I vettori possono essere rappresentati graficamente da segmenti di linea direzionali. La lunghezza è scelta su una certa scala da indicare la grandezza del vettore e rappresenta la direzione del segmento direzione del vettore . Ad esempio, se assumiamo che 1 cm rappresenti 5 km/h, allora un vento da nord-est di 15 km/h sarà rappresentato da una linea direzionale di 3 cm, come mostrato nella figura.

Vettore nel piano è un segmento diretto. Due vettori pari se hanno lo stesso valore e direzione.

Considera un vettore tracciato dal punto A al punto B. Il punto è chiamato punto di partenza vettore, e viene chiamato il punto B punto finale. La notazione simbolica per questo vettore è (letta come "vettore AB"). I vettori sono indicati anche da lettere in grassetto, come U, V e W. I quattro vettori nella figura a sinistra hanno la stessa lunghezza e direzione. Pertanto rappresentano pari venti; questo è,

Nel contesto dei vettori, usiamo = per denotare la loro uguaglianza.

lunghezza, o grandezza espresso come ||. Per determinare se i vettori sono uguali, troviamo le loro grandezze e direzioni.

Esempio 1 I vettori u, , w sono mostrati nella figura seguente. Dimostra che u = w.

Soluzione Per prima cosa troviamo la lunghezza di ogni vettore usando la formula della distanza:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Da qui
|u| = | = |w|.
I vettori u, , e w, come si vede dalla figura, sembrano avere la stessa direzione, ma ne verificheremo la pendenza. Se le linee su cui si trovano hanno la stessa pendenza, i vettori hanno la stessa direzione. Calcola pendenze:
Poiché u, , e w hanno la stessa grandezza e la stessa direzione,
u = w.

Tieni presente che vettori uguali richiedono solo la stessa magnitudine e la stessa direzione, non trovandosi nello stesso posto. La figura più in alto è un esempio dell'uguaglianza dei vettori.

Supponiamo che una persona faccia 4 passi a est e poi 3 passi a nord. La persona sarà quindi a 5 passi dal punto di partenza nella direzione mostrata a sinistra. Un vettore lungo 4 unità e con una direzione retta rappresenta 4 passi verso est e un vettore lungo 3 unità verso l'alto rappresenta 3 passi verso nord. Somma di questi due vettori è un vettore di 5 gradini di grandezza e nella direzione indicata. Viene chiamato anche l'importo risultante due vettori.

In generale, due vettori diversi da zero u e v possono essere aggiunti geometricamente posizionando il punto iniziale del vettore v al punto finale del vettore u, e quindi trovando un vettore che abbia lo stesso punto iniziale del vettore u e lo stesso punto finale come vettore v come mostrato nella figura seguente.

La somma è un vettore rappresentato da un segmento diretto dal punto A del vettore u al punto finale C del vettore v. Quindi, se u = e v = , allora
u+v=+=

Possiamo anche descrivere l'addizione vettoriale come unendo i punti iniziali dei vettori, costruendo un parallelogramma e trovando la diagonale del parallelogramma. (nella foto sotto.) Questa aggiunta è talvolta indicata come regola del parallelogramma addizione di vettori. L'addizione del vettore è commutativa. Come mostrato in figura, entrambi i vettori u + v e v + u sono rappresentati dallo stesso segmento orientato.

Se due forze F 1 e F 2 agiscono sullo stesso oggetto, risultante la forza è la somma F 1 + F 2 di queste due forze separate.

Esempio Due forze di 15 newton e 25 newton agiscono sullo stesso oggetto perpendicolarmente tra loro. Trova la loro somma, o forza risultante, e l'angolo che forma con la forza maggiore.

Soluzione Disegniamo la condizione del problema, in questo caso un rettangolo, usando v o per rappresentare il risultato. Per trovarne il valore utilizziamo il teorema di Pitagora:
|v| 2 = 152 + 252 Qui |v| denota la lunghezza o la grandezza di v.
|v| = √152 + 252
|v| ≈ 29.2.
Per trovare la direzione, si noti che poiché OAB è un angolo retto,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Usando una calcolatrice, troviamo θ, l'angolo che la grande forza forma con la forza netta:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Quello risultante ha una magnitudine di 29,2 e un angolo di 31° con la forza maggiore.

