoren betegnes som følger: (Fig. 243, a). Nullvektoren er også betegnet med symbolet I figur 243 vektorer er ikke-null, og vektoren er null.

Lengden eller modulen til en vektor som ikke er null er lengden til segmentet AB. Lengden til en vektor (vektor ) er betegnet som følger: . Lengden på nullvektoren anses å være null:

Lengdene til vektorene vist i figurene 243, a og 243, 6 er som følger:

(hver celle i figur 243 har en side lik måleenheten til segmentene).

Vektorlikhet

Før vi definerer like vektorer, la oss se på et eksempel. Tenk på bevegelsen til et legeme der alle punktene beveger seg med samme hastighet og i samme retning.

Hastigheten til hvert punkt M i kroppen er en vektormengde, så den kan representeres av et rettet segment, hvis begynnelse sammenfaller med punktet M (fig. 244). Siden alle punkter på kroppen beveger seg med samme hastighet, har alle rettede segmenter som representerer hastighetene til disse punktene samme retning og lengdene deres er like.

Ris. 244

Dette eksemplet forteller oss hvordan vi bestemmer likheten til vektorer.

La oss først introdusere konseptet med kollineære vektorer.

Vektorer som ikke er null kalles kollineær, hvis de ligger enten på samme linje eller på parallelle linjer; nullvektoren regnes som kollineær til enhver vektor.

I figur 245 er vektorene (vektor null) kollineære, og vektorene og er også ikke-kollineære.

Ris. 245

Hvis to vektorer som ikke er null og er kollineære, kan de rettes enten på samme måte eller motsatt. I det første tilfellet kalles vektorene og samveis, og i den andre motsatte retninger 1 .

Samretningen til vektorer og er betegnet som følger: Hvis vektorene og er motsatt rettet, så er dette betegnet som følger: Figur 245 viser både samrettet og motsatt rettet vektorer:

Begynnelsen av nullvektoren faller sammen med slutten, så nullvektoren har ingen spesiell retning. Med andre ord kan enhver retning betraktes som retningen til nullvektoren. Vi er enige om å anta at nullvektoren er codirectional med en hvilken som helst vektor. Således, i figur 245 osv.

Ikke-null kollineære vektorer har egenskaper som er illustrert i figur 246, a - c.




Ris. 246

Vi gir nå definisjonen av like vektorer.

Definisjon

Dermed er vektorene og like hvis . Likheten til vektorer og er betegnet som følger:

Utsette en vektor fra et gitt punkt

Hvis punkt A er begynnelsen av vektoren, så sier de det vektoren er utsatt fra punkt A(Fig. 247). La oss bevise følgende påstand:

fra et hvilket som helst punkt M, kan du utsette en vektor lik en gitt vektor, og dessuten bare en.




Ris. 247

Faktisk, hvis er en nullvektor, så er den nødvendige vektoren vektoren. La oss anta at vektoren ikke er null, og punktene A og B er begynnelsen og slutten. La oss trekke en linje p parallelt med AB gjennom punktet M (fig. 248; hvis M er et punkt på linjen AB, så tar vi selve linjen AB som linjen p). På linjen p legger vi til side segmentene MN og MN", lik segmentet AB, og velger fra vektorene en som er co-dirigert med vektoren (i figur 248 vektor). Denne vektoren er den ønskede vektoren, lik vektoren. Det følger av konstruksjonen at det kun finnes én slik vektor.




Ris. 248

Kommentar

Like vektorer plottet fra forskjellige punkter er ofte merket med samme bokstav. Slik er for eksempel like hastighetsvektorer for forskjellige punkter indikert i figur 244. Noen ganger sies slike vektorer å være samme vektor, men plottet fra forskjellige punkter.

Praktiske oppgaver

738. Merk punktene A, B og C som ikke ligger på én rett linje. Tegn alle vektorer som ikke er null, hvis begynnelse og slutt faller sammen med to av disse punktene. Skriv ned alle de resulterende vektorene og angi begynnelsen og slutten av hver vektor.

739. Etter å ha valgt en passende skala, tegn vektorer som viser flyvningen til et fly, først 300 km sør fra by A til B, og deretter 500 km øst fra by B til C. Tegn deretter en vektor som viser bevegelsen fra startpunktet til sluttpunktet.

740. Tegn vektorer slik at:

741. Tegn to ikke-kollineære vektorer og . Tegn flere vektorer: a) co-directional med vektoren; b) co-directional med vektoren; c) motsatt rettet til vektoren; d) motsatt rettet til vektoren.

742. Tegn to vektorer: a) har like lengder og ikke-kolineær; b) ha like lengder og co-directional; c) ha like lengder og motsatte retninger. I hvilket tilfelle er de resulterende vektorene like?

Svar I tilfelle b).