Definizione di una variabile casuale. Molti eventi casuali possono essere quantificati da variabili casuali.

Casuale è una quantità che assume valori a seconda di una combinazione di circostanze casuali.

Le variabili casuali sono: il numero di pazienti in studio medico, il numero di studenti tra il pubblico, il numero di nascite in città, l'aspettativa di vita persona individuale, la velocità di una molecola, la temperatura dell'aria, un errore nella misurazione di un valore, ecc. Se si numerano le palline in un'urna all'incirca allo stesso modo di quando si gioca a un'estrazione del lotto, allora una rimozione arbitraria di una pallina dal urna mostrerà un numero che è una variabile casuale.

Esistono variabili casuali discrete e continue.

Una variabile casuale è chiamata discreta se accetta un insieme numerabile di valori: il numero di lettere su una pagina arbitraria di un libro, l'energia di un elettrone in un atomo, il numero di peli sulla testa di una persona, il numero di grani nelle orecchie, il numero di molecole in un dato volume di gas, ecc.

Continuo valore casuale prende qualsiasi valore entro un certo intervallo: temperatura corporea, massa del grano in spighe di grano, la coordinata del luogo in cui il proiettile ha colpito il bersaglio (consideriamo il proiettile come punto materiale), ecc.

Distribuzione di una variabile casuale discreta. Una variabile casuale discreta è considerata data se sono indicati i suoi possibili valori e le relative probabilità. Indica una variabile casuale discreta X, il suo significato x 1 x 2,…., e le probabilità P(x 1)= p 1, P (x 2)= p 2 eccetera. Popolazione X e P è chiamata distribuzione di una variabile casuale discreta(Tabella 1).

Tabella 1

La variabile casuale è il numero dello sport nel gioco "Sportlo-10". Il numero totale di specie è 49. Indicare la distribuzione di questa variabile casuale (Tabella 3).

Tabella 3

Significato 1 = 0 corrisponde a un caso del genere in cui tre volte di seguito l'evento MA non è successo. La probabilità di questo evento complesso, secondo il teorema della moltiplicazione di probabilità (2.6), è uguale a
Significato io= 1 si riferisce al caso in cui l'evento A si è verificato in uno dei tre processi. Con la formula (2.6) otteniamo

Dal momento che a l = 1 si verificano anche altri due eventi complessi: (A e A e A) e (A e A e A), quindi è necessario, utilizzando il teorema dell'addizione di probabilità (2.4), ottenere la probabilità totale di l = 1, aggiungendo tre volte l'espressione precedente:

Significato io= 2 corrisponde al caso in cui l'evento A si è verificato in due dei tre processi. Con un ragionamento simile a quanto sopra, otteniamo la probabilità totale per questo caso:

In 1 = 3 l'evento A appare in tutte e tre le prove. Usando il teorema della moltiplicazione di probabilità, troviamo

A caso generale La distribuzione binomiale determina la probabilità che si verifichi l'evento A. l volte a P prove:

Sulla base di osservazioni a lungo termine, la chiamata di un medico in una determinata casa è stimata con una probabilità di 0,5. Trova la probabilità che entro sei giorni ci siano quattro chiamate al medico; PAPÀ)= 0,5, n = 6,1 = 4. T Usiamo la formula (2.10):

Caratteristiche numeriche di una variabile casuale discreta. In molti casi, insieme alla distribuzione di una variabile casuale o al suo posto, informazioni su queste quantità possono essere fornite da parametri numerici chiamati caratteristiche numeriche di una variabile casuale. Consideriamo il più comune di loro.

L'aspettativa matematica (valore medio) di una variabile casuale è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori.
sulle probabilità di questi valori:

Lascia con un gran numero di test P variabile casuale discreta X prende valori x v x 2 ,..., x n rispettivamente m 1, m g,..., t pag una volta. Il valore medio è

Se una Pè grande, quindi le frequenze relative t 1 /p, t 2 /p,... tenderà alle probabilità e al valore medio - all'aspettativa matematica. Ecco perché l'aspettativa matematica è spesso identificata con il valore medio.

Trova l'aspettativa matematica per una variabile casuale discreta, che è data dal numero sul bordo quando si lancia un dado (vedi Tabella 2).

Usiamo la formula (2.11):

Trova l'aspettativa matematica per una variabile casuale discreta, che è determinata dalla circolazione di "Sportloto" (vedi Tabella 3). Secondo la formula (2.11), troviamo

I possibili valori di una variabile casuale discreta sono sparsi attorno alla sua aspettativa matematica, alcuni di essi superano M(X), parte è meno M(X). Come stimare il grado di dispersione di una variabile casuale rispetto al suo valore medio? Può sembrare che per risolvere un problema del genere, si dovrebbero calcolare le deviazioni di tutte le variabili casuali dalla sua aspettativa matematica X - M(X), e quindi trova l'aspettativa matematica (media) di queste deviazioni: M[X - M(X)]. Senza dimostrazione, notiamo che questo valore è uguale a zero, poiché le deviazioni di variabili casuali dall'aspettativa matematica hanno valori sia positivi che negativi. Pertanto, è consigliabile prendere in considerazione sia i valori assoluti delle deviazioni M[X - M(X)], o i loro quadrati M[X - M(X)] 2 . La seconda opzione risulta essere preferibile, quindi si arriva al concetto di varianza di una variabile casuale.

La dispersione di una variabile casuale è l'aspettativa matematica della deviazione al quadrato di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica:

Significa che la varianza è uguale alla differenza tra l'aspettativa matematica del quadrato della variabile casuale X e il quadrato della sua aspettativa matematica.

Trova la varianza di una variabile casuale, data dal numero sul bordo quando si lancia un dado (vedi Tabella 2).

L'aspettativa matematica di questa distribuzione è 3,5. Scriviamo i quadrati della deviazione delle variabili casuali dall'aspettativa matematica: (1 - 3.5) 2 = 6.25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Secondo la formula (2.12), tenendo conto della (2.11), troviamo la dispersione:

Come segue dalla (2.12), la varianza ha la dimensione del quadrato della dimensione della variabile casuale. Per stimare la distanza di una variabile casuale in unità della stessa dimensione, viene introdotto il concetto deviazione standard, con cui si intende Radice quadrata dalla dispersione:

Distribuzione e caratteristiche di una variabile casuale continua. Una variabile casuale continua non può essere specificata dalla stessa legge di distribuzione di una variabile discreta. In questo caso, procedere come segue.

Sia dP la probabilità che sia una variabile casuale continua X prende valori tra X e X+ dx.È ovvio che Irm è più intervallo dx, il più probabile dP: dP ~ dx. Inoltre, la probabilità deve dipendere anche dal Valore casuale stesso, vicino al quale si trova, quindi, l'intervallo

dove f(x)- densità di probabilità, o funzione di distribuzione di probabilità. Mostra come cambia la probabilità relativa all'intervallo. dx variabile casuale, a seconda del valore di questa variabile stessa:

Integrando l'espressione (2.15) entro i limiti appropriati, troviamo la probabilità che la variabile casuale assuma un valore nell'intervallo (ab):

La condizione di normalizzazione per una variabile casuale continua ha la forma

Come si può vedere dalla (2.19), questa funzione è uguale alla probabilità che la variabile casuale assuma valori inferiori a X:

Per una variabile casuale continua, l'aspettativa matematica e la varianza sono scritte, rispettivamente, come

Definizione. Una variabile casuale è una tale variabile che, come risultato di un esperimento, prende un valore qualsiasi dall'insieme dei suoi possibili valori ed è impossibile prevedere quale prima dell'esperimento.