I piloti possono correggere la direzione del loro volo se c'è vento laterale. Il vento e la velocità dell'aereo possono essere rappresentati come venti.

Esempio 3. Velocità e direzione dell'aereo. Il velivolo si muove lungo un azimut di 100° ad una velocità di 190 km/h, mentre la velocità del vento è di 48 km/he il suo azimut è di 220°. Trova la velocità assoluta dell'aereo e la direzione del suo movimento, tenendo conto del vento.

Soluzione Facciamo prima un disegno. Il vento è rappresentato e il vettore di velocità dell'aereo è . Il vettore di velocità risultante è v, la somma dei due vettori. Viene chiamato l'angolo θ tra v e angolo di deriva .


Si noti che COA = 100° - 40° = 60°. Allora anche il valore di CBA è uguale a 60° (gli angoli opposti del parallelgramma sono uguali). Poiché la somma di tutti gli angoli di un parallelogramma è 360° e COB e OAB hanno la stessa grandezza, ciascuno deve essere 120°. Di regola del coseno nella Rubrica offline, abbiamo
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47.524
|v| = 218
Allora |v| equivale a 218 km/h. Secondo regola del seno , nello stesso triangolo,
48 /peccatoθ = 218 /peccato 120°,
o
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Quindi, θ = 11°, all'angolo intero più vicino. La velocità assoluta è di 218 km/h, e la direzione del suo movimento, tenendo conto del vento: 100° - 11°, ovvero 89°.

Dato un vettore w, possiamo trovare altri due vettori u e v la cui somma è w. Vengono chiamati i vettori u e v componenti w e viene chiamato il processo per trovarli decomposizione o una rappresentazione di un vettore mediante le sue componenti vettoriali.

Quando scomponiamo un vettore, di solito cerchiamo componenti perpendicolari. Molto spesso, tuttavia, un componente sarà parallelo all'asse x e l'altro sarà parallelo all'asse y. Pertanto, sono spesso chiamati orizzontale e verticale componenti vettoriali. Nella figura seguente, il vettore w = è scomposto come somma di u = e v = .

La componente orizzontale di w è u e la componente verticale è v.

Esempio 4 Il vettore w ha una magnitudine di 130 e una pendenza di 40° rispetto all'orizzontale. Scomponi il vettore in componenti orizzontali e verticali.

Soluzione Per prima cosa disegniamo un'immagine con vettori orizzontali e verticali u e v, la cui somma è w.

Da ABC troviamo |u| e |v| usando le definizioni di coseno e seno:
cos40° = |u|/130, oppure |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, oppure |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Quindi, la componente w orizzontale è 100 a destra e la componente w verticale è 84 verso l'alto.

"Geometria "Area del trapezio"" - Pensa. L'area del trapezio. AH=. 1. AD = 4 cm Base. Trova l'area del trapezio ABCD. Trova l'area di un trapezio rettangolare. Geometria. Ripetere la dimostrazione del teorema. Dividi il poligono in triangoli. Problema con una soluzione.

"Determinazione della simmetria assiale" - Costruisci i punti A "e B". Simmetria assiale. Figura. Coordinate mancanti. Costruire un segmento. Segmento. Asse di simmetria. Simmetria in poesia. Costruzione di un triangolo. Punti che giacciono sulla stessa perpendicolare. Costruire un punto. Simmetria. Triangoli. Costruisci triangoli. Disegna un punto. Punti della trama. Figure con un asse di simmetria. Dritto. Figure con due assi di simmetria. Simmetria in natura.

"Quadangoli, loro segni e proprietà" - Prove. Angoli a rombo. Un rettangolo con tutti i lati uguali. Tipi di quadrilateri. Scopri i tipi di quadrilateri. Un quadrilatero i cui vertici sono nei punti medi dei lati. quadrangoli. Quadrilateri, loro segni e proprietà. Trapezio. Parallelogramma. Proprietà del parallelogramma. Diagonali. Quali due triangoli uguali possono formare un quadrato? Rettangolo. Piazza. Tipi di trapezio.

"Teorema dell'angolo inscritto" - Lo studio di nuovo materiale. I cerchi si intersecano. Risposta. Aggiornare le conoscenze degli studenti. Controllati. Raggio del cerchio. Risposta corretta. Il raggio del cerchio è di 4 cm Consolidamento del materiale studiato. Angolo acuto. Trova l'angolo tra le corde. Triangolo. Teorema dell'angolo inscritto. Il concetto di angolo inscritto. Trova l'angolo tra di loro. Qual è il nome dell'angolo con il vertice al centro del cerchio? Soluzione. Aggiornamento della conoscenza.

"Costruzione di una tangente a un cerchio" - Cerchio. Disposizione reciproca di una retta e di un cerchio. Cerchio e linea. Diametro. Punti comuni. Accordo. Soluzione. Cerchio e linea ne hanno uno punto comune. Tangente ad un cerchio. Ripetizione. Teorema del segmento tangente.

"Geometria "Triangoli simili"" - Due triangoli sono chiamati simili. Valori seno, coseno e tangente per angoli di 30°, 45°, 60°. Trova l'area di un triangolo rettangolo isoscele. Teorema sul rapporto delle aree di triangoli simili. Triangoli simili. Il secondo segno della somiglianza dei triangoli. Continuazione dei lati. Valori seno, coseno e tangente. tagli proporzionali. I due lati del triangolo sono collegati da un segmento non parallelo al terzo.

Questo capitolo è dedicato allo sviluppo dell'apparato vettoriale della geometria. Usando i vettori, puoi dimostrare teoremi e risolverli problemi geometrici. Esempi di questo uso dei vettori sono forniti in questo capitolo. Ma lo studio dei vettori è utile anche perché sono ampiamente utilizzati in fisica per descrivere varie grandezze fisiche, come, ad esempio, velocità, accelerazione, forza.

Molti quantità fisiche, ad esempio, la forza, lo spostamento di un punto materiale, la velocità, sono caratterizzati non solo dal loro valore numerico, ma anche dalla loro direzione nello spazio. Queste grandezze fisiche sono chiamate quantità vettoriali(o corto vettori).

Considera un esempio. Lasciate agire sul corpo una forza di 8 N. Nella figura, la forza è rappresentata da un segmento con una freccia (Fig. 240). La freccia indica la direzione della forza e la lunghezza del segmento corrisponde al valore numerico della forza sulla scala selezionata. Quindi, nella figura 240, una forza di 1 N è mostrata come un segmento lungo 0,6 cm, quindi una forza di 8 N è rappresentata come un segmento lungo 4,8 cm.

Riso. 240

Astraendo dalle proprietà specifiche delle grandezze vettoriali fisiche, arriviamo al concetto geometrico di vettore.

Considera un segmento arbitrario. Le sue estremità sono anche chiamate punti limite del segmento.

Su un segmento possono essere specificate due direzioni: da un punto di confine all'altro e viceversa.

Per scegliere una di queste direzioni, chiamiamo un punto limite del segmento l'inizio del segmento, e l'altro - la fine del segmento e assumeremo che il segmento sia diretto dall'inizio alla fine.

Definizione

Nelle figure, un vettore è rappresentato come un segmento con una freccia che mostra la direzione del vettore. I vettori sono indicati da due lettere latine maiuscole con una freccia sopra, ad esempio . La prima lettera indica l'inizio del vettore, la seconda la fine (Fig. 242).

Riso. 242

La Figura 243, a mostra i vettori i punti A, C, E sono gli inizi di questi vettori e B, D, F le loro estremità. I vettori sono spesso indicati da una lettera latina minuscola con una freccia sopra di essa: (Fig. 243, b).

Riso. 243

Per quanto segue, è opportuno concordare che ogni punto del piano è anche un vettore. In questo caso viene chiamato il vettore zero. L'inizio del vettore zero coincide con la sua fine. Nella figura, tale vettore è rappresentato da un singolo punto. Se, ad esempio, il punto che rappresenta il vettore zero è indicato con la lettera M, allora questo vettore zero può essere indicato come segue: (Fig. 243, a). Il vettore zero è anche indicato dal simbolo In Figura 243 vettori sono diversi da zero e il vettore è zero.

La lunghezza o modulo di un vettore diverso da zero è la lunghezza del segmento AB. La lunghezza di un vettore (vector ) è indicata come segue: . La lunghezza del vettore nullo è considerata zero:

Le lunghezze dei vettori mostrate nelle figure 243, a e 243, 6 sono le seguenti:

(ogni cella in figura 243 ha un lato uguale all'unità di misura dei segmenti).