Le variabili casuali sono, ad esempio, il numero di punti che cadono quando viene lanciato un dado, il numero di visitatori della farmacia durante il giorno, il numero di mele su un albero, ecc.

Le variabili casuali sono anche la temperatura del paziente in un momento della giornata selezionato casualmente, la massa di una compressa selezionata casualmente di un farmaco, l'altezza di uno studente selezionato casualmente, ecc.

o

Tuttavia, da un punto di vista matematico, c'è una differenza fondamentale tra variabili casuali come, ad esempio, il numero di visitatori in farmacia durante la giornata (indichiamo questa variabile casuale X 1) e la crescita di uno studente selezionato casualmente da un certo gruppo di studenti (valore X 2), c'è una differenza fondamentale, ovvero: per il valore X 1, puoi elencare tutti i suoi possibili valori ​​​​(1, 2, 3, 4, 5, 6, .. .), mentre per il valore X 2 ciò non è possibile, in quanto tale valore, a seguito della misura, può assumere qualsiasi valore dal segmento , dove

e - rispettivamente, l'altezza minima e massima degli studenti del gruppo.

Le variabili casuali sono solitamente indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino - X, Y, Z, ecc. E i loro possibili valori - con lettere minuscole corrispondenti con indici numerici. Ad esempio, i valori di una variabile casuale x sono indicati come segue: x 1, x 2, x 3, ecc.

Il concetto di variabili casuali discrete e continue

Definizione. Una variabile casuale si dice discreta se l'insieme di tutti i suoi possibili valori è un insieme finito o infinito, ma necessariamente numerabile, cioè un tale insieme, i cui elementi possono essere (almeno teoricamente) numerati e scritti in la sequenza appropriata.

Definizione. Una variabile casuale è chiamata continua se l'insieme dei suoi possibili valori è un intervallo finito o infinito dell'asse numerico.

Sulla base di queste definizioni, tali variabili casuali sopra elencate come il numero di punti che cadono quando si lancia un dado, il numero di visitatori della farmacia durante il giorno, il numero di mele per. tree, sono variabili casuali discrete, e come la temperatura del paziente a un'ora fissa del giorno, la massa di una compressa selezionata casualmente di un farmaco, l'altezza di uno studente selezionato casualmente, sono variabili continue.

Variabili casuali discrete

Diamo un'occhiata più da vicino variabili casuali discrete e, di regola, limiteremo la nostra considerazione a tali variabili casuali per le quali il numero di valori possibili è finito.

L'informazione più completa su una variabile casuale discreta è data dalla legge di distribuzione di questa variabile.

Definizione. La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è la corrispondenza tra tutti i possibili valori di questa variabile casuale e le loro corrispondenti probabilità.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è spesso specificata sotto forma di una tabella a due righe, la prima riga della quale elenca tutti i possibili valori di questa variabile (di norma, in ordine crescente) e la seconda riga elenca le probabilità corrispondenti a questi valori nella Tabella 1:

Esempio 2 Ci sono dieci gruppi di studenti con rispettivamente 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 e 11 studenti. Scrivi una legge di distribuzione per una variabile casuale X, definita come il numero di studenti in un gruppo selezionato casualmente.

Soluzione. I possibili valori della variabile casuale X considerata sono i seguenti (in ordine crescente):

8, 9, 10, 11 e 12.

Poiché la variabile casuale X assume un valore di 8, se il gruppo selezionato casualmente è un gruppo di 8 studenti (chiamiamolo evento A), la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore
, è uguale alla probabilità di questo evento casuale:
.

La probabilità di un evento casuale A secondo la definizione classica di probabilità è
perché su 10 gruppi, due hanno 8 studenti ciascuno.

Quindi, per la probabilità di un valore, otteniamo:

.

Allo stesso modo, puoi trovare le probabilità dei valori rimanenti della variabile casuale X:

che ci permette di comporre la legge di distribuzione desiderata (Tabella 2):

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta può anche essere specificata utilizzando una formula che consente a ogni possibile valore di questa variabile di determinare la probabilità corrispondente.

Variabili casuali discrete e continue

Di norma, nella fabbricazione dei prodotti, il processo di produzione è influenzato da molti fattori diversi, a seguito dei quali vi è una dispersione nei valori degli indicatori di qualità del prodotto. Pertanto, gli indicatori di qualità dei prodotti o servizi fabbricati dovrebbero essere considerati variabili casuali.

Variabile casuale si chiama tale valore che, a seguito di prove entro un certo intervallo, può assumere vari valori numerici (secondo STB GOST R 50779.10, una variabile casuale è una variabile che può assumere qualsiasi valore da un dato insieme di valori e a cui è associata una distribuzione di probabilità).

Variabili casuali discrete sono chiamati quelli che, a seguito di prove, possono assumere solo valori separati, isolati e non possono assumere valori intermedi tra loro. Ad esempio, il numero di parti danneggiate in un batch può essere solo un intero positivo 1, 2, 3, ecc., ma non può essere 1,3; 1.7 ecc.

Variabile casuale continua si chiama tale valore, che, a seguito di prove, può assumere qualsiasi valore numerico da una serie continua dei loro possibili valori entro un certo intervallo.

Ad esempio, le dimensioni effettive dei pezzi lavorati sono variabili casuali di tipo continuo, poiché possono assumere qualsiasi valore numerico entro determinati limiti.

Le possibilità delle variabili casuali di assumere determinati valori numerici durante i test vengono valutate utilizzando le probabilità.

Viene chiamato l'insieme dei valori delle variabili casuali disposte in ordine crescente con indicazione delle loro probabilità per ciascuno dei valori distribuzione di variabili casuali (secondo STB GOST R La distribuzione 50779.10 è una funzione che determina la probabilità che una variabile casuale assuma un dato valore o appartenga a un dato insieme di valori).

La distribuzione di una variabile casuale può essere presentata in forma tabellare, grafica e con l'ausilio di stime statistiche.

Quando si presenta la distribuzione di una variabile casuale in forma tabellare, ogni numero dell'unità di prodotto in esame (numero di misura) corrisponde al valore dell'indicatore di qualità per questa unità di prodotto (risultato della misurazione).

Quando si presenta la distribuzione di una variabile casuale in forma grafica, viene tracciato un grafico di distribuzione in coordinate, il valore della variabile casuale - la probabilità (frequenza, frequenza) del valore della variabile casuale.

La figura seguente mostra i grafici della distribuzione di variabili casuali discrete e continue.

Figura - Grafico della distribuzione di una variabile casuale discreta

Figura - Grafico della distribuzione di una variabile casuale continua

Esistono distribuzioni teoriche ed empiriche di variabili casuali. Nelle distribuzioni teoriche, la valutazione dei possibili valori di una variabile casuale viene effettuata utilizzando le probabilità, e nelle distribuzioni empiriche, utilizzando frequenze o frequenze ottenute a seguito di test.

Di conseguenza, distribuzione empirica di una variabile casuale è un insieme dei suoi valori sperimentali, disposti in ordine crescente, che indica le frequenze o le frequenze per ciascuno dei valori (secondo STB GOST R 50779.10 distribuzione di frequenza è la relazione empirica tra i valori di una caratteristica e le sue frequenze o relative frequenze).

Tavolo. Un esempio di rappresentazione tabellare della distribuzione teorica di una variabile casuale discreta

Graficamente, la distribuzione empirica di una variabile casuale discreta può essere rappresentata come grafico a barre , formato da un insieme di colonne di uguale larghezza, le cui altezze sono proporzionali alle frequenze di valori discreti di una variabile casuale.

Figura - Grafico a barre di una variabile casuale discreta.

Se la variabile casuale è continua, sorgono alcune difficoltà con la presentazione della sua distribuzione sotto forma di tabella o grafico. Pertanto, in pratica, quando si studiano variabili casuali di tipo continuo, i valori ottenuti vengono divisi in intervalli uguali in modo che il valore dell'intervallo sia leggermente maggiore dell'errore di misurazione della quantità oggetto di studio. Quindi le frequenze vengono calcolate non dai valori effettivi della variabile casuale, ma dagli intervalli. Pertanto, la tabella di distribuzione empirica di una variabile casuale di tipo continuo avrà la forma seguente.

Tavolo. Distribuzione empirica di una variabile casuale di tipo continuo.

Intervallo di valori X	Significato aritmetico	Frequenza f io	Frequenza m io
160,031 - 160,033
160,033 - 160,035
160,035 - 160,037
160,037 - 160,039
160,039 - 160,041
160,041 - 160,043
160,043 - 160,045
160,045 - 160,047
		f io = 100	m io = 1

La distribuzione empirica di una variabile continua casuale può essere rappresentata graficamente come un istogramma di distribuzione, un poligono di frequenza o un poligono di frequenza cumulativa.

Istogramma di distribuzione è un insieme di rettangoli toccanti, le cui basi sono uguali agli intervalli di divisione di una variabile casuale continua, e le aree sono proporzionali alle frequenze con cui i valori della variabile casuale cadono in questi intervalli (secondo STB GOST R 50779.10 grafico a barre (distribuzione) è una rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza per una caratteristica quantitativa, formata da rettangoli contigui, le cui basi sono gli intervalli delle classi, e le aree sono proporzionali alle frequenze di queste classi).

Figura - Istogramma della distribuzione di una variabile continua casuale.

Poligono di frequenza è una linea spezzata ottenuta collegando punti le cui ascisse sono uguali ai punti medi degli intervalli di partizione e le ordinate sono uguali alle frequenze corrispondenti.

Figura - Poligono di frequenze di una variabile continua casuale.

Poligono cumulativo frequenze è una linea spezzata ottenuta collegando punti le cui ascisse sono uguali ai limiti superiori degli intervalli di partizione e le cui ordinate sono uguali a frequenze cumulative o frequenze cumulative (frequenze relative cumulative).

Figura - Poligono di frequenze cumulative di un valore continuo casuale.

Nelle descrizioni teoriche di variabili casuali di tipo continuo viene utilizzata la funzione di distribuzione. La distribuzione teorica di una variabile continua casuale può essere rappresentata graficamente come integrale, integrale inverso, differenziale funzioni e funzioni di distribuzione intensità.

Sia X una variabile casuale e x un numero reale (con X< х ). Evento X< х отвечает вероятность Р(Х < х), которая является функцией F(х), т.е.

P(X< х) = F(х)

Viene chiamato F(X). funzione di distribuzione probabilità variabile casuale o funzione di distribuzione integrale.

Per una variabile casuale discreta, la funzione di distribuzione integrale F(X) è facilmente determinata da una tabella o da un grafico.

Pertanto, per l'esempio precedente della distribuzione di una variabile casuale discreta (a X< 4):

F(X) = P( X ) = P( X=1) + P( X=2) + P( X=3) = 1/30 + 4/30 +15/30 = 19/30

Il grafico della funzione di distribuzione integrale di una variabile casuale discreta apparirà come una curva a gradini. Le ordinate della curva per qualsiasi valore di X rappresenteranno la somma delle probabilità dei valori precedenti.

Figura - Funzione di distribuzione integrale di una variabile casuale discreta

La probabilità che una variabile casuale durante il test rientri nei limiti di due valori dati x 1 e x 2 (x 2 > x 1) è uguale all'incremento della funzione integrale in quest'area, ad es.

P(x 1 ≤ X ≤ X 2 ) = P(X< х 2 ) - P(X< х 1 ) = F(X 2 ) - FA(X 1 )

Se passiamo all'esempio precedente della distribuzione di una variabile casuale discreta, allora per x1 = 2 e x2 = 3:

P(2≤X≤3) = P(X< 3) - Р(Х < 2)= F(Х2) - F(Х1)= 4/30-1/30 = 3/30

Per una variabile casuale continua, il grafico della funzione di distribuzione integrale apparirà come una curva monotonicamente crescente. In pratica, le frequenze di distribuzione teoriche sono determinate utilizzando la funzione di distribuzione cumulativa.

Figura - Funzione di distribuzione cumulativa

variabile casuale continua

La funzione di distribuzione cumulativa inversa è uguale alla differenza tra l'unità e la funzione di distribuzione cumulativa.

Densità di distribuzione (funzione di distribuzione differenziale) La variabile casuale è chiamata derivata prima della funzione di distribuzione integrale:

Per una descrizione analitica di una variabile casuale continua nella teoria dell'affidabilità, utilizziamo funzione di intensità , uguale al rapporto tra la funzione di distribuzione differenziale e la funzione di distribuzione integrale inversa:

Figura - La funzione di intensità di una variabile casuale continua.

Argomento 3.

Variabili casuali e funzioni di distribuzione

Il concetto di variabile casuale.

Il concetto di variabile casuale

Funzione di distribuzione di una variabile casuale, sue proprietà

Variabili casuali a distribuzione discreta

Il concetto di variabile casuale con distribuzione discreta

La legge di distribuzione di una variabile aleatoria discreta.

Esempi di distribuzioni discrete

Variabili casuali con distribuzione assolutamente continua

Il concetto di variabile casuale con distribuzione assolutamente continua

Legge di distribuzione di una variabile aleatoria assolutamente continua. Densità, sue proprietà

Esempi di distribuzioni assolutamente continue

Il concetto di vettore casuale.

Il concetto di vettore casuale

Variabili casuali indipendenti

Distribuzione congiunta di variabili casuali

Il concetto di variabile casuale.

Dall'emergere della teoria della probabilità, il suo compito principale è stato quello di studiare non le proprietà probabilistiche di esperimenti con esiti casuali, ma le quantità numeriche associate a questi esperimenti, che è naturale chiamare variabili casuali. Ad esempio, potremmo essere interessati non alle coppie di numeri sulle facce superiori dei dadi, ma alla loro somma; il numero di successi o fallimenti prima del primo successo nello schema Bernoulli.

Spesso in letteratura si possono trovare variazioni sul tema della seguente definizione: Variabile casuale chiamata una variabile che, a seconda dell'esito del test, assume valori che dipendono dai casi.

Pertanto, una variabile casuale è un valore numerico, il cui valore dipende dal tipo di esito (elementare) verificatosi a seguito di un esperimento con esito casuale. Viene chiamato l'insieme di tutti i valori che una variabile casuale può assumere insieme di possibili valori di questa variabile casuale.

Daremo una definizione più rigorosa, poiché il concetto di variabile casuale è uno di quei concetti chiave che collegano la teoria della probabilità con l'analisi matematica e costituiscono la base concettuale della statistica matematica.

Definizione. Variabile casualeè una funzione X = X(ω) definita sullo spazio degli eventi elementari Ω per cui l'evento (X< х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Condizione (X< х} єA дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из MA. Inoltre, attraverso eventi (X< х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Commento. Pertanto, una variabile casuale è una funzione il cui dominio di definizione è lo spazio degli eventi elementari Ω e l'insieme dei valori è un insieme numerico, possibilmente l'intero insieme dei numeri reali R.

La σ-algebra degli eventi A è il dominio di definizione della probabilità, se la consideriamo come una funzione.

Commento . “Il termine “variabile casuale” è alquanto impreciso, il termine “funzione casuale” sarebbe più appropriato, la variabile indipendente è un punto nello spazio degli eventi elementari, cioè il risultato di un esperimento o di un caso. (W. Feller "Introduzione alla teoria della probabilità", cap. IX)

Le variabili casuali sono indicate dalle lettere dell'alfabeto greco:  (xi),  (questo),  o lettere maiuscole dell'alfabeto latino X, Y, ... Scriveremo i valori di una variabile casuale come un sequenza finita o infinita X 1 ,X 2,, X n,; y 1 ,y 2 ,,y n ,

Commento . In precedenza abbiamo introdotto il concetto di probabilità in relazione ad alcuni eventi. Passiamo ora a parlare di funzioni. L'evento più ovvio che può essere associato al concetto di funzione è l'adozione da parte di esso di un valore (specifico o appartenente all'intervallo)

Per studiare le proprietà probabilistiche di una variabile aleatoria, è necessario conoscere la regola che permette di trovare la probabilità che una variabile aleatoria prenda un valore da un sottoinsieme dei suoi valori. Qualsiasi regola del genere viene chiamata la legge della distribuzione di probabilità o distribuzione (di probabilità) di una variabile casuale.(la parola "probabilità" viene solitamente omessa)

La legge di distribuzione generale inerente a tutte le variabili casuali è funzione di distribuzione.

Definizione. L'intero insieme di probabilità P(X< х}, х є (-∞, ∞) задает legge di distribuzione della variabile casuale X in generale. Spesso, per brevità, la legge di distribuzione di una variabile aleatoria è chiamata semplicemente distribuzione di una variabile aleatoria.

Definizione. Funzione F(x) = P(X< х}, х є (-∞, ∞) называется la funzione di distribuzione della variabile casuale X.

Il valore della funzione di distribuzione al punto x è uguale alla probabilità dell'evento (X< х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Di solito si dice che il valore della funzione di distribuzione nel punto x è uguale alla probabilità che la variabile casuale X assuma un valore minore di x.

Geometricamente, ciò significa quanto segue: F(x) è la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore rappresentato dal punto sulla retta numerica situata a sinistra del punto x.

Commento . Viene anche chiamata la funzione di distribuzione funzione integrale, o legge integrale di distribuzione di una variabile casuale X

La funzione di distribuzione ha quanto segue proprietà:

0≤ F(x)≤1 (perché per definizione la funzione di distribuzione è una probabilità)

F(x 1) ≤ F(x 2) per x 1< x 2 (т.е. F(x) – неубывающая функция)

lim F(x) = 0 come x → - ∞ , lim F(x) = 1 come x → + ∞

P (x 1 ≤ X ≤ x 2) = F(x 1) - F(x 2)

F(x) è una funzione continua sinistra, cioè F(x) = F(x - 0), dove F(x - 0) = lim F(y) come y → x - 0 (limite sinistro)

Commento . Per enfatizzare a quale variabile casuale appartiene la funzione di distribuzione F(x), a questa funzione viene talvolta assegnato un pedice che denota una particolare variabile casuale. Ad esempio, F X (x) = P (X< х}

Commento. In alcune pubblicazioni, la funzione di distribuzione è definita come F(x) = P(X ≤ x). Tale definizione non cambia nulla nell'essenza del concetto di funzione di distribuzione, cambia solo l'ultima, quinta proprietà. La funzione in questo caso risulta essere continua a destra.

Digressione: "Cos'è una funzione?"

Diamo due insiemi X e Y, e Y è un insieme di numeri. E sia data la regola f, secondo la quale ogni elemento (punto) dell'insieme X è associato a (uno e solo uno) elemento (numero) dell'insieme Y. La regola f insieme agli insiemi X e Y definisce il funzione f. La notazione y=f(x) significa che la regola f è stata applicata a un punto x dell'insieme X, e come risultato abbiamo ottenuto un punto y dall'insieme Y. X è chiamato argomento (variabile indipendente), e y è il valore (variabile dipendente) della funzione f nel punto X. L'insieme X è chiamato dominio di definizione (setting area) della funzione, dicono che la funzione è data su questo insieme, l'insieme Y è chiamato l'insieme dei valori della funzione. L'insieme X non è necessariamente un insieme di numeri. Pertanto, una variabile casuale è una funzione definita su uno spazio non numerico di eventi elementari.

VALORI CASUALI

Un valore casuale è una quantità che, a seguito del test, assumerà uno e un solo valore possibile, e quale non è noto a priori.

Discrete è una variabile casuale che assume valori possibili separati e isolati con determinate probabilità.

Una variabile continua è una variabile casuale che può assumere tutti i valori da un intervallo finito o infinito.

La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è la corrispondenza tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro probabilità. Questa legge è data sotto forma di tabella, formula o grafico.

Per le variabili casuali discrete, una delle più comuni è la cosiddetta legge di distribuzione binomiale, a cui conduce lo schema di Bernoulli di ripetizione dei test. La formula (8) è l'espressione analitica di questa legge.

Esempio 11.

Un messaggio viene trasmesso attraverso il canale di comunicazione utilizzando un codice composto da due caratteri. La probabilità della comparsa del primo è 2/3. Sono passati tre segnali. Trova la legge di distribuzione per le occorrenze del primo segno.

Soluzione.

Per condizione n=4, R=2/3, q=1/3. Possibili valori del numero di occorrenze del primo segno: 0, 1, 2 e 3. Trova le loro probabilità usando la formula (8):

Questa legge può essere presentata sotto forma di tabella

X
P1/27	1/27	2/9	4/9	8/27

Una funzione di distribuzione è una funzione che determina la probabilità che una variabile casuale X a seguito del test assumerà un valore inferiore a X, questo è

Geometricamente, questo significa che una variabile casuale con una probabilità R assumerà il valore che è rappresentato sull'asse numerico dal punto a sinistra X.

Per una variabile casuale continua, la funzione di distribuzione è una funzione derivabile a tratti continua. Le proprietà principali derivano dalla definizione:

1. I valori della funzione di distribuzione appartengono al segmento, ovvero

2. F(X) è una funzione non decrescente, cioè se

3. La probabilità che una variabile casuale assuma un valore contenuto nell'intervallo [ a, b[, è uguale all'incremento della funzione di distribuzione su questo intervallo

Per una variabile casuale continua, la probabilità di accettare un singolo valore è zero. Pertanto, per variabili casuali continue

Esempio 12.

Valore casuale X data dalla funzione di distribuzione

Trova la probabilità che come risultato del test X assumerà il valore appartenente al segmento [-1; 0,5].

Soluzione.

Ne consegue dalla condizione che Xè una variabile casuale continua che può assumere un valore da 0 a 1.

Densità di probabilità continuo variabile casuale X chiama la derivata prima della funzione di distribuzione

funzione di distribuzione F(x)è una delle antiderivate per la densità di distribuzione. Basato sulla definizione di densità o legge differenziale distribuzione e la sua relazione con la funzione di distribuzione, è facile mostrare le seguenti proprietà:

1. La densità di distribuzione di una variabile casuale continua è una funzione non negativa

2. Probabilità di colpire una variabile casuale X nell'intervallo è uguale a

(16)

3. Dalla proprietà 2 otteniamo un'espressione per la funzione di distribuzione

(17)

4. Condizione di normalizzazione

(18)

Esempio 13 valore discreto X dato dalla tabella

X
R	0,1	0,3	0,4	0,2

Trova la funzione di distribuzione e costruisci il suo grafico.

Soluzione.

1. Se , allora , dal X non può essere inferiore a 2.

In questo caso, nell'intervallo (-¥, X) esiste un solo valore della variabile casuale X (X=2). Ecco perchè

Per qualsiasi valore di argomento X funzioni F(x), soddisfacendo questa disuguaglianza, nell'intervallo (-¥, X) colpisce due valori di una variabile casuale ( X=2 e X=3). Perché gli eventi che X accetterà valori dati incoerenti (o X=2 o X=3), quindi

4. Allo stesso modo, se

Pertanto, la funzione di distribuzione sarà simile

Costruiamo un grafico della funzione di distribuzione

Riso. 1 - Grafico della funzione di distribuzione

variabile casuale discreta

Esempio 14. Densità di distribuzione dell'errore di misura

Una variabile casuale è una variabile il cui valore è ottenuto a seguito di ricalcolo o misurazioni e non può essere determinato in modo univoco dalle condizioni in cui si verifica.

Cioè, una variabile casuale rappresenta eventi casuali numerici.

Le variabili casuali sono divise in due classi:

Variabili casuali discrete: i valori di queste quantità sono numeri naturali a cui, come eventi individuali, vengono assegnate frequenze e probabilità.

Variabili casuali continue: possono assumere qualsiasi valore da un determinato intervallo (intervallo). Dato che c'è un numero infinito di valori numerici nell'intervallo da X1 a X2, la probabilità che la variabile casuale XiЄ(X1,X2) assuma un certo valore è infinitamente piccola. Considerando che è impossibile elencare tutti i valori di una variabile casuale continua, in pratica viene utilizzato il valore medio dell'intervallo (X1,X2).

Per le variabili casuali discrete, la funzione y \u003d P (x) è chiamata funzione di distribuzione della variabile casuale e ha un grafico: è chiamata poligono di distribuzione.

Si distinguono i seguenti gruppi di caratteristiche numeriche: caratteristiche di posizione (aspettativa matematica, moda, mediana, quantile, ecc.), dispersione (varianza, deviazione standard, ecc.), caratteristiche della forma della densità di distribuzione (asimmetria, curtosi, ecc.) .

L'aspettativa matematica (valore medio per distribuzione) è un numero reale, determinato in base al tipo di SV X dalla formula:

L'aspettativa matematica esiste se la serie (rispettivamente, l'integrale) sul lato destro della formula converge in modo assoluto. Se mX = 0, allora CV X è chiamato centrato (indicato con ).

Proprietà dell'aspettativa matematica:

dove C è una costante;

M = C×M[X];

M = M[X]+M[Y],

per ogni CB X e Y;

M = M[X]×M[Y] + KXY,

dove KXY = M è la covarianza delle CV di X e Y.

Il momento iniziale del k-esimo ordine (k = 0, 1, 2, ...) della distribuzione di SV X è un numero reale determinato dalla formula:

nk=M=

Il momento centrale del k-esimo ordine della distribuzione di SV X è il numero determinato dalla formula:

mk = M[(X-mX)k]=

Dalle definizioni dei momenti, in particolare, segue che: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.

La modalità SWNT è il numero reale Mo(X) = x*, definito come il punto massimo del PR f(x). Una modalità può avere un valore singolo (distribuzione unimodale) o più valori (distribuzione multimodale).

La mediana del SWNT è un numero reale Me(X) = x0 che soddisfa la condizione: P(X< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.

Un quantile di livello p è un numero reale tp che soddisfa l'equazione: F(tp) = p. In particolare, dalla definizione della mediana consegue che x0 = t0.5.

La varianza di SV X è un numero non negativo D[X] = DX, definito dalla formula:

DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 =

La dispersione esiste se converge la serie (rispettivamente l'integrale) a destra dell'uguaglianza. Proprietà di dispersione:

D[C] = 0, dove C è una costante;

D = C2×D[X];

la varianza ovviamente non cambia con il bias CB X;

D = D[X] + D[Y] + 2×KXY,

dove KXY = M - covarianza di CB X e Y;

Un numero non negativo sХ = è chiamato deviazione standard di RV X. Ha la dimensione di RV X e definisce un intervallo di dispersione rms standard, simmetrico rispetto all'aspettativa matematica. (Il valore di sX è talvolta chiamato deviazione standard.) CV X è chiamato standardizzato se mX = 0 e sX = 1. Se il valore X = const (cioè X non è casuale), allora D[X] = 0.

Un indicatore dell'asimmetria di PR è il coefficiente di asimmetria ("skewness") della distribuzione: A = m3/s3X. L'indicatore della curtosi di PR è il coefficiente di curtosi ("punta") della distribuzione: E = (m4/s4X)-3. In particolare, per una distribuzione normale, E = 0.

Un insieme ordinato di n variabili casuali (CV) X1, X2, ..., Xn, considerate insieme in questo esperimento, è chiamato CV n-dimensionale o vettore casuale ed è indicato = (X1, X2, ..., Xn).

La funzione di distribuzione (DF) di un vettore casuale n-dimensionale è funzione di n variabili reali x1, x2, ..., xn, definite come la probabilità di adempimento congiunto di n disuguaglianze: F(x1, x2, ... xn) = P( X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает следующими свойствами:

1 0 £ F(x, y) £ 1;

2 F(x, y) - funzione non decrescente dei suoi argomenti;

4.

La proprietà 4 è comunemente indicata come condizione di coerenza. Significa che le DF delle singole componenti di un vettore casuale possono essere trovate passando al limite dalla funzione di distribuzione congiunta di queste componenti. La probabilità che un punto casuale sul piano (X, Y) cada in un rettangolo con i lati paralleli agli assi delle coordinate può essere calcolata utilizzando la DF utilizzando la formula:

P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).

Un vettore casuale bidimensionale (X,Y) è detto vettore casuale di tipo discreto (RDV) se l'insieme dei suoi possibili valori G(x, y) è al massimo numerabile. La sua legge di distribuzione può essere specificata da una tabella bidimensionale dall'elenco dei possibili valori di coppie di componenti ((хi, yi) | (хi, yi) О G(x, y)) e corrispondente a ciascuna di tali coppie di probabilità pij = P(X = xi, Y = yj ) soddisfa la condizione

Un vettore casuale bidimensionale (X, Y) è detto vettore casuale di tipo continuo (CBNT) se esiste una tale funzione non negativa f(x, y) chiamata densità di distribuzione di probabilità (DP) del vettore casuale che :

f(x, y) = , quindi F(x, y) = .

Il PR delle probabilità ha le seguenti proprietà:

f(x, y) ³ 0, (x, y) í R2;

è la condizione di normalizzazione.

I PR delle probabilità delle singole componenti di un vettore casuale sono espressi come integrali della densità articolare:

f(x) = f(y) = .

La probabilità che un punto casuale cada in un'area quadrata arbitraria S sul piano è determinata dalla formula

P((X, Y) О S)= .

La densità di distribuzione di probabilità condizionata della componente casuale X, a condizione che la componente Y abbia assunto un certo valore y, è la funzione f(x/y) della variabile reale x О R: f(x/y) = f(x , y)/f(y) . Allo stesso modo, viene determinata la densità di probabilità condizionata della componente casuale Y, a condizione che la componente X abbia assunto un certo valore x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). Le RV X1, X2, ..., Xn sono dette indipendenti (nell'aggregato) se per eventi (Xi н Bi), i = 1, 2, ..., n, dove B1, B2, ... Bn sono sottoinsiemi della retta numerica vale la seguente uguaglianza: P(X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn) = P(X1 Î B1)× P(X2 Î B2)× ... ×P(Xn ÎBn).

Teorema: XV X1, X2, .... Xn sono indipendenti se e solo se in qualsiasi punto x = (x1, x2, ..., xn) vale la seguente uguaglianza: F(x1, x2, ..., xn ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (o f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f (xn)).

Per un vettore casuale bidimensionale (X, Y) vengono introdotte le seguenti caratteristiche numeriche.

Il momento iniziale dell'ordine r + s di un vettore casuale (X, Y) è un numero reale nr,s, definito dalla formula:

nr,s = M =

Il momento iniziale nr,s esiste se l'integrale (rispettivamente la serie) a destra dell'uguaglianza converge assolutamente. In particolare, nr,0 = M sono i corrispondenti momenti iniziali della componente X. Il vettore con coordinate non casuali (mX, mY) = (n1,0, n0,1) è chiamato aspettativa del vettore casuale (X , Y) o il centro di dispersione.

Il momento centrale dell'ordine r + s di un vettore casuale (X, Y) è il numero reale mr,s definito dalla formula

mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =

Il momento centrale mr,s esiste se l'integrale (rispettivamente la serie) a destra dell'uguaglianza converge assolutamente. Un vettore con coordinate non casuali (DX, DY) = (m2,0, m0,2) è chiamato varianza di un vettore casuale.

Il momento centrale m1,1 è chiamato momento di correlazione (covarianza): KXY = M = M[(X-mX)×(Y-mY)] = M-mX mY.

Il coefficiente di correlazione di due componenti casuali X e Y di un vettore casuale è la covarianza normalizzata

rXY = KXY/(sXsY).

Proprietà di covarianza (e coefficiente di correlazione).

Il concetto di variabile casuale. Variabili casuali discrete e continue. Funzione di distribuzione di probabilità e sue proprietà. Densità di distribuzione di probabilità e sue proprietà. Caratteristiche numeriche delle variabili casuali: aspettativa matematica, dispersione e loro proprietà, deviazione standard, moda e mediana; momenti iniziali e centrali, asimmetria e curtosi. Caratteristiche numeriche della media aritmetica di n variabili casuali indipendenti.

Il concetto di variabile casuale

A caso viene chiamata una grandezza che, a seguito di prove, assume l'uno o l'altro (ma solo uno) valore possibile, sconosciuto a priori, variando da prova a prova ea seconda di circostanze casuali. A differenza di un evento casuale, che è una caratteristica qualitativa del risultato di un test casuale, una variabile casuale caratterizza quantitativamente il risultato del test. Esempi di variabile casuale sono la dimensione di un pezzo, l'errore nel risultato della misurazione di qualsiasi parametro di un prodotto o di un ambiente. Tra le variabili casuali incontrate nella pratica, si possono distinguere due tipi principali: discrete e continue.

Discretoè una variabile casuale che assume un insieme numerabile finito o infinito di valori. Ad esempio: la frequenza dei colpi con tre colpi; il numero di prodotti difettosi in un lotto di n pezzi; il numero di chiamate in arrivo al centralino telefonico durante la giornata; il numero di guasti degli elementi del dispositivo per un certo periodo di tempo durante il test dell'affidabilità; il numero di colpi prima del primo colpo sul bersaglio, ecc.

Continuoè chiamata variabile casuale che può assumere qualsiasi valore da un intervallo finito o infinito. Ovviamente, il numero di valori possibili di una variabile casuale continua è infinito. Ad esempio: un errore nella misurazione della portata del radar; tempo di attività del chip; errore di fabbricazione delle parti; concentrazione di sale nell'acqua di mare, ecc.

Le variabili casuali sono solitamente indicate dalle lettere X, Y, ecc., e i loro possibili valori sono x, y, ecc. Per specificare una variabile casuale, non è sufficiente elencare tutti i suoi possibili valori. È inoltre necessario sapere con quale frequenza l'uno o l'altro dei suoi valori ​​possono apparire a seguito di test nelle stesse condizioni, ovvero è necessario impostare le probabilità del loro verificarsi. L'insieme di tutti i possibili valori di una variabile casuale e delle relative probabilità costituisce la distribuzione di una variabile casuale.

Leggi di distribuzione di una variabile casuale

legge di distribuzione Una variabile casuale è una corrispondenza tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro corrispondenti probabilità. Si dice che una variabile casuale obbedisce a una data legge di distribuzione. Vengono chiamate due variabili casuali indipendente, se la legge di distribuzione di uno di essi non dipende da quali possibili valori ha assunto l'altro valore. In caso contrario, vengono chiamate variabili casuali dipendente. Vengono chiamate diverse variabili casuali reciprocamente indipendenti, se le leggi di distribuzione di un numero qualsiasi di esse non dipendono da quali possibili valori hanno assunto le altre quantità.

La legge di distribuzione di una variabile casuale può essere data sotto forma di tabella, funzione di distribuzione o densità di distribuzione. Una tabella contenente i possibili valori di una variabile casuale e le relative probabilità è la forma più semplice per specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1 )&p_n\\\hline\end(array)

La specifica tabellare della legge di distribuzione può essere utilizzata solo per una variabile casuale discreta con un numero finito di valori possibili. La forma tabellare di specificare la legge di una variabile casuale è anche chiamata serie di distribuzione.

Per chiarezza, la serie di distribuzione è presentata graficamente. In una rappresentazione grafica in un sistema di coordinate rettangolare, tutti i possibili valori di una variabile casuale sono tracciati lungo l'asse delle ascisse e le probabilità corrispondenti sono tracciate lungo l'asse delle ordinate. Vengono chiamati i punti (x_i,p_i) collegati da segmenti di retta poligono di distribuzione(Fig. 5). Va ricordato che la connessione dei punti (x_i,p_i) viene eseguita solo a scopo di chiarezza, poiché negli intervalli tra x_1 e x_2 , x_2 e x_3 , ecc. non ci sono valori che la variabile casuale X possa prendere, quindi le probabilità che si verifichi in questi intervalli sono zero.

Il poligono di distribuzione, come la serie di distribuzione, è una delle forme per specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta. Possono avere forme diverse, ma condividono tutte la stessa cosa proprietà comune: la somma delle ordinate dei vertici del poligono di distribuzione, che è la somma delle probabilità di tutti i possibili valori di una variabile casuale, è sempre uguale a uno. Questa proprietà deriva dal fatto che tutti i possibili valori della variabile casuale X formano un gruppo completo di eventi incompatibili, la cui somma delle probabilità è uguale a uno.

Funzione di distribuzione di probabilità e sue proprietà

La funzione di distribuzione è la forma più generale di impostazione della legge di distribuzione. Viene utilizzato per specificare variabili casuali sia discrete che continue. Di solito è indicato con F(x) . funzione di distribuzione determina la probabilità che una variabile casuale X assuma valori inferiori a un numero reale fisso x , ovvero F(x)=P\(X funzione di distribuzione integrale.

L'interpretazione geometrica della funzione di distribuzione è molto semplice. Se si considera una variabile aleatoria un punto aleatorio X dell'asse Ox (Fig. 6), che, a seguito del test, può assumere una o l'altra posizione sull'asse, allora la funzione di distribuzione F(x) è la probabilità che il punto casuale X, come risultato del test, cada nei punti x di sinistra.

Per una variabile casuale discreta X che può assumere i valori, la funzione di distribuzione ha la forma

F(x)=\somma\limiti_(x_i
dove la disuguaglianza x_i

Una variabile casuale continua ha una funzione di distribuzione continua, il grafico di questa funzione ha la forma di una curva liscia (Fig. 8).

Considera le proprietà generali delle funzioni di distribuzione.

Proprietà 1. La funzione di distribuzione è non negativa, una funzione racchiusa tra zero e uno:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

La validità di questa proprietà deriva dal fatto che la funzione di distribuzione F(x) è definita come la probabilità di un evento casuale che X

Proprietà 2. La probabilità che una variabile casuale cada nell'intervallo [\alpha;\beta) è uguale alla differenza tra i valori della funzione di distribuzione alle estremità di questo intervallo, ad es.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Ne consegue che la probabilità di ogni singolo valore di una variabile casuale continua è zero.

Proprietà 3. La funzione di distribuzione di una variabile casuale è una funzione non decrescente, cioè F(\beta)\geqslant(F(\alfa)).

Proprietà 4. A meno infinito, la funzione di distribuzione è uguale a zero e a più infinito è uguale a uno, cioè \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 e \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Esempio 1. La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua è data dall'espressione

F(x)=\begin(casi)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\fine(casi).

Trova il coefficiente a e traccia F(x) . Determinare la probabilità che la variabile casuale X come risultato dell'esperimento assuma un valore sull'intervallo.

Soluzione. Poiché la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X è continua, allora per x=3 otteniamo a(3-1)^2=1 . Quindi a=\frac(1)(4) . Il grafico della funzione F(x) è mostrato in fig. 9.

Sulla base della seconda proprietà della funzione di distribuzione, abbiamo

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Distribuzione della densità di probabilità e sue proprietà

La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua è la sua caratteristica probabilistica. Ma ha uno svantaggio, che consiste nel fatto che è difficile giudicare la natura della distribuzione di una variabile casuale in un piccolo intorno di uno o un altro punto dell'asse numerico. Una rappresentazione più visiva della natura della distribuzione di una variabile casuale continua è data da una funzione chiamata densità di distribuzione di probabilità o funzione di distribuzione differenziale di una variabile casuale.

Densità di distribuzione f(x) è uguale alla derivata della funzione di distribuzione F(x) , cioè

F(x)=F"(x).

Il significato della densità di distribuzione f(x) è che indica la frequenza con cui la variabile casuale X appare in qualche zona del punto x quando gli esperimenti vengono ripetuti. Viene chiamata la curva che rappresenta la densità di distribuzione f(x) di una variabile casuale curva di distribuzione.

Ritenere proprietà della densità di distribuzione.

Proprietà 1. La densità di distribuzione non è negativa, cioè

F(x)\geqslant0.

Proprietà 2. La funzione di distribuzione di una variabile casuale è uguale all'integrale della densità nell'intervallo da -\infty a x, cioè

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Proprietà 3. La probabilità che una variabile casuale continua X colpisca il segmento (\alpha;\beta) è uguale all'integrale della densità di distribuzione rilevata su questo segmento, cioè

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Proprietà 4. L'integrale in infiniti limiti della densità di distribuzione è uguale a uno:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

Esempio 2. La variabile casuale X è soggetta alla legge di distribuzione con densità

F(x)=\begin(casi)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(casi)

Determinare il coefficiente a; costruire un grafico della densità di distribuzione; trova la probabilità di colpire una variabile casuale nell'area da 0 a \frac(\pi)(2) determina la funzione di distribuzione e costruisci il suo grafico.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Tenendo conto della proprietà 4 della densità di distribuzione, troviamo a=\frac(1)(2) . Pertanto, la densità di distribuzione può essere espressa come segue:

F(x)=\begin(casi)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(casi).

Il grafico della densità di distribuzione in fig. 10. Per la proprietà 3, abbiamo

P\!\sinistra\(0

Per determinare la funzione di distribuzione, utilizziamo la proprietà 2:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Quindi, abbiamo

F(x)=\begin(casi)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(casi).

Il grafico della funzione di distribuzione è mostrato in fig. undici

Caratteristiche numeriche di variabili casuali

La legge di distribuzione caratterizza pienamente una variabile casuale da un punto di vista probabilistico. Ma quando si risolvono una serie di problemi pratici, non è necessario conoscere tutti i possibili valori di una variabile casuale e le probabilità corrispondenti, ma è più conveniente utilizzare alcuni indicatori quantitativi. Tali indicatori sono chiamati numeri. caratteristiche di una variabile casuale. I principali sono l'aspettativa matematica, varianza, momenti di vari ordini, moda e mediana.