Uguaglianza vettoriale

Prima di definire vettori uguali, diamo un'occhiata a un esempio. Consideriamo il moto di un corpo in cui tutti i suoi punti si muovono alla stessa velocità e nella stessa direzione.

La velocità di ogni punto M del corpo è una grandezza vettoriale, quindi può essere rappresentata da un segmento orientato, il cui inizio coincide con il punto M (Fig. 244). Poiché tutti i punti del corpo si muovono con la stessa velocità, tutti i segmenti diretti che rappresentano le velocità di questi punti hanno la stessa direzione e le loro lunghezze sono uguali.

Riso. 244

Questo esempio ci dice come determinare l'uguaglianza dei vettori.

Introduciamo prima il concetto di vettori collineari.

Vengono chiamati vettori diversi da zero collineare, se giacciono o sulla stessa retta o su rette parallele; il vettore zero è considerato collineare a qualsiasi vettore.

Nella Figura 245, i vettori (vettore zero) sono collineari e anche i vettori non sono collineari.

Riso. 245

Se due vettori diversi da zero e sono collineari, possono essere diretti allo stesso modo o in modo opposto. Nel primo caso vengono chiamati i vettori e co-direzionale, e nel secondo direzioni opposte 1 .

La co-direzione dei vettori e è indicata come segue: Se i vettori e sono diretti in modo opposto, allora questo è indicato come segue: La Figura 245 mostra vettori sia co-diretti che opposti:

L'inizio del vettore zero coincide con la sua fine, quindi il vettore zero non ha una direzione particolare. In altre parole, qualsiasi direzione può essere considerata la direzione del vettore zero. Accettiamo di assumere che il vettore zero sia codirezionale con qualsiasi vettore. Così, nella figura 245, ecc.

I vettori collineari diversi da zero hanno proprietà illustrate nella Figura 246, a - c.




Riso. 246

Diamo ora la definizione di vettori uguali.

Definizione

Pertanto, i vettori e sono uguali se . L'uguaglianza dei vettori ed è indicata come segue:

Rinvio di un vettore da un dato punto

Se il punto A è l'inizio del vettore, allora lo dicono il vettore è posticipato dal punto A(Fig. 247). Proviamo la seguente affermazione:

da qualsiasi punto M, puoi posticipare un vettore uguale a un dato vettore, e inoltre solo uno.




Riso. 247

Infatti, se è un vettore nullo, allora il vettore richiesto è il vettore . Assumiamo che il vettore sia diverso da zero e che i punti A e B ne siano l'inizio e la fine. Tracciamo una retta p parallela ad AB per il punto M (Fig. 248; se M è un punto della retta AB, allora prendiamo la retta AB stessa come retta p). Sulla retta p mettiamo da parte i segmenti MN e MN", uguali al segmento AB, e scegliamo tra i vettori uno che è co-diretto con il vettore (in Figura 248 vettore). Questo vettore è il vettore desiderato, uguale al vettore . Dalla costruzione consegue che esiste un solo vettore di questo tipo.




Riso. 248

Commento

Vettori uguali tracciati da punti diversi sono spesso indicati dalla stessa lettera. Ecco come, ad esempio, nella Figura 244 sono indicati vettori di velocità uguali di punti diversi. A volte si dice che tali vettori siano lo stesso vettore, ma tracciati da punti diversi.

Compiti pratici

738. Segna i punti A, B e C che non giacciono su una retta. Disegna tutti i vettori diversi da zero il cui inizio e fine coincidono con due qualsiasi di questi punti. Annota tutti i vettori risultanti e indica l'inizio e la fine di ogni vettore.

739. Dopo aver scelto una scala adeguata, disegna vettori raffiguranti il ​​volo di un aeroplano, prima 300 km a sud dalla città A a B, e poi 500 km a est dalla città B a C. Quindi traccia un vettore che rappresenti il ​​movimento dal punto di partenza al punto finale.

740. Disegna i vettori in modo che:

741. Disegna due vettori non lineari e . Disegna diversi vettori: a) co-direzionale con il vettore; b) codirezionale con il vettore; c) in direzione opposta al vettore; d) opposto al vettore.

742. Disegna due vettori: a) avere lunghezze uguali e non lineari; b) di uguale lunghezza e co-direzionali; c) aventi lunghezze uguali e direzioni opposte. In quale caso i vettori risultanti sono uguali?

Risposta Nel caso b).