L'aspettativa matematica è talvolta chiamata il valore medio di una variabile casuale. Si consideri una variabile casuale discreta X che assume i valori x_1,x_2,\lpunti,x_n rispettivamente con le probabilità p_1,p_2,\lpunti,p_n Determiniamo la media aritmetica dei valori di una variabile casuale, ponderata dalle probabilità del loro verificarsi. Quindi, calcoliamo il valore medio di una variabile casuale, o la sua aspettativa matematica M(X) :

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Dato che \somma\limiti_(i=1)^(n)p_i=1 noi abbiamo

M(X)=\somma\limiti_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Così, aspettativa matematica Una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e le probabilità corrispondenti.

Per una variabile casuale continua, l'aspettativa matematica

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Aspettativa matematica di una variabile casuale continua X, i cui possibili valori appartengono al segmento,

M(X)=\int\limiti_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Utilizzando la funzione di distribuzione di probabilità F(x) , l'aspettativa matematica di una variabile casuale può essere espressa come segue:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Proprietà di aspettativa

Proprietà 1. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Proprietà 2. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:

M(XY)=M(X)M(Y).

Proprietà 3. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa:

M(c)=c.

Proprietà 4. Un moltiplicatore costante di una variabile casuale può essere estratto dal segno di aspettativa:

M(cX)=cM(X).

Proprietà 5. L'aspettativa matematica della deviazione di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica è zero:

M(X-M(X))=0.

Esempio 3. Trova l'aspettativa matematica del numero di prodotti difettosi in un campione di cinque prodotti, se la variabile casuale X (il numero di prodotti difettosi) è data da una serie di distribuzione.

\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(array)

Soluzione. Con la formula (4.1) troviamo

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Modalità M_0 di una variabile casuale discreta viene chiamato il suo valore più probabile.

Modalità M_0 di una variabile casuale continua viene chiamato il suo valore, che corrisponde al valore più grande della densità di distribuzione. Geometricamente, il modo è interpretato come l'ascissa del punto del massimo globale della curva di distribuzione (Fig. 12).

Mediana M_e della variabile casuale il suo valore è richiesto per cui l'uguaglianza

P\(X Me\).

Da un punto di vista geometrico, la mediana è l'ascissa del punto in cui l'area della figura delimitata dalla curva di distribuzione di probabilità e dall'asse delle ascisse è divisa a metà (Fig. 12). Poiché l'intera area delimitata dalla curva di distribuzione e dall'asse x è uguale a uno, la funzione di distribuzione nel punto corrispondente alla mediana è 0,5, cioè

F(M_e)=P\(X

Con l'aiuto della varianza e della deviazione standard, si può giudicare la dispersione di una variabile casuale attorno all'aspettativa matematica. Come misura della dispersione di una variabile casuale, viene utilizzata l'aspettativa matematica della deviazione al quadrato di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica, che è chiamata varianza variabile casuale X e denotiamo D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

Per una variabile casuale discreta, la varianza è uguale alla somma dei prodotti delle deviazioni al quadrato dei valori della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica per le probabilità corrispondenti:

D[X]=\somma\limiti_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Per una variabile casuale continua la cui legge di distribuzione è data dalla densità di distribuzione di probabilità f(x) , la varianza

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

La dimensione della varianza è uguale al quadrato della dimensione della variabile casuale e quindi non può essere interpretata geometricamente. Queste carenze sono private della deviazione standard di una variabile casuale, che viene calcolata dalla formula

\sigma=\sqrt(D[X]).

Proprietà della dispersione di variabili casuali

Proprietà 1. La varianza della somma di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili:

D=D[X]+D[Y].

Proprietà 2. La varianza di una variabile casuale è uguale alla differenza tra l'aspettativa matematica del quadrato della variabile casuale X e il quadrato della sua aspettativa matematica:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Proprietà 3. La dispersione di un valore costante è zero:

D[c]=0.

Proprietà 4. Un fattore costante di una variabile casuale può essere estratto dal segno di varianza prima quadrandolo:

D=c^2D[X].

Proprietà 5. La varianza del prodotto di due variabili casuali indipendenti X e Y è determinata dalla formula

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Esempio 4. Calcola la varianza del numero di prodotti difettosi per la distribuzione dell'esempio 3.

Soluzione. Per definizione di varianza

Una generalizzazione delle principali caratteristiche numeriche di una variabile casuale è il concetto di momenti di una variabile casuale.

Il momento iniziale del q-esimo ordine variabile casuale è chiamata aspettativa matematica del valore X^q:

Il momento iniziale del primo ordine è l'aspettativa matematica e il momento centrale del secondo ordine è la varianza della variabile casuale.

Il momento centrale normalizzato del terzo ordine serve come caratteristica dell'asimmetria o asimmetria della distribuzione ( fattore di asimmetria):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Il momento centrale normalizzato del quarto ordine funge da caratteristica della distribuzione con picco o con sommità piatta ( eccesso):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

Esempio 5. La variabile casuale X è data dalla distribuzione della densità di probabilità

F(x)=\begin(casi)0,&x<0;\\ax^2,&02.\fine(casi).

Trova il coefficiente a , l'aspettativa matematica, la varianza, l'asimmetria e la curtosi.

Soluzione. L'area delimitata dalla curva di distribuzione è numericamente uguale a

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^^ 3)(3))\destra|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Dato che quest'area dovrebbe essere uguale a uno, troviamo a=\frac(3)(8) . Usando la formula (4.2), troviamo l'aspettativa matematica:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

La dispersione è determinata dalla formula (4.3). Per fare ciò, troviamo prima l'aspettativa matematica del quadrato di una variabile casuale:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\sinistra.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\destra|_(0)^(2)=2,\!4.

In questo modo,

\begin(allineato)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approssimativamente0,\!3873.\end(allineato)

Utilizzando i momenti iniziali, calcoliamo i momenti centrali del terzo e quarto ordine:

\begin(allineato)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\sinistra.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\sinistra.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approssimativamente6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\end(allineato)

Caratteristiche numeriche della media aritmetica di n variabili casuali indipendenti

Permettere x_1,x_2,\lpunti,x_n- valori della variabile aleatoria X ottenuti da n trial indipendenti. L'aspettativa matematica di una variabile casuale è uguale a M(X) e la sua varianza è D[X] . Questi valori possono essere considerati come variabili casuali indipendenti X_1,X_2,\lpunti,X_n con le stesse aspettative e varianze matematiche:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\lpunti,n.

La media aritmetica di queste variabili casuali

\overline(X)=\somma\limiti_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Usando le proprietà dell'aspettativa matematica e della dispersione di una variabile casuale, possiamo scrivere:

\begin(allineato)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1 )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\end(allineato)

Salta alla sezione successiva
Variabili casuali multivariate Javascript è disattivato nel tuo browser.
I controlli ActiveX devono essere abilitati per poter fare calcoli